 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Śro 17:17, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
14.0 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach
Spis treści
14.0 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach 1
14.1 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 4
14.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach 6
14.2 Algorytm Puchacza 8
14.3 Sztandarowy przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 10
14.3.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 16
14.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 19
14.4.1 Zdanie W1: P8~~>P2 19
14.4.2 Zdanie W2: P8=>P2 20
14.4.3 Zdanie W3: P8~~>~P2 20
14.4.4 Zdanie W4: ~P8~~>~P2 21
14.4.5 Zdanie W5: ~P8~>~P2 22
14.4.6 Zdanie W6: ~P8~~>P2 23
14.4.7 Zdanie W7: ~P8=>~P2 24
14.0 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Bx'.
Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja implikacji odwrotnej A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q (pkt.2.10)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją implikacji odwrotnej A1B2: ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = A1B1: p|=>q
cnd
Analizę ogólną implikacji prostej p|=>q znajdziemy w punkcie 2.12.
14.1 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8.1):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Wniosek:
p ## q - zbiór p musi być różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie mogą to być zbiory tożsame)
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Kluczowe tu zbiory p, ~p, q i ~q muszą być niepuste, bowiem w analizie zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym.
Definicja zbioru pustego [] (pkt. 12.2):
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Wniosek:
Wspólna dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, q, ~p, ~q, będą niepuste.
Dowód w diagramie DIP wyżej.
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q w zbiorach (DIP):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
14.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę A1B1 czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
Na mocy prawa Słonia prawą stronę A1B1 czytamy:
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1), ale nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=0)
Wniosek:
p ## q - zbiór p jest różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DIP
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do q
p=>q =1
Przynależność elementu do zbioru p jest (=1) wystarczająca => by należał on do zbioru q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Dowód: diagram DIP
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DIP
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę A2B2 czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=0).
Na mocy prawa Słonia prawą stronę A2B2 czytamy:
Zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q (B2: ~p~>~q=1), ale nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q (A1: ~p=>~q=0)
Wniosek:
~p ## ~q - zbiór ~p jest różny na mocy definicji ## od zbioru ~q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DIP
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~> należeć do ~q
~p~>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jego przynależności do zbioru ~q
Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Dowód: diagram DIP
lub
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=1 (i odwrotnie).
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania B2'
Dowód wprost: diagram DIP
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
14.2 Algorytm Puchacza
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego (pkt. 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
14.3 Sztandarowy przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=P8
P8+~P8 = LN - wspólna dziedzina
P8*~P8=[] - zbiór pusty
q=P2
P2+~P2=LN - wspólna dziedzina
P2*~P2=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - wspólna dziedzina (zbiór liczb naturalnych)
Stąd:
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8 ..] potrafi każdy matematyk.
7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3: q=>p (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
Twierdzenie odwrotne w stosunku do A1:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
B3: P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład np. 2
cnd
Dla zdania B3 korzystamy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: P2=>P8 = B1: P8~>P2 =0
Zauważmy, że na mocy prawa Tygryska udowadniając fałszywość warunku wystarczającego B3: P2=>P8=0 udowodniliśmy dowodem "nie wprost" fałszywość warunku koniecznego B1: P8~>P2=0
Wypowiedzmy zdanie B1 kodowane warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2)
B1: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Fałszywości zdania B1 nie musimy udowadniać, bowiem fałszywość tą gwarantuje nam prawo Tygryska.
Zauważmy że w zapisach formalnych mamy:
Warunek wystarczający A1: p=>q =~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Alternatywny dowód prawdziwości warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 i fałszywości warunku koniecznego B1: P8~>P2=0 z wykorzystaniem zdjęcia układu plus prawo Orła znajdziemy w punkcie 13.8.1.
Podsumowanie:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 i fałszywość warunku koniecznego B1: P8~>P2=0 wymusza definicję implikacji prostej P8|=>P2.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Słonia mamy nasz przykład w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
A1B1:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach (nasz przykład):
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
p=P8
q=P2
Stąd mamy diagram implikacji prostej w zapisie formalnym p|=>q i aktualnym P8|=>P2:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
---------------------------------------------------------------------------
| p=P8 | ~p=~P8 |
|------------------------|------------------------------------------------|
| q=P2 | ~q=~P2 |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
| A1: P8=>P2=1 (P8*P2=1) |B2’:~P8~~>P2=~P8*P2=1 |A2:~P8~>~P2=1 (~P8*~P2=1)|
---------------------------------------------------------------------------
|Dziedzina: |
|D=A1: P8*P2+ A2:~P8*~P2+ B2’:~P8*P2=1 -istnieją elementy wspólne zbiorów |
| A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0 - jedyny zbiór pusty to P8*~P2=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
P8*P2=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: P8*P2=P8=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Z diagramu DIP odczytujemy:
Dziedzina fizyczna implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D= A1: P8*P2 + B2’:~P8*P2 + A2: ~P8*~P2
Zauważmy, że:
1.
Zbiór (~P8) jest sumą logiczną zbiorów B2' i A2:
~P8 = B2': ~P8*P2 + A2: ~P8*~P2 = ~P8*(P2+~P2) = ~P8*1 =~P8
cnd
Wykorzystane prawa logiki matematycznej:
a) wyciągnięcie zmiennej ~P8 przed nawias
b) P2+~P2=1
c) ~P8*1=~P8
2.
Natomiast zbiór P8 to zbiór P2 pomniejszony o część wspólną zbiorów ~P8 i P2:
P8 = P2 - B2’: ~P8*P2
Czyli:
P8 = P2*1 - ~P8*P2 - bo prawo algebry Boole’a: P2=P2*1
P8 = P2*(1-~P8) - wyciagnięcie zmiennej P2 przed nawias
P8 = P2*((P8+~P8) -~P8) - skorzystanie z definicji jedynki (dziedziny): 1=P8+~P8
P8 = P2*(P8+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: ~P8 -~P8=[]=0
P8 = P2*P8 - bo prawo algebry Boole’a: P8+0=P8
P8=P8*P2=P8 - bo P8 jest podzbiorem => P2 (patrz diagram implikacji prostej DIP)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Podstawmy wyprowadzoną definicję implikacji prostej P8|=>P2 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.
| Kod: |
IP
Implikacja prostej p|=>q w zapisie formalnym:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 – zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=P8
q=P2
Implikacja prosta P8|=>P2 w zapisie aktualnym:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku
wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 - P8 jest (=1) wystarczające => dla P8
bo P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 -P8 nie jest (=0) konieczne ~> dla P2
bo P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6..]
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1
A': 1: p~~>~q =0 4:~p~~> q =0
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: P8=> P2 =1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8 =1
A': 1: P8~~>~P2=0 4:~P2~~>P8 =0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0
B': 2:~p~~> q =1 3: q~~> ~p =1
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: P8~> P2 =0 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8 =0 4:~P2~>~P8=0
B': 2:~P8~~>P2=1 3: P2~~>~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Definicję implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach mamy w kolumnie A1B1:
Implikacja prosta P8|=>P2 to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2=0 – zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
p= P8
q= P2
14.3.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P8 (A1B1) i ~P8 (A2B2):
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Gdzie:
p= P8
q= P2
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P8:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
Czytamy:
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie A1) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie B1)
Patrz diagram DIP.
Wniosek:
P8 ## P2 - zbiory P8 i P2 są różne na mocy definicji ## (nie są tożsame)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Innymi słowy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to ta liczba na 100% => będzie podzielna przez 2 (P2)
Graficzny dowód wprost: diagram DIP
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód „nie wprost”.
Nie musimy tu wykonywać dowodu wprost, czyli udowadniać iż zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
Graficzny dowód wprost: diagram DIP
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8)?
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P8:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8)?
A2: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2
B2: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2 (A2) i jednocześnie nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2 (B2)
Patrz diagram DIP.
Wniosek:
~P8 ## ~P2 - zbiory ~P8 i ~P2 są różne na mocy definicji (nie są tożsame)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Zauważmy, że dowód wprost jest tu trudniejszy - przez iterowanie na pewno niewykonalny, bo oba zbiory są nieskończone.
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 (~P2) bo jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Graficzny dowód wprost: diagram DIP
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i P2, co kończy dowód prawdziwości zdania B2'
Z zapisu szczegółowego widzimy że zbiór ~P8 nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2, jak również nie jest podzbiorem => zbioru P2.
Dowód wprost widzimy także na diagramie DIP
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to gwarancja matematyczna => po stronie liczb podzielnych przez 8 (P8) o czym mówi zdanie A1 i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb niepodzielnych przez 8 (~P8) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 (P2) - mówi o tym zdanie A1
2.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~> być niepodzielna przez 2 (~P2) o czym mówi zdanie A2 albo może ~~> być podzielna przez 2 na mocy zdania B2’
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 to układ równań logicznych:
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2: ~P8=>~P2) - co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) - co będzie jeśli liczba jest podzielna przez 8?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
14.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
14.4.1 Zdanie W1: P8~~>P2
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..24..] np. 24
Dla udowodnienia prawdziwości zdania W1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P8 i P2 (np. 8) . Nie analizujemy tu, czy podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
Badając punkt 14.3.1 stwierdzamy iż nie ma odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający => A1:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..], co każdy matematyk udowodni.
Jest oczywistym, że skoro zbiór P8 jest podzbiorem => P2 to musi istnieć element wspólny tych zbiorów ~~>
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: P8~~>P2 jest częścią warunku wystarczającego => A1: P8=>P2, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: P8~~>P2=P8*P2 =1 bo 8 ## A1: P8=>P2 =1 - P8 jest podzbiorem => P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: P8~~>P2 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: P8=>P2.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: P8=>P2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.2 Zdanie W2: P8=>P2
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.
Jak widzimy:
W2=A1
Stąd mamy zdanie tożsame A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Podsumowanie:
Zdanie wypowiedziane W2 jest częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2 i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.3 Zdanie W3: P8~~>~P2
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2=P8*~P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': P8~~>~P2=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W2=A1' wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.4 Zdanie W4: ~P8~~>~P2
Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~~>~P2=~P8*~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q =~p*~q =1
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] np. 1
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i ~P2, co kończy dowód prawdziwości/fałszywości zdania W4
Nie badamy tu czy niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest konieczna ~> czy też wystarczająca => dla jej niepodzielności przez 2 (~P2)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W3.
Badając punkt 14.3.1 stwierdzamy iż nie ma odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek konieczny A2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Dowód "nie wprost":
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2 wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 (i odwrotnie)
Prawdziwość warunku koniecznego A2 oznacza, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~P8~~>~P2 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest częścią warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W3: ## Warunek konieczny ~> A2:
W3:~P8~~>~P2=~P8*~P2 =1 - bo 3 ## A2:~P8~>~P2=1 bo ~P8 jest nadzbiorem ~P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~P8~~>~P2 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A2: ~P8~>~P2 ze spełnionym warunkiem koniecznym ~> wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.5 Zdanie W5: ~P8~>~P2
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
Powyższe zdanie można zakodować elementem wspólnym zbiorów ~~> co zrobiliśmy wyżej:
~P8~~>~P2=~P8*~P2=1 bo wspólny element np. 1
Równie dobrze zdanie W5 możemy zakodować warunkiem koniecznym ~>, czym zajmiemy się teraz.
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań:
W5=A2
Zdanie A2 brzmi:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Stąd mamy dowód "nie wprost":
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Dowód wprost prawdziwości A1: P8=>P2:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2 wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 (i odwrotnie).
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy:
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
A2: ~P8~>~P2=1
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości A2: ~P8~>~P2 =1
Zauważmy, że dowód wprost jest tu zdecydowanie trudniejszy (jeśli w ogóle możliwy), przez iterowanie na pewno niewykonalny bowiem zbiory ~P8 i ~P2 to zbiory nieskończone.
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek konieczny A2:~P8~>~P2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.6 Zdanie W6: ~P8~~>P2
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2=~P8*P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i P2, co kończy dowód prawdziwości zdania B2'
Z diagramu DIP widzimy że zbiór ~P8 nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2, jak również nie jest podzbiorem => zbioru P2.
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane W6=B2': ~P8~~>P2=1 jest prawdziwym kontrprzykładem B2' dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P8=>~P2=0
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.7 Zdanie W7: ~P8=>~P2
Zauważmy, że algorytm Puchacza umożliwia korektę niektórych zdań fałszywych tzn. mówi nam jak powinno być wypowiedziane zdanie fałszywe, by stało się zdaniem prawdziwym.
Zadanie W7
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W7.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to nie jest podzielna przez 2
Zdanie tożsame bo warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny.
W7".
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to na 100% => nie jest podzielna przez 2
B2: ~P8=>~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =0
Brak podzielności dowolnej liczby przez 8 (~P8) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => wystarczającym dla jej niepodzielności przez 2 (~P2)
Dowód "nie wprost":
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Nasz przykład:
B2: ~P8=>~P2 = B1: P8~>P2 =0
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Pytanie fundamentalne to:
Jak należy wypowiedzieć zdanie W7, by było ono zdaniem prawdziwym?
Odpowiedź na to pytanie daje nam algorytm Puchacza.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że dokładny odpowiednik zdania W7 nie istnieje, ale istnieje zdanie A2 analogiczne do zdania W7
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
A2: ~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Nasz przykład:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2 =1
Wniosek:
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2: ~P8~>~P2=1 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Podsumowanie:
1.
Jeśli zdanie fałszywe W7 zakodujemy warunkiem koniecznym ~> wypowiadając je w formie A2 to zdanie to ulegnie transformacji do zdania prawdziwego.
Korekta została znaleziona.
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie A2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 22:24, 17 Sie 2024, w całości zmieniany 30 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 17:22, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
15.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach
Spis treści
15.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach 1
15.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 4
15.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach 6
15.2 Algorytm Puchacza 8
15.3 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 10
15.3.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 16
15.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 19
15.4.1 Zdanie W1: P2~~>P8 19
15.4.2 Zdanie W2: P2~>P8 20
15.4.3 Zdanie W3: P2~~>~P8 20
15.4.4 Zdanie W4: ~P2~~>~P8 21
15.4.5 Zdanie W5: ~P2=>~P8 22
15.4.6 Zdanie W6: ~P2~~>P8 23
15.4.7 Zdanie W7: P2=>P8 23
15.5 Alternatywny dowód prawdziwości implikacji odwrotnej P2|~>P8 24
15.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
II Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
##
I Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Ax'.
Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2:
A2B2:
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja implikacji prostej A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q (pkt. 2.10)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją implikacji prostej p|=>q:
A2B2: ~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = A1B1: p|~>q
cnd
15.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8.1):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Wniosek:
p ## q - zbiór p jest różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie mogą to być zbiory tożsame)
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach.
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Kluczowe tu zbiory p, ~p, q i ~q muszą być niepuste, bowiem w analizie zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym.
Definicja zbioru pustego [] (pkt. 12.2):
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Wniosek:
Wspólna dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, q, ~p, ~q, będą niepuste.
Dowód w diagramie DIO wyżej.
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach (DIO):
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
15.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Na mocy prawa Słonia prawą stronę A1B1 czytamy:
Zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1), ale nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=0)
Wniosek:
p ## q - zbiór p jest różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DI0
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do q
p~>q =1
Przynależność elementu do zbioru p jest (=1) konieczna ~> by należał on do zbioru q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Dowód: diagram DIO
lub
Fałszywy warunek wystarczający A1: p=>q=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A1’
Dowód wprost: diagram DIO
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=0).
Na mocy prawa Słonia prawą stronę A2B2 czytamy:
Zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q (B2: ~p=>~q=1), ale nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2: ~p~>~q=0)
Wniosek:
~p ## ~q - zbiór ~p jest różny na mocy definicji ## od zbioru ~q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DIO
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru ~q
~p=>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru ~q
Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowód wprost: diagram DIO
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DIO
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
15.2 Algorytm Puchacza
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego (pkt. 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
15.3 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=P2
P2+~P2=LN - wspólna dziedzina
P2*~P2=[] - zbiór pusty
q=P8
P8+~P8 = LN - wspólna dziedzina
P8*~P8=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - wspólna dziedzina (zbiór liczb naturalnych)
Stąd:
~p=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
~q=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
A1: P2=>P8=0
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład np. 2
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 8 (P8) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład: 2
cnd
7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3: q=>p (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
Twierdzenie odwrotne w stosunku do A1:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
B3: P8=>P2=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
Dla zdania B3 korzystamy z prawa Tygryska.
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: P8=>P2 = B1: P2~>P8 =1
Zauważmy, że na mocy prawa Tygryska udowadniając prawdziwość warunku wystarczającego B3: P8=>P2=1 udowodniliśmy dowodem "nie wprost" prawdziwość warunku koniecznego B1: P2~>P8=1
Wypowiedzmy zdanie B1:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
B1: P2~>P8=1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Prawdziwości zdania B1 nie musimy udowadniać, bowiem prawdziwość tą gwarantuje nam prawo Tygryska.
Zauważmy że w zapisach formalnych mamy:[b]
Warunek wystarczający A1: p=>q =~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
[b]Alternatywny dowód fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwości warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 z wykorzystaniem zdjęcia układu plus prawo Orła znajdziemy w punkcie 15.5
Podsumowanie:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwość warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 wymusza definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8..
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Na mocy prawa Słonia mamy nasz przykład w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to spełniona wyłącznie relacja nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p=P2
q=P8
Stąd mamy diagram implikacji odwrotnej w zapisie formalnym p|~>q i aktualnym P2|~>P8:
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
---------------------------------------------------------------------------
| q=P8 | ~q=~P8 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=P2 | ~p=~P2 - |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
|B1: P2~>P8=1 (P2*P8=1) |A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 |B2:~P2=>~P8=1 (~P2*~P8=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=B1: P2*P8+A1’: P2*~P8+B2: ~P2*~P8 (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[]=0 - jedyny zbiór pusty to ~P2*P8=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
P2*P8=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: P2*P8=P8=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Z diagramu DIO odczytujemy:
Dziedzina fizyczna implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D = B1: P2*P8 + A1': P2*~P8 + B2: ~P2*~P8
Zauważmy, że:
1.
Zbiór P2 jest sumą logiczną zbioru B1: P2*P8 oraz A1': P2*~P8
Dowód:
P2 = B1:P2*P8 + A1': P2*~P8 = P2*(P8+~P8) = P2*1 =P2
cnd
Wykorzystane prawa logiki matematycznej:
a) wyciągnięcie zmiennej P2 przed nawias
b) P8+~P8=1
c) P2*1=P2
2.
Natomiast zbiór ~P2 to zbiór ~P8 minus zbiór wspólny A1’: P2*~P8:
~P2 = ~P8 - A1': P2*~P8
Czyli:
~P2 = ~P8*1 - P2*~P8 - bo prawo algebry Boole’a: ~P8=~P8*1
~P2 = ~P8*(1-P2) - wyciagnięcie zmiennej ~P8 przed nawias
~P2 = ~P8*((P2+~P2) -P2) - skorzystanie z definicji jedynki (dziedziny): 1=P2+~P2
~P2 = ~P8*(~P2+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: P2 -P2=[]=0
~P2 = ~P8*~P2 - bo prawo algebry Boole’a: ~P2+0=~P2
~P2=~P2*~P8 - bo ~P2 jest podzbiorem => ~P8 (patrz diagram implikacji odwrotnej DIO)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Podstawmy wyprowadzoną definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 = 1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=P2
q=P8
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 – P2 nie jest (=0) wystarczające => dla P8
bo P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 – P2 jest (=1) konieczne ~> dla P8
bo P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p =0
A': 1: p~~>~q =1 4:~p~~> q =1
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: P2=> P8 =0 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~> P2=0 4:~P8=>~P2 =0
A': 1: P2~~>~P8=1 4:~P8~~>P8
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1
B': 2:~p~~> q =0 3: q~~> ~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: P2~> P8 =1 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2 =1 4:~P8~>~P2=1
B': 2:~P2~~>P8=0 3: P8~~>~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii A
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO
Definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 mamy w kolumnie A1B1:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to spełniona wyłącznie relacja nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p= P8
q= P2
15.3.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o P2 (A1B1) i ~P2 (A2B2):
A1B1: P2|~>P8 =~(A1: P2=> P8)* (B1: P2~>P8) - co się stanie jeśli zajdzie P2?
A2B2: ~P2|=>~P8 =~(A2:~P2~>~P8)* (B2:~P2=>~P8) - co się stanie jeśli zajdzie ~P2?
Gdzie:
p= P2
q= P8
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)?
A1: P2=>P8=0 - P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..] (zdanie B1) i jednocześnie nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] (zdanie A1)
Patrz diagram DIO
Wniosek:
P2 ## P8 - zbiory P2 i P8 są różne na mocy definicji ## (nie są tożsame)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
1.
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
Dowód: Diagram DIO
2.
Dowód "nie wprost":
Prawo Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 determinuje prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (np. 2)
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów P2 i ~P8, co kończy dowód prawdziwości zdania A1'
Z zapisu szczegółowego widzimy że zbiór P2 nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P8, jak również nie jest podzbiorem => zbioru ~P8.
Dowód wprost widzimy także w diagramie DIO
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2)?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8 =1
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2
A2B2
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 2 (~P2)?
A2: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8
B2: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (B2) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (A2)
Patrz diagram DIP
Wniosek:
~P2 ## ~P8 - zbiory ~P2 i ~P8 są różne na mocy definicji (nie są tożsame)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
B2: ~P2=>~P8=1
W zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
1.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód wprost tego faktu odczytujemy z diagramu DIO
2.
Dowód "nie wprost":
Prawo kontrapozycji:
B2:~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] nie musimy dowodzić ponieważ wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 (dowód nie wprost)
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 to najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P2) - mówi o tym zdanie B2
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (P8) o czym mówi zdanie B1, albo może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8) o czym mówi zdanie A1’
2.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8) - mówi o tym zdanie B2
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~P2||=>~P8 to układ równań logicznych:
A2B2: ~P2|=>~P8 =~(A2:~P2~>~P8)* (B2:~P2=>~P8) - co się stanie jeśli zajdzie ~P2?
A1B1: P2|~>P8 =~(A1: P2=> P8)* (B1: P2~>P8) - co się stanie jeśli zajdzie P2?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~P2||=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadania zdań tworzących operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest matematycznie bez znaczenia, co oznacza że linie B1, A1’ B2, B2’ można dowolnie przestawiać.
15.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze implikacji odwrotnej P2||=>P8 mogą być następujące.
15.4.1 Zdanie W1: P2~~>P8
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W1.
Widzimy tożsamość zdań: W1=B1
Ale!
Na zdanie W1 można spojrzeć z punktu widzenia elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Rozwiązanie zadania W1 z punktu widzenia elementu wspólnego zbiorów ~~>:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8 = P2*P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Dla udowodnienie prawdziwości zdania W1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] np. 8, co kończy dowód prawdziwości zdania W1. Nie wnikamy tu czy podzielności dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> czy też wystarczającym => dla jej podzielności przez 8.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że zachodzi warunek konieczny B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Dowód wprost:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
cnd
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: P2~~>P8 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest częścią warunku koniecznego B1: P2~>P8, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek konieczny ~> B1:
W1:P2~~>P8=P2*P8 =1 - bo 8 ## B1: P2~>P8=1 bo P2 jest nadzbiorem ~> P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: P2~~>P8 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku koniecznego B1: P2~>P8
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B1: P2~>P8 ze spełnionym warunkiem koniecznym ~> wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.2 Zdanie W2: P2~>P8
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.
Widzimy tożsamość zdań: W2=B1
Wynika z tego, że na zdanie W2 możemy spojrzeć nie tylko z punktu odniesienia elementu wspólnego zbiorów ~~> co zrobiliśmy wyżej, ale również z punktu widzenia warunku koniecznego ~> o czym mówi zdanie B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Dowód wprost:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
cnd
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza zdanie B1: P2~>P8 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.3 Zdanie W3: P2~~>~P8
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (np. 2)
Dowód "nie wprost":
Formalnie tego faktu nie musimy dowodzić wprost jak wyżej, bowiem prawdziwość kontrprzykładu A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 wynika z fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0
Podsumowanie:
1.
Prawdziwe zdanie wypowiedziane A1': P2~~>~P8=1 to kontrprzykład A1' dla fałszywego warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.4 Zdanie W4: ~P2~~>~P8
Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może nie być podzielna przez 8 (~P8)
~P2~~>~P8=~P8*~P8 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 1
Dla udowodnienia prawdziwości zdania W4 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 (np. 1) . Nie analizujemy tu, czy niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla jej nie podzielności przez 8 (~P8)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W3.
Jak widzimy, nie ma 100% odpowiednika zdania W4, ale …
Mamy spełniony warunek wystarczający B2.
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
B2: ~P2=>~P8=1
W zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód wprost tego faktu odczytujemy z diagramu DIO
Dowód "nie wprost":
Prawo kontrapozycji:
B2:~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
Oczywistym jest, że zdanie wypowiedziane W4: ~P2~~>~P8 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest częścią warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny zbiorów ~~> W4: ## Warunek wystarczający => B2:
W4:~P2~~>~P8=~P2*~P8=1 bo 1 ## B2:~P2=>~P8=1 - ~P2 jest podzbiorem ~P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~P2~~>~P8 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2: ~P2=>~P8 ze spełnionym warunkiem wystarczającym => wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.5 Zdanie W5: ~P2=>~P8
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 8
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.
Stwierdzamy 100% tożsamość zdań:
W5=B2
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
B2: ~P2=>~P8=1
W zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód wprost tego faktu odczytujemy z diagramu DIO
Dowód "nie wprost":
Prawo kontrapozycji:
B2:~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2:~P2=>~P8 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.6 Zdanie W6: ~P2~~>P8
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost widzimy w diagramie DIO - rozłączność zbiorów ~P2=[1,3,5,7..] i P8=[8,16,14..]
Dowód "nie wprost":
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’: ~P2~~>P8=0 (i odwrotnie)
Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane W6=B2' jest fałszywym kontrprzykładem B2': ~P2~~>P8=0 dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.7 Zdanie W7: P2=>P8
Zauważmy, że algorytm Puchacza umożliwia korektę niektórych zdań fałszywych tzn. mówi nam jak powinno być wypowiedziane zdanie fałszywe, by stało się zdaniem prawdziwym.
Zadanie W7
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8
Zdanie tożsame bo warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny
W7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
Pytanie fundamentalne to:
Jak należy wypowiedzieć zdanie W7, by było ono zdaniem prawdziwym?
Odpowiedź na to pytanie daje nam algorytm Puchacza.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że dokładny odpowiednik zdania W7 nie istnieje, ale istnieje zdanie B1 analogiczne do zdania W7
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
Podsumowanie:
1.
Jeśli zdanie fałszywe W7 zakodujemy warunkiem koniecznym ~> ze spójnikiem „może” to zdanie to ulegnie transformacji do zdania prawdziwego.
Korekta została znaleziona.
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie B1: P2~>P8 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.5 Alternatywny dowód prawdziwości implikacji odwrotnej P2|~>P8
Zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Alternatywny dowód fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwości warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 z wykorzystaniem zdjęcia układu plus prawo Orła
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu dla zdania W1 w zapisie aktualnym (przykład)
A: P2~~> P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2 i P8 np. 8
B: P2~~>~P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np. 2
C:~P2~~>~P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 np. 1
D:~P2~~> P8=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~P2 i P8
|
Kluczowy jest dowód rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2 i P8:
Dowolny zbiór liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny (=0) z dowolnym zbiorem liczb parzystych P8=[8,16,24..] - na mocy definicji liczby nieparzystej.
Akurat w tym przypadku to jest poziom I klasy LO, ale na pewno nie 5-cio latka.
Zauważmy, że w teorii zdarzeń rozstrzygnięcie o fałszywości dowolnego zdania ze zdjęcia układu to poziom 5-cio latka, czego dowód mamy w punkcie 9.0.
Korzystając z prawa Orła możemy łatwo dowieść iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
1.
Prawo Orła dla B1:
p*(q+~q) ~> q*(p+~p)
p=P2
q=P8
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P2*(P8+~P8) ~> P8*(P2+~P2)
2.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8 + D: ~P2*P8 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8 =0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd:
3.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8
Doskonale widać, że zbiór (P2*P8 + P2*~P8) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P2*P8
cnd
Można łatwo udowodnić iż równanie 3 jest tożsame z warunkiem koniecznym ~>:
P2~>P8 =1
Dowód:
3.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8
Z tabeli T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8=[]=0
Do prawej strony wolno nam dopisać zbiór pusty D bo (x+0=x)
Stąd mamy:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8 + D: ~P2*P8
P2*(P8+~P8) ~> P8*(P2+~P2) - wyciągnięcie zmiennych P2 i P8 przed nawias
P2*1 ~> P8*1 - prawo algebry Boole'a (x+~x=1)
P2~>P8 - prawo algebry Boole’a (x*1=x)
Stąd mamy:
P2~>P8 =1
Stąd mamy tożsamość logiczną [=]:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8 [=] B1: P2~>P8 =1
Stąd mamy rozwiązanie pierwszej części naszego zadania:
B1: P2~>P8=1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Dla rozwiązania zadania pozostaje nam udowodnić relację:
A1: P2=>P8 =?
4.
Prawo Orła dla A1:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
p=P2
q=P8
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P2*(P8+~P8) => P8*(P2+~P2)
5.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 + D: ~P2*P8 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8 =0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd:
6.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 =0
Doskonale widać, że zbiór (P2*P8 + P2*~P8) nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P2*P8
Można łatwo udowodnić iż równanie 6 jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>, czyli z relacją podzbioru =>:
P2=>P8 =0
Dowód:
6.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 =0
Z tabeli T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8=[]=0
Do prawej strony wolno nam dodać logiczne zero (x+0=x):
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 + D: ~P2*P8
P2*(P8+~P8) => P8*(P2+~P2) - wyciągnięcie zmiennych P2 i P8 przed nawias
P2*1 => P8*1 - prawo algebry Boole'a (p+~p=1)
P2=>P8 - prawo algebry Boole’a (x*1=x)
Stąd mamy tożsamość logiczną [=]:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 [=] P2=>P8 =0
Stąd mamy rozwiązanie drugiej części naszego zadania:
A1: P2=>P8 =0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Podsumowanie:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwość warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 wymusza definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8.
Szczegółową analizę operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 mamy w punkcie 15.3.1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:42, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 17 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 17:24, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
16.0 Równoważność p<=>q w zbiorach
Spis treści
16.0 Równoważność p<=>q w zbiorach 1
16.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach 1
16.1.1 Prawa Słonia dla zbiorów 2
16.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach 3
16.1.3 Prawo Irbisa w zbiorach 3
16.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach 4
16.2.1 Relacje między równoważnością A1B1: p<=>q a A2B2: ~p<=>~q 5
16.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach 6
16.4 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 7
16.4.1 Operator równoważności p|<=>q 9
16.5 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q 11
16.5.1 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 12
16.5.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności ~p<=>~q 14
16.5.3 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym 15
16.6 Odtworzenie p|<=>q z tabeli zero-jedynkowej równoważności p<=>q 15
16.7 Jak można było tak prostą rzecz tak potwornie spieprzyć! 17
16.8 Teoria zbiorów równolicznych i nierównolicznych w algebrze Kubusia 23
16.8.1 Przykład zbiorów nierównolicznych w algebrze Kubusia 24
16.8.2 Przykład zbiorów równolicznych w algebrze Kubusia 25
16.0 Równoważność p<=>q w zbiorach
Bezdyskusyjnie najcenniejszą definicją w całym obszarze matematyki dla potrzeb matematyki klasycznej i programowania komputerów jest definicja równoważności p<=>q której istoty póki co ziemscy matematycy nie rozumieją, mimo że poprawnie matematycznie ją udowadniają.
Nie rozumieją dlatego, że nie znają kluczowych tu zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>, praw Słonia, prawa Irbisa, oraz definicji kontrprzykładu dla zbiorów w interpretacji z algebry Kubusia.
Mówiąc dosadnie: 100% definicji rodem z Klasycznego Rachunku Zdań jest do bani.
Przykładowo:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie) o czym matematycy nie wiedzą.
16.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: kilkanaście tysięcy
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: kilkanaście tysięcy
16.1.1 Prawa Słonia dla zbiorów
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Stąd korzystając z prawa Słonia dla zbiorów możemy wygenerować dużą ilość tożsamych definicji równoważności p<=>q.
16.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach
1.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (znana każdemu matematykowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q i matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, twierdzenie proste A1.
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, twierdzenie odwrotne (względem A1)
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
2.
Definicja równoważności wyrażona relacjami podzbioru =>
Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Stąd mamy wprowadzone kluczowe w równoważności prawo Irbisa.
16.1.3 Prawo Irbisa w zbiorach
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Tą definicję tożsamości zbiorów zna każdy matematyk.
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Na mocy prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Tożsamy dowód bezpośredni:
Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego (pkt. 16.1.2 i 16.1.3)
Korzystając z prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w warunkach koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1).
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
16.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
I Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
##
II Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Tożsamość zbiorów jest przemienna, stąd mamy:
| Kod: |
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
A1B1: A3B3: | A2B2: A4B4:
AB: 1: p<=>q=1 = 3: q<=>p=1 [=] 2: ~p<=>~q = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q = 3: q=p # 2: ~p=~q = 4:~q=~p
Gdzie:
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Zauważmy że:
Z przemienności zbiorów:
1: p=q = 3: q=p
Wynika przemienność argumentów w równoważności:
1: p<=>q = 3: q<=>p
Wniosek:
W matematycznym opisie równoważności potrzeba i wystarcza opisać matematyczne związki między kolumnami A1B1 i A2B2.
16.2.1 Relacje między równoważnością A1B1: p<=>q a A2B2: ~p<=>~q
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mam:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> p=q
[=]
A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Wzajemne relacje między A1B1 i A2B2 są następujące:
| Kod: |
Równoważność A1B1: | Równoważność A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Dowód:
Diagram DR (pkt. 16.3)
|
16.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, ~p, q i ~q będą niepuste (rozpoznawalne), co doskonale widać na diagramie DR niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
Wniosek:
Musi zachodzić tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q).
Dowód
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd mamy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
definiujący tożsamość zbiorów p=q.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|---------------------------------|---------------------------------------|
| q | ~q |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|Definicja równoważności: | Definicja równoważności: |
|A1B1: p<=>q=(A1:p=>q)*(B1:p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|Definiuje tożsamość zbiorów | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
---------------------------------------------------------------------------
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|-------------------------------------------------------------------------|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
p#~p
p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
p+~p=D=1
p*~p=[]=0
Dowód: diagram DR
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
16.4 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
##
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Gdzie:
## - różna na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zauważmy że:
1.
Definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wnioski:
a) Równoważność A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
b) Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
2.
Definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Wnioski:
a) Równoważność A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
b) Równoważność A2B2: ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja równoważności A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją równoważności p<=>q:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) = ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
stąd mamy:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd
16.4.1 Operator równoważności p|<=>q
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1) i jednocześnie zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Wniosek:
Zbiory p i q są tożsame p=q
Dowód: diagram DR
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =1
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Dowód: diagram DR
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q=p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DR
… a jeśli zajdzie ~p?
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> (A2) i podzbiorem => (B2) zbioru ~q
Wniosek:
Zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q
Dowód: diagram DR
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru ~q
~p=>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru ~q
Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowód: diagram DR
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DR
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p (zdanie B2)
W operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła", jak to miało miejsce w operatorze implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jak zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jak zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
16.5 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
Prawo Krokodyla (pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Definicja twardej jedynki:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarda jedynka to spełniony warunek wystarczający => w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków elementarnych =>, ~> i ~~>.
A1: p=>q =1 - twarda jedynka
Definicja twardego zera:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" na mocy definicji kontrprzykładu spełniony warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu w linii A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=p*~q =0 - twarde zero
Notacja w algebrze Kubusia:
Przez A1' oznaczamy kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
oraz:
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q na mocy analizy w poprzednim punkcie:
| Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Prawo Krokodyla (pkt.21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze równoważności p|<=>q mamy dwie twarde jedynki (A1 i B2) oraz dwa twarde zera (A1', B2'), co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
16.5.1 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q w wersji skróconej:
| Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p|<=>q |
A1B1:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności p<=>q:
A1B1: p<=>q
W równoważności A1B1: p<=>q zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
| Kod: |
T3
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p|<=>q | | |
A1B1: | |
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) | | p q p<=> q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0 =0
A2B2: |
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T3_789 nazywamy zero-jedynkową definicją równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zerojedynkowego.
Interpretacja równoważności p<=>q:
T3_789: p<=>q - zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Do zapamiętania:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A1: 1<=>1 1
A1’: 1<=>0 0
B2: 0<=>0 1
B2’: 0<=>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
|
Wyprowadzenie tabeli zero-jedynkowej równoważności z jej definicji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja równoważności w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y=(p<=>q) = A1: p*q + B2:~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=(p<=>q)=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
I Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Stąd mamy definicję zero-jedynkową równoważności p<=>q:
p<=>q=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
16.5.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności ~p<=>~q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q w wersji skróconej:
| Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p|<=>q |
A1B1:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności A2B2:
A2B2: ~p<=>~q
W równoważności A2B2 zmienne p i q są w postaci zanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową równoważności A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci zanegowanej.
Umożliwia to I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
| Kod: |
T4
Definicja |Co w logice |Na mocy I |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p|<=>q | | |
A1B1: | |
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) | | ~p ~q ~p<=>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1 =0
A2B2: |
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T4_789 nazywamy zero-jedynkową definicją równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Interpretacja:
T4_789: ~p<=>~q - zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
16.5.3 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym
Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym:
W rachunku zero-jedynkowym zachodząca tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem zachodzenia prawa logiki matematycznej wtedy i tylko wtedy na wejściu mamy identyczną matrycę zmiennych wejściowych p i q "ab" oraz identyczną kolumnę wynikową "c"
Zauważmy że:
W tabelach T3 i T4 wejściowa definicja operatora równoważności p|<=>q jest identyczna
Stąd:
Tożsamość kolumny wynikowej 9 w tabelach T3 i T4 jest dowodem zero-jedynkowym prawa rachunku zero-jedynkowego
Prawo rachunku zero-jedynkowego
T3_789: p<=>q [=] T4_789: ~p<=>~q
cnd
16.6 Odtworzenie p|<=>q z tabeli zero-jedynkowej równoważności p<=>q
Algorytm odwrotny, czyli odtworzenie operatora równoważności p|<=>q z zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest następujący.
Dla ułatwienia zrozumienia zachowujemy iterowanie linii z wyprowadzonej wyżej zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q, co matematycznie jest bez znaczenia.
Niech będzie dana tabela zero-jedynkowa równoważności <=>
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A1: 1<=>1 1
A1’: 1<=>0 0
B2: 0<=>0 1
B2’: 0<=>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
|
Jak wygenerować z tej tabeli operator równoważności p|<=>q?
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y) (pkt. 1.14)
| Kod: |
Pełna tabela zero-jedynkowa równoważności p<=>q
p q ~p ~q | Y ~Y |
A1: 1 1 0 0 | 1 0 |
A1’: 1 0 0 1 | 0 1 |
B2: 0 0 1 1 | 1 0 |
B2’: 0 1 1 0 | 0 1 |
a b c d e f |
|
Krok 1
Budujemy pełną tabelę zero-jedynkową dla równoważności p<=>q po czym opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki stosując w poziomie spójnik "i'(*) zaś w pionie spójnik "lub"(+).
Powyższy algorytm prowadzi do wygenerowania równań alternatywno-koniunkcyjnych Y i ~Y zrozumiałych dla każdego 5-cio latka (pkt. 1.14.1)
| Kod: |
T1.
Tabela zero-jedynkowa równoważności p<=>q w "lub"(+) i "i"(*)
|Opis jedynek |Opis jedynek |Tabela w zdarzeniach
|dla Y=(p<=>q) |dla ~Y=~(p<=>q)|możliwych ~~> dla Y
p q ~p ~q | Y ~Y | | | Y
A1: 1 1 0 0 | 1 0 | Ya= p* q | | p~~> q= p* q =1
A1’: 1 0 0 1 | 0 1 | |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0
B2: 0 0 1 1 | 1 0 | Yc=~p*~q | |~p~~>~q=~p*~q =1
B2’: 0 1 1 0 | 0 1 | |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0
a b c d e f g h i j k l 1 2 3 4 5
|
W tabeli 12345 skorzystano z prawa Prosiaczka:
(~Yb=1) = (Yb=0)
oraz
(~Yd=1) = (Yd=0)
które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to odpowiedź na pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Odczytujemy z tabeli ghi:
Y=Y(A1)+Y(B2) = A1: p*q+ B2: ~p*~q
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
Odczytujemy z tabeli jkl:
~Y=~Y(A1’)+~Y(B2’) = A1’: p*~q + B2’: ~p*q
Tabela konieczna i wystarczająca dla odtworzenia operatora równoważności p|<=>q w warunkach wystarczających =>, koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> to tabela 12345.
Tabela 12345 to tabela wszystkich zdarzeń możliwych (Yx=1) i niemożliwych (Yx=0) jakie mogą zajść na mocy definicji równoważności p<=>q. Jak widzimy, możliwe są (=1) zdarzenia Y(x)=1 A1 i B2 oraz niemożliwe są (=0) zdarzenia Y(x)=0 A1’ i B2’.
Krok 2
Zapisujemy tabelę wszystkich zdarzeń możliwych (Y=1) i niemożliwych (Y=0) jakie mogą zajść w zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q
| Kod: |
T2.
Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A1: p~~> q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
B2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Krok 3
Na mocy definicji kontrprzykładu z braku elementu wspólnego ~~> zbiorów p i ~q:
A1’: p~~>~q=0
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Krok 4
Na mocy definicji kontrprzykładu z braku elementu wspólnego zbiorów ~p i q:
B2’: ~p~~>q =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd mamy odtworzoną tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q dającą odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (A1, A1’) oraz co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (B2, B2’)
| Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
cnd
16.7 Jak można było tak prostą rzecz tak potwornie spieprzyć!
Niniejszy rozdział to punkty 32.7 i 32.8 z dowodu śmieciowości ziemskiej teorii mnogości wyłożonej w punkcie 32.0.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wikipedia
W 1874 roku Georg Cantor opublikował pracę, która jest uznawana za narodziny współczesnej teorii mnogości. Idee te, pomimo dużej opozycji ze strony innych matematyków (np. Leopolda Kroneckera), zostały dalej rozwinięte w kolejnej pracy Cantora, z roku 1878. Podstawowe odkrycie Cantora dotyczyło pojęcia mocy (czyli „liczby elementów”) zbiorów nieskończonych. Przyjął on, że dwa zbiory A i B są równoliczne (mają tę samą moc), jeżeli można przyporządkować wszystkie elementy A wszystkim elementom B w sposób wzajemnie jednoznaczny. Mogłoby się wydawać, że po prostu wszystkie zbiory nieskończone są równoliczne.
Teoria mnogości to matematyczna schizofrenia autorstwa Cantora (rok 1878).
Szkoda, ze nie było wystarczającej liczby matematyków podobnych do Leopolda Kroneckera.
Cóż, w XIX wieku Szatan (teoria mnogości) robiący z mózgu człowieka gówno był górą
Na szczęście w XXI wieku na ziemię zstąpił Kubuś ze swoją algebrą Kubusia.
Algebra Kubusia to osikowy kołek wbity w samo serce Szatana.
Definicja matematycznego schizofrenika:
Matematyczny schizofrenik to człowiek opisujący otaczającą nas matematyczną rzeczywistość w sposób totalnie niezgodny ze stanem faktycznym
Nieskończone zbiory równoliczne i nierównoliczne to nieprawdopodobny banał na poziomie ucznia I klasy LO, oczywiście pod warunkiem zrozumienia i akceptacji algebry Kubusia.
Zacznijmy od sformułowania oczywistego prawa Pantery.
A1: Prawo Pantery:
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame A=B to na 100% => są równoliczne A~B
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Zbadajmy w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi prawo Pantery.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Jak widzimy prawo Pantery to warunek wystarczający => A1.
A1: Prawo Pantery
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to na 100% => są równoliczne (A~B)
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Doskonale widać, że tożsamość zbiorów (A=B) wymusza => równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów (A=B) to z automatu równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Jeśli zbiory A i B są tożsame (A=B) to mamy gwarancję matematyczną => iż są równoliczne (A~B)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’.
A1’.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to mogą ~~> nie być równoliczne ~(A~B)
(A=B)~~>~(A~B) = (A=B)*~(A~B) =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy udowodnić.
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) możliwość, by zbiory były tożsame (A=B) i jednocześnie nie były równoliczne ~(A~B)
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi prawo Pantery musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania z linii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3 (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Jeśli dwa zbiory A i B są równoliczne (A~B) to na 100% => są to zbiory tożsame (A=B)
B3: (A~B)=>(A=B) =0
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Warunek wystarczający => jest tu fałszem bo istnieje kontrprzykład.
Kontrprzykład B3’ dla warunku wystarczającego => B3 to:
B3’.
Jeśli dwa zbiory A i B są równoliczne (A~B) to mogą ~~> nie być tożsame ~(A=B)
(A~B)~~>~(A=B) = (A~B)*~(A=B) =1
Dla udowodnienia prawdziwości kontrprzykładu B3’ wystarczy pokazać jeden taki przypadek:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, sraczka]
Zbiory A i B są równoliczna (A~B), ale nie są to zbiory tożsame ~(A=B)
cnd
Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Fałszywość warunku wystarczającego => w punkcie:
B3: q=>p =0
Wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> w punkcie:
B1: p~>q =0
Stąd mamy dowód, że badany układ to implikacja prosta p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
W tym momencie mamy zdeterminowaną implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem kontrprzykładów obowiązujących wyłącznie w warunkach wystarczających,
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Pamiętając o naszym punkcie odniesienia:
p=(A=B)
q=(A~B)
Z tabeli TP odczytujemy
A1: Prawo Pantery:
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to na 100% => są równoliczne (A~B)
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Doskonale widać, że tożsamość zbiorów (A=B) wymusza => równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów (A=B) to z automatu równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Jeśli zbiory A i B są tożsame (A=B) to mamy gwarancję matematyczną => iż są równoliczne (A~B)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
##
B1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsama (A=B) to na 100% ~> są równoliczne (A~B)
(A=B)~>(A~B) =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Czytamy:
Tożsamość zbiorów (A=B) nie jest (=0) konieczna ~> dla równoliczności tych zbiorów (A~B)
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, sraczka]
Nie ma tożsamości zbiorów:
(A=B)=0
ale relacja równoliczności A~B jest spełniona:
(A~B) =1
Gdzie:
## - zdania różne na mocy definicji
Po raz n-ty mamy tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być tożsame
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Z tabeli TP widzimy, że mamy tu do czynienia tylko i wyłącznie z dwoma warunkami wystarczającymi => (gwarancjami matematycznymi =>):
A1: Prawo Pantery:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=(A=B)
q=(A~B)
oraz:
A4: Prawo Lamparta:
A4: ~q=>~p =1
Gdzie:
q=(A~B)
p=(A=B)
Oczywiście, na mocy prawa Sowy zachodzi tożsamość pojęć:
Prawo Pantery: A1: p=>q [=] Prawo Lamparta: A4: ~q=>~p
Rozszyfrujmy te dwie gwarancje matematyczne =>:
A1: Prawo Pantery
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=(A=B)
q=(A~B)
Stąd mamy:
A1.
Jeśli dwa zbiory A i B są tożsame (A=B) to na 100% => są równoliczne (A~B)
A1: (A=B) => (A~B) =1
To samo w zapisach formalnych:
p=(A=B)
q=(A~B)
p=>q =1
Przykład:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Doskonale widać, że tożsamość zbiorów (A=B) wymusza => równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Przy spełnionej tożsamości zbiorów (A=B) zbiory te na 100% => są równoliczne (A~B)
Innymi słowy:
Każda tożsamość zbiorów (A=B) to z automatu równoliczność zbiorów (A~B)
Innymi słowy:
Jeśli zbiory A i B są tożsame (A=B) to mamy gwarancję matematyczną => iż są równoliczne (A~B)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
A4: Prawo Lamparta
A4: ~q=>~p =1
Gdzie:
q=(A~B)
p=(A=B)
Stąd mamy:
A4.
Jeśli dwa zbiory A i B nie są równoliczne ~(A~B) to na 100% => nie są tożsame ~(A=B)
A4: ~(A~B) => ~(A=B) =1
To samo w zapisach formalnych:
~q=>~p =1
Oczywista oczywistość.
Przykładowe zbiory tożsame i równoliczne to:
A=[Kubuś, Tygrysek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Jeśli do A albo B dodamy dodatkowy element to zbiory te będą nierównoliczna ~(A~B) i na 100% => nie będą to zbiory tożsame ~(A=B).
Przykład:
Dodajmy do zbioru A Prosiaczka
A=[Kubuś, Tygrysek, Prosiaczek]
B=[Tygrysek, Kubuś]
Spełnienie prawdziwości gwarancji matematycznej => A4 widać tu jak na dłoni
16.8 Teoria zbiorów równolicznych i nierównolicznych w algebrze Kubusia
Prawo Pytona:
Dowolny ziemski matematyk który nie akceptuje poniższej tabeli T0 mówiącej o matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> jest matematycznym schizofrenikiem
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja matematycznego schizofrenika:
Matematyczny schizofrenik to człowiek opisujący otaczającą nas matematyczną rzeczywistość w sposób totalnie niezgodny ze stanem faktycznym
Na chwilę obecną do matematycznych schizofreników zaliczamy: fanatyków KRZ, fanatyków teorii mnogości, logik modalnych, logik relewantnych, logik intuicjonistycznych etc
Cechą charakterystyczną schizofrenii jest fakt, że dla chorego jego schizofreniczne rojenia są 100% rzeczywistością, o czym każdy psychiatra wie.
Doskonale to widać w filmie „Piękny umysł”, pokazującym na żywo urojony świat schizofrenika niedostępny dla ludzi zdrowych (urojone biuro szyfrów, postaci które widzi wyłącznie chory z którymi obcuje i rozmawia na żywo …)
Definicja zbiorów równolicznych:
Dwa zbiory p i q są równoliczne p~q wtedy i tylko wtedy gdy mają identyczną liczbę elementów
p~q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają (=1) identyczną liczbę elementów
Inaczej:
p~q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q nie mają (=0) identycznej liczby elementów
Gdzie:
„~” – znaczek równoliczności zbiorów
16.8.1 Przykład zbiorów nierównolicznych w algebrze Kubusia
Rozważmy przykład zbiorów nierównolicznych.
Wypowiedzmy następujące twierdzenie proste A1: p=>q:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
To samo w zapisach formalnych:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..], co każdy matematyk udowodni.
##
Zauważmy, że twierdzenie odwrotne B3: q=>p jest tu fałszem.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
To samo w zapisach formalnych:
q=>p =0
Bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem zbioru P8=[8,16 24..]
Kontrprzykład: 2
Liczba 2 należy do zbioru P2=[2,4,6,8..] i nie należy do zbioru P8=[8,16,24.]
cnd
Gdzie:
## - twierdzenia matematyczne różne na mocy definicji ##
Definicja formalna równoważności p<=>q:
Dwa zbiory p i q są równoważne p<=>q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i równocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Dla naszego przykładu mamy:
A1: P8=>P2 =1 - twierdzenie proste A1: p=>q jest prawdziwe
B3: P2=>P8 =0 - twierdzenie odwrotne B3: q=>p jest fałszywe
Stąd mamy dowód fałszywości równoważności P8<=>P2:
A1B3: P8<=>P2 = (A1: P8=>P2)*(B3: P2=>P8) =1*0 =0
cnd
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Na mocy prawa Irbisa dla naszego przykładu zapisujemy:
Zbiór P8=[8,16,24..] ## Zbiór P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Zbiór P8=8,16,24..] nie jest (=0) tożsamy [=] ze zbiorem P2=[2,4,6,8..]
P8 [=] P2 =0 - fałsz
Sensacyjny wniosek na mocy prawa Irbisa:
Zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] nie są tożsame [=], co jest dowodem czysto matematycznym, iż zbiory te nie są (=0) zbiorami równolicznymi.
cnd
16.8.2 Przykład zbiorów równolicznych w algebrze Kubusia
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Każdy zbiór tożsamy p=q jest równoliczny p~q na mocy prawa Irbisa
Odwrotnie nie zachodzi
Przykładowe zbiory tożsame [=] z użyciem zbiorów P8 i P2 o których było wyżej to:
A1B3:
Dowolna liczba jest podzielna przez 8 i przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 16
A1B3: P8*P2<=>P16 = (A1: P8*P2=>P16)*(B3: P16=>P8*P2) = 1*1=1
Podstawmy:
p=P8*P2 = [8,16,24..]*[2,4,6,8..]
q=P16 = [16,32,48..]
Stąd mamy to samo, czyli definicję równoważności p<=>q w zapisach formalnych:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Badanie prawdziwości/fałszywości zdań składowych:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 i przez 2 to na 100% => jest podzielna przez 16
A1: P8*P2=>P16 =1 – prawdziwe twierdzenie proste (A1: p=>q)
Dowód tej błahostki pozostawiam matematykom.
##
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 16 to na 100% => jest podzielna przez 8 i przez 2
B3: P16=>P8*P2 =1 – prawdziwe twierdzenie odwrotne (B3: q=>p)
Dowód tej błahostki również pozostawiam matematykom
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Na mocy prawa Irbisa dla naszego przykładu zapisujemy:
(P8*P2 [=] P16) =1 – zbiory P8*P2 i P16 są (=1) tożsame [=]
Gdzie:
[=] – zbiory tożsame
Sensacyjny wniosek na mocy prawa Irbisa:
Zbiór P8*P2 jest (=1) tożsamy [=] ze zbiorem P16, co jest dowodem czysto matematycznym, iż zbiory te są (=1) równoliczne.
(P8*P2 ~ P16) =1 – zbiory P8*P2 i P16 są (=1) równoliczne
Gdzie:
„~” – znaczek równoliczności zbiorów
Uzasadnienie:
Na mocy praw Irbisa każda tożsamość zbiorów (p=q) wymusza równoliczność zbiorów (p~q)
Odwrotnie nie zachodzi.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:45, 22 Lut 2025, w całości zmieniany 41 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 17:26, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
16.9 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza
Spis treści
16.9 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza 1
16.9.1 Algorytm Puchacza 2
16.10 Sztandarowy przykład równoważności TP<=>SK 3
16.11 Tabela prawdy równoważności TP<=>SK 9
16.11.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) 10
16.12 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 13
16.12.1 Zadanie W1: TP~~>SK 13
16.12.2 Zdanie W2: TP=>SK 14
16.12.3 Zdanie W3: TP~~>~SK 15
16.12.4 Zdanie W4: ~TP~~>~SK 15
16.12.5 Zdanie W5: ~TP=>~SK 16
16.12.6 Zdanie W6: ~TP~~>SK 17
16.13 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK 17
16.13.1 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach 20
16.13.2 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach 22
16.9 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
16.9.1 Algorytm Puchacza
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
16.10 Sztandarowy przykład równoważności TP<=>SK
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
cnd
W przypadku zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> TP i SK potrzeba i wystarcza pokazać jeden wspólny element np. [3,4,5] co kończy dowód prawdziwości zdania W1
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza w postaci punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla TP i SK dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=TP
TP+~TP = ZWT - wspólna dziedzina
TP*~TP=[] - zbiór pusty
q=SK
SK+~SK=ZWT - wspólna dziedzina
SK*~SK=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych (zbiór niepusty)
~p=~TP=[ZWT-TP] - zbiór ZWT pomniejszony o TP (zbiór niepusty)
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (zbiór niepusty)
~q=~SK = [ZWT-SK] - zbiór ZWT pomniejszony o SK (zbiór niepusty)
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Zdanie A1 to znane każdemu uczniowi 8 klasy SP twierdzenie proste Pitagorasa.
Przykładowe dowody twierdzenia prostego Pitagorasa można znaleźć w Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oczywiście dowody te mają zero wspólnego z wykazywaniem element po elemencie (których jest nieskończenie wiele) iż zbiór TP jest podzbiorem => SK.
Fakt iż zbiór TP jest podzbiorem => SK wymusza teoria matematyczna, tu prawo Słonia.
7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający => bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w dowolnym trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Słonia dla warunku wystarczającego => dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Zdanie B3 to znane każdemu uczniowi 8 klasy SP twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
Przykładowe dowody twierdzenia odwrotnego Pitagorasa można znaleźć w Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zgodnie z algorytmem Puchacza (pkt. 6 i 7) interesuje nas prawdziwość/fałszywość zdania B1: p~>q a nie zdania B3: q=>p którego prawdziwość udowodniliśmy wyżej.
Jak udowodnić prawdziwość/fałszywość zdania B1: p~>q?
Bardzo prosto, wystarczy skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK =1
Z prawa Tygryska wynika, że udowodnienie prawdziwości warunku wystarczającego B3: q=>p jest tożsame z udowodnieniem warunku koniecznego ~> B1: p~>q.
To jest dowód „nie wprost”
Wypowiedzmy zdanie B1.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Na mocy prawa Słonia dla warunku koniecznego ~> zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywiście tu również powyższy dowód "nie wprost" ma zero wspólnego z wykazywaniem element po elemencie (których jest nieskończenie wiele) iż zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
Fakt iż zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK wymusza teoria matematyczna, tu prawo Słonia dla warunku koniecznego ~>.
Przypomnijmy zdanie A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1: p=>q=~p+q
##
Przypomnijmy zdanie B1
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
B1: p~>q = p+~q
;
Gdzie:
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q
## - różne na mocy definicji
Stąd po raz n-ty wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy dowód iż mamy tu do czynienia z równoważnością.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełniona sumą kwadratów)
Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności TP<=>SK:
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla bycia SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla bycia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1B1: SK<=>TP
Prawa strona to powszechnie znana definicja równoważności TP<=>SK:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Innymi słowy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Innymi słowy:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1), aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Dowód iż to jest powszechnie znana definicja równoważności p<=>q.
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 12 600
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 10 800
"potrzeba i wystarcza:
Wyników: 3 370
cnd
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B1: p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Dowód 1.
Na mocy definicji każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Nasz przykład:
A1B1: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Dowód 2.
Dla B1 korzystamy z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd mamy tożsamą wersję prawa Irbisa.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Całość czytamy:
Dwa zbiory p i q są tożsame A1B3: p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i równocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Ta definicja tożsamości zbiorów p=q jest doskonale znana każdemu matematykowi.
Nasz przykład:
Prawo Irbisa:
Prawdziwa równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych A1B3: TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: SK<=>TP
Całość czytamy:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame A1B3: TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1) i równocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3)
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: TP<=>SK
Gdzie:
A1: TP=>SK =1 - twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione wieki temu
B3: SK=>TP =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione wieki temu
16.11 Tabela prawdy równoważności TP<=>SK
Powtórzmy najważniejszą tu definicję:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Równoważność TP<=>SK to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt prostokątny TP
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających =>
| Kod: |
TR
Równoważność p<=>q w zbiorach w zapisie formalnym:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=TP
q=SK
Równoważność TP<=>SK w zapisie aktualnym:
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenia SK
zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenia SK
zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A': 1: p~~> ~q =0 [=] 4:~q~~> p =0
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP=1
A': 1: TP~~>~SK=0 [=] 4:~SK~~>TP=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~> ~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=> TP =1 = 4:~SK~>~TP=1
B': 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=> q =1 = 2:~p<=>~q =1 [=] 3: q<=> p = 1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
To samo w zapisie aktualnym:
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: TP<=>SK =1 = 2:~TP<=>~SK=1 [=] 3: SK<=>TP =1 = 4:~SK<=>~TP=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
16.11.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
Na mocy prawa Sowy prawdziwość równoważności TP<=>SK wymusza prawdziwość operatora równoważności TP|<=>SK o definicji jak niżej.
Definicja operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o TP (A1B1) i ~TP (A2B2):
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP?
A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Całość czytamy:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (w tym matematykom).
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest nadzbiorem ~> (B1) i jednocześnie podzbiorem => (A1) zbioru trójkątów w których zachodzi suma kwadratów (SK)
Wniosek:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK=TP*~SK=0
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: TP i ~SK
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem koniecznym ~>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
B2: ~TP=>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym =>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest nieprostokątny (~TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Całość czytamy:
Równoważność ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) to tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Definicja równoważności ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest nadzbiorem ~> (A2) i jednocześnie podzbiorem => (B2) zbioru trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów (~SK)
Wniosek:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji.
Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~TP=>~SK = B3: SK=>TP
Zdanie B3: SK=>TP to twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Prawo kontrapozycji gwarantuje nam prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK
Na mocy prawa Słonia możemy zapisać:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~TP~~>SK=0 (i odwrotnie)
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Równoważność TP<=>SK to gwarancja matematyczna => po stronie TP, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny (TP) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK) - mówi o tym zdanie A1
2.
oraz:
Jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) - mówi o tym zdanie B2
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~TP|<=>~SK to układ równań logicznych:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) będzie identyczna jak operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
16.12 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze równoważności TP|<=>SK mogą być następujące.
16.12.1 Zadanie W1: TP~~>SK
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
Na mocy analizy w punkcie 16.11 i 16.11.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: TP~~>SK jest częścią warunku wystarczającego => A1: TP=>SK, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: TP~~>SK=TP*SK=1 bo [3,4,5] ## A1: TP=>SK =1 - TP jest podzbiorem => SK
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: TP~~>SK jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: TP=>SK.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: TP=>SK wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.12.2 Zdanie W2: TP=>SK
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.11 i 16.11.1.
W punkcie 16.11.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W1.
Jak widzimy:
W2=A1
Stąd mamy zdanie tożsame A1.
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane A1: TP=>SK to twierdzenie proste Pitagorasa.
2.
Na mocy prawa Puchacza twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK wchodzi w skład operatora równoważności Pitagorasa TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.12.3 Zdanie W3: TP~~>~SK
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK = TP*~SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.11 i 16.11.1.
W punkcie 16.11.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK=TP*~SK=0
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: TP i ~SK
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': TP~~>~SK=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1, czyli twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.12.4 Zdanie W4: ~TP~~>~SK
Zadanie W4:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~TP i ~SK np. [3,4,6]
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~TP i ~SK, co kończy dowód prawdziwości/fałszywości zdania W4
Nie badamy tu czy bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest konieczne ~> czy też wystarczające => do tego aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.11 i 16.11.1.
Badając punkt 16.11.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~TP~~>~SK jest częścią warunku wystarczającego => B2: ~TP=>~SK, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W4: ## Warunek wystarczający => B2:
W4:~TP~~>~SK=~TP*~SK=1 bo [3,4,6] ## B2:~TP=>~SK =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~TP~~>~SK jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2:~TP=>~SK wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.12.5 Zdanie W5: ~TP=>~SK
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W5.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W5.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.11 i 16.11.1.
W punkcie 16.11.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.
Jak widzimy:
W5=B2
Stąd mamy zdanie tożsame B2.
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia możemy zapisać:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek wystarczający ~TP=>~SK wchodzi w skład operatora równoważności Pitagorasa TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.12.6 Zdanie W6: ~TP~~>SK
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W6.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.11 i 16.11.1.
W punkcie 16.11.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~TP~~>SK=0 (i odwrotnie)
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane B2': ~TP~~>SK=0 to kontrprzykład B2' dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.13 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Weźmy matematyczną definicję równoważności doskonale znaną wszystkim matematykom.
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: TP=>SK=1) i twierdzenia odwrotnego (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK
Równoważność TP<=>SK to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest wystarczające => dla zajście SK (twierdzenie proste Pitagorasa)
B3: SK=>TP=1 - zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (twierdzenie odwrotne Pitagorasa)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście TP jest wystarczające => dla zajścia SK (A1) i jednocześnie zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (B3)
Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Zauważmy że prawa strona to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów TP=SK
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1:p=>q)*(B3: q=>p)
Nasz przykład:
TP=SK <=> A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów TP=SK.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
Dowód bezpośredni wynikający z definicji podzbioru => i nadzbioru ~> to:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego
cnd
| Kod: |
TR
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa
Gdzie w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
A1: TP=>SK=1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK=1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A: 1: TP=>SK=1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP=1 = 4:~SK=>~TP=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B: 1: TP~>SK=1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP=1 = 4:~SK~>~TP=1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności <=>: | Spójnik równoważności <=>:
AB: 1: TP<=>SK = 2:~TP<=>~SK [=] 3: SK<=>TP = 4:~SK<=>~TP
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
Dwa zbiory ~TP i ~SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK (A2: ~TP~>~SK=1) i jednocześnie zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK (B2: ~TP=>~SK=1)
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK)= A2B2: ~TP<=>~SK
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów SK=TP:
Dwa zbiory SK i TP są tożsame SK=TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest nadzbiorem ~> zbioru TP (A3: SK~>TP=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
SK=TP <=> (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) = A3B3: SK<=>TP
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów ~SK=~TP:
Dwa zbiory ~SK i ~TP są tożsame ~SK=>~TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~SK jest podzbiorem => zbioru ~TP (A4: ~SK=>~TP=1) i jednocześnie zbiór ~SK jest nadzbiorem ~> zbioru ~TP (B4: ~SK~>~TP=1)
~SK=~TP <=> (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = A4B4: ~SK<=>~TP
Przemienność tożsamości zbiorów jest oczywista:
A1B1: TP=SK [=] A3B3: SK=TP
A2B2: ~TP=~SK [=] A4B4: ~SK=~TP
Stąd w dalszych rozważaniach wystarczy skupić się na zbiorach A1B1: TP=SK oraz A2B2: ~TP=~SK.
16.13.1 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności TP<=>SK w zbiorach:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jest tożsamy ze zbiorem SK
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów TP+SK bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia TP, ~TP, SK i ~SK będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DR
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK (z definicji)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK (z definicji)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = 1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy punkt odniesienia:
p= TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q= SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Czytamy:
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru SK
Stąd mamy:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| p=TP | ~p=~TP |
|---------------------------------|--------------------------------------|
| q=SK | ~q=~SK |
|---------------------------------|--------------------------------------|
|Równoważność A1B1: | Równoważność A2B2: |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)| A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
|------------------------------------------------------------------------|
|definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q (TP=SK) | ~p=~q (~TP=~SK) |
-------------------------------------------------------------------------|
| A1: TP=>SK=1 (TP*SK=1) | B2:~TP=>~SK=1 (~TP*~SK=1) |
|------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: TP*SK+ B2:~TP*~SK - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: TP~~>~SK=TP*~SK=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~TP~~>SK =~TP*SK=[]=0 - zbiór pusty |
|------------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów TP=SK i ~TP=~SK |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (i odwrotnie)
2.
Równoważność TP<=>SK to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności TP<=>SK nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’: TP~~>~SK=TP*~SK =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów TP i ~SK (zbiory rozłączne)
Dowód: Diagram DR
Kolumna A2B2:
A2:~TP~>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~SK
B2:~TP=>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) podzbiorem => zbioru ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność ~TP<=>~SK definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem:
B2’:~TP~~>SK=~TP*SK=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~TP i SK (zbiory rozłączne)
Dowód: diagram DR
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
Plus definicja równoważności A2B2.
cnd
Stąd dla diagramu DR możemy zapisać:
| Kod: |
DMZR
Diagram matematycznych związków w równoważności dla zbiorów:
Równoważność TP<=>SK: [=] Równoważność ~TP<=>~SK
A1B1: | A2B2:
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiująca tożsamość zbiorów | Definiująca tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
Dziedzina D=ZWT (zbiór wszystkich trójkątów)
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny ZWT
|
Komentarz:
Dziedzina ZWT w równoważności to dwa zbiory niepuste i rozłączne:
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D=ZWT (patrz diagram DR).
Stąd:
ZWT=TP+~TP =1
Zapis tożsamy:
ZWT=SK+~SK=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK wymuszająca tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Na mocy powyższego zapisujemy:
~TP=[ZWT-TP]=[TP+~TP-TP]=~TP
~SK=[ZWT-SK]=[SK+~SK-SK]=~SK
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Zachodzi oczywiście prawo podwójnego przeczenia:
TP = ~(~TP) - zbiór TP to zaprzeczenie zbioru ~TP w obrębie dziedziny D
SK = ~(~SK) - zbiór SK to zaprzeczenie zbioru ~SK w obrębie dziedziny D
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP to zaprzeczenie zbioru TP w obrębie dziedziny D
~SK=~(SK) - zbiór ~SK to zaprzeczenie zbioru SK w obrębie dziedziny D
Oczywistym jest, że z powodu tożsamości zbiorów TP=SK wymuszającej tożsamość zbiorów ~TP=~SK w powyższych zapisach można sobie „rzucać monetą”, czyli dowolnie zamieniać TP z SK albo ~TP z ~SK.
16.13.2 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q dwukierunkowej:
Równoważność p<=>q jest dwukierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy możliwa jest fizyczna zamiana przyczyny p ze skutkiem q.
Uwaga:
W logice matematycznej możliwa jest też równoważność jednokierunkowa o czym było w punkcie 6.6.3.
Przykładem równoważności dwukierunkowej jest równoważność Pitagorasa, gdzie prawdziwe fizycznie jest zarówno twierdzenie proste Pitagorasa (A1: TP=>SK) jak i twierdzenie odwrotne Pitagorasa (B3: SK=>TP)
A1:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka p sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku q.
Prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka p będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku q.
Oczywiście po zamianie p i q mamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
B3:
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka q sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku p.
Prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka q będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku p.
Stąd mamy klasyczną definicję równoważności Pitagorasa:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK to spełnienie relacji podzbioru => w dwie strony:
A1: TP=>SK =1 - prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru TP=>SK
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
##
B3: SK=>TP =1 - prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru SK=>TP
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy prawdziwą równoważność Pitagorasa:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:50, 22 Lut 2025, w całości zmieniany 19 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 17:28, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=>
Spis treści
17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=> 1
17.1 Definicja spójnika „albo”($) p$q zilustrowana przykładem M$K 4
17.1.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 9
17.1.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) 13
17.1.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach 14
17.2 Prawo Bobra 15
17.2.1 Prawo Bobra w świecie martwym 16
17.2.2 Odwrotne prawo Bobra w świecie martwym 20
17.3 Dowód fałszywości prawa Bobra w świecie żywym 21
17.3.1 O wyższości spójnika "lub"(+) nad spójnikiem "albo"($) w świecie żywym 22
17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=>
"$" - znaczek spójnika "albo" w algebrze Kubusia
Spójnik "albo"($) p$q to szczególny przypadek równoważności p<=>~q a nie szczególny przypadek spójnika "lub"(+), jak wielu, nawet matematyków uważa.
Dowód w niniejszym punkcie.
Spójnik "albo"($) to najtrudniejszy do zrozumienia spójnik implikacyjny, dlatego w niniejszym rozdziale prezentuję pełną jego definicję na przykładzie mężczyzny (M) i kobiety (K).
Brzytwa Ockhama - zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń.
W języku potocznym czasami zdarza się (rzadko), że człowiek wbrew brzytwie Ockhama, nadaje zaprzeczonemu pojęciu nazwę specjalną bez przeczenia.
Przykład:
człowiek: nie mężczyzna (~M) = człowiek: kobieta (K)
człowiek: nie kobieta (~K) = człowiek: mężczyzna (M)
Spójnik "albo"($) wielu ludziom sprawia kłopoty, wielu utożsamia go spójnikiem "lub"(+) co jest błędem czysto matematycznym.
Tymczasem spójnik "albo"($) to trywialny, szczególny przypadek równoważności <=> opisany poniższym równaniem.
Równanie spójnika "albo"($):
| Kod: |
T1
A: 1: p$q [=] 2: p<=>~q [=] 3: ~p<=>q ## 4: p<=>q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
## - różne na mocy definicji
|
Komentarz:
RA2: Y = (p<=>~q)= p*~q + ~p*q ## RA4: Y = (p<=>q) = p*q + ~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy mają różne prawe strony tzn. gdy opisują różne wyrażenia algebry Boole’a.
Jak widzimy, w tabeli T1 definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest spełniona.
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów (i odwrotnie)
Potoczna definicja spójnika "albo"($):
Spójnik "albo" to wybór jednej z dwóch dostępnych możliwości.
Trzeciej możliwości brak.
p$q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy do wyboru są wyłącznie dwie możliwości p albo q
inaczej:
p$q=0
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
| Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: p$q=1 [=] 2: p<=>~q=1 [=] 3: ~p<=>q=1
Równoważność RA2: p<=>~q definiuje | Równoważność RA3:~p<=>q definiuje
tożsamość zbiorów: | tożsamość zbiorów:
B: 2: (p=~q)=1 # 3: (~p=q)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Sens spójnika "albo"($) najłatwiej zrozumieć na konkretnym przykładzie w zbiorach.
Przykładem na którym łatwo pokazać o co chodzi w spójniku "albo"($) jest zbiór wszystkich ludzi.
Oznaczmy:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet
Matematycznie zachodzi w zbiorach:
C = M+K
Mamy dwa zbiory niepuste M i K uzupełniające się wzajemnie do dziedziny C
Stąd:
~M = [C-M] = [M+K-M]=K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy:
~M (nie mężczyzna) = K (kobieta)
~K (nie kobieta) = M (mężczyzna)
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
| Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: M$K=1 [=] 2: M<=>~K=1 [=] 3: ~M<=>K=1 ## 4: M<=>K=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość zbiorów w równoważności 2 i 3:
B: 2: (M=~K)=1 # 3: (~M=K)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Czytamy:
A1.
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) "albo"($) albo kobietą (K=1)
M$K =1
[=]
A2.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K =1
[=]
A3.
Człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
~M<=>K =1
##
A4.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
M<=>K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M=1) i kobietą (K=1)
Na mocy prawa Irbisa w A4 zachodzi:
Mężczyzna (M) ## Kobieta (K)
M ## K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Pojęcie mężczyzna (M) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia kobieta (K)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa środek (B2 i B3) czytamy:
B2.
Pojęcie "mężczyzna" (M=1) jest (=1) tożsame "=" z pojęciem "nie kobieta" (~K=1)
(M=~K) =1
#
B3.
Pojęcie "nie mężczyzna" (~M) jest (=1) tożsame z pojęciem "kobieta" (K=1)
(~M=K) =1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Matematycznie zachodzi:
B2: (M=~K) # B3: (~M=K)
B2:
Zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie # zbioru kobiet (K) we wspólnej dziedzinie C (człowiek)
(M=~K)
#
B3:
Zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie # zbioru mężczyzn (M) we wspólnej dziedzinie C ( człowiek)
(K=~M)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
17.1 Definicja spójnika „albo”($) p$q zilustrowana przykładem M$K
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo K) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M (M) do zanegowanego K (~K)
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> i prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3:~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0 4: K~~>M=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K=1 [=] 3:~K=>M=1 = 4: K~>~M=1 [=] 5: M+ K =1
B': 2:~M~~>~K=0 3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3:~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zbiorów (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyjaśnienia dla tabeli prawdy TA.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach dla spójnika "albo"($):
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1
(i odwrotnie)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q =~p+q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
A1: p=>~q = ~p+~q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
B1: p~>~q = p+~(~q) = p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($) p$q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja spójnika "albo"($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =(~p+~q)*(p+q)= ~p*p+ ~p*q+ ~q*~p+ ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
Definicja spójnika "albo"($) wyrażona spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
p$q = p*~q+~p*q
W tabeli TA na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~>, jak i wystarczającego => w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Czytamy:
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom (w tym matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
[=]
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = A2B2: ~p<=>q
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
plus definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Dowód tożsamy to skorzystanie z definicji spójnika "albo"($) p$q w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p$q [=] A2B2: ~p$~q
Definicja spójnika "albo" p$q:
p$q = p*~q + ~p*q
Rozwijamy prawą stronę (A2B2) tożsamości logicznej [=] powyższą definicją:
A2B2: ~p$~q = (~p*)~(~q) + ~(~p)*(~q) = ~p*q + p*~q = p*~q + ~p*q = A1B1: p$q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
W tabeli prawdy TA spójnika "albo"($) doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q:
A1B1:
Dwa zbiory/zdarzenia p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q
W "albo"($) A1B1: p$q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Nasz przykład:
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K = A1B1: M$K
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q:
A2B2:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q = A2B2: ~p$~q
W "albo"($) A2B2: ~p$~q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K = A2B2: ~M$~K
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~q=p:
A3B3.
Dwa zbiory/zdarzenia ~q i p są tożsame ~q=p wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~q jest konieczne ~> (A3) i wystarczające => (B3) dla zajścia p.
A3B3: ~q=p <=> (A3: ~q~>p)*(B3: ~q=>p) = A3B3: ~q<=>p = A3B3: ~q$~p
W "albo"($) A3B3: ~q$~p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q?
Nasz przykład:
A3B3: ~K=M <=> (A3: ~K~>M)*(B3: ~K=>M) = A3B3: ~K<=>M = A3B3: ~K$~M
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń q=~p:
A4B4:
Dwa zbiry/zdarzenia q i ~p są tożsame q=~p wtedy i tylko wtedy gdy zajście q jest konieczne ~> (B4) i wystarczające => A4) dla zajścia ~p
A4B4: q=~p <=> (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = A4B4: q<=>~p = A4B4: q$p
W "albo"($) A4B4: q$p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q?
Nasz przykład:
A4B4: K=~M <=> (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M) = A4B4: K<=>~M = A4B4: K$M
Przemienność w tożsamości zbiorów jest oczywista:
Stąd mamy tożsamość [=]:
A1B1: p=~q [=] A3B3: ~q=p
Nasz przykład:
Zbiór mężczyzn (M) jest tożsamy [=] z zanegowanym zbiorem kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
A1B1: M=~K [=] A3B3: ~K=M
#
oraz tożsamość [=]:
A2B2: ~p=q [=] A4B4: q=~p
Nasz przykład:
Zanegowany zbiór mężczyzn (~M) jest tożsamy [=] ze zbiorem kobiet (K) w dziedzinie C (człowiek)
A2B2: ~M=K [=] A4B4: K=~M
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony we wspólnej dziedzinie D
17.1.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q)
Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3:~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0 4: K~~>M=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K=1 [=] 3:~K=>M=1 = 4: K~>~M=1 [=] 5: M+ K =1
B': 2:~M~~>~K=0 3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3:~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)
Definicja spójnika „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) p$q (kolumna A1B1) jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo”(|$) p|$q i odwrotnie.
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy bycie p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla bycia ~q
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Lewą stronę czytamy:
A1B1: M$K - dowolny człowiek jest mężczyzną M „albo”($) kobietą K (trzeciej możliwości brak)
Środek A1B1 czytamy:
(A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Prawą stronę czytamy:
A1B1: M<=>~K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=~q:
Dwa zbiory p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy bycie p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla bycia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Tożsamość A1B1 czytamy:
A1B1: M=~K
Zbiór mężczyzn (M=1) = zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
Innymi słowy:
Mężczyzna (M) to nie kobieta (~K), i odwrotnie
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Nasz przykład:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K=1
Bycie mężczyzną M (M=1) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Nasz przykład:
A1'.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = A2B: ~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy bycie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia q
Nasz przykład:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = A2B2: ~M<=>K
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~M$~K
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) „albo”($) nie jest kobietą (~K)
Zachodzą tożsamości:
~M=K
~K=M
Stąd mamy zdanie tożsame zrozumiałe dla każdego 5-cio latka:
A2B2”: K$M
Dowolny człowiek jest kobietą (K) „albo”($) mężczyzną (M) (trzeciej możliwości brak)
Środek czytamy:
(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem koniecznym ~> (A2) i wystarczającym => (B2) by być kobietą (K)
Prawą stronę czytamy:
A2B2: ~M<=>K
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zdarzeń ~p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q
Nasz przykład:
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~M=K
~M (nie mężczyzna) = K (kobieta)
Innymi słowy:
Zbiór ~M (nie mężczyzn) = zbiór K (kobiet)
Prawą stronę czytamy:
A2B2: ~M<=>K
Człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
Innymi słowy:
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M) to jest kobietą (K), i odwrotnie
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Nasz przykład:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście: ~p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Nasz przykład:
B2'.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie nie jest kobietą (~K=1)
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Nie kobieta (~K)= Mężczyzna (M)
~K=M
Stąd mamy:
B2': ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =0
Czytamy:
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie jest mężczyzną (M=1)
cnd
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) p$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo”(|$) p|$q (A1’, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
17.1.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy definicję operatora "albo"(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
17.1.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach
Rozważmy zdanie:
A1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Zdanie tożsame:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
(trzeciej możliwości brak)
M$K= (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1 ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą (~K)
Stąd mamy:
Potoczna definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Środek czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Definicja równoważności M<=>~K znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K) oraz zbiory M i K uzupełniają się wzajemnie do wspólnej dziedziny C (człowiek)
Zapis matematyczny tego faktu to:
C=M+K
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) M$K do diagramu ogólnego spójnika „albo”($).
| Kod: |
DA
Diagram „albo”($) M$K w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|Operator „albo” p|$q definiuje układ równań logicznych A1B1 i A2B2 |
| A1B1: p$ q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p=~q |
| A2B2:~p$~q = (A2:~p~> q)*(B2:~p=> q) = A2B2:~p<=> q = A2B2:~p= q |
| Punkt odniesienia: |
| p=M (mężczyzna) |
| q=K (kobieta) |
----------------------------------------------------------------------
| p=M # ~p=~M |
|-------------------------------|------------------------------------|
| ~q=~K # q=K |
|-------------------------------|------------------------------------|
|Równoważność: | Równoważność: |
|A1B1: p<=>~q - zapis formalny [=] A2B2: ~p<=>q - zapis formalny |
|A1B1: M<=>~K - zapis aktualny [=] A2B2: ~M<=>K - zapis aktualny |
|definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów: |
|A1B1: p=~q - zapis formalny # A2B2: ~p=q - zapis formalny |
|A1B1: M=~K - zapis aktualny # A2B2: ~M=K - zapis aktualny |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych M*~K i ~M*K: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: M*~K+ B2:~M*K (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1’: M~~>K = M* K=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~M~~>~K=~M*~K=[]=0 - zbiór pusty |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
17.2 Prawo Bobra
Weźmy nasz koronny przykład spójnika "albo"($):
Oznaczmy:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet
Matematycznie zachodzi w zbiorach:
C = M+K
Mamy dwa zbiory niepuste M i K uzupełniające się wzajemnie do dziedziny C
Stąd:
~M = [C-M] = [M+K-M]=K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
| Kod: |
T1
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: M$K=1 [=] 2: M<=>~K=1 [=] 3: ~M<=>K=1
Równoważność RA2: M<=>~K definiuje | Równoważność RA3:~M<=>K definiuje
tożsamość zbiorów: | tożsamość zbiorów:
B: 2: (M=~K)=1 # 3: (~M=K)=1
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
17.2.1 Prawo Bobra w świecie martwym
Definicja "wolnej woli":
"Wolna wola" to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez fizykę i matematykę)
Definicja świat martwego:
Świat martwy to brak możliwości ustawiania zmiennych binarnych wedle "widzi mi się" istoty żywej.
Wolna wola z definicji obowiązuje wyłącznie w świecie istot żywych (w tym u człowieka)
Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.
Uzasadnienie:
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) - pkt. 17.1:
Y = p$q = B: p*~q + C: ~p*q
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych - pkt. 1.11:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zauważmy że:
W spełnionym spójniku "albo"($) pojęcia p i q (np. M i K) są z definicji rozłączne, stąd:
A: p*q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Stąd dla spójnika "albo"($) mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q := B: p*~q + C: ~p*q = p$q
bo:
A: p*q=0 - zbiory p i q są rozłączne
gdzie:
(:=) - redukcja spójnika "lub"(+) z powodu rozłączności zbiorów p i q (A: p*q=0) na mocy prawa algebry Boole'a:
0+x =x
Gdzie:
x - dowolna funkcja logiczna
Przykład wzorcowego użycia spójnia "albo"($):
A1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) "albo"($) kobietą (K)
Y = M$K = B: M*~K + C: ~M*K - na mocy definicji spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Trzeciej możliwości brak.
Praktycznie każdy człowiek w miejsce wzorcowego spójnika "albo"($) użyje tu spójnika "lub"(+).
A1".
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) "lub"(+) kobietą (K).
Y=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := B: M*~K + C: ~M*K
bo:
M*K =0
Niemożliwe jest (=0) by człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Gdzie:
:= - redukcja funkcji Y na mocy teorii zbiorów: zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
Podsumowanie:
Prawo Bobra jest poprawne dzięki temu, że nasz mózg to nie komputer i na mocy konkretnego przykładu jeśli pojęcia p i q będą rozłączne (np. M i K), co każdy 5-cio latek łatwo stwierdzi, jest mu wszystko jedno czy nadawca użyje w tym przypadku wzorcowego spójnika "albo"($), czy też mniej precyzyjnego spójnika "lub"(+). Mózg człowieka dokona korekty do spójnika "albo"($) automatycznie na wyższym poziomie obsługi logiki matematycznej.
Za użyciem w świecie martwym spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($) przemawia wiele racjonalnych argumentów.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Najważniejszy argument to:
Wyłącznie spójnik "lub"(+) podlega pod algebrę Boole'a która z definicji nie widzi spójnika "albo"($), będącego w istocie szczególnym przypadkiem równoważności:
p$q = p<=>~q = ~p<=>q
Przykładem z dziedziny fizyki, gdzie mamy prawo w miejsce spójnika "albo"($) użyć spójnika "lub"(+).
Rozważmy żarówkę w naszym pokoju:
| Kod: |
S
-----------
-----| Żarówka |-------
-----------
|
Doskonale widać że:
1.
Żarówka może się świecić (S=1) „albo”($) być zgaszona (Z=1)
S$Z =1
Trzeciej możliwości brak.
Zastąpmy w powyższym zdaniu matematycznie poprawny tu spójnik "albo"($) spójnikiem "lub"(+)
1".
Żarówka może się świecić (S=1) "lub"(+) być zgaszona (Z=1)
S+Z =?
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych (pkt. 1.11):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Skorzystajmy z tej definicji dla zdania 1":
Y = (S+Z) = A: S*Z + B: S*~Z + C: ~S*Z
Zauważmy, że zdarzenie A jest twardym fałszem:
A: S*Z =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie żarówka świeci się (S) i jednocześnie jest zgaszona (Z)
Stąd mamy:
Y = (S+Z) = A: S*Z=0 + B: S*~Z + C: ~S*Z =: B: S*~Z + C: ~S*Z = S$Z
Gdzie:
=: - redukcja spójnika "lub"(+) do spójnika "albo"($) na mocy rozłączności zdarzeń S (świeci) i Z (zgaszona), bo prawo algebry Boole'a:
0+x =x
Gdzie:
x - dowolna funkcja logiczna
Oczywistym jest, że każdy 5-cio latek wie, że żarówka nie może się (=0) jednocześnie świecić (S=1) i być zgaszoną (Z=1)
A: S*Z =0
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Z (zgaszona) = ~S (nie świeci)
Stąd mamy:
A: S*Z = S*~S=0 - na mocy prawa algebry Boole'a (p*~p=0)
cnd
Dokładnie z tego powodu zdecydowana większość ludzi użyje w tym przypadku spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($).
Humaniści doskonale wiedzą, iż w świecie martwym użycie spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($) nigdy nie będzie błędem.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Użycie spójnika lub w zdaniach takich, jak „Przeżyję lub umrę”, nie jest błędem. Można się jedynie spierać o to, czy nie trafniej, dobitniej, wyraziściej itd. byłoby użyć w nim synonimicznego albo.
Mirosław Bańko
W wyróżnionym zdaniu użycie spójnika "lub"(+) jest poprawne bo wszyscy wiemy, że nie można być jednocześnie żywym i martwym.
Dowód:
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych (pkt. 1.11):
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zdanie z cytatu:
PU:
Przeżyję lub(+) umrę
Y = P+U = A: P*U + B: P*~U + C: ~P*U
Zdania składowe (funkcje cząstkowe Ya, Yb i Yc) czytamy:
A:
Ya = P*U=[]=1*1 =0
Zapis tożsamy:
Ya=0 <=> P=1 i U=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie (Ya): przeżyję (P=1) i umrę (U=1)
(Ya=0) <=> P=1 i U=1
Prawo Prosiaczka:
(Ya=0)=(~Ya=1)
Stąd mamy zapis tożsamy:
(~Ya=1) <=> P=1 i U=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe zdarzenie (~Ya): przeżyję (P=1) i umrę (U=1)
B:
Yb = P*~U=1*1=1
Zapis tożsamy:
Yb=1 <=> P=1 i ~U=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że możliwe jest zdarzenie (Yb): przeżyję (P=1) i nie umrę (~U=1)
C:
Yc = ~P*U =1*1=1
Zapis tożsamy:
Yc=1 <=> ~P=1 i U=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że możliwe jest zdarzenie (Yc): nie przeżyję (~P=1) i umrę (U=1)
Stąd mamy:
PU:
Przeżyję lub(+) umrę
Y = P+U = A: P*U + B: P*~U + C: ~P*U := B: P*~U + C: ~P*U = P$U
bo:
A: P*U =0
prawo algebry Boole’a:
0+x =x
Gdzie:
:= - podświadoma redukcja spójnika „lub”(+) do spójnika „albo”($) na wyższym poziomie obsługi w naszym mózgu
Stąd zdanie matematycznie wzorcowe po redukcji:
PU$:
Przeżyję albo($) umrę
P$U = B: P*~U + C: ~P*U
17.2.2 Odwrotne prawo Bobra w świecie martwym
Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.
Stąd mamy:
Odwrotne prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "lub"(+) możemy użyć spójnika "albo"($).
Odwrotne prawo Bobra jest fałszywe, bo poniższy kontrprzykład.
Sformułujmy kontrprzykład, gdzie w świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) prawo Bobra w odwrotną stronę, czyli od spójnika „lub”(+) do spójnika „albo”($) nie zachodzi (jest fałszywe).
Rozważmy schemat elektryczny.
| Kod: |
S2 Schemat 2
q
______
----o 0-----
S | p |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Pan od fizyki w I klasie LO:
Jasiu, powiedz nam kiedy żarówka będzie się świecić?
Jaś:
Żarówka S będzie się świecić wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska p lub wciśnięty jest przycisk q
Y = p+q =1
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków będzie wciśnięty i już żarówka świeci się.
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zauważmy, że w tym przypadku nie wolno nam w miejsce spójnika "lub"(+) użyć spójnika "albo"($), bo żarówka będzie się świecić także przy wciśniętych obu przyciskach p i q.
A: p*q =1 - żarówka świeci się
Stąd zabroniona jest jakakolwiek redukcja równania:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Podany kontrprzykład obala odwrotne prawo Bobra, jest fałszywe.
cnd
17.3 Dowód fałszywości prawa Bobra w świecie żywym
Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.
Definicja świata żywego:
Świat żywy to świat, gdzie o prawdziwości/fałszywości zmiennej binarnej x decyduje "wolna wola" człowieka.
Pani w przedszkolu A wypowiada zdanie:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) inie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani w przedszkolu B wypowiada zdanie:
B1.
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru
Y = K$T = B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Podsumowując:
Zauważmy, że w świecie żywym pani w przedszkolanka z przedszkola B nie może w miejsce spójnika "albo"($) użyć spójnika "lub"(+) bo możliwe jest zdarzenie A, o czym każdy 5-cio latek wie.
A: K*T=1*1=1 - jutro możemy pójść do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Wniosek:
Prawo Bobra w świecie żywym jest w 100% fałszywe.
cnd
17.3.1 O wyższości spójnika "lub"(+) nad spójnikiem "albo"($) w świecie żywym
Pani w przedszkolu nr.1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Pani w przedszkolu nr.2 wypowiada zdanie:
B1.
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru
Y = K$T = B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Podsumowanie:
Zauważmy, że pani przedszkolanka z przedszkola nr.1 złożyła obietnicę rozsądniejszą od pani przedszkolanki z przedszkola nr.2
Dlaczego?
Obietnica pani przedszkolanki z przedszkola nr.1 (A+B+C) zawiera w sobie obietnicę pani przedszkolanki z przedszkola nr.2 (B+C).
Innymi słowy:
Pani przedszkolanka z przedszkola nr. 1 ma mniejsze szanse zostania w dniu jutrzejszym kłamczuchą, bo dodatkowo może iść z dziećmi do kina i do teatru, czego nie wolno pani z przedszkola nr. 2 (bo będzie kłamczuchą).
Zauważmy, ze nawet gdy w chwili wypowiadania obietnicy pani przedszkolanka wyklucza pójście w dniu jutrzejszym do kina i do teatru, to i tak korzystniej dla niej będzie użycie spójnika "lub"(+), bowiem mamy tu mniejsze prawdopodobieństwo kłamstwa w dniu jutrzejszym.
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:45, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 17:31, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
17.4 Algorytm Puchacza w spójniku "albo"($) M$K
Spis treści
17.4 Algorytm Puchacza dla potrzeb spójnika "albo"($) w zbiorach 1
17.5 Sztandarowy przykład spójnika "albo"($) M$K 4
17.5.1 Operator "albo"(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K) 13
17.6 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 18
17.6.1 Zadanie W1: M~~>~K 18
17.6.2 Zdanie W2: M=>~K 19
17.6.3 Zdanie W3: M~~>K 19
17.6.4 Zdanie W4: ~M~~>K 20
17.6.5 Zdanie W5: ~M=>K 21
17.6.6 Zdanie W6: ~M~~>~K 22
17.4 Algorytm Puchacza dla potrzeb spójnika "albo"($) w zbiorach
Algorytm Puchacza dla potrzeb spójnika "albo"($) jest identyczny jak dla każdego innego spójnika implikacyjnego z tym, że wymaga ciut specyficznego podejścia (logicznego myślenia) o czym będzie w punkcie 17.5.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
17.5 Sztandarowy przykład spójnika "albo"($) M$K
Typowe zadania z logiki matematycznej brzmi.
Zadanie W:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to może być kobietą
Badamy spełnienie warunku stosowalności prawa Puchacza (punkty 1,2,3):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
Nasz przykład:
Przyjmujemy wspólną dziedzinę dla p i q
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Kompletna dziedzina C to suma logiczna zbioru mężczyzn (M) i kobiet (K)
Stąd mamy:
C = M+K
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
W algebrze Kubusia zbiory/zdarzenia mają wartości logiczne (pkt. 12.0):
p=[x]=1 - zbiór niepusty, zawierający pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p=[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Obliczamy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów:
a) M - zbiór mężczyzn
b) K - zbiór kobiet
c) ~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
d) ~K=[C-K]=[(M+K]-M]=M
Czytamy:
a)
M=1 - niepusty zbiór mężczyzn, stąd jego wartość logiczna to 1
b)
K=1 - niepusty zbiór kobiet, stąd jego wartość logiczna to 1
c)
Zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (M) w dziedzinie C
K=~M =1 - zbiór niepusty, stąd jego wartość logiczna to 1
d)
Zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (K) w dziedzinie C
M=~K =1 - zbiór niepusty, stąd jego wartość logiczna to 1
Wniosek:
Nasze zdanie W spełnia warunek stosowalności algorytmu Puchacza.
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
Zapiszmy jeszcze raz nasze zdanie W:
W.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
M~~>K = M*K =0
Niemożliwe jest (=0), aby dowolny człowiek był jednocześnie (*) mężczyzną (M) i kobietą (K)
… o czym każdy 5-cio latek wie.
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość zdania W kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> M i K wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie)
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K=1
To samo w zapisach ogólnych:
p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => dla nie bycia kobietą (~K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
Dowód:
C=M+K
~K=[C-K]=[(M+K)-K]=M
~K=M
Stąd:
M=>~K = M=>M=1
Na mocy definicji podzbioru => każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia (pkt. 2.3.2):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q
Dla naszego przykładu mamy:
p=>~q = ~p+~(~q) = ~p+~q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 determinuje fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie).
A1'
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
M~~>K = M*K =0
To samo w zapisach ogólnych:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0), aby dowolny człowiek był jednocześnie (*) mężczyzną (M) i kobietą (K)
Dowód:
M=~K - dowód wyżej
Stąd:
M~~>K = M*K = ~K*K =[] =0
cnd
W tym momencie nasza tabela T0 matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> wygląda następująco.
| Kod: |
TA1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3:~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0 4: K~~>M=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
1.
Zauważmy, że w B1 musieliśmy formalnie zapisać:
B1: p~>~q
bowiem w zapisie formalnym poprzednik i następnik w B1 musi być identyczny jak w A1.
Pociąga to za sobą poprawne, formalne zapisy w liniach Bx i Bx'
2.
Wyjaśnienie dotyczące zapisów formalnych w kolumnie 5:
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Stąd dla kolumny A5 mamy:
A5.
A1: p=>~q = ~p+~q
cnd
Stąd dla kolumny B5 mamy:
B2: ~p=>q = ~(~p)+q = p+q
cnd
3.
Aby udowodnić z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B2 bowiem warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej:
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => dla bycia kobietą (K) bo zbiór ~M jest podzbiorem => zbioru K
Dowód:
C=M+K
~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
~M=K
stąd mamy:
~M=>K = K=>K =1
Każdy zbiór (np. K) jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Prawdziwy warunek wystarczający B2 determinuje fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie).
B2'
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może ~~> nie być kobietą (~K)
~M~~>~K = ~M*~K =0
Bo zbiory ~M i ~K są rozłączne.
Dowód:
~M=K - dowód wyżej
Stąd:
B2': ~M~~>~K = ~M*~K = K*~K =[] =0
cnd
Stąd łatwo zapisujemy.
Równanie spójnika "albo"($) (pkt. 17.0):
| Kod: |
A: 1: p$q [=] 2: p<=>~q [=] 3: ~p<=>q ## 4: p<=>q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
## - różne na mocy definicji
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów (i odwrotnie)
Potoczna definicja spójnika "albo"($):
Spójnik "albo" to wybór jednej z dwóch dostępnych możliwości.
Trzeciej możliwości brak.
p$q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy do wyboru są wyłącznie dwie możliwości p albo q
inaczej:
p$q=0
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
| Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: p$q=1 [=] 2: p<=>~q=1 [=] 3: ~p<=>q=1 ## 4: p<=>q=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość mamy zbiorów w równoważności 2 i 3:
B: 2: (p=~q)=1 # 3: (~p=q)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Sens spójnika "albo"($) najłatwiej zrozumieć na konkretnym przykładzie w zbiorach.
Przykładem na którym łatwo pokazać o co chodzi w spójniku "albo"($) jest zbiór wszystkich ludzi.
Oznaczmy:
C (człowiek) zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet
Matematycznie zachodzi w zbiorach:
C = M+K
Mamy dwa zbiory niepuste M i K uzupełniające się wzajemnie do dziedziny C
Stąd:
~M = [C-M] = [M+K-M]=K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy:
człowiek: nie mężczyzna (~M) = człowiek: kobieta (K)
człowiek: nie kobieta (~K) = człowiek: mężczyzna (M)
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
| Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: M$K=1 [=] 2: M<=>~K=1 [=] 3: ~M<=>K=1 ## 4: M<=>K=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość zbiorów w równoważności 2 i 3:
B: 2: (M=~K)=1 # 3: (~M=K)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Czytamy:
A1.
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) "albo"($) albo kobietą (K=1)
Trzeciej możliwości brak.
M$K =1
[=]
A2.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K =1
[=]
A3.
Człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
~M<=>K =1
##
A4.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
M<=>K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M=1) i kobietą (K=1)
Na mocy prawa Irbisa w A4 zachodzi:
Mężczyzna (M) ## Kobieta (K)
M ## K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Pojęcie mężczyzna (M) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia kobieta (K)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa środek (B2 i B3) czytamy:
B2.
Pojęcie "mężczyzna" (M=1) jest (=1) tożsame "=" z pojęciem "nie kobieta" (~K=1)
(M=~K) =1
#
B3.
Pojęcie "nie mężczyzna" (~M) jest (=1) tożsame z pojęciem "kobieta" (K=1)
(~M=K) =1
Matematycznie zachodzi:
B2: (M=~K) # B3: (~M=K)
B2:
Zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie # zbioru kobiet (K) we wspólnej dziedzinie C (człowiek)
B3:
Zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie # zbioru mężczyzn (M) we wspólnej dziedzinie C ( człowiek)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8.1):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
W logice matematycznej zwykle operujemy warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Przejdźmy na ten standard korzystając z tożsamości pojęć (na mocy prawa Słonia):
Relacja podzbioru => = Warunek wystarczający =>
Relacja nadzbioru ~> = warunek konieczny ~>
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawa strona spójnika "albo"($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, by zaszło ~q
Do zajścia ~q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 12 100
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 11 900
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 3 850
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo z) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M (M) do zanegowanego K (~K)
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla nie bycia kobietą (~K)
Prawa strona spójnika "albo"($) to definicja równoważności M<=>~K
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem konieczny ~> (B1) i wystarczającym => (A1) by nie być kobietą (~K)
Do tego by nie być kobietą (K) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by być mężczyzną (M)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> i prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Prawa strona to definicja równoważności p<=>~q, stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=A1B1: p<=>~q
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
To samo w zapisach aktualnych (przykład):
A1: M=>~K=1 - bycie mężczyzną (M) wystarcza => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> by nie być kobietą (~K)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawa strona to definicja równoważności M<=>~K, stąd:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3:~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0 4: K~~>M=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K=1 [=] 3:~K=>M=1 = 4: K~>~M=1 [=] 5: M+ K =1
B': 2:~M~~>~K=0 3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3:~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)
Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) p$q jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo”(|$) p|$q o definicji jak niżej.
17.5.1 Operator "albo"(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K)
Porada Sokoła:
Jeśli rozpatrujemy logikę matematyczną w teorii zbiorów to w tym momencie powinniśmy narysować diagram w zbiorach dla rozpatrywanego przypadku.
Uzasadnienie:
Jeśli skorzystamy w porady Sokoła to w analizie operatora implikacyjnego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q nie będziemy musieli wypisywać dużej liczbę wzorków (niekoniecznie zrozumiałych dla ucznia I klasy LO) dla uzasadnienia prawdziwości/fałszywości każdego zdania "Jeśli p to q".
Innymi słowy:
Jeśli narysujemy diagram w zbiorach to wszystko będzie łatwo zrozumiałe dla ucznia I klasy LO.
| Kod: |
DA
Diagram „albo”($) M$K w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|Operator „albo” p|$q definiuje układ równań logicznych A1B1 i A2B2 |
| A1B1: p$ q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p=~q |
| A2B2:~p$~q = (A2:~p~> q)*(B2:~p=> q) = A2B2:~p<=> q = A2B2:~p= q |
| Punkt odniesienia: |
| p=M (mężczyzna) |
| q=K (kobieta) |
----------------------------------------------------------------------
| p=M # ~p=~M |
|-------------------------------|------------------------------------|
| ~q=~K # q=K |
|-------------------------------|------------------------------------|
|Równoważność: | Równoważność: |
|A1B1: p<=>~q - zapis formalny [=] A2B2: ~p<=>q - zapis formalny |
|A1B1: M<=>~K - zapis aktualny [=] A2B2: ~M<=>K - zapis aktualny |
|definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów: |
|A1B1: p=~q - zapis formalny # A2B2: ~p=q - zapis formalny |
|A1B1: M=~K - zapis aktualny # A2B2: ~M=K - zapis aktualny |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych M*~K i ~M*K: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: M*~K+ B2:~M*K (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1’: M~~>K = M* K=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~M~~>~K=~M*~K=[]=0 - zbiór pusty |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora „albo”(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K):
Operator „albo”(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o mężczyznę M (kolumna A1B1) i nie mężczyznę ~M (kolumna A2B2)
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=M<=>~K - co się stanie jeśli ze zbioru C wylosujemy M?
A2B2: ~M$~K= (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)=~M<=>K - co się stanie jeśli ze zbioru C wylosujemy ~M?
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy mężczyznę M?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K)
Stąd:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K - co się stanie jeśli z C wylosujemy M?
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Lewą stronę czytamy:
A1B1: M$K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Trzeciej możliwości brak
Środek czytamy:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Prawą stronę czytamy:
A1B1: M<=>~K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q determinuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów M=~K:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory M i ~K są tożsame M=~K wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Tożsamość A1B1 czytamy:
Zbiór mężczyzn (M) = zanegowany zbiór kobiet (~K) we wspólnej dziedzinie C (człowiek)
A1B1: M=~K
Dowód: Diagram DA wyżej.
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy mężczyznę M?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
A1: M=>~K=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
Bycie mężczyzną (M) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% =>
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie mężczyzną M jest wystarczające => by nie być kobietą (~K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów:
M = ~K - patrz diagram DA
cnd
Dowód "na piechotę" w matematycznych wzorkach:
C=M+K - wspólna dziedzina C (człowiek) to suma logiczna (+) zbiorów M (mężczyzna) i K (kobieta)
Stąd:
~K=[C-K]=[(M+K)-K]=M
~K=M - zbiór mężczyzn (M) jest tożsamy ze zbiorem ludzi nie będących kobietami (~K)
Stąd mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1
Na mocy definicji podzbioru => każdy zbiór (M) jest podzbiorem => siebie samego (M)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
A1': M~~>K=M*K=[]=0
To samo w zapisie formalnym:
A1': p~~>q =p*q=0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Dowód "nie wprost":
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1: M=>~K wynika fałszywość kontrprzykładu A1': M~~>K=M*K=0 (i odwrotnie)
Nic a nic nie musimy więcej udowadniać, co nie oznacza że nie możemy tego faktu udowodnić w sposób bezpośredni.
Dowód bezpośredni rozłączności zbiorów M i K - patrz diagram DA
Dowód w matematycznych wzorkach:
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd mamy:
M~~>K = M*K = ~K*K =[] =0
cnd
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~M~>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> by być kobietą (K)
B2: ~M=>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M) jest wystarczające => by być kobietą (K)
Stąd:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = A2B2:~M<=>K
To samo w zapisie formalnym:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = A2B2: ~p<=>q
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~M$~K
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) „albo”($) nie jest kobietą (~K)
Łącznie z środkiem czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~M$~K w logice ujemnej (bo ~K) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)
Prawa strona to definicja równoważności ~M<=>K:
A2B2: ~M<=>K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
Całość czytamy:
Równoważność A2B2: ~M<=>K jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~M=K:
Dwa zbiory ~M i K są tożsame ~M=K wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K
To samo w zapisie formalnym:
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q
Tożsamość A2B2 czytamy:
A2B2: ~M=K
~M (nie mężczyzna) = K (kobieta)
Innymi słowy:
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K), i odwrotnie
Dowód bezpośredni tożsamości zbiorów A2B2: ~M=K - patrz diagram DA
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>q =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Nie bycie mężczyzną (~M) daje nam gwarancję matematyczną => bycia kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na 100% => = warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór nie mężczyzna (~M) jest podzbiorem => zbioru kobiet (K)
W diagramie DA widzimy tożsamość zbiorów:
~M=K
Na mocy definicji podzbioru każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Dowód tego samego w matematycznych wzorkach:
C = M+K - dziecina C (człowiek) to suma logiczna zbiorów M(mężczyzn) i K(kobiet)
Stąd mamy:
~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
~M=K
Stąd mamy:
~M=>K = K=>K =1
bo każdy zbiór (K) jest podzbiorem => siebie samego (K)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
To samo w zapisach formalnych:
~p~~>~q = ~p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie nie jest kobietą (~K=1)
1.
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
2.
Dowód bezpośredni na mocy diagramu DA:
Zbiory ~M i ~K są rozłączne w dziedzinie C (człowiek)
3.
Dowód "na piechotę" w matematycznych wzorkach:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Nie kobieta (~K)= Mężczyzna (M)
~K=M
Stąd mamy:
B2': ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =0
cnd
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) M$K to gwarancja matematyczna => po stronie M, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~M o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo”(|$) p|$q (A1, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = A2B2: ~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy definicję operatora "albo"(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = A2B2: ~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
17.6 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze "albo"(|$) M|$K mogą być następujące.
17.6.1 Zadanie W1: M~~>~K
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> nie być kobietą (~K)
M~~>~K=M*~K =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~> M i ~K (np. tata Jasia)
Rozstrzygnięcie prawdziwości zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> polega na pokazaniu jednego mężczyzny (np. tata Jasia) i rozstrzygnięciu iż nie jest to kobieta.
Nie analizujemy tu czy bycie mężczyzną jest warunkiem koniecznym ~>, czy też wystarczającym => dla nie bycia kobietą.
Na mocy analizy w punkcie 17.5 i 17.5.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający A1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
A1: M=>~K=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów: M=~K - patrz diagram DA
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: M~~>~K jest częścią warunku wystarczającego => A1: M=>~K, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: M~~>~K=1 bo tata Jasia ## A1: M=>~K =1 - M jest podzbiorem => ~K
## Dowód: diagram DA
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: M~~>~K jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: M=>~K.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: M=>~K wchodzi w skład operatora "albo"(|$) i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
17.6.2 Zdanie W2: M=>~K
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to nie jest kobietą (~K)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.
Jak widzimy:
W2=A1
Stąd:.
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
A1: M=>~K=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
Dowody:
1.
Interpretacja na mocy prawa Słonia:
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą (~K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
W diagramie spójnika "albo"($) DA widzimy że zachodzi tożsamość zbiorów M=~K, co kończy dowód prawdziwości warunku wystarczającego A1 bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
2.
Dowód w matematycznych wzorkach:
C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna (+) zbiorów M(mężczyzn) oraz K(kobiet)
Stąd mamy:
~K=[C-K]=[(M+K)-K]=M
~K=M - zachodzi tożsamość zbiorów ~K i M
Stąd mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => sienie samego
cnd
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza twierdzenie proste A1: M=>~K wchodzi w skład operatora "albo"($) M$K i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
17.6.3 Zdanie W3: M~~>K
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może być kobietą (K)
M~~>K = M*K =?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1'.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
A1': M~~>K=M*K=[]=0
To samo w zapisie formalnym:
A1': p~~>q =p*q=0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Dowód "nie wprost":
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1: M=>~K wynika fałszywość kontrprzykładu A1': M~~>K=M*K=0 (i odwrotnie)
Nic a nic nie musimy więcej udowadniać, co nie oznacza że nie możemy tego faktu udowodnić w sposób bezpośredni.
Dowód bezpośredni rozłączności zbiorów M i K - patrz diagram DA
Dowód w matematycznych wzorkach:
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd mamy:
M~~>K = M*K = ~K*K =[] =0
cnd
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': M~~>K=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: M=>~K =1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora "albo"(|$) i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
17.6.4 Zdanie W4: ~M~~>K
Zadanie W4:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może być kobietą (K)
~M~~>K = ~M*K =1
Dla dowodu prawdziwości elementu wspólnego zbiorów wystarczy pokazać jednego człowieka który nie jest mężczyzną (~M) i jednocześnie jest kobietą (K) (np. mama Jasia), co kończy dowód prawdziwości zdania W4. Nie analizujemy tu czy nie bycie mężczyzną jest warunkiem koniecznym ~>, czy też wystarczającym => dla bycie kobietą.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
Badając punkt 17.5.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający B2:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>q =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór nie mężczyzna (~M) jest podzbiorem => zbioru kobiet (K)
W diagramie DA widzimy tożsamość zbiorów:
~M=K
Na mocy definicji podzbioru każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~M~~>K jest częścią warunku wystarczającego => B2: ~M=>K, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W4: ## Warunek wystarczający => B2:
W4: ~M~~>K=~M*K=1 bo mama Jasia ## B2: ~M=>K=1 - ~M wystarcza => dla K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~M~~>K jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~M=>K
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2:~M=>K wchodzi w skład operatora "albo"(|$) M|$K i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
17.6.5 Zdanie W5: ~M=>K
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W5.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to jest kobietą (K)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W5.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.
Jak widzimy:
W5=B2
Stąd mamy zdanie tożsame B2.
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>q =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Nie bycie mężczyzną (~M) daje nam gwarancję matematyczną => bycia kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na 100% => = warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
1.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór nie mężczyzna (~M) jest podzbiorem => zbioru kobiet (K)
W diagramie DA widzimy tożsamość zbiorów:
~M=K
Na mocy definicji podzbioru każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
2.
Dowód tego samego w matematycznych wzorkach:
C = M+K - dziecina C (człowiek) to suma logiczna zbiorów M(mężczyzn) i K(kobiet)
Stąd mamy:
~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
~M=K
Stąd mamy:
~M=>K = K=>K =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek wystarczający B2:~M=>K wchodzi w skład operatora "albo"(|$) M|$K i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
17.6.6 Zdanie W6: ~M~~>~K
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W6.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może nie być kobietą (~K)
~M~~>~K = ~M*~K=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2'.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
To samo w zapisach formalnych:
~p~~>~q = ~p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie nie jest kobietą (~K=1)
1.
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~M=>~K=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
2.
Dowód bezpośredni na mocy diagramu DA:
Zbiory ~M i ~K są rozłączne w dziedzinie C (człowiek)
3.
Dowód "na piechotę" w matematycznych wzorkach:
Zachodzi tożsamość pojęć:
~K (nie kobieta) = M (mężczyzna)
~K=M
Stąd mamy:
B2': ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =0
cnd
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane B2': ~M~~>~K=0 to fałszywy kontrprzykład B2' dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora "albo"(|$) i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:46, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 9 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 10:21, 06 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
18.0 Chaos p|~~>q w zbiorach
Spis treści
18.0 Chaos p|~~>q w zbiorach 1
18.1 Definicja chaosu p|~~>q w zbiorach 1
18.1.1 Operator chaosu p||~~>q 3
18.1.2 Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach 4
18.2 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 5
18.2.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 9
18.0 Chaos p|~~>q w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
18.1 Definicja chaosu p|~~>q w zbiorach
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Podstawiając do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uzupełnionych o definicję kontrprzykładu ~~> Ax' i Bx' mamy:
| Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A": 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B": 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1': p~~>~q=1
Dodatkowo musi być:
A1": p~~>q =p*q =1
Dowód „nie wprost”.
Załóżmy, że zachodzi:
A1": p~~>q=p*q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
A1": p=>~q=1
co jest sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identycznie mamy w kolumnie A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2': ~p~~>q = ~p*q =1 - możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
Dodatkowo musi być:
B2": ~p~~>~q =~p*~q=1
Dowód „nie wprost”
Załóżmy, że zachodzi:
B2": ~p~~>~q=~p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
B2": ~p=>q=1
co jest sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
18.1.1 Operator chaosu p||~~>q
Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1": p~~>q = p*q =1 – istnieje (=1) element wspólny zbiorów p i q
A1': p~~>~q = p*~q =1 – istnieje (=1) element wspólny zbiorów p i ~q
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1" i A1'
Kolumna A1B1:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p (p=1):
A1".
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
LUB
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i ~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2": ~p~~>~q = ~p*~q =1 – istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
B2': ~p~~>q = ~p*q =1 – istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i q
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2" i B2'
Kolumna A2B2:
Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p=1):
B2".
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
LUB
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i q
Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Po stronie p mamy:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q (zdanie A1") lub może ~~> zajść ~q (zdanie A1')
Po stronie ~p mamy:
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q (zdanie B2') lub może ~~> zajść q (zdanie B2')
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań A1", A1', B2", B2' jest bez znaczenia, wszystkie muszą być prawdziwe.
18.1.2 Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach
Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8.1):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
CH
Definicja chaosu w zbiorach p|~~>q:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani relacji nadzbioru ~> ani też relacji podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> dla zbioru q (B1) i jednocześnie zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (A1)
Na podstawie powyższego łatwo rysujemy diagram operatora chaosu p||~~>q w zbiorach
| Kod: |
CH
Diagram chaosu p|~~>q w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| D=p*q+p*~q+~p*~q+~p*q=1 - dziedzina, suma logiczna zbiorów rozłącznych |
--------------------------------------------------------------------------
| p |
------------------------------------------------------
| q |
--------------------------------------------------------------------------
| B: Yb=p*~q | A: Ya=p*q | C: Yd=~p*q | D: Yc=~p*~q |
--------------------------------------------------------------------------
|
Dziedzina D w chaosie p|~~>q to suma logiczna funkcji cząstkowych:
D = Ya+Yb+Yc+Yd = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Minimalizujemy:
D = p*q + p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p*1+~p*1 = p+~p =1
cnd
18.2 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Zdanie A1” definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9,12..24.. ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów P8 i P3.
cnd
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8
q=P3
stąd zdanie A1’’ w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumianych jako uzupełnienie do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..]
Zauważmy, że warunek wystarczający A1: P8=>P3 nie jest tu spełniony:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0 bo kontrprzykład: 3
Definicja warunku wystarczającego P8=>P3 nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd
Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd
Stąd mamy pewność że zdanie A1” należy do chaosu operatora P8||~~>P3.
Symboliczna definicja chaosu P8|~~>P3 w zbiorach
Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3:
Chaos P8|~~>P3 to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P8=>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
Stąd:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Podstawmy to do tabeli prawdy chaosu p|~~>q.
| Kod: |
CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P3}:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: P8~~>~P3=1 = [=] = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p =1
A”: 1: P8~~>P3 =1 [=] 4:~P3~~>~P8=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”: 2:~p~~>~q =1 [=] 3: q~~>p =1
B”: 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz do kolumny A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1': p~~>~q = p*~q =1 - istnieje element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Dodatkowo musi być:
A1’’: p~~>q =p*q=1
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0 - nie istnieje wspólny element ~~> zbiorów p i q
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1''': p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Komentarz do kolumny A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element ~p i q
Dodatkowo musi być:
B2’’: ~p~~>~q =~p*~q=1
Dowód „nie wprost”
Załóżmy, że zachodzi:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
B2''': ~p=>q=1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdań B3” i A4”.
W tabeli chaosu CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> (dla zdarzeń) albo w elementach wspólnych zbiorów ~~> (dla zbiorów) to seria czterech zdań prawdziwych.
Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z operatorem chaosu p||~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.
18.2.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach
Operator chaosu P8||~~>P3 to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
Kolumna A1B1:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?
Kolumna A2B2:
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny np. 2
LUB
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny np. 3
Podsumowanie:
Istotą operatorach chaosu P8||~~>P3 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie P8 (zdania A1’’, A1’) jak i po stronie ~P8 (zdania B2’’ i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytania o ~P8 i P8:
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) będzie identyczna jak operatora chaosu P8||~~>P3 w logice dodatniej (bo P3) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 21:11, 24 Gru 2024, w całości zmieniany 27 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 21:45, 11 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
19.0 Rozwiązanie zadań metodą zdjęciową w teorii zbiorów
Spis treści
19.0 Alternatywne rozwiązanie zadań metodą zdjęciową w teorii zbiorów 1
19.1 Algorytm Puchacza 3
19.2 Definicja zdjęcia układu w teorii zbiorów 4
19.2.1 Metoda zdjęciowa dla zdania W1: ~P8~~>P2 5
19.2.2 Metoda zdjęciowa dla zadania W2: P2~~>~P8 10
19.2.3 Metoda zdjęciowa dla zdania W3: ~TP~~>SK 16
19.3 Alternatywne rozwiązanie zadań prawem Orła w teorii zbiorów 21
19.3.1 Prawo Orła dla zdania W1: ~P8~~>P2 21
19.3.2 Prawo Orła dla zadania W2: P2~~>~P8 23
19.3.3 Prawo Orła dla zdania W3: ~TP~~>SK 25
19.0 Alternatywne rozwiązanie zadań metodą zdjęciową w teorii zbiorów
Metoda zdjęciowa to alternatywne udowadnianie punktów 6 i 7 z algorytmu Puchacza poprzez zrobienie zdjęcia układu.
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Przykład:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
K=0 - fałszem jest (=0) że jutro pójdziemy do kina (K)
Prawo Prosiaczka:
(K=0)=(~K=1)
Stąd zdanie tożsame w standardzie dodatnim:
A"
Jutro nie pójdziemy do kina
~K=1 - prawdą jest (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
19.1 Algorytm Puchacza
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
Uwaga:
W metodzie zdjęciowej punkty 6 i 7 zastępowane są analizą zdjęcia układu.
19.2 Definicja zdjęcia układu w teorii zbiorów
Przypomnijmy sobie wiadomości podstawowe niezbędne dla zrozumienia metody zdjęciowej.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Definicja kontrprzykładu i prawa Kubusia są potrzebne i wystarczające by ze zdjęcia układu odtworzyć definicję spójnika implikacyjnego p?q.
Definicja zdjęcia układu:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zdjęciem układu nazywamy zakodowanie wszystkich możliwych przeczeń p i q elementem wspólnym zbiorów ~~> w tym samym kierunku (na mocy prawa Kłapouchego p do q) wraz z rozstrzygnięciem prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech linii.
Tabela prawdy zdjęcia układu dla zbiorów jest następująca:
| Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zbiorów:
A: p~~> q= p* q =? – czy zbiory p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy zbiory p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy zbiory ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy zbiory ~p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
|
Poprawne zdjęcie układu jednoznacznie rozstrzyga z jakim operatorem logicznym p||?q mamy do czynienia.
Zobaczmy to na przykładach
19.2.1 Metoda zdjęciowa dla zdania W1: ~P8~~>P2
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Badanie stosowalności algorytmu Puchacza
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Nasz przykład:
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
Nasz przykład:
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
Definicja dziedziny LN dla p:
P8+~P8= LN =1
P8*~P8= [] =0
Definicja tej samej dziedziny LN dla q:
P2+~P2= LN =1
P2*~P2= [] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
Nasz przykład:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (niepusty)
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (niepusty)
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd:
~p=~P8=[LN-P8] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (niepusty)
~q=~P2=[LN-P2] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (niepusty)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Podsumowując:
Wspólna dziedzina LN oraz wyznaczenie zbiorów niepustych {P8, P2, ~P8, ~P2} jest dowodem, iż zdanie W1 należy do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych.
Naszym zadaniem jest rozstrzygnięcie jaki to operator?
Robimy zdjęcie układu:
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q w kierunku od p do q opisuje seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..].
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
cnd
Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu P8?P2
A: p~~> q=1 | P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów P8 i P2 np.8
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P2
C:~p~~>~q=1 |~P8~~>~P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P2 np.1
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P2 np.2
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
Zauważmy, że w linii B mamy zero (rozłączność zbiorów P8 i ~P2), póki co jeszcze nie udowodnione
Jak to udowodnić?
1.
Zakładamy, że zdanie B jest fałszem:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający A.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A: P8=>P2 =1
To sam w zapisie formalnym:
A: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zachodzącą tu relację podzbioru P8=>P2 potrafi udowodnić każdy matematyk.
cnd
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z udowodnionego warunku wystarczającego A: P8=>P2=1 wynika fałszywość kontrprzykładu B: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
B: P8~~>~P2 = P8*~P2=[]=0
To samo w zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =[]=0
Na mocy definicji kontrprzykładu rozłączność zbiorów P8 i ~P2 gwarantuje nam udowodniony wyżej warunek wystarczający => A: P8=>P2=1. To jest dowód „nie wprost” fałszywości zdania B.
cnd
3.
Zastosujmy do zdania A prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Nasz przykład:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2 =1
Stąd w zdaniu C na mocy prawa Kubusia mamy udowodniony warunek konieczny ~> C.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
C: ~P8~>~P2=1
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p~>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Oczywiście nie musimy dowodzić zachodzącej tu relacji nadzbioru ~P8~>~P2, bowiem wynika ona z prawa Kubusia i z prawa Słonia. To jest dowód nie wprost prawdziwości zdania C.
4.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu:
| Kod: |
T2
Zdjęcie układu P8?P2
A: p=> q=1 | P8=> P2=1 – zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~P8~> ~P2=1 – zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – co oznacza linia D dowiemy się w kroku 2
|
Krok 2
5.
Zdanie D przyjmuje brzmienie:
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
D: ~P8~~>P2 = ~P8*P2=1 bo 2
To samo w zapisie formalnym:
D: ~p~~>q=~p*q =1
Na mocy definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów ~P8 i P2 by udowodnić prawdziwość zdania D
6.
Z prawdziwości kontrprzykładu D: ~P8~~>P2=1 wynika fałszywość warunku wystarczającego C: ~P8=>~P2=0
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to na 100% => nie jest podzielna przez 2 (~P2)
C: ~P8=>~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q =0
Fałszywości warunku wystarczającego C nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości kontrprzykładu D. To jest dowód „nie wprost” fałszywości warunku wystarczającego => C
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 2 (~P2) bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..].
Dowód bezpośredni fałszywości warunku wystarczającego C to pokazanie kontrprzykładu w relacji podzbioru ~P8=>~P2.
Kontrprzykład:
Liczba 2 należy do zbioru ~P8 i nie należy do zbioru ~P2 z czego wynika fałszywość relacji podzbioru:
~P8=>~P2 =0
cnd
7.
Dla fałszywego warunku wystarczającego => C zastosujmy prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
C: ~P8=>~P2 = A: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q = A: p~>q =0
Na mocy prawa Kubusia mamy rozstrzygnięcie, iż w linii A nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2)
A: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
A: p~>q =0
Fałszywości warunku koniecznego ~> A nie musimy dowodzić bo wynika ona z prawa Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 (P2), bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..].
8.
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
| Kod: |
T3
Zdjęcie układu P8|=>P2
A: p=> q=1 | P8=> P2=1 | P8~> P2=0 – P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 |
C:~p~> ~q=1 |~P8~> ~P2=1 |~P8=>~P2=0 - ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => ~P2
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 |
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W linii A mamy definicję implikacji prostej P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2):
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
W linii C mamy definicję implikacji odwrotnej ~P82|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2):
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Stąd:
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2: ~P8~>~P2)* ~(B2: ~P8=>~P2) = 1*~(0)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: P8|=>P2 [=] A2B2: ~P8|~>~P2
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q
Dowód:
Definicja implikacji prostej p|=>q (pkt. 2.10):
p|=>q = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q (pkt. 2.10):
p|~>q = p*~q
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q
Rozwijamy prawą stronę definicja znaczka ~>:
A2B2: ~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = A1B1: p|=>q
cnd
Zadanie W1 brzmiało.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
~p~~>q = ~p*q =1
Wniosek:
Zdanie W1 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2.
Analizę szczegółową operatora implikacji prostej P8||=>P2 mamy w punkcie 14.3.1
19.2.2 Metoda zdjęciowa dla zadania W2: P2~~>~P8
Zadanie W2:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =?
Badanie stosowalności algorytmu Puchacza
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Nasz przykład:
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
Nasz przykład:
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
Definicja dziedziny LN dla p:
P2+~P2= LN =1
P2*~P2= [] =0
Definicja tej samej dziedziny LN dla q:
P8+~P8= LN =1
P8*~P8= [] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
Nasz przykład:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (niepusty)
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (niepusty)
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd:
~p=~P2=[LN-P2] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (niepusty)
~q=~P8=[LN-P8] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (niepusty)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Podsumowując:
Wspólna dziedzina LN oraz wyznaczenie zbiorów niepustych {P2, P8, ~P2, ~P8} jest dowodem, iż zdanie W1 należy do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych.
Naszym zadaniem jest rozstrzygnięcie jaki to operator?
Robimy zdjęcie układu:
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q w kierunku od p do q opisuje seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
cnd
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
~P2~~>~P8=~P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8=~P2*P8=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~P2 i P8 są rozłączne.
Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~~> q=1 | P2~~> P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i P8 np.8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np.2
C:~p~~>~q=1 |~P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 np.1
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i P8
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
Zauważmy, że w linii D mamy zero (rozłączność zbiorów ~P2 i P8), póki co jeszcze nie udowodnione
Jak to udowodnić?
1.
Zakładamy, że zdanie D jest fałszem:
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający C.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8=1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q=1
2.
Jak udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego => C?
Najprościej skorzystać z prawa kontrapozycji, dzięki czemu pozbędziemy się przeczeń.
Prawo kontrapozycji dla zdania C.
C: ~P2=~>~P8 = C1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q = C1: q=>p
stąd mamy:
C1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
C1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
C1: q=>p =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Prawdziwość relacji podzbioru P8=>P2 bez trudu udowodni każdy matematyk.
cnd
Na mocy prawa kontrapozycji prawdziwość warunku wystarczającego C1: P8=>P2 wymusza prawdziwość interesującego nas warunku wystarczającego C: ~P2=>~P8 (i odwrotnie)
3.
Zapiszmy zdanie C jeszcze raz:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
C: ~P2=>~P8=1
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q=1
Dowód „nie wprost” prawdziwości warunku wystarczającego C z wykorzystaniem prawa kontrapozycji mamy wyżej.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy tu:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Innymi słowy:
Udowadniając prawdziwość warunku wystarczającego C automatycznie udowodniliśmy zachodzącą tu relację podzbioru => C: ~P2=>~P8
4.
Prawdziwość warunku wystarczającego C:~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie).
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
D: ~P2~~>P8 = ~P2*P8 =[]=0
To samo w zapisie formalnym:
D: ~p~~>q = ~p*q =[]=0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania D wynika z definicji kontrprzykładu.
cnd
5.
Zastosujmy do zdania C prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
C: ~P2=>~P8 = A: P2~>P8 =1
Stąd w linii A mamy spełniony warunek konieczny ~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
A: P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
A: p~>q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A wynika z prawa Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
6.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu:
| Kod: |
T2
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~> q=1 | P2~> P8=1 – zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – co oznacza linia B dowiemy się w kroku 2
C:~p=> ~q=1 |~P2=> ~P8=1 – zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – zbiory ~P2 i P8 są rozłączne
|
Krok 2
7.
Zdanie B przyjmuje brzmienie:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
B: P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2=[2,4,6,8…] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
Pokazanie jednego wspólnego elementu ~~> zbiorów P2 i ~P8 kończy dowód prawdziwości zdania B.
8.
Udowodniona wyżej prawdziwość kontrprzykładu B: P2~~>~P8=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: P2=>P8=0.
Warunek wystarczający => A przyjmuje brzmienie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
A: P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
A: p=>q =0
Fałszywość warunku wystarczającego => A wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost”
Na mocy prawa Słonia możemy tu zapisać:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód bezpośredni fałszywości warunku wystarczającego => A to pokazanie jednej liczby należącej do zbioru P2 i nie należącej do zbioru P8 np. 2, co kończy dowód.
9
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
| Kod: |
T3
Zdjęcie układu P2|~>P8
A: p~> q=1 | P2~> P8=1 | P2=> P8=0 – P2 nie jest (=0) podzbiorem => P8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 |
C:~p=> ~q=1 |~P2=> ~P8=1 |~P2~>~P8=0 - ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W linii A mamy definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8):
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 – zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 – zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) =~(0)*1=1*1=1
W linii C mamy definicję implikacji prostej ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8):
Implikacja odwrotna ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P2~>~P8=0 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2: ~P2=>~P8=1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Stąd:
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2:~P2~>~P8)*(B2:~P2=>~P8)=~(0)*1=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: P2|~>P8 [=] A2B2: ~P2|=>~P8
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q
Dowód:
Definicja implikacji prostej p|=>q (pkt. 2.10):
p|=>q = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q (pkt. 2.10):
p|~>q = p*~q
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicja znaczka =>:
A2B2: ~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = A1B1: p|~>q
cnd
Zadanie W2 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>~q = p*~q =0
Wniosek:
Zdanie W2 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
Analizę szczegółową operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 mamy w punkcie 15.3.1
19.2.3 Metoda zdjęciowa dla zdania W3: ~TP~~>SK
Zadanie W3:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
Rozwiązanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK =?
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktu 4 w algorytmie Puchacza.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla TP i SK dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
Poprzednik p=TP:
Trójkąt może być prostokątny (TP) albo nieprostokątny (~TP)
Trzeciej możliwości brak
TP+~TP = ZWT - wspólna dziedzina
TP*~TP=[] - zbiór pusty
Następnik q=SK:
W trójkącie może być spełniona suma kwadratów (SK) albo nie być spełniona suma kwadratów (~SK)
Trzeciej możliwości brak.
SK+~SK=ZWT - wspólna dziedzina
SK*~SK=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych (zbiór niepusty)
~p=~TP=[ZWT-TP] - zbiór ZWT pomniejszony o TP (zbiór niepusty)
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (zbiór niepusty)
~q=~SK = [ZWT-SK] - zbiór ZWT pomniejszony o SK (zbiór niepusty)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne 1,2,3 stosowalności algorytmu Puchacza
Robimy zdjęcie układu:
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
Tu wystarczy pokazać jeden trójkąt prostokątny TP w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) np. [3,4,5], co kończy dowód prawdziwości zdania A
cnd
B.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK = TP*~SK=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element zbiorów TP i ~SK.
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory TP i ~SK są rozłączne.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~TP i ~SK np. [3,4,6]
Tu wystarczy pokazać jeden trójkąt nieprostokątny ~TP w którym nie jest spełniona suma kwadratów (~SK) np. [3,4,6], co kończy dowód prawdziwości zdania C
cnd
D.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu TP?SK
A: p~~> q=1 | TP~~> SK=1 – istnieje wspólny element TP i SK np. [3,4,5]
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu TP i ~SK
C:~p~~>~q=1 |~TP~~>~SK=1 – istnieje wspólny element ~TP i ~SK np. [3,4,6]
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu ~TP i SK
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
Zauważmy, że po stronie trójkątów prostokątnych (TP) podejrzewamy, że zdanie B jest fałszem.
Jak to udowodnić matematycznie?
1.
Oczywiście dowodem „nie wprost” zakładając, że zdanie B jest fałszem:
B: TP~~>~SK = TP*~SK=0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający => A:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A: TP=>SK =1
W zapisie formalnym:
B: p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => A?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego => A: TP=>SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
B: TP~~>~SK = TP*~SK =0
W zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =0
Rozłączność zbiorów TP i ~SK wynika tu tylko i wyłącznie z udowodnionego warunku wystarczającego A: TP=>SK=1. To jest dowód „nie wprost” wynikający z definicji kontrprzykładu.
3.
Zastosujmy do zdania A prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Nasz przykład:
A: TP=>SK = C: ~TP~>~SK =1
Stąd w zdaniu C na mocy prawa Kubusia mamy udowodniony warunek konieczny ~> C.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
C: ~TP~>~SK =1
W zapisie formalnym:
C: ~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> C: ~TP~>~SK=1 wynika z prawa Kubusia.
To jest dowód „nie wprost”
4.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu
| Kod: |
T2
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=> q=1 | TP=> SK=1 – bycie TP jest (=1) wystarczające => dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 – bycie ~TP jest (=1) konieczne ~> dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu ~TP i SK
|
Krok 2
W zdaniu D podejrzewamy brak wspólnego elementu zbiorów ~TP i SK.
Jak to udowodnić matematycznie?
5.
Oczywiście dowodem „nie wprost” zakładając, że zdanie D jest fałszem:
B: ~TP~~>SK = ~TP*SK=0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający => C:
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
C: ~TP=>~SK =1
W zapisie formalnym:
C: ~p=>~q =1
Dla zdania C skorzystajmy z prawa kontrapozycji by pozbyć się przeczeń przy zbiorach.
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
C: ~p=>~q = C1: q=>p
Nasz przykład:
C: ~TP=>~SK = C1: SK=>TP
Zdanie C1 to oczywiste twierdzenie odwrotne Pitagorasa C1: q=>p.
C1.
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
C1: SK=>TP =1
W zapisie formalnym:
C1: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Na mocy prawa Słonia dowód ten oznacza:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem ~> zbioru TP
6.
Stąd na mocy prawa kontrapozycji mamy udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego C: ~p=>~q który nas interesuje.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Prawdziwość warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK wynika z prawa kontrapozycji, gdzie udowodniliśmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa C1: SK=>TP=1 – to jest dowód metodą „nie wprost”.
7.
Na mocy definicji kontrprzykładu z prawdziwości warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK=1 wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
D.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Fałszywość zdania D wynika z definicji kontrprzykładu dla prawdziwego warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK=1 – to jest dowód „nie wprost”
8.
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
| Kod: |
T3
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=> q=1 | TP=> SK=1 | TP~> SK=1 – TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 |~TP=>~SK=1 - ~TP jest wystarczające => dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – zbiory ~TP i SK są rozłączne
|
W linii A mamy definicję równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenie sumy kwadratów SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenie sumy kwadratów SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
W linii C mamy definicję równoważności ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK)
Równoważność ~TP<=>~SK to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~TP~>~SK =1 - bycie ~TP jest (=1) konieczne ~> dla nie zachodzenia sumy kwadratów ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 – bycie ~TP jest (=1) wystarczające => dla nie zachodzenia sumy kwadratów ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2:~TP=>~SK)*(B2:~TP~>~SK)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q (pkt. 2.10)
p<=>q = p*q + ~p*~q
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicja znaczka <=>:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
cnd
Zadanie W3 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK=~TP*SK =0
Analizę operatora równoważności TP|<=>SK wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W3 należy do tego operatora znajdziemy w punkcie 16.7.1
19.3 Alternatywne rozwiązanie zadań prawem Orła w teorii zbiorów
Prawo Orła jest genialne w teorii zdarzeń gdzie zawsze mamy do czynienia zaledwie z czterema zdarzeniami niepustymi {p, ~p, q, ~q}.
Rozwiązywanie zadań prawem Orła w zdarzeniach to poziom 5- cio letniego dziecka, o czym było w punkcie 9.0
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
Prawo Orła działa również w teorii zbiorów z tym, że w tym przypadku udowodnienie rozłączności dwóch zbiorów nieskończonych metodą wprost poprzez iterowanie element po elemencie jest fizycznie niewykonalne.
Jak dowodzi się rozłączności dwóch zbiorów nieskończonych mamy opisane w algorytmie zdjęciowym wyżej.
Weźmy dokładnie te same przykłady w zbiorach nieskończonych rozwiązane prawem Orła.
19.3.1 Prawo Orła dla zdania W1: ~P8~~>P2
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8
q=P2
Robimy zdjęcie układu dla zdania W1:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu P8?P2
A: p~~> q=1 | P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów P8 i P2 np.8
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P2
C:~p~~>~q=1 |~P8~~>~P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P2 np.1
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P2 np.2
|
Ogólne prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~) q*(p+~p)
1.
Dla naszego zdjęcia T1 mamy:
p=P8
q=P2
Stąd zdjęcie układu przyjmuje postać:
P8*(P2+~P2) dzn P2*(P8+~P8)
Rozwijamy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
P8*P2+P8*~P2 dzn P8*P2 + ~P8*P2 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T1 odczytujemy:
B: P8~~>~P2=P8*~P2=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Stąd mamy:
P8*P2+0 dzn P8*P2 + ~P8*P2
Prawo algebry Boole'a: x+0=x, stąd mamy:
2.
P8*P2 dzn P8*P2 + ~P8*P2
3.
Doskonale widać, że zbiór P8*P2 jest (=1) podzbiorem => sumy logicznej zbiorów niepustych i rozłącznych (P8*P2+~P8*P2)
Wniosek:
dzn = =>
P8*P2 => P8*P2 + ~P8*P2 =1
Czytamy:
Zbiór P8*P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru (P8*P2+~P8*P2)
4.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Czytamy:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane W1 musimy zbadać spełnienie/niespełnienie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
Zapiszmy jeszcze raz równanie 2.
2.
P8*P2 dzn P8*P2 + ~P8*P2
5.
Doskonale widać, że zbiór P8*P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> sumy logicznej zbiorów niepustych i rozłącznych (P8*P2+~P8*P2)
Wniosek:
dzn = ~>
P8*P2 ~> P8*P2 + ~P8*P2 =0
Czytamy:
Zbiór P8*P2 nie jest (=0) nadzbiorem zbioru (P8*P2+~P8*P2)
6.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Czytamy:
Zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą P8|=>P2.
Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Zadanie W1 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
~p~~>q = ~p*q =1
Wniosek:
Zdanie W1 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2.
Analizę szczegółową operatora implikacji prostej P8||=>P2 mamy w punkcie 14.3.1
19.3.2 Prawo Orła dla zadania W2: P2~~>~P8
Zadanie W2:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P2
q=P8
Robimy zdjęcie układu dla zdania W2:
| Kod: |
T2
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~~> q=1 | P2~~> P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i P8 np.8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np.2
C:~p~~>~q=1 |~P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 np.1
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i P8
|
Ogólne prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~) q*(p+~p)
1.
Dla naszego zdjęcia T2 mamy:
p=P2
q=P8
Stąd zdjęcie układu przyjmuje postać:
P2*(P8+~P8) dzn P8*(P2+~P2)
Rozwijamy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8 + ~P2*P8
Ze zdjęcia T2 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8 =0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8 + 0
Prawo algebry Boole'a: x+0=x, stąd mamy:
2.
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8
3.
Doskonale widać, że suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych (P2*P8+P2*~P8) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P2*P8
Wniosek:
dzn = ~>
P2*P8 + P2*~P8 ~> P2*P8
Czytamy:
Zbiór (P2*P8+P2*~P8) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P2*P8
4.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Czytamy:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane W2 musimy zbadać spełnienie/niespełnienie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami.
Zapiszmy jeszcze raz równanie 2.
2.
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8
5.
Doskonale widać, że suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych (P2*P8+P2*~P8) nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P2*P8
P2*P8 + P2*~P8 => P2*P8 =0
6.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Czytamy:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24.]
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną P2|~>P8.
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 – zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 – zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) =~(0)*1=1*1=1
Zadanie W2 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>~q = p*~q =0
Wniosek:
Zdanie W2 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
Analizę szczegółową operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 mamy w punkcie 15.3.1
19.3.3 Prawo Orła dla zdania W3: ~TP~~>SK
Zadanie W3:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=TP
q=SK
Robimy zdjęcie układu dla zdania W3
| Kod: |
T3
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=> q=1 | TP=> SK=1 | TP~> SK=1 – TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 |~TP=>~SK=1 - ~TP jest wystarczające => dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – zbiory ~TP i SK są rozłączne
|
Jak dowodzi się rozłączności zbiorów nieskończonych mamy w punkcie 19.2.3.
Ogólne prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~) q*(p+~p)
1.
Dla naszego zdjęcia T3 mamy:
p=TP
q=SK
Stąd zdjęcie układu przyjmuje postać:
TP*(SK+~SK) dzn SK*(TP+~TP)
Rozwijamy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
TP*SK+TP*~SK dzn TP*SK + ~TP*SK - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T3 odczytujemy:
B: TP~~>~SK=TP*~SK=0 – nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów TP i ~SK
D:~TP~~> SK=~TP*SK=0 – nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK
Stąd mamy:
TP*SK+0 dzn TP*SK + 0
Prawo algebry Boole'a: x+0=x, stąd mamy:
2.
TP*SK dzn TP*SK
3.
Doskonale widać tożsamość zbiorów:
Zbiór TP*SK jest tożsamy "=" ze zbiorem TP*SK
TP*SK=TP*SK
Oczywistość bo każdy zbiór jest tożsamy "=" sam ze sobą
4.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Wniosek:
dzn = <=>
TP*SK <=> TP*SK =1
Czytamy:
Zbiór TP*SK jest (=1) równoważny ze zbiorem TP*SK
Na mocy prawa irbisa zapisujemy:
TP*SK = TP*SK
Zbiór TP*SK jest (=1) tożsamy „=” ze zbiorem TP*SK
Oczywistość, bo każdy zbiór jest tożsamy „=” sam ze sobą
5.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
TP<=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q =1
Czytamy:
Zbiór TP jest (=1) tożsamy "=" ze zbiorem SK
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż mamy tu do czynienia z równoważnością TP<=>SK
Definicja równoważności TP<=>SK
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 – bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenie sumy kwadratów SK
B1: TP~>SK =1 – bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenie sumy kwadratów SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Zadanie W3 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK=~TP*SK =0
Analizę operatora równoważności TP|<=>SK wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W3 należy do tego operatora znajdziemy w punkcie 16.9.1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:48, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 29 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 11:00, 10 Cze 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
20.0 Tajemnice operatorów jednoargumentowych
Spis treści
20.0 Tajemnice operatorów jednoargumentowych 1
20.1 Operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy 2
20.1.1 Operatory jednoargumentowe w tabelach zero-jedynkowych 4
20.1.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 5
20.2 Operator transmisji A0: Y|=p w rachunku zero-jedynkowym 7
20.2.1 Przykład operatora transmisji A0: Y|=K 7
20.3 Operator negacji A1: Y|=~p 9
20.3.1 Przykład operatora negacji A1: Y|=~K 10
20.4 Operator zdania zawsze prawdziwego A2: Y|=p+~p 11
20.4.1 Przykład operatora zdania zawsze prawdziwego A2: Y|=K+~K 12
20.5 Operator zdania zawsze fałszywego A3: Y|=p*~p 13
20.5.1 Przykład operatora zdania zawsze fałszywego A3: Y|=K*~K 14
20.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x) 16
20.0 Tajemnice operatorów jednoargumentowych
Niniejszy rozdział to matematyka rozszerzona, której znajomość nie jest konieczna dla biegłego posługiwania się operatorami jednoargumentowymi, tą umiejętność wyssaliśmy z mlekiem matki.
Nie ma tu nic takiego co byłoby niezrozumiałe dla człowiek myślącego, ucznia I klasy LO.
Tabela prawdy operatorów jednoargumentowych wyprowadzona w punkcie 1.3.2.
| Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Linie A3B3 i A4B4 to bezcenne zero-jedynkowe definicje prawa Prosiaczka.
Znaczenie alternatywne:
Linie A3B3 i A4B4 to stałe binarne, wykorzystywane w definiowaniu nowych pojęć
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej, jak również w stosunku do dowolnej stałej binarnej.
Wyprowadzenie praw Prosiaczka znajdziemy w punkcie 1.4.
Interpretację stałych binarnych w tabeli TJ (A3B3 i A4B4) znajdziemy w punkcie 1.5
20.1 Operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy
| Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Zapiszmy zdanie zawsze prawdziwe Y=1 i zawsze fałszywe Y=0 w powiązaniu ze zmienną p
| Kod: |
ZZP:
Definicja zdania zawsze prawdziwego Y=p+~p=D=1
p + ~p Y=p+~p=D =1
A: 1 + 0 1
B: 0 + 1 1
Gdzie:
D - dziedzina wspólna dla p i ~p
Y - stała binarna o wartości logicznej 1
|
| Kod: |
ZZF:
Definicja zdania zawsze fałszywego Y=p*~p=[]=0
p * ~p Y=p*~p=[]=0
A: 1 * 0 0
B: 0 * 1 0
Gdzie:
[] - zbiór/zdarzenie puste
Y - stała binarna o wartości logicznej 0
|
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować dwie wartości logiczne {0,1}.
W tabelach ZZP i ZZF zmiennymi binarnymi są symbole p i ~p co widać w kolumnach p i ~p.
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol będący w osi czasu twardą prawdą (ZZP_Y), albo twardym zerem (ZZF_Y)
W tabeli ZZP symbol Y jest stałą binarną o wartości logicznej twardej jedynki.
W tabeli ZZF symbol Y jest stałą binarną o wartości logicznej twardego zera.
Nie ma możliwości w czasie od minus do plus nieskończoności, by stała binarna przyjęła przeciwną
wartość logiczną.
W świecie rzeczywistym, opisane wyżej właściwości zmiennych binarnych i stałych binarnych możemy zaobserwować na oscyloskopie, przyrządzie pomiarowym służącym do obserwacji szybkich przebiegów zmiennych.
20.1.1 Operatory jednoargumentowe w tabelach zero-jedynkowych
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Innymi słowy:
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
| Kod: |
TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne {Y, ~Y} są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Dokładnie ta sama tabela zapisana prościej, wyłącznie funkcjami logicznymi Y i ~Y bez rozpisywania w tabelach zero-jedynkowych.
| Kod: |
TJ
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
Funkcja transmisji |Funkcja transmisji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y= p # B0: ~Y=~p
## ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
Funkcja negacji |Funkcja negacji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A1: Y=~p # B1: ~Y= p
## ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
Zdanie zawsze prawdziwe |Zdanie zawsze fałszywe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: Y= p+~p=1 # B2: ~Y= p*~p=0
## ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
Zdanie zawsze fałszywe |Zdanie zawsze prawdziwe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A3: Y= p*~p=0 # B3: ~Y= p+~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TJ perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
20.1.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Największą tragedią ziemskiego rachunku zero-jedynkowego jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi on zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych zapisanych w tabeli TJ
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) kolumny wynikowe w rachunku zero-jedynkowym opisywane są wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a, a nie funkcjami logicznymi Y i ~Y jak to jest w algebrze Kubusia.
W porywach (rzadkich przypadkach) ziemskiego rachunku zero-jedynkowego znajdziemy zapis funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y), ale nigdzie nie znajdziemy tej samej funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TJ pozostawiając jedynie wyrażenia algebry Boole’a
| Kod: |
TJ"
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
A0: p # B0: ~p
## ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
A1:~p # B1: p
## ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
A2: p+~p=1 # B2: p*~p=0
## ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
A3: p*~p=0 # B3: p+~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Po usunięciu funkcji logicznych Y i ~Y najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## leży gruzach bowiem w tabeli TJ" zachodzą następujące tożsamości logiczne
| Kod: |
A0: p = B1: p
A1: ~p = B0: ~p
A2: p+~p=1 = B3: p+~p=1
A3: p*~p=0 = B2: p*~p=0
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
20.2 Operator transmisji A0: Y|=p w rachunku zero-jedynkowym
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych funkcji transmisji A0: Y=p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji transmisji B0: ~Y=~p w logice ujemnej (bo ~Y)
A0.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
20.2.1 Przykład operatora transmisji A0: Y|=K
Pani w przedszkolu A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
To samo w logice formalnej:
p=K (kino)
stąd:
Y=p
Doskonale widać, że zdanie A0: Y=K możemy przyporządkować wyłącznie do kolumny A0B0
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
K ~K Y=K ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~K K ~Y=~K ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A0
Pani w przedszkolu A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
A0: Y=K
co w logice jedynek oznacza:
A0: Y=1 <=> K=1
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy juro pójdziemy do kina (K=1)
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A0 stronami:
B0: ~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
B0: ~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 3.
W części A0 doskonale widać że:
Y=1 <=> K=1
W części B0 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> ~K=1
cnd
Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A0: Y=K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
2.
Także odpowiedź B0 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 123 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 123 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
20.3 Operator negacji A1: Y|=~p
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych funkcji negacji A1: Y=~p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji negacji B1: ~Y=p w logice ujemnej (bo ~Y)
A1.
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
20.3.1 Przykład operatora negacji A1: Y|=~K
Przykład zdania wypowiedzianego podlegającego pod operator negacji A1: Y|=>~p
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
To samo w logice formalnej:
p=K (kino)
~p=~(K)
~p=~K (nie (~) kino K)
stąd:
Y=~p
Doskonale widać, że zdanie A1: Y=~K możemy przyporządkować wyłącznie do kolumny A1B1
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~q Y=q ## K ~K Y=~K ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p q ~Y=~p ## ~K K ~Y=K ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A1
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro nie pójdziemy do kina
A1: Y = ~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1).
Y=1 <=> ~K=1
Zuzia do Jasia:
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A1 stronami:
B1: ~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
B1: ~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 6.
W części A1 doskonale widać że:
Y=1 <=> ~K=1
W części B1 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> K=1
cnd
Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A1: Y=~K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
2.
Także odpowiedź B1 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 456 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 456 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
20.4 Operator zdania zawsze prawdziwego A2: Y|=p+~p
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p:
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań funkcji logicznej A2: Y=p+~p=1 w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej B2: ~Y=~p*p=0 w logice ujemnej (bo ~Y)
A2.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
A2: Y=p+~p =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
co w logice jedynek oznacza:
A2: Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że funkcja logiczna Y ma wartość logiczną twardej jedynki (Y=1), niezależnie od tego czy zajdzie p=1 czy też ~p=1
Doskonale to widać w kolumnie Y: A2_9
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2: ~Y=~(p+~p) =0
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B2: ~Y=~p*p =0 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p*p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
B2: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie ~Y
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B2_9
20.4.1 Przykład operatora zdania zawsze prawdziwego A2: Y|=K+~K
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
A2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = K+~K =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
To samo w zapisie formalnym:
p=K
Stąd mamy:
A2: Y = p+~p =1
Jak widzimy zdanie A2 możemy ulokować tylko i wyłącznie w kolumnie A2B2
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~q Y=q ## K ~K Y=~K ## K ~K Y=K+~K=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p q ~Y=~p ## ~K K ~Y=K ## ~K K ~Y=~K*K=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A2
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
A2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = K+~K =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani jutro dotrzyma słowa (Y), niezależnie od tego czy pójdziemy do kina (K), czy też nie pójdziemy do kina (~K)
Z chwilą wypowiedzenia zdania A2 pani ustawiła tu twardą jedynkę i nie ma szans na zostanie w dniu jutrzejszym kłamczuchą.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną Y
B2: ~Y = ~(K+~K) =0
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B2: ~Y=~K*K =0 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p*p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
B2: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B2_9
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - panie nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Wniosek
Pani przedszkolanka w przedszkolu wypowiadając zdanie A2: Y=K+~K=1 nie ma szans na nie dotrzymanie słowa w dniu jutrzejszym B2: ~Y=~K*K=0
Bo prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) = B2: (~Y=0)
cnd
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 9.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 789 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 789 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
Zauważmy, że powyższy przykład, choć matematycznie poprawny to w istocie nikomu niepotrzebna sztuka dla sztuki, bo nikt przy zdrowych zmysłach nie sypie zdaniami zawsze prawdziwymi typu Y=K+~K. Podstawowe zastosowanie stałych binarnych A3B3 i A4B4 to definiowanie nowych pojęć niezbędne już w wieku niemowlęcym (pkt. 20.2.1)
20.5 Operator zdania zawsze fałszywego A3: Y|=p*~p
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p:
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań logicznych A3: Y=p*~p=0 w logice dodatniej (bo Y) oraz B3: ~Y=~p+p=1 w logice ujemnej (bo ~Y)
A3.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
A3: Y=p*~p =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
A3: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie Y
Doskonale to widać w kolumnie Y: A3_12
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną A3 stronami:
B3: ~Y=~(p*~p) =1
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B3: ~Y=~p+p =1 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p+p=1
co w logice jedynek oznacza:
B3: ~Y=1 <=> ~p=1 lub p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że zajdzie ~Y, niezależnie od tego czy zajdzie p=1 czy też ~p=1.
Musi zajść p=1 albo ~p=1 - trzeciej możliwości brak.
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B3_12
20.5.1 Przykład operatora zdania zawsze fałszywego A3: Y|=K*~K
Przykład A3
Pani w przedszkolu A3 wypowiada zdanie:
A3.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
A3: Y = K*~K =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
To samo w zapisie formalnym:
p=K
Stąd mamy:
A3: Y = p*~p =0
Jak widzimy zdanie A3 możemy ulokować tylko i wyłącznie w kolumnie A3B3
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=K*~K=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~K+K=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A3
Pani w przedszkolu A3 wypowiada zdanie:
A3.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
A3: Y = K*~K =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
A3: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
Doskonale to widać w kolumnie Y: A3_12
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną Y.
B3.
~Y = ~(K*~K) =0
Na mocy prawa De Morgana:
B3: ~Y=~K+K =1 - bo prawo algebry Boole'a: ~p+p =1
co w logice jedynek oznacza:
B3: (~Y=1) <=> ~K=1 lub K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y), niezależnie od tego czy jutro pójdziemy do kina (K=1) czy też nie pójdziemy do kina (~K=1)
Jutro możemy pójść do kina (K=1) albo nie pójść do kina (~K=1) - trzeciej możliwości brak.
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B3_12
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Wniosek:
Pani przedszkolanka w przedszkolu A3 wypowiadając zdanie A3 nie ma szans na dotrzymanie słowa (Y=1) w dniu jutrzejszym.
W momencie wypowiedzenia zdania A3 pani jest kłamczuchą, o czym każdy 5-cio latek wie.
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 12.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 10:11:12 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 10:11:12 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
Zauważmy, że powyższy przykład, choć matematycznie poprawny to w istocie nikomu niepotrzebna sztuka dla sztuki, bo nikt przy zdrowych zmysłach nie sypie zdaniami zawsze fałszywymi typu Y=K*~K.
Podstawowe zastosowanie stałych binarnych A3B3 i A4B4 to definiowanie nowych pojęć niezbędne już w wieku niemowlęcym (pkt. 20.2.1)
20.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x)
Weźmy tabelę zero-jedynkową wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych.
| Kod: |
TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dziedziny D na której operowaliśmy w naszych przykładach:
K+~K=D=1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zdarzenia K
K*~K=[]=0 - zdarzenia K i ~K są rozłączne
Znaczenie zmiennych na których operowaliśmy w naszych przykładach wyżej było następujące:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny D:
K+~K=D=1 - jutro możemy pójść do kina (K) albo nie pójść do kina (~K), trzeciej możliwości brak
K*~K=[]=0 - zdarzenie "pójdziemy do kina" (K) jest rozłączne ze zdarzeniem "nie pójdziemy do kina" (~K)
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień i w tejże chwili czasowej zdarzenia K i ~K są rozłączne
Definicja dziedziny D na poziomie funkcji logicznej Y:
Definicja dziedziny dla dowolnej funkcji logicznej Y=f(x) (także wieloargumentowej):
Y+~Y =D =1 - funkcja logiczna ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny D dla funkcji logicznej Y
Y*~Y =[] =0 - funkcje logiczne Y i ~Y są rozłączne
Znaczenie funkcji logicznych Y i ~Y z naszych przykładów wyżej omówionych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny D:
Y+~Y=D=1 - pani może dotrzymać słowa (Y) albo nie dotrzymać słowa (~Y), trzeciej możliwości brak
Y*~Y=[]=0 - pani nie może równocześnie dotrzymać słowa (Y) i nie dotrzymać słowa (~Y)
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień i w tejże chwili czasowej pani dotrzyma słowa (Y=1) albo nie dotrzyma słowa (~Y=1), trzeciej możliwości brak.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 9:00, 28 Wrz 2024, w całości zmieniany 18 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 14:53, 13 Cze 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q"
Spis treści
21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" 1
21.1 Fundament algebry Kubusia dla zdań warunkowych "Jeśli p to q" 2
21.2 Dowód praw Tygryska na gruncie rachunku zero-jedynkowego 2
21.3 Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach implikacyjnych 5
21.4 Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q, największa tragedia ziemian 9
21.5 NAND i NOR - ekstremalny odjazd od języka potocznego 12
21.5.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego P=>CH 14
21.5.2 Implikacja prosta P|=>CH 17
21.5.3 Operator implikacji prostej P||=>CH w przedszkolu 20
21.6 Tożsamość Hipcia p=>q = p<=>q + ~p*q 22
21.6.1 Tożsamość Hipcia w świecie martwym i w matematyce 22
21.6.2 Tożsamość Hipcia w świecie żywym 26
21.7 Tożsamość Geparda p+q = p$q + p*q 27
21.7.1 Tożsamość Geparda w świecie martwym i w matematyce 27
21.7.2 Tożsamość Geparda w świecie żywym 28
21.8 Tożsamość Pumy p~~>q = p<=>q + p$q 29
21.8.1 Tożsamość Pumy w świecie martwym i w matematyce 29
21.8.2 Tożsamość Pumy w świecie żywym 31
21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q"
Przypomnijmy sobie definicje warunków wystarczających => i koniecznych ~> w zdarzeniach (pkt. 2.2.2 i 2.2.3)
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
21.1 Fundament algebry Kubusia dla zdań warunkowych "Jeśli p to q"
W punkcie 2.4 wyprowadziliśmy tabelę T0 matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
21.2 Dowód praw Tygryska na gruncie rachunku zero-jedynkowego
Szczegółową, bajeczną prostotę wszelkich dowodów w algebrze Kubusia pokażemy na przykładzie dowodów zero-jedynkowych praw Tygryska.
I prawo Tygryska dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
II prawo Tygryska dla warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B3: q=>p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q =p+~q
cnd
| Kod: |
TW
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q = q<=p = ~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Interpretacja słowna warunku wystarczającego =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q
Inaczej:
p=>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
|
##
| Kod: |
TK
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q = q<~p = p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Interpretacja słowna warunku koniecznego ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) konieczne ~> dla q
Inaczej:
p~>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
I prawo Tygryska dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A3: q~>p
Na mocy powyższego startujemy od definicji warunku wystarczającego A1: p=>q:
| Kod: |
TA1
Definicja warunku
wystarczającego =>
Y=
p q p=>q = q<=p = ~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
|
W tabeli TA3 obok zapisujemy te same p i q w zerach i jedynkach uzupełnione znaczkiem warunku koniecznego ~> w kierunku od q do p, co wynika z I prawa Tygryska które mamy do udowodnienia.
| Kod: |
TA1 [=] TA3
Definicja warunku [=]
wystarczającego => [=]
A1: Y= [=] A3: Y=
p q p=>q = q<=p = ~p+q [=] p q A3: q~>p = A3: p<~q
A: 1=>1 1 [=] 1<~1 1
B: 1=>0 0 [=] 1<~0 0
C: 0=>0 1 [=] 0<~0 1
D: 0=>1 1 [=] 0<~1 1
1 2 3 4 5 6
|
Kolumnę wynikową Y w tabeli TA3 wypełniliśmy na mocy definicji warunku koniecznego ~>.
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym (ogólnym) I prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
cnd
##
II prawo Tygryska dla warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B3: q=>p
Na mocy powyższego startujemy od definicji warunku koniecznego B1: p~>q
| Kod: |
TB1
Definicja warunku
koniecznego ~>
B1: Y=
p q p~>q = = q<~p = p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
|
W tabeli TB3 obok zapisujemy te same p i q w zerach i jedynkach uzupełnione znaczkiem warunku wystarczającego => w kierunku od q do p, co wynika z II prawa Tygryska które mamy do udowodnienia.
| Kod: |
TB1 [=] TB3
Definicja warunku [=]
koniecznego ~> [=]
B1: Y= [=] B3: Y=
p q p~>q = q<~p = p+~q [=] p q B3: q=>p = B3: p<=q
A: 1~>1 1 [=] 1<=1 1
B: 1~>0 1 [=] 1<=0 1
C: 0~>0 1 [=] 0<=0 1
D: 0~>1 0 [=] 0<=1 0
1 2 3 4 5 6
|
Kolumnę wynikową Y w tabeli TB3 wypełniliśmy na mocy definicji warunku wystarczającego =>
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym (ogólnym) II prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód formalny:
| Kod: |
TA1A3 ## TB1B3
I prawo Tygryska: ## II Prawo Tygryska:
Y= ## Y=
A1: p=>q = A3: q~>p = ~p+q ## B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Najważniejsza definicja logiki matematycznej to definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q dają różne kolumny wynikowe Y
Doskonale tu widać, że funkcje logiczne Y zdefiniowane tabelami TA1A3, TB1B3 są różne na mocy definicji ##, bo mają identyczne wymuszenia na wejściach p i q, ale różne kolumny wynikowe Y
cnd
21.3 Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach implikacyjnych
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podstawowa definicja równoważności (znana każdemu człowiekowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
cnd
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego by zaszło q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego by zaszło q
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Dowód iż ta definicja jest znana wszystkim (nie tylko matematykom).
Klikamy na googlach:
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 12 500
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 11 200
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 3 330
Jak widzimy, powyższa definicja równoważności wymaga od nas na starcie zapisania zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Zróbmy to:
| Kod: |
TW
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q = q<=p = ~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Interpretacja słowna warunku wystarczającego =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q
Inaczej:
p=>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
|
##
| Kod: |
TK
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q = q<~p = p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Interpretacja słowna warunku koniecznego ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) konieczne ~> dla q
Inaczej:
p~>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Podstawowa definicja równoważności (znana każdemu człowiekowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
cnd
Na mocy powyższego startujemy od definicji warunku wystarczającego A1: p=>q:
| Kod: |
T1
Definicja warunku
wystarczającego =>
A1: Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
|
Obok tabeli T1 zapisujemy zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B: p~>q wymaganą przez definicję równoważności p<=>q.
| Kod: |
T1 ## T2
Definicja warunku ## Definicja warunku
wystarczającego => ## koniecznego ~>
A1: Y= ## B1: Y=
p q p=>q=~p+q ## p q p~>q=p+~q
A: 1=>1 1 ## 1~>1 1
B: 1=>0 0 ## 1~>0 1
C: 0=>0 1 ## 0~>0 1
D: 0=>1 1 ## 0~>1 0
1 2 3 4 5 6
|
Między tabelami T1 i T2 postawiliśmy znak różne na mocy definicji ## bo wyprowadzamy definicję zero-jedynkową równoważności p<=>q gdzie ten znak między A1 i B1 występuje.
Dowód:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
## - różne na mocy definicji
cnd
Z definicji równoważności wynika algorytm uzyskania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q:
1.
Do tabeli T3 przepisujemy identyczne wejścia p i q
2.
Kolumnę wynikową równoważności:
Y = p<=>q uzyskamy wymnażając logicznie linia po linii kolumny wynikowe:
T1: (A1: p=>q) oraz T2: (B1: p~>q)
Zróbmy to:
| Kod: |
T123
T1 ## T2 ## T3
Definicja => ## Definicja ~> ##
A1: Y= ## B1: Y= ## A1B1: Y=
p q p=>q ## p q p~>q ## p q p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A: 1=>1 1 ## 1~>1 1 ## 1<=>1 1
B: 1=>0 0 ## 1~>0 1 ## 1<=>0 0
C: 0=>0 1 ## 0~>0 1 ## 0<=>0 1
D: 0=>1 1 ## 0~>1 0 ## 0<=>1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Jak widzimy, tabelę zero-jedynkową równoważności mamy w kolumnach 789.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń zero-jedynkowych na wejściach p i q mają różne kolumny wynikowe Y
Z tabeli zbiorczej T123 widać, że funkcje logiczne Y definiowane kolumnami 3, 6 i 9 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
cnd
21.4 Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q, największa tragedia ziemian
Największa tragedia logiki matematycznej ziemskich matematyków to prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
które to prawo każdy matematyk musi bezwzględnie stosować bo nie zna algebry Kubusia, czyli logiki matematycznej wyrażonej warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Tej logiki matematycznej:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Bezsensowność prawa eliminacji warunku wystarczającego => pokażemy na przykładzie definicji obietnicy.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę N.
W poprzedniku musi być jasno sprecyzowany warunek otrzymania nagrody N.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Weźmy sztandarową obietnicę szczegółowo omówiona w punkcie 3.5.
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E) dostaniesz komputer (K)
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. Warunek otrzymania nagrody precyzuje poprzednik p=E (zdasz egzamin)
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Analizę tej obietnicy mamy w punkcie 3.6.
W warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest ona doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka.
Dowód:
Prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku otrzymania nagrody (tu nie zdał egzaminu) jest w prawie wszystkich bajkach dla dzieci plus w Biblii.
Największą tragedią logiki matematycznej ziemskich matematyków jest prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
E=>K = ~E+K
Dlaczego to jest tragedia?
Bo jak sama nazwa wskazuje eliminuje ono warunek wystarczający =>, a tym samym papużkę nierozłączkę, warunek konieczny ~>. O bajecznie prostej analizie obietnicy E=>K przedstawionej w punkcie 3.6 możemy zapomnieć.
Wypowiedzmy tego potworka (formalnie tożsamego) który nam powstał po zastosowaniu prawa eliminacji warunku wystarczającego =>
Tata do synka Jasia (lat 14):
Który ma zdawać pierwszy poważny egzamin w swoim życiu, egzamin ośmioklasisty, dający przepustkę do najlepszych LO (o ile syn zda celująco).
A1.
Nie zdasz egzaminu (~E) lub dostaniesz komputer (K)
Y = ~E+K
Zakładamy tu, że Tata zna algebrę Kubusia i zachciało mu się robić "jaja" z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>.
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Tata dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn nie zda egzaminu (~E) lub dostanie komputer (K)
Synek:
Tata, ja nic z tego nie rozumiem
Tata:
Już tłumaczę:
Moje zdanie:
Y=~E+K
W logice jedynek oznacza że:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdasz egzaminu (~E=1) lub dostaniesz komputer (K=1)
Synek:
Tata, ja dalej nic z tego nie rozumiem
Tata:
To są synku uroki prawa eliminacji warunku wystarczającego => w logice ziemskich matematyków.
Matematycznie jest tak:
1.
Y = ~E+K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1=~E=1 lub K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdasz egzaminu (~E=1) lub dostaniesz komputer (K=1)
.. a kiedy skłamię ~Y?
Zachodzi tożsamość pojęć:
Skłamię ~Y = nie dotrzymam słowa (~Y)
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(~E+K) = E*~K - prawo De Morgana
Stąd mamy jedyny możliwy przypadek w którym skłamię (~Y):
~Yb= B: E*~K
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Yb=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Mamy tylko jeden przypadek kiedy skłamię, stąd:
~Yb=~Y
Co w logice jedynek oznacza:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zdasz egzamin (E=1) i nie dostaniesz komputera (~K=1)
Synek:
Dobrze tata, zrozumiałem kiedy skłamiesz ale dalej nie wiem o co ci chodzi?
Kiedy dotrzymasz słowa?
Tata:
W każdym innym przypadku synku dotrzymam słowa, te rozłączne przypadki to:
Y = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=E*K=1*1=1 - zdasz egzamin (E=1) i dostaniesz komputer (K=1)
lub
C: Yc=~E*~K=1*1=1 - nie zdasz egzaminu (~E=1) i nie otrzymasz komputera (~K=1)
lub
D: Yd=~E*K=1*1=1 - nie zdasz egzaminu (~E=1) i dostaniesz komputer (K=1)
Synek:
Dobrze tata, rozumiem kiedy dotrzymasz słowa, ale o co tu chodzi?
Przecież nic mi nie obiecałeś!
Tata:
Widzisz synku, to są całe uroki eliminacji warunku wystarczającego => we współczesnej, ziemskiej logice matematycznej.
W rzeczywistości chodzi tu o banalną moją obietnicę:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E) dostaniesz komputer (K)
E=>K =1
Omówioną wyżej w punkcie 3.6.
Synek:
Przeczytałem punkt 3.6, rzeczywiście, matematyczna obsługa obietnicy w znaczkach:
~~> - zdarzenie możliwe
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
to poziom 5-cio letniego dziecka, omówiony w prawie każdej bajce oraz w Biblii.
… a to ziemskie prawo eliminacji warunku wystarczającego => które każdy matematyk obligatoryjnie musi stosować (bo nie zna algebry Kubusia) to jakieś badziewie, przy pomocy którego nie sposób się porozumieć.
Tata:
Zgoda w 100%.
Pisałem wyżej te pomyje wynikłe z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>, by zakpić a aktualnej logiki matematycznej ziemskich matematyków.
Synek:
Udało ci się tata, gratuluję.
21.5 NAND i NOR - ekstremalny odjazd od języka potocznego
Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q w spójnikach NAND i NOR to ekstremalny odjazd od języka potocznego.
W świecie techniki w miejsce spójników "lub"(+) i "i"(*) można używać odpowiednio spójniki NOR oraz NAND .. ale będzie to miało zero wspólnego z językiem potocznym, tzn. żaden normalny człowiek tego nie zrozumie.
Definicja NOR:
Y = pNORq = ~(p+q)
Definicja NAND:
Y = pNANDq = ~(p*q)
Przykład wykładowcy logiki Volratha:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-50.html#69446
| volrath napisał: |
Ja nie twierdzę, że implikacja odwrotna to to samo co prosta.
Twierdzę, że p=>q <=> ~q=>~p <=> q~>p <=> ~p~>~q <=> p NAND (p NAND q)
|
Innymi słowy Vorath twierdzi że:
p=>q = ~p+q = p NAND (p NAND q)
Mało który matematyk zrozumie iż funkcja logiczna:
Y= p NAND (p NAND q)
jest tożsama z funkcją logiczną:
Y = ~p+q
.. a o języku potocznym w przypadku NAND i NOR możemy zapomnieć.
Dowód:
pNANDq = ~(p*q)
Y = pNAND (pNANDq) = ~(p*~(p*q)) = ~p+p*q - prawo De Morgana
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q) = p*~p + p*~q = p*~q
~Y=p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q
Stąd:
p=>q = ~p+q = p NAND (p NAND q)
cnd
Rozmowa taty który jest matematykiem z 14-letnim synkiem
Posłuchaj synku, tata będzie cię teraz uczył zaawansowanej logiki matematycznej.
Teoria czysto matematyczna zapisana wyżej przez Volratha:
Y = (p=>q) = ~p+q = p NAND (p NAND q)
Podstawmy:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
Stąd mamy w zapisie aktualnym:
Y = (P=>CH) = ~P+CH = P NAND (P NAND CH)
Prawą stronę w języku potocznym czytamy:
NAND.
Jutro będzie padało (P) NAND (będzie padało (P) NAND będzie pochmurno (CH))
Y = P NAND (P NAND CH)
Czy rozumiesz synku sens zdania NAND?
Synek:
Nic a nic tatko nie rozumiem
21.5.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego P=>CH
Tata:
Dobrze, uproszczę problem wypowiadając to samo zdanie w znanych ci spójnikach "lub"(+) i "i"(*)
Y = (P=>CH) = ~P+CH = P NAND (P NAND CH)
Środek to znane matematykom prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
1".
Jutro nie będzie padało lub będzie pochmurno
Y = (P=>CH) = ~P+CH
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 lub CH=1
Czy teraz rozumiesz synku sens zdania 1"?
Synek:
Nadal nic z tego nie rozumiem.
Tata:
Zastosujmy do zdania 1" definicję spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
1.
Y = ~P+CH = A: ~P*CH + B: ~P*~CH + C: P*CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: ~P=1 i CH=1 lub B: ~P i ~CH lub C: P=1 i CH=1
Czytamy:
1.
Prawdą jest (=1), że prawdziwe jest zdanie złożone Y:
Y=Ya+Yb+Yc
A: Ya = ~P~~>CH = ~P*CH=1*1=1 - jutro może ~~> nie padać (~P=1) i być pochmurno (CH=1)
lub
B: Yb = ~P~~>~CH = ~P*~CH=1*1=1 - jutro może ~~> nie padać (~P=1) i nie być pochmurno (~CH=1)
lub
C: Yc = P~~>CH = P*CH=1*1=1 - jutro może ~~> padać (P=1) i być pochmurno (CH=1)
Wystarczy, że którakolwiek funkcja cząstkowa Ya, Yb albo Yc przyjmie wartość logiczną 1 i już funkcja główna Y przyjmie wartość logiczną 1
Czy rozumiesz synku sens zdania 1 w zdarzeniach rozłącznych?
Y = Ya+Yb+Yc
Synek:
Rozumiem doskonale.
Tata:
Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia jutro zdarzenia Ya albo Yb albo Yc?
Synek:
Oczywiście że 1/3
Tata:
Czy widzisz w zdarzeniach cząstkowych Ya, Yb, Yc jakąkolwiek gwarancję matematyczną =>?
Synek:
W zdarzeniach cząstkowych Ya, Yb, Yc nie ma żadnej gwarancji matematycznej =>, bowiem prawdopodobieństwo zajścia każdego z tych zdarzeń wynosi 1/3.
Tata:
Doskonale synku
Teraz odpowiedzmy sobie na pytanie kiedy zdanie 1 nie będzie prawdziwe (~Y=1)?
Mamy równanie minimalne:
1": Y=~P+CH
Negujemy dwustronnie:
2.
~Y = ~(~P+CH) = P*~CH - prawo De Morgana
Stąd mamy:
D: ~Yd=P*~CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
D: ~Yd=1 <=> P=1 i ~CH=1
Zauważmy, że jest tylko jedno zdarzenia cząstkowe w logice ujemnej (bo ~Yd), stąd mamy tożsamość logiczną:
D: ~Yd = D: ~Y
Prawą stronę czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że nie jest prawdziwe (~Yd) zdanie:
Jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH)
D: ~Yd=P*~CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
D: ~Yd=1 <=> P=1 i ~CH=1
Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
stąd mamy:
D: (~Yd=1) = B: (Yd=0)
Stąd zapis tożsamy:
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1
Czytamy:
D.
Fałszem jest (=0), że prawdziwe jest zdanie (Yd):
Jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH=1)
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1
Zauważmy, że zdanie 1 opisuje wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne jakie jutro mogą zajść.
Zdanie 1:
A: Ya = ~P~~>CH = ~P*CH=1*1=1 - jutro może nie padać (~P=1) i być pochmurno (CH=1)
lub
B: Yb = ~P~~>~CH = ~P*~CH=1*1=1 - jutro może ~~> nie padać (~P=1) i nie być pochmurno (~CH=1)
lub
C: Yc = P~~>CH = P*CH=1*1=1 - jutro może ~~> padać (P=1) i być pochmurno (CH=1)
Zdanie 2:
Natomiast zdanie 2 opisuje zdarzenie fizycznie niemożliwe.
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1
Czytamy:
D.
Fałszem jest (=0), że prawdziwe jest zdanie (Yd):
Jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH=1)
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1
Podsumowanie:
Jutro ma szansę wystąpić wyłącznie jedno ze zdarzeń rozłącznych Ya albo Yb albo Yc.
Logiczne jedynki które opisują te zdarzenia są jedynkami miękkimi tzn. nie widomo która z tych jedynek będzie jutro twardą jedynką. Pewne jest tylko, że jeśli jedno z trzech możliwych zdarzeń {Ya, Yb, Yc} przyjmie wartość twardej jedynki to w tym momencie trzy pozostałe zdarzenia będą twardym fałszem.
Definicja miękkiej jedynki:
Miękka jedynka może zajść ale nie musi
Przykład:
W opisie przyszłości (jutro) wszystkie zdarzenia Ya, Yb oraz Yc są miękkimi jedynkami, mogą zajść ale nie muszą
Definicja miękkiego zera:
Miękkie zero może zajść ale nie musi
Przykład:
Dowolne ze zdarzeń Ya, Yb, albo Yc może w przyszłości przyjąć wartość logiczną 0
Definicja twardego zera:
Twarde zero to pojęcie/zdarzenie które nie ma szans na zmianę wartości logicznej z zera na jedynkę.
Przykład:
Jeśli jutro zajdzie zdarzenie Ya (twarda jedynka) to czasu nie da się cofnąć i spowodować by zaszło zdarzenie Yb albo Yc (twarde zera).
Zauważmy, że zdarzenie Yd jest twardym fałszem (=0) od minus do plus nieskończoności co oznacza, że w naszym Wszechświecie niemożliwy jest (=0) przypadek Yd: pada (P) i nie jest pochmurno ~CH)
Więcej na temat miękkich jedynek i zer oraz twardych jedynek i zer można poczytać w punkcie 21.0
Synek:
Tata, ja poszczególne zdania doskonale rozumiem, bo mieliśmy w szkole podstawy algebry Kubusia.
Problem w tym że:
Po pierwsze:
Trzeba znać tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego => oraz skomplikowaną dla normalnego człowieka algebrę Boole'a, by wyprowadzić prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
plus trzeba rozpisać to prawo na serię czterech zdarzeń rozłącznych jak to zrobiłeś wyżej, bowiem wtedy i tylko wtedy zrozumiemy sens wszystkich zdań składowych Ya, Yb, Yc i Yd wchodzących w skład definicji warunku wystarczającego => wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+).
Po drugie i najważniejsze:
Po skorzystaniu z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
zabijamy występującą tu gwarancję matematyczną, bowiem każdy warunek wystarczający => to w istocie gwarancja matematyczna =>
21.5.2 Implikacja prosta P|=>CH
W algebrze Kubusia mamy tak:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Nasz przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego by było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
innymi słowy:
Padanie (P) daje nam gwarancję matematyczną => że jest pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Zauważmy, że wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
Zdania A1 i B1 wyżej w zapisach formalnych (ogólnych):
Warunek wystarczający: p=>q = ~p+q ## Warunek konieczny: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy dowód, iż nasze zdania A1 i B1 wchodzą w skład definicji implikacji prostej P|=>CH.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji prostej A1B1: P|=>CH uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
| Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0 [=] 4:~CH~~>P=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P=0
B': 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q), co wyżej zrobiliśmy, nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie P (kolumna A1B1) i nie padanie ~P (kolumna A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Kolumna A2B2
A2B2: ~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może być jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>CH znajdziemy w punkcie 3.3.1.
21.5.3 Operator implikacji prostej P||=>CH w przedszkolu
Udajmy się do przedszkola by potwierdzić tezę, że 5-cio latki w praktyce języka potocznego doskonale znają matematyczną wersję analizy operatora implikacji prostej P||=>CH przedstawioną w punkcie 3.3.1.
Jaś (lat 14) testuje czy Zuzia (lat 5) zna teorię algebry Kubusia przedstawioną w tabeli prawdy IP.
Jaś:
Powiedz mi Zuzia co jutro może się wydarzyć w odniesieniu do padania (deszczu) i chmurki jeśli jutro będzie padało?
Komentarz:
Odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało?
mamy w kolumnie A1B1 w tabeli prawdy IP
Zuzia:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na pewno => będzie pochmurho (CH)
P=>CH =1
Padanie deszczu wymusza => istnienie chmur bo padać może wyłącznie z chmury.
Innymi słowy:
Padanie deszczu gwarantuje nam => istnienie chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Innymi słowy:
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na pewno => = Wymusza => = Gwarancja => = Warunek wystarczający =>
Jaś:
Czy możliwe jest zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Zuzia:
A1'
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada i nie jest pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
cnd
Komentarz:
To jest dowód bezpośredni zrozumiały przez każdego 5-cio latka, fałszywości kontrprzykładu A1'
A1'.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
Fałszywość kontrprzykładu A1' wymuszona jest przez prawdziwość warunku wystarczającego:
A1: P=>CH =1
Nie musimy udowadniać fałszywości zdania A1' w sposób bezpośredni, choć w tym przypadku to jest oczywistość jak wyżej.
Jaś:
Brawo Zuzia.
Powiedz mi teraz co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Komentarz:
Ten przypadek opisuje kolumna A2B2 w tabeli IP.
Zuzia:
B2B2':
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> (A2) nie być pochmurno (~CH) lub może ~~> (B2') być pochmurno (CH)
Jaś:
Brawo, weźmy pierwszą część zdania A2B2' które wypowiedziałaś:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Czy brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH)?
Zuzia:
Tak, brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH), bo jak pada (P) to zawsze => są chmury (CH)
Komentarz:
Zauważmy, że prawo Kubusia samo tu wyskoczyło.
Prawo Kubusia:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1
LUB
Jaś:
Weźmy teraz drugą część zdania A2B2' które wypowiedziałaś.
B2'.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Czy możliwe jest zdarzenie B2'?
Zuzia:
B2'.
Tak, możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmuro (~CH)
To jest oczywiste dla każdego 3-latka, a ja mam lat 5.
Wnioski:
Jak widzimy, Zuzia teoretycznie nie ma pojęcia o tabeli prawdy IP którą w istocie jej mózg się posługuje, czego dowodem jest jej perfekcyjna odpowiedzieć na dwa kluczowe tu pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)? - zdania A1 i A1', kolumna A1B1 w tabeli prawdy IP
2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)? - zdania A2 i B2', kolumna A2B2 w tabeli prawdy IP
Podsumowanie:
Żadna ze znanych ziemianom logik matematycznych nie zna zapisanej wyżej tabeli prawdy implikacji prostej IP: P|=>CH którą w praktyce doskonale się posługuje mózg każdego 5-cio latka, co wyżej udowodniono.
Innymi słowy:
Logika matematyczna ziemskich matematyków nie dorasta do pięt logice matematycznej, którą na co dzień posługują się mózgi wszystkich 5-cio latków.
21.6 Tożsamość Hipcia p=>q = p<=>q + ~p*q
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2900.html#719741
Irbisol, to mój 15-letni partner w dyskusji na temat logiki matematycznej.
| Irbisol napisał: |
Jest to zapis ogólny warunku wystarczającego p=>q
p=>q = p<=>q + ~p*q |
Skąd Irbisol wytrzasnął tą tożsamość?
Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) = ~p+q
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd mamy:
Y = (p=>q) = ~p+q = ~p*q + ~p*~q + p*q
Suma logiczna (+) jest przemienna, stąd mamy prawo eliminacji warunku wystarczającego => w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych A, B i C
1.
p=>q = A: p*q + B: ~p*~q + C: ~p*q
2.
Prawo eliminacji równoważności p<=>q:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawiając 2 do 1 mamy:
3.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q
21.6.1 Tożsamość Hipcia w świecie martwym i w matematyce
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q
jest fałszywa, co można udowodnić w dwóch krokach na gruncie matematyki (teorii zbiorów):
Krok 1 - dowód fałszywości tożsamości Hipcia dla zbiorów tożsamych p=q
Krok 2 - dowód fałszywości tożsamości Hipcia dla zbiorów nietożsamych p##q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Krok 1
Zbadajmy tożsamość Hipcia dla zbiorów tożsamych p=q gdzie zachodzi równoważność p<=>q.
Algorytm obalenia tożsamości Hipcia w matematyce dla zbiorów tożsamych p=q:
1
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
2.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
3.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q
Dla równoważności p<=>q prawdziwej, na mocy prawa Irbisa mamy tożsamość zbiorów p=q, stąd:
~p*q = ~p*p=0
cnd
4.
Prowadzi to do sprzeczności czysto matematycznej:
p=>q := p<=>q
:= - redukcja równania logicznego na mocy definicji tożsamości zbiorów p=q
5.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Stąd mamy:
Dowód fałszywości tożsamości Hipcia na gruncie matematyki:
p=>q =~p+q ## p<=>q = p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Przykład:
1.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
Przyjmijmy:
p=TP
q=SK
2.
Weźmy równoważność Pitagorasa:
A1: TP=>SK =1 - wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: TP=>SK=1
B3: SK=>TP=1 - wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: SK=>TP
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Równoważność Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu, stąd na mocy prawa Irbisa mamy tożsamość zbiorów TP=SK
3.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy są w relacji równoważności TP<=>SK
TP=SK = A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Równoważność Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu, zatem zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
4.
Podstawmy to do tożsamości Hipcia:
TP=>SK = (TP<=>SK) + ~TP*SK = (TP<=>SK) + ~TP*TP := (TP<=>SK) + 0 =TP<=>SK
bo:
Na mocy prawa Irbisa mamy:
TP=SK
stąd:
~TP*SK = ~TP*TP=0
Stąd mamy:
TP=>SK := TP<=>SK
Gdzie:
:= - minimalizacja funkcji logicznej na mocy prawa Irbisa
Stąd mamy sprzeczność czysto matematyczną bo:
TP=>SK := TP<=>SK
Czyli:
Y = (TP=>SK) = ~TP+SK ## Y = (TP<=>SK) = TP*SK + ~TP*~SK
To samo w zapisie ogólnym:
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y = (p<=>q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
W matematyce tożsamość Hipcia została obalona dla zbiorów tożsamych TP=SK
cnd
Krok 2
Zbadajmy tożsamość Hipcia dla zbiorów nietożsamych p##q gdzie zachodzi warunek wystarczający p=>q.
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Algorytm obalenia tożsamości Hipcia w matematyce dla zbiorów nietożsamych p##q:
1
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
2.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
3.
Dla zbiorów nietożsamych p##q mamy:
p<=>q =0 - na mocy prawa Irbisa
Stąd:
p=>q = p<=>q +~p*q := 0+~p*q
p=>q := ~p*q
Gdzie:
:= - redukcja tożsamości Hipcia na mocy prawa Irbisa
4.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q - wyprowadzenie w punkcie 2.10
5.
Prowadzi to do sprzeczności czysto matematycznej w tożsamości Hipcia:
Y = (p=>q) =~p+q ## Y = (p|=>q) = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Przykład:
Wprowadzenie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk łatwo udowodni tu relację podzbioru P8=>P2.
Z faktu, że zbiór P8 jest podzbiorem => P2 oraz zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] są różne na mocy definicji ## wnioskujemy, iż spełniony jest tu warunek wystarczający P8=>P2 wchodzący w skład implikacji prostej P8|=>P2.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0) =1*1=1
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
P8|=>P2 = ~P8*P2
Dowód w punkcie 2.10.
Algorytm obalenia tożsamości Hipcia w matematyce dla zbiorów nietożsamych P8##P2:
1.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
Przyjmijmy:
p=P8
q=P2
Stąd:
P8=>P2 = P8=>P2 + ~P8*P2
2.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
3.
Dla zbiorów nietożsamych p##q mamy:
p<=>q =0 - na mocy prawa Irbisa
Stąd:
p=>q = p<=>q +~p*q := 0+~p*q
p=>q := ~p*q
Gdzie:
:= - redukcja tożsamości Hipcia na mocy prawa Irbisa
Tożsamość Hipcia dla naszego przykładu:
P8=>P2 = P8<=>P2 + ~P8*P2 := 0 + ~P8*P2
bo:
P8<=>P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] nie są (=0) tożsame
Stąd mamy:
P8=>P2 := ~P8*P2
Gdzie:
:= - redukcja tożsamości Hipcia na mocy prawa Irbisa
4.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q - wyprowadzenie w punkcie 2.10
5.
Prowadzi to do sprzeczności czysto matematycznej w tożsamości Hipcia:
Y = (p=>q) =~p+q ## Y = (p|=>q) = ~p*q
Nasz przykład:
Y = (P8=>P2)=~P8+P2 ## Y = (P8|=>P2) = ~P8*P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Podsumowanie:
Tożsamość Hipcia została obalona zarówno dla zbiorów tożsamych TP=SK jak i nietożsamych P8##P2.
Wniosek:
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Hipcia:
3.
p=>q = p<=>q + ~p*q
jest fałszywa, co w 100-milowym lesie uczeń I klasy LO Jaś, udowodni w dwóch krokach jak wyżej.
21.6.2 Tożsamość Hipcia w świecie żywym
Zauważmy, że w świecie żywym, mającym "wolną wolę", tożsamość Hipcia jest prawdziwa
Definicja "wolnej woli" istot żywych:
"Wolna wola" to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym
Dowód prawdziwości tożsamości Irbsola w świecie żywym.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q
Podstawmy:
p= K (kino)
q= T (teatr)
Stąd mamy:
TI.
K=>T = A: K<=>T + B: ~K*T
Wypowiedzmy prawą stronę tożsamości Hipcia:.
TI.
Jutro pójdziemy do kina (K) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T) lub nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
Y = (K=>T) = A: K<=>T lub B: ~K*T
Zauważmy, że w świecie żywym prawdziwa może być zarówno równoważność A: K<=>T jak i połączony spójnikiem "lub"(+) człon:
Yb=~K~~>T = ~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Każdy z członów rozłącznych A albo B ma szansę jutro zajść, zatem nie możemy tu w jakikolwiek sposób minimalizować tożsamości Hipcia.
Zauważmy, że równanie TI, choć poprawne matematycznie to sztuka dla sztuki, czyli w praktyce języka potocznego nieużywane.
Uwaga:
W języku potocznym nieużywane jest również prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
Y = (K=>T) = ~K+T = K*T + ~K*~T + ~K*T
Dowód w punkcie 21.4
21.7 Tożsamość Geparda p+q = p$q + p*q
Analogiczna do tożsamości Irbisiola jest tożsamość Geparda.
1.
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych A, B, C:
Y = p+q = A: p*~q + B: ~p*q + C: p*q
2.
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
3.
Podstawiając 2 do 1 mamy.
Tożsamość Geparda:
Y = p+q = AB: p$q + C: p*q
21.7.1 Tożsamość Geparda w świecie martwym i w matematyce
Rozważmy zdanie:
Dowolny człowiek Y mówi prawdę (P) lub kłamie (K)
Y = P+K
Tożsamość Geparda:
Y = p+q = AB: p$q + C: p*q
Podstawmy nasz przykład:
p= P (mówi prawdę)
q = K (kłamie)
Stąd mamy:
Tożsamość Geparda:
Y = P+K = AB: P$K + C: P*K
Zauważmy, że dowolny człowiek nie może równocześnie mówić prawdy (P) i kłamać (K)
stąd człon C w świecie martwym i w matematyce oraz w świecie niezależnym od wolnej woli człowieka (nasz przypadek) jest fałszem (=0)
C: Yc= P*K =0
Stąd mamy minimalizację tożsamości Geparda:
Y = P+K = AB: P$K + C: P*K := AB: P$K + 0 = AB: P$K
Gdzie:
:= - minimalizacja równania na mocy teorii zdarzeń
Stąd mamy sprzeczność czysto matematyczną bo:
Y = P+K ## Y = AB: P$K = A: P*~K + B: ~P*K
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
Y = p+q ## Y= AB: p$q = A: p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Geparda została obalona dla zdarzeń rozłącznych A, B, C.
cnd
21.7.2 Tożsamość Geparda w świecie żywym
Zobaczmy jak zachowuje się tożsamość Geparda w świecie żywym gdzie w grę wchodzi "wolna wola" istoty żywej.
Tożsamość Geparda:
Y = p+q = AB: p$q + C: p*q
Podstawmy;
p = K (kino)
q = T (teatr)
Tożsamość Geparda przyjmuje tu postać:
Y = K+T = AB: K$T + C: K*T
Środek tożsamości Geparda jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K+T
Korzystając z definicji spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*~q + B: ~p*q + C: p*q
mamy dla naszego przykładu:
Y = K+T = A: K*~T + B: ~K*T + C: K*T
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i ~T=1 lub B: ~K=1 i T=1 lub C: K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
B: Yb=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
C: Yc=K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
Y = Ya + Yb + Yc
Wystarczy, że którakolwiek z funkcji cząstkowych Ya, Yb, Yc przyjmie wartość logiczną 1 i już funkcja Y przyjmie wartość logiczną 1 (Y=1).
Zauważmy, że w przeciwieństwie do świata martwego i matematyki nie mamy tu szans na wyrugowania jakiegokolwiek członu funkcji logicznej Y.
Tożsamość Geparda dla naszego przykładu:
Y = K+T = AB: K$T + C: K*T
Poprawne matematycznie jest w tym przypadku zdanie złożone (prawa strona tożsamości Geparda).
ABC:
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru lub pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)
Y = AB: K$T + C: K*T
Spójnik "albo"($) to z definicji wybór jednej z dwóch możliwości, tu wybieramy między pójściem do kina (K) "albo"($) pójściem do teatru (T) - człon AB.
Dodatkowo mamy tu możliwość jednoczesnego pójścia do kina (K) i do teatru (T) - człon C.
W żadnym z powyższych przypadków nie zostaniemy kłamcą.
W języku potocznym człowiek prawie nigdy nie wypowiada spójnika "albo"($) zastępując go zawsze i wszędzie spójnikiem "lub"(+). Teoretycznie, gdyby nasz mózg był komputerem, to tego nie wolno robić. Na szczęście mózg każdego 5-cio latka nie jest komputerem i doskonale sobie z tym zastępstwem radzi, czego dowód mamy w punkcie 7.0.
21.8 Tożsamość Pumy p~~>q = p<=>q + p$q
Chaos p|~~>q, czyli zdanie zawsze prawdziwe poznaliśmy w punkcie 8.0
Istota operatora chaosu p||~~>q to seria czterech zdań prawdziwych kodowanych zdarzeniami możliwymi i rozłącznymi przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Stąd mamy:
Definicja zdania zawsze prawdziwego ~~> wynikła z operatora chaosu p||~~>q to:
p~~>q = A: p*q + B: ~p*~q + C: p*~q + D: ~p*q
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "lub"(+) i "i"(*)
p$q = p*~q + ~p*q
Stąd mamy:
Tożsamość Pumy:
p~~>q = TR: p<=>q + TA: p$q
21.8.1 Tożsamość Pumy w świecie martwym i w matematyce
Definicja zdania zawsze prawdziwego ~~> wynikła z operatora chaosu p||~~>q to:
p~~>q = A: p*q + B: ~p*~q + C: p*~q + D: ~p*q
Dla zdania zawsze prawdziwego ~~> prawdziwe muszą być wszystkie cztery człony A, B, C i D
Dziedzina fizyczna dla zdania zawsze prawdziwego ~~> to suma logiczna członów ABCD.
Dowód:
Y = A: p*q + C: p*~q + B: ~p*~q + D: ~p*q - bo suma logiczna (+) jest przemienna
Stąd mamy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
Dziedzina fizyczna jest poprawna.
cnd
Tożsamość Pumy:
p~~>q = TR: p<=>q + TA: p$q
Stąd:
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Pumy jest fałszem bo:
1.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
p=q <=> p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
Równanie zdania zawsze prawdziwego ~~>:
Y = (p~~>q) = A: p*q + B: ~p*~q + C: p*~q + D: ~p*q = TR: p<=>q + C: p*~q + D: ~p*q
Zbiory/zdarzenia w członie TR na 100% nie są tożsame p##q bo może być prawdziwy człon C albo D.
Wniosek:
Tożsamość Pumy jest fałszywa w świecie martwym i w matematyce.
Przykład:
Weźmy sztandarowe zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i P3 np. 24
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Dowód formalny iż zdanie A jest częścią operatora chaosu ABCD: P8||~~>P3 (pkt. 18.1.1) to analiza funkcji cząstkowych ABCD przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
| Kod: |
Dowód iż zdanie A: P8~~>P3 jest częścią operatora chaosu P8||~~>P3:
A: P8~~> P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i P3 np. 24
B:~P8~~>~P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P3 np. 1
C: P8~~>~P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P3 np. 8
D:~P8~~> P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P3 np. 3
cnd
|
Tożsamość Pumy:
p~~>q = TR: p<=>q + TA: p$q
Zapiszmy tożsamość Pumy dla naszego przykładu:
P8~~>P3 = TR: P8<=>P3 + TA: P8$P3
Zauważmy, że na gruncie matematyki oba człony po prawej stronie tożsamości Pumy są fałszem (=0):
TR: P8<=>P3 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12..] nie są tożsame
TA: P8$P3 =0 - bo dowolna liczba naturalna nie należy tylko i wyłącznie do zbiorów P8 albo P3
Wniosek:
Tożsamość Pumy na gruncie teorii zbiorów (matematyka) jest totalnie fałszywa:
Y = (P8~~>P3) ## Y = TR: P8<=>P3 + TA: P8$P3
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
21.8.2 Tożsamość Pumy w świecie żywym
Definicja "wolnej woli":
"Wolna wola" to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej obowiązujących w świecie martwym i w matematyce
Definicja "wolnej woli" obowiązuje tylko i wyłącznie w świecie żywym, bowiem świat martwy z definicji nie może złamać jakiegokolwiek prawa logiki matematycznej, pod którą sam podlega.
Wniosek:
Wyłącznie w świecie żywym mającym "wolną wolę" równanie zdania zawsze prawdziwego ~~> możemy zapisać w postaci tożsamości Pumy.
Tożsamość Pumy:
Zdanie zawsze prawdziwe w postaci p~~>q = p<=>q + p$q
Y = p~~>q = p<=>q + p$q
Podstawmy:
p= K (kino)
q= T (teatr)
Stąd mamy tożsamość Pumy w zapisie aktualnym:
Y = K~~>T = K<=>T + K$T
Środek to zdanie zawsze prawdziwe zrozumiałe dla każdego 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
A1.
Możliwe, że jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K~~>T = A: K*T + B: ~K*~T + C: K*~T + D: ~K*T
Oczywistym jest, ze cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie skłamie.
Zdaniem A1 pani przedszkolanka sonduje chęć dzieci pójścia do kina (K) lub do teatru (T)
Konkretną obietnicę złoży obserwując reakcję dzieci.
Może przykładowo powiedzieć:
A2.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Gdy zobaczy, że za pójściem do kina są prawie wszystkie dzieci.
Zauważmy, że pani przedszkolanka może tu skorzystać z tożsamości Pumy … tylko które dziecko ją zrozumie?
Tożsamość Pumy w odniesieniu do zdania zawsze prawdziwego:
Y = K~~>T = AB: K<=>T + CD: K$T
Prawą stronę czytamy:
ABCD:
Jutro pójdziemy do kina (K) wtedy i tylko wtedy <=> gdy pójdziemy do teatru (T) lub pójdziemy do kina (K) "albo"($) do teatru (T)
Y = AB: K<=>T + CD: K$T
Jest oczywistym, że zdanie ABCD mimo że matematycznie poprawne i tożsame ze zdaniem A1, ale to jest sztuka dla sztuki, w języku potocznym niewystępująca.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 23:20, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 22:00, 24 Lip 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
22.0 Operatory implikacyjne w językach programowania komputerów
Spis treści
22.0 Operatory implikacyjne w językach programowania komputerów 1
22.1 Operator równoważności p|<=>q w językach programowania 3
22.1.1 Symboliczna tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q 4
22.1.2 Matematyczna interpretacja rozkazu warunkowego: 4
22.2 Implikacja prosta p|=>q 5
22.2.1 Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q 6
22.2.2 Matematyczna interpretacja operatora implikacji prostej p||=>q 6
22.3 Implikacja odwrotna p|~>q 7
22.3.1 Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q 8
22.3.2 Matematyczna interpretacja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 8
22.0 Operatory implikacyjne w językach programowania komputerów
Do podstawowych operatorów implikacyjnych zaliczamy:
1: Operator równoważności p|<=>q
2: Operator implikacji prostej p||=>q
3: Operator implikacji odwrotnej p||~>q
4: Operator chaosu p||~~>q
Uwaga:
W operatorze chaosu p||~>q mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie p jak i po stronie ~p, co dyskwalifikuje ten operator do użycia we wszelkich językach programowania komputerów.
W niniejszym rozdziale zajmiemy się dowodem, iż jedynym sensownym operatorem implikacyjnym we wszelkich językach programowania komputerów jest operator równoważności p|<=>q, gdzie nie ma wbudowanego w definicję „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
1.
Operator równoważności p|<=>q:
Tylko i wyłącznie w operatorze równoważności p|<=>q jesteśmy pewni w 100% co należy zrobić jeśli zajdzie p, oraz co należy zrobić jeśli zajdzie ~p:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Identyczny warunek wystarczający => mamy po stronie ~p:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
W wyżej opisanym sensie operatora równoważności p|<=>q mamy do czynienia ze światem zdeterminowanym, czyli wiemy z góry co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
Fundamentalnie inaczej jest w operatorach implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q:
2.
Operator implikacji prostej p||=>q:
W operatorze implikacji prostej p||=>q po stronie p mamy spełniony warunek wystarczający =>, czyli gwarancję matematyczną => iż jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q.
Ale!
Po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, czyli jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q lub jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
3.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q:
W operatorze implikacji odwrotnej p||~>q mamy odwrotnie:
Po stronie p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, czyli jeśli zajdzie p to może ~> zajść q lub jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Ale!
Po stronie ~p mamy tu warunek wystarczający =>, czyli mamy gwarancję matematyczną =>, że jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Podsumowując:
Jedynym możliwym operatorem implikacyjnym możliwym do wykorzystania we wszelkich językach programowania komputerów jest tylko i wyłącznie operator równoważności p|<=>q, czego dowodem zajmiemy się w niniejszym rozdziale
Dla zrozumienia niniejszego rozdziału konieczne jest przypomnienie sobie wiadomości podstawowych zawartych w punktach:
2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Dotyczy rozdziału 22.1
2.14 Równoważność p<=>q
2.14.1 Operator równoważności p|<=>q
Dotyczy rozdziału 22.2
2.12 Implikacja prosta p|=>q
2.12.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Dotyczy rozdziału 22.3
2.13 Implikacja odwrotna p|~>q
2.13.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
W języku programowania zachodzi tożsamość pojęć:
Instrukcja warunkowa = Rozkaz warunkowy
Pojęcia elementarne (pkt. 2.2):
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - zdarzenie możliwe
22.1 Operator równoważności p|<=>q w językach programowania
Kwintesencja niniejszego punktu:
Operator równoważności p|<=>q to matematyczny opis rozkazu skoku warunkowego o którym największym ziemskim matematykom się nie śniło tzn. ten opis nie jest znany żadnemu ziemskiemu matemaytykowi.
Prawda absolutna (święta prawda):
Rozkaz skoku warunkowego to absolutny fundament wszelkich języków programowania
Innymi słowy:
Jeśli zabierzemy programistom rozkaz skoku warunkowego to na 100% nie napiszą najprostszego nawet programu, bo będzie to fizycznie niemożliwe.
W tym momencie czytelnik proszony jest o przypomnienie sobie teorii ogólnej równoważności:
2.14 Równoważność p<=>q
2.14.1 Operator równoważności p|<=>q
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => aby zaszło p
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dowód (pkt. 2.9)
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa oraz definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważność <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
tożsamość zdarzeń/zbiorów: | tożsamość zdarzeń/zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań
22.1.1 Symboliczna tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
Symboliczna tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q (pkt. 2.14 i 2.14.1)
| Kod: |
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=> q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1
A1’: p~~>~q=0
A2B2:~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1
B2’:~p~~>q =0
|
22.1.2 Matematyczna interpretacja rozkazu warunkowego:
Matematyczna interpretacja rozkazu warunkowego:
| Kod: |
-----------------------------
|Matematyczna interpretacja |
| rozkazu warunkowego |
-----------------------------
|
----------- -------------------------------------- -----------
|Procedura| | Operator równoważności p|<=>q | |Procedura|
| | ~q | | q | |
| ~q |<---| A1B1: p<=> q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) |--->| q |
| | | A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)| | |
----------- --------------------------------------- -----------
Komentarz:
A1B1:
A1B1: p<=> q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1
A1’: p~~>~q=0
A1B1:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
co skutkuje wykonaniem procedury q
A2B2:
A2B2:~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1
B2’:~p~~>q =0
A2B2:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia ~q
co skutkuje wykonaniem procedury ~q
|
22.2 Implikacja prosta p|=>q
Teoria ogólna implikacji prostej p|=>q wyłożona jest w punktach:
2.12 Implikacja prosta p|=>q
2.12.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1), ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość pozostałych zdań
22.2.1 Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q
Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q (pkt. 2.12 i 2.12.1)
| Kod: |
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q
A1B1:
A1B1: p|=> q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
A1: p=> q =1
B1: p~> q =0
A1’: p~~>~q=0
A2B2:
A2B2:~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)
A2: ~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
“lub”(+)
B2’:~p~~>q =1
|
22.2.2 Matematyczna interpretacja operatora implikacji prostej p||=>q
Matematyczna interpretacja operatora implikacji prostej p||=>q w przełożeniu na języki programowania:
| Kod: |
---------------------------------------
|Matematyczna interpretacja |
|operatora implikacji prostej p||=>q |
|w przełożeniu na języki programowania|
---------------------------------------
|
----------------------------------------
----------- | Operator implikacji prostej p||=>q |
|Procedura| ~q | | q
| |<----| A1B1: p|=> q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) |------------
| ~q | | | A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)| |
----------- | | A2: ~p~>~q „lub”(+) B2’:~p~~>q | |
| ---------------------------------------- |
| ----------- |
-------------------| „lub”(+)|----------------------->|
----------- |
V
-----------
|Procedura|
| |
| q |
-----------
Komentarz:
A1B1:
A1B1: p|=> q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
A1: p=> q =1
A1’: p~~>~q=0
B1: p~> q =0
A1B1:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q,
ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
co skutkuje wykonaniem procedury q
A2B2:
A2B2:~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)
A2: ~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
„lub”(+)
B2’:~p~~>q =1
A2B2:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q,
ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
co skutkuje „rzucaniem monetą” w bloku operatora implikacji prostej p||=>q:
orzełek – wykonana zostaje procedura ~q
reszka – wykonana zostaje procedura q
|
Podsumowanie:
Bezsens użycia operatora implikacji prostej p||=>q w jakimkolwiek języku programowania komputerów widzi tu każdy programista przy zdrowych zmysłach.
22.3 Implikacja odwrotna p|~>q
Teoria ogólna implikacji odwrotnej p|~>q wyłożona jest w punktach:
2.13 Implikacja odwrotna p|~>q
2.13.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań
22.3.1 Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q (pkt. 2.13 i 2.13.1)
| Kod: |
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
A1B1: p|~> q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
B1: p~> q =1
A1: p=> q =0
“lub”(+)
A1’: p~~>~q=1
A2B2:
A2B2:~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1
B2’:~p~~>q =0
|
22.3.2 Matematyczna interpretacja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Matematyczna interpretacja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w przełożeniu na języki programowania:
| Kod: |
---------------------------------------
|Matematyczna interpretacja |
|operatora implikacji odwrotnej p||~>q|
|w przełożeniu na języki programowania|
---------------------------------------
|
----------------------------------------
----------- | Operator implikacji odwrotnej p||~>q |
|Procedura| q | | ~q
| |<----| A1B1: p|~> q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) |------------
| q | | | B1: p~>q=1 „lub”(+) A1’: p~~>~q=1 | |
----------- | | A2B2:~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)| |
| ---------------------------------------- |
| ----------- |
-------------------| „lub”(+)|----------------------->|
----------- |
V
-----------
|Procedura|
| |
| ~q |
-----------
Komentarz:
A1B1:
A1B1: p|~> q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
B1: p~> q =1
A1: p=>q =0
“lub”(+)
A1’: p~~>~q=1
A1B1:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q,
ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
czyli mamy „rzucaniem monetą” w bloku operatora implikacji odwrotnej p||~>q
orzełek – wykonana zostaje procedura q
reszka – wykonana zostaje procedura ~q
A2B2:
A2B2:~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1
A2: ~p~>~q =0
B2’:~p~~>q =0
A2B2:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q,
oraz nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
co skutkuje wykonaniem procedury ~q
|
Podsumowanie:
Bezsens użycia operatora implikacji odwrotnej p||~>q w jakimkolwiek języku programowania komputerów widzi tu każdy programista przy zdrowych zmysłach.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:25, 17 Mar 2025, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 22:12, 24 Lip 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
23.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika
Spis treści
23.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika 1
23.1 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) 2
23.1.1 Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 3
23.2 Prawo Grzechotnika dla dowolnych funkcji n-argumentowych 3
23.2.1 Prawo Sokoła 5
23.2.2 Wielkie prawo Sokoła 5
23.3 Operator dwuargumentowy prosty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 5
23.3.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika 6
23.3.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej prostej 6
23.3.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej prostej 9
23.4 Operator dwuargumentowy złożony w spójnikach „i”(*) I „lub”(+) 9
23.4.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika 9
23.4.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej złożonej 10
23.4.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej złożonej 13
23.5 Funkcje logiczne dwuargumentowe 13
23.5.1 Tabela wszystkich możliwych funkcji dwuargumentowych 15
23.6 Definicja spójników zupełnych w języku potocznym 17
23.6.1 Prawo Puchacza dla spójników zupełnych w języku potocznym 18
23.6.2 Startowa funkcja logiczna 19
23.7 Prawo Grzechotnika dla funkcji logicznych dwuargumentowych 19
23.7.1 Logiczne puzzle 24
23.8 Przykład kluczowy dla potrzeb dowodu prawa Grzechotnika 25
23.8.1 Prawo Grzechotnika dla równoważności p<=>q i spójnika „albo”($) 25
23.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika
W niniejszym rozdziale zajmiemy się ćwiczeniami z prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowych.
Operatory dwuargumentowe definiowane w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dzielimy na:
- operatory dwuargumentowe proste
- operatory dwuargumentowe złożone
Definicja zdania dwuargumentowego prostego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe proste to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną wyłącznie jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q
~Y=~p+~q
Przykład poznaliśmy w punkcie 1.9.
Definicja zdania dwuargumentowego złożonego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe złożone to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną więcej niż jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q+~p*~q
~Y= p*~q + ~p*q
Definicja funkcji logicznej minimalnej:
Funkcja logiczna minimalna to funkcja której nie da się już minimalizować
Przykład:
Dana jest funkcja logiczna:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Polecenie:
Zbadaj, czy powyższa funkcja zapisana jest w postaci minimalnej.
Rozwiązanie:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*q – wyciągnięcie zmiennej przed nawias
Y = p*1 + ~p*q – prawo algebry Boole’a: q+~q =1
Y = p+(~p*q) – prawo algebry Boole’a: x*1=x
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q – wymnożenie wielomianu
~Y = 0+ ~p*~q – prawo algebry Boole’a
~Y = ~p*~q – prawo algebry Boole’a: 0+x=x
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
Y = p+q
Stąd szukana funkcja w wersji minimalnej to:
Y = p+q
Stąd mamy często wykorzystywane prawo logiki matematycznej.
Prawo zamiany spójnika „lub”(+) na serię zdarzeń rozłącznych A, B i C
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
23.1 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)
Definicja spójnika „i”(*):
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Przykład:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y = K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Definicja spójnika „lub”(+):
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Przykład:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
23.1.1 Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y=f(x)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną Y dwustronnie:
#
2.
~Y=~f(x)
Gdzie:
f(x) – dowolne wyrażenie algebry Boole’a
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Przykład:
f(x) = p*q + ~p*~q
stąd mamy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + ~p*~q
23.2 Prawo Grzechotnika dla dowolnych funkcji n-argumentowych
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Definicja funkcji kluczowych dla potrzeb dowodu prawa Grzechotnika:
Funkcje kluczowe dla potrzeb dowodu prawa Grzechotnika, to funkcje A1 i A2 o budowie jak niżej:
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - rożne na mocy definicji
f(x) – dowolne wyrażenie algebry Boole’a
~f(x) – negacja wyrażenia f(x)
Przykład:
f(x) = p*q+~p*~q
co wymusza funkcję logiczną:
Y = p*q + ~p*~q
Definicja operatora kluczowego:
Operator kluczowy to układ równań Y i ~Y dla funkcji kluczowych A1 i A2
Weźmy funkcję A1:
A1: Y=f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję A1:
B1: ~Y=~f(x)
##
Weźmy funkcję A2:
A2: Y=~f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję A2:
B2: ~Y=f(x)
Umieśćmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Funkcja A1:
A1: Y= f(x) # B1: ~Y=~f(x)
## ##
Funkcja A2:
A2: Y=~f(x) # B2: ~Y= f(x)
|
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~f(x)=~(f(x))
Stąd mamy:
Wyrażenie f(x) musi być wszędzie tym samym f(x), inaczej błąd podstawienia
Podobnie funkcja Y musi być wszędzie tą samą funkcją Y, inaczej błąd podstawienia
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli T1 widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy zatem z tabeli T1 wszelkie funkcje logiczne Y i ~Y.
| Kod: |
T1"
Funkcja A1:
A1: f(x) # B1:~f(x)
Funkcja A2:
A2:~f(x) # B2: f(x)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale widać, że w tabeli T1" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli T1” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
23.2.1 Prawo Sokoła
Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.
Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) nie jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
23.2.2 Wielkie prawo Sokoła
Wielkie prawo Sokoła:
Warunkiem koniecznym braku wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest akceptacja prawa Sokoła
23.3 Operator dwuargumentowy prosty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja zdania dwuargumentowego prostego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe proste to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną wyłącznie jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q
~Y=~p+~q
Definicję i sens operatora dwuargumentowego prostego poznamy na przykładach rodem z przedszkola.
23.3.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika
Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika:
Przykład kluczowy to dwie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) o następującej budowie
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
~f(x) – negacja wyrażenia f(x)
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że funkcje logiczne A1 i A2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
23.3.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej prostej
A1.
Weźmy funkcję logiczną A1:
A1: Y=p+q
Definicja operatora logicznego Y|=p+q:
Operator logiczny Y|=p+q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1.
Y=p+q
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną 1 stronami:
B1.
~Y=~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony
Przykład z przedszkola A1
A1.
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Kto wie kiedy jutro dotrzymam słowa?
Jaś (lat 5):
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Pani:
Bardzo dobrze Jasiu, a kiedy jutro nie dotrzymam słowa (~Y=1)?
#
Jaś (lat 5):
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y
##
A2.
Weźmy funkcję logiczną A2:
A2: Y=~(p+q)=~p*~q - prawo De Morgana
Definicja operatora logicznego Y|=~p*~q:
Operator logiczny Y|=~p*~q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A2.
Y=~p*~q
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2.
~Y=p+q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony
Przykład z przedszkola A2
A2.
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy równanie A2 stronami:
B2.
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych w logice dodatniej bo (Y)
A1: Y=p+q ## A2: Y=~p*~q
Umieśćmy nasze przykłady A1 i A3 w tabeli prawdy:
| Kod: |
PA1A2:
A1: Y= K+ T # B1: ~Y=~K*~T
## ##
A2: Y=~K*~T # B2: ~Y= K+ T
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Zauważmy że:
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie Y.
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie ~Y.
Doskonale widać, że w tabeli PA1A2 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Znaczenie funkcji Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
lub krótko:
Y - pani dotrzyma słowa Y
Także znaczenie funkcji ~Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko:
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y
O różności na mocy definicji ## dokładnie tych samych funkcji w logice dodatniej (bo Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie tego samego symbolu Y.
cnd
23.3.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej prostej
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy z tabeli PA1A2 wszelkie funkcje Y i ~Y:
| Kod: |
PA1A2":
A1: K+ T # B1: ~K*~T
A2:~K*~T # B2: K+ T
|
Doskonale widać, że w tabeli PA1A2" po przekątnych zachodzą tożsamości matematyczne, co oznacza gwałt na najważniejszym znaczku logiki matematycznej, znaczku różne na mocy definicji ##.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
23.4 Operator dwuargumentowy złożony w spójnikach „i”(*) I „lub”(+)
Definicja zdania dwuargumentowego złożonego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe złożone to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną więcej niż jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q+~p*~q
~Y= p*~q + ~p*q
Definicję i sens operatora dwuargumentowego złożonego poznamy na przykładach rodem z I klasy LO.
23.4.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika
Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika:
Przykład kluczowy to dwie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) o następującej budowie
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
~f(x) – negacja wyrażenia f(x)
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że funkcje logiczne A1 i A2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
23.4.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej złożonej
A1.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
A1: Y= p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja operatora logicznego Y|=p*q+~p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny Y|=p*q+~p*~q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1.
Y=(p*q)+(~p*~q)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B1”.
~Y=(~p+~q)*(p+q)
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała dla człowieka (dowód w pkt. 1.10) dlatego musimy wymnożyć wielomian przechodzą do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
Stąd mamy:
B1.
~Y = p*~q + ~p*q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony
Przykład ze szkoły A1
A1.
Pani w szkole A1 wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yc - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya+Yc
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Odpowiedź na to pytanie wyprowadziliśmy wyżej:
B1.
~Y = B: K*~T + D: ~K*T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
~Yd = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yd - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd
Doskonale widać, że ta odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) również jest intuicyjnie zrozumiała.
##
A2.
Definicja spójnika „albo”($) wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y= p$q = p*~q + ~p*q
Definicja operatora logicznego Y|= p*~q + ~p*q
Operator logiczny Y|=p*~q + ~p*q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A2.
Y= (p*~q) + (~p*q)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2”.
Przejście z funkcją A2 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = (~p+q)*(p+~q) – funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała dla człowieka (dowód w pkt. 1.10) dlatego musimy wymnożyć wielomian przechodzą do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
~Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = 0 + ~p*~q + q*p + 0 = p*q + ~p*~q
Stąd mamy:
B2.
~Y = p*q + ~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony
Przykład ze szkoły A2
A2.
Pani w szkole A2 wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y = K$T = B: K*~T + D: ~K*T
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K*~T + D: ~K*T
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=K*~T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
D: Yd=~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
Y = Yb+Yd – suma logiczna funkcji cząstkowych Yb i Yd
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Odpowiedź na to pytanie wyprowadziliśmy wyżej:
B2.
~Y = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
„lub”(+)
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yd - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd
Doskonale widać, że ta odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) również jest intuicyjnie zrozumiała.
Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych w logice dodatniej bo (Y)
A1: Y=p*q + ~p*~q ## A2: Y=p*~q+~p*q
Umieśćmy nasze przykłady A1 i A2 w tabeli prawdy:
| Kod: |
PA1A2:
A1: Y= K* T+~K*~T # B1: ~Y= K*~T+~K* T
## ##
A2: Y= K*~T+~K* T # B2: ~Y= K* T+~K*~T
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Zauważmy że:
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie Y.
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie ~Y.
Doskonale widać, że w tabeli PA1A2 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Znaczenie funkcji Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
lub krótko:
Y - pani dotrzyma słowa Y
Także znaczenie funkcji ~Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko:
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y
23.4.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej złożonej
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy z tabeli PA1A2 wszelkie funkcje Y i ~Y:
| Kod: |
PA1A2”:
A1: K* T+~K*~T # B1: K*~T+~K* T
A2: K*~T+~K* T # B2: K* T+~K*~T
|
Doskonale widać, że w tabeli PA1A2" po przekątnych zachodzą tożsamości matematyczne, co oznacza gwałt na najważniejszym znaczku logiki matematycznej, znaczku różne na mocy definicji ##.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
23.5 Funkcje logiczne dwuargumentowe
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y=f(p,q) w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
Definicja operatora logicznego dwuargumentowego Y|=f(p,q) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny dwuargumentowy Y|=f(p,q) wyrażony spójnikami "i”(*) i "lub"(+) to układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y=f(p,q)
.. a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną 1 dwustronnie:
2.
~Y=~f(p,q)
Przykład:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne (dwuwartościowe) na wejściach p i q dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) to:
| Kod: |
T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściach p i q
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
p q Y=f(p,q)
A: 1 1 x
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x
Gdzie:
x={0,1}
Y - funkcja logiczna
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
|
Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwe jest szesnaście i tylko szesnaście różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wspólne wymuszenia na wejściach p i q oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.
Każda ze zmiennych binarnych {p, q, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Oczywistym jest, że zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
| Kod: |
T2
Wymuszenia binarne w logice dodatniej {p, q, Y}
wymuszają logikę ujemną {~p, ~q, ~Y) i odwrotnie.
p q Y=f(p,q) # ~p ~q ~Y=~f(p,q)
A: 1 1 x # 0 0 ~(x)
B: 1 0 x # 0 1 ~(x)
C: 0 1 x # 1 0 ~(x)
D: 0 0 x # 1 1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
f(p,q) - wyrażenie algebry Boole’a
Y=f(p,q) # ~Y=~f(p,q)
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
23.5.1 Tabela wszystkich możliwych funkcji dwuargumentowych
W tabeli wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych TF2 (niżej) po raz pierwszy w historii ludzkości zdefiniowano wszystkie występujące w logice matematycznej, elementarne znaczki logiczne.
| Kod: |
TF2
Tabela prawdy wszystkich możliwych dwuargumentowych funkcji logicznych Y
w logice dodatniej (bo Y)
|Grupa I |Grupa II |Grupa III | Grupa IV
|Spójniki „i”(*)|Spójniki =>, ~>|Spójniki <=>, $ | Wejścia
|oraz „lub”(+) ||=>, |~> ||~~>, |~~~> | p i q
| Y Y | Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y | Y Y Y Y
p q | * + | ~* ~+ | => ~> |=> |~> | <=> $ |~~> |~~~>| p q ~p ~q
A: 1 1 | 1 1 | 0 0 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 1 1 0 0
B: 1 0 | 0 1 | 1 0 | 0 1 0 1 | 0 1 1 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 | 0 1 | 1 0 | 1 0 1 0 | 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 | 0 0 | 1 1 | 1 1 0 0 | 1 0 1 0 | 0 0 1 1
A A A A A A A A A A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Dwie funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q:
p - w logice dodatniej (bo p)
oraz
q - w logice dodatniej (bo q)
mają różne kolumny wynikowe Y w logice dodatniej (bo Y).
Doskonale widać, że wszystkie funkcje Y w tabeli TF2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y)
Poprawność powyższej definicji łatwo sprawdzić w laboratorium bramek logicznych:
1.
Budujemy 16 różnych na mocy definicji ## bramek logicznych definiowanych tabelą TF0-15
2.
Wybieramy dowolne dwie różne bramki łącząc galwanicznie ich wyjścia Y.
Na wspólnych wejściach p i q wybranych bramek wymuszamy wszystkie możliwe kombinacje zero-jedynkowe ABCDpq.
3.
Pewne jest, że w laboratorium zobaczymy kupę dymu i smrodu co jest dowodem różności na mocy definicji ## wybranych bramek.
Prawo negacji funkcji logicznej:
Dowolną funkcję logiczną mamy prawo dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej.
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny Y|=f(x) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Zastosujmy prawo negacji funkcji logicznej do tabeli TF2
| Kod: |
TF0-15
-------------------------------------------------------------------
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q "i"(*) w j. potocznym # B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
## ##
A1: Y=p+q "lub"(+) w j. potocznym # B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
## ##
A2: Y=~(p*q)=~p+~q NAND w technice # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
A3: Y=~(p+q)=~p*~q NOR w technice # B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
##
--------------------------------------------------------------------
TF4-5
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: Y = (p~>q) = p+~q # B5: ~Y=~(p~>q) =~p* q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
## ##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q # B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF8-9
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q # B8: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
## ##
Definicja spójnika „albo”($):
A9: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q # B9: ~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF10-11
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu (zdanie zawsze prawdziwe): Y=p|~~>q=1:
A10: Y=p|~~>q=(p+q+~p*~q)=1 # B10: ~Y=~(p|~~>q)=(p+q)*~(p+q)=0
## ##
Definicja śmierci (zdanie zawsze fałszywe): Y=p|~~~>q=0:
A11: Y =p|~~~>q = (p+q)*~(p+q)=0 # B11: ~Y=~(p|~~~>q)=(p+q+~p*~q)=1
##
--------------------------------------------------------------------
TF12-15
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
## ##
A12: Y = p # B12:~Y=~p
## ##
A13: Y = q # B13:~Y=~q
## ##
A14: Y =~p # B14:~Y= p
## ##
A15: Y =~q # B15:~Y= q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia |
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) w ilości 16 sztuk (A0-A15) to funkcje różne na mocy definicji ##.
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli TF0-15 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
23.6 Definicja spójników zupełnych w języku potocznym
Definicja spójników zupełnych w języku potocznym:
Spójniki zupełne w języku potocznym (w tym w matematyce i fizyce) to spójniki "i"(*) i "lub"(+) przy pomocy których można zdefiniować każdą z 16 możliwych funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) oraz w logice ujemnej (bo ~Y) widocznych w tabeli TF0-15.
Jedynymi spójnikami zupełnymi w logice matematycznej zgodnymi z językiem potocznym 5-cio latków są spójniki z algebry Boole'a:
(+) - spójnik "lub"(+) zgodny z językiem potocznym
(*) - spójnik "i"(*) zgodny z językiem potocznym
Dowód tego faktu znajdziemy w punkcie 1.10.
23.6.1 Prawo Puchacza dla spójników zupełnych w języku potocznym
Prawo Puchacza dla spójników zupełnych w języku potocznym:
Funkcje logiczne Y i ~Y opisujące linię x w tabeli TF0-15 dostępne są tylko i wyłącznie w linii x.
Żadna z tych funkcji nie jest dostępna w jakiejkolwiek linii poza linią x
W tabeli TF0-15 widać, że dowolna linia tej tabeli jest różna na mocy definicji ## od jakiejkolwiek innej linii w tej tabeli.
Definicja operatora logicznego Y|=f(x)w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Operator logiczny Y|=f(x) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Rozważmy sztandarowy przykład:
I.
Definicja operatora "lub"(|+) A1B1:
Patrz tabela TF0-15:
A1
Definicja spójnika "lub"(+):
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy dwustronnie 1:
B1.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Łatwo sprawdzić w tabeli TF0-15, iż przykładowa funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y):
A1.
Definicja spójnika "lub"(+):
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
należy tylko i wyłącznie do operatora "lub"(|+) (A1B1) nie należąc do jakiegokolwiek innego operatora zdefiniowanego w tabeli TF0-15.
Łatwo też sprawdzić w tabeli TF0-15, iż przykładowa funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y):
B1.
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
należy tylko i wyłącznie do operatora "lub"(|+) (A1B1) nie należąc do jakiegokolwiek innego operatora zdefiniowanego w tabeli TF0-15.
23.6.2 Startowa funkcja logiczna
Definicja startowej funkcji logicznej:
Startowa funkcja logiczna to funkcja opisująca zdanie startowe wypowiedziane przez człowieka, od którego zaczynamy analizę.
Przykład:
Pani przedszkolanka:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję startową 1 dwustronnie.
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Znaczenie zmiennej Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Doskonale widać, że funkcją startową jest tu funkcja:
1: Y=K+T
23.7 Prawo Grzechotnika dla funkcji logicznych dwuargumentowych
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Najsmutniejszy w tym wszystkim jest fakt, że logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) doskonale znają w praktyce wszystkie 5-cio latki, czego dowód znajdziemy w punkcie 1.9 (sterowanie windą) … a ziemscy matematycy nigdy o matematycznej logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) nie słyszeli.
Dowód prawa Grzechotnika:
Funkcje logiczne z tabeli TF0-15 wolno nam dowolnie przestawiać, co ma zerowy wpływ na działanie tej tabeli.
Przepiszmy tabelę TF0-15 przestawiając w kolumnie Bx funkcje logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) w taki sposób, by uzyskać tożsamość wyrażeń algebry Boole'a widniejących z prawej strony funkcji ~Y.
| Kod: |
TF0-15"
-------------------------------------------------------------------
TF0-3"
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q ## B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
A1: Y=p+q ## B3: ~Y=~(~p*~q) = p+ q
A2: Y=~(p*q)=~p+~q ## B0: ~Y=~( p* q) =~p+~q
A3: Y=~(p+q)=~p*~q ## B1: ~Y=~( p+ q) =~p*~q
--------------------------------------------------------------------
TF4-5"
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q ## B7: ~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Definicja warunku koniecznego p~>q:
A5: Y = (p~>q) = p+~q ## B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
--------------------------------------------------------------------
TF6-7"
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q ## B5: ~Y=~(p~>q) =~p* q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
A7: Y = p|~>q = p*~q ## B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
--------------------------------------------------------------------
TF8-9"
Grupa spójników równoważnościowych p<=>q i p$q
Definicja równoważności p<=>q:
A8: Y = p<=>q = ~(p$q) =p*q+~p*~q ## B9: ~Y=~(p$q) =(p<=>q)=p*q+~p*~q
Definicja spójnika „albo”($):
A9: Y = p$q = ~(p<=>q)=p*~q+~p*q ## B8: ~Y=~(p<=>q)=(p$q)=p*~q+~p*q
--------------------------------------------------------------------
TF10-11"
Grupa spójników chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu (zdanie zawsze prawdziwe): Y=p|~~>q=1:
A10: Y=p|~~>q=(p+q+~p*~q)=1 ## B11: ~Y=~(p|~~~>q)=(p+q+~p*~q)=1
Definicja śmierci (zdanie zawsze fałszywe): Y=p|~~~>q=0:
A11: Y=p|~~~>q = (p+q)*~(p+q)=0 ## B10: ~Y=~(p|~~>q)=(p+q)*~(p+q)=0
----------------------------------------------------------------------
TF12-15"
Grupa spójników jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A12: Y = p ## B14:~Y= p
A14: Y =~p ## B12:~Y=~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia |
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w każdej z linii tabeli TF0-15" definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest spełniona
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Doskonale widać, że jeśli w tabeli T0-15" usuniemy wszelkie funkcje logiczne Y oraz ~Y pozostawiając wyłącznie wyrażenia algebry Boole'a to w każdej z linii musimy postawić znak tożsamości logicznej "=", co oznacza gwałt na najważniejszym znaczku logiki matematycznej, znaczku różne na mocy definicji ##.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
Wnioski:
1.
Funkcje logiczne w tabeli TF0-15 wolno nam dowolnie przestawiać.
W tabeli TF0-15" funkcje serii Bx poprzestawialiśmy tak, by prawe strony funkcji logicznych (wyrażenia algebry Boole'a) były tożsame.
Uwaga:
W szczególności w tabeli TF0-15 możemy wszystkie funkcje poprzestawiać losowo, ale znaczek różne na mocy definicji ## dalej będzie obowiązywał, nawet w takiej chaotycznej tabeli TF0-15.
Analogia do tabliczki mnożenia do 100 jest tu absolutna. W tabliczce mnożenia do 100 wszystkie działania każde z każdym możemy zapisać w totalnym chaosie co jest bez znaczenia dla jej działania.
2.
Doskonale widać, że w tabeli TF0-15" mimo tożsamych prawych stron wszystkich funkcji logicznych znaczek różne na mocy definicji ## dalej obowiązuje, bowiem w kolumnie serii Ax mamy wszystkie funkcje w logice dodatniej (bo Y), zaś w kolumnie serii Bx mamy wszystkie funkcje w logice ujemnej (bo ~Y).
3.
Od strony czysto teoretycznej dowód iż w tabeli TF0-15" dalej obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ## (mimo tożsamych prawych stron funkcji logicznych) uzyskamy negując dwustronnie wszystkie funkcje w kolumnie Bx, czyli sprowadzając tabelę TF0-15" do tej samej logiki dodatniej (bo Y).
4.
Alternatywnie możemy spojrzeć na tabelę TF0-15" z tej samej logiki ujemnej (bo ~Y) negując dwustronnie wszystkie funkcje serii Ax - również uzyskamy dowód iż wszystkie funkcje w tabeli TF0-15" są różne na mocy definicji ##
Przykład:
Weźmy pierwszą linijkę z tabeli TF0-15"
| Kod: |
TF0-15"
-------------------------------------------------------------------
TF0-3"
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y=p*q ## B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
|
Klasyczne tu zadanie matematyczne jest następujące.
Zadanie A0B2:
Udowodnij, że funkcja logiczna A0 jest różna na mocy definicji ## od funkcji logicznej B2.
Rozwiązanie:
Aby udowodnić czy między dwoma funkcjami Y i ~Y spełniona jest definicja znaczka różne na mocy definicji ## funkcje te musimy sprowadzić do tej samej logiki dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y).
Stąd:
Postawione zadanie ma dwa tożsame rozwiązania.
Rozwiązanie 1
Sprowadzamy funkcję B2 do logiki dodatniej (bo Y) negując ją dwustronnie:
B2: ~Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
B2": Y = ~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana.
Dopiero teraz mając funkcje w tej samej logice dodatniej (bo Y), możemy porównywać funkcje logiczne A0 i B2":
| Kod: |
A0: Y=p*q ## B2: ~Y=p*q # B2": Y=~p+~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia |
Stąd mamy wyprowadzoną, najprostszą definicję znaczka ##.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice matematycznej, dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame.
Jak udowodnić w praktyce, że funkcja
A0: Y=p*q
jest różna na mocy definicji ## od funkcji
B2”: Y=~p+~q?
W laboratorium układów cyfrowych łatwo budujemy bramki logiczne A0 i B2" po czym łączymy galwanicznie ich wyjścia Y wymuszając na wspólnych wejściach p i q wszystkie możliwe stany logiczne.
Pewne jest, że zobaczymy kupę dymu i smrodu co oznacza, że funkcja logiczna A0: Y=p*q jest różna na mocy definicji ## od funkcji logicznej B2": Y=~p+~q.
cnd
Rozwiązanie 2
Sprowadzamy funkcję A0 do logiki ujemnej (bo ~Y) negując ją dwustronnie:
A0: Y=p*q
Negujemy dwustronnie:
A0": ~Y = ~(p*q) = ~p+~q - na mocy prawa De Morgana.
Dopiero teraz mając funkcje w tej samej logice ujemnej (bo ~Y), możemy porównywać funkcje logiczne A0" i B2:
| Kod: |
A0: Y=p*q # A0":~Y=~p+~q ## B2: ~Y=p*q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia |
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice matematycznej, dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame.
Jak udowodnić w praktyce, że funkcja
A0”: ~Y=~p+~q
jest różna na mocy definicji ## od funkcji
B2”: ~Y=p*q
W laboratorium układów cyfrowych łatwo budujemy bramki logiczne A0 i B2" po czym łączymy galwanicznie ich wyjścia Y wymuszając na wspólnych wejściach p i q wszystkie możliwe stany logiczne.
Pewne jest, że zobaczymy kupę dymu i smrodu co oznacza, że funkcja logiczna A0”: ~Y=~p+~q jest różna na mocy definicji ## od funkcji logicznej B2: ~Y=p*q
cnd
23.7.1 Logiczne puzzle
Zadanie 1.
Dane jest pudełko z losowo pomieszanymi funkcjami logicznymi z tabeli TF0-15 zapisanymi na kolorowych tekturkach.
| Kod: |
TP
Losowa zawartość pudełka logiki matematycznej TF0-15.
A2: Y=~(p*q)=~p+~q
B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
A4: Y = (p=>q) = ~p+q
B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
A6: Y = p|=>q =~p* q
|
Polecenie:
Odtwórz zawarty w pudełku fragment tabeli TF0-15
Rozwiązanie Jasia:
| Kod: |
TF0-15
-------------------------------------------------------------------
TF0-3
Grupa spójników „i”(*) oraz „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y)
oraz w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: Y=~(p*q)=~p+~q # B2: ~Y=~(~p+~q) = p* q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF4-5
Grupa warunków wystarczających p=>q i koniecznych p~>q:
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
A4: Y = (p=>q) = ~p+q # B4: ~Y=~(p=>q) = p*~q
## ##
--------------------------------------------------------------------
TF6-7
Grupa spójników implikacyjnych p|=>q i p|~>q:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
A6: Y = p|=>q =~p* q # B6: ~Y=~(p|=>q)= p+~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia |
Jak widzimy, Jaś nie miał żadnych problemów z rozwiązaniem zadania 1.
23.8 Przykład kluczowy dla potrzeb dowodu prawa Grzechotnika
Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika:
Przykład kluczowy to dwie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) o następującej budowie
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
Przykład:
f(x) = p*q+~p*~q
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że funkcje logiczne A1 i A2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Ćwiczenia z przykładów kluczowych dla potrzeb prawa Grzechotnika zawarto w punkcie 23.0
23.8.1 Prawo Grzechotnika dla równoważności p<=>q i spójnika „albo”($)
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
##
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = p$q = p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (bo prawe strony Y nie są tożsame)
Analiza A1 dla równoważności p<=>q:
A1.
Kiedy zajdzie Y?
Y = p*q +~p*~q – logika dodatnia (bo Y)
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A1 przechodząc do logiki ujemnej (bo ~Y) pozostając przy funkcji alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej dla 5-cio latka.
B1.
~Y=p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Dowód poprawności przejścia z A1 do B1:
A1: Y = (p*q) + (~p*~q)
Algorytm Wuja Zbója:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
B1: ~Y = (~p+~q)*(p+q) – funkcja koniunkcyjno-alternatywna
B1: ~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + ~q*p + 0 = p*~q + ~p*q
B1: ~Y = p*~q + ~p*q
##
Analiza A2 dla spójnika „albo”($):
A2.
Kiedy zajdzie Y?
Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
#
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A2 przechodząc do logiki ujemnej (bo ~Y) pozostając przy funkcji alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej dla 5-cio latka.
B2.
~Y= p*q + ~p*~q
Dowód poprawności przejścia z A2 do B2:
A2: Y = (p*~q) + (~p*q)
Algorytm Wuja Zbója:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
B2: ~Y = (~p+q)*(p+~q) – funkcja koniunkcyjno-alternatywna
B2: ~Y = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = 0 + ~p*~q + q*p + 0 = p*q+~p*~q
B2: ~Y = p*q + ~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Podsumujmy nasze analizy w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
A1: Y= p* q + ~p*~q # B1: Y= p*~q + ~p* q
## ##
A2: Y= p*~q + ~p* q # B2: ~Y= p* q + ~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Jak widzimy, w tabeli T1 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Doskonale widać, że jeśli w tabeli T1 pozostawimy wyłącznie wyrażenia algebry Boole’a (dokładnie to robi ziemski rachunek zero-jedynkowy) wykopując w kosmos znaczki Y i ~Y to po przekątnych będziemy mieli tożsamości logiczne co oznacza, że najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## zostanie zgwałcony.
Wniosek:
Prawo Grzechotnika zostało udowodnione
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:13, 17 Mar 2025, w całości zmieniany 14 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 22:14, 24 Lip 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
24.0 Obietnice i groźby złożone
Spis treści
24.0 Obietnice i groźby złożone 1
24.1 Obietnice złożone typu f(p)=>f(q) 1
24.1.1 Prawo transformacji w obietnicy 3
24.2 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony 4
24.2.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z 6
24.3 Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz to dostaniesz czekoladę i klocki lego 11
24.3.1 Analiza operatora implikacji prostej (W+P)||=>(C*L) 12
24.4 Groźby złożone typu f(p)~>f(q) 16
24.4.1 Prawo transformacji w groźbie 18
24.5 Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie 20
24.5.1 Analiza operatora implikacji odwrotnej (~P+B)||~>L 22
24.0 Obietnice i groźby złożone
Niezbyt złożone obietnice i groźby dość często występują w języku potocznym, dlatego z ich matematyczną obsługą teraz się zapoznamy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
24.1 Obietnice złożone typu f(p)=>f(q)
Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)
Obietnica złożona typu f(p)=>f(q) to obietnica klasyczna W=>N gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi wyrażeniami algebry Boole’a tzn. akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(x)=p*q+~p*~q
W praktyce, w obietnicach występują tu najprostsze wyrażenia typu:
f(x) = p+q
f(x)=p*q
Przykład:
A1.
Jeśli posprzątasz pokój i będziesz grzeczny to dostaniesz czekoladę
(P*G)=>C =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = P*G - posprzątasz pokój i będziesz grzeczny
q = C - dostaniesz czekoladę
Stąd mamy to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Posprzątanie pokoju i bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady.
Dostanie czekolady jest dla dziecka nagrodą, stąd obietnicę A1 musimy kodować warunkiem wystarczającym p=>q wchodzącym w skład implikacji prostej p|=>q
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Zapiszmy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości/fałszywości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Wszelkie obietnice i groźby to z definicji opisy nieznanej przyszłości, których matematyczny opis jest wyłącznie w kolumnach A1B1 i A2B2.
Kolumny A3B3 i A4B4 opisują obietnice i groźby w czasie przeszłym, gdy nie znamy rozstrzygnięcia - mówi o tym prawo transformacji.
24.1.1 Prawo transformacji w obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Na mocy prawa Kłapouchego to samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
p=P (pada)
q=OP (otworzę parasol)
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)
Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
Zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
to samo w zapisach formalnych:
~q=>~p =1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Jak widzimy bez zastosowania prawa transformacji zdanie A4 jest kompletnie bez sensu, ale …
Zdanie A4 w czasie przeszłym.
Jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie otwarcia parasola.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłeś parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
To samo w zapisach formalnych:
A4: ~q=>~p =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało, że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1
To samo w zapisach formalnych:
A4: ~q=>~p =1
W niniejszym rozdziale będziemy zajmować się złożonymi obietnicami w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przyszłość.
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w obsłudze obietnicy p=>q
Matematyczna obsługa obietnicy p=>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących obietnice w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0
B’: = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
24.2 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Weźmy złożoną obietnicę Chrystusa (MK16):
A1.
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
(W*CH)=>Z =1
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=(W*CH) - wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH)
q= Z (zbawienie)
Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)
Rozstrzygnięcie:
W następniku mamy tu nagrodę „zbawienie”, gdzie warunek otrzymania tej nagrody jest precyzyjnie określony, zatem na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający (W*CH)=>Z wchodzący w skład implikacji prostej (W*CH)|=>Z.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane tzn. nic więcej nie musimy udowadniać.
Zdanie A1: (W*CH)=>Z to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej A1B1: (W*CH)|=>Z.
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Nasz przykład:
A1: (W*CH)=>Z =1 - wiara (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) wystarczająca => dla zbawienia (Z)
B1: (W*CH)~>Z =0 - wiara (W) i przyjęcie chrztu (CH) nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia (Z)
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1
Podstawmy nasze parametry aktualne do kolumn A1B1 i A2B2
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W*CH,Z}:
A1B1:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
W*CH=>Z =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=W*CH - wierzy i przyjmie chrzest
q=Z - zostanie zbawiony
A1: (W*CH)=>Z=1 - wiara i przyjęcie chrztu jest wystarczająca dla zbawienia
B1: (W*CH)~>Z=0 - wiara i przyjęcie chrztu nie jest konieczna dla zbawienia
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p => q =1 = 2: ~p ~> ~q =1
A: 1: W* CH=> Z =1 = 2: ~W+~CH ~>~Z =1
A’: 1: p ~~>~q =0 =
A’: 1: W* CH~~>~Z=0 =
## ##
B: 1: p ~> q =0 = 2: ~p => ~q =0
B: 1: W* CH ~> Z=0 = 2: ~W+~CH=>~Z =0
B’: 2: ~p ~~> q =1
B’: 2: ~W+~CH~~> Z =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości/fałszywości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: (W*CH)|=>Z na mocy definicji obietnicy.
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A1B1 przechodząc do kolumny A2B2
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A2B2 przechodząc do kolumny A1B1
24.2.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z
Operator implikacji prostej p||=>q do układ równań A1B1: p|=>q i A2B2: ~p|~>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p
Kolumna A1B1
Odpowiedź na pytanie o p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli uwierzę (W) i przyjmę chrzest (CH)?
A1B1:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
W*CH=>Z =1
Punkt odniesienia:
p=W*CH - wierzy i przyjmie chrzest
q=Z - zostanie zbawiony
A1: (W*CH)=>Z=1 - wiara i przyjęcie chrztu jest (=1) wystarczająca => dla zbawienia
B1: (W*CH)~>Z=0 - wiara i przyjęcie chrztu nie (=0) jest konieczna ~> dla zbawienia
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1
A1.
Kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH), będzie zbawiony (Z)
Ya = (W*CH)=>Z =1
To samo w zapisie formalnym:
Ya = p=>q =1
Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)
Czytamy:
Chrystus dotrzyma słowa (Ya=1) gdy człowieka który w niego wierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1), zbawi (Z=1)
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) może ~~> nie zostać zbawiony (~Z)
Yb = (W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =0
To samo w zapisie formalnym:
Yb = p~~>~q = p*~q =1*1 =0
Zapis matematycznie tożsamy to:
(Yb=0) <=> p=1*~q=1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy człowiek który wierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1) nie zostanie zbawiony (~Z=1)
Innymi słowy:
Zakaz karania kogokolwiek kto spełnił w 100% warunek otrzymania nagrody w zdaniu A1.
Uwaga:
W całej niniejszej analizie Chrystus może zostać kłamcą tylko i wyłącznie w opisanym wyżej fałszywym kontrprzykładzie A1’, czyli gdyby kogokolwiek kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) nie zbawi (pośle do piekła). Sęk w tym, że nie może tego zrobić, bo wówczas wiara w niego straciłaby sens. Człowiek może bez problemu nie dotrzymać dowolnej obietnicy (fundament działania oszustów), ale Bóg nie ma do tego prawa i w tym sensie wolna wola Chrystusa jest mniejsza od wolnej woli człowieka.
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd:
Zapis w naturalnej logice matematycznej człowieka, gdzie domyślnie mamy do czynienia wyłącznie z logicznymi jedynkami
~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Yb=1) gdy człowieka który uwierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1), nie zbawi (~Z=1)
~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Skrócony algorytm przejścia do logiki ujemnej (bo ~q):
W równaniu A1 negujemy zmienne i zamieniamy wszystkie znaczki na przeciwne: (*) na (+) oraz warunek wystarczający => na warunek konieczny ~>.
Mamy zdanie A1:
A1: (W*CH) => Z
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q
stąd po negacji zmiennych i wymianie spójników na przeciwne mamy:
A2: (~W+~CH)~>~Z
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~> bo w następniku mamy tu czystą karę:
~Z - nie zostanie zbawiony (pójdzie do piekła)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Nie zbawiony (~Z) = idzie do piekła (P)
~Z=P
Idzie do piekła (P) = nie zbawiony (~Z)
P = ~Z
Stąd mamy:
Kolumna A2B2:
Odpowiedź na pytanie o ~p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli nie uwierzę (~W) lub nie przyjmę chrztu (~CH)?
A2B2:
Kto nie uwierzy lub nie przyjmie chrztu, ten nie będzie zbawiony.
(~W+~CH)~>~Z =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Gdzie:
~p = (~W+~CH) - nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (~CH)
~q=~Z - nie zostanie zbawiony (~Z)
A2: (~W+~CH) ~>~Z =1 - (~W+~CH) jest (=1) konieczne ~> dla nie zbawienia (~Z)
B2: (~W+~CH) =>~Z =0 - (~W+~CH) nie jest (=0) wystarczające => dla nie zbawienia (~Z)
Stąd:
A2B2: (~W+~CH)|~>~Z = (A2: (~W+~CH)~>~Z)*~(B2: (~W+~CH)=>~Z)=1*~(0)=1*1=1
A2.
Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (~CH), ten ~> nie zostanie zbawiony (~Z)
A2: Yc = (~W+~CH) ~>~Z =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: Yc = ~p~>~q =1
Brak wiary (~W) lub nie przyjęcie chrztu (~CH) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z), bo jak kto wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) to na 100% => zostanie zbawiony (Z).
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: (~W+~CH)~>~Z = A1: (W*CH) =>Z
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Przyjrzyjmy się bliżej grupom ludzi które Chrystus ma prawo nie zbawić (~Z) na mocy warunku koniecznego ~> A2 i matematycznym kłamcą nie będzie.
A2: Yc = (~W+~CH) ~>~Z =1
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=~W (nie uwierzy)
q=~CH (nie przyjmie chrztu)
Stąd mamy:
~W+~CH = (~W)*(~CH) + (~W)*~(~CH) + ~(~W)*(~CH) = ~W*~CH + ~W*CH + W*~CH
Stąd w przełożeniu na nasz przykład mamy poprzednik w zdarzeniach rozłącznych:
~W+~CH = 1: W*~CH + 2: ~W*~CH + 3: ~W*CH
Po rozwinięciu poprzednika w zbiorach rozłącznych mamy:
A2: Yc = (1: W*~CH + 2: ~W*~CH + 3: ~W*CH) ~>~Z =1
Gdzie:
Rozłączne grupy ludzi opisane w poprzedniku zdania A2 to:
1: W*~CH =1*1 =1 - uwierzy (W=1) ale nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
2: ~W*~CH=1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) i nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
3: ~W*CH =1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) ale przyjmie Chrzest (CH=1)
Człowieka należącego do dowolnej z powyższych grup Chrystus ma prawo nie zbawić (posłać do piekła) i matematycznym kłamcą nie będzie
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: (~W+~CH)=>~Z=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’
Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (CH), ten może ~~> zostać zbawiony (Z)
B2’: Yd = (~W+~CH) ~~>Z = (~W+~CH)*Z =1
To samo w zapisie formalnym:
B2’: Yd = ~p~~>q =~p*q =1
Jest taka możliwość (=1) na mocy definicji obietnicy A1: (W*CH)=>Z
W zdaniu B2’ w poprzedniku mamy dokładnie te same grupy ludzi co w groźbie A2 z tym, że tu Chrystus może zbawić wszystkich 1+2+3 lub tylko dowolnie wybrane grupy, ma tu 100% wolnej woli.
Rozłączne grupy ludzi opisane w poprzedniku zdania B2’ to:
1: W*~CH =1*1 =1 - uwierzy (W=1) ale nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
2: ~W*~CH=1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) i nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
3: ~W*CH =1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) ale przyjmie Chrzest (CH=1)
Człowieka należącego do dowolnej z powyższych grup Chrystus ma prawo zbawić (posłać do nieba) i matematycznym kłamcą nie będzie
Czytamy:
Jeśli człowiek należy do dowolnej z grup ludzi opisanych w poprzedniku zdania B2’ to na mocy zdania prawdziwego B2’ Chrystus może ~~> mimo wszystko zbawić takiego człowieka, co ma potwierdzenie w setkach przypadków w Biblii.
Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do obietnicy A1: (W*CH)=>Z=1, czyli wręczenie nagrody (Z=zbawienie) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (W*CH)=0
Zdanie B2’ to także piękny akt łaski w stosunku do groźby A2:
A2: (~W+~CH) ~>~Z =1
czyli odstąpienie od wykonania kary (~Z=brak zbawienia) mimo że odbiorca spełnił warunek kary o czym mówi zdanie B2’: (~W+~CH) ~~>Z=1
Oba te akty, „akt miłości” i „akt łaski” są doskonale znane w świeci żywym (nie tylko w świecie człowieka).
Nie jest tu istotne co sobie myślimy o ludziach z grupy B2’.
Na mocy zdania prawdziwego B2’ Chrystus może zbawić absolutnie wszystkich ludzi z grupy B2’ (z Hitlerem na czele) i matematycznym kłamcą nie będzie.
Może zbawić nie oznacza że musi zbawić.
Twarda skrajność z drugiej strony to posłanie do piekła absolutnie wszystkich ludzi z grupy B2’ na mocy zdania A2. Ten przypadek nie może zajść bowiem w Biblii roi się aktów łaski wypowiedzianych przez Chrystusa (zdanie B2’) np.
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Wniosek:
Zanana filozofom idea powszechnego zbawienia jest możliwa, bo ma swoje podstawy matematyczne.
[link widoczny dla zalogowanych]
Apokatastaza (od gr. apokatastasis czyli „ponowne włączenie, odnowienie” z Dz 3, 21) – końcowa i ostateczna odnowa całego stworzenia poprzez przywrócenie mu pierwotnej doskonałości i bezgrzeszności lub nawet przewyższenie tego pierwotnego stanu. Potocznie apokatastaza nazywana jest ideą pustego piekła.
Podsumowanie:
1.
Wszystkie możliwe przypadki w których Chrystus dotrzyma słowa (Y=1) opisane są zdaniami:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy:
Ya = A: (W*CH)=>Z =1
Ya = A: p=>q =1
lub
Yc = C: (~W+~CH)~>~Z =1
Yc = C: ~p~>~q =1
lub
Yd = D: (~W+~CH)~~>Z =1
Yd = D: ~p~~>q =1
2.
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Y=1) wyłącznie w zdaniu A1’
A1’
~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Yb=1) wtedy i tylko wtedy gdy człowieka który uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) nie zbawi (~Z), czyli pośle do piekła.
24.3 Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz to dostaniesz czekoladę i klocki lego
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Ojciec do Jasia na przyjęciu z okazji jego 5 rocznicy urodzin.
A1.
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
W+P => C*L =1
Nasz punkt odniesienia to:
p = W+P - powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P)
q= C*L - to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
Stąd to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Powiedzenie wierszyka (W) lub zaśpiewanie piosenki (P) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady (C) i klocków lego (L)
W następniku mamy tu czystą nagrodę, zatem na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający A1: (W+P)=>(C*L) wchodzący w skład implikacji prostej A1B1: (W+P)|=>(C*L).
Wszystko mamy tu zdeterminowane na mocy definicji obietnicy, nic a nic nie musimy udowadniać.
Zapiszmy obietnicę A1 w tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W+P,C+L}:
A1B1:
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = W+P=1 - Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P)
q = C*L=1 - to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
A1: W+P=>C*L=1 - wierszyk lub piosenka są wystarczające =>
dla otrzymania czekolady i klocków lego
B1: W+P~>C*L=0 - wierszyk lub piosenka nie są konieczne ~>
dla otrzymania czekolady i klocków lego
Stąd:
A1B1: (W+P)|=>(C*L) = (A1: W+P=>C*L)*~(B1: W+P~>C*L)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p => q =1 = 2: ~p ~> ~q =1
A: 1: W+ P=> C* L =1 = 2: ~W*~P ~>~C+~L =1
A’: 1: p~~>~q =0 =
A’: 1: W+ P~~>~C+~L=0 =
## ##
B: 1: p ~> q =0 = 2: ~p => ~q =0
B: 1: W+ P ~> C* L=0 = 2: ~W*~P=>~C+~L =0
B’: 2: ~p ~~> q =1
B’: 2: ~W*~P~~>C* L =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: W+P|=>C+L na mocy definicji obietnicy.
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A1B1 przechodząc do kolumny A2B2
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A2B2 przechodząc do kolumny A1B1
24.3.1 Analiza operatora implikacji prostej (W+P)||=>(C*L)
Operator implikacji prostej p||=>q do układ równań A1B1: p|=>q i A2B2: ~p|~>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p
Kolumna A1B1
Odpowiedź na pytanie o p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P)?
A1: W+P=>C*L=1 - wierszyk lub piosenka są wystarczające => dla otrzymania czekolady i klocków lego
B1: W+P~>C*L=0 - wierszyk lub piosenka nie są konieczne ~> dla otrzymania czekolady i klocków lego
Stąd:
A1B1: (W+P)|=>(C*L) = (A1: W+P=>C*L)*~(B1: W+P~>C*L)=1*~(0)=1*1=1
Ojciec do Jasia na przyjęciu z okazji jego 5 rocznicy urodzin.
A1.
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
A1: Ya= W+P => C*L =1
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = W+P - Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz piosenkę
q= C*L - to dostaniesz czekoladę i klocki lego
Stąd mamy to samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Powiedzenie wierszyka (W) lub zaśpiewanie piosenki (P) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady (C) i klocków lego (L)
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Na mocy tej definicji rozpiszmy poprzednik w zdarzeniach rozłącznych:
(W+P)=>(C*L) =1
p=W (wierszyk)
q=P (piosenka)
Stąd mamy:
W+P = 1: W*P + 2: W*~P + 3: ~W*P
Stąd zdanie tożsame do A1 to:
A1.
Ya = (1: W*P + 2: W*~P + 3: ~W*P) => (C*L) =1
Czytamy:
Warunek wystarczający => A1 będzie spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy Jaś wykona dowolną czynność zapisaną w poprzedniku, zaś ojciec wręczy mu nagrodę widoczną w następniku.
Innymi słowy:
Wykonanie przez odbiorcę dowolnej czynności zapisanej w poprzedniku jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania prezentu zapisanego w następniku
Jaś, aby mieć gwarancję matematyczną => nagrody musi wykonać jedną z trzech rozłącznych czynności zapisanych w poprzedniku zdania A1:
1: W*P =1*1 =1 - Jaś mówi wierszyk (W) i śpiewa piosenkę (P)
2: W*~P = 1*1 =1 - Jaś mówi wierszyk (W), ale nie śpiewa piosenki (~P)
3: ~W*P =1*1 =1 - Jaś nie mówi wierszyka (~W), ale śpiewa piosenkę (P)
Jeśli Jaś spełni dowolny z powyższych warunków to ojciec musi mu wręczyć prezent zdefiniowany w następniku, inaczej jest kłamcą o czym mówi zdanie A1’.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Obliczamy negację następnika q w zdaniu A1:
q = C*L
Negujemy dwustronnie:
~q = ~(C*L) = ~C+~L - na mocy prawa De Morgana
Stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to możesz ~~> nie dostać czekolady (~C=1) lub nie dostać klocków lego (~L=1)
A1’: Yb = (W+P) ~~>~C+~L =0
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) oraz zdarzy się, że nie dostanie czekolady (~C) lub nie dostanie klocków lego (~L)
Innymi słowy:
Na mocy definicji obietnicy wystarczy, że przy spełnionym warunku otrzymania nagrody zdefiniowanym w poprzedniku zajdzie (=1) którykolwiek składnik sumy logicznej w następniku i już ojciec jest kłamcą.
Tu również możemy skorzystać z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz następnik:
~q = ~C+~L
Stąd mamy:
~C+~L = (~C)*(~L) + (~C)*~(~L) + ~(~C)*(~L) = ~C*~L + ~C*L + C*~L
suma logiczna jest przemienna, stąd:
~C+~L = 1: C*~L + 2: ~C*~L+ 3: ~C*L
Stąd przy spełnionym poprzedniku zdarzenia rozłączne w następniku po zajściu któregokolwiek z nich ojciec będzie kłamcą to:
1: C*~L - Jaś dostanie czekoladę (C) i nie dostanie klocków lego (L)
2: ~C*~L - Jaś nie dostanie czekolady (C) i nie dostanie klocków lego (~L)
3: ~C*L - Jaś nie dostanie czekolady (~C) i dostanie klocki lego (L)
Zdanie tożsame:
A1’: Yb = (W+P) ~~>~C+~L =~(C*L) =0
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) i nie zdarzy się ~(..), że dostanie czekoladę (C) i klocki lego (L)
A1’: Yb = (W+P) ~~>~(C*L) =0
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd mamy odpowiedź na pytanie kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Yb=1) w naturalnej logice matematycznej człowieka akceptującej wyłącznie jedynki.
A1’: ~Yb = (W+P)~~>~(C*L) =1
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Yb=1) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) i nie zdarzy się ~(..), że dostanie czekoladę (C) i klocki lego (L)
Uwaga:
Zdanie A1’ to jedyne zdanie gdzie ojciec jest w stanie fizycznie skłamać bo ma „wolną wolę”, czyli zdolność go gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy.
Dowód tego faktu wynika z kolumny A2B2 w tabeli implikacji prostej IP gdzie oba zdania A2 i B2’ są prawdziwe.
Kolumna A2B2
Mamy zdanie wypowiedziane:
A1: W+P => C*L
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Przejście ze zdaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~q) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwna tzn. „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie oraz warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>
A2: ~W*~P ~> ~C+~L
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q
Gdzie:
~p=~(W+P) = ~W*~P - prawo De Morgana
~q = ~(C*L)=~C+~L
Dojście alternatywne na piechotę do zapisu A2:
Prawo Prosiaczka:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Podstawiając ~p i ~q mamy:
A2: ~W*~P ~> ~C+~L
A2B2:
Stąd mamy odpowiedź na pytanie o ~p, czyli:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
Co może się wydarzyć, jeśli Jaś nie powie wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewa piosenki (~P=1)?
A2: ~W*~P ~>(~C+~L)=1 - ~W i ~P jest (=1) konieczne ~> dla ~C lub ~L
B2: ~W*~P => (~C+~L)=0 - ~W i ~P nie jest (=0) wystarczające => dla ~C i ~L
Stąd:
A2B2: ~W*~P|~>(~C+~L) = (A2: ~W*~P~>(~C+~L))*~(B2: ~W*~P=>(~C+~L))=1*~(0)=1*1=1
A2.
Jeśli nie powiesz wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewasz piosenki (~P=1) to możesz ~> nie dostać czekolady (~C) lub nie dostać klocków lego (~L)
A2: Yc = (~W*~P) ~> (~C+~L) =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q
Czytamy:
Nie powiedzenie wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewanie piosenki (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~>, by Jaś nie dostał czekolady (~C=1) lub nie dostał klocków lego (~L=1)
Innymi słowy:
Na mocy definicji obietnicy w zdaniu A2 ojciec dotrzyma słowa (Yc=1), gdy Jaś nie powie wierszyka (~W) i nie zaśpiewa piosenki (~P), zaś ojciec nie da mu czekolady (~L) lub nie da mu klocków lego (~L).
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Rozpiszmy następnik zdania A2 w zdarzeniach rozłącznych:
p=~C (nie czekolada)
q=~L (nie klocki lego)
stąd mamy:
~C+~L = (~C)*(~L) + (~C)*~(~L) + ~(~C)*(~L) = ~C*~L + ~C*L + C*~L
Suma logiczne jest przemienna, stąd:
~C+~L = 1: C*~L + 2: ~C*~L + 3: ~C*L
Stąd mamy:
A2: Yc = (~W*~P) ~> (1: C*~L + 2: ~C*~L + 3: ~C*L) =1
Na mocy definicji obietnicy w zdaniu A2 ojciec dotrzyma słowa (Yc=1), gdy Jaś nie powie wierszyka (~W) i nie zaśpiewa piosenki (~P), oraz zajdzie jedno z trzech możliwych tu zdarzeń rozłącznych:
1: C*~L - Jaś dostanie czekoladę (C) i nie dostanie klocków lego (~L)
2: ~C*~L - Jaś nie dostanie czekolady (~C) i nie dostanie klocków lego (~L)
3: ~C*L - Jaś nie dostanie czekolady (~C) i dostanie klocki lego (L)
Wniosek:
Brak czekolady (C) i klocków lego (L) w następniku ~(C*L) to dla Jasia ewidentna kara, zatem zdanie A2 spełnia definicję groźby.
Fałszywy warunek wystarczający B2:
B2: ~W*~P => (~C+~L)=0
To samo w zapisach formalnych:
B2: ~p=>~q =0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Mamy:
~q=(~C+~L) = ~(C*L) - na mocy prawa De Morgana
Po dwustronnej negacji powyższej tożsamości mamy wyliczone q:
q = C*L
Stąd kontrprzykład B2’ (patrz również kolumna A2B2) na mocy którego ojciec może darować dowolną karę zależną od niego brzmi:
B2’.
Jeśli nie powiesz wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewasz piosenki (~P=1) to możesz ~~> dostać czekoladę (C=1) i klocki lego (L=1)
B2’: Yd = (~W*~P) ~~> (C*L) = (W*~P)*(C*L) =1
To samo w zapisie formalnym:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Czytamy:
Może się zdarzyć (=1) , że Jaś spełni warunek kary (~W*~P=1) i dostanie nagrodę, czekoladę i klocki lego (C*L)
Podsumowanie:
1.
W przypadku gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) to ojciec na 100% => musi mu dać nagrodę w postaci czekolady (C) i klocków lego (L) zapisaną w następniku zdania A1, inaczej będzie kłamcą.
2.
Natomiast jeśli Jaś nie spełni warunku nagrody zawartej w poprzedniku obietnicy A1:
A1: ~(W+P) = ~W*~P
to cokolwiek by ojciec nie zrobił to nie ma szans na zostanie kłamcą.
W tym przypadku ojciec może ~> nie wręczyć nagrody ~q=~(C*L) na mocy zdania A2, albo wręczyć nagrodę w następniku zdania B2’, czyli dać Jasiowi czekoladę i klocki lego q=C*L
q+~q = (C*L)+~(C*L) =1
Wynika z tego że jeśli Jaś nie spełni warunku obietnicy w zdaniu A1:
A1: ~p = ~(W+P)=~W*~P =1
to ojciec nie ma żadnych szans na zostanie matematycznym kłamcą, cokolwiek nie zrobi to dotrzyma słowa.
24.4 Groźby złożone typu f(p)~>f(q)
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Definicja groźby złożonej typu f(p)~>f(q)
Groźba złożona typu f(p)~>f(q) to groźba klasyczna W~>K gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi wyrażeniami algebry Boole’a tzn. akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(x)=p*q+~p*~q
W praktyce, w obietnicach występują tu najprostsze wyrażenia typu:
f(x) = p+q
f(x)=p*q
Zgodnie z definicją groźby warunek ukarania f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie karę.
Przykład:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie
~P+B~>L
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Stąd mamy zdanie B1 w zapisie formalnym:
p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju lub bicie siostry jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania.
Lanie jest dla dziecka karą, stąd groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym p~>q wchodzącym w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.
Zapiszmy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO
Wszelkie obietnice i groźby to z definicji opisy nieznanej przyszłości, których matematyczny opis jest wyłącznie w kolumnach A1B1 i A2B2.
Kolumny A3B3 i A4B4 opisują obietnice i groźby w czasie przeszłym, gdy nie znamy rozstrzygnięcia - mówi o tym prawo transformacji
24.4.1 Prawo transformacji w groźbie
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna obietnica to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.
Przykład:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Następnik q jest tu ewidentną groźbą, zatem zdanie A1 musimy kodować zgodnie z definicją groźby warunkiem konicznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej B|~>L, bez względu na ostrość wypowiedzenia groźby B1.
Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
stąd mamy:
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu przyjścia w czystych spodniach (~B=1)
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie będzie ono dotyczyło wypowiedzianej groźby B1.
Zauważmy, że zdanie B2 spełnia klasyczną definicję obietnicy, bowiem w następniku jest mowa o nie dostaniu lania które dla dziecka jest nagrodą.
Matematycznie zachodzą tożsamości:
Kara to brak nagrody
K=~N
Nagroda to brak kary
N=~K
Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B
Zdanie B4 w czasie przyszłym czytamy:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1)
L=>B =1
Zauważmy, że w czasie przyszłym zdanie B4 traci sens bowiem mówi ono że jeśli dzieciak jutro dostanie lanie (przyczyna) to na 100% => ubrudzi spodnie (skutek) … czyli na złość mamie ugryzę się w język.
Poza tym zdanie B4 nie spełnia definicji obietnicy którą kodujemy warunkiem wystarczającym => bowiem następnik brzmi tu:
B - przyjdę w brudnych spodniach
Brudne spodnie nie są nagrodą dla dziecka, to tylko stwierdzenie stopnia zabrudzenia jego spodni.
Zdanie B4 nabierze sensu jeśli wypowiemy je w czasie przeszłym.
Załóżmy, że jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie obietnicy B2 która dotyczyła dnia wczorajszego.
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie B4 opisuje przeszłość.
B4.
Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Z faktu iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy na 100% => iż ubrudziło spodnie (B=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to będzie to oznaczało, że wcześniej ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
W niniejszym rozdziale będziemy zajmować się groźbą w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przeszłość.
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w obsłudze groźby p~>q.
Matematyczna obsługa groźby p~>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących groźby w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1
B’: = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
24.5 Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Weźmy groźbę ojca:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie
~P+B~>L
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Stąd mamy zdanie B1 w zapisie formalnym:
p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju lub bicie siostry jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania.
Lanie jest dla dziecka karą, stąd groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym p~>q wchodzącym w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Podstawmy nasze parametry aktualne do kolumn A1B1 i A2B2
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {~P+B,L}:
A1B1:
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę
to dostaniesz lanie
Nasz punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
A1: (~P+B)=>L =0 - ~P+B nie jest (=0) wystarczające => dla lania (L)
B1: (~P+B)~>L =1 - ~P+B jest (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L)
A1B1: (~P+B)|~>L=~(A1: (~P+B)=>L)*(B1: (~P+B)~>L)=~(0)*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p=> q =0 = 2: ~p ~> ~q =0
A: 1:~P+ B=> L =0 = 2: P*~B~>~L =0
A’: 1: p~~> ~q =1 =
A’: 1:~P+ B~~>~L=1 =
## ##
B: 1: p ~> q =1 = 2: ~p =>~q =1
B: 1:~P+ B~> L =1 = 2: P*~B=>~L =1
B’: = 2: ~p ~~> q =0
B’: = 2: P*~B~~> L =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją odwrotną A1B1: (~P+B)|~>L na mocy definicji groźby.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Tu zaczynamy analizę od kolumny A1B1 przechodząc do kolumny A2B2
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Tu zaczynamy analizę od kolumny A2B2 przechodząc do kolumny A1B1
24.5.1 Analiza operatora implikacji odwrotnej (~P+B)||~>L
Operator implikacji odwrotnej p||~>q do układ równań A1B1: p|~>q i A2B2: ~p|=>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p, czyli gdy Jaś nie posprząta pokoju (~P) lub będę bił siostrę (B)?
Nasz punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
A1: (~P+B)=>L =0 - nie posprzątanie ~P lub bicie siostry B nie jest (=0) wystarczające => dla lania (L)
B1: (~P+B)~>L =1 - nie posprzątanie ~P lub bicie siostry B jest (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L)
A1B1: (~P+B)|~>L=~(A1: (~P+B)=>L)*(B1: (~P+B)~>L)=~(0)*1=1
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L)
B1: Ya = ~P+B ~> L =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju (~P) lub bicie siostry (B) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L)
Nasz punkt odniesienia to:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Obliczamy przeczenia p i q:
~p=~(~P+B) = P*~B - na mocy prawa De Morgana
~q=~L - nie dostaniesz lania (~L)
W następniku zdania B1 mamy tu ewidentną groźbę, zatem na mocy definicji groźby zdanie B1 to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Na mocy definicji groźby zdanie B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary w zdaniu A1’ bez względu na ostrość wypowiedzianej groźby w zdaniu B1.
Zauważmy, że w kolumnie A1B1 warunek wystarczający => w zdaniu A1 jest fałszem:
A1: (~P+B)=>L =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Z fałszywości warunku wystarczającego => A1 wynika prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q = p*~q =1
Stąd mamy:
LUB
Nasz kontrprzykład A1’ brzmi:
A1’.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to możesz ~~> nie dostać lania (~L)
A1’: Yb = ~P+B~~>~L =1
to samo w zapisie formalnym:
A1’: p~~>~q =1
Jest taka możliwość na mocy definicji groźby.
Rozpiszmy poprzednik w zdaniach B1 i A1’ na zdarzenia rozłączne.
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla p=~P+B i q=L mamy warunek wykonania kary w zdarzeniach rozłącznych:
~P+B = (~P)*(B) + (~P)*~(B) + ~(~P)*(B) = ~P*B + ~P*~B + P*B
Suma logiczna jest przemienna, stąd:
p = ~P+B = 1: P*B + 2: ~P*~B + 3: ~P*B
Stąd mamy:
Warunek kary będzie spełniony (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
1: P*B =1 - Jaś posprząta pokój (P), ale będzie bił siostrę (B)
lub
2: ~P*~B=1 - Jaś nie posprzątam pokoju (~P) i nie będzie bił siostry (~B)
lub
3: ~P*B=1 - Jaś nie posprząta pokoju (~P), i będzie bił siostrę (B)
Matematycznie zachodzi:
Y = 1+2+3
Wystarczy, że którakolwiek z cząstkowych funkcji rozłącznych (1,2,3) przyjmie wartość logiczną 1 i już warunek kary będzie spełniony.
Zauważmy że:
Warunek konieczny ~> B1 umożliwia ojcu wykonanie maksymalnej kary w 100%, czyli jeśli synek spełni którąkolwiek z funkcji cząstkowych (1,2,3) to kara widoczna w groźbie B1 może być wykonana.
Podsumowując:
W przypadku spełnienia któregokolwiek z częściowych warunków kary (1,2,3) ojciec ma 100% wolnej woli, czyli może wykonać karę L (lanie).
W zdaniu A1’ zaszyty jest doskonale znany w świecie żywym „alt łaski”, czyli możliwość darowania w 100% dowolnej kary zależnej od nadawcy.
„Akt łaski” to fundament Biblii gdzie roi się od tego typu przykładów:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Wniosek:
Biblia to Algebra Kubusia napisana językiem zrozumiałym dla prostych ludzi, tych sprzed 2000 lat.
… co może się wydarzyć jeśli Jaś nie spełni warunku kary w zdaniu B1?
Mamy groźbę B1:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L)
(~P+B) ~> L
to samo w zapisach ogólnych:
p~>q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~q) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
a) „lub”(+) na „i”(*)
b) „i”(*) na „lub”(+)
c) warunek konieczny ~> na warunek wystarczający =>
Stąd mamy:
B2: (P*~B) => ~L
to samo w zapisach ogólnych:
~p=>~q
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli warunek kary w zdaniu B1 nie zostanie spełniony (~p=1) mamy w kolumnie A2B2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p, czyli gdy Jaś posprząta pokój (P) i nie będzie bił siostry (~B)?
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
A2: (P*~B)~>~L =0 - posprzątanie P i nie bicie siostry ~B nie jest (=0) konieczne ~> dla braku lania (~L)
B2: (P*~B)=>~L =1 - posprzątanie ~P i nie bicie siostry B jest (=1) wystarczające => dla braku lania (~L)
A2B2: (P*~B)|=>~L=~(A2: P*~B~>~L)*(B2: P*~B=>~L) = ~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisach formalnych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2.
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L)
P*~B => ~L =1
To samo w zapisach formalnych:
A2: ~p=>~q =1
Czytamy:
Posprzątanie pokoju (P) i nie bicie siostry (~B) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L) … tylko i wyłącznie z powodu że posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B).
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja warunku wystarczającego =>.
Lania z innego powodu są możliwe, ale nie dotyczą one obietnicy B2
Prawdziwy warunek wystarczający B2’: ~p=>~q =1 na mocy definicji wymusza fałszywy kontrprzykład B2’: ~p~~>q=~p*q=0 (i odwrotnie)
B2’
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to możesz ~~> dostać lanie (L)
P*~B~~>L =0
Nie może się zdarzyć (=0), że nie spełnię warunku kary w groźbie B1, czyli:
Posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B) i dostanę lanie (L)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:15, 17 Mar 2025, w całości zmieniany 17 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 23:49, 28 Sty 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
25.0 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie Szkoły Podstawowej
Spis treści
25.0 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie Szkoły Podstawowej 1
25.1 Definicja definicji 1
25.1.1 Dowód iż każdy 5-cio latek zna definicję Uniwersum 2
25.2 Problem kwadratu i prostokąta 3
25.2.1 Na czym polega katastrofalny błąd definicyjny ziemskich matematyków? 5
25.2.2 Problem kwadratu i prostokąta wytłumaczony na poziomie 5-cio latka 6
25.2.3 Poprawne matematycznie definicje kwadratu i prostokąta 7
25.3 Definicje czworokątów w 100-milowym lesie 10
25.4 Przykładowy błąd definicyjny w podręczniku matematyki do 5 klasy SP 12
25.0 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie Szkoły Podstawowej
Definicja definicji to pięta Achillesowa ziemskiej logiki matematycznej.
Definicję definicji zaprezentowano w punkcie 12.4
Przypomnijmy o co tu chodzi.
25.1 Definicja definicji
Definicja definicji:
W świecie człowieka (bo tylko on świadomie definiuje) definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy jest jednoznaczna w Uniwersum człowieka.
Innymi słowy:
Definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy jest jedyna w całym obszarze Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Przykład poprawnej definicji:
Pies to zwierzę domowe, szczekające.
P = ZD*S=1*1=1
To jest minimalna, jednoznaczna definicja psa rozumiana przez każdego 5-cio latka.
Oznacza to że pojęcia P oraz ZD*S są matematycznie tożsame P=ZD*S, czyli są w relacji równoważności P<=>ZD*S w całym obszarze Uniwersum
Przykład błędnej definicji z filmu „Rejs”:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą - podać jego odgłos
Inny przykład:
Prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy:
Tożsame prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Podstawmy:
p=K (krasnoludek)
q=K (krasnoludek)
Przyjmijmy dziedzinę:
D=U (Uniwersum)
Obliczmy przeczenia p i q rozumiane jako uzupełnienia p i q do wspólnej dziedziny (u nas Uniwersum).
~p = ~K = [U-K] -zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka minus jedno pojęcie "krasnoludek"
~q = ~K = [U-K] -zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka minus jedno pojęcie "krasnoludek"
Definicja równoważności A1B2 generująca tabelę zero-jedynkową równoważności:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B2: ~p=>~q=1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd;
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Podstawmy nasz przykład:
A1B2: K<=>K = (A1: K=>K)*(B2: [U-K]=>[U-K]) =?
A1: K=>K =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B2: [U-K]=>[U-K] =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
stąd mamy:
A1B2: K<=>K = (A1: K=>K)*(B2: [U-K]=>[U-K]) =1*1=1
cnd
25.1.1 Dowód iż każdy 5-cio latek zna definicję Uniwersum
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Dowód iż każdy 5-cio latek zna w praktyce definicję Uniwersum, niezależnie od swego języka ojczystego jest banalny.
Udajmy się do przedszkola.
Scenka 1
Pani przedszkolanka wydaje polecenie:
Drogie dzieci narysujcie człowieka.
Pamięć człowieka (w tym pamięć 5-cio latków) jest pamięcią fotograficzną, czyli nasz mózg przywołuje w tym przypadku jakąś panią albo jakiegoś pana i na tej podstawie dzieci wykonują rysunek.
Tu każdy 5-co latek podświadomie rozstrzyga, że człowiekiem nie może być cokolwiek innego w całym obszarze Uniwersum, bo inaczej nie mógłby jednoznacznie rozstrzygnąć co ma narysować.
C =[C] (człowiek) - ten obiekt 5-cio latek rysuje
Zaprzeczenie pojęcia człowiek w obszarze U Uniwersum to:
~C = [U-C]=[zwierzę, krasnoludek, koło ..] - Uniwersum U z wykluczeniem pojęcia C (człowiek)
Matematycznie musi zachodzić:
C+~C =U
C*~C =[]
Inaczej 5-cio latek nie będzie wiedział co ma narysować
cnd
Scenka 2
Pani przedszkolanka wydaje kolejne polecenie:
Drogie dzieci narysujcie swoją mamę
Pamięć człowieka (w tym pamięć 5-cio latków) jest pamięcią fotograficzną, czyli mózg 5-cio latka przywołuje w tym przypadku swoją mamę i na tej podstawie wykonuje rysunek.
Tu przykładowy Jaś (lat 5) podświadomie rozstrzyga, że mamę ma tylko i wyłącznie jedną i ją rysuje.
Zauważmy, że mama Jasia jest jedyną w całym obszarze Uniwersum, bo inaczej Jaś nie mógłby jednoznacznie narysować swojej mamy.
MJ =[MJ] - mama Jasia, tą mamę Jaś rysuje
Zaprzeczenie pojęcia mama Jasia w obszarze U Uniwersum to:
~MJ = [U-MJ] =[mama Zuzi, tata Jasia, zwierzę, krasnoludek, koło …] - Uniwersum U z wykluczeniem pojęcia mama Jasia MJ.
Matematycznie musi zachodzić:
MJ+~MJ =U
MJ*~MJ =[]
Inaczej 5-cio latek nie będzie wiedział co ma narysować
cnd
25.2 Problem kwadratu i prostokąta
W ziemskich podręcznikach matematyki do 5 klasy szkoły podstawowej definicje kwadratu KW i prostokąta PR są następujące.
Lekcja matematyki w ziemskiej 5 klasie ziemskiej szkoły podstawowej.
Pani:
Jasiu, podaj matematyczne definicje kwadratu i prostokąta.
Jaś:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR
| Kod: |
KW - kwadrat
a
-----------
| |
| | a
| | a=a
-----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu
|
Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste
PR=KP
Zauważmy, że definicja prostokąta u ziemian definiuje zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP nie definiując prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW!
U ziemian mamy tak:
| Kod: |
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów to:
ZWMP = KW + PRNKW
Gdzie:
KW - kwadrat
a
-----------
| |
| | a
| | a=a
-----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu
PRNKW - prostokąt nie będący kwadratem
a
----------------
| |
| | b
| | b##a
----------------
## - boki są różne ## na mocy definicji prostokąta nie będącego kwadratem
U ziemian dziedzina, czyli zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP opisany jest równaniem logicznym:
ZWMP = KW+PRNKW
|
Na czym polega fatalny błąd definicyjny w ziemskim podręczniku do 5 klasy szkoły podstawowej?
Ziemianie w zakresie zbioru wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP) dysponują dwoma definicjami:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR
Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR=KP
Teraz uwaga ziemianie:
Wasza definicja prostokąta nie definiuje kluczowego tu pojęcia - prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW.
Wasza definicja prostokąta PR definiuje wspólną cechę kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW.
25.2.1 Na czym polega katastrofalny błąd definicyjny ziemskich matematyków?
Zbiór kwadratów KW i zbiór prostokątów nie będących kwadratem PRNKW to zbiory rozłączne w dziedzinie zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP:
ZWMP = KW+PRNKW
Poprawne definicje matematyczne kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW są następujące:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR
To jest poprawna definicja kwadratu w każdym podręczniku matematyki.
| Kod: |
Definicja kwadratu KW:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP)
i wszystkie boki równe (BR)
KW=KP*BR
a
-----------
| |
| | a
| | a=a
-----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu
|
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW:
Prostokąt nie będący kwadratem to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PRNKW=KP*~BR
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP to zbiór dwuelementowy gdzie elementami tego zbioru jest kwadrat KW i prostokąt nie będący kwadratem PRNKW.
Dopiero po zdefiniowaniu elementów zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP w postaci kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW wolno wam obliczyć w sposób czysto matematyczny cechę wspólną KW i PRNKW którą są wszystkie kąty proste KP
Dowód:
ZWMP = KW + PRNKW = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP
cnd
25.2.2 Problem kwadratu i prostokąta wytłumaczony na poziomie 5-cio latka
Jeśli chodzi o definiowanie pojęć to humaniści i 5-cio latki są o lata świetlne przed ziemskimi matematykami, którzy nie mają o tym najmniejszego pojęcia!
Dowód na przykładzie identycznym jak problem zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP.
Definicja kobiety:
Kobieta to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem, zdolna do rodzenia dzieci
K= IŻ*JL*RD
Definicja mężczyzny:
Mężczyzna to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem, niezdolna do rodzenia dzieci
M = IŻ*JL*~RD
Zauważmy, że kluczową cechą pozwalającą humaniście i 5-cio latkowi odróżniać kobietę od mężczyzny jest pokazanie jednej, jedynej cechy, po której można odróżnić mężczyznę od kobiety - ta cecha to np. zdolność do rodzenia dzieci RD (kobieta) i niezdolność do rodzenia dzieci ~RD (mężczyzna)
Zauważmy, że dopiero po precyzyjnym zdefiniowaniu wszystkich możliwych elementów zbioru C (człowiek) możemy wyprowadzić cechę wspólną dla wszystkich ludzi.
C = K+M = IŻ*JL*RD + IŻ*JL*~RD = IŻ*JL*(RD+~RD) = IŻ*JL
Stąd mamy precyzyjną definicję człowieka C.
Definicja człowieka:
Człowiek to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem
C = IŻ*JL
Drodzy Ziemianie:
Wasz czysto matematyczny błąd jaki popełniacie przy definiowaniu zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP jest w przełożeniu na definicję zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) następujący.
Definiujecie sobie precyzyjnie kobietę, co jest odpowiednikiem definicji kwadratu KW i to jest dobre.
Definicja kobiety:
Kobieta to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem, zdolna do rodzenia dzieci
K= IŻ*JL*RD
Po czym definiujecie pojęcie człowiek (C) co jest odpowiednikiem zdefiniowania waszego zbioru wszystkich możliwych prostokątów (ZWMP)
Definicja człowieka:
Człowiek to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem
C = IŻ*JL
… i to jest niestety koniec wszystkich waszych definicji matematycznych w dziedzinie C (człowiek).
Pytanie do ziemskich matematyków jest tu następujące:
Gdzie jest definicja kobiety?!
Oczywistym jest, że nie jest definicją kobiety pokazywanie wspólnej cechy kobiety (K) i mężczyzny (M) którym jest np. używanie ludzkiego języka.
Humanista i 5-cio latek kobietę od mężczyzny odróżniają jedną, jedyną cechą odróżniającą kobietę (K) od mężczyzny (M) np. zdolność do rodzenia dzieci.
Mam nadzieję, że wszyscy już zrozumieli dlaczego w definiowaniu czegokolwiek ziemscy matematycy są lata świetlne za humanistami i 5-cio latkami, ekspertami algebry Kubusia.
Ziemscy matematycy po prostu nie rozumieją algebry Kubusia, której naturalnymi ekspertami są humaniści i 5-cio latki.
Definicja normalnego matematyka:
Normalny matematyk, jeśli ma do czynienia ze zbiorem małym którego elementy łatwo jednoznacznie zdefiniować najpierw definiuje te elementy, i dopiero po tym fakcie wyprowadza w sposób czysto matematyczny cechy wspólne tych elementów.
25.2.3 Poprawne matematycznie definicje kwadratu i prostokąta
Fragment oficjalnego programu nauczania matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej:
[link widoczny dla zalogowanych]
Klasa 5
IX.
Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:
4) rozpoznaje i nazywa: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez;
XI.
Obliczenia w geometrii. Uczeń:
2) oblicza pola: trójkąta, kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trapezu, przedstawionych na rysunku
Pytanie do ziemskich matematyków:
W jaki sposób uczeń ma obliczyć pole prostokąta skoro w ziemskim podręczniku matematyki oficjalna definicja prostokąta to zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP w postaci kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW.
ZWMP = KW+PRNKW
W jaki sposób można policzyć pole zbioru wszystkich możliwych prostokątów?
Dlaczego mimo tak katastrofalnego błędu definicyjnego w obszarze zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP matematyka działa?
Odpowiedź:
Mózg człowieka ma w głębokim poważaniu ziemską, oficjalną definicję prostokąta PR rozumianą jako zbiór wszystkich możliwych prostokątów:
PR = KW+PRNKW = KP
Wszystkie zadania matematyczne mówiące o prostokącie de facto mówią o prostokącie nie będącym kwadratem PRNKW, czyli prostokącie o różnych bokach a i b!
Dowód:
Pewne jest, że nikt nie znajdzie zadania matematycznego dotyczącego prostokąta gdzie na obrazku narysowany jest kwadrat KW zamiast prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW.
Co więcej:
Jeśli jakiś matematyczny głąb narysuje kwadrat i podpisze prostokąt, to będzie to błąd czysto matematyczny
Dlaczego?
Bo ziemska definicja prostokąta PR jest tożsama ze zbiorem wszystkich możliwych prostokątów ZWMP o definicji:
PR = ZWMP = KW + PRNKW = KP
Gdzie:
Definicja kwadratu:
Kwadrat (KW) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i boki równe (BR)
KW=KP*BR
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW:
Prostokąt nie będący kwadratem PRNKW to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)
PRNKW=KP*~BR
Stąd:
ZWMP=KW+PRNKW = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP
ZWMP =KP
Stąd mamy:
Definicja zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP:
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP to zbiór czworokątów mających wszystkie kąty proste (KP)
ZWMP = KW + PRNKW = KP
Podsumowując:
Jeśli uczeń dostanie od ziemskiej pani matematyczki polecenie.
Jasiu narysuj prostokąt wedle ziemskiej definicji:
PR=KP - prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP)
To Jaś musi narysować na tablicy zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP, czyli kwadrat KW oraz prostokąt nie będący kwadratem PRNKW.
ZWMP = KW + PRNKW = KP
Jeśli Jaś nie wykona na tablicy dwóch rysunków KW (kwadratu) i PRNKW (prostokąta nie będącego kwadratem) to powinien od pani matematyczki dostać pałę.
Pokazuję i objaśniam dlaczego Jaś na polecenie pani matematyczki „narysuj prostokąt” musi narysować dwa czworokąty KW (kwadrat) i PRNKW (prostokąt nie będący kwadratem).
1.
Załóżmy że, że jako pierwszy czworokąt Jaś rysuje kwadrat:
| Kod: |
Definicja kwadratu KW:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP)
i wszystkie boki równe (BR)
KW=KP*BR
a
-----------
| |
| | a
| | a=a
-----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu
|
Matematycznie ewidentnie tu zachodzi:
KW = KP*BR ## ZWMP=KP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Jaś rysując kwadrat nie narysował jeszcze zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP:
ZWMP = KP
2.
Aby usunąć znaczek różne na mocy definicji ## Jaś musi do kompletu dorysować prostokąt nie będący kwadratem PRNKW:
| Kod: |
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PRNKW:
Prostokąt nie będący kwadratem PRNKW to czworokąt
mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)
PRNKW=KP*~BR
a
----------------
| |
| | b
| | b##a
----------------
## - boki są różne ## na mocy definicji prostokąta nie będącego kwadratem
|
3.
Dopiero jak na tablicy będą widniały oba czworokąty KW oraz PRNKW Jaś może zapisać.
Definicja zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWMP:
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWMP to zbiór czworokątów mających wszystkie kąty proste (KP)
ZWMP = KW + PRNKW = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP
Podsumowując:
Tylko i wyłączne za dwa kompletne czworokąty narysowane na tablicy KW plus PRNKW Jaś ma prawo dostać ocenę: 5.
W każdym innym przypadku Jaś musi dostać pałę.
cnd
Pytanie do ziemskich matematyków:
Która pani matematyczka o tym wie?
W którym ziemskim podręczniku matematyki o tym pisze?
25.3 Definicje czworokątów w 100-milowym lesie
Definicja definicji:
Dowolna definicja musi być jednoznaczna w całym Uniwersum
Gdzie:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Innymi słowy:
Definicje podstawowe wszystkich czworokątów muszą być jednoznaczne w całym Uniwersum.
Dopiero na bazie poprawnych definicji wszystkich czworokątów możemy sobie tworzyć zbiory w oparciu o dowolne kryterium, ani grama wcześniej!
Fragment oficjalnego programu nauczania matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej:
[link widoczny dla zalogowanych]
Klasa 5
IX.
Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:
4) rozpoznaje i nazywa: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez;
XI.
Obliczenia w geometrii. Uczeń:
2) oblicza pola: trójkąta, kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trapezu, przedstawionych na rysunku
Zobaczmy jak wyglądają definicje najważniejszych czworokątów w podręczniku matematyki do 5 klasy szkoły podstawowej w 100-milowym lesie.
1.
Kwadrat
| Kod: |
a
-----------
| |
| | a
| | a=a
-----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu
|
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i wszystkie boki równe (BR)
KW = KP*BR
2.
Prostokąt
Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)
PR=KP*~BR
3.
Romb
Definicja rombu:
Romb to czworokąt, którego wszystkie boki są równe ale nie wszystkie kąty są proste
RB=~KP*BR
4.
Równoległobok
Definicja równoległoboku:
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równoległe ale nie równe, i nie ma wszystkich kątów są prostych
ROWN=2BPRNR*~KP
5.
Trapez
Definicja trapezu:
Trapez to czworokąt który ma dokładnie jedną parę boków równoległych ale nie równych
TRAP = 1PBRNR
Rodzaje trapezów
5a
Trapez równoramienny
Trapez równoramienny:
Trapez równoramienny to trapez który ma dwa ramiona równe (c=d)
5b
Trapez prostokątny
Trapez prostokątny
Trapez prostokątny to trapez, którego jedno ramię tworzy kąt prosty z podstawami.
25.4 Przykładowy błąd definicyjny w podręczniku matematyki do 5 klasy SP
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja trapezu:
Trapez to czworokąt który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Powyższa definicja pasuje do przedstawionego rysunku jak pies do jeża - jest niejednoznaczna w obszarze Uniwersum, zatem matematycznie błędna.
Zauważmy bowiem, że przynajmniej jedną parę boków równoległych mają:
1. Kwadrat
##
2. Prostokąt
##
3. Romb
##
4. Równoległobok
##
5. Trapez
Gdzie:
## - czworokąty różne na mocy definicji
Poprawna definicja powyższego zbioru powinna brzmieć.
Definicja zbioru wszystkich możliwych trapezów ZWMT:
Zbiór wszystkich możliwych trapezów (ZWMT) to zbiór czworokątów mających przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Sensowne pytanie pani matematyczki to:
Jasiu, wymień czworokąty należące do zbioru wszystkich możliwych trapezów ZWMT.
Poprawna odpowiedź to wymienienie wszystkich pięciu czworokątów.
W dzisiejszej matematyce uczeń 5 klasy szkoły podstawowej może się bawić z panią matematyczną w ciuciubabkę.
Dowód:
Pani matematyczna w 5 klasie szkoły podstawowej.
Jasiu, narysuj na tablicy trapez.
Jaś rysuje kwadrat o definicji z algebry Kubusia:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR
Pani:
Nie o ten trapez mi chodziło, narysu inny trapez.
Jaś rysuje prostokąt o definicji z algebry Kubusia:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PR=PP*~BR
Pani:
Nie o ten trapez mi chodziło, narysu inny trapez.
Jaś rysuje romb o definicji z algebry Kubusia:
Romb to czworokąt, którego wszystkie boki są równe ale nie wszystkie kąty są proste
RB=~KP*BR
Pani:
Nie o ten trapez mi chodziło, narysu inny trapez.
Jaś rysuje równoległobok o definicji z algebry Kubusia:
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równoległe ale nie równe, i nie ma wszystkich kątów są prostych
ROWN=2BPRNR*~KP
Pani:
Nie o ten trapez mi chodziło, narysu inny trapez.
W tym momencie Jaś się wkurzył:
Skąd do jasnej cholery mam wiedzieć jaki trapez miała pani na myśli, skro definicja trapezu w moim podręczniku do matematyki definiująca trapez jako:
Trapez to czworokąt który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych
jest totalnie spieprzona tzn. nie definiuje wszystkich możliwych czworokątów różnych na mocy definicji ## w sposób precyzyjny.
W zakresie definiowania dowolnych pojęć ziemscy matematycy są lata świetlne za humanistami którzy doskonale wiedzą, że poprawna definicja czegokolwiek musi być jednoznaczna w całym Uniwersum.
Uniwersum - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych przez człowieka.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 14:32, 17 Mar 2025, w całości zmieniany 11 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 23:52, 28 Sty 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
26.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej.
Spis treści
26.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej 2
26.1 Ogólny algorytm Małpki 3
26.1.1 Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej 4
26.2 Algorytm Małpki dla równoważności p<=>q 4
26.2.1 Prawo Małpki dla równoważności p<=>q 7
26.2.2 Prawo Goryla 9
26.2.3 Logika jedynek = logika 5-cio latka 10
26.2.4 Logika zer = logika Diabła 11
26.3 Mutacje prawa Małpki dla równoważności p<=>q 12
26.3.1 Analiza funkcji logicznej B1 12
26.3.2 Analiza funkcji logicznej A1” 13
26.3.3 Analiza funkcji logicznej B1” 13
26.4 Algorytm Małpki dla spójnika „albo”($) 13
26.4.1 Prawo Małpki dla spójnika „albo”($) 17
26.4.2 Logika jedynek = logika 5-cio latka 18
26.4.3 Logika zer = logika Diabła 19
26.5 Mutacje prawa Małpki dla spójnika „albo”($) 20
26.5.1 Analiza funkcji logicznej B1 20
26.5.2 Analiza funkcji logicznej A1” 21
26.5.3 Analiza funkcji logicznej B1” 21
26.6 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) 21
26.6.1 Prawo Grzechotnika dla spójników równoważności p<=>q i „albo”($) 22
26.7 Funkcja dwuargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne 23
26.7.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka 24
26.7.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala 26
26.7.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala 28
26.8 Funkcja jednoargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne 29
26.8.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka 29
26.8.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala 30
26.8.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala 30
26.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
Przykład:
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y.
Zapis funkcji logicznej Y w technice cyfrowej:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
Y - funkcja logiczna dwóch zmiennych binarnych {p, q}
Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)
Definicja startowej funkcji logicznej w języku potocznym:
Startowa funkcja logiczna w języku potocznym to funkcja w logice dodatniej (bo Y) opisująca zdanie startowe wypowiedziane przez człowieka, od którego zaczynamy analizę matematyczną tego zdania.
Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Przykład wyrażenia algebry Boole'a:
f(x) = p*q + ~p*~q
stąd funkcja startowa dla tego wyrażenia przyjmuje postać
Y = p*q + ~p*~q
Prawo negacji funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) wolno nam dwustronnie zanegować przechodząc do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest tylko i wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Prawo Małpiątka:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie
W poprawnym rozwiązaniu prawa Małpki dostaniemy tu dwie funkcje tożsamościowe: w logice dodatniej Y=Y oraz w logice ujemnej ~Y=~Y związane ze sobą spójnikiem „albo”($)
Zajdzie Y albo zajdzie ~Y, trzeciej możliwości brak
26.1 Ogólny algorytm Małpki
Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Ziemscy matematycy nie znają komputerowego algorytmu pozwalającego znaleźć wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne dla dowolnej funkcji startowej.
Zadanko Małpki:
Dana jest funkcja startowa:
Y=f(x)
gdzie:
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
Polecenie:
Wyznacz wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z funkcją startową Y=f(x) wraz z podaniem relacji matematycznych wiążących otrzymane rozwiązanie.
Podany niżej algorytm rozwiązania zdanka Małpki to fundament programu komputerowego automatycznie rozwiązującego zadanko Małpki dla n-zmiennych binarnych.
Program który trzeba tu napisać jest banalny i wkrótce taki program ludzkość napisze.
Ogólny algorytm Małpki:
Krok 1
T1 - pełna tabela zero-jedynkowa dla funkcji startowej Y=f(x) (pkt. 1.15.3)
Należy wygenerować pełną tabelę zero-jedynkową opisującą funkcję startową Y=f(x)
Najłatwiej to zrobić dla funkcji alternatywno-koniunkcyjnej co oznacza, że jeśli na wejściu dostaniemy funkcję startową Y=f(x) koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną to wymnażamy wszystkie człony koniunkcyjno-alternatywne przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
Krok 2
T2 - Opis tabeli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych (pkt. 1.14.1)
Na bazie pełnej tabeli zero-jedynkowej łatwo generujemy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne gdzie opisujemy wyłącznie jedynki w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „i”(*), zaś w kolumna spójnik „lub”(+).
Krok 3
T3 - Opis tej samej tabeli w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych (pkt. 1.14.2)
Kolejnym krokiem jest opis dokładnie tej samej tabeli zero-jedynkowej w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych gdzie opisujemy wyłącznie zera stosując w wierszach spójnik „lub”(+), zaś w kolumnach spójnik „i”(*)
Krok 4
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd zachodzą tożsamości logiczne:
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
co kończy rozwiązanie zadania Małpki
26.1.1 Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Prawo Małpiątka:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
26.2 Algorytm Małpki dla równoważności p<=>q
Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Zadanko Małpki dla równoważności p<=>q:
A1.
Dana jest startowa funkcja logiczna równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Polecenie:
Wyznacz wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z funkcją startową Y=f(x) wraz z podaniem relacji matematycznych wiążących otrzymane rozwiązanie.
Wykonujemy kolejne punkty algorytmu rozwiązania zadania Małpki:
Krok 1
Nasza startowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna to:
Y = (p<=>q) = p*q +~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Stąd w punktach A5 i C5 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
| Kod: |
Pełna tabela zero-jedynkowa
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1
B: 1 0 0 1
C: 0 0 1 1 1
D: 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6
|
Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
| Kod: |
T1
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 0 1 1 1 0
D: 0 1 1 0 0 1
1 2 3 4 5 6
|
Krok 2
T2 - Opis tabeli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych (pkt. 1.14.1)
Na bazie pełnej tabeli zero-jedynkowej łatwo generujemy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne gdzie opisujemy wyłącznie jedynki w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „i”(*), zaś w kolumna spójnik „lub”(+).
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice jedynek
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
1: Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
2: ~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
2: ~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji alternatywno-koniunkcyjnych.
Definicja logiki 5-cio latka:
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne rozumiane przez każdego człowieka
Dowód na przykładzie iż dowolne funkcje alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiane przez człowieka od 5-cio latka poczynając mieliśmy w punkcie 1.10.
Krok 3
T3 - Opis tej samej tabeli w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych (pkt. 1.14.2)
Kolejnym krokiem jest opis dokładnie tej samej tabeli zero-jedynkowej w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych gdzie opisujemy wyłącznie zera stosując w wierszach spójnik „lub”(+), zaś w kolumnach spójnik „i”(*)
| Kod: |
T3
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice zer
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
co w logice zer oznacza:
4: Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
co w logice zer oznacza:
4: ~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka czego dowód w punkcie 1.10
Definicja logiki Diabła:
Logika Diabła to funkcje koniunkcyjno-alternatywne totalnie niezrozumiałe dla człowieka
Uzasadnienie nazwy „Logiki Diabła”:
W języku potocznym funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszym matematyku kończąc.
Dowód tego faktu mieliśmy w punkcie 1.10.
Z tego względu w języku potocznym zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Krok 4
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd zachodzą tożsamości logiczne:
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
co kończy rozwiązanie zadania Małpki
Podsumowanie:
Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y= A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
[=]
Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1”: Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1”: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tabele zero-jedynkowe T2 i T3 są tożsame T2[=]T3
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd mamy prawo Małpki.
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
26.2.1 Prawo Małpki dla równoważności p<=>q
Prawo Małpki (pkt. 1.15.1):
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie
Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
| Kod: |
T2T3 – Prawo Małpki
Tabela T2 | Tabela T3
Logika 5-cio latka | Logika Diabła
A1: Kiedy zajdzie Y? | A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y = p* q + ~p*~q [=] A1”: Y = (~p+ q)*(p+~q)
# | #
B1: Kiedy zajdzie ~Y? | B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A1 | Negujemy dwustronnie A1”
B1: ~Y = p*~q + ~p* q [=] B1”: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
[=], „=”, <=> (wtedy i tylko wtedy)
Doskonale widać, że końcowym rozwiązaniem prawa Małpki dla funkcji startowej:
A1: Y= p<=>q = p*q + ~p*~q
są dwa rozwiązania, jedno w logice dodatniej (bo Y) oraz drugie w logice ujemnej (bo ~Y).
Rozwiązania te wiąże definicja spójnika „albo”($):
Zajdzie Y albo($) ~Y
Y$~Y
Trzeciej możliwości brak
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Stąd mamy:
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
cnd
Przykład:
Dowolny człowiek mówi prawdę (P) albo nie mówi prawdy (~P)
P$~P =1
Trzeciej możliwości brak
Wisienka na torcie:
Otrzymane funkcje logiczne Y i ~Y nie są (=0) tożsame, czyli:
(Y=~Y) =0
Dowód:
Prawo Irbisa dla zbiorów/zdarzeń (pkt. 2.9):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć/zdarzeń/zbiorów p=q i odwrotnie.
Stąd mamy:
p=q <=> A1B3: (p<=>q) = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y, q=~Y
stąd mamy:
Y = (Y<=>~Y) = (Y)*(~Y) + ~(Y)* ~(~Y) = = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Stąd:
Na mocy prawa Irbisa nie zachodzi (=0) tożsamość:
(Y=~Y)=0
26.2.2 Prawo Goryla
W oparciu o algorytm prawa Małpki łatwo napisać program „Prawo Małpki” który wydrukuje nam zawsze identyczne rozwiązanie podane w tabeli T2T3 wyżej, niezależnie od tego którą z czterech tu funkcji A1, B1, A1”, B1” ustawimy na jego wejściu (dowód w pkt. 26.3)
Oczywiście, możliwy jest też proces odwrotny definiowany przez prawo Goryla
Prawo Goryla:
Do jednoznacznego odtworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej opisywanej przez prawo Małpki jest potrzebna i wystarczająca znajomość dowolnej z czterech funkcji logicznych wygenerowanych przez program „Prawo Małpki”: A1, B1, A1”, B1”.
Najprościej udowodnić prawo Goryla posługując się funkcjami alternatywno-koniunkcyjnymi A1 i B1 doskonale rozumianymi przez każdego 5-cio latka.
Znając algorytm programu „Prawo Małpki” możemy też zbudować algorytm odtworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej korzystając z funkcji w logice Diabła: A1” i B1” - pozostawiam to w gestii ambitnych czytelników (nie jest to trudne).
Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej dla funkcji A1 mamy podany w punkcie Krok 1 w algorytmie programu „Prawo Małpki”.
Zajmijmy się funkcją B1.
Zadanko Goryla:
Dana jest funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y):
B1: ~Y = p*~q + ~p*q
Polecenie:
Odtwórz pełną tabelę zero-jedynkową opisywaną przez tą funkcję.
Krok 1
Nasza funkcja logiczna to:
~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Stąd w punktach B6 i D6 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
| Kod: |
Pełna tabela zero-jedynkowa
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 0 0 1 1
D: 0 1 1 0 1
1 2 3 4 5 6
|
Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
| Kod: |
T1
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 0 1 1 1 0
D: 0 1 1 0 0 1
1 2 3 4 5 6
|
26.2.3 Logika jedynek = logika 5-cio latka
Analiza dowolnej, pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek (pkt. 1.14.1) prowadzi do funkcji alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając, co udowodnimy niżej, na przykładzie.
Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y= A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Pani w przedszkolu:
A1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
C: Yc=~K*~T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję A1 pozostając w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
B1.
~Y = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb=K*~T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
D: ~Yd=~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej Y:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko w samych symbolach:
Y – pani dotrzyma słowa
~Y – pani nie dotrzyma słowa
Doskonale widać, że sens wszystkich funkcji alternatywno-koniunkcyjnych jest zrozumiały nawet dla 5-cio latka
26.2.4 Logika zer = logika Diabła
Analiza dowolnej pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice zer (pkt. 1.14.2) prowadzi do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka, co udowodnimy niżej, na przykładzie.
Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1”: Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1”: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Pani w przedszkolu A1” wypowiada zdanie:
A1”.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = (B: ~K+T)*(D: K+~T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=~K+T – jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
„i”(*)
D: Yd K+~T – juto pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Jak widzimy w języku potocznym mamy tu „bełkot” przez nikogo nie zrozumiały
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy funkcję A1” pozostając w funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
~Y = (A: ~K+~T)*(C: K+T)
czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya=~K+~T - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
C: ~Yc K+T – juto pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
Jak widzimy, mamy tu „bełkotu” ciąg dalszy
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Wniosek:
Łatka „logiki Diabelskiej” w stosunku do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych jest ze wszech miar słuszna.
26.3 Mutacje prawa Małpki dla równoważności p<=>q
Podstawowe rozwiązania prawa Małpki dla funkcji startowej:
Y= p<=>q = p*q + ~p*~q
jest następujące.
| Kod: |
T2T3 Prawo Małpki
Tabela T2 | Tabela T3
Logika 5-cio latka | Logika Diabła
A1: Kiedy zajdzie Y? | A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y = p* q + ~p*~q [=] A1”: Y = (~p+ q)*(p+~q)
# | #
B1: Kiedy zajdzie ~Y? | B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = p*~q + ~p* q [=] B1”: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
Zbadajmy jak zachowa się program komputerowy gdy na jego wejściu ustawimy dowolny z członów występujących w rozwiązaniu B1, A1”, B1”
26.3.1 Analiza funkcji logicznej B1
B1.
Ustawmy na wejściu programu funkcję logiczną B1 w postaci alternatywno-koniunkcyjnej
B1: ~Y= p*~q + ~p*q
Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1 to funkcja:
A1: Y = p*q + ~p*~q
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 26.2
26.3.2 Analiza funkcji logicznej A1”
A1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową A1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
A1”: Y = (~p+q)*(p+~q)
Tu program komputerowy wypisze nam informację:
Każdy człowiek doskonale rozumie wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne, gdzie domyślne są jedynki. Dotyczy to także tworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej.
Stąd wymnażamy logicznie funkcję wejściową A1” przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej A1.
A1”:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q + ~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~p*~q + 0 = p*q+~p*~q = A1
Stąd mamy:
A1: Y= p<=>q = p*q + ~p*~q
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 26.2
26.3.3 Analiza funkcji logicznej B1”
B1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
B1”: ~Y= (p+q)*(~p+~q)
Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej to funkcja:
A1”: Y = (~p+q)*(p+~q)
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 26.3.2
26.4 Algorytm Małpki dla spójnika „albo”($)
Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Zadanko Małpki dla spójnika „albo”($):
A1.
Dana jest startowa funkcja logiczna spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q = p*~q + ~p*q
Polecenie:
Wyznacz wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z funkcją startową Y=f(x) wraz z podaniem relacji matematycznych wiążących otrzymane rozwiązanie.
Wykonujemy kolejne punkty algorytmu rozwiązania zadania Małpki:
Krok 1
Nasza startowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna to:
Y = (p$q) = p*~q +~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Stąd w punktach B5 i D5 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
| Kod: |
Pełna tabela zero-jedynkowa
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 0 0 1 1
D: 0 1 1 0 1
1 2 3 4 5 6
|
Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
| Kod: |
T1
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 0 1
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 0 1 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0
1 2 3 4 5 6
|
Krok 2
T2 - Opis tabeli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych (pkt. 1.14.1)
Na bazie pełnej tabeli zero-jedynkowej łatwo generujemy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne gdzie opisujemy wyłącznie jedynki w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „i”(*), zaś w kolumna spójnik „lub”(+).
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice jedynek
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =0 =1 |~Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =1 =0 | Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =0 =1 |~Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =1 =0 | Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
1: Y = Yb+Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
2: ~Y=~Ya+~Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
2: ~Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji alternatywno-koniunkcyjnych.
Definicja logiki 5-cio latka:
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne rozumiane przez każdego człowieka
Dowód na przykładzie iż dowolne funkcje alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiane przez człowieka od 5-cio latka poczynając mieliśmy w punkcie 1.10.
Krok 3
T3 - Opis tej samej tabeli w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych (pkt. 1.14.2)
Kolejnym krokiem jest opis dokładnie tej samej tabeli zero-jedynkowej w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych gdzie opisujemy wyłącznie zera stosując w wierszach spójnik „lub”(+), zaś w kolumnach spójnik „i”(*)
| Kod: |
T3
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice zer
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =0 =1 | Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =1 =0 |~Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =0 =1 | Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =1 =0 |~Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Ya*Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
co w logice zer oznacza:
4: Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Yb*~Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
co w logice zer oznacza:
4: ~Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka czego dowód w punkcie 1.10
Definicja logiki Diabła:
Logika Diabła to funkcje koniunkcyjno-alternatywne totalnie niezrozumiałe dla człowieka
Uzasadnienie nazwy „Logiki Diabła”:
W języku potocznym funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszym matematyku kończąc.
Dowód tego faktu mieliśmy w punkcie 1.10.
Z tego względu w języku potocznym zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Krok 4
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd zachodzą tożsamości logiczne:
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
co kończy rozwiązanie zadania Małpki
Podsumowanie:
Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Y= B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
[=]
Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: ~Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] – zero-jedynkowe tabele T2 i T3 są tożsame
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd mamy prawo Małpki.
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
26.4.1 Prawo Małpki dla spójnika „albo”($)
Prawo Małpki (pkt. 1.15.1):
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie
Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
| Kod: |
T2T3
Prawo Małpki:
Tabela T2 | Tabela T3
Logika 5-cio latka | Logika Diabła
A1: Y = p*~q + ~p* q [=] A1”: Y = (p+ q)*(~p+~q)
Kiedy zajdzie ~Y? | Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A1 | Negujemy dwustronnie A1”
# | #
B1: ~Y = p* q + ~p*~q [=] B1”: ~Y = (p+~q)*(~p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
[=], „=”, <=> (wtedy i tylko wtedy)
Doskonale widać, że końcowym rozwiązaniem prawa Małpki dla funkcji startowej:
A1: Y= p$q = p*~q + ~p*q
są dwa rozwiązania, jedno w logice dodatniej (bo Y) oraz drugie w logice ujemnej (bo ~Y).
Rozwiązania te wiąże definicja spójnika „albo”($):
Zajdzie Y albo($) ~Y
Y$~Y
Trzeciej możliwości brak
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
cnd
Przykład:
Dowolny człowiek mówi prawdę (P) albo nie mówi prawdy (~P)
P$~P =1
Trzeciej możliwości brak
Wisienka na torcie:
Otrzymane funkcje logiczne Y i ~Y nie są (=0) tożsame, czyli:
(Y=~Y) =0
Dowód:
Prawo Irbisa dla zbiorów/zdarzeń (pkt. 2.9):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć/zdarzeń/zbiorów p=q i odwrotnie.
Stąd mamy:
p=q <=> A1B3: (p<=>q) = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y, q=~Y
stąd mamy:
Y = (Y<=>~Y) = (Y)*(~Y) + ~(Y)* ~(~Y) = = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Stąd:
Na mocy prawa Irbisa nie zachodzi (=0) tożsamość:
(Y=~Y)=0 (fałsz)
26.4.2 Logika jedynek = logika 5-cio latka
Analiza dowolnej, pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek (pkt. 1.14.1) prowadzi do funkcji alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając, co udowodnimy niżej, na przykładzie.
Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y= B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Pani w I klasie LO mówi:
A1.
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y = K$T = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=K*~T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
D: Yd=~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami pozostając w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
B1: ~Y = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i do pójdziemy do teatru (T=1
lub
C: Yc=~~K*~T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej Y:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko w samych symbolach:
Y – pani dotrzyma słowa
~Y – pani nie dotrzyma słowa
Doskonale widać, że sens wszystkich funkcji alternatywno-koniunkcyjnych jest zrozumiały nawet dla 5-cio latka
26.4.3 Logika zer = logika Diabła
Analiza dowolnej pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice zer (pkt. 1.14.2) prowadzi do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka, co udowodnimy niżej, na przykładzie.
Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1”: Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1”: ~Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Pani w I klasie LO mówi:
A1”.
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y = (A: ~K+~T)*(C: K+T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~K+~T – jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
C: K+T – jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
Jak widzimy, w języku potocznym mamy tu „bełkot” przez nikogo nierozumiany.
#
… a Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie A1” pozostając w funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
~Y = (B: ~K+T)*(D: K+~T)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K+T – jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
„i”(*)
D: K+~T – jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Jak widzimy, tu również nic a nic nie rozumiemy.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Wniosek:
Łatka „logiki Diabelskiej” w stosunku do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych jest ze wszech miar słuszna.
26.5 Mutacje prawa Małpki dla spójnika „albo”($)
Podstawowe rozwiązania prawa Małpki dla funkcji startowej:
Y= p$q = p*~q + ~p*q
jest następujące.
| Kod: |
T2T3 Prawo Małpki
Tabela T2 | Tabela T3
Logika 5-cio latka | Logika Diabła
A1: Kiedy zajdzie Y? | A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y = p*~q + ~p* q [=] A1”: Y = (p+ q)*(~p+~q)
# | #
Kiedy zajdzie ~Y? | Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A1 | Negujemy dwustronnie A1”
B1: ~Y = p* q + ~p*~q [=] B1”: ~Y = (p+~q)*(~p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
Zbadajmy jak zachowa się program komputerowy gdy na jego wejściu ustawimy dowolny z członów występujących w rozwiązaniu B1, A1”, B1”
26.5.1 Analiza funkcji logicznej B1
B1.
Ustawmy na wejściu programu funkcję logiczną B1 w postaci alternatywno-koniunkcyjnej
B1: ~Y= p*q + ~p*~q
Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1 to funkcja:
A1: Y = p*~q + ~p*q
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 26.4
26.5.2 Analiza funkcji logicznej A1”
A1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową A1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
A1”: Y = (p+q)*(~p+~q)
Tu program komputerowy wypisze nam informację:
Każdy człowiek doskonale rozumie wyłącznie wszelkie funkcje alternatywno-koniunkcyjne, gdzie domyślne są jedynki. Dotyczy to także tworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej.
Stąd wymnażamy logicznie funkcję wejściową A1” przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej A1.
A1”:
Y = (p+q)*(~p+~q) = p*~p + p*~q + q*~p + q*~q = 0 + p*~q + ~p*q + 0 = p*~q+~p*q = A1
Stąd mamy:
A1: Y= p$q = p*~q + ~p*q
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 26.4
26.5.3 Analiza funkcji logicznej B1”
B1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
B1”: ~Y= (p+~q)*(~p+q)
Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej to funkcja:
A1”: Y = (p+q)*(~p+~q)
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 26.5.2
26.6 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($)
Zobaczmy jaka jest relacja matematyczna między spójnikiem równoważności p<=>q a spójnikiem „albo”($).
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
##
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q = p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - funkcje logiczne różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice, dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy wyrażenia algebry Boole’a z prawej strony tych funkcji nie są tożsame.
Doskonale widać, że spójnik równoważności p<=>q jest różny na mocy definicji ## od spójnika „albo”($).
Jest oczywistym, że jak rozpiszemy szczegółowo te spójniki to wyskoczy nam słynne prawo Grzechotnika.
26.6.1 Prawo Grzechotnika dla spójników równoważności p<=>q i „albo”($)
Zapiszmy w tabeli prawdy szczegółowe definicje spójnika równoważności p<=>q i spójnika „albo”($), oczywiście wyłącznie w logice 5-cio latka, czyli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych.
Pani w szkole A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie A1 pozostając w logice alternatywno-koniunkcyjnej:
B1.
~Y = ~(K<=>T) = K*~T + ~K*T
##
Pani w szkole A2:
A2.
Jutro pójdziemy do kina albo to teatru
Y = K$T = K*~T + ~K*T
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie A2 pozostając w logice alternatywno-koniunkcyjnej:
B2.
~Y = ~(K$T) = K*T + ~K*~T
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolne strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Zapiszmy powyższe dialogi w tabeli prawdy:
| Kod: |
PA1A2
A1: Y = K* T + ~K*~T # B1: ~Y = K*~T + ~K* T
## ##
A2: Y = K*~T + ~K* T # B2: ~Y = K* T + ~K*~T
|
Definicja znaczka #
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.
W tabeli PA1A2 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy z tabeli PA1A2 wszelkie funkcje Y i ~Y:
| Kod: |
PA1A2”:
A1: K* T+~K*~T # B1: K*~T+~K* T
A2: K*~T+~K* T # B2: K* T+~K*~T
|
Doskonale widać, że w tabeli PA1A2" po przekątnych zachodzą tożsamości matematyczne, co oznacza gwałt na najważniejszym znaczku logiki matematycznej, znaczku różne na mocy definicji ##.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
26.7 Funkcja dwuargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne
Definicja startowej funkcji logicznej w języku potocznym:
Startowa funkcja logiczna w języku potocznym to funkcja w logice dodatniej (bo Y) opisująca zdanie startowe wypowiedziane przez człowieka, od którego zaczynamy analizę matematyczną tego zdania.
Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej (pkt. 1.15.2):
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest tylko i wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Na mocy powyższej definicji zaprzeczenie dowolnego wyrażenia dwóch zmiennych binarnych uznajemy za postać koniunkcyjno-alternatywną.
Przykład:
Y = ~(~p*~q) - postać koniunkcyjno-alternatywna
By zapisać powyższą postać koniunkcyjno-alternatywną w tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej musimy skorzystać z prawa De Morgana
Y = ~(~p*~q) = p+q - na mocy prawa De Morgana
Stąd szukana postać alternatywno-koniunkcyjna to:
Y = p+q
| Kod: |
T1
Definicje spójnika „lub”(+) oraz „i”(*)
w logice dodatniej bo brak przeczeń
p q p+q p*q
A: 1 1 1 1
B: 1 0 1 0
C: 0 1 1 0
DL 0 0 0 0
|
W przypadku funkcji dwuargumentowej precyzyjnie możemy mówić o rozwiązaniu podstawowym (logika 5-cio latka) oraz o rozwiązaniu alternatywnym wynikłym z praw De Morgana (logika Szakala)
26.7.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka
Definicja funkcji logicznej podstawowej:
Funkcja logiczna podstawowa Y=f(x) to brak wyrażeń koniunkcyjno-alternatywnych oraz zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a
Definicja rozwiązania podstawowego:
Rozwiązanie podstawowe to likwidacja wszelkich, zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy prawa De Morgana
Przykład:
Y = ~(~p*~q) - to nie jest funkcja logiczna podstawowa
Y =~(~p*~q) = p+q - na mocy Prawa De Morgana
Y = p+q - to jest funkcja logiczna podstawowa
Definicja logiki 5-cio latka
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje logiczne podstawowe Y=f(x) gdzie brak jest zarówno członów koniunkcyjno-alternatywnych jak i zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a
Rozważmy przykład:
Dana jest funkcja startowa jednej dwóch zmiennych binarnych:
A1:
Y=p+q
Polecenie:
Przeanalizuj startową funkcją logiczną A1 w logice 5-cio latka
Rozwiązanie:
Mamy funkcję startową podstawową A1:
Logika 5-cio latka
A1:
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
Czytamy:
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p lub zajdzie q
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1:
B1:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
W rozwiązaniu podstawowym nie może być negacji dowolnego wyrażenia algebry Boole’a.
Stąd mamy jedynie poprawne rozwiązanie:
~Y = ~p*~q
Czytamy:
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i zajdzie ~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zapiszmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Logika 5-cio latka
Rozwiązanie podstawowe dla funkcji startowej A1:
A1: Y= p+ q # B1: ~Y=~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja logiki 5-cio latka
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje logiczne podstawowe Y=f(x) gdzie brak jest zarówno członów koniunkcyjno-alternatywnych jak i zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a
Przykład:
Pani w przedszkolu A1 mówi:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Treść polecenia:
Zapisz w logice 5-cio latka odpowiedź na pytanie „Kiedy pani dotrzyma słowa” (Y) oraz „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)
Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.
Pani w przedszkolu A1:
Logika 5-cio latka
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
A1: Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję logiczną A1 stronami likwidując zaprzeczenie wyrażenia algebry Boole’a:
B1:
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
Stąd mamy poprawną odpowiedź dla rozwiązania podstawowego:
B1: ~Y = ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko w naturalnym języku człowieka:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
Zapiszmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T2
Rozwiązanie podstawowe dla funkcji logicznej A1:
A1: logika 5-cio latka | B1: logika 5-cio latka
A1: Y= K+ T # B1: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza: | co w logice jedynek oznacza:
A1: Y=1 <=> K=1 lub T=1 # B1: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
|
Jak widzimy rozwiązanie podstawowe dla funkcji logicznej A1 jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka
26.7.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala
Definicja funkcji logicznej podstawowej:
Funkcja logiczna podstawowa Y=f(x) to brak wyrażeń koniunkcyjno-alternatywnych oraz zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a
Definicja rozwiązania alternatywne:
Rozwiązanie alternatywne to wymuszenie zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy praw De Morgana.
Definicja logiki Szakala
Logika Szakala to wymuszenie zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy praw De Morgana.
Przykład:
Y = p+q - to jest funkcja logiczna podstawowa
Y = p+q = ~(~p*~q) - na mocy Prawa De Morgana
Y = ~(~p*~q) - to jest funkcja alternatywna z zaprzeczonym wyrażeniem algebry Boole’a
Generowanie rozwiązania alternatywnego dla naszego przykładu z przedszkola:
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Stąd mamy:
A1: Y=p+q = A1”: Y = ~(~p*~q) - na mocy prawa De Morgana
B1: ~Y=~p*~q = B1”: ~(~(~p*~q) = ~(p+q) - prawo podwójnego przeczenia plus prawo De Morgana
Stąd mamy:
Rozwiązanie alternatywne końcowe:
A1”: Y = ~(~p*~q)
B1”: ~Y = ~(p+q)
Rozważmy funkcję startową alternatywną:
Logika Szakala
A1”:
Kiedy zajdzie Y?
Y=~(~p*~q)
Czytamy:
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że zajdzie ~p i ~q
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1” z wymuszeniem zaprzeczonego wyrażenia algebry Boole’a:
B1”:
~Y=~(p+q)
Czytamy:
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..) że zajdzie p lub zajdzie q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zapiszmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T3
Rozwiązanie alternatywne dla funkcji startowej A1”:
Logika Szakala
A1”: Y=~(~p*~q) # B1”: ~Y=~(p+q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja logiki Szakala
Logika Szakala to wymuszenie zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy praw De Morgana.
Przykład:
Pani w przedszkolu A1 mówi:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Treść polecenia:
Zapisz w logice Szakala odpowiedź na pytanie „Kiedy pani dotrzyma słowa” (Y) oraz „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)
Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.
Pani w przedszkolu A1” wypowiada zdanie startowe w logice Szakala:
A1”:
Nie może się zdarzyć ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y = ~(~K*~T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T).
To zdanie jest zrozumiałe, ale nikt przy zdrowych zmysłach nie wypowie tego zdania w języku potocznym jako zdania startowego (pierwszego) w dialogu.
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną A1” pozostawiając najprostsze możliwe, zanegowane wyrażenie algebry Boole’a
B1”:
~Y = ~(K+T)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), iż jutro pójdziemy do kina (K+T) lub do teatru (T)
Gdzie:
# - dowolna strona # jest negacją drugiej strony
Zauważmy, że w języku potocznym logika 5-cio latka jest niebotycznie prostsza od logiki Szakala, choć na upartego logikę Szakala da się zrozumieć.
26.7.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala
Porównajmy logikę 5-cio latka z logiką Szakala na naszym przykładzie:
| Kod: |
Rozwiązanie podstawowe | Rozwiązania alternatywne
Logika 5-cio latka | Logika Szakala
A1: Y=K+T [=] A1”: Y=~(~K*~T)
# #
… a kiedy zajdzie ~Y? | … a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy dwustronnie A1 | Negujemy dwustronnie A1”
z wyrażeniem bez negacji | z zanegowanym wyrażeniem algebry Boole’a
B1: ~Y=~K*~T [=] B1”: ~Y = ~(K+T)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Zauważmy, że podstawowe zdanie A1 wypowiedziane przez panią przedszkolanką brzmi:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Prawo Szakala:
Nie istnieje ziemskie przedszkole, w którym pani zamiast startowego zdania A1 w logice 5-cio latka:
A1: Y=K+T
wypowiedziała by to samo zdanie w logice Szakala:
A1”: Y = ~(~K*~T)
Zdanie A1 w logice Szakala, może nam wyskoczyć w specyficznych okolicznościach, ale na pewno nie jako zdanie startowe (pierwsze wypowiedziane).
Przykład:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Jaś (lat 5):
Proszę pani, a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Pani:
Oczywiście Jasiu, że nie może się zdarzyć ~(..) że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
A1”: Y = ~(~K*~T)
Podobnie jest z odpowiedzią na pytanie „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)?
Logika 5-cio latka:
B1: ~Y=~K*~T
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Zdanie tożsame w logice Szakala:
B1”: ~Y = ~(K+T)
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..) że jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
26.8 Funkcja jednoargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne
W przypadku funkcji jednoargumentowej mamy dostęp tylko i wyłącznie do prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Stąd analiza funkcji logicznej jednoargumentowej podstawowa i alternatywna z wykorzystaniem prawa podwójnego przeczenia, będzie tu bardzo prosta.
| Kod: |
Rozwiązanie podstawowe | Rozwiązania alternatywne
Logika 5-cio latka | Logika Szakala
A1: Y= p [=] A1”: Y=~(~p)
# #
… a kiedy zajdzie ~Y? | … a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy dwustronnie A1 | Negujemy dwustronnie A1”
B1: ~Y=~p [=] B1”: ~Y= ~(p)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
W logice Szakala wszelkie zdania zaczynają się od frazy nie może się zdarzyć ~(..).
Zobaczmy różnicę między logiką 5-cio latka a logika Szakala na konkretnym przykładzie.
26.8.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka
Pani w przedszkolu A1:
Logika 5-cio latka
A1:
Jutro pójdziemy do kina
A1:
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję logiczną A1 stronami:
B1:
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Gdzie:
# - dowolna strona # jest negacją drugiej strony
26.8.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala
Dokładnie ten sam dialog w logice Szakala.
Pani w przedszkolu A1”:
Logika Szakala
A1”:
Y = ~(~K)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy zdanie A1” pozostawiając frazę „nie może się zdarzyć” ~(..)
B1”.
~Y = ~(K)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..) że jutro pójdziemy do kina (K)
Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
Prawo Szakala:
Nie istnieje ziemskie przedszkole w którym pani przedszkolanka w zdaniu startowym wypowiedziała by zdanie startowe z logiki Szakala:
A1”: Y=~(~K)
zamiast zdania z logiki 5-cio latka:
A1: Y=K
26.8.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala
W języku potocznym, w specyficznej sytuacji może paść zdanie z logiki Szakala A1” ale nie jako zdanie startowe.
Przykład:
Pani w przedszkolu A1:
Logika 5-cio latka
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Jaś (lat 5):
Proszę pani, a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina (~K)?
Pani:
A1”:
Y = ~(~K)
Czytamy:
Nie drogi Jasiu, nie może się zdarzyć ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Identycznie mamy w odpowiedzi na pytanie „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)?
Logika 5-cio latka:
B1:
~Y=~K
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Zdanie tożsame na mocy prawa Szakala:
B1”:
~Y = ~(K)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że jutro pójdziemy do kina (K)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 19:09, 17 Mar 2025, w całości zmieniany 24 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 7:53, 27 Mar 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
27.0 Algebra Kubusia na lekcji fizyki w Szkole Podstawowej
Spis treści
27.0 Algebra Kubusia na lekcji fizyki w Szkole Podstawowej 1
27.1 Skorowidz definicji implikacyjnych algebry Kubusia 2
27.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach 2
27.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 3
27.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 3
27.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 4
27.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
27.3 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~> 5
27.4 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego 8
27.4.1 Definicje znaczków # i ## 10
27.5 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia 11
27.5.1 Prawa Sowy 11
27.5.2 Definicja tożsamości logicznej 11
27.5.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia 12
27.5.4 Prawa Prosiaczka 12
27.6 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej 12
27.7 Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego 13
27.7.1 Prawo Kłapouchego i prawo Kameleona w implikacji prostej p|=>q 13
27.7.2 Prawo Kłapouchego w implikacji odwrotnej p|~>q 15
27.7.3 Nietrywialny błąd podstawienia ### 16
27.8 Prawo Słonia dla zdarzeń 17
27.9 Prawo Irbisa dla zdarzeń 19
27.0 Algebra Kubusia na lekcji fizyki w Szkole Podstawowej
W matematyce wszelkie twierdzenia matematyczne operują na zbiorach nieskończonych.
Teoria zbiorów nieskończonych w algebrze Kubusia to poziom I klasy LO.
Pytanie:
Czy da się wytłumaczyć wszelkie niuanse algebry Kubusia prościej, czyli bez operacji logicznych na zbiorach nieskończonych?
Odpowiedź jest twierdząca, bowiem wszelkie prawa logiki matematycznej dla zbiorów nieskończonych są identyczne jak w teorii zdarzeń.
Teoria zdarzeń którą zajmiemy się w niniejszym rozdziale to prawa logiki matematycznej opisujące zdarzenia związane z chmurką i deszczem (poziom 5-cio latka), czy też sterowanie żarówką przy pomocy zespołu różnych przycisków (poziom 8 klasy Szkoły Podstawowej).
W niniejszym rozdziale wykażemy, że bardzo łatwo nauczyć wszelkich niuansów algebry Kubusia na lekcjach fizyki w 8 klasie Szkoły Podstawowej.
Doskonale będzie tu widać fundamentalną różnicę między operatorem implikacji prostej p||=>q a operatorem implikacji odwrotnej p||~>q jeśli będziemy patrzeć na logikę matematyczną z tego samego punktu odniesienia, czego na dzień dzisiejszy ziemscy matematycy nie mogą pojąć.
Operator implikacji prostej A||=>S:
Sterowanie żarówką S przez dwa przyciski A i B połączone równolegle
Operator implikacji odwrotnej A||~>S:
Sterowanie żarówką S przez dwa przyciski A i C połączone szeregowo
Oczywistym jest, że wyłącznie matematyczno-fizyczny koziołek matołek może powiedzieć, że sterowanie równoległe to jest to samo co sterowanie szeregowe.
Niestety, dokładnie to twierdzą ziemscy matematycy bo nie widzą w logice matematycznej ani operatora implikacji prostej p||=>q, ani też operatora implikacji odwrotnej p||~>q.
Uwaga:
Teoria czysto matematyczna algebry Kubusia wyłożona w punktach 27.1 do 27.8 to kopia teorii z punku 2.0 -2.9 ograniczona wyłącznie do banalnej teorii zdarzeń, czyli z wyciętymi jakimikolwiek wzmiankami w temacie zbiorów nieskończonych.
27.1 Skorowidz definicji implikacyjnych algebry Kubusia
Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to spójnik związany w obsługą zdań warunkowych "Jeśli p to q" definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Definicje spójników implikacyjnych w algebrze Kubusia mają układ trzypoziomowy {1=>2=>3}:
1.
Elementarne spójniki logiczne w zdarzeniach:
~~> - spójnik zdarzenia możliwego (2.2.1)
=> - warunek wystarczający (2.2.2)
~> - warunek konieczny (2.2.3)
2.
Podstawowe spójniki implikacyjne definiowane spójnikami elementarnymi:
|=> - implikacja prosta (2.12)
|~> - implikacja odwrotna (2.13)
<=> - równoważność (2.14)
|~~> - chaos (2.15)
3.
Operatory implikacyjne definiowane podstawowymi spójnikami implikacyjnymi
||=> - operator implikacji prostej (2.12.1)
||~> - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
|<=> - operator równoważności (2.14.1)
||~~> - operator chaosu (2.15.1)
27.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech elementarnych znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q
Formalna budowa zdania warunkowego:
Jeśli p to q
p – poprzednik, część zdania po „Jeśli …”
q – następnik, część zdania po „to…”
27.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
27.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P (pada)
q=CH (chmurka)
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q =~p+q
Zapis aktualny (przykład):
A1: p=P
A1: q=CH
A1: P=>CH=~P+CH
|
27.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
W zapisie formalnym mamy tu:
p=CH (chmurka)
q=P (pada)
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład):
B1: p=CH
B1: q=P
B1: CH~>P=CH+~P
|
27.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
27.3 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Rachunek zero-jedynkowy dla teorii zdarzeń i teorii zbiorów jest wspólny.
Definicja stałej binarnej
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 0 albo 1.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, przyjmujący w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa
Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna p wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)
Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny (bramka logiczna) dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zero-jedynkowa tabela prawdy:
Zero-jedynkowa tabela prawdy to zapis wszystkich możliwych wartościowań zmiennych binarnych w postaci tabeli zero-jedynkowej.
W poniższych tabelach T1 do T4 w kolumnach opisujących symbole {p, q Y} nie mamy stałych wartości 1 albo 0 co oznacza, że symbole te są zmiennymi binarnymi.
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Gdzie:
Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
;
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Gdzie:
Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
;
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+):
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
;
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych szybsza jest logika zer.
|
##
| Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q:
p - w logice dodatniej (bo p)
oraz
q - w logice dodatniej (bo q)
mają różne kolumny wynikowe Y ( w logice dodatniej bo Y)
Wniosek:
Funkcje logiczne definiowane tabelami T1 do T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Ax:
Warunek wystarczający =>:
p=>q = ~p+q
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
##
| Kod: |
Bx:
Warunek konieczny ~>:
p~>q = p+~q
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
"=", [=], <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej "=" wymusza fałszywość drugiej strony
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Doskonale widać, że w tabelach Ax i Bx definicja znaczka # jest spełniona
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Ax i Bx są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach {p, q} mają różne kolumny wynikowe i żadna z tych funkcji nie jest negacją drugiej.
Jak widzimy, między tabelami Ax i Bx obowiązuje znaczek różne na mocy definicji ##
27.4 Prawa algebry Kubusia wynikłe z rachunku zero-jedynkowego
Na mocy rachunku zero-jedynkowego wyżej mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
2.
Prawa Tygryska:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
3.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B3: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
4.
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
##
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
27.4.1 Definicje znaczków # i ##
Zapiszmy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
z uwzględnieniem kolumny 6.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A5B5: A6B6:
Y= Y= Y= Y= Y=(p=>q)= # ~Y=~(p=>q)=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5:~p+ q # 6: p* ~q
## ## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y=(p~>q)= # ~Y=~(p~>q)=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q # 6: ~p* q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zapiszmy powyższe definicje wyrażone funkcjami logicznymi Y i ~Y
| Kod: |
T0"
Funkcja logiczna Y warunku wystarczającego =>:
A5: Y=(p=>q)=~p+ q # A6: ~Y=~(p=>q)= p*~q
## ##
Funkcja logiczna Y warunku koniecznego ~>:
B5: Y=(p~>q)= p+~q # B6: ~Y=~(p~>q)=~p* q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli T0" obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
27.5 Fundamentalne definicje i prawa algebry Kubusia
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
27.5.1 Prawa Sowy
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
27.5.2 Definicja tożsamości logicznej
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
27.5.3 Definicja dowodu "nie wprost" w algebrze Kubusia
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
27.5.4 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Dowód praw Prosiaczka znajdziemy w punkcie 1.4
27.6 Prawo Kłapouchego - kluczowe prawo logiki matematycznej
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt.5.4.1)
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka.
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
27.7 Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego
Podstawowy spójnik implikacyjny to badanie prawdziwości/fałszywości zdań w kolumnie A1B1 dającej odpowiedź na pytanie:
A1B1: Kiedy zajdzie p?
Podstawowe, przykładowe spójniki implikacyjne to implikacja prosta p|=>q i implikacja odwrotna p|~>q
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
##
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q
27.7.1 Prawo Kłapouchego i prawo Kameleona w implikacji prostej p|=>q
Dane jest zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego podstawowego spójnika implikacyjnego wchodzi to zdanie
Rozwiązanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
Zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań
W zapisach formalnych (ogólnych) zachodzi:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Nasza tabela prawdy z uwzględnieniem prawa Kłapouchego wygląda tak:
| Kod: |
T1
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q=1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
p=P (pada)
q=CH (chmury)
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
dla spełnionego warunku wystarczającego P=>CH=1
Warunek wystarczający p=>q | Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1: Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2: p=P (pada) [=] p=P (pada)
3: q=CH (chmury) [=] q=CH (chmury)
4: A1: P=>CH=1 ## B1: P~>CH=0
P jest wystarczające => dla CH ## P nie jest (=0) konieczne ~> dla CH
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
27.7.2 Prawo Kłapouchego w implikacji odwrotnej p|~>q
Dane jest zdanie:
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego podstawowego spójnika implikacyjnego wchodzi powyższe zdanie
Rozwiązanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki (CH)
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie B1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
##
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Gdzie:
## - zdania B1 i A1 to zdania różne na mocy definicji warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
Dowód w zapisach formalnych:
B1: p~>q=p+~q ## A1: p=>q=~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
Nasza tabela prawdy z uwzględnieniem prawa Kłapouchego wygląda tak:
| Kod: |
T2
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q=0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q=1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład):
p=CH (chmury)
q=P (pada)
A1: CH=>P=0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P=1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne relacje między warunkiem wystarczającym => i koniecznym ~>
dla spełnionego warunku koniecznego CH~>P=1
Warunek wystarczający p=>q | Warunek konieczny p~>q
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1: Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2: p=CH (chmury) [=] p=CH (chmury)
3: q=P (pada) [=] q=P (pada)
4: CH=>P=0 ## CH~>P=1
CH nie są wystarczające => dla P ## CH są (=1) konieczne ~> dla P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
27.7.3 Nietrywialny błąd podstawienia ###
Zapiszmy przykłady warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zdarzeniach
A1.
Przykład spełnionego warunku wystarczającego =>:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
B1.
Przykład spełnionego warunku koniecznego ~>:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Umieśćmy nasze przykłady A1 i B1 w tabeli prawdy:
| Kod: |
Nietrywialny błąd podstawienia ###:
Definicja warunku wystarczającego =>: | Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1. Y = A1: p=>q =~p+q ## Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2. A1: p=P (pada) ### B1: p=CH (chmury)
3. A1: q=CH (chmury) ### B1: q=P (pada)
4. A1: Y= A1: P=>CH =~P+CH ### B1: Y= B1: CH~>P = B3: P=>CH =CH+~P
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy że:
1.
Suma logiczna (+) jest przemienna stąd w linii 4 zachodzi pozorna tożsamość logiczna [=].
2.
W rzeczywistości pozorna tożsamość [=] w linii 4 nie zachodzi, bowiem mamy tu do czynienia z nietrywialnym błędem podstawienia ###
3.
W liniach 2 i 3 doskonale widać na czym ten nietrywialny błąd podstawienia ### polega:
Warunek wystarczający A1: p=>q jest tu obserwowany z punktu odniesienia p=P i q=CH
Natomiast:
Warunek konieczny B1: p~>q jest tu obserwowany z innego punktu odniesienia p=CH i q=P
Prawo Wielbłąda:
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia.
Innymi słowy:
Otaczającą nas rzeczywistość opiszemy matematycznie poprawnie wtedy i tylko wtedy gdy będziemy na nią patrzeć z tego samego punktu odniesienia.
Poprawny opis rzeczywistości w naszym przykładzie to punkty 27.6.2 i 27.6.3
Stąd mamy:
Definicja nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach formalnych (ogólnych) są różne na mocy definicji ## (linia 1), zaś w zapisach aktualnych (przykład) skolerowanych z zapisem formalnym funkcje te są tożsame (linia 4)
Wniosek:
Prawo Kłapouchego broni nas przed niejednoznacznością logiki matematycznej, bowiem tylko i wyłącznie dzięki niemu zauważymy nietrywialny błąd podstawienia ###
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
27.8 Prawo Słonia dla zdarzeń
Prawo Słonia dla zdarzeń to najważniejsze prawa w logice matematycznej.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Słonia dla zdarzeń:
W algebrze Kubusia w zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zdarzeń:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości
dowolnych zdań warunkowych „Jeśli p to q" mówiących o zdarzeniach metodą „nie wprost"
W zdarzeniach dowodzimy:
I prawo Słonia:
Prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>q jest tożsama z udowodnieniem warunku wystarczającego A1: p=>q (i odwrotnie)
##
II Prawo Słonia
Prawdziwość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p jest tożsama z udowodnieniem warunku koniecznego A1: p~>q (i odwrotnie)
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
27.9 Prawo Irbisa dla zdarzeń
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia zdarzenia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Przykład to sterowanie przyciskiem A świeceniem żarówki S.
| Kod: |
S3 Schemat 3
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Na mocy powyższego schematu zapisujemy prawo Irbisa.
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Dwa zdarzenia A i S są tożsame A=S wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla świecenia się żarówki S.
A1: A=>S =1 – wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
Stąd mamy:
A1B1: A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A1B1: A<=>S
To samo w zapisie formalnym dla:
p=A
q=S
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Równanie logiczne opisujące powyższy schemat to:
A1B1: A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A1B1: A<=>S
Interpretacja powyższych zapisów w języku potocznym:
1.
Prawą stronę czytamy:
A1B1: A<=>S
Czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się
2.
Lewą stronę czytamy:
A1B1: A=S
Pojęcie „przycisk A jest wciśnięty” jest tożsame „=” z pojęciem „żarówka S świeci się”
3.
Środek czytamy:
(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, by żarówka świeciła się
Innymi słowy:
Do tego by żarówka S świeciła się potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by przycisk A był wciśnięty
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: kilkanaście tysięcy
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: kilkanaście tysięcy
Szczegóły prawa Irbisa w zdarzeniach poznamy za chwilkę w punkcie 27.13
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 8:34, 25 Mar 2025, w całości zmieniany 31 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 17:45, 11 Kwi 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
27.10 Implikacja prosta, odwrotna i chaos na gruncie fizyki teoretycznej
Spis treści
27.10 Implikacja prosta, odwrotna i chaos na gruncie fizyki teoretycznej 1
27.10.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej A|=>S 2
27.10.2 Wyprowadzenie definicji implikacji prostej A|=>S 3
27.10.3 Prawo Kameleona 4
27.10.4 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 6
27.11 Implikacja odwrotna A|~>S na gruncie fizyki teoretycznej 9
27.11.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej A|~>S 9
27.11.2 Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej A|~>S 11
27.11.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach 14
27.12 Chaos A|~~>S na gruncie fizyki teoretycznej 16
27.12.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach 19
27.10 Implikacja prosta, odwrotna i chaos na gruncie fizyki teoretycznej
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
27.10.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej A|=>S
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny (przykład)
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A
q=S - żarówka S
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: B
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej B
podłączonej równolegle do przycisku A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej B:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje 1 i 2.
W pokoju 1 siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju 2 siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk B. Oboje wiedzą o swoim istnieniu, ale nie widzą siebie nawzajem.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju 1, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A. Jaś nie ma dostępu do przycisku B.
Zauważmy, że zmienna związana A (także zmienna wolna B) nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(x) byleby dało się ustawić:
f(x) =1
oraz
f(x)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(x) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(x) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.
27.10.2 Wyprowadzenie definicji implikacji prostej A|=>S
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Dla naszego schematu S1 zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, stan przycisku B jest tu nieistotny, może być B=x gdzie x=[1,0]
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku B.
Przycisk B tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji B=x gdzie x={1,0}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym to:
A1: p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku B jest bez znaczenia B=x gdzie x={0,1}
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie.
Przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna B będzie ustawiona na B=1.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i B=1 i żarówka będzie się świecić
27.10.3 Prawo Kameleona
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód:
Porównajmy nasze zdania A1 i B1
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i B=1 i żarówka będzie się świecić
Gdzie:
## - zdania różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
Dowód:
Definicja warunku wystarczającego => | Definicja warunku koniecznego ~>:
Y = p=>q = ~p+q ## Y = p~>q = p+~q
Gdzie:
## - funkcje logiczne Y są różna na mocy definicji ##
Dowód zero-jedynkowy znajdziemy w punkcie 27.3
|
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej A|=>S.
IP
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
bo żarówkę S może zaświecić zmienna wolna B (B=1)
Stąd mamy:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta A|=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1)
To samo w zapisie formalnym, czyli bez związku z jakimkolwiek przykładem.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1), ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Nanieśmy nasze zdania A1 i B1 ze schematu S1 do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> zapisanych w tabeli T0 z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu obowiązującego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym:
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd mamy:
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {A,S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (przykład):
A: 1: A=> S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~> A =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: A~~>~S=0 4:~S~~>A =0
## ## | ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~> q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=> p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Zapis aktualny (przykład):
B: 1: A~> S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=> A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: 2:~A~~>S =1 [=] 3: S~~>~A=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
Z prawa Sowy wynika, że wystarczy udowodnić zachodzącą implikację prostą A|=>S w kolumnie A1B1 co wyżej zrobiliśmy, aby mieć gwarancję matematyczną prawdziwości operatora implikacji prostej A||=>S.
27.10.4 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach
| Kod: |
S1 Schemat 1
B
______
-----o o-----
S | A |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
Kolumna A1B1:
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)
Kolumna A2B2:
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)
To samo w zapisie formalnym, gdzie naszym punktem odniesienia jest:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku B jest bez znaczenia B=x gdzie x={0,1}
Zauważmy, że prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wynika z praw fizyczno-matematycznych i nie ma tu potrzeby jakiegokolwiek doświadczanego sprawdzania.
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia się S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia się S (~S=1)
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) =`*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S
LUB
Z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~A=>~S=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1), gdy zmienna wolna B ustawiona jest na B=1.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~A||~>~S to układ równań logicznych:
A2B2: ~A|~>~S = (A2:~A~>~S)*~(B2: ~A=>~S) - co może się wydarzyć jeśli przycisk nie wciśnięty ~A?
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co może się wydarzyć jeśli przycisk jest wciśnięty A?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: A||=>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
27.11 Implikacja odwrotna A|~>S na gruncie fizyki teoretycznej
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
27.11.1 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej A|~>S
| Kod: |
S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1 - zapis aktualny (przykład)
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A
q=S - żarówka S
S C A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: C
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej C
podłączonej szeregowo z przyciskiem A
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej C:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje 1 i 2.
W pokoju 1 siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju 2 siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk C. Oboje wiedzą o swoim istnieniu, ale nie widzą siebie nawzajem.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S2 jest Jaś siedzący w pokoju 1, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A. Jaś nie widzi przycisku C.
Zauważmy, że zmienna związana A (także zmienna wolna C) nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(x) byleby dało się ustawić:
f(x) =1
oraz
f(x)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(x) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(x) = K+ L*~M
Gdzie:
K, L - przyciski normalnie rozwarte
~M - przyciski normalnie zwarty
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S2 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S.
27.11.2 Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej A|~>S
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Dla naszego schematu S2 zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Nie, bo nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Żarówka zaświeci się wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo przycisk C będzie wciśnięty.
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku C.
Przycisk C jest tu zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji C=x gdzie x={0,1}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym:
p=>q =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A nie daje nam (=0) gwarancji matematycznej => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna C musi być ustawiona na C=1 (przycisk wciśnięty).
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna C musi być ustawiona na C=1
Zauważmy, że zdania A1 i B1 lokalizują nam implikację odwrotną A|~>S.
IO.
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):
Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
bo dodatkowo musi być wciśnięty przycisk C (C=1)
stąd mamy:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna A|~>S jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1)
To samo w zapisie formalnym, czyli bez związku z jakimkolwiek przykładem.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Nanieśmy nasze zdania A1 i B1 ze schematu S2 do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> zapisanych w tabeli T0 z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu obowiązującego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym:
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 – zajęcie p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S= ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=> q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~> p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
Zapis aktualny (przykład):
A: 1: A=> S =0 = 2:~A~>~S =0 [=] 3: S~> A =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: A~~>~S=1 4:~S~~>A =1
## ## | ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny (przykład):
B: 1: A~> S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=> A =1 = 4:~S~>~A =1
B’: 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO.
Z prawa Sowy wynika, że wystarczy udowodnić zachodzącą implikację odwrotną A|~>S w kolumnie A1B1 co wyżej zrobiliśmy, aby mieć gwarancję matematyczną prawdziwości operatora implikacji odwrotnej A||~>S.
27.11.3 Operator implikacji odwrotnej A||~>S w zdarzeniach
| Kod: |
S2 Schemat 2
S C A
------------- ______ ______
-----| Żarówka |-------o o-------o o------
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
--------------------------------------------------
|
Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
Kolumna A1B1:
A1B1: A|~>S =~(A1: A=> S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2:~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)* (B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
To samo w zapisie formalnym, gdzie:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’
Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna C musi być ustawiona na C=1.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: A=>S=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q=p*~q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna C ustawiona jest na C=0.
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
A2B2: ~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1) - mówi o tym zdanie B2.
Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S (~S=1), bo zawsze gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1), bo przyciski A i C połączone są szeregowo.
Stan przycisku C jest tu bez znaczenia C=x gdzie: x={0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
Zauważmy, że prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wynika z praw fizyczno-matematycznych i nie ma tu potrzeby jakiegokolwiek doświadczanego sprawdzania.
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zauważmy, że przyciski A i C połączone są szeregowo, z czego wynika że:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej C jest tu bez znaczenia: C=x gdzie: x={0,1}
Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej A||~>S jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie wciśniętego przycisku A (A=1 - zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1 - zdanie B2).
Doskonale to widać w powyższej analizie.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~A||=>~S to układ równań logicznych:
A2B2: ~A|=>~S = ~(A2:~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) - co może się wydarzyć jeśli przycisk nie wciśnięty ~A?
A1B1: A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) - co może się wydarzyć jeśli przycisk wciśnięty A?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: A||~>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
27.12 Chaos A|~~>S na gruncie fizyki teoretycznej
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Minimalna definicja chaosu A|~~>S na gruncie fizyki teoretycznej wygląda następująco:
| Kod: |
S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
B
______
---o o------
| |
S C | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: B, C
Istotą operatora chaosu są zmienne wolne.
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
Fizyczna interpretacja zmiennych wolnych B i C:
Wyobraźmy sobie trzy pokoje 1, 2 i 3.
W pokoju 1 siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A widzący żarówkę S, w pokoju 2 siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk C widząca żarówkę S, zaś w pokoju 3 siedzi Małgosia mając do dyspozycji wyłącznie przycisk B również widząca żarówkę S.
Jaś, Zuzia i Małgosia wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu, ale nie widzą siebie nawzajem.
Wszyscy dostają do ręki schemat ideowy S4, czyli są świadomi, że przyciski których nie widzą istnieją w układzie S4, tylko nie mają do nich dostępu (zmienne wolne). Wszyscy są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S4 jest Jaś siedzący w pokoju 1, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie ma dostępu ani do przycisku B, ani tez do przycisku C.
Zauważmy, że zmienna związana A (także zmienne wolne B i C) nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(x) byleby dało się ustawić:
f(x) =1
oraz
f(x)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(x) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(x) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S4 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny chaosu A|~~>S
Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S4 jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Przyjmijmy za punkt odniesienia Jasia i pokój 1
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo zmienna wolna C może być ustawiona na C=0 - wtedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1).
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p = A (przycisk A)
q = S (żarówka S)
Stąd mamy zapis zdania A1 w zapisie formalnym:
p=>q =0
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q=0
Wciśniecie przycisku A nie jest (=0) konieczne dla świecenia się żarówki S, bowiem przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienne wolne B i C będą ustawione na wartość logiczną 1 (przycisk wciśnięty)
Wniosek:
Schemat S4 jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S
27.12.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach
| Kod: |
S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
B
______
---o o------
| |
S C | A |
------------- ______ | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----o o-----|
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: B, C
Istotą chaosu A|~~>S są zmienne wolne B i C.
|
Dowód iż schemat S4 jest fizyczną realizacją operatora chaosu przedstawiliśmy wyżej.
Dopiero w tym momencie możemy skorzystać z szablonu chaosu p|~~>q (pkt. 8.1) wyrażonego warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
| Kod: |
CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: A=>S =0 = 2:~A~>~S =0 [=] 3: S~>A =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: A~~>~S=1 = [=] = 4:~S~~>A =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p=1
A”: 1: A~~>S =1 [=] 4:~S~~>~A=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: A~>S =0 = 2:~A=>~S =0 [=] 3: S=>A =0 = 4:~S~>~A =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
B’: = 2:~A~~>S =1 [=] 3: S~~>~A=1
B”: 2:~p~~>~q=1 [=] 3: q~~>p =1
B”: 2:~A~~>~S=1 [=] 3: S~~>A =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W tabeli chaosu CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> to seria czterech zdań prawdziwych.
Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.
Definicja operatora chaosu A||~~>S:
Operator chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o A i ~A:
Kolumna A1B1:
A1B1: A|~~>S =~(A1: A=> S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2:~A|~~>~S =~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A||~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1=1
Z kolumny A1B1 odczytujemy:
A1".
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1) gdy dodatkowo zmienna wolna C będzie ustawiona na C=1
LUB
A1'.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna C ustawiona jest na C=0
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => nie dla świecenia S (~S=1)
~A|~~>~S = ~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
B2".
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna B ustawiona jest na B=0, albo zmienna wolna C będzie ustawiona na C=0.
LUB
B2'.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> świecić się (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna B ustawiona jest na B=1 i zmienna wolna C ustawiona jest na C=1
Podsumowanie:
Operator chaosu A||~~>S to „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (A=1 - zdania A1" i A1'), jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1 - zdania B2" i B2')
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~A i A:
A2B2: ~A|~~>~S =~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1: A|~~>S =~(A1: A=> S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1", A1', B2", B2' możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 7:47, 25 Mar 2025, w całości zmieniany 33 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 9:09, 17 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
27.13 Równoważność A<=>S na gruncie fizyki teoretycznej
Spis treści
27.13 Równoważność A<=>S na gruncie fizyki teoretycznej 1
27.13.1 Zmienne związane i zmienne wolne w równoważności A<=>S 2
27.13.2 Wyprowadzenie definicji równoważności A<=>S 3
27.13.3 Prawo Kameleona 4
27.13.4 Tabela prawdy równoważności A<=>S 4
27.13.4 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 7
27.14 Interpretacja operatora równoważności p|<=>q w zdarzeniach 10
27.14.1 Prawa Sowy 11
27.14.2 Definicja tożsamości logicznej 11
27.14.3 Właściwości równoważności p<=>q 11
27.14.4 Prawo Irbisa 12
27.14.5 Kwintesencja prawa Irbisa 14
27.13 Równoważność A<=>S na gruncie fizyki teoretycznej
Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
27.13.1 Zmienne związane i zmienne wolne w równoważności A<=>S
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1 – zapis aktualny (przykład)
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1 – zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A
q=S - żarówka S
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
W układzie S3 nie ma zmiennej wolnej.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(x) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(x) =1
oraz
f(x)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(x) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(x) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S3 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny równoważności A<=>S.
27.13.2 Wyprowadzenie definicji równoważności A<=>S
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Dla naszego schematu S3 zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, bo każde wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S.
Komentarz:
Gdyby na schemacie S3 istniał przycisk C (zmienna wolna) połączony szeregowo z przyciskiem A, to wtedy warunek wystarczający => byłby fałszem bo oznaczałoby to, że wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S, bowiem szeregowy przycisk C (zmienna wolna) może blokować świecenie żarówki S, gdy C=0. Na schemacie S3 nie ma zmiennej wolnej C, zatem warunek wystarczający => jest spełniony.
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym to:
A1: p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że warunek wystarczający => wynika tu z praw fizyczno-matematycznych, nie ma tu potrzeby jakiegokolwiek doświadczalnego sprawdzania czy zawsze gdy przycisk A jest wciśnięty to żarówka S świeci się.
##
B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?
Odpowiedź:
Tak, bo wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S
Komentarz:
Gdyby na schemacie S3 istniał przycisk B (zmienna wolna) połączony równolegle z przyciskiem A, to wtedy warunek konieczny ~> byłby fałszem, bo oznaczałoby to że wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla zaświecenia się żarówki S, bowiem zaświecić żarówkę S mogłaby zmienna wolna B, gdy B=1. Na schemacie S3 nie ma zmiennej wolnej B, zatem warunek konieczny ~> jest spełniony.
Tu również brak warunku koniecznego ~> wynika z praw fizyczno-matematycznych, czyli nie musimy tego sprawdzać doświadczalnie.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bo nie ma żadnej innej możliwości zaświecenia się żarówki S.
Gdzie:
## - zdania różne na mocy definicji
27.13.3 Prawo Kameleona
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowodem są nasze zdania A1 i B1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bo nie ma żadnej innej możliwości zaświecenia się żarówki S.
Gdzie:
## - zdania różne na mocy definicji
Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Matematycznie zachodzi:
| Kod: |
Warunek wystarczający A1: p=>q=~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - zdania A1 i B1 są różne na mocy definicji
warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód zero-jedynkowy w punkcie 27.3
|
27.13.4 Tabela prawdy równoważności A<=>S
Jednoczesna prawdziwość zdań A1 i B1 definiuje równoważność A<=>S.
TR
Definicja równoważności A<=>S w logice dodatniej (bo S):
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> (B1) jak i wystarczającego => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest (=1) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
Stąd mamy:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A) wtedy i tylko wtedy gdy świeci się żarówka S (S)
Prawą stronę czytamy:
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla świecenia się żarówki S.
Innymi słowy:
Świecenie żarówki S jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1), dla wnioskowania iż przycisk A jest wciśnięty.
Ta wersja równoważności p<=>q jest powszechnie znana (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na goglach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: kilkanaście tysięcy
„potrzebne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
To samo w zapisie formalnym, czyli bez związku z jakimkolwiek przykładem.
Definicję formalną równoważności p<=>q mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Zauważmy, że definicja kontrprzykładu związana jest wyłącznie z warunkiem wystarczającym =>
Prawo Irbisa:
Każda równoważność zdarzeń/zbiorów p<=>q definiuje ich tożsamość p=q (i odwrotnie)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
Nanieśmy naszą równoważność A<=>S do tabeli prawdy T0 warunków wystarczających => i koniecznych ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu i prawa Irbisa.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1 to również punkt odniesienia w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A': 1: A~~>~S=0 [=] 4:~S~~>A =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B': 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli równoważności TR
Definicję formalną równoważności p<=>q mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
To samo w zapisie aktualnym (nasz przykład).
Definicję równoważności A<=>S mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
27.13.4 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach
| Kod: |
S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1 – zapis aktualny (przykład)
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd mamy:
Definicja operatora równoważności A|<=>S w zapisie aktualnym:
Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o wciśnięty przycisk A (A) oraz o nie wciśnięty przycisk A (~A)
Kolumna A1B1:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) - co może się wydarzyć jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~A<=>~S = (A2:~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) - co może się wydarzyć jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1:
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w logice dodatniej (bo S) w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Całość czytamy:
Równoważność A<=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność zdarzeń/zbiorów p<=>q definiuje ich tożsamość p=q (i odwrotnie)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> p=q
Na mocy prawa Irbisa równoważność A1B1: A<=>S definiuje tożsamość zdarzeń A1B1: A=S
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) <=> A1B1: A=S
A1B1: A=S
Czytamy:
Pojęcie "przycisk A wciśnięty" (A=1) jest tożsame "=" z pojęciem "żarówka S świeci" (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla świecenia się żarówki S (S=1)
Powyższe zdanie to dowód poprawności prawa Irbisa, bowiem na mocy schematu S3 to fizyczna oczywistość.
Kolumna A1B1:
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1'.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dla schematu S3 to fizyczna oczywistość
A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2
Fizyczna realizacja równoważności ~A<=>~S w logice ujemnej (bo ~S) w zdarzeniach:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia żarówki S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S (~S=1)
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
Całość czytamy:
Równoważność ~A<=>~S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność zdarzeń/zbiorów p<=>q definiuje ich tożsamość p=q (i odwrotnie)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> p=q
Na mocy prawa Irbisa równoważność A2B2: ~A<=>~S definiuje tożsamość zdarzeń A2B2: ~A=~S:
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) <=> A2B2: ~A=~S
A2B2: ~A=~S
Czytamy:
Pojęcie "przycisk A nie jest wciśnięty" (~A=1) jest tożsame "=" z pojęciem "żarówka S nie świeci się" (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Powyższe zdanie to dowód poprawności prawa Irbisa, bowiem na mocy schematu S3 to fizyczna oczywistość.
Kolumna A2B2
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2'.
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Dla schematu S3 to fizyczna oczywistość
Zauważmy że:
Prawdziwości/fałszywości powyższych zdań dowodzimy na gruncie fizyki teoretycznej.
Jakiekolwiek iterowanie nie ma tu sensu, bowiem wcześniej czy później żarówka spali się i nie będziemy mieli fizycznego potwierdzenia prawdziwości/fałszywości powyższych zdań.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
W przeciwieństwie do operatora implikacji zarówno prostej p||=>q jak i odwrotnej p||~>q nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~A|<=>~S to układ równań logicznych:
A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - co się stanie gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
A1B1: A<=>S =(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - co się stanie gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~A|<=>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: A|<=>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
27.14 Interpretacja operatora równoważności p|<=>q w zdarzeniach
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego w przełożeniu 1:1.
Wynika z tego, że jeśli w naszym przykładzie równoważności A<=>S pozostawimy wyłącznie zapisy formalne (ogólne) to dostaniemy poprawny opis formalny równoważności p<=>q bez związku z jakimkolwiek przykładem.
Zróbmy to:
Tabela równoważności p<=>q w zapisie formalnym TR jest następująca.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zdarzeń: | definiuje tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
27.14.1 Prawa Sowy
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
27.14.2 Definicja tożsamości logicznej
Prawa Sowy to:
Definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
27.14.3 Właściwości równoważności p<=>q
W tabeli prawdy równoważności TR p<=>q mamy do czynienia z czterema tożsamymi definicjami równoważności p<=>q w kolumnach A1B1, A2B2, A3B3 i A4B4.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> p=q
Zapiszmy prawa Irbisa dla wszystkich czterech kolumn równoważności:
A1B1
Prawo Irbisa dla kolumny A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> A1B1: p=q
Równoważność w kolumnie A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A1B1: p=q
A2B2
Prawo Irbisa dla kolumny A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> A2B2: ~p=~q
Równoważność w kolumnie A2B2: ~p<=>~q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A2B2: ~p=~q
A3B3
Prawo Irbisa dla kolumny A3B3:
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) <=> A3B3: q=p
Równoważność w kolumnie A3B3: q<=>p definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A3B3: q=p
A4B4
Prawo Irbisa dla kolumny A4B4:
A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~q) <=> A4B4: ~q=~p
Równoważność w kolumnie A4B4: ~q<=>~p definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów A4B4: ~q=~p
Zauważmy że:
W dowolnej z czterech kolumn {1,2,3,4} prawo Irbisa działa genialnie.
W dalszych rozważaniach pominiemy kolumnę A3B3, bowiem zachodzi tu przemienność argumentów zarówno w równoważności:
A1B1: p<=>q [=] A3B3: q<=>p
jak i przemienność tożsamości zdarzeń/zbiorów:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p
Podobnie mamy prawo pominąć kolumnę A4B4, bowiem zachodzi tu przemienność argumentów zarówno w równoważności:
A2B2: ~p<=>~q [=] A4B4: ~q<=>~p
jak i przemienność tożsamości zdarzeń/zbiorów:
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p
Wniosek:
Kolumny A3B3 i A4B4 możemy śmiało wyeliminować w analizie matematycznej każdej równoważności p<=>q i tego faktu, dla uproszczenia teorii równoważności p<=>q będziemy się trzymać.
27.14.4 Prawo Irbisa
Na mocy poprzedniego punktu skupmy się na kolumnach A1B1 i A2B2
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie.)
To „i odwrotnie” jest tu kluczowe.
1.
Dla kolumny A1B1 mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p=q
Prawo Irbisa jest tu perfekcyjnie spełnione.
2.
Dla kolumny A2B2 mamy:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p=~q
Również tu prawo Irbisa jest tu perfekcyjnie spełnione.
Zapiszmy powyższe opisy matematyczne w łącznej tabeli prawdy z uwzględnieniem wszelkich relacji matematycznych zachodzących między tymi zapisami.
| Kod: |
TR_A1B1A2B2
Tabela prawdy równoważności dla kolumn A1B1 oraz Z2B2
A1B1: p<=> q = (A1: p=>q )*(B1: p~>q ) = A1B1: p= q
[=] [=] #
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2:~p=~q
|
Co oznacza tożsamość [=] równoważności?
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Tożsamość [=] powyższych równoważności oznacza tu tożsamość logiczną dowodów matematycznych prawdziwości równoważności.
Innymi słowy:
Wystarczy udowodnić którąkolwiek równoważność A1B1 albo A2B2 by mieć gwarancję matematyczną prawdziwości drugiej równoważności.
Oczywiste zapisy tożsame to:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
A1B1: p<=>q <=> A2B2: ~p<=>~q
Jest bez znaczenia jaki znaczek postawimy między powyższymi równoważnościami bo chodzi tu tylko i wyłącznie o tożsamość dowodów matematycznych po obu stronach znaczka tożsamości logicznej.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie.)
To „i odwrotnie” jest tu kluczowe, stąd miedzy tożsamością zdarzeń/zbiorów:
A1B1: p=q
oraz tożsamością zdarzeń/zbiorów:
A2B2: ~p=~q
musimy postawić znaczek #, czyli:
A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q
Gdzie:
Definicja znaczka różne #:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Dowód iż zachodzi tu relacja spójnika „albo”($) jest trywialny:
Ostatni zapis na mocy odpowiednich tożsamości zdarzeń/zbiorów p=q oraz ~p=~q mamy prawo zredukować do zapisu:
A1B1: p # A2B2: ~p
Dowód iż znaczek # jest tożsamy ze spójnikiem „albo”($)
Definicja spójnika albo($):
a$b = a*~b + ~a*b
Podstawmy:
a=p
b=~p
Stąd mamy:
p$~p = (p)*~(~p) + ~(p)*(~p) = p*p + ~p*~p = p+~p =1
cnd
Udowodnijmy na zakończenie, że między zdarzeniami/zbiorami A1B1: p oraz A2B2: ~p nie zachodzi relacja równoważności
Dowód:
Definicja równoważności <=>:
a<=>b = a*b + ~a*~b
Podstawmy:
a=p
b=~p
Stąd mamy:
p<=>~p = (p)*(~p) + ~(p)*~(~p) = p*~p + ~p*p = 0+0 =0
cnd
27.14.5 Kwintesencja prawa Irbisa
| Kod: |
TR_A1B1A2B2
Tabela prawdy równoważności dla kolumn A1B1 oraz Z2B2
A1B1: p<=> q = (A1: p=>q )*(B1: p~>q ) = A1B1: p= q
[=] [=] #
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2:~p=~q
|
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie.)
I.
To "i odwrotnie" jest tu kluczowe i najważniejsze.
Weźmy tożsamość:
A1B1: p=q
Z tej tożsamości możemy dojść tylko i wyłącznie do równoważności:
A1B1: p<=>q,
bowiem dojście do równoważności:
A2B2: ~p<=>~q
mamy zablokowane znaczkiem #.
Podobnie z tożsamości:
A2B2: ~p=~q
możemy dojść tylko i wyłącznie to równoważności
A2B2:~p<=>~q
bowiem dojście do równoważności
A1B1: p<=>q
mamy zablokowane znaczkiem #
II.
Zauważmy, że idąc od strony równoważności:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
dostaniemy fałszywe prawo Irbisa względem znaczka [=]
Dowód:
Po obu stronach znaczka [=] mamy oczywiście spełnione prawo Irbisa z którego wynika tożsamość zdarzeń:
A1B1: p=q [=] A2B2: ~p=~q
Na mocy definicji tożsamości zdarzeń p=q i ~p=~q z powyższego zapisu możemy wyrugować zdarzenie q.
Stąd mamy:
A1B1: p [=] A2B2: ~p
Zapis tożsamy:
p<=>~p =0
Wniosek:
Prawo Irbisa względem znaczka [=] jest fałszem.
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 22:54, 26 Mar 2025, w całości zmieniany 5 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 18:09, 17 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
28.0 Przedszkole algebry Kubusia
Spis treści
28.0 Przedszkole algebry Kubusia 1
28.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach 2
28.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
28.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 3
28.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 4
28.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 5
28.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ### 5
28.2 Prawa algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” 7
28.2.1 Prawo Kłapouchego 8
28.2.2 Prawo Słonia dla zbiorów 8
28.2.3 Prawo Irbisa dla zbiorów 10
28.4 Podstawowa teoria równoważności p<=>q 10
28.4.1 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach 11
28.4.2 Szybka analiza równoważności p<=>q 12
28.4.3 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK 13
28.5 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną minimalną D 15
28.6 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną nieminimalną D 16
28.6.1 Operator równoważności K|<=>K z dziedziną nieminimalną D 17
28.6.2 Diagram operatora równoważności K|<=>K w dziedziną nieminimalną 21
28.6.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 23
28.0 Przedszkole algebry Kubusia
Definicja logiki abstrakcyjnej:
Logika abstrakcyjna to logika matematyczna z zerowym związkiem z naszym Wszechświatem
W podstawowej algebrze Kubusia zajmujemy się logiką matematyczną pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy (w tym matematyka).
Nie ma tu więc miejsca na logikę abstrakcyjną o definicji jak wyżej.
W algebrze Kubusia logika abstrakcyjna jest możliwa, co więcej, również jest to logika matematyczna na poziomie 5-cio latka.
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Logika abstrakcyjna = Przedszkole algebry Kubusia
Po co komu przedszkole algebry Kubusia?
W przedszkolu algebry Kubusia będziemy operować na zbiorach minimalnych, dzięki czemu wzajemne relacje wszystkich możliwych zbiorów {p, q, ~p, ~q} będziemy dowodzić w trywialny sposób (dosłownie na poziomie 5-cio latka), mający jednak przełożenie 1:1 na zbiory nieskończone których z definicji nie da się iterować element po elemencie.
Matematyka działa na zbiorach nieskończonych. Cała dotychczasowa algebra Kubusia w zbiorach również oparta była na zbiorach nieskończonych. Myślę, że ta dla wielu uczniów I klasy LO (to im dedykuję AK) zbiory nieskończone mogą okazać się potworem.
Tymczasem calusieńką AK można zrozumieć operując na zbiorach minimalnych doskonale rozumianych przez wszystkie 5-cio latki.
W przedszkolu ograniczymy się do czterech, różnych na mocy definicji elementów:
K=Kubuś
P=Prosiaczek
T=Tygrysek
S=Słoń
Maksymalna dziedzina Dmax której będziemy potrzebować to:
Dmax (dziedzina) = [K+P+T+S]
Dmax = [Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek + Słoń]
Wyżej wymienione elementy są potrzebne i wystarczające dla 100% wyjaśnienia algebry Kubusia w zbiorach i wszystkich jej niuansów.
Mam nadzieję, że to posunięcie przekona do algebry Kubusia każdego matematyka.
Algebra Kubusia to nowa idea matematyczna, to spojrzenie na logikę matematyczną z dziewiczej strony, nieznanej ziemskim matematykom.
Tabele zero-jedynkowe operatorów dwuargumentowych używane w algebrze Kubusia znane są ziemskim matematykom, jednak ich interpretacja jest fundamentalnie inna.
Z powyższego wynika, że wszyscy ziemianie, także zawodowi matematycy, powinni zacząć swoją przygodę z algebrą Kubusia od przedszkola algebry Kubusia. W przełożeniu na matematykę klasyczną jest to odpowiednik nauki tabliczki mnożenia do 100 w IV klasie szkoły podstawowej.
28.1 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.
28.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
28.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2
|
28.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
W zapisie formalnym mamy tu:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Gdzie:
p - przyczyna (część zdania po "Jeśli …")
q - skutek (część zdania po "to…")
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8
|
28.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2=1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2, bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…], co każdy matematyk udowodni.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Dowód wprost:
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9…] bo dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywości zdania A1' nie musimy udowadniać, ale możemy, co zrobiono wyżej.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
28.1.5 Nietrywialny błąd podstawienia ###
Piętą Achillesową logiki matematycznej ziemian jest nieodróżnianie w rachunku zero-jedynkowym definicji warunku wystarczającego p=>q od definicji warunku koniecznego p~>q.
Fatalny sutek powyższego, to brak zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego p~>q w logice matematycznej ziemian.
Geneza tego błędu jest następująca:
I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek wystarczający p=>q w logice matematycznej:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2 potrafi każdy matematyk.
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>:
Zapis formalny:
A1: p=>q = ~p+q
Zapis aktualny (przykład - punkt odniesienia):
A1: p=P8
A1: q=P2
A1: P8=>P2=~P8+P2
|
###
I.
Weźmy przykład ilustrujący warunek konieczny p~>q w logice matematycznej:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Podsumowując:
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny:
B1: p~>q = p+~q
Zapis aktualny (przykład - punkt odniesienia):
B1: p=P2
B1: q=P8
B1: P2~>P8=P2+~P8
|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej popełniamy nietrywialny błąd podstawienia ###
Zapiszmy powyższe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w tabeli prawdy.
Dowód:
| Kod: |
Nietrywialny błąd podstawienia ###:
Definicja warunku wystarczającego =>: | Definicja warunku koniecznego ~>:
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1. A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
------------------------------------------------------------------------
Zapis aktualny (punkt odniesienia): | Zapis aktualny (punkt odniesienia)
2. A1: p=P8 ### B1: p=P2
3. A1: q=P2 ### B1: q=P8
4. A1: P8=>P2=~P8+P2 ### B1: P2~>P8=P2+~P8
## - różne na mocy definicji
### - nietrywialny błąd podstawienia
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy że:
1.
Suma logiczna (+) jest przemienna stąd w linii 4 zachodzi pozorna tożsamość logiczna [=].
2.
W rzeczywistości pozorna tożsamość [=] w linii 4 nie zachodzi, bowiem mamy tu do czynienia z nietrywialnym błędem podstawienia ###
3.
W liniach 2 i 3 doskonale widać na czym ten nietrywialny błąd podstawienia ### polega:
Warunek wystarczający A1: p=>q jest tu obserwowany z punktu odniesienia p=P8 i q=P2
Natomiast:
Warunek konieczny B1: p~>q jest tu obserwowany z innego punktu odniesienia p=P2 i q=P8
Prawo punktu odniesienia:
Porównywanie czegokolwiek z czymkolwiek jest matematycznie poprawne wtedy i tylko wtedy gdy patrzymy na problem z tego samego punktu odniesienia.
Stąd mamy:
Definicja nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Nietrywialny błąd podstawienia ### występuje wtedy i tylko wtedy gdy w zapisie formalnym mamy do czynienia ze znaczkiem różne na mocy definicji ##, zaś w zapisie aktualnym skolerowanym z zapisem formalnym zachodzi tożsamość logiczna [=].
Nietrywialny błąd podstawienia ### wymusza wprowadzenie do logiki matematycznej prawa Kłapouchego, zapobiegającego niejednoznaczności logiki matematycznej, o czym będzie za chwilkę.
28.2 Prawa algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej [=] dla zapisu wieloczłonowego (patrz prawo Słonia niżej)
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
28.2.1 Prawo Kłapouchego
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
28.2.2 Prawo Słonia dla zbiorów
Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest brak prawa Słonia dla zbiorów i zdarzeń.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwości/fałszywości dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą ”nie wprost"
Przykład:
Zbadaj czy zachodzi warunek wystarczający => w poniższym zdaniu:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
A1: P8=>P2=?
Rozwiązanie:
Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny (ogólny) zdania A1 to:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=P8
q=P2
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q matematyczne twierdzenie proste =>
W metodzie "nie wprost" na mocy prawa Słonia dowodzimy prawdziwości relacji podzbioru =>.
Innymi słowy badamy:
Czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]?
Oczywiście relacja podzbioru => jest (=1) tu spełniona:
P8=>P2=1
co każdy matematyk bez trudu udowodni.
W tym momencie na mocy prawa Słonia mamy udowodnione metodą "nie wprost" dwa fakty czysto matematyczne:
1.
Twierdzenie proste A1 jest prawdziwe
A1: P8=>P2 =1
2.
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2
A1: P8=>P2 =1
Podsumowując:
Z gołych definicji podzbioru => i warunku wystarczającego => nic w matematyce nie wynika, dopóki nie poznamy prawa Słonia.
Dopiero prawo Słonia w dowodzeniu prawdziwości warunku wystarczającego =>, czy też prawdziwości samego zdania warunkowego „Jeśli p to q" ma fundamentalne znaczenie, co udowodniono ciut wyżej.
28.2.3 Prawo Irbisa dla zbiorów
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Oczywistość, bo na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego.
28.4 Podstawowa teoria równoważności p<=>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
--------------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
tożsamość zbiorów/zdarzeń: | tożsamość zbiorów/zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Relacje zbiorów w tabeli prawdy TR są następujące:
A1B1: p=q [=] A3B3: q=p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
#
A2B2: ~p=~q [=] A4B4: ~q=~p - przemienność zbiorów tożsamych jest oczywistością
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna zbiorów
28.4.1 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q).
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} będą niepuste (będą rozpoznawalne), co widać na poniższym diagramie DR. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych.
Stąd łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2:~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2:~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
| Wyjaśnienie: |
| p=q - w równoważności p<=>q zbiory tożsame p=q na mocy prawa Irbisa |
| ~p=[D-p] - zaprzeczeniem # zbioru p jest zbiór ~p=[D-p] | | ~q=[D-q] - zaprzeczeniem # zbioru q jest zbiór ~q=[D-q] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
Na mocy diagramu DR mamy:
Szybka analiza równoważności p<=>q w zbiorach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2:~p=>~q=1 -zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2': ~p~~>q=~p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
28.4.2 Szybka analiza równoważności p<=>q
Na mocy powyższego diagramu DR, zapisujemy szybką analizę równoważności przydatną w zbiorach minimalnych gdzie dowód wzajemnych relacji zborów p i q w dowolnych przeczeniach jest trywialny.
| Kod: |
Szybka analiza równoważności p<=>q:
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2':~p~~>q=~p*q=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
28.4.3 Równoważność Pitagorasa TP<=>SK
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Współczesna matematyka klasyczna zawęża swoje działanie tylko i wyłącznie do dowodu twierdzeń prostych A1: p=>q i twierdzeń odwrotnych B3: q=>p.
Matematycy znają poprawną definicję równoważności p<=>q jako jednoczesną prawdziwość twierdzenia prostego A1: p=>q i odwrotnego B3: q=>p.
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: q=>p
Na mocy powyższej definicji matematycy poprawnie dowodzą prawdziwości/fałszywości równoważności p<=>q. Problem w tym, że nie wiedzą co w istocie oznacza udowodniona równoważność prawdziwa p<=>q.
Klasyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie warunku koniecznego ~> i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy równoważność p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Prawą stronę możemy przeczytać jako:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~>(B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Równoważność jest przemienna, stąd kolejny zapis tożsamy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza =>(A1) by zaszło p
Prawa strona równoważności p<=>q to znana każdemu człowiekowi definicja równoważności:
Dowód:
Klikamy na googlach:
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: kilkanaście tysięcy
„konieczne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: kilkanaście tysięcy
Kluczowa dla matematyki jest tożsama definicja równoważności p<=>q w zbiorach sformułowana na mocy prawa Tygryska i prawa Słonia
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = Relacja podzbioru =>
Stąd mamy:
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 – zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 – zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy równoważność p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Prawa strona to:
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa A1: p=>q:
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny TP to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów SK
TP=>SK=1
Bycie trójkątem prostokątnym TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => by zachodziła w nim suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: q=>p:
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów SK to na 100% => jest to trójkąt prostokątny TP
SK=>TP =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów SK jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten trójkąt był prostokątny TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru q (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
W przełożeniu na równoważność Pitagorasa TP<=>SK mamy:
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: TP<=>SK
Zauważmy, że na mocy prawa Irbisa wystarczy nam informacja o tożsamości zbiorów:
A1B3: TP=SK
co powoduje, że znamy wynik iterowania po nieskończonych zbiorach TP i SK w dowolną stronę, bez potrzeby rzeczywistego iterowania!
Co oznacza tożsamość zbiorów:
TP=SK?
Czytamy:
Każdy trójkąt prostokątny ze zbioru TP ma swój unikalny odpowiednik w zbiorze trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów SK (i odwrotnie)
28.5 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną minimalną D
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q). Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, q, ~p, ~q} będą rozpoznawalne, czyli będą zbiorami niepustymi. Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych.
Przykład 1
Oczywistym jest, że wystarczą dwa różne elementy zbiorów na których można zbudować definicję równoważności p<=>q np.
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina minimalna to:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
Dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q =[K] bowiem wtedy i tyko wtedy możemy analizować zdania warunkowe „Jeśli p to q" definiujące równoważność p<=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Innymi słowy:
Niepuste muszą być zbiory {p, q, ~p, ~q}
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p]=[(K+P)-K]=[P] (Prosiaczek)
~q=[D-q]=[(K+P)-K] = [P] (Prosiaczek)
Podsumowanie:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
~p=[P] (Prosiaczek)
~q=[P] (Prosiaczek)
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą równoważności p<=>q
| Kod: |
Szybka analiza równoważności p<=>q:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Dziedzina:
D=[K+P] (Kubuś+Prosiaczek)
~p=[P] (Prosiaczek)
~q=[P] (Prosiaczek)
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1: p=[K]=>q=[K]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
A1': p~~>~q=p*~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
A1': p=[K]~~>~q=[P]=[K]*[P]=[]=0 - zbiory p i ~q są rozłączne.
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2: ~p=[P]=>~q=[P]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
B2':~p~~>q=~p*q=0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
B2':~p=[P]~~>q=[K]=[P]*[K]=[]=0 - zbiory ~p i q są rozłączne.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że przyjęte zbiory p i q oraz dziedzina D spełniają definicję równoważności p<=>q
cnd
28.6 Przykład równoważności K<=>K z dziedziną nieminimalną D
Przykład 2
Rozważmy zbiory tożsame:
p=q
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Przyjmijmy ciut większą wspólną dziedzinę dla zbiorów p i q by przykład nie był zbyt trywialny:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q=[D-q] = [(K+P+T)-K] = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Podsumowanie:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Zauważmy, że z punktu widzenia równoważności p<=>q wszystko jest tu w porządku:
Po pierwsze:
Tożsamość zbiorów:
p=q = [K] (Kubuś)
Wymusza tożsamość zbiorów:
~p=~q =[P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
Po drugie:
Spełniona jest definicja wspólnej dziedziny dla p i q:
p*q = [K]*[P+T] =[] =0
p+q = [K]+[P+T]=[K+P+T] =D(dziedzina) =1
cnd
Sprawdzenie poprawności zdefiniowanych zbiorów p i q oraz dziedziny szybką analizą równoważności p<=>q
| Kod: |
Szybka analiza równoważności p<=>q:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = p+q = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1: p=> q =1 - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1: p=[K]=>q=[K]=1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
;
A1': p~~>~q=0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne
A1': p=[K]~~>~q=[P+T]=[K]*[P+T]=0 - zbiory p i ~q są rozłączne.
.. a jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2: ~p=[P+T]=>~q=[P+T]=1 -każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
;
B2':~p~~>q =0 - bo zbiory ~p i q są rozłączne
B2':~p=[P+T]~~>q=[K]=[P+T]*[K]=0 - zbiory ~p i q są rozłączne.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samym p i q, inaczej błąd podstawienia
|
28.6.1 Operator równoważności K|<=>K z dziedziną nieminimalną D
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q (p=q).
Tożsamość zbiorów p=q wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie).
Wniosek:
Dziedzina w równoważności p<=>q musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} będą niepuste (rozpoznawalna). Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka lub jeszcze nie zdefiniowanych.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa dla przykładu 2.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku podzbioru => i nadzbioru ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Nasz przykład:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T]
D = [Kubuś+Prosiaczk+Tygrysek]
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
A": 1: [K]=>[K] = 2:[P+T]~>[P+T] [=] 3: [K]~>[K] = 4: [P+T]~>[P+T]
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
B": 1: [K]~>[K] = 2: [P+T]=>[P+T] [=] 3: [K]=>[K] = 4: [P+T]~>[P+T]
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2: ~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4: ~q<=>~p=1
AB": 1: [K]<=>[K] = 2: [P+T]<=>[P+T] [=] 3: [K]<=>[K] = 4: [P+T]<=>[P+T]
tożsamość zbiorów: | tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
AB": 1: [K]=[K] # 2: [P+T]=[P+T] | 3: [K]=[K] # 4: [P+T]=[P+T]
Zaprzeczenie zbiorów ~p i ~q dotyczy dziedziny:
D=[K+P+T]
Przykład:
~p=[D-p]=[D-K]=[K+P+T-K]=[P+T]
~q=[D-q]=[D-K]=[K+P+T-K]=[P+T]
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
W tabeli równoważności TR dla naszego przykładu doskonale widać spełnione relacje podzbioru => i nadzbioru ~> we wszystkich zdaniach serii Ax i Bx.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy równoważność prawdziwa p<=>q determinuje prawdziwość operatora równoważności p|<=>q.
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T](Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek)
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q.
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Nasz przykład:
p=[K] => q=[K] =1 - bo każdy zbiór jest (=1) podzbiorem => siebie samego.
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru q=[K]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p=[K] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q=[K] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K].
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość zdania A1' wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost dla naszego przykładu mamy niżej.
p=[K]~~>~q=[P+T] = [K]*[P+T} =[] =0 - bo zbiory p=[K] i ~q=[P+T] są rozłączne
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p=[K] i ~q=[P+T]
cnd
… co się stanie jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T]?
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Ta definicja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q.
A2B2: ~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)= A2B2: ~p<=>~q
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Nasz przykład:
~p=[P+T] => ~q=[P+T] =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
Czytamy:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T] to ten element na 100% => gdzie należał do zbioru ~q=[P+T]
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p=[P+T] jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[P+T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Jak widać prawo Słonia samo nam tu wyskoczyło.
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Fałszywość zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost dla naszego przykładu mamy niżej.
~p=[P+T] ~~> q=[K] = [P+T]*[K] =[] =0 - bo zbiory ~p=[P+T] i q=[K] są rozłączne.
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Podsumowując:
Równoważność p<=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to będziemy mieli za chwilkę w operatorach implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator równoważności p|<=>q (A1, A1’,B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
28.6.2 Diagram operatora równoważności K|<=>K w dziedziną nieminimalną
Przenieśmy nasz przykład równoważności do diagramu równoważności
p=[K] (Kubuś)
q=[K] (Kubuś)
Wspólna dziedzina:
D = [K+P+T](Kubuś + Prosiaczek + Tygrysek)
~p = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
~q = [P+T] (Prosiaczek + Tygrysek)
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach.
---------------------------------------------------------------------------
| p=[K] | ~p=[P+T] |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q=[K] | ~q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
| [K]=[K] # [P+T]=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2: ~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| A1": [K]=>[K] =1 [=] A2": [P+T]~>[P+T] =1 |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2: ~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| B1": [K]=>[K] =1 [=] B2": [P+T]=>[P+T] =1 |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
| A1B1": [K]=[K] # A2B2" [P+T]=[P+T] |
| Wyjaśnienie: |
| p=[K] |
| q=[K] |
| D=[K+P+T] |
| ~p=[D-p]=[D-K]=[P+T] - zaprzeczeniem # zbioru p=[K} jest zbiór ~p=[P+T] |
| ~q=[D-q]=[D-K]=[P+T] - zaprzeczeniem # zbioru q=[K} jest zbiór ~q=[P+T] |
|-------------------------------------------------------------------------|
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1": [K]~~>[P+T]= [K]*[P+T]=[]=0 - zbiory rozłączne |
| ; |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2": [P+T]~~>[K]= [P+T]*[K]= []=0 - zbiory rozłączne |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: [K]*[K]+ B2: [P+T]*[P+T] = [K+P+T] - suma zbiorów niepustych |
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
Na mocy diagramu DR mamy:
Szybka analiza równoważności p<=>q w zbiorach:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
A1': p~~>~q=p*~q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla A1
.. a jeśli zajdzie ~p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2:~p=>~q=1 -zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2': ~p~~>q=~p*q=0 - na mocy prawa kontrapozycji dla B2
|
28.6.3 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
Porównajmy omówiona wyżej analizę równoważności p<=>q w zbiorach minimalnych z równoważnością w zbiorach nieskończonych TP<=>SK (pkt. 16.9)
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy równoważności p<=>q.
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszej przykładowej równoważności minimalnej p<=>q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+P+T]
D=[Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Dziedziną w równoważności TP<=>SK w zbiorach jest zbiór wszystkich trójkątów ZWT czyli nieskończony zbiór elementów rozłącznych, uzupełniających się do dziedziny ZWT.
D (dziedzina) = ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Elementów w zbiorze ZWT jest nieskończenie wiele ale istota działania równoważności TP<=>SK jest identyczna jak w naszej równoważności p<=>q operującej na zbiorze minimalnym D=[K+P+T]
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 7:49, 25 Mar 2025, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 37469
Przeczytał: 12 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 9:24, 20 Mar 2025 Temat postu: |
|
|
Przedszkole algebry Kubusia
28.7 Implikacja prosta p|=>q i odwrotna p|~>q w przedszkolu
Spis treści
28.7 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu 1
28.7.1 Diagram implikacji prostej p|=>q 2
28.8 Przykład implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych 4
28.8.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych 5
28.8.2 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 9
28.9 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu 10
28.9.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q 11
28.10 Przykład implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych 12
28.10.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach minimalnych 14
28.10.2 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych 18
28.11 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q 18
28.11.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 20
28.11.2 Definicja znaczka różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ### 22
28.11.3 Warunek poprawności logiki matematycznej 25
28.7 Implikacja prosta p|=>q w przedszkolu
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
28.7.1 Diagram implikacji prostej p|=>q
Tożsamości pojęć na mocy prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Na mocy prawa Słonia zapisujemy definicję implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej nie wszystkie pojęcia {p, q,~p,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIP niżej.
A1: p=>q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> q (B1)
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w zbiorach można bardzo ładnie przedstawić na diagramie zbiorów ilustrującym wszelkie zachodzące tu relacje.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla prawdziwego A1 musi być fałszem:
A1’: p~~>~q=p*~q =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Kontrprzykład dla fałszywego B2 musi być prawdą:
B2’:~p~~>q=~p*q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p
Kontrprzykład dla fałszywego B3 musi być prawdą:
B3’: q~~>~p=q*~p=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla prawdziwego A4 musi być fałszem:
A4’: ~q~~>p=~q*p=0
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1II.
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
W implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>
o czym mówi zdanie A1: p=>q=1
2.
W implikacji prostej p|=>q po stronie ~p mamy najzwyklejsze
„rzucanie monetą” o czym mówią zdania A2: ~p~~>~q=1 oraz B2’: ~p~~>q=1
3.
Implikacja prosta p|=>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste (A1, B2’, A2)
i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
|
Dowód rozłączności zbiorów A1, B2’ i A2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p*q
B2’: ~p*q
A2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
A1*B2’ = (p*q)*(~p*q) =[] - bo p*~p=[]
A1*A2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
B2’*A2 = (~p*q)*(~p*~q)=[] - bo q*~q=[]
cnd
28.8 Przykład implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych
Łatwo widzieć, że dla spełnienia powyższej definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych potrzeba i wystarcza trzy elementy.
Przyjmijmy następujące trzy elementy na poziomie 5-cio latka:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
Definicja dziedziny dla zbiorów:
Dziedziną nazywany zbiór elementów niepustych i wzajemnie rozłącznych na których operujemy.
W analizie matematycznej nie uwzględniamy żadnych elementów spoza wybranej dziedziny, bowiem dla elementów spoza dziedziny wszelkie zdania warunkowe "Jeśli p to q" będą fałszywe, co łatwo udowodnić.
Nasza dziedzina to:
D = [K+P+T]
D=[Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy zdanie wejściowe do analizy:
A1.
Jeśli p to q
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu z dziedziny D do zbioru p jest wystarczająca => dla jego przynależności do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Na mocy prawa Słonia definiujemy minimalne zbiory p i q:
p=K
q=K+P
p+q = K+K+T = K+T
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q dziedzinę D musimy przyjąć szerszą od sumy logicznej zbiorów p+q, stąd potrzebny nam będzie trzeci element, zmienna wolna T.
D=K+P+T
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D.
~p=[D-p] = [D-K]=[K+P+T - K] = [P+T]
~q=[D-q]=[D-(K+T)=[K+P+T-(K+P)]=[T]
Podsumujmy:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Zauważmy, że wyłącznie dzięki zmienne wolnej T wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} są niepuste i rozpoznawalne, co jest warunkiem koniecznym analizy zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q. Z definicji nie możemy bowiem operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna nie występująca w opisie matematycznym układu, konieczna dla poprawnego działania układu.
W naszym układzie zmienną wolną jest T (tygrysek).
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q, inaczej nie wszystkie pojęcia {p, q,~p,~q} będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 – wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Doskonale widać spełnienie definicji implikacji prostej p|=>q zbudowanej na zaledwie trzech elementach.
28.8.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach minimalnych
Nasz przykład:
D=[K+P+T] – dziedzina minimalna
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
Wszystkie przeczenia zbiorów policzyliśmy wyżej:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K+P]
B1: p~>q =0 – zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+P]
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia {p,q}:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2: ~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4: ~q=> ~p =1
1: [K]=>[K+P]=1 = 2: [P+T]~>[T]=1 [=] 3: [K+T]~>[K]=1 = 4: [T]=>[P+T]=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 = 2: ~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 = 4: ~q~> ~p =0
B: 1: [K]~>[K+P]=0 = 2: [P+T]=>[T]=0 [=] 3: [K+T]=>[K]=0 = 4: [T]~>[P+T]=0
Gdzie:
p=>q - relacja podzbioru =>, p jest (=1) podzbiorem => q
p~>q - relacja nadzbioru ~>, p jest (=1) nadzbiorem ~>q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Bx
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja prosta p|=>q determinuje prawdziwość operatora implikacji prostej p||=>q.
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
D=[K+P+T] - wspólna dziedzina dla p i q
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Nasz przykład:
A1: p=[K] => q=[K+P] =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p=[K] jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q=[K+P] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+P]
Dowód bezpośredni zachodzącego tu warunku wystarczającego =>:
Jednoelementowy zbiór p=[Kubuś] jest podzbiorem => zbioru dwuelementowego q=[Kubuś+Prosiaczek]
cnd
Zdanie A1 czytamy również jako:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K] to ten element na 100% => będzie należał do zbioru q=[K+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+T].
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu należącego do zbioru p jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: p i ~q
Nasz przykład:
p=[K]~~>~q=[T] = [K]*[T] =[] =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Dowód bezpośredni to:
Jednoelementowy zbiór p=[Kubuś] jest rozłączny (=0) z jednoelementowym zbiorem ~q=[Tygrysek]
cnd
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajście ~q bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Nasz przykład:
~p=[P+T]~>~q=[T]=1
Dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A2 wynika z prawa Prosiaczka.
Sprawdzenie dowodem wprost:
Dwuelementowy zbiór ~p=[Prosiaczek + Tygrysek] jest (=1) nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru ~q=[Tygrysek]
cnd
Zdanie A2 czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbiory ~q.
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Sprawdzenie dowodem wprost:
~p=[P+T]~~>q=[K+P] = [P+T]*[K+P] =[P] =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Doskonale tu widać że zbiór ~p nie jest ani podzbiorem => zbioru q, ani też nadzbiorem ~> zbioru q
Ten przypadek pokazuje druzgocącą przewagę przedszkola algebry Kubusia gdzie operujemy na zbiorach minimalnych nad pełną algebrą Kubusia gdzie operujemy na zbiorach nieskończonych (np. P8|=>P2)
Dodatkowo możemy sprawdzić dowodem wprost, czy rzeczywiście fałszywy jest warunek wystarczający B2.
B2.
~p=>~q =0
Sprawdzenie:
~p=[P+T] => ~q=[T] =0
Zbiór dwuelementowy ~p=[Prosiaczek+Tygrysek] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego ~q=[Tygrysek]
cnd
Zdania A2 i B2 możemy przeczytać łącznie w następujący sposób:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[P+T] to ten element może ~> należeć do zbioru ~q=[T] (zdanie A2) lub może ~~> należeć do zbioru q=[K+P] (zdanie B2')
Trzeciej możliwości brak.
Matematycznie zachodzi:
A2: ~q=[T] + B2": q=[K+P] = [K+P+T] =D (dziedzina) =1
co jest oczywistością bo musi być:
~q+q = D(dziedzina) =1
inaczej teoria byłaby do bani.
Podsumowując:
Implikacja prosta p|=>q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1 oraz najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p o czym mówią zdania A2 i B2’.
Zauważmy, że zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli A1, A1’, A2, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
28.8.2 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
W implikacji prostej p|=>q związek teorii zbiorów minimalnych (przykład wyżej (D=K+T+P) z teorią zbiorów nieskończonych (P8|=>P2 - punkt 14.3) ma przełożenie 1:1.
Dowód:
Porównajmy analizę implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych (wyżej) z implikacją prostą w zbiorach nieskończonych P8|=>P2 omówioną w punkcie 14.3.
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy implikacji prostej p|=>q.
cnd
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszej implikacji prostej p|=>q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+T+P]
D=[Kubuś+Tygrysek+Prosiaczek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Dziedziną w implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach nieskończonych jest zbiór liczb naturalnych:
LN=[1+2+3+4…+n]
czyli nieskończony zbiór elementów rozłącznych i uzupełniających się do dziedziny LN.
Elementów w zbiorze LN jest nieskończenie wiele ale istota działania implikacji prostej P8|=>P2 jest identyczna jak w naszej implikacji prostej p|=>q operującej na zbiorze minimalnym D=K+T+P
cnd
28.9 Implikacja odwrotna p|~>q w przedszkolu
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
Prawa Sowy to ogólna definicja tożsamości logicznej dla wielu zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
28.9.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q
Tożsamości pojęć na mocy prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Stąd:
Na mocy prawa Słonia zapisujemy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, ~p, q,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO niżej
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w relacjach nadzbioru ~> i podzbioru =>:
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A1 musi być prawdą:
A1’: p~~>~q=p*~q=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Kontrprzykład dla prawdziwego B2 musi być fałszem:
B2’: ~p~~>q=~p*q=[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
A2B2: ~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zbiór q nie jest (=0) nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
Kontrprzykład dla prawdziwego B3 musi być fałszem:
B3’: q~~>~p=q*~p=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów q i ~p
A3B3: q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> ~p
Kontrprzykład dla fałszywego warunku wystarczającego => A4 musi być prawdą:
~q~~>p=~q*p=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~q i p
A4B4: ~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Implikacja odwrotna p|~>q to trzy i tylko trzy zbiory niepuste i rozłączne
(B1, A1’, B2) uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
2.
W implikacji odwrotnej p|~>q po stronie p mamy do czynienia
z najzwyklejszym „rzucaniem monetą” o czym mówią zdania B1 i A1’
|
Dowód rozłączności zbiorów B1, A1’ i B2 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
B1: p*q
A1’: p*~q
B2: ~p*~q
Badamy rozłączność zbiorów każdy z każdym:
B1*A1’ = (p*q)*(p*~q) =[] - bo q*~q=[]
B1*B2 = (p*q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
A1’*B2 = (p*~q)*(~p*~q)=[] - bo p*~p=[]
cnd
28.10 Przykład implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych
Łatwo widzieć, że dla spełnienia powyższej definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych potrzeba i wystarcza trzy elementy.
Przyjmijmy następujące trzy elementy na poziomie 5-cio latka:
K – Kubuś
P – Prosiaczek
T – Tygrysek
Definicja dziedziny dla zbiorów:
Dziedziną nazywany zbiór elementów niepustych i wzajemnie rozłącznych na których operujemy.
W analizie matematycznej nie uwzględniamy żadnych elementów spoza wybranej dziedziny, bowiem dla elementów spoza dziedziny wszelkie zdania warunkowe "Jeśli p to q" będą fałszywe, co łatwo udowodnić.
Nasza dziedzina to:
D = [K+P+T]
D=[Kubuś+Prosiaczek+Tygrysek]
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy zdanie wejściowe do analizy:
B1.
Jeśli p to q
B1: p~>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest warunkiem konicznym ~> jego przynależności do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Na mocy prawa Słonia definiujemy zbiory minimalne p i q:
p=K+P
q=K
p+q = K+P+K = K+P
Na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q dziedzinę D musimy przyjąć szerszą od sumy logicznej zbiorów p+q, stąd potrzebny nam będzie trzeci element, zmienna wolna T.
D=K+P+T
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów p i q definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny D.
~p=[D-p] = [D-(K+P)] = [K+P+T -(K+P)]=[T]
~q=[D-q] = [D-K] = [K+P+T -K]=[P+T]
Podsumujmy:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Zauważmy, że wyłącznie dzięki zmienne wolnej T wszystkie zbiory {p, q, ~p, ~q} są niepuste i rozpoznawalne, co jest warunkiem koniecznym analizy zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q. Z definicji nie możemy bowiem operować na zbiorze pustym, czyli na pojęciach dla nas niezrozumiałych.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna nie występująca w opisie matematycznym układu, konieczna dla poprawnego działania układu.
W naszym układzie zmienną wolną jest T (tygrysek).
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia {p, ~p, q,~q} będą rozpoznawalne, co doskonale widać w diagramie DIO.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Doskonale widać spełnienie definicji implikacji odwrotnej p|~>q zbudowanej na zaledwie trzech elementach.
28.10.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach minimalnych
Nasz przykład:
D=[K+P+T] – dziedzina minimalna
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
Wszystkie przeczenia zbiorów policzyliśmy wyżej:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Stąd mamy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w relacjach nadzbioru ~> i podzbioru =>:
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie relacji nadzbioru ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zbiór p=[K+T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q=[K]
B1: p~>q =1 - p=[K+T] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru [K]
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia: {p,q}
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 = 2: ~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 = 4: ~q=> ~p =0
A: 1: [K+P]=>[K]=0 = 2: [T]~>[P+T]=0 [=] 3: [K]~>[K+P]=0 = 4: [P+T]=>[T]=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2: ~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4: ~q~> ~p =1
B: 1: [K+P]~>[K]=1 = 2: [T]=>[P+T]=1 [=] 3: [K]=>[K+P]=1 = 4: [P+T]~>[T]=1
Gdzie:
p~>q - relacja nadzbioru ~>, p jest (=1) nadzbiorem ~>q
p=>q - relacja podzbioru =>, p jest (=1) podzbiorem => q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań serii Ax
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Na mocy prawa Sowy prawdziwa implikacja odwrotna p|~>q determinuje prawdziwość operatora implikacji odwrotnej p||~>q (albo odwrotnie)
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasze zbiory minimalne {p, q, ~p i ~q} to:
D=[K+P+T] – wspólna dziedzina dla p i q
D = [Kubuś+Prosiaczek+Tygrydek]
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
B1: p~>q =1
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Nasz przykład:
B1: p=[K+P] ~> q=[K] =1
Dwuelementowy zbiór p=[Kubuś+Prosiaczek] jest nadzbiorem ~> zbioru q=[Kubuś]
cnd
Zdanie B1 czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q.
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Prawdziwość zdania A1’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Sprawdzenie dowodem wprost:
p=[K+P] ~~>~q=[P+T] = [K+P]*[P+T] = [P] =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i ~q
Doskonale tu widać że zbiór p nie jest ani podzbiorem => zbioru ~q, ani też nadzbiorem ~> zbioru ~q
Ten przypadek pokazuje druzgocącą przewagę przedszkola algebry Kubusia gdzie operujemy na zbiorach minimalnych nad pełną algebrą Kubusia gdzie operujemy na zbiorach nieskończonych (np. P2|~>P8)
Dodatkowo możemy sprawdzić dowodem wprost, czy rzeczywiście fałszywy jest warunek wystarczający A1.
A1.
p=>q =0
Sprawdzenie:
p=[K+P] => q=[K] =0
Zbiór dwuelementowy p=[Kubuś + Prosiaczek] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego q=[Kubuś]
cnd
Zdania B1 i A1' możemy przeczytać łącznie w następujący sposób:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru p=[K+P] to ten element może ~> należeć do zbioru q=[K] (zdanie A1) lub może ~~> należeć do zbioru ~q=[P+T] (zdanie A1')
Trzeciej możliwości brak.
Matematycznie zachodzi:
A1: q=[K] + A1': ~q=[P+T] = [K+P+T] =D (dziedzina) =1
co jest oczywistością bo musi być:
q+~q = D(dziedzina) =1
inaczej teoria byłaby do bani.
… co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
B2: ~p=>~q =1
Zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Nasz przykład:
B2: ~p=[T] => ~q=[P+T] =1
Zauważmy, że mając udowodniony warunek konieczny B1: p~>q nie musimy dowodzić prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q bo prawdziwość tą gwarantuje nam prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
to jest dowód "nie wprost"
Dowód wprost prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q jest następujący
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Przynależność dowolnego elementu do zbioru ~p=[T] jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T]
Dowód bezpośredni zachodzącego tu warunku wystarczającego =>:
B2: ~p=[T] => ~q=[P+T] =1
Jednoelementowy zbiór ~p=[Tygrysek] jest podzbiorem => zbioru dwuelementowego q=[Prosiaczek+Tygrysek]
cnd
Zdanie B2 czytamy również jako:
Jeśli z dziedziny D=[K+P+T] wylosujemy element należący do zbioru ~p=[T] to ten element na 100% => będzie należał do zbioru ~q=[P+T] wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru ~q=[P+T].
Innymi słowy:
Wylosowanie dowolnego elementu należącego do zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Powyższe zdanie prawdziwe to po prostu nasze prawo Słonia, gdzie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~p i q
Nasz przykład:
~p=[T]~~>q=[K] = [T]*[K] =[] =0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2'’
Dowód bezpośredni to:
~p=[T]~~>q=[K] = [T]*[K] =[] =0
Jednoelementowy zbiór ~p=[Tygrysek] jest rozłączny (=0) z jednoelementowym zbiorem q=[Kubuś]
cnd
Podsumowanie:
Implikacja odwrotna p|~>q to po stronie p najzwyklejsze "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła" o czym mówią zdania B1 i A1' oraz gwarancja matematyczna po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Zauważmy, zdania wchodzące w skład implikacji prostej p|=>q, czyli B1, A1’, B2’ mogą być wypowiadane w dowolnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
28.10.2 Związek teorii zbiorów minimalnych z teorią zbiorów nieskończonych
W implikacji odwrotnej p|~>q związek teorii zbiorów minimalnych (przykład wyżej (D=K+T+P) z teorią zbiorów nieskończonych (P2|=>P8 - punkt 15.3) ma przełożenie 1:1.
Dowód:
Porównajmy analizę implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych (wyżej) z implikacją odwrotną w zbiorach nieskończonych P2|=>P8 omówioną w punkcie 15.3.
Doskonale widać przełożenie 1:1 czyli:
W obu przypadkach spełniona jest tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
cnd
Analogia jest tu absolutna:
1.
Dziedziną w naszej implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach minimalnych są trzy elementy:
D= [K+T+P]
D=[Kubuś+Tygrysek+Prosiaczek]
wzajemnie rozłączne i uzupełniające się do dziedziny D:
2.
Dziedziną w implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach nieskończonych jest zbiór liczb naturalnych:
LN=[1+2+3+4…+n]
czyli nieskończony zbiór elementów rozłącznych i uzupełniających się do dziedziny LN.
Elementów w zbiorze LN jest nieskończenie wiele ale istota działania implikacji odwrotnej P2|~>P8 jest identyczna jak w naszej implikacji odwrotnej p|~>q operującej na zbiorze minimalnym D=K+T+P
cnd
28.11 Implikacja prosta p|=>q vs implikacja odwrotna p|~>q
Weźmy definicje formalne implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q w zbiorach w zapisach formalnych (ogólnych) bez wiązania tych definicji z jakimkolwiek przykładem.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: p|=>q=~p*q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q) = ~p+q
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
Y = (p~>q) = p+~q
Stąd łatwo wyprowadzamy zero-jedynkową definicję implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Do zapamiętania:
A1B1: Y = (p|=>q) =~p*q
##
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
stąd mamy:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0 [=] 5: ~p+ q =0
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q) = ~p+q
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
Y = (p~>q) = p+~q
Stąd łatwo wyprowadzamy zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q) = p*~q
Do zapamiętania:
A1B1: Y = (p|~>q) =p*~q
Podsumowując mamy:
Implikacja prosta: A1B1: Y = (p|=>q) =~p*q ## Implikacja odwrotna: A1B1: Y = (p|~>q) =p*~q
Gdzie:
## - funkcje logiczne Y różne na mocy definicji
28.11.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w logice dodatniej (bo Y):
Funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p, q, ~p i ~q dają różne odpowiedzi na wyjściu Y
Podsumujmy wyprowadzone wyżej definicje funkcji logicznych Y w logice dodatniej (bo Y).
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
A1: Y = (p=>q) = ~p+q
##
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
B1: Y = (p~>q) = p+~q
##
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej p|=>q
IP_A1B1: Y = (p|=>q) =~p*q
##
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
IO_A1B1: Y = (p|~>q) = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Dowód iż nasze funkcje logiczne są różne na mocy definicji w rachunku zero-jedynkowym.
Potrzebne definicje algebry Boole'a.
| Kod: |
Definicja spójnika "lub"(+):
p q p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
Najszybszy algorytm tworzenie tabeli zero-jedynkowej:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
|
| Kod: |
Definicja spójnika "i"(*):
p q p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
Najszybszy algorytm wypełniania tabeli zero-jedynkowej:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
|
Dowód iż zapisane wyżej funkcje logiczne Y w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji ##:
| Kod: |
T1
A1: B1: IP_A1B1: IO_A1B1:
Y=(p=>q) ## Y=(p~>q) ## Y=(p|=>q) ## Y=(p|~>p)
p q ~p ~q Y=~p+q ## Y=p+~q ## Y=~p*q ## Y=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =0 =0
B: 1 0 0 1 =0 =1 =0 =1
C: 0 1 1 0 =1 =0 =1 =0
D: 0 0 1 1 =1 =1 =0 =0
1 2 3 4 5 6 7 8
|
Brak tożsamości dowolnych dwóch kolumn wynikowych Y {5, 6, 7, 8} jest dowodem spełnienia znaczka różne na mocy definicji ##.
Zbudowane w tabeli T1 układy to:
Y = (p=>q)=~p+q - warunek wystarczający =>
Y = (p=>q)=p+~q - warunek konieczny ~>
Y = (p|=>q)=~p*q - implikacja prosta |=>
Y = (p|~>q)=p*~q - implikacja odwrotna |~>
Dowód w laboratorium techniki cyfrowej:
Po zbudowaniu powyższych układów w bramkach „i"(*) i „lub"(+) zwarcie któregokolwiek wyjścia Y z jakimkolwiek innym wyjściem Y spowoduje kupę dymu i smrodu, wszystko wyleci w powietrze.
To jest twardy dowód różności na mocy definicji ## poniższych pojęć:
Y = (p=>q) =~p+q - warunek wystarczający =>
##
Y = (p~>q) =p+~q - warunek konieczny ~>
##
Y = (p|=>q)=~p*q - implikacja prosta |=>
##
Y = (p|~>q)=p*~q - implikacja odwrotna |~>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
28.11.2 Definicja znaczka różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ###
Zapiszmy omówione wyżej nasze przykłady implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q.
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zbiór p=[K] jest (=1) podzbiorem => zbioru q=[K+P]
B1: p~>q =0 – zbiór p=[K] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q=[K+P]
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia w implikacji prostej p|=>q dla naszego przykładu:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2: ~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4: ~q=> ~p =1
1: [K]=>[K+P]=1 = 2: [P+T]~>[T]=1 [=] 3: [K+T]~>[K]=1 = 4: [T]=>[P+T]=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 = 2: ~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 = 4: ~q~> ~p =0
B: 1: [K]~>[K+P]=0 = 2: [P+T]=>[T]=0 [=] 3: [K+T]=>[K]=0 = 4: [T]~>[P+T]=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Punkt odniesienia w implikacji prostej p|=>q dla naszego przykładu:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
IP_A1B1: p|=>q = ~p*q
Definicja aktualna implikacji prostej p|=>q (nasz przykład):
IP_A1B1: p|=>q = ~p*q = [P+T]*[K+P]
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q to spełnienie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 = 2: ~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 = 4: ~q=> ~p =0
A: 1: [K+P]=>[K]=0 = 2: [T]~>[P+T]=0 [=] 3: [K]~>[K+P]=0 = 4: [P+T]=>[T]=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2: ~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4: ~q~> ~p =1
B: 1: [K+P]~>[K]=1 = 2: [T]=>[P+T]=1 [=] 3: [K]=>[K+P]=1 = 4: [P+T]~>[T]=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
IO_A1B1: p|~>q = p*~q
Definicja aktualna implikacji odwrotnej p|~>q (nasz przykład):
IO_A1B1: p|~>q = p*~q = [K+P]*[P+T]
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
Na czym polega nietrywialny błąd podstawienia ### w powyższych tabelach prawdy implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q?
Zapiszmy jeszcze raz kluczowe fragmenty powyższych definicji:
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q:
Punkt odniesienia w implikacji prostej p|=>q dla naszego przykładu:
p=[K]
q=[K+P]
~p=[P+T]
~q=[T]
Definicja formalna implikacji prostej p|=>q:
IP_A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q
Definicja aktualna implikacji prostej p|=>q (nasz przykład):
IP_A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q=[P+T]*[K+P]
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
###
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
Punkt odniesienia w implikacji odwrotnej p|~>q dla naszego przykładu:
p=[K+P]
q=[K]
~p=[T]
~q=[P+T]
Definicja formalna implikacji odwrotnej p|~>q:
IO_A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q
Definicja aktualna implikacji odwrotnej p|~>q (nasz przykład):
IO_A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q=[K+P]*[P+T]
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
O co chodzi w tym nietrywialnym błędzie podstawienia ###?
Umieśćmy nasze przykłady IP i IO w tabeli prawdy:
| Kod: |
Nietrywialny błąd podstawienia ###:
Definicja implikacji prostej p|=>q: | Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Zapis formalny: | Zapis formalny:
1. IP_A1B1: Y=(p|=>q)=~p*q ## IO_A1B1: Y=(p|~>q)=p*~q
Zapis aktualny (przykład): | Zapis aktualny (przykład)
2. p=K (Kubuś) ### p=K+P (Kubuś + Prosiaczek)
3. q=K+P (Kubuś + Prosiaczek) ### q=K (Kubuś)
4. IP: Y=(p|=>q)=~p*q=[P+T]*[K+P] ### IO: Y=(p|~>q)=p*~q=[K+P]*[P+T]
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
### - różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy że:
1.
Iloczyn logiczny (*) jest przemienny stąd w linii 4 zachodzi pozorna tożsamość logiczna [=].
2.
W rzeczywistości pozorna tożsamość [=] w linii 4 nie zachodzi, bowiem mamy tu do czynienia z nietrywialnym błędem podstawienia ###
3.
W liniach 2 i 3 doskonale widać na czym ten nietrywialny błąd podstawienia ### polega:
Implikacja prosta IP: p|=>q jest tu obserwowana z punktu odniesienia:
p=K (Kubuś)
q=K+P (Kubuś + Prosiaczek)
Natomiast:
Implikacja odwrotna IO: p|~>q jest tu obserwowana z punktu odniesienia:
p=K+P (Kubuś + Prosiaczek)
q=K (Kubuś)
Prawo Wielbłąda:
Otaczająca nas rzeczywistość wygląda różnie z różnych punktów odniesienia.
Innymi słowy:
Otaczającą nas rzeczywistość opiszemy matematycznie poprawnie wtedy i tylko wtedy gdy będziemy na nią patrzeć z tego samego punktu odniesienia.
Stąd mamy:
Definicja nietrywialnego błędu podstawienia ###:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy nietrywialnego błędu podstawienia ### wtedy i tylko wtedy gdy w zapisach formalnych (ogólnych) są różne na mocy definicji ## (linia 1), zaś w zapisach aktualnych (przykład) skolerowanych z zapisem formalnym funkcje te są tożsame (linia 4)
Wniosek:
Prawo Kłapouchego broni nas przed niejednoznacznością logiki matematycznej, bowiem tylko i wyłącznie dzięki niemu zauważymy nietrywialny błąd podstawienia ###
28.11.3 Warunek poprawności logiki matematycznej
Warunek poprawności logiki matematycznej:
W logice matematycznej, przed dowolną analizą zdań warunkowych „Jeśli p to q" w zapisach aktualnych musimy na wstępie przyjąć wspólny punkt odniesienia wiążąc parametry formalne {p, q} z parametrami aktualnymi (tymi z przykładów) bowiem wtedy i tylko wtedy dostaniemy jednoznaczną logikę matematyczną.
Dokładnie temu celowi służy prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 7:50, 25 Mar 2025, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
