 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Śro 17:17, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
14.0 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach
Spis treści
14.0 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach 1
14.1 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach 4
14.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach 6
14.2 Algorytm Puchacza 8
14.3 Sztandarowy przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach 10
14.3.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 16
14.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 19
14.4.1 Zdanie W1: P8~~>P2 19
14.4.2 Zdanie W2: P8=>P2 20
14.4.3 Zdanie W3: P8~~>~P2 20
14.4.4 Zdanie W4: ~P8~~>~P2 21
14.4.5 Zdanie W5: ~P8~>~P2 22
14.4.6 Zdanie W6: ~P8~~>P2 23
14.4.7 Zdanie W7: ~P8=>~P2 24
14.0 Implikacja prosta p|=>q w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Bx'.
Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q):
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja implikacji odwrotnej A2B2: ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q (pkt.2.10)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją implikacji odwrotnej A1B2: ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = A1B1: p|=>q
cnd
Analizę ogólną implikacji prostej p|=>q znajdziemy w punkcie 2.12.
14.1 Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8.1):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Wniosek:
p ## q - zbiór p musi być różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie mogą to być zbiory tożsame)
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Kluczowe tu zbiory p, ~p, q i ~q muszą być niepuste, bowiem w analizie zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym.
Definicja zbioru pustego [] (pkt. 12.2):
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Wniosek:
Wspólna dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, q, ~p, ~q, będą niepuste.
Dowód w diagramie DIP wyżej.
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q w zbiorach (DIP):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
14.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q w zbiorach
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę A1B1 czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
Na mocy prawa Słonia prawą stronę A1B1 czytamy:
Zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=1), ale nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=0)
Wniosek:
p ## q - zbiór p jest różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DIP
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do q
p=>q =1
Przynależność elementu do zbioru p jest (=1) wystarczająca => by należał on do zbioru q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Dowód: diagram DIP
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DIP
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę A2B2 czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=0).
Na mocy prawa Słonia prawą stronę A2B2 czytamy:
Zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q (B2: ~p~>~q=1), ale nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q (A1: ~p=>~q=0)
Wniosek:
~p ## ~q - zbiór ~p jest różny na mocy definicji ## od zbioru ~q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DIP
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
A2.
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~> należeć do ~q
~p~>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla jego przynależności do zbioru ~q
Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Dowód: diagram DIP
lub
B2'.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q =~p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2': ~p~~>q=1 (i odwrotnie).
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania B2'
Dowód wprost: diagram DIP
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej A2B2: ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A1B1: p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
14.2 Algorytm Puchacza
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego (pkt. 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
14.3 Sztandarowy przykład implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=P8
P8+~P8 = LN - wspólna dziedzina
P8*~P8=[] - zbiór pusty
q=P2
P2+~P2=LN - wspólna dziedzina
P2*~P2=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - wspólna dziedzina (zbiór liczb naturalnych)
Stąd:
~p=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
~q=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8 ..] potrafi każdy matematyk.
7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3: q=>p (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
Twierdzenie odwrotne w stosunku do A1:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
B3: P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład np. 2
cnd
Dla zdania B3 korzystamy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: P2=>P8 = B1: P8~>P2 =0
Zauważmy, że na mocy prawa Tygryska udowadniając fałszywość warunku wystarczającego B3: P2=>P8=0 udowodniliśmy dowodem "nie wprost" fałszywość warunku koniecznego B1: P8~>P2=0
Wypowiedzmy zdanie B1 kodowane warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2)
B1: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Fałszywości zdania B1 nie musimy udowadniać, bowiem fałszywość tą gwarantuje nam prawo Tygryska.
Zauważmy że w zapisach formalnych mamy:
Warunek wystarczający A1: p=>q =~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Alternatywny dowód prawdziwości warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 i fałszywości warunku koniecznego B1: P8~>P2=0 z wykorzystaniem zdjęcia układu plus prawo Orła znajdziemy w punkcie 13.8.1.
Podsumowanie:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 i fałszywość warunku koniecznego B1: P8~>P2=0 wymusza definicję implikacji prostej P8|=>P2.
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Słonia mamy nasz przykład w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
A1B1:
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach (nasz przykład):
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
p=P8
q=P2
Stąd mamy diagram implikacji prostej w zapisie formalnym p|=>q i aktualnym P8|=>P2:
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
---------------------------------------------------------------------------
| p=P8 | ~p=~P8 |
|------------------------|------------------------------------------------|
| q=P2 | ~q=~P2 |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
| A1: P8=>P2=1 (P8*P2=1) |B2’:~P8~~>P2=~P8*P2=1 |A2:~P8~>~P2=1 (~P8*~P2=1)|
---------------------------------------------------------------------------
|Dziedzina: |
|D=A1: P8*P2+ A2:~P8*~P2+ B2’:~P8*P2=1 -istnieją elementy wspólne zbiorów |
| A1’: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0 - jedyny zbiór pusty to P8*~P2=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
P8*P2=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: P8*P2=P8=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Z diagramu DIP odczytujemy:
Dziedzina fizyczna implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D= A1: P8*P2 + B2’:~P8*P2 + A2: ~P8*~P2
Zauważmy, że:
1.
Zbiór (~P8) jest sumą logiczną zbiorów B2' i A2:
~P8 = B2': ~P8*P2 + A2: ~P8*~P2 = ~P8*(P2+~P2) = ~P8*1 =~P8
cnd
Wykorzystane prawa logiki matematycznej:
a) wyciągnięcie zmiennej ~P8 przed nawias
b) P2+~P2=1
c) ~P8*1=~P8
2.
Natomiast zbiór P8 to zbiór P2 pomniejszony o część wspólną zbiorów ~P8 i P2:
P8 = P2 - B2’: ~P8*P2
Czyli:
P8 = P2*1 - ~P8*P2 - bo prawo algebry Boole’a: P2=P2*1
P8 = P2*(1-~P8) - wyciagnięcie zmiennej P2 przed nawias
P8 = P2*((P8+~P8) -~P8) - skorzystanie z definicji jedynki (dziedziny): 1=P8+~P8
P8 = P2*(P8+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: ~P8 -~P8=[]=0
P8 = P2*P8 - bo prawo algebry Boole’a: P8+0=P8
P8=P8*P2=P8 - bo P8 jest podzbiorem => P2 (patrz diagram implikacji prostej DIP)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Podstawmy wyprowadzoną definicję implikacji prostej P8|=>P2 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.
| Kod: |
IP
Implikacja prostej p|=>q w zapisie formalnym:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 – zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=P8
q=P2
Implikacja prosta P8|=>P2 w zapisie aktualnym:
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku
wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 - P8 jest (=1) wystarczające => dla P8
bo P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 -P8 nie jest (=0) konieczne ~> dla P2
bo P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6..]
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej P8|=>P2
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 4:~q=> ~p =1
A': 1: p~~>~q =0 4:~p~~> q =0
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: P8=> P2 =1 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~> P8=1 4:~P2=>~P8 =1
A': 1: P8~~>~P2=0 4:~P2~~>P8 =0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =0 2:~p=> ~q =0 [=] 3: q=> p =0 4:~q~> ~p =0
B': 2:~p~~> q =1 3: q~~> ~p =1
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: P8~> P2 =0 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=> P8 =0 4:~P2~>~P8=0
B': 2:~P8~~>P2=1 3: P2~~>~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Definicję implikacji prostej P8|=>P2 w zbiorach mamy w kolumnie A1B1:
Implikacja prosta P8|=>P2 to spełniona wyłącznie relacja podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2=1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2=0 – zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Gdzie:
p= P8
q= P2
14.3.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach
Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o P8 (A1B1) i ~P8 (A2B2):
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Gdzie:
p= P8
q= P2
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P8:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
A1: P8=>P2=1 - zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6..]
B1: P8~>P2=0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie P8?
Czytamy:
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie A1) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..] (zdanie B1)
Patrz diagram DIP.
Wniosek:
P8 ## P2 - zbiory P8 i P2 są różne na mocy definicji ## (nie są tożsame)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
Zdane A1 w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Innymi słowy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to ta liczba na 100% => będzie podzielna przez 2 (P2)
Graficzny dowód wprost: diagram DIP
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód „nie wprost”.
Nie musimy tu wykonywać dowodu wprost, czyli udowadniać iż zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
Graficzny dowód wprost: diagram DIP
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8)?
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P8:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8)?
A2: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2
B2: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P8?
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2 (A2) i jednocześnie nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2 (B2)
Patrz diagram DIP.
Wniosek:
~P8 ## ~P2 - zbiory ~P8 i ~P2 są różne na mocy definicji (nie są tożsame)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Zauważmy, że dowód wprost jest tu trudniejszy - przez iterowanie na pewno niewykonalny, bo oba zbiory są nieskończone.
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 (~P2) bo jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Graficzny dowód wprost: diagram DIP
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i P2, co kończy dowód prawdziwości zdania B2'
Z zapisu szczegółowego widzimy że zbiór ~P8 nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2, jak również nie jest podzbiorem => zbioru P2.
Dowód wprost widzimy także na diagramie DIP
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P8||=>P2 to gwarancja matematyczna => po stronie liczb podzielnych przez 8 (P8) o czym mówi zdanie A1 i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb niepodzielnych przez 8 (~P8) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 (P2) - mówi o tym zdanie A1
2.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8) to ta liczba może ~> być niepodzielna przez 2 (~P2) o czym mówi zdanie A2 albo może ~~> być podzielna przez 2 na mocy zdania B2’
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 to układ równań logicznych:
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2:~P8~>~P2)*~(B2: ~P8=>~P2) - co będzie jeśli liczba nie jest podzielna przez 8?
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) - co będzie jeśli liczba jest podzielna przez 8?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
14.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
14.4.1 Zdanie W1: P8~~>P2
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..24..] np. 24
Dla udowodnienia prawdziwości zdania W1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P8 i P2 (np. 8) . Nie analizujemy tu, czy podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
Badając punkt 14.3.1 stwierdzamy iż nie ma odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający => A1:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..], co każdy matematyk udowodni.
Jest oczywistym, że skoro zbiór P8 jest podzbiorem => P2 to musi istnieć element wspólny tych zbiorów ~~>
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: P8~~>P2 jest częścią warunku wystarczającego => A1: P8=>P2, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: P8~~>P2=P8*P2 =1 bo 8 ## A1: P8=>P2 =1 - P8 jest podzbiorem => P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: P8~~>P2 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: P8=>P2.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: P8=>P2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.2 Zdanie W2: P8=>P2
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.
Jak widzimy:
W2=A1
Stąd mamy zdanie tożsame A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Podsumowanie:
Zdanie wypowiedziane W2 jest częścią operatora implikacji prostej P8||=>P2 i na mocy prawa Puchacza nie może być częścią jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.3 Zdanie W3: P8~~>~P2
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2=P8*~P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': P8~~>~P2=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: P8=>P2=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W2=A1' wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.4 Zdanie W4: ~P8~~>~P2
Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~~>~P2=~P8*~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q =~p*~q =1
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] np. 1
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i ~P2, co kończy dowód prawdziwości/fałszywości zdania W4
Nie badamy tu czy niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest konieczna ~> czy też wystarczająca => dla jej niepodzielności przez 2 (~P2)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W3.
Badając punkt 14.3.1 stwierdzamy iż nie ma odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek konieczny A2:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Dowód "nie wprost":
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2 wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 (i odwrotnie)
Prawdziwość warunku koniecznego A2 oznacza, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~P8~~>~P2 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest częścią warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W3: ## Warunek konieczny ~> A2:
W3:~P8~~>~P2=~P8*~P2 =1 - bo 3 ## A2:~P8~>~P2=1 bo ~P8 jest nadzbiorem ~P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~P8~~>~P2 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A2: ~P8~>~P2 ze spełnionym warunkiem koniecznym ~> wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.5 Zdanie W5: ~P8~>~P2
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
Powyższe zdanie można zakodować elementem wspólnym zbiorów ~~> co zrobiliśmy wyżej:
~P8~~>~P2=~P8*~P2=1 bo wspólny element np. 1
Równie dobrze zdanie W5 możemy zakodować warunkiem koniecznym ~>, czym zajmiemy się teraz.
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań:
W5=A2
Zdanie A2 brzmi:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Stąd mamy dowód "nie wprost":
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Dowód wprost prawdziwości A1: P8=>P2:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2 potrafi każdy matematyk.
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego A1: P8=>P2 wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2: ~P8~>~P2 (i odwrotnie).
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = Relacja nadzbioru ~>
Stąd mamy:
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
A2: ~P8~>~P2=1
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości A2: ~P8~>~P2 =1
Zauważmy, że dowód wprost jest tu zdecydowanie trudniejszy (jeśli w ogóle możliwy), przez iterowanie na pewno niewykonalny bowiem zbiory ~P8 i ~P2 to zbiory nieskończone.
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek konieczny A2:~P8~>~P2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.6 Zdanie W6: ~P8~~>P2
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2=~P8*P2=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~P8 i P2, co kończy dowód prawdziwości zdania B2'
Z diagramu DIP widzimy że zbiór ~P8 nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2, jak również nie jest podzbiorem => zbioru P2.
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane W6=B2': ~P8~~>P2=1 jest prawdziwym kontrprzykładem B2' dla fałszywego warunku wystarczającego B2: ~P8=>~P2=0
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
14.4.7 Zdanie W7: ~P8=>~P2
Zauważmy, że algorytm Puchacza umożliwia korektę niektórych zdań fałszywych tzn. mówi nam jak powinno być wypowiedziane zdanie fałszywe, by stało się zdaniem prawdziwym.
Zadanie W7
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W7.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to nie jest podzielna przez 2
Zdanie tożsame bo warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny.
W7".
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to na 100% => nie jest podzielna przez 2
B2: ~P8=>~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =0
Brak podzielności dowolnej liczby przez 8 (~P8) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => wystarczającym dla jej niepodzielności przez 2 (~P2)
Dowód "nie wprost":
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Nasz przykład:
B2: ~P8=>~P2 = B1: P8~>P2 =0
Dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Pytanie fundamentalne to:
Jak należy wypowiedzieć zdanie W7, by było ono zdaniem prawdziwym?
Odpowiedź na to pytanie daje nam algorytm Puchacza.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 14.3 i 14.3.1.
W punkcie 14.3.1 widzimy, że dokładny odpowiednik zdania W7 nie istnieje, ale istnieje zdanie A2 analogiczne do zdania W7
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
A2: ~P8~>~P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q =1
Prawo Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Nasz przykład:
A2: ~P8~>~P2 = A1: P8=>P2 =1
Wniosek:
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2: ~P8~>~P2=1 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6.7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Podsumowanie:
1.
Jeśli zdanie fałszywe W7 zakodujemy warunkiem koniecznym ~> wypowiadając je w formie A2 to zdanie to ulegnie transformacji do zdania prawdziwego.
Korekta została znaleziona.
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie A2 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 22:24, 17 Sie 2024, w całości zmieniany 30 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 17:22, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
15.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach
Spis treści
15.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach 1
15.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 4
15.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach 6
15.2 Algorytm Puchacza 8
15.3 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach 10
15.3.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 16
15.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 19
15.4.1 Zdanie W1: P2~~>P8 19
15.4.2 Zdanie W2: P2~>P8 20
15.4.3 Zdanie W3: P2~~>~P8 20
15.4.4 Zdanie W4: ~P2~~>~P8 21
15.4.5 Zdanie W5: ~P2=>~P8 22
15.4.6 Zdanie W6: ~P2~~>P8 23
15.4.7 Zdanie W7: P2=>P8 23
15.5 Alternatywny dowód prawdziwości implikacji odwrotnej P2|~>P8 24
15.0 Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
II Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
##
I Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają prawdziwe kontrprzykłady Ax'.
Zauważmy że:
1.
Definicję implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja odwrotna A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
2.
Definicję implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2:
A2B2:
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q):
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Wniosek:
Implikacja prosta A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja implikacji prostej A2B2: ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q (pkt. 2.10)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|~>q = p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją implikacji prostej p|=>q:
A2B2: ~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = A1B1: p|~>q
cnd
15.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8.1):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Wniosek:
p ## q - zbiór p jest różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie mogą to być zbiory tożsame)
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach.
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Kluczowe tu zbiory p, ~p, q i ~q muszą być niepuste, bowiem w analizie zdania warunkowego "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z definicji nie możemy operować na zbiorze pustym.
Definicja zbioru pustego [] (pkt. 12.2):
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Wniosek:
Wspólna dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, q, ~p, ~q, będą niepuste.
Dowód w diagramie DIO wyżej.
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zbiorach (DIO):
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
15.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Na mocy prawa Słonia prawą stronę A1B1 czytamy:
Zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q=1), ale nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q=0)
Wniosek:
p ## q - zbiór p jest różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DI0
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
B1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~> należeć do q
p~>q =1
Przynależność elementu do zbioru p jest (=1) konieczna ~> by należał on do zbioru q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Dowód: diagram DIO
lub
Fałszywy warunek wystarczający A1: p=>q=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q=p*~q =1
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" prawdziwości zdania A1’
Dowód wprost: diagram DIO
.. a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q (B2: ~p=>~q=1), ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q (A2: ~p~>~q=0).
Na mocy prawa Słonia prawą stronę A2B2 czytamy:
Zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q (B2: ~p=>~q=1), ale nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2: ~p~>~q=0)
Wniosek:
~p ## ~q - zbiór ~p jest różny na mocy definicji ## od zbioru ~q (nie są to zbiory tożsame)
Dowód: diagram DIO
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru ~q
~p=>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru ~q
Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowód wprost: diagram DIO
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DIO
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej A2B2: ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A1B1: p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
15.2 Algorytm Puchacza
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego (pkt. 2.7):
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
15.3 Sztandarowy przykład implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=P2
P2+~P2=LN - wspólna dziedzina
P2*~P2=[] - zbiór pusty
q=P8
P8+~P8 = LN - wspólna dziedzina
P8*~P8=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - wspólna dziedzina (zbiór liczb naturalnych)
Stąd:
~p=~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór niepusty)
~q=~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (zbiór niepusty)
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów/zdarzeń (pkt 2.8.1 i 2.8.2):
W algebrze Kubusia w zbiorach/zdarzeniach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q
A1.
Twierdzenie proste:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
A1: P2=>P8=0
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład np. 2
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 8 (P8) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] bo kontrprzykład: 2
cnd
7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne B3: q=>p (w stosunku do A1) bo warunek wystarczający => bez przeczeń zawsze dowodzi się najprościej.
Twierdzenie odwrotne w stosunku do A1:
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
B3: P8=>P2=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
Dla zdania B3 korzystamy z prawa Tygryska.
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: P8=>P2 = B1: P2~>P8 =1
Zauważmy, że na mocy prawa Tygryska udowadniając prawdziwość warunku wystarczającego B3: P8=>P2=1 udowodniliśmy dowodem "nie wprost" prawdziwość warunku koniecznego B1: P2~>P8=1
Wypowiedzmy zdanie B1:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
B1: P2~>P8=1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Prawdziwości zdania B1 nie musimy udowadniać, bowiem prawdziwość tą gwarantuje nam prawo Tygryska.
Zauważmy że w zapisach formalnych mamy:[b]
Warunek wystarczający A1: p=>q =~p+q ## Warunek konieczny B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
[b]Alternatywny dowód fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwości warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 z wykorzystaniem zdjęcia układu plus prawo Orła znajdziemy w punkcie 15.5
Podsumowanie:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwość warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 wymusza definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8..
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Na mocy prawa Słonia mamy nasz przykład w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to spełniona wyłącznie relacja nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p=P2
q=P8
Stąd mamy diagram implikacji odwrotnej w zapisie formalnym p|~>q i aktualnym P2|~>P8:
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach
Punkt odniesienia:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2, P2=[2,4,6,8..]
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8, P8=[8,16,24..]
---------------------------------------------------------------------------
| q=P8 | ~q=~P8 |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=P2 | ~p=~P2 - |
|-----------------------------------------------|-------------------------|
|B1: P2~>P8=1 (P2*P8=1) |A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 |B2:~P2=>~P8=1 (~P2*~P8=1)|
---------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=B1: P2*P8+A1’: P2*~P8+B2: ~P2*~P8 (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~P2~~>P8=~P2*P8=[]=0 - jedyny zbiór pusty to ~P2*P8=[]=0 |
|-------------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
P2*P8=1 - wynikowa jedynka oznacza tu niepustość zbioru: P2*P8=P8=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Z diagramu DIO odczytujemy:
Dziedzina fizyczna implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zbiorach to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D = B1: P2*P8 + A1': P2*~P8 + B2: ~P2*~P8
Zauważmy, że:
1.
Zbiór P2 jest sumą logiczną zbioru B1: P2*P8 oraz A1': P2*~P8
Dowód:
P2 = B1:P2*P8 + A1': P2*~P8 = P2*(P8+~P8) = P2*1 =P2
cnd
Wykorzystane prawa logiki matematycznej:
a) wyciągnięcie zmiennej P2 przed nawias
b) P8+~P8=1
c) P2*1=P2
2.
Natomiast zbiór ~P2 to zbiór ~P8 minus zbiór wspólny A1’: P2*~P8:
~P2 = ~P8 - A1': P2*~P8
Czyli:
~P2 = ~P8*1 - P2*~P8 - bo prawo algebry Boole’a: ~P8=~P8*1
~P2 = ~P8*(1-P2) - wyciagnięcie zmiennej ~P8 przed nawias
~P2 = ~P8*((P2+~P2) -P2) - skorzystanie z definicji jedynki (dziedziny): 1=P2+~P2
~P2 = ~P8*(~P2+0) - bo różnica tych samych zbiorów jest zbiorem pustym []: P2 -P2=[]=0
~P2 = ~P8*~P2 - bo prawo algebry Boole’a: ~P2+0=~P2
~P2=~P2*~P8 - bo ~P2 jest podzbiorem => ~P8 (patrz diagram implikacji odwrotnej DIO)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Podstawmy wyprowadzoną definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających.
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 – zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 = 1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=P2
q=P8
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 – P2 nie jest (=0) wystarczające => dla P8
bo P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 – P2 jest (=1) konieczne ~> dla P8
bo P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej P2|~>P8
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =0 2:~p~> ~q =0 [=] 3: q~> p =0 4:~q=> ~p =0
A': 1: p~~>~q =1 4:~p~~> q =1
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: P2=> P8 =0 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~> P2=0 4:~P8=>~P2 =0
A': 1: P2~~>~P8=1 4:~P8~~>P8
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 4:~q~> ~p =1
B': 2:~p~~> q =0 3: q~~> ~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: P2~> P8 =1 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=> P2 =1 4:~P8~>~P2=1
B': 2:~P2~~>P8=0 3: P8~~>~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawa Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Prawo Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii A
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO
Definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 mamy w kolumnie A1B1:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to spełniona wyłącznie relacja nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8=0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Gdzie:
p= P8
q= P2
15.3.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o P2 (A1B1) i ~P2 (A2B2):
A1B1: P2|~>P8 =~(A1: P2=> P8)* (B1: P2~>P8) - co się stanie jeśli zajdzie P2?
A2B2: ~P2|=>~P8 =~(A2:~P2~>~P8)* (B2:~P2=>~P8) - co się stanie jeśli zajdzie ~P2?
Gdzie:
p= P2
q= P8
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o P2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)?
A1: P2=>P8=0 - P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8=1 - P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..] (zdanie B1) i jednocześnie nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..] (zdanie A1)
Patrz diagram DIO
Wniosek:
P2 ## P8 - zbiory P2 i P8 są różne na mocy definicji ## (nie są tożsame)
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
1.
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
Dowód: Diagram DIO
2.
Dowód "nie wprost":
Prawo Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
LUB
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 determinuje prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (np. 2)
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów P2 i ~P8, co kończy dowód prawdziwości zdania A1'
Z zapisu szczegółowego widzimy że zbiór P2 nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P8, jak również nie jest podzbiorem => zbioru ~P8.
Dowód wprost widzimy także w diagramie DIO
Dowód "nie wprost":
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P8=>~P2=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
… a jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2)?
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2: ~P2=>~P8 =1
W zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Idziemy do kolumny A2B2
A2B2
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o ~P2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez 2 (~P2)?
A2: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8
B2: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (B2) i jednocześnie nie jest (=0) nadzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (A2)
Patrz diagram DIP
Wniosek:
~P2 ## ~P8 - zbiory ~P2 i ~P8 są różne na mocy definicji (nie są tożsame)
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
B2: ~P2=>~P8=1
W zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
1.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód wprost tego faktu odczytujemy z diagramu DIO
2.
Dowód "nie wprost":
Prawo kontrapozycji:
B2:~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..] nie musimy dowodzić ponieważ wynika ona z prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 (dowód nie wprost)
Podsumowanie:
Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 to najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2) o czym mówią zdania B1 i A1’ oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P2) - mówi o tym zdanie B2
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Czyli:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2) to ta liczba może ~> być podzielna przez 8 (P8) o czym mówi zdanie B1, albo może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8) o czym mówi zdanie A1’
2.
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2) to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 (~P8) - mówi o tym zdanie B2
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~P2||=>~P8 to układ równań logicznych:
A2B2: ~P2|=>~P8 =~(A2:~P2~>~P8)* (B2:~P2=>~P8) - co się stanie jeśli zajdzie ~P2?
A1B1: P2|~>P8 =~(A1: P2=> P8)* (B1: P2~>P8) - co się stanie jeśli zajdzie P2?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~P2||=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadania zdań tworzących operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest matematycznie bez znaczenia, co oznacza że linie B1, A1’ B2, B2’ można dowolnie przestawiać.
15.4 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze implikacji odwrotnej P2||=>P8 mogą być następujące.
15.4.1 Zdanie W1: P2~~>P8
Zadanie W1
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W1.
Widzimy tożsamość zdań: W1=B1
Ale!
Na zdanie W1 można spojrzeć z punktu widzenia elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Rozwiązanie zadania W1 z punktu widzenia elementu wspólnego zbiorów ~~>:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8 = P2*P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Dla udowodnienie prawdziwości zdania W1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] np. 8, co kończy dowód prawdziwości zdania W1. Nie wnikamy tu czy podzielności dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> czy też wystarczającym => dla jej podzielności przez 8.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że zachodzi warunek konieczny B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Dowód wprost:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
cnd
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: P2~~>P8 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest częścią warunku koniecznego B1: P2~>P8, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek konieczny ~> B1:
W1:P2~~>P8=P2*P8 =1 - bo 8 ## B1: P2~>P8=1 bo P2 jest nadzbiorem ~> P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: P2~~>P8 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku koniecznego B1: P2~>P8
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B1: P2~>P8 ze spełnionym warunkiem koniecznym ~> wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.2 Zdanie W2: P2~>P8
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.
Widzimy tożsamość zdań: W2=B1
Wynika z tego, że na zdanie W2 możemy spojrzeć nie tylko z punktu odniesienia elementu wspólnego zbiorów ~~> co zrobiliśmy wyżej, ale również z punktu widzenia warunku koniecznego ~> o czym mówi zdanie B1.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Dowód wprost:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
cnd
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza zdanie B1: P2~>P8 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.3 Zdanie W3: P2~~>~P8
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Dowód wprost:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] (np. 2)
Dowód "nie wprost":
Formalnie tego faktu nie musimy dowodzić wprost jak wyżej, bowiem prawdziwość kontrprzykładu A1’: P2~~>~P8=P2*~P8=1 wynika z fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0
Podsumowanie:
1.
Prawdziwe zdanie wypowiedziane A1': P2~~>~P8=1 to kontrprzykład A1' dla fałszywego warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.4 Zdanie W4: ~P2~~>~P8
Zadanie W4
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może nie być podzielna przez 8 (~P8)
~P2~~>~P8=~P8*~P8 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 1
Dla udowodnienia prawdziwości zdania W4 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 (np. 1) . Nie analizujemy tu, czy niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest warunkiem wystarczającym => czy też koniecznym ~> dla jej nie podzielności przez 8 (~P8)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W3.
Jak widzimy, nie ma 100% odpowiednika zdania W4, ale …
Mamy spełniony warunek wystarczający B2.
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
B2: ~P2=>~P8=1
W zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód wprost tego faktu odczytujemy z diagramu DIO
Dowód "nie wprost":
Prawo kontrapozycji:
B2:~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
Oczywistym jest, że zdanie wypowiedziane W4: ~P2~~>~P8 kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest częścią warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny zbiorów ~~> W4: ## Warunek wystarczający => B2:
W4:~P2~~>~P8=~P2*~P8=1 bo 1 ## B2:~P2=>~P8=1 - ~P2 jest podzbiorem ~P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~P2~~>~P8 jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2: ~P2=>~P8 ze spełnionym warunkiem wystarczającym => wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.5 Zdanie W5: ~P2=>~P8
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 8
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
W5.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.
Stwierdzamy 100% tożsamość zdań:
W5=B2
B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
B2: ~P2=>~P8=1
W zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Dowód wprost tego faktu odczytujemy z diagramu DIO
Dowód "nie wprost":
Prawo kontrapozycji:
B2:~P2=>~P8 = B3: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] potrafi każdy matematyk.
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2:~P2=>~P8 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.6 Zdanie W6: ~P2~~>P8
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W6.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Dowód wprost widzimy w diagramie DIO - rozłączność zbiorów ~P2=[1,3,5,7..] i P8=[8,16,14..]
Dowód "nie wprost":
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu B2’: ~P2~~>P8=0 (i odwrotnie)
Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane W6=B2' jest fałszywym kontrprzykładem B2': ~P2~~>P8=0 dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~P2=>~P8=1
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.4.7 Zdanie W7: P2=>P8
Zauważmy, że algorytm Puchacza umożliwia korektę niektórych zdań fałszywych tzn. mówi nam jak powinno być wypowiedziane zdanie fałszywe, by stało się zdaniem prawdziwym.
Zadanie W7
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to jest podzielna przez 8
Zdanie tożsame bo warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny
W7.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
P2=>P8 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 2 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
Pytanie fundamentalne to:
Jak należy wypowiedzieć zdanie W7, by było ono zdaniem prawdziwym?
Odpowiedź na to pytanie daje nam algorytm Puchacza.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 15.3 i 15.3.1.
W punkcie 15.3.1 widzimy, że dokładny odpowiednik zdania W7 nie istnieje, ale istnieje zdanie B1 analogiczne do zdania W7
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~>P8 =1
W zapisie formalnym:
p~>q=1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..].
Podsumowanie:
1.
Jeśli zdanie fałszywe W7 zakodujemy warunkiem koniecznym ~> ze spójnikiem „może” to zdanie to ulegnie transformacji do zdania prawdziwego.
Korekta została znaleziona.
2.
Na mocy prawa Puchacza prawdziwe zdanie B1: P2~>P8 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
15.5 Alternatywny dowód prawdziwości implikacji odwrotnej P2|~>P8
Zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
Alternatywny dowód fałszywości warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwości warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 z wykorzystaniem zdjęcia układu plus prawo Orła
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu dla zdania W1 w zapisie aktualnym (przykład)
A: P2~~> P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2 i P8 np. 8
B: P2~~>~P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np. 2
C:~P2~~>~P8=1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 np. 1
D:~P2~~> P8=0 - nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~P2 i P8
|
Kluczowy jest dowód rozłączności zbiorów nieskończonych ~P2 i P8:
Dowolny zbiór liczb nieparzystych ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny (=0) z dowolnym zbiorem liczb parzystych P8=[8,16,24..] - na mocy definicji liczby nieparzystej.
Akurat w tym przypadku to jest poziom I klasy LO, ale na pewno nie 5-cio latka.
Zauważmy, że w teorii zdarzeń rozstrzygnięcie o fałszywości dowolnego zdania ze zdjęcia układu to poziom 5-cio latka, czego dowód mamy w punkcie 9.0.
Korzystając z prawa Orła możemy łatwo dowieść iż zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
1.
Prawo Orła dla B1:
p*(q+~q) ~> q*(p+~p)
p=P2
q=P8
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P2*(P8+~P8) ~> P8*(P2+~P2)
2.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8 + D: ~P2*P8 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8 =0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd:
3.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8
Doskonale widać, że zbiór (P2*P8 + P2*~P8) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P2*P8
cnd
Można łatwo udowodnić iż równanie 3 jest tożsame z warunkiem koniecznym ~>:
P2~>P8 =1
Dowód:
3.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8
Z tabeli T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8=[]=0
Do prawej strony wolno nam dopisać zbiór pusty D bo (x+0=x)
Stąd mamy:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8 + D: ~P2*P8
P2*(P8+~P8) ~> P8*(P2+~P2) - wyciągnięcie zmiennych P2 i P8 przed nawias
P2*1 ~> P8*1 - prawo algebry Boole'a (x+~x=1)
P2~>P8 - prawo algebry Boole’a (x*1=x)
Stąd mamy:
P2~>P8 =1
Stąd mamy tożsamość logiczną [=]:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 ~> A: P2*P8 [=] B1: P2~>P8 =1
Stąd mamy rozwiązanie pierwszej części naszego zadania:
B1: P2~>P8=1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Dla rozwiązania zadania pozostaje nam udowodnić relację:
A1: P2=>P8 =?
4.
Prawo Orła dla A1:
p*(q+~q) => q*(p+~p)
p=P2
q=P8
W przełożeniu na zapis aktualny mamy:
P2*(P8+~P8) => P8*(P2+~P2)
5.
Stąd po wymnożeniu wielomianów mamy:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 + D: ~P2*P8 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8 =0
Prawo algebry Boole'a:
x+0=x
Stąd:
6.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 =0
Doskonale widać, że zbiór (P2*P8 + P2*~P8) nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P2*P8
Można łatwo udowodnić iż równanie 6 jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>, czyli z relacją podzbioru =>:
P2=>P8 =0
Dowód:
6.
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 =0
Z tabeli T1 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8=[]=0
Do prawej strony wolno nam dodać logiczne zero (x+0=x):
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 + D: ~P2*P8
P2*(P8+~P8) => P8*(P2+~P2) - wyciągnięcie zmiennych P2 i P8 przed nawias
P2*1 => P8*1 - prawo algebry Boole'a (p+~p=1)
P2=>P8 - prawo algebry Boole’a (x*1=x)
Stąd mamy tożsamość logiczną [=]:
A: P2*P8 + B: P2*~P8 => A: P2*P8 [=] P2=>P8 =0
Stąd mamy rozwiązanie drugiej części naszego zadania:
A1: P2=>P8 =0 - zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Podsumowanie:
Fałszywość warunku wystarczającego A1: P2=>P8=0 i prawdziwość warunku koniecznego B1: P2~>P8=1 wymusza definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8.
Szczegółową analizę operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 mamy w punkcie 15.3.1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:42, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 17 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 17:24, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
16.0 Równoważność p<=>q w zbiorach
Spis treści
16.0 Równoważność p<=>q w zbiorach 1
16.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach 1
16.1.1 Prawa Słonia dla zbiorów 2
16.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach 3
16.1.3 Prawo Irbisa w zbiorach 3
16.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach 4
16.2.1 Relacje między równoważnością A1B1: p<=>q a A2B2: ~p<=>~q 5
16.2.2 Relacje między równoważnością A3B3: q<=>p a A4B4: ~q<=>~p 5
16.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach 6
16.4 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 7
16.4.1 Operator równoważności p|<=>q 10
16.5 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q 12
16.5.1 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 13
16.5.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności ~p<=>~q 14
16.5.3 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym 15
16.6 Odtworzenie p|<=>q z tabeli zero-jedynkowej równoważności p<=>q 16
16.0 Równoważność p<=>q w zbiorach
Bezdyskusyjnie najcenniejszą definicją w całym obszarze matematyki dla potrzeb matematyki klasycznej i programowania komputerów jest definicja równoważności p<=>q której istoty póki co ziemscy matematycy nie rozumieją, mimo że poprawnie matematycznie ją udowadniają.
Nie rozumieją dlatego, że nie znają kluczowych tu zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>, praw Słonia, prawa Irbisa, oraz definicji kontrprzykładu dla zbiorów w interpretacji z algebry Kubusia.
Mówiąc dosadnie: 100% definicji rodem z Klasycznego Rachunku Zdań jest do bani.
Przykładowo:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie) o czym matematycy nie wiedzą.
16.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: kilkanaście tysięcy
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: kilkanaście tysięcy
16.1.1 Prawa Słonia dla zbiorów
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Stąd korzystając z prawa Słonia dla zbiorów możemy wygenerować dużą ilość tożsamych definicji równoważności p<=>q.
16.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach
1.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (znana każdemu matematykowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q i matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, twierdzenie proste A1.
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, twierdzenie odwrotne (względem A1)
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
2.
Definicja równoważności wyrażona relacjami podzbioru =>
Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Stąd mamy wprowadzone kluczowe w równoważności prawo Irbisa.
16.1.3 Prawo Irbisa w zbiorach
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Tą definicję tożsamości zbiorów zna każdy matematyk.
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Na mocy prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Tożsamy dowód bezpośredni:
Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego (pkt. 16.1.2 i 16.1.3)
Korzystając z prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w warunkach koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1).
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
16.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
I Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
##
II Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd łatwo odczytujemy serię czterech tożsamych logicznie definicji równoważności p<=>q.
16.2.1 Relacje między równoważnością A1B1: p<=>q a A2B2: ~p<=>~q
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mam:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> p=q
[=]
A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Wzajemne relacje między A1B1 i A2B2 są następujące:
| Kod: |
Równoważność A1B1: | Równoważność A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Dowód:
Diagram DR (pkt. 16.3)
|
16.2.2 Relacje między równoważnością A3B3: q<=>p a A4B4: ~q<=>~p
A3B3:
Definicja równoważności q<=>p w logice dodatniej (bo p):
Równoważność q<=>p w logice dodatniej (bo p) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A3: q~>p =1 - zajście q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia p
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
Stąd mamy:
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1=1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) <=> q=p
[=]
A4B4:
Definicja równoważności ~q<=>~p w logice dodatniej (bo ~p):
Równoważność q<=>p w logice dodatniej (bo p) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A4: ~p=>~p =1 - zajście ~q jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~p
B4: ~q~>~p =1 - zajście ~q jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~p
Stąd mamy:
A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)=1*1=1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) <=> ~q=~p
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Wzajemne relacje między A3B3 i A4B4 są następujące:
| Kod: |
Równoważność A3B3: | Równoważność A4B4:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) [=] ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p)
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
q=p # ~q=~p
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Dowód:
Diagram DR (pkt. 16.3)
|
16.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, ~p, q i ~q będą niepuste (rozpoznawalne), co doskonale widać na diagramie DR niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
Wniosek:
Musi zachodzić tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q).
Dowód
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd mamy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
definiujący tożsamość zbiorów p=q.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|---------------------------------|---------------------------------------|
| q | ~q |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|Definicja równoważności: | Definicja równoważności: |
|A1B1: p<=>q=(A1:p=>q)*(B1:p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|Definiuje tożsamość zbiorów | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
---------------------------------------------------------------------------
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|-------------------------------------------------------------------------|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
p#~p
p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
p+~p=D=1
p*~p=[]=0
Dowód: diagram DR
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
16.4 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
##
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Gdzie:
## - różna na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zauważmy że:
1.
Definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wnioski:
a) Równoważność A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
b) Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
2.
Definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Wnioski:
a) Równoważność A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
b) Równoważność A2B2: ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], "=", <=> (wtedy i tylko wtedy) - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q = ~p+q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q = p+~q
plus definicja równoważności A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) podana wyżej.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Dowód tożsamy w spójnikach "i"(*) i "lub"(+).
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q (pkt. 2.10)
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją równoważności p<=>q:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) = ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
stąd mamy:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd
16.4.1 Operator równoważności p|<=>q
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1) i jednocześnie zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Wniosek:
Zbiory p i q są tożsame p=q
Dowód: diagram DR
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =1
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Dowód: diagram DR
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q=p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DR
… a jeśli zajdzie ~p?
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> (A2) i podzbiorem => (B2) zbioru ~q
Wniosek:
Zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q
Dowód: diagram DR
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru ~q
~p=>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru ~q
Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowód: diagram DR
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DR
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p (zdanie B2)
W operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła", jak to miało miejsce w operatorze implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jak zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jak zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
16.5 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
Prawo Krokodyla (pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Definicja twardej jedynki:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarda jedynka to spełniony warunek wystarczający => w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków elementarnych =>, ~> i ~~>.
A1: p=>q =1 - twarda jedynka
Definicja twardego zera:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" na mocy definicji kontrprzykładu spełniony warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu w linii A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=p*~q =0 - twarde zero
Notacja w algebrze Kubusia:
Przez A1' oznaczamy kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
oraz:
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q na mocy analizy w poprzednim punkcie:
| Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Prawo Krokodyla (pkt.21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze równoważności p|<=>q mamy dwie twarde jedynki (A1 i B2) oraz dwa twarde zera (A1', B2'), co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
16.5.1 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q w wersji skróconej:
| Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p|<=>q |
A1B1:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności p<=>q:
A1B1: p<=>q
W równoważności A1B1: p<=>q zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
| Kod: |
T3
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p|<=>q | | |
A1B1: | |
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) | | p q p<=> q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0 =0
A2B2: |
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T3_789 nazywamy zero-jedynkową definicją równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zerojedynkowego.
Interpretacja równoważności p<=>q:
T3_789: p<=>q - zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Do zapamiętania:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A1: 1<=>1 1
A1’: 1<=>0 0
B2: 0<=>0 1
B2’: 0<=>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
|
Wyprowadzenie tabeli zero-jedynkowej równoważności z jej definicji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja równoważności w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y=(p<=>q) = A1: p*q + B2:~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=(p<=>q)=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
I Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Stąd mamy definicję zero-jedynkową równoważności p<=>q:
p<=>q=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
16.5.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności ~p<=>~q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q w wersji skróconej:
| Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p|<=>q |
A1B1:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności A2B2:
A2B2: ~p<=>~q
W równoważności A2B2 zmienne p i q są w postaci zanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową równoważności A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci zanegowanej.
Umożliwia to I prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
| Kod: |
T4
Definicja |Co w logice |Na mocy I |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p|<=>q | | |
A1B1: | |
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) | | ~p ~q ~p<=>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1 =0
A2B2: |
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T4_789 nazywamy zero-jedynkową definicją równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Interpretacja:
T4_789: ~p<=>~q - zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
16.5.3 Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym
Prawo porównywania w rachunku zero-jedynkowym:
W rachunku zero-jedynkowym zachodząca tożsamość kolumn wynikowych jest dowodem zachodzenia prawa logiki matematycznej wtedy i tylko wtedy na wejściu mamy identyczną matrycę zmiennych wejściowych p i q "ab" oraz identyczną kolumnę wynikową "c"
Zauważmy że:
W tabelach T3 i T4 wejściowa definicja operatora równoważności p|<=>q jest identyczna
Stąd:
Tożsamość kolumny wynikowej 9 w tabelach T3 i T4 jest dowodem zero-jedynkowym prawa rachunku zero-jedynkowego
Prawo rachunku zero-jedynkowego
T3_789: p<=>q [=] T4_789: ~p<=>~q
cnd
16.6 Odtworzenie p|<=>q z tabeli zero-jedynkowej równoważności p<=>q
Algorytm odwrotny, czyli odtworzenie operatora równoważności p|<=>q z zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest następujący.
Dla ułatwienia zrozumienia zachowujemy iterowanie linii z wyprowadzonej wyżej zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q, co matematycznie jest bez znaczenia.
Niech będzie dana tabela zero-jedynkowa równoważności <=>
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A1: 1<=>1 1
A1’: 1<=>0 0
B2: 0<=>0 1
B2’: 0<=>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
|
Jak wygenerować z tej tabeli operator równoważności p|<=>q?
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y) (pkt. 1.14)
| Kod: |
Pełna tabela zero-jedynkowa równoważności p<=>q
p q ~p ~q | Y ~Y |
A1: 1 1 0 0 | 1 0 |
A1’: 1 0 0 1 | 0 1 |
B2: 0 0 1 1 | 1 0 |
B2’: 0 1 1 0 | 0 1 |
a b c d e f |
|
Krok 1
Budujemy pełną tabelę zero-jedynkową dla równoważności p<=>q po czym opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki stosując w poziomie spójnik "i'(*) zaś w pionie spójnik "lub"(+).
Powyższy algorytm prowadzi do wygenerowania równań alternatywno-koniunkcyjnych Y i ~Y zrozumiałych dla każdego 5-cio latka (pkt. 1.14.1)
| Kod: |
T1.
Tabela zero-jedynkowa równoważności p<=>q w "lub"(+) i "i"(*)
|Opis jedynek |Opis jedynek |Tabela w zdarzeniach
|dla Y=(p<=>q) |dla ~Y=~(p<=>q)|możliwych ~~> dla Y
p q ~p ~q | Y ~Y | | | Y
A1: 1 1 0 0 | 1 0 | Ya= p* q | | p~~> q= p* q =1
A1’: 1 0 0 1 | 0 1 | |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0
B2: 0 0 1 1 | 1 0 | Yc=~p*~q | |~p~~>~q=~p*~q =1
B2’: 0 1 1 0 | 0 1 | |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0
a b c d e f g h i j k l 1 2 3 4 5
|
W tabeli 12345 skorzystano z prawa Prosiaczka:
(~Yb=1) = (Yb=0)
oraz
(~Yd=1) = (Yd=0)
które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to odpowiedź na pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Odczytujemy z tabeli ghi:
Y=Y(A1)+Y(B2) = A1: p*q+ B2: ~p*~q
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
Odczytujemy z tabeli jkl:
~Y=~Y(A1’)+~Y(B2’) = A1’: p*~q + B2’: ~p*q
Tabela konieczna i wystarczająca dla odtworzenia operatora równoważności p|<=>q w warunkach wystarczających =>, koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> to tabela 12345.
Tabela 12345 to tabela wszystkich zdarzeń możliwych (Yx=1) i niemożliwych (Yx=0) jakie mogą zajść na mocy definicji równoważności p<=>q. Jak widzimy, możliwe są (=1) zdarzenia Y(x)=1 A1 i B2 oraz niemożliwe są (=0) zdarzenia Y(x)=0 A1’ i B2’.
Krok 2
Zapisujemy tabelę wszystkich zdarzeń możliwych (Y=1) i niemożliwych (Y=0) jakie mogą zajść w zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q
| Kod: |
T2.
Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A1: p~~> q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
B2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Krok 3
Na mocy definicji kontrprzykładu z braku elementu wspólnego ~~> zbiorów p i ~q:
A1’: p~~>~q=0
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Krok 4
Na mocy definicji kontrprzykładu z braku elementu wspólnego zbiorów ~p i q:
B2’: ~p~~>q =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd mamy odtworzoną tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q dającą odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (A1, A1’) oraz co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (B2, B2’)
| Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:46, 13 Sie 2024, w całości zmieniany 40 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 17:26, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
16.7 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza
Spis treści
16.7 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza 1
16.7.1 Algorytm Puchacza 2
16.8 Sztandarowy przykład równoważności TP<=>SK 3
16.9 Tabela prawdy równoważności TP<=>SK 9
16.9.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) 10
16.10 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 13
16.10.1 Zadanie W1: TP~~>SK 13
16.10.2 Zdanie W2: TP=>SK 14
16.10.3 Zdanie W3: TP~~>~SK 15
16.10.4 Zdanie W4: ~TP~~>~SK 15
16.10.5 Zdanie W5: ~TP=>~SK 16
16.10.6 Zdanie W6: ~TP~~>SK 17
16.11 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK 17
16.11.1 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach 20
16.11.2 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach 22
16.7 Rozwiązywanie równoważności p<=>q algorytmem Puchacza
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
16.7.1 Algorytm Puchacza
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
16.8 Sztandarowy przykład równoważności TP<=>SK
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Zadanie W1:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK =1
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
cnd
W przypadku zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> TP i SK potrzeba i wystarcza pokazać jeden wspólny element np. [3,4,5] co kończy dowód prawdziwości zdania W1
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza w postaci punktów 1,2,3.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla TP i SK dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
p=TP
TP+~TP = ZWT - wspólna dziedzina
TP*~TP=[] - zbiór pusty
q=SK
SK+~SK=ZWT - wspólna dziedzina
SK*~SK=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych (zbiór niepusty)
~p=~TP=[ZWT-TP] - zbiór ZWT pomniejszony o TP (zbiór niepusty)
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (zbiór niepusty)
~q=~SK = [ZWT-SK] - zbiór ZWT pomniejszony o SK (zbiór niepusty)
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Analiza podstawowa (punkty 6 i 7 w algorytmie Puchacza):
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Zdanie A1 to znane każdemu uczniowi 8 klasy SP twierdzenie proste Pitagorasa.
Przykładowe dowody twierdzenia prostego Pitagorasa można znaleźć w Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Oczywiście dowody te mają zero wspólnego z wykazywaniem element po elemencie (których jest nieskończenie wiele) iż zbiór TP jest podzbiorem => SK.
Fakt iż zbiór TP jest podzbiorem => SK wymusza teoria matematyczna, tu prawo Słonia.
7.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B3 bowiem warunek wystarczający => bez negacji p i q zawsze dowodzi się najprościej.
B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w dowolnym trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Słonia dla warunku wystarczającego => dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Zdanie B3 to znane każdemu uczniowi 8 klasy SP twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
Przykładowe dowody twierdzenia odwrotnego Pitagorasa można znaleźć w Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zgodnie z algorytmem Puchacza (pkt. 6 i 7) interesuje nas prawdziwość/fałszywość zdania B1: p~>q a nie zdania B3: q=>p którego prawdziwość udowodniliśmy wyżej.
Jak udowodnić prawdziwość/fałszywość zdania B1: p~>q?
Bardzo prosto, wystarczy skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Nasz przykład:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK =1
Z prawa Tygryska wynika, że udowodnienie prawdziwości warunku wystarczającego B3: q=>p jest tożsame z udowodnieniem warunku koniecznego ~> B1: p~>q.
To jest dowód „nie wprost”
Wypowiedzmy zdanie B1.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Na mocy prawa Słonia dla warunku koniecznego ~> zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywiście tu również powyższy dowód "nie wprost" ma zero wspólnego z wykazywaniem element po elemencie (których jest nieskończenie wiele) iż zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK.
Fakt iż zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK wymusza teoria matematyczna, tu prawo Słonia dla warunku koniecznego ~>.
Przypomnijmy zdanie A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
A1: p=>q=~p+q
##
Przypomnijmy zdanie B1
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
B1: TP~>SK=1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
B1: p~>q = p+~q
;
Gdzie:
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q
## - różne na mocy definicji
Stąd po raz n-ty wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy dowód iż mamy tu do czynienia z równoważnością.
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełniona sumą kwadratów)
Stąd mamy:
Podstawowa definicja równoważności TP<=>SK:
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla bycia SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla bycia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1B1: SK<=>TP
Prawa strona to powszechnie znana definicja równoważności TP<=>SK:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Innymi słowy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby w tym trójkącie zachodziła suma kwadratów (SK)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Innymi słowy:
Do tego aby w trójkącie zachodziła suma kwadratów potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1), aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
A1B1: (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Dowód iż to jest powszechnie znana definicja równoważności p<=>q.
Klikamy na googlach:
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 12 600
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 10 800
"potrzeba i wystarcza:
Wyników: 3 370
cnd
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B1: p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Dowód 1.
Na mocy definicji każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Nasz przykład:
A1B1: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Dowód 2.
Dla B1 korzystamy z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd mamy tożsamą wersję prawa Irbisa.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Całość czytamy:
Dwa zbiory p i q są tożsame A1B3: p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i równocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
Ta definicja tożsamości zbiorów p=q jest doskonale znana każdemu matematykowi.
Nasz przykład:
Prawo Irbisa:
Prawdziwa równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych A1B3: TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: SK<=>TP
Całość czytamy:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame A1B3: TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1) i równocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3)
A1B3: TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = A1B3: TP<=>SK
Gdzie:
A1: TP=>SK =1 - twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione wieki temu
B3: SK=>TP =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione wieki temu
16.9 Tabela prawdy równoważności TP<=>SK
Powtórzmy najważniejszą tu definicję:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Równoważność TP<=>SK to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt prostokątny TP
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających =>
| Kod: |
TR
Równoważność p<=>q w zbiorach w zapisie formalnym:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=TP
q=SK
Równoważność TP<=>SK w zapisie aktualnym:
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenia SK
zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenia SK
zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A': 1: p~~> ~q =0 [=] 4:~q~~> p =0
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP=1
A': 1: TP~~>~SK=0 [=] 4:~SK~~>TP=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~> ~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=> TP =1 = 4:~SK~>~TP=1
B': 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=> q =1 = 2:~p<=>~q =1 [=] 3: q<=> p = 1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
To samo w zapisie aktualnym:
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: TP<=>SK =1 = 2:~TP<=>~SK=1 [=] 3: SK<=>TP =1 = 4:~SK<=>~TP=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
16.9.1 Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
Na mocy prawa Sowy prawdziwość równoważności TP<=>SK wymusza prawdziwość operatora równoważności TP|<=>SK o definicji jak niżej.
Definicja operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o TP (A1B1) i ~TP (A2B2):
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP?
A1: TP=>SK=1 - bycie TP jest wystarczające => dla zachodzenia SK
B1: TP~>SK=1 - bycie TP jest konieczne ~> dla zachodzenia SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Całość czytamy:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) to tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (w tym matematykom).
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Definicja równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest nadzbiorem ~> (B1) i jednocześnie podzbiorem => (A1) zbioru trójkątów w których zachodzi suma kwadratów (SK)
Wniosek:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny TP?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK=TP*~SK=0
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: TP i ~SK
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem koniecznym ~>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
B2: ~TP=>~SK=1 - bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym =>
dla nie zachodzenia sumy kwadratów (~SK)
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest nieprostokątny (~TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Całość czytamy:
Równoważność ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) to tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Definicja równoważności ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest nadzbiorem ~> (A2) i jednocześnie podzbiorem => (B2) zbioru trójkątów w których nie zachodzi suma kwadratów (~SK)
Wniosek:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~TP=~SK
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny ~TP?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji.
Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B2: ~TP=>~SK = B3: SK=>TP
Zdanie B3: SK=>TP to twierdzenie odwrotne Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Prawo kontrapozycji gwarantuje nam prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK
Na mocy prawa Słonia możemy zapisać:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~TP~~>SK=0 (i odwrotnie)
Prawdziwość zdania B2’ wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost” - nic a nic nie musimy więcej udowadniać.
Podsumowując:
Równoważność TP<=>SK to gwarancja matematyczna => po stronie TP, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt prostokątny (TP) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK) - mówi o tym zdanie A1
2.
oraz:
Jeśli ze zbioru ZWT wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) - mówi o tym zdanie B2
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~TP|<=>~SK to układ równań logicznych:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy ~TP?
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1 - co będzie jeśli wylosujemy TP?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) będzie identyczna jak operatora równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
16.10 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze równoważności TP|<=>SK mogą być następujące.
16.10.1 Zadanie W1: TP~~>SK
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
Na mocy analizy w punkcie 16.9 i 16.9.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający A1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: TP~~>SK jest częścią warunku wystarczającego => A1: TP=>SK, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: TP~~>SK=TP*SK=1 bo [3,4,5] ## A1: TP=>SK =1 - TP jest podzbiorem => SK
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: TP~~>SK jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: TP=>SK.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: TP=>SK wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.10.2 Zdanie W2: TP=>SK
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.9 i 16.9.1.
W punkcie 16.9.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W1.
Jak widzimy:
W2=A1
Stąd mamy zdanie tożsame A1.
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK=1
W zapisie formalnym:
p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Interpretacja dowodu prawdziwości twierdzenia prostego Pitagorasa na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Podsumowanie:
1.
Zdanie wypowiedziane A1: TP=>SK to twierdzenie proste Pitagorasa.
2.
Na mocy prawa Puchacza twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK wchodzi w skład operatora równoważności Pitagorasa TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.10.3 Zdanie W3: TP~~>~SK
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK = TP*~SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.9 i 16.9.1.
W punkcie 16.9.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1’
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK=TP*~SK=0
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: TP i ~SK
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': TP~~>~SK=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: TP=>SK=1, czyli twierdzenia prostego Pitagorasa A1: TP=>SK
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.10.4 Zdanie W4: ~TP~~>~SK
Zadanie W4:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~TP i ~SK np. [3,4,6]
W dowodzeniu zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> szukamy wspólnego elementu zbiorów ~TP i ~SK, co kończy dowód prawdziwości/fałszywości zdania W4
Nie badamy tu czy bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest konieczne ~> czy też wystarczające => do tego aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.9 i 16.9.1.
Badając punkt 16.9.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~TP~~>~SK jest częścią warunku wystarczającego => B2: ~TP=>~SK, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W4: ## Warunek wystarczający => B2:
W4:~TP~~>~SK=~TP*~SK=1 bo [3,4,6] ## B2:~TP=>~SK =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~TP~~>~SK jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2:~TP=>~SK wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.10.5 Zdanie W5: ~TP=>~SK
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W5.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W5.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.9 i 16.9.1.
W punkcie 16.9.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.
Jak widzimy:
W5=B2
Stąd mamy zdanie tożsame B2.
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK=1
W zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Na mocy prawa Słonia możemy zapisać:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest (=1) podzbiorem => zbioru trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek wystarczający ~TP=>~SK wchodzi w skład operatora równoważności Pitagorasa TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.10.6 Zdanie W6: ~TP~~>SK
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W6.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 16.9 i 16.9.1.
W punkcie 16.9.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’: ~TP~~>SK=0 (i odwrotnie)
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane B2': ~TP~~>SK=0 to kontrprzykład B2' dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~TP=>~SK=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora równoważności TP|<=>SK i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
16.11 Relacje zbiorów w definicji równoważności TP<=>SK
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Weźmy matematyczną definicję równoważności doskonale znaną wszystkim matematykom.
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego (A1: TP=>SK=1) i twierdzenia odwrotnego (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Matematyczna definicja równoważności TP<=>SK
Równoważność TP<=>SK to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest wystarczające => dla zajście SK (twierdzenie proste Pitagorasa)
B3: SK=>TP=1 - zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (twierdzenie odwrotne Pitagorasa)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście TP jest wystarczające => dla zajścia SK (A1) i jednocześnie zajście SK jest wystarczające => dla zajścia TP (B3)
Innymi słowy na mocy prawa Słonia mamy:
Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność w zbiorach TP<=>SK jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Zauważmy że prawa strona to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów TP=SK
Stąd mamy:
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1:p=>q)*(B3: q=>p)
Nasz przykład:
TP=SK <=> A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy kolejną, tożsamą definicję tożsamości zbiorów TP=SK.
Tożsama definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
Dowód bezpośredni wynikający z definicji podzbioru => i nadzbioru ~> to:
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego
cnd
| Kod: |
TR
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa
Gdzie w zbiorach zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
A1: TP=>SK=1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK=1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A: 1: TP=>SK=1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP=1 = 4:~SK=>~TP=1
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B: 1: TP~>SK=1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=>TP=1 = 4:~SK~>~TP=1
----------------------------------------------------------------
Spójnik równoważności <=>: | Spójnik równoważności <=>:
AB: 1: TP<=>SK = 2:~TP<=>~SK [=] 3: SK<=>TP = 4:~SK<=>~TP
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1: TP~>SK=1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = A1B1: TP<=>SK
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
Dwa zbiory ~TP i ~SK są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK (A2: ~TP~>~SK=1) i jednocześnie zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK (B2: ~TP=>~SK=1)
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK)= A2B2: ~TP<=>~SK
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów SK=TP:
Dwa zbiory SK i TP są tożsame SK=TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest nadzbiorem ~> zbioru TP (A3: SK~>TP=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: SK=>TP=1)
SK=TP <=> (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) = A3B3: SK<=>TP
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów ~SK=~TP:
Dwa zbiory ~SK i ~TP są tożsame ~SK=>~TP wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~SK jest podzbiorem => zbioru ~TP (A4: ~SK=>~TP=1) i jednocześnie zbiór ~SK jest nadzbiorem ~> zbioru ~TP (B4: ~SK~>~TP=1)
~SK=~TP <=> (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = A4B4: ~SK<=>~TP
Przemienność tożsamości zbiorów jest oczywista:
A1B1: TP=SK [=] A3B3: SK=TP
A2B2: ~TP=~SK [=] A4B4: ~SK=~TP
Stąd w dalszych rozważaniach wystarczy skupić się na zbiorach A1B1: TP=SK oraz A2B2: ~TP=~SK.
16.11.1 Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności TP<=>SK w zbiorach:
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK i jest tożsamy ze zbiorem SK
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów TP+SK bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia TP, ~TP, SK i ~SK będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DR
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK (z definicji)
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK (z definicji)
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = 1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy punkt odniesienia:
p= TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q= SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Czytamy:
Równoważność TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru SK
Stąd mamy:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach
--------------------------------------------------------------------------
| p=TP | ~p=~TP |
|---------------------------------|--------------------------------------|
| q=SK | ~q=~SK |
|---------------------------------|--------------------------------------|
|Równoważność A1B1: | Równoważność A2B2: |
|A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)| A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
|------------------------------------------------------------------------|
|definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q (TP=SK) | ~p=~q (~TP=~SK) |
-------------------------------------------------------------------------|
| A1: TP=>SK=1 (TP*SK=1) | B2:~TP=>~SK=1 (~TP*~SK=1) |
|------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: TP*SK+ B2:~TP*~SK - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: TP~~>~SK=TP*~SK=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~TP~~>SK =~TP*SK=[]=0 - zbiór pusty |
|------------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności TP<=>SK w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów TP=SK i ~TP=~SK |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (i odwrotnie)
2.
Równoważność TP<=>SK to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności TP<=>SK nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Komentarz:
Kolumna A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - zbiór TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem:
A1’: TP~~>~SK=TP*~SK =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów TP i ~SK (zbiory rozłączne)
Dowód: Diagram DR
Kolumna A2B2:
A2:~TP~>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~SK
B2:~TP=>~SK=1 - zbiór ~TP jest (=1) podzbiorem => zbioru ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)=1*1=1
Wnioski:
Równoważność ~TP<=>~SK definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Kontrprzykład dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem:
B2’:~TP~~>SK=~TP*SK=[]=0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~TP i SK (zbiory rozłączne)
Dowód: diagram DR
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] A2B2: ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: TP=>SK = A2: ~TP~>~SK
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
Plus definicja równoważności A2B2.
cnd
Stąd dla diagramu DR możemy zapisać:
| Kod: |
DMZR
Diagram matematycznych związków w równoważności dla zbiorów:
Równoważność TP<=>SK: [=] Równoważność ~TP<=>~SK
A1B1: | A2B2:
TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiująca tożsamość zbiorów | Definiująca tożsamość zbiorów:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej
Dziedzina D=ZWT (zbiór wszystkich trójkątów)
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
w obrębie tej samej dziedziny ZWT
|
Komentarz:
Dziedzina ZWT w równoważności to dwa zbiory niepuste i rozłączne:
TP=SK i ~TP=~SK uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D=ZWT (patrz diagram DR).
Stąd:
ZWT=TP+~TP =1
Zapis tożsamy:
ZWT=SK+~SK=1
bo zachodzi tożsamość zbiorów TP=SK wymuszająca tożsamość zbiorów ~TP=~SK
Na mocy powyższego zapisujemy:
~TP=[ZWT-TP]=[TP+~TP-TP]=~TP
~SK=[ZWT-SK]=[SK+~SK-SK]=~SK
Jak widzimy, od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Zachodzi oczywiście prawo podwójnego przeczenia:
TP = ~(~TP) - zbiór TP to zaprzeczenie zbioru ~TP w obrębie dziedziny D
SK = ~(~SK) - zbiór SK to zaprzeczenie zbioru ~SK w obrębie dziedziny D
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP to zaprzeczenie zbioru TP w obrębie dziedziny D
~SK=~(SK) - zbiór ~SK to zaprzeczenie zbioru SK w obrębie dziedziny D
Oczywistym jest, że z powodu tożsamości zbiorów TP=SK wymuszającej tożsamość zbiorów ~TP=~SK w powyższych zapisach można sobie „rzucać monetą”, czyli dowolnie zamieniać TP z SK albo ~TP z ~SK.
16.11.2 Równoważność dwukierunkowa TP<=>SK w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q dwukierunkowej:
Równoważność p<=>q jest dwukierunkowa wtedy i tylko wtedy gdy możliwa jest fizyczna zamiana przyczyny p ze skutkiem q.
Uwaga:
W logice matematycznej możliwa jest też równoważność jednokierunkowa o czym było w punkcie 6.6.3.
Przykładem równoważności dwukierunkowej jest równoważność Pitagorasa, gdzie prawdziwe fizycznie jest zarówno twierdzenie proste Pitagorasa (A1: TP=>SK) jak i twierdzenie odwrotne Pitagorasa (B3: SK=>TP)
A1:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka p sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku q.
Prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka p będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku q.
Oczywiście po zamianie p i q mamy twierdzenie odwrotne Pitagorasa.
B3:
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Innymi słowy:
Mając do dyspozycji dwa pudełka p i q:
p - pudełko z trójkątami prostokątnymi (TP)
q - pudełko z trójkątami ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
możemy losować kolejne trójkąty z pudełka q sprawdzając czy dokładnie ten sam trójkąt jest w pudełku p.
Prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa daje nam gwarancję matematyczną => iż każdy trójkąt z pudełka q będzie miał swój 100% odpowiednik w pudełku p.
Stąd mamy klasyczną definicję równoważności Pitagorasa:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK to spełnienie relacji podzbioru => w dwie strony:
A1: TP=>SK =1 - prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru TP=>SK
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
##
B3: SK=>TP =1 - prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa, zachodzi relacja podzbioru SK=>TP
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy prawdziwą równoważność Pitagorasa:
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 19:47, 13 Sie 2024, w całości zmieniany 18 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 17:28, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=>
Spis treści
17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=> 1
17.1 Definicja spójnika „albo”($) p$q zilustrowana przykładem M$K 4
17.1.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q) 9
17.1.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) 13
17.1.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach 14
17.2 Prawo Bobra 15
17.2.1 Prawo Bobra w świecie martwym 16
17.2.2 Odwrotne prawo Bobra w świecie martwym 20
17.3 Dowód fałszywości prawa Bobra w świecie żywym 21
17.3.1 O wyższości spójnika "lub"(+) nad spójnikiem "albo"($) w świecie żywym 22
17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=>
"$" - znaczek spójnika "albo" w algebrze Kubusia
Spójnik "albo"($) p$q to szczególny przypadek równoważności p<=>~q a nie szczególny przypadek spójnika "lub"(+), jak wielu, nawet matematyków uważa.
Dowód w niniejszym punkcie.
Spójnik "albo"($) to najtrudniejszy do zrozumienia spójnik implikacyjny, dlatego w niniejszym rozdziale prezentuję pełną jego definicję na przykładzie mężczyzny (M) i kobiety (K).
Brzytwa Ockhama - zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń.
W języku potocznym czasami zdarza się (rzadko), że człowiek wbrew brzytwie Ockhama, nadaje zaprzeczonemu pojęciu nazwę specjalną bez przeczenia.
Przykład:
człowiek: nie mężczyzna (~M) = człowiek: kobieta (K)
człowiek: nie kobieta (~K) = człowiek: mężczyzna (M)
Spójnik "albo"($) wielu ludziom sprawia kłopoty, wielu utożsamia go spójnikiem "lub"(+) co jest błędem czysto matematycznym.
Tymczasem spójnik "albo"($) to trywialny, szczególny przypadek równoważności <=> opisany poniższym równaniem.
Równanie spójnika "albo"($):
| Kod: |
T1
A: 1: p$q [=] 2: p<=>~q [=] 3: ~p<=>q ## 4: p<=>q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
## - różne na mocy definicji
|
Komentarz:
RA2: Y = (p<=>~q)= p*~q + ~p*q ## RA4: Y = (p<=>q) = p*q + ~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy mają różne prawe strony tzn. gdy opisują różne wyrażenia algebry Boole’a.
Jak widzimy, w tabeli T1 definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest spełniona.
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów (i odwrotnie)
Potoczna definicja spójnika "albo"($):
Spójnik "albo" to wybór jednej z dwóch dostępnych możliwości.
Trzeciej możliwości brak.
p$q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy do wyboru są wyłącznie dwie możliwości p albo q
inaczej:
p$q=0
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
| Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: p$q=1 [=] 2: p<=>~q=1 [=] 3: ~p<=>q=1
Równoważność RA2: p<=>~q definiuje | Równoważność RA3:~p<=>q definiuje
tożsamość zbiorów: | tożsamość zbiorów:
B: 2: (p=~q)=1 # 3: (~p=q)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Sens spójnika "albo"($) najłatwiej zrozumieć na konkretnym przykładzie w zbiorach.
Przykładem na którym łatwo pokazać o co chodzi w spójniku "albo"($) jest zbiór wszystkich ludzi.
Oznaczmy:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet
Matematycznie zachodzi w zbiorach:
C = M+K
Mamy dwa zbiory niepuste M i K uzupełniające się wzajemnie do dziedziny C
Stąd:
~M = [C-M] = [M+K-M]=K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy:
~M (nie mężczyzna) = K (kobieta)
~K (nie kobieta) = M (mężczyzna)
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
| Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: M$K=1 [=] 2: M<=>~K=1 [=] 3: ~M<=>K=1 ## 4: M<=>K=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość zbiorów w równoważności 2 i 3:
B: 2: (M=~K)=1 # 3: (~M=K)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Czytamy:
A1.
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) "albo"($) albo kobietą (K=1)
M$K =1
[=]
A2.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K =1
[=]
A3.
Człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
~M<=>K =1
##
A4.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
M<=>K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M=1) i kobietą (K=1)
Na mocy prawa Irbisa w A4 zachodzi:
Mężczyzna (M) ## Kobieta (K)
M ## K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Pojęcie mężczyzna (M) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia kobieta (K)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa środek (B2 i B3) czytamy:
B2.
Pojęcie "mężczyzna" (M=1) jest (=1) tożsame "=" z pojęciem "nie kobieta" (~K=1)
(M=~K) =1
#
B3.
Pojęcie "nie mężczyzna" (~M) jest (=1) tożsame z pojęciem "kobieta" (K=1)
(~M=K) =1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Matematycznie zachodzi:
B2: (M=~K) # B3: (~M=K)
B2:
Zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie # zbioru kobiet (K) we wspólnej dziedzinie C (człowiek)
(M=~K)
#
B3:
Zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie # zbioru mężczyzn (M) we wspólnej dziedzinie C ( człowiek)
(K=~M)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
17.1 Definicja spójnika „albo”($) p$q zilustrowana przykładem M$K
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo K) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M (M) do zanegowanego K (~K)
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> i prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3:~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0 4: K~~>M=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K=1 [=] 3:~K=>M=1 = 4: K~>~M=1 [=] 5: M+ K =1
B': 2:~M~~>~K=0 3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3:~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zbiorów (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyjaśnienia dla tabeli prawdy TA.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach dla spójnika "albo"($):
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1
(i odwrotnie)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q =~p+q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
A1: p=>~q = ~p+~q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
B1: p~>~q = p+~(~q) = p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($) p$q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja spójnika "albo"($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =(~p+~q)*(p+q)= ~p*p+ ~p*q+ ~q*~p+ ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
Definicja spójnika "albo"($) wyrażona spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
p$q = p*~q+~p*q
W tabeli TA na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~>, jak i wystarczającego => w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Czytamy:
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom (w tym matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
[=]
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = A2B2: ~p<=>q
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
plus definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Dowód tożsamy to skorzystanie z definicji spójnika "albo"($) p$q w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p$q [=] A2B2: ~p$~q
Definicja spójnika "albo" p$q:
p$q = p*~q + ~p*q
Rozwijamy prawą stronę (A2B2) tożsamości logicznej [=] powyższą definicją:
A2B2: ~p$~q = (~p*)~(~q) + ~(~p)*(~q) = ~p*q + p*~q = p*~q + ~p*q = A1B1: p$q
cnd
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
W tabeli prawdy TA spójnika "albo"($) doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=~q:
A1B1:
Dwa zbiory/zdarzenia p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q
W "albo"($) A1B1: p$q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Nasz przykład:
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K = A1B1: M$K
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=q:
A2B2:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q = A2B2: ~p$~q
W "albo"($) A2B2: ~p$~q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K = A2B2: ~M$~K
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń ~q=p:
A3B3.
Dwa zbiory/zdarzenia ~q i p są tożsame ~q=p wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~q jest konieczne ~> (A3) i wystarczające => (B3) dla zajścia p.
A3B3: ~q=p <=> (A3: ~q~>p)*(B3: ~q=>p) = A3B3: ~q<=>p = A3B3: ~q$~p
W "albo"($) A3B3: ~q$~p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q?
Nasz przykład:
A3B3: ~K=M <=> (A3: ~K~>M)*(B3: ~K=>M) = A3B3: ~K<=>M = A3B3: ~K$~M
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń q=~p:
A4B4:
Dwa zbiry/zdarzenia q i ~p są tożsame q=~p wtedy i tylko wtedy gdy zajście q jest konieczne ~> (B4) i wystarczające => A4) dla zajścia ~p
A4B4: q=~p <=> (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = A4B4: q<=>~p = A4B4: q$p
W "albo"($) A4B4: q$p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q?
Nasz przykład:
A4B4: K=~M <=> (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M) = A4B4: K<=>~M = A4B4: K$M
Przemienność w tożsamości zbiorów jest oczywista:
Stąd mamy tożsamość [=]:
A1B1: p=~q [=] A3B3: ~q=p
Nasz przykład:
Zbiór mężczyzn (M) jest tożsamy [=] z zanegowanym zbiorem kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
A1B1: M=~K [=] A3B3: ~K=M
#
oraz tożsamość [=]:
A2B2: ~p=q [=] A4B4: q=~p
Nasz przykład:
Zanegowany zbiór mężczyzn (~M) jest tożsamy [=] ze zbiorem kobiet (K) w dziedzinie C (człowiek)
A2B2: ~M=K [=] A4B4: K=~M
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony we wspólnej dziedzinie D
17.1.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q)
Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3:~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0 4: K~~>M=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K=1 [=] 3:~K=>M=1 = 4: K~>~M=1 [=] 5: M+ K =1
B': 2:~M~~>~K=0 3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3:~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)
Definicja spójnika „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) p$q (kolumna A1B1) jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo”(|$) p|$q i odwrotnie.
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy bycie p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla bycia ~q
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Lewą stronę czytamy:
A1B1: M$K - dowolny człowiek jest mężczyzną M „albo”($) kobietą K (trzeciej możliwości brak)
Środek A1B1 czytamy:
(A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Prawą stronę czytamy:
A1B1: M<=>~K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów p=~q:
Dwa zbiory p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy bycie p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla bycia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Tożsamość A1B1 czytamy:
A1B1: M=~K
Zbiór mężczyzn (M=1) = zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
Innymi słowy:
Mężczyzna (M) to nie kobieta (~K), i odwrotnie
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Nasz przykład:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K=1
Bycie mężczyzną M (M=1) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Nasz przykład:
A1'.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = A2B: ~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy bycie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia q
Nasz przykład:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = A2B2: ~M<=>K
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~M$~K
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) „albo”($) nie jest kobietą (~K)
Zachodzą tożsamości:
~M=K
~K=M
Stąd mamy zdanie tożsame zrozumiałe dla każdego 5-cio latka:
A2B2”: K$M
Dowolny człowiek jest kobietą (K) „albo”($) mężczyzną (M) (trzeciej możliwości brak)
Środek czytamy:
(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem koniecznym ~> (A2) i wystarczającym => (B2) by być kobietą (K)
Prawą stronę czytamy:
A2B2: ~M<=>K
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zdarzeń ~p=q:
Dwa zbiory/zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q
Nasz przykład:
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~M=K
~M (nie mężczyzna) = K (kobieta)
Innymi słowy:
Zbiór ~M (nie mężczyzn) = zbiór K (kobiet)
Prawą stronę czytamy:
A2B2: ~M<=>K
Człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
Innymi słowy:
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M) to jest kobietą (K), i odwrotnie
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Nasz przykład:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście: ~p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Nasz przykład:
B2'.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie nie jest kobietą (~K=1)
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Nie kobieta (~K)= Mężczyzna (M)
~K=M
Stąd mamy:
B2': ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =0
Czytamy:
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie jest mężczyzną (M=1)
cnd
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) p$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo”(|$) p|$q (A1’, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
17.1.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy definicję operatora "albo"(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
17.1.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach
Rozważmy zdanie:
A1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Zdanie tożsame:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
(trzeciej możliwości brak)
M$K= (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1 ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą (~K)
Stąd mamy:
Potoczna definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Środek czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Definicja równoważności M<=>~K znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K) oraz zbiory M i K uzupełniają się wzajemnie do wspólnej dziedziny C (człowiek)
Zapis matematyczny tego faktu to:
C=M+K
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) M$K do diagramu ogólnego spójnika „albo”($).
| Kod: |
DA
Diagram „albo”($) M$K w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|Operator „albo” p|$q definiuje układ równań logicznych A1B1 i A2B2 |
| A1B1: p$ q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p=~q |
| A2B2:~p$~q = (A2:~p~> q)*(B2:~p=> q) = A2B2:~p<=> q = A2B2:~p= q |
| Punkt odniesienia: |
| p=M (mężczyzna) |
| q=K (kobieta) |
----------------------------------------------------------------------
| p=M # ~p=~M |
|-------------------------------|------------------------------------|
| ~q=~K # q=K |
|-------------------------------|------------------------------------|
|Równoważność: | Równoważność: |
|A1B1: p<=>~q - zapis formalny [=] A2B2: ~p<=>q - zapis formalny |
|A1B1: M<=>~K - zapis aktualny [=] A2B2: ~M<=>K - zapis aktualny |
|definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów: |
|A1B1: p=~q - zapis formalny # A2B2: ~p=q - zapis formalny |
|A1B1: M=~K - zapis aktualny # A2B2: ~M=K - zapis aktualny |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych M*~K i ~M*K: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: M*~K+ B2:~M*K (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1’: M~~>K = M* K=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~M~~>~K=~M*~K=[]=0 - zbiór pusty |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
17.2 Prawo Bobra
Weźmy nasz koronny przykład spójnika "albo"($):
Oznaczmy:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet
Matematycznie zachodzi w zbiorach:
C = M+K
Mamy dwa zbiory niepuste M i K uzupełniające się wzajemnie do dziedziny C
Stąd:
~M = [C-M] = [M+K-M]=K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
| Kod: |
T1
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: M$K=1 [=] 2: M<=>~K=1 [=] 3: ~M<=>K=1
Równoważność RA2: M<=>~K definiuje | Równoważność RA3:~M<=>K definiuje
tożsamość zbiorów: | tożsamość zbiorów:
B: 2: (M=~K)=1 # 3: (~M=K)=1
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
17.2.1 Prawo Bobra w świecie martwym
Definicja "wolnej woli":
"Wolna wola" to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez fizykę i matematykę)
Definicja świat martwego:
Świat martwy to brak możliwości ustawiania zmiennych binarnych wedle "widzi mi się" istoty żywej.
Wolna wola z definicji obowiązuje wyłącznie w świecie istot żywych (w tym u człowieka)
Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.
Uzasadnienie:
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) - pkt. 17.1:
Y = p$q = B: p*~q + C: ~p*q
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach/zbiorach rozłącznych - pkt. 1.11:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zauważmy że:
W spełnionym spójniku "albo"($) pojęcia p i q (np. M i K) są z definicji rozłączne, stąd:
A: p*q =0 - niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Stąd dla spójnika "albo"($) mamy:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q := B: p*~q + C: ~p*q = p$q
bo:
A: p*q=0 - zbiory p i q są rozłączne
gdzie:
(:=) - redukcja spójnika "lub"(+) z powodu rozłączności zbiorów p i q (A: p*q=0) na mocy prawa algebry Boole'a:
0+x =x
Gdzie:
x - dowolna funkcja logiczna
Przykład wzorcowego użycia spójnia "albo"($):
A1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) "albo"($) kobietą (K)
Y = M$K = B: M*~K + C: ~M*K - na mocy definicji spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Trzeciej możliwości brak.
Praktycznie każdy człowiek w miejsce wzorcowego spójnika "albo"($) użyje tu spójnika "lub"(+).
A1".
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) "lub"(+) kobietą (K).
Y=M+K = A: M*K + B: M*~K + C: ~M*K := B: M*~K + C: ~M*K
bo:
M*K =0
Niemożliwe jest (=0) by człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Gdzie:
:= - redukcja funkcji Y na mocy teorii zbiorów: zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
Podsumowanie:
Prawo Bobra jest poprawne dzięki temu, że nasz mózg to nie komputer i na mocy konkretnego przykładu jeśli pojęcia p i q będą rozłączne (np. M i K), co każdy 5-cio latek łatwo stwierdzi, jest mu wszystko jedno czy nadawca użyje w tym przypadku wzorcowego spójnika "albo"($), czy też mniej precyzyjnego spójnika "lub"(+). Mózg człowieka dokona korekty do spójnika "albo"($) automatycznie na wyższym poziomie obsługi logiki matematycznej.
Za użyciem w świecie martwym spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($) przemawia wiele racjonalnych argumentów.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Najważniejszy argument to:
Wyłącznie spójnik "lub"(+) podlega pod algebrę Boole'a która z definicji nie widzi spójnika "albo"($), będącego w istocie szczególnym przypadkiem równoważności:
p$q = p<=>~q = ~p<=>q
Przykładem z dziedziny fizyki, gdzie mamy prawo w miejsce spójnika "albo"($) użyć spójnika "lub"(+).
Rozważmy żarówkę w naszym pokoju:
| Kod: |
S
-----------
-----| Żarówka |-------
-----------
|
Doskonale widać że:
1.
Żarówka może się świecić (S=1) „albo”($) być zgaszona (Z=1)
S$Z =1
Trzeciej możliwości brak.
Zastąpmy w powyższym zdaniu matematycznie poprawny tu spójnik "albo"($) spójnikiem "lub"(+)
1".
Żarówka może się świecić (S=1) "lub"(+) być zgaszona (Z=1)
S+Z =?
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych (pkt. 1.11):
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Skorzystajmy z tej definicji dla zdania 1":
Y = (S+Z) = A: S*Z + B: S*~Z + C: ~S*Z
Zauważmy, że zdarzenie A jest twardym fałszem:
A: S*Z =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie żarówka świeci się (S) i jednocześnie jest zgaszona (Z)
Stąd mamy:
Y = (S+Z) = A: S*Z=0 + B: S*~Z + C: ~S*Z =: B: S*~Z + C: ~S*Z = S$Z
Gdzie:
=: - redukcja spójnika "lub"(+) do spójnika "albo"($) na mocy rozłączności zdarzeń S (świeci) i Z (zgaszona), bo prawo algebry Boole'a:
0+x =x
Gdzie:
x - dowolna funkcja logiczna
Oczywistym jest, że każdy 5-cio latek wie, że żarówka nie może się (=0) jednocześnie świecić (S=1) i być zgaszoną (Z=1)
A: S*Z =0
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Z (zgaszona) = ~S (nie świeci)
Stąd mamy:
A: S*Z = S*~S=0 - na mocy prawa algebry Boole'a (p*~p=0)
cnd
Dokładnie z tego powodu zdecydowana większość ludzi użyje w tym przypadku spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($).
Humaniści doskonale wiedzą, iż w świecie martwym użycie spójnika "lub"(+) w miejsce spójnika "albo"($) nigdy nie będzie błędem.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
Użycie spójnika lub w zdaniach takich, jak „Przeżyję lub umrę”, nie jest błędem. Można się jedynie spierać o to, czy nie trafniej, dobitniej, wyraziściej itd. byłoby użyć w nim synonimicznego albo.
Mirosław Bańko
W wyróżnionym zdaniu użycie spójnika "lub"(+) jest poprawne bo wszyscy wiemy, że nie można być jednocześnie żywym i martwym.
Dowód:
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych (pkt. 1.11):
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zdanie z cytatu:
PU:
Przeżyję lub(+) umrę
Y = P+U = A: P*U + B: P*~U + C: ~P*U
Zdania składowe (funkcje cząstkowe Ya, Yb i Yc) czytamy:
A:
Ya = P*U=[]=1*1 =0
Zapis tożsamy:
Ya=0 <=> P=1 i U=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że możliwe jest zdarzenie (Ya): przeżyję (P=1) i umrę (U=1)
(Ya=0) <=> P=1 i U=1
Prawo Prosiaczka:
(Ya=0)=(~Ya=1)
Stąd mamy zapis tożsamy:
(~Ya=1) <=> P=1 i U=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest możliwe zdarzenie (~Ya): przeżyję (P=1) i umrę (U=1)
B:
Yb = P*~U=1*1=1
Zapis tożsamy:
Yb=1 <=> P=1 i ~U=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że możliwe jest zdarzenie (Yb): przeżyję (P=1) i nie umrę (~U=1)
C:
Yc = ~P*U =1*1=1
Zapis tożsamy:
Yc=1 <=> ~P=1 i U=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że możliwe jest zdarzenie (Yc): nie przeżyję (~P=1) i umrę (U=1)
Stąd mamy:
PU:
Przeżyję lub(+) umrę
Y = P+U = A: P*U + B: P*~U + C: ~P*U := B: P*~U + C: ~P*U = P$U
bo:
A: P*U =0
prawo algebry Boole’a:
0+x =x
Gdzie:
:= - podświadoma redukcja spójnika „lub”(+) do spójnika „albo”($) na wyższym poziomie obsługi w naszym mózgu
Stąd zdanie matematycznie wzorcowe po redukcji:
PU$:
Przeżyję albo($) umrę
P$U = B: P*~U + C: ~P*U
17.2.2 Odwrotne prawo Bobra w świecie martwym
Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.
Stąd mamy:
Odwrotne prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "lub"(+) możemy użyć spójnika "albo"($).
Odwrotne prawo Bobra jest fałszywe, bo poniższy kontrprzykład.
Sformułujmy kontrprzykład, gdzie w świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) prawo Bobra w odwrotną stronę, czyli od spójnika „lub”(+) do spójnika „albo”($) nie zachodzi (jest fałszywe).
Rozważmy schemat elektryczny.
| Kod: |
S2 Schemat 2
q
______
----o 0-----
S | p |
------------- | ______ |
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Pan od fizyki w I klasie LO:
Jasiu, powiedz nam kiedy żarówka będzie się świecić?
Jaś:
Żarówka S będzie się świecić wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przyciska p lub wciśnięty jest przycisk q
Y = p+q =1
Innymi słowy:
Wystarczy, że którykolwiek z przycisków będzie wciśnięty i już żarówka świeci się.
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Zauważmy, że w tym przypadku nie wolno nam w miejsce spójnika "lub"(+) użyć spójnika "albo"($), bo żarówka będzie się świecić także przy wciśniętych obu przyciskach p i q.
A: p*q =1 - żarówka świeci się
Stąd zabroniona jest jakakolwiek redukcja równania:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Podany kontrprzykład obala odwrotne prawo Bobra, jest fałszywe.
cnd
17.3 Dowód fałszywości prawa Bobra w świecie żywym
Prawo Bobra:
W świecie martwym (w tym w matematyce i fizyce) zawsze w miejsce spójnika "albo"($) możemy użyć spójnika "lub"(+).
Odwrotnie nie zachodzi.
Definicja świata żywego:
Świat żywy to świat, gdzie o prawdziwości/fałszywości zmiennej binarnej x decyduje "wolna wola" człowieka.
Pani w przedszkolu A wypowiada zdanie:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) inie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Pani w przedszkolu B wypowiada zdanie:
B1.
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru
Y = K$T = B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Podsumowując:
Zauważmy, że w świecie żywym pani w przedszkolanka z przedszkola B nie może w miejsce spójnika "albo"($) użyć spójnika "lub"(+) bo możliwe jest zdarzenie A, o czym każdy 5-cio latek wie.
A: K*T=1*1=1 - jutro możemy pójść do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Wniosek:
Prawo Bobra w świecie żywym jest w 100% fałszywe.
cnd
17.3.1 O wyższości spójnika "lub"(+) nad spójnikiem "albo"($) w świecie żywym
Pani w przedszkolu nr.1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
Y = K+T = A: K*T + B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Pani w przedszkolu nr.2 wypowiada zdanie:
B1.
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru
Y = K$T = B: K*~T + C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Podsumowanie:
Zauważmy, że pani przedszkolanka z przedszkola nr.1 złożyła obietnicę rozsądniejszą od pani przedszkolanki z przedszkola nr.2
Dlaczego?
Obietnica pani przedszkolanki z przedszkola nr.1 (A+B+C) zawiera w sobie obietnicę pani przedszkolanki z przedszkola nr.2 (B+C).
Innymi słowy:
Pani przedszkolanka z przedszkola nr. 1 ma mniejsze szanse zostania w dniu jutrzejszym kłamczuchą, bo dodatkowo może iść z dziećmi do kina i do teatru, czego nie wolno pani z przedszkola nr. 2 (bo będzie kłamczuchą).
Zauważmy, ze nawet gdy w chwili wypowiadania obietnicy pani przedszkolanka wyklucza pójście w dniu jutrzejszym do kina i do teatru, to i tak korzystniej dla niej będzie użycie spójnika "lub"(+), bowiem mamy tu mniejsze prawdopodobieństwo kłamstwa w dniu jutrzejszym.
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:45, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 17:31, 01 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
17.4 Algorytm Puchacza w spójniku "albo"($) M$K
Spis treści
17.4 Algorytm Puchacza dla potrzeb spójnika "albo"($) w zbiorach 1
17.5 Sztandarowy przykład spójnika "albo"($) M$K 4
17.5.1 Operator "albo"(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K) 13
17.6 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza 18
17.6.1 Zadanie W1: M~~>~K 18
17.6.2 Zdanie W2: M=>~K 19
17.6.3 Zdanie W3: M~~>K 19
17.6.4 Zdanie W4: ~M~~>K 20
17.6.5 Zdanie W5: ~M=>K 21
17.6.6 Zdanie W6: ~M~~>~K 22
17.4 Algorytm Puchacza dla potrzeb spójnika "albo"($) w zbiorach
Algorytm Puchacza dla potrzeb spójnika "albo"($) jest identyczny jak dla każdego innego spójnika implikacyjnego z tym, że wymaga ciut specyficznego podejścia (logicznego myślenia) o czym będzie w punkcie 17.5.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
17.5 Sztandarowy przykład spójnika "albo"($) M$K
Typowe zadania z logiki matematycznej brzmi.
Zadanie W:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane:
W.
Jeśli człowiek jest mężczyzną to może być kobietą
Badamy spełnienie warunku stosowalności prawa Puchacza (punkty 1,2,3):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
Nasz przykład:
Przyjmujemy wspólną dziedzinę dla p i q
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Kompletna dziedzina C to suma logiczna zbioru mężczyzn (M) i kobiet (K)
Stąd mamy:
C = M+K
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
W algebrze Kubusia zbiory/zdarzenia mają wartości logiczne (pkt. 12.0):
p=[x]=1 - zbiór niepusty, zawierający pojęcia zrozumiałe dla człowieka
p=[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Obliczamy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów:
a) M - zbiór mężczyzn
b) K - zbiór kobiet
c) ~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
d) ~K=[C-K]=[(M+K]-M]=M
Czytamy:
a)
M=1 - niepusty zbiór mężczyzn, stąd jego wartość logiczna to 1
b)
K=1 - niepusty zbiór kobiet, stąd jego wartość logiczna to 1
c)
Zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (M) w dziedzinie C
K=~M =1 - zbiór niepusty, stąd jego wartość logiczna to 1
d)
Zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (K) w dziedzinie C
M=~K =1 - zbiór niepusty, stąd jego wartość logiczna to 1
Wniosek:
Nasze zdanie W spełnia warunek stosowalności algorytmu Puchacza.
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
Zapiszmy jeszcze raz nasze zdanie W:
W.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
M~~>K = M*K =0
Niemożliwe jest (=0), aby dowolny człowiek był jednocześnie (*) mężczyzną (M) i kobietą (K)
… o czym każdy 5-cio latek wie.
cnd
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość zdania W kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> M i K wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie)
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K=1
To samo w zapisach ogólnych:
p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => dla nie bycia kobietą (~K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
Dowód:
C=M+K
~K=[C-K]=[(M+K)-K]=M
~K=M
Stąd:
M=>~K = M=>M=1
Na mocy definicji podzbioru => każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia (pkt. 2.3.2):
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q
Dla naszego przykładu mamy:
p=>~q = ~p+~(~q) = ~p+~q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 determinuje fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie).
A1'
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
M~~>K = M*K =0
To samo w zapisach ogólnych:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0), aby dowolny człowiek był jednocześnie (*) mężczyzną (M) i kobietą (K)
Dowód:
M=~K - dowód wyżej
Stąd:
M~~>K = M*K = ~K*K =[] =0
cnd
W tym momencie nasza tabela T0 matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> wygląda następująco.
| Kod: |
TA1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3:~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0 4: K~~>M=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
1.
Zauważmy, że w B1 musieliśmy formalnie zapisać:
B1: p~>~q
bowiem w zapisie formalnym poprzednik i następnik w B1 musi być identyczny jak w A1.
Pociąga to za sobą poprawne, formalne zapisy w liniach Bx i Bx'
2.
Wyjaśnienie dotyczące zapisów formalnych w kolumnie 5:
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Stąd dla kolumny A5 mamy:
A5.
A1: p=>~q = ~p+~q
cnd
Stąd dla kolumny B5 mamy:
B2: ~p=>q = ~(~p)+q = p+q
cnd
3.
Aby udowodnić z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B2 bowiem warunek wystarczający => zawsze dowodzi się najprościej:
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => dla bycia kobietą (K) bo zbiór ~M jest podzbiorem => zbioru K
Dowód:
C=M+K
~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
~M=K
stąd mamy:
~M=>K = K=>K =1
Każdy zbiór (np. K) jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Prawdziwy warunek wystarczający B2 determinuje fałszywy kontrprzykład B2' (i odwrotnie).
B2'
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może ~~> nie być kobietą (~K)
~M~~>~K = ~M*~K =0
Bo zbiory ~M i ~K są rozłączne.
Dowód:
~M=K - dowód wyżej
Stąd:
B2': ~M~~>~K = ~M*~K = K*~K =[] =0
cnd
Stąd łatwo zapisujemy.
Równanie spójnika "albo"($) (pkt. 17.0):
| Kod: |
A: 1: p$q [=] 2: p<=>~q [=] 3: ~p<=>q ## 4: p<=>q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
## - różne na mocy definicji
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów (i odwrotnie)
Potoczna definicja spójnika "albo"($):
Spójnik "albo" to wybór jednej z dwóch dostępnych możliwości.
Trzeciej możliwości brak.
p$q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy do wyboru są wyłącznie dwie możliwości p albo q
inaczej:
p$q=0
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
| Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: p$q=1 [=] 2: p<=>~q=1 [=] 3: ~p<=>q=1 ## 4: p<=>q=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość mamy zbiorów w równoważności 2 i 3:
B: 2: (p=~q)=1 # 3: (~p=q)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Sens spójnika "albo"($) najłatwiej zrozumieć na konkretnym przykładzie w zbiorach.
Przykładem na którym łatwo pokazać o co chodzi w spójniku "albo"($) jest zbiór wszystkich ludzi.
Oznaczmy:
C (człowiek) zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet
Matematycznie zachodzi w zbiorach:
C = M+K
Mamy dwa zbiory niepuste M i K uzupełniające się wzajemnie do dziedziny C
Stąd:
~M = [C-M] = [M+K-M]=K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy:
człowiek: nie mężczyzna (~M) = człowiek: kobieta (K)
człowiek: nie kobieta (~K) = człowiek: mężczyzna (M)
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
| Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: M$K=1 [=] 2: M<=>~K=1 [=] 3: ~M<=>K=1 ## 4: M<=>K=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość zbiorów w równoważności 2 i 3:
B: 2: (M=~K)=1 # 3: (~M=K)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Czytamy:
A1.
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) "albo"($) albo kobietą (K=1)
Trzeciej możliwości brak.
M$K =1
[=]
A2.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K =1
[=]
A3.
Człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
~M<=>K =1
##
A4.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
M<=>K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M=1) i kobietą (K=1)
Na mocy prawa Irbisa w A4 zachodzi:
Mężczyzna (M) ## Kobieta (K)
M ## K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Pojęcie mężczyzna (M) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia kobieta (K)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa środek (B2 i B3) czytamy:
B2.
Pojęcie "mężczyzna" (M=1) jest (=1) tożsame "=" z pojęciem "nie kobieta" (~K=1)
(M=~K) =1
#
B3.
Pojęcie "nie mężczyzna" (~M) jest (=1) tożsame z pojęciem "kobieta" (K=1)
(~M=K) =1
Matematycznie zachodzi:
B2: (M=~K) # B3: (~M=K)
B2:
Zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie # zbioru kobiet (K) we wspólnej dziedzinie C (człowiek)
B3:
Zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie # zbioru mężczyzn (M) we wspólnej dziedzinie C ( człowiek)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo Słonia dla zbiorów (pkt 2.8.1):
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
A1: p=>q = ~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
W logice matematycznej zwykle operujemy warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Przejdźmy na ten standard korzystając z tożsamości pojęć (na mocy prawa Słonia):
Relacja podzbioru => = Warunek wystarczający =>
Relacja nadzbioru ~> = warunek konieczny ~>
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawa strona spójnika "albo"($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, by zaszło ~q
Do zajścia ~q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 12 100
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 11 900
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 3 850
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo z) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M (M) do zanegowanego K (~K)
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla nie bycia kobietą (~K)
Prawa strona spójnika "albo"($) to definicja równoważności M<=>~K
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) warunkiem konieczny ~> (B1) i wystarczającym => (A1) by nie być kobietą (~K)
Do tego by nie być kobietą (K) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by być mężczyzną (M)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> i prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Prawa strona to definicja równoważności p<=>~q, stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=A1B1: p<=>~q
Punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
To samo w zapisach aktualnych (przykład):
A1: M=>~K=1 - bycie mężczyzną (M) wystarcza => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> by nie być kobietą (~K)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawa strona to definicja równoważności M<=>~K, stąd:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3:~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0 4: K~~>M=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K=1 [=] 3:~K=>M=1 = 4: K~>~M=1 [=] 5: M+ K =1
B': 2:~M~~>~K=0 3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3:~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)
Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) p$q jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo”(|$) p|$q o definicji jak niżej.
17.5.1 Operator "albo"(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K)
Porada Sokoła:
Jeśli rozpatrujemy logikę matematyczną w teorii zbiorów to w tym momencie powinniśmy narysować diagram w zbiorach dla rozpatrywanego przypadku.
Uzasadnienie:
Jeśli skorzystamy w porady Sokoła to w analizie operatora implikacyjnego przez wszystkie możliwe przeczenia p i q nie będziemy musieli wypisywać dużej liczbę wzorków (niekoniecznie zrozumiałych dla ucznia I klasy LO) dla uzasadnienia prawdziwości/fałszywości każdego zdania "Jeśli p to q".
Innymi słowy:
Jeśli narysujemy diagram w zbiorach to wszystko będzie łatwo zrozumiałe dla ucznia I klasy LO.
| Kod: |
DA
Diagram „albo”($) M$K w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|Operator „albo” p|$q definiuje układ równań logicznych A1B1 i A2B2 |
| A1B1: p$ q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p=~q |
| A2B2:~p$~q = (A2:~p~> q)*(B2:~p=> q) = A2B2:~p<=> q = A2B2:~p= q |
| Punkt odniesienia: |
| p=M (mężczyzna) |
| q=K (kobieta) |
----------------------------------------------------------------------
| p=M # ~p=~M |
|-------------------------------|------------------------------------|
| ~q=~K # q=K |
|-------------------------------|------------------------------------|
|Równoważność: | Równoważność: |
|A1B1: p<=>~q - zapis formalny [=] A2B2: ~p<=>q - zapis formalny |
|A1B1: M<=>~K - zapis aktualny [=] A2B2: ~M<=>K - zapis aktualny |
|definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów: |
|A1B1: p=~q - zapis formalny # A2B2: ~p=q - zapis formalny |
|A1B1: M=~K - zapis aktualny # A2B2: ~M=K - zapis aktualny |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych M*~K i ~M*K: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: M*~K+ B2:~M*K (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1’: M~~>K = M* K=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~M~~>~K=~M*~K=[]=0 - zbiór pusty |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora „albo”(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K):
Operator „albo”(|$) M|$K w logice dodatniej (bo K) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o mężczyznę M (kolumna A1B1) i nie mężczyznę ~M (kolumna A2B2)
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=M<=>~K - co się stanie jeśli ze zbioru C wylosujemy M?
A2B2: ~M$~K= (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)=~M<=>K - co się stanie jeśli ze zbioru C wylosujemy ~M?
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy mężczyznę M?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K)
Stąd:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K - co się stanie jeśli z C wylosujemy M?
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Lewą stronę czytamy:
A1B1: M$K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Trzeciej możliwości brak
Środek czytamy:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Prawą stronę czytamy:
A1B1: M<=>~K
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q determinuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zbiorów M=~K:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory M i ~K są tożsame M=~K wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Tożsamość A1B1 czytamy:
Zbiór mężczyzn (M) = zanegowany zbiór kobiet (~K) we wspólnej dziedzinie C (człowiek)
A1B1: M=~K
Dowód: Diagram DA wyżej.
A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy mężczyznę M?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
A1: M=>~K=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
Bycie mężczyzną (M) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% =>
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Bycie mężczyzną M jest wystarczające => by nie być kobietą (~K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów:
M = ~K - patrz diagram DA
cnd
Dowód "na piechotę" w matematycznych wzorkach:
C=M+K - wspólna dziedzina C (człowiek) to suma logiczna (+) zbiorów M (mężczyzna) i K (kobieta)
Stąd:
~K=[C-K]=[(M+K)-K]=M
~K=M - zbiór mężczyzn (M) jest tożsamy ze zbiorem ludzi nie będących kobietami (~K)
Stąd mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1
Na mocy definicji podzbioru => każdy zbiór (M) jest podzbiorem => siebie samego (M)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
A1': M~~>K=M*K=[]=0
To samo w zapisie formalnym:
A1': p~~>q =p*q=0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Dowód "nie wprost":
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1: M=>~K wynika fałszywość kontrprzykładu A1': M~~>K=M*K=0 (i odwrotnie)
Nic a nic nie musimy więcej udowadniać, co nie oznacza że nie możemy tego faktu udowodnić w sposób bezpośredni.
Dowód bezpośredni rozłączności zbiorów M i K - patrz diagram DA
Dowód w matematycznych wzorkach:
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd mamy:
M~~>K = M*K = ~K*K =[] =0
cnd
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~M~>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> by być kobietą (K)
B2: ~M=>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M) jest wystarczające => by być kobietą (K)
Stąd:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = A2B2:~M<=>K
To samo w zapisie formalnym:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = A2B2: ~p<=>q
Lewą stronę czytamy:
A2B2: ~M$~K
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) „albo”($) nie jest kobietą (~K)
Łącznie z środkiem czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~M$~K w logice ujemnej (bo ~K) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)
Prawa strona to definicja równoważności ~M<=>K:
A2B2: ~M<=>K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K)
Całość czytamy:
Równoważność A2B2: ~M<=>K jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~M=K:
Dwa zbiory ~M i K są tożsame ~M=K wtedy i tylko wtedy gdy nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla bycia kobietą (K)
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K
To samo w zapisie formalnym:
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q
Tożsamość A2B2 czytamy:
A2B2: ~M=K
~M (nie mężczyzna) = K (kobieta)
Innymi słowy:
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K), i odwrotnie
Dowód bezpośredni tożsamości zbiorów A2B2: ~M=K - patrz diagram DA
A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) wylosujemy nie mężczyznę (~M)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>q =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Nie bycie mężczyzną (~M) daje nam gwarancję matematyczną => bycia kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na 100% => = warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór nie mężczyzna (~M) jest podzbiorem => zbioru kobiet (K)
W diagramie DA widzimy tożsamość zbiorów:
~M=K
Na mocy definicji podzbioru każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Dowód tego samego w matematycznych wzorkach:
C = M+K - dziecina C (człowiek) to suma logiczna zbiorów M(mężczyzn) i K(kobiet)
Stąd mamy:
~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
~M=K
Stąd mamy:
~M=>K = K=>K =1
bo każdy zbiór (K) jest podzbiorem => siebie samego (K)
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2'.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
To samo w zapisach formalnych:
~p~~>~q = ~p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie nie jest kobietą (~K=1)
1.
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
2.
Dowód bezpośredni na mocy diagramu DA:
Zbiory ~M i ~K są rozłączne w dziedzinie C (człowiek)
3.
Dowód "na piechotę" w matematycznych wzorkach:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Nie kobieta (~K)= Mężczyzna (M)
~K=M
Stąd mamy:
B2': ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =0
cnd
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) M$K to gwarancja matematyczna => po stronie M, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~M o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo”(|$) p|$q (A1, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = A2B2: ~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy definicję operatora "albo"(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = A2B2: ~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
17.6 Analiza zdań warunkowych "Jeśli p to q" algorytmem Puchacza
Przykładowe zadania w których koniec końców wylądujemy w operatorze "albo"(|$) M|$K mogą być następujące.
17.6.1 Zadanie W1: M~~>~K
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> nie być kobietą (~K)
M~~>~K=M*~K =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~~> M i ~K (np. tata Jasia)
Rozstrzygnięcie prawdziwości zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> polega na pokazaniu jednego mężczyzny (np. tata Jasia) i rozstrzygnięciu iż nie jest to kobieta.
Nie analizujemy tu czy bycie mężczyzną jest warunkiem koniecznym ~>, czy też wystarczającym => dla nie bycia kobietą.
Na mocy analizy w punkcie 17.5 i 17.5.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W1.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający A1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
A1: M=>~K=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów: M=~K - patrz diagram DA
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W1: M~~>~K jest częścią warunku wystarczającego => A1: M=>~K, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W1: ## Warunek wystarczający => A1:
W1: M~~>~K=1 bo tata Jasia ## A1: M=>~K =1 - M jest podzbiorem => ~K
## Dowód: diagram DA
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W1: M~~>~K jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego A1: M=>~K.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie A1: M=>~K wchodzi w skład operatora "albo"(|$) i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
17.6.2 Zdanie W2: M=>~K
Zadanie W2
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W2.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to nie jest kobietą (~K)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W2.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W2.
Jak widzimy:
W2=A1
Stąd:.
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
A1: M=>~K=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K)
Dowody:
1.
Interpretacja na mocy prawa Słonia:
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą (~K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
W diagramie spójnika "albo"($) DA widzimy że zachodzi tożsamość zbiorów M=~K, co kończy dowód prawdziwości warunku wystarczającego A1 bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego.
2.
Dowód w matematycznych wzorkach:
C=M+K - dziedzina C(człowiek) to suma logiczna (+) zbiorów M(mężczyzn) oraz K(kobiet)
Stąd mamy:
~K=[C-K]=[(M+K)-K]=M
~K=M - zachodzi tożsamość zbiorów ~K i M
Stąd mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => sienie samego
cnd
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza twierdzenie proste A1: M=>~K wchodzi w skład operatora "albo"($) M$K i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
17.6.3 Zdanie W3: M~~>K
Zadanie W3
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W3.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może być kobietą (K)
M~~>K = M*K =?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W3=A1'
A1'.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
A1': M~~>K=M*K=[]=0
To samo w zapisie formalnym:
A1': p~~>q =p*q=0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
Dowód "nie wprost":
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1: M=>~K wynika fałszywość kontrprzykładu A1': M~~>K=M*K=0 (i odwrotnie)
Nic a nic nie musimy więcej udowadniać, co nie oznacza że nie możemy tego faktu udowodnić w sposób bezpośredni.
Dowód bezpośredni rozłączności zbiorów M i K - patrz diagram DA
Dowód w matematycznych wzorkach:
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
Stąd mamy:
M~~>K = M*K = ~K*K =[] =0
cnd
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane A1': M~~>K=0 to kontrprzykład A1' dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: M=>~K =1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W3=A1' wchodzi w skład operatora "albo"(|$) i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
17.6.4 Zdanie W4: ~M~~>K
Zadanie W4:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W4.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może być kobietą (K)
~M~~>K = ~M*K =1
Dla dowodu prawdziwości elementu wspólnego zbiorów wystarczy pokazać jednego człowieka który nie jest mężczyzną (~M) i jednocześnie jest kobietą (K) (np. mama Jasia), co kończy dowód prawdziwości zdania W4. Nie analizujemy tu czy nie bycie mężczyzną jest warunkiem koniecznym ~>, czy też wystarczającym => dla bycie kobietą.
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
Badając punkt 17.5.1 stwierdzamy iż nie ma 100% odpowiednika zdania W4.
… ale!
Mamy spełniony warunek wystarczający B2:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>q =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór nie mężczyzna (~M) jest podzbiorem => zbioru kobiet (K)
W diagramie DA widzimy tożsamość zbiorów:
~M=K
Na mocy definicji podzbioru każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Wniosek:
Zdanie wypowiedziane W4: ~M~~>K jest częścią warunku wystarczającego => B2: ~M=>K, jest pojedynczym iterowaniem tego warunku.
Na mocy definicji zachodzi:
| Kod: |
Element wspólny ~~> zbiorów W4: ## Warunek wystarczający => B2:
W4: ~M~~>K=~M*K=1 bo mama Jasia ## B2: ~M=>K=1 - ~M wystarcza => dla K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy zdanie wypowiedziane W4: ~M~~>K jest pojedynczym iterowaniem dla warunku wystarczającego B2: ~M=>K
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie B2:~M=>K wchodzi w skład operatora "albo"(|$) M|$K i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
17.6.5 Zdanie W5: ~M=>K
Zadanie W5
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W5.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to jest kobietą (K)
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame.
W5.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 mamy serię zdań, gdzie szukamy odpowiednika zdania W5.
Jak widzimy:
W5=B2
Stąd mamy zdanie tożsame B2.
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M) to na 100% => jest kobietą (K)
~M=>K =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>q =1
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K)
Nie bycie mężczyzną (~M) daje nam gwarancję matematyczną => bycia kobietą (K)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na 100% => = warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna =>
1.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór nie mężczyzna (~M) jest podzbiorem => zbioru kobiet (K)
W diagramie DA widzimy tożsamość zbiorów:
~M=K
Na mocy definicji podzbioru każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
2.
Dowód tego samego w matematycznych wzorkach:
C = M+K - dziecina C (człowiek) to suma logiczna zbiorów M(mężczyzn) i K(kobiet)
Stąd mamy:
~M=[C-M]=[(M+K)-M]=K
~M=K
Stąd mamy:
~M=>K = K=>K =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Podsumowanie:
Na mocy prawa Puchacza warunek wystarczający B2:~M=>K wchodzi w skład operatora "albo"(|$) M|$K i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
17.6.6 Zdanie W6: ~M~~>~K
Zadanie W6
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W6.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) to może nie być kobietą (~K)
~M~~>~K = ~M*~K=?
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania algorytmem Puchacza mamy w punktach 17.5 i 17.5.1.
W punkcie 17.5.1 widzimy, że zachodzi tożsamość zdań W6=B2'
B2'.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
To samo w zapisach formalnych:
~p~~>~q = ~p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie nie jest kobietą (~K=1)
1.
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania B2' wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~M=>~K=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
2.
Dowód bezpośredni na mocy diagramu DA:
Zbiory ~M i ~K są rozłączne w dziedzinie C (człowiek)
3.
Dowód "na piechotę" w matematycznych wzorkach:
Zachodzi tożsamość pojęć:
~K (nie kobieta) = M (mężczyzna)
~K=M
Stąd mamy:
B2': ~M~~>~K = ~M~~>M = ~M*M =0
cnd
Podsumowanie:
1.
Fałszywe zdanie wypowiedziane B2': ~M~~>~K=0 to fałszywy kontrprzykład B2' dla prawdziwego warunku wystarczającego B2: ~M=>K=1.
2.
Na mocy prawa Puchacza zdanie W6=B2' wchodzi w skład operatora "albo"(|$) i nie może należeć do jakiegokolwiek innego operatora implikacyjnego p|?q.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:46, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 9 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 10:21, 06 Mar 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
18.0 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach
Spis treści
18.0 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 1
18.1 Symboliczna definicja chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 3
18.1.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 5
18.0 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q twierdzenie proste
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy i tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów.
Fałszywość dowolnego członu z tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów.
Z definicji tożsamości logicznej [=] wynika, że:
a)
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje prawdziwość dwóch pozostałych członów
b)
Udowodnienie fałszywości dowolnego członu powyższej tożsamości logicznej gwarantuje fałszywość dwóch pozostałych członów
Na mocy prawa Słonia i jego powyższej interpretacji, możemy dowodzić prawdziwość dowolnych zdań warunkowych "Jeśli p to q" mówiących o zbiorach metodą "nie wprost"
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowany poprzednik p zaś po „to..” mamy zdefiniowany następnik q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Zdanie A1” definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9,12..24.. ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów P8 i P3.
cnd
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8
q=P3
stąd zdanie A1’’ w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1
Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumianych jako uzupełnienie do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..7,8..]
Zauważmy, że warunek wystarczający A1: P8=>P3 nie jest tu spełniony:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0 bo kontrprzykład: 3
Definicja warunku wystarczającego P8=>P3 nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd
Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd
Stąd mamy pewność że zdanie A1” należy do chaosu operatora P8||~~>P3.
18.1 Symboliczna definicja chaosu P8|~~>P3 w zbiorach
Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3:
Chaos P8|~~>P3 to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P8=>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
Stąd:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Podstawmy to do tabeli prawdy chaosu p|~~>q.
| Kod: |
CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P3}:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
A’: 1: P8~~>~P3=1 = [=] = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: p~~>q =1 [=] 4:~q~~>~p =1
A”: 1: P8~~>P3 =1 [=] 4:~P3~~>~P8=1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
B’: = 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”: 2:~p~~>~q =1 [=] 3: q~~>p =1
B”: 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Komentarz do kolumny A1B1:
Fałszywy warunek wystarczający:
A1: p=>q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
A1': p~~>~q = p*~q =1 - istnieje element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Dodatkowo musi być:
A1’’: p~~>q =p*q=1
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0 - nie istnieje wspólny element ~~> zbiorów p i q
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1''': p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Komentarz do kolumny A2B2:
Fałszywy warunek wystarczający:
B2: ~p=>~q=0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element ~p i q
Dodatkowo musi być:
B2’’: ~p~~>~q =~p*~q=1
Dowód „nie wprost”
Załóżmy, że zachodzi:
B2’’: ~p~~>~q=~p*~q=0 - niemożliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
Wtedy, na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy jest warunek wystarczający =>:
B2''': ~p=>q=1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
co to sprzeczne z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdań B3” i A4”.
W tabeli chaosu CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> (dla zdarzeń) albo w elementach wspólnych zbiorów ~~> (dla zbiorów) to seria czterech zdań prawdziwych.
Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z operatorem chaosu p||~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.
18.1.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach
Operator chaosu P8||~~>P3 to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?
Kolumna A1B1:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24
LUB
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?
Kolumna A2B2:
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny np. 2
LUB
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny np. 3
Podsumowanie:
Istotą operatorach chaosu P8||~~>P3 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie P8 (zdania A1’’, A1’) jak i po stronie ~P8 (zdania B2’’ i B2’)
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytania o ~P8 i P8:
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) będzie identyczna jak operatora chaosu P8||~~>P3 w logice dodatniej (bo P3) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:47, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 26 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 21:45, 11 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
19.0 Rozwiązanie zadań metodą zdjęciową w teorii zbiorów
Spis treści
19.0 Alternatywne rozwiązanie zadań metodą zdjęciową w teorii zbiorów 1
19.1 Algorytm Puchacza 3
19.2 Definicja zdjęcia układu w teorii zbiorów 4
19.2.1 Metoda zdjęciowa dla zdania W1: ~P8~~>P2 5
19.2.2 Metoda zdjęciowa dla zadania W2: P2~~>~P8 10
19.2.3 Metoda zdjęciowa dla zdania W3: ~TP~~>SK 16
19.3 Alternatywne rozwiązanie zadań prawem Orła w teorii zbiorów 21
19.3.1 Prawo Orła dla zdania W1: ~P8~~>P2 21
19.3.2 Prawo Orła dla zadania W2: P2~~>~P8 23
19.3.3 Prawo Orła dla zdania W3: ~TP~~>SK 25
19.0 Alternatywne rozwiązanie zadań metodą zdjęciową w teorii zbiorów
Metoda zdjęciowa to alternatywne udowadnianie punktów 6 i 7 z algorytmu Puchacza poprzez zrobienie zdjęcia układu.
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~> dla potrzeb przykładów:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
Przykład:
A.
Jutro nie pójdziemy do kina
K=0 - fałszem jest (=0) że jutro pójdziemy do kina (K)
Prawo Prosiaczka:
(K=0)=(~K=1)
Stąd zdanie tożsame w standardzie dodatnim:
A"
Jutro nie pójdziemy do kina
~K=1 - prawdą jest (=1) że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
19.1 Algorytm Puchacza
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza (pkt. 2.10.1):
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
Uwaga:
W metodzie zdjęciowej punkty 6 i 7 zastępowane są analizą zdjęcia układu.
19.2 Definicja zdjęcia układu w teorii zbiorów
Przypomnijmy sobie wiadomości podstawowe niezbędne dla zrozumienia metody zdjęciowej.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Definicja kontrprzykładu i prawa Kubusia są potrzebne i wystarczające by ze zdjęcia układu odtworzyć definicję spójnika implikacyjnego p?q.
Definicja zdjęcia układu:
Dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” zdjęciem układu nazywamy zakodowanie wszystkich możliwych przeczeń p i q elementem wspólnym zbiorów ~~> w tym samym kierunku (na mocy prawa Kłapouchego p do q) wraz z rozstrzygnięciem prawdziwości/fałszywości wszystkich czterech linii.
Tabela prawdy zdjęcia układu dla zbiorów jest następująca:
| Kod: |
Jeśli p to q
Zdjęcie układu x dla zbiorów:
A: p~~> q= p* q =? – czy zbiory p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
B: p~~>~q= p*~q =? – czy zbiory p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
C:~p~~>~q=~p*~q =? – czy zbiory ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>?
D:~p~~> q=~p* q =? – czy zbiory ~p i q mają (=1) element wspólny ~~>?
|
Poprawne zdjęcie układu jednoznacznie rozstrzyga z jakim operatorem logicznym p||?q mamy do czynienia.
Zobaczmy to na przykładach
19.2.1 Metoda zdjęciowa dla zdania W1: ~P8~~>P2
Typowe zadania z logiki matematycznej rozwiązujemy korzystając z algorytmu Puchacza.
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Badanie stosowalności algorytmu Puchacza
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Nasz przykład:
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
Nasz przykład:
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
Definicja dziedziny LN dla p:
P8+~P8= LN =1
P8*~P8= [] =0
Definicja tej samej dziedziny LN dla q:
P2+~P2= LN =1
P2*~P2= [] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
Nasz przykład:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (niepusty)
q=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (niepusty)
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd:
~p=~P8=[LN-P8] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (niepusty)
~q=~P2=[LN-P2] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (niepusty)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Podsumowując:
Wspólna dziedzina LN oraz wyznaczenie zbiorów niepustych {P8, P2, ~P8, ~P2} jest dowodem, iż zdanie W1 należy do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych.
Naszym zadaniem jest rozstrzygnięcie jaki to operator?
Robimy zdjęcie układu:
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q w kierunku od p do q opisuje seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..].
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory P8 i ~P2 są rozłączne.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
~P8~~>~P2 = ~P8*~P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
cnd
Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu P8?P2
A: p~~> q=1 | P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów P8 i P2 np.8
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P2
C:~p~~>~q=1 |~P8~~>~P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P2 np.1
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P2 np.2
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
Zauważmy, że w linii B mamy zero (rozłączność zbiorów P8 i ~P2), póki co jeszcze nie udowodnione
Jak to udowodnić?
1.
Zakładamy, że zdanie B jest fałszem:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający A.
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
A: P8=>P2 =1
To sam w zapisie formalnym:
A: p=>q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Zachodzącą tu relację podzbioru P8=>P2 potrafi udowodnić każdy matematyk.
cnd
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu, z udowodnionego warunku wystarczającego A: P8=>P2=1 wynika fałszywość kontrprzykładu B: P8~~>~P2=P8*~P2=[]=0
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
B: P8~~>~P2 = P8*~P2=[]=0
To samo w zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =[]=0
Na mocy definicji kontrprzykładu rozłączność zbiorów P8 i ~P2 gwarantuje nam udowodniony wyżej warunek wystarczający => A: P8=>P2=1. To jest dowód „nie wprost” fałszywości zdania B.
cnd
3.
Zastosujmy do zdania A prawo Kubusia:
A: p=>q = C: ~p~>~q
Nasz przykład:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2 =1
Stąd w zdaniu C na mocy prawa Kubusia mamy udowodniony warunek konieczny ~> C.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
C: ~P8~>~P2=1
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p~>~q =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) jest warunkiem koniecznym ~> dla jej niepodzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Oczywiście nie musimy dowodzić zachodzącej tu relacji nadzbioru ~P8~>~P2, bowiem wynika ona z prawa Kubusia i z prawa Słonia. To jest dowód nie wprost prawdziwości zdania C.
4.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu:
| Kod: |
T2
Zdjęcie układu P8?P2
A: p=> q=1 | P8=> P2=1 – zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – zbiory P8 i ~P2 są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~P8~> ~P2=1 – zbiór ~P8 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – co oznacza linia D dowiemy się w kroku 2
|
Krok 2
5.
Zdanie D przyjmuje brzmienie:
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
D: ~P8~~>P2 = ~P8*P2=1 bo 2
To samo w zapisie formalnym:
D: ~p~~>q=~p*q =1
Na mocy definicji elementu wspólnego zbiorów ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów ~P8 i P2 by udowodnić prawdziwość zdania D
6.
Z prawdziwości kontrprzykładu D: ~P8~~>P2=1 wynika fałszywość warunku wystarczającego C: ~P8=>~P2=0
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to na 100% => nie jest podzielna przez 2 (~P2)
C: ~P8=>~P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q =0
Fałszywości warunku wystarczającego C nie musimy dowodzić, bowiem wynika ona z prawdziwości kontrprzykładu D. To jest dowód „nie wprost” fałszywości warunku wystarczającego => C
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 8 (~P8) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 2 (~P2) bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..].
Dowód bezpośredni fałszywości warunku wystarczającego C to pokazanie kontrprzykładu w relacji podzbioru ~P8=>~P2.
Kontrprzykład:
Liczba 2 należy do zbioru ~P8 i nie należy do zbioru ~P2 z czego wynika fałszywość relacji podzbioru:
~P8=>~P2 =0
cnd
7.
Dla fałszywego warunku wystarczającego => C zastosujmy prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
C: ~P8=>~P2 = A: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q = A: p~>q =0
Na mocy prawa Kubusia mamy rozstrzygnięcie, iż w linii A nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2)
A: P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
A: p~>q =0
Fałszywości warunku koniecznego ~> A nie musimy dowodzić bo wynika ona z prawa Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 (P2), bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..].
8.
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
| Kod: |
T3
Zdjęcie układu P8|=>P2
A: p=> q=1 | P8=> P2=1 | P8~> P2=0 – P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 |
C:~p~> ~q=1 |~P8~> ~P2=1 |~P8=>~P2=0 - ~P8 nie jest (=0) podzbiorem => ~P2
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 |
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W linii A mamy definicję implikacji prostej P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2):
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
W linii C mamy definicję implikacji odwrotnej ~P82|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2):
Implikacja odwrotna ~P8|~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P8~>~P2 =1 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Stąd:
A2B2: ~P8|~>~P2 = (A2: ~P8~>~P2)* ~(B2: ~P8=>~P2) = 1*~(0)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: P8|=>P2 [=] A2B2: ~P8|~>~P2
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q
Dowód:
Definicja implikacji prostej p|=>q (pkt. 2.10):
p|=>q = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q (pkt. 2.10):
p|~>q = p*~q
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|=>q [=] A2B2: ~p|~>~q
Rozwijamy prawą stronę definicja znaczka ~>:
A2B2: ~p|~>~q = (~p)*~(~q) = ~p*q = A1B1: p|=>q
cnd
Zadanie W1 brzmiało.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
~p~~>q = ~p*q =1
Wniosek:
Zdanie W1 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2.
Analizę szczegółową operatora implikacji prostej P8||=>P2 mamy w punkcie 14.3.1
19.2.2 Metoda zdjęciowa dla zadania W2: P2~~>~P8
Zadanie W2:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =?
Badanie stosowalności algorytmu Puchacza
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Nasz przykład:
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
Nasz przykład:
Przyjmujemy wspólną dla p i q dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
Definicja dziedziny LN dla p:
P2+~P2= LN =1
P2*~P2= [] =0
Definicja tej samej dziedziny LN dla q:
P8+~P8= LN =1
P8*~P8= [] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
Nasz przykład:
p=P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (niepusty)
q=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8 (niepusty)
Dziedzina: LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd:
~p=~P2=[LN-P2] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (niepusty)
~q=~P8=[LN-P8] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8 (niepusty)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne stosowalności algorytmu Puchacza
Podsumowując:
Wspólna dziedzina LN oraz wyznaczenie zbiorów niepustych {P2, P8, ~P2, ~P8} jest dowodem, iż zdanie W1 należy do jednego z pięciu rozłącznych operatorów implikacyjnych.
Naszym zadaniem jest rozstrzygnięcie jaki to operator?
Robimy zdjęcie układu:
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q w kierunku od p do q opisuje seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] np. 8
cnd
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8=P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów: P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
cnd
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
~P2~~>~P8=~P2*~P8=1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów: ~P2=[1,3,5,7,9..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 1
cnd
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8=~P2*P8=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element ~~> zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~P2 i P8 są rozłączne.
Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~~> q=1 | P2~~> P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i P8 np.8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np.2
C:~p~~>~q=1 |~P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 np.1
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i P8
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
Zauważmy, że w linii D mamy zero (rozłączność zbiorów ~P2 i P8), póki co jeszcze nie udowodnione
Jak to udowodnić?
1.
Zakładamy, że zdanie D jest fałszem:
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający C.
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2=>~P8=1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q=1
2.
Jak udowodnić prawdziwość warunku wystarczającego => C?
Najprościej skorzystać z prawa kontrapozycji, dzięki czemu pozbędziemy się przeczeń.
Prawo kontrapozycji dla zdania C.
C: ~P2=~>~P8 = C1: P8=>P2
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q = C1: q=>p
stąd mamy:
C1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2)
C1: P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
C1: q=>p =1
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Prawdziwość relacji podzbioru P8=>P2 bez trudu udowodni każdy matematyk.
cnd
Na mocy prawa kontrapozycji prawdziwość warunku wystarczającego C1: P8=>P2 wymusza prawdziwość interesującego nas warunku wystarczającego C: ~P2=>~P8 (i odwrotnie)
3.
Zapiszmy zdanie C jeszcze raz:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
C: ~P2=>~P8=1
To samo w zapisie formalnym:
C: ~p=>~q=1
Dowód „nie wprost” prawdziwości warunku wystarczającego C z wykorzystaniem prawa kontrapozycji mamy wyżej.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy tu:
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 (~P2) jest warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 (~P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P2=[1,3,5,7..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Innymi słowy:
Udowadniając prawdziwość warunku wystarczającego C automatycznie udowodniliśmy zachodzącą tu relację podzbioru => C: ~P2=>~P8
4.
Prawdziwość warunku wystarczającego C:~P2=>~P8=1 determinuje fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie).
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8)
D: ~P2~~>P8 = ~P2*P8 =[]=0
To samo w zapisie formalnym:
D: ~p~~>q = ~p*q =[]=0
Dowód „nie wprost” fałszywości zdania D wynika z definicji kontrprzykładu.
cnd
5.
Zastosujmy do zdania C prawo Kubusia.
Prawo Kubusia:
C: ~P2=>~P8 = A: P2~>P8 =1
Stąd w linii A mamy spełniony warunek konieczny ~>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~> być podzielna przez 8 (P8)
A: P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
A: p~>q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A wynika z prawa Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Na mocy prawa Słonia zapisujemy:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
6.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu:
| Kod: |
T2
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~> q=1 | P2~> P8=1 – zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – co oznacza linia B dowiemy się w kroku 2
C:~p=> ~q=1 |~P2=> ~P8=1 – zbiór ~P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – zbiory ~P2 i P8 są rozłączne
|
Krok 2
7.
Zdanie B przyjmuje brzmienie:
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
B: P2~~>~P8 = P2*~P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P2=[2,4,6,8…] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] np. 2
Pokazanie jednego wspólnego elementu ~~> zbiorów P2 i ~P8 kończy dowód prawdziwości zdania B.
8.
Udowodniona wyżej prawdziwość kontrprzykładu B: P2~~>~P8=1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: P2=>P8=0.
Warunek wystarczający => A przyjmuje brzmienie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8)
A: P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
A: p=>q =0
Fałszywość warunku wystarczającego => A wynika z definicji kontrprzykładu, to jest dowód „nie wprost”
Na mocy prawa Słonia możemy tu zapisać:
Podzielność dowolnej liczby przez 2 (P2) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 8 (P8) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Dowód bezpośredni fałszywości warunku wystarczającego => A to pokazanie jednej liczby należącej do zbioru P2 i nie należącej do zbioru P8 np. 2, co kończy dowód.
9
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
| Kod: |
T3
Zdjęcie układu P2|~>P8
A: p~> q=1 | P2~> P8=1 | P2=> P8=0 – P2 nie jest (=0) podzbiorem => P8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 |
C:~p=> ~q=1 |~P2=> ~P8=1 |~P2~>~P8=0 - ~P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0
|
Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - twierdzenie proste
A1: p=>q=~p+q
##
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - twierdzenie odwrotne
bo prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
W linii A mamy definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8):
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 – zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 – zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) =~(0)*1=1*1=1
W linii C mamy definicję implikacji prostej ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8):
Implikacja odwrotna ~P2|=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~P2~>~P8=0 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2: ~P2=>~P8=1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Stąd:
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2:~P2~>~P8)*(B2:~P2=>~P8)=~(0)*1=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: P2|~>P8 [=] A2B2: ~P2|=>~P8
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q
Dowód:
Definicja implikacji prostej p|=>q (pkt. 2.10):
p|=>q = ~p*q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q (pkt. 2.10):
p|~>q = p*~q
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p|~>q [=] A2B2: ~p|=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicja znaczka =>:
A2B2: ~p|=>~q = ~(~p)*(~q) = p*~q = A1B1: p|~>q
cnd
Zadanie W2 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie wypowiedziane:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>~q = p*~q =0
Wniosek:
Zdanie W2 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
Analizę szczegółową operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 mamy w punkcie 15.3.1
19.2.3 Metoda zdjęciowa dla zdania W3: ~TP~~>SK
Zadanie W3:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
Rozwiązanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK =?
Sprawdzamy warunek konieczny stosowalności algorytmu Puchacza, czyli spełnienie punktu 4 w algorytmie Puchacza.
1.
Na mocy prawa Kłapouchego wspólny dla wszystkich ludzi punkt odniesienia to:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
2.
Przyjmujemy wspólną dla TP i SK dziedzinę:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Badamy spełnienie definicji wspólnej dziedziny dla p i q:
Poprzednik p=TP:
Trójkąt może być prostokątny (TP) albo nieprostokątny (~TP)
Trzeciej możliwości brak
TP+~TP = ZWT - wspólna dziedzina
TP*~TP=[] - zbiór pusty
Następnik q=SK:
W trójkącie może być spełniona suma kwadratów (SK) albo nie być spełniona suma kwadratów (~SK)
Trzeciej możliwości brak.
SK+~SK=ZWT - wspólna dziedzina
SK*~SK=[] - zbiór pusty
3.
Zbiory p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych.
Sprawdzenie:
Wspólna dziedzina:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych (zbiór niepusty)
~p=~TP=[ZWT-TP] - zbiór ZWT pomniejszony o TP (zbiór niepusty)
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (zbiór niepusty)
~q=~SK = [ZWT-SK] - zbiór ZWT pomniejszony o SK (zbiór niepusty)
4.
Wniosek:
Spełnione są warunki konieczne 1,2,3 stosowalności algorytmu Puchacza
Robimy zdjęcie układu:
Wszystkie możliwe kombinacje zbiorów jakie mogą wystąpić między p i q opisuje seria czterech zdań warunkowych przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~>:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
TP~~>SK = TP*SK=1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów TP i SK np. [3,4,5]
Tu wystarczy pokazać jeden trójkąt prostokątny TP w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) np. [3,4,5], co kończy dowód prawdziwości zdania A
cnd
B.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
TP~~>~SK = TP*~SK=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element zbiorów TP i ~SK.
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory TP i ~SK są rozłączne.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
~TP~~>~SK = ~TP*~SK =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~TP i ~SK np. [3,4,6]
Tu wystarczy pokazać jeden trójkąt nieprostokątny ~TP w którym nie jest spełniona suma kwadratów (~SK) np. [3,4,6], co kończy dowód prawdziwości zdania C
cnd
D.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK=?
Tu przez iterowanie ciężko jest znaleźć wspólny element zbiorów ~TP i SK.
Na razie podejrzewamy tylko że zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Zapiszmy powyższą analizę w formie skróconej:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu TP?SK
A: p~~> q=1 | TP~~> SK=1 – istnieje wspólny element TP i SK np. [3,4,5]
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu TP i ~SK
C:~p~~>~q=1 |~TP~~>~SK=1 – istnieje wspólny element ~TP i ~SK np. [3,4,6]
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu ~TP i SK
|
Algorytm analizy powyższego zdjęcia układu to dwa kroki
Krok 1
Zauważmy, że po stronie trójkątów prostokątnych (TP) podejrzewamy, że zdanie B jest fałszem.
Jak to udowodnić matematycznie?
1.
Oczywiście dowodem „nie wprost” zakładając, że zdanie B jest fałszem:
B: TP~~>~SK = TP*~SK=0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający => A:
A.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A: TP=>SK =1
W zapisie formalnym:
B: p=>q =1
To jest twierdzenie proste Pitagorasa udowodnione przez ludzkość wieki temu.
Kluczowym jest tu pytanie co oznacza prawdziwość warunku wystarczającego => A?
Odpowiedź na mocy prawa Słonia:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego => A: TP=>SK=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli dowolny trójkąt jest prostokątny (TP) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK)
B: TP~~>~SK = TP*~SK =0
W zapisie formalnym:
B: p~~>~q = p*~q =0
Rozłączność zbiorów TP i ~SK wynika tu tylko i wyłącznie z udowodnionego warunku wystarczającego A: TP=>SK=1. To jest dowód „nie wprost” wynikający z definicji kontrprzykładu.
3.
Zastosujmy do zdania A prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Nasz przykład:
A: TP=>SK = C: ~TP~>~SK =1
Stąd w zdaniu C na mocy prawa Kubusia mamy udowodniony warunek konieczny ~> C.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
C: ~TP~>~SK =1
W zapisie formalnym:
C: ~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> C: ~TP~>~SK=1 wynika z prawa Kubusia.
To jest dowód „nie wprost”
4.
Nanieśmy dotychczasową analizę do zdjęcia układu
| Kod: |
T2
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=> q=1 | TP=> SK=1 – bycie TP jest (=1) wystarczające => dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 – bycie ~TP jest (=1) konieczne ~> dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – podejrzewamy brak wspólnego elementu ~TP i SK
|
Krok 2
W zdaniu D podejrzewamy brak wspólnego elementu zbiorów ~TP i SK.
Jak to udowodnić matematycznie?
5.
Oczywiście dowodem „nie wprost” zakładając, że zdanie D jest fałszem:
B: ~TP~~>SK = ~TP*SK=0
Stąd na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy musi być warunek wystarczający => C:
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
C: ~TP=>~SK =1
W zapisie formalnym:
C: ~p=>~q =1
Dla zdania C skorzystajmy z prawa kontrapozycji by pozbyć się przeczeń przy zbiorach.
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
C: ~p=>~q = C1: q=>p
Nasz przykład:
C: ~TP=>~SK = C1: SK=>TP
Zdanie C1 to oczywiste twierdzenie odwrotne Pitagorasa C1: q=>p.
C1.
Jeśli w dowolnym trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
C1: SK=>TP =1
W zapisie formalnym:
C1: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Na mocy prawa Słonia dowód ten oznacza:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem ~> zbioru TP
6.
Stąd na mocy prawa kontrapozycji mamy udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego C: ~p=>~q który nas interesuje.
C.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
~TP=>~SK =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Prawdziwość warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK wynika z prawa kontrapozycji, gdzie udowodniliśmy twierdzenie odwrotne Pitagorasa C1: SK=>TP=1 – to jest dowód metodą „nie wprost”.
7.
Na mocy definicji kontrprzykładu z prawdziwości warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK=1 wynika fałszywość kontrprzykładu D (i odwrotnie)
D.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK = ~TP*SK =0
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Fałszywość zdania D wynika z definicji kontrprzykładu dla prawdziwego warunku wystarczającego C: ~TP=>~SK=1 – to jest dowód „nie wprost”
8.
Stąd mamy końcowe zdjęcie badanego układu w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
| Kod: |
T3
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=> q=1 | TP=> SK=1 | TP~> SK=1 – TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 |~TP=>~SK=1 - ~TP jest wystarczające => dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – zbiory ~TP i SK są rozłączne
|
W linii A mamy definicję równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK)
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenie sumy kwadratów SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenie sumy kwadratów SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
W linii C mamy definicję równoważności ~TP<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK)
Równoważność ~TP<=>~SK to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~TP~>~SK =1 - bycie ~TP jest (=1) konieczne ~> dla nie zachodzenia sumy kwadratów ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 – bycie ~TP jest (=1) wystarczające => dla nie zachodzenia sumy kwadratów ~SK
Stąd:
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2:~TP=>~SK)*(B2:~TP~>~SK)=1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: TP<=>SK [=] A2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisach formalnych:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q (pkt. 2.10)
p<=>q = p*q + ~p*~q
Mamy do udowodnienia:
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicja znaczka <=>:
A2B2: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q+~p*~q = A1B1: p<=>q
cnd
Zadanie W3 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi poniższe zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK=~TP*SK =0
Analizę operatora równoważności TP|<=>SK wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W3 należy do tego operatora znajdziemy w punkcie 16.7.1
19.3 Alternatywne rozwiązanie zadań prawem Orła w teorii zbiorów
Prawo Orła jest genialne w teorii zdarzeń gdzie zawsze mamy do czynienia zaledwie z czterema zdarzeniami niepustymi {p, ~p, q, ~q}.
Rozwiązywanie zadań prawem Orła w zdarzeniach to poziom 5- cio letniego dziecka, o czym było w punkcie 9.0
Prawo Orła:
Jeśli dla zdania warunkowego "Jeśli p to q" znane jest zdjęcie układu w zapisie aktualnym (przykład) to wszelkie relacje między p i q określa wzór:
p*(q+~q) dzn (~)q*(p+~p)
Gdzie:
Punkt odniesienia:
Poprzednik p ze zdjęcia układu musi być niezanegowany co lokuje nas w kolumnie A1B1
(~) - w zapisie aktualnym przeczenie (~) przy q może wystąpić wyłącznie w spójniku "albo"($)
dzn - dowolny ze znaczków:
~~> - zdarzenie możliwe lub element wspólny zbiorów
=> - warunek wystarczający [=] relacja podzbioru =>
~> - warunek konieczny [=] relacja nadzbioru ~>
<=> - równoważność
$ - spójnik "albo"($)
Prawo Orła działa również w teorii zbiorów z tym, że w tym przypadku udowodnienie rozłączności dwóch zbiorów nieskończonych metodą wprost poprzez iterowanie element po elemencie jest fizycznie niewykonalne.
Jak dowodzi się rozłączności dwóch zbiorów nieskończonych mamy opisane w algorytmie zdjęciowym wyżej.
Weźmy dokładnie te same przykłady w zbiorach nieskończonych rozwiązane prawem Orła.
19.3.1 Prawo Orła dla zdania W1: ~P8~~>P2
Typowe zadanie w algebrze Kubusia brzmi.
Zadanie W1:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8
q=P2
Robimy zdjęcie układu dla zdania W1:
| Kod: |
T1
Zdjęcie układu P8?P2
A: p~~> q=1 | P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów P8 i P2 np.8
B: p~~>~q=0 | P8~~>~P2=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P2
C:~p~~>~q=1 |~P8~~>~P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P2 np.1
D:~p~~> q=1 |~P8~~> P2=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P2 np.2
|
Ogólne prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~) q*(p+~p)
1.
Dla naszego zdjęcia T1 mamy:
p=P8
q=P2
Stąd zdjęcie układu przyjmuje postać:
P8*(P2+~P2) dzn P2*(P8+~P8)
Rozwijamy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
P8*P2+P8*~P2 dzn P8*P2 + ~P8*P2 - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T1 odczytujemy:
B: P8~~>~P2=P8*~P2=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Stąd mamy:
P8*P2+0 dzn P8*P2 + ~P8*P2
Prawo algebry Boole'a: x+0=x, stąd mamy:
2.
P8*P2 dzn P8*P2 + ~P8*P2
3.
Doskonale widać, że zbiór P8*P2 jest (=1) podzbiorem => sumy logicznej zbiorów niepustych i rozłącznych (P8*P2+~P8*P2)
Wniosek:
dzn = =>
P8*P2 => P8*P2 + ~P8*P2 =1
Czytamy:
Zbiór P8*P2 jest (=1) podzbiorem => zbioru (P8*P2+~P8*P2)
4.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Czytamy:
Zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane W1 musimy zbadać spełnienie/niespełnienie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami.
Zapiszmy jeszcze raz równanie 2.
2.
P8*P2 dzn P8*P2 + ~P8*P2
5.
Doskonale widać, że zbiór P8*P2 nie jest (=0) nadzbiorem ~> sumy logicznej zbiorów niepustych i rozłącznych (P8*P2+~P8*P2)
Wniosek:
dzn = ~>
P8*P2 ~> P8*P2 + ~P8*P2 =0
Czytamy:
Zbiór P8*P2 nie jest (=0) nadzbiorem zbioru (P8*P2+~P8*P2)
6.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P8~>P2 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Czytamy:
Zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą P8|=>P2.
Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 – zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
A1B1: P8|=>P2=(A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2)=1*~(0)=1*1=1
Zadanie W1 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2
Rozwiązanie:
W1.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
~p~~>q = ~p*q =1
Wniosek:
Zdanie W1 wchodzi w skład operatora implikacji prostej P8||=>P2.
Analizę szczegółową operatora implikacji prostej P8||=>P2 mamy w punkcie 14.3.1
19.3.2 Prawo Orła dla zadania W2: P2~~>~P8
Zadanie W2:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P2
q=P8
Robimy zdjęcie układu dla zdania W2:
| Kod: |
T2
Zdjęcie układu P2?P8
A: p~~> q=1 | P2~~> P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i P8 np.8
B: p~~>~q=1 | P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów P2 i ~P8 np.2
C:~p~~>~q=1 |~P2~~>~P8=1 – istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i ~P8 np.1
D:~p~~> q=0 |~P2~~> P8=0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~P2 i P8
|
Ogólne prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~) q*(p+~p)
1.
Dla naszego zdjęcia T2 mamy:
p=P2
q=P8
Stąd zdjęcie układu przyjmuje postać:
P2*(P8+~P8) dzn P8*(P2+~P2)
Rozwijamy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8 + ~P2*P8
Ze zdjęcia T2 odczytujemy:
D:~P2~~> P8=~P2*P8 =0 – nie istnieje wspólny element zbiorów ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8 + 0
Prawo algebry Boole'a: x+0=x, stąd mamy:
2.
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8
3.
Doskonale widać, że suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych (P2*P8+P2*~P8) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P2*P8
Wniosek:
dzn = ~>
P2*P8 + P2*~P8 ~> P2*P8
Czytamy:
Zbiór (P2*P8+P2*~P8) jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P2*P8
4.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P2~>P8 =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Czytamy:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane W2 musimy zbadać spełnienie/niespełnienie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami.
Zapiszmy jeszcze raz równanie 2.
2.
P2*P8 + P2*~P8 dzn P2*P8
5.
Doskonale widać, że suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych (P2*P8+P2*~P8) nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P2*P8
P2*P8 + P2*~P8 => P2*P8 =0
6.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Czytamy:
Zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24.]
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną P2|~>P8.
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8
Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 – zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 – zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd:
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) =~(0)*1=1*1=1
Zadanie W2 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
Rozwiązanie:
W2.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2) to może ~~> nie być podzielna przez 8 (~P8)
P2~~>~P8 = P2*~P8 =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>~q = p*~q =0
Wniosek:
Zdanie W2 wchodzi w skład operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8.
Analizę szczegółową operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 mamy w punkcie 15.3.1
19.3.3 Prawo Orła dla zdania W3: ~TP~~>SK
Zadanie W3:
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=TP
q=SK
Robimy zdjęcie układu dla zdania W3
| Kod: |
T3
Zdjęcie układu TP?SK
A: p=> q=1 | TP=> SK=1 | TP~> SK=1 – TP jest (=1) konieczne ~> dla SK
B: p~~>~q=0 | TP~~>~SK=0 – zbiory TP i ~SK są rozłączne
C:~p~> ~q=1 |~TP~> ~SK=1 |~TP=>~SK=1 - ~TP jest wystarczające => dla ~SK
D:~p~~> q=1 |~TP~~> SK=0 – zbiory ~TP i SK są rozłączne
|
Jak dowodzi się rozłączności zbiorów nieskończonych mamy w punkcie 19.2.3.
Ogólne prawo Orła:
p*(q+~q) dzn (~) q*(p+~p)
1.
Dla naszego zdjęcia T3 mamy:
p=TP
q=SK
Stąd zdjęcie układu przyjmuje postać:
TP*(SK+~SK) dzn SK*(TP+~TP)
Rozwijamy poprzez wymnożenie logiczne wielomianów:
TP*SK+TP*~SK dzn TP*SK + ~TP*SK - bo iloczyn logiczny (*) jest przemienny
Ze zdjęcia T3 odczytujemy:
B: TP~~>~SK=TP*~SK=0 – nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów TP i ~SK
D:~TP~~> SK=~TP*SK=0 – nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~TP i SK
Stąd mamy:
TP*SK+0 dzn TP*SK + 0
Prawo algebry Boole'a: x+0=x, stąd mamy:
2.
TP*SK dzn TP*SK
3.
Doskonale widać tożsamość zbiorów:
Zbiór TP*SK jest tożsamy "=" ze zbiorem TP*SK
TP*SK=TP*SK
Oczywistość bo każdy zbiór jest tożsamy "=" sam ze sobą
4.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Wniosek:
dzn = <=>
TP*SK <=> TP*SK =1
Czytamy:
Zbiór TP*SK jest (=1) równoważny ze zbiorem TP*SK
Na mocy prawa irbisa zapisujemy:
TP*SK = TP*SK
Zbiór TP*SK jest (=1) tożsamy „=” ze zbiorem TP*SK
Oczywistość, bo każdy zbiór jest tożsamy „=” sam ze sobą
5.
Po odwrotnej minimalizacji mamy:
TP<=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q =1
Czytamy:
Zbiór TP jest (=1) tożsamy "=" ze zbiorem SK
cnd
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż mamy tu do czynienia z równoważnością TP<=>SK
Definicja równoważności TP<=>SK
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 – bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenie sumy kwadratów SK
B1: TP~>SK =1 – bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenie sumy kwadratów SK
Stąd:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1=1
Zadanie W3 brzmiało.
Zbadaj, w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
W3.
Jeśli dowolny trójkąt nie jest prostokątny (~TP) to może zachodzić w nim suma kwadratów (SK)
~TP~~>SK=~TP*SK =0
Analizę operatora równoważności TP|<=>SK wraz z rozstrzygnięciem iż badane zdanie W3 należy do tego operatora znajdziemy w punkcie 16.9.1
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 9:48, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 29 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 11:00, 10 Cze 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
20.0 Tajemnice operatorów jednoargumentowych
Spis treści
20.0 Tajemnice operatorów jednoargumentowych 1
20.1 Operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy 2
20.1.1 Operatory jednoargumentowe w tabelach zero-jedynkowych 4
20.1.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 5
20.2 Operator transmisji A0: Y|=p w rachunku zero-jedynkowym 7
20.2.1 Przykład operatora transmisji A0: Y|=K 7
20.3 Operator negacji A1: Y|=~p 9
20.3.1 Przykład operatora negacji A1: Y|=~K 10
20.4 Operator zdania zawsze prawdziwego A2: Y|=p+~p 11
20.4.1 Przykład operatora zdania zawsze prawdziwego A2: Y|=K+~K 12
20.5 Operator zdania zawsze fałszywego A3: Y|=p*~p 13
20.5.1 Przykład operatora zdania zawsze fałszywego A3: Y|=K*~K 14
20.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x) 16
20.0 Tajemnice operatorów jednoargumentowych
Niniejszy rozdział to matematyka rozszerzona, której znajomość nie jest konieczna dla biegłego posługiwania się operatorami jednoargumentowymi, tą umiejętność wyssaliśmy z mlekiem matki.
Nie ma tu nic takiego co byłoby niezrozumiałe dla człowiek myślącego, ucznia I klasy LO.
Tabela prawdy operatorów jednoargumentowych wyprowadzona w punkcie 1.3.2.
| Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Linie A3B3 i A4B4 to bezcenne zero-jedynkowe definicje prawa Prosiaczka.
Znaczenie alternatywne:
Linie A3B3 i A4B4 to stałe binarne, wykorzystywane w definiowaniu nowych pojęć
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y). Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej, jak również w stosunku do dowolnej stałej binarnej.
Wyprowadzenie praw Prosiaczka znajdziemy w punkcie 1.4.
Interpretację stałych binarnych w tabeli TJ (A3B3 i A4B4) znajdziemy w punkcie 1.5
20.1 Operatory jednoargumentowe w tabeli prawdy
| Kod: |
TJ
Tabela wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych
Operator transmisji Y|=p
A1: Y= p # B1: ~Y=~p
## ##
Operator negacji Y=|~p
A2: Y=~p # B2: ~Y= p
## ##
Zdanie zawsze prawdziwe Y|=1 (stała binarna)
A3: Y=1 # B3: ~Y=0
## ##
Zdanie zawsze fałszywe Y|=0 (stała binarna)
A4: Y=0 # B4: ~Y=1
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
Stąd mamy:
p, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, Y inaczej błąd podstawienia
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne (Y,~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
Doskonale widać, że w tabeli TJ definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Zapiszmy zdanie zawsze prawdziwe Y=1 i zawsze fałszywe Y=0 w powiązaniu ze zmienną p
| Kod: |
ZZP:
Definicja zdania zawsze prawdziwego Y=p+~p=D=1
p + ~p Y=p+~p=D =1
A: 1 + 0 1
B: 0 + 1 1
Gdzie:
D - dziedzina wspólna dla p i ~p
Y - stała binarna o wartości logicznej 1
|
| Kod: |
ZZF:
Definicja zdania zawsze fałszywego Y=p*~p=[]=0
p * ~p Y=p*~p=[]=0
A: 1 * 0 0
B: 0 * 1 0
Gdzie:
[] - zbiór/zdarzenie puste
Y - stała binarna o wartości logicznej 0
|
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować dwie wartości logiczne {0,1}.
W tabelach ZZP i ZZF zmiennymi binarnymi są symbole p i ~p co widać w kolumnach p i ~p.
Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol będący w osi czasu twardą prawdą (ZZP_Y), albo twardym zerem (ZZF_Y)
W tabeli ZZP symbol Y jest stałą binarną o wartości logicznej twardej jedynki.
W tabeli ZZF symbol Y jest stałą binarną o wartości logicznej twardego zera.
Nie ma możliwości w czasie od minus do plus nieskończoności, by stała binarna przyjęła przeciwną
wartość logiczną.
W świecie rzeczywistym, opisane wyżej właściwości zmiennych binarnych i stałych binarnych możemy zaobserwować na oscyloskopie, przyrządzie pomiarowym służącym do obserwacji szybkich przebiegów zmiennych.
20.1.1 Operatory jednoargumentowe w tabelach zero-jedynkowych
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Innymi słowy:
1.
Dana jest funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
2.
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną (1) w logice dodatniej (bo Y):
~Y=~f(p)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
| Kod: |
TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne {Y, ~Y} są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Dokładnie ta sama tabela zapisana prościej, wyłącznie funkcjami logicznymi Y i ~Y bez rozpisywania w tabelach zero-jedynkowych.
| Kod: |
TJ
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
Funkcja transmisji |Funkcja transmisji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y= p # B0: ~Y=~p
## ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
Funkcja negacji |Funkcja negacji
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A1: Y=~p # B1: ~Y= p
## ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
Zdanie zawsze prawdziwe |Zdanie zawsze fałszywe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: Y= p+~p=1 # B2: ~Y= p*~p=0
## ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
Zdanie zawsze fałszywe |Zdanie zawsze prawdziwe
w logice dodatniej (bo Y) |w logice ujemnej (bo ~Y)
A3: Y= p*~p=0 # B3: ~Y= p+~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że tabela TJ perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##
20.1.2 Prawo Grzechotnika - Armagedon ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.
Największą tragedią ziemskiego rachunku zero-jedynkowego jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi on zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych zapisanych w tabeli TJ
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) kolumny wynikowe w rachunku zero-jedynkowym opisywane są wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a, a nie funkcjami logicznymi Y i ~Y jak to jest w algebrze Kubusia.
W porywach (rzadkich przypadkach) ziemskiego rachunku zero-jedynkowego znajdziemy zapis funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y), ale nigdzie nie znajdziemy tej samej funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TJ pozostawiając jedynie wyrażenia algebry Boole’a
| Kod: |
TJ"
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
A0: p # B0: ~p
## ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
A1:~p # B1: p
## ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
A2: p+~p=1 # B2: p*~p=0
## ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
A3: p*~p=0 # B3: p+~p=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Po usunięciu funkcji logicznych Y i ~Y najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## leży gruzach bowiem w tabeli TJ" zachodzą następujące tożsamości logiczne
| Kod: |
A0: p = B1: p
A1: ~p = B0: ~p
A2: p+~p=1 = B3: p+~p=1
A3: p*~p=0 = B2: p*~p=0
|
Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
20.2 Operator transmisji A0: Y|=p w rachunku zero-jedynkowym
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych funkcji transmisji A0: Y=p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji transmisji B0: ~Y=~p w logice ujemnej (bo ~Y)
A0.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
20.2.1 Przykład operatora transmisji A0: Y|=K
Pani w przedszkolu A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
To samo w logice formalnej:
p=K (kino)
stąd:
Y=p
Doskonale widać, że zdanie A0: Y=K możemy przyporządkować wyłącznie do kolumny A0B0
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
K ~K Y=K ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~K K ~Y=~K ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A0
Pani w przedszkolu A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
A0: Y=K
co w logice jedynek oznacza:
A0: Y=1 <=> K=1
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy juro pójdziemy do kina (K=1)
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A0 stronami:
B0: ~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
B0: ~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 3.
W części A0 doskonale widać że:
Y=1 <=> K=1
W części B0 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> ~K=1
cnd
Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A0: Y=K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
2.
Także odpowiedź B0 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 123 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 123 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
20.3 Operator negacji A1: Y|=~p
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych funkcji negacji A1: Y=~p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji negacji B1: ~Y=p w logice ujemnej (bo ~Y)
A1.
Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1
bo w standardzie dodatnim języka potocznego jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
20.3.1 Przykład operatora negacji A1: Y|=~K
Przykład zdania wypowiedzianego podlegającego pod operator negacji A1: Y|=>~p
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
To samo w logice formalnej:
p=K (kino)
~p=~(K)
~p=~K (nie (~) kino K)
stąd:
Y=~p
Doskonale widać, że zdanie A1: Y=~K możemy przyporządkować wyłącznie do kolumny A1B1
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~q Y=q ## K ~K Y=~K ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p q ~Y=~p ## ~K K ~Y=K ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A1
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro nie pójdziemy do kina
A1: Y = ~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1).
Y=1 <=> ~K=1
Zuzia do Jasia:
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A1 stronami:
B1: ~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
B1: ~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 6.
W części A1 doskonale widać że:
Y=1 <=> ~K=1
W części B1 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> K=1
cnd
Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A1: Y=~K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
2.
Także odpowiedź B1 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 456 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 456 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
20.4 Operator zdania zawsze prawdziwego A2: Y|=p+~p
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p:
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań funkcji logicznej A2: Y=p+~p=1 w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej B2: ~Y=~p*p=0 w logice ujemnej (bo ~Y)
A2.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
A2: Y=p+~p =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
co w logice jedynek oznacza:
A2: Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że funkcja logiczna Y ma wartość logiczną twardej jedynki (Y=1), niezależnie od tego czy zajdzie p=1 czy też ~p=1
Doskonale to widać w kolumnie Y: A2_9
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2: ~Y=~(p+~p) =0
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B2: ~Y=~p*p =0 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p*p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
B2: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie ~Y
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B2_9
20.4.1 Przykład operatora zdania zawsze prawdziwego A2: Y|=K+~K
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
A2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = K+~K =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
To samo w zapisie formalnym:
p=K
Stąd mamy:
A2: Y = p+~p =1
Jak widzimy zdanie A2 możemy ulokować tylko i wyłącznie w kolumnie A2B2
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~q Y=q ## K ~K Y=~K ## K ~K Y=K+~K=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p q ~Y=~p ## ~K K ~Y=K ## ~K K ~Y=~K*K=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A2
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
A2.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = K+~K =1 - na mocy prawa algebry Boole’a: p+~p=1
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani jutro dotrzyma słowa (Y), niezależnie od tego czy pójdziemy do kina (K), czy też nie pójdziemy do kina (~K)
Z chwilą wypowiedzenia zdania A2 pani ustawiła tu twardą jedynkę i nie ma szans na zostanie w dniu jutrzejszym kłamczuchą.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną Y
B2: ~Y = ~(K+~K) =0
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B2: ~Y=~K*K =0 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p*p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
B2: ~Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że jutro pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B2_9
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - panie nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Wniosek
Pani przedszkolanka w przedszkolu wypowiadając zdanie A2: Y=K+~K=1 nie ma szans na nie dotrzymanie słowa w dniu jutrzejszym B2: ~Y=~K*K=0
Bo prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) = B2: (~Y=0)
cnd
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 9.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 789 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 789 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
Zauważmy, że powyższy przykład, choć matematycznie poprawny to w istocie nikomu niepotrzebna sztuka dla sztuki, bo nikt przy zdrowych zmysłach nie sypie zdaniami zawsze prawdziwymi typu Y=K+~K. Podstawowe zastosowanie stałych binarnych A3B3 i A4B4 to definiowanie nowych pojęć niezbędne już w wieku niemowlęcym (pkt. 20.2.1)
20.5 Operator zdania zawsze fałszywego A3: Y|=p*~p
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p:
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań logicznych A3: Y=p*~p=0 w logice dodatniej (bo Y) oraz B3: ~Y=~p+p=1 w logice ujemnej (bo ~Y)
A3.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
A3: Y=p*~p =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
A3: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że zajdzie Y
Doskonale to widać w kolumnie Y: A3_12
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną A3 stronami:
B3: ~Y=~(p*~p) =1
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy:
B3: ~Y=~p+p =1 - na mocy prawa algebry Boole'a: ~p+p=1
co w logice jedynek oznacza:
B3: ~Y=1 <=> ~p=1 lub p=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że zajdzie ~Y, niezależnie od tego czy zajdzie p=1 czy też ~p=1.
Musi zajść p=1 albo ~p=1 - trzeciej możliwości brak.
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B3_12
20.5.1 Przykład operatora zdania zawsze fałszywego A3: Y|=K*~K
Przykład A3
Pani w przedszkolu A3 wypowiada zdanie:
A3.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
A3: Y = K*~K =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
To samo w zapisie formalnym:
p=K
Stąd mamy:
A3: Y = p*~p =0
Jak widzimy zdanie A3 możemy ulokować tylko i wyłącznie w kolumnie A3B3
| Kod: |
TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=K*~K=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~K+K=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Przykład A3
Pani w przedszkolu A3 wypowiada zdanie:
A3.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
A3: Y = K*~K =0 - na mocy prawa algebry Boole’a: p*~p=0
Środkowy człon wolno nam pominąć bo jest zbiorem/zdarzeniem pustym [].
Stąd mamy:
A3: Y=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
Doskonale to widać w kolumnie Y: A3_12
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną Y.
B3.
~Y = ~(K*~K) =0
Na mocy prawa De Morgana:
B3: ~Y=~K+K =1 - bo prawo algebry Boole'a: ~p+p =1
co w logice jedynek oznacza:
B3: (~Y=1) <=> ~K=1 lub K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y), niezależnie od tego czy jutro pójdziemy do kina (K=1) czy też nie pójdziemy do kina (~K=1)
Jutro możemy pójść do kina (K=1) albo nie pójść do kina (~K=1) - trzeciej możliwości brak.
Doskonale to widać w kolumnie ~Y: B3_12
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Wniosek:
Pani przedszkolanka w przedszkolu A3 wypowiadając zdanie A3 nie ma szans na dotrzymanie słowa (Y=1) w dniu jutrzejszym.
W momencie wypowiedzenia zdania A3 pani jest kłamczuchą, o czym każdy 5-cio latek wie.
Podsumowanie:
1.
Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 12.
2.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 10:11:12 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 10:11:12 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Puchacza.
Prawo Puchacza:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego
Zauważmy, że powyższy przykład, choć matematycznie poprawny to w istocie nikomu niepotrzebna sztuka dla sztuki, bo nikt przy zdrowych zmysłach nie sypie zdaniami zawsze fałszywymi typu Y=K*~K.
Podstawowe zastosowanie stałych binarnych A3B3 i A4B4 to definiowanie nowych pojęć niezbędne już w wieku niemowlęcym (pkt. 20.2.1)
20.6 Podsumowanie operatorów jednoargumentowych Y|=f(x)
Weźmy tabelę zero-jedynkową wszystkich możliwych operatorów jednoargumentowych.
| Kod: |
TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: A1: A2: A3:
p ~p Y=p ## p ~p Y=~p ## p ~p Y=p+~p=1 ## p ~p Y=p*~p=0
A: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 1 ## 1 0 0
B: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 1 ## 0 1 0
# # # ## # # # ## # # # ## # # #
B0: B1: B2: B3:
~p p ~Y=~p ## ~p p ~Y=p ## ~p p ~Y=~p*p=0 ## ~p p ~Y=~p+p=1
C: 0 1 0 ## 0 1 1 ## 0 1 0 ## 0 1 1
D: 1 0 1 ## 1 0 0 ## 1 0 0 ## 1 0 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dziedziny D na której operowaliśmy w naszych przykładach:
K+~K=D=1 - zdarzenie ~K jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zdarzenia K
K*~K=[]=0 - zdarzenia K i ~K są rozłączne
Znaczenie zmiennych na których operowaliśmy w naszych przykładach wyżej było następujące:
K - jutro pójdziemy do kina
~K - jutro nie pójdziemy do kina
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny D:
K+~K=D=1 - jutro możemy pójść do kina (K) albo nie pójść do kina (~K), trzeciej możliwości brak
K*~K=[]=0 - zdarzenie "pójdziemy do kina" (K) jest rozłączne ze zdarzeniem "nie pójdziemy do kina" (~K)
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień i w tejże chwili czasowej zdarzenia K i ~K są rozłączne
Definicja dziedziny D na poziomie funkcji logicznej Y:
Definicja dziedziny dla dowolnej funkcji logicznej Y=f(x) (także wieloargumentowej):
Y+~Y =D =1 - funkcja logiczna ~Y jest uzupełnieniem do dziedziny D dla funkcji logicznej Y
Y*~Y =[] =0 - funkcje logiczne Y i ~Y są rozłączne
Znaczenie funkcji logicznych Y i ~Y z naszych przykładów wyżej omówionych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny D:
Y+~Y=D=1 - pani może dotrzymać słowa (Y) albo nie dotrzymać słowa (~Y), trzeciej możliwości brak
Y*~Y=[]=0 - pani nie może równocześnie dotrzymać słowa (Y) i nie dotrzymać słowa (~Y)
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień i w tejże chwili czasowej pani dotrzyma słowa (Y=1) albo nie dotrzyma słowa (~Y=1), trzeciej możliwości brak.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 9:00, 28 Wrz 2024, w całości zmieniany 18 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 14:53, 13 Cze 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q"
Spis treści
21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" 1
21.1 Fundament algebry Kubusia dla zdań warunkowych "Jeśli p to q" 2
21.2 Dowód praw Tygryska na gruncie rachunku zero-jedynkowego 2
21.3 Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach implikacyjnych 5
21.4 Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q, największa tragedia ziemian 9
21.5 NAND i NOR - ekstremalny odjazd od języka potocznego 12
21.5.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego P=>CH 14
21.5.2 Implikacja prosta P|=>CH 17
21.5.3 Operator implikacji prostej P||=>CH w przedszkolu 20
21.6 Tożsamość Hipcia p=>q = p<=>q + ~p*q 22
21.6.1 Tożsamość Hipcia w świecie martwym i w matematyce 22
21.6.2 Tożsamość Hipcia w świecie żywym 26
21.7 Tożsamość Geparda p+q = p$q + p*q 27
21.7.1 Tożsamość Geparda w świecie martwym i w matematyce 27
21.7.2 Tożsamość Geparda w świecie żywym 28
21.8 Tożsamość Pumy p~~>q = p<=>q + p$q 29
21.8.1 Tożsamość Pumy w świecie martwym i w matematyce 29
21.8.2 Tożsamość Pumy w świecie żywym 31
21.0 Rachunek zero-jedynkowy w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q"
Przypomnijmy sobie definicje warunków wystarczających => i koniecznych ~> w zdarzeniach (pkt. 2.2.2 i 2.2.3)
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
21.1 Fundament algebry Kubusia dla zdań warunkowych "Jeśli p to q"
W punkcie 2.4 wyprowadziliśmy tabelę T0 matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
21.2 Dowód praw Tygryska na gruncie rachunku zero-jedynkowego
Szczegółową, bajeczną prostotę wszelkich dowodów w algebrze Kubusia pokażemy na przykładzie dowodów zero-jedynkowych praw Tygryska.
I prawo Tygryska dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
II prawo Tygryska dla warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B3: q=>p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q =p+~q
cnd
| Kod: |
TW
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q = q<=p = ~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Interpretacja słowna warunku wystarczającego =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q
Inaczej:
p=>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
|
##
| Kod: |
TK
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q = q<~p = p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Interpretacja słowna warunku koniecznego ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) konieczne ~> dla q
Inaczej:
p~>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
I prawo Tygryska dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A3: q~>p
Na mocy powyższego startujemy od definicji warunku wystarczającego A1: p=>q:
| Kod: |
TA1
Definicja warunku
wystarczającego =>
Y=
p q p=>q = q<=p = ~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
|
W tabeli TA3 obok zapisujemy te same p i q w zerach i jedynkach uzupełnione znaczkiem warunku koniecznego ~> w kierunku od q do p, co wynika z I prawa Tygryska które mamy do udowodnienia.
| Kod: |
TA1 [=] TA3
Definicja warunku [=]
wystarczającego => [=]
A1: Y= [=] A3: Y=
p q p=>q = q<=p = ~p+q [=] p q A3: q~>p = A3: p<~q
A: 1=>1 1 [=] 1<~1 1
B: 1=>0 0 [=] 1<~0 0
C: 0=>0 1 [=] 0<~0 1
D: 0=>1 1 [=] 0<~1 1
1 2 3 4 5 6
|
Kolumnę wynikową Y w tabeli TA3 wypełniliśmy na mocy definicji warunku koniecznego ~>.
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym (ogólnym) I prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
cnd
##
II prawo Tygryska dla warunku koniecznego ~>:
B1: p~>q = B3: q=>p
Na mocy powyższego startujemy od definicji warunku koniecznego B1: p~>q
| Kod: |
TB1
Definicja warunku
koniecznego ~>
B1: Y=
p q p~>q = = q<~p = p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
|
W tabeli TB3 obok zapisujemy te same p i q w zerach i jedynkach uzupełnione znaczkiem warunku wystarczającego => w kierunku od q do p, co wynika z II prawa Tygryska które mamy do udowodnienia.
| Kod: |
TB1 [=] TB3
Definicja warunku [=]
koniecznego ~> [=]
B1: Y= [=] B3: Y=
p q p~>q = q<~p = p+~q [=] p q B3: q=>p = B3: p<=q
A: 1~>1 1 [=] 1<=1 1
B: 1~>0 1 [=] 1<=0 1
C: 0~>0 1 [=] 0<=0 1
D: 0~>1 0 [=] 0<=1 0
1 2 3 4 5 6
|
Kolumnę wynikową Y w tabeli TB3 wypełniliśmy na mocy definicji warunku wystarczającego =>
Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym (ogólnym) II prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód formalny:
| Kod: |
TA1A3 ## TB1B3
I prawo Tygryska: ## II Prawo Tygryska:
Y= ## Y=
A1: p=>q = A3: q~>p = ~p+q ## B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Najważniejsza definicja logiki matematycznej to definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q dają różne kolumny wynikowe Y
Doskonale tu widać, że funkcje logiczne Y zdefiniowane tabelami TA1A3, TB1B3 są różne na mocy definicji ##, bo mają identyczne wymuszenia na wejściach p i q, ale różne kolumny wynikowe Y
cnd
21.3 Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach implikacyjnych
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podstawowa definicja równoważności (znana każdemu człowiekowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
cnd
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego by zaszło q
Innymi słowy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego by zaszło q
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Dowód iż ta definicja jest znana wszystkim (nie tylko matematykom).
Klikamy na googlach:
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 12 500
"konieczne i wystarczające"
Wyników: 11 200
"potrzeba i wystarcza"
Wyników: 3 330
Jak widzimy, powyższa definicja równoważności wymaga od nas na starcie zapisania zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Zróbmy to:
| Kod: |
TW
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q = q<=p = ~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Interpretacja słowna warunku wystarczającego =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q
Inaczej:
p=>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora => zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora => zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
|
##
| Kod: |
TK
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q = q<~p = p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Interpretacja słowna warunku koniecznego ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) konieczne ~> dla q
Inaczej:
p~>q =0
;
Do zapamiętania dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q =1
Gdzie:
Podstawa wektora ~> zawsze wskazuje poprzednik, część zdania po "Jeśli.."
Strzałka wektora ~> zawsze wskazuje następnik, część zdania po "to.."
Nazwy symboliczne poprzednika i następnika nie mają tu znaczenia.
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Podstawowa definicja równoważności (znana każdemu człowiekowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
cnd
Na mocy powyższego startujemy od definicji warunku wystarczającego A1: p=>q:
| Kod: |
T1
Definicja warunku
wystarczającego =>
A1: Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
|
Obok tabeli T1 zapisujemy zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B: p~>q wymaganą przez definicję równoważności p<=>q.
| Kod: |
T1 ## T2
Definicja warunku ## Definicja warunku
wystarczającego => ## koniecznego ~>
A1: Y= ## B1: Y=
p q p=>q=~p+q ## p q p~>q=p+~q
A: 1=>1 1 ## 1~>1 1
B: 1=>0 0 ## 1~>0 1
C: 0=>0 1 ## 0~>0 1
D: 0=>1 1 ## 0~>1 0
1 2 3 4 5 6
|
Między tabelami T1 i T2 postawiliśmy znak różne na mocy definicji ## bo wyprowadzamy definicję zero-jedynkową równoważności p<=>q gdzie ten znak między A1 i B1 występuje.
Dowód:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Gdzie:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
## - różne na mocy definicji
cnd
Z definicji równoważności wynika algorytm uzyskania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q:
1.
Do tabeli T3 przepisujemy identyczne wejścia p i q
2.
Kolumnę wynikową równoważności:
Y = p<=>q uzyskamy wymnażając logicznie linia po linii kolumny wynikowe:
T1: (A1: p=>q) oraz T2: (B1: p~>q)
Zróbmy to:
| Kod: |
T123
T1 ## T2 ## T3
Definicja => ## Definicja ~> ##
A1: Y= ## B1: Y= ## A1B1: Y=
p q p=>q ## p q p~>q ## p q p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A: 1=>1 1 ## 1~>1 1 ## 1<=>1 1
B: 1=>0 0 ## 1~>0 1 ## 1<=>0 0
C: 0=>0 1 ## 0~>0 1 ## 0<=>0 1
D: 0=>1 1 ## 0~>1 0 ## 0<=>1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Jak widzimy, tabelę zero-jedynkową równoważności mamy w kolumnach 789.
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń zero-jedynkowych na wejściach p i q mają różne kolumny wynikowe Y
Z tabeli zbiorczej T123 widać, że funkcje logiczne Y definiowane kolumnami 3, 6 i 9 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
cnd
21.4 Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q, największa tragedia ziemian
Największa tragedia logiki matematycznej ziemskich matematyków to prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
które to prawo każdy matematyk musi bezwzględnie stosować bo nie zna algebry Kubusia, czyli logiki matematycznej wyrażonej warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Tej logiki matematycznej:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Bezsensowność prawa eliminacji warunku wystarczającego => pokażemy na przykładzie definicji obietnicy.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę N.
W poprzedniku musi być jasno sprecyzowany warunek otrzymania nagrody N.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.
Weźmy sztandarową obietnicę szczegółowo omówiona w punkcie 3.5.
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E) dostaniesz komputer (K)
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem warunek wystarczający A1: E=>K z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. Warunek otrzymania nagrody precyzuje poprzednik p=E (zdasz egzamin)
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.
Analizę tej obietnicy mamy w punkcie 3.6.
W warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest ona doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka.
Dowód:
Prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że odbiorca nie spełnił warunku otrzymania nagrody (tu nie zdał egzaminu) jest w prawie wszystkich bajkach dla dzieci plus w Biblii.
Największą tragedią logiki matematycznej ziemskich matematyków jest prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
E=>K = ~E+K
Dlaczego to jest tragedia?
Bo jak sama nazwa wskazuje eliminuje ono warunek wystarczający =>, a tym samym papużkę nierozłączkę, warunek konieczny ~>. O bajecznie prostej analizie obietnicy E=>K przedstawionej w punkcie 3.6 możemy zapomnieć.
Wypowiedzmy tego potworka (formalnie tożsamego) który nam powstał po zastosowaniu prawa eliminacji warunku wystarczającego =>
Tata do synka Jasia (lat 14):
Który ma zdawać pierwszy poważny egzamin w swoim życiu, egzamin ośmioklasisty, dający przepustkę do najlepszych LO (o ile syn zda celująco).
A1.
Nie zdasz egzaminu (~E) lub dostaniesz komputer (K)
Y = ~E+K
Zakładamy tu, że Tata zna algebrę Kubusia i zachciało mu się robić "jaja" z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>.
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Tata dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn nie zda egzaminu (~E) lub dostanie komputer (K)
Synek:
Tata, ja nic z tego nie rozumiem
Tata:
Już tłumaczę:
Moje zdanie:
Y=~E+K
W logice jedynek oznacza że:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdasz egzaminu (~E=1) lub dostaniesz komputer (K=1)
Synek:
Tata, ja dalej nic z tego nie rozumiem
Tata:
To są synku uroki prawa eliminacji warunku wystarczającego => w logice ziemskich matematyków.
Matematycznie jest tak:
1.
Y = ~E+K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1=~E=1 lub K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdasz egzaminu (~E=1) lub dostaniesz komputer (K=1)
.. a kiedy skłamię ~Y?
Zachodzi tożsamość pojęć:
Skłamię ~Y = nie dotrzymam słowa (~Y)
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(~E+K) = E*~K - prawo De Morgana
Stąd mamy jedyny możliwy przypadek w którym skłamię (~Y):
~Yb= B: E*~K
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
~Yb=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Mamy tylko jeden przypadek kiedy skłamię, stąd:
~Yb=~Y
Co w logice jedynek oznacza:
Skłamię (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zdasz egzamin (E=1) i nie dostaniesz komputera (~K=1)
Synek:
Dobrze tata, zrozumiałem kiedy skłamiesz ale dalej nie wiem o co ci chodzi?
Kiedy dotrzymasz słowa?
Tata:
W każdym innym przypadku synku dotrzymam słowa, te rozłączne przypadki to:
Y = A: E*K + C: ~E*~K + D: ~E*K
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Dotrzymam słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=E*K=1*1=1 - zdasz egzamin (E=1) i dostaniesz komputer (K=1)
lub
C: Yc=~E*~K=1*1=1 - nie zdasz egzaminu (~E=1) i nie otrzymasz komputera (~K=1)
lub
D: Yd=~E*K=1*1=1 - nie zdasz egzaminu (~E=1) i dostaniesz komputer (K=1)
Synek:
Dobrze tata, rozumiem kiedy dotrzymasz słowa, ale o co tu chodzi?
Przecież nic mi nie obiecałeś!
Tata:
Widzisz synku, to są całe uroki eliminacji warunku wystarczającego => we współczesnej, ziemskiej logice matematycznej.
W rzeczywistości chodzi tu o banalną moją obietnicę:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E) dostaniesz komputer (K)
E=>K =1
Omówioną wyżej w punkcie 3.6.
Synek:
Przeczytałem punkt 3.6, rzeczywiście, matematyczna obsługa obietnicy w znaczkach:
~~> - zdarzenie możliwe
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
to poziom 5-cio letniego dziecka, omówiony w prawie każdej bajce oraz w Biblii.
… a to ziemskie prawo eliminacji warunku wystarczającego => które każdy matematyk obligatoryjnie musi stosować (bo nie zna algebry Kubusia) to jakieś badziewie, przy pomocy którego nie sposób się porozumieć.
Tata:
Zgoda w 100%.
Pisałem wyżej te pomyje wynikłe z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>, by zakpić a aktualnej logiki matematycznej ziemskich matematyków.
Synek:
Udało ci się tata, gratuluję.
21.5 NAND i NOR - ekstremalny odjazd od języka potocznego
Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q w spójnikach NAND i NOR to ekstremalny odjazd od języka potocznego.
W świecie techniki w miejsce spójników "lub"(+) i "i"(*) można używać odpowiednio spójniki NOR oraz NAND .. ale będzie to miało zero wspólnego z językiem potocznym, tzn. żaden normalny człowiek tego nie zrozumie.
Definicja NOR:
Y = pNORq = ~(p+q)
Definicja NAND:
Y = pNANDq = ~(p*q)
Przykład wykładowcy logiki Volratha:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-50.html#69446
| volrath napisał: |
Ja nie twierdzę, że implikacja odwrotna to to samo co prosta.
Twierdzę, że p=>q <=> ~q=>~p <=> q~>p <=> ~p~>~q <=> p NAND (p NAND q)
|
Innymi słowy Vorath twierdzi że:
p=>q = ~p+q = p NAND (p NAND q)
Mało który matematyk zrozumie iż funkcja logiczna:
Y= p NAND (p NAND q)
jest tożsama z funkcją logiczną:
Y = ~p+q
.. a o języku potocznym w przypadku NAND i NOR możemy zapomnieć.
Dowód:
pNANDq = ~(p*q)
Y = pNAND (pNANDq) = ~(p*~(p*q)) = ~p+p*q - prawo De Morgana
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q) = p*~p + p*~q = p*~q
~Y=p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q
Stąd:
p=>q = ~p+q = p NAND (p NAND q)
cnd
Rozmowa taty który jest matematykiem z 14-letnim synkiem
Posłuchaj synku, tata będzie cię teraz uczył zaawansowanej logiki matematycznej.
Teoria czysto matematyczna zapisana wyżej przez Volratha:
Y = (p=>q) = ~p+q = p NAND (p NAND q)
Podstawmy:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
Stąd mamy w zapisie aktualnym:
Y = (P=>CH) = ~P+CH = P NAND (P NAND CH)
Prawą stronę w języku potocznym czytamy:
NAND.
Jutro będzie padało (P) NAND (będzie padało (P) NAND będzie pochmurno (CH))
Y = P NAND (P NAND CH)
Czy rozumiesz synku sens zdania NAND?
Synek:
Nic a nic tatko nie rozumiem
21.5.1 Prawo eliminacji warunku wystarczającego P=>CH
Tata:
Dobrze, uproszczę problem wypowiadając to samo zdanie w znanych ci spójnikach "lub"(+) i "i"(*)
Y = (P=>CH) = ~P+CH = P NAND (P NAND CH)
Środek to znane matematykom prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
1".
Jutro nie będzie padało lub będzie pochmurno
Y = (P=>CH) = ~P+CH
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 lub CH=1
Czy teraz rozumiesz synku sens zdania 1"?
Synek:
Nadal nic z tego nie rozumiem.
Tata:
Zastosujmy do zdania 1" definicję spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Nasz przykład:
1.
Y = ~P+CH = A: ~P*CH + B: ~P*~CH + C: P*CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: ~P=1 i CH=1 lub B: ~P i ~CH lub C: P=1 i CH=1
Czytamy:
1.
Prawdą jest (=1), że prawdziwe jest zdanie złożone Y:
Y=Ya+Yb+Yc
A: Ya = ~P~~>CH = ~P*CH=1*1=1 - jutro może ~~> nie padać (~P=1) i być pochmurno (CH=1)
lub
B: Yb = ~P~~>~CH = ~P*~CH=1*1=1 - jutro może ~~> nie padać (~P=1) i nie być pochmurno (~CH=1)
lub
C: Yc = P~~>CH = P*CH=1*1=1 - jutro może ~~> padać (P=1) i być pochmurno (CH=1)
Wystarczy, że którakolwiek funkcja cząstkowa Ya, Yb albo Yc przyjmie wartość logiczną 1 i już funkcja główna Y przyjmie wartość logiczną 1
Czy rozumiesz synku sens zdania 1 w zdarzeniach rozłącznych?
Y = Ya+Yb+Yc
Synek:
Rozumiem doskonale.
Tata:
Jakie jest prawdopodobieństwo zajścia jutro zdarzenia Ya albo Yb albo Yc?
Synek:
Oczywiście że 1/3
Tata:
Czy widzisz w zdarzeniach cząstkowych Ya, Yb, Yc jakąkolwiek gwarancję matematyczną =>?
Synek:
W zdarzeniach cząstkowych Ya, Yb, Yc nie ma żadnej gwarancji matematycznej =>, bowiem prawdopodobieństwo zajścia każdego z tych zdarzeń wynosi 1/3.
Tata:
Doskonale synku
Teraz odpowiedzmy sobie na pytanie kiedy zdanie 1 nie będzie prawdziwe (~Y=1)?
Mamy równanie minimalne:
1": Y=~P+CH
Negujemy dwustronnie:
2.
~Y = ~(~P+CH) = P*~CH - prawo De Morgana
Stąd mamy:
D: ~Yd=P*~CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
D: ~Yd=1 <=> P=1 i ~CH=1
Zauważmy, że jest tylko jedno zdarzenia cząstkowe w logice ujemnej (bo ~Yd), stąd mamy tożsamość logiczną:
D: ~Yd = D: ~Y
Prawą stronę czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że nie jest prawdziwe (~Yd) zdanie:
Jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH)
D: ~Yd=P*~CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
D: ~Yd=1 <=> P=1 i ~CH=1
Prawo Prosiaczka:
(~p=1) = (p=0)
stąd mamy:
D: (~Yd=1) = B: (Yd=0)
Stąd zapis tożsamy:
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1
Czytamy:
D.
Fałszem jest (=0), że prawdziwe jest zdanie (Yd):
Jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH=1)
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1
Zauważmy, że zdanie 1 opisuje wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne jakie jutro mogą zajść.
Zdanie 1:
A: Ya = ~P~~>CH = ~P*CH=1*1=1 - jutro może nie padać (~P=1) i być pochmurno (CH=1)
lub
B: Yb = ~P~~>~CH = ~P*~CH=1*1=1 - jutro może ~~> nie padać (~P=1) i nie być pochmurno (~CH=1)
lub
C: Yc = P~~>CH = P*CH=1*1=1 - jutro może ~~> padać (P=1) i być pochmurno (CH=1)
Zdanie 2:
Natomiast zdanie 2 opisuje zdarzenie fizycznie niemożliwe.
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1
Czytamy:
D.
Fałszem jest (=0), że prawdziwe jest zdanie (Yd):
Jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH=1)
D: Yd=0 <=> P=1 i ~CH=1
Podsumowanie:
Jutro ma szansę wystąpić wyłącznie jedno ze zdarzeń rozłącznych Ya albo Yb albo Yc.
Logiczne jedynki które opisują te zdarzenia są jedynkami miękkimi tzn. nie widomo która z tych jedynek będzie jutro twardą jedynką. Pewne jest tylko, że jeśli jedno z trzech możliwych zdarzeń {Ya, Yb, Yc} przyjmie wartość twardej jedynki to w tym momencie trzy pozostałe zdarzenia będą twardym fałszem.
Definicja miękkiej jedynki:
Miękka jedynka może zajść ale nie musi
Przykład:
W opisie przyszłości (jutro) wszystkie zdarzenia Ya, Yb oraz Yc są miękkimi jedynkami, mogą zajść ale nie muszą
Definicja miękkiego zera:
Miękkie zero może zajść ale nie musi
Przykład:
Dowolne ze zdarzeń Ya, Yb, albo Yc może w przyszłości przyjąć wartość logiczną 0
Definicja twardego zera:
Twarde zero to pojęcie/zdarzenie które nie ma szans na zmianę wartości logicznej z zera na jedynkę.
Przykład:
Jeśli jutro zajdzie zdarzenie Ya (twarda jedynka) to czasu nie da się cofnąć i spowodować by zaszło zdarzenie Yb albo Yc (twarde zera).
Zauważmy, że zdarzenie Yd jest twardym fałszem (=0) od minus do plus nieskończoności co oznacza, że w naszym Wszechświecie niemożliwy jest (=0) przypadek Yd: pada (P) i nie jest pochmurno ~CH)
Więcej na temat miękkich jedynek i zer oraz twardych jedynek i zer można poczytać w punkcie 21.0
Synek:
Tata, ja poszczególne zdania doskonale rozumiem, bo mieliśmy w szkole podstawy algebry Kubusia.
Problem w tym że:
Po pierwsze:
Trzeba znać tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego => oraz skomplikowaną dla normalnego człowieka algebrę Boole'a, by wyprowadzić prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
plus trzeba rozpisać to prawo na serię czterech zdarzeń rozłącznych jak to zrobiłeś wyżej, bowiem wtedy i tylko wtedy zrozumiemy sens wszystkich zdań składowych Ya, Yb, Yc i Yd wchodzących w skład definicji warunku wystarczającego => wyrażonej spójnikami "i"(*) i "lub"(+).
Po drugie i najważniejsze:
Po skorzystaniu z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
zabijamy występującą tu gwarancję matematyczną, bowiem każdy warunek wystarczający => to w istocie gwarancja matematyczna =>
21.5.2 Implikacja prosta P|=>CH
W algebrze Kubusia mamy tak:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Nasz przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego by było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
innymi słowy:
Padanie (P) daje nam gwarancję matematyczną => że jest pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p~>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Zauważmy, że wyskoczyło nam tu prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód:
Zdania A1 i B1 wyżej w zapisach formalnych (ogólnych):
Warunek wystarczający: p=>q = ~p+q ## Warunek konieczny: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajemy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań.
Stąd mamy dowód, iż nasze zdania A1 i B1 wchodzą w skład definicji implikacji prostej P|=>CH.
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1=1
W tym momencie mamy kompletną tabelę implikacji prostej A1B1: P|=>CH uzupełnioną definicją kontrprzykładu ~~> działającą wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
| Kod: |
IP.
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*(0)=1*1=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q =0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P=1
A': 1: P~~>~CH=0 [=] 4:~CH~~>P=0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p =1
Zapis aktualny (nasz przykład)
p=P, q=CH
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P=0
B': 2:~P~~>CH=1 [=] 3: CH~~>~P=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q), co wyżej zrobiliśmy, nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem na mocy praw Sowy mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Definicja operatora implikacji prostej P||=>CH:
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie P (kolumna A1B1) i nie padanie ~P (kolumna A2B2)
Kolumna A1B1:
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Kolumna A2B2
A2B2: ~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może być jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>CH znajdziemy w punkcie 3.3.1.
21.5.3 Operator implikacji prostej P||=>CH w przedszkolu
Udajmy się do przedszkola by potwierdzić tezę, że 5-cio latki w praktyce języka potocznego doskonale znają matematyczną wersję analizy operatora implikacji prostej P||=>CH przedstawioną w punkcie 3.3.1.
Jaś (lat 14) testuje czy Zuzia (lat 5) zna teorię algebry Kubusia przedstawioną w tabeli prawdy IP.
Jaś:
Powiedz mi Zuzia co jutro może się wydarzyć w odniesieniu do padania (deszczu) i chmurki jeśli jutro będzie padało?
Komentarz:
Odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało?
mamy w kolumnie A1B1 w tabeli prawdy IP
Zuzia:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na pewno => będzie pochmurho (CH)
P=>CH =1
Padanie deszczu wymusza => istnienie chmur bo padać może wyłącznie z chmury.
Innymi słowy:
Padanie deszczu gwarantuje nam => istnienie chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Innymi słowy:
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Zachodzi tożsamość pojęć:
Na pewno => = Wymusza => = Gwarancja => = Warunek wystarczający =>
Jaś:
Czy możliwe jest zdarzenie: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Zuzia:
A1'
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada i nie jest pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
cnd
Komentarz:
To jest dowód bezpośredni zrozumiały przez każdego 5-cio latka, fałszywości kontrprzykładu A1'
A1'.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
Fałszywość kontrprzykładu A1' wymuszona jest przez prawdziwość warunku wystarczającego:
A1: P=>CH =1
Nie musimy udowadniać fałszywości zdania A1' w sposób bezpośredni, choć w tym przypadku to jest oczywistość jak wyżej.
Jaś:
Brawo Zuzia.
Powiedz mi teraz co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Komentarz:
Ten przypadek opisuje kolumna A2B2 w tabeli IP.
Zuzia:
B2B2':
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> (A2) nie być pochmurno (~CH) lub może ~~> (B2') być pochmurno (CH)
Jaś:
Brawo, weźmy pierwszą część zdania A2B2' które wypowiedziałaś:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Czy brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH)?
Zuzia:
Tak, brak opadów (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur (~CH), bo jak pada (P) to zawsze => są chmury (CH)
Komentarz:
Zauważmy, że prawo Kubusia samo tu wyskoczyło.
Prawo Kubusia:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1
LUB
Jaś:
Weźmy teraz drugą część zdania A2B2' które wypowiedziałaś.
B2'.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Czy możliwe jest zdarzenie B2'?
Zuzia:
B2'.
Tak, możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P) i jest pochmuro (~CH)
To jest oczywiste dla każdego 3-latka, a ja mam lat 5.
Wnioski:
Jak widzimy, Zuzia teoretycznie nie ma pojęcia o tabeli prawdy IP którą w istocie jej mózg się posługuje, czego dowodem jest jej perfekcyjna odpowiedzieć na dwa kluczowe tu pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)? - zdania A1 i A1', kolumna A1B1 w tabeli prawdy IP
2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P)? - zdania A2 i B2', kolumna A2B2 w tabeli prawdy IP
Podsumowanie:
Żadna ze znanych ziemianom logik matematycznych nie zna zapisanej wyżej tabeli prawdy implikacji prostej IP: P|=>CH którą w praktyce doskonale się posługuje mózg każdego 5-cio latka, co wyżej udowodniono.
Innymi słowy:
Logika matematyczna ziemskich matematyków nie dorasta do pięt logice matematycznej, którą na co dzień posługują się mózgi wszystkich 5-cio latków.
21.6 Tożsamość Hipcia p=>q = p<=>q + ~p*q
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-2900.html#719741
Irbisol, to mój 15-letni partner w dyskusji na temat logiki matematycznej.
| Irbisol napisał: |
Jest to zapis ogólny warunku wystarczającego p=>q
p=>q = p<=>q + ~p*q |
Skąd Irbisol wytrzasnął tą tożsamość?
Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q:
Y = (p=>q) = ~p+q
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd mamy:
Y = (p=>q) = ~p+q = ~p*q + ~p*~q + p*q
Suma logiczna (+) jest przemienna, stąd mamy prawo eliminacji warunku wystarczającego => w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych A, B i C
1.
p=>q = A: p*q + B: ~p*~q + C: ~p*q
2.
Prawo eliminacji równoważności p<=>q:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawiając 2 do 1 mamy:
3.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q
21.6.1 Tożsamość Hipcia w świecie martwym i w matematyce
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q
jest fałszywa, co można udowodnić w dwóch krokach na gruncie matematyki (teorii zbiorów):
Krok 1 - dowód fałszywości tożsamości Hipcia dla zbiorów tożsamych p=q
Krok 2 - dowód fałszywości tożsamości Hipcia dla zbiorów nietożsamych p##q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Krok 1
Zbadajmy tożsamość Hipcia dla zbiorów tożsamych p=q gdzie zachodzi równoważność p<=>q.
Algorytm obalenia tożsamości Hipcia w matematyce dla zbiorów tożsamych p=q:
1
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
2.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
3.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q
Dla równoważności p<=>q prawdziwej, na mocy prawa Irbisa mamy tożsamość zbiorów p=q, stąd:
~p*q = ~p*p=0
cnd
4.
Prowadzi to do sprzeczności czysto matematycznej:
p=>q := p<=>q
:= - redukcja równania logicznego na mocy definicji tożsamości zbiorów p=q
5.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Stąd mamy:
Dowód fałszywości tożsamości Hipcia na gruncie matematyki:
p=>q =~p+q ## p<=>q = p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Przykład:
1.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
Przyjmijmy:
p=TP
q=SK
2.
Weźmy równoważność Pitagorasa:
A1: TP=>SK =1 - wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: TP=>SK=1
B3: SK=>TP=1 - wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: SK=>TP
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Równoważność Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu, stąd na mocy prawa Irbisa mamy tożsamość zbiorów TP=SK
3.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy są w relacji równoważności TP<=>SK
TP=SK = A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Równoważność Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu, zatem zachodzi tożsamość zbiorów:
TP=SK
4.
Podstawmy to do tożsamości Hipcia:
TP=>SK = (TP<=>SK) + ~TP*SK = (TP<=>SK) + ~TP*TP := (TP<=>SK) + 0 =TP<=>SK
bo:
Na mocy prawa Irbisa mamy:
TP=SK
stąd:
~TP*SK = ~TP*TP=0
Stąd mamy:
TP=>SK := TP<=>SK
Gdzie:
:= - minimalizacja funkcji logicznej na mocy prawa Irbisa
Stąd mamy sprzeczność czysto matematyczną bo:
TP=>SK := TP<=>SK
Czyli:
Y = (TP=>SK) = ~TP+SK ## Y = (TP<=>SK) = TP*SK + ~TP*~SK
To samo w zapisie ogólnym:
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y = (p<=>q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
W matematyce tożsamość Hipcia została obalona dla zbiorów tożsamych TP=SK
cnd
Krok 2
Zbadajmy tożsamość Hipcia dla zbiorów nietożsamych p##q gdzie zachodzi warunek wystarczający p=>q.
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Algorytm obalenia tożsamości Hipcia w matematyce dla zbiorów nietożsamych p##q:
1
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
2.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
3.
Dla zbiorów nietożsamych p##q mamy:
p<=>q =0 - na mocy prawa Irbisa
Stąd:
p=>q = p<=>q +~p*q := 0+~p*q
p=>q := ~p*q
Gdzie:
:= - redukcja tożsamości Hipcia na mocy prawa Irbisa
4.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q - wyprowadzenie w punkcie 2.10
5.
Prowadzi to do sprzeczności czysto matematycznej w tożsamości Hipcia:
Y = (p=>q) =~p+q ## Y = (p|=>q) = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Przykład:
Wprowadzenie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk łatwo udowodni tu relację podzbioru P8=>P2.
Z faktu, że zbiór P8 jest podzbiorem => P2 oraz zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] są różne na mocy definicji ## wnioskujemy, iż spełniony jest tu warunek wystarczający P8=>P2 wchodzący w skład implikacji prostej P8|=>P2.
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0) =1*1=1
Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
P8|=>P2 = ~P8*P2
Dowód w punkcie 2.10.
Algorytm obalenia tożsamości Hipcia w matematyce dla zbiorów nietożsamych P8##P2:
1.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = ~p+q = p<=>q + ~p*q
Przyjmijmy:
p=P8
q=P2
Stąd:
P8=>P2 = P8=>P2 + ~P8*P2
2.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
3.
Dla zbiorów nietożsamych p##q mamy:
p<=>q =0 - na mocy prawa Irbisa
Stąd:
p=>q = p<=>q +~p*q := 0+~p*q
p=>q := ~p*q
Gdzie:
:= - redukcja tożsamości Hipcia na mocy prawa Irbisa
Tożsamość Hipcia dla naszego przykładu:
P8=>P2 = P8<=>P2 + ~P8*P2 := 0 + ~P8*P2
bo:
P8<=>P2 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] nie są (=0) tożsame
Stąd mamy:
P8=>P2 := ~P8*P2
Gdzie:
:= - redukcja tożsamości Hipcia na mocy prawa Irbisa
4.
Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p|=>q = ~p*q - wyprowadzenie w punkcie 2.10
5.
Prowadzi to do sprzeczności czysto matematycznej w tożsamości Hipcia:
Y = (p=>q) =~p+q ## Y = (p|=>q) = ~p*q
Nasz przykład:
Y = (P8=>P2)=~P8+P2 ## Y = (P8|=>P2) = ~P8*P2
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd
Podsumowanie:
Tożsamość Hipcia została obalona zarówno dla zbiorów tożsamych TP=SK jak i nietożsamych P8##P2.
Wniosek:
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Hipcia:
3.
p=>q = p<=>q + ~p*q
jest fałszywa, co w 100-milowym lesie uczeń I klasy LO Jaś, udowodni w dwóch krokach jak wyżej.
21.6.2 Tożsamość Hipcia w świecie żywym
Zauważmy, że w świecie żywym, mającym "wolną wolę", tożsamość Hipcia jest prawdziwa
Definicja "wolnej woli" istot żywych:
"Wolna wola" to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej obowiązującej w świecie martwym
Dowód prawdziwości tożsamości Irbsola w świecie żywym.
Tożsamość Hipcia:
p=>q = p<=>q + ~p*q
Podstawmy:
p= K (kino)
q= T (teatr)
Stąd mamy:
TI.
K=>T = A: K<=>T + B: ~K*T
Wypowiedzmy prawą stronę tożsamości Hipcia:.
TI.
Jutro pójdziemy do kina (K) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru (T) lub nie pójdziemy do kina (~K) i pójdziemy do teatru (T)
Y = (K=>T) = A: K<=>T lub B: ~K*T
Zauważmy, że w świecie żywym prawdziwa może być zarówno równoważność A: K<=>T jak i połączony spójnikiem "lub"(+) człon:
Yb=~K~~>T = ~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Każdy z członów rozłącznych A albo B ma szansę jutro zajść, zatem nie możemy tu w jakikolwiek sposób minimalizować tożsamości Hipcia.
Zauważmy, że równanie TI, choć poprawne matematycznie to sztuka dla sztuki, czyli w praktyce języka potocznego nieużywane.
Uwaga:
W języku potocznym nieużywane jest również prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
Y = (K=>T) = ~K+T = K*T + ~K*~T + ~K*T
Dowód w punkcie 21.4
21.7 Tożsamość Geparda p+q = p$q + p*q
Analogiczna do tożsamości Irbisiola jest tożsamość Geparda.
1.
Definicja spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych A, B, C:
Y = p+q = A: p*~q + B: ~p*q + C: p*q
2.
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i'(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
3.
Podstawiając 2 do 1 mamy.
Tożsamość Geparda:
Y = p+q = AB: p$q + C: p*q
21.7.1 Tożsamość Geparda w świecie martwym i w matematyce
Rozważmy zdanie:
Dowolny człowiek Y mówi prawdę (P) lub kłamie (K)
Y = P+K
Tożsamość Geparda:
Y = p+q = AB: p$q + C: p*q
Podstawmy nasz przykład:
p= P (mówi prawdę)
q = K (kłamie)
Stąd mamy:
Tożsamość Geparda:
Y = P+K = AB: P$K + C: P*K
Zauważmy, że dowolny człowiek nie może równocześnie mówić prawdy (P) i kłamać (K)
stąd człon C w świecie martwym i w matematyce oraz w świecie niezależnym od wolnej woli człowieka (nasz przypadek) jest fałszem (=0)
C: Yc= P*K =0
Stąd mamy minimalizację tożsamości Geparda:
Y = P+K = AB: P$K + C: P*K := AB: P$K + 0 = AB: P$K
Gdzie:
:= - minimalizacja równania na mocy teorii zdarzeń
Stąd mamy sprzeczność czysto matematyczną bo:
Y = P+K ## Y = AB: P$K = A: P*~K + B: ~P*K
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
Y = p+q ## Y= AB: p$q = A: p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Geparda została obalona dla zdarzeń rozłącznych A, B, C.
cnd
21.7.2 Tożsamość Geparda w świecie żywym
Zobaczmy jak zachowuje się tożsamość Geparda w świecie żywym gdzie w grę wchodzi "wolna wola" istoty żywej.
Tożsamość Geparda:
Y = p+q = AB: p$q + C: p*q
Podstawmy;
p = K (kino)
q = T (teatr)
Tożsamość Geparda przyjmuje tu postać:
Y = K+T = AB: K$T + C: K*T
Środek tożsamości Geparda jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K+T
Korzystając z definicji spójnika "lub"(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = A: p*~q + B: ~p*q + C: p*q
mamy dla naszego przykładu:
Y = K+T = A: K*~T + B: ~K*T + C: K*T
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i ~T=1 lub B: ~K=1 i T=1 lub C: K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
B: Yb=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
C: Yc=K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
Y = Ya + Yb + Yc
Wystarczy, że którakolwiek z funkcji cząstkowych Ya, Yb, Yc przyjmie wartość logiczną 1 i już funkcja Y przyjmie wartość logiczną 1 (Y=1).
Zauważmy, że w przeciwieństwie do świata martwego i matematyki nie mamy tu szans na wyrugowania jakiegokolwiek członu funkcji logicznej Y.
Tożsamość Geparda dla naszego przykładu:
Y = K+T = AB: K$T + C: K*T
Poprawne matematycznie jest w tym przypadku zdanie złożone (prawa strona tożsamości Geparda).
ABC:
Jutro pójdziemy do kina "albo"($) do teatru lub pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T)
Y = AB: K$T + C: K*T
Spójnik "albo"($) to z definicji wybór jednej z dwóch możliwości, tu wybieramy między pójściem do kina (K) "albo"($) pójściem do teatru (T) - człon AB.
Dodatkowo mamy tu możliwość jednoczesnego pójścia do kina (K) i do teatru (T) - człon C.
W żadnym z powyższych przypadków nie zostaniemy kłamcą.
W języku potocznym człowiek prawie nigdy nie wypowiada spójnika "albo"($) zastępując go zawsze i wszędzie spójnikiem "lub"(+). Teoretycznie, gdyby nasz mózg był komputerem, to tego nie wolno robić. Na szczęście mózg każdego 5-cio latka nie jest komputerem i doskonale sobie z tym zastępstwem radzi, czego dowód mamy w punkcie 7.0.
21.8 Tożsamość Pumy p~~>q = p<=>q + p$q
Chaos p|~~>q, czyli zdanie zawsze prawdziwe poznaliśmy w punkcie 8.0
Istota operatora chaosu p||~~>q to seria czterech zdań prawdziwych kodowanych zdarzeniami możliwymi i rozłącznymi przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Stąd mamy:
Definicja zdania zawsze prawdziwego ~~> wynikła z operatora chaosu p||~~>q to:
p~~>q = A: p*q + B: ~p*~q + C: p*~q + D: ~p*q
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "lub"(+) i "i"(*):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "lub"(+) i "i"(*)
p$q = p*~q + ~p*q
Stąd mamy:
Tożsamość Pumy:
p~~>q = TR: p<=>q + TA: p$q
21.8.1 Tożsamość Pumy w świecie martwym i w matematyce
Definicja zdania zawsze prawdziwego ~~> wynikła z operatora chaosu p||~~>q to:
p~~>q = A: p*q + B: ~p*~q + C: p*~q + D: ~p*q
Dla zdania zawsze prawdziwego ~~> prawdziwe muszą być wszystkie cztery człony A, B, C i D
Dziedzina fizyczna dla zdania zawsze prawdziwego ~~> to suma logiczna członów ABCD.
Dowód:
Y = A: p*q + C: p*~q + B: ~p*~q + D: ~p*q - bo suma logiczna (+) jest przemienna
Stąd mamy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
Dziedzina fizyczna jest poprawna.
cnd
Tożsamość Pumy:
p~~>q = TR: p<=>q + TA: p$q
Stąd:
W świecie martwym i w matematyce tożsamość Pumy jest fałszem bo:
1.
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q i odwrotnie
p=q <=> p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
Równanie zdania zawsze prawdziwego ~~>:
Y = (p~~>q) = A: p*q + B: ~p*~q + C: p*~q + D: ~p*q = TR: p<=>q + C: p*~q + D: ~p*q
Zbiory/zdarzenia w członie TR na 100% nie są tożsame p##q bo może być prawdziwy człon C albo D.
Wniosek:
Tożsamość Pumy jest fałszywa w świecie martwym i w matematyce.
Przykład:
Weźmy sztandarowe zdanie zawsze prawdziwe w zbiorach:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i P3 np. 24
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Dowód formalny iż zdanie A jest częścią operatora chaosu ABCD: P8||~~>P3 (pkt. 18.1.1) to analiza funkcji cząstkowych ABCD przez wszystkie możliwe przeczenia p i q kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~>
| Kod: |
Dowód iż zdanie A: P8~~>P3 jest częścią operatora chaosu P8||~~>P3:
A: P8~~> P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i P3 np. 24
B:~P8~~>~P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P3 np. 1
C: P8~~>~P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P3 np. 8
D:~P8~~> P3 =1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P3 np. 3
cnd
|
Tożsamość Pumy:
p~~>q = TR: p<=>q + TA: p$q
Zapiszmy tożsamość Pumy dla naszego przykładu:
P8~~>P3 = TR: P8<=>P3 + TA: P8$P3
Zauważmy, że na gruncie matematyki oba człony po prawej stronie tożsamości Pumy są fałszem (=0):
TR: P8<=>P3 =0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9,12..] nie są tożsame
TA: P8$P3 =0 - bo dowolna liczba naturalna nie należy tylko i wyłącznie do zbiorów P8 albo P3
Wniosek:
Tożsamość Pumy na gruncie teorii zbiorów (matematyka) jest totalnie fałszywa:
Y = (P8~~>P3) ## Y = TR: P8<=>P3 + TA: P8$P3
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
21.8.2 Tożsamość Pumy w świecie żywym
Definicja "wolnej woli":
"Wolna wola" to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej obowiązujących w świecie martwym i w matematyce
Definicja "wolnej woli" obowiązuje tylko i wyłącznie w świecie żywym, bowiem świat martwy z definicji nie może złamać jakiegokolwiek prawa logiki matematycznej, pod którą sam podlega.
Wniosek:
Wyłącznie w świecie żywym mającym "wolną wolę" równanie zdania zawsze prawdziwego ~~> możemy zapisać w postaci tożsamości Pumy.
Tożsamość Pumy:
Zdanie zawsze prawdziwe w postaci p~~>q = p<=>q + p$q
Y = p~~>q = p<=>q + p$q
Podstawmy:
p= K (kino)
q= T (teatr)
Stąd mamy tożsamość Pumy w zapisie aktualnym:
Y = K~~>T = K<=>T + K$T
Środek to zdanie zawsze prawdziwe zrozumiałe dla każdego 5-cio latka.
Pani w przedszkolu:
A1.
Możliwe, że jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y = K~~>T = A: K*T + B: ~K*~T + C: K*~T + D: ~K*T
Oczywistym jest, ze cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie skłamie.
Zdaniem A1 pani przedszkolanka sonduje chęć dzieci pójścia do kina (K) lub do teatru (T)
Konkretną obietnicę złoży obserwując reakcję dzieci.
Może przykładowo powiedzieć:
A2.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Gdy zobaczy, że za pójściem do kina są prawie wszystkie dzieci.
Zauważmy, że pani przedszkolanka może tu skorzystać z tożsamości Pumy … tylko które dziecko ją zrozumie?
Tożsamość Pumy w odniesieniu do zdania zawsze prawdziwego:
Y = K~~>T = AB: K<=>T + CD: K$T
Prawą stronę czytamy:
ABCD:
Jutro pójdziemy do kina (K) wtedy i tylko wtedy <=> gdy pójdziemy do teatru (T) lub pójdziemy do kina (K) "albo"($) do teatru (T)
Y = AB: K<=>T + CD: K$T
Jest oczywistym, że zdanie ABCD mimo że matematycznie poprawne i tożsame ze zdaniem A1, ale to jest sztuka dla sztuki, w języku potocznym niewystępująca.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 23:20, 16 Sty 2024, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 22:00, 24 Lip 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
22.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ w obsłudze zdań "Jeśli p to q"
Spis treści
22.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ w obsłudze zdań "Jeśli p to q" 1
22.1 Cytat wykładowcy logiki matematycznej Volratha 1
22.2 Prawo Krokodyla 4
22.2.1 Twarde i miękkie jedynki w operatorze implikacji prostej p||=>q 4
22.2.2 Twarde i miękkie jedynki w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q 6
22.2.3 Twarde jedynki w operatorze równoważności p|<=>q 8
22.2.4 Twarde jedynki w operatorze "albo" p|$q 10
22.2.5 Brak twardych jedynek w operatorze chaosu p||~~>q 12
22.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ w obsłudze zdań "Jeśli p to q"
Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ dedykowany jest matematykom znającym logikę matematyczną zwaną "Klasyczny Rachunek Zdań".
Algebra Boole’a jest fundamentem KRZ, zatem wszelkie prawa algebry Boole’a muszą być honorowane przez KRZ.
22.1 Cytat wykładowcy logiki matematycznej Volratha
2023-01-24
Największą dla mnie niespodzianką w rozszyfrowywaniu algebry Kubusia jest wykorzystanie cytatu wykładowcy logiki matematycznej Volratha z roku 2008 do udowodnienia wewnętrznej sprzeczności Klasycznego Rachunku Zdań w obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q".
Algebra Kubusia która spełnia wymagania poprawnej logiki matematycznej z cytatu Volratha jest wewnętrznie niesprzeczna. Najśmieszniejszy w tym wszystkim jest fakt, że na mocy cytatu Volratha rachunek predykatów w algebrze Kubusia jest zbędny, nie ma prawa bytu!
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-100.html#72062
Wysłany: Śro 13:43, 10 Gru 2008
| wykładowca logiki matematycznej volrath napisał: |
Niestety bazowa logika Boole'a domyślnie zakłada, że wszystkie jedynki są miękkie, a zera twarde. Tak już jest skonstruowana - jeśli z zdania wychodzi 0, to znaczy, że na pewno nie ma obiektu spełniającego to zdanie, a jeśli 1 - to może być, ale nie musi. Rozumienie, że "na pewno jest obiekt spełniający zdanie" nie mieści się w logice Boole'a.
…
Czyli trzeba zrobić tak:
0 - twarde zero
1 - twarda jedynka
2 - miękkie coś (jedynka lub zero - są równoważne)
Alternatywnie należałoby dodać do logiki rachunek predykatów pierwszego rzędu (i tak się robi obecnie, w ogóle logika nie rozpoznaje zdania "jeśli p to może q", chociaż jedno jego rozumienie jako warunku koniecznego da się zapisać logiką Boole'a, a drugie da się zapisać rachunkiem predykatów lub rozszerzając logikę Boole'a do trójwartościowej - w sumie to rachunek predykatów jest po to by zdania zawierające "dla każdego" i "istnieje" jakoś przetwarzać.)
W sumie to ciekawy problem - poprawne skonstruowanie logiki trójwartościowej tak, by nie potrzeba było rachunku predykatów do przetwarzania zdań "istnieje" i "dla każdego" oraz zawierał trzy wartości "prawda" = twarda prawda, "fałsz" = twardy fałsz i "może" = miękki fałsz/prawda.
Ludzie na co dzień przetwarzają zdania typu "istnieje X" i "dla każdego ze zbioru Y zachodzi Z". I część tych zdań nie mieści się w logice podstawowej (wymaga rachunku predykatów) - a może powinna.
|
Jak widzimy, wykładowca logiki matematycznej Volrath napisał czego brakuje w logice matematycznej ziemian i to czego brakuje jest w algebrze Kubusia!
W algebrze Kubusia zawsze gdy jest twarde zero jest też twarda jedynka, której logika zwana KRZ nie widzi z powodu prawa eliminacji warunku wystarczającego => (w KRZ prawo eliminacji implikacji =>)
Najważniejsza uwaga do cytatu Vorahta:
Algebra Kubusia jest logiką dwuwartościową bo w każdej chwili czasowej mamy do wyboru jedną z dwóch możliwości a mimo to AK obsługuje zdania warunkowe "Jeśli p to może q".
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Wnioski z cytatu Voratha:
1.
Prawo Krokodyla:
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Uwaga:
W algebrze Kubusia pod logikę matematyczną podlegają zdania warunkowe „Jeśli p to q” spełniające algorytm Puchacza (pkt. 2.11), wszelkie inne zdania są w AK fałszywe.
Definicja twardej jedynki:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarda jedynka to spełniony warunek wystarczający => w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków =>, ~> i ~~>.
Na mocy definicji kontrprzykładu spełniony warunek wystarczający A1: p=>q=1 (twarda jedynka) wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’: p~~>~q=0 (twarde zero) i odwrotnie
Przykład dla zbiorów:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
A1: p=>q =1 - twarda jedynka
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Twarda jedynka w A1: p=>q =1 wymusza twarde zero w kontrprzykładzie A1’: p~~>~q=0 (twarde zero) i odwrotnie
Definicja twardego zera:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarde zero to fałszywość zdania A1’: p~~>~q =0 kodowanego zdarzeniem możliwym ~~> (dla zdarzeń) lub elementem wspólnym zbiorów ~~> (dla zbiorów) w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków =>, ~> i ~~>.
Na mocy definicji fałszywy kontrprzykład A1’: p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwy warunek wystarczający => A1: p=>q (twarda jedynka) i odwrotnie.
Przykład dla zbiorów:
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
A1’: p~~>~q=p*~q =0 - twarde zero
Możliwy jest ~~> przypadek: zajdzie p i nie zajdzie q
Twarde zero w A1’: p~~>~q =0 wymusza twardą jedynkę w warunku wystarczającym => A1: p=>q =1 (i odwrotnie)
Notacja w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1 oznaczamy A1’
Szczegóły:
1.
W obsłudze implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q poprawna logika matematyczna musi widzieć jedno twarde zero i jedną twardą jedynkę, oraz dwie jedynki miękkie
2.
W obsłudze równoważności p<=>q i spójnika "albo"$ poprawna logika matematyczna musi widzieć dwa twarde zera i dwie twarde jedynki (zero jedynek miękkich)
3.
W obsłudze chaosu p|~~>q gdzie mamy same jedynki w kolumnie wynikowej nie ma ani jednego twardego zera, a tym samym nie ma warunku wystarczającego =>, wszystkie cztery jedynki są tu miękkimi jedynkami.
2.
Prawo Aligatora:
W logice matematycznej niesprzecznej na mocy prawa Krokodyla (algebra Kubusia) rachunek predykatów jest zbędny, nie ma prawa bytu!
3.
Sprzeczność KRZ:
Ziemska logika matematyczna zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań z powodu obligatoryjnego korzystania z prawa eliminacji warunku wystarczającego => (w KRZ implikacji =>) z definicji nie widzi jakiegokolwiek warunku wystarczającego => (twardej jedynki), co oznacza iż jest wewnętrznie sprzeczna.
4.
Prawo Mamuta (którego już nie ma):
Ziemski matematyk który zastosuje prawo eliminacji warunku wystarczającego => (w KRZ implikacji =>):
p=>q = ~p+q
w odniesieniu do zdania warunkowego "Jeśli p to q" popełnia błąd fatalny, bo zabija warunek wystarczający => (twardą jedynkę)
22.2 Prawo Krokodyla
Prawo Krokodyla:
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
22.2.1 Twarde i miękkie jedynki w operatorze implikacji prostej p||=>q
W algebrze Kubusia operator implikacji prostej p||=>q opisany jest jedna twardą jedynką, jedynym twardym zerem, oraz dwoma jedynkami miękkimi, czego dowód znajdziemy w punkcie 10.1.2
Cytuję:
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q:
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
| Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q =1
A2: ~p~>~q =1 - bo prawo Kubusia: A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Miękka jedynka w A2 na mocy definicji p||=>q
LUB
B2':~p~~>q =1 - fałszywy B2:~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2'
Miękka jedynka w B2' na mocy definicji p||=>q
|
Prawo Krokodyla (pkt 22.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze implikacji prostej p||=>q mamy jedną twardą jedynkę (A1), jedno twarde zero (A1') oraz dwie miękkie jedynki (A2 i B2') wymuszone definicją tego operatora, co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
Matematycznie za cytatem Volrtaha (pkt. 22.1) jest tu wszystko w porządku.
Definicja twardej jedynki:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Definicja twardego zera:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu A1’: p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A1: p=>q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.
Definicja miękkiej jedynki:
Miękka jedynka może zajść, ale nie musi.
Definicja miękkiego zera:
Miękkie zero może zajść, ale nie musi.
Jak działają w praktyce miękkie jedynki i miękkie zera?
W operatorze implikacji prostej p||=>q dwie miękkie jedynki mamy na pozycjach A2 i B2’.
Przypadek 1.
Załóżmy, że zajdzie miękka jedynka w linii A2.
A2.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
A2: ~p~>~q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Innymi słowy, może się zdarzyć pojedyncze iterowanie ~~>:
Y(A2) = ~p~~>~q = ~p*~q=1
Co w logice jedynek oznacza:
Y(A2)=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Dla tego przypadku zdanie B2’ będzie miękkim fałszem:
B2’ = ~p~~>q = ~p*q =0
Dowód:
Z założenia Y(A2) mamy:
(~q=1)=(q=0) - to zaszło z założenia (prawo Prosiaczka)
Stąd mamy:
Y(B2’) =~p*q = 1*0 =0
cnd
Wniosek:
Miękka jedynka w linii A2 wymusza miękkie zero w linii B2’ (i odwrotnie), co wyżej zostało udowodnione.
Przypadek 2.
Załóżmy, że zajdzie miękka jedynka w linii B2’.
B2’
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Innymi słowy może się zdarzyć pojedyncze iterowanie:
Y(B2’) = ~p*q =1
Co w logice jedynek oznacza:
Y(B2’)=1 <=> ~p=1 i q=1
Dla tego przypadku zdanie A2 będzie miękkim fałszem:
A2 = ~p~~>~q = ~p*~q =0
Dowód:
Z założenia Y(B2’) mamy:
(q=1)=(~q=0) - to zaszło z założenia (prawo Prosiaczka)
Stąd mamy:
Y(A2) = ~p*~q = 1*0 =0
cnd
Wniosek:
Miękka jedynka w linii B2’ wymusza miękkie zero w linii A2 (i odwrotnie), co wyżej zostało udowodnione.
22.2.2 Twarde i miękkie jedynki w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q
W algebrze Kubusia operator implikacji odwrotnej p||~>q opisany jest jedną twardą jedynką, jedynym twardym zerem, oraz dwoma jedynkami miękkimi, czego dowód znajdziemy w punkcie 10.3.2
Cytuję:
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q.
| Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q.
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Miękka jedynka w B1 na mocy definicji p||~>q
LUB
A1': p~~>~q=1 - fałszywy A1: p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1'
Miękka jedynka w A1' na mocy definicji p||~>q
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
B2: ~p=>~q =1 - bo prawo Kubusia B1: p~>q = B2: ~p~>~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Prawo Krokodyla (pkt. 22.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q mamy jedną twardą jedynkę (B2), jedno twarde zero (B2') oraz dwie miękkie jedynki (B1 i A1') wymuszone definicją tego operatora, co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
Matematycznie za cytatem Volrtaha (pkt. 22.1) jest tu wszystko w porządku
Definicja miękkiej jedynki:
Miękka jedynka może zajść, ale nie musi.
Definicja miękkiego zera:
Miękkie zero może zajść, ale nie musi.
Jak działają w praktyce miękkie jedynki i miękkie zera?
W operatorze implikacji odwrotnej p||~>q dwie miękkie jedynki mamy na pozycjach B1 i A1’.
Przypadek 1.
Załóżmy, że zajdzie miękka jedynka w linii B1.
B1.
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy, może się zdarzyć iterowanie:
Y(B1) = p~~>q = p*q=1 - pojedyncze iterowanie
Co w logice jedynek oznacza:
Y(B1)=1 <=> p=1 i q=1
Dla tego iterowania zdanie A1’ będzie miękkim fałszem:
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Y(A1’) = p~~>~q = p*~q =0
Dowód:
Z założenia Y(B1) mamy:
(q=1)=(~q=0) - to zaszło z założenia (prawo Prosiaczka)
Stąd dla tego iterowania mamy:
Y(A1’) = p*~q = 1*0 =0
cnd
Wniosek:
Miękka jedynka w linii B1 wymusza miękkie zero w linii A1’ (i odwrotnie), co wyżej zostało udowodnione.
Przypadek 2.
Załóżmy, że zajdzie miękka jedynka w linii A1’.
A1’
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
A1’ = p~~>~q = p*~q =1
Innymi słowy, może się zdarzyć iterowanie:
Y(A1’) = p~~>~q = p*~q=1 - pojedyncze iterowanie
Co w logice jedynek oznacza:
Y(A1’)=1 <=> p=1 i ~q=1
Dla tego iterowania zdanie B1 będzie miękkim fałszem:
Y(B1) = p~~>q = p*q =0
Dowód:
Z założenia Y(A1’) mamy:
(~q=1)=(q=0) - to zaszło z założenia (prawo Prosiaczka)
Stąd mamy:
Y(B1) = p*q = 1*0 =0
cnd
Wniosek:
Miękka jedynka w linii A1’ wymusza miękkie zero w linii B1 (i odwrotnie), co wyżej zostało udowodnione.
Definicja twardej jedynki:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
B2.
Innymi słowy, jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
B2: ~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Definicja twardego zera:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
B2’: ~p~~>q = ~p*q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu B2’: ~p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.
22.2.3 Twarde jedynki w operatorze równoważności p|<=>q
W algebrze Kubusia operator równoważności p|<=>q opisany jest dwoma twardymi jedynkami i dwoma twardymi zerami, czego dowód znajdziemy w punkcie 10.5.2
Definicja tabeli prawdy operatora równoważności p|<=>q:
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q:
| Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Prawo Krokodyla (pkt. 22.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze równoważności p|<=>q mamy dwie twarde jedynki (A1 i B2) oraz dwa twarde zera (A1', B2'), co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
Matematycznie za cytatem Volrtaha (pkt. 22.1) jest tu wszystko w porządku
I.
Twarda jedynka i twarde zero po stronie p
Definicja twardej jedynki po stronie p:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Definicja twardego zera po stronie p:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu A1’: p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A1: p=>q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.
Podsumowując:
Twarda jedynka w linii A1 wymusza twarde zero w linii A1’ (i odwrotnie).
II.
Twarda jedynka i twarde zero po stronie ~p
Definicja twardej jedynki po stronie ~p:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
B2.
Innymi słowy, jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
B2: ~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
Definicja twardego zera po stronie ~p:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
B2’: ~p~~>q = ~p*q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu B2’: ~p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.
Podsumowując:
Twarda jedynka w linii B2 wymusza twarde zero w linii B2’ (i odwrotnie).
22.2.4 Twarde jedynki w operatorze "albo" p|$q
W algebrze Kubusia operator "albo" p|$q opisany jest dwoma twardymi jedynkami i dwoma twardymi zerami, czego dowód znajdziemy w punkcie 10.8.2
Cytuję:
Definicja tabeli prawdy operatora "albo" p|$q:
Tabela prawdy operatora "albo" p|$q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
Tabela prawdy operatora "albo" p|$q na mocy analizy w poprzednim punkcie:
| Kod: |
T1
Tabela prawdy operatora "albo" p|$q
A1B1:
p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>q =0 - prawdziwość A1: p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2:
~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)
B2: ~p=> q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>~q=0 - prawdziwość B2:~p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Prawo Krokodyla (pkt. 22.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze "albo" p|$q mamy dwie twarde jedynki (A1 i B2) oraz dwa twarde zera (A1', B2'), co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
Matematycznie za cytatem Volrtaha (pkt. 22.1) jest tu wszystko w porządku
I.
Twarda jedynka i twarde zero po stronie p
Definicja twardej jedynki po stronie p:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K)
To samo w zapisach formalnych:
p=>~q =1
Definicja twardego zera po stronie p:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu A1’: p~~>q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A1: p=>~q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.
Przykład:
A1’.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to może ~~> być kobietą (K)
M~~>K = M*K =0
Nie może się zdarzyć ~~> (=0), że dowolny człowiek jest jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
To samo w zapisach formalnych:
p~~>q = p*q =0
Podsumowując:
Twarda jedynka w linii A1 wymusza twarde zero w linii A1’ (i odwrotnie).
II.
Twarda jedynka i twarde zero po stronie ~p
Przykład o mężczyźnie i kobiecie dla tego przypadku znajdziemy w punkcie 17.5.1
Definicja twardej jedynki po stronie ~p:
Twarda jedynka zachodzi zawsze bez wyjątków.
B2.
Innymi słowy, jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
B2: ~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (twarda jedynka) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Definicja twardego zera po stronie ~p:
Twarde zero zachodzi zawsze bez wyjątków
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
B2’: ~p~~>~q = ~p*~q=0
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość kontrprzykładu B2’: ~p~~>~q =0 (twarde zero) wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q =1 (twarda jedynka) i odwrotnie.
Podsumowując:
Twarda jedynka w linii B2 wymusza twarde zero w linii B2’ (i odwrotnie).
22.2.5 Brak twardych jedynek w operatorze chaosu p||~~>q
Tu posłużę się dwoma, kluczowymi odnośnikami:
Punkt 10.10
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Punkt 10.10.2
Definicja tabeli prawdy operatora chaosu p||~~>q:
Tabela prawdy operatora chaosu p||~~>q to analiza tego operatora w warunkach wystarczających =>, warunkach koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w kierunku od p do q
Zauważmy, że w operatorze chaosu p||~~>q z definicji nie ma żadnego warunku wystarczającego ~> co wymusza brak warunku koniecznego ~>.
Stąd w tabeli operatora chaosu p||~~>q w analizie tego operatora przez wszystkie możliwe przeczenia p i q muszą być wszędzie wynikowe jedynki.
Zapiszmy tabele prawdy operatora chaosu p||~~>q wyprowadzoną w poprzednim punkcie dla ułatwienia upraszczając indeksowanie, co jest bez znaczenia
| Kod: |
T2
Tabela prawdy operatora chaosu p||~~>q
A: p~~> q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~>~q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q
D:~p~~> q=1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
|
Prawo Krokodyla (pkt. 22.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
W operatorze chaosu p||~~>q wszystkie jedynki są miękkie, nie ma tu żadnego warunku wystarczającego =>, zatem nie ma tu ani jednej twardej jedynki, co pociąga za sobą brak twardego zera.
Prawo Krokodyla jest oczywiście spełnione, co oznacza brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
Matematycznie za cytatem Volrtaha (pkt. 22.1) jest tu wszystko w porządku
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 23:41, 28 Sty 2024, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 22:12, 24 Lip 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
23.0 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w algebrze Boole’a
Spis treści
23.0 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w algebrze Boole’a 1
23.1 Wstęp do twardych i miękkich zer i jedynek w warunku wystarczającym => 2
23.1.1 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w warunku wystarczającym => 5
23.2 Wstęp do twardych i miękkich zer i jedynek w równoważności <=> 11
23.2.1 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w równoważności <=> 16
23.0 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w algebrze Boole’a
Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego (w tym matematyki i fizyki).
Algebra Kubusia zawiera w sobie nową algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) oraz „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Aktualna algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q” definiowanych warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>.
Definicja nowej algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Nowa algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
1 = prawda
0 = fałsz
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
Spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Dlaczego nowa algebra Boole’a?
1.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość znaczków:
Spójnik „i”(*) z języka potocznego = bramka AND (*) w technice = koniunkcja (*) w matematyce
Spójnik „lub”(+) z języka potocznego = bramka OR(+) w technice = alternatywa (+) w matematyce
Dowód tego faktu na poziomie 5-cio latka znajdziemy w punkcie 1.9 (sterowanie windą).
2.
Stara algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo p) i logika ujemna (bo ~p). Definicję znajdziemy w pkt. 1.1.1
3.
Stara algebra Boole'a jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), co udowodnimy za chwilkę (pkt. 1.5.7 i 1.5.8)
Tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że nie zna ona pojęcia funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y), akceptując wyłącznie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y).
Na początek przypomnijmy sobie kluczową definicję funkcji alternatywno-koniunkcyjnej podaną w punkcie 1.14.2 często używaną w poniższych rozważaniach.
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Wniosek:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
W tym miejscu czytelnik proszony jest o przypomnienie sobie wiadomości elementarnych w kwestii warunków wystarczających => i koniecznych ~> zawartych w punktach 2.4 do 2.5
23.1 Wstęp do twardych i miękkich zer i jedynek w warunku wystarczającym =>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym (pkt. 2.5)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q oraz definicji kontrprzykładu w zdarzeniach nasza tabela T0 przyjmuje szczegółową postać implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
T1
Definicja implikacji prostej p|=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających =>
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A5B5:
Y= Y= Y= Y= Y=
A: 1: p=> q= 1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q
A’: 1: p~~>~q=0 = 4:~q~~>p=1
## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y=
B: 1: p~> q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=> p =0 = 4:~q~>p =0 [=] 5: p+~q
B’: 2:~p~~>q=1 3: q~~>~p=1
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
##
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych na bazie kolumn A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: (p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może być jeśli zajdzie ~p?
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH=1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno (CH) bo zawsze gdy pada, jest pochmurno.
Na mocy prawa Kłapouchego (pkt. 2.7) nasz punkt odniesienia to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Szczegółowe rozwiązanie tego zadania mamy w punkcie 3.4.1.
Rozwiązanie skrótowe jest następujące:
Operator implikacji prostej P||=>CH w zapisie aktualnym (nasz przykład):
Operator implikacji prostej P||=>CH to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o padanie (P) i nie padanie (~P)
Kolumna A1B1:
A1B1: P|=>CH = (A1: (P=>CH)*~(B1: P~>CH) - co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P)?
Kolumna A2B2
A2B2: ~P|~>~CH = (A2: ~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) - co może być jeśli jutro nie będzie padało (~P)?
Skrócona, symboliczna tabela prawdy operatora P||=>CH jest następująca:
| Kod: |
T1.
Operator implikacji prostej P||=>CH w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
A1: P=> CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
A1’: P~~>~CH=0 – niemożliwe jest (=0) zdarzenie pada i nie jest pochmurno
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
A2: ~P~> ~CH=1 – brak padania jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur
B2’: ~P~~> CH=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i jest pochmurno
|
Cechą charakterystyczną algebry Kubusia jest jej przełożenie na język potoczny w przełożeniu 1:1.
Przejdźmy z naszego przykładu na zapis ogólny przez podstawienie:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Stąd mamy tabelę T1 w zapisie ogólnym:
| Kod: |
T1.
Operator implikacji prostej p||=>q w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
A1: p=> q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 – niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście p i ~q
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
A2: ~p~> ~q=1 – zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
B2’: ~p~~> q=1 – możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
|
Z tabeli operatora implikacji prostej p||=>q łatwo wyprowadzamy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego p=>q w logice dodatniej (bo q).
Jak to się robi znajdziemy w punkcie 10.1.2.
| Kod: |
TW
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
p q Y=(p=>q)=~p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
|
Z powyższego wynika, że z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego p=>q łatwo dojdziemy do symbolicznej definicji operatora implikacji prostej p||=>q podejmując działania odwrotne, co opisano w punkcie 10.2.
23.1.1 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w warunku wystarczającym =>
Na bazie wyprowadzonej wyżej zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => TW możemy łatwo rozszyfrować o co chodzi w twierdzeniu Volratha.
Twierdzenie Volratha:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-100.html#72062
Wysłany: Śro 13:43, 10 Gru 2008
| wykładowca logiki matematycznej volrath napisał: |
Niestety bazowa logika Boole'a domyślnie zakłada, że wszystkie jedynki są miękkie, a zera twarde. Tak już jest skonstruowana. |
| Kod: |
TW
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q Y=(p=>q)=~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
1 2 3
|
Jak wygenerować z tej tabeli operator implikacji prostej p||=>q?
Szczegóły znajdziemy w punkcie 10.2
Największą tragedią wszelkich ziemskich logik matematycznych jest prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u Ziemian prawo eliminacji implikacji =>):
Y = (p=>q) = ~p+q
Prawo eliminacji warunku wystarczającego => prowadzi do zagłady wszelkich sensownych ziemskich logik matematycznych, gdyż po jego zastosowaniu wywalamy w kosmos kluczowe pojęcia logiki matematycznej tzn. zarówno definicję warunku wystarczającego => jak i definicję warunku koniecznego ~>.
Dosadniej mówiąc, wywalamy w kosmos poniższy fundament wszelkich sensownych logik matematycznych, nieznany ziemskim matematykom.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Weźmy to nieszczęsne prawo eliminacji warunku wystarczającego => które sprowadza tabelę T0 wyżej do definicji operatora „lub”(|+) mającej zero wspólnego zarówno z warunkiem wystarczającym =>, jak i koniecznym ~>.
Definicja operatora „lub”(|+):
Operator „lub”(|+) układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zajdzie Y (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zajdzie p (~p=1) lub zajdzie q (q=1)
… a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = (~p+q) = p*~q – na mocy prawa De Morgana
stąd mamy:
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie zajdzie Y (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)
Uwaga:
W każdym innym przypadku zajdzie Y.
Zauważmy, że mamy tylko jedno zdarzenie rozłączne dające odpowiedź na pytanie o ~Y, dlatego łatwo generujemy funkcję logiczną Y w zdarzeniach rozłącznych tzn. wszystkie pozostałe zdarzenia z wykluczeniem zdarzenia ~Y.
1’: Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
1’: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Oczywistym jest, że matematycznie musi zachodzić tożsamość logiczna [=]:
1: Y=~p+q [=] 1’: Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Sprawdzenie poprzez minimalizację prawej strony:
1’.
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q) – wyciągnięcie zmiennej ~p przed nawias
Y = ~p + (p*q) – bo ~q+q=1 oraz x*1=x, prawa algebry Boole’a
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q – bo p*~p=0 oraz 0+x=x, prawa algebry Boole’a
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wyminę spójników:
Y = ~p+q
Stąd mamy dowód interesującej nas tożsamości:
1: Y=~p+q [=] 1’: Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
c.n.d
Zobaczmy jak beznadziejne jest prawo eliminacji warunku wystarczającego => na naszym przykładzie.
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada, jest pochmurno.
Innymi słowy:
Padanie (P) daje nam gwarancję matematyczną => istnienie chmur (CH), o czym każdy 5-cio latek wie
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Znaczenie zdania A1 jak wyżej rozumie każdy 5-cio latek.
Zastosujmy do zdania A1 prawo eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Nasz przykład:
P=>CH = ~P+CH
Stąd zdanie „tożsame” do zdania A1 brzmi:
1.
Jutro nie będzie padało (~P) lub będzie pochmurno (CH)
1: Y = ~P+CH
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~P=1 lub CH=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że jutro wystąpi zdarzenie Y (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie padało (~P) lub będzie pochmurno (CH)
Oczywistym jest, że sensu tego zdania żaden 5-cio latek nie zrozumie, że nie wspomnę o tożsamości:
A1: P=>CH = 1: ~P+CH
która formalnie zachodzi, ale która zabija występujący w zdaniu A1 warunek wystarczający =>.
… a kiedy nie zajdzie zdarzenie Y (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(~P+CH) = P*~CH
Stąd mamy:
2.
~Y = P*~CH
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> P=1 i ~CH=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że nie zajdzie zdarzenie (~Y): pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH)
Znaczenie symbolu Y:
Y=1 – prawdą jest (=1), że zajdzie zdarzenie Y (Y)
~Y=1 – prawdą jest (=1), że nie zajdzie zdarzenie Y (~Y)
Jak widzimy, sens zdania 2 rozumie każdy 5-cio latek, czego nie da się powiedzieć o zdaniu 1.
Aby zrozumieć sens zdania 1 musimy skorzystać z rozpiski tego zdania na zdarzenia rozłaczne, co wyżej w zapisach formalnych wyprowadziliśmy:
1: Y=~p+q [=] 1’: Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Nasz przykład:
1: Y=~P+CH [=] 1’: Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Stąd mamy:
1’.
Kiedy zajdzie zdarzenie (Y=1)?
Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: ~P=1 i CH=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), ze możliwe jest zdarzenie Y (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=P*CH=1*1=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie: pada (P=1) i jest pochmurno (CH=1)
lub
C: Yc=~P*~CH=1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
lub
D: Yd=~P*CH=1*1=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Jak widzimy, prawdziwość zdań składowych Ya, Yc i Yd jest oczywista dla każdego 5-cio latka, ale by do tych zdań dojść trzeba znać zawansowaną algebrę Boole’a w postaci zamiany sumy logicznej p+q na serię zdarzeń rozłącznych.
Prawo zamiany sumy logicznej p+q na serię zdarzeń rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód poprawności powyższego prawa.
Nasz przykład w zapisach formalnych:
Y = ~p+q = (~p)*q + (~p)*~q + ~(~p)*q
stąd po minimalizacji mamy:
Y = ~p+q = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Przejdźmy teraz do finału naszych rozważań:
| Kod: |
T2
Pełna tabela prawdy opisująca operator „lub”(|+)
Y=ACD:~p+q = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
|Komentarz
p q ~p ~q Y=ACD:~p+q # ~Y=B: ~p*~q |
A: 1 1 0 0 1 # 0 | Ya= p* q |Yacd=~p+q = Ya+Yc+Yd
B: 1 0 0 1 0 # 1 |~Yb= p*~q |~Yb=p*~q
C: 0 0 1 1 1 # 0 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 1 # 0 | Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
|
Nasz przykład (poziom 5-cio latka):
| Kod: |
T3
Pełna tabela prawdy opisująca operator „lub”(|+)
Y=ACD:~P+CH = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
|Komentarz
P CH ~P ~CH Y=ACD:~P+CH # ~Y=B: ~P*~CH |
A: 1 1 0 0 1 # 0 | Ya= P* CH |Yacd=Ya+Yc+Yd
B: 1 0 0 1 0 # 1 |~Yb= P*~CH |~Yb=P*~CH
C: 0 0 1 1 1 # 0 | Yc=~P*~CH
D: 0 1 1 0 1 # 0 | Yd=~P* CH
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
|
W tabeli T3 doskonale widać, że w pełnej tabeli zero-jedynkowej operatora „lub”(|+) opisujemy wyłącznie jedynki prowadzące do równań alternatywno-koniunkcyjnych, gdyż tylko te równania są zrozumiałe dla człowieka.
Opis wynikowych zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych, których żaden człowiek nie rozumie od 5-cio latka poczynając, na najwybitniejszych matematykach kończąc, czego dowód mamy w punkcie 1.10 (prawo Pandy).
Definicja twardego zera w logice dodatniej (bo Y):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej twarde zero w logice dodatniej (bo Y) oznacza, iż nie istnieją iterowania (przypadki) w których na pozycji twardego zera może pojawić się jedynka.
Zauważmy, ze w tabeli T3 jedyne twarde zero w logice dodatniej (bo Y) które dla dowolnego iterowania nigdy nie przyjmie wartości logicznej 1 mamy na pozycji B5.
Dowód:
Dowód iż w tabeli T3 mamy do czynienia z jednym twardym zerem to matematyczny opis punktu B5:
B5: Yb=0 <=> P=1 i ~CH=1
Interpretacja:
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie (Yb): pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
O czym każdy 5-cio latek wie.
Definicja miękkiej jedynki w logice dodatniej (bo Y):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej miękka jedynka w logice dodatniej (bo Y) oznacza, iż istnieją iterowania (przypadki) w których na pozycji jedynki pojawia się logiczne zero.
Zbadajmy jak to jest z logicznymi jedynkami w kolumnie wynikowej Y (ABCD5).
Wynikowe jedynki w kolumnie wynikowej Y (ABCD5) opisuje równanie logiczne:
Y = ~P+CH = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
W rozpisce spójnika „lub”(+) na zdarzenia rozłączne mamy:
1.
Kiedy zajdzie (Y=1)?
Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: ~P=1 i CH=1
I.
Założenie konkretnego iterowania Ya:
A: Ya = P*CH =1*1=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie (Ya): pada (P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Założenie:
P=1 i CH=1
Prawo Prosiaczka:
(P=1)=(~P=0)
(CH=1)=(~CH=0)
Podstawmy to iterowanie do równania 1:
Y = A: P*CH + C:~P*~CH + D: ~P*CH = A: (P=1)*(CH=1)=1 + C: (~P=0)*(~CH=0)=0 + D: (~P=0)*(CH=1)=0
Jak widzimy, dla iterowania P=1 i CH=1 wyłącznie w linii A mamy jedynkę, zaś w liniach C i D mamy 0.
Innymi słowy:
Jedynki w liniach C i D w tabeli T3 są miękkimi jedynkami, bo dla konkretnego iterowania (tu P=1 i CH=1) mogą przyjąć wartości logiczne 0.
Zauważmy, że dla tego iterowania zero w punkcie B5 (Yb) pozostanie zerem.
Dowód:
Yb=0 <=> B: P*~CH = (P=1)*(~CH=0)= 1*0=0
II.
Założenie konkretnego iterowania Yc:
C: Yc=~P*~CH=1*1=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie (Yc): nie pada (~P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
Założenie:
~P=1 i ~CH=1
Prawo Prosiaczka:
(~P=1)=(P=0)
(~CH=1)=(CH=0)
Podstawmy to iterowanie do równania 1:
Y = A: P*CH + C:~P*~CH + D: ~P*CH = A: (P=1)*(CH=0)=0 + C: (~P=1)*(~CH=1)=1 + D: (~P=1)*(CH=0)=0
Dla iterowania ~P=1 i ~CH=1 wyłącznie w linii C mamy jedynkę, zaś w liniach A i D mamy 0.
Innymi słowy:
Jedynki w liniach A i D w tabeli T3 są miękkimi jedynkami, bo dla konkretnego iterowania (tu ~P=1 i ~CH=1) mogą przyjąć wartości logiczne 0.
Zauważmy, że dla tego iterowania zero w punkcie B5 (Yb) pozostanie zerem.
Dowód:
Yb=0 <=> B: P*~CH = (P=0)*(~CH=1)= 0*1=0
III.
Ostatnie możliwe iterowanie to Yd:
D: Yd = ~P*CH =1*1=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie (Yc): nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Założenie:
~P=1 i CH=1
Prawo Prosiaczka:
(~P=1)=(P=0)
(CH=1)=(~CH=0)
Podstawmy to iterowanie do równania 1:
Y= A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH = A: (P=0)*(CH=1)=0 + C: (~P=1)*(~CH=0)=0 + D: (~P=1)*(CH=1)=1
Jak widzimy, dla iterowania ~P=1 i CH=1 wyłącznie w linii D mamy jedynkę, zaś w liniach A i C mamy 0.
Innymi słowy:
Jedynki w liniach A i C w tabeli T3 są miękkimi jedynkami, bo dla konkretnego iterowania (tu ~P=1 i CH=1) mogą przyjąć wartości logiczne 0.
Zauważmy, że dla tego iterowania zero w punkcie B5 (Yb) pozostanie zerem.
Dowód:
Yb=0 <=> B: P*~CH = (P=0)*(~CH=0) = 0*0=0
Jak widzimy wyżej dla dowolnego iterowania tabeli T3 zero w punkcie B5 zawsze pozostanie zerem (Yb=0), co oznacza iż jest to twarde zero.
Podsumowując:
W kolumnie ABCD5 wszystkie jedynki są miękkimi jedynkami, co jest dowodem wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej po zastosowaniu prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
A1: P=>CH = ~P+CH = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
bowiem w znaczkach =>, ~> i ~~> w punkcie A5 występuje ewidentna twarda jedynka wymuszająca twarde zero punkcie B5 (kontrprzykład).
Dowód:
| Kod: |
T1.
Operator implikacji prostej P||=>CH w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?
A: P=> CH =1 – padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B: P~~>~CH=0 – niemożliwe jest (=0) zdarzenie pada i nie jest pochmurno
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?
C: ~P~> ~CH=1 – brak padania jest warunkiem koniecznym ~> dla braku chmur
D: ~P~~> CH=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie nie pada i jest pochmurno
|
23.2 Wstęp do twardych i miękkich zer i jedynek w równoważności <=>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w zapisie skróconym (pkt. 2.5)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Na mocy definicji równoważności p<=>q oraz definicji kontrprzykładu w zdarzeniach nasza tabela T0 przyjmuje szczegółową postać równoważności p<=>q
| Kod: |
T1
Definicja implikacji równoważności p<=>q z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających =>
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4: A5B5:
Y= Y= Y= Y= Y=
A: 1: p=> q= 1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q
A’: 1: p~~>~q=0 = 4:~q~~>p=1
## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y=
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~>p =1 [=] 5: p+~q
B’: 2:~p~~>q=0 3: q~~>~p=0
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
##
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Dany jest schemat elektryczny sterowania żarówką S przez przycisk A .
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zbadaj jaki operator implikacyjny realizuje powyższy układ?
Rozwiązanie:
A1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk A (A=1) to na 100% => żarówka S świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (S=1), bo w układzie nie ma przycisku C (zmienna wolna) połączonego szeregowo z przyciskiem A
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=A (przycisk)
q=S ( żarówka)
Stąd mamy zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Badamy spełnienie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk A (A=1) to na 100% ~> świeci się żarówka S (S=1)
A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem konicznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bo w układzie nie ma dodatkowego przycisku B (zmienna wolna) połączonego równolegle do A, który by zaświecił żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.
Stąd mamy rozwiązanie iż mamy tu to czynienia z równoważnością A<=>S:
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
W układzie S1 nie ma zmiennych wolnych.
Stąd mamy:
Definicja równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
Stąd mamy definicję równoważności A<=>S w równaniu logicznym:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd mamy to samo w zapisie formalnym:
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo p) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 – zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Przejdźmy na zapis aktualny podstawiając:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Stąd mamy:
Definicja operatora równoważności A|<=>S w zapisie aktualnym:
Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o wciśnięty przycisk A (A) oraz o nie wciśnięty przycisk A (~A)
Kolumna A1B1:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) - co może się wydarzyć jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~A<=>~S = (A2:~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) - co może się wydarzyć jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Szczegółową analizę operatora równoważności A|<=>S znajdziemy w punkcie 6.6.1.
Podsumowanie tej analizy mamy w poniższej tabeli prawdy.
| Kod: |
T1
Operator równoważności A|<=>S w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
A1: A=> S =1 – wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
A1’: A~~>~S=0 – niemożliwe jest (=0) zdarzenie: wciśnięty A i nie świeci ~S
A2B2:
~A<=>~S = (A1: A=>S)*(B2:~A=>~S)=1*1=1
B2: ~A=>~S =1 –nie wciśnięcie ~A jest wystarczające => dla nie świecenia ~S
B2’:~A~~>S =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie wciśnięty ~A i świeci S
|
Cechą charakterystyczną algebry Kubusia jest jej przełożenie na język potoczny w przełożeniu 1:1.
Przejdźmy z naszego przykładu na zapis ogólny przez podstawienie:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
Stąd mamy tabelę T1 w zapisie ogólnym:
| Kod: |
T1
Operator równoważności p|<=>q w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
A1: p=> q =1 – zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 – niemożliwe jest (=0) zdarzenie: zajdzie p i nie zajdzie ~q
A2B2:
~p<=>~q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
B2: ~p=>~q =1 –nie zajście ~p jest wystarczające => dla nie zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie zajdzie ~p i zajdzie q
|
Z tabeli operatora równoważności p|<=>q łatwo wyprowadzamy zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q).
Jak to się robi znajdziemy w punkcie 10.5.3
| Kod: |
TR
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>:
p q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 0
|
Z powyższego wynika, że z zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q łatwo dojdziemy do symbolicznej definicji operatora równoważności p|<=>q podejmując działania odwrotne, co opisano w punkcie 10.6.
23.2.1 Geneza twardych i miękkich zer i jedynek w równoważności <=>
Na bazie wyprowadzonej wyżej zero-jedynkowej definicji równoważności TR możemy łatwo rozszyfrować o co chodzi w twierdzeniu Volratha.
Twierdzenie Volratha:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-100.html#72062
Wysłany: Śro 13:43, 10 Gru 2008
| wykładowca logiki matematycznej volrath napisał: |
Niestety bazowa logika Boole'a domyślnie zakłada, że wszystkie jedynki są miękkie, a zera twarde. Tak już jest skonstruowana. |
| Kod: |
TR
Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>:
p q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
1 2 3
|
Jak wygenerować z tej tabeli operator równoważności p|<=>q?
Szczegóły znajdziemy w punkcie 10.6
Największą tragedią wszelkich ziemskich logik matematycznych jest prawo eliminacji równoważności <=>, które każdy ziemski matematyk zna i obligatoryjnie stosuje:
Y = (p<=>q) = p*q+~p*~q
Prawo eliminacji równoważności <=> prowadzi do zagłady wszelkich sensownych ziemskich logik matematycznych, gdyż po jego zastosowaniu wywalamy w kosmos kluczowe pojęcia logiki matematycznej tzn. zarówno definicję warunku wystarczającego => jak i definicję warunku koniecznego ~>.
Dosadniej mówiąc, wywalamy w kosmos poniższy fundament wszelkich sensownych logik matematycznych, nieznany ziemskim matematykom.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Weźmy to nieszczęsne prawo eliminacji równoważności <=> które sprowadza tabelę T0 wyżej do definicji operatora równoważności p<=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) który ma zero wspólnego zarówno z warunkiem wystarczającym =>, jak i koniecznym ~>.
Definicja operatora równoważności p<=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator równoważności p<=>q układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Kiedy zajdzie Y?
Y = (p<=>q)= p*q+~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i zajdzie q lub nie zajdzie ~p i nie zajdzie ~q
… a kiedy zajdzie ~Y
Mamy równanie 1:
1: Y=(p*q)+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2’: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Otrzymaliśmy funkcję koniunkcyjno-alternatywną której w języku potocznym nikt nie rozumie, co za chwilkę udowodnimy.
Przejście do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej przez każdego 5-cio latka polega tu na wymnożeniu wielomianu logicznego po prawej stronie:
2: ~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
bo:
~p*p=0, 0+x=x – prawa algebry Boole’a
~q*q=0, 0+x=x – te same prawa algebry Boole’a
Przemienność spójników „i’(*) i „lub”(+)
Kolejność wykonywania działań w logice matematycznej jest identyczna jak w matematyce klasycznej dla znaczków mnożenia algebraicznego (*) i sumy algebraicznej (+):
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Stąd mamy:
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
~Y=p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i nie zajdzie ~q lub nie zajdzie ~p i zajdzie q
Podstawmy pod powyższą matematykę formalną nasz przykład:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
Wtedy mamy:
Definicja operatora równoważności A|<=>S wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Definicja operatora równoważności A|<=>S układ równań logicznych 1 i 2 dający odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
1.
Które zdarzenia są możliwe (Y=1)?
Y = (A<=>S)= A: A*S+C: ~A*~S
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zdarzenia możliwe (Y=1) to:
A: Ya=A*S=1*1=1 – przycisk A wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1)
lub
C: Yc=~A*~S=1*1=1 – przycisk A nie wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdzie:
Zdarzenia możliwe Y to suma logiczna zdarzeń cząstkowych:
Y = Ya+Yc
Y = A: A*S+C: ~A*~S
… a które zdarzenia są niemożliwe (~Y=1)?
2.
~Y=A*~S + ~A*S
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> A=1 i ~S=1 lub ~A=1 i S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
B: Yb=A*~S=1*1=1 – przycisk A wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
lub
D: Yd=~A*S=1*1=1 – przycisk A nie wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdzie:
Zdarzenia niemożliwe ~Y to suma logiczna zdarzeń cząstkowych:
~Y = ~Yb+~Yd
Stąd po rozwinięciu mamy:
~Y = B: A*~S + D: ~A*S
Jak widzimy, wszystkie zdania wyżej są zrozumiałe dla każdego ucznia I klasy LO.
Ale!
Weźmy funkcję Y w logice dodatniej (bo Y):
1.
Y = (A*S) + (~A*~S)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
2’.
~Y = (~A+~S)*(A+S) – funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Wypowiedzmy zdanie 2’ zapisane w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej
Zdarzenia niemożliwe (~Y=1) to:
(nie wciśnięty przycisk ~A lub żarówka nie świeci się ~S)
„i”(*)
(wciśnięty przycisk A lub żarówka świeci się S)
Jak widzimy, języku potocznym dostaliśmy bełkot którego nikt nie rozumie.
Stąd mamy prawo Pandy (pkt. 1.10).
Prawo Pandy:
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla każdego człowieka jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y jest w postaci koniunkcyjno-alternatywnej lub mieszanej.
Wniosek:
Wszelkie człony koniunkcyjno-alternatywne w funkcji logicznej Y musimy logicznie wymnożyć przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej, bo tylko taka postać jest zrozumiała dla człowieka.
Dokładnie dlatego w naszej analizie schematu S1 przeszliśmy z funkcją koniunkcyjno-alternatywną:
2’: ~Y = (~A+~S)*(A+S)
do tożsamej funkcji alternatywno- koniunkcyjnej:
~Y=A*~S + ~A*S
która jest rozumiana przez każdego człowieka od ucznia I klasy LO poczynając.
Przejdźmy teraz do finału naszych rozważań.
Zero-jedynkowa tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to:
| Kod: |
T2
Pełna tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q w „i”(*) i „lub”(|+)
Yac = Ya + Yc = A: p* q + C: ~p*~q
~Ybd = ~Yb+~Yd = B: p*~q + D: ~p* q
|Komentarz
p q ~p ~q Yac=Ya+Yc # ~Ybd=~Yb+~Yd |
A: 1 1 0 0 1 # 0 | Ya= p* q | Yac=p* q + ~p*~q
B: 1 0 0 1 0 # 1 |~Yb= p*~q |~Ybd=p*~q + ~p* q
C: 0 0 1 1 1 # 0 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 0 # 1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
|
To samo dla naszego przykładu A|<=>S:
| Kod: |
T3
Pełna tabela prawdy operatora równoważności A|<=>S w „i”(*) i „lub”(|+)
Yac = Ya + Yc = A: A* S + C: ~A*~S
~Ybd = ~Yb+~Yd = B: A*~S + D: ~A* S
|Komentarz
A S ~A ~S Yac=Ya+Yc # ~Ybd=~Yb+~Yd |
A: 1 1 0 0 1 # 0 | Ya= A* S | Yac=A* S + ~A*~S
B: 1 0 0 1 0 # 1 |~Yb= A*~S |~Ybd=A*~S + ~A* S
C: 0 0 1 1 1 # 0 | Yc=~A*~S
D: 0 1 1 0 0 # 1 |~Yd=~A* S
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony
|
W tabeli T3 doskonale widać, że w pełnej tabeli zero-jedynkowej operatora równoważności A|<=>S wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisujemy wyłącznie jedynki prowadzące do równań alternatywno-koniunkcyjnych (algorytm w pkt. 1.13.1), gdyż tylko te równania są zrozumiałe dla człowieka.
Opis wynikowych zer (algorytm w pkt. 1.13.2) prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych, których żaden człowiek nie rozumie od 5-cio latka poczynając, na najwybitniejszych matematykach kończąc, czego dowód mamy wyżej oraz w punkcie 1.10 (prawo Pandy).
Definicja twardego zera w logice dodatniej (bo Y):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej twarde zero w logice dodatniej (bo Y) oznacza, iż nie istnieją iterowania (przypadki) w których na pozycji twardego zera może pojawić się jedynka.
Zauważmy, ze w tabeli T3 mamy dwa twarde zera (B5 i D5) w logice dodatniej (bo Y) które dla dowolnego iterowania nigdy nie przyjmie wartości logicznej 1.
Dowód:
Dowód iż w tabeli T3 mamy do czynienia z twardym zerem na B5 to matematyczny opis punktu B5:
B5: Yb=0 <=> A=1 i ~S=1
Interpretacja:
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie (Yb): wciśnięty przycisk A (A=1) i nie świeci żarówka S (~S=1)
O czym każdy uczeń I klasy LO wie.
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Podstawiając do tabeli T3 mamy zdanie tożsame:
B6: ~Yb=1 <=> A=1 i ~S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie zajdzie zdarzenie Yb (~Yb): wciśnięty przycisk A (A=1) i nie świeci żarówka S (~S=1)
O czym każdy uczeń I klasy LO wie.
Z ostatniego zapisu mamy poprawne równanie cząstkowe alternatywno-koniunkcyjne które z definicji opisuje wyłącznie jedynki w linii B w tabeli T3.
B6: ~Yb=A*~S
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
B6: ~Yb=1 <=> A=1 i ~S=1
Ten zapis jest w 100% zgodny z tabelą T3.
Zauważmy, że na mocy prawa Prosiaczka poprawna jest tożsamość zdań:
B5: Yb=0 <=> A=1 i ~S=1 [=] B6: ~Yb=1 <=> A=1 i ~S=1
bo operujemy tu na wartościowaniu linii B.
Jeśli opuścimy wartościowanie to dostaniemy błąd czysto matematyczny:
| Kod: |
T4
B5: Yb=A*~S ## B6:~Yb=A*~S
Gdzie:
## - funkcje różne na mocy definicji ##
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T4 definicja znaczka ## jest spełniona.
Podobnie:
Dowód iż w tabeli T3 mamy do czynienia z jednym twardym zerem to matematyczny opis punktu D5:
D5: Yd=0 <=> ~A=1 i S=1
Interpretacja:
Fałszem jest (=0), że zajdzie zdarzenie (Yd): nie wciśnięty przycisk A (~A=1) i świeci żarówka S (S=1)
O czym każdy uczeń I klasy LO wie.
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Yd=0)=(~Yd=1)
Podstawiając do tabeli T3 mamy:
D6: ~Yd=1 <=> ~A=1 i S=1
Stąd zdanie tożsame:
D6: ~Yd=1 <=> ~A=1 i S=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie zajdzie zdarzenie Yd (~Yd): nie wciśnięty przycisk A (~A=1) i świeci żarówka S (S=1)
O czym każdy uczeń I klasy LO wie.
Z ostatniego zapisu mamy poprawne równanie cząstkowe dla linii D:
D6: ~Yd=~A*S
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
D6: ~Yd=1 <=> ~A=1 i S=1
Ten zapis jest w 100% zgodny z tabelą T3.
Zauważmy, że na mocy prawa Prosiaczka poprawna jest tożsamość zdań:
D5: Yd=0 <=> ~A=1 i S=1 [=] D6: ~Yd=1 <=> ~A=1 i S=1
bo operujemy tu wartościowaniu linii D.
Jeśli opuścimy wartościowanie to dostaniemy błąd czysto matematyczny:
| Kod: |
T5
D5: Yd=~A*S ## D6:~Yd=~A*S
Gdzie:
## - funkcje różne na mocy definicji ##
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
W tabeli T5 definicja znaczka ## jest spełniona.
Definicja miękkiej jedynki w logice dodatniej (bo Y):
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej miękka jedynka w logice dodatniej (bo Y) oznacza, iż istnieją iterowania (przypadki) w których na pozycji jedynki pojawia się logiczne zero.
Zbadajmy jak to jest z logicznymi jedynkami w kolumnie wynikowej Y (ABCD5).
Wynikowe jedynki w kolumnie wynikowej Y (ABCD5) opisuje równanie logiczne:
Y = A5: A*S + C5: ~A*~S
W rozpisce spójnika „lub”(+) na zdarzenia rozłączne mamy:
1.
Kiedy zajdzie (Y=1)?
Y = A5: A*S + C5: ~A*~S
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A5: A=1 i S=1 lub C5: ~A=1 i ~S=1
I.
Założenie konkretnego iterowania Ya:
A: Ya = A*S =1*1=1 – możliwe jest (=1) zdarzenie (Ya): przycisk wciśnięty (A=1) i żarówka świeci (S=1)
Założenie:
A=1 i S=1
Prawo Prosiaczka:
(A=1) = (~A=0)
(S=1)=(~S=0)
Podstawmy to iterowanie do równania 1:
Y = A5: A*S + C5: ~A*~S = A5: (A=1)*(S=1)=1*1=1 + C5: (~A=0)*(~S=0)=0*0=0
Jak widzimy, dla iterowania A=1 i S=1 wyłącznie w punkcie A5 mamy jedynkę, zaś w punkcie C5 mamy zero.
Innymi słowy:
Jedynka w punkcie C5 w tabeli T3 są jest miękką jedynką, bo dla konkretnego iterowania (tu A=1 i S=1) przyjmuje wartość logiczną 0.
Zauważmy, że dla naszego iterowania (A=1 i S=1) w punktach B5 i D5 dostaniemy 0.
Dowód:
B5: Yb=0 <=> B5: A*~S = B5: (A=1)*(~S=0)=1*0 =0
D5: Yd=0 <=> D5: ~A*S = D5: (~A=0)*(S=1)=0*1=0
II.
Ostatnie możliwe założenie konkretnego iterowania Yc to:
C5: Yc=~A*~S=1*1=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie (Yc): nie wciśnięty A (~A=1) i żarówka nie świeci ~S
Założenie:
~A=1 i ~S=1
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
(~S=1)=(S=0)
Podstawmy to iterowanie do równania 1:
Y = A5: A*S + C5: ~A*~S = A5: (A=0)*(S=0)=0*0=0 + C5: (~A=1)*(~S=1)=1*1=1
Jak widzimy, dla iterowania ~A=1 i ~S=1 wyłącznie w punkcie C5 mamy jedynkę, zaś w linii A mamy zero.
Innymi słowy:
Jedynka w punkcie A5 w tabeli T3 są jest miękką jedynką, bo dla konkretnego iterowania (tu ~A=1 i ~S=1) przyjmuje wartość logiczną 0.
Zauważmy, że dla naszego iterowania (~A=1 i ~S=1) w punktach B5 i D5 dostaniemy 0.
Dowód:
B5: Yb=0 <=> B: A*~S = B: (A=0)*(~S=1)=0*1 =0
D5: Yd=0 <=> D: ~A*S = D: (~A=1)*(S=0)=1*0 =0
Jak widzimy wyżej dla dowolnego iterowania tabeli T3 zera w punktach B5 i D5 zawsze pozostaną zerami, co oznacza iż są to twarde zera.
Natomiast jedynki w punktach A5 i C5 są miękkimi jedynkami bo istnieją iterowania (przypadki) dla których w tych miejscach pojawia się zero.
Podsumowując:
W kolumnie ABCD5 wszystkie jedynki są miękkimi jedynkami, co jest dowodem wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej po zastosowaniu prawa eliminacji równoważności A<=>S:
Y = (A<=>S) = A5: A*S + C5: ~A*~S
bowiem w znaczkach =>, ~> i ~~> w punkcie A5 istnieje twarda jedynka wymuszająca twarde zero w punkcie B5 (kontrprzykład)
Także w punkcie C5 występują ewidentna twarda jedynka wymuszająca twarde zero punkcie D5 (kontrprzykład).
Dowód:
| Kod: |
T1.
Operator równoważności p|<=>q w znaczkach warunku wystarczającego =>,
warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~>
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?
A5: A=> S =1 – wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B5: A~~>~S=0 – niemożliwe jest (=0) zdarzenie: wciśnięty A i nie świeci S
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
C5: ~A=>~S=1 –nie wciśnięcie A(~A=1) wystarcza => dla nie świecenia S(~S=1)
D5: ~A~~>S=1 –niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie wciśnięty A i świeci S
|
c.n.d.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 16:38, 04 Lut 2024, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 22:14, 24 Lip 2023 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
24.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika
Spis treści
24.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika 1
24.1 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) 2
24.1.1 Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 3
24.2 Prawo Grzechotnika dla dowolnych funkcji n-argumentowych 3
24.2.1 Prawo Sokoła 5
24.2.2 Wielkie prawo Kubusia 5
24.3 Operator dwuargumentowy prosty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 5
24.3.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika 5
24.3.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej prostej 6
24.3.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej prostej 8
24.4 Operator dwuargumentowy złożony w spójnikach „i”(*) I „lub”(+) 9
24.4.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika 9
24.4.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej złożonej 9
24.4.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej złożonej 13
24.0 Ćwiczenia z prawa Grzechotnika
W niniejszym rozdziale zajmiemy się ćwiczeniami z prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowych.
Operatory dwuargumentowe definiowane w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) dzielimy na:
- operatory dwuargumentowe proste
- operatory dwuargumentowe złożone
Definicja zdania dwuargumentowego prostego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe proste to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną wyłącznie jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q
~Y=~p+~q
Przykład poznaliśmy w punkcie 1.19.
Definicja zdania dwuargumentowego złożonego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe złożone to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną więcej niż jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q+~p*~q
~Y= p*~q + ~p*q
Definicja funkcji logicznej minimalnej:
Funkcja logiczna minimalna to funkcja której nie da się już minimalizować
Przykład:
Dana jest funkcja logiczna:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Polecenie:
Zbadaj, czy powyższa funkcja zapisana jest w postaci minimalnej.
Rozwiązanie:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*q – wyciągnięcie zmiennej przed nawias
Y = p*1 + ~p*q – prawo algebry Boole’a: q+~q =1
Y = p+(~p*q) – prawo algebry Boole’a: x*1=x
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p*~q – wymnożenie wielomianu
~Y = 0+ ~p*~q – prawo algebry Boole’a
~Y = ~p*~q – prawo algebry Boole’a: 0+x=x
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
Y = p+q
Stąd szukana funkcja w wersji minimalnej to:
Y = p+q
Stąd mamy często wykorzystywane prawo logiki matematycznej.
Prawo zamiany spójnika „lub”(+) na serię zdarzeń rozłącznych A, B i C
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
24.1 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)
Definicja spójnika „i”(*):
1.
Y = p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Przykład:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y = K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Definicja spójnika „lub”(+):
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Przykład:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
24.1.1 Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Y=f(x)
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy funkcję logiczną Y dwustronnie:
#
2.
~Y=~f(x)
Gdzie:
f(x) – dowolne wyrażenie algebry Boole’a
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Przykład:
f(x) = p*q + ~p*~q
stąd mamy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + ~p*~q
24.2 Prawo Grzechotnika dla dowolnych funkcji n-argumentowych
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Definicja funkcji kluczowych dla potrzeb dowodu prawa Grzechotnika:
Funkcje kluczowe dla potrzeb dowodu prawa Grzechotnika, to funkcje A1 i A2 o budowie jak niżej:
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - rożne na mocy definicji
f(x) – dowolne wyrażenie algebry Boole’a
~f(x) – negacja wyrażenia f(x)
Przykład:
f(x) = p*q+~p*~q
co wymusza funkcję logiczną:
Y = p*q + ~p*~q
Definicja operatora kluczowego:
Operator kluczowy to układ równań Y i ~Y dla funkcji kluczowych A1 i A2
Weźmy funkcję A1:
A1: Y=f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję A1:
B1: ~Y=~f(x)
##
Weźmy funkcję A2:
A2: Y=~f(x)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję A2:
B2: ~Y=f(x)
Umieśćmy naszą analizę w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Funkcja A1:
A1: Y= f(x) # B1: ~Y=~f(x)
## ##
Funkcja A2:
A2: Y=~f(x) # B2: ~Y= f(x)
|
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~f(x)=~(f(x))
Stąd mamy:
Wyrażenie f(x) musi być wszędzie tym samym f(x), inaczej błąd podstawienia
Podobnie funkcja Y musi być wszędzie tą samą funkcją Y, inaczej błąd podstawienia
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej
W tabeli T1 widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy zatem z tabeli T1 wszelkie funkcje logiczne Y i ~Y.
| Kod: |
T1"
Funkcja A1:
A1: f(x) # B1:~f(x)
Funkcja A2:
A2:~f(x) # B2: f(x)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Doskonale widać, że w tabeli T1" najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą tożsamości po przekątnych.
W tabeli T1” zgubiona została kluczowa informacja o tym kiedy zajdzie Y, a kiedy zajdzie ~Y.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
24.2.1 Prawo Sokoła
Z chwilą zaakceptowania przez ziemskich matematyków algebry Kubusia która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) prawo Grzechotnika zostanie zastąpione prawem Sokoła.
Prawo Sokoła:
Algebra Kubusia, która widzi funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) nie jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
24.2.2 Wielkie prawo Kubusia
Wielkie prawo Kubusia:
Warunkiem koniecznym braku wewnętrznej sprzeczności logiki matematycznej wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest akceptacja prawa Sokoła
24.3 Operator dwuargumentowy prosty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicja zdania dwuargumentowego prostego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe proste to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną wyłącznie jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q
~Y=~p+~q
Definicję i sens operatora dwuargumentowego prostego poznamy na przykładach rodem z przedszkola.
24.3.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika
Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika:
Przykład kluczowy to dwie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) o następującej budowie
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
~f(x) – negacja wyrażenia f(x)
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że funkcje logiczne A1 i A2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
24.3.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej prostej
A1.
Weźmy funkcję logiczną A1:
A1: Y=p+q
Definicja operatora logicznego Y|=p+q:
Operator logiczny Y|=p+q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1.
Y=p+q
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną 1 stronami:
B1.
~Y=~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony
Przykład z przedszkola A1
A1.
Pani w przedszkolu A1 wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Kto wie kiedy jutro dotrzymam słowa?
Jaś (lat 5):
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Pani:
Bardzo dobrze Jasiu, a kiedy jutro nie dotrzymam słowa (~Y=1)?
#
Jaś (lat 5):
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y
##
A2.
Weźmy funkcję logiczną A2:
A2: Y=~(p+q)=~p*~q - prawo De Morgana
Definicja operatora logicznego Y|=~p*~q:
Operator logiczny Y|=~p*~q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A2.
Y=~p*~q
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2.
~Y=p+q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony
Przykład z przedszkola A2
A2.
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
Jutro nie pójdziemy ani do kina, ani do teatru
Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy równanie A2 stronami:
B2.
~Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych w logice dodatniej bo (Y)
A1: Y=p+q ## A2: Y=~p*~q
Umieśćmy nasze przykłady A1 i A3 w tabeli prawdy:
| Kod: |
PA1A2:
A1: Y= K+ T # B1: ~Y=~K*~T
## ##
A2: Y=~K*~T # B2: ~Y= K+ T
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Zauważmy że:
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie Y.
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie ~Y.
Doskonale widać, że w tabeli PA1A2 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Znaczenie funkcji Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
lub krótko:
Y - pani dotrzyma słowa Y
Także znaczenie funkcji ~Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko:
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y
O różności na mocy definicji ## dokładnie tych samych funkcji w logice dodatniej (bo Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie tego samego symbolu Y.
cnd
24.3.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej prostej
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy z tabeli PA1A2 wszelkie funkcje Y i ~Y:
| Kod: |
PA1A2":
A1: K+ T # B1: ~K*~T
A2:~K*~T # B2: K+ T
|
Doskonale widać, że w tabeli PA1A2" po przekątnych zachodzą tożsamości matematyczne, co oznacza gwałt na najważniejszym znaczku logiki matematycznej, znaczku różne na mocy definicji ##.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
24.4 Operator dwuargumentowy złożony w spójnikach „i”(*) I „lub”(+)
Definicja zdania dwuargumentowego złożonego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Zdanie dwuargumentowe złożone to zdanie opisane funkcją logiczną minimalną definiowaną więcej niż jednym spójnikiem „i”(*) albo „lub”(+):
Przykłady:
Y = p*q+~p*~q
~Y= p*~q + ~p*q
Definicję i sens operatora dwuargumentowego złożonego poznamy na przykładach rodem z I klasy LO.
24.4.1 Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika
Definicja ogólna przykładu kluczowego dla potrzeb prawa Grzechotnika:
Przykład kluczowy to dwie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) o następującej budowie
A1: Y = f(x)
##
A2: Y = ~f(x)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
~f(x) – negacja wyrażenia f(x)
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że funkcje logiczne A1 i A2 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##
24.4.2 Przykład kluczowy A1 i A2 dla funkcji dwuargumentowej złożonej
A1.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
A1: Y= p<=>q = p*q + ~p*~q
Definicja operatora logicznego Y|=p*q+~p*~q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny Y|=p*q+~p*~q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A1.
Y=(p*q)+(~p*~q)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B1”.
~Y=(~p+~q)*(p+q)
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała dla człowieka (dowód w pkt. 1.10) dlatego musimy wymnożyć wielomian przechodzą do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
Stąd mamy:
B1.
~Y = p*~q + ~p*q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony
Przykład ze szkoły A1
A1.
Pani w szkole A1 wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = A: K*T + C: ~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
Yc = ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
Y = Ya+Yc - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya+Yc
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Odpowiedź na to pytanie wyprowadziliśmy wyżej:
B1.
~Y = B: K*~T + D: ~K*T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Yb = K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
~Yd = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yd - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd
Doskonale widać, że ta odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) również jest intuicyjnie zrozumiała.
##
A2.
Definicja spójnika „albo”($) wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Y= p$q = p*~q + ~p*q
Definicja operatora logicznego Y|= p*~q + ~p*q
Operator logiczny Y|=p*~q + ~p*q to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y:
A2.
Y= (p*~q) + (~p*q)
… a kiedy zajdzie ~Y?
#
Negujemy funkcję logiczną A2 stronami:
B2”.
Przejście z funkcją A2 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = (~p+q)*(p+~q) – funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Funkcja koniunkcyjno-alternatywna jest niezrozumiała dla człowieka (dowód w pkt. 1.10) dlatego musimy wymnożyć wielomian przechodzą do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
~Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = 0 + ~p*~q + q*p + 0 = p*q + ~p*~q
Stąd mamy:
B2.
~Y = p*q + ~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negację drugiej strony
Przykład ze szkoły A2
A2.
Pani w szkole A2 wypowiada zdanie:
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y = K$T = B: K*~T + D: ~K*T
Co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K*~T + D: ~K*T
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=K*~T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
D: Yd=~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
Y = Yb+Yd – suma logiczna funkcji cząstkowych Yb i Yd
Jak widzimy, odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Matematycznie kluczowa jest tu odpowiedź na pytanie:
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Odpowiedź na to pytanie wyprowadziliśmy wyżej:
B2.
~Y = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya = K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
„lub”(+)
C: ~Yc = ~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
~Y = ~Yb+~Yd - funkcja logiczna ~Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych ~Yb+~Yd
Doskonale widać, że ta odpowiedź na pytanie kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) również jest intuicyjnie zrozumiała.
Znaczenie funkcji Y jest następujące:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy w logice symboli bez użycia jedynek:
Y - pani dotrzyma słowa Y
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych w logice dodatniej bo (Y)
A1: Y=p*q + ~p*~q ## A2: Y=p*~q+~p*q
Umieśćmy nasze przykłady A1 i A2 w tabeli prawdy:
| Kod: |
PA1A2:
A1: Y= K* T+~K*~T # B1: ~Y= K*~T+~K* T
## ##
A2: Y= K*~T+~K* T # B2: ~Y= K* T+~K*~T
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Zauważmy że:
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie Y.
O różności na mocy definicji ## dwóch funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) decyduje różność wyrażeń algebry Boole'a po prawej stronie ~Y.
Doskonale widać, że w tabeli PA1A2 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Znaczenie funkcji Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
lub krótko:
Y - pani dotrzyma słowa Y
Także znaczenie funkcji ~Y po obu stronach znaczka ## jest identyczne:
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko:
~Y - pani nie dotrzyma słowa ~Y
24.4.3 Dowód prawa Grzechotnika dla funkcji dwuargumentowej złożonej
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy z tabeli PA1A2 wszelkie funkcje Y i ~Y:
| Kod: |
PA1A2”:
A1: K* T+~K*~T # B1: K*~T+~K* T
A2: K*~T+~K* T # B2: K* T+~K*~T
|
Doskonale widać, że w tabeli PA1A2" po przekątnych zachodzą tożsamości matematyczne, co oznacza gwałt na najważniejszym znaczku logiki matematycznej, znaczku różne na mocy definicji ##.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 20:55, 18 Lut 2024, w całości zmieniany 16 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 23:49, 28 Sty 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
25.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej.
Spis treści
25.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej 2
25.1 Ogólny algorytm Małpki 3
25.1.1 Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej 4
25.2 Algorytm Małpki dla równoważności p<=>q 4
25.2.1 Prawo Małpki dla równoważności p<=>q 7
25.2.2 Prawo Goryla 9
25.2.3 Logika jedynek = logika 5-cio latka 10
25.2.4 Logika zer = logika Diabła 11
25.3 Mutacje prawa Małpki dla równoważności p<=>q 12
25.3.1 Analiza funkcji logicznej B1 12
25.3.2 Analiza funkcji logicznej A1” 13
25.3.3 Analiza funkcji logicznej B1” 13
25.4 Algorytm Małpki dla spójnika „albo”($) 13
25.4.1 Prawo Małpki dla spójnika „albo”($) 17
25.4.2 Logika jedynek = logika 5-cio latka 18
25.4.3 Logika zer = logika Diabła 19
25.5 Mutacje prawa Małpki dla spójnika „albo”($) 20
25.5.1 Analiza funkcji logicznej B1 20
25.5.2 Analiza funkcji logicznej A1” 21
25.5.3 Analiza funkcji logicznej B1” 21
25.6 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($) 21
25.6.1 Prawo Grzechotnika dla spójników równoważności p<=>q i „albo”($) 22
25.7 Funkcja dwuargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne 23
25.7.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka 24
25.7.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala 26
25.7.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala 28
25.8 Funkcja jednoargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne 29
25.8.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka 29
25.8.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala 30
25.8.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala 30
25.0 Algorytm Małpki – wielkie wydarzenie w historii logiki matematycznej
Definicja wyrażenia algebry Boole'a (pkt. 1.3):
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Uwaga na notację:
f(x) - zapis ogólny dowolnie skomplikowanego i nieznanego wyrażenia algebry Boole’a
Przykład:
f(p,q)=p*q+~p*~q - definicja konkretnego wyrażenia algebry Boole’a (przykład)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y.
Zapis funkcji logicznej Y w technice cyfrowej:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
Y - funkcja logiczna dwóch zmiennych binarnych {p, q}
Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) (pkt. 1.3.2):
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)
Definicja startowej funkcji logicznej w języku potocznym:
Startowa funkcja logiczna w języku potocznym to funkcja w logice dodatniej (bo Y) opisująca zdanie startowe wypowiedziane przez człowieka, od którego zaczynamy analizę matematyczną tego zdania.
Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Przykład wyrażenia algebry Boole'a:
f(x) = p*q + ~p*~q
stąd funkcja startowa dla tego wyrażenia przyjmuje postać
Y = p*q + ~p*~q
Prawo negacji funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) wolno nam dwustronnie zanegować przechodząc do funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej (pkt. 1.15.2):
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest tylko i wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Prawo Małpiątka (pkt. 1.15.2):
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
Prawo Małpki (pkt. 1.15.1):
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie
W poprawnym rozwiązaniu prawa Małpki dostaniemy tu dwie funkcje tożsamościowe: w logice dodatniej Y=Y oraz w logice ujemnej ~Y=~Y związane ze sobą spójnikiem „albo”($)
Zajdzie Y albo zajdzie ~Y, trzeciej możliwości brak
25.1 Ogólny algorytm Małpki
Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Ziemscy matematycy nie znają komputerowego algorytmu pozwalającego znaleźć wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne dla dowolnej funkcji startowej.
Zadanko Małpki:
Dana jest funkcja startowa:
Y=f(x)
gdzie:
f(x) - dowolne wyrażenie algebry Boole'a
Polecenie:
Wyznacz wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z funkcją startową Y=f(x) wraz z podaniem relacji matematycznych wiążących otrzymane rozwiązanie.
Podany niżej algorytm rozwiązania zdanka Małpki to fundament programu komputerowego automatycznie rozwiązującego zadanko Małpki dla n-zmiennych binarnych.
Program który trzeba tu napisać jest banalny i wkrótce taki program ludzkość napisze.
Ogólny algorytm Małpki:
Krok 1
T1 - pełna tabela zero-jedynkowa dla funkcji startowej Y=f(x) (pkt. 1.15.3)
Należy wygenerować pełną tabelę zero-jedynkową opisującą funkcję startową Y=f(x)
Najłatwiej to zrobić dla funkcji alternatywno-koniunkcyjnej co oznacza, że jeśli na wejściu dostaniemy funkcję startową Y=f(x) koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną to wymnażamy wszystkie człony koniunkcyjno-alternatywne przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
Krok 2
T2 - Opis tabeli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych (pkt. 1.14.1)
Na bazie pełnej tabeli zero-jedynkowej łatwo generujemy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne gdzie opisujemy wyłącznie jedynki w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „i”(*), zaś w kolumna spójnik „lub”(+).
Krok 3
T3 - Opis tej samej tabeli w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych (pkt. 1.14.2)
Kolejnym krokiem jest opis dokładnie tej samej tabeli zero-jedynkowej w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych gdzie opisujemy wyłącznie zera stosując w wierszach spójnik „lub”(+), zaś w kolumnach spójnik „i”(*)
Krok 4
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd zachodzą tożsamości logiczne:
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
co kończy rozwiązanie zadania Małpki
25.1.1 Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Prawo Małpiątka:
Jeśli w dowolnym równaniu algebry Boole'a napotkamy fragment koniunkcyjno-alternatywny to ten fragment wymnażamy logicznie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
25.2 Algorytm Małpki dla równoważności p<=>q
Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Zadanko Małpki dla równoważności p<=>q:
A1.
Dana jest startowa funkcja logiczna równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Polecenie:
Wyznacz wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z funkcją startową Y=f(x) wraz z podaniem relacji matematycznych wiążących otrzymane rozwiązanie.
Wykonujemy kolejne punkty algorytmu rozwiązania zadania Małpki:
Krok 1
Nasza startowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna to:
Y = (p<=>q) = p*q +~p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Stąd w punktach A5 i C5 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
| Kod: |
Pełna tabela zero-jedynkowa
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1
B: 1 0 0 1
C: 0 0 1 1 1
D: 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6
|
Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
| Kod: |
T1
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 0 1 1 1 0
D: 0 1 1 0 0 1
1 2 3 4 5 6
|
Krok 2
T2 - Opis tabeli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych (pkt. 1.14.1)
Na bazie pełnej tabeli zero-jedynkowej łatwo generujemy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne gdzie opisujemy wyłącznie jedynki w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „i”(*), zaś w kolumna spójnik „lub”(+).
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice jedynek
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =1 =0 | Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =0 =1 |~Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =1 =0 | Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =0 =1 |~Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
1: Y = Ya+Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
2: ~Y=~Yb+~Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
2: ~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji alternatywno-koniunkcyjnych.
Definicja logiki 5-cio latka:
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne rozumiane przez każdego człowieka
Dowód na przykładzie iż dowolne funkcje alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiane przez człowieka od 5-cio latka poczynając mieliśmy w punkcie 1.10.
Krok 3
T3 - Opis tej samej tabeli w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych (pkt. 1.14.2)
Kolejnym krokiem jest opis dokładnie tej samej tabeli zero-jedynkowej w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych gdzie opisujemy wyłącznie zera stosując w wierszach spójnik „lub”(+), zaś w kolumnach spójnik „i”(*)
| Kod: |
T3
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice zer
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =1 =0 |~Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =0 =1 | Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =1 =0 |~Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =0 =1 | Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Yb*Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
co w logice zer oznacza:
4: Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Ya*~Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
co w logice zer oznacza:
4: ~Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka czego dowód w punkcie 1.10
Definicja logiki Diabła:
Logika Diabła to funkcje koniunkcyjno-alternatywne totalnie niezrozumiałe dla człowieka
Uzasadnienie nazwy „Logiki Diabła”:
W języku potocznym funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszym matematyku kończąc.
Dowód tego faktu mieliśmy w punkcie 1.10.
Z tego względu w języku potocznym zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Krok 4
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd zachodzą tożsamości logiczne:
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
co kończy rozwiązanie zadania Małpki
Podsumowanie:
Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y= A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
[=]
Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1”: Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1”: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tabele zero-jedynkowe T2 i T3 są tożsame T2[=]T3
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd mamy prawo Małpki.
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
25.2.1 Prawo Małpki dla równoważności p<=>q
Prawo Małpki (pkt. 1.15.1):
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie
Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
| Kod: |
T2T3 – Prawo Małpki
Tabela T2 | Tabela T3
Logika 5-cio latka | Logika Diabła
A1: Kiedy zajdzie Y? | A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y = p* q + ~p*~q [=] A1”: Y = (~p+ q)*(p+~q)
# | #
B1: Kiedy zajdzie ~Y? | B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A1 | Negujemy dwustronnie A1”
B1: ~Y = p*~q + ~p* q [=] B1”: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
[=], „=”, <=> (wtedy i tylko wtedy)
Doskonale widać, że końcowym rozwiązaniem prawa Małpki dla funkcji startowej:
A1: Y= p<=>q = p*q + ~p*~q
są dwa rozwiązania, jedno w logice dodatniej (bo Y) oraz drugie w logice ujemnej (bo ~Y).
Rozwiązania te wiąże definicja spójnika „albo”($):
Zajdzie Y albo($) ~Y
Y$~Y
Trzeciej możliwości brak
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Stąd mamy:
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
cnd
Przykład:
Dowolny człowiek mówi prawdę (P) albo nie mówi prawdy (~P)
P$~P =1
Trzeciej możliwości brak
Wisienka na torcie:
Otrzymane funkcje logiczne Y i ~Y nie są (=0) tożsame, czyli:
(Y=~Y) =0
Dowód:
Prawo Irbisa dla zbiorów/zdarzeń (pkt. 2.9):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć/zdarzeń/zbiorów p=q i odwrotnie.
Stąd mamy:
p=q <=> A1B3: (p<=>q) = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y, q=~Y
stąd mamy:
Y = (Y<=>~Y) = (Y)*(~Y) + ~(Y)* ~(~Y) = = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Stąd:
Na mocy prawa Irbisa nie zachodzi (=0) tożsamość:
(Y=~Y)=0
25.2.2 Prawo Goryla
W oparciu o algorytm prawa Małpki łatwo napisać program „Prawo Małpki” który wydrukuje nam zawsze identyczne rozwiązanie podane w tabeli T2T3 wyżej, niezależnie od tego którą z czterech tu funkcji A1, B1, A1”, B1” ustawimy na jego wejściu (dowód w pkt. 25.3)
Oczywiście, możliwy jest też proces odwrotny definiowany przez prawo Goryla
Prawo Goryla:
Do jednoznacznego odtworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej opisywanej przez prawo Małpki jest potrzebna i wystarczająca znajomość dowolnej z czterech funkcji logicznych wygenerowanych przez program „Prawo Małpki”: A1, B1, A1”, B1”.
Najprościej udowodnić prawo Goryla posługując się funkcjami alternatywno-koniunkcyjnymi A1 i B1 doskonale rozumianymi przez każdego 5-cio latka.
Znając algorytm programu „Prawo Małpki” możemy też zbudować algorytm odtworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej korzystając z funkcji w logice Diabła: A1” i B1” - pozostawiam to w gestii ambitnych czytelników (nie jest to trudne).
Algorytm tworzenia tabeli zero-jedynkowej dla funkcji A1 mamy podany w punkcie Krok 1 w algorytmie programu „Prawo Małpki”.
Zajmijmy się funkcją B1.
Zadanko Goryla:
Dana jest funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y):
B1: ~Y = p*~q + ~p*q
Polecenie:
Odtwórz pełną tabelę zero-jedynkową opisywaną przez tą funkcję.
Krok 1
Nasza funkcja logiczna to:
~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Stąd w punktach B6 i D6 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
| Kod: |
Pełna tabela zero-jedynkowa
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 0 0 1 1
D: 0 1 1 0 1
1 2 3 4 5 6
|
Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
| Kod: |
T1
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 0 1 1 1 0
D: 0 1 1 0 0 1
1 2 3 4 5 6
|
25.2.3 Logika jedynek = logika 5-cio latka
Analiza dowolnej, pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek (pkt. 1.14.1) prowadzi do funkcji alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając, co udowodnimy niżej, na przykładzie.
Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y= A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Pani w przedszkolu:
A1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
C: Yc=~K*~T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję A1 pozostając w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
B1.
~Y = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb=K*~T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
D: ~Yd=~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej Y:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko w samych symbolach:
Y – pani dotrzyma słowa
~Y – pani nie dotrzyma słowa
Doskonale widać, że sens wszystkich funkcji alternatywno-koniunkcyjnych jest zrozumiały nawet dla 5-cio latka
25.2.4 Logika zer = logika Diabła
Analiza dowolnej pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice zer (pkt. 1.14.2) prowadzi do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka, co udowodnimy niżej, na przykładzie.
Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1”: Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1”: ~Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Pani w przedszkolu A1” wypowiada zdanie:
A1”.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = (B: ~K+T)*(D: K+~T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=~K+T – jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
„i”(*)
D: Yd K+~T – juto pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Jak widzimy w języku potocznym mamy tu „bełkot” przez nikogo nie zrozumiały
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy funkcję A1” pozostając w funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
~Y = (A: ~K+~T)*(C: K+T)
czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~Ya=~K+~T - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
C: ~Yc K+T – juto pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
Jak widzimy, mamy tu „bełkotu” ciąg dalszy
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Wniosek:
Łatka „logiki Diabelskiej” w stosunku do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych jest ze wszech miar słuszna.
25.3 Mutacje prawa Małpki dla równoważności p<=>q
Podstawowe rozwiązania prawa Małpki dla funkcji startowej:
Y= p<=>q = p*q + ~p*~q
jest następujące.
| Kod: |
T2T3 Prawo Małpki
Tabela T2 | Tabela T3
Logika 5-cio latka | Logika Diabła
A1: Kiedy zajdzie Y? | A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y = p* q + ~p*~q [=] A1”: Y = (~p+ q)*(p+~q)
# | #
B1: Kiedy zajdzie ~Y? | B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = p*~q + ~p* q [=] B1”: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
Zbadajmy jak zachowa się program komputerowy gdy na jego wejściu ustawimy dowolny z członów występujących w rozwiązaniu B1, A1”, B1”
25.3.1 Analiza funkcji logicznej B1
B1.
Ustawmy na wejściu programu funkcję logiczną B1 w postaci alternatywno-koniunkcyjnej
B1: ~Y= p*~q + ~p*q
Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1 to funkcja:
A1: Y = p*q + ~p*~q
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.2
25.3.2 Analiza funkcji logicznej A1”
A1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową A1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
A1”: Y = (~p+q)*(p+~q)
Tu program komputerowy wypisze nam informację:
Każdy człowiek doskonale rozumie wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne, gdzie domyślne są jedynki. Dotyczy to także tworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej.
Stąd wymnażamy logicznie funkcję wejściową A1” przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej A1.
A1”:
Y = (p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q + ~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~p*~q + 0 = p*q+~p*~q = A1
Stąd mamy:
A1: Y= p<=>q = p*q + ~p*~q
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.2
25.3.3 Analiza funkcji logicznej B1”
B1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
B1”: ~Y= (p+q)*(~p+~q)
Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej to funkcja:
A1”: Y = (~p+q)*(p+~q)
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.3.2
25.4 Algorytm Małpki dla spójnika „albo”($)
Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Zadanko Małpki dla spójnika „albo”($):
A1.
Dana jest startowa funkcja logiczna spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q = p*~q + ~p*q
Polecenie:
Wyznacz wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z funkcją startową Y=f(x) wraz z podaniem relacji matematycznych wiążących otrzymane rozwiązanie.
Wykonujemy kolejne punkty algorytmu rozwiązania zadania Małpki:
Krok 1
Nasza startowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna to:
Y = (p$q) = p*~q +~p*q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Stąd w punktach B5 i D5 w pełnej tabeli zero-jedynkowej stawiamy jedynki
| Kod: |
Pełna tabela zero-jedynkowa
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 0 0 1 1
D: 0 1 1 0 1
1 2 3 4 5 6
|
Mamy wszystko, dalsze wypełnianie pełnej tabeli zero-jedynkowej to komputerowy automat na mocy definicji negacji, nic a nic nie trzeba myśleć.
| Kod: |
T1
p q ~p ~q Y ~Y
A: 1 1 0 0 0 1
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 0 1 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0
1 2 3 4 5 6
|
Krok 2
T2 - Opis tabeli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych (pkt. 1.14.1)
Na bazie pełnej tabeli zero-jedynkowej łatwo generujemy wszystkie możliwe funkcje alternatywno-koniunkcyjne gdzie opisujemy wyłącznie jedynki w tej tabeli stosując w wierszach spójnik „i”(*), zaś w kolumna spójnik „lub”(+).
| Kod: |
T2
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice jedynek
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =0 =1 |~Ya= p* q
B: 1 0 0 1 =1 =0 | Yb= p*~q
C: 0 0 1 1 =0 =1 |~Yc=~p*~q
D: 0 1 1 0 =1 =0 | Yd=~p* q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
1: Y = Yb+Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1: Y = B: p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
1: Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
2: ~Y=~Ya+~Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
2: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
2: ~Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji alternatywno-koniunkcyjnych.
Definicja logiki 5-cio latka:
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje alternatywno-koniunkcyjne rozumiane przez każdego człowieka
Dowód na przykładzie iż dowolne funkcje alternatywno-koniunkcyjne są doskonale rozumiane przez człowieka od 5-cio latka poczynając mieliśmy w punkcie 1.10.
Krok 3
T3 - Opis tej samej tabeli w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych (pkt. 1.14.2)
Kolejnym krokiem jest opis dokładnie tej samej tabeli zero-jedynkowej w funkcjach koniunkcyjno-alternatywnych gdzie opisujemy wyłącznie zera stosując w wierszach spójnik „lub”(+), zaś w kolumnach spójnik „i”(*)
| Kod: |
T3
Pełna definicja |Równania cząstkowe
zero-jedynkowa Y |w logice zer
|
p q ~p ~q Y ~Y |
A: 1 1 0 0 =0 =1 | Ya=~p+~q
B: 1 0 0 1 =1 =0 |~Yb=~p+ q
C: 0 0 1 1 =0 =1 | Yc= p+ q
D: 0 1 1 0 =1 =0 |~Yd= p+~q
1 2 3 4 5 6 d e f
|
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
Y = Ya*Yc - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
3. Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q)
co w logice zer oznacza:
4: Y=0 <=> (A: ~p=0 lub ~q=0)*(C: p=0 lub q=0)
#
Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych def odczytujemy:
~Y = ~Yb*~Yd - spójnik „i”(*) bo opis tabeli zero-jedynkowej w logice zer
Po rozwinięciu mamy:
4: ~Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q)
co w logice zer oznacza:
4: ~Y=0 <=> (B: ~p=0 lub q=0)*(D: p=0 lub ~q=0)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego Y|=f(x) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Jak widzimy, odpowiedź na pytanie o Y i ~Y mamy tu w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka czego dowód w punkcie 1.10
Definicja logiki Diabła:
Logika Diabła to funkcje koniunkcyjno-alternatywne totalnie niezrozumiałe dla człowieka
Uzasadnienie nazwy „Logiki Diabła”:
W języku potocznym funkcji koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie, od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszym matematyku kończąc.
Dowód tego faktu mieliśmy w punkcie 1.10.
Z tego względu w języku potocznym zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Krok 4
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd zachodzą tożsamości logiczne:
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
co kończy rozwiązanie zadania Małpki
Podsumowanie:
Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Y= B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
[=]
Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: ~Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] – zero-jedynkowe tabele T2 i T3 są tożsame
Funkcje Y i ~Y w tabelach T2 i T3 dotyczą tej samej tabeli zero-jedynkowej, stąd mamy prawo Małpki.
T2: Y = T3: Y
T2: ~Y = T3: ~Y
25.4.1 Prawo Małpki dla spójnika „albo”($)
Prawo Małpki (pkt. 1.15.1):
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie
Prawo Małpki wynika z tabel T2 i T3.
| Kod: |
T2T3
Prawo Małpki:
Tabela T2 | Tabela T3
Logika 5-cio latka | Logika Diabła
A1: Y = p*~q + ~p* q [=] A1”: Y = (p+ q)*(~p+~q)
Kiedy zajdzie ~Y? | Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A1 | Negujemy dwustronnie A1”
# | #
B1: ~Y = p* q + ~p*~q [=] B1”: ~Y = (p+~q)*(~p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
Matematycznie zachodzi tożsamość:
~Y=~(Y)
~p=~(p)
~q=~(q)
Stąd mamy:
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
[=], „=”, <=> (wtedy i tylko wtedy)
Doskonale widać, że końcowym rozwiązaniem prawa Małpki dla funkcji startowej:
A1: Y= p$q = p*~q + ~p*q
są dwa rozwiązania, jedno w logice dodatniej (bo Y) oraz drugie w logice ujemnej (bo ~Y).
Rozwiązania te wiąże definicja spójnika „albo”($):
Zajdzie Y albo($) ~Y
Y$~Y
Trzeciej możliwości brak
Definicja spójnika "albo"($) w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
Y$~Y = (Y)*~(~Y) + ~(Y)*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y = Y+~Y=1
cnd
Przykład:
Dowolny człowiek mówi prawdę (P) albo nie mówi prawdy (~P)
P$~P =1
Trzeciej możliwości brak
Wisienka na torcie:
Otrzymane funkcje logiczne Y i ~Y nie są (=0) tożsame, czyli:
(Y=~Y) =0
Dowód:
Prawo Irbisa dla zbiorów/zdarzeń (pkt. 2.9):
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość pojęć/zdarzeń/zbiorów p=q i odwrotnie.
Stąd mamy:
p=q <=> A1B3: (p<=>q) = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y, q=~Y
stąd mamy:
Y = (Y<=>~Y) = (Y)*(~Y) + ~(Y)* ~(~Y) = = Y*~Y + ~Y*Y = 0+0 =0
Stąd:
Na mocy prawa Irbisa nie zachodzi (=0) tożsamość:
(Y=~Y)=0 (fałsz)
25.4.2 Logika jedynek = logika 5-cio latka
Analiza dowolnej, pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice jedynek (pkt. 1.14.1) prowadzi do funkcji alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez każdego człowieka, od 5-cio latka poczynając, co udowodnimy niżej, na przykładzie.
Tabela T2
Logika jedynek = logika 5-cio latka:
A1: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y= B: p*~q + D: ~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
#
B1: Kiedy zajdzie ~Y?
B1: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Pani w I klasie LO mówi:
A1.
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y = K$T = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=K*~T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
D: Yd=~K*T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami pozostając w funkcji alternatywno-koniunkcyjnej:
B1: ~Y = A: K*T + C: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1=1 – jutro pójdziemy do kina (K=1) i do pójdziemy do teatru (T=1
lub
C: Yc=~~K*~T=1*1=1 – jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej Y:
Y=1 – prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 – prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko w samych symbolach:
Y – pani dotrzyma słowa
~Y – pani nie dotrzyma słowa
Doskonale widać, że sens wszystkich funkcji alternatywno-koniunkcyjnych jest zrozumiały nawet dla 5-cio latka
25.4.3 Logika zer = logika Diabła
Analiza dowolnej pełnej tabeli zero-jedynkowej w logice zer (pkt. 1.14.2) prowadzi do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych dla człowieka, co udowodnimy niżej, na przykładzie.
Tabela T3
Logika zer = Logika Diabła:
A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1”: Y = (A: ~p+~q)*(C: p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
#
B1”: Kiedy zajdzie ~Y?
B1”: ~Y = (B: ~p+q)*(D: p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Pani w I klasie LO mówi:
A1”.
Jutro pójdziemy do kina albo do teatru
Y = (A: ~K+~T)*(C: K+T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: ~K+~T – jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
C: K+T – jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
Jak widzimy, w języku potocznym mamy tu „bełkot” przez nikogo nierozumiany.
#
… a Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie A1” pozostając w funkcji koniunkcyjno-alternatywnej:
~Y = (B: ~K+T)*(D: K+~T)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~K+T – jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
„i”(*)
D: K+~T – jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
Jak widzimy, tu również nic a nic nie rozumiemy.
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Wniosek:
Łatka „logiki Diabelskiej” w stosunku do funkcji koniunkcyjno-alternatywnych jest ze wszech miar słuszna.
25.5 Mutacje prawa Małpki dla spójnika „albo”($)
Podstawowe rozwiązania prawa Małpki dla funkcji startowej:
Y= p$q = p*~q + ~p*q
jest następujące.
| Kod: |
T2T3 Prawo Małpki
Tabela T2 | Tabela T3
Logika 5-cio latka | Logika Diabła
A1: Kiedy zajdzie Y? | A1”: Kiedy zajdzie Y?
A1: Y = p*~q + ~p* q [=] A1”: Y = (p+ q)*(~p+~q)
# | #
Kiedy zajdzie ~Y? | Kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie A1 | Negujemy dwustronnie A1”
B1: ~Y = p* q + ~p*~q [=] B1”: ~Y = (p+~q)*(~p+ q)
Gdzie:
# - różne, w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
[=] – tożsamość logiczna tabel T2 i T3
p, q, Y muszą być wszędzie tymi samymi p, q, Y inaczej błąd podstawienia
|
Zbadajmy jak zachowa się program komputerowy gdy na jego wejściu ustawimy dowolny z członów występujących w rozwiązaniu B1, A1”, B1”
25.5.1 Analiza funkcji logicznej B1
B1.
Ustawmy na wejściu programu funkcję logiczną B1 w postaci alternatywno-koniunkcyjnej
B1: ~Y= p*q + ~p*~q
Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1 to funkcja:
A1: Y = p*~q + ~p*q
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.4
25.5.2 Analiza funkcji logicznej A1”
A1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową A1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
A1”: Y = (p+q)*(~p+~q)
Tu program komputerowy wypisze nam informację:
Każdy człowiek doskonale rozumie wyłącznie wszelkie funkcje alternatywno-koniunkcyjne, gdzie domyślne są jedynki. Dotyczy to także tworzenia pełnej tabeli zero-jedynkowej.
Stąd wymnażamy logicznie funkcję wejściową A1” przechodząc do tożsamej funkcji alternatywno-koniunkcyjnej A1.
A1”:
Y = (p+q)*(~p+~q) = p*~p + p*~q + q*~p + q*~q = 0 + p*~q + ~p*q + 0 = p*~q+~p*q = A1
Stąd mamy:
A1: Y= p$q = p*~q + ~p*q
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.4
25.5.3 Analiza funkcji logicznej B1”
B1”:
Ustawmy na wejściu programu funkcje startową B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej:
B1”: ~Y= (p+~q)*(~p+q)
Tu program wypisze nam informację:
Wprowadzona funkcja logiczna nie jest funkcją startową bo zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y).
Funkcja startowa dla B1” w postaci koniunkcyjno-alternatywnej to funkcja:
A1”: Y = (p+q)*(~p+~q)
Rozwiązanie będzie identyczne jak w punkcie 25.5.2
25.6 Równoważność p<=>q vs spójnik „albo”($)
Zobaczmy jaka jest relacja matematyczna między spójnikiem równoważności p<=>q a spójnikiem „albo”($).
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
##
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q = p*~q + ~p*q
Gdzie:
## - funkcje logiczne różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice, dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy wyrażenia algebry Boole’a z prawej strony tych funkcji nie są tożsame.
Doskonale widać, że spójnik równoważności p<=>q jest różny na mocy definicji ## od spójnika „albo”($).
Jest oczywistym, że jak rozpiszemy szczegółowo te spójniki to wyskoczy nam słynne prawo Grzechotnika.
25.6.1 Prawo Grzechotnika dla spójników równoważności p<=>q i „albo”($)
Zapiszmy w tabeli prawdy szczegółowe definicje spójnika równoważności p<=>q i spójnika „albo”($), oczywiście wyłącznie w logice 5-cio latka, czyli w funkcjach alternatywno-koniunkcyjnych.
Pani w szkole A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = K<=>T = K*T + ~K*~T
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie A1 pozostając w logice alternatywno-koniunkcyjnej:
B1.
~Y = ~(K<=>T) = K*~T + ~K*T
##
Pani w szkole A2:
A2.
Jutro pójdziemy do kina albo to teatru
Y = K$T = K*~T + ~K*T
#
.. a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie A2 pozostając w logice alternatywno-koniunkcyjnej:
B2.
~Y = ~(K$T) = K*T + ~K*~T
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolne strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
Zapiszmy powyższe dialogi w tabeli prawdy:
| Kod: |
PA1A2
A1: Y = K* T + ~K*~T # B1: ~Y = K*~T + ~K* T
## ##
A2: Y = K*~T + ~K* T # B2: ~Y = K* T + ~K*~T
|
Definicja znaczka #
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest negacją drugiej.
W tabeli PA1A2 doskonale widać, że obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Prawo Grzechotnika:
Aktualna, ziemska algebra Boole'a która nie widzi funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna na poziomie funkcji logicznych.
Dowód:
Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach funkcji logicznych Y i ~Y.
Innymi słowy:
Ziemscy matematycy operując w rachunku zero-jedynkowym wyłącznie na prawych stronach funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) z definicji usuwają zewsząd wszelkie funkcje Y i ~Y.
Usuńmy z tabeli PA1A2 wszelkie funkcje Y i ~Y:
| Kod: |
PA1A2”:
A1: K* T+~K*~T # B1: K*~T+~K* T
A2: K*~T+~K* T # B2: K* T+~K*~T
|
Doskonale widać, że w tabeli PA1A2" po przekątnych zachodzą tożsamości matematyczne, co oznacza gwałt na najważniejszym znaczku logiki matematycznej, znaczku różne na mocy definicji ##.
To jest dowód wewnętrznej sprzeczności wszelkich ziemskich logik matematycznych.
25.7 Funkcja dwuargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne
Definicja startowej funkcji logicznej w języku potocznym:
Startowa funkcja logiczna w języku potocznym to funkcja w logice dodatniej (bo Y) opisująca zdanie startowe wypowiedziane przez człowieka, od którego zaczynamy analizę matematyczną tego zdania.
Definicja funkcji startowej w zapisach formalnych:
Funkcja startowa to dowolne wyrażenie algebry Boole'a f(x) przypisane do funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Definicja funkcji alternatywno-koniunkcyjnej (pkt. 1.15.2):
Funkcja logiczna Y ma postać alternatywno-koniunkcyjną wtedy i tylko wtedy gdy nie zawiera ani jednego członu w postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Inaczej funkcja Y ma postać koniunkcyjno-alternatywną lub mieszaną
Logiką zrozumiałą dla człowieka jest tylko i wyłącznie postać alternatywno-koniunkcyjna (dowód w pkt. 1.10) gdzie wszystkie zmienne na mocy prawa Prosiaczka sprowadzone są do logicznych jedynek.
Na mocy powyższej definicji zaprzeczenie dowolnego wyrażenia dwóch zmiennych binarnych uznajemy za postać koniunkcyjno-alternatywną.
Przykład:
Y = ~(~p*~q) - postać koniunkcyjno-alternatywna
By zapisać powyższą postać koniunkcyjno-alternatywną w tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej musimy skorzystać z prawa De Morgana
Y = ~(~p*~q) = p+q - na mocy prawa De Morgana
Stąd szukana postać alternatywno-koniunkcyjna to:
Y = p+q
| Kod: |
T1
Definicje spójnika „lub”(+) oraz „i”(*)
w logice dodatniej bo brak przeczeń
p q p+q p*q
A: 1 1 1 1
B: 1 0 1 0
C: 0 1 1 0
DL 0 0 0 0
|
W przypadku funkcji dwuargumentowej precyzyjnie możemy mówić o rozwiązaniu podstawowym (logika 5-cio latka) oraz o rozwiązaniu alternatywnym wynikłym z praw De Morgana (logika Szakala)
25.7.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka
Definicja funkcji logicznej podstawowej:
Funkcja logiczna podstawowa Y=f(x) to brak wyrażeń koniunkcyjno-alternatywnych oraz zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a
Definicja rozwiązania podstawowego:
Rozwiązanie podstawowe to likwidacja wszelkich, zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy prawa De Morgana
Przykład:
Y = ~(~p*~q) - to nie jest funkcja logiczna podstawowa
Y =~(~p*~q) = p+q - na mocy Prawa De Morgana
Y = p+q - to jest funkcja logiczna podstawowa
Definicja logiki 5-cio latka
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje logiczne podstawowe Y=f(x) gdzie brak jest zarówno członów koniunkcyjno-alternatywnych jak i zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a
Rozważmy przykład:
Dana jest funkcja startowa jednej dwóch zmiennych binarnych:
A1:
Y=p+q
Polecenie:
Przeanalizuj startową funkcją logiczną A1 w logice 5-cio latka
Rozwiązanie:
Mamy funkcję startową podstawową A1:
Logika 5-cio latka
A1:
Kiedy zajdzie Y?
Y=p+q
Czytamy:
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p lub zajdzie q
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1:
B1:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana
W rozwiązaniu podstawowym nie może być negacji dowolnego wyrażenia algebry Boole’a.
Stąd mamy jedynie poprawne rozwiązanie:
~Y = ~p*~q
Czytamy:
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i zajdzie ~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zapiszmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Logika 5-cio latka
Rozwiązanie podstawowe dla funkcji startowej A1:
A1: Y= p+ q # B1: ~Y=~p*~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja logiki 5-cio latka
Logika 5-cio latka to wyłącznie funkcje logiczne podstawowe Y=f(x) gdzie brak jest zarówno członów koniunkcyjno-alternatywnych jak i zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a
Przykład:
Pani w przedszkolu A1 mówi:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Treść polecenia:
Zapisz w logice 5-cio latka odpowiedź na pytanie „Kiedy pani dotrzyma słowa” (Y) oraz „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)
Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.
Pani w przedszkolu A1:
Logika 5-cio latka
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
A1: Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję logiczną A1 stronami likwidując zaprzeczenie wyrażenia algebry Boole’a:
B1:
~Y=~(K+T) = ~K*~T - prawo De Morgana
Stąd mamy poprawną odpowiedź dla rozwiązania podstawowego:
B1: ~Y = ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
lub krótko w naturalnym języku człowieka:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
Zapiszmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T2
Rozwiązanie podstawowe dla funkcji logicznej A1:
A1: logika 5-cio latka | B1: logika 5-cio latka
A1: Y= K+ T # B1: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza: | co w logice jedynek oznacza:
A1: Y=1 <=> K=1 lub T=1 # B1: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
|
Jak widzimy rozwiązanie podstawowe dla funkcji logicznej A1 jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka
25.7.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala
Definicja funkcji logicznej podstawowej:
Funkcja logiczna podstawowa Y=f(x) to brak wyrażeń koniunkcyjno-alternatywnych oraz zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a
Definicja rozwiązania alternatywne:
Rozwiązanie alternatywne to wymuszenie zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy praw De Morgana.
Definicja logiki Szakala
Logika Szakala to wymuszenie zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy praw De Morgana.
Przykład:
Y = p+q - to jest funkcja logiczna podstawowa
Y = p+q = ~(~p*~q) - na mocy Prawa De Morgana
Y = ~(~p*~q) - to jest funkcja alternatywna z zaprzeczonym wyrażeniem algebry Boole’a
Generowanie rozwiązania alternatywnego dla naszego przykładu z przedszkola:
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Stąd mamy:
A1: Y=p+q = A1”: Y = ~(~p*~q) - na mocy prawa De Morgana
B1: ~Y=~p*~q = B1”: ~(~(~p*~q) = ~(p+q) - prawo podwójnego przeczenia plus prawo De Morgana
Stąd mamy:
Rozwiązanie alternatywne końcowe:
A1”: Y = ~(~p*~q)
B1”: ~Y = ~(p+q)
Rozważmy funkcję startową alternatywną:
Logika Szakala
A1”:
Kiedy zajdzie Y?
Y=~(~p*~q)
Czytamy:
Zajdzie Y wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że zajdzie ~p i ~q
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A1” z wymuszeniem zaprzeczonego wyrażenia algebry Boole’a:
B1”:
~Y=~(p+q)
Czytamy:
Zajdzie ~Y wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..) że zajdzie p lub zajdzie q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Zapiszmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T3
Rozwiązanie alternatywne dla funkcji startowej A1”:
Logika Szakala
A1”: Y=~(~p*~q) # B1”: ~Y=~(p+q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Definicja logiki Szakala
Logika Szakala to wymuszenie zaprzeczonych wyrażeń algebry Boole’a na mocy praw De Morgana.
Przykład:
Pani w przedszkolu A1 mówi:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Treść polecenia:
Zapisz w logice Szakala odpowiedź na pytanie „Kiedy pani dotrzyma słowa” (Y) oraz „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)
Rozwiązanie Jasia, ucznia I klasy LO w 100-milowym lesie.
Pani w przedszkolu A1” wypowiada zdanie startowe w logice Szakala:
A1”:
Nie może się zdarzyć ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Y = ~(~K*~T)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T).
To zdanie jest zrozumiałe, ale nikt przy zdrowych zmysłach nie wypowie tego zdania w języku potocznym jako zdania startowego (pierwszego) w dialogu.
#
… a kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy dwustronnie funkcje logiczną A1” pozostawiając najprostsze możliwe, zanegowane wyrażenie algebry Boole’a
B1”:
~Y = ~(K+T)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), iż jutro pójdziemy do kina (K+T) lub do teatru (T)
Gdzie:
# - dowolna strona # jest negacją drugiej strony
Zauważmy, że w języku potocznym logika 5-cio latka jest niebotycznie prostsza od logiki Szakala, choć na upartego logikę Szakala da się zrozumieć.
25.7.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala
Porównajmy logikę 5-cio latka z logiką Szakala na naszym przykładzie:
| Kod: |
Rozwiązanie podstawowe | Rozwiązania alternatywne
Logika 5-cio latka | Logika Szakala
A1: Y=K+T [=] A1”: Y=~(~K*~T)
# #
… a kiedy zajdzie ~Y? | … a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy dwustronnie A1 | Negujemy dwustronnie A1”
z wyrażeniem bez negacji | z zanegowanym wyrażeniem algebry Boole’a
B1: ~Y=~K*~T [=] B1”: ~Y = ~(K+T)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Zauważmy, że podstawowe zdanie A1 wypowiedziane przez panią przedszkolanką brzmi:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Prawo Szakala:
Nie istnieje ziemskie przedszkole, w którym pani zamiast startowego zdania A1 w logice 5-cio latka:
A1: Y=K+T
wypowiedziała by to samo zdanie w logice Szakala:
A1”: Y = ~(~K*~T)
Zdanie A1 w logice Szakala, może nam wyskoczyć w specyficznych okolicznościach, ale na pewno nie jako zdanie startowe (pierwsze wypowiedziane).
Przykład:
A1:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y = K+T
Jaś (lat 5):
Proszę pani, a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Pani:
Oczywiście Jasiu, że nie może się zdarzyć ~(..) że jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
A1”: Y = ~(~K*~T)
Podobnie jest z odpowiedzią na pytanie „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)?
Logika 5-cio latka:
B1: ~Y=~K*~T
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K) i nie pójdziemy do teatru (~T)
Zdanie tożsame w logice Szakala:
B1”: ~Y = ~(K+T)
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..) że jutro pójdziemy do kina (K) lub pójdziemy do teatru (T)
25.8 Funkcja jednoargumentowa, rozwiązanie podstawowe i alternatywne
W przypadku funkcji jednoargumentowej mamy dostęp tylko i wyłącznie do prawa podwójnego przeczenia:
p = ~(~p)
Stąd analiza funkcji logicznej jednoargumentowej podstawowa i alternatywna z wykorzystaniem prawa podwójnego przeczenia, będzie tu bardzo prosta.
| Kod: |
Rozwiązanie podstawowe | Rozwiązania alternatywne
Logika 5-cio latka | Logika Szakala
A1: Y= p [=] A1”: Y=~(~p)
# #
… a kiedy zajdzie ~Y? | … a kiedy zajdzie ~Y
Negujemy dwustronnie A1 | Negujemy dwustronnie A1”
B1: ~Y=~p [=] B1”: ~Y= ~(p)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
|
W logice Szakala wszelkie zdania zaczynają się od frazy nie może się zdarzyć ~(..).
Zobaczmy różnicę między logiką 5-cio latka a logika Szakala na konkretnym przykładzie.
25.8.1 Rozwiązanie podstawowe - logika 5-cio latka
Pani w przedszkolu A1:
Logika 5-cio latka
A1:
Jutro pójdziemy do kina
A1:
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy funkcję logiczną A1 stronami:
B1:
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Gdzie:
# - dowolna strona # jest negacją drugiej strony
25.8.2 Rozwiązanie alternatywne - logika Szakala
Dokładnie ten sam dialog w logice Szakala.
Pani w przedszkolu A1”:
Logika Szakala
A1”:
Y = ~(~K)
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Negujemy zdanie A1” pozostawiając frazę „nie może się zdarzyć” ~(..)
B1”.
~Y = ~(K)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..) że jutro pójdziemy do kina (K)
Znaczenie zmiennej binarnej Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa
Prawo Szakala:
Nie istnieje ziemskie przedszkole w którym pani przedszkolanka w zdaniu startowym wypowiedziała by zdanie startowe z logiki Szakala:
A1”: Y=~(~K)
zamiast zdania z logiki 5-cio latka:
A1: Y=K
25.8.3 Logika 5-cio latka vs logika Szakala
W języku potocznym, w specyficznej sytuacji może paść zdanie z logiki Szakala A1” ale nie jako zdanie startowe.
Przykład:
Pani w przedszkolu A1:
Logika 5-cio latka
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
Jaś (lat 5):
Proszę pani, a czy może się zdarzyć, że jutro nie pójdziemy do kina (~K)?
Pani:
A1”:
Y = ~(~K)
Czytamy:
Nie drogi Jasiu, nie może się zdarzyć ~(..), że jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Identycznie mamy w odpowiedzi na pytanie „Kiedy pani nie dotrzyma słowa” (~Y)?
Logika 5-cio latka:
B1:
~Y=~K
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
Zdanie tożsame na mocy prawa Szakala:
B1”:
~Y = ~(K)
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..), że jutro pójdziemy do kina (K)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 8:22, 06 Mar 2024, w całości zmieniany 8 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 23:52, 28 Sty 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
26.0 Obietnice i groźby złożone
Spis treści
26.0 Obietnice i groźby złożone 1
26.1 Obietnice złożone typu f(p)=>f(q) 1
26.1.1 Prawo transformacji w obietnicy 3
26.2 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony 4
26.2.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z 6
26.3 Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz to dostaniesz czekoladę i klocki lego 11
26.3.1 Analiza operatora implikacji prostej (W+P)||=>(C*L) 12
26.4 Groźby złożone typu f(p)~>f(q) 16
26.4.1 Prawo transformacji w groźbie 18
26.5 Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie 20
26.5.1 Analiza operatora implikacji odwrotnej (~P+B)||~>L 22
26.0 Obietnice i groźby złożone
Niezbyt złożone obietnice i groźby dość często występują w języku potocznym, dlatego z ich matematyczną obsługą teraz się zapoznamy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
26.1 Obietnice złożone typu f(p)=>f(q)
Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)
Obietnica złożona typu f(p)=>f(q) to obietnica klasyczna W=>N gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi wyrażeniami algebry Boole’a tzn. akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(x)=p*q+~p*~q
W praktyce, w obietnicach występują tu najprostsze wyrażenia typu:
f(x) = p+q
f(x)=p*q
Przykład:
A1.
Jeśli posprzątasz pokój i będziesz grzeczny to dostaniesz czekoladę
(P*G)=>C =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = P*G - posprzątasz pokój i będziesz grzeczny
q = C - dostaniesz czekoladę
Stąd mamy to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Posprzątanie pokoju i bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady.
Dostanie czekolady jest dla dziecka nagrodą, stąd obietnicę A1 musimy kodować warunkiem wystarczającym p=>q wchodzącym w skład implikacji prostej p|=>q
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Zapiszmy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 = [=] = 4:~q~~>p =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B’: = 2:~p~~>q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości/fałszywości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP
Wszelkie obietnice i groźby to z definicji opisy nieznanej przyszłości, których matematyczny opis jest wyłącznie w kolumnach A1B1 i A2B2.
Kolumny A3B3 i A4B4 opisują obietnice i groźby w czasie przeszłym, gdy nie znamy rozstrzygnięcia - mówi o tym prawo transformacji.
26.1.1 Prawo transformacji w obietnicy
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Na mocy prawa Kłapouchego to samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
p=P (pada)
q=OP (otworzę parasol)
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)
Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
Zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
to samo w zapisach formalnych:
~q=>~p =1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Jak widzimy bez zastosowania prawa transformacji zdanie A4 jest kompletnie bez sensu, ale …
Zdanie A4 w czasie przeszłym.
Jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie otwarcia parasola.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłeś parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
To samo w zapisach formalnych:
A4: ~q=>~p =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało, że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1
To samo w zapisach formalnych:
A4: ~q=>~p =1
W niniejszym rozdziale będziemy zajmować się złożonymi obietnicami w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przyszłość.
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w obsłudze obietnicy p=>q
Matematyczna obsługa obietnicy p=>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących obietnice w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q=0
B’: = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
26.2 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Weźmy złożoną obietnicę Chrystusa (MK16):
A1.
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
(W*CH)=>Z =1
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Gdzie:
p=(W*CH) - wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH)
q= Z (zbawienie)
Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)
Rozstrzygnięcie:
W następniku mamy tu nagrodę „zbawienie”, gdzie warunek otrzymania tej nagrody jest precyzyjnie określony, zatem na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający (W*CH)=>Z wchodzący w skład implikacji prostej (W*CH)|=>Z.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane tzn. nic więcej nie musimy udowadniać.
Zdanie A1: (W*CH)=>Z to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej A1B1: (W*CH)|=>Z.
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Nasz przykład:
A1: (W*CH)=>Z =1 - wiara (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) wystarczająca => dla zbawienia (Z)
B1: (W*CH)~>Z =0 - wiara (W) i przyjęcie chrztu (CH) nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia (Z)
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1
Podstawmy nasze parametry aktualne do kolumn A1B1 i A2B2
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W*CH,Z}:
A1B1:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
W*CH=>Z =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=W*CH - wierzy i przyjmie chrzest
q=Z - zostanie zbawiony
A1: (W*CH)=>Z=1 - wiara i przyjęcie chrztu jest wystarczająca dla zbawienia
B1: (W*CH)~>Z=0 - wiara i przyjęcie chrztu nie jest konieczna dla zbawienia
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p => q =1 = 2: ~p ~> ~q =1
A: 1: W* CH=> Z =1 = 2: ~W+~CH ~>~Z =1
A’: 1: p ~~>~q =0 =
A’: 1: W* CH~~>~Z=0 =
## ##
B: 1: p ~> q =0 = 2: ~p => ~q =0
B: 1: W* CH ~> Z=0 = 2: ~W+~CH=>~Z =0
B’: 2: ~p ~~> q =1
B’: 2: ~W+~CH~~> Z =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości/fałszywości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: (W*CH)|=>Z na mocy definicji obietnicy.
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A1B1 przechodząc do kolumny A2B2
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A2B2 przechodząc do kolumny A1B1
26.2.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z
Operator implikacji prostej p||=>q do układ równań A1B1: p|=>q i A2B2: ~p|~>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p
Kolumna A1B1
Odpowiedź na pytanie o p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli uwierzę (W) i przyjmę chrzest (CH)?
A1B1:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
W*CH=>Z =1
Punkt odniesienia:
p=W*CH - wierzy i przyjmie chrzest
q=Z - zostanie zbawiony
A1: (W*CH)=>Z=1 - wiara i przyjęcie chrztu jest (=1) wystarczająca => dla zbawienia
B1: (W*CH)~>Z=0 - wiara i przyjęcie chrztu nie (=0) jest konieczna ~> dla zbawienia
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1
A1.
Kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH), będzie zbawiony (Z)
Ya = (W*CH)=>Z =1
To samo w zapisie formalnym:
Ya = p=>q =1
Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)
Czytamy:
Chrystus dotrzyma słowa (Ya=1) gdy człowieka który w niego wierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1), zbawi (Z=1)
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) może ~~> nie zostać zbawiony (~Z)
Yb = (W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =0
To samo w zapisie formalnym:
Yb = p~~>~q = p*~q =1*1 =0
Zapis matematycznie tożsamy to:
(Yb=0) <=> p=1*~q=1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy człowiek który wierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1) nie zostanie zbawiony (~Z=1)
Innymi słowy:
Zakaz karania kogokolwiek kto spełnił w 100% warunek otrzymania nagrody w zdaniu A1.
Uwaga:
W całej niniejszej analizie Chrystus może zostać kłamcą tylko i wyłącznie w opisanym wyżej fałszywym kontrprzykładzie A1’, czyli gdyby kogokolwiek kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) nie zbawi (pośle do piekła). Sęk w tym, że nie może tego zrobić, bo wówczas wiara w niego straciłaby sens. Człowiek może bez problemu nie dotrzymać dowolnej obietnicy (fundament działania oszustów), ale Bóg nie ma do tego prawa i w tym sensie wolna wola Chrystusa jest mniejsza od wolnej woli człowieka.
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd:
Zapis w naturalnej logice matematycznej człowieka, gdzie domyślnie mamy do czynienia wyłącznie z logicznymi jedynkami
~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Yb=1) gdy człowieka który uwierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1), nie zbawi (~Z=1)
~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1
… a jeśli nie spełnię warunku nagrody?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Skrócony algorytm przejścia do logiki ujemnej (bo ~q):
W równaniu A1 negujemy zmienne i zamieniamy wszystkie znaczki na przeciwne: (*) na (+) oraz warunek wystarczający => na warunek konieczny ~>.
Mamy zdanie A1:
A1: (W*CH) => Z
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q
stąd po negacji zmiennych i wymianie spójników na przeciwne mamy:
A2: (~W+~CH)~>~Z
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~> bo w następniku mamy tu czystą karę:
~Z - nie zostanie zbawiony (pójdzie do piekła)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Nie zbawiony (~Z) = idzie do piekła (P)
~Z=P
Idzie do piekła (P) = nie zbawiony (~Z)
P = ~Z
Stąd mamy:
Kolumna A2B2:
Odpowiedź na pytanie o ~p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli nie uwierzę (~W) lub nie przyjmę chrztu (~CH)?
A2B2:
Kto nie uwierzy lub nie przyjmie chrztu, ten nie będzie zbawiony.
(~W+~CH)~>~Z =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Gdzie:
~p = (~W+~CH) - nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (~CH)
~q=~Z - nie zostanie zbawiony (~Z)
A2: (~W+~CH) ~>~Z =1 - (~W+~CH) jest (=1) konieczne ~> dla nie zbawienia (~Z)
B2: (~W+~CH) =>~Z =0 - (~W+~CH) nie jest (=0) wystarczające => dla nie zbawienia (~Z)
Stąd:
A2B2: (~W+~CH)|~>~Z = (A2: (~W+~CH)~>~Z)*~(B2: (~W+~CH)=>~Z)=1*~(0)=1*1=1
A2.
Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (~CH), ten ~> nie zostanie zbawiony (~Z)
A2: Yc = (~W+~CH) ~>~Z =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: Yc = ~p~>~q =1
Brak wiary (~W) lub nie przyjęcie chrztu (~CH) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z), bo jak kto wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) to na 100% => zostanie zbawiony (Z).
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: (~W+~CH)~>~Z = A1: (W*CH) =>Z
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
Przyjrzyjmy się bliżej grupom ludzi które Chrystus ma prawo nie zbawić (~Z) na mocy warunku koniecznego ~> A2 i matematycznym kłamcą nie będzie.
A2: Yc = (~W+~CH) ~>~Z =1
Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=~W (nie uwierzy)
q=~CH (nie przyjmie chrztu)
Stąd mamy:
~W+~CH = (~W)*(~CH) + (~W)*~(~CH) + ~(~W)*(~CH) = ~W*~CH + ~W*CH + W*~CH
Stąd w przełożeniu na nasz przykład mamy poprzednik w zdarzeniach rozłącznych:
~W+~CH = 1: W*~CH + 2: ~W*~CH + 3: ~W*CH
Po rozwinięciu poprzednika w zbiorach rozłącznych mamy:
A2: Yc = (1: W*~CH + 2: ~W*~CH + 3: ~W*CH) ~>~Z =1
Gdzie:
Rozłączne grupy ludzi opisane w poprzedniku zdania A2 to:
1: W*~CH =1*1 =1 - uwierzy (W=1) ale nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
2: ~W*~CH=1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) i nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
3: ~W*CH =1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) ale przyjmie Chrzest (CH=1)
Człowieka należącego do dowolnej z powyższych grup Chrystus ma prawo nie zbawić (posłać do piekła) i matematycznym kłamcą nie będzie
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: (~W+~CH)=>~Z=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’
Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (CH), ten może ~~> zostać zbawiony (Z)
B2’: Yd = (~W+~CH) ~~>Z = (~W+~CH)*Z =1
To samo w zapisie formalnym:
B2’: Yd = ~p~~>q =~p*q =1
Jest taka możliwość (=1) na mocy definicji obietnicy A1: (W*CH)=>Z
W zdaniu B2’ w poprzedniku mamy dokładnie te same grupy ludzi co w groźbie A2 z tym, że tu Chrystus może zbawić wszystkich 1+2+3 lub tylko dowolnie wybrane grupy, ma tu 100% wolnej woli.
Rozłączne grupy ludzi opisane w poprzedniku zdania B2’ to:
1: W*~CH =1*1 =1 - uwierzy (W=1) ale nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
2: ~W*~CH=1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) i nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
lub
3: ~W*CH =1*1 =1 - nie uwierzy (~W=1) ale przyjmie Chrzest (CH=1)
Człowieka należącego do dowolnej z powyższych grup Chrystus ma prawo zbawić (posłać do nieba) i matematycznym kłamcą nie będzie
Czytamy:
Jeśli człowiek należy do dowolnej z grup ludzi opisanych w poprzedniku zdania B2’ to na mocy zdania prawdziwego B2’ Chrystus może ~~> mimo wszystko zbawić takiego człowieka, co ma potwierdzenie w setkach przypadków w Biblii.
Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do obietnicy A1: (W*CH)=>Z=1, czyli wręczenie nagrody (Z=zbawienie) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (W*CH)=0
Zdanie B2’ to także piękny akt łaski w stosunku do groźby A2:
A2: (~W+~CH) ~>~Z =1
czyli odstąpienie od wykonania kary (~Z=brak zbawienia) mimo że odbiorca spełnił warunek kary o czym mówi zdanie B2’: (~W+~CH) ~~>Z=1
Oba te akty, „akt miłości” i „akt łaski” są doskonale znane w świeci żywym (nie tylko w świecie człowieka).
Nie jest tu istotne co sobie myślimy o ludziach z grupy B2’.
Na mocy zdania prawdziwego B2’ Chrystus może zbawić absolutnie wszystkich ludzi z grupy B2’ (z Hitlerem na czele) i matematycznym kłamcą nie będzie.
Może zbawić nie oznacza że musi zbawić.
Twarda skrajność z drugiej strony to posłanie do piekła absolutnie wszystkich ludzi z grupy B2’ na mocy zdania A2. Ten przypadek nie może zajść bowiem w Biblii roi się aktów łaski wypowiedzianych przez Chrystusa (zdanie B2’) np.
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Wniosek:
Zanana filozofom idea powszechnego zbawienia jest możliwa, bo ma swoje podstawy matematyczne.
[link widoczny dla zalogowanych]
Apokatastaza (od gr. apokatastasis czyli „ponowne włączenie, odnowienie” z Dz 3, 21) – końcowa i ostateczna odnowa całego stworzenia poprzez przywrócenie mu pierwotnej doskonałości i bezgrzeszności lub nawet przewyższenie tego pierwotnego stanu. Potocznie apokatastaza nazywana jest ideą pustego piekła.
Podsumowanie:
1.
Wszystkie możliwe przypadki w których Chrystus dotrzyma słowa (Y=1) opisane są zdaniami:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy:
Ya = A: (W*CH)=>Z =1
Ya = A: p=>q =1
lub
Yc = C: (~W+~CH)~>~Z =1
Yc = C: ~p~>~q =1
lub
Yd = D: (~W+~CH)~~>Z =1
Yd = D: ~p~~>q =1
2.
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Y=1) wyłącznie w zdaniu A1’
A1’
~Yb=(W*CH)~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Yb=1) wtedy i tylko wtedy gdy człowieka który uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) nie zbawi (~Z), czyli pośle do piekła.
26.3 Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz to dostaniesz czekoladę i klocki lego
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Ojciec do Jasia na przyjęciu z okazji jego 5 rocznicy urodzin.
A1.
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
W+P => C*L =1
Nasz punkt odniesienia to:
p = W+P - powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P)
q= C*L - to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
Stąd to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Powiedzenie wierszyka (W) lub zaśpiewanie piosenki (P) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady (C) i klocków lego (L)
W następniku mamy tu czystą nagrodę, zatem na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający A1: (W+P)=>(C*L) wchodzący w skład implikacji prostej A1B1: (W+P)|=>(C*L).
Wszystko mamy tu zdeterminowane na mocy definicji obietnicy, nic a nic nie musimy udowadniać.
Zapiszmy obietnicę A1 w tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W+P,C+L}:
A1B1:
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = W+P=1 - Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P)
q = C*L=1 - to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
A1: W+P=>C*L=1 - wierszyk lub piosenka są wystarczające =>
dla otrzymania czekolady i klocków lego
B1: W+P~>C*L=0 - wierszyk lub piosenka nie są konieczne ~>
dla otrzymania czekolady i klocków lego
Stąd:
A1B1: (W+P)|=>(C*L) = (A1: W+P=>C*L)*~(B1: W+P~>C*L)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p => q =1 = 2: ~p ~> ~q =1
A: 1: W+ P=> C* L =1 = 2: ~W*~P ~>~C+~L =1
A’: 1: p~~>~q =0 =
A’: 1: W+ P~~>~C+~L=0 =
## ##
B: 1: p ~> q =0 = 2: ~p => ~q =0
B: 1: W+ P ~> C* L=0 = 2: ~W*~P=>~C+~L =0
B’: 2: ~p ~~> q =1
B’: 2: ~W*~P~~>C* L =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: W+P|=>C+L na mocy definicji obietnicy.
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A1B1 przechodząc do kolumny A2B2
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Tu zaczynamy analizę od kolumny A2B2 przechodząc do kolumny A1B1
26.3.1 Analiza operatora implikacji prostej (W+P)||=>(C*L)
Operator implikacji prostej p||=>q do układ równań A1B1: p|=>q i A2B2: ~p|~>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p
Kolumna A1B1
Odpowiedź na pytanie o p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P)?
A1: W+P=>C*L=1 - wierszyk lub piosenka są wystarczające => dla otrzymania czekolady i klocków lego
B1: W+P~>C*L=0 - wierszyk lub piosenka nie są konieczne ~> dla otrzymania czekolady i klocków lego
Stąd:
A1B1: (W+P)|=>(C*L) = (A1: W+P=>C*L)*~(B1: W+P~>C*L)=1*~(0)=1*1=1
Ojciec do Jasia na przyjęciu z okazji jego 5 rocznicy urodzin.
A1.
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
A1: Ya= W+P => C*L =1
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = W+P - Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz piosenkę
q= C*L - to dostaniesz czekoladę i klocki lego
Stąd mamy to samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Powiedzenie wierszyka (W) lub zaśpiewanie piosenki (P) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady (C) i klocków lego (L)
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Na mocy tej definicji rozpiszmy poprzednik w zdarzeniach rozłącznych:
(W+P)=>(C*L) =1
p=W (wierszyk)
q=P (piosenka)
Stąd mamy:
W+P = 1: W*P + 2: W*~P + 3: ~W*P
Stąd zdanie tożsame do A1 to:
A1.
Ya = (1: W*P + 2: W*~P + 3: ~W*P) => (C*L) =1
Czytamy:
Warunek wystarczający => A1 będzie spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy Jaś wykona dowolną czynność zapisaną w poprzedniku, zaś ojciec wręczy mu nagrodę widoczną w następniku.
Innymi słowy:
Wykonanie przez odbiorcę dowolnej czynności zapisanej w poprzedniku jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania prezentu zapisanego w następniku
Jaś, aby mieć gwarancję matematyczną => nagrody musi wykonać jedną z trzech rozłącznych czynności zapisanych w poprzedniku zdania A1:
1: W*P =1*1 =1 - Jaś mówi wierszyk (W) i śpiewa piosenkę (P)
2: W*~P = 1*1 =1 - Jaś mówi wierszyk (W), ale nie śpiewa piosenki (~P)
3: ~W*P =1*1 =1 - Jaś nie mówi wierszyka (~W), ale śpiewa piosenkę (P)
Jeśli Jaś spełni dowolny z powyższych warunków to ojciec musi mu wręczyć prezent zdefiniowany w następniku, inaczej jest kłamcą o czym mówi zdanie A1’.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Obliczamy negację następnika q w zdaniu A1:
q = C*L
Negujemy dwustronnie:
~q = ~(C*L) = ~C+~L - na mocy prawa De Morgana
Stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to możesz ~~> nie dostać czekolady (~C=1) lub nie dostać klocków lego (~L=1)
A1’: Yb = (W+P) ~~>~C+~L =0
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) oraz zdarzy się, że nie dostanie czekolady (~C) lub nie dostanie klocków lego (~L)
Innymi słowy:
Na mocy definicji obietnicy wystarczy, że przy spełnionym warunku otrzymania nagrody zdefiniowanym w poprzedniku zajdzie (=1) którykolwiek składnik sumy logicznej w następniku i już ojciec jest kłamcą.
Tu również możemy skorzystać z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz następnik:
~q = ~C+~L
Stąd mamy:
~C+~L = (~C)*(~L) + (~C)*~(~L) + ~(~C)*(~L) = ~C*~L + ~C*L + C*~L
suma logiczna jest przemienna, stąd:
~C+~L = 1: C*~L + 2: ~C*~L+ 3: ~C*L
Stąd przy spełnionym poprzedniku zdarzenia rozłączne w następniku po zajściu któregokolwiek z nich ojciec będzie kłamcą to:
1: C*~L - Jaś dostanie czekoladę (C) i nie dostanie klocków lego (L)
2: ~C*~L - Jaś nie dostanie czekolady (C) i nie dostanie klocków lego (~L)
3: ~C*L - Jaś nie dostanie czekolady (~C) i dostanie klocki lego (L)
Zdanie tożsame:
A1’: Yb = (W+P) ~~>~C+~L =~(C*L) =0
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) i nie zdarzy się ~(..), że dostanie czekoladę (C) i klocki lego (L)
A1’: Yb = (W+P) ~~>~(C*L) =0
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd mamy odpowiedź na pytanie kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Yb=1) w naturalnej logice matematycznej człowieka akceptującej wyłącznie jedynki.
A1’: ~Yb = (W+P)~~>~(C*L) =1
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Yb=1) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) i nie zdarzy się ~(..), że dostanie czekoladę (C) i klocki lego (L)
Uwaga:
Zdanie A1’ to jedyne zdanie gdzie ojciec jest w stanie fizycznie skłamać bo ma „wolną wolę”, czyli zdolność go gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy.
Dowód tego faktu wynika z kolumny A2B2 w tabeli implikacji prostej IP gdzie oba zdania A2 i B2’ są prawdziwe.
Kolumna A2B2
Mamy zdanie wypowiedziane:
A1: W+P => C*L
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Przejście ze zdaniem A1 do logiki ujemnej (bo ~q) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwna tzn. „lub”(+) na „i”(*) i odwrotnie oraz warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>
A2: ~W*~P ~> ~C+~L
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q
Gdzie:
~p=~(W+P) = ~W*~P - prawo De Morgana
~q = ~(C*L)=~C+~L
Dojście alternatywne na piechotę do zapisu A2:
Prawo Prosiaczka:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Podstawiając ~p i ~q mamy:
A2: ~W*~P ~> ~C+~L
A2B2:
Stąd mamy odpowiedź na pytanie o ~p, czyli:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
Co może się wydarzyć, jeśli Jaś nie powie wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewa piosenki (~P=1)?
A2: ~W*~P ~>(~C+~L)=1 - ~W i ~P jest (=1) konieczne ~> dla ~C lub ~L
B2: ~W*~P => (~C+~L)=0 - ~W i ~P nie jest (=0) wystarczające => dla ~C i ~L
Stąd:
A2B2: ~W*~P|~>(~C+~L) = (A2: ~W*~P~>(~C+~L))*~(B2: ~W*~P=>(~C+~L))=1*~(0)=1*1=1
A2.
Jeśli nie powiesz wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewasz piosenki (~P=1) to możesz ~> nie dostać czekolady (~C) lub nie dostać klocków lego (~L)
A2: Yc = (~W*~P) ~> (~C+~L) =1
To samo w zapisie formalnym:
A2: ~p~>~q
Czytamy:
Nie powiedzenie wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewanie piosenki (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~>, by Jaś nie dostał czekolady (~C=1) lub nie dostał klocków lego (~L=1)
Innymi słowy:
Na mocy definicji obietnicy w zdaniu A2 ojciec dotrzyma słowa (Yc=1), gdy Jaś nie powie wierszyka (~W) i nie zaśpiewa piosenki (~P), zaś ojciec nie da mu czekolady (~L) lub nie da mu klocków lego (~L).
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Rozpiszmy następnik zdania A2 w zdarzeniach rozłącznych:
p=~C (nie czekolada)
q=~L (nie klocki lego)
stąd mamy:
~C+~L = (~C)*(~L) + (~C)*~(~L) + ~(~C)*(~L) = ~C*~L + ~C*L + C*~L
Suma logiczne jest przemienna, stąd:
~C+~L = 1: C*~L + 2: ~C*~L + 3: ~C*L
Stąd mamy:
A2: Yc = (~W*~P) ~> (1: C*~L + 2: ~C*~L + 3: ~C*L) =1
Na mocy definicji obietnicy w zdaniu A2 ojciec dotrzyma słowa (Yc=1), gdy Jaś nie powie wierszyka (~W) i nie zaśpiewa piosenki (~P), oraz zajdzie jedno z trzech możliwych tu zdarzeń rozłącznych:
1: C*~L - Jaś dostanie czekoladę (C) i nie dostanie klocków lego (~L)
2: ~C*~L - Jaś nie dostanie czekolady (~C) i nie dostanie klocków lego (~L)
3: ~C*L - Jaś nie dostanie czekolady (~C) i dostanie klocki lego (L)
Wniosek:
Brak czekolady (C) i klocków lego (L) w następniku ~(C*L) to dla Jasia ewidentna kara, zatem zdanie A2 spełnia definicję groźby.
Fałszywy warunek wystarczający B2:
B2: ~W*~P => (~C+~L)=0
To samo w zapisach formalnych:
B2: ~p=>~q =0
wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Mamy:
~q=(~C+~L) = ~(C*L) - na mocy prawa De Morgana
Po dwustronnej negacji powyższej tożsamości mamy wyliczone q:
q = C*L
Stąd kontrprzykład B2’ (patrz również kolumna A2B2) na mocy którego ojciec może darować dowolną karę zależną od niego brzmi:
B2’.
Jeśli nie powiesz wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewasz piosenki (~P=1) to możesz ~~> dostać czekoladę (C=1) i klocki lego (L=1)
B2’: Yd = (~W*~P) ~~> (C*L) = (W*~P)*(C*L) =1
To samo w zapisie formalnym:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1
Czytamy:
Może się zdarzyć (=1) , że Jaś spełni warunek kary (~W*~P=1) i dostanie nagrodę, czekoladę i klocki lego (C*L)
Podsumowanie:
1.
W przypadku gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) to ojciec na 100% => musi mu dać nagrodę w postaci czekolady (C) i klocków lego (L) zapisaną w następniku zdania A1, inaczej będzie kłamcą.
2.
Natomiast jeśli Jaś nie spełni warunku nagrody zawartej w poprzedniku obietnicy A1:
A1: ~(W+P) = ~W*~P
to cokolwiek by ojciec nie zrobił to nie ma szans na zostanie kłamcą.
W tym przypadku ojciec może ~> nie wręczyć nagrody ~q=~(C*L) na mocy zdania A2, albo wręczyć nagrodę w następniku zdania B2’, czyli dać Jasiowi czekoladę i klocki lego q=C*L
q+~q = (C*L)+~(C*L) =1
Wynika z tego że jeśli Jaś nie spełni warunku obietnicy w zdaniu A1:
A1: ~p = ~(W+P)=~W*~P =1
to ojciec nie ma żadnych szans na zostanie matematycznym kłamcą, cokolwiek nie zrobi to dotrzyma słowa.
26.4 Groźby złożone typu f(p)~>f(q)
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
Definicja groźby złożonej typu f(p)~>f(q)
Groźba złożona typu f(p)~>f(q) to groźba klasyczna W~>K gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi wyrażeniami algebry Boole’a tzn. akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Przykład:
f(x)=p*q+~p*~q
W praktyce, w obietnicach występują tu najprostsze wyrażenia typu:
f(x) = p+q
f(x)=p*q
Zgodnie z definicją groźby warunek ukarania f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie karę.
Przykład:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie
~P+B~>L
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Stąd mamy zdanie B1 w zapisie formalnym:
p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju lub bicie siostry jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania.
Lanie jest dla dziecka karą, stąd groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym p~>q wchodzącym w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.
Zapiszmy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 = [=] = 4:~q~~>p =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B’: = 2:~p~~>q=0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO
Wszelkie obietnice i groźby to z definicji opisy nieznanej przyszłości, których matematyczny opis jest wyłącznie w kolumnach A1B1 i A2B2.
Kolumny A3B3 i A4B4 opisują obietnice i groźby w czasie przeszłym, gdy nie znamy rozstrzygnięcia - mówi o tym prawo transformacji
26.4.1 Prawo transformacji w groźbie
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna obietnica to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.
Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.
Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).
Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.
Przykład:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Następnik q jest tu ewidentną groźbą, zatem zdanie A1 musimy kodować zgodnie z definicją groźby warunkiem konicznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej B|~>L, bez względu na ostrość wypowiedzenia groźby B1.
Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
stąd mamy:
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu przyjścia w czystych spodniach (~B=1)
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie będzie ono dotyczyło wypowiedzianej groźby B1.
Zauważmy, że zdanie B2 spełnia klasyczną definicję obietnicy, bowiem w następniku jest mowa o nie dostaniu lania które dla dziecka jest nagrodą.
Matematycznie zachodzą tożsamości:
Kara to brak nagrody
K=~N
Nagroda to brak kary
N=~K
Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B
Zdanie B4 w czasie przyszłym czytamy:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1)
L=>B =1
Zauważmy, że w czasie przyszłym zdanie B4 traci sens bowiem mówi ono że jeśli dzieciak jutro dostanie lanie (przyczyna) to na 100% => ubrudzi spodnie (skutek) … czyli na złość mamie ugryzę się w język.
Poza tym zdanie B4 nie spełnia definicji obietnicy którą kodujemy warunkiem wystarczającym => bowiem następnik brzmi tu:
B - przyjdę w brudnych spodniach
Brudne spodnie nie są nagrodą dla dziecka, to tylko stwierdzenie stopnia zabrudzenia jego spodni.
Zdanie B4 nabierze sensu jeśli wypowiemy je w czasie przeszłym.
Załóżmy, że jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie obietnicy B2 która dotyczyła dnia wczorajszego.
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie B4 opisuje przeszłość.
B4.
Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Z faktu iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy na 100% => iż ubrudziło spodnie (B=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.
Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to będzie to oznaczało, że wcześniej ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
W niniejszym rozdziale będziemy zajmować się groźbą w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przeszłość.
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w obsłudze groźby p~>q.
Matematyczna obsługa groźby p~>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących groźby w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q=1
B’: = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
26.5 Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Weźmy groźbę ojca:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie
~P+B~>L
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Stąd mamy zdanie B1 w zapisie formalnym:
p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju lub bicie siostry jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania.
Lanie jest dla dziecka karą, stąd groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym p~>q wchodzącym w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Podstawmy nasze parametry aktualne do kolumn A1B1 i A2B2
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {~P+B,L}:
A1B1:
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę
to dostaniesz lanie
Nasz punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
A1: (~P+B)=>L =0 - ~P+B nie jest (=0) wystarczające => dla lania (L)
B1: (~P+B)~>L =1 - ~P+B jest (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L)
A1B1: (~P+B)|~>L=~(A1: (~P+B)=>L)*(B1: (~P+B)~>L)=~(0)*1=1
A1B1: A2B2:
A: 1: p=> q =0 = 2: ~p ~> ~q =0
A: 1:~P+ B=> L =0 = 2: P*~B~>~L =0
A’: 1: p~~> ~q =1 =
A’: 1:~P+ B~~>~L=1 =
## ##
B: 1: p ~> q =1 = 2: ~p =>~q =1
B: 1:~P+ B~> L =1 = 2: P*~B=>~L =1
B’: = 2: ~p ~~> q =0
B’: = 2: P*~B~~> L =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją odwrotną A1B1: (~P+B)|~>L na mocy definicji groźby.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Tu zaczynamy analizę od kolumny A1B1 przechodząc do kolumny A2B2
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Tu zaczynamy analizę od kolumny A2B2 przechodząc do kolumny A1B1
26.5.1 Analiza operatora implikacji odwrotnej (~P+B)||~>L
Operator implikacji odwrotnej p||~>q do układ równań A1B1: p|~>q i A2B2: ~p|=>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p, czyli gdy Jaś nie posprząta pokoju (~P) lub będę bił siostrę (B)?
Nasz punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
A1: (~P+B)=>L =0 - nie posprzątanie ~P lub bicie siostry B nie jest (=0) wystarczające => dla lania (L)
B1: (~P+B)~>L =1 - nie posprzątanie ~P lub bicie siostry B jest (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L)
A1B1: (~P+B)|~>L=~(A1: (~P+B)=>L)*(B1: (~P+B)~>L)=~(0)*1=1
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L)
B1: Ya = ~P+B ~> L =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju (~P) lub bicie siostry (B) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L)
Nasz punkt odniesienia to:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Obliczamy przeczenia p i q:
~p=~(~P+B) = P*~B - na mocy prawa De Morgana
~q=~L - nie dostaniesz lania (~L)
W następniku zdania B1 mamy tu ewidentną groźbę, zatem na mocy definicji groźby zdanie B1 to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Na mocy definicji groźby zdanie B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary w zdaniu A1’ bez względu na ostrość wypowiedzianej groźby w zdaniu B1.
Zauważmy, że w kolumnie A1B1 warunek wystarczający => w zdaniu A1 jest fałszem:
A1: (~P+B)=>L =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Z fałszywości warunku wystarczającego => A1 wynika prawdziwość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q = p*~q =1
Stąd mamy:
LUB
Nasz kontrprzykład A1’ brzmi:
A1’.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to możesz ~~> nie dostać lania (~L)
A1’: Yb = ~P+B~~>~L =1
to samo w zapisie formalnym:
A1’: p~~>~q =1
Jest taka możliwość na mocy definicji groźby.
Rozpiszmy poprzednik w zdaniach B1 i A1’ na zdarzenia rozłączne.
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla p=~P+B i q=L mamy warunek wykonania kary w zdarzeniach rozłącznych:
~P+B = (~P)*(B) + (~P)*~(B) + ~(~P)*(B) = ~P*B + ~P*~B + P*B
Suma logiczna jest przemienna, stąd:
p = ~P+B = 1: P*B + 2: ~P*~B + 3: ~P*B
Stąd mamy:
Warunek kary będzie spełniony (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
1: P*B =1 - Jaś posprząta pokój (P), ale będzie bił siostrę (B)
lub
2: ~P*~B=1 - Jaś nie posprzątam pokoju (~P) i nie będzie bił siostry (~B)
lub
3: ~P*B=1 - Jaś nie posprząta pokoju (~P), i będzie bił siostrę (B)
Matematycznie zachodzi:
Y = 1+2+3
Wystarczy, że którakolwiek z cząstkowych funkcji rozłącznych (1,2,3) przyjmie wartość logiczną 1 i już warunek kary będzie spełniony.
Zauważmy że:
Warunek konieczny ~> B1 umożliwia ojcu wykonanie maksymalnej kary w 100%, czyli jeśli synek spełni którąkolwiek z funkcji cząstkowych (1,2,3) to kara widoczna w groźbie B1 może być wykonana.
Podsumowując:
W przypadku spełnienia któregokolwiek z częściowych warunków kary (1,2,3) ojciec ma 100% wolnej woli, czyli może wykonać karę L (lanie).
W zdaniu A1’ zaszyty jest doskonale znany w świecie żywym „alt łaski”, czyli możliwość darowania w 100% dowolnej kary zależnej od nadawcy.
„Akt łaski” to fundament Biblii gdzie roi się od tego typu przykładów:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Wniosek:
Biblia to Algebra Kubusia napisana językiem zrozumiałym dla prostych ludzi, tych sprzed 2000 lat.
… co może się wydarzyć jeśli Jaś nie spełni warunku kary w zdaniu B1?
Mamy groźbę B1:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L)
(~P+B) ~> L
to samo w zapisach ogólnych:
p~>q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~q) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
a) „lub”(+) na „i”(*)
b) „i”(*) na „lub”(+)
c) warunek konieczny ~> na warunek wystarczający =>
Stąd mamy:
B2: (P*~B) => ~L
to samo w zapisach ogólnych:
~p=>~q
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli warunek kary w zdaniu B1 nie zostanie spełniony (~p=1) mamy w kolumnie A2B2.
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p, czyli gdy Jaś posprząta pokój (P) i nie będzie bił siostry (~B)?
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
A2: (P*~B)~>~L =0 - posprzątanie P i nie bicie siostry ~B nie jest (=0) konieczne ~> dla braku lania (~L)
B2: (P*~B)=>~L =1 - posprzątanie ~P i nie bicie siostry B jest (=1) wystarczające => dla braku lania (~L)
A2B2: (P*~B)|=>~L=~(A2: P*~B~>~L)*(B2: P*~B=>~L) = ~(0)*1=1*1=1
To samo w zapisach formalnych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2.
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L)
P*~B => ~L =1
To samo w zapisach formalnych:
A2: ~p=>~q =1
Czytamy:
Posprzątanie pokoju (P) i nie bicie siostry (~B) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L) … tylko i wyłącznie z powodu że posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B).
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja warunku wystarczającego =>.
Lania z innego powodu są możliwe, ale nie dotyczą one obietnicy B2
Prawdziwy warunek wystarczający B2’: ~p=>~q =1 na mocy definicji wymusza fałszywy kontrprzykład B2’: ~p~~>q=~p*q=0 (i odwrotnie)
B2’
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to możesz ~~> dostać lanie (L)
P*~B~~>L =0
Nie może się zdarzyć (=0), że nie spełnię warunku kary w groźbie B1, czyli:
Posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B) i dostanę lanie (L)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 23:11, 31 Mar 2024, w całości zmieniany 20 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 7:53, 27 Mar 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
27.0 Operatory implikacyjne w językach programowania komputerów
Spis treści
27.0 Operatory implikacyjne w językach programowania komputerów 1
27.1 Operator równoważności p|<=>q w językach programowania 3
27.1.1 Symboliczna tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q 4
27.1.2 Matematyczna interpretacja rozkazu warunkowego: 4
27.2 Implikacja prosta p|=>q 6
27.2.1 Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q 6
27.2.2 Matematyczna interpretacja operatora implikacji prostej p||=>q 7
27.3 Implikacja odwrotna p|~>q 8
27.3.1 Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q 9
27.3.2 Matematyczna interpretacja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 9
27.0 Operatory implikacyjne w językach programowania komputerów
Do podstawowych operatorów implikacyjnych zaliczamy:
1: Operator równoważności p|<=>q
2: Operator implikacji prostej p||=>q
3: Operator implikacji odwrotnej p||~>q
4: Operator chaosu p||~~>q
Uwaga:
W operatorze chaosu p||~>q mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie p jak i po stronie ~p, co dyskwalifikuje ten operator do użycia we wszelkich językach programowania komputerów.
W niniejszym rozdziale zajmiemy się dowodem, iż jedynym sensownym operatorem implikacyjnym we wszelkich językach programowania komputerów jest operator równoważności p|<=>q, gdzie nie ma wbudowanego w definicję „rzucania monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
1.
Operator równoważności p|<=>q:
Tylko i wyłącznie w operatorze równoważności p|<=>q jesteśmy pewni w 100% co należy zrobić jeśli zajdzie p, oraz co należy zrobić jeśli zajdzie ~p:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia q
Identyczny warunek wystarczający => mamy po stronie ~p:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Innymi słowy:
Zajście ~p daje nam gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
W wyżej opisanym sensie operatora równoważności p|<=>q mamy do czynienia ze światem zdeterminowanym, czyli wiemy z góry co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
Fundamentalnie inaczej jest w operatorach implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q:
2.
Operator implikacji prostej p||=>q:
W operatorze implikacji prostej p||=>q po stronie p mamy spełniony warunek wystarczający =>, czyli gwarancję matematyczną => iż jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q.
Ale!
Po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, czyli jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q lub jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
3.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q:
W operatorze implikacji odwrotnej p||~>q mamy odwrotnie:
Po stronie p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, czyli jeśli zajdzie p to może ~> zajść q lub jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
Ale!
Po stronie ~p mamy tu warunek wystarczający =>, czyli mamy gwarancję matematyczną =>, że jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Podsumowując:
Jedynym możliwym operatorem implikacyjnym możliwym do wykorzystania we wszelkich językach programowania komputerów jest tylko i wyłącznie operator równoważności p|<=>q, czego dowodem zajmiemy się w niniejszym rozdziale
Dla zrozumienia niniejszego rozdziału konieczne jest przypomnienie sobie wiadomości podstawowych zawartych w punktach:
2.2 Elementarne spójniki implikacyjne w zdarzeniach
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Dotyczy rozdziału 27.1
2.14 Równoważność p<=>q
2.14.1 Operator równoważności p|<=>q
Dotyczy rozdziału 27.2
2.12 Implikacja prosta p|=>q
2.12.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Dotyczy rozdziału 27.3
2.13 Implikacja odwrotna p|~>q
2.13.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
W języku programowania zachodzi tożsamość pojęć:
Instrukcja warunkowa = Rozkaz warunkowy
Pojęcia elementarne (pkt. 2.2):
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - zdarzenie możliwe
27.1 Operator równoważności p|<=>q w językach programowania
Kwintesencja niniejszego punktu:
Operator równoważności p|<=>q to matematyczny opis rozkazu skoku warunkowego o którym największym ziemskim matematykom się nie śniło tzn. ten opis nie jest znany żadnemu ziemskiemu matemaytykowi.
Prawda absolutna (święta prawda):
Rozkaz skoku warunkowego to absolutny fundament wszelkich języków programowania
Innymi słowy:
Jeśli zabierzemy programistom rozkaz skoku warunkowego to na 100% nie napiszą najprostszego nawet programu, bo będzie to fizycznie niemożliwe.
W tym momencie czytelnik proszony jest o przypomnienie sobie teorii ogólnej równoważności:
2.14 Równoważność p<=>q
2.14.1 Operator równoważności p|<=>q
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego aby zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => aby zaszło p
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)
Dowód (pkt. 2.9)
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa oraz definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważność <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
tożsamość zdarzeń/zbiorów: | tożsamość zdarzeń/zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań
27.1.1 Symboliczna tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
Symboliczna tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q (pkt. 2.14 i 2.14.1)
| Kod: |
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=> q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1
A1’: p~~>~q=0
A2B2:~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1
B2’:~p~~>q =0
|
27.1.2 Matematyczna interpretacja rozkazu warunkowego:
Matematyczna interpretacja rozkazu warunkowego:
| Kod: |
-----------------------------
|Matematyczna interpretacja |
| rozkazu warunkowego |
-----------------------------
|
----------- -------------------------------------- -----------
|Procedura| | Operator równoważności p|<=>q | |Procedura|
| | ~q | | q | |
| ~q |<---| A1B1: p<=> q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) |--->| q |
| | | A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)| | |
----------- --------------------------------------- -----------
Komentarz:
A1B1:
A1B1: p<=> q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1
A1’: p~~>~q=0
A1B1:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
co skutkuje wykonaniem procedury q
A2B2:
A2B2:~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1
B2’:~p~~>q =0
A2B2:
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia ~q
co skutkuje wykonaniem procedury ~q
|
Kluczowy fragment dyskusji z Irbisolem (moim 15-sto letnim partnerem w dyskusji):
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-9350.html#821065
@Rafal3006
Irbisolu, podobno programistą jesteś - sprawdzam czy gównianym czy dobrym!
W całym obszarze programowania komputerów nie istnieje ani jedna instrukcja warunkowa oparta na operatorze innym niż operator równoważności p|<=>q
@Irbisol
W każdym języku programowania - nawet w asemblerze - jest instrukcja if. Która jest warunkiem wystarczającym, by instrukcje w bloku if zostały wykonane.
Ale nie jest warunkiem koniecznym.
Jeszcze mnie pajac programowania chce uczyć
@Rafal3006
Ale jaja, czyli jaki potworny gówno-programista z naszego Irbisola jest!
O to wytłuszczone oczywiście chodzi.
Zapisz mi jedną, jedyną instrukcję warunkową opartą na operatorze innym niż operator równoważności p|<=>q.
Zapiszesz jedną, jedyną - kasuję calusieńką algebrę Kubusia.
Proszę o zapis dowolnej instrukcji warunkowej w asemblerze bo ten język jest fundamentem wszelkich języków wysokiego poziomu - poza tym najłatwiej będzie tu zrozumieć czytelnikowi jak potwornie bredzisz, jakim nędznym programistą jesteś!
Koniec cytatów
Drogi Irbisolu:
Pokaż mi w którym miejscu w matematycznej interpretacji rozkazu warunkowego nie zachodzi warunek konieczny ~>?
Jeśli pokażesz takie miejsce to natychmiast i bezwarunkowo kasuję calusieńką algebrę Kubusia.
Podsumowanie:
Irbisolu, czy już rozumiesz iż matematycznego fundamentu wszelkich języków programowania (rozkaz warunkowy) uczyłeś się w szpitalu psychiatrycznym, gdzie tutejsi „matematycy” potwornie cię skrzywdzili wpychając do twojego biednego mózgu najzwyklejsze gówna a nie matematykę.
27.2 Implikacja prosta p|=>q
Teoria ogólna implikacji prostej p|=>q wyłożona jest w punktach:
2.12 Implikacja prosta p|=>q
2.12.1 Operator implikacji prostej p||=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1), ale nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość pozostałych zdań
27.2.1 Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q
Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q (pkt. 2.12 i 2.12.1)
| Kod: |
Tabela prawdy operatora implikacji prostej p||=>q
A1B1:
A1B1: p|=> q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
A1: p=> q =1
B1: p~> q =0
A1’: p~~>~q=0
A2B2:
A2B2:~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)
A2: ~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
“lub”(+)
B2’:~p~~>q =1
|
27.2.2 Matematyczna interpretacja operatora implikacji prostej p||=>q
Matematyczna interpretacja operatora implikacji prostej p||=>q w przełożeniu na języki programowania:
| Kod: |
---------------------------------------
|Matematyczna interpretacja |
|operatora implikacji prostej p||=>q |
|w przełożeniu na języki programowania|
---------------------------------------
|
----------------------------------------
----------- | Operator implikacji prostej p||=>q |
|Procedura| ~q | | q
| |<----| A1B1: p|=> q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) |------------
| ~q | | | A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)| |
----------- | | A2: ~p~>~q „lub”(+) B2’:~p~~>q | |
| ---------------------------------------- |
| ----------- |
-------------------| „lub”(+)|----------------------->|
----------- |
V
-----------
|Procedura|
| |
| q |
-----------
Komentarz:
A1B1:
A1B1: p|=> q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
A1: p=> q =1
A1’: p~~>~q=0
B1: p~> q =0
A1B1:
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q,
ale nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q
co skutkuje wykonaniem procedury q
A2B2:
A2B2:~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)
A2: ~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
„lub”(+)
B2’:~p~~>q =1
A2B2:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q,
ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
co skutkuje „rzucaniem monetą” w bloku operatora implikacji prostej p||=>q:
orzełek – wykonana zostaje procedura ~q
reszka – wykonana zostaje procedura q
|
Podsumowanie:
Bezsens użycia operatora implikacji prostej p||=>q w jakimkolwiek języku programowania komputerów widzi tu każdy programista przy zdrowych zmysłach.
27.3 Implikacja odwrotna p|~>q
Teoria ogólna implikacji odwrotnej p|~>q wyłożona jest w punktach:
2.13 Implikacja odwrotna p|~>q
2.13.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1), ale nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań
27.3.1 Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Symboliczna tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q (pkt. 2.13 i 2.13.1)
| Kod: |
Tabela prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
A1B1: p|~> q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
B1: p~> q =1
A1: p=> q =0
“lub”(+)
A1’: p~~>~q=1
A2B2:
A2B2:~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1
B2’:~p~~>q =0
|
27.3.2 Matematyczna interpretacja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Matematyczna interpretacja operatora implikacji odwrotnej p||~>q w przełożeniu na języki programowania:
| Kod: |
---------------------------------------
|Matematyczna interpretacja |
|operatora implikacji odwrotnej p||~>q|
|w przełożeniu na języki programowania|
---------------------------------------
|
----------------------------------------
----------- | Operator implikacji odwrotnej p||~>q |
|Procedura| q | | ~q
| |<----| A1B1: p|~> q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) |------------
| q | | | B1: p~>q=1 „lub”(+) A1’: p~~>~q=1 | |
----------- | | A2B2:~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)| |
| ---------------------------------------- |
| ----------- |
-------------------| „lub”(+)|----------------------->|
----------- |
V
-----------
|Procedura|
| |
| ~q |
-----------
Komentarz:
A1B1:
A1B1: p|~> q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
B1: p~> q =1
A1: p=>q =0
“lub”(+)
A1’: p~~>~q=1
A1B1:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q,
ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
czyli mamy „rzucaniem monetą” w bloku operatora implikacji odwrotnej p||~>q
orzełek – wykonana zostaje procedura q
reszka – wykonana zostaje procedura ~q
A2B2:
A2B2:~p|=>~q = ~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1
A2: ~p~>~q =0
B2’:~p~~>q =0
A2B2:
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q,
oraz nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q
co skutkuje wykonaniem procedury ~q
|
Podsumowanie:
Bezsens użycia operatora implikacji odwrotnej p||~>q w jakimkolwiek języku programowania komputerów widzi tu każdy programista przy zdrowych zmysłach.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 17:51, 20 Lis 2024, w całości zmieniany 25 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 17:45, 11 Kwi 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
28.0 Klasyczny Rachunek Zdań vs Algebra Kubusia
Spis treści
28.0 Klasyczny Rachunek Zdań vs Algebra Kubusia 1
28.1 Zdania zawsze prawdziwe (=>) w KRZ i algebrze Kubusia (=>) 2
28.1.1 Zdanie zawsze prawdziwe w implikacji => rodem z KRZ 2
28.1.2 Zdanie zawsze prawdziwe w warunku wystarczającym => rodem z AK 5
28.2 Obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia 7
28.3 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>4L w zbiorach 8
28.3.1 Definicja operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 10
28.4 Paradoks i brak paradoksu w algebrze Kubusia 13
28.4.1 Paradoks w algebrze Kubusia 13
28.4.2 Brak paradoksu w algebrze Kubusia 14
28.5 Prawo eliminacji równoważności p<=>q w logice matematycznej 16
28.6 Funkcja tożsamościowa - tragedia ziemskiej logiki matematycznej 18
28.0 Klasyczny Rachunek Zdań vs Algebra Kubusia
Dyskutując od 18 lat w temacie algebry Kubusia na różnych forach, ja Rafał3006, od zawsze byłem wściekle zwalczany przez fanatyków KRZ.
Za propagowanie algebry Kubusia wszędzie dostawałem bana: racjonalista.pl, ateista.pl, yrizona, a nawet na matematyce.pl - na szczęście na matematyce.pl był to ban na 6 miesięcy dawno temu, dzięki czemu aktualnie istnieję na matematyce,pl.
[link widoczny dla zalogowanych]
Przykład wściekłego ataku fanatyka KRZ ze śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-6475.html#793575
@matematyk szaryobywatel w dyskusji ze mną napisał:
Upośledzenie to nic śmiesznego, niemniej za zasrywanie forum swoim spamem, kompletny brak szacunku dla użytkowników do których krytyki się w ogóle nie odnosisz, tylko zasrywasz dalej tymi samymi bredniami cały czas myśląc że jesteś na tropie czegoś genialnego, powinieneś być trwale wyłączony z dyskusji.
Co do wytłuszczonego:
100% definicji w algebrze Kubusia jest innych, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej ziemskich matematyków, więc jak się mam odnosić do krytyki AK z punktu widzenia KRZ?
Odezwa do fanatyków ziemskich logik matematycznych podobnych do szarego obywatela:
Panowie, wasze pojęcie algebry Boole’a rozdmuchane do granic możliwości np. algebra Boole’a zupełna, funkcje kardynalne i inne głupoty nie mają zastosowania w matematycznej obsłudze języka potocznego człowieka, dlatego one mnie totalnie nie interesują.
Dajcie żyć, nie zwalczajcie czegoś (algebry Kubusia), czego totalnie nie rozumiecie w stylu szarego obywatela jak wyżej.
Jeśli chcecie obalać algebrę Kubusia to zapraszam do jej czytania od A do Z.
Algebra Kubusia zostanie obalona wtedy i tylko wtedy gdy znajdziecie jedną, jedyną, wewnętrzną sprzeczność w trakcie jej czytania.
Oczywiście wszelkie niejasności póki żyję, będę wam wyjaśniał.
Rafal3006
28.1 Zdania zawsze prawdziwe (=>) w KRZ i algebrze Kubusia (=>)
100% definicji w algebrze Kubusia jest innych, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej ziemskich matematyków.
Z powyższego można wnioskować, że świat algebry Kubusia jest rozłączny ze światem Klasycznego Rachunku Zdań bez żadnego wspólnego punktu zaczepienia.
Na szczęście to nieprawda, istnieje nasz wspólny punkt zaczepienia, o czym będzie w niniejszym rozdziale.
28.1.1 Zdanie zawsze prawdziwe w implikacji => rodem z KRZ
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
W obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” ziemska logika matematyczna obligatoryjnie korzysta z prawa eliminacji implikacji
Y = (p=>q) =~p+q
Spójrzmy na zero-jedynkową definicję ziemskiej implikacji p=>q.
| Kod: |
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
p q Y=(p=>q)=~p+q | Y=(p=>q)=~p+q
A: 1 1 =1 | p* q =1
B: 1 0 =0 | p*~q =0
C: 0 0 =1 |~p*~q =1
D: 0 1 =1 |~p* q =1
1 2 3 4 5 6
Podstawa zapisu symbolicznego
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
|
Dla tabeli zero-jedynkowej ABCD123 odczytujemy:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0 lub D: p=0 i q=1
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(p=0)=(~p=1)
Na mocy prawa Prosiaczka wszystkie wejścia sprowadzamy do jedynek:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Jedynki w naturalnej logice człowieka są domyślne i możemy je pominąć.
Stąd mamy symboliczny opis implikacji wyrażonej spójnikami „i’(*) i „lub”(+) w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych:
1”: Y = A:p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
1”: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Minimalizujemy funkcję logiczną 1”:
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1: Y = ~p+q
Jak widzimy, udowodniliśmy że:
1: Y=~p+q [=] 1”: Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
cnd
Do zapamiętania.
Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dowód wyżej oraz punkt 1.12.3
Weźmy teraz przykład idealnie pasujący do ziemskiej definicji implikacji na poziomie 5-cio latka.
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Jak udowodnić prawdziwość tego zdania na gruncie definicji implikacji rodem ze współczesnej logiki matematycznej?
Współczesna logika matematyczna obligatoryjnie korzysta tu z prawa eliminacji implikacji przechodząc do funkcji logicznej algebry Boole’a - wyłącznie spójniki „lub”(+) i „i’(*)
Przypomnijmy sobie definicję funkcji logicznej algebry Boole’a.
Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(x) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna Y algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a f(x) w osi czasu.
Prawo eliminacji implikacji p=>q rodem z KRZ to:
Definicja implikacji p=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Y = (p=>q)=~p+q = A:p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Podstawmy:
p=P(pies)
q=4L(cztery łapy)
Stad nasza funkcja logiczna Y w zapisie aktualnym:
Y = (P=>4L) = A: P*4L + C:~P*~4L + D:~P*4L
na mocy definicji funkcji logicznej Y wystarczy, że dowolny składnik sumy logicznej przyjmie wartość logiczną 1 i już funkcja logiczna przybierze wartość logiczną Y=1.
Zapiszmy nasz przykład w symbolicznej tabeli prawdy wyżej wyprowadzonej:
| Kod: |
Zapis
symboliczny
p q Y=(p=>q) | Y=(P=>4L)=A: P*4L+C:~P*~4L+ D:~P*4L
A: p* q =1 | P* 4L =1 - jest (=1) pies
B: p*~q =0 | P*~4L =0 - nie ma (=0) psa który nie ma czterech łap
C:~p*~q =1 |~P*~4L =1 - jest (=1) kura, mrówka ..
D:~p* q =1 |~P* 4L =1 - jest (=1) słoń, żyrafa ..
4 5 6 7 8 9
|
Na mocy definicji implikacji wymagane jest, aby wyłącznie pudełko B było puste, pozostałe muszą być niepuste.
Jak widzimy zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery lapy
P=>4L =1
Spełnia definicję implikacji, stąd jego wartość logiczna to 1.
Funkcja logiczna Y skolerowana ze zdaniem A1 jest prawdziwa nie tylko dla psa (A), ale również dla kury (C) i słonia (D), czyli dla absolutnie wszystkich zwierząt chodzących po naszej planecie bo nie ma żadnego zwierzątka w pudełku B.
Wyobraźmy sobie teraz fanatyka KRZ który postanowił nauczyć dzieci aktualnie obowiązującej logiki matematycznej w przedszkolu.
Fanatyk KRZ:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
1.
Fanatyk KRZ:
Powiedzcie mi dzieci, czy zdanie A1 jest prawdziwe dla psa?
Dzieci chórem:
Tak, jest prawdziwe
2.
Fanatyk KRZ:
Czy zdanie A1 jest prawdziwe dla kury?
Dzieci chórem:
Jest fałszywe, bo kura nie jest psem.
Fanatyk KRZ:
Mylicie się dzieci, zdanie A1 jest prawdziwe, tak nam mówi logika matematyczna zwana KRZ.
3.
Fanatyk KRZ:
Ostatnie pytanie:
Czy zdanie A1 jest prawdziwe dla słonia?
Dzieci chórem:
Zdanie A1 jest fałszywe dla słonia, bo słoń nie jest psem
Fanatyk KRZ:
Znowu pudło, zdanie A1 jest prawdziwe dla słonia wedle świętości wszystkich matematyków, logiki matematycznej zwanej KRZ.
Na to wkurzony Jaś (lat 5):
Jak rozumiem, wedle pana logiki pewnie Kopernik była kobietą, tak?
28.1.2 Zdanie zawsze prawdziwe w warunku wystarczającym => rodem z AK
Implikacja p=>q rodem z KRZ i warunek wystarczający p=>q rodem z algebry Kubusia mają identyczne definicje zero-jedynkowe, ale różnice w definicjach rodem z otaczającej nas rzeczywistości są fundamentalne.
1.
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
2.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach w algebrze Kubusia
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
A1: P=>4L =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy, wtedy i tylko wtedy gdy zbiór psów p=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Każdy 5-cio latek widzi, że definicja podzbioru jest tu spełniona, co jest dowodem prawdziwości zdania A1.
Zauważmy, fundamentalną różnicę między pojęciem implikacji => z KRZ a warunkiem wystarczającym => w algebrze Kubusia mimo że definicje zero-jedynkowe są tu identyczne.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
A1: P=>4L =1
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy, wtedy i tylko wtedy gdy zbiór psów p=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Każdy 5-cio latek widzi, że definicja podzbioru jest tu spełniona, co jest dowodem prawdziwości zdania A1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego A1: P=>4L=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’
A1’
Jeśli zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech łap
P~~>~4P = P*~4L=0
Dowód nie wprost:
Na mocy definicji kontrprzykładu nie musimy udowadniać fałszywości zdania A1’, co nie oznacza, że nie możemy tego zrobić
Dowód wprost:
Nie istnieje zwierzę (=0) będące psem (P) i nie mające czterech łap (~4L)
Oczywistość dla każdego 5-cio latka, bo w logice matematycznej za psa przyjmujemy „wzorzec psa”, czyli zwierzę zdrowe z czterema łapami.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
Weźmy symboliczną tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego p=>q w algebrze Kubusia która będzie identyczna jak wyprowadzona wyżej symboliczna definicja implikacji p=>q rodem z KRZ.
Zapiszmy nasz przykład w symbolicznej tabeli prawdy wyżej wyprowadzonej:
| Kod: |
Zapis
symboliczny
p q Y=(p=>q) | Y=(P=>4L)=A: P*4L+C:~P*~4L+ D:~P*4L
A: p* q =1 | P* 4L =1 - jest (=1) pies
B: p*~q =0 | P*~4L =0 - nie ma (=0) psa który nie ma czterech łap
C:~p*~q =1 |~P*~4L =1 - jest (=1) kura, mrówka ..
D:~p* q =1 |~P* 4L =1 - jest (=1) słoń, żyrafa ..
4 5 6 7 8 9
|
Oczywiście również w algebrze Kubusia mamy prawo eliminacji warunku wystarczającego => w postaci przejścia do tożsamej funkcji logicznej Y=(p=>q) wyrażonej spójnikami „i”(*) „lub”(+).
Prawo eliminacji warunku wystarczającego p=>q w algebrze Kubusia to:
Definicja warunku wystarczającego p=>q w algebrze Kubusia wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Y = (p=>q)=~p+q = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Podstawmy:
p=P(pies)
q=4L(cztery łapy)
Stad nasza funkcja logiczna Y w zapisie aktualnym:
Y = (P=>4L) = A: P*4L + C:~P*~4L + D:~P*4L
na mocy definicji funkcji logicznej Y wystarczy, że dowolny składnik sumy logicznej przyjmie wartość logiczną 1 i już funkcja logiczna przybierze wartość logiczną Y=1.
Dalsza analiza i wnioski po zastosowaniu prawa eliminacji warunku wystarczającego p=>q w algebrze Kubusia będą identyczne jak w implikacji p=>q rodem z definicji implikacji rodem z KRZ (pkt. 28.1.1).
Na tym poletku zgodność algebry Kubusia z Klasycznym Rachunkiem Zdań jest 100% - nie ma absolutnie żadnych różnic.
Jaki jest zatem sens pisania, że 100% definicji w algebrze Kubusia jest innych niż w KRZ?
Ten powód to fundamentalnie inne definicje rzeczywiste (związane z otaczającą nas rzeczywistością) podane na początku niniejszego punktu.
Jak widzimy, definicja implikacji p=>q rodem z KRZ ma zero wspólnego z otaczającą nas rzeczywistością natomiast definicja warunku wystarczającego p=>q definiowana jako relacja podzbioru => ma 100% związku z rzeczywistością i jest łatwa do udowodnienia bez korzystania z jakichkolwiek tabel zero-jedynkowych.
28.2 Obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia
Jak widzimy wyżej, skorzystanie z prawa eliminacji warunku wystarczającego p=>q w postaci:
Y = (p=>q) =~p+q
choć poprawne matematycznie prowadzi do paradoksu polegającego na tym że zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =1
Jest prawdziwe dla absolutnie wszystkich zwierząt na naszej planecie, czyli nie tylko dla psa, ale również dla kury, mrówki, węża, wieloryba, słonia, kota etc.
Oczywistym jest, że z takiego rozstrzygnięcia, mimo że matematycznie poprawnego, pękać będą ze śmiechu wszystkie 5-cio latki, a pani przedszkolanka będzie się wymownie stukać palcem w czółko.
Jak uniknąć tego paradoksu tzn. czy istnieje poprawna logika matematyczna eliminująca ten paradoks?
Odpowiedź na to pytanie jest twierdząca - to algebra Kubusia.
W tym momencie czytelnik proszony jest o przeczytaniu potrzebnych dla dalszych wywodów następujących fragmentów algebry Kubusia:
2.3 Elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach
2.4 Rachunek zero-jedynkowy warunków wystarczających => i koniecznych ~>
2.8.1 Prawo Słonia dla zbiorów
2.10 Podstawowe spójniki implikacyjne
28.3 Sztandarowy przykład implikacji prostej P|=>4L w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Sowy to:
Ogólna definicja tożsamości logicznej „=” dla wielu zdań:
Prawdziwość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość pozostałych zdań
Fałszywość dowolnego zdania w tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość pozostałych zdań
Tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Rozważmy nasze zdanie A1.
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
A1: P=>4L=1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P(pies)
q=4L(cztery łapy)
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =1
Zauważmy, że zdanie A1 to pozycja A1 w tabeli T0 wyżej.
Bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy bo zbiór p=[pies] jest (=1) podzbiorem zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => że mamy cztery łapy
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczne =>
Uwaga:
W logice matematycznej za psa przyjmujemy wzorzec psa, czyli zwierzę zdrowe ze wszystkimi czterema łapami.
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kura, słoń ..]
Wyznaczamy wszystkie możliwe zbiory {p, q, ~p, ~q} które będą nam potrzebne w analizie matematycznej.
Z definicji mamy:
p=[P]=[pies]
q=[4L]=[słoń ..]
ZWZ=[pies, kura, słoń ..]
Obliczamy przeczenia zbiorów definiowane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny ZWZ
~p=~P=[ZWZ-P]=[kura, słoń ..]
~q=~4L=[ZWZ-4L]=[pies, kura ..]
Aby rozstrzygnąć z jakim spójnikiem logicznym mamy do czynienia musimy rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania z linii Bx (tabela T0).
Mamy nasze zdanie:
A1: P=>4L=1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q
Gdzie:
p=P(pies)
q=4L(cztery lapy)
##
Wybieramy twierdzenie odwrotne do twierdzenia A1, czyli zdanie B3,
B3.
Jeśli zwierzę ma cztery lapy to jest psem
B3: 4L=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =0
Bo kontrprzykład: słoń ma cztery łapy ale nie jest psem
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tym momencie prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań w tabeli T0 mamy zdeterminowaną (znaną).
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 4:~q=>~p =1 [=] 5:~p+ q
A: 1: P=>4L=1 2:~P~>~4L=1 [=] 3: 4L~>P=1 4:~4L=>~P=1 [=] 5:~P+ 4L
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
B: 1: P~>4L=0 2:~P=>~4L=0 [=] 3: 4L=>P=0 4:~4L~>~P=0 [=] 5: P+~4L
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Stąd mamy rozstrzygnięcie, że nasze zdania w kolumnie bazowej A1B1 to definicja implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
Nasz przykład:
Definicja implikacji prostej P|=>4L:
Implikacja prosta P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>4L =1 - bycie psem (P) jest (=1) wystarczające => by mieć cztery łapy (4L)
B1: P~>4L =0 - bycie psem (P) nie jest (=0) konieczne ~> by mieć cztery łapy (4L)
Stąd w zapisie aktualnym (przykład) mamy:
A1B1: P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie psem jest (=1) wystarczające => by mieć cztery łapy (A1), ale nie jest (=0) konieczne ~> by mieć cztery łapy (B1)
28.3.1 Definicja operatora implikacji prostej P||=>4L w zbiorach
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Definicja operatora implikacji prostej P||=>4L w zapisie aktualnym:
Operator implikacji prostej P||=>4L to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P (A1B1) i ~P (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) - co może się wydarzyć jeśli zwierzę jest psem (P)
Kolumna A2B2:
A2B2: ~P|~>~4L = (A2:~P~>~4L)*~(B2: ~P=>~4L) - co może się wydarzyć zwierzę nie jest psem (~P)
Wyznaczamy wszystkie możliwe zbiory {p, q, ~p, ~q} które będą nam potrzebne w analizie matematycznej.
Z definicji mamy:
p=[P]=[pies]
q=[4L]=[słoń ..]
ZWZ=[pies, kura, słoń ..]
Obliczamy przeczenia zbiorów definiowane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny ZWZ
~p=~P=[ZWZ-P]=[kura, słoń ..]
~q=~4L=[ZWZ-4L]=[pies, kura ..]
A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie o psa:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa?
A1: P=>4L =1 - bycie psem (P) jest (=1) wystarczające => by mieć cztery łapy (4L)
B1: P~>4L =0 - bycie psem (P) nie jest (=0) konieczne ~> by mieć cztery łapy (4L)
Stąd w zapisie aktualnym (przykład) mamy:
A1B1: P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1=1
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy psa (P)?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1.
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech lap
P~~>~4L = P*~4L =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód „nie wprost”.
Nie musimy tu wykonywać dowodu wprost, czyli udowadniać iż zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.
… a jeśli zwierzę nie jest pasem?
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2
A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie o nie psa (~P):
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem?
A2: ~P~>~4L=1 - nie bycie psem (~P) jest (=1) konieczne ~> by nie mieć czterech łap (~4L)
B2: ~P=>~4L=0 - nie bycie psem (~P) nie jest (=0) wystarczające => by nie mieć czterech łap (~4L)
Stąd w zapisie aktualnym (przykład) mamy:
A2B2: ~P|~>~4L = (A1:~P~>~4L)*~(~P=>~4L) =1*~(0)=1*1=1
A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę nie będące psem?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2.
A2.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1
To samo w zapisie formalnym
~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P=[kura, słoń ..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..] - nie musimy tego faktu udowadniać.
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
Nie bycie psem (~P) jest konieczne ~> by nie mieć czterech łap (~4L), bo jak się jest psem (P) to na 100% => ma się cztery łapy (4L)
A2: ~P~>~4L + A1: P=>4L
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P=>~4L=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
B2’
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć czterech łap
~P~~>4L = ~P*4L =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód nie wprost:
Na mocy definicji kontrprzykładu nie musimy udowadniać prawdziwości zdania B2’
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P=[kura, słoń ..] i 4L=[pies, słoń ..], to słoń
cnd
Podsumowanie:
Operator implikacji prostej P||=>4L to gwarancja matematyczna => po stronie psa (P) o czym mówi zdanie A1 i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po nie psa (~P) o czym mówią zdania A2 i B2’
Innymi słowy:
1.
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy (4L) - mówi o tym zdanie A1
2.
Natomiast:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania A2 i B2’
Czyli:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P) to zwierzę to może ~> nie mieć czterech łap (~4L) o czym mówi zdanie A2 albo może ~~> mieć cztery łapy na mocy zdania B2’
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~4L to układ równań logicznych:
A2B2: ~P|~>~4L = (A2:~P~>~4L)*~(B2: ~P=>~4L) - co będzie się działo jeśli zwierzę nie jest psem (~P)?
A1B1: P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) - co będzie się działo jeśli zwierzę jest psem (P)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~4L w logice ujemnej (bo ~4L) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
28.4 Paradoks i brak paradoksu w algebrze Kubusia
Kiedy w algebrze Kubusia nie ma paradoksu?
W algebrze Kubusia nie ma paradoksu jeśli zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest analizowane w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
Kiedy w algebrze Kubusia jest paradoks?
W algebrze Kubusia jest paradoks jeśli skorzystamy z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q)=~p+q
28.4.1 Paradoks w algebrze Kubusia
Na czym polega paradoks w algebrze Kubusia?
Paradoks ten opisaliśmy w punkcje 28.1.2.
Zobaczmy na naszym przykładzie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L=1
Prawo eliminacji warunku wystarczającego => dla zdania A1.
A1: Y=(p=>q)=~p+q
Matematycznie wolno nam skorzystać z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>, czyli od strony czysto matematycznej jest tu wszystko w porządku
ALE!
Jeśli dla zdania A1 skorzystamy z prawa eliminacji warunku wystarczającego => przechodząc do warunku wystarczającego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to dostaniemy paradoks z którego będą pękać ze śmiechu wszystkie 5-cio latki, a pani przedszkolanka będzie pukać się w czółko.
Dlaczego?
Weźmy nasze zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L=1
Po skorzystaniu z prawa eliminacji warunku wystarczającego => jak sama nazwa wskazuje zabijamy warunek wystarczający =>, kwintesencję zdania A1.
Wtedy wyjdzie nam, że zdanie A1 jest prawdziwe dla absolutnie wszystkich zwierząt: psa, kury, wieloryba, muchy, słonia …
28.4.2 Brak paradoksu w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia nie ma paradoksu wtedy i tylko wtedy gdy zdanie warunkowe „Jeśli p to q” będziemy definiować warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> co zrobiliśmy w punkcie 28.3.1
Przypomnijmy tą analizę w formie skróconej:
A1: P=>4L=1 - bycie psem wystarcza => (=1) by mieć cztery lapy
A1’: P~~>~4L=0 - nie istnieje (=0) pies, który nie ma czterech łap
A2: ~P~>~4L=1 - nie bycie psem jest (=1) konieczne ~> by nie mieć czterech łap (~4L)
B2’: ~P~~>4L=1 - istnieje (=1) zwierzę nie będące psem i mające cztery lapy (słoń)
Zauważmy że:
A1.
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa to dla tego przypadku prawdziwe będzie zdania A1, zaś wszystkie pozostałe będą fałszywe.
A1’.
Psa który niema czterech lap nigdy (=0) nie wylosujemy
A2.
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które nie jest psem i nie ma czterech łap to prawdziwe będzie wyłącznie zdanie A2, zaś wszystkie pozostałe zdania będą fałszywe
B2’
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które nie jest psem i ma cztery łapy to prawdziwe będzie wyłącznie zdanie B2’, zaś wszystkie pozostałe zdania będą fałszywe
Zauważmy, że zdania A1, A1’, A2 i B2’ możemy wypowiadać w oryginale i niezależnie od siebie.
Przypomnijmy te zdania:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to na 100% => ma cztery łapy
P=>4L =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
cnd
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to może ~~> nie mieć czterech lap
P~~>~4L = P*~4L =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z definicji kontrprzykładu - to jest dowód „nie wprost”.
Nie musimy tu wykonywać dowodu wprost, czyli udowadniać iż zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.
Dowód wprost:
Nie istnieje zwierzę będące psem (P) i nie mające czterech łap (4L)
P~~>~4L =0
… a jeśli zwierzę nie jest pasem?
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Idziemy do kolumny A2B2
A2.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1
To samo w zapisie formalnym
~p~>~q =1
Prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia, to jest dowód „nie wprost”.
Z prawa Kubusia wynika, że zbiór ~P=[kura, słoń ..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..] - nie musimy tego faktu udowadniać.
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
Nie bycie psem (~P) jest konieczne ~> by nie mieć czterech łap (~4L), bo jak się jest psem (P) to na 100% => ma się cztery łapy (4L)
A2: ~P~>~4L + A1: P=>4L
LUB
Fałszywy warunek wystarczający B2: ~P=>~4L=0 na mocy definicji kontrprzykładu daje nam gwarancję matematyczną prawdziwości kontrprzykładu B2’
B2’
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć czterech łap
~P~~>4L = ~P*4L =1
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Dowód nie wprost:
Na mocy definicji kontrprzykładu nie musimy udowadniać prawdziwości zdania B2’
Dowód wprost:
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P=[kura, słoń ..] i 4L=[pies, słoń ..], to słoń
cnd
Zauważmy, że matematyczną prawdziwość/fałszywość każdego ze zdań A1, A1’, A2 i B2’ możemy udowodnić niezależnie od prawdziwości/fałszywości pozostałych zdań.
Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek paradoksie i mamy dostęp do zdań warunkowych A1’, A2, B2’ czego nie mieliśmy w przypadku skorzystania z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
Y = (P=>4L) = ~P+4L
cnd
28.5 Prawo eliminacji równoważności p<=>q w logice matematycznej
Definicja równoważności p<=>q w logice matematycznej:
Równoważność p<=>q to jednoczesne spełnienie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
To samo w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Interpretacja matematycznie poprawna, znana każdemu matematykowi to:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zajście zarówno warunku koniecznego ~> (B1) jak i wystarczającego => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Innymi słowy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Dowód iż ta definicja równoważności znana jest ludzkości (nie tylko matematykom).
Klikamy na goglach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 9 750
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 11 300
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 4 170
cnd
Zobaczmy to na przykładzie równoważności Pitagorasa TP<=>SK udowodnionej w ziemskiej matematyce poprawnie wieki temu.
Twierdzenie proste Pitagorasa p=>q:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów
TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Bycie trójkątem prostokątnym TP jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby spełniona była suma kwadratów (SK)
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
##
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa q=>p:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny
SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP)
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu
Dla B3 zastosujmy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy:
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla spełnienia SK
Dziedzina wspólna dla A1 i B1 to oczywiście:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności Pitagorasa TP<=>SK:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesne spełnienie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - wylosowanie TP ze zbioru ZWT jest (=1) wystarczające => dla SK
B1: TP~>SK =1 - wylosowanie TP ze zbioru ZWT jest (=1) konieczne ~> dla SK
To samo w równaniu logicznym:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Interpretacja matematycznie poprawna, znana każdemu matematykowi:
Równoważność TP<=>SK to jednoczesne zajście zarówno warunku koniecznego ~> (B1) jak i wystarczającego => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Innymi słowy:
Zajście TP jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia SK
Innymi słowy:
Zajście TP jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia SK
Innymi słowy:
Do tego by zaszło SK potrzeba ~> (B1) i wystarcza (A1) by zaszło TP
Zastosujmy dla B1 prawo Kubusia:
B1: TP~>SK = B2: ~TP=>~SK
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: ~p=>~q
Stąd mamy spełniony warunek wystarczający =>:
B2: ~TP=>~SK =1
Potrzebny nam do budowy symbolicznej definicji równoważności TP<=>SK w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
W algebrze Kubusia poprawne jest, znane matematykom prawo eliminacji równoważności p<=>q, czyli zapisanie równoważności w formie funkcji logicznej Y algebry Boole’a.
Spójrzmy na zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q znaną każdemu matematykowi.
| Kod: |
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
p q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q | Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A: 1 1 =1 | p* q =1 - obiekt istnieje (=1)
B: 1 0 =0 | p*~q =0 - obiekt nie istnieje (=0)
C: 0 0 =1 |~p*~q =1 - obiekt istnieje (=1)
D: 0 1 =0 |~p* q =0 - obiekt nie istnieje (=0)
1 2 3 4 5 6
Podstawa zapisu symbolicznego
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
|
Z zapisu symbolicznego wynika, że po skorzystaniu z prawa eliminacji równoważności p<=>q, będziemy mieli do czynienia ze zdaniem zawsze prawdziwym we wspólnej dziedzinie dla p i q.
Zobaczmy to na przykładzie równoważności Pitagorasa TP<=>SK udowodnionej w ziemskiej matematyce poprawnie wieki temu.
Zapiszmy równoważność Pitagorasa w symbolicznej tabeli prawdy wyżej wyprowadzonej:
| Kod: |
Zapis
symboliczny
p q Y=(p<=>q) | Y=(TP=>SK)=A: TP*SK+C:~TP*~SK
A: p* q =1 | TP* SK =1 - istnieje (=1) TP ze spełnioną SK
B: p*~q =0 | TP*~SK =0 - nie istnieje (=0) TP z niespełnioną SK
C:~p*~q =1 |~TP*~SK =1 - istnieje (=1) ~TP z niespełnioną SK (~SK)
D:~p* q =0 |~TP* SK =0 - nie istnieje (=0) ~TP ze spełniona SK
4 5 6 7 8 9
|
W algebrze Kubusia mamy prawo skorzystać z prawa eliminacji równoważności p<=>q:
Y =(p<=>q) = p*q + ~p*~q
To jest matematycznie poprawne, ale zabijamy tu istotę równoważności, czyli obowiązujące w niej warunki konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1)
Nasz przykład:
Y = (TP<=>SK) = TP*SK + ~TP*~SK
Co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> TP=1 i SK=1 lub ~TP=1 i ~SK=1
Iterując zbiór wszystkich trójkątów ZWT element po elemencie możemy stwierdzić tylko i wyłącznie, że w wylosowanym trójkącie prostokątnym (TP) spełniona jest suma kwadratów TP*SK=1 lub w wylosowanym trójkącie nieprostokątnym (~TP) nie jest spełniona suma kwadratów ~TP*~SK=1
O żadnych warunkach koniecznych ~> (B1) i wystarczających => (A1) mowy tu być nie może.
Oczywistym jest że obiekty TP*~SK i ~TP*SK nie istnieją co oznacza, że tych obiektów nigdy nie wylosujemy
Poprawną analizę równoważności Pitagorasa TP<=>SK w warunkach koniecznych ~> (B1) i wystarczających => (A1) znajdziemy w punkcie 16.7
28.6 Funkcja tożsamościowa - tragedia ziemskiej logiki matematycznej
Prawo Czarnej Mamby:
Warunkiem koniecznym postawienia ziemskiej logiki matematycznej na nogi jest jej akceptacja prawa Irbisa, jako jednego z najważniejszych praw logiki matematycznej.
Kwintesencja obsługi teorii zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia:
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zobaczmy co na temat funkcji tożsamościowych pisze w Wikipedii:
http://www.sfinia.fora.pl/posting.php?mode=editpost&p=706875
@Wikipedia
Funkcja tożsamościowa (funkcja identycznościowa, tożsamość, identyczność) – funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego. Intuicyjnie: funkcja, która „nic nie zmienia”.
To wytłuszczone w definicji tożsamościowej jest dowodem, iż chodzi tu o prawo Irbisa, na cześć mojego wroga Nr.1 Irbisola nazwane, który jako pierwszy ziemianin zgodził się na jego prawdziwość.
Weźmy przykład z Wikipedii równania tożsamościowego:
[link widoczny dla zalogowanych]
Równania tożsamościowe
Równania tożsamościowe - to takie równania, które mają nieskończenie wiele rozwiązań.
Jeżeli w równaniu tożsamościowym podstawimy pod x-a dowolną liczbę, to otrzymamy zawsze równanie prawdziwe.
2x=2x
5x−3=5x−3
Irbisolu,
Moje zapisy tożsamościowe, które podaję od zawsze typu:
2=2
2x=2x
TP=TP
Zbiór trójkątów prostokątnych TP = zbiór trójkątów prostokątnych TP
pies=pies
miłość=miłość
suche gacie na dnie morza = suche gacie na dnie morza
etc
To po prostu algebra Boole'a:
a=a
Prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Podstawmy:
p=a
q=a
Stąd mamy:
a=a <=> A1B1: a<=>a = (A1: a=>a)*(B1:a~>a) =1*1=1
Dowód:
A1: a=>a =1 - bo każde pojęcie/zbiór/zdarzenie jest podzbiorem => siebie samego
B1: a~>a =1 - bo każde pojęcie/zbiór/zdarzenie jest nadzbiorem ~> siebie samego
Sam widzisz irbisolu, że ma się to nijak do twojej definicji funkcji tożsamościowej:
f(x)=x
Gdzie:
x - zmienna binarna
Stąd twoja szczegółowa definicja funkcji tożsamościowej to:
f(1)=1
f(0)=0
Niespodziewany zwrot akcji:
W mojej kilkunastostronicowej (albo i więcej) dyskusji z Irbisolem prosiłem go n-razy o podanie zero-jedynkowej definicji funkcji tożsamościowej na gruncie algebry Boole’a.
Oczywiście Irbisol nie podał takiej definicji bo nie ma jej w Wikipedii, a dla Irbisola Wikipedia jest najwyższą świętością, alfą i omegą.
Kilka dni temu modyfikując wstęp do algebry Kubusia odkryłem, że zero-jedynkowa definicja funkcji tożsamościowej jest w Wikipedii, tyle że ukryta, której żaden matematyk na światło dzienne nie wyciąga, bo jej po prostu nie rozumie.
Oto ta skrzętnie zakopana i ukryta prawda o rzeczywistej definicji funkcji tożsamościowej na gruncie algebry Boole’a
Matematycy znają zero-jedynkową tabelę wszystkich czterech jednoargumentowych spójników logicznych jak w linku niżej:
[link widoczny dla zalogowanych]
ale nie znają jej poprawnej interpretacji matematycznej
Poprawną interpretację matematyczną tej tabeli znajdziemy wyłącznie w algebrze Kubusia (pkt. 1.4)
Dokładnie w tym linku mamy zero-jedynkową definicję funkcji tożsamościowej.
| Kod: |
Definicja funkcji tożsamościowej wedle Wikipedii
to jest dokładnie to samo co funkcja transmitera w algebrze Kubusia
Wejście | Wyjście
p ~p | Y=p
A: 1 # 0 | 1
B: 0 # 1 | 0
|
Definicja transmitera w technicznej algebrze Boole’a:
Transmiter to jednowejściowa bramka logiczna opisana funkcją logiczną Y=p, gdzie na wyjście Y transmitowany jest zawsze sygnał wejściowy p bez zniekształceń.
Oczywiście nie ma sensu bym robił tu kopiuj wklejkę punktu 1.4 z niniejszego podręcznika.
Skupmy się na istocie operatora transmisji z algebry Kubusia, totalnie nieznanej ziemskim matematykom.
Dlaczego totalnie nieznanej?
Bo nie ma we współczesnej logice matematycznej kluczowego tu prawa, prawa Irbisa.
Prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Jak do tej pory zaledwie jeden ziemianin rozumie i akceptuje prawo Irbisa - to Irbisol.
Weźmy fragment z algebry Kubusia dotyczący:
Funkcji tożsamościowej wedle logiki ziemian = funkcji transmisji wedle algebry Kubusia
| Kod: |
OT
Definicja operatora transmisji: Y|=p
Wejście |Wyjście
| A1: B1:
p # ~p | Y=p # ~Y=~p
Przykład który za chwilkę zrobimy p=K:
K # ~K | Y=K # ~Y=~K
1 # 0 | 1 # 0
0 # 1 | 0 # 1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Pani w przedszkolu A1:
A1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 - doskonale to widać w tabeli OT
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
#
Kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 - doskonale to widać w tabeli OT
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej sytrony
Prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zbiory/zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Podstawmy nasz przykład:
p=Y
q=K
Stąd dla naszego przykładu prawo Irbisa w logice dodatniej (bo K) przybiera postać:
Dwa pojęcia Y i K są tożsame Y=K wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności Y<=>K
Y=K <=> A1B1: Y<=>K = (A1: Y=>K)*(B1: Y~>K)=1*1=1
Lewą stronę prawa Irbisa czytamy:
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość pojęć Y=K:
Pojęcie „pani dotrzyma słowa” (Y) jest tożsame „=” z pojęciem „jutro pójdziemy do kina” (K)
Środek prawa Irbisa czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K)
A1B1: Y<=>K =1
Prawą stronę prawa Irbisa czytamy:
Dotrzymanie słowa przez panią (Y) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, byśmy poszli do kina (K)
Innymi słowy:
Do tego byśmy poszli do kina (K) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by pani dotrzymała słowa (Y)
W logice matematycznej dowolne pojęcie p jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy rozpoznawalne jest pojęcie ~p
W logice matematycznej dowolną tożsamość „=” czy też równoważność <=> mamy prawo dwustronnie zanegować przechodząc do logiki przeciwnej z tym samym znaczkiem.
Dwustronna negacja warunku wystarczającego => czy też koniecznego ~> także jest możliwa na mocy praw Kubusia
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Nasz przykład:
A1: Y=>K = A2: ~Y~>~K
B1: Y~>K = B2: ~Y=>~K
Stąd mamy prawo Irbisa w logice ujemnej (bo ~q):
Dwa pojęcia/zbiory/zdarzenia ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności ~p<=>~q
~p=~q <=> A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Nasz przykład:
Prawo Irbisa w logice ujemnej (bo ~K):
Dwa pojęcia ~Y i ~K są tożsame ~Y=~K wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności ~Y<=>~K
~Y=~K <=> A2B2: ~Y<=>~K = (A2: ~Y~>~K)*(B2: ~Y=>~K) =1*1=1
Lewą stronę prawa Irbisa czytamy:
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość pojęć ~Y=~K:
Pojęcie „pani nie dotrzyma słowa” (~Y) jest tożsame „=” z pojęciem „jutro nie pójdziemy do kina” (~K)
Środek prawa Irbisa czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K)
A2B2: ~Y<=>~K =1
Prawą stronę prawa Irbisa czytamy:
Nie dotrzymanie słowa przez panią (~Y) jest warunkiem koniecznym ~> (A2) i wystarczającym => (B2) do tego, byśmy nie poszli do kina (~K)
Innymi słowy:
Do tego byśmy nie poszli do kina (~K) potrzeba ~> (A2) i wystarcza => (B2) by pani nie dotrzymała słowa (~Y)
Matematyczne związki między prawem Irbisa w logice dodatniej (bo q) i ujemnej (bo ~q) są następujące:
1.
Zachodzi matematyczna tożsamość równoważności:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q
Dowód:
A1B1: p<=>q = p*q + ~p*~q - definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Rozwijamy A2B2 definicją A1B1:
(~p)<=>(~q) = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q)
~p<=>~q = ~p*~q + p*q
Stąd mamy:
A2B2: ~p<=>~q = A1B1: p<=>q = p*q + ~p*~q
cnd
2.
Zapiszmy w tabeli prawdy istotę operatora równoważności:
| Kod: |
Równoważność | Równoważność
A1B1: p<=>q [=] A2B2: ~p<=>~q
Definiuje tożsamość pojęć: | definiuje tożsamość pojęć:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
3.
Nasz przykład:
| Kod: |
Równoważność | Równoważność
A1B1: Y<=>K [=] A2B2: ~Y<=>~K
Definiuje tożsamość pojęć: | definiuje tożsamość pojęć:
Y=K # ~Y=~K
Gdzie:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Z ostatniej linii widzimy że pojęcie Y (czy też K) związane jest z pojęciem ~Y (czy też ~K) spójnikiem „albo”($)
Dowód:
Jutro pani może dotrzymać słowa (Y) „albo”($) nie dotrzymać słowa (~Y)
Y$~Y =1
Trzeciej możliwości brak.
Sprawdzenie formalne.
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Dla q=~p mamy:
p$~p = p*~(~p) + ~p*~(~p) = p*p + ~p*~p = p+~p =1
cnd
Oczywistym jest że równoważność (tożsamość) między p i ~p jest wykluczona.
Sprawdzenie formalne:
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
dla q=~p mamy:
p<=>(~p) = p*(~p) + ~p*~(~p) = p*~p + ~p*p = 0+0 =0
cnd
Zajrzyjmy jeszcze raz do zero-jedynkowej definicji wszystkich czterech jednoargumentowych spójników logicznych podanych w Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
Pisze tu jak wół że:
Spójnik funkcji tożsamościowej (w algebrze Kubusia funkcji transmisji) to rzadko używany spójnik asercji (funkcja tożsamościowa)
Jak widzimy wyżej, w teorii zdarzeń spójnik transmisji (funkcja tożsamościowa w logice ziemian) jest w języku potocznym każdego człowieka zdecydowanie najczęściej używanym spójnikiem logicznym.
Dowód:
Spójnik transmisji w języku potocznym (funkcja tożsamościowa w logice ziemian) jest nierozerwalnie związany z najprostszą obietnicą bezwarunkową typu:
W przyszłości (np. jutro) coś tam zrobimy
Przykłady:
Jutro pójdziemy do kina
Jutro pójdziemy do lasu
Jutro idę na egzamin
etc.
Kliknijmy w Wikipedii co się kryje pod pojęciem „funkcji tożsamościowej”?
Mamy definicję jak na początku niniejszego wpisu:
http://www.sfinia.fora.pl/posting.php?mode=editpost&p=706875
@Wikipedia
Funkcja tożsamościowa (funkcja identycznościowa, tożsamość, identyczność) – funkcja danego zbioru w siebie, która każdemu argumentowi przypisuje jego samego. Intuicyjnie: funkcja, która „nic nie zmienia”.
O co chodzi w tej definicji wyjaśniliśmy sobie zarówno na gruncie teorii zdarzeń (wyżej), jak i na gruncie teorii zbiorów (początek rozdziału)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:33, 20 Maj 2024, w całości zmieniany 23 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 8:42, 18 Kwi 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
29.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności w KRZ na poziomie 5-cio latka
Spis treści
29.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności w KRZ na poziomie 5-cio latka 1
29.1 Analiza zdania warunkowego A1: P=>CH na gruncie KRZ 2
29.1.1 Zdanie zawsze prawdziwe w teorii zdarzeń dla zdania A1: P=>CH 4
29.1.2 Analiza zdania warunkowego A1: A=>S na gruncie KRZ 5
29.1.3 Zdanie zawsze prawdziwe w teorii zdarzeń dla zdania A1: A=>S 7
29.1.4 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej implikacji A1: A=>S 8
29.2 Obsługa zdań warunkowych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) w algebrze Kubusia 9
29.2.1 Analiza zdania A1: P=>CH metodą zdjęciową w algebrze Kubusia 10
29.2.2 Zdanie zawsze prawdziwe w teorii zdarzeń dla zdania A1: P=>CH 12
29.2.3 Analiza zdania A1: A=>S metodą zdjęciową w algebrze Kubusia 13
29.2.4 Zdanie zawsze prawdziwe w metodzie zdjęciowej dla zdania A1: A=>S 15
29.2.5 Dowód braku wewnętrznej sprzeczności w A1: A=>S na gruncie AK 16
29.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności w KRZ na poziomie 5-cio latka
Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ na poziomie 5-cio latka oznacza tu, że przykłady ilustrujące tą sprzeczność na 100% zrozumie każdy 5-cio latek.
Zrozumienie dowodu wymaga oczywiście znajomości Klasycznego Rachunku Zdań na poziomie podstawowym, w tym algebry Boole’a na poziomie podstawowym.
Z faktu że mamy dowodzić wewnętrzną sprzeczność KRZ nie będzie tu ani jednego zdania odnoszącego się do algebry Kubusia, gdzie 100% definicji jest innych niż w KRZ.
Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykład w dowolnej teorii matematycznej to znalezienie zdania x wewnątrz tej teorii sprzecznego ze zdaniem różnym od x wewnątrz tej samej teorii.
Skutek istnienia kontrprzykładu:
Znalezienie jednego, jedynego kontrprzykładu wewnątrz dowolnej teorii posyła tą teorię do piekła, na wieczne piekielne męki.
Czy możliwe jest znalezienie kontrprzykładu w algebrze Kubusia?:
Znalezienie kontrprzykładu w algebrze Kubusia jest fizycznie niemożliwe bowiem jej fundamentem jest teoria bramek logicznych, co szczegółowo opisano w punkcie 11.0.
11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
Oznacza to, że 100% definicji i praw logiki matematycznej w algebrze Kubusia ma swoje odzwierciedlenie w teorii bramek logicznych w przełożeniu 1:1, co łatwo sprawdzić w laboratorium techniki cyfrowej.
Innymi słowy:
Algebra Kubusia jest w 100% weryfikowalna w laboratorium bramek logicznych.
29.1 Analiza zdania warunkowego A1: P=>CH na gruncie KRZ
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
W obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” ziemska logika matematyczna obligatoryjnie korzysta z prawa eliminacji implikacji
Y = (p=>q) =~p+q
Spójrzmy na zero-jedynkową definicję ziemskiej implikacji p=>q.
| Kod: |
ZI
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
p q Y=(p=>q)=~p+q | Y=(p=>q)=~p+q
A: 1 1 =1 | p* q =1
B: 1 0 =0 | p*~q =0
C: 0 0 =1 |~p*~q =1
D: 0 1 =1 |~p* q =1
1 2 3 4 5 6
Podstawa zapisu symbolicznego
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
|
Zauważmy, że w aktualnej logice matematycznej wystarczy cokolwiek zapisać w formie zdania warunkowego „Jeśli p to q” i już na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją p=>q o zero-jedynkowej definicji zawartej w tabeli ziemskiej implikacji ZI.
Weźmy najprostszy przykład pasujący w 100% do ziemskiej implikacji:.
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH=?
Polecenie:
Zbadaj czy powyższe zdanie spełnia definicję ziemskiej implikacji.
Na mocy definicji ziemskiej implikacji ZI sam fakt wystąpienia spójnika „Jeśli p to q” determinuje, iż jest to implikacja.
Dla zdania A1 mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Podstawmy nasz przykład do zero-jedynkowej definicji ziemskiej implikacji:
| Kod: |
ZI1
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
P CH Y=~P+CH | Y=(P=>CH)=~P+CH
A: 1 1 =1 | P* CH =1 -zdarzenie możliwe (1): pada i są chmury
B: 1 0 =0 | P*~CH =0 -zdarzenie niemożliwe (0): pada i nie ma chmur
C: 0 0 =1 |~P*~CH =1 -zdarzenie możliwe (1): nie pada i nie ma chmur
D: 0 1 =1 |~P* CH =1 -zdarzenie możliwe (1): nie pada i są chmury
1 2 3 4 5 6
|
Zauważmy, że rozpiska zdania warunkowego A1 w tabeli ZI1 to w istocie skorzystanie ze znanego każdemu matematykowi prawa eliminacji implikacji p=>q:
Y = (p=>q) = ~p+q
Nasz przykład:
Y = (P=>CH) = ~P+CH
Jak widzimy z prawej strony tożsamości nie mamy tu do czynienia ze zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” lecz z operatorem „lub”(p|+q).
Definicja operatora „lub”(p|+q):
Operator „lub”(p|+q) to odpowiedź na pytania o Y=1 i Y=0.
1.
Z tabeli ZI1 łatwo odczytujemy wszystkie rozłączne zdarzenia możliwe (Y=1):
Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: ~P=1 i CH=1
Dowód:
Tabela to zero-jedynkowa ziemskiej implikacji ZI wyżej.
Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) jakie jutro mogą wystąpić to:
A: Ya = P*CH =1*1=1 - jutro może padać (P=1) i być pochmurno (CH=1)
lub
C: Yc=~P*~CH=1*1=1 - jutro może nie padać (~P=1) i nie być pochmurno (~CH=1)
lub
D: Yd=~P*CH=1*1=1 - jutro może nie padać (~P=1) i być pochmurno (CH=1)
Funkcja logiczna Y opisująca wszystkie zdarzenia możliwe to oczywiście suma logiczna funkcji cząstkowych:
Y=Ya+Yc+Yd
Wypiszmy teraz z tabeli ZI1 wszystkie zdarzenia które jutro nie mają prawa zajść (Y=0):
Y=0 <=> B: P*~CH
Dla lewej strony korzystamy z prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=0) = (~Y=1)
Stąd nasz zapis 2 przyjmuje formę zgodną z naturalną logiką człowieka:
2.
~Y = B: P*~CH
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: P=1 i ~CH=1
Czytamy:
Zdarzenie niemożliwe (~Y) to: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH)
~Y = B: P*~CH =1*1=1
Znaczenie symbolu Y:
Y - zdarzenie możliwe (Y=1)
~Y - zdarzenie niemożliwe (~Y=1)
Podsumowanie:
Jak widzimy po skorzystaniu z prawa eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q
operujemy wyłącznie na prawej stronie tego prawa, gdzie nie ma już najmniejszego śladu zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Nazwa „Prawo eliminacji implikacji”, czyli prawo eliminacji zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest tu ze wszech miar słuszna.
Zapiszmy jeszcze raz wszystkie zdarzenia możliwe w naszym przykładzie:
1: Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Oczywiście suma logiczna (+) i iloczyn logiczny (*) są tu przemienne,
Stąd możemy zapisać:
Jeśli zajdzie ~P (nie pada) to może być pochurno (D: CH) lub może nie być pochmurno (~CH)
Na mocy równania 1 zapisujemy:
1: Y = A: P*CH + ~P*(~CH+CH)
1: Y = A: P*CH + ~P
Można łatwo udowodnić, iż zdarzenie P (pada) jest podzbiorem => zdarzenia CH (chmury).
Stąd mamy:
1: Y = A: P+~P =1 - zdanie zawsze prawdziwe, co jest zgodne z tabelą ziemskiej implikacji ZI1.
Dowód:
P=>CH
P*1=>CH*1
P*(CH+~CH) => CH*(P+~P)
P*CH + P*~CH => P*CH + ~P*CH
P*~CH=0
Stąd:
P*CH => P*CH+~P*CH
cnd
29.1.1 Zdanie zawsze prawdziwe w teorii zdarzeń dla zdania A1: P=>CH
Zdanie warunkowe które analizowaliśmy to:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH=1
Dziedzina matematyczna Dm w teorii zdarzeń:
Dziedzina matematyczna w teorii zdarzeń to wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne bez analizy czy którekolwiek z nich może zajść czy nie może zajść, dlatego będziemy tu używali znaczka wartości bezwzględnej, znanej w matematyce:
Dm = A1: |P*CH| + B: |P*~CH| = C: |~P*~CH| + D: |~P*CH|
Dziedzina fizyczna D w teorii zdarzeń
Dziedzina fizyczna D w teorii zdarzeń to dziedzina matematyczna Dm po usunięciu z niej zdarzeń niemożliwych do wystąpienia
D = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
W naszym przypadku, jedyne niemożliwe zdarzenie pada (P) i nie ma chmur (~CH) i dokładnie to zdarzenie zniknęło z dziedziny fizycznej D.
Definicja zdania zawsze prawdziwego dla zdania „Jeśli p to q” w teorii zdarzeń:
Zdanie zawsze prawdziwe w teorii zdarzeń to iterowanie po kompletnej dziedzinie matematycznej Dm w poszukiwaniu zdarzenia które nie jest zgodne z bazową zero-jedynkową definicją badanego zdarzenia.
Zdanie jest zawsze prawdziwe wtedy tylko wtedy gdy nie istnieje iterowanie zmieniającej stan zdarzenia niemożliwego na zdarzenie możliwe lub odwrotnie.
Oczywistym jest, że jeśli definicja zdarzenia x jest poprawna to taka zmiana stanu nigdy nie wystąpi.
Wnioskowanie o fałszywości definicji:
Zdanie które nie spełnia definicji zdana zawsze prawdziwego jest dowodem fałszywości użytej definicji.
Zauważmy, że w analizowaniu naszego zdania A1 ziemska definicja zdania zawsze prawdziwego jest spełniona.
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Problem w tym, że przykład jest tendencyjnie dobrany w taki sposób, by powyższa definicja była spełniona.
W ogólnym przypadku podana wyżej definicja implikacji jest wewnętrznie sprzeczna, co udowodnimy w następnym punkcie.
29.1.2 Analiza zdania warunkowego A1: A=>S na gruncie KRZ
Piętą Achillesową Klasycznego Rachunku Zdań w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” jest definicja implikacji w niej występująca.
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
W obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” ziemska logika matematyczna obligatoryjnie korzysta z prawa eliminacji implikacji
Y = (p=>q) =~p+q
Spójrzmy na zero-jedynkową definicję ziemskiej implikacji p=>q.
| Kod: |
ZI
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
p q Y=(p=>q)=~p+q | Y=(p=>q)=~p+q
A: 1 1 =1 | p* q =1
B: 1 0 =0 | p*~q =0
C: 0 0 =1 |~p*~q =1
D: 0 1 =1 |~p* q =1
1 2 3 4 5 6
Podstawa zapisu symbolicznego
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
|
Zauważmy, że w aktualnej logice matematycznej wystarczy cokolwiek zapisać w formie zdania warunkowego „Jeśli p to q” i już na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją p=>q o zero-jedynkowej definicji zawartej w tabeli ziemskiej implikacji ZI.
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Niech będzie dane zdanie warunkowe:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka S świeci się
A=>S =?
Polecenie:
Zbadaj, czy zdanie warunkowe A1 spełnia definicję ziemskiej implikacji p=>q.
Podstawmy do tabeli ziemskiej implikacji ZI:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
| Kod: |
ZI
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
A S Y=~A+S | Y=(A=>S)=~A+S
A: 1 1 =1 | A* S =1 -możliwe jest(1): wciśnięty A i świeci S
B: 1 0 =0 | A*~S =0 -niemożliwe jest(0): wciśnięty A i nie świeci S
C: 0 0 =1 |~A*~S =1 -możliwe jest(1): nie wciśnięty A i nie świeci S
D: 0 1 =1 |~A* S =1 -możliwe jest(1): nie wciśnięty A i świeci S
1 2 3 4 5 6
|
Jak widzimy, wszystko jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka z wyjątkiem linii D.
Jaś (lat 5) pyta Prosiaczka:
Dlaczego w linii D jest jedynka (prawda) skoro każdy 5-cio latek wie, że powinno być zero (fałsz)
Prosiaczek:
Widzisz Jasiu, tą jedynkę w linii D wymusza ziemska definicja implikacji, matematycznie ona musi tu być inaczej cały Klasyczny Rachunek Zdań leży w gruzach.
Jaś:
Jak tą jedynkę tłumaczą ziemscy matematycy?
Prosiaczek:
Przykładowe tłumaczenie jest takie:
Pewien matematyk na matematyce.pl tłumaczy, że ta jedynka niczemu tu nie przeszkadza, zatem może sobie być.
Jaś:
Jakie jest najśmieszniejsze tłumaczenie jedynki w linii D?
Prosiaczek:
Windziarz, zrozumiały matematyk z ateisty.pl tłumaczy jedynkę w linii D tak:
Udowodnij, że tej jedynki w linii D nie ma w innym Wszechświecie?
… a widzisz, nie potrafisz, dlatego jest jedynka w linii D.
Jaś (lat 5):
Wszelkie te tłumaczenia ziemskich matematyków tłumaczące jedynkę w linii D są bez znaczenia.
Moim zdaniem, zdaniem Jasia (lat 5), ziemska logika matematyczna zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań jest wewnętrznie sprzeczna, zatem jej miejsce jest w piekle na wiecznych piekielnych mękach.
Prosiaczek:
Zgadzam się z tobą w 100% Jasiu.
W naszym 100-milowym lesie od 1000 lat znana jest logika matematyczna stworzona przez mojego przyjaciela Kubusia, w której udowodniona wyżej wewnętrzna sprzeczność KRZ nie występuje.
Co więcej, naszą logikę sprezentowaliśmy ziemianom przy pomocy naszego wysłannika Rafała3006.
Rafał ów wspólnie z ziemskimi przyjaciółmi i przy naszej ukrytej pomocy, rozszyfrował logikę matematyczną wymyśloną przez Kubusia.
Końcowa wersja algebry Kubusia została opublikowana w dniu 2024-05-30 na forum śfinia i w wersji pdf, myślę, że z tej okazji Ziemianie powinni ogłosić święto państwowe na całej ziemi.
29.1.3 Zdanie zawsze prawdziwe w teorii zdarzeń dla zdania A1: A=>S
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Zdanie warunkowe które analizowaliśmy wyżej to:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka S świeci się
A=>S =?
Polecenie:
Zbadaj, czy zdanie warunkowe A1 spełnia definicję ziemskiej implikacji p=>q.
Analiza tego zdania przy pomocy aktualnej, ziemskiej definicji implikacji doprowadziła nas do poniższej tabeli prawdy:
| Kod: |
ZI
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
A S Y=~A+S | Y=(A=>S)=~A+S
A: 1 1 =1 | A* S =1 -możliwe jest(1): wciśnięty A i świeci S
B: 1 0 =0 | A*~S =0 -niemożliwe jest(0): wciśnięty A i nie świeci S
C: 0 0 =1 |~A*~S =1 -możliwe jest(1): nie wciśnięty A i nie świeci S
D: 0 1 =1 |~A* S =1 -możliwe jest(1): nie wciśnięty A i świeci S
1 2 3 4 5 6
|
Jak widzimy, wszystko jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka z wyjątkiem linii D.
29.1.4 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej implikacji A1: A=>S
Dziedzina matematyczna Dm w teorii zdarzeń:
Dziedzina matematyczna w teorii zdarzeń to wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne bez analizy czy którekolwiek z nich może zajść czy nie może zajść, dlatego będziemy tu używali znaczka wartości bezwzględnej, znanej w matematyce:
Dm = A1: |A*S| + B: |A*~S| = C: |~A*~S| + D: |~A*S|
Dziedzina fizyczna D w teorii zdarzeń
Dziedzina fizyczna D w teorii zdarzeń to dziedzina matematyczna Dm po usunięciu z niej zdarzeń niemożliwych do wystąpienia
D = A: A*S + C: ~A*~S
W naszym przypadku, mamy dwa zdarzenia niemożliwe:
B: ~Yb=A*~S=1*1=1 - niemożliwe jest (~Yb=1) zdarzenie: przycisk A wciśnięty i żarówka S nie świeci
lub
D: ~Yd=~A*S=1*1=1 - niemożliwe jest (~Yd=1) zdarzenie: nie wciśnięty A i żarówka S świeci
Oba te przypadki B i D są doskonale rozumiane przez każdego 5-cio latka.
Definicja zdania zawsze prawdziwego dla zdania „Jeśli p to q” w teorii zdarzeń:
Zdanie zawsze prawdziwe w teorii zdarzeń to iterowanie po kompletnej dziedzinie matematycznej DM w poszukiwaniu zdarzenia które nie jest zgodne z zero-jedynkową definicją badanego zdarzenia.
Zdanie jest zawsze prawdziwe wtedy tylko wtedy gdy nie istnieje iterowanie zmieniające stan zdarzenia niemożliwego na zdarzenie możliwe lub odwrotnie.
Oczywistym jest, że jeśli definicja zdarzenia x jest poprawna to taka zmiana stanu nigdy nie wystąpi.
Wnioskowanie o fałszywości definicji:
Zdanie które nie spełnia definicji zdana zawsze prawdziwego jest dowodem fałszywości użytej definicji.
Zauważmy, że w analizowaniu naszego zdania A1: A=>S ziemska definicja zdania zawsze prawdziwego nie jest spełniona.
Dowód:
Po przeiterowaniu wszystkich możliwych zdarzeń dla zdania A1: A=>S stwierdzamy, że nie istnieje iterowanie, które by ustawiło jedynkę w linii D
Wniosek:
Definicja implikacji w aktualnej logice matematycznej ziemian jest matematycznie fałszywa, jej miejsce jest w piekle na wiecznych piekielnych mękach
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Powyższa definicja implikacji, aktualnie funkcjonująca w logice matematycznej ziemian, to potwornie śmierdzące gówno, czyli fałszywa definicja implikacji co udowodniono ciut wyżej.
Podsumowując:
Miejsce całej teorii zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań jest w piekle na wiecznych piekielnych mękach. Wystarczający powód ku temu to udowodniona tu wewnętrzna sprzeczność ziemskiej definicji implikacji.
29.2 Obsługa zdań warunkowych spójnikami „i”(*) i „lub”(+) w algebrze Kubusia
W poprzednim rozdziale omówiliśmy zdania warunkowe „Jeśli p to q” wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) ziemskiej logice matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań, gdzie udowodniliśmy wewnętrzną sprzeczność ziemskiej definicji implikacji.
Dlaczego w algebrze Kubusia nie ma w analogicznych przykładach wewnętrznej sprzeczności?
Odpowiedź:
W algebrze Kubusia dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” łatwo opisujemy spójnikami „i”(*) i „lub”(+) korzystając ze zdjęcia układu, które to pojęcie jest na poziomie podstawowej algebry Boole’a.
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” to analiza tego układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy znaczka ~~>, czyli de facto przy pomocy spójników „i”(*) i „lub”(+).
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
| Kod: |
ZM
Tabela prawdy zdjęcia układu to odpowiedź TAK=1/NIE=0 pytania {A,B,C,D}
A: p~~> q = p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q?
B: p~~>~q = p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q?
C:~p~~>~q =~p*~q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q?
D:~p~~> q =~p* q=? - Czy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q?
|
W języku potocznym, w teorii zdarzeń, praktycznie zawsze dowody prawdziwości/fałszywości zdań ze zdjęcia układu są trywialne a to wystarczy, aby błyskawicznie rozstrzygnąć w skład jakiego operatora implikacyjnego wchodzi zdanie wypowiedziane.
W tabeli zdarzeń możliwych ZM widzimy, że dla wyrażenia dowolnego zdania warunkowego przy pomocy spójników „i”(*) i „lub”(+) znane w algebrze Kubusia znaczki warunku wystarczającego => i warunku koniecznego ~> są zbędne, tzn. totalnie nie używane.
29.2.1 Analiza zdania A1: P=>CH metodą zdjęciową w algebrze Kubusia
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” to analiza tego układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy znaczka ~~>, czyli de facto przy pomocy spójników „i”(*) i „lub”(+).
Rozważmy zdanie przeanalizowane na gruncie KRZ w punkcie 29.1
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH=?
Polecenie:
Korzystając z metody zdjęciowej wyznacz wszystkie zdarzenia możliwe (Y) i niemożliwe (~Y) dla zdania A1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Robimy zdjęcie układu dla zdania A1:
| Kod: |
ZA1
Zdjęcie układu dla zdania A1:
A: P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: pada(P) i są chmury(CH)
B: P~~>~CH=0 -niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada(P) i nie ma chmur(~CH)
C:~P~~>~CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada(~P) i nie ma chmur(~CH)
D:~P~~> CH=1 -możliwe jest (=1) zdarzenie: nie pada(~P) i są chmury(CH)
|
Doskonale widać, że rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdań ABCD to matematyczny poziom 5-cio latka.
Zauważmy, że rozpiska zdania warunkowego A1 w tabeli ZI1 to w istocie skorzystanie ze znanego każdemu matematykowi prawa eliminacji implikacji p=>q:
Y = (p=>q) = ~p+q
Nasz przykład:
Y = (P=>CH) = ~P+CH
Jak widzimy z prawej strony tożsamości nie mamy tu do czynienia ze zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” lecz z operatorem „lub”(p|+q).
Definicja operatora „lub”(p|+q):
Operator „lub”(p|+q) to odpowiedź na pytania o Y=1 i Y=0.
1.
Z tabeli ZI1 łatwo odczytujemy wszystkie rozłączne zdarzenia możliwe (Y=1):
Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub D: ~P=1 i CH=1
Dowód:
Tabela to zero-jedynkowa ziemskiej implikacji ZI wyżej.
Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y=1) jakie jutro mogą wystąpić to:
A: Ya = P*CH =1*1=1 - jutro może padać (P=1) i być pochmurno (CH=1)
lub
C: Yc=~P*~CH=1*1=1 - jutro może nie padać (~P=1) i nie być pochmurno (~CH=1)
lub
D: Yd=~P*CH=1*1=1 - jutro może nie padać (~P=1) i być pochmurno (CH=1)
Funkcja logiczna Y opisująca wszystkie zdarzenia możliwe to oczywiście suma logiczna funkcji cząstkowych:
Y=Ya+Yc+Yd
Wypiszmy teraz z tabeli ZI1 wszystkie zdarzenia które jutro nie mają prawa zajść (Y=0):
Y=0 <=> B: P*~CH
Dla lewej strony korzystamy z prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=0) = (~Y=1)
Stąd nasz zapis 2 przyjmuje formę zgodną z naturalną logiką człowieka:
2.
~Y = B: P*~CH
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: P=1 i ~CH=1
Czytamy:
Zdarzenie niemożliwe (~Y) to: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH)
~Y = B: P*~CH =1*1=1
Znaczenie symbolu Y:
Y - zdarzenie możliwe (Y=1)
~Y - zdarzenie niemożliwe (~Y=1)
Podsumowanie:
Jak widzimy po skorzystaniu z prawa eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q
operujemy wyłącznie na prawej stronie tego prawa, gdzie nie ma już najmniejszego śladu zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Nazwa „Prawo eliminacji implikacji”, czyli prawo eliminacji zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest tu ze wszech miar słuszna.
Zapiszmy jeszcze raz wszystkie zdarzenia możliwe w naszym przykładzie:
1: Y = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Oczywiście suma logiczna (+) i iloczyn logiczny (*) są tu przemienne,
Stąd możemy zapisać:
Jeśli zajdzie ~P (nie pada) to może być pochurno (D: CH) lub może nie być pochmurno (~CH)
Na mocy równania 1 zapisujemy:
1: Y = A: P*CH + ~P*(~CH+CH)
1: Y = A: P*CH + ~P
Można łatwo udowodnić, iż zdarzenie P (pada) jest podzbiorem => zdarzenia CH (chmury).
Stąd mamy:
1: Y = A: P+~P =1 - zdanie zawsze prawdziwe, co jest zgodne z tabelą ziemskiej implikacji ZI1.
Dowód:
P=>CH
P*1=>CH*1
P*(CH+~CH) => CH*(P+~P)
P*CH + P*~CH => P*CH + ~P*CH
P*~CH=0
Stąd:
P*CH => P*CH+~P*CH
cnd
29.2.2 Zdanie zawsze prawdziwe w teorii zdarzeń dla zdania A1: P=>CH
Zdanie warunkowe które analizowaliśmy to:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH=1
Dziedzina matematyczna Dm w teorii zdarzeń:
Dziedzina matematyczna w teorii zdarzeń to wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne bez analizy czy którekolwiek z nich może zajść czy nie może zajść, dlatego będziemy tu używali znaczka wartości bezwzględnej, znanej w matematyce:
Dm = A1: |P*CH| + B: |P*~CH| = C: |~P*~CH| + D: |~P*CH|
Dziedzina fizyczna D w teorii zdarzeń
Dziedzina fizyczna D w teorii zdarzeń to dziedzina matematyczna Dm po usunięciu z niej zdarzeń niemożliwych do wystąpienia
D = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
W naszym przypadku, jedyne niemożliwe zdarzenie pada (P) i nie ma chmur (~CH) i dokładnie to zdarzenie zniknęło z dziedziny fizycznej D.
Definicja zdania zawsze prawdziwego dla zdania „Jeśli p to q” w teorii zdarzeń:
Zdanie zawsze prawdziwe w teorii zdarzeń to iterowanie po kompletnej dziedzinie matematycznej Dm w poszukiwaniu zdarzenia które nie jest zgodne z bazową zero-jedynkową definicją badanego zdarzenia.
Zdanie jest zawsze prawdziwe wtedy tylko wtedy gdy nie istnieje iterowanie zmieniającej stan zdarzenia niemożliwego na zdarzenie możliwe lub odwrotnie.
Oczywistym jest, że jeśli definicja zdarzenia x jest poprawna to taka zmiana stanu nigdy nie wystąpi.
Wnioskowanie o fałszywości definicji:
Zdanie które nie spełnia definicji zdana zawsze prawdziwego jest dowodem fałszywości użytej definicji.
Zauważmy, że w analizowaniu naszego zdania A1 definicja zdania zawsze prawdziwego jest spełniona.
Nie ma tu możliwości by w czasie iterowania po dziedzinie matematycznej mogło się zdarzyć by zaszło zdarzenie niemożliwe.
2.
~Y = B: P*~CH
Co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: P=1 i ~CH=1
Czytamy:
Zdarzenie niemożliwe (~Y) to: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH)
~Y = B: P*~CH =1*1=1
Jak widzimy, opis zdania A1: P=>CH spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest trywialny, zrozumiały dla każdego 5-cio latka
Uwaga:
Badane zdanie A1 to implikacji prostej P|=>CH której opis w znaczkach warunku wystarczającego =>, warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~> znajdziemy w punkcie 3.4
29.2.3 Analiza zdania A1: A=>S metodą zdjęciową w algebrze Kubusia
Definicja zdjęcia układu:
Zdjęcie układu dla dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” to analiza tego układu przez wszystkie możliwe przeczenia p i q przy pomocy znaczka ~~>, czyli de facto przy pomocy spójników „i”(*) i „lub”(+).
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Dane jest zdanie:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka S świeci się
A=>S =?
Polecenie:
Korzystając z metody zdjęciowej wyznacz wszystkie zdarzenia możliwe (Y) i niemożliwe (~Y) dla schematu S1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Robimy zdjęcie układu S1
| Kod: |
ZM
Y=A*S+~A*~S
A: A~~> S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty A (A) i świeci S (S)
B: A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A (A) i nie świeci S (~S)
C:~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A) i nie świeci S (~S)
D:~A~~> S=0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S (S)
|
Jak widzimy zrobienie zdjęcia układu S1 w zdarzeniach jest trywialne.
Stąd łatwo uzyskujemy układ równań logicznych Y i ~Y dających odpowiedź na pytania o Y i ~Y w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Dowód:
Opiszmy schemat S1 układem równań Y=1 (zdarzenia możliwe) i Y=0 (zdarzenia niemożliwe):
1.
Y = A: A*S + C: ~A*~S
Co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: A=1 i S=1 lub C: ~A=1 i ~S=1
Czytamy:
Zdarzenia możliwe (Y) w układzie S1 to:
A: Ya = A*S=1*1=1 - możliwe jest (Ya) zdarzenie: przycisk A wciśnięty i żarówka S świeci się
lub
C: Yc =~A*~S=1*1=1 - możliwe jest (Yc) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty i żarówka nie świeci się
Gdzie:
Y=Ya+Yc - zdarzenia możliwe (Y) to suma logiczna zdarzeń cząstkowych Ya i Yc
Z tabeli ZM równie łatwo możemy odczytać zdarzenia niemożliwe (Y=0).
Bezpośrednio z tabeli ZM czytamy:
Y=0 <=> B: A*~S + D: ~A*S
Prawo Prosiaczka, które możemy zastosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=0)=(~Y=1)
Stąd mamy zapis tożsamy:
(~Y=1) <=> B: A*~S + D: ~A*S
Stąd mamy równanie logiczne opisujące wszystkie zdarzenia niemożliwe (~Y):
2.
~Y = B: A*~S + D: ~A*S
Co w logice jedynek, bo równanie alternatywno-koniunkcyjne oznacza:
~Y=1 <=> B: A=1 i ~S=1 lub ~A=1 i S=1
Czytamy:
Zdarzenia niemożliwe (~Y) w układzie S1 to:
B: ~Yb=A*~S=1*1=1 - niemożliwe jest (~Yb) zdarzenie: przycisk A wciśnięty i nie świeci żarówka S
lub
D: ~Yd=~A*S=1*1=1 - niemożliwe jest (~Ya) zdarzenie: przycisk A nie wciśnięty i świeci żarówka S
Gdzie:
~Y=~Yb+~Yd - zdarzenie niemożliwe (~Y) to suma logiczna zdarzeń cząstkowych ~Yb i ~Yd
Znaczenie symbolu Y:
Y - zdarzenia możliwe (Y=1)
~Y - zdarzenia niemożliwe (~Y=1)
Jak widzimy, opis układu S1 spójnikami „i”(*) i „lub”(+) jest trywialny, zrozumiały dla każdego 5-cio latka
Uwaga:
Badany układ S1 to fizyczna realizacja równoważności p<=>q której opis w znaczkach warunku wystarczającego =>, warunku koniecznego ~> i zdarzenia możliwego ~~> znajdziemy w punkcie 6.6
29.2.4 Zdanie zawsze prawdziwe w metodzie zdjęciowej dla zdania A1: A=>S
Zdanie warunkowe które analizowaliśmy wyżej to:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka S świeci się
A=>S =?
Polecenie:
Zbadaj, czy zdanie warunkowe A1 spełnia definicję ziemskiej implikacji p=>q.
Analiza tego zdania w metodzie zdjęciowej doprowadziła nas do tabeli prawdy:
| Kod: |
ZM
Y=A*S+~A*~S
A: A~~> S=1 - możliwe jest (=1) zdarzenie: wciśnięty A (A) i świeci S (S)
B: A~~>~S=0 - niemożliwe jest (=0): wciśnięty A (A) i nie świeci S (~S)
C:~A~~>~S=1 - możliwe jest (=1): nie wciśnięty A (~A) i nie świeci S (~S)
D:~A~~> S=0 - niemożliwe jest (=0): nie wciśnięty A (~A) i świeci S (S)
|
Jak widzimy, wszystko jest zrozumiałe dla każdego 5-cio latka.
29.2.5 Dowód braku wewnętrznej sprzeczności w A1: A=>S na gruncie AK
Dziedzina matematyczna Dm w teorii zdarzeń:
Dziedzina matematyczna Dm w teorii zdarzeń to wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne bez analizy czy którekolwiek z nich może zajść czy nie może zajść, dlatego będziemy tu używali znaczka wartości bezwzględnej, znanej w matematyce:
Dm = A1: |A*S| + B: |A*~S| = C: |~A*~S| + D: |~A*S|
Dziedzina fizyczna D w teorii zdarzeń
Dziedzina fizyczna D w teorii zdarzeń to dziedzina matematyczna Dm po usunięciu z niej zdarzeń niemożliwych do wystąpienia
D = A: A*S + C: ~A*~S
W naszym przypadku, mamy dwa zdarzenia niemożliwe:
B: ~Yb=A*~S=1*1=1 - niemożliwe jest (~Yb=1) zdarzenie: przycisk A wciśnięty i żarówka S nie świeci
lub
D: ~Yd=~A*S=1*1=1 - niemożliwe jest (~Yd=1) zdarzenie: nie wciśnięty A i żarówka S świeci
Oba te przypadki B i D są doskonale rozumiane przez każdego 5-cio latka.
Definicja zdania zawsze prawdziwego dla zdania „Jeśli p to q” w teorii zdarzeń:
Zdanie zawsze prawdziwe w teorii zdarzeń to iterowanie po kompletnej dziedzinie matematycznej DM w poszukiwaniu zdarzenia które nie jest zgodne z zero-jedynkową definicją badanego zdarzenia.
Zdanie jest zawsze prawdziwe wtedy tylko wtedy gdy nie istnieje iterowanie zmieniające stan zdarzenia niemożliwego na zdarzenie możliwe lub odwrotnie.
Oczywistym jest, że jeśli definicja zdarzenia x jest poprawna to taka zmiana stanu nigdy nie wystąpi.
Wnioskowanie o fałszywości definicji:
Zdanie które nie spełnia definicji zdana zawsze prawdziwego jest dowodem fałszywości użytej definicji.
Zauważmy, że w analizowaniu naszego zdania A1: A=>S definicja zdania zawsze prawdziwego jest spełniona.
Wniosek:
Analiza zdania warunkowego A1 metodą zdjęciową:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka S świeci się
A=>S =1
Nie generuje wewnętrznej sprzeczności w tej analizie, zatem wszystkie użyte tu definicje są matematycznie poprawne.
Zauważmy, że analiza tego samego zdania w Klasycznym Rachunku Zdań prowadzi do wewnętrznej sprzeczności w KRZ, co posyła tą gówno-logikę do piekła na wieczne piekielne męki (pkt. 29.1.4)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 18:45, 05 Cze 2024, w całości zmieniany 15 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 22:04, 15 Maj 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
30.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności w KRZ na poziomie szkoły podstawowej
Spis treści
30.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności w KRZ na poziomie szkoły podstawowej 1
30.1 Definicja i obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” w KRZ 1
30.2 Fundamentalna różnica między algebrą Kubusia a KRZ 3
30.2.1 Prawo Anakondy 3
30.2.2 Algorytm Puchacza 3
30.2.3 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza 5
30.3 Dowód prawa Anakondy 7
30.4 Dowód wewnętrznej sprzeczności w definicjach kwadratu i prostokąta 10
30.4.1 Kubusiowa propozycja skorygowania definicji kwadratu i prostokąta 13
30.5 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej 16
30.5.1 Definicje czworokątów w 100-milowym lesie 22
30.5.2 Przykładowy błąd definicyjny w podręczniku matematyki do 5 klasy SP 24
30.0 Dowód wewnętrznej sprzeczności w KRZ na poziomie szkoły podstawowej
Opracowano na bazie dyskusji z Irbisolem od tego momentu:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-6900.html#797497
30.1 Definicja i obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” w KRZ
Zacznijmy od definicji zdania warunkowego „Jeśli p to q” w rozumieniu KRZ:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Rafal3006 napisał: |
@Wynurzenia z Szamba
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości?
Cytat (s. 226)
Bertrand Russell:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej (KRZ) jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz |
Na mocy warunku niesprzeczności KRZ podanego przez Bertranda Russella działanie Klasycznego Rachunku Zdań w obsłudze wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” jest następujące.
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja implikacji p=>q w KRZ:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 1 =1
0 0 =1
|
Matematycznego potwora którego nie sposób zrozumieć, zwanego dla niepoznaki Klasycznym Rachunkiem Zdań znajdziemy w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO
Dowód iż KRZ to gwałt na rozumku każdego 5-cio latka to przykładowe zdania tu prawdziwe:
1: Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
2: Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
3: Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Dowód na serio prawdziwości zdania 1 znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód na serio prawdziwości zdania 2 znajdziemy w podręczniku matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Komentarz do zdania 3 znajdziemy w Delcie'2013:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zobaczmy w praktyce jak działa Klasyczny Rachunek Zdań w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Ad.1
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
p=2+5=5 =[] =0 - zbiór pusty, twarde zero
q=[jestem papieżem] =[] =0 - zbiór pusty twarde zero
Stąd mamy na gruncie KRZ rozstrzygnięcie:
p=>q = 0=>0 =1 - na mocy tabeli zero-jedynkowej ziemskiej implikacji
Ad.2
Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
p=[pies ma 8 łap]= []=0 - zbiór pusty, twarde zero
q=[Księżyc krąży wokół Ziemi] =1 - twarda jedynka
Stąd mamy na gruncie KRZ rozstrzygnięcie:
p=>q = 0=>1 =1 - na mocy tabeli zero-jedynkowej ziemskiej implikacji
Ad. 3
3a.
Jeśli dwa plus dwa równa się cztery to Płock leży nad Wisłą
p=[Dwa plus dwa równa się cztery] =1 - twarda jedynka
q=[Płock leży nad Wisłą] =1 - twarda jedynka
Stąd mamy na gruncie KRZ rozstrzygnięcie:
p=>q = 1=>1 =1 - na mocy tabeli zero-jedynkowej ziemskiej implikacji
Twierdzenie odwrotne do 3a
3b
Jeśli Płock leży nad Wisłą to dwa plus dwa równa się cztery
q= [Płock leży nad Wisłą] =1 - twarda jedynka
p=[Dwa plus dwa równa się cztery] =1 - twarda jedynka
q=>p = 1=>1 =1 - na mocy tabeli zero-jedynkowej ziemskiej implikacji
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego p=>q i odwrotnego q=>p
Stąd mamy dowód poprawności równoważności p<=>q z podręcznika matematyki do I klasy LO:
3: Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
p<=>q = (3a: p=>q)*(3b: q=>p) =1*1=1
W ten oto sposób udowodniliśmy na gruncie KRZ poprawność równoważności 3 z podręcznika matematyki do I klasy LO
Z punktu widzenia poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, wszystkie powyższe przykłady to gwałt na rozumku każdego człowieka, żadna matematyka - dowód za chwilkę.
30.2 Fundamentalna różnica między algebrą Kubusia a KRZ
KRZ:
Wedle gówna zwanego KRZ zdanie warunkowe "Jeśli p to q" to zlepek dwóch
zdań twierdzących o znanej z góry wartości logicznej p i q w postaci twardej jedynki lub twardego zera, bowiem wtedy i tylko wtedy na gruncie KRZ możemy określić prawdziwość/fałszywość zdania warunkowego "Jeśli p to q"
Algebra Kubusia:
W algebrze Kubusia, zdanie warunkowe "Jeśli p to q" spełnia algorytm Puchacza wtedy i tylko wtedy gdy p i q we wszystkich możliwych przeczeniach {p, q, ~p, ~q} są zdarzeniami/zbiorami niepustymi.
Dowolne zdanie które nie spełnia algorytmu Puchacza, jest w algebrze Kubusia fałszywe, z powodu nie spełnienia algorytmu Puchacza.
30.2.1 Prawo Anakondy
Prawo Anakondy:
Każde zdanie warunkowe „Jeśli p to q” prawdziwe na gruncie KRZ, będzie fałszywe na gruncie algebry Kubusia.
30.2.2 Algorytm Puchacza
Jak działa Klasyczny Rachunek Zdań w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy wyżej w punkcie 30.0
Dla udowodnienia prawa Anakondy musimy zrozumieć ja działa algebra Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”, gdzie kluczowe jest zrozumienie algorytmu Puchacza.
W tym momencie czytelnik proszony jest o zapoznanie się z punktami 2.10 do 2.15 z niniejszego podręcznika.
Zacytujmy tu najważniejszy dla nas w tym momencie algorytm Puchacza.
Algorytm Puchacza
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Uwaga:
Na mocy praw Sowy prawdziwość podstawowego spójnika implikacyjnego p?q definiowanego kolumną A1B1 (pytanie o p) wymusza prawdziwość odpowiedniego operatora implikacyjnego p|?q definiowanego dwoma kolumnami A1B1 (pytanie o p) i A2B2 (pytanie o ~p).
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Algorytm Puchacza to przyporządkowania dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" (także fałszywego = fałszywy kontrprzykład) do określonego operatora implikacyjnego.
Algorytm Puchacza:
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
5.
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe "Jeśli p to q" należy do jednego z 5 rozłącznych operatorów implikacyjnych p|?q wtedy i tylko wtedy gdy spełnione są warunki 1, 2 i 3 algorytmu Puchacza.
Rozłączne operatory implikacyjne to:
a) p||=>q - operator implikacji prostej (2.12.1)
b) p||~>q - operator implikacji odwrotnej (2.13.1)
c) p|<=>q - operator równoważności (2.14.1)
d) p||~~>q - operator chaosu (2.15.1)
e) p|$q - operator "albo"(|$) (7.2.1)
6.
Korzystając z praw algebry Kubusia wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q dla niezanegowanego p:
A1: p=>q =?
7.
Dla tych samych parametrów p i q wyznaczamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego B1: p~>q dla niezanegowanego p:
B1: p~>q =?
W punktach 6 i 7 p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd postawienia
Rozstrzygnięcia 6 i 7 możemy badać w odwrotnej kolejności, matematycznie to bez znaczenia.
Rozwiązanie kluczowych punktów 6 i 7 jednoznacznie definiuje nam spójnik implikacyjny p?q definiowany kolumną A1B1, a tym samym (na mocy praw Sowy) operator implikacyjny p|?q do którego należy badane zdanie.
30.2.3 Przykłady zdań niespełniających algorytmu Puchacza
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 algorytmu Puchacza są matematycznie fałszywe.
Ad. 1
W punkcie 1 chodzi o to, że jeśli przystępujemy do analizy matematycznej zdania "Jeśli p to q" to musimy zastosować prawo Kłapouchego, inaczej dostaniemy nietrywialny błąd podstawienia ### (pkt. 2.7.4)
Ad. 2
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to trójkąt może być prostokątny
P2~~>TP =0
Brak wspólnej dziedziny.
Stąd mamy:
Zdanie A1 jest fałszywe na mocy punktu 2 algorytmu Puchacza.
Ad. 3
Definicja zbioru pustego [] (pkt.12.2):
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
B1
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
Zdanie tożsame (wyjaśnienie w pkt.12.2.1):
B1
Jeśli zbiór pusty [] to liczba 4
[]~~>[4] = []*[4] =[] =0 - twardy fałsz, bo zbiór pusty [] i jednoelementowy zbiór [4] są rozłączne
Stąd mamy:
Zdanie B1 jest fałszywe na mocy punktu 3 algorytmu Puchacza.
Wyjątek:
C1.
Jeśli zbiór pusty [] to zbiór pusty []
[]=>[] =1
Bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty []
Wyjaśnienie w punkcie 12.2.1
Rozważmy zdanie:
D1.
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
p=[2+2=5] =[] =0 - twarde zero
q=[jestem papieżem] =[] =0 - twarde zero
Stąd zapis formalny:
p=>q = []=>[] =0
Z punktu widzenia algorytmu Puchacza zdanie D1 jest fałszem bo nie jest tu spełniony punkt 3 algorytmu Puchacza.
Oczywiście z innego punktu odniesienia, z punktu odniesienia ogólnej teorii zbiorów (pkt. 12.2.1) zdanie D1 będzie prawdą, czego dowód mamy w zapisie C1
W matematyce nie ma w tym nic dziwnego.
Dowód:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada (P), są chmury (CH)
##
Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami
B1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% ~> będzie pochmurno
P~>CH =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać (~P=1) a chmury mogą istnieć (CH=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>: ## Definicja warunku koniecznego ~>:
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y = (p~>q) =p+~q
|
Definicja znaczka różne ##:
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice (tu dodatniej bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame
Jak widzimy, w tabeli T1 definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowodem są tu nasze zdania A1 i B1.
Różność na mocy definicji ## zdań A1 i B1 rozpoznajmy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Analogia w języku polskim to:
może i morze
Tu różność pojęć wynika z kontekstu lub z pisowni jak wyżej.
30.3 Dowód prawa Anakondy
Prawo Anakondy:
Dowolne zdanie prawdziwe na gruncie KRZ będzie fałszywe na gruncie algebry Kubusia z powodu niespełnienia punktu 3 w algorytmie Puchacza.
Dowód prawa Anakondy to dowód wewnętrznej sprzeczności w Klasycznym Rachunku Zdań.
Kim jest Bertrand Russell:
http://www.sfinia.fora.pl/posting.php?mode=editpost&p=706875
Bertrand Arthur William Russell, 3. hrabia Russell (ur. 18 maja 1872 w Ravenscroft, Walia, zm. 2 lutego 1970 w Penrhyndeudraeth, Walia – brytyjski filozof, logik, matematyk.
Jest uważany za twórcę filozofii analitycznej razem ze swoim poprzednikiem Gottlobem Frege, współpracownikiem G.E. Moore’em oraz uczniem Ludwigiem Wittgensteinem.
Uznaje się go za jednego z najlepszych logików dwudziestego wieku.
Jego prace miały znaczący wpływ w matematyce, logice, teorii mnogości, lingwistyce, sztucznej inteligencji, kognitywistyce, informatyce oraz filozofii, w szczególności filozofii języka, epistemologii oraz metafizyce
Zacznijmy od zdefiniowania czym jest zdanie warunkowe „Jeśli p to q” na gruncie KRZ:
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wynurzenia z Szamba
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości?
Cytat (s. 226)
Bertrand Russell:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej (KRZ) jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz
Zacznijmy od definicji kwadratu na gruncie KRZ:
DKW.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to ma wszystkie kąty proste i boki równe
KW=>KP*BR
Zauważmy, że to jest oficjalna, ziemska definicja kwadratu na gruncie KRZ.
Zauważmy, że początek zdania warunkowego „Jeśli p to q” definiującego kwadrat zaczyna się od słów:
A1.
Jeśli czworokąt jest kwadratem, to…
Sam ten fakt wystarczy, by na gruncie KRZ zdanie warunkowe A1 było fałszem, bo zgwałcony jest tu wymóg twardej jedynki w poprzedniku p
Poprzednik p:
p=[czworokąt jest kwadratem] =1 - miękka jedynka, zbiór niepusty
Miękka jedynka dlatego że:
~p=~[czworokąt jest kwadratem] = [czworokąt nie jest kwadratem] = [np. trapez] =1 - miękka jedynka, zbiór niepusty
Absolutnie nie jest to zdanie z twardą jedynką w poprzedniku wymaganą przez definicję zdanie warunkowego „Jeśli p to q” na gruncie KRZ.
Przykład zdania spełniającego definicję zdanie warunkowego „Jeśli p to q” na gruncie KRZ jest jak niżej.
B1.
Jeśli pies ma cztery lapy, to ..
To zdanie ma szansę być prawdziwym na gruncie KRZ o ile następnik q również będzie twardą jedynką .
Przykład takiego zdania prawdziwego na gruncie KRZ:
B1”.
Jeśli pies ma cztery łapy, to 2+2=4
p=>q = 1=>1 =1
W zdaniu B1 po stronie poprzednika p spełniony jest wymóg twardej jedynki wymagany definicją zdania warunkowego „Jeśli p to q” na gruncie KRZ
Dowód:
p=[pies ma cztery łapy] =1 - twarda jedynka
Twarda jedynka dlatego że:
~p=~[pies ma cztery łapy] = [pies nie ma czterech łap] =[] =0 - twarde zero
Podsumowując:
Wyłącznie w zdaniu B1 (w przeciwieństwie do A1) mamy spełniony warunek twardej prawdy wymagany definicją zdania warunkowego „Jeśli p to q” na gruncie KRZ.
Powtórzmy to, czego zapewne wielu matematyków nie jest w stanie pojąć ... a to są banały co najwyżej na poziomie ucznia I klasy LO.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wynurzenia z Szamba
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości?
Cytat (s. 226)
Bertrand Russell:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej (KRZ) jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Prawo Anakondy:
Dowolne zdanie prawdziwe na gruncie KRZ będzie fałszywe na gruncie algebry Kubusia z powodu niespełnienia punktu 3 w algorytmie Puchacza.
Przykład wewnętrznej sprzeczności w KRZ:
DKW.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to ma wszystkie kąty proste i boki równe
KW=>KP*BR
Zauważmy, że to jest oficjalna, ziemska definicja kwadratu na gruncie KRZ.
Dowód wewnętrznej sprzeczności KRZ jest tu oczywistością bo w poprzedniku p mamy tu miękką jedynkę (dowód wyżej) a nie twardą jedynkę wymaganą definicją zdania warunkowego „Jeśli p to q” w KRZ o czym mówi ziemskie guru logiki matematycznej Bertrand Russell w cytacie wyżej.
Oczywistym jest, że definicja kwadratu DKW jest spełniona tylko i wyłącznie na gruncie algebry Kubusia, bo spełniony jest tu algorytm Puchacza:
Dowód:
DKW.
Jeśli czworokąt jest kwadratem to ma wszystkie kąty proste i boki równe
KW=>KP*BR
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWC - zbiór wszystkich figur czworokątów
Po stronie poprzednika p mamy:
p=[czworokąt jest kwadratem] =[kwadrat] =1 - miękka jedynka, zbiór niepusty
~p=~[czworokąt jest kwadratem] =[czworokąt nie jest kwadratem] =[np. trapez] =1 - miękka jedynka, zbiór niepusty
Po stronie następnika q mamy:
q =[czworokąt który ma wszystkie kąty proste i boki równe] =[kwadrat] =1 - miękka jedynka, zbiór niepusty
~q=~[czworokąt który ma wszystkie kąty proste i boki równe]=[czworokąt która nie ma wszystkich kątów prostych i boków równych] = [np. trapez] =1 - miękka jedynka, zbiór niepusty
Jak widzimy, wszystkie możliwe przeczenia p i q {p, q, ~p, ~q} są tu zbiorami niepustymi, co oznacza, iż spełniony jest punkt 3 w algorytmie Puchacza, zatem zdanie DKW jest analizowalne przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
cnd
Algorytm Puchacza (pkt. 2.11):
1.
W zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" przeznaczonym do analizy lokalizujemy p i q z pominięciem przeczeń, zgodnie z prawem Kłapouchego bez analizy czy zdanie w oryginale jest prawdziwe/fałszywe.
Prawo Kłapouchego lokalizuje nas w kolumnie A1B1, gdzie mamy brak zaprzeczonego poprzednika p.
Prawo Kłapouchego jest tożsame z otwarciem drzwiczek pudełka z kotem Schrödingera (pkt. 5.4.1)
2.
Poprzednik p i następnik q muszą spełniać definicję wspólnej dziedziny D zarówno dla p jak i dla q
Definicja dziedziny D dla p:
p+~p =D =1
p*~p=[] =0
Definicja tej samej dziedziny D dla q:
q+~q =D =1
q*~q =[] =0
3.
Zbiory/zdarzenia p, q, ~p, ~q muszą być niepuste, bowiem z definicji nie możemy operować na zbiorach/zdarzeniach pustych (pkt 12.2)
4.
Zdania warunkowe "Jeśli p to q" które nie spełniają punktów 1,2,3 są matematycznie fałszywe.
30.4 Dowód wewnętrznej sprzeczności w definicjach kwadratu i prostokąta
Zacznijmy od podręcznikowych definicji kwadratu i prostokąta.
[link widoczny dla zalogowanych]
1.
Definicja kwadratu:
Kwadratem nazywamy czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i boki równa
KW=PK*BR
[link widoczny dla zalogowanych]
2.
Definicja prostokąta:
Prostokątem nazywamy czworokąt, który ma wszystkie kąty proste.
PR=KP
Zobaczmy na diagramie jak wygląda tu pole bitwy:
| Kod: |
D1
--------------------------------------------------------------------
| Definicja kwadratu |Definicja prostokąta nie będącego kwadratem |
| KW=KP*BR | PNK=KP*~BR |
| |Zauważmy że: |
| | PR=Dziedzina (zbiór wszystkich prostokątów) |
| | Stąd:
| | ~KW=[PR-KW]=[KW+PNK-KW]=PNK |
| | |
--------------------------------------------------------------------
| Prostokąt to zbiór wszystkich prostokątów ZWP (dziedzina) |
| ZWP = PR = KW+PNK = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR)=KP |
| ZWP = PR = KP |
| Gdzie: |
| KP (kąty proste) to wspólna cecha KW i ~KW=PNK |
--------------------------------------------------------------------
|
Na mocy diagramu D1 zapisujemy brakującą tu, precyzyjną definicję prostokąta nie będącego kwadratem.
3.
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem (PNK):
Prostokąt nie będący kwadratem (PNK) to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PNK=KP*~BR
Uwaga:
W całej planimetrii są zaledwie dwa czworokąty należące dziedziny prostokątów PR jak na diagramie D1:
1: KW=PK*BR - kwadrat
2: PNK=KP*~BR - prostokąt nie będący kwadratem
Gdzie:
KW ## PNK ## PR=ZWP
## - różne na mocy definicji
Przyjmijmy znaczenie zapisów ogólnych:
p=KP (katy proste)
q=BR (boki równe)
Dowód:
1.
Definicja kwadratu (KW)
Y = (KW)=KP*BR
To samo w zapisach ogólnych:
Y = (KW) = p*q
##
2.
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem (PNK)
Y=(PNK)=KP*~BR
To samo w zapisach ogólnych:
Y = (PNK) =p*~q
##
3.
Definicja prostokąta (PR)
Y =(PR)=KP
To samo w zapisach ogólnych:
Y = (PR) =p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice (tu dodatniej bo Y) są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame.
Doskonale widać, że między definicjami 1, 2 i 3 definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona.
Z diagramu D1 wynika, że dziedzina minimalna obowiązująca w D1 to:
ZWP - zbiór wszystkich prostokątów.
ZWP= PR = [KW, PNK]
Z diagramu D1 wynika też, że:
1.
Zaprzeczeniem zbioru KW w dziedzinie PR jest zbiór PNK
~KW = [ZWP-KW] = [KW,PNK - KW] =PNK
2.
Zaprzeczeniem zbioru PNK w dziedzinie PR jest zbiór KW
~PNK=[ZWP-PNK]=[KW,PNK-PNK] = KW
Fakty te doskonale widać na diagramie D1 wyżej.
Zadajmy sobie teraz trywialne pytanie:
Do jakiego zbioru należy czworokąt nie będący kwadratem?
Na mocy diagramu D1 mamy odpowiedź:
Czworokąt nie należący do zbioru kwadratów (~KW) należy do zbioru prostokątów nie będących kwadratami (PNK)
~KW = PNK
Dowód w punkcie 1 wyżej.
Finał, czyli dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskich definicji w temacie kwadratu i prostokąta.
Pani w I klasie LO:
Jasiu, do jakiego zbioru należy czworokąt nie będący kwadratem
Jaś na gruncie znanych mu definicji (KW i PR) odpowiada:
Prostokąt nie będący kwadratem należy do zbioru wszystkich prostokątów PR o definicji:
PR = KP
Zauważmy, że w tym momencie mamy tu sprzeczność czysto matematyczną.
Dowód:
Pani pytała o czworokąt nie będący kwadratem
Odpowiedź Jasia iż jest to prostokąt PR jest matematycznie błędna bo:
PR= KW+PNK
Jak widzimy zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWP zwany w matematyce ziemian prostokątem (PR) zawiera w sobie zbiór kwadratów (KW) - a pytanie było o czworokąt który nie należy do zbioru kwadratów.
Wniosek:
Wewnętrzna sprzeczność ziemskiej matematyki na poziomie 5 klasy SP została udowodniona.
Analogiczne pytania z zakresu matematyki na poziomie szkoły podstawowej (7 klasa).
1.
Pani:
Jasiu, do jakiego zbioru należy trójkąt nie będący trójkątem prostokątnym?
Odpowiedź Jasia (błędna):
Trójkąt nie będący trójkątem prostokątnym ~(TP) należy do zbioru wszystkich trójkątów (ZWT)
Odpowiedź poprawna:
Trójkąt nie będący trójkątem prostokątnym ~(TP) należy do zbioru trójkątów nieprostokątnych ~TP
ZWT = TP+~TP
~TP = [ZWT-TP]=[TP+~TP -TP] = ~TP
Gdzie:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów (dziedzina)
cnd
2.
Pani:
Jasiu, do jakiego zbioru należy człowiek nie będący mężczyzną?
Odpowiedź Jasia (błędna):
Człowiek nie będący mężczyzną ~(M) należy do zbioru wszystkich ludzi (C)
Odpowiedź poprawna:
Człowiek nie będący mężczyzną ~(M) należy do zbioru kobiet (K)
C = M+K
~M=[C-M]=[M+K - M] =[K]
Gdzie:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
cnd
etc.
30.4.1 Kubusiowa propozycja skorygowania definicji kwadratu i prostokąta
Kubusiowa propozycja definicji w temacie kwadratu (KW) i prostokąta (PR) jest następująca.
| Kod: |
DK Kubusiowe definicje wszystkich możliwych prostokątów ZWP
--------------------------------------------------------------------
| Definicja kwadratu |Definicja prostokąta |
| KW=KP*BR |PR=KP*~BR |
| |Innymi słowy: |
| |Definicja prostokąta nie będącego kwadratem |
| |PNK=PR=KP*~BR |
| |Zauważmy że: |
| |~KW=PR - w dziedzinie ZWP |
--------------------------------------------------------------------
| ZWP - Zbiór wszystkich możliwych prostokątów (dziedzina) |
| ZWP=KW+PR = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR)=KP |
| ZWP=KP |
| Gdzie: |
| KP (kąty proste) to wspólna cecha kwadratu KW i prostokąta PR |
| Zauważmy że: |
| ~KW=[ZWP-KW]=[KW+PR-KW]=PR - w dziedzinie ZWP |
--------------------------------------------------------------------
|
Zauważmy, że na podstawie Kubusiowych definicji kwadratu (KW) i prostokąta (PR) znane każdemu matematykowi zdanie:
Każdy kwadrat (KW) jest prostokątem (PR)
jest zdaniem fałszywym
Zdanie matematycznie poprawne to:
Każdy kwadrat jest podzbiorem => wszystkich możliwych prostokątów
KW=>ZWP=[KW,PR]
Matematycznie zachodzi tożsamość [=] pojęć:
Definicja prostokąta: PR=KP*~BR [=] Definicja prostokąta nie będącego kwadratem: PR=KP*~BR
Zauważmy, że zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWP jest w matematyce nieprzydatny, bo wszelkie obliczenia matematyczne wykonujemy na elementach zbiorów a nie na zbiorach.
Stąd pojęcie długie i precyzyjne „definicja prostokąta nie będącego kwadratem” możemy skrócić do pojęcia „definicja prostokąta” i dokładnie tak jest to w całej matematyce [b]w praktyce rozumiane.
Innymi słowy:
Ludzkość tzn. uczniowie i nauczyciele mówiąc „prostokąt” mają na myśli (podświadomie) „prostokąt nie będący kwadratem” … i bez znaczenie jest tu jak sobie ten prostokąt zdefiniowali średniowieczni matematycy, nie znający algebry Kubusia.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„rysunek prostokąta”
Widzimy całą masę prostokątów o definicji PR=KP*~BR i ani praktycznie ani jednego kwadratu o definicji KW=KP*BR
Po Kubusiowej korekcie stan faktyczny w obrębie definicji kwadratu (KW) i prostokąta (PR) będzie następujący.
1.
Definicja kwadratu:
Kwadrat (KW) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i boki równe (BR)
KW=KP*BR
##
2.
Definicja prostokąta:
Prostokąt (PR) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i nie równe boki (~BR)
PR=KP*~BR
##
3.
Definicja zbioru wszystkich prostokątów:
Zbiór wszystkich prostokątów (ZWP) to cecha wspólna kwadratu (KW) i prostokąta (PR)
ZWP=KW+PR=KP*BR+KP*~BR = KP*(BR+~BR)=KP
ZWP=KP
Komentarz:
ZWP jest tu dziedziną:
ZWP=KW+PR
ZWP=KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP
ZWP=KP
bo matematyce istnieją wyłącznie dwa czworokąty KW i PR mające wszystkie kąty proste
Uwaga:
Kąty proste (KP) to wspólna cecha zbioru wszystkich prostokątów (ZWP)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Uwaga:
W całej planimetrii są zaledwie dwa czworokąty należące dziedziny prostokątów ZWP jak na diagramie DK:
1: KW=PK*BR - kwadrat
2: PR=KP*~BR - prostokąt
Gdzie:
KW (kwadrat) ## PR (prostokąt) ## ZWP (zbiór wszystkich prostokątów)
## - różne na mocy definicji
Dowód poprawności powyższego zapisu.
Przyjmijmy znaczenie zapisów ogólnych p i q:
p=KP (katy proste)
q=BR (boki równe)
1.
Definicja kwadratu (KW)
Y = (KW)=KP*BR
To samo w zapisach ogólnych:
Y = (KW) = p*q
##
2.
Definicja prostokąta (PR)
Y=(PR)=KP*~BR
To samo w zapisach ogólnych:
Y = (PR) =p*~q
##
3.
Definicja zbioru wszystkich prostokątów (ZWP):
Y =(ZWP) =KP
To samo w zapisach ogólnych:
Y = (ZWP) =p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice (tu dodatniej bo Y) są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame.
Doskonale widać, że między definicjami 1, 2 i 3 definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona.
Komentarz:
Definicja kwadratu:
Kwadrat (KW) to czworokąt (CZ) mający wszystkie kąty proste (KP) i boki równe (BR)
KW*CZ=KP*BR
W zbiorze czworokątów interesują nas tu wyłącznie kwadraty, stąd zapis tożsamy:
KW=KP*BR - bo kwadraty (KW) są podzbiorem wszystkich możliwych czworokątów (CZ)
Zauważmy, że przy skorygowanych definicjach jak na diagramie DK nikogo nie zdziwi zdanie:
Dowolny kwadrat nie jest prostokątem
bo:
Definicja kwadratu: KW=KP*BR ## Definicja prostokąta: PR=KP*~BR
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Doskonale tu widać, że średniowieczni matematycy potwornie tu namotali, bo nie znali algebry Kubusia.
Czy warto to odkręcać wg Kubusiowej propozycji?
Zdecydowanie tak, bo inaczej pozostawimy w matematyce definicje kwadratu (KW) i prostokąta (PR) wewnętrznie sprzeczne co udowodniono w poprzednim punkcie.
Poza tym po skorygowaniu definicji czworokątów w obecnej matematyce, bo wiele z nich jest do bani (np. kwadrat i prostokąt), będziemy mieli koniec matematycznego wariatkowa (matematycznej niejednoznaczności) opisanego w punkcie 30.5.2
Fundament matematyki:
Matematyka musi być matematycznie jednoznaczna
Każdy człowiek poproszony o zdefiniowanie np. trapezu wyświetla sobie w swoim mózgu ten czworokąt i opisuje go jednoznacznie matematycznie.
Jednoznacznych opisów można przedstawić wiele z czego wynika, że poprawnych definicji trapezu również jest wiele. Najbardziej poprawną definicją jest definicja najkrótsza, minimalna.
Przykład minimalnej i jednoznacznej definicji trapezu:
Definicja trapezu:
Trapez to czworokąt który ma dokładnie jedną parę boków równoległych ale nie równych
TRAP = 1PBRNR
30.5 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej
W ziemskich podręcznikach matematyki do 5 klasy szkoły podstawowej definicje kwadratu KW i prostokąta PR są następujące.
Lekcja matematyki w ziemskiej 5 klasie ziemskiej szkoły podstawowej.
Pani:
Jasiu, podaj matematyczne definicje kwadratu i prostokąta.
Jaś:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR
| Kod: |
KW - kwadrat
a
-----------
| |
| | a
| | a=a
-----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu
|
Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste
PR=KP
Zauważmy, że definicja prostokąta u ziemian definiuje zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWP nie definiując prostokąta nie będącego kwadratem PNK!
U ziemian mamy tak:
| Kod: |
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów to:
ZWP = KW + PNK
Gdzie:
KW - kwadrat
a
-----------
| |
| | a
| | a=a
-----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu
PNK - prostokąt nie będący kwadratem
a
----------------
| |
| | b
| | b##a
----------------
## - boki są różne ## na mocy definicji prostokąta nie będącego kwadratem
U ziemian dziedzina, czyli zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWP opisany jest równaniem logicznym:
ZWP = KW+PNK
|
Na czym polega fatalny błąd definicyjny w ziemskim podręczniku do 5 klasy szkoły podstawowej?
Ziemianie w zakresie zbioru wszystkich możliwych prostokątów (ZWP) dysponują dwoma definicjami:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR
Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste
PR=KP
Teraz uwaga ziemianie:
Wasza definicja prostokąta nie definiuje kluczowego tu pojęcia - prostokąta nie będącego kwadratem PNK.
Wasza definicja prostokąta PR definiuje wspólną cechę kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PNK.
Na czym polega katastrofalny błąd definicyjny ziemskich matematyków?
Zbiór kwadratów KW i zbiór prostokątów nie będących kwadratem PNK to zbiory rozłączne w dziedzinie zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWP:
ZWP = KW+PNK
Poprawne definicje matematyczne kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PNK są następujące:
Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt, który ma wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PNK=KP*~BR
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWP to zbiór dwuelementowy gdzie elementami tego zbioru jest kwadrat KW i prostokąt nie będący kwadratem PNK.
Proszę o uwagę ziemskich matematyków po raz pierwszy:
Dopiero po zdefiniowaniu elementów zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWP w postaci kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PNK wolno wam obliczyć w sposób czysto matematyczny cechę wspólną KW i PNK którą są wszystkie kąty proste KP
Dowód:
ZWP = KW + PNK = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP
cnd
Proszę o uwagę ziemskich matematyków po raz drugi:
Jeśli chodzi o definiowanie pojęć to humaniści i 5-cio latki są o lata świetlne przed ziemskimi matematykami, którzy nie mają o tym najmniejszego pojęcia.
Dowód na przykładzie identycznym jak problem zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWP.
Definicja kobiety:
Kobieta to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem, zdolna do rodzenia dzieci
K= IŻ*JL*RD
Definicja mężczyzny:
Mężczyzna to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem, niezdolna do rodzenia dzieci
M = IŻ*JL*~RD
Zauważmy, że kluczową cechą pozwalającą humaniście i 5-cio latkowi odróżniać kobietę od mężczyzny jest pokazanie jednej, jedynej cechy, po której można odróżnić mężczyznę od kobiety - ta cecha to np. zdolność do rodzenia dzieci RD (kobieta) i niezdolność do rodzenia dzieci ~RD (mężczyzna)
Zauważmy, że dopiero po precyzyjnym zdefiniowaniu wszystkich możliwych elementów zbioru C (człowiek) możemy wyprowadzić cechę wspólną dla wszystkich ludzi.
C = K+M = IŻ*JL*RD + IŻ*JL*~RD = IŻ*JL*(RD+~RD) = IŻ*JL
Stąd mamy precyzyjną definicję człowieka C.
Definicja człowieka:
Człowiek to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem
C = IŻ*JL
Proszę o uwagę ziemskich matematyków po raz trzeci:
Wasz czysto matematyczny błąd jaki popełniacie przy definiowaniu zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWP jest w przełożeniu na definicję zbioru wszystkich ludzi C (człowiek) następujący.
Definiujecie sobie precyzyjnie kobietę, co jest odpowiednikiem definicji kwadratu KW i to jest dobre.
Definicja kobiety:
Kobieta to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem, zdolna do rodzenia dzieci
K= IŻ*JL*RD
Po czym definiujecie pojęcie człowiek (C) co jest odpowiednikiem zdefiniowania waszego zbioru wszystkich możliwych prostokątów (ZWP)
Definicja człowieka:
Człowiek to istota żywa, mówiąca ludzkim językiem
C = IŻ*JL
… i to jest niestety koniec wszystkich waszych definicji matematycznych w dziedzinie C (człowiek).
Pytanie do ziemskich matematyków jest tu następujące:
Gdzie jest definicja kobiety?
Oczywistym jest, że nie jest definicją kobiety pokazywanie wspólnej cechy kobiety (K) i mężczyzny (M) którym jest np. używanie ludzkiego języka.
Humanista i 5-cio latek kobietę od mężczyzny odróżniają jedną, jedyną cechą odróżniającą kobietę (K) od mężczyzny (M) np. zdolność do rodzenia dzieci.
Mam nadzieję, że wszyscy już zrozumieli dlaczego w definiowaniu czegokolwiek ziemscy matematycy są lata świetlne za humanistami i 5-cio latkami, ekspertami algebry Kubusia.
Ziemscy matematycy po prostu nie rozumieją algebry Kubusia, której naturalnymi ekspertami są humaniści i 5-cio latki.
Wszystkiemu winne jest najbardziej śmierdzące gówno jakie człowiek w swej historii wymyślił „implikacja materialna” - ciekawe czy i kiedy ziemscy matematycy to zrozumieją?
Definicja normalnego matematyka:
Normalny matematyk jeśli ma do czynienia ze zbiorem małym którego elementy łatwo jednoznacznie zdefiniować najpierw definiuje te elementy, i dopiero po tym fakcie wyprowadza w sposób czysto matematyczny cechy wspólne tych elementów.
Fragment oficjalnego programu nauczania matematyki w 5 klasie szkoły podstawowej:
[link widoczny dla zalogowanych]
Klasa 5
IX.
Wielokąty, koła i okręgi. Uczeń:
4) rozpoznaje i nazywa: kwadrat, prostokąt, romb, równoległobok i trapez;
XI.
Obliczenia w geometrii. Uczeń:
2) oblicza pola: trójkąta, kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku, trapezu, przedstawionych na rysunku
Pytanie do ziemskich matematyków:
W jaki sposób uczeń ma obliczyć pole prostokąta skoro w ziemskim podręczniku matematyki oficjalna definicja prostokąta to zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWP w postaci kwadratu KW i prostokąta nie będącego kwadratem PNK.
ZWP = KW+PNK
W jaki sposób można policzyć pole zbioru wszystkich możliwych prostokątów?
Dlaczego mimo tak katastrofalnego błędu definicyjnego w obszarze zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWP matematyka działa?
Odpowiedź:
Mózg człowieka ma w głębokim poważaniu ziemską, oficjalną definicję prostokąta PR rozumianą jako zbiór wszystkich możliwych prostokątów:
PR = KW+PNK = KP
Wszystkie zadania matematyczne mówiące o prostokącie de facto mówią o prostokącie nie będącym kwadratem PNK, czyli prostokącie o różnych bokach a i b.
Dowód:
Pewne jest, że nikt nie znajdzie zadania matematycznego dotyczącego prostokąta gdzie na obrazku narysowany jest kwadrat KW zamiast prostokąta nie będącego kwadratem PNK.
Co więcej:
Jeśli jakiś matematyczny głąb narysuje kwadrat i podpisze prostokąt, to będzie to błąd czysto matematyczny!
Dlaczego?
Bo ziemska definicja prostokąta PR jest tożsama ze zbiorem wszystkich możliwych prostokątów ZWP o definicji:
PR = ZWP = KW + PNK = KP
Gdzie:
Definicja kwadratu:
Kwadrat (KW) to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i boki równe (BR)
KW=KP*BR
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem PNK to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)
PNK=KP*~BR
Stąd:
ZWP=KW+PNK = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP
ZWP =KP
Stąd mamy:
Definicja zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWP:
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWP to zbiór czworokątów mających wszystkie kąty proste (KP)
ZWP = KW + PNK = KP
Podsumowując:
Jeśli uczeń dostanie od ziemskiej pani matematyczki polecenie.
Jasiu narysuj prostokąt wedle ziemskiej definicji:
PR=KP - prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP)
To Jaś musi narysować na tablicy zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWP, czyli kwadrat KW oraz prostokąt nie będący kwadratem PNK.
ZWP = KW + PNK = KP
Jeśli Jaś nie wykona na tablicy dwóch rysunków KW (kwadratu) i PNK (prostokąta nie będącego kwadratem) to powinien od pani matematyczki dostać pałę.
Pokazuję i objaśniam dlaczego Jaś na polecenie pani matematyczki „narysuj prostokąt” musi narysować dwa czworokąty KW (kwadrat) i PNK (prostokąt nie będący kwadratem).
1.
Załóżmy że, że jako pierwszy czworokąt Jaś rysuje kwadrat:
| Kod: |
Definicja kwadratu KW:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP)
i wszystkie boki równe (BR)
KW=KP*BR
a
-----------
| |
| | a
| | a=a
-----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu
|
Matematycznie ewidentnie tu zachodzi:
KW = KP*BR ## ZWP=KP
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Jaś rysując kwadrat nie narysował jeszcze zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWP:
ZWP = KP
2.
Aby usunąć znaczek różne na mocy definicji ## Jaś musi do kompletu dorysować prostokąt nie będący kwadratem PNK:
| Kod: |
Definicja prostokąta nie będącego kwadratem PNK:
Prostokąt nie będący kwadratem PNK to czworokąt
mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)
PNK=KP*~BR
a
----------------
| |
| | b
| | b##a
----------------
## - boki są różne ## na mocy definicji prostokąta nie będącego kwadratem
|
3.
Dopiero jak na tablicy będą widniały oba czworokąty KW oraz PNK Jaś może zapisać.
Definicja zbioru wszystkich możliwych prostokątów ZWP:
Zbiór wszystkich możliwych prostokątów ZWP to zbiór czworokątów mających wszystkie kąty proste (KP)
ZWP = KW + PNK = KP*BR + KP*~BR = KP*(BR+~BR) = KP
Podsumowując:
Tylko i wyłączne za dwa kompletne czworokąty narysowane na tablicy KW plus PNK Jaś ma prawo dostać ocenę: 5.
W każdym innym przypadku Jaś musi dostać pałę: 2
cnd
Pytanie do ziemskich matematyków:
Która pani matematyczka o tym wie?
W którym ziemskim podręczniku matematyki o tym pisze?
30.5.1 Definicje czworokątów w 100-milowym lesie
Definicja definicji:
Dowolna definicja musi być jednoznaczna w całym Uniwersum
Gdzie:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka
Innymi słowy:
Definicje podstawowe wszystkich czworokątów muszą być jednoznaczne w całym Uniwersum.
Dopiero na bazie poprawnych definicji wszystkich czworokątów możemy sobie tworzyć zbiory w oparciu o dowolne kryterium, ani grama wcześniej.
Zobaczmy jak wyglądają definicje najważniejszych czworokątów w podręczniku matematyki do 5 klasy szkoły podstawowej w 100-milowym lesie.
1. Definicja kwadratu:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i wszystkie boki równe (BR)
KW = KP*BR
| Kod: |
a
-----------
| |
| | a
| | a=a
-----------
a=a - boki są tożsame na mocy definicji kwadratu
|
2. Definicja prostokąta:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste (KP) i nie wszystkie boki równe (~BR)
PR=KP*~BR
3. Definicja rombu:
Romb to czworokąt, którego wszystkie boki są równe ale nie wszystkie kąty są proste
RB=~KP*BR
4. Definicja równoległoboku:
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równoległe ale nie równe, i nie ma wszystkich kątów są prostych
ROWN=2BPRNR*~KP
5. Definicja trapezu:
Trapez to czworokąt który ma dokładnie jedną parę boków równoległych ale nie równych
TRAP = 1PBRNR
Rodzaje trapezów:
5a Trapez równoramienny:
Trapez równoramienny to trapez który ma dwa ramiona równe (c=d)
5b Trapez prostokątny
Trapez prostokątny to trapez, którego jedno ramię tworzy kąt prosty z podstawami.
30.5.2 Przykładowy błąd definicyjny w podręczniku matematyki do 5 klasy SP
[link widoczny dla zalogowanych]
Definicja trapezu:
Trapez to czworokąt który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Powyższa definicja pasuje do przedstawionego rysunku jak pies do jeża - jest niejednoznaczna w obszarze Uniwersum, zatem matematycznie błędna.
Zauważmy bowiem, że przynajmniej jedną parę boków równoległych mają:
1. Kwadrat
##
2. Prostokąt
##
3. Romb
##
4. Równoległobok
##
5. Trapez
Gdzie:
## - czworokąty różne na mocy definicji
Poprawna definicja powyższego zbioru powinna brzmieć.
Definicja zbioru wszystkich możliwych trapezów ZWT:
Zbiór wszystkich możliwych trapezów (ZWT) to zbiór czworokątów mających przynajmniej jedną parę boków równoległych.
Sensowne pytanie pani matematyczki to:
Jasiu, wymień czworokąty należące do zbioru wszystkich możliwych trapezów ZWT.
Poprawna odpowiedź to wymienienie wszystkich pięciu czworokątów.
W dzisiejszej matematyce uczeń 5 klasy szkoły podstawowej może się bawić z panią matematyczną w ciuciubabkę.
Dowód:
Pani matematyczna w 5 klasie szkoły podstawowej.
Jasiu, narysuj na tablicy trapez.
Jaś rysuje kwadrat o definicji z algebry Kubusia:
Kwadrat to czworokąt mający wszystkie kąty proste i wszystkie boki równe
KW=KP*BR
Pani:
Nie o ten trapez mi chodziło, narysu inny trapez.
Jaś rysuje prostokąt o definicji z algebry Kubusia:
Prostokąt to czworokąt mający wszystkie kąty proste i nie wszystkie boki równe
PR=KP*~BR
Pani:
Nie o ten trapez mi chodziło, narysu inny trapez.
Jaś rysuje romb o definicji z algebry Kubusia:
Romb to czworokąt, którego wszystkie boki są równe ale nie wszystkie kąty są proste
RB=~KP*BR
Pani:
Nie o ten trapez mi chodziło, narysu inny trapez.
Jaś rysuje równoległobok o definicji z algebry Kubusia:
Równoległobok to czworokąt w którym przeciwległe boki są parami równoległe ale nie równe, i nie ma wszystkich kątów są prostych
ROWN=2BPRNR*~KP
Pani:
Nie o ten trapez mi chodziło, narysu inny trapez.
W tym momencie Jaś się wkurzył:
Skąd do jasnej cholery mam wiedzieć jaki trapez miała pani na myśli, skoro definicja trapezu w moim podręczniku do matematyki definiująca trapez jako:
Trapez to czworokąt który ma przynajmniej jedną parę boków równoległych.
jest totalnie spieprzona tzn. nie definiuje wszystkich możliwych czworokątów różnych na mocy definicji ## w sposób precyzyjny.
W zakresie definiowania dowolnych pojęć ziemscy matematycy są lata świetlne za humanistami którzy doskonale wiedzą że poprawna definicja czegokolwiek musi być jednoznaczna w całym Uniwersum
Uniwersum - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych przez człowieka.
W praktyce są tu wyjątki.
Przykłady:
1.
W języku polskim
może ## morze
Gdzie
## - różne na mocy definicji
Tu różność tych pojęć wynika z pisowni lub z kontekstu
2.
Bramka piłkarska ## bramka wejściowa na lotnisku ## bramka logiczna
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Tu różność pojęcia „bramka” wynika z kontekstu
Ostatnie pojęcie „bramka logiczna” to typowe zapożyczenie pojęcia „bramka” dla potrzeb określonej teorii w naukach ścisłych.
Oczywistym jest, że pojęcie „bramka logiczna” będzie znane wyłącznie wąskiej grupie ludzi, elektronikom, którzy zajmują się bramkami logicznymi.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 18:47, 05 Cze 2024, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 18:48, 05 Cze 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
31.0 Armagedon ziemskich logik matematycznych
Spis treści
31.0 Armagedon ziemskich logik matematycznych 1
31.1 Definicja i obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” w KRZ 2
31.1.1 Fundamentalna różnica między algebrą Kubusia a KRZ 4
31.2 Analiza zdania warunkowego A1: P=>CH na gruncie KRZ 4
31.2.1 Irbisol, fanatyk KRZ uczy 5-cio latków logiki matematycznej po raz pierwszy 6
31.3 Prawo Irbisa 7
31.3.1 Obalenie dogmatu Irbisola 9
31.3.2 Irbisol, fanatyk KRZ uczy 5-cio latków logiki matematycznej po raz drugi 10
31.4 Niezbędna teoria dla zrozumienia algebry Kubusia 12
31.4.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 12
31.4.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 13
31.4.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 13
31.5.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 14
31.4.5 Wyprowadzenie praw Kubusia 14
31.5 Finałowa dyskusja z Irbisolem 16
31.5.1 Miękkie i twarde jedynki i zera w logice matematycznej 17
31.6 Ziemska definicja implikacji 19
31.6.1 Ziemska definicja implikacji w zdarzeniach możliwych i niemożliwych 21
31.6.2 Analiza zdania Irbisola w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> 21
31.6.3 Prosiaczek sprawdza znajomość algebry Kubusia w przedszkolu 23
31.7 Tragedia ziemskiej logiki matematycznej 24
31.0 Armagedon ziemskich logik matematycznych
Dyskutując od 18 lat w temacie algebry Kubusia na różnych forach, ja Rafał3006, od zawsze byłem wściekle zwalczany przez fanatyków KRZ.
Za propagowanie algebry Kubusia wszędzie dostawałem bana: racjonalista.pl, ateista.pl, yrizona, a nawet na matematyce.pl - na szczęście na matematyce.pl był to ban na 6 miesięcy dawno temu, dzięki czemu aktualnie istnieję na matematyce,pl.
[link widoczny dla zalogowanych]
Przykład wściekłego ataku zawodowego matematyka, autora dwóch nowych teorii matematycznych, czym sam się pochwalił.
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-6475.html#793575
@matematyk szaryobywatel w dyskusji ze mną napisał:
Upośledzenie to nic śmiesznego, niemniej za zasrywanie forum swoim spamem, kompletny brak szacunku dla użytkowników do których krytyki się w ogóle nie odnosisz, tylko zasrywasz dalej tymi samymi bredniami cały czas myśląc że jesteś na tropie czegoś genialnego, powinieneś być trwale wyłączony z dyskusji.
Co do wytłuszczonego:
100% definicji w algebrze Kubusia jest innych, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej ziemskich matematyków, więc jak się mam odnosić do krytyki AK z punktu widzenia KRZ?
Odezwa do fanatyków ziemskich logik matematycznych podobnych do szarego obywatela:
Panowie, wasze pojęcie algebry Boole’a rozdmuchane do granic możliwości np. algebra Boole’a zupełna, funkcje kardynalne, kwantyfikatory i inne głupoty nie mają zastosowania w matematycznej obsłudze języka potocznego człowieka, dlatego one mnie totalnie nie interesują.
Dajcie żyć, nie zwalczajcie czegoś (algebry Kubusia), czego totalnie nie rozumiecie w stylu szarego obywatela jak wyżej.
Jeśli chcecie obalać algebrę Kubusia to zapraszam do jej czytania od A do Z.
Algebra Kubusia zostanie obalona wtedy i tylko wtedy gdy znajdziecie jedną, jedyną, wewnętrzną sprzeczność w trakcie jej czytania.
Oczywiście wszelkie niejasności póki żyję, będę wam wyjaśniał.
Rafal3006
31.1 Definicja i obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” w KRZ
Opracowano na bazie dyskusji z Irbisolem od tego momentu:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-6900.html#797497
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Zacznijmy od warunku niesprzeczności w logice matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań podanego przez Bertranda Russella.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wynurzenia z Szamba
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości?
Cytat (s. 226)
Bertrand Russell:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej (KRZ) jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz
Na mocy warunku niesprzeczności KRZ podanego przez Bertranda Russella działanie Klasycznego Rachunku Zdań w obsłudze wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” jest następujące.
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja implikacji p=>q w KRZ:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 1 =1
0 0 =1
|
Matematycznego potwora którego nie sposób zrozumieć, zwanego dla niepoznaki Klasycznym Rachunkiem Zdań znajdziemy w każdym podręczniku matematyki do I klasy LO
Dowód iż KRZ to gwałt na rozumku każdego 5-cio latka to przykładowe zdania tu prawdziwe:
1: Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
2: Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
3: Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Dowód na serio prawdziwości zdania 1 znajdziemy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
Dowód na serio prawdziwości zdania 2 znajdziemy w podręczniku matematyki do I klasy LO:
[link widoczny dla zalogowanych]
Komentarz do zdania 3 znajdziemy w Delcie'2013:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zobaczmy w praktyce jak działa Klasyczny Rachunek Zdań w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Ad.1
1.
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
p=2+5=5 =[] =0 - zbiór pusty, twarde zero
q=[jestem papieżem] =[] =0 - zbiór pusty twarde zero
Stąd na gruncie KRZ mamy rozstrzygnięcie iż implikacja 1 jest prawdziwa:
p=>q = 0=>0 =1 - na mocy tabeli zero-jedynkowej ziemskiej implikacji
Ad.2
2.
Jeśli pies ma 8 łap to Księżyc krąży wokół Ziemi
p=[pies ma 8 łap]= []=0 - zbiór pusty, twarde zero
q=[Księżyc krąży wokół Ziemi] =1 - twarda jedynka
Stąd na gruncie KRZ mamy rozstrzygnięcie iż implikacja 2 jest prawdziwa:
p=>q = 0=>1 =1 - na mocy tabeli zero-jedynkowej ziemskiej implikacji
Ad. 3
3a.
Jeśli dwa plus dwa równa się cztery to Płock leży nad Wisłą
p=[Dwa plus dwa równa się cztery] =1 - twarda jedynka
q=[Płock leży nad Wisłą] =1 - twarda jedynka
Stąd na gruncie KRZ mamy rozstrzygnięcie iż implikacja 3a jest prawdziwa:
p=>q = 1=>1 =1 - na mocy tabeli zero-jedynkowej ziemskiej implikacji
Twierdzenie odwrotne do 3a
3b
Jeśli Płock leży nad Wisłą to dwa plus dwa równa się cztery
q= [Płock leży nad Wisłą] =1 - twarda jedynka
p=[Dwa plus dwa równa się cztery] =1 - twarda jedynka
Stąd na gruncie KRZ mamy rozstrzygnięcie iż implikacja 3b jest prawdziwa:
q=>p = 1=>1 =1 - na mocy tabeli zero-jedynkowej ziemskiej implikacji
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesna prawdziwość twierdzenia prostego p=>q i odwrotnego q=>p
Stąd mamy dowód poprawności równoważności p<=>q z podręcznika matematyki do I klasy LO:
3
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
p<=>q = (3a: p=>q)*(3b: q=>p) =1*1=1
W ten oto sposób udowodniliśmy na gruncie KRZ prawdziwość równoważności 3 z podręcznika matematyki do I klasy LO
Z punktu widzenia poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, wszystkie powyższe przykłady to gwałt na rozumku każdego człowieka, żadna matematyka - dowód za chwilkę.
31.1.1 Fundamentalna różnica między algebrą Kubusia a KRZ
KRZ:
Wedle gówna zwanego KRZ zdanie warunkowe "Jeśli p to q" to zlepek dwóch zdań twierdzących o znanej z góry wartości logicznej p i q w postaci twardej jedynki lub twardego zera, bowiem wtedy i tylko wtedy na gruncie KRZ możemy określić prawdziwość/fałszywość zdania warunkowego "Jeśli p to q"
Algebra Kubusia:
W algebrze Kubusia, zdanie warunkowe "Jeśli p to q" spełnia algorytm Puchacza wtedy i tylko wtedy gdy p i q we wszystkich możliwych przeczeniach {p, q, ~p, ~q} są zdarzeniami/zbiorami niepustymi.
Dowolne zdanie które nie spełnia algorytmu Puchacza, jest w algebrze Kubusia fałszywe, z powodu nie spełnienia algorytmu Puchacza.
31.2 Analiza zdania warunkowego A1: P=>CH na gruncie KRZ
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
W obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” ziemska logika matematyczna obligatoryjnie korzysta z prawa eliminacji implikacji
Y = (p=>q) =~p+q
Spójrzmy na zero-jedynkową definicję ziemskiej implikacji p=>q.
| Kod: |
ZI
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
p q Y=(p=>q)=~p+q | Y=(p=>q)=~p+q
A: 1 1 =1 | p* q =1
B: 1 0 =0 | p*~q =0
C: 0 0 =1 |~p*~q =1
D: 0 1 =1 |~p* q =1
1 2 3 4 5 6
Podstawa zapisu symbolicznego
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
|
Zauważmy, że w aktualnej logice matematycznej wystarczy cokolwiek zapisać w formie zdania warunkowego „Jeśli p to q” i już na mocy definicji mamy do czynienia z implikacją p=>q o zero-jedynkowej definicji zawartej w tabeli ziemskiej implikacji ZI.
Weźmy najprostszy przykład pasujący w 100% do ziemskiej implikacji:.
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH=?
Polecenie:
Zbadaj czy powyższe zdanie spełnia definicję ziemskiej implikacji.
Na mocy definicji ziemskiej implikacji ZI sam fakt wystąpienia spójnika „Jeśli p to q” determinuje, iż jest to implikacja.
Dla zdania A mamy:
p=P(pada)
q=CH(chmury)
Podstawmy nasz przykład do zero-jedynkowej definicji ziemskiej implikacji:
| Kod: |
ZIP - ziemska definicja implikacji, przykład
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
P CH Y=~P+CH | Y=(P=>CH)=~P+CH
A: 1 1 =1 | P* CH =1 -zdarzenie możliwe (1): pada i są chmury
B: 1 0 =0 | P*~CH =0 -zdarzenie niemożliwe (0): pada i nie ma chmur
C: 0 0 =1 |~P*~CH =1 -zdarzenie możliwe (1): nie pada i nie ma chmur
D: 0 1 =1 |~P* CH =1 -zdarzenie możliwe (1): nie pada i są chmury
1 2 3 4 5 6
|
Zauważmy, że rozpiska zdania warunkowego A1 w tabeli ZIP to w istocie skorzystanie ze znanego każdemu matematykowi prawa eliminacji implikacji p=>q:
Y = (p=>q) = ~p+q
Nasz przykład:
Y = (P=>CH) = ~P+CH
Jak widzimy z prawej strony tożsamości nie mamy tu do czynienia ze zdaniem warunkowym „Jeśli p to q” lecz z operatorem „lub”(p|+q).
Pdsumowując:
Na mocy tabeli prawdy ZIP mamy następujący opis zdania warunkowego:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH=1
w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) w równaniu logicznym w zdarzeniach niepustych i rozłącznych A, C i D:
A1: P=>CH = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
31.2.1 Irbisol, fanatyk KRZ uczy 5-cio latków logiki matematycznej po raz pierwszy
W tym momencie Irbisol mówi do rafała3006:
Chodźmy do przedszkola, tam udowodnię ci piękno Klasycznego Rachunku Zdań.
Pani w przedszkolu:
Drogie dzieci, wybitny znawca logiki matematycznej Irbisol, będzie was teraz uczył logiki matematycznej znanej każdemu ziemskiemu matematykowi, zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Irbisol:
Weźmy na początek zdanie które doskonale rozumie każde z was:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
P=>CH =1
Może ktoś wie co oznacza to zdanie?
Jaś (lat 5):
Pewnie że wiemy, to zdanie zna każdy 5-cio latek, a oznacza ono że:
Padanie (P) daje nam gwarancję => istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury.
Irbisol:
Drogie dziecko, tak jest w twoim ptasim móżdżku.
Logika matematyczna zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań mówi tu co innego.
Zaciekawiony Jaś (lat 5):
Proszę nam opowiedzieć, co ma do powiedzenia pana logika matematyczna w tym temacie.
Irbisol:
Dobrze opowiadam na przykładach.
Pytanie A
Czy zdanie warunkowe A1: P=>CH jest prawdziwe dla przypadku: pada (P) i jest pochmurno (CH)
Jaś:
Oczywiście że jest, każdy głupi to wie
Irbisol:
Bardzo bobrze Jasiu
Pytanie C
Czy zdanie warunkowe A1: P=>CH jest prawdziwe dla przypadku: nie pada (~P) i nie ma chmur (~CH)?
Jaś:
Dla tego przypadku zdanie A1: P=>CH jest fałszywe (=0), bo w zdaniu A1 w poprzedniku mamy zastrzeżenie:
„Jeśli juro będzie padało …”
Zatem zdanie A1 jest fałszywe (=0) dla przypadku: nie pada (~P) i nie ma chmur (~CH)?
Irbisol:
Niestety Jasiu, widzę, że niejaki Kubuś potwornie wyprał twój biedny mózg.
Matematyczna prawda w jedynej poprawnej logice matematycznej zwanej KRZ jest taka:
Zdanie A1: P=>CH jest prawdziwe (=1) dla przypadku: nie pada (~P) i nie jest pochmurno (~CH)
Pytanie D
Czy zdanie warunkowe A1: P=>CH jest prawdziwe dla przypadku: nie pada (~P) i są chmury (CH)?
Zuzia (lat 5)
Dla tego przypadku zdanie A1: P=>CH jest fałszywe (=0), bo w zdaniu A1 w poprzedniku mamy zastrzeżenie:
„Jeśli juro będzie padało …”
Zatem zdanie A1 jest fałszywe dla przypadku: nie pada (~P) i i są chmury (CH)
Irbisol:
Oj biedne, nieszczęśliwe dzieci - teraz już jestem pewien, przede mną był w waszym przedszkolu niejaki Kubuś, totalny debil logiki matematycznej.
Irbisol do pani przedszkolanki:
Dlaczego przede mną wpuściła pani do swojego przedszkola tego debila Kubusia, przecież potwornie wyprał mózgi pani dzieci z jedynej poprawnej logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań obowiązującej w naszym Wszechświecie.
Pani przedszkolanka:
Po pierwsze:
Nie było tu przed panem żadnego Kubusia.
Po drugie:
Podzielam zdanie moich dzieci w temacie obsługi zdania warunkowego A1: P=>CH
Po trzecie:
Won z mojego przedszkola, nie pozwolę by jakieś swoje prywatne gówna wciskał pan do mózgów moich dzieci.
Po czwarte:
…. pani z wciekłością kopie Irbisola w cztery litery a ten wylatuje przez otwarte na jego szczęście okno.
31.3 Prawo Irbisa
Prawo Irbisa to jedno z najważniejszych praw logiki matematycznej nazwane na cześć Irbisola, który bez mrugnięcia okiem zaakceptował je wieki temu.
Prawo Irbisa:
Dwa pojęcia/zdarzenia/zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: q=>p) =1*1=1
Zauważmy, że prawo Irbisa obowiązuje w równoważności Pitagorasa:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tyko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK.
Równoważność Pitagorasa:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Nasz punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=TP
q=SK
Stąd mamy równoważność Pitagorasa w zapisie formalnym (ogólnym):
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1
Dowód:
1.
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Matematyczne znaczenie twierdzenia prostego Pitagorasa:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby w trójkącie tym zachodziła suma kwadratów wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
##
2.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
SK=>TP =1
To samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Matematyczne znaczenie twierdzenia odwrotnego Pitagorasa:
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by trójkąt ten był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP.
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji
Na mocy powyższego zapisujemy tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = spełniona relacja podzbioru =>
Podsumowanie:
Zauważmy, że równoważność Pitagorasa w zapisie formalnym (ogólnym) p<=>q to znana każdemu matematykowi definicja tożsamości zbiorów p=q
Prawo Irbisa w wersji tożsamej:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i równocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q
cnd
31.3.1 Obalenie dogmatu Irbisola
Dogmat Irbisola
Warunek wystarczający => = implikacja => rodem z KRZ
Zauważmy, że lewa strona tożsamości lokuje Irbisola w algebrze Kubusia bo definicję warunku wystarczającego => rozumiemy identycznie, o czym było w punkcie wyżej.
Rafał3006:
Irbisolu, podaję ci twardy dowód na piśmie, iż ziemscy matematycy nie znają analizy dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” z użyciem innych zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Post z początków rozszyfrowywania algebry Kubusia, gdy ta jeszcze niemowlęciem była:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-25.html#69416
Wysłany: Nie 0:09, 02 Lis 2008
@Volrath
Rozważmy zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=?
| Kod: |
Wiemy, że:
A: P i 4L = 1 (pies)
B: P i ~4L = 0 (brak psów bez 4 łap)
C: ~P i ~4L = 1 (mrówka)
D: ~P i 4L = 1 (słoń)
|
Należy zdanie sprawdzić względem każdej opcji, by stwierdzić, że zdanie P=>4L jest prawdziwe.
Na przykład:
Linia A:
Zdanie P => 4L.
Jest prawdziwe, ale nie dlatego "bo pies", ale także dlatego, bo reszta (mrówka, słoń i nie pies bez 4 łap).
Linia C:
Czy zdanie P => 4L jest prawdziwe dla mrówek?
Mrówka = ~P i ~4L.
P => 4L dla 0 0 (bo ~P i ~4L) jest prawdziwe. Więc jest spełnione dla mrówek.
Linia D:
Dla słoni?
Analogicznie dla 0 1 (~P i 4L) jest prawdziwe.
O psach? 1 1 jest prawdziwe (linia A)
Linia B
O psach bez 4 łap? 1 0 jest fałszywe.
Czyli zgodne z informacjami bazowymi (P i ~4L = 0).
Czyli w sumie zdanie P => 4L jest prawdziwe (bo wszystko się zgadza z bazową tabelą "wiedzy").
Irbisol do Rafała3006:
Volrath, wykładowca logiki matematycznej otworzył mi oczy!
Już nie twierdzę, że zachodzi mój dogmat:
Warunek wystarczający => = implikacja => rodem z KRZ
Rzeczywiście to jest proste jak cep, o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania „Jeśli p to q” rozstrzyga się dokładnie tak, jak opisał wykładowca logiki matematycznej Volrath.
31.3.2 Irbisol, fanatyk KRZ uczy 5-cio latków logiki matematycznej po raz drugi
Chodźmy do innego przedszkola, to niemożliwe by ten idiota Kubuś był w każdym przedszkolu tak potwornie piorąc mózgi naszym biednym dzieciom.
Pani w przedszkolu:
Drogie dzieci, wybitny znawca logiki matematycznej Irbisol, będzie was teraz uczył logiki matematycznej znanej każdemu ziemskiemu matematykowi, zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-25.html#69416
Wysłany: Nie 0:09, 02 Lis 2008
@Volrath
Rozważmy zdanie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=?
| Kod: |
Wiemy, że:
A: P i 4L = 1 (pies)
B: P i ~4L = 0 (brak psów bez 4 łap)
C: ~P i ~4L = 1 (mrówka)
D: ~P i 4L = 1 (słoń)
|
Należy zdanie sprawdzić względem każdej opcji, by stwierdzić, że zdanie P=>4L jest prawdziwe.
Irbisol:
Weźmy na początek zdanie które doskonale rozumie każde z was:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =?
Może ktoś wie co oznacza to zdanie?
Jaś (lat 5):
Pewnie że wiemy, to zdanie zna każdy 5-cio latek, a oznacza ono że:
Każdy pies ma cztery łapy
Innymi słowy:
Bycie psem (P) daje nam gwarancję =>, że mamy cztery lapy (4L)
Irbisol:
Drogie dziecko, tak jest w twoim ptasim móżdżku.
Logika matematyczna zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań mówi tu co innego.
Zaciekawiony Jaś (lat 5):
Proszę nam opowiedzieć, co ma do powiedzenia pana logika matematyczna w tym temacie.
Irbisol:
Dobrze opowiadam na przykładach.
Pytanie A
Czy zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe dla psa?
Jaś:
Oczywiście że jest, każdy głupi to wie
Irbisol:
Bardzo bobrze Jasiu
Pytanie C
Czy zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe dla zwierzątka nie będącego psem (~P) i nie mającego czterech łap (~4L)?
Jaś:
Dla tego przypadku zdanie A1: P=>4L jest fałszywe (=0), bo w zdaniu A1 w poprzedniku mamy zastrzeżenie:
„Jeśli zwierzę jest psem …”
Zatem zdanie A1 P=>4L jest fałszywe (=0) dla zwierzątka które nie jest psem (~P) i nie ma czterech łap (~4L)
Irbisol:
Niestety Jasiu, widzę, że niejaki Kubuś potwornie wyprał twój biedny mózg.
Matematyczna prawda w jedynej poprawnej logice matematycznej zwanej KRZ jest taka:
Zdanie A1: P=>4L jest prawdziwe (=1) dla wszelkich zwierzątek nie będących psami (~P) i nie mających czterech łap (~4L)
Innymi słowy:
Przykładowo zdanie warunkowe A1: P=>4L jest tu prawdziwe dla: mrówki, kury, węża, wieloryba itd.
Pytanie D
Czy zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe dla zwierzątka nie będącego psem (~P) i mającego cztery łapy (4L)?
Zuzia (lat 5)
Dla tego przypadku zdanie A1: P=>4L jest fałszywe (=0), bo w zdaniu A1 w poprzedniku mamy zastrzeżenie:
„Jeśli zwierzę jest psem …”
Zatem zdanie A1: P=>4L jest fałszywe (=0) dla dowolnego zwierzątka nie będącego psem (~P) i mającego cztery łapy (4L).
Irbisol:
Źle, źle, po trzykroć źle!
Nasza fenomenalna logika matematyczna KRZ mówi nam, że zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe (=1) dla dowolnego zwierzątka które nie jest psem (~P) i ma cztery łapy (4L), czyli jest prawdziwe dla słonia, kota, krokodyla, żyrafy itd.
Oj biedne, nieszczęśliwe dzieci - teraz już jestem pewien, również w tym przedszkolu był przede mną niejaki Kubuś, totalny debil logiki matematycznej.
Irbisol do pani przedszkolanki:
Dlaczego przede mną wpuściła pani do swojego przedszkola tego debila Kubusia, przecież potwornie wyprał mózgi pani dzieci z jedynej poprawnej logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań obowiązującej w naszym Wszechświecie.
Pani przedszkolanka:
Po pierwsze:
Nie było tu przed panem żadnego Kubusia.
Po drugie:
Podzielam zdanie moich dzieci w temacie obsługi zdania warunkowego A1: P=>4L
Po trzecie:
Won z mojego przedszkola, nie pozwolę by jakieś swoje prywatne gówna wciskał pan do mózgów moich dzieci.
Po czwarte:
…. pani z wciekłością kopie Irbisola w cztery litery a ten wylatuje przez otwarte na jego szczęście okno (niestety tym razem wylądował w pokrzywach).
Pytanie na serio do Irbisola:
Czemu tak ochoczo zgodziłeś się na wykopanie w kosmos swojego dogmatu?
Warunek wystarczający => = implikacja => rodem z KRZ
Nie musisz odpowiadać, cieszę się, że wykładowca logiki matematycznej Volrath otworzył ci oczy
31.4 Niezbędna teoria dla zrozumienia algebry Kubusia
Skrócona wersja punktu 2.2
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q
31.4.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
A1”.
Jeśli jutro będzie padać to może ~~> być pochmurno
P~~>CH = P*CH =1
Wystarczy zaobserwować jeden przypadek gdy pada i jest pochmurno i już wartość logiczna zdania A1 jest równa 1 (zdanie prawdziwe). Nie wnikamy tu czy padanie (P) jest wystarczające => dla istnienia chmur (CH)
31.4.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
To samo w zapisie ogólnym:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
p~>q =1
Czytamy:
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH) bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
31.4.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
To samo w zapisie ogólnym:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
p~>q =1
Czytamy:
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> by padało (P), bo padać może wyłącznie z chmury
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
31.5.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy warunek wystarczający A1: P=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1' (i odwrotnie)
A1'
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*~CH=0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
Dowód "nie wprost":
Na mocy definicji kontrprzykładu tego faktu nie musimy udowadniać, ale możemy, co wyżej uczyniliśmy.
Uwaga na standard w algebrze Kubusia:
Kontrprzykład dla warunku wystarczającego => A1 oznaczamy A1’
31.4.5 Wyprowadzenie praw Kubusia
Widać doskonale, że żadna pani przedszkolanka nie będzie miała problemów z wytłumaczeniem 5-cio latkom o co chodzi w definicjach znaczków {~~>, =>, ~>} gdyż zdań na poziomie odpowiednim dla przedszkolaków ilustrujących działanie tych znaczków jest nieskończenie wiele.
Minimalna znajomość teorii algebry Kubusia to powyższe definicje ze szczególnym zwróceniem uwagi na definicję kontrprzykładu oraz prawa Kubusia które łatwo wyprowadzić na mocy powyższych definicji.
I prawo Kubusia:
Związek warunku wystarczającego => z warunkiem koniecznym ~> bez zamiany p i q
p=>q = ~p~>~q
Definicja warunku wystarczającego =>:
Y = (p=>q)=~p+q
##
II prawo Kubusia:
Związek warunku koniecznego ~> z warunkiem wystarczającym => bez zamiany p i q
p~>q = ~p=>~q
Definicja warunku koniecznego ~>:
Y = (p~>q) = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne w tej samej logice (u nas w logice dodatniej bo Y) są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q mają różne kolumny wynikowe Y
W laboratorium techniki cyfrowej łatwo potwierdzić poprawność powyższej definicji znaczka ##.
Definicje znaczków => i ~>:
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Definicja znaczka ~>:
p~>q = p+~q
Dowód I prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją znaczka ~>:
(~p)~>(~q) = (~p) + ~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd
Dowód II prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Rozwijamy prawą stronę definicją znaczka =>:
(~p)=>(~q) = ~(~p) + (~q) = p+~q = p~>q
cnd
W rachunku zero-jedynkowym łatwo odkryć wszelkie zależności między warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> (pkt. 2.4)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
31.5 Finałowa dyskusja z Irbisolem
Finałowa dyskusja z Irbisolem zaczyna się od tego postu:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-7125.html#801075
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-7150.html#801221
@Irbisol
Przecież ci pisałem. Jeżeli pada, to jest pochmurno.
Irbisolu, napisałeś to, co wie każdy 5-cio latek.
Twoim zadaniem było ulokowanie powyższego zdania w zero-jedynkowej definicji implikacji znanej każdemu matematykowi - na tym poletku poległeś totalnie tzn. nie wiesz w którym kościele dzwony biją, mimo że byłeś o milimetry od rozszyfrowania w 100% algebry Kubusia.
Zupełnie cię nie rozumiem, czemu odrzuciłeś pomoc Prosiaczka w tym zakresie.
Irbisolu, mam dla ciebie radosną nowinę:
Prosiaczek widząc, że żyjesz w szambie zwanym KRZ postanowił mimo wszystko ci pomóc, choć skuteczność tej pomocy będzie zależała od ciebie tzn. czy twój mózg zdolny jest jeszcze do logicznego myślenia na poziomie 5-cio latka (dosłownie!)
Prosiaczek:
Irbisolu drogi, minimalna teoria byś zrozumiał w 100% algebrę Kubusia jest następująca.
Zapnij pasy Irbisolu, jedziemy!
tzn. wspólnie rozszyfrowujemy w 100% algebrę Kubusia na przykładzie twojego zdania:
A.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Irbisolu, zdanie bazowe o którym rozmawiamy to implikacja rodem z KRZ:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to będzie padało
CH=>P =~CH+P
Zgodnie z ziemską definicją implikacji zdanie to musisz podstawić do poniższej, zero-jedynkowej definicji implikacji.
| Kod: |
ZIP - zero-jedynkowa definicja ziemskiej implikacji, przykład
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
P CH Y=~P+CH | Y=(P=>CH)=~P+CH
A: 1 1 =1 | P* CH =1 -zdarzenie możliwe (1): pada i są chmury
B: 1 0 =0 | P*~CH =0 -zdarzenie niemożliwe (0): pada i nie ma chmur
C: 0 0 =1 |~P*~CH =1 -zdarzenie możliwe (1): nie pada i nie ma chmur
D: 0 1 =1 |~P* CH =1 -zdarzenie możliwe (1): nie pada i są chmury
1 2 3 4 5 6
|
Na mocy powyższej tabeli mamy równanie algebry Boole’a opisujące ziemską implikację P=>CH w zdarzeniach rozłącznych:
Y = (P=>CH) = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub ~P=1 i CH=1
To co wyżej to najzwyklejsza algebra Boole’a - żadna tam KRZ!
Znaczenie tego zapisu na 100% zna każdy ziemski matematyk (niestety nim nie jesteś):
Implikacja będzie prawdziwa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie dowolne ze zdarzeń niepustych i rozłącznych {A, C, D}:
A: Ya=P*CH=1*1=1 - jutro będzie padało (P=1) i będzie pochmurno (CH=1)
LUB
C: Yc=~P*~CH=1*1=1 - jutro nie będzie padało (~P=1) i nie będzie pochmurno (~CH=1)
LUB
D: Yd=~P*CH=1*1=1 - jutro nie będzie padało (~P=1) i będzie pochmurno (CH=1)
Funkcja logiczna Y (nasza implikacja) to oczywiście suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yc i Yd:
Y=Ya+Yc+Yd
Jak do tej pory zgadzamy się w 100% bo ty podlegasz pod algebrę Kubusia i nie masz żadnych szans by się od niej uwolnić.
Znaczenie wynikowych zer i jedynek w kolumnie Y zna każdy ziemski matematyk.
31.5.1 Miękkie i twarde jedynki i zera w logice matematycznej
Co więcej, matematycy znają dokładnie znaczenie wynikowych zer i jedynek w tabeli ziemskiej implikacji
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-100.html#72062
Wysłany: Śro 13:43, 10 Gru 2008
@wykładowca logiki matematycznej volrath
Niestety bazowa logika Boole'a domyślnie zakłada, że wszystkie jedynki są miękkie, a zera twarde. Tak już jest skonstruowana - jeśli z zdania wychodzi 0, to znaczy, że na pewno nie ma obiektu spełniającego to zdanie, a jeśli 1 - to może być, ale nie musi. Rozumienie, że "na pewno jest obiekt spełniający zdanie" nie mieści się w logice Boole'a.
Zauważ, że wykładowca logiki matematycznej Volrath powiedział tu 100% prawdy o ziemskiej algebrze Boole’a.
Zauważ, że jedynym twardym zerem w tabeli implikacji P=>CH jest tu twarde zero w linii B, gdzie nawet sam Pan Bóg nie wymusi jedynki.
Linie A, C i D opisane są miękkimi jedynkami tzn. dowolna z nich przyjmie wartość miękkiego zera w zależności od aktualnie zaistniałego przypadku.
Dowód:
Zapiszmy równanie algebry Boole’a opisujące ziemską implikację P=>CH:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to będzie padało
CH=>P =~CH+P
Ziemska implikacja w rozpisce na zdarzenia niepuste i rozłączne to równanie algebry Boole’a:
Y = (P=>CH) = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
Przyjmijmy za chwilę czasową cały jutrzejszy dzień.
Wtedy mamy:
Y = x*( A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH)
Gdzie:
x - dowolne ze zdarzeń niepustych i rozłącznych które jutro ma szansę zajść {A, C albo D}
Przypadek I.
Załóżmy, że jutro zajdzie zdarzenie A:
A: Ya=P*CH=1*1=1 - będzie padać (P) i będą chmury (CH), miękka jedynka
Stąd mamy:
x=P*CH
Y = x*( A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH)
Doskonale widać, że po wymnożeniu wielomianów rozkład miękkich jedynek i miękkich zer będzie tu następujący.
Zdarzenie które jutro zajdzie z założenia:
x=P*CH=1*1=1 - będzie padać (P) i będą chmury (CH), miękka jedynka
Stąd:
A: Ya = x*(P*CH) = (P*CH)*(P*CH) = P*CH =1 - miękka jedynka
C: Yc = x*(~P*~CH) = (P*CH)*(~P*~CH) =0 - miękkie zero
D: Yd = x*(~P*CH) = (P*CH)*(~P*CH) =0 - miękkie zero
Przypadek II.
Załóżmy, że jutro zajdzie zdarzenie C:
Yc=~P*~CH=1*1=1 - nie będzie padać (~P) i nie będzie pochmurno (~CH), miękka jedynka
Stąd mamy:
x=~P*~CH
Y = x*( A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH)
Doskonale widać, że po wymnożeniu wielomianów rozkład miękkich jedynek i miękkich zer będzie tu następujący.
Zdarzenie które jutro zajdzie z założenia:
x=~P*~CH - nie będzie padać (~P) i nie będzie pochmurno (~CH)
Stąd:
A: Ya = x*(P*CH) = (~P*~CH)*(P*CH) =0 - miękkie zero
C: Yc= x*(~P*~CH) = (~P*~CH)*(~P*~CH = ~P*~CH =1 - miękka jedynka
D: Yd= x*(~P*CH) = (~P*~CH)*(~P*CH) =0 - miękkie zero
Przypadek III.
Załóżmy, że jutro zajdzie zdarzenie D:
Yd=~P*CH=1*1=1 - nie będzie padać (~P) i będzie pochmurno (CH), miękka jedynka
Stąd mamy:
x=~P*CH
Y = x*( A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH)
Doskonale widać, że po wymnożeniu wielomianów rozkład miękkich jedynek i miękkich zer będzie tu następujący.
Zdarzenie które jutro zajdzie z założenia:
x=~P*CH - nie będzie padać (~P) i będzie pochmurno (CH), miękka jedynka
Stąd:
A: Ya = x*(P*CH) = (~P*CH)*(P*CH) =0 - miękkie zero
C: Yc= x*(~P*CH) = (~P*CH)*(~P*~CH) =0 - miękki zero
D: Yd= x*(~P*CH) = (~P*CH)*(~P*CH) = ~P*CH =1 - miękka jedynka
Co więcej!
Na poletku wyżej przedstawionym zachodzi tożsamość czysto matematyczna:
Warunek wystarczający => rodem z AK = implikacja => rodem z KRZ
Dowód:
Definicja warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia:
p=>q = ~p+q
Definicja implikacji => rodem z KRZ:
p=>q = ~p+q
cnd
W czym tu jest problem?
Korzystanie z ziemskiego prawa eliminacji implikacji =>:
p=>q = ~p+q
Jak również z prawa eliminacji warunku wystarczającego => w AK:
p=>q = ~p+q
Prowadzi do potwornego prania mózgów naszych dzieci, 5-cio latków, czego twardy dowód mamy w punkcie 31.2.1 oraz 31.3.2
Kluczowa prawda:
Dlaczego nikt w 100-milowym lesie nie idzie do przedszkola z prawem eliminacji warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
… mimo iż mógłby to zrobić identycznie jak to robią ziemianie w chwili obecnej?
Odpowiedź:
W 100-milowym lesie wszyscy wiemy, że opowiadanie 5-cio latkom o spełnionym warunku wystarczającym => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to robienie z ich mózgów szamba co udowodnił Irbisol w swoich dwóch wizytach w przedszkolu (31.2.1 oraz 31.3.2)
Zauważmy, że biedny Irbisol korzystając z prawa eliminacji ziemskiej implikacji p=>q=~p+q doprowadził do wściekłości panią przedszkolankę która wykopała go przez okno - na szczęście dla niego otwarte (w jednym przypadku wylądował w pokrzywach).
31.6 Ziemska definicja implikacji
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Irbisolu, zdanie bazowe o którym rozmawiamy to implikacja rodem z KRZ:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to będzie padało
CH=>P =~CH+P
Zgodnie z ziemską definicją implikacji zdanie to musisz podstawić do poniższej, zero-jedynkowej definicji implikacji.
| Kod: |
ZIP - zero-jedynkowa definicja ziemskiej implikacji, przykład
i jej znaczenie dla konkretnego przykładu o deszczu i chmurce.
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
P CH Y=~P+CH | Y=(P=>CH)=~P+CH
A: 1 1 =1 | P* CH =1 -zdarzenie możliwe (1): pada i są chmury
B: 1 0 =0 | P*~CH =0 -zdarzenie niemożliwe (0): pada i nie ma chmur
C: 0 0 =1 |~P*~CH =1 -zdarzenie możliwe (1): nie pada i nie ma chmur
D: 0 1 =1 |~P* CH =1 -zdarzenie możliwe (1): nie pada i są chmury
1 2 3 4 5 6
|
Na mocy powyższej tabeli mamy równanie algebry Boole’a opisujące ziemską implikację P=>CH w zdarzeniach rozłącznych:
Y = (P=>CH) = A: P*CH + C: ~P*~CH + D: ~P*CH
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i ~CH=1 lub ~P=1 i CH=1
To co wyżej to najzwyklejsza algebra Boole’a - żadna tam KRZ!
Opiszmy dwie ostatnie linie C i D w naturalnej logice człowieka:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
Yc = ~P~~>~CH = ~P*~CH =1 - zdarzenie możliwe, miękka jedynka
LUB
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~~> być pochmurno (CH)
Yd = ~P~~>CH = ~P*~CH =1 - zdarzenie możliwe, miękka jedynka
Zdania C i D możemy zapisać łącznie, wtedy łatwo zauważyć, że po stronie ~P (nie pada) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
CD
Jeśli jutro nie będzie padło (~P) to na 100% => może nie być pochmurno (~CH) lub może być pochmurno (CH)
Ycd = ~P=>(~CH+CH) =1
W następniku zdania warunkowego CD: ~P=>(~CH+CH) mamy tu twardą jedynkę (dziedzina = stała binarna) zatem zdanie CD jest prawdziwe, ale mówi wyłącznie o zdarzeniu:
~P = nie pada
Dzielny Irbisol prawidłowo rozszyfrował znaczenie linii CD w tabeli zero-jedynkowej ziemskiej implikacji w postaci zdania CD, za co dostał gromkie brawa od całego 100-milowego lasu.
Zauważmy, że zdarzenie ~P (nie pada) jest tu zmienną binarną, bowiem może zajść zdarzenie:
~P=1 - prawdą jest (=1) że jutro może nie padać (~P), miękka jedynka
albo zdarzenie:
P=1 - prawdą jest (=1) że jutro może padać (P), miękka jedynka
W logice matematycznej nie wystarczy rozpatrzenie przypadku co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padać (~P=1) - obowiązkowo musimy opisać też przypadek co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padać (P=1).
Definicja miękkiej jedynki:
Zdarzenie x może zajść (x=1), ale nie musi zajść (x=0)
31.6.1 Ziemska definicja implikacji w zdarzeniach możliwych i niemożliwych
Zdanie bazowe Irbisola to:
A.
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Zapiszmy ziemską tabelę implikacji w postaci serii zdarzeń możliwych ~~> (=1) i niemożliwych ~~> (=0)
| Kod: |
ZIP - zero-jedynkowa definicja ziemskiej implikacji, przykład
i jej znaczenie dla konkretnego przykładu o deszczu i chmurce.
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
P CH Y=~P+CH | Y=(P=>CH)=~P+CH
A: 1 1 =1 | P~~> CH =1 - zdarzenie możliwe (1): pada i są chmury
B: 1 0 =0 | P~~>~CH =0 - niemożliwe jest (0): pada i nie ma chmur
C: 0 0 =1 |~P~~>~CH =1 - możliwe jest (1): nie pada i nie ma chmur
D: 0 1 =1 |~P~~> CH =1 - możliwe jest (1): nie pada i są chmury
1 2 3 4 5 6
|
Oczywistym jest, że zdanie Irbisola możemy umieścić wyłącznie w linii A, bowiem linie CD mamy już zajęte, prawidłowo zinterpretowane przez Irbisola.
31.6.2 Analiza zdania Irbisola w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
Zdanie Irbisola:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Innymi słowy:
Padanie (P) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => istnienia chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Na mocy definicji kontrprzykładu (pkt. 31.5.4) prawdziwy warunek wystarczający => w linii A.
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A: P=>CH=1
wymusza fałszywy kontrprzykład B:
B.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może ~~> nie być pochmurno (~CH)
B: P~~>~CH = P*~CH =0
Dowód fałszywości zdania B na mocy definicji kontrprzykładu jest dowodem „nie wprost”.
Dowód wprost to:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P) i nie jest pochmurno (~CH)
cnd
W tym monecie mamy rozpracowaną w 100% zawartość linii A i B w ziemskiej definicji implikacji z czym Irbisol totalnie sobie nie poradził - bo (póki co) ma tak sprany mózg gównem zwanym KRZ, że nie wie biedak w którym kościele dzwony biją.
| Kod: |
ZIP - zero-jedynkowa definicja ziemskiej implikacji, przykład
i jej znaczenie w warunku wystarczającym => w linii A
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
P CH Y=~P+CH | Y
A: 1 1 =1 | P=> CH =1 -padanie jest (=1) wystarczające => dla chmur
B: 1 0 =0 | P~~>~CH =0 -kontrprzykład dla A: P=>CH musi być fałszem
C: 0 0 =1 |~P~~>~CH =1 - możliwe jest (1): nie pada i nie ma chmur
D: 0 1 =1 |~P~~> CH =1 - możliwe jest (1): nie pada i są chmury
1 2 3 4 5 6
|
Dalsze rozpracowywanie ziemskiej, zero-jedynkowej definicji implikacji p=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> to zaledwie do zakochania jeden krok!
Na mocy prawa Kubusia (pkt. 31.4.5):
A: P=>CH = C: ~P~>~CH =1
prawdziwy warunek wystarczający => w linii A.
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to będzie pochmurno (CH)
A: P=>CH=1
wymusza prawdziwy warunek konieczny ~> w linii C.
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
C: ~P~>~CH =1
Brak padania (~P) jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH
Stąd mamy końcową wersję ziemskiej, zero-jedynkowej definicji implikacji wyrażoną warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>:
| Kod: |
ZIP - zero-jedynkowa definicja ziemskiej implikacji, przykład
i jej znaczenie w warunku wystarczającym => (A) i koniecznym ~> (C)
Zapis |Zapis
zero-jedynkowy |symboliczny
P CH Y=~P+CH| Y
A: 1 1 =1 | P=> CH=1 -padanie jest (=1) wystarczające => dla chmur
B: 1 0 =0 | P~~>~CH=0 -kontrprzykład dla A: P=>CH musi być fałszem(0)
C: 0 0 =1 |~P~> ~CH=1 -brak padania jest konieczny ~> dla braku chmur
D: 0 1 =1 |~P~~> CH=1 -możliwe jest zdarzenie: nie pada i są chmury
1 2 3 4 5 6
|
31.6.3 Prosiaczek sprawdza znajomość algebry Kubusia w przedszkolu
Wszelkie istoty żywe (nie tylko człowiek) wyssały biegłą znajomość algebry Kubusia z mlekiem matki i nie muszą się jej uczyć.
Dowód:
Udajmy się do przedszkola, póki co w 100-milowym lesie.
Prosiaczek, ekspert algebry Kubusia w rozmowie z 5-cio latkami.
Prosiaczek:
Zacznijmy od zdania:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Powiedzcie mi dzieci:
Czy padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)?
Jaś (lat 5):
Padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienie chmur (CH), bo zawsze gdy pada, są chmury
Prosiaczek:
Powiedz mi Jasiu czy prawdziwe będzie takie zdanie:
B.
Jeśli jutro będzie padało (P) to może nie być pochmurno (~CH)
P~~>~CH = P*(~CH) =0
Jaś:
Nie może się zdarzyć (=0), że jutro będzie padało (P) i nie będzie pochmurno (~CH), zatem zdanie B jest fałszywe.
Prosiaczek:
Jasiu, czy możesz nam opowiedzieć co może się zdarzyć jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
A: P=>CH = C: ~P~>~CH
Stąd mamy zdanie C, prawdziwe na mocy prawa Kubusia:
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak padania (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => jest pochmurno (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo tu Jasiowi wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH =1
Prosiaczek:
Co powiesz Jasiu na temat prawdziwości/fałszywości takiego zdania:
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może być pochmurno (CH)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Jaś:
To zdanie jest prawdziwe, bo możliwe jest ~~> zdarzenie: nie pada (~P) i są chmury (CH)
Prosiaczek:
Dziękuję wam drogie dzieci za miłą rozmowę o logice matematycznej zwanej algebrą Kubusia.
Pani przedszkolanka:
Dziękujemy ci Prosiaczku za twoją wizytę, zapraszamy ponownie, jak znajdziesz chwilkę wolnego czasu.
Podsumowując:
Proszę wszystkich czytelników by porównali wizytę Prosiaczka w przedszkolu w 100-milowym lesie, z wizytą ziemskiego fanatyka KRZ, Irbisola, w ziemskim przedszkolu (punkt 31.2.1) opowiadającą o tym samym zdaniu A: P=>CH co Prosiaczek wyżej.
31.7 Tragedia ziemskiej logiki matematycznej
Tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, iż każde zdanie warunkowe „Jeśli p to q” sprowadzane jest spójników „i”(*) oraz „lub”(+) na mocy prawa eliminacji implikacji:
p=>q = ~p+q
… czyli prawa eliminacji zdania warunkowego „Jeśli p to q”!
Dlaczego ziemianie to robią?
Odpowiedź:
Bo nie znają matematycznych definicji znaczków implikacyjnych pozwalających analizować dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” innymi zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
Znaczki których zero-jedynkowych definicji (dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego) nie zna nawet najwybitniejszy ziemski matematyk to:
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q = ~p+q
##
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q = p+~q
##
3.
Zdarzenie możliwe ~~>:
p~~>q = p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 0:14, 19 Paź 2024, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 22:53, 08 Cze 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
32.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki
Spis treści
32.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki 1
32.1 Jak udowodnić błędność dowodu prof. L. Newelskiego? 3
32.2 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego w oryginale 4
32.2.1 Poprawny matematycznie dowód prof. L. Newelskiego w oryginale 6
32.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji Y 12
32.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji ~Y 15
32.3 Kubusiowa Teoria Zbiorów vs Teoria Zbiorów ziemskich matematyków 17
32.3.1 Definicja zbioru wszystkich zbiorów w dziedzinie D 19
32.0 Błąd fatalny w podręczniku akademickim matematyki
Niniejszy punkt nawiązuje do prawa Małpki omówionego w punkcie 1.15.1.
Przepraszam prof. Ludomira Newelskiego za znalezienie błędu czysto matematycznego w jego dowodzie prawa Małpki w podręczniku akademickim dla studentów I roku matematyki "Wstęp do matematyki".
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód prawa Małpki (Uwaga 2.7) w podręczniku „Wstęp do matematyki” autorstwa prof. L. Newelskiego.
[link widoczny dla zalogowanych]
Cytuję słowo w słowo dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. L. Newelskiego na prostszym przykładzie, co jest bez znaczenia:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z dwoma zmiennymi wejściowymi {p,q} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q)
| Kod: |
p q Y
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 0
|
2.
Z tabeli odczytujemy, że funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy:
2: Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: p=0 i q=0
3.
Zatem funkcja logiczna Y opisująca tą tabelę to:
3: Y= A: p*q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1
która jest w postaci alternatywno-koniunkcyjnej
Komentarz Rafala3006:
a)
W przejściu z punktu 2 do 3 prof. L. Newelski nie podał studentom podstawy matematycznej przejścia z 2 do 3.
Ta podstawa matematyczna to prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Gdzie:
## różne na mocy definicji
b)
Naturalną logiką człowieka są równania alternatywno-koniunkcyjne powstałe wtedy i tylko wtedy gdy na mocy II prawa Prosiaczka wszystkie zmienne binarne w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy do jedynek.
Alternatywnie, na mocy I prawa Prosiaczka wszystkie zmienne w tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzić do zera otrzymując totalnie niezrozumiałe przez człowieka równania koniunkcyjno-alternatywne.
Ciąg dalszy algorytmu prof. L. Newelskiego:
4.
Przypuśćmy dla przykładu, że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q
Komentarz Rafała3006
W przejściu z punktu 3 do 4 jest fatalny błąd czysto matematyczny bo:
3: Y= A: p*q + C: ~p*~q
4: ~Y = A: p*q + C: ~p*~q
Funkcja logiczna 4 nie jest negacją funkcji logicznej 3 bo w funkcji 4 brakuje negacji prawej strony!
Ciąg dalszy algorytmu prof. L. Newelskiego:
5.
Wówczas funkcja Y jest równoważna funkcji:
Y = ~(p*q+~p*~q)
Na mocy prawa De Morgana mamy:
Y = ~(p*q)*~(~p*~q)
Kolejny raz stosujemy prawo De Morgana
5: Y = (~p+~q)*(p+q)
Ostatnia funkcja jest już postaci koniunkcyjno-alternatywnej.
Komentarz Rafała3006:
Funkcja logiczna 5 u prof. L. Newelskiego jest błędna bo:
Wejściowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna jest taka:
3: Y= (p*q) + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
5’: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Tymczasem prof. L. Newelski zapisuje tu:
5: Y = (~p+~q)*(p+q)
Fatalny błąd czysto matematyczny widać tu jak na dłoni:
Funkcja logiczna 5 nie jest negacją funkcji logicznej 3, bo w funkcji logicznej 5 brakuje przeczenia przy Y
cnd
Geneza błędu prof. L. Newelskiego:
Ziemska logika matematyczna nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Dokładnie dlatego prof. L. Newelski nie jest w stanie zapisać tu poprawnej matematycznie funkcji logicznej 5’ w logice ujemnej (bo ~Y)
32.1 Jak udowodnić błędność dowodu prof. L. Newelskiego?
Dowód prawa Małpki bez tabel zero-jedynkowych
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
Dowód prawa Małpki na naszym przykładzie równoważności:
Y = p<=>q = p*q+~p*~q
jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.
Zaczynamy od definicji równoważności Y=p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1: Y = p*q + ~p*~q
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
a)
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
b)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2: ~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3: ~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3: ~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4: Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Stąd mamy:
| Kod: |
T1
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik
w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
1: Y = p* q + ~p*~q <=> 4: Y = (~p+ q)*(p+~q)
# #
3: ~Y = p*~q + ~p* q <=> 2: ~Y = (~p+~q)*(p+ q)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negację drugiej
|
W tak bajecznie prosty sposób udowodniliśmy prawo Małpki bez użycia tabel zero-jedynkowych.
Doskonale tu widać matematyczny błąd fatalny prof. L. Newelskiego, który zapisał:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 2: Y=(~p+~q)*(p+q)
cnd
Podsumowanie:
W podręczniku akademickim „Wstęp do matematyki” jest błąd czysto matematyczny bowiem zapisano w nim tożsamość logiczną:
p*q+~p*~q = (~p+~q)*(p+q)
W świecie rzeczywistym powyższa tożsamość nie zachodzi co wyżej udowodniliśmy.
Innymi słowy:
Miejsce dowodu z podręcznika akademickiego jest w koszu na śmieci.
32.2 Geneza błędu czysto matematycznego prof. L. Newelskiego w oryginale
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Dowód prawa Małpki w wykonaniu prof. L. Newelskiego (Uwaga 2.7)
[link widoczny dla zalogowanych]
Weźmy dowód prof. L. Newelskiego w oryginale cytowany słowo w słowo:
1.
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z trzema zmiennymi wejściowymi {p,q,r} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q,r)
| Kod: |
p q r Y=?
A: 0 0 0 0
B: 0 0 1 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 1 0
E: 1 0 0 0
F: 1 0 1 1
G: 1 1 0 0
H: 1 1 1 0
|
2.
Z tabelki odczytujemy że funkcja logiczna Y przyjmuje wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy:
Y=1 <=> B: p=0 i q=0 i r=1 lub C: p=0 i q=1 i r=0 lub F: p=1 i q=0 i r=1
3.
Zatem funkcja logiczna Y w postaci alternatywno-koniunkcyjnej to:
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 i r=1 lub C: ~p=1 i q=1 i ~r=1 lub F: p=1 i ~q=1 i r=1
Komentarz Rafala3006:
a)
W przejściu z punktu 2 do 3 prof. L. Newelski nie podał studentom podstawy matematycznej przejścia z 2 do 3.
Ta podstawa matematyczna to prawa Prosiaczka, które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej
I Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
##
II Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Gdzie:
## różne na mocy definicji
b)
Naturalną logiką człowieka są równania alternatywno-koniunkcyjne powstałe wtedy i tylko wtedy gdy na mocy I prawa Prosiaczka wszystkie zmienne binarne w dowolnej tabeli zero-jedynkowej sprowadzimy do jedynek.
Alternatywnie, na mocy II prawa Prosiaczka wszystkie zmienne w tabeli zero-jedynkowej możemy sprowadzić do zera otrzymując totalnie niezrozumiałe przez człowieka równania koniunkcyjno-alternatywne.
Ciąg dalszy algorytmu prof. L. Newelskiego:
4.
Przypuśćmy dla przykładu że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Komentarz Rafala3006:
W przejściu z punktu 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny bo:
Funkcja wejściowa w logice dodatniej (bo Y) jest taka:
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Natomiast punkt 4 u prof. L. Newelskiego to błąd czysto matematyczny bo:
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
Funkcja logiczna 4 nie jest negacją funkcji logicznej 3 bo nie zanegowano dodatkowo prawej strony!
5.
Wówczas funkcja Y jest równoważna funkcji:
Y = ~(B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r)
Stosując serię praw De Morgana dla prawej strony otrzymujemy:
5: Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Komentarz Rafala3006:
Oczywistym jest, że w przejściu z 3 do 4 jest błąd czysto matematyczny.
Dowód:
Wejściowa funkcja alternatywno-koniunkcyjna jest taka:
3: Y = (~p*~q*r) + (~p*q*~r) + (p*~q*r)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą skróconą poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
5’. ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Tymczasem prof. Nwewelski pisze tu:
5: Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Błąd czysto matematyczny widać tu jak na dłoni bowiem w punkcie 5 prof. L. Newelski powinien zapisać funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y), czego nie robi … bo nie zna definicji funkcji logicznej Y w logice ujemnej (bo ~Y), co jest tożsame z faktem, iż nie wie że dowolną funkcję logiczną Y=f(x) możemy tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Innymi słowy:
To jest poprawny zapis prof. Newelskiego:
3.
Zatem funkcja logiczna Y w postaci alternatywno-koniunkcyjnej to
3: Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
… a to jest błąd fatalny prof. Newelskiego:
4.
Przypuśćmy dla przykładu że funkcja ~Y jest równoważna funkcji:
4: ~Y = B: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
cnd
Geneza błędu prof. L. Newelskiego:
Ziemska logika matematyczna nie zna pojęcia funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
Dokładnie dlatego prof. L. Newelski nie jest w stanie zapisać tu poprawnej matematycznie funkcji logicznej 5’ w logice ujemnej (bo ~Y)
5’. ~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
32.2.1 Poprawny matematycznie dowód prof. L. Newelskiego w oryginale
I.
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(*) - znaczek koniunkcji
Znaczek tożsamy w technice:
(*) - bramka logiczna AND
Definicja zero-jedynkowa spójnika „i”(*):
| Kod: |
p q Y=p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „i”(*) użycie logiki jedynek jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
II.
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Znaczek tożsamy w matematyce:
(+) - znaczek alternatywy
Znaczek tożsamy w technice:
(+) - bramka logiczna OR
Definicja zero-jedynkowa spójnika „lub”(+):
| Kod: |
p q Y=p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
|
Uwaga:
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia którą logiką będziemy się posługiwać. W przypadku spójnika „lub”(+) użycie logiki zer jest najszybszym sposobem wypełnienia wynikowej kolumny zero-jedynkowej.
Prawo Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie)
Poprawny dowód prof. L. Newelskiego powinien wyglądać tak:
Załóżmy tabelę zero-jedynkową z trzema zmiennymi wejściowymi {p,q,r} i jedną zmienną wyjściową Y (funkcja logiczna)
Y = f(p,q,r)
| Kod: |
T1
p q r Y=?
A: 0 0 0 0
B: 0 0 1 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 1 0
E: 1 0 0 0
F: 1 0 1 1
G: 1 1 0 0
H: 1 1 1 0
|
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).
Algorytm przejścia z dowolnej tabeli zero-jedynkowej do jej opisu w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
1.
Tworzymy pełną definicję tabeli zero-jedynkowej, czyli:
Zapisujemy wszelkie zmienne po stronie wejścia p,q,r w postaci niezanegowanej i zanegowanej.
Do wyjścia Y również dopisujemy postać zanegowaną ~Y
W powstałej tabeli tworzymy równania cząstkowe dla wszystkich linii.
2.
SD - standard dodatni w języku potocznym człowieka = logika jedynek
W logice jedynek opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.
3.
SU - standard ujemny (niezrozumiały dla człowieka) = logika zer
W logice zer opisujemy wyłącznie zera gdzie w poziomie używamy spójnika „lub”(+) zaś w pionie spójnika „i”(*)
Logika zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych totalnie niezrozumiałych w języku potocznym. Z tego względu zawsze wymnażamy wielomian koniunkcyjno-alternatywny przechodząc do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej.
Przykładowy, poprawny dowód prof. L. Newelskiego jest następujący:
1.
Zapiszmy pełną tabelę zero-jedynkową dla czterech zmiennych binarnych {p,q,r,Y):
| Kod: |
T2
| I. | II.
| Logika jedynek | Logika zer
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | |
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | ~Ya=~p*~q*~r | Ya= p+ q+ r
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | Yb=~p*~q* r | ~Yb= p+ q+~r
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | Yc=~p* q*~r | ~Yc= p+~q+ r
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | ~Yd=~p* q* r | Yd= p+~q+~r
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | ~Ye= p*~q*~r | Ye=~p+ q+ r
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | Yf= p*~q* r | ~Yf=~p+ q+~r
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | ~Yg= p* q*~r | Yg=~p+~q+ r
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | ~Yh= p* q* r | Yh=~p+~q+~r
1 2 3 4 5 6 7 8
|
I.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice jedynek:
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
1: Y = 2: ~(~Y)
1: ~(Y) = 2: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.
II.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice zer:
3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
3: Y = 4: ~(~Y)
3: ~(Y) = 4: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.
Zadanie dla masochistów:
Udowodnij, iż w tabeli T1 (a tym samym w T2) zachodzą prawa Małpki:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
Oraz:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza [=] fałszywość drugiej strony
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości znaczków:
<=>, „=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
Jako że nigdy nie byłem masochistą udowodnię tylko matematyczne związki między funkcjami minimalnymi w logice jedynek i w logice zer - resztę pozostawiam masochistom albo komputerowi (łatwy do napisania program).
Zauważmy, że w logice jedynek najprostszą funkcją logiczną jest funkcja 1:
1.
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + p*~q*r
Natomiast w logice zer najprostszą funkcją logiczną jest funkcja 4:
4.
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
Jeśli odpowiednie funkcje w logice jedynek i w logice zer są tożsame tzn.
Y (logika jedynek) = Y (logika zer)
~Y (logika jedynek) =~Y (logika zer)
to musi zachodzić:
1: Y = Yb+Yc+Yf (logika jedynek) # 4: ~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
stąd:
Matematycznie musi zachodzić tożsamość logiczna [=]:
1: Y = Yb+Yc+Yf (logika jedynek) [=] 4’: Y = ~(~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer))
Zbadajmy w rachunku zero-jedynkowym czy powyższa tożsamość zachodzi:
I.
LJ = Logika jedynek:
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
| Kod: |
T1
Logika jedynek dla Y
| Yb= Yc= Yf Y=
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | ~p*~q* r ~p* q*~r p*~q* r Yb+Yc+Yf
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | 0 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | 0 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | 0 0 0 0
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | 0 0 0 0
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | 0 0 1 1
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | 0 0 0 0
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny Yb szukamy dwóch jedynek w kolumnach ~p i ~q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy jedynki w kolumnie r która jest w linii B, stąd w linii Yb mamy jedynkę, zaś pozostałe linie uzupełniamy zerami.
Podobnie postępujemy z kolumnami Yc i Yf
II.
LZ = Logika zer
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
| Kod: |
T4
Logika zer dla ~Y
| ~Yb= ~Yc= ~Yf ~Y= Y=
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | p+q+~r p+~q+r ~p+q+~r ~Yb*~Yc*~Yf ~(~Y)
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | 1 1 1 1 0
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | 0 1 1 0 1
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | 1 0 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | 1 1 1 1 0
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | 1 1 1 1 0
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | 1 1 0 0 1
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | 1 1 1 1 0
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | 1 1 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny ~Yb szukamy dwóch zer w kolumnach p i q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy zera w kolumnie ~r które jest w linii B, stąd w linii ~Yb mamy zero, zaś pozostałe linie uzupełniamy jedynkami.
Podobnie postępujemy z kolumnami ~Yc i ~Yf.
Z powyższego rachunku zero-jedynkowego wynika, że matematycznie zachodzi:
T1_12: Y =Yb+Yc+Yf (logika jedynek) # T4_12: ~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Prawo podwójnego przeczenia:
Y = ~(~Y)
Stąd mamy:
T1_12: Y=Yb+Yc+Yf (logika jedynek) [=] T4_13: Y = ~(~Y=~Yb*~Yc*~Yf (logika zer))
Tożsamość kolumn wynikowych:
T1_12: Y [=] T4_13: Y
Jest dowodem formalnym poprawności powyższej tożsamości logicznej [=]
cnd
32.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji Y
W poprzednim punkcie padało zadanie dla masochistów.
Przykładowy, poprawny dowód prof. L. Newelskiego jest następujący:
1.
Zapiszmy pełną tabelę zero-jedynkową dla czterech zmiennych binarnych {p,q,r,Y):
| Kod: |
T2
| I. | II.
| Logika jedynek | Logika zer
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | |
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | ~Ya=~p*~q*~r | Ya= p+ q+ r
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | Yb=~p*~q* r | ~Yb= p+ q+~r
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | Yc=~p* q*~r | ~Yc= p+~q+ r
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | ~Yd=~p* q* r | Yd= p+~q+~r
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | ~Ye= p*~q*~r | Ye=~p+ q+ r
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | Yf= p*~q* r | ~Yf=~p+ q+~r
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | ~Yg= p* q*~r | Yg=~p+~q+ r
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | ~Yh= p* q* r | Yh=~p+~q+~r
1 2 3 4 5 6 7 8
|
I.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice jedynek:
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
1: Y = 2: ~(~Y)
1: ~(Y) = 2: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.
II.
Układ równań logicznych Y i ~Y w logice zer:
3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
Po rozwinięciu mamy:
Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = B: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Matematycznie na 100% zachodzą tożsamości logiczne:
3: Y = 4: ~(~Y)
3: ~(Y) = 4: ~Y
Powyższych tożsamości nie musimy sprawdzać, gwarantuje je algebra Boole’a.
Zadanie dla masochistów:
Udowodnij, iż w tabeli T1 (a tym samym w T2) zachodzą prawa Małpki:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
Oraz:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej
Spróbujmy udowodnić w sposób bezpośredni tożsamość logiczną:
1: Y [=] 3: Y
Z minimalizacją równania 3: Y w celu dojścia to tożsamego równania 1: Y będzie miał potężny problem zarówno człowiek, jak i komputer. W równaniu 3: Y trzeba bowiem wymnożyć wszystkie wielomiany przechodząc do postaci alternatywno-koniunkcyjnej po czym zminimalizować otrzymaną funkcję logiczną dochodząc do postaci 1: Y.
Nieporównywalnie lepsze zarówno dla człowieka jak i dla komputera (szczególnie) jest tu zastosowanie rachunku zero-jedynkowego w stosunku do oryginalnej postaci koniunkcyjno-alternatywnej 3: Y, co niżej pokażemy.
I.
Funkcję logiczną 1: Y obliczyliśmy w tabeli zero-jedynkowej w poprzednim punkcie, zatem wystarczy ją przepisać.
LJ = Logika jedynek dla Y
1.
Y = Yb+Yc+Yf
Po rozwinięciu mamy:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
| Kod: |
T1
Logika jedynek dla Y
| Yb= Yc= Yf Y=
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | ~p*~q* r ~p* q*~r p*~q* r Yb+Yc+Yf
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | 0 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | 1 0 0 1
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | 0 1 0 1
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | 0 0 0 0
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | 0 0 0 0
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | 0 0 1 1
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | 0 0 0 0
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny Yb szukamy dwóch jedynek w kolumnach ~p i ~q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy jedynki w kolumnie r która jest w linii B, stąd w linii Yb mamy jedynkę, zaś pozostałe linie uzupełniamy zerami.
Podobnie postępujemy z kolumnami Yc i Yf
II.
Obliczmy w rachunku zero-jedynkowym funkcję logiczną 3:Y w logice zer.
LZ = logika zer dla Y
3.
Y = Ya*Yd*Ye*Yg*Yh
po rozwinięciu mamy:
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
| Kod: |
T3
Logika zer dla Y Y=
Ya= Yd= Ye= Yg= Yh= A*D*E*
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? p+q+r p+~q+~r ~p+q+r ~p+~q+r ~p+~q+~r *G*H
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny Ya szukamy dwóch zer w kolumnach p i q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy zera w kolumnie r które jest w linii A, stąd w linii Ya mamy zero, zaś pozostałe linie uzupełniamy jedynkami.
Podobnie postępujemy z kolumnami Yd, Ye, Yg i Yh
Jak widzimy wypełnienie tabeli T3 nie jest tak straszne, jak się początkowo wydawało, szczególnie dla komputera to po prostu pikuś.
Podsumowanie:
Tożsamość kolumn wynikowych:
T1_12: Y = T3_14: Y
jest dowodem formalnym zachodzącej tożsamości logicznej [=]:
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej
Jak widzimy, nie taki diabeł straszny, jak się początkowo wydawał
c.n.d
Zadanie domowe dla czytelnika:
Wzorując się na przykładzie wyżej udowodnij w rachunku zero-jedynkowym w sposób bezpośredni zachodzącą tożsamość logiczną [=].
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Gdzie:
[=] - znaczek tożsamości logicznej
Poprawne rozwiązanie w kolejnym punkcie.
32.2.2 Igraszki masochistów dla funkcji ~Y
Weźmy tożsamość logiczną dla funkcji ~Y:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
Funkcję 4:~Y zapisaliśmy w tabeli zero-jedynkowej wyżej.
Przypomnijmy:
I.
LZ = Logika zer dla ~Y
4.
~Y=~Yb*~Yc*~Yf
Po rozwinięciu mamy:
~Y = (p+q+~r)*(p+~q+r)*(~p+q+~r)
| Kod: |
T4
| II.
| Logika zer
| ~Yb= ~Yc= ~Yf ~Y=
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? | p+q+~r p+~q+r ~p+q+~r ~Yb*~Yc*~Yf
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 | 1 1 1 1
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 | 0 1 1 0
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 | 1 0 1 0
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 | 1 1 1 1
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 | 1 1 1 1
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 | 1 1 0 0
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 | 1 1 1 1
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 | 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny ~Yb szukamy dwóch zer w kolumnach p i q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy zera w kolumnie ~r które jest w linii B, stąd w linii ~Yb mamy zero, zaś pozostałe linie uzupełniamy jedynkami.
Podobnie postępujemy z kolumnami ~Yc i ~Yf.
Zapiszmy tabelę zero-jedynkową dla funkcji 2:~Y:
2.
~Y = ~Ya+~Yd+~Ye+~Yg+~Yh
Po rozwinięciu mamy:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
| Kod: |
T2
Logika jedynek dla ~Y ~Y=
~Ya= ~Yd= ~Ye= ~Yg= ~Yh= A+D+E
p q r Y=? ~p ~q ~r ~Y=? ~p*~q*~r ~p*q*r p*~q*~r p*q*~r p*q*r +G+H
A: 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1
B: 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0
C: 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0
D: 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1
E: 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1
F: 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
G: 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1
H: 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
|
Podpowiedź dla szybkiego wypełniania kolumn wynikowych:
Przy wypełnianiu kolumny ~Ya szukamy dwóch jedynek w kolumnach ~p i ~q, są tylko dwa takie przypadki w liniach A i B, zatem tylko dla tych linii szukamy jedynki w kolumnie ~r która jest w linii A, stąd w linii ~Ya mamy jedynkę, zaś pozostałe linie uzupełniamy zerami.
Podobnie postępujemy z kolumnami ~Yd, ~Ye, ~Yg, ~Yh
Podsumowanie:
Tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
T4_12: ~Y = T2_14:~Y
Jest dowodem formalnym poniższej tożsamości logicznej [=]:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
cnd
Porównując dowody w niniejszym punkcie i poprzednim możemy zapisać:
2: ~Y = A: ~p*~q*~r + D: ~p*q*r + E: p*~q*~r + G: p*q*~r + H: p*q*r
[=]
4: ~Y = A: (p+q+~r)* C: (p+~q+r)* F: (~p+q+~r)
#
1: Y = A: ~p*~q*r + C: ~p*q*~r + F: p*~q*r
[=]
3: Y = A: (p+q+r)* D: (p+~q+~r)* E: (~p+q+r)* G: (~p+~q+r)* H: (~p+~q+~r)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
32.3 Kubusiowa Teoria Zbiorów vs Teoria Zbiorów ziemskich matematyków
Niniejszy punkt to efekt starcia Rafala3006 z zawodowym matematykiem Szarym obywatelem:
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-7950.html#806989
@Rafal3006
Nie wypowiadaj się w temacie wewnętrznej sprzeczności w Kubusiowej Teorii Zbiorów o której masz totalnie ZEROWE pojęcie.
@Szary obywatel
Totalnie zerowe pojęcie o czymkolwiek to masz Ty, a Kubusiowa "teoria" zbiorów rozumie zbiór po prostu jako "taki zestaw elementów". Pokazałem Ci już po raz wtóry sprzeczność, a Ty powtarzasz się jak zacięta płyta.
Szary obywatelu - totalnie nie rozumiesz teorii zbiorów w jedynej poprawnej logice matematycznej, algebrze Kubusia.
Tłumaczę czego rozumiesz
Definicja dziedziny D:
Dziedzina D to zbiór elementów którymi dysponujemy
Prawa algebry Boole’a pozwalając na powielanie elementu zbioru dowolną ilość razy:
p+p=p
p*p=p
Przykład powielania:
K=Kubuś
p=[K] = [K+K+K+…Kn]
cnd
Te same prawa można wykorzystywać do minimalizacji zbiorów:
Przykład minimalizacji:
p=[K+K+K+…Kn]=[K]
cnd
Wykład Kubusiowej Teorii Zbiorów zrozumiały dla każdego 5-cio latka:
1.
Na początek załóżmy dziedzinę jednoelementową:
K = Kubuś
D=[K]
Ile różnych na mocy definicji ## zbiorów możemy utworzyć dysponując jednym elementem?
Odpowiedź: 2
1: p=[] - zbiór pusty
##
2: q=[K]
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
2.
Przyjmijmy teraz dziedzinę dwuelementową:
K = Kubuś
P=Prosiaczek
D=[K+P]
Ile różnych na mocy definicji ## zbiorów możemy utworzyć dysponując dwoma elementami?
Odpowiedź: 4
1: p=[]
##
2: q=[K]
##
3: r=[P]
##
4: s=[K+P]
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
3.
Przyjmijmy dziedzinę trzyelementową:
K = Kubuś
P = Prosiaczek
T = Tygrysek
D=[K+P+T]
Ile różnych na mocy definicji ## zbiorów możemy utworzyć dysponując trzema elementami?
Odpowiedź: 8
1: p=[]
##
2: q=[K]
##
3: r=[P]
##
4: s=[T]
##
5: t=[K+P]
##
6: u=[K+T]
##
7: v=[P+T]
##
8: w=[K+P+T]
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Idąc dalej tym tropem jest oczywistym, że dla n-elementów możemy utworzyć 2^n różnych na mocy definicji ## zbiorów minimalnych (bez powtórzonych elementów)
Stąd mamy:
Definicja dziedziny D:
Dziedzina D to zbiór elementów którymi dysponujemy
Prawo Kruka:
W dowolnej dziedzinie n-elementowej możliwe jest zbudowanie 2^n różnych na mocy definicji ## zbiorów minimalnych (bez powtórzonych elementów)
Pani w przedszkolu:
Drogie dzieci, zabawimy się teraz logiką matematyczną zwaną algebrą Kubusia.
Zabawa polega na tym, że Jaś (lat 5) ma do dyspozycji trzy pluszowe zabawki dostępne mu w dowolnych ilościach:
K = Kubuś
P = Prosiaczek
T = Tygrysek
Jaś posiada tajemnicze pudełko p do którego może wkładać dowolną kombinację pluszaków {K, P, T} z tym, że w pudełku może wstępować co najwyżej jeden z tych trzech pluszaków.
Uwaga:
Ostatni warunek wymusza zbiór minimalny p.
Na czym polega zabawa?
Jaś pójdzie do pokoju z pluszakami i włoży do pudełka zestaw pluszaków zgodnie z powyższymi zasadami.
Waszym zadaniem drogie dzieci będzie odgadnięcie jaki zestaw pluszaków włożył do pudełka Jaś.
Kto zgadnie poprawnie dostanie czekoladę.
Komentarz:
Oczywistym jest, ze prawdopodobieństwo trafienia zestawu zwierzaków wynosi 1/8 - tu przy okazji pani przedszkolanka może wytłumaczyć dzieciakom co to jest prawdopodobieństwo?
32.3.1 Definicja zbioru wszystkich zbiorów w dziedzinie D
Definicja dziedziny D:
Dziedzina D to zbiór elementów którymi dysponujemy
Prawo Kruka:
W dowolnej dziedzinie n-elementowej możliwe jest zbudowanie 2^n różnych na mocy definicji ## zbiorów minimalnych (bez powtórzonych elementów)
Dowód na przykładach mamy w poprzednim punkcie.
Stąd mamy:
Definicja zbioru wszystkich zbiorów w dziedzinie D:
Zbiór wszystkich zbiorów w dziedzinie D to zbiór wszystkich możliwych zbiorów minimalnych (bez powtórzeń elementów) różnych na mocy definicji ## które można zbudować na bazie elementów dziedziny D.
Na mocy prawa Kruka na bazie dowolnej dziedziny D n-elementowej można zbudować 2^n różnych na mocy definicji ## zbiorów minimalnych (bez powtórzonych elementów)
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek, pies ma cztery łapy ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Zauważmy, że w szczególnym przypadku możemy przyjąć dziedzinę:
D = U (uniwersum)
Wynika z tego, że także dla dziedziny U (Uniwersum) obowiązuje wyprowadzona wyżej definicja zbioru wszystkich zbiorów.
Wszystkich możliwych zbiorów w dziedzinie U (Uniwersum) będzie:
2^(ilość elementów w Uniwersum konkretnego człowieka)
Zauważmy, że człowiek z epoki kamienia łupanego znał niebotycznie mniej pojęć różnych na mocy definicji ##, niż obecny człowiek a jego język potoczny był ubogi. Dla logiki matematycznej to bez znaczenia.
@Szaryobywatel
Sprzeczność w Twoim "rozumowaniu" nie polega na powielaniu i redukcji elementów Twoich "zbiorów", tylko na tym że Twój zbiór U zawiera w sobie wszystkie swoje podzbiory jako swoje elementy, a tych jest zawsze więcej niż elementów zbioru. Czyli według Ciebie 2^n mieści się w n. Debil by już zrozumiał o co chodzi.
Szary obywatelu, brak twojej akceptacji oczywistości iż dla n elementów istnieje 2^n różnych na mocy definicji ## zbiorów wyklucza, że kiedykolwiek zrozumiesz teorię zbiorów obowiązującą w logice matematycznej.
Jakie mieści się?
Co ty pieprzysz głąbie!
W logice matematycznej dowolny element możesz powielić n-razy i używać go w różnych zbiorach - dokładnie ten fakt jest kwintesencją Kubusiowej Teorii Zbiorów wyżej przedstawioną.
Oczywiście powielanie elementu w tym samym zbiorze nie ma sensu bo kwintesencja logiki matematycznej to minimalizacja dowolnego zbioru p a nie rozbudowywanie do nieskończoności poprzez powielanie tych samych elementów.
Istotą logiki matematycznej jest rozpoznawalność pojęć, a nie liczenie ile razy pojęcie x występuje w zbiorze p.
Jakiekolwiek liczenie algebraiczne elementów w zbiorze jest poza logiką matematyczną, czyli logika matematyczna ma to w dupie!
Analogia do programu komputerowego jest tu 100%!
Jakiekolwiek działania na dwóch liczbach A i B to działania poza logiką matematyczną.
Załóżmy że wykonujemy operację odejmowania:
A := A-B - wykonaj odejmowanie liczb znajdujących się w rejestrach A i B wpisując wynik do rejestru A
Istotą logiki matematycznej są tu binarne wskaźniki sygnalizacyjne CY i Z a nie sama operacja odejmowania rejestrów, która interesuje logikę matematyczną tyle co zeszłoroczny śnieg.
Znaczenie wskaźników CY i Z!
Wskaźnik przeniesienia CY:
CY=1 <=> A<B
CY=0 <=> A>=B
Wskaźnik zera Z:
Z=1 <=> A=B
Inaczej:
Z=0 <=> A##B
## - liczby A i B są różne na mocy definicji
Szary obywatelu,
Napisz konkretnie co kwestionujesz w Kubusiowej Teorii Zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej przedstawionej przeze mnie wyżej, bez swojego dogmatu iż wyłącznie twoja "teoria zbiorów" jest prawdziwa zatem każda inna jest fałszywa.
Przykładowo:
2.
Przyjmijmy teraz dziedzinę dwuelementową:
K = Kubuś
P=Prosiaczek
D=[K+P]
Ile różnych na mocy definicji ## zbiorów możemy utworzyć dysponując dwoma elementami?
Odpowiedź: 4
1: p=[]
##
2: q=[K]
##
3: r=[P]
##
4: s=[K+P]
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Czy kwestionujesz świętość algebry Kubusia, iż zbiory p,q,r,s są różne na mocy definicji ##?
Jeśli tak, to nie dorastasz do pięt mózgowi każdego 5-cio latka, który tą różność na mocy definicji ## widzi.
Przykładowo zauważ, że między r i s zachodzi relacja podzbioru =>:
r=[P] => s=[K+P]
Jeśli twierdzisz, że zbiory r i s są tożsame to jesteś głąbem.
Analogia w zbiorach nieskończonych:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24...] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Każdy matematyk dowodzi tu relacji podzbioru P8=>P2.
Jeśli twierdzisz że zbiory P8 i P2 nie są różne na mocy definicji ## to jesteś głąbem.
Oczywiście każdy element zbioru P8 występuje w zbiorze P2, ale P8 i P2 to dwa różna na mocy definicji zbiory ##.
P8=[8,16,24..] ## P2=[2,4,6,8..]
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
Jeśli nie rozumiesz znaczka różne na mocy definicji ## - to jesteś głąbem
Masakra teorii zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej w rozumieniu szarego obywatela!
Wyobraź sobie Szary obywatelu detektywów prowadzących śledztwo w sprawie zabójstwa x-a.
Na miejscu zbrodni znajdują nóż wbity w ciało ofiary będący dowodem w sprawie.
Wedle twojej teorii zbiorów głąbie, detektywi mogą użyć pojęcia „nóż” wyłącznie jednokrotnie, inaczej twoja teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej leży gruzach.
Czy rozumiesz już dlaczego twoja teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej jest potwornie śmierdzącym gównem?
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 6:59, 22 Wrz 2024, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 20:27, 16 Lip 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
33.0 Problem milenijny, Królestwo obłąkańców
Spis treści
33.0 Problem milenijny 1
33.1 Parodia logiki matematycznej (zwanej KRZ) wykładanej studentom AGH 3
33.2 Wykład na temat równoważności p<=>q w 100-milowym lesie 6
33.2.1 Kolejne małe-wielkie odkrycie 7
33.3 Zadania milenijne 7
33.3.1 Zadania milenijne dotyczące równoważności p<=>q 10
33.3.2 Zadania milenijne dotyczące implikacji prostej p|=>q 11
33.3.3 Zadania milenijne dotyczące implikacji odwrotnej p|~>q 13
33.3.4 Zadania milenijne dotyczące chaosu p|~~>q 14
33.3.5 Zadania milenijne złożone 15
33.4 Królestwo obłąkańców 17
33.4.1 Uczniowie króla Obłąkańca II 18
33.4.2 Świadomość życia w szpitalu psychiatrycznym dla obłąkańców 19
33.4.3 Absolutna głupota potwornie śmierdzącego gówna zwanego KRZ 20
33.0 Problem milenijny
Fundamentalne definicje logiki matematycznej znane każdemu matematykowi.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q =1 <=> zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q =1 <=> zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Gdzie:
## - definicje różne na mocy definicji
Problem milenijny:
Udowodnij, że w poniższym zapisie jest poprawne tylko i wyłącznie wynikowe zero
2: p<=>q = (p=>q)*(q~>p) =1*1=0
Skąd wziął się zapis:
2: p<=>q = (p=>q)*(q~>p)
Zawdzięczamy go Irbisolowi wynajdującemu podobne „kwiatki” w Internecie od 15 lat, czyli z wykładu logiki matematycznej dla studentów AGH.
Sam fakt „skąd się wziął ten zapis” jest tu bez znaczenia, bo sensowne jest zadanie milenijne na poziomie I klasy LO.
Zadanie milenijne:
Udowodnij prawdziwość/fałszywość poniższego zapisu poprzez analizę indywidualnej prawdziwości/fałszywości składników iloczynu logicznego p=>q oraz q~>p.
p<=>q = (p=>q)*(q~>p) =?
Rozwiązanie:
Prawo Tygryska:
Jeśli w jedną stronę zachodzi warunek wystarczający => to w drugą stronę zachodzi warunek konieczny ~> (i odwrotnie)
p=>q = q~>p
Prawo Tygryska jest powszechnie znane w naszym Wszechświecie.
I.
Jeśli p=>q=0 to na mocy prawa Tygryska q~>p =0
Stąd mamy:
2: p<=>q = (p=>q)*(q~>p) = 0*0 =0 - równoważność fałszywa (=0)
cnd
II.
Jeśli p=>q =1 to na mocy prawa Tygryska mamy q~>p=1
Stąd mamy:
2: p<=>q = (p=>q)*(q~>p)=1*1=0 - równoważność fałszywa (=0)
bo poprawna matematycznie definicja równoważności p<=>q jest fundamentalnie inna.
Powszechna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
3: p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1=1 - równoważność prawdziwa (=1)
Oczywiście matematycznie zachodzi:
3: p~>q ## 2: q~>p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy rozwiązanie problemu milenijnego:
2: p<=>q = (p=>q)*(q~>p)=1*1=0 - równoważność fałszywa (=0)
To co wyżej to święta prawda czysto matematyczna, która roznosi w puch totalnie całe gówno zwane KRZ (o zapis 1*1=0 tu chodzi).
Innymi słowy:
Ziemski matematyk który wstawi tu w wyniku jeden, zamiast poprawnego zera, skacze na główkę do pustego basenu.
O ten skok na główkę do pustego basenu tu chodzi - to jest istota problemu milenijnego.
Komentarz:
2: p<=>q = (p=>q)*(q~>p)=1*1=0 - równoważność fałszywa (=0)
Zauważmy, że to jest wewnętrzna sprzeczność na gruncie KRZ (1*1=0) która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
W algebrze Kubusia która widzi logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) jest tu wszystko w porządku.
Dowód:
2: p<=>q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że spełniona jest definicja równoważności p<=>q
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Prawo Prosiaczka możemy zastosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej
Negujemy dwustronnie 1.
2’: ~(p<=>q) =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest spełniona (~) definicja równoważności p<=>q
Stąd zapis tożsamy do 2 to:
2”: ~(p<=>q) = (p=>q)*(q~>p)=1*1=1
Jak widzimy w algebrze Kubusia, w bramkach logicznych, jest tu wszystko w porządku (1*1=1)
cnd
33.1 Parodia logiki matematycznej (zwanej KRZ) wykładanej studentom AGH
Co powinien zrobić wykładowca parodii logiki matematycznej (zwanej KRZ) na AGH?
1.
Przeczytać ze zrozumieniem jedyną poprawną logikę matematyczną obowiązującą w naszym Wszechświecie, algebrę Kubusia. Nie ma możliwości by jej nie zrozumiał bo naturalnymi ekspertami tej algebry są wszystkie 5-cio latki i humaniści.
2.
Przeprosić studentów I roku AGH za pranie ich mózgów potwornie śmierdzącym gównem zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań
3.
Rozpocząć wykłady algebry Kubusia.
Najważniejszymi rozdziałami w algebrze Kubusia są punkty 1.0 i 2.0 (pierwsze 149 stron z AK)
Myślę, że sprzedanie tej wiedzy studentom I roku AGH to raptem kilka-kilkanaście wykładów, które na 100% zrozumieją.
Weźmy na tapetę parodię logiki matematycznej (zwanej KRZ) dla studentów AGH:
[link widoczny dla zalogowanych]
@AGH
Warunek konieczny (WK) i wystarczający (WW):
1: p=>q - p jest warunkiem wystarczającym dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla p.
2: p<=>q - p jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla q.
Dlaczego wykład logiki matematycznej dla studentów wyższych uczelnie technicznych (AGH) nazwałem parodią logiki matematycznej?
Odpowiedź:
Za czasów moich studiów na elektronice (politechnika W-wa) w latach 1975-1980 nikt nawet jednym słowem nie wspomniał o potwornie śmierdzącym gównie zwanym KRZ, dlatego pojęcie KRZ poznałem przypadkowo na forum ŚFINIA dopiero w roku 2006.
W laboratorium techniki cyfrowej na I roku, budowaliśmy skomplikowane układy sterowań w absolutnie naturalnej logice matematycznej człowieka.
Przełożenie takiego projektowania na teorię bramek logicznych jest banalne:
Myśląc naturalną logiką matematyczną człowieka (teraz wiem, że to algebra Kubusia) wszelkie spójniki „lub”(+) zastępujemy bramką OR, zaś wszelkie spójniki „i”(*) zastępujemy bramką AND i po bólu.
Proste sterowania w bramkach logicznych projektują nawet 5-cio latki
Dowód:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,21937.html#680043
1.9 Sterowanie windą autorstwa 5-cio latków
Wracając do wykładu „logiki matematycznej” dla studentów AGH:
Przyjmijmy symbole:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
Przeanalizujmy cytat linia po linii:
Ad.1
@AGH
Warunek konieczny (WK) i wystarczający (WW):
1: p=>q - p jest warunkiem wystarczającym dla q, a q jest warunkiem koniecznym dla p.
Na bazie powyższego zdania zapisujemy:
p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Z komentarza w zdaniu 1 wynika że q jest konieczne ~> dla p
q~>p =1 - zajście q jest konieczne ~> dla zajścia p
Innymi słowy:
Zdanie 1 to prawo Tygryska, powszechnie znane w naszym Wszechświecie:
(p=>q)*(q~>p)
Ad.2
@AGH
Warunek konieczny (WK) i wystarczający (WW):
2: p<=>q - p jest warunkiem koniecznym i wystarczającym dla q.
Na bazie powyższego zdania w powiązaniu z Ad.1 definicja równoważności p<=>q brzmi:
2: p<=>q = (p=>q)*(q~>p)=1*1=1
Dokładnie jak wyżej myśli wykładowca gówno-logiki matematycznej zwanej KRZ.
Dowód:
Gdyby fanatyk KRZ wykładający logikę matematyczną na AGH znał elementarz logiki matematycznej, to nigdy by nie kojarzył definicji równoważności p<=>q z prawem Tygryska.
Prawa Tygryska:
Mówiące o związku warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z zamianą p i q
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Prawa Tygryska, choć powszechnie znane i bezdyskusyjnie prawdziwe zarówno w algebrze Kubusia jak i w logice matematycznej ziemskich matematyków mają zero wspólnego z definicją równoważności p<=>q.
Stąd dochodzimy do problemu milenijnego, roznoszącego w puch logikę matematyczną ziemskich matematyków zwaną KRZ.
Problem milenijny:
Udowodnij poprawność matematyczną poniższego zapisu:
2: p<=>q = (p=>q)*(q~>p) =1*1=0
To co wyżej to święta prawda czysto matematyczna, która roznosi w puch totalnie całe gówno zwane KRZ (o zapis 1*1=0 tu chodzi).
Dowód:
Prawo Tygryska, dla założonej prawdziwości warunku wystarczającego p=>q=1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego q~>p =1
Stąd mamy sekwencję (1*1) w powyższym zapisie.
W wyniku mamy twarde zero, bo poprawna definicja równoważności jest fundamentalnie inna, zatem zapis 2 to fałszywa (=0) definicja równoważności.
cnd
Innymi słowy:
Każdy ziemski matematyk który wstawi tu w wyniku jeden, zamiast poprawnego zera, skacze na główkę do pustego basenu.
O ten skok na główkę do pustego basenu tu chodzi - to jest istota problemu milenijnego.
Powszechna definicja równoważności p<=>q
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
3: p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> i wystarcza =>, by zaszło p
Dowód iż definicja 1 jest powszechnie znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom).
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: dziesiątki tysięcy
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: dziesiątki tysięcy
cnd
Oczywiście matematycznie zachodzi:
3: p~>q ## 2: q~>p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Komentarz:
2: p<=>q = (p=>q)*(q~>p)=1*1=0 - równoważność fałszywa (=0)
Zauważmy, że to jest wewnętrzna sprzeczność na gruncie KRZ (1*1=0) która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
W algebrze Kubusia która widzi logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) jest tu wszystko w porządku.
Dowód:
2: p<=>q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że spełniona jest definicja równoważności p<=>q
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Prawo Prosiaczka możemy zastosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej
Negujemy dwustronnie 1.
2’: ~(p<=>q) =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest spełniona (~) definicja równoważności p<=>q
Stąd zapis tożsamy do 2 to:
2”: ~(p<=>q) = (p=>q)*(q~>p)=1*1=1
Jak widzimy w algebrze Kubusia, w bramkach logicznych, jest tu wszystko w porządku (1*1=1)
cnd
33.2 Wykład na temat równoważności p<=>q w 100-milowym lesie
Wykładowca: prof. Prosiaczek
Przyjmijmy definicje.
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q =1 <=> zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q =1 <=> zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p~>q =0
Gdzie:
## - definicje różne na mocy definicji
1.
Powszechna definicja równoważności p<=>q
Równoważność to jednocześnie zachodzący warunek wystarczający => i konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p<=>q) = (p=>q)*(p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> i wystarcza =>, by zaszło p
Dowód iż definicja 1 jest powszechnie znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom).
Klikamy na goglach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: dziesiątki tysięcy
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: dziesiątki tysięcy
cnd
Powszechnie znane:
Prawo Tygryska:
Wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~> z zamianą miejscami p i q
p~>q = q=>p
Podstawiając do 1 i mamy znaną każdemu matematykowi tożsamą definicję równoważności używaną w matematyce!
2.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Gdzie:
p=>q - matematyczne twierdzenie proste
q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne
33.2.1 Kolejne małe-wielkie odkrycie
W dniu 2024-07-15 dokonane
Na czym polega?
Dotychczas byłem zdania, że tożsamość to tożsamość i wszystkie możliwe tożsame mutacje równoważności p<=>q których jest 16 sztuk są tak samo ważne, bo są tożsame.
… i tu małe zaskoczenie:
Klikamy na googlach:
„Warunek wystarczający zachodzący w dwie strony”
Wyników: 3 - oczywiście wszystkie przekierowania do algebry Kubusia
„warunek wystarczający w dwie strony”
Wyników: 3 - oczywiście wszystkie przekierowania do algebry Kubusia
Wniosek:
Wynika z tego że mózg ludzkości jest mądrzejszy niż ustawa (matematyka) przewiduje.
Dla mózgu ludzkości poprawną definicją jest definicja 1 z dziesiątkami tysięcy jej potwierdzeń w Wikipedii. Nie oznacza to oczywiście, że tożsame odpryski definicji 1 są złe.
Wszystkie możliwe mutacje równoważności p<=>q których jest 16 sztuk są matematycznie dobre, ale rzadko lub prawie wcale nie używane w praktyce.
Uwaga:
Matematycznie potrzeba i wystarcza udowodnić dowolną z 16 mutacji równoważności p<=>q co na mocy prawa Sowy wymusza automatyczny dowód pozostałych 15 mutacji równoważności p<=>q.
33.3 Zadania milenijne
Pokłosiem odkrytego dzięki Irbisolowi problemu milenijnemu, jest zestaw prostych zadań milenijnych rozstrzygających, czy uczeń zna logikę matematyczną, algebrę Kubusia.
Przypomnijmy sobie cztery podstawowe spójniki implikacyjne omówione w punkcie 2.10.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja podstawowego spójnika implikacyjnego:
Podstawowy spójnik implikacyjny to spójnik definiowany kolumną A1B1 w matematycznych związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dający odpowiedź na pytanie o p:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =? - czy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
B1: p~>q =? - czy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q? TAK=1/NIE=0
A1B1: p?q = (~)(A1: p=>q)*(~)(B1: p~>q)
Gdzie:
? - symbol spójnika implikacyjnego
(~) - symbol negacji który może wystąpić, ale nie musi, w zależności od wartości logicznej A1 i B1
Z definicji spójnika implikacyjnego wynika, że możliwe są cztery podstawowe spójniki implikacyjne:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
##
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
##
3.
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
##
4.
Chaos p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
| Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Ogólna treść wszelkich zadań milenijnych:
Rozstrzygnij o prawdziwości/fałszywości zapisów metodą badania prawdziwości/fałszywości składników iloczynu logicznego wykorzystując podane wyżej definicje podstawowych spójników implikacyjnych
33.3.1 Zadania milenijne dotyczące równoważności p<=>q
Na pierwszy ogień weźmy zadania milenijne związane z równoważnością p<=>q
3
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR - Tabela prawdy równoważności
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Przykładowe zadania milenijne dotyczące równoważności p<=>q:
1.
p<=>q = (p=>q)*(q~>p) =1*1=0
Równoważność fałszywa (=0) bo w iloczynie logicznym brak dowolnego składnika z linii Bx
Dowód:
A1A3: p<=>q = (A1: p=>q)*(A3: q~>p)=1*1=0
Komentarz:
Zauważmy, że to jest wewnętrzna sprzeczność na gruncie KRZ (1*1=0) która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
W algebrze Kubusia która widzi logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) jest tu wszystko w porządku.
Dowód:
1: p<=>q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że spełniona jest definicja równoważności p<=>q
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Prawo Prosiaczka możemy zastosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej
Negujemy dwustronnie 1.
2: ~(p<=>q) =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest spełniona (~) definicja równoważności p<=>q
Stąd zapis tożsamy do A1A3 to:
A1A3”: ~(p<=>q) = (A1: p=>q)*(A3: q~>p)=1*1=1
Jak widzimy w algebrze Kubusia, w bramkach logicznych, jest tu wszystko w porządku (1*1=1)
cnd
2.
p<=>q = (p~>q)*(q=>p) =1*1=0
Równoważność fałszywa (=0) bo w iloczynie logicznym brak dowolnego składnika z linii Ax
Dowód:
B1B3: p<=>q = (B1: p~>q)*(B3: q=>p) = 1*1 =0
Komentarz jak wyżej.
3.
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1=1
Równoważność prawdziwa (=1) bo w iloczynie logicznym jest składnik z linii Ax oraz z linii Bx.
Dowód:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
To jest powszechnie znana podstawowa definicja równoważności p<=>q opisana kolumną A1B1.
4.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
Równoważność prawdziwa (=1) bo w iloczynie logicznym jest składnik z linii Ax oraz z linii Bx.
Dowód:
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
To jest operatorowa definicja równoważności p|<=>q (pkt. 2.14.1), czyli analiza symboliczna równoważności p<=>q (pkt. 2.14) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Na bazie tej definicji przyjmując za punkt odniesienia zdanie A1B1: p<=>q wyprowadzamy definicję zero-jedynkową równoważności A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q (pkt. 10.5.3)
5.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Równoważność prawdziwa (=1) bo w iloczynie logicznym jest składnik z linii Ax oraz z linii Bx.
Dowód:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
To jest podstawowa definicja równoważności używana w matematyce:
Równoważność p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
Gdzie:
p=>q - matematyczne twierdzenie proste
q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne
33.3.2 Zadania milenijne dotyczące implikacji prostej p|=>q
1.
Implikacja prosta p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
| Kod: |
IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Przykładowe zadania milenijne dotyczące implikacji prostej p|=>q:
1.
p|=>q = (p=>q)*(q~>p) =1*1=0
Implikacja prosta p|=>q fałszywa (=0) bo w iloczynie logicznym brak dowolnego składnika z linii Bx
Dowód:
A1A3: p|=>q = (A1: p=>q)*(A3: q~>p)=1*1=0
Komentarz:
Zauważmy, że to jest wewnętrzna sprzeczność na gruncie KRZ (1*1=0) która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
W algebrze Kubusia która widzi logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) jest tu wszystko w porządku.
Dowód:
1: p|=>q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że spełniona jest definicja implikacji prostej p|=>q
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Prawo Prosiaczka możemy zastosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej
Negujemy dwustronnie 1.
2: ~(p|=>q) =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest spełniona (~) definicja implikacji prostej p|=>q
Stąd zapis tożsamy do A1A3 to:
A1A3”: ~(p|=>q) = (A1: p=>q)*(A3: q~>p)=1*1=1
Jak widzimy w algebrze Kubusia, w bramkach logicznych, jest tu wszystko w porządku (1*1=1)
cnd
2.
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Implikacja prosta p|=>q prawdziwa (=1) bo w iloczynie logicznym jest składnik z linii Ax oraz z linii Bx.
Dowód:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
To jest definicyjna implikacja prosta p|=>q zdefiniowana kolumną A1B1
3.
p|=>q = (p=>q)*~(p=>~q) =1*~(0)=1*1=1
Implikacja prosta p|=>q prawdziwa (=1) bo w iloczynie logicznym jest składnik z linii Ax oraz z linii Bx.
Dowód:
A1B2: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B2: ~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1
To jest operatorowa definicja implikacji prostej p||=>q (pkt. 2.12.1), czyli analiza symboliczna implikacji prostej p|=>q (pkt. 2.12) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Na bazie tej definicji przyjmując za punkt odniesienia zdanie A1: p=>q wyprowadzamy definicję zero-jedynkową warunku wystarczającego p=>q (pkt. 10.1.3)
33.3.3 Zadania milenijne dotyczące implikacji odwrotnej p|~>q
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Przykładowe zadania milenijne dotyczące implikacji odwrotnej p|~>q:
1.
p|~>q = (p~>q)*(q=>p) = 1*1 =0
Implikacja odwrotna p|~>q fałszywa (=0) bo w iloczynie logicznym brak dowolnego składnika z linii Ax
Dowód:
B1B3: p|~>q = (B1: p~>q)*(B3: q=>p) =1*1=0
Komentarz:
Zauważmy, że to jest wewnętrzna sprzeczność na gruncie KRZ (1*1=0) która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
W algebrze Kubusia która widzi logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) jest tu wszystko w porządku.
Dowód:
1: p|~>q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że spełniona jest definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Prawo Prosiaczka możemy zastosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej
Negujemy dwustronnie 1.
2: ~(p|~>q) =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest spełniona (~) definicja implikacji odwrotnej p|~>q
Stąd zapis tożsamy do B1B3 to:
B1B3”: ~(p|~>q) = (B1: p~>q)*(B3: q=>p) =1*1=1
Jak widzimy w algebrze Kubusia, w bramkach logicznych, jest tu wszystko w porządku (1*1=1)
cnd
2.
p|~>q = ~(p=>q)*(p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Implikacja odwrotna p|~>q prawdziwa (=1) bo w iloczynie logicznym jest składnik z linii Ax i z linii Bx.
Dowód:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
To jest definicyjna implikacja odwrotna p|~>q zdefiniowana kolumną A1B1
3.
p|~>q = ~(p=>q)*(~p=>~q) =~(0)*1=1*1=1
Implikacja odwrotna p|~>q prawdziwa (=1) bo w iloczynie logicznym jest składnik z linii Ax i z linii Bx.
Dowód:
A1B2: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) =~(0)*1 =1*1=1
To jest operatorowa definicja implikacji odwrotnej p||~>q (pkt. 2.13.1), czyli analiza symboliczna implikacji odwrotnej p|~>q (pkt. 2.13) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Na bazie tej definicji przyjmując za punkt odniesienia zdanie B1: p~>q wyprowadzamy definicję zero-jedynkową warunku koniecznego p~>q (pkt. 10.3.3)
33.3.4 Zadania milenijne dotyczące chaosu p|~~>q
4.
Chaos p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
| Kod: |
CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=0 = 2:~p~>~q=0 [=] 3: q~>p=0 = 4:~q=>~p=0
## ## ## ##
B: 1: p~>q=0 = 2:~p=>~q=0 [=] 3: q=>p=0 = 4:~q~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Przykładowe zadania milenijne dotyczące chaosu p|~~>q
1.
p|~~>q = ~(p=>q)*~(q~>p) = ~(0)*~(0) =1*1=0
Definicja chaosu p|~~>q nie jest spełniona (=0) bo w iloczynie logicznym brak dowolnego składnika z linii Bx
Dowód:
A1A3: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(A3: q~>p)=1*1=0
Komentarz:
Zauważmy, że to jest wewnętrzna sprzeczność na gruncie KRZ (1*1=0) która nie widzi logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
W algebrze Kubusia która widzi logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) jest tu wszystko w porządku.
Dowód:
1: p|~~>q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że spełniona jest definicja chaosu p|~~>q
Prawo Prosiaczka:
(Y=0) = (~Y=1)
Prawo Prosiaczka możemy zastosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej
Negujemy dwustronnie 1.
2: ~(p|~~>q) =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że nie jest spełniona (~) definicja chaosu p|~~>q
Stąd zapis tożsamy do A1A3 to:
A1A3”: ~(p|~~>q) = ~(A1: p=>q)*~(A3: q~>p)=1*1=1
Jak widzimy w algebrze Kubusia, w bramkach logicznych, jest tu wszystko w porządku (1*1=1)
cnd
2.
p|~~>q = ~(p~>q)*~(q=>p) = ~(0)*~(0)=1*1=0
Definicja chaosu p|~~>q nie jest spełniona (=0) bo w iloczynie logicznym brak dowolnego składnika z linii Ax
Dowód:
B1B3: p|~~>q =~(B1: p~>q)*~(B3:q=>p) = ~(0)*~(0)=1*1=0
Komentarz jak wyżej.
3.
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(0)*~(0) = 1*1=1
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona (=1) bo w iloczynie logicznym jest składnik z linii Ax i z linii Bx.
Dowód:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) = 1*1=1
To jest podstawowa definicja chaosu p|~~>q opisana kolumną A1B1.
4.
p|~~>q = ~(p=>q)*~(~p=>~q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona (=1) bo w iloczynie logicznym jest składnik z linii Ax i z linii Bx.
Dowód:
A1B2: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) = 1*1=1
to jest operatorowa definicja chaosu p||~~>q (pkt. 2.15.1), czyli analiza symboliczna chaosu p|~~>q (pkt. 2.15) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Na bazie tej definicji wyprowadzamy zero-jedynkową zdarzenia możliwego p~~>q (pkt. 10.10.3)
33.3.5 Zadania milenijne złożone
Zadania milenijne złożone to zadania związane z niewłaściwym użyciem spójnika implikacyjnego.
Zobaczmy to na przykładzie równoważności p<=>q:
3
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q:
| Kod: |
TR - Tabela prawdy równoważności
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1
## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Przykładowe zadanie milenijne dotyczące równoważności p<=>q:
1.
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1=1
Równoważność prawdziwa (=1) bo w iloczynie logicznym jest składnik z linii Ax oraz z linii Bx.
Dowód:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
To jest powszechnie znana podstawowa definicja równoważności p<=>q opisana kolumną A1B1.
Zauważmy, że jeśli zostawimy prawą stronę tożsamości wymieniając spójnik równoważności na jakikolwiek inny to w każdym przypadku dostaniemy fałsz (=0)
Wszystkie możliwe przypadki to:
1.
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =?
W spójniku implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*0=0 - ta implikacja prosta p|=>q jest fałszywa
2.
A1B1: p|~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =?
W spójniku implikacji odwrotnej p|~>q mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*1=0 - ta implikacja odwrotna p|~>q jest fałszywa
3.
A1B1: p|~~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =?
W spójniku chaosu p|~~>q mamy:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =0
Stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*0=0 - ten spójnik chaosu p|~~>q jest fałszem
Dokładnie to samo można zrobić dla innego niż równoważność <=> spójnika implikacyjnego (|=>, |~>, |~~>), co pozostawiam jako pracę domową dla czytelnika.
Rozwiązanie tożsame w zapisach formalnych (ogólnych) dla wszystkich spójników znajdziemy w dowodzie prawa Puchacza (pkt. 2.10.1)
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może wchodzić w skład jednego i tylko jednego spójnika implikacyjnego.
33.4 Królestwo obłąkańców
Ziemska logika matematyczna - pozbawiony sensu bełkot obłąkańców
Opracowano na bazie dyskusji na forum śfinia i ateiście.pl
http://www.sfinia.fora.pl/filozofia,4/algebra-kubusia-rewolucja-w-logice-matematycznej,16435-7175.html#801573
@Rafal3006
Algebra Kubusia = jedyna poprawna logika matematyczna
@szaryobywatel - ziemski matematyk
Algebra Kubusia nie jest logiką matematyczną. Algebra Kubusia w ogóle nie jest teorią. Algebra Kubusia to pozbawiony sensu bełkot obłąkanego człowieka.
Fundamenty królestwa obłąkańców
Logika matematyczna ziemian stoi na definicjach wymyślonych przez dwóch obłąkańców:
Obłąkaniec I - król obłąkańców żyjący w matematycznym średniowieczu?
Obłąkaniec II - Bertrand Russell, król obłąkańców (1872-1970)
[link widoczny dla zalogowanych]
Obłąkaniec I wyssał z palca małego poniższą definicję implikacji:
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Obłąkaniec II wyssał z palca dużego fundamenty Klasycznego Rachunku Zdań
[link widoczny dla zalogowanych]
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości?
Cytat (s. 226)
Bertrand Russell:
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł: "Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym."!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
33.4.1 Uczniowie króla Obłąkańca II
Wierni uczniowie króla Obłąkańca II upowszechniają jego dzieło, by trafiło pod strzechy.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Salon24
Matryca implikacji od wieków budzi kontrowersje, niekiedy sięgające samej istoty logiki.
Matryca implikacji:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 1
0 1 1
1 0 0
0 0 1
|
Z dowolnego zdania fałszywego wynika dowolne zdanie prawdziwe (drugi wiersz matrycy) i dowolne zdanie fałszywe (czwarty wiersz matrycy). Twierdzenie to znane jest od wielu wieków w postaci łacińskiej formuły Falsum sequitur quodlibet (z fałszu wynika cokolwiek, czyli wszystko).
Mimo to, gdy Bertrand Russell opublikował swój system logiki oparty na omawianej matrycy implikacji materialnej, niektórzy filozofowie przyjęli ten system za rodzaj herezji logicznej.
Ktoś próbował wykpić B. Russella, ogłaszając list otwarty, w którym zaproponował mu do rozwiązania następujące zadanie:
Ponieważ według pana można udowodnić wszystko na podstawie jednego zdania fałszywego, proszę na podstawie fałszywego zdania "5 = 4" udowodnić, że jest pan papieżem.
Na pierwszy rzut oka zadanie to może się wydać niewykonalne. Intuicyjnie bowiem nie potrafimy dojrzeć żadnego związku między zdaniem "5 = 4" a zdaniem: "B. Russell jest papieżem".
Intuicji nie można jednak wierzyć ślepo, jest bowiem zawodna. Russell podjął zadanie i rozwiązał je w wyniku następującego rozumowania:
Opierając się na regule głoszącej, że od obu stron równości wolno odjąć tę samą liczbę, odejmuję od obu stron równości: "5 = 4", liczbę 3. Wyprowadzam w ten sposób ze zdania "5 = 4" zdanie "2 = 1".
Dowód, że jestem papieżem, jest już teraz zupełnie prosty: papież i ja to dwie osoby, ale 2 = 1 (w tym przypadku papież i B. Russell, czyli dwie osoby są jedną osobą), więc jestem papieżem.
Rozumowanie to jest zupełnie poprawne, zatem początkowa intuicja zgodnie z którą zadanie dane Russellowi wydawało się nierozwiązalne, okazała się zawodna.
Zdanie "B. Russell jest papieżem" rzeczywiście wynika ze zdania "5 = 4". Jest to przykład wynikania fałszu z fałszu (odpowiednik czwartego wiersza matrycy).
Równie łatwo możemy wykazać, że z tego samego zdania fałszywego wynika zdanie prawdziwe, np. zdanie "B. Russell jest wykształcony". Wystarczy do już wyprowadzonego zdania "B. Russell jest papieżem" dodać oczywiście prawdziwe zdanie "Każdy papież jest wykształcony" i mamy:
B. Russell jest papieżem
Każdy papież jest wykształcony
zatem B. Russell jest wykształcony
Można również łatwo wskazać inne, prawdziwe konsekwencje zdania "5 = 4", np. "B. Russell jest mężczyzną", "B. Russell zna język łaciński", B. Russell jest osobistością znaną w całym świecie" itp.
Teoretyczna możliwość wyprowadzenia dowolnego zdania z danego zdania fałszywego nie zawsze jest równoznaczna z praktyczna łatwością wykonania takiego zadania. Ale takie zadanie jest do rozwiązania.
33.4.2 Świadomość życia w szpitalu psychiatrycznym dla obłąkańców
Świadomość życia w szpitalu psychiatrycznym dla obłąkańców ma wielu ziemskich matematyków przy zdrowych zmysłach.
[link widoczny dla zalogowanych]
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
@Rafal3006
Ostatnie zdanie jest już nieaktualne bo:
Algebra Kubusia, logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat martwy i żywy (w tym język potoczny człowieka) została rozszyfrowana.
33.4.3 Absolutna głupota potwornie śmierdzącego gówna zwanego KRZ
Definicja ziemskiej implikacji podana przez Macjana w mojej dyskusji na śfinii:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Teraz uwaga!
Jak się udowadnia prawdziwość implikacji na gruncie KRZ doskonale wyjaśnił mój wróg Nr.1 na ateiście.pl, potwornie zarozumiały matematyk Windziarz po matematyce na Uniwersytecie Toruńskim.
Oto rzeczywisty algorytm nieskończonego iterowania na gruncie KRZ poszukujący pustynnej fatamorgany na gruncie logiki matematycznej.
Proszę zapiąć pasy, bo będą kosmiczne brednie gówna zwanego KRZ zademonstrowane na ateiście.pl w dniu 28.02.2010 przez potwornie zarozumiałego fanatyka KRZ, Windziarza.
Stan algebry Kubusia na dzień 2024-06-29
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna rzez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Znaczenie zdania A1 w algebrze Kubusia:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24…] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] - co każdy matematyki udowodni kiwnięciem małego palca w bucie.
[link widoczny dla zalogowanych]
28.02.2010, 23:08
@Windziarz
Cały czas problem z Kubusizmem polega na tym, że Rafał nie odróżnia zdań od funkcji zdaniowych.
Rafał pisze:
P8=>P2
Logicy piszą:
∀x.(P8(x)=>P2(x))
Rafał sprawdza:
(tutaj niepowtarzalny słowomyślotok zakończony słowami "implikacja prosta prawdziwa")
Logicy sprawdzają:
Dla x=0 P8(x)=1, P2(x)=1, (P8(x)=>P2(x))=(1=>1)=1
Dla x=1 P8(x)=0, P2(x)=0, (P8(x)=>P2(x))=(0=>0)=1
Dla x=2 P8(x)=0, P2(x)=1, (P8(x)=>P2(x))=(0=>1)=1
Dla x=7 P8(x)=0, P2(x)=0, (P8(x)=>P2(x))=(0=>0)=1
Dla x=8 P8(x)=1, P2(x)=1, (P8(x)=>P2(x))=(1=>1)=1
(a tak naprawdę stosują indukcję, by nie zapętlić się w nieskończoność)
Wyszły same jedynki - twierdzenie udowodnione.
Zauważmy, że w Windziarzowym iterowaniu po nieskończonym zbiorze liczb naturalnych LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] ziemska implikacja będzie fałszem wtedy i tylko wtedy gdy tabela zero-jedynkowa implikacji P8=>P2 zwróci wartość logiczną P8=>P2 =1 na zapytanie:
P8(x)=1 i P2(x)=0
W każdym innymi przypadku tabela zero-jedynkowa implikacji prostej P8=>P2 zwróci nam wartość logiczną 1
To takie polowanie na pustynną fatamorganę czas zacząć.
Problem w tym, ze dla udowodnienia prawdziwości zdania A1: P8=>P2 w tym systemie musimy przeiterować kompletny, nieskończony zbiór liczb naturalnych - jak to zrobić tego nie wie nikt, nawet sam Pan Bóg.
Dowód:
| Kod: |
Definicja zero-jedynkowa ziemskiej implikacji P8=>P2
P8 P2 P8=>P2
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
Doskonale widać nieskończoną głupotę iterowania ziemskiej implikacji w gównie zwanym Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Na czym ta głupota polega?
1.
Nie ma tu mowy by dojść do definicji warunku wystarczającego => jak to jest w algebrze Kubusia co zademonstrowałem wyżej w zdaniu A1.
Innymi słowy:
Nie ma tu absolutnie żadnych podstaw matematycznych by dla rozstrzygnięcia prawdziwości warunku wystarczającego A1:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna rzez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
badać czy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
2.
Co więcej, przy gówno-iterowaniu KRZ nie ma mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym =>.
Innymi słowy:
Gówno zwane KRZ z definicji nie widzi jakiegokolwiek warunku wystarczającego => bo przy iterowaniu jak u Windziarza wykluczone jest stwierdzenie tego faktu.
3.
Gówno zwane iterowaniem KRZ to błąd czysto matematyczny przy iterowaniu twierdzenia Pitagorasa.
Na czym ten błąd polega?
Twierdzenie Pitagorasa:
Jeśli trójkąt jest Prostokątny (TP) to zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
Windziarzowe iterowanie po nieskończonym zbiorze wszystkich możliwych trójkątów generuje nam tu zero-jedynkową tabelę prawdy
| Kod: |
TP SK TP=>SK
A: 1 1 =1 - istnieje (=1) trójkąt prostokątny ze spełnioną SK
B: 1 0 =0 - nie istnieje (=0) trójkąt prostokątny z niespełnioną SK
C: 0 0 =1 - istnieje (=1) trójkąt nieprostokątny z niespełnioną SK
D: 0 1 =1 - istnieje (=1) trójkąt nieprostokątny ze spełnioną SK
|
Linia D powstała „dzięki” KRZ-owskiemu iterowaniu Windziarza wyżej, to oczywisty błąd czysto matematyczny który na gruncie algebry Kubusia dowodzi się w trywialny sposób.
Ten błąd w linii D to koszmar wszystkich ziemskich matematyków, którzy dwoją się i troją przykrywając gówno w linii D różnymi kocykami by mniej śmierdziało.
Niestety, zapachu gówna w linii D nie da się fizycznie zabić.
Najśmieszniejsze tłumaczenie tej jedynki w linii D wyżej podał Windziarz z ateisty.pl
Windziarz do Rafała3006:
Udowodnij że w innym Wszechświecie nie ma jedynki w linii D
- a widzisz, nie potrafisz, dlatego jedynka w linii D jest matematycznie poprawnie zapisana.
4.
Windziarzowe iterowania jest totalnie bez sensu!
Dlaczego?
Po pierwsze jest matematycznie błędne co udowadnia twierdzenie Pitagorasa wyżej, a po drugie w zdaniu A1: P8=>P2 nawet Bóg nie przeiteruje kompletnego, nieskończonego zbioru liczb naturalnych w zdaniu A1: P8=>P2 które to iterowanie jest konieczne dla stwierdzenia prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna rzez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Dziedzina po której iterujemy:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 12:36, 18 Lip 2024, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 20:31, 16 Lip 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
34.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji prostej p||=>q
Spis treści
34.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji prostej p||=>q 1
34.1 Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q 1
34.1.1 Symboliczna definicja operatora implikacji prostej p||=>q 3
34.1.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => 3
34.1.3 Odzyskanie symbolicznej definicji operatora implikacji prostej p||=>q 4
34.2 Geneza wynikowych zer i jedynek w operatorze implikacji prostej p||=>q 7
34.2.1 Prawo matematycznego głąba 9
34.3 Operator implikacji prostej p||=>q vs algebra Boole’a 11
34.4 Przykład implikacji prostej P|=>4L 14
34.4.1 Operator implikacji prostej P||=>4L 16
34.4.2 Operator implikacji prostej P||=>4L vs algebra Boole’a 19
34.4.3 Prawo matematycznego jełopa w operatorze implikacji prostej P||=>4L 20
34.4.4 Irbisol, fanatyk KRZ uczy dzieci logiki matematycznej w przedszkolu 23
34.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji prostej p||=>q
Uwagi:
1.
Warunkiem koniecznym zrozumienia niniejszego punktu jest przeczytanie ze zrozumieniem fundamentów algebry Kubusia dla teorii zbiorów zawartych w punkcie 13.0
2.
Aktualna logika matematyczna ziemskich matematyków jest w 100% logiką schizofreniczną, mającą zerowy związek z otaczającym nas światem rzeczywistym, czego dowodem są prawa matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji prostej p||=>q wyprowadzone w niniejszym punkcie.
34.1 Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Podstawmy definicję implikacji prostej p|=>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy w implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania w serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość pozostałych zdań w tej linii
34.1.1 Symboliczna definicja operatora implikacji prostej p||=>q
Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Na mocy tabeli implikacji prostej IP łatwo zapisujemy operatorową definicję implikacji prostej p||=>q
| Kod: |
IP1
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej p||=>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=1 musi być fałszem
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=0 musi być prawdą
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
34.1.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego =>
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q w wersji skróconej:
| Kod: |
T1
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p||=>q |
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego p=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym =>:
A1: p=>q
W warunku wystarczającym A1: p=>q zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego A1: p=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T1_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
| Kod: |
T2
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p||=>q | | | p q p=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0 =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0 =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1 =1
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T2_789 nazywamy definicją warunku wystarczającego => w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zerojedynkowego.
Interpretacja warunku wystarczającego =>:
T2_789: p=>q - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Do zapamiętania:
| Kod: |
T3
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p=>q)=~p+q
A1: 1=>1 1
A1’: 1=>0 0
A2: 0=>0 1
B2’: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
Uwaga:
Dla ułatwienia zrozumienia, indeksowanie linii w warunku wystarczającym p=>q (tabela T3) jest zgodne z tabelą prawdy operatora implikacji prostej p||=>q (tabela IP1), co matematycznie jest bez znaczenia.
34.1.3 Odzyskanie symbolicznej definicji operatora implikacji prostej p||=>q
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość pozostałych zdań w tej linii
Na mocy powyższego punktu, wiedząc skąd bierze się zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => łatwo odzyskać symboliczną definicję operatora implikacji prostej p||=>q
Dowód:
Niech będzie dana zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q
| Kod: |
T3
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p=>q)=~p+q
A1: 1=>1 1
A1’: 1=>0 0
A2: 0=>0 1
B2’: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
Algorytm odzyskiwania symbolicznej definicji operatora implikacji prostej p||=>q to cztery proste kroki.
Krok 1
Zapisujemy zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
(q=0)=(~q=1)
| Kod: |
T4
Odzyskiwanie symbolicznej definicji operatora implikacji prostej p||=>q
z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego =>.
Y=~p+q
p q Y=p=>q|
A1: 1 1 1 | p~~> q= p* q=1 - zbiory p i q mają (=1) element wspólny
A1’: 1 0 0 | p~~>~q= p*~q=0 - p i ~q nie mają (=0) elementu wspólnego
A2: 0 0 1 |~p~~>~q=~p*~q=1 - ~p i ~q mają (=1) element wspólny
B2’: 0 1 1 |~p~~> q=~p* q=1 - zbiory ~p i q mają (=1) element wspólny
1 2 3
|
Uwaga:
Indeksowanie linii w poniższej analizie jest zgodne z symboliczną tabelą prawdy implikacji prostej p|=>q przedstawionej w tabeli IP wyżej.
Krok 2
Fałszywy (=0) kontrprzykład w linii A1’:
A1’: p~~>~q=p*~q=0
wymusza prawdziwy (=1) warunek wystarczający w linii A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Krok 3
Prawdziwy kontrprzykład w linii B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q=1
wymusza fałszywy warunek wystarczający => w linii B2:
B2: ~p=>~q =0
Zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p nie jest podzbiorem ~q
Krok 4
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q =0
Fałszywy (=0) warunek wystarczający w linii B2:
B2: ~p=>~q =0
na mocy prawa Kubusia wymusza fałszywy (=0) warunek konieczny w punkcie B1.
B1: p~>q =0
Stąd mamy dowód, iż spełniona jest definicja implikacji prostej p|=>q (tabela IP) bo:
B1: p~>q =1
oraz:
A1: p=>q =0
Na mocy prawa Sowy mamy dowód, iż spełniona jest definicja operatora implikacji prostej p||=>q dająca odpowiedź na pytanie o p (kolumna A1B1) oraz na pytanie o ~p (kolumna A2B2)
| Kod: |
IP1
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej p||=>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=1 musi być fałszem
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=0 musi być prawdą
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
34.2 Geneza wynikowych zer i jedynek w operatorze implikacji prostej p||=>q
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
W punkcie 34.1.2 dowiedzieliśmy się skąd bierze się zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
| Kod: |
T3
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p=>q)=~p+q
A1: 1=>1 1
A1’: 1=>0 0
A2: 0=>0 1
B2’: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
Natomiast w punkcie 34.1.3 poznaliśmy algorytm działania odwrotnego, czyli w kierunku od zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego p=>q=~p+q do symbolicznej definicji operatora implikacji prostej p||=>q
| Kod: |
IP1
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej p||=>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=1 musi być fałszem
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=0 musi być prawdą
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy, że udowadniając spełnienie warunku wystarczającego w linii A1:
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
automatycznie udowadniamy:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego A1: p=>q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie):
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=1 musi być fałszem
2.
Na mocy prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość warunku wystarczającego A1: p=>q =1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego A2 w kolumnie A2B2 (i odwrotnie)
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
KONIEC!
Nic więcej z udowodnionego warunku wystarczającego A1: p=>q =1 nie wynika.
Zauważmy, że z udowodnionej prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q=1 (matematyczne twierdzenie proste) w żaden sposób nie wynika prawdziwość kontrprzykładu w linii B2’:
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=0 musi być prawdą
Dla udowodnienia prawdziwości kontrprzykładu w linii B2’ musimy udowodnić fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =0
Najłatwiej to zrobić korzystając z prawa kontrapozycji.
Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
Zauważmy że:
B3: q=>p to matematyczne twierdzenie odwrotne w stosunku do twierdzenia prostego A1: p=>q
Na mocy definicji zachodzi:
Twierdzenie proste A1: p=>q ## Twierdzenie odwrotne B3: q=>p
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji (co doskonale widać w tabeli IP)
p i q w zdaniach A1, A1’, A2 i B2’ musi być tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia.
Wnioski:
1.
Jedynkę w linii B2’ mamy prawo postawić wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy fałszywość matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p=0 w stosunku do udowodnionego twierdzenia prostego A1: p=>q =1
2.
Alternatywnie jedynkę w linii B2’ udowadniamy pokazując jeden element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
B2’:~p~~>q =~p*q=1 - Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Alternatywny sposób udowodnienia jedynki w punkcie B2’ jest prosty, ale ten dowód ma zero wspólnego z udowodnionym warunkiem wystarczającym w linii A1.
W aktualnie obowiązującej logice matematycznej ziemskich matematyków nie jest widoczny jakikolwiek warunek wystarczający bowiem obligatoryjnie stosowane jest tu prawo eliminacji warunku wystarczającego, poprawne również w algebrze Kubusia:
A1: p=>q = ~p+q
gdzie o żadnym warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> mowy być nie może.
Warunek wystarczający A1: p=>q z algebry Kubusia w ziemskiej logice matematycznej nosi nazwę implikacji, co nie ma nic wspólnego z pojęciami implikacja prosta p|=>q i implikacja odwrotna p||~>q z algebry Kubusia.
34.2.1 Prawo matematycznego głąba
Prawo eliminacji implikacji w ziemskiej logice matematycznej:
A1: p=>q =~p+q
Dowód iż definicja ziemskiej implikacji => nie ma nic wspólnego z warunkiem wystarczającym => w rozumieniu algebry Kubusia to aktualnie obowiązująca definicja ziemskiej implikacji =>, podana przez Macjana.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Potwierdzenie definicji Macjana przez wykładowcę logiki matematycznej na AGH Kraków.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wykład logiki matematycznej na AGH
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi.
Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda (TRUE, 1); Fałsz (FALSE, 0 ) (czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu). Nie są zdaniami logicznymi zdania pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne (spójniki):
- jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja - ~ - (nieprawda, że ...)
- dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja - * - (...i... )
alternatywa - + - (...lub...)
implikacja - => - (jeżeli ..., to...)
równoważność - <=> - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
Zero-jedynkowe definicje dwuargumentowych spójników logicznych to:
| Kod: |
p q | p*q | p+q | p=>q | p<=>q
1 1 | 1 | 1 | 1 | 1
1 0 | 0 | 1 | 0 | 0
0 1 | 0 | 1 | 1 | 0
0 0 | 0 | 0 | 1 | 1
|
@Rafal3006
Jak widzimy, w wykropkowane miejsca możemy wstawiać cokolwiek, byleby temu „cokolwiek” dało się przypisać pojęcie prawdy (=1) albo fałszu (=0), co lokuje nas w definicji implikacji materialnej rodem z Klasycznego Rachunku Zdań.
Jak udowodniliśmy w punkcie 34.2 udowodnienie prawdziwości matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q=1 w żaden sposób nie wymusza rzeczywistej jedynki w punkcie B2’.
| Kod: |
IP1
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej p||=>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=1 musi być fałszem
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =x - udowodnienie prawdziwości A1 nie determinuje jedynki w B2’!
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja matematycznego twierdzenia prostego A1:
A1: p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..].
Udowodnić relację podzbioru P8=>P2=1 potrafi każdy matematyk.
Stąd mamy:
Prawo Matematycznego super-głąba:
Matematycznym super-głąbem jest każdy fanatyk KRZ który korzysta z ziemskiej definicji implikacji podanej przez Macjana, potwierdzonej przez wykładowcę logiki „matematycznej” na AGH, która w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie wymaga badania jakiejkolwiek relacji w zbiorach między poprzednikiem p i następnikiem q.
Prawo matematycznego głąba:
Matematycznym głąbem jest każdy matematyk który po udowodnieniu matematycznego twierdzenia prostego w punkcie A1: p=>q =1 (to matematycy potrafią) postawi przyniesioną w teczce jedynkę w linii B2’.
Niestety, na dzień dzisiejszy wszyscy matematycy są głąbami, bo wszyscy potrafią poprawnie udowodnić matematyczne twierdzenie proste A1: p=>q=1 stawiając jednak wyjętą z dupy (nie popartą dowodem) jedynkę w punkcie B2’.
34.3 Operator implikacji prostej p||=>q vs algebra Boole’a
Zacznijmy od podstawowej definicji implikacji prostej p|=>q, gdzie w kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania w linii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Fałszywość dowolnego zdania w linii Bx wymusza fałszywość pozostałych zdań w tej linii
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości w zbiorach:
Warunek wystarczający p=>q = relacja podzbioru p=>q
p=>q =1 <=> zbiór p jest podzbiorem q
Inaczej
p=>q =0
##
Warunek konieczny p~>q = relacja nadzbioru p~>q
p~>q =1 <=> zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (patrz tabela IP)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Zbiór p jest podzbiorem zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Wspólna dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, q, ~p, ~q, będą niepuste.
Dowód w diagramie DIP niżej.
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów A1, B2', A2 |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Operator implikacji prostej p||=>q to odpowiedź na dwa pytania:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Stąd mamy:
| Kod: |
IP1
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej p||=>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=> q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=1 musi być fałszem
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=0 musi być prawdą
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy symboliczną definicję operatora implikacji prostej p||=>q kodowaną zarówno spójnikami elementarnymi zdań warunkowych „Jeśli p to q” (=>, ~>, ~~>) jak i definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów
p~~>q =p*q =1 wtedy i tylko wtedy gdy istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
| Kod: |
IP2
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej p||=>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
Y
A1: p=> q =1 = p* q =1 -jeśli p=>q=1 to istnieje(=1) wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=0 = p*~q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element p*~q
A2: ~p~>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p~>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =1 =~p* q =1 -istnieje wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3 4 5 6
|
Komentarz:
Linia A1:
Jeśli spełniony jest warunek wystarczający A1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (diagram DIP)
to iloczynem logicznym zbiorów p i q to jest zbiór p, czyli zbiór p*q jest zbiorem niepustym (=1)
Linia A1’:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q = p*~q =0 - co oznacza brak (=0) wspólnego elementu zbiorów p i ~q (diagram DIP)
Linia A2:
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Na mocy prawa Kubusia spełniony warunek wystarczający w punkcie A1: p=>q=1 wymusza spełniony warunek konieczny A2: ~p~>~q w punkcie A2
Jeśli spełniony jest warunek konieczny A2:
A2: ~p~>~q =1 - bo ~p jest nadzbiorem ~> ~q (diagram DIP)
to iloczynem logicznym zbiorów ~p i ~q jest zbiór ~q, czyli zbiór ~p*~q jest zbiorem niepustym (=1)
Linia B2’:
Istnieje wspólny element zbiorów ~~> ~p i q:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 (diagram DIP)
Fakt 1:
Zauważmy, że w analizie operatora implikacji prostej p||=>q zbiory niepuste i rozłączne to: A1, A2, B2’.
Dowód rozłączności tych zbiorów (diagram DIP):
(A1: p*q)*(A2:~p*~q) =[] - bo p*~p=[]
(A1: p*q)*(B2’: ~p*q] =[] - bo p*~p=[]
(A2: ~p*~q)*(B2’: ~p*q) =[] - bo p*~p=[]
cnd
Fakt 2:
Z faktu 1 wynika, że dziedziną D w tabeli IP2 jest sumą logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D = A1: p*q + A2: ~p*~q + B2’: ~p*q (diagram DIP)
Funkcja logiczna Y opisująca tabelę symboliczną 456 w tabeli prawdy IP2 to:
Y = A1: p*q + A2: ~p*~q + B2’: ~p*q
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub A2: ~p=1 i ~q=1 lub B2’:~p=1 i q=1
Zauważmy, że jeśli dowolny składnik sumy logicznej w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym przyjmie wartość logiczną miękkiej jedynki to wymusi ona miękkie zera w pozostałych składnikach sumy logicznej.
Definicja miękkiej jedynki I miękkiego zera:
Miękka jedynka i miękkie zero to wartościowanie sumy logicznej opisującej zbiory niepuste i rozłączne dla konkretnego składnika sumy logicznej.
Dowód:
Załóżmy, że wylosowaliśmy element B2’:
Y(B2’) = B2’: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y(B2’)=1 <=> B2’: ~p=1 i q=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(~p=1)=(p=0)
(q=1)=(~q=0)
Dla tego przypadku (iterowania) Y(B2’) mamy:
Y = A1: p*q + A2: ~p*~q + B2’: ~p*q
Y(B2’) = A1: 0*1 + A2: 1*0 + B2’: 1*1 = A1: 0 + A2: 0 + B2’: 1
Y(B2’) = B2’: ~p*q
cnd
Wniosek:
Doskonale tu widać sens definicji miękkich jedynek i miękkich zer w logice matematycznej.
Wnioski z Fakt 1 i Fakt 2:
Linia A1:
Jeśli z dziedziny D wylosujemy element należący do zbioru A1: p*q (miękka jedynka) to dla tego losowania linie A2 i B2’ będą zbiorami pustymi [] (miękkie zera)
Linia A2:
Jeśli z dziedziny D wylosujemy element należący do zbioru A2: ~p*~q (miękka jedynka) to dla tego losowania linie A1 i B2’ będą zbiorami pustymi [] (miękkie zera)
Linia B2’:
Jeśli z dziedziny D wylosujemy element należący do zbioru B2’: ~p*q (miękka jedynka) to dla tego losowania linie A1 i A2 będą zbiorami pustymi [] (miękkie zera)
Innymi słowy:
Z dziedziny D nie możemy wylosować elementu który by należał jednocześnie do dwóch dowolnych zbiorów rozłącznych A1, A2, B2’.
34.4 Przykład implikacji prostej P|=>4L
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=1), ale nie jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=0)
| Kod: |
IP
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B': 2:~p~~>q =1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy w implikacji prostej p|=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania w serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Fałszywość dowolnego zdania serii Bx wymusza fałszywość pozostałych zdań w tej linii
Weźmy zdanie wypowiedziane pasujące do tabeli implikacji prostej p|=>q.
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) to ma cztery łapy (4L)
P=>4L =1
Na mocy prawa Kłapouchego zdanie A1 jest domyślnym punktem odniesienia:
p=>q =1
Gdzie:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy P=[pies]
q=4L=[pies, słoń..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..]
Dowód na poziomie 5-cio latka:
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy (4L) bo wszystkie psy mają cztery łapy
Dowód na poziomie ucznia I klasy LO:
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy (4L) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] - co jak widać jest spełnione.
Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z implikacją prostą p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy zdanie B1:
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) to ma cztery łapy (4L)
P~>4L =0
Bycie psem (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> by mieć cztery lapy 4L bo zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru 4L=[pies, słoń ..] - co każdy 5-cio latek widzi.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania warunkowe „Jeśli p to q” brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód to zdania A1 i B1 wyżej.
Różność matematyczną zdań A1 i B1 rozpoznajmy po ich matematycznym kodowaniu.
Zdania A1 i B1 są różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
| Kod: |
TK - tabela Kameleona
Definicja warunku wystarczającego => ## Definicja warunku koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) = p+~q
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y w tej samej logice (tu dodatniej bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy prawe strony tych funkcji nie są tożsame
Tabela Kameleona TK spełnia definicję znaczka różne na mocy definicji ##
Stąd mamy dowód iż zdanie wypowiedziane A1: P=>4L jest częścią implikacji prostej P|=>4L.
Definicja implikacji prostej P|=>4L:
Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>4P=1 - bycie psem wystarcza => by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest konieczne ~> by mieć cztery lapy bo kontrprzykład: Słoń
Stąd mamy:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1=1
34.4.1 Operator implikacji prostej P||=>4L
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach wyprowadzono w punkcie 34.3
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina D - suma logiczna zbiorów A1, B2', A2 |
| D=A1: p*q + A2:~p*~q + B2’:~p*q |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Operator implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na dwa pytania:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Mamy nasze zdanie wypowiedziane A1.
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to ma cztery łapy (4L)
P=>4L =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
p=>q =1
Gdzie:
p=P=[pies] - zbiór jednoelementowy P=[pies]
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..]
Wspólna dziedzina dla poprzednika p i następnika q to:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, słoń, kura ..]
Obliczmy potrzebne nam do dalszej analizy zbiory ~p i ~q definiowane jako zaprzeczenia zbiorów p i q we wspólnej dziedzinie ZWZ:
~p=~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt ZWZ z wykluczeniem psa (~P)
~q=~4L=[ZWZ-4L] =[kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt ZWZ nie mających czterech łap (~4L)
Podsumowując dla naszego przykładu mamy:
p = P=[pies]
q = 4L=[pies, słoń ..]
~p=~P=[słoń, kura ..]
~q=~4L=[kura..]
Analiza operatora implikacji prostej p||=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy psa (P)?
Z kolumny A1B1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to ma cztery łapy (4L)
P=>4L =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1 (patrz diagram DIP)
Dowód na poziomie 5-cio latka:
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy (4L) bo każdy pies ma cztery łapy
Dowód na poziomie ucznia I klasy LO:
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy (4L) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Zauważmy że:
Jeśli zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..] to na 100% istnieje wspólny element ~~> zbiorów P i 4L
A1: P~~>4L = [pies]*[pies, słoń ..] =1 bo pies
To samo w zapisach formalnych:
A1: p~~>q=p*q =1 (diagram DIP)
Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1: P=>4L=1 musi być fałszem.
A1’
Jeśli zwierzę jest psem (P) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L)
P~~>~4L = P*~4L =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0 (diagram DIP)
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że istnieje wspólny element zbiorów p i ~q (diagram DIP)
Dowód „nie wprost”:
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wynika z prawdziwości warunku wystarczającego A1: P=>4L
Dowód wprost:
P~~>~4L = P*~4L = [pies]*[kura ..] =0
Jednoelementowy zbiór P=[pies] jest rozłączny ze zbiorem zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..], zatem zbiory te nie mają elementu wspólnego.
cnd
.. a jeśli zwierzę nie jest psem (~P)?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P)?
Z kolumny A2B2 odczytujemy:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P) to może ~> nie mieć czterech (~4L)
~P~>~4L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1 (diagram DIP)
Dowód „nie wprost”:
Nie bycie psem (~P) jest konieczne ~> by nie mieć czterech łap (~4L) bo jak się jest psem (P) to na 100% => ma się cztery łapy (4L)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~4L = A1: P=>4L
Dowód wprost:
Nie bycie psem (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie mieć czterech łap (~4L) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura..]
Zauważmy że:
Jeśli zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura..] to na 100% istnieje wspólny element zbiorów ~P i ~4L
~P~~>~4L = [słoń, kura..]*[kura..] =1 bo kura
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q =~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q (diagram DIP)
LUB
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P) to może ~~> mieć cztery łapy (4L)
~P~~>4L=~P*4L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1 (diagram DIP)
istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P=[słoń, kura…] oraz 4L=[pies, słoń ..] np. słoń
Pokazanie jednego takiego zwierzaka np. słonia kończy dowód istnienia elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P i 4L
Zauważmy, że nie zachodzi tu ani relacja podzbioru =>:
~P=[słoń, kura..] => 4L=[pies, słoń..] =0 - bo kury nie ma w zbiorze 4L=[pies, słoń..]
ani też relacja nadzbioru ~>:
~P=[słoń, kura..] ~> 4L=[pies, słoń..] =0 - bo psa nie ma w zbiorze ~P=[słoń, kura..]
34.4.2 Operator implikacji prostej P||=>4L vs algebra Boole’a
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji prostej P||=>4L w powiązaniu z algebrą Boole’a
| Kod: |
IP3
Symboliczna definicja operatora implikacji prostej p||=>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
Y Y=~p+q=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q
A1: p=> q =1 = p* q =1 -jeśli p=>q=1 to istnieje wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=0 = p*~q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element p*~q =0
A2: ~p~>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p~>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =1 =~p* q =1 -istnieje wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3 4 5 6
Definicja operatora implikacji prostej P||=>4L dla naszego przykładu A1
Gdzie:
p=P - zbiór jednoelementowy P=[pies]
q=4L - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..]
Y Y=~P+4L=A1: P*4L+A2:~P*~4L+B2’:~P*4L
A1: P=> 4L =1 = P* 4L =1 -jeśli P=>4L=1 to istnieje wspólny element P*4L=1
A1’: P~~>~4L=0 = P*~4L =0 -nie istnieje (=0) wspólny element P*~4L =0
A2: ~P~>~4L =1 =~P*~4L =1 -jeśli ~P~>~4L=1 to istnieje element ~P*~4L=1
B2’:~P~~>4L =1 =~P* 4L =1 -istnieje wspólny element zbiorów ~P i 4L
1 2 3 4 5 6
|
Zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q (123) otrzymujemy kodując tabelę symboliczną operatora implikacji prostej p||=>q (123) względem linii A1: p=>q.
Jak to się robi wyjaśniliśmy w punkcie 34.1.2
Aktualna, ziemska logika „matematyczna” nie zna tabeli symbolicznej operatora implikacji prostej p||=>q (123) wyrażonej spójnikami implikacyjnymi (=>, ~>, ~~>)
Ziemska logika matematyczna obligatoryjnie korzysta tu z prawa eliminacji warunku wystarczającego, poprawnego również w algebrze Kubusia
A1: p=>q = ~p+q
W tym momencie przechodzimy do algebry Boole’a zapisanej symbolicznie w kolumnach 456, która rozpoznaje tylko i wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego
Zauważmy, że w algebrze Boole’a nie istnieją elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach {=>, ~>, ~~>} dostępne w algebrze Kubusia:
1.
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
2.
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
3.
p~~>q = p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
Idźmy zatem tropem ziemskiej logiki nie znającej definicji elementarnych spójników implikacyjnych {=>,~>, ~~>}
Dla dowodu, iż w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” ziemska logika matematyczna nie ma najmniejszego pojęcia zarówno o warunku wystarczającym => jak i koniecznym ~> posłużymy się naszym przykładem A1: P=>4L
34.4.3 Prawo matematycznego jełopa w operatorze implikacji prostej P||=>4L
Równanie algebry Boole’a opisujące tabelę symboliczną 456 to:
Y = A1: P*4L + A2: ~P*~4L + B2’: ~P*4L
Dziedzina dla funkcji logicznej Y to:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
I.
Losowanie A1:
| Kod: |
IP3
Definicja operatora implikacji prostej P||=>4L dla naszego przykładu A1
Gdzie:
p=P - zbiór jednoelementowy P=[pies]
q=4L - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..]
Y Y=(A1: P=>4L)=~P+4L=A1: P*4L+A2:~P*~4L+B2’:~P*4L
A1: P=> 4L =1 = P* 4L =1 -jeśli P=>4L=1 to istnieje wspólny element P*4L=1
A1’: P~~>~4L=0 = P*~4L =0 -nie istnieje (=0) wspólny element P*~4L =0
A2: ~P~>~4L =1 =~P*~4L =1 -jeśli ~P~>~4L=1 to istnieje element ~P*~4L=1
B2’:~P~~>4L =1 =~P* 4L =1 -istnieje wspólny element zbiorów ~P i 4L
1 2 3 4 5 6
|
Równanie algebry Boole’a opisujące tabelę symboliczną 456 to:
Y = A1: P*4L + A2: ~P*~4L + B2’: ~P*4L
Załóżmy, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosowaliśmy psa (P=1), który ma cztery łapy (4L=1):
P*4L=[pies]
Dla tego losowania lądujemy w linii A1 (456):
A1: Y(A1)=P*4L=1*1=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(P=1)=(~P=0)
(4L=1)=(~4L=0)
Podstawmy to do równania Y opisującego tabelę symboliczną algebry Boole’a 456:
Y(A1) = A1: (P=1)*(4L=1) + A2: (~P=0)*(~4L=0) + B2’: (~P=0)*(4L=1) = A1: 1 + A2: 0 + B2’: 0
Stąd mamy:
A1: Y(A1) = A1: P*4L
Co w logice jedynek oznacza:
A1: Y(A1)=1 <=> A1: P=1 i 4L=1
Jak widzimy dla psa (P=1) mającego cztery lapy (4L=1) wyłącznie funkcja cząstkowa Y(A1) będzie prawdą, pozostałe funkcje cząstkowe przyjmą wartość logiczną FAŁSZ (=0):
A2: Y(A2) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie A2 będzie tu fałszem A2: ~P~>~4L=0
B2”: Y(B2’) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie B2’ będzie tu fałszem B2’: ~P~~>4L =0
Podsumowując:
Nasza funkcja cząstkowa Y(A1) przyjmie brzmienie:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
A1: P=>4L =1
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1 (diagram DIP)
Zdanie A1 jest prawdziwe tylko i wyłącznie dla psa.
Bycie psem (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => by mieć cztery łapy wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Wniosek z linii A1:
Błędem czysto matematycznym ziemskich matematyków jest twierdzenie, że zdanie A1: P=>4L jest prawdziwe dla dowolnego zwierzęcia ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ, czyli jest prawdziwe dla:
Y(A1) = [P*4L] = [pies] =1
Y(A2) = [~P*~4L] = [kura, mrówka, wąż, wieloryb …] =1
Y(B2’) = [~P*4L] = [słoń, koń, hipopotam ..] =1
Innymi słowy:
Totalnie cała aktualna logika „matematyczna” to potwornie śmierdzące gówno, żadna logika matematyczna.
cnd
Prawo matematycznego jełopa:
Dowolny matematyk który twierdzi, że zdanie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=1
jest prawdziwe dla dowolnego zwierzęcia ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ=[pies, słoń, kura, mrówka, wąż, wieloryb, pchła, hipopotam ..]
jest matematycznym jełopem
Niestety, pod definicję matematycznego jełopa podpada każdy ziemski matematyk - żaden z tych nieszczęśników nie jest przy zdrowych zmysłach.
II.
Losowanie A2:
| Kod: |
IP3
Definicja operatora implikacji prostej P||=>4L dla naszego przykładu A1
Gdzie:
p=P - zbiór jednoelementowy P=[pies]
q=4L - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..]
Y Y=(A1: P=>4L)=~P+4L=A1: P*4L+A2:~P*~4L+B2’:~P*4L
A1: P=> 4L =1 = P* 4L =1 -jeśli P=>4L=1 to istnieje wspólny element P*4L=1
A1’: P~~>~4L=0 = P*~4L =0 -nie istnieje (=0) wspólny element P*~4L =0
A2: ~P~>~4L =1 =~P*~4L =1 -jeśli ~P~>~4L=1 to istnieje element ~P*~4L=1
B2’:~P~~>4L =1 =~P* 4L =1 -istnieje wspólny element zbiorów ~P i 4L
1 2 3 4 5 6
|
Załóżmy, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosowaliśmy zwierzę które nie jest psem (~P=1) i nie ma czterech łap (~4L=1).
~P*~4L=[kura..]
Dla tego losowania lądujemy w linii A2 (456):
A2: Y(A2)=A2: ~P*~4L=1*1=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(~P=1)=(P=0)
(~4L=1)=(4L=0)
Podstawmy to do równania Y opisującego tabelę symboliczną algebry Boole’a 456:
Y(A2) = A1: (P=0)*(4L=0) + A2: (~P=1)*(~4L=1) + B2’: (~P=1)*(4L=0) = A1: 0 + A2: 1 + B2’: 0
Stąd mamy:
A2: Y(A2) = A2: ~P*~4L
Co w logice jedynek oznacza:
A2: Y(A2)=1 <=> A2: ~P=1 i ~4L=1
Jak widzimy dla zwierzęcia nie będącego psem (~P=1) i nie mającego czterech łap (~4L=1) wyłącznie funkcja cząstkowa Y(A2) będzie prawdą, pozostałe funkcje cząstkowe przyjmą wartość logiczną FAŁSZ (=0), czyli:
A1: Y(A1) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie A1 będzie tu fałszem A1: P=>4L=0
B2’: Y(B2’) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie B2’ będzie tu fałszem B2’: ~P~~>4L =0
W przełożeniu na analizę w spójnikach implikacyjnych 123 zdanie A2 będzie prawdziwe tylko i wyłącznie dla zwierząt które nie są psami (~P=1) i nie mają czterech łap (~4L=1)
A2: ~P*~4L=[kura ..]
Nasza funkcja cząstkowa Y(A2) przyjmie brzmienie:
A2.
Jeśli zwierzę jest nie jest psem (~P) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L)
A2: ~P~>~4L =1
To samo w zapisach formalnych:
A2: ~p~>~q =1 (diagram DIP)
Nie bycie psem (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie mieć czterech łap (~4L) bo zbiór ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura ..]
To zdanie jest prawdziwe tylko i wyłącznie dla zwierząt które nie są psami (~P=1) i nie mają czterech łap (~4L=1)
III.
Losowanie B2’:
| Kod: |
IP3
Definicja operatora implikacji prostej P||=>4L dla naszego przykładu A1
Gdzie:
p=P - zbiór jednoelementowy P=[pies]
q=4L - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..]
Y Y=(A1: P=>4L)=~P+4L=A1: P*4L+A2:~P*~4L+B2’:~P*4L
A1: P=> 4L =1 = P* 4L =1 -jeśli P=>4L=1 to istnieje wspólny element P*4L=1
A1’: P~~>~4L=0 = P*~4L =0 -nie istnieje (=0) wspólny element P*~4L =0
A2: ~P~>~4L =1 =~P*~4L =1 -jeśli ~P~>~4L=1 to istnieje element ~P*~4L=1
B2’:~P~~>4L =1 =~P* 4L =1 -istnieje wspólny element zbiorów ~P i 4L
1 2 3 4 5 6
|
Załóżmy, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosowaliśmy zwierzę które nie jest psem (~P=1) i ma cztery lapy (4L=1)
~P*4L=[słoń ..]
Dla tego losowania lądujemy w linii B2’ (456):
B2’: Y(B2’)= B2’:~P*4L=1*1=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(~P=1)=(P=0)
(4L=1)=(~4L=0)
Podstawmy to do równania Y opisującego tabelę symboliczną algebry Boole’a 456:
Y(B2’) = A1: (P=0)*(4L=1) + A2: (~P=1)*(~4L=0) + B2’: (~P=1)*(4L=1) = A1: 0 + A2: 0 + B2’: 1
Stąd mamy:
B2’: Y(B2’) = B2’: ~P*4L
Co w logice jedynek oznacza:
B2’: Y(B2’)=1 <=> B2’: ~P=1 i 4L=1
Jak widzimy dla zwierzęcia nie będącego psem (~P=1) i mającego cztery łapy (4L=1) wyłącznie funkcja cząstkowa Y(B2’) będzie prawdą, pozostałe funkcje cząstkowe przyjmą wartość logiczną FAŁSZ (=0), czyli
A1: Y(A1) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie A1 będzie fałszem A1: P=>4L=0
A2: Y(A2) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie A2 będzie fałszem A2: ~P~>~4L=0
W przełożeniu na analizę w spójnikach implikacyjnych 123 zdanie B2’ będzie prawdziwe tylko i wyłącznie dla zwierząt które nie są psami (~P=1) i mają cztery łapy (4L=1)
B2’.
Jeśli zwierzę jest nie jest psem (~P) to może ~~> mieć czterech łap (4L)
~P~~>4L = ~P*4L =1
To zdanie jest prawdziwe tylko i wyłącznie dla zwierząt które nie są psami (~P=1) i mają cztery łapy (4L=1)
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] np. słoń
cnd
34.4.4 Irbisol, fanatyk KRZ uczy dzieci logiki matematycznej w przedszkolu
Prawo matematycznego jełopa:
Dowolny matematyk który twierdzi, że zdanie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=1
jest prawdziwe dla dowolnego zwierzęcia ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ=[pies, słoń, kura, mrówka, wąż, wieloryb, pchła, hipopotam ..]
jest matematycznym jełopem
Niestety, pod definicję matematycznego jełopa podpada każdy ziemski matematyk - żaden z tych nieszczęśników nie jest przy zdrowych zmysłach.
Post z początków rozszyfrowywania algebry Kubusia, gdy ta jeszcze niemowlęciem była:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kubusiowa-szkola-logiki-na-zywo-dyskusja-z-volrathem,3591-25.html#69416
Wysłany: Nie 0:09, 02 Lis 2008
@Volrath - wykładowca logiki matematycznej
Rozważmy zdanie:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=?
| Kod: |
Wiemy, że:
P 4L P=>4L
A: 1 1 =1 ; P i 4L = 1 (pies)
B: 1 0 =0 : P i ~4L = 0 (brak psów bez 4 łap)
C: 0 0 =1 ;~P i ~4L = 1 (kura)
D: 0 1 =1 ;~P i 4L = 1 (słoń)
|
Należy zdanie sprawdzić względem każdej opcji, by stwierdzić, że zdanie P=>4L jest prawdziwe.
Na przykład:
Zdanie P => 4L
Jest prawdziwe, ale nie dlatego "bo pies", ale także dlatego, bo reszta (kura, słoń, pies bez czterech łap).
Linia A
O psach? 1 1 jest prawdziwe.
Linia B
O psach bez 4 łap? 1 0 jest fałszywe. Czyli zgodne z informacjami bazowymi (P i ~4L = 0).
Linia C
Czy zdanie P => 4L jest prawdziwe dla kury?
Kura = ~P i ~4L. P => 4L dla 0 0 (bo ~P i ~4L) jest prawdziwe. Więc jest spełnione dla kury.
Linia D
Dla słoni?
Analogicznie dla 0 1 (~P i 4L) jest prawdziwe.
Czyli w sumie zdanie P => 4L jest prawdziwe (bo wszystko się zgadza z bazową tabelą "wiedzy")
Pani w przedszkolu:
Drogie dzieci, wybitny znawca logiki matematycznej Irbisol, będzie was teraz uczył logiki matematycznej znanej każdemu ziemskiemu matematykowi, zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Irbisol:
Weźmy na początek zdanie które doskonale rozumie każde z was:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L =?
Może ktoś wie co oznacza to zdanie?
Jaś (lat 5):
Pewnie że wiemy, to zdanie zna każdy 5-cio latek, a oznacza ono że:
Każdy pies ma cztery łapy
Innymi słowy bycie psem (P) daje nam gwarancję =>, że mamy cztery lapy (4L)
Irbisol:
Drogie dziecko, tak jest w twoim ptasim móżdżku.
Logika matematyczna zwana Klasycznym Rachunkiem Zdań mówi tu co innego.
Zaciekawiony Jaś (lat 5):
Proszę nam opowiedzieć, co ma do powiedzenia pana logika matematyczna w tym temacie.
Irbisol:
Dobrze opowiadam na przykładach.
Linia A
Czy zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe dla psa?
Jaś:
Oczywiście że jest, każdy głupi to wie
Irbisol:
Bardzo bobrze Jasiu
Linia C
Czy zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe dla zwierzątka nie będącego psem (~P) i nie mającego czterech łap (~4L)
Jaś:
Dla tego przypadku zdanie A1: P=>4L jest fałszywe (=0), bo w zdaniu A1 w poprzedniku mamy zastrzeżenie:
„Jeśli zwierzę jest psem …”
Zatem zdanie A1 P=>4L jest fałszywe (=0) dla zwierzątka które nie jest psem (~P) i nie ma czterech łap (~4L)
Irbisol:
Niestety Jasiu, widzę, że niejaki Kubuś potwornie wyprał twój biedny mózg.
Matematyczna prawda w jedynej poprawnej logice matematycznej zwanej KRZ jest taka:
Zdanie A1: P=>4L jest prawdziwe (=1) dla wszelkich zwierzątek nie będących psami (~P) i nie mających czterech łap (~4L)
Innymi słowy:
Przykładowo zdanie warunkowe A1: P=>4L jest tu prawdziwe dla: mrówki, kury, węża, wieloryba itd.
linia D
Czy zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe dla zwierzątka nie będącego psem (~P) i mającego cztery łapy (4L)?
Zuzia (lat 5)
Dla tego przypadku zdanie A1: P=>4L jest fałszywe (=0), bo w zdaniu A1 w poprzedniku mamy zastrzeżenie:
„Jeśli zwierzę jest psem …”
Zatem zdanie A1: P=>4L jest fałszywe (=0) dla dowolnego zwierzątka nie będącego psem (~P) i mającego cztery łapy (4L).
Irbisol:
Źle, źle, po trzykroć źle!
Nasza fenomenalna logika matematyczna KRZ mówi nam, że zdanie warunkowe A1: P=>4L jest prawdziwe (=1) dla dowolnego zwierzątka które nie jest psem (~P) i ma cztery łapy (4L), czyli jest prawdziwe dla słonia, kota, krokodyla, żyrafy itd.
Oj biedne, nieszczęśliwe dzieci - teraz już jestem pewien, również w tym przedszkolu był przede mną niejaki Kubuś, totalny debil logiki matematycznej.
Irbisol do pani przedszkolanki:
Dlaczego przede mną wpuściła pani do swojego przedszkola tego debila Kubusia, przecież potwornie wyprał mózgi pani dzieci z jedynej poprawnej logiki matematycznej zwanej Klasycznym Rachunkiem Zdań obowiązującej w naszym Wszechświecie.
Pani przedszkolanka:
Po pierwsze:
Nie było tu przed panem żadnego Kubusia.
Po drugie:
Podzielam zdanie moich dzieci w temacie znaczenia zdania warunkowego A1: P=>4L
Po trzecie:
Proszę wypierdalać z mojego przedszkola, nie pozwolę by jakieś swoje prywatne gówna wciskał pan do mózgów moich dzieci.
Po czwarte:
…. pani z wciekłością kopie Irbisola w cztery litery a ten wylatuje przez otwarte na jego szczęście okno.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 7:58, 26 Sie 2024, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 5:37, 09 Sie 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
35.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q
Spis treści
35.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q 1
35.1 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q 1
35.1.1 Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q 3
35.1.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> 3
35.1.3 Odzyskanie symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q 4
35.2 Geneza wynikowych zer i jedynek w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q 7
35.2.1 Prawo matematycznego głąba 9
35.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q vs algebra Boole’a 12
35.4 Przykład implikacji odwrotnej 4L|~>P 16
35.4.1 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P 17
35.4.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P vs algebra Boole’a 20
35.4.3 Prawo matematycznego jełopa w operatorze implikacji odwrotnej 4L||~>P 21
35.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q
Uwagi:
1.
Warunkiem koniecznym zrozumienia niniejszego punktu jest przeczytanie ze zrozumieniem fundamentów algebry Kubusia dla teorii zbiorów zawartych w punkcie 13.0
2.
Aktualna logika matematyczna ziemskich matematyków jest w 100% logiką schizofreniczną, mającą zerowy związek z otaczającym nas światem rzeczywistym, czego dowodem są prawa matematycznego głąba i jełopa w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q wyprowadzone w niniejszym punkcie.
35.1 Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Podstawmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu, obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy w implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania w serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań w tej linii
35.1.1 Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Na mocy tabeli implikacji odwrotnej IO łatwo zapisujemy operatorową definicję implikacji odwrotnej p||~>q
| Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
35.1.2 Wyprowadzenie zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q w wersji skróconej:
| Kod: |
T1
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p||~>q |
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego p~>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na warunku koniecznym ~>:
B1: p~>q
W warunku koniecznym ~> B1 zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego B1: p~>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T1_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
| Kod: |
T2
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p||~>q | | | p q p~> q
B1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1 =1
A1': p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0 =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T2_789 nazywamy zero-jedynkową definicją warunku koniecznego ~> w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.
Interpretacja warunku koniecznego ~>:
T2_789: p~>q - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Do zapamiętania:
| Kod: |
T3
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p~>q)=p+~q
B1: 1~>1 1
A1’: 1~>0 1
B2: 0~>0 1
B2’: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q =p+~q
|
Uwaga:
Dla ułatwienia zrozumienia, indeksowanie linii w warunku koniecznym ~> (tabela T3) jest zgodne z tabelą prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q (tabela IO1), co matematycznie jest bez znaczenia.
35.1.3 Odzyskanie symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań w tej linii
Na mocy powyższego punktu, wiedząc skąd bierze się zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> łatwo odzyskać symboliczną definicję operatora implikacji odwrotnej p||~>q
Dowód:
Niech będzie dana zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego p~>q
| Kod: |
T3
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p~>q)=p+~q
B1: 1~>1 1
A1’: 1~>0 1
B2: 0~>0 1
B2’: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q =p+~q
|
Algorytm odzyskiwania symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q to cztery proste kroki.
Krok 1
Zapisujemy zero-jedynkową definicję warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) definicją elementu wspólnego zbiorów ~~> korzystając z prawa Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
(q=0)=(~q=1)
| Kod: |
T4
Odzyskiwanie symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q
z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~>.
Y=p+~q
p q Y=(p~>q)|
B1: 1~>1 1 | p~~> q= p* q=1 -zbiory p i q mają (=1) element wspólny
A1’: 1~>0 1 | p~~>~q= p*~q=1 - p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>
B2: 0~>0 1 |~p~~>~q=~p*~q=1 - ~p i ~q mają (=1) element wspólny ~~>
B2’: 0~>1 0 |~p~~> q=~p* q=0 - ~p i q nie mają (=0) elem. wspólnego
1 2 3
|
Uwaga:
Indeksowanie linii w poniższej analizie jest zgodne z symboliczną tabelą prawdy implikacji odwrotnej p|~>q przedstawionej w tabeli IO wyżej.
Krok 2
Fałszywy (=0) kontrprzykład w linii B2’:
B2’: ~p~~>q=~p*q=0
wymusza prawdziwy (=1) warunek wystarczający w linii B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Krok 3
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q =1
Na mocy prawa Kubusia, prawdziwy (=1) warunek wystarczający w linii B2:
B2: ~p=>~q=1
wymusza prawdziwy (=1) warunek konieczny ~> w linii B1:
B1: p~>q=1 (i odwrotnie)
Krok 4
Prawdziwy kontrprzykład w linii A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q=1
wymusza fałszywy warunek wystarczający => w linii A1:
A1: p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest podzbiorem q
Stąd mamy dowód, iż spełniona jest definicja implikacji odwrotnej p|~>q (tabela IO) bo:
B1: p~>q =1
oraz:
A1: p=>q =0
Na mocy prawa Sowy mamy dowód, iż spełniona jest definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q dająca odpowiedź na pytanie o p (kolumna A1B1) oraz na pytanie o ~p (kolumna A2B2)
| Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
35.2 Geneza wynikowych zer i jedynek w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
W punkcie 35.1.2 dowiedzieliśmy się skąd bierze się zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
| Kod: |
T3
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p~>q)=p+~q
B1: 1~>1 1
A1’: 1~>0 1
B2: 0~>0 1
B2’: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q =p+~q
|
Natomiast w punkcie 35.1.3 poznaliśmy algorytm działania odwrotnego, czyli w kierunku od zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego p~>q=p+~q do symbolicznej definicji operatora implikacji odwrotnej p||~>q
| Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja twierdzenia matematycznego:
Twierdzenie matematyczne p=>q to spełniony warunek wystarczający => w kierunku od p do q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
W tabeli IO1 z twierdzeniem matematycznym mamy do czynienia w linii B2.
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
~p=>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
W matematyce łatwiej dowodzi się relacji podzbioru p=>q gdy p i q nie są zaprzeczone, co łatwo osiągamy korzystając z prawa kontrapozycji, które każdy matematyk zna.
Prawo kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p =1
Gdzie:
B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne w stosunku do twierdzenia prostego A1: p=>q
Zauważmy że:
Udowadniając prawdziwość warunku wystarczającego w linii B2:
B2: ~p=>~q =1
automatycznie udowadniamy:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’: ~p~~>q=0 - kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2: ~p=>~q=1 musi być fałszem
2.
Prawo Kubusia:
B2:~p=>~q = B1: p~>q
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego B1 w kolumnie A1B1 (i odwrotnie)
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
KONIEC!
Nic więcej z udowodnionego warunku wystarczającego B2:~p=>~q =1 nie wynika.
Zauważmy, że z udowodnionej prawdziwości warunku wystarczającego B2:~p=>~q=1 w żaden sposób nie wynika prawdziwość kontrprzykładu w linii A1’:
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
Dla udowodnienia prawdziwości kontrprzykładu w linii A1’ musimy udowodnić fałszywość warunku wystarczającego A1: p=>q =0
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), iż zajście p jest wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q.
Zauważmy że:
B3: q=>p to matematyczne twierdzenie odwrotne w stosunku do twierdzenia prostego A1: p=>q
Na mocy definicji zachodzi:
Twierdzenie proste A1: p=>q ## Twierdzenie odwrotne B3: q=>p
Gdzie:
## - twierdzenia różne na mocy definicji (co doskonale widać w tabeli IO)
p i q w zdaniach B1, A1’, B2 i B2’ musi być tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia.
Wnioski:
1.
Jedynkę w linii A1’ mamy prawo postawić wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy fałszywość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q=0 w stosunku do udowodnionego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p=1
2.
Alternatywnie jedynkę w linii A1’ udowadniamy pokazując jeden element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
A1’: p~~>~q = p*~q=1 - istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Alternatywny sposób udowodnienia jedynki w punkcie A1’ jest prosty, ale ten dowód ma zero wspólnego z udowodnionym warunkiem wystarczającym w linii B2:~p=>~q.
W aktualnie obowiązującej logice matematycznej ziemskich matematyków nie jest widoczny jakikolwiek warunek wystarczający bowiem obligatoryjnie stosowane jest tu prawo eliminacji warunku wystarczającego, poprawne również w algebrze Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q = B3: q=>p = p+~q
gdzie o żadnym warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> mowy być nie może.
Warunek wystarczający B2: ~p=>~q z algebry Kubusia w ziemskiej logice matematycznej nosi nazwę implikacji, co nie ma nic wspólnego z pojęciami implikacja prosta p|=>q i implikacja odwrotna p||~>q z algebry Kubusia.
35.2.1 Prawo matematycznego głąba
Prawo eliminacji implikacji w ziemskiej logice matematycznej:
B1: p~>q = B2:~p=>~q = B3: q=>p = p+~q
Dowód iż definicja ziemskiej implikacji => nie ma nic wspólnego z warunkiem wystarczającym => w rozumieniu algebry Kubusia to aktualnie obowiązująca definicja ziemskiej implikacji =>, podana przez Macjana.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Potwierdzenie definicji Macjana przez wykładowcę logiki matematycznej na AGH Kraków.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wykład logiki matematycznej na AGH
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi.
Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda (TRUE, 1); Fałsz (FALSE, 0 ) (czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu). Nie są zdaniami logicznymi zdania pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne (spójniki):
- jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja - ~ - (nieprawda, że ...)
- dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja - * - (...i... )
alternatywa - + - (...lub...)
implikacja - => - (jeżeli ..., to...)
równoważność - <=> - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
Zero-jedynkowe definicje dwuargumentowych spójników logicznych to:
| Kod: |
p q | p*q | p+q | p=>q | p<=>q
1 1 | 1 | 1 | 1 | 1
1 0 | 0 | 1 | 0 | 0
0 1 | 0 | 1 | 1 | 0
0 0 | 0 | 0 | 1 | 1
|
@Rafal3006
Jak widzimy, w wykropkowane miejsca możemy wstawiać cokolwiek, byleby temu „cokolwiek” dało się przypisać pojęcie prawdy (=1) albo fałszu (=0), co lokuje nas w definicji implikacji materialnej rodem z Klasycznego Rachunku Zdań.
Jak udowodniliśmy w punkcie 35.2 udowodnienie prawdziwości matematycznego twierdzenia odwrotnego B3:
B3: q=>p = B2:~p=>~q
w żaden sposób nie wymusza rzeczywistej jedynki w punkcie A1’.
| Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=x - udowodnienie prawdziwości B2 nie wymusza jedynki w A1’!
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja matematycznego twierdzenia odwrotnego B3:
B3: q=>p = B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Zajście q jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia p wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Przykład spełnionego warunku koniecznego ~> w linii B1.
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~> być psem (P)
4L~>P=1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p=P=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór P=[pies]
Czytamy:
Posiadanie czterech łap (4L) jest warunkiem koniecznym ~> by być psem (P), wtedy i tylko wtedy gdy zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> zbioru jednoelementowego P=[pies], co każdy 5-cio latek widzi.
Udowadniając prawdziwość warunku koniecznego B1: 4L~>P=1 automatycznie udowadniamy:
1.
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~4L=>~P =1 bo prawo Kubusia:
Prawo Kubusia:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L) to na 100% => nie jest psem (~P)
~4L=>~P =1
Brak czterech łap (~4L) jest warunkiem wystarczającym => by nie być psem (~P) bo zbiór zwierząt nie mający czterech łap ~4L=[kura ..] jest podzbiorem => zbioru zwierząt nie będących psami ~P=[słoń, kura ..]
Relacji podzbioru => nie musimy tu udowadniać na mocy prawa Kubusia, choć akurat tu widać to gołym okiem.
2.
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~4L=>~P=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’
B2’
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L) to może ~~> być psem (P)
~4L~~>P = ~4L*P =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q=~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbioru ~4L=[kura..] oraz zbioru P=[pies], co każdy 5-cio latek widzi
Zauważmy, że udowadniając prawdziwość warunku koniecznego B1: 4L~>P =1 w żaden sposób nie dowodzimy jedynki w punkcie A1’
Wnioski:
1.
Jedynkę w linii A1’ mamy prawo postawić wtedy i tylko wtedy gdy udowodnimy fałszywość twierdzenia B2: ~4L=>~P =0
2.
Alternatywnie jedynkę w linii A1’ udowadniamy pokazując jeden element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
A1’: p~~>~q = p*~q=1 - Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Nasz przykład:
A1’: 4L~~>~P=4L*~P =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów 4L=[pies, słoń ..] praz ~P=[słoń, kura ..] np. słoń.
Alternatywny sposób udowodnienia jedynki w punkcie A1’ jest prosty, ale ten dowód ma zero wspólnego z udowodnionym warunkiem wystarczającym w linii B2:~p=>~q.
W aktualnie obowiązującej logice matematycznej ziemskich matematyków nie jest widoczny jakikolwiek warunek wystarczający bowiem obligatoryjnie stosowane jest tu prawo eliminacji warunku wystarczającego, poprawne również w algebrze Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q = B3: q=>p = p+~q
gdzie o żadnym warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> mowy być nie może.
Warunek wystarczający B2:~p=>~q z algebry Kubusia w ziemskiej logice matematycznej nosi nazwę implikacji, co nie ma nic wspólnego z pojęciami implikacja prosta p|=>q i implikacja odwrotne p||~>q z algebry Kubusia.
Stąd mamy:
Prawo Matematycznego super-głąba:
Matematycznym super-głąbem jest każdy fanatyk KRZ który korzysta z ziemskiej definicji implikacji podanej przez Macjana, potwierdzonej przez wykładowcę logiki „matematycznej” na AGH, która w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie wymaga badania jakiejkolwiek relacji w zbiorach między poprzednikiem p i następnikiem q.
Prawo matematycznego głąba:
Matematycznym głąbem jest każdy matematyk który po udowodnieniu warunku wystarczającego B2: ~p=>~q =1 (to matematycy potrafią) postawi przyniesioną w teczce jedynkę w linii A1’.
Niestety, na dzień dzisiejszy wszyscy matematycy są głąbami, bo wszyscy potrafią poprawnie udowodnić matematyczne twierdzenie proste B2: ~p=>~q=1 po skorzystaniu z prawa kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p
stawiając jednak wyjętą z dupy (nie popartą dowodem) jedynkę w punkcie A1’.
35.3 Operator implikacji odwrotnej p||~>q vs algebra Boole’a
Zacznijmy od podstawowej definicji implikacji odwrotnej p|~>q, gdzie w kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania w linii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Fałszywość dowolnego zdania w linii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań w tej linii
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości w zbiorach:
Warunek wystarczający p=>q = relacja podzbioru p=>q
p=>q =1 <=> zbiór p jest podzbiorem q
Inaczej
p=>q =0
##
Warunek konieczny p~>q = relacja nadzbioru p~>q
p~>q =1 <=> zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji (patrz tabela IP)
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Stąd mamy:
A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1), ale nie jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Wspólna dziedzina D musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, q, ~p, ~q, będą niepuste.
Dowód w diagramie DIO niżej.
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach.
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Stąd mamy:
| Kod: |
IO1
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
B1: p~> q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład A1’ dla A1: p=>q=0 musi być prawdą
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład B2’ dla B2:~p=>~q=1 musi być fałszem
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zapiszmy symboliczną definicję operatora implikacji odwrotnej p||~>q kodowaną zarówno spójnikami elementarnymi zdań warunkowych „Jeśli p to q” (=>, ~>, ~~>) jak i definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów
p~~>q =p*q =1 wtedy i tylko wtedy gdy istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q=p*q =0
| Kod: |
IO2
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
Y
B1: p~> q =1 = p* q =1 -jeśli p~>q=1 to istnieje(=1) wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=1 = p*~q =1 -istnieje (=1) wspólny element zbiorów p*~q
B2: ~p=>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p=>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =0 =~p* q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3 4 5 6
|
Komentarz:
Linia B1:
Jeśli spełniony jest warunek konieczny B1:
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (diagram DIO)
to iloczynem logicznym zbiorów p i q to jest zbiór q, czyli zbiór p*q jest zbiorem niepustym (=1)
Linia A1’:
Fałszywy warunek wystarczający A1: p=>q=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i ~q (diagram DIO)
Linia B2:
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
Na mocy prawa Kubusia spełniony warunek konieczny w punkcie B1: p~>q=1 wymusza spełniony warunek wystarczający B2: ~p=>~q w punkcie B2
Jeśli spełniony jest warunek wystarczający B2:
B2: ~p=>~q =1 - bo ~p jest podzbiorem => ~q (diagram DIO)
to iloczynem logicznym zbiorów ~p i ~q jest zbiór ~p, czyli zbiór ~p*~q jest zbiorem niepustym (=1)
Linia B2’:
Prawdziwy warunek wystarczający w punkcie B2: ~p=>~q =1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~~> ~p i q (diagram DIO)
Fakt 1:
Zauważmy, że w analizie operatora implikacji odwrotnej p||~>q zbiory niepuste i rozłączne to: B1, A1’, B2
Dowód rozłączności tych zbiorów (diagram DIO):
(B1: p*q)*(A1’: p*~q) =[] - bo q*~q=[]
(B1: p*q)*(B2: ~p*~q] =[] - bo p*~p=[]
(B2: ~p*~q)*(A1’: p*~q) =[] - bo p*~p=[]
cnd
Fakt 2:
Z faktu 1 wynika, że dziedziną D w tabeli IO2 jest suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q (diagram DIO)
Funkcja logiczna Y opisująca tabelę symboliczną 456 w tabeli prawdy IO2 to:
Y = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> B1: p=1 i q=1 lub A1’: p=1 i ~q=1 lub B2:~p=1 i ~q=1
Zauważmy, że jeśli dowolny składnik sumy logicznej w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym przyjmie wartość logiczną miękkiej jedynki to wymusi ona miękkie zera w pozostałych składnikach sumy logicznej.
Definicja miękkiej jedynki I miękkiego zera:
Miękka jedynka i miękkie zero to wartościowanie sumy logicznej opisującej zbiory niepuste i rozłączne dla konkretnego składnika sumy logicznej.
Dowód:
Załóżmy, że wylosowaliśmy element A1’:
Y(A1’) = A1’: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y(A1’)=1 <=> A1’: p=1 i ~q=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(p=1)=(~p=0)
(~q=1)=(q=0)
Dla tego przypadku (iterowania) Y(A1’) mamy:
Y = B1: p*q + A1’: p*~q + B2: ~p*~q
Y(A1’) = B1: 1*0 + A1’: 1*1 + B2: 0*1 = B1: 0 + A1’: 1 + B2: 0
Y(A1’) = A1’: p*~q
cnd
Wniosek:
Doskonale tu widać sens definicji miękkich jedynek i miękkich zer w logice matematycznej.
Wnioski z Fakt 1 i Fakt 2:
Linia B1:
Jeśli z dziedziny D wylosujemy element należący do zbioru B1: p*q (miękka jedynka) to dla tego losowania linie A1’ i B2 będą zbiorami pustymi [] (miękkie zera)
Linia A1’:
Jeśli z dziedziny D wylosujemy element należący do zbioru A1’: p*~q (miękka jedynka) to dla tego losowania linie B1 i B2 będą zbiorami pustymi [] (miękkie zera)
Linia B2:
Jeśli z dziedziny D wylosujemy element należący do zbioru B2: ~p*~q (miękka jedynka) to dla tego losowania linie B1 i A1’ będą zbiorami pustymi [] (miękkie zera)
Innymi słowy:
Z dziedziny D nie możemy wylosować elementu który by należał jednocześnie do dwóch dowolnych zbiorów rozłącznych B1, A1’, B2.
35.4 Przykład implikacji odwrotnej 4L|~>P
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1: p~>q=1), ale nie jest wystarczające => dla zajścia q (A1: p=>q=0)
| Kod: |
IO
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A': 1: p~~>~q=1 [=] 4:~q~~>p =1
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy w implikacji odwrotnej p|~>q:
Prawdziwość dowolnego zdania w serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Fałszywość dowolnego zdania serii Ax wymusza fałszywość pozostałych zdań w tej linii
Weźmy zdanie wypowiedziane pasujące do tabeli implikacji odwrotnej p|~>q.
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~> być psem (P)
4L~>P =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p~>q =1
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór P=[pies]
Bycie zwierzątkiem z czterema łapami (4L) jest warunkiem koniecznym ~> by być psem (P) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru P=[pies] co każdy 5-cio latek widzi.
Z tabeli IO widać, że aby być pewnym iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q musimy udowodnić fałszywość dowolnego zdania z linii Ax
Wybieramy zdanie A1.
A1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to na 100% => jest psem (P)
4L=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Bycie zwierzątkiem z czterema łapami (4L) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego by być psem (P) bo zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru jednoelementowego P=[pies], co każdy 5-cio latek widzi.
Stąd mamy dowód iż zdanie wypowiedziane B1: 4L~>P jest częścią implikacji odwrotnej 4L|~>P
Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P:
Implikacja odwrotna 4L|~>P w logice dodatniej (bo P) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: 4L=>P =0 - bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L) nie jest (=0) wystarczające dla bycia psem (P)
B1: p~>q =1 - bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L) jest (=1) konieczne ~> dla bycia psem (P)
Stąd:
A1B1: 4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) = ~(0)*1=1*1=1
35.4.1 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach wyprowadzony w punkcie 35.3
| Kod: |
DIO
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| q | ~q |
|---------------------|----------------------------------------------|
| p | ~p |
|-------------------------------------------|------------------------|
| B1: p~>q=1 (p*q=1) | A1’: p~~>~q=p*~q=1 | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D =B1: p*q+ A1’: p*~q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Mamy nasze zdanie wypowiedziane B1.
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~> być psem (P)
4L~>P =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p~>q =1
Gdzie:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór P=[pies]
Bycie zwierzątkiem z czterema łapami (4L) jest warunkiem koniecznym ~> by być psem (P) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru P=[pies] … co każdy 5-cio latek widzi.
Przyjmujemy dziedzinę:
ZWZ=[pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
Obliczamy zbiory ~p i ~q definiowane jako uzupełnienie zbiorów p i q do wspólnej dziedziny ZWZ
~p=~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt ZWZ=[pies, słoń, kura..] z wykluczeniem zbioru zwierząt mających cztery łapy 4L=[pies, słoń ..]
~q=~P=[ZWZ-P]=[słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt ZWZ=[pies, słoń, kura..] z wykluczeniem jednoelementowego zbioru P=[pies]
Wszystkie zbiory niepuste {p, q, ~p, ~q} potrzebne do dalszej analizy to:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór P=[pies]
~p=~4L=[kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt ZWZ z wykluczeniem zbioru zwierząt z czterem łapami
~q=~P=[słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt ZWZ z wykluczeniem [psa]
Analiza operatora implikacji odwrotnej p||~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę z czterema łapami (4L)?
Z kolumny A1B1 odczytujemy:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~> być psem (P)
4L~>P =1
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p~>q =1
Bycie zwierzątkiem z czterema łapami (4L) jest warunkiem koniecznym ~> by być psem (P) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru P=[pies] … co każdy 5-cio latek widzi.
Zauważmy że:
Jeśli zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> zbioru P=[pies] to na 100% istnieje wspólny element zbiorów 4L i P
B1: 4L~~>P = [pies, słoń ..]*[pies] =1 bo pies
To samo w zapisach formalnych:
B1: p~~>q=p*q =1 (diagram DI0)
Kontrprzykład A1’ dla fałszywego warunku wystarczającego A1: 4L=>P=0 musi być prawdą.
A1’
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~~> nie być psem (~P)
4L~~>~P = 4L*~P =[pies, słoń ..]*[słoń, kura..] =1 bo słoń
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1 (diagram DIO)
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura ..] np. słoń
Zauważmy, że:
1.
Zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura..]
Dowód: pies jest w zbiorze 4L a nie ma go w zbiorze ~P
2.
Zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P=[słoń, kura..]
Dowód:
Kura jest w zbiorze ~P i nie ma jej w zbiorze 4L
.. a jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L)?
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L)
Z kolumny A2b2 odczytujemy:
B2.
Jeśli zwierzą nie ma czterech łap (~4L) to na 100% => nie jest psem (~P)
~4L=>~P=1
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1 (diagram DIO)
Dowód „nie wprost”:
Spełnionej relacji podzbioru B2:~4L=>~P=1 nie musimy dowodzić, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
B2: ~4L=>~P = B1: 4L~>P =1
Dowód „wprost”:
Brak czterech łap (~4L) jest (=1) warunkiem wystarczającym => by nie być psem (~P) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem => zbioru zwierząt nie będących psem ~P=[słoń, kura..] - co każdy 5-cio latek widzi.
Zauważmy że:
Jeśli zbiór ~4L=[kura..] jest podzbiorem zbioru ~P=[słoń, kura..] na 100% istnieje wspólny element zbiorów ~4L i ~P
B2: ~4L~~>~P = [kura]*[słoń, kura..] =1 bo kura
LUB
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L) to może ~~> być psem (P)
~4L~~>P = ~4L*P = [kura..]*[pies] =0 - zbiory ~4L i P są rozłączne
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0 (diagram DIO)
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~4L=[kura..] oraz P=[pies] bo zbiory te są rozłączne.
35.4.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P vs algebra Boole’a
Zapiszmy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w powiązaniu z algebrą Boole’a
| Kod: |
IO3
Symboliczna definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
Y=(B1: p~>q)= p+~q = B1: (p~>q)*A1’: p*~q+B2:~p*~q
B1: p~> q =1 = p* q =1 -jeśli p~>q=1 to istnieje(=1) wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=1 = p*~q =1 -istnieje (=1) wspólny element zbiorów p*~q
B2: ~p=>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p=>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =0 =~p* q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3 4 5 6
Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q dla naszego przykładu B1
Gdzie:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy P=[pies]
Y Y=(B1: 4L~>P)=P+~4L=B1: 4L*P+A1’: 4L*~P+B2:~4L*~P
B1: 4L~> P =1 = 4L* P =1 -jeśli 4L~>P=1 to istnieje wspólny element 4L*P=1
A1’: 4L~~>~P=1 = 4L*~P =1 -istnieje (=1) wspólny element 4L*~P =1
B2: ~4L=>~P =1 =~4L*~P =1 -jeśli ~4L=>~P=1 to istnieje(=1) element ~4L*~P=1
B2’:~4L~~>P =0 =~4L* P =0 -nie istnieje(=0) wspólny element zbiorów ~4L i P
1 2 3 4 5 6
|
Zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B1: p~>q (123) otrzymujemy kodując tabelę symboliczną operatora implikacji odwrotnej p||~>q (123) względem linii B1: p~>q.
Jak to się robi wyjaśniliśmy w punkcie 35.1.2
Aktualna, ziemska logika „matematyczna” nie zna tabeli symbolicznej operatora implikacji odwrotnej p||~>q (123) wyrażonej spójnikami elementarnymi (=>, ~>, ~~>)
Ziemska logika matematyczna obligatoryjnie korzysta tu z prawa eliminacji warunku koniecznego, poprawnego również w algebrze Kubusia
B1: p~>q = p+~q
W tym momencie przechodzimy do algebry Boole’a zapisanej symbolicznie w kolumnach 456, która rozpoznaje tylko i wyłącznie pięć znaczków:
1 - prawda
0 - fałsz
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego
Zauważmy, że w algebrze Boole’a nie istnieją elementarne spójniki implikacyjne w zbiorach {=>, ~>, ~~>} dostępne w algebrze Kubusia:
1.
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
2.
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
3.
p~~>q = p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
Idźmy zatem tropem ziemskiej logiki nie znającej definicji elementarnych spójników implikacyjnych {=>,~>, ~~>}
Dla dowodu iż w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” ziemska logika matematyczna nie ma najmniejszego pojęcia zarówno o warunku wystarczającym => jak i koniecznym ~> posłużymy się naszym przykładem B1: 4L|~>P
35.4.3 Prawo matematycznego jełopa w operatorze implikacji odwrotnej 4L||~>P
Równanie algebry Boole’a opisujące tabelę symboliczną 456 to:
Y = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2: ~4L*~P
Dziedzina dla funkcji logicznej Y to:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
I.
Losowanie B1:
| Kod: |
IO3
Definicja operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P dla naszego przykładu B1
Gdzie:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy P=[pies]
Y Y=(B1: 4L~>P)=P+~4L=B1: 4L*P+A1’: 4L*~P+B2:~4L*~P
B1: 4L~> P =1 = 4L* P =1 -jeśli 4L~>P=1 to istnieje wspólny element 4L*P=1
A1’: 4L~~>~P=1 = 4L*~P =1 -istnieje (=1) wspólny element 4L*~P =1
B2: ~4L=>~P =1 =~4L*~P =1 -jeśli ~4L=>~P=1 to istnieje(=1) element ~4L*~P=1
B2’:~4L~~>P =0 =~4L* P =0 -nie istnieje(=0) wspólny element zbiorów ~4L i P
1 2 3 4 5 6
|
Równanie algebry Boole’a opisujące tabelę symboliczną 456 to:
Y = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2: ~4L*~P
Załóżmy, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosowaliśmy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) i będące psem (P=1)
4L*P=[pies]
Dla tego losowania lądujemy w linii B1 (456):
B1: Y(B1)=4L*P=1*1=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(4L=1)=(~4L=0)
(P=1)=(~P=0)
Podstawmy to do równania Y opisującego tabelę symboliczną algebry Boole’a 456:
Y(B1) = B1: (4L=1)*(P=1) + A1’: (4L=1)*(~P=0) + B2: (~4L=0)*(~P=0) = B1: 1 + A1’: 0 + B2: 0
Stąd mamy:
B1: Y(B1) = B1: 4L*P
Co w logice jedynek oznacza:
Y(B1)=1 <=> B1: 4L=1 i P=1
Jak widzimy dla zbioru zwierząt mających cztery łapy (4L=1) będących psami (P=1) wyłącznie funkcja cząstkowa Y(B1) będzie prawdą, pozostałe funkcje cząstkowe przyjmą wartość logiczną FAŁSZ (=0):
A1’: Y(A1’) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie A1’ będzie tu fałszem A1’: 4L~~>P =0
B2: Y(B2) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie B2 będzie tu fałszem B2: ~4L=>~P =0
W przełożeniu na analizę w spójnikach implikacyjnych 123 zdanie B1 będzie prawdziwe tylko i wyłącznie dla zwierzęcia mającego cztery łapy (4L) które jest psem (P)
Nasza funkcja cząstkowa Y(B1) przyjmie brzmienie:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~> być psem (P)
4L~>P =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1 (diagram DIO)
Zdanie B1 jest prawdziwe tylko i wyłącznie dla zbioru zwierząt mających cztery łapy (4L) będących psami (P), czyli wyłącznie dla psa.
Bycie zwierzątkiem z czterema łapami (4L) jest warunkiem koniecznym ~> by być psem (P) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> jednoelementowego zbioru P=[pies] … co każdy 5-cio latek widzi.
II.
Losowanie A1’
| Kod: |
IO3
Definicja operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P dla naszego przykładu B1
Gdzie:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy P=[pies]
Y Y=(B1: 4L~>P)=P+~4L=B1: 4L*P+A1’: 4L*~P+B2:~4L*~P
B1: 4L~> P =1 = 4L* P =1 -jeśli 4L~>P=1 to istnieje wspólny element 4L*P=1
A1’: 4L~~>~P=1 = 4L*~P =1 -istnieje (=1) wspólny element 4L*~P =1
B2: ~4L=>~P =1 =~4L*~P =1 -jeśli ~4L=>~P=1 to istnieje(=1) element ~4L*~P=1
B2’:~4L~~>P =0 =~4L* P =0 -nie istnieje(=0) wspólny element zbiorów ~4L i P
1 2 3 4 5 6
|
Równanie algebry Boole’a opisujące tabelę symboliczną 456 to:
Y = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2: ~4L*~P
Załóżmy, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosowaliśmy zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i nie jest psem (~P=1).
4L*~P = [pies, słoń ..]*[słoń, kura..] =1 bo słoń
Dla tego losowania lądujemy w linii A1’ (456):
A1’: Y(A1’)=A1’: 4L*~P=1*1=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(4L=1)=(~4L=0)
(~P=1)=(P=0)
Podstawmy to do równania Y opisującego tabelę symboliczną algebry Boole’a 456:
Y(A1’) = B1: (4L=1)*(P=0) + A1’: (4L=1)*(~P=1) + B2: (~4L=0)*(~P=1) = B1: 0 + A1’: 1 + B2: 0
Stąd mamy:
A1’: Y(A1’) = A1’: 4L*~P
Co w logice jedynek oznacza:
A1’: Y(A1’)=1 <=> A1’: 4L=1 i ~P=1
Jak widzimy dla zbioru zwierząt mających cztery łapy (4L) i nie będących psami (~P) wyłącznie funkcja cząstkowa Y(A1’) będzie prawdą, pozostałe funkcje cząstkowe przyjmą wartość logiczną FAŁSZ (=0):
B1: Y(B1) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie B1 będzie tu fałszem B1: 4L~>P =0
B2: Y(B2) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie B2 będzie tu fałszem B2: ~4L=>~P =0
W przełożeniu na analizę w spójnikach implikacyjnych 123 zdanie A1’ będzie prawdziwe tylko i wyłącznie dla zwierząt mających cztery łapy (4L) i nie będących psami (~P) np. słoń
Nasza funkcja cząstkowa Y(A1’) przyjmie brzmienie:
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L) to może ~~> nie być psem (~P)
A1’: 4L~~>~P = 4L*~P=1
To samo w zapisie formalnym:
A1’: p~~>~q = p*~q =1 (diagram DIO)
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura ..] np. słoń
Zdanie A1’ jest prawdziwe tylko i wyłącznie dla zwierząt mających cztery łapy (4L) i nie będących psami (~P) np. słoń
III.
Losowanie B2:
| Kod: |
IO3
Definicja operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P dla naszego przykładu B1
Gdzie:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór wszystkich zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - zbiór jednoelementowy P=[pies]
Y Y=(B1: 4L~>P)=P+~4L=B1: 4L*P+A1’: 4L*~P+B2:~4L*~P
B1: 4L~> P =1 = 4L* P =1 -jeśli 4L~>P=1 to istnieje wspólny element 4L*P=1
A1’: 4L~~>~P=1 = 4L*~P =1 -istnieje (=1) wspólny element 4L*~P =1
B2: ~4L=>~P =1 =~4L*~P =1 -jeśli ~4L=>~P=1 to istnieje(=1) element ~4L*~P=1
B2’:~4L~~>P =0 =~4L* P =0 -nie istnieje(=0) wspólny element zbiorów ~4L i P
1 2 3 4 5 6
|
Równanie algebry Boole’a opisujące tabelę symboliczną 456 to:
Y = B1: 4L*P + A1’: 4L*~P + B2: ~4L*~P
Załóżmy, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosowaliśmy zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie jest psem (~P=1).
~4L*~P = [kura..]*[słoń, kura..] =1 bo kura
Dla tego losowania lądujemy w linii B2 (456):
B2: Y(B2)= B2: ~4L*~P=1*1=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(~4L=1)=(4L=0)
(~P=1)=(P=0)
Podstawmy to do równania Y opisującego tabelę symboliczną algebry Boole’a 456:
Y(B2) = B1: (4L=0)*(P=0) + A1’: (4L=0)*(~P=1) + B2: (~4L=1)*(~P=1) = B1: 0 + A1’: 0 + B2: 1
Stąd mamy:
B2: Y(B2) = B2: ~4L*~P
Co w logice jedynek oznacza:
B2: Y(B2)=1 <=> B2: ~4L=1 i ~P=1
Jak widzimy dla zbioru zwierząt nie mających czterech łap (~4L) i nie będących psami (~P) wyłącznie funkcja cząstkowa Y(B2) będzie prawdą, pozostałe funkcje cząstkowe przyjmą wartość logiczną FAŁSZ (=0):
B1: Y(B1) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie B1 będzie tu fałszem B1: 4L~>P =0
A1’: Y(A1’) =0 - w spójnikach implikacyjnych (123) zdanie A1’ będzie tu fałszem A1’: 4L~~>~P =0
W przełożeniu na analizę w spójnikach implikacyjnych 123 zdanie B2 będzie prawdziwe tylko i wyłącznie dla zwierząt nie mających czterech łap (~4L) i nie będących psami (~P) np. kura
B2: ~4L*~P =[kura..]
Nasza funkcja cząstkowa Y(B2) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) zapisana w linii 456 przyjmie brzmienie:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (4L) to może ~~> nie być psem (~P)
B2: ~4L~~>~P = ~4L*~P=1
To samo w zapisach formalnych:
B2: ~p~~>~q =~p*~q =1 (diagram DIO)
Zdanie B2 jest prawdziwe tylko i wyłącznie dla zwierząt nie mających czterech łap (~4L) i nie będących psami (~P) np. kura
Zauważmy, że zdanie B2 w spójnikach implikacyjnych (123) brzmi:
B2.
Jeśli zwierzą nie ma czterech łap (~4L) to na 100% => nie jest psem (~P)
~4L=>~P=1
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1 (diagram DIO)
Dowód „wprost”:
Brak czterech łap (~4L) jest (=1) warunkiem wystarczającym => by nie być psem (~P) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem => zbioru zwierząt nie będących psem ~P=[słoń, kura..] - co każdy 5-cio latek widzi.
Wniosek z dowodu B2:
Leży, kwiczy cała logika matematyczna ziemskich matematyków twierdzących, że zdanie B2:~4L=>~P jest prawdziwe dla dowolnego zwierzęcia ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ, czyli jest prawdziwe dla:
B1: Y(B1) = [4L*P] = [pies] =1
A1’: Y(A1’) = [4L*~P] = [słoń, koń, hipopotam ..] =1
B2: Y(B2) = [~4L*~P] = [kura, mrówka, wąż, wieloryb …] =1
Innymi słowy:
Aktualna logika „matematyczna” to potwornie śmierdzące gówno, żadna logika matematyczna!
cnd
Prawo matematycznego jełopa:
Dowolny matematyk który twierdzi, że zdanie:
B2.
Jeśli zwierzą nie ma czterech łap (~4L) to na 100% => nie jest psem (~P)
~4L=>~P=1
To samo w zapisie formalnym:
B2: ~p=>~q =1 (diagram DIO)
jest prawdziwe dla dowolnego zwierzęcia ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ=[pies, słoń, kura, mrówka, wąż, wieloryb, pchła, hipopotam ..]
jest matematycznym jełopem
Niestety, pod definicję matematycznego jełopa podpada każdy ziemski matematyk - żaden z tych nieszczęśników nie jest przy zdrowych zmysłach.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:01, 26 Sie 2024, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35498
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 20:30, 11 Sie 2024 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
36.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze równoważności p|<=>q
Spis treści
36.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze równoważności p|<=>q 1
36.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach 2
36.1.1 Prawa Słonia dla zbiorów 3
36.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach 3
36.1.3 Prawo Irbisa w zbiorach 3
36.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach 4
36.2.1 Relacje między równoważnością A1B1: p<=>q a A2B2: ~p<=>~q 5
36.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach 6
36.4 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 7
36.4.1 Operator równoważności p|<=>q 9
36.5 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q 11
36.5.1 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 12
36.5.2 Odtworzenie p|<=>q z tabeli zero-jedynkowej równoważności p<=>q 13
36.6 Wirtualne definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q 16
36.6.1 Prawo matematycznego super-głąba w równoważności 17
36.7 Operator równoważności p|<=>q vs algebra Boole’a 18
36.7.1 Prawo matematycznego jełopa 21
36.7.2 Prawo matematycznego jełopa na przykładzie równoważności Pitagorasa 21
36.0 Prawo matematycznego głąba i jełopa w operatorze równoważności p|<=>q
Uwagi:
1.
Warunkiem koniecznym zrozumienia niniejszego punktu jest przeczytanie ze zrozumieniem fundamentów algebry Kubusia dla teorii zbiorów zawartych w punkcie 13.0
2.
Aktualna logika matematyczna ziemskich matematyków jest w 100% logiką schizofreniczną, mającą zerowy związek z otaczającym nas światem rzeczywistym, czego dowodem są prawa matematycznego głąba i jełopa w operatorze równoważności p|<=>q wyprowadzone w niniejszym punkcie.
Bezdyskusyjnie najcenniejszą definicją w całym obszarze matematyki dla potrzeb matematyki klasycznej, świata techniki i programowania komputerów jest definicja równoważności p<=>q której istoty póki co ziemscy matematycy nie rozumieją, mimo że poprawnie matematycznie ją udowadniają.
Nie rozumieją dlatego, że nie znają kluczowych tu zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>, praw Słonia, prawa Irbisa, oraz definicji kontrprzykładu dla zbiorów w interpretacji z algebry Kubusia.
Mówiąc dosadnie: 100% definicji rodem z Klasycznego Rachunku Zdań jest do bani.
Przykładowo:
Równoważność Pitagorasa TP<=>SK definiuje tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie) o czym matematycy nie wiedzą.
36.1 Podstawowa definicja równoważności p<=>q w zbiorach
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy:
Do tego by zaszło q potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by zaszło p
Powyższa definicja równoważności znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: kilkanaście tysięcy
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: kilkanaście tysięcy
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: kilkanaście tysięcy
36.1.1 Prawa Słonia dla zbiorów
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Stąd korzystając z prawa Słonia dla zbiorów możemy wygenerować dużą ilość tożsamych definicji równoważności p<=>q.
36.1.2 Matematyczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach
1.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q (znana każdemu matematykowi):
Równoważność p<=>q to jednoczesna prawdziwość matematycznego twierdzenia prostego A1: p=>q i matematycznego twierdzenia odwrotnego B3: q=>p
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q, twierdzenie proste A1.
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p, twierdzenie odwrotne (względem A1)
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
2.
Definicja równoważności wyrażona relacjami podzbioru =>
Równoważność p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B3: q=>p =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
Stąd mamy:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Stąd mamy wprowadzone kluczowe w równoważności prawo Irbisa.
36.1.3 Prawo Irbisa w zbiorach
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3: q=>p)
A1B3: p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p)= A1B3: p<=>q
Tą definicję tożsamości zbiorów zna każdy matematyk.
Innymi słowy:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
A1B3: p=q <=> A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Na mocy prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
A1: p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Tożsamy dowód bezpośredni:
Na mocy definicji podzbioru => i nadzbioru ~> każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) siebie samego.
Korzystając z prawa Słonia prawo Irbisa możemy też zapisać w warunkach koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1).
Na mocy prawa Słonia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
36.2 Tabela prawdy równoważności p<=>q w zbiorach
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q=1 = 2:~p~>~q=1 [=] 3: q~>p=1 = 4:~q=>~p=1 [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q=1 = 2:~p=>~q=1 [=] 3: q=>p=1 = 4:~q~>~p=1 [=] 5: p+~q=1
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
I Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
##
II Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Tożsamość zbiorów jest przemienna, stąd mamy:
| Kod: |
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
A1B1: A3B3: | A2B2: A4B4:
AB: 1: p<=>q=1 = 3: q<=>p=1 [=] 2: ~p<=>~q = 4:~q<=>~p=1 [=] 5: p*q+~p*~q
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q = 3: q=p # 2: ~p=~q = 4:~q=~p
Gdzie:
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Zauważmy że:
Z przemienności zbiorów:
1: p=q = 3: q=p
Wynika przemienność argumentów w równoważności:
1: p<=>q = 3: q<=>p
Wniosek:
W matematycznym opisie równoważności potrzeba i wystarcza opisać matematyczne związki między kolumnami A1B1 i A2B2.
36.2.1 Relacje między równoważnością A1B1: p<=>q a A2B2: ~p<=>~q
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mam:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) <=> p=q
[=]
A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawo Irbisa:
Równoważność prawdziwa ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) <=> ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
Wzajemne relacje między A1B1 i A2B2 są następujące:
| Kod: |
Równoważność A1B1: | Równoważność A2B2:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)
Definiuje tożsamość zbiorów: | Definiuje tożsamość zbiorów:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Dowód:
Diagram DR (pkt. 36.3)
|
36.3 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie zbiory p, ~p, q i ~q będą niepuste (rozpoznawalne), co doskonale widać na diagramie DR niżej.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
Wniosek:
Musi zachodzić tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q).
Dowód
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd mamy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
definiujący tożsamość zbiorów p=q.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|---------------------------------|---------------------------------------|
| q | ~q |
|---------------------------------|---------------------------------------|
|Definicja równoważności: | Definicja równoważności: |
|A1B1: p<=>q=(A1:p=>q)*(B1:p~>q) [=] A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|Definiuje tożsamość zbiorów | Definiuje tożsamość zbiorów: |
| p=q # ~p=~q |
---------------------------------------------------------------------------
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|-------------------------------------------------------------------------|
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
[=] - tożsamość logiczna
# - dowolna strona znaku # jest negacją drugiej strony
p#~p
p=~(~p) - prawo podwójnego przeczenia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny D.
p+~p=D=1
p*~p=[]=0
Dowód: diagram DR
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
36.4 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Uwagi:
1.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Ax wymuszają fałszywe kontrprzykłady Ax'
2.
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwe warunki wystarczające => w linii Bx wymuszają fałszywe kontrprzykłady Bx'
Stąd mamy:
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu obowiązującego wyłącznie w warunku wystarczającym =>
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy definicję równoważności A1B1: p<=>q w równaniu logicznym:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważności <=>:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Zauważmy że:
1.
Definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) mamy w kolumnie A1B1.
A1B1:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Wnioski:
a) Równoważność A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) daje odpowiedź na pytanie o p.
b) Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
2.
Definicję równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) mamy w kolumnie A2B2.
A2B2:
Definicja równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Wnioski:
a) Równoważność A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) daje odpowiedź na pytanie o ~p.
b) Równoważność A2B2: ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
36.4.1 Operator równoważności p|<=>q
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1) i jednocześnie zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1)
Wniosek:
Zbiory p i q są tożsame p=q
Dowód: diagram DR
A1B1
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A1B1:
A1.
Jeśli dowolny element z dziedziny D należy do zbioru p to na 100% => należy do zbioru q
p=>q =1
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest (=1) warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Dowód: diagram DR
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywy kontrprzykład A1' (i odwrotnie)
A1'.
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~~> należeć do zbioru ~q
p~~>~q=p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania A1' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DR
… a jeśli zajdzie ~p?
Idziemy do kolumny A2B2.
A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Równoważność ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> (A2) i podzbiorem => (B2) zbioru ~q
Wniosek:
Zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q
Dowód: diagram DR
A2B2
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" odczytujemy z kolumny A2B2:
B2
Jeśli dowolny element z dziedziny D należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru ~q
~p=>~q =1
Przynależność elementu do zbioru ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jego przynależności do zbioru ~q
Na mocy prawa Słonia dla zbiorów czytamy:
Wylosowanie dowolnego elementu ze zbioru ~p jest warunkiem wystarczającym => by ten element należał do zbioru ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowód: diagram DR
Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2' (i odwrotnie)
B2'
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~~> należeć do zbioru q
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
To jest dowód "nie wprost" fałszywości zdania B2' na mocy definicji kontrprzykładu.
Dowód wprost: diagram DR
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna po stronie ~p (zdanie B2)
W operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek "rzucanie monetą" w sensie "na dwoje babka wróżyła", jak to miało miejsce w operatorze implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co się stanie jak zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jak zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
36.5 Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
Prawo Krokodyla (pkt. 21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Definicja twardej jedynki:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" twarda jedynka to spełniony warunek wystarczający => w analizie matematycznej zdania "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q, przy pomocy znaczków elementarnych =>, ~> i ~~>.
A1: p=>q =1 - twarda jedynka
Definicja twardego zera:
W zdaniach warunkowych "Jeśli p to q" na mocy definicji kontrprzykładu spełniony warunek wystarczający A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu w linii A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=p*~q =0 - twarde zero
Notacja w algebrze Kubusia:
Przez A1' oznaczamy kontrprzykład dla warunku wystarczającego A1
Definicja operatora równoważności p|<=>q:
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź na dwa pytania:
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
oraz:
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q na mocy analizy w poprzednim punkcie:
| Kod: |
TR1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Prawo Krokodyla (pkt.21.2):
W obsłudze zdań warunkowych "Jeśli p to q" przez wszystkie możliwe przeczenia p i q logika matematyczna musi widzieć tą samą ilość twardych zer i twardych jedynek, inaczej jest wewnętrzne sprzeczna.
Jak widzimy, w operatorze równoważności p|<=>q mamy dwie twarde jedynki (A1 i B2) oraz dwa twarde zera (A1', B2'), co oznacza spełnienie prawa Krokodyla i brak wewnętrznej sprzeczności algebry Kubusia.
36.5.1 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
Zapiszmy tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q w wersji skróconej:
| Kod: |
T2
Definicja |Co w logice
symboliczna |jedynek oznacza
p|<=>q |
A1B1:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0
a b c 1 2 3
|
Zero-jedynkową definicję równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy kodując tabelę T2 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności p<=>q:
A1B1: p<=>q
W równoważności A1B1: p<=>q zmienne p i q są w postaci niezanegowanej.
Tabelę zero-jedynkową równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) otrzymamy wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne w tabeli T2_12 sprowadzimy do postaci niezanegowanej.
Umożliwia to II prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
które możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.
Zróbmy to:
| Kod: |
T3
Definicja |Co w logice |Na mocy II |Zapis tożsamy
symboliczna |jedynek oznacza |prawa Prosiaczka |tabeli 456
p|<=>q | | |
A1B1: | |
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) | | p q p<=> q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1 =1
A1': p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0 =0
A2B2: |
~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0 =1
B2':~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1 =0
a b c 1 2 3 4 5 6 7 8 9
|
Definicja:
Tabelę T3_789 nazywamy zero-jedynkową definicją równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) dla potrzeb rachunku zerojedynkowego.
Interpretacja równoważności p<=>q:
T3_789: p<=>q - zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Do zapamiętania:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A1: 1<=>1 1
A1’: 1<=>0 0
B2: 0<=>0 1
B2’: 0<=>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
|
Wyprowadzenie tabeli zero-jedynkowej równoważności z jej definicji w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja równoważności w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
Y=(p<=>q) = A1: p*q + B2:~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=(p<=>q)=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
I Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Stąd mamy definicję zero-jedynkową równoważności p<=>q:
p<=>q=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
36.5.2 Odtworzenie p|<=>q z tabeli zero-jedynkowej równoważności p<=>q
Algorytm odwrotny, czyli odtworzenie operatora równoważności p|<=>q z zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest następujący.
Dla ułatwienia zrozumienia zachowujemy iterowanie linii z wyprowadzonej wyżej zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q, co matematycznie jest bez znaczenia.
Niech będzie dana tabela zero-jedynkowa równoważności <=>
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
p q Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A1: 1<=>1 1
A1’: 1<=>0 0
B2: 0<=>0 1
B2’: 0<=>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p<=>q=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: p=0 i q=0
Inaczej:
p<=>q=0
|
Jak wygenerować z tej tabeli operator równoważności p|<=>q?
Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r..) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y) (pkt. 1.14)
Krok 1
Budujemy pełną tabelę zero-jedynkową dla równoważności p<=>q po czym opisujemy wyłącznie wynikowe jedynki stosując w poziomie spójnik "i'(*) zaś w pionie spójnik "lub"(+).
Powyższy algorytm prowadzi do wygenerowania równań alternatywno-koniunkcyjnych Y i ~Y zrozumiałych dla każdego 5-cio latka (pkt. 1.14.1)
| Kod: |
T1.
Tabela zero-jedynkowa równoważności p<=>q w "lub"(+) i "i"(*)
|Opis jedynek |Opis jedynek |Tabela w zdarzeniach
|dla Y=(p<=>q) |dla ~Y=~(p<=>q)|możliwych ~~> dla Y
p q ~p ~q | Y ~Y | | | Y ~Y
A1: 1 1 0 0 | 1 0 | Ya= p* q | | p~~> q= p* q =1 =0
A1’: 1 0 0 1 | 0 1 | |~Yb= p*~q | p~~>~q= p*~q =0 =1
B2: 0 0 1 1 | 1 0 | Yc=~p*~q | |~p~~>~q=~p*~q =1 =0
B2’: 0 1 1 0 | 0 1 | |~Yd=~p* q |~p~~> q=~p* q =0 =1
a b c d e f g h i j k l 1 2 3 4 5
|
W tabeli 12345 w opisie kolumny Y obowiązuje prawo Prosiaczka:
(~Yb=1) = (Yb=0)
oraz
(~Yd=1) = (Yd=0)
które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+) to odpowiedź na pytania o Y i ~Y
1.
Kiedy zajdzie Y?
Odczytujemy z tabeli ghi:
Y=Y(A1)+Y(B2) = A1: p*q+ B2: ~p*~q
2.
Kiedy zajdzie ~Y?
Odczytujemy z tabeli jkl:
~Y=~Y(A1’)+~Y(B2’) = A1’: p*~q + B2’: ~p*q
Tabela konieczna i wystarczająca dla odtworzenia operatora równoważności p|<=>q w warunkach wystarczających =>, koniecznych ~> i zdarzeniach możliwych ~~> to tabela 12345.
Tabela 12345 to tabela wszystkich zdarzeń możliwych (Yx=1) i niemożliwych (Yx=0) jakie mogą zajść na mocy definicji równoważności p<=>q. Jak widzimy, możliwe są (=1) zdarzenia Y(x)=1 A1 i B2 oraz niemożliwe są (=0) zdarzenia Y(x)=0 A1’ i B2’.
Krok 2
Zapisujemy tabelę wszystkich zdarzeń możliwych (Y=1) i niemożliwych (Y=0) jakie mogą zajść w zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q
| Kod: |
T2.
Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q
A1: p~~> q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i ~q
B2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
|
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Krok 3
Na mocy definicji kontrprzykładu z braku elementu wspólnego ~~> zbiorów p i ~q:
A1’: p~~>~q=0
Wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Krok 4
Na mocy definicji kontrprzykładu z braku elementu wspólnego zbiorów ~p i q:
B2’: ~p~~>q =0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd mamy odtworzoną tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q dającą odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (A1, A1’) oraz co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (B2, B2’)
| Kod: |
TR1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
36.6 Wirtualne definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w p<=>q
Zacznijmy od znanego w elektronice pojęcia „pamięć wirtualna”.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wikipedia
Pamięć wirtualna – mechanizm zarządzania pamięcią komputera zapewniający procesowi wrażenie pracy w jednym, dużym, ciągłym obszarze pamięci operacyjnej, podczas gdy fizycznie może być ona pofragmentowana, nieciągła i częściowo przechowywana na urządzeniach pamięci masowej.
Pamięć wirtualna działa na zasadzie przedefiniowania adresów pamięci (fizycznych) na adresy używane przez procesy (logiczne) tak, aby „oszukać” procesy i dać im wrażenie pracy w ciągłej przestrzeni adresowej. Pamięć wirtualna oznacza znacznie większą ilość pamięci RAM dla procesu niż fizycznie dostępna w systemie
Zauważmy, że z punktu odniesienia programisty (programu komputerowego) nie jest dostępna rzeczywista realizacja pamięci wirtualnej - programistę w ogóle to nie interesuje.
W równoważności mamy podobnie:
Zauważmy, że przy wyprowadzaniu zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q (36.5.1) nie była nam potrzebna ani zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>, ani też zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>.
Matematycznie, zero-jedynkową definicję równoważności można wygenerować korzystając z zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód:
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
p q Y=(p=>q)=~p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 0 =1
D: 0 1 =1
|
##
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
p q Y=(p~>q)=p+~q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 0 =1
D: 0 1 =0
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y w tej samej logice (tu dodatniej bo Y) są różne na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy dla identycznych wymuszeń na wejściach p i q mają różne kolumny wynikowe Y
Podstawowa, znana wszystkim ludziom definicja równoważności to:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, by zaszło q
Klikamy na goglach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: kilkanaście tysięcy
cnd
Skorzystajmy z zero-jedynkowych definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w celu wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q.
| Kod: |
Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q
p q p=>q p~>q p<=>q=(p=>q)*(p~>q)
A: 1 1 =1 =1 =1
B: 1 0 =0 =1 =0
C: 0 0 =1 =1 =1
D: 0 1 =1 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Zauważmy, że w świecie rzeczywistym (naszym świecie) w równoważności p<=>q mamy dostęp tylko i wyłącznie do sygnałów wejściowych p i q oraz do kolumny wynikowej p<=>q, czego dowód mieliśmy w punkcie 36.5.1.
Kolumny wynikowe p=>q i p~>q są kolumnami wirtualnymi niedostępnymi w naszym świecie rzeczywistym - można je fizycznie zaobserwować wyłącznie w teorii bramek logicznych, czego dowód znajdziemy w punkcie 13.7.3
Wnioski:
1.
Nie ma sensu analizować linia po linii warunku wystarczającego p=>q bo w punkcie D3 wyjdzie nam kosmiczna głupota jakoby zbiory ~p i q miały element wspólny, co w świecie rzeczywistym jest wykluczone (punkt D5)
2.
Nie ma sensu analizować linia po linii warunku koniecznego p~>q bo w punkcie B4 wyjdzie nam kosmiczna głupota jakoby zbiory p i ~q miały element wspólny, co w świecie rzeczywistym jest wykluczone (punkt B5)
36.6.1 Prawo matematycznego super-głąba w równoważności
Algebra Kubusia:
W zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q kolumna 3 definiuje wirtualny warunek wystarczający p=>q gdzie w świecie rzeczywistym nie jest dostępna jedynka w punkcie D3.
W logice „matematycznej” ziemskich matematyków warunek wystarczający => z algebry Kubusia nosi nazwę implikacji o definicji jak niżej.
Prawo eliminacji implikacji w ziemskiej logice matematycznej:
A1: p=>q =~p+q
Dowód iż definicja ziemskiej implikacji => nie ma nic wspólnego z warunkiem wystarczającym => w rozumieniu algebry Kubusia to aktualnie obowiązująca definicja ziemskiej implikacji =>, podana przez Macjana.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/elementarz-algebry-boole-a-irbisol-macjan-str-10,2605-240.html#55877
@Macjan
Zrozum - treść zdania, czyli to, o czym ono mówi, nie może w żaden sposób wpływać na jego zapis symboliczny. Zdanie "... i ..." jest koniunkcją niezależnie od tego, co wstawimy w wykropkowane miejsca. Tak samo zdanie "Jeśli ... to ..." jest implikacją.
Potwierdzenie definicji Macjana przez wykładowcę logiki matematycznej na AGH Kraków.
[link widoczny dla zalogowanych]
@Wykład logiki matematycznej na AGH
Elementy logiki matematycznej
Logika matematyczna zajmuje się zdaniami logicznymi.
Zdanie logiczne, to zdanie gramatyczne orzekające, któremu można przypisać jedną z dwóch ocen (wartość) Prawda (TRUE, 1); Fałsz (FALSE, 0 ) (czyli zdania logiczne podlegają wartościowaniu). Nie są zdaniami logicznymi zdania pytające i rozkazujące.
Funktory logiczne (spójniki):
- jednoargumentowe (wystarczy jedno zdanie)
negacja - ~ - (nieprawda, że ...)
- dwuargumentowe (wymagają dwóch zdań) np.
koniunkcja - * - (...i... )
alternatywa - + - (...lub...)
implikacja - => - (jeżeli ..., to...)
równoważność - <=> - (...wtedy i tylko wtedy, gdy...)
Zero-jedynkowe definicje dwuargumentowych spójników logicznych to:
| Kod: |
p q | p*q | p+q | p=>q | p<=>q
1 1 | 1 | 1 | 1 | 1
1 0 | 0 | 1 | 0 | 0
0 1 | 0 | 1 | 1 | 0
0 0 | 0 | 0 | 1 | 1
|
@Rafal3006
Jak widzimy, w wykropkowane miejsca możemy wstawiać cokolwiek, byleby temu „cokolwiek” dało się przypisać pojęcie prawdy (=1) albo fałszu (=0), co lokuje nas w definicji implikacji materialnej rodem z Klasycznego Rachunku Zdań.
Stąd mamy:
Prawo Matematycznego super-głąba:
Matematycznym super-głąbem jest każdy fanatyk KRZ który korzysta z ziemskiej definicji implikacji podanej przez Macjana, potwierdzonej przez wykładowcę logiki „matematycznej” na AGH, która w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie wymaga badania jakiejkolwiek relacji w zbiorach między poprzednikiem p i następnikiem q.
36.7 Operator równoważności p|<=>q vs algebra Boole’a
Zacznijmy od podstawowej definicji równoważności p<=>q, gdzie w kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
| Kod: |
TR
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
## ## ## ##
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania w linii Ax wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Prawdziwość dowolnego zdania w linii Bx wymusza prawdziwość pozostałych zdań w tej linii
Z tabeli TR odczytujemy tabelę prawdy operatora równoważności p|<=>q
| Kod: |
TR1
Tabela prawdy operatora równoważności p|<=>q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Twarda jedynka w A1 wymusza twarde zero w A1' (i odwrotnie)
A1': p~~>~q=0 - prawdziwość A1: p=>q wymusza fałszywość kontrprzykładu A1'
Twarde zero w A1' wymusza twardą jedynkę w A1 (i odwrotnie)
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
Twarda jedynka w B2 wymusza twarde zero w B2' (i odwrotnie)
B2':~p~~>q =0 - prawdziwość B2:~p=>~q wymusza fałszywość kontrprzykładu B2'
Twarde zero w B2' wymusza twardą jedynkę w B2 (i odwrotnie)
|
Komentarz:
Linia A1:
Jeśli spełniony jest warunek wystarczający A1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (DR 36.3)
to iloczynem logicznym zbiorów p i q to jest zbiór p, czyli zbiór p*q jest zbiorem niepustym (=1)
Linia A1’:
Prawdziwy warunek wystarczający A1: p=>q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie)
A1’: p~~>~q = p*~q =0 - co oznacza brak (=0) wspólnego elementu zbiorów p i ~q (DR 36.3)
Linia B2:
Jeśli spełniony jest warunek wystarczający B2:
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (DR 36.3)
to iloczynem logicznym zbiorów ~p i ~q to jest zbiór ~p, czyli zbiór ~p*~q jest zbiorem niepustym (=1)
Linia B2’:
Prawdziwy warunek wystarczający B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ (i odwrotnie)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =0 - co oznacza brak (=0) wspólnego elementu zbiorów ~p i q (DR 36.3)
Stąd mamy wyprowadzoną symboliczną definicję operatora równoważności p<=>q z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
| Kod: |
TR2
Symboliczna definicja operatora równoważności p|<=>q
z uwzględnieniem definicji elementu wspólnego zbiorów p~~>q=p*q
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Y=(p<=>q)=A1: p*q+B2:~p*~q
A1: p=> q =1 = p* q =1 -jeśli p=>q=1 to istnieje(=1) wspólny element p*q=1
A1’: p~~>~q=0 = p*~q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element p*~q =0
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)
B2: ~p=>~q =1 =~p*~q =1 -jeśli ~p=>~q=1 to istnieje wspólny element ~p*~q=1
B2’:~p~~>q =1 =~p* q =0 -nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów ~p i q
1 2 3 4 5 6
|
Fakt 1:
Zauważmy, że w analizie operatora równoważności p|<=>q zbiory niepuste i rozłączne to: A1 i B2
Dowód rozłączności tych zbiorów (DR 36.3):
(A1: p*q)*(B2:~p*~q) =[] - bo p*~p=[]
cnd
Fakt 2:
Z diagramu DR wynika, że dziedzina D to suma logiczna zbiorów niepustych i rozłącznych:
D = A1: p*q + B2: ~p*~q
Funkcja logiczna Y opisująca tabelę symboliczną 456 w tabeli prawdy TR2 to:
Y = A1: p*q + B2: ~p*~q
co w logice jedynek (bo równanie alternatywno-koniunkcyjne) oznacza:
Y=1 <=> A1: p=1 i q=1 lub B2: ~p=1 i ~q=1
Zauważmy, że jeśli dowolny składnik sumy logicznej w równaniu alternatywno-koniunkcyjnym przyjmie wartość logiczną miękkiej jedynki to wymusi ona miękkie zera w pozostałych składnikach sumy logicznej.
Definicja miękkiej jedynki i miękkiego zera:
Miękka jedynka i miękkie zero to wartościowanie sumy logicznej opisującej zbiory niepuste i rozłączne dla konkretnego składnika sumy logicznej.
Dowód:
Funkcja logiczna Y opisująca tabelę symboliczną 456 w tabeli prawdy TR2 to:
Y = A1: p*q + B2: ~p*~q
Możliwe są tu dwa przypadki iterowania:
1.
Załóżmy, że wylosowaliśmy element należący do zbioru A1:
A1: Y(A1) = A1: p*q
co w logice jedynek oznacza:
A1: Y(A1)=1 <=> A1: p=1 i q=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Dla tego przypadku (iterowania) Y(A1) mamy (456):
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = A1: p*q + B2: ~p*~q
Y(A1) = A1: 1*1 + B2: 0*0 = A1: 1 + B2: 0
A1: Y(A1) = p*q
Wniosek:
Jeśli z dziedziny D wylosujemy element należący do zbioru A1: p*q (miękka jedynka) to dla tego losowania linia B2 będzie zbiorem pustymi [] (miękkie zero)
2.
Załóżmy, że wylosowaliśmy element należący do zbioru B2:
B2: Y(B2) = B2: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
B2: Y(B2)=1 <=> B2: ~p=1 i ~q=1
Na mocy prawa Prosiaczka mamy:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)
Dla tego przypadku (iterowania) Y(B2) mamy (456):
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Y = A1: p*q + B2: ~p*~q
Y(B2) = A1: 0*0 + B2: 1*1 = A1: 0 + B2: 1
B2: Y(B2) = B2: ~p*~q
Wniosek:
Jeśli z dziedziny D wylosujemy element należący do zbioru B2: ~p*~q (miękka jedynka) to dla tego losowania linia A1 będzie zbiorem pustym [] (miękkie zero)
Podsumowując:
Doskonale tu widać sens definicji miękkich jedynek i miękkich zer w logice matematycznej.
Zauważmy, że z dziedziny D nie możemy wylosować elementu który by należał jednocześnie do dwóch zbiorów niepustych A1: p*q i B2:~p*~q, bowiem zbiory te są rozłączne (DR 36.3)
36.7.1 Prawo matematycznego jełopa
Dowolny matematyk który twierdzi że równoważność p<=>q definiuje zarówno tożsamość zbiorów p=q jak i tożsamość zbiorów ~p=~q jest matematycznym jełopem
Dowód w punkcie wyżej.
36.7.2 Prawo matematycznego jełopa na przykładzie równoważności Pitagorasa
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Weźmy twierdzenie proste Pitagorasa A1: p=>q
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisach formalnych:
A1: p=>q =1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy ustalony punkt odniesienia to:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełniona sumą kwadratów)
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Zdanie A1 to znane każdemu uczniowi 8 klasy SP twierdzenie proste Pitagorasa.
Aby rozstrzygnąć z jakim operatorem implikacyjnym mamy do czynienia musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Wybieramy twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: q=>p
B3.
Jeśli w dowolnym trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Na mocy prawa Słonia czytamy:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest suma kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP)
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Na mocy prawa Sowy mamy tu do czynienia z równoważnością Pitagorasa TP<=>SK.
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują cię w relacji równoważności p<=>q
A1B1: p=q <=> A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Równoważność TP<=>SK to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów (ZWT) wylosujemy trójkąt prostokątny TP.
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy równoważności TP<=>SK z uwzględnieniem prawa Irbisa i definicji kontrprzykładu działającej wyłącznie w warunkach wystarczających =>
| Kod: |
TR
Równoważność p<=>q w zapisie formalnym:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia dla naszego przykładu to:
p=TP
q=SK
Równoważność TP<=>SK w zapisie aktualnym:
Równoważność TP<=>SK to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak
jak i wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: TP=>SK =1 - bycie TP jest (=1) wystarczające => dla zachodzenia SK
<=> zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbioru SK
B1: TP~>SK =1 - bycie TP jest (=1) konieczne ~> dla zachodzenia SK
<=> zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w równoważności p<=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =1 = 2:~p~> ~q =1 [=] 3: q~> p =1 = 4:~q=> ~p =1
A': 1: p~~> ~q =0 [=] 4:~q~~> p =0
To samo w zapisie aktualnym:
A: 1: TP=>SK =1 = 2:~TP~>~SK=1 [=] 3: SK~>TP =1 = 4:~SK=>~TP=1
A': 1: TP~~>~SK=0 [=] 4:~SK~~>TP=0
## ## ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=> ~q =1 [=] 3: q=> p =1 = 4:~q~> ~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~> ~p =0
To samo w zapisie aktualnym:
B: 1: TP~>SK =1 = 2:~TP=>~SK=1 [=] 3: SK=> TP =1 = 4:~SK~>~TP=1
B': 2:~TP~~>SK=0 [=] 3: SK~~>~TP=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: p<=> q =1 = 2:~p<=>~q =1 [=] 3: q<=> p = 1 = 4:~q<=>~p=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
To samo w zapisie aktualnym:
Równoważność <=>: | Równoważność <=>:
AB: 1: TP<=>SK =1 = 2:~TP<=>~SK=1 [=] 3: SK<=>TP =1 = 4:~SK<=>~TP=1
definiuje tożsamość zbiorów: | definiuje tożsamość zbiorów:
AB: 1: TP=SK # 2:~TP=~SK | 3: SK=TP # 4:~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
W tabeli TR doskonale widać potwierdzenie prawa Jełopa:
1.
Jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP) to matematyczny opis dla tego przypadku mamy w kolumnie A1B1.
Równoważność:
AB1: TP<=>SK =1
Definiuje tu wyłącznie zbiór:
AB1: TP=SK (TP - zbiór trójkątów prostokątnych)
nie mogąc jednocześnie definiować zbioru:
AB2: ~TP=~SK (~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych)
bowiem zbiory te są rozłączne, czyli nie można wylosować elementu należącego jednocześnie do tych dwóch zbiorów (DR 36.3)
2.
Jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP) to matematyczny opis dla tego przypadku mamy w kolumnie A2B2.
Równoważność:
AB2: ~TP<=>~SK =1
Definiuje tu wyłącznie zbiór:
AB2: ~TP=~SK (~TP - zbiór trójkątów nieprostokątnych)
nie mogąc jednocześnie definiować zbioru:
AB1: TP=SK (TP - zbiór trójkątów prostokątnych)
bowiem zbiory te są rozłączne, czyli nie można wylosować elementu należącego jednocześnie do tych dwóch zbiorów (DR 36.3)
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:19, 26 Sie 2024, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
