Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (2021-10-16)
Idź do strony 1, 2  Następny
 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 8:25, 24 Wrz 2021    Temat postu: Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego (2021-10-16)

Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-10-16
(W trakcie poprawek)

Kompletna algebra Kubusia to dwa podręczniki:

Część I.
Nowa algebra Boole’a

Część II.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego

Dodatek do algebry Kubusia dostępny wyłącznie w wersji pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/tnbrf4kocp84ly0/Algebra%20Kubusia%20-%20Elementarz%20Mikroelektroniki.pdf?dl=0
W dodatku znajdziemy odpowiedź na pytanie:
Jaki jest matematyczny fundament działania wszelkich komputerów?

Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.

Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.

Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.




Spis treści:

1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów

2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

3.0 Definicje spójników implikacyjnych
3.0 Definicje spójników implikacyjnych

4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q
4.4 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q dla przedszkolaków
4.8 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q dla LO

5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q
5.4 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q dla przedszkolaków
5.8 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q dla LO

6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q
6.5 Równoważności Pitagorasa
6.8 Równoważność A<=>S w zdarzeniach

7.0 Operatory implikacyjne - operator „albo” p|$q
7.0 Operatory implikacyjne - operator „albo” p|$q
7.4 Przykłady operatora „albo” p|$q
7.6 Spójniki zdaniowe „lub”(+) i „albo”($) w praktyce

8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q
8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q
8.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q

9.0 Obietnice i groźby
9.0 Obietnice i groźby
9.5 Obietnica
9.6 Groźba
9.7 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

10.0 Obietnice i groźby złożone
10.0 Obietnice i groźby złożone
10.5 Groźby złożone typu f(p)~>f(q)

11.0 Algorytm Kruka
11.0 Algorytm Kruka
11.4 Algorytm Kruka w równoważności TP<=>SK
11.5 Algorytm Kruka w chaosie P8|~~>P3

12.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
12.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych

13.0 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego
13.0 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego

14.0 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań
14.0 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań
14.7 Kompromitacja ziemskiej matematyki w 5 klasie SP
14.8 Dekalog Kubusia plus jego zastosowanie
14.11 Dowód fałszywości kwantyfikatora dużego /\ w matematyce ziemian

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.


Wstęp do algebry Kubusia

Spis treści
0.0 Wstęp do algebry Kubusia 4
0.1.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 5
0.1.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 6
0.2 Wyprowadzenie znaczków obowiązujących w algebrze Kubusia 7
0.2.1 Wyprowadzenie tabel zero-jedynkowych obowiązujących w algebrze Kubusia 10


0.0 Wstęp do algebry Kubusia

Wyprowadzenie poprawnych znaczków w logice matematycznej, o fundamentalnie innym znaczeniu niż znane matematykom obecne znaczki!

Fundament algebry Kubusia:
Wszelkie znaczki logiki matematycznej oraz tabele zero-jedynkowe w logice matematycznej zwanej algebrą Kubusia wynikają z opisu świata martwego na poziomie 5-cio latka co oznacza, że wszyscy podlegamy pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans by się spod niej uwolnić.

Kluczowym jest tu zauważenie, że świat martwy nie jest w stanie złamać żadnego z praw logiki matematycznej zwanej algebrą Kubusia, pod którą podlega. Dokładnie dlatego wyłącznie świat martwy (w tym matematyka) idealnie nadaje się do wyznaczenia wszelkich znaczków obowiązujących w logice matematycznej.
Świat żywy nie nadaje się do wyznaczania znaczków logiki matematycznej ze względu na „wolną wolę” istot żywych, czyli możliwość zgwałcenia dowolnego prawa logiki matematycznej obowiązującego w świecie martwym.

0.1 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

Gdzie:
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa wyrażenia PP1 i PP2 są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadne z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
PP1: (Y=1)=(~Y=0) ## PP2: (Y=0)=(~Y=1)

Doskonale widać, że jak zaprzeczymy dwustronnie PP2 to nie otrzymamy PP1.
Dowód:
PP2’: (~Y=1)=(Y=0) ## PP1: (Y=1)=(~Y=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

0.1.1 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

0.1.2 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)

0.2 Wyprowadzenie znaczków obowiązujących w algebrze Kubusia

Pani w przedszkolu:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno bo zawsze gdy pada, są chmury.

Stąd mamy:
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
p=>q =1
Warunek wystarczający p=>q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego to:
p=>q = ~p+q

Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że jutro będzie padało (P=1) i nie będzie pochmurno (~CH=1)?
Jaś (lat 5):
A1’.
Nie może się zdarzyć (=0), że jutro będzie padało (P=1) i nie będzie pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =1*1 =0
Wypowiedzmy zdanie fałszywe A1’ w postaci zdania warunkowego „Jeśli p to q”?
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =1*1 =0

Stąd mamy wyprowadzone dwie definicje:
1.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego p~~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =0
2.
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Banalna teoria czysto matematyczna czyli wyprowadzenie praw Kubusia.
Zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
a)
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
b)
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q

Prawa Kubusia mówiące o związkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> bez zamiany p i q.
I prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Dowód:
Rozwijamy prawą stronę przez definicję znaczka ~>:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q - na mocy definicji znaczka =>
cnd
II prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Dowód:
Rozwijamy prawą stronę przez definicję znaczka =>:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q - na mocy definicji znaczka ~>
cnd

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
stąd:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby jutro nie padało (~P=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => jest pochmurno (CH=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH =1

Definicja tożsamości logicznej „=”
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Na mocy powyższej definicji mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>CH =1
Nie musimy dowodzić prawdziwości warunku koniecznego ~> A2:
A2: ~P~>~CH=1
Prawdziwość warunku koniecznego A2 gwarantuje nam prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH

Stąd mamy:
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

W naszym przykładzie dowód „nie wprost” to skorzystanie z prawa Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH

Kolejny łyk teorii:
Zauważmy, że w zdaniu A2 nie jest spełniony warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
B2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to na 100% => nie będzie pochmurno (~CH=1)
~P=>~CH =0
Brak opadów (~P=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla braku chmur (~CH=1) bo nie zawsze kiedy nie pada, nie ma chmur
cnd
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest zdarzenie (=1): nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

Pani:
Powiedzcie mi dzieci:
Czy jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)?
Zuzia (lat 5):
B2’.
Może się zdarzyć (=1), że jutro nie będzie padało (~P=1) i będzie pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = P*~CH =1
Wypowiedzmy zdanie B2’ w postaci zdania warunkowego:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest zdarzenie (=1): nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)

0.2.1 Wyprowadzenie tabel zero-jedynkowych obowiązujących w algebrze Kubusia

Pozostaje nam banał, czyli wygenerowanie ze zdań A1, A1’, A2, B2’ kluczowych tabel zero-jedynkowych logiki matematycznej oraz ich interpretacje.

Przejdźmy na zapisy formalne niezależne od zdań wypowiadanych podstawiając:
p = P(pada)
q = CH(chmury)

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy w zapisach formalnych:
Kod:

T1.
              |Co w logice
              |Jedynek oznacza
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1

Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q A2:~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0      =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1      =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1      =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0      =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Czyż algebra Kubusia nie jest bajecznie prosta i piękna?


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 15:46, 21 Cze 2022, w całości zmieniany 233 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pią 8:26, 24 Wrz 2021    Temat postu:

Nowa algebra Boole’a
1.0 Operatory jednoargumentowe


Spis treści
1.0 Nowa algebra Boole’a 1
1.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego 5
1.2 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych 5
1.2.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 9
1.3 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków 11
1.3.1 Operator transmisji Y|=p 11
1.3.2 Operator negacji Y|=~p 13
1.3.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p 15
1.3.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p 17
1.4 Prawa Prosiaczka 20
1.4.1 Formalne wyprowadzenie praw Prosiaczka 21
1.4.2 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki 24
1.4.3 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka 25



1.0 Nowa algebra Boole’a

Algebra Kubusia to matematyczny opis języka potocznego, zatem tylko z tego punktu widzenia będziemy patrzeć na algebrę Boole’a.

Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+) z języka potocznego człowieka.
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Dlaczego niniejszy podręcznik nosi nazwę nowej algebry Boole’a?

Dwa główne powody to:
1.
Klasyczna algebra Boole’a nie zna kluczowych dla logiki matematycznej pojęć: logika dodatnia (bo Y) i logika ujemna (bo ~Y)
2.
Ziemski rachunek zero-jedynkowy (fundament logiki matematycznej) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych Y i ~Y, co udowodnimy za chwilkę już na poziomie operatorów logicznych jednoargumentowych.

Definicja algebry Boole’a na poziomie znaczków:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle {1,0}) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
„nie”(~) - negacja (zaprzeczenie), słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol, mogący w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości {0,1}

Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Matematyczny związek wartości logicznych 1 i 0:
1 = ~0
0 = ~1
(~) - negacja
Kod:

Definicja negacji:
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo p):
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana.
Inaczej mamy do czynienia ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~p)

Matematyczne związki między p i ~p:
I.
p#~p
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
II.
p=~(~p) - logika dodatnia (bo p) to zanegowana logika ujemna (bo ~p)
~p=~(p) - logika ujemna (bo ~p) to zanegowana logika dodatnia (bo p)

Dowód w rachunku zero-jedynkowym:
Kod:

Matematyczne związki w definicji negacji:
   p ~p ~(~p) ~(p)
A: 1  0    1    0
B: 0  1    0    1
   1  2    3    4

Tożsamość kolumn 1=3 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p=~(~p)
Tożsamość kolumn 2=4 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
~p=~(p)

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
   p  q  Y=p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
   p  q  Y=p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0


Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(p,q) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku wyrażeniem algebry Boole’a może być pojedyńcza zmienna binarna p
f(p) =p

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Zwyczajowe zmienne binarne w technice to:
p, q, r, s … - wejścia bramek logicznych
Y - wyjście bramki logicznej

Przykład:
Y = f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
Y = p*q+~p*~q

W najprostszym przypadku mamy do czynienia z funkcją logiczną jednej zmiennej binarnej p
Y = f(p) =p

Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc

Dowolną funkcję logiczną Y mamy prawo tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować:
1.
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (poznamy niebawem) jedynki są domyślne.
#
2.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1:
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana, które niebawem poznamy.
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (poznamy niebawem) jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja funkcji logicznej Y dwóch zmiennych binarnych p i q:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) dwóch zmiennych binarnych p i q to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściach p i q.
Zachodzi tożsamość pojęć:
zmienna binarna = zmienna dwuwartościowa

Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Inaczej mamy do czynienia ze standardem ujemnym lub mieszanym.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka

Podstawa matematyczna dla powyższej definicji to prawa Prosiaczka, które za chwilkę wyprowadzimy.
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo dla dowolnej zmiennej binarnej.

1.1 Definicja operatora logicznego jednoargumentowego

Definicja funkcji logicznej Y jednej zmiennej binarnej p:
Funkcja logiczna Y w logice dodatniej (bo Y) jednej zmiennej binarnej p to cyfrowy układ logiczny dający na wyjściu binarnym Y jednoznaczne odpowiedzi na wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p.
Kod:

T1
Wszystkie możliwe wymuszenia binarne na wejściu p
dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
   p  Y=f(p)
A: 1  x
B: 0  x
Gdzie:
x={0,1}
f(p) - jednoargumentowe wyrażenie algebry Boole’a

Z definicji funkcji logicznej Y wynika, że możliwe jest cztery i tylko cztery różnych na mocy definicji ## funkcji logicznych jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y).
Funkcje te definiujemy tabelą prawdy pokazującą wszystkie możliwe wymuszenia na wejściu p oraz wszystkie możliwe, różne na mocy definicji ## odpowiedzi na wyjściu Y.

Definicja bramki logicznej jednej zmiennej binarnej p
Bramka logiczna jednej zmiennej binarnej p to układ cyfrowy o jednym wejściu p i jednym wyjściu Y
Gdzie:
p, Y - zmienne binarne mogące przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne {0,1}

Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y

Każda ze zmiennych binarnych {p, Y} może występować w logice dodatniej (bo x) albo w logice ujemnej (bo ~x). Oczywistym jest, że zmienna binarna w logice dodatniej (bo x) wymusza zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~x), albo odwrotnie.
Na dowolny układ cyfrowy można zatem spojrzeć w logice dodatniej (bo Y) albo w logice ujemnej (bo ~Y).
Kod:

Definicja jednoargumentowego operatora logicznego Y|=f(p)
to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
   p  Y=f(p)  #  ~p ~Y=~f(p)
A: 1  x       #   0 ~(x)
B: 0  x       #   1 ~(x)
Gdzie:
x={0,1}
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka #
    jest negacją drugiej strony
{p,Y} muszą być wszędzie tymi samymi {p,Y} inaczej błąd podstawienia 


1.2 Zero-jedynkowe definicje jednoargumentowych operatorów logicznych

Kod:

Definicja negacji:
   p ~p
A: 1  0
B: 0  1

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „i”(*):
   p  q  Y=p*q
A: 1  1  1
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  0  0
Y=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja jednoargumentowego spójnika „i”(*):
Dla q=~p mamy:
   p ~p  Y=p*~p
A: 1  0  0
B: 1  0  0
C: 0  1  0
D: 0  1  0

Kod:

Definicja dwuargumentowego spójnika „lub”(+):
   p  q  Y=p+q
A: 1  1  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  0  0
Y=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
Y=0

Kod:

Definicja jednoargumentowego spójnika „lub”(+):
Dla q=~p mamy:
   p ~p  Y=p+~p
A: 1  0  1
B: 1  0  1
C: 0  1  1
D: 0  1  1


Wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe w logice dodatniej (bo Y) to:
Kod:

Wszystkie możliwe funkcje logiczne Y=f(p) w logice dodatniej (bo Y)
         A0:  A1:   A2:     A3:
   p ~p  Y=p  Y=~p  Y=p+~p  Y=p*~p
A: 1  0  1    0     1       0
B: 0  1  0    1     1       0

Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.

Pełna tabela prawdy uwzględniająca logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) wygląda następująco.
Kod:

TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##

Dokładnie ta sama tabela opisana prościej, wyłącznie funkcjami logicznymi Y i ~Y.
Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.
Kod:

TF1
Operatory logiczne jednoargumentowe Y|=f(p):
1.
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych A0 i B0
Funkcja transmisji         |Funkcja transmisji
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A0: Y= p                   #  B0: ~Y=~p
   ##                             ##
2.
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych A1 i B1
Funkcja negacji            |Funkcja negacji
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A1: Y=~p                   #  B1: ~Y= p
   ##                             ##
3.
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań A2 i B2
Zdanie zawsze prawdziwe    |Zdanie zawsze prawdziwe
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A2: Y= p+~p=1              #  B2: ~Y= p*~p=0
   ##                             ##
4.
Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p to układ równań A3 i B3
Zdanie zawsze fałszywe     |Zdanie zawsze fałszywe
w logice dodatniej (bo Y)  |w logice ujemnej (bo ~Y)
A3: Y= p*~p=0              #  B3: ~Y= p+~p=1

Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##

Przykładowo doskonale widać że:
A0: Y=p ## B1: ~Y=p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej

Jak to udowodnić?

Sposób 1:
Doskonale widać, że funkcja logiczna A0: Y=p nie jest negacją funkcji logicznej B1: ~Y=p
cnd

Sposób 2:
Porównywać że sobą można wyłącznie funkcje logiczne w tej samej logice z czego wynika, że musimy zanegować funkcję logiczną A0: Y=p albo funkcję logiczną B1: ~Y=p doprowadzając do zgodności logik i dopiero wtedy mamy uprawnienia do porównywania tych funkcji
2A.
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną A0:
A0: Y=p # A0’: ~Y=~p
Gdzie różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony.
Dopiero teraz widać że:
A0’: ~Y=~p ## B1: ~Y=p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Funkcje logiczne A0’: ~Y=~p oraz B1: ~Y=p są w tej samej logice ujemnej (bo ~Y).
Brak tożsamości prawych stron tych funkcji jest dowodem na to, że funkcje logiczne A0’ i B1 są różne na mocy definicji ##
2B.
Zadanie domowe dla czytelnika:
Udowodnić poprawność użytego tu znaczka różne na mocy definicji ## poprzez sprowadzenie funkcji logicznej B1: ~Y=p do logiki dodatniej (bo Y)
Podpowiedź:
Trzeba dwustronnie zanegować funkcję logiczną B1.

Stąd mamy.
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd

Oczywistym jest, że prawo Grzechotnika można też udowodnić bezpośrednio w tabelach zero-jedynkowych, czym zajmiemy się w kolejnym punkcie.

1.2.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego

Największą tragedią ziemskiej logiki matematycznej jest fakt, że w bramkach logicznych po stronie wejścia cyfrowego widzi ona zmienne binarne w logice dodatniej (bo p) i ujemnej (bo ~p), ale nie widzi dokładnie tego samego po stronie wyjścia cyfrowego Y, tu obowiązuje bezwzględny zakaz widzenia wyjścia Y w logice ujemnej (bo ~Y).
Odpowiednikiem tego faktu w matematyce klasycznej byłoby widzenie w układzie Kartezjańskim na osi X zmiennych dodatnich (x) i zmiennych ujemnych (~x) z zakazem widzenia dokładnie tego samego na osi Y, gdzie dozwolone byłoby widzenie jedynie zmiennych dodatnich (y).
Czy ktokolwiek wyobraża sobie współczesną matematykę z takim upośledzonym układem Kartezjańskim?

Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć
Alfred Hitchcock.


Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.

Zapiszmy jeszcze raz wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe.
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka #:
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##

Aktualny rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków operuje tylko i wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, czyli na prawych stronach powyższych funkcji logicznych.
Dowód:
W całym Internecie (plus podręczniki matematyki) nie znajdziemy ani jednej kolumny wynikowej w rachunku zero-jedynkowym opisanej funkcją logiczną Y (albo ~Y).

Usuńmy zatem wszystkie funkcje logiczne Y i ~Y z tabeli TF1 pozostawiając jedynie wyrażenia algebry Boole’a
Kod:

TF1’
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  p    ##  p ~p ~p     ##  p ~p  p+~p=1   ##  p ~p  p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~p    ## ~p  p  p     ## ~p  p ~p*p=0    ## ~p  p ~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Doskonale widać, że w tabeli TF1’ najważniejszy znaczek logiki matematycznej, znaczek różne na mocy definicji ## został zgwałcony, bo ewidentnie zachodzą poniższe tożsamości.
Kod:

A0:  p = B1:  p
A1: ~p = B0: ~p
A2: p+~p=1 = B3: ~p+p=1
A3: p*~p=0 = B2: ~p*p=0
cnd

Stąd mamy:
Prawo Grzechotnika:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który nie widzi funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd

1.3 Operatory jednoargumentowe w logice 5-cio latków

Znaczenie symboli Y i ~Y dla potrzeb zaprezentowanych dalej przykładów:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa
2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y)
Innymi słowy:
Pani skłamie

1.3.1 Operator transmisji Y|=p

Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora transmisji Y|=p:
Operator transmisji Y|=p to układ równań logicznych funkcji transmisji A0: Y=p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji transmisji B0: ~Y=~p w logice ujemnej (bo ~Y)
A0.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (poznamy niebawem) jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (poznamy niebawem) jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład A0.
Pani przedszkolanka z przedszkola A0 wypowiada zdanie:
A0.
Jutro pójdziemy do kina
A0: Y=K
co w logice jedynek oznacza:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy juro pójdziemy do kina (K=1)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
B0: ~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1

Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej jednoargumentowych funkcji logicznych:
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   K ~K  Y=K  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~K  K ~Y=~K ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12

Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 3.
W części A0 doskonale widać że:
Y=1 <=> K=1
W części B0 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> ~K=1
cnd

Wnioski:
1.
Zauważmy, że nasze zdanie A0: Y=K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
2.
Także odpowiedź B0 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 123.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 123 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 123 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone praw Orła.

Prawo Orła:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

1.3.2 Operator negacji Y|=~p

Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora negacji Y|=~p:
Operator negacji Y|=~p to układ równań logicznych funkcji negacji A1: Y=~p w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji negacji B1: ~Y=p w logice ujemnej (bo ~Y)
A1.
Y=p
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (poznamy niebawem) jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A0 stronami:
B0.
~Y=~p
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (poznamy niebawem) jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład A1.
Pani przedszkolanka z przedszkola A1 wypowiada zdanie:
A1.
Jutro nie pójdziemy do kina
A1: Y = ~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1).
Y=1 <=> ~K=1

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A1 stronami:
B1.
~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
B1: ~Y=K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> K=1

Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej jednoargumentowych funkcji logicznych:
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~q  Y=q  ##  K ~K  Y=~K  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  q ~Y=~p ## ~K  K ~Y=K   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12

Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 6.
W części A1 doskonale widać że:
Y=1 <=> ~K=1
W części B1 doskonale widać, że:
~Y=1 <=> K=1
cnd

Wnioski:
1.
Zauważmy że nasz zdanie A1: Y=~K w logice dodatniej (bo Y) możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
2.
Także odpowiedź B1 na pytanie o ~Y możemy umiejscowić tylko i wyłącznie w obszarze 456.
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 456 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 456 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone praw Orła.

Prawo Orła:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

1.3.3 Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p

Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p:
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p+~p to układ równań logicznych funkcji logicznej zdania zawsze prawdziwego A2: Y=p+~p=1 w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej zdania zawsze fałszywego B2: ~Y=~p*p=0 w logice ujemnej (bo ~Y)
A2.
Funkcja logiczna zdania zawsze prawdziwego w logice dodatniej (bo Y)
Y=p+~p =1 - na mocy prawa algebry Boole’a
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~p=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (poznamy niebawem) jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A2 stronami:
B2.
Funkcja logiczna zdania zawsze fałszywego w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p*p =0 - na mocy prawa algebry Boole’a
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i p=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (poznamy niebawem) jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład A2.
Pani w przedszkolu A2 wypowiada zdanie:
A2.
Jutro pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do kina
Y = K+~K =1 - na mocy prawa algebry Boole’a
stąd:
A2: Y=K+~K =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), niezależnie od tego czy jutro pójdziemy do kina (K=1) czy też nie pójdziemy do kina (~K=1
Innymi słowy:
Y = K+~K =1 - cokolwiek pani jutro nie zrobi to dotrzyma słowa (Y=1)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
#
Negujemy równanie A2 stronami:
B2.
~Y=~K*K =0 - na mocy prawa algebry Boole’a
Stąd:
B2: ~Y=~K*K =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Niezależnie od tego czy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) czy też pójdziemy do kina (K=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0) = (Y=1)
Stąd zapis tożsamy równania B2:
B2’: Y = K*~K =1
Prawą stronę czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)
Niezależnie od tego czy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) czy też pójdziemy do kina (K=1)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej jednoargumentowych funkcji logicznych.
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~q  Y=q  ##  K ~K  Y=~K  ##  K ~K  Y=K+~K=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  q ~Y=~p ## ~K  K ~Y=K   ## ~K  K ~Y=~K*K=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12

Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 9.

Wnioski:
1.
W części A2 doskonale widać że:
Y=K+~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y), niezależnie od tego czy jutro pójdziemy do kina (K=1) czy też nie pójdziemy do kina (~K=1)
2.
W części B2 doskonale widać, że:
~Y=~K*K=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)
Niezależnie od tego czy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) czy też pójdziemy do kina (K=1)
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 789 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 789 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone praw Orła.

Prawo Orła:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

1.3.4 Operator zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora zdania zawsze fałszywego Y|=p*~p:
Operator zdania zawsze prawdziwego Y|=p*~p to układ równań logicznych funkcji logicznej zdania zawsze fałszywego A3: Y=p*~p=0 w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej zdania zawsze prawdziwego B3: ~Y=~p+p=1 w logice ujemnej (bo ~Y)
A3.
Funkcja logiczna zdania zawsze fałszywego w logice dodatniej (bo Y)
Y=p*~p =0 - na mocy prawa algebry Boole’a
co w logice jedynek oznacza:
Y=0 <=> p=1 i ~p=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (poznamy niebawem) jedynki są domyślne.
#
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie A3 stronami:
B3.
Funkcja logiczna zdania zawsze prawdziwego w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y=~p+p =1 - na mocy prawa algebry Boole’a
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub p=1
bo w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych (poznamy niebawem) jedynki są domyślne.
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład A3.
Pani w przedszkolu A3 wypowiada zdanie:
A3.
Jutro pójdziemy do kina i nie pójdziemy do kina
Y = K*~K =0 - na mocy prawa algebry Boole’a
stąd:
A3: Y=K*~K=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y) cokolwiek pani jutro nie zrobi.
Innymi słowy:
Bez znaczenia jest czy jutro pójdziemy do kina (K=1) czy też nie pójdziemy do kina (~K=1), bowiem pani kłamie (Y=0) już w momencie wypowiedzenia zdania A3
Prawo Prosiaczka:
(Y=0)=(~Y=1)
Stąd zapis tożsamy do A3.
A3’: ~Y=K*~K=1
Prawą stronę czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) cokolwiek pani jutro nie zrobi.
#
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek).
Czy wiesz kiedy pani nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Negujemy równanie A3 stronami:
~Y=~K+K =1 - na mocy prawa algebry Boole’a
Stąd:
B3: ~Y=~K+K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) cokolwiek jutro nie zrobi
Innymi słowy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) niezależnie od tego czy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) czy też pójdziemy do kina (K=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd zapis tożsamy do B3.
B3’: Y = ~K+K =0
Prawą stronę czytamy:
Fałszem jest (=0), że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
Niezależnie od tego czy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) czy też pójdziemy do kina (K=1)

Zobaczmy to w tabeli zero-jedynkowej jednoargumentowych funkcji logicznych:
Kod:

TF1
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=K*~K=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~K+K=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12

Jak widzimy, obsługą naszego przykładu zajmuje się wyłącznie kolumna 12.

Wnioski:
1.
W części A3 doskonale widać że:
A3: Y=K*~K=0
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że pani dotrzyma słowa (Y) cokolwiek pani jutro nie zrobi.
Innymi słowy:
Bez znaczenia jest czy jutro pójdziemy do kina (K=1) czy też nie pójdziemy do kina (~K=1), bowiem pani kłamie (Y=0) w już w momencie wypowiedzenia zdania A3
2.
W części B3 doskonale widać, że:
B3: ~Y=~K+K =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y) cokolwiek jutro nie zrobi
Innymi słowy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) niezależnie od tego czy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) czy też pójdziemy do kina (K=1)
3.
Z powyższego wynika, że dowolne zdanie z obszaru 10_11_12 jest różne na mocy definicji ## od jakiegokolwiek zdania spoza tego obszaru.
Innymi słowy:
Nie istnieje prawo logiki matematycznej które by wiązało ze sobą dowolną funkcję logiczną z obszaru 10_11_12 z jakąkolwiek funkcją logiczną spoza tego obszaru.
cnd
Stąd mamy wyprowadzone praw Orła.

Prawo Orła:
Dowolna funkcja logiczna jednoargumentowa może należeć do jednego i tylko jednego operatora logicznego jednoargumentowego

1.4 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
PP1: (Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
PP2: (Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

Gdzie:
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa wyrażenia PP1 i PP2 są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadne z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
PP1: (Y=1)=(~Y=0) ## PP2: (Y=0)=(~Y=1)

Definicja tożsamości logicznej „=”:
I prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

W algebrze Kubusia tożsame znaczki tożsamości logicznej to:
„=”, [=], <=> (wtedy i tylko wtedy)
Powyższe znaczki tożsame ułatwiają zrozumienie konkretnego zapisu w logice matematycznej.

Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń/zbiorów p=q (i odwrotnie)

Definicja tożsamości logicznej p=q:
Dwa pojęcia/zbiory są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q i jednocześnie zajście q jest wystarczające => dla zajścia p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Gdzie:
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność to zachodzące relacje podzbioru => w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Gdzie:
Definicja relacji podzbioru =>:
Zbiór p jest w relacji podzbioru => ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy każdy element zbioru p należy do zbioru q

Doskonale widać, że jak zaprzeczymy dwustronnie PP2 to nie otrzymamy PP1.
Dowód:
PP2: (Y=0)<=>(~Y=1)
Zaprzeczamy dwustronnie:
~PP2: (~(Y)=~(0) <=> (~(~Y)=~(1)
stąd mamy:
~PP2: (~Y=1) <=> (Y=0)
Wykorzystane prawa algebry Boole’a to:
~(Y) =~Y - logika ujemna (bo ~Y) to zaprzeczona logika dodatnie (bo Y)
~(~Y)=Y - logika dodatnia (bo Y) to zaprzeczona logika ujemna (bo ~Y), prawo podwójnego przeczenia
~(0)=1
~(1)=0
Stąd mamy:
~PP2: (~Y=1)=(Y=0) ## PP1: (Y=1)=(~Y=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
cnd

1.4.1 Formalne wyprowadzenie praw Prosiaczka

Formalne wyprowadzenie praw Prosiaczka z tabeli prawdy wszystkich możliwych jednoargumentowych funkcji logicznych.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo Y)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona
Inaczej zmienna binarna zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y)

Definicja wyrażenia algebry Boole'a:
Wyrażenie algebry Boole'a f(p,q) to zmienne binarne połączone spójnikami "i"(*) i "lub"(+)

Przykład:
f(p,q) = p*q+~p*~q
Zapis tożsamy:
p*q+~p*~q

Definicja funkcji logicznej algebry Boole'a:
Funkcja logiczna algebry Boole'a to zmienna binarna odzwierciedlająca binarne zmiany wyrażenia algebry Boole'a w osi czasu.
W technice funkcja algebry Boole'a to zwyczajowo duża litera Y

Matematycznie zachodzi tożsamość:
funkcja logiczna Y = wyjście bramki logicznej Y

Definicja jednoargumentowej funkcji logicznej Y w logice dodatniej (bo Y)
Y=f(p)
W przypadku funkcji jednoargumentowej po stronie wejścia bramki logicznej mamy do czynienia ze zmienną binarną p która może przyjmować wartość logiczną 1 albo 0.

Stąd mamy:
Wszystkie możliwe funkcje jednoargumentowe w logice dodatniej (bo Y) to:
Kod:

Wszystkie możliwe funkcje logiczne Y=f(p) w logice dodatniej (bo Y)
         A0:  A1:   A2:     A3:
   p ~p  Y=p  Y=~p  Y=p+~p  Y=p*~p
A: 1  0  1    0     1       0
B: 0  1  0    1     1       0

Definicja operatora logicznego jednoargumentowego Y|=f(p):
Operator logiczny jednoargumentowy Y|=f(p) to odpowiedź na pytanie o Y i ~Y.

Pełna tabela prawdy uwzględniająca logikę dodatnią (bo Y) i ujemną (bo ~Y) wygląda następująco.
Kod:

TF1
Zero-jedynkowa tabela prawdy jednoargumentowych operatorów logicznych
Czyli:
Tabela prawdy jednoargumentowych funkcji logicznych Y=f(p)
w logice dodatniej (bo Y) i w logice ujemnej (bo ~Y)
         A0:            A1:             A2:                A3:
   p ~p  Y=p  ##  p ~p  Y=~p  ##  p ~p  Y=p+~p=1 ##  p ~p  Y=p*~p=0
A: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  1        ##  1  0  0
B: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  1        ##  0  1  0
   #  #  #    ##  #  #  #     ##  #  #  #        ##  #  #  #
         B0:            B1:             B2:                B3:
  ~p  p ~Y=~p ## ~p  p ~Y=p   ## ~p  p ~Y=~p*p=0 ## ~p  p ~Y=~p+p=1
C: 0  1  0    ##  0  1  1     ##  0  1  0        ##  0  1  1
D: 1  0  1    ##  1  0  0     ##  1  0  0        ##  1  0  1
   1  2  3        4  5  6         7  8  9           10 11 12
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i Y muszą być wszędzie tymi samymi p i Y inaczej błąd podstawienia

Definicja znaczka różne #
Dowolna strona znaczka różne # jest negacją drugiej strony

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, że tabela TF1 perfekcyjnie spełnia zarówno definicję znaczka różne # jak i definicję znaczka różne na mocy definicji ##

W kolumnach A2 i A3 doskonale widać prawa Prosiaczka.

Prawa Prosiaczka wiążą zmienną binarną w logice dodatniej (bo Y) ze zmienną binarną w logice ujemnej (bo ~Y).
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

I Prawo Prosiaczka:
A2: (Y=1) # B2: (~Y=0)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 1 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 0
Gdzie:
Dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (1: p=>q)*(2: q=>p) =1*1 =1
Stąd:
I Prawo Prosiaczka:
(Y=1) <=> (~Y=0) = (1: (Y=1)=>(~Y=0))*(2: (~Y=0)=>(Y=1)) =1*1 =1
Warunek wystarczający => 1 brzmi:
1.
Jeśli Y=1 to na 100% => ~Y=0
cnd
Warunek wystarczający => 2 brzmi:
2.
Jeśli ~Y=0 to na 100% => Y=1
cnd

Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć definiuje tożsamość pojęć i odwrotnie

Stąd końcowa postać I prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)

##

II Prawo Prosiaczka:
A3 (Y=0) # B3: (~Y=1)
Zmienna binarna w logice dodatniej (bo Y) ma wartość logiczną 0 wtedy i tylko wtedy gdy zmienna binarna w logice ujemnej (bo ~Y) ma wartość logiczną 1 (i odwrotnie)

Definicja równoważności:
p<=>q = (1: p=>q)*(2: q=>p) =1*1 =1
Stąd:
II Prawo Prosiaczka:
(Y=0) <=> (~Y=1) = (1: (Y=0)=>(~Y=1))*(2: (~Y=1)=>(Y=0)) =1*1 =1
Warunek wystarczający => 1 brzmi:
1.
Jeśli Y=0 to na 100% => ~Y=1
cnd
Warunek wystarczający => 2 brzmi:
2.
Jeśli ~Y=1 to na 100% => Y=0
cnd

Prawo Irbisa:
Każda równoważność pojęć definiuje tożsamość pojęć i odwrotnie

Stąd końcowa postać II prawa Prosiaczka przyjmuje brzmienie:

II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)

Definicja tożsamości logicznej „=”:
(Y=0) = (~Y=1)
Spełnienie dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza spełnienie drugiej strony

Podsumowanie:

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=1) = (~Y=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Fałsz (=0) w logice dodatniej (bo Y) jest tożsamy z prawdą (=1) w logice ujemnej (bo ~Y)
(Y=0) = (~Y=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo w stosunku do dowolnej zmiennej binarnej.

Gdzie:
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa wyrażenia PP1 i PP2 są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadne z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
PP1: (Y=1)=(~Y=0) ## PP2: (Y=0)=(~Y=1)

Doskonale widać, że jak zaprzeczymy dwustronnie PP2 to nie otrzymamy PP1.
Dowód:
PP2’: (~Y=1)=(Y=0) ## PP1: (Y=1)=(~Y=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

1.4.2 Dowód praw Prosiaczka na gruncie fizyki

Rozważmy sterowanie żarówką jednym przyciskiem A
Kod:

Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
             S               A
       -------------       ______
  -----|  Żarówka  |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------

Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka gdzie wszelkie przeczenia w kodowaniu matematycznym muszą być zapisane jawnie.

Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)

Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)

Zauważmy, że prawa Prosiaczka wiążą ze sobą pojęcia prawdy i fałszu w języku potocznym.

1.4.3 Dowód praw Prosiaczka na poziomie 3-latka

Dla zrozumienie praw Prosiaczka nie są potrzebne żadne definicje bo to jest matematyczny poziom 3-latka.

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.

II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 12:52, 05 Lut 2022, w całości zmieniany 13 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 10:32, 25 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Spis treści
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 2
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
2.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
2.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 3
2.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 3
2.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
2.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów 5
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 5
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 5
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 6
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
2.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń 6
2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym 7
2.3.1 Stała binarna i zmienna binarna 7
2.3.2 Definicja funkcji logicznej, logika dodatnia (bo Y) i ujemna (bo ~Y) 8
2.3.3 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ## 9
2.3.4 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
2.3.5 Definicja tożsamości logicznej „=” 12
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 13
2.5 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” 14
2.5.1 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia 15
2.5.2 Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia 15
2.6 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej? 16
2.6.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura 16
2.7 Prawo Kameleona 18
2.8 Kwintesenscja algebry Kubusia 19
2.8.1 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 19
2.8.2 Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia 21
2.8.3 Kluczowe relacje w algebrze Kubusia 21
2.8.4 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia 22
2.8.5 Definicja kontrprzykładu 22
2.8.6 Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” 23
2.8.7 Analiza ogólna zdania warunkowego „Jeśli p to q” 24
2.8.8 Prawo Skowronka 25
2.9 Analiza matematyczna zdania warunkowego P=>4L 26



2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń

Legalne znaczki w algebrze Kubusia obsługujące zdania warunkowe „Jeśli p to q”:
p=>q - warunek wystarczający =>
p~>q - warunek konieczny ~>
p~~>q - zdarzenie możliwe ~~> lub element wspólny zbiorów ~~>.
p<=>q - równoważność
p$q - spójnik "albo"($)
p|=>q - implikacja prosta odpowiadająca na pytanie o p
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q odpowiadający na pytanie o p i ~p
p|~>q - implikacja odwrotna odpowiadająca na pytanie o p
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q odpowiadający na pytania o p i ~p

2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów/zdarzeń p i q.

2.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.

Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24

2.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach

Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q

Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)

2.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach

Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona

Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q

Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
(dowód przez pokazanie)

2.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

2.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].

Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego przyjętego za dziedzinę na której operujemy.
Wynika to z definicji Uniwersum i zbioru pustego [] w algebrze Kubusia - szczegóły wyjaśnione są w punkcie 1.2.

2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach

Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń/zbiorów p i q

2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>

Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)

2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach

Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zawsze gdy pada, jest pochurno

2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach

Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0

Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki.

2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

2.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń

Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym

Przypomnijmy sobie podstawowe definicje z Kubusiowej teorii zbiorów (pkt. 1.0).

2.3.1 Stała binarna i zmienna binarna

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

W algebrze Kubusia pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies) = stała binarna
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Definicja stałej binarnej:
Stała binarna to symbol mający w osi czasu stałą wartość logiczną 1 albo 0.

Przykład stałej binarnej:
1: (pies)=1 - prawdą jest (=1) że wiem co znaczy pojęcie „pies”
Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
stąd zdanie tożsame do 1:
1’: ~(pies)=0 - fałszem jest (=0) że nie wiem (~) co znaczy pojęcie „pies”

Definicja „psa” jest niezmienna od minus do plus nieskończoności, ściślej mówiąc od czasu gdy człowiek zdefiniował pojęcie „pies”.

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący w osi czasu przyjmować tylko i wyłącznie dwie wartości logiczne 1 i 0.
Gdzie:
1 = prawda
0 = fałsz

Definicja zmiennej binarnej w logice dodatniej (bo Y)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona

Przykład 1:
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y = K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=1<=> K=1
Lewą stronę czytamy:
Y=1
Prawdą jest (=1), że pani dotrzyma słowa (Y)

Definicja zmiennej binarnej w logice ujemnej (bo ~Y)
Zmienna binarna wyrażona jest w logice ujemnej (bo ~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona

Kontynuujemy przykład 1.
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Czy wiesz kiedy jutro pani nie dotrzyma słowa (~Y)?
Zachodzi tożsamość pojęć:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y) = Pani skłamie (S)
~Y = S

Jaś:
Negujemy zdanie 1 stronami:
2.
~Y=~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Lewą stronę czytamy:
~Y=1
Prawdą jest (=1), że pani nie dotrzyma słowa (~Y)

W dniu jutrzejszym wyłącznie jedno ze zdarzeń Y (pani dotrzyma słowa) albo ~Y (pani nie dotrzyma słowa) może przyjąć wartość logiczną 1, drugie na 100% przyjmie wartość logiczną 0. Dokładnie dlatego symbole Y i ~Y w dniu dzisiejszym to zmienne binarne.

Pojutrze, zmienne binarne Y i ~Y staną się stałymi binarnymi o z góry znanej wartości logicznej bo czasu nie da się cofnąć.
Przykład:
Załóżmy że jest pojutrze i wczoraj pani skłamała (~Y=1) bo dzieci nie były w kinie (~K=1).
(~Y=1) <=> (~K=1)
Lewą stronę czytamy:
~Y=1
Prawdą jest (=1), że pani wczoraj skłamała (~Y)
Czasu nie da się cofnąć i spowodować by wczoraj dzieci były jednak w kinie, zatem pani pozostanie tu kłamcą do końca naszego Wszechświata.
Symbol ~Y jest w tym przypadku stałą binarną o znanej z góry wartości logicznej równej ~Y=1, która nie może już przyjąć wartości logicznej ~Y=0, bo czasu nie da się cofnąć.

2.3.2 Definicja funkcji logicznej, logika dodatnia (bo Y) i ujemna (bo ~Y)

Definicja funkcji logicznej:
Funkcja logiczna to dowolny symbol do którego przypisujemy wyrażenie algebry Boole’a
W technice zwyczajowo jest to symbol Y.

Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y=~p+q
Y=p+~q

Dowolną funkcję logiczną wolno nam dwustronnie zanegować:
Y=~p+q - logika dodatnia (bo Y)
~Y=~(~p+q) = p*~q (prawo De Morgana) - logika ujemna (bo ~Y)

Definicja logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y) w algebrze Kubusia:
Dowolna funkcja logiczna Y zapisana jest w logice dodatniej (bo Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zanegowana:
Y=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie Y
Inaczej:
Funkcja logiczna Y zapisana jest w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~Y

Zauważmy, że dowolna funkcja logiczna jest zmienną binarną, zatem powyższa definicja dotyczy także dowolnej zmiennej binarnej p która nie musi być funkcją logiczną Y.

2.3.3 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ##

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicję znaczka różne na mocy definicji ## poznamy na przykładzie definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które wyżej zapisaliśmy.

Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Zobaczmy to w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego => |  Definicja warunku koniecznego ~>
 Y = (p=>q) = ~p+q                   ##  Y = (p~>q) = p+~q
 #                                   ##  #
~Y =~(p=>q) = p*~q                   ## ~Y =~(p~>q) = ~p*q
Uwagi:
Dowolna funkcję logiczną wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie negować
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Doskonale widać, że definicje obu znaczków # i ## są w tabeli T1 perfekcyjnie spełnione.
cnd

2.3.4 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Kod:

T1
Definicja warunku wystarczającego =>
        Y=
   p  q p=>q=~p+q
A: 1=>1  1
B: 1=>0  0
C: 0=>0  1
D: 0=>1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q

##
Kod:

T2
Definicja warunku koniecznego ~>
        Y=
   p  q p~>q=p+~q
A: 1~>1  1
B: 1~>0  1
C: 0~>0  1
D: 0~>1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q

##
Kod:

T3
Definicja spójnika “lub”(+)
        Y=
   p  q p+q
A: 1+ 1  1
B: 1+ 0  1
C: 0+ 0  0
D: 0+ 1  1
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

##
Kod:

T4
Definicja spójnika “i”(*)
        Y=
   p  q p*q
A: 1* 1  1
B: 1* 0  0
C: 0* 0  0
D: 0* 1  0
   1  2  3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
Kod:

Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

##
Kod:

Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
              Y=    Y=        Y=    Y=        Y=        #  ~Y=
   p  q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1  1  0  0  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
B: 1  0  0  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
C: 0  0  1  1  =1    =1        =1    =1        =1       #    =0
D: 0  1  1  0  =0    =0        =0    =0        =0       #    =1
                1     2         3     4         5             6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q

2.3.5 Definicja tożsamości logicznej „=”

Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)

Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH

2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
      Y=        Y=           Y=        Y=            Y=   # ~Y=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q  #  p*~q
      ##        ##           ##        ##            ##      ##
      Y=        Y=           Y=        Y=            Y=   # ~Y=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q # ~p*q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:

Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.

Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q

2.5 Fundamenty algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w algebrze Kubusia:
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


2.5.1 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

2.5.2 Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to binarna odpowiedź {0,1} na pytanie o wzajemną relację dwóch pojęć p i q.
1 = TAK (relacja spełniona)
0 = NIE (relacja niespełniona)
Wszystko co wykracza poza symbole {0,1} nie jest logiką matematyczną.

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]

Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Istota logiki matematycznej:
W logice matematycznej zadajemy pytania binarne i musimy otrzymać binarną odpowiedź:
1 = prawa
0 = fałsz

Wyjaśnijmy czym jest logika matematyczna na prostym przykładzie.
Zdefiniujmy dwa zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2

Zadajmy sobie trzy trywialne pytania:
1.
Czy zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2?
TAK=1/NIE=0 - to jest relacja podzbioru =>
2.
Czy zbiór P8 jest nadzbiorem ~> zbioru P2?
TAK=1/NIE=0 - to jest relacja nadzbioru ~>
3.
Czy zbiór P8 jest tożsamy „=” ze zbiorem P2?
TAK=1/NIE=0 - to jest relacja tożsamości „=” zbiorów
Poprawne odpowiedzi na te pytania niech będą pracą domową dla czytelnika.

Oczywistym jest, że relacja podzbioru/nadzbioru może być spełniona (=1) albo niespełniona (=0) trzeciej możliwości brak - dokładnie tym jest logika matematyczna (trzeciej możliwości brak!)
Odpowiedzi muszą być w logice matematycznej binarne {0,1}

2.6 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej?

Wszelkie prawa logiki matematycznej wyznacza świat martwy (w tym matematyka).
Świat żywy nie nadaje się do wyznaczania praw logiki matematycznej ze względu na definicję „wolnej woli” którą ma każda istota żywa, człowiek nie jest tu wyjątkiem.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy i matematykę.

Dokładnie z powyższego powodu o logice matematycznej możemy dyskutować pewnie i niezawodnie wyłącznie na gruncie świata martwego i matematyki pozbawionego „wolnej woli”.
Związek praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy i matematykę ze światem żywym poznamy w końcowej części podręcznika - obsługa obietnic i gróźb.

2.6.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura

Prawo Kangurka:
W języku potocznym wszelkie przeczenia występujące w zdaniu muszą być uwzględnione w zapisie aktualnym np. {CH,~CH}
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)

I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Dla naszego przykładu mamy tożsamość zdań 1 i 1’:
1: (CH=1) = 1’: (~CH=0)
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
1’: ~CH=0 - fałszem jest (=0) iż nie jest pochmurno (~CH)

II Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Podobnie dla naszego przykładu zachodzi tożsamość zdań 2 i 2’:
2: (~CH=1) = 2’: (CH=0)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
2’: CH=0 - fałszem jest (=0), iż jest pochmurno (CH)

Uwaga:
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, stąd zdania 1 i 2 można zapisać krótko w następujący sposób:
1: CH - jest pochmurno
2: ~CH - nie jest pochmurno
Doskonale widać, że mamy teraz pełną zgodność z językiem potocznym, gdzie nikt nie operuje jedynkami - bo te są domyślne.

Przykład zapisu zdania w algebrze Kubusia z uwzględnieniem jedynek:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
co w logice jedynek oznacza:
(~CH=1)=>(~P=1)=1
Brak chmur (~CH=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH=1), nie pada (~P=1)

Zapis tożsamy powyższego zdania w języku potocznym z pominięciem jedynek:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH), nie pada (~P)

Zachodzi tożsamość słownych zapisów matematycznych (tożsamość zdań):
B2: (~CH=1)=>(~P=1) = B2’: ~CH=>~P

W niniejszym podręczniku będziemy dość konsekwentnie stosować zapis słowny B2, by odzwyczaić ziemskich matematyków od badziewia zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q są stałymi binarnymi (zdaniami twierdzącymi) o znanej z góry wartości logicznej.
W algebrze Kubusia w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q to zmienne binarne o nieznanej z góry wartości logicznej.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.

Prawo Kangura:
W algebrze Kubusia wszelkie przeczenia występujące w zmiennych aktualnych np. {~CH} muszą być przeniesione do zapisu formalnego np. {~p}

Przykład:
1: p = CH (chmury) - funkcja logiczna p w logice dodatniej (bo p)
Negując dwustronnie powyższą funkcję logiczną mamy:
2: ~p=~CH (nie chmury) - funkcja logiczna ~p w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że między 1 i 2 zachodzi definicja znaczka #:
1: p=CH # 2: ~p=~CH
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo p)
~p - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~p)

Zauważmy, że teoretycznie możemy sobie podstawić:
s=~p
i zapisać tak:
1: p=CH # 2: s=~CH
Znając podstawienie powyższy zapis też jest poprawny, tyle że kłania się brzytwa Ockhama.

2.7 Prawo Kameleona

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Rozważmy zdanie:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
##
Zbadajmy teraz prawdziwość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> (patrz punkt 2.3.1)

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Przykładem są tu zdania A1 i B1.
Różność tych zdań rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Rozważmy inny przykład.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
(dowód przez pokazanie)
cnd

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Sprawdzamy prawo Kobry dla warunku koniecznego ~> B1.
B1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~~>P8 = P2*P8 =1 bo 8
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 8, co kończy dowód prawdziwości zdania B1”.
Zauważmy, że w zdaniu B1” szukamy jednego elementu wspólnego ~~>, absolutnie nie udowadniamy jak to mieliśmy w zdaniu B1 iż zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

Po raz kolejny kłania nam się prawo Kameleona.

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Przykładem są tu zdania B1 i B1”.
Różność tych zdań rozpoznajemy po znaczku warunku koniecznego ~> i znaczku elementu wspólnego zbiorów ~~> wbudowanych w treść zdań.

2.8 Kwintesenscja algebry Kubusia

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

2.8.1 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów

Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka

Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]

Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)

Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie

Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze

Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka

Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.

Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy

Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zero pojęć zrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować
Wniosek:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.

Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy dziedzinę pomniejszoną o zbiór p
~p=[D-p]

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)

Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []

Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] = [(K+T)-K]=[T]

Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi

Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt

Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]

W języku potocznym z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.

2.8.2 Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia

Definicja logiki matematycznej:
Logika matematyczna to binarna odpowiedź {0,1} na pytanie o wzajemną relację dwóch pojęć p i q.
1 = TAK (relacja spełniona)
0 = NIE (relacja niespełniona)
Wszystko co wykracza poza symbole {0,1} nie jest logiką matematyczną.

2.8.3 Kluczowe relacje w algebrze Kubusia

Kluczowe relacje w algebrze Kubusia w zbiorach to definicja podzbioru =>, nadzbioru ~> i elementu wspólnego zbiorów ~~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższej tożsamości możemy zapisać:
Kluczowe relacje w algebrze Kubusia w zbiorach to definicja warunku wystarczającego => (= relacja podzbioru =>), warunku koniecznego ~> (= relacja nadzbioru ~>) i elementu wspólnego zbiorów ~~>

1.
Warunek wystarczający =>:

„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

2.
Warunek konieczny ~>:

„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:

Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia.

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> w algebrze Kubusia
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


2.8.4 Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

2.8.5 Definicja kontrprzykładu

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Matematyczne związki między warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~> z uwzględnieniem znaczka ~~>.

Stąd mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu obowiązującej wyłącznie w warunku wystarczającym =>.
Kod:

T1
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
z uwzględnieniem znaczka ~~>:
       A1B1:           A2B2:     |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=> q =? [=] 2:~p~>~q =? [=] 3: q~> p =? [=] 4:~q=>~p=?
A’: 1: p~~> q=?                                     4:~q~~>p=?
       ##              ##              ##              ##
B:  1: p~> q =? [=] 2:~p=>~q =? [=] 3: q=> p =? [=] 4:~q~>~p=?
B’: 1:              2:~p~~>q =?     3: q~~>~p=?
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawo Kubusia:
A1: p=>q [=] B1:~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

2.8.6 Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”

Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
Gdzie:
p - poprzednik
q - następnik

Warunki konieczne które musi spełniać każde zdanie warunkowe „Jeśli p to q”:
1.
Dziedzina D musi być wspólna dla p i q
Dla poprzednika p mamy:
p+~p = D =1 - ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla p
p*~p = [] =0 - pojęcia p i ~p są rozłączne
Dla następnika q mamy:
q+~q =D =1 - ~q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla q
q*~q =[] =0 - pojęcia q i ~q są rozłączne
Gdzie:
D - wspólna dziedzina dla p i q
2.
Pojęcia p, ~p, q, ~q muszą być niepuste, bowiem wtedy i tylko wtedy możliwa jest analiza dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

2.8.7 Analiza ogólna zdania warunkowego „Jeśli p to q”

Kod:

T1
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
z uwzględnieniem znaczka ~~>:
       A1B1:           A2B2:     |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=> q =? [=] 2:~p~>~q =? [=] 3: q~> p =? [=] 4:~q=>~p=?
A’: 1: p~~>~q=?                                     4:~q~~>p=?
       ##              ##              ##              ##
B:  1: p~> q =? [=] 2:~p=>~q =? [=] 3: q=> p =? [=] 4:~q~>~p=?
B’: 1:              2:~p~~>q =?     3: q~~>~p=?
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q dający odpowiedź na pytanie o p i ~p

Zauważmy że:
Kolumna A1B1 odpowiada na pytania o p, zaś kolumna A2B2 odpowiada na pytania o ~p

Analiza ogólna zdania warunkowego „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q:

Przyjmijmy dziedzinę:
D - wspólna dziedzina dla p i q

A1B1:
Kolumna A1B1 odpowiada na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

A1.
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
D*p => D*q =?
Prawo teorii zbiorów:
D*p = p
D*q =q
Stąd matematyczny zapis tożsamy:
p=>q =?
Rozstrzygnięcie:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy p jest wystarczające => dla q
Inaczej:
p=>q =0

A1’.
Jeśli zajdzie p to zajdzie ~q
D*p~~>D*~q =?
Prawo teorii zbiorów:
D*p = p
D*~q =~q
Stąd matematyczny zapis tożsamy:
p~~>~q = p*~q =?
Rozstrzygnięcie:
p~~>~q =p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje wspólny element zbiorów p i ~q
Inaczej:
p~~>~q = p*~q =0

… a jeśli zajdzie ~p?
A2B2:
Kolumna A2B2 odpowiada na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?

A2.
Jeśli zajdzie ~p to zajdzie ~q
D*~p ~>D*~q =?
Prawo teorii zbiorów:
D*~p = ~p
D*~q = ~q
Stąd matematyczny zapis tożsamy:
~p~>~q =?
Rozstrzygnięcie:
~p~>~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy ~p jest konieczne ~> dla ~q
Inaczej:
~p~>~q =0
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to zajdzie q
D*~p~~>D*q =?
Prawo teorii zbiorów:
D*~p = ~p
D*q =q
Stąd matematyczny zapis tożsamy:
~p~~>q = ~p*q =?
Rozstrzygnięcie:
~p~~>q =~p*q=1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje wspólny element zbiorów ~p i q
Inaczej:
~p~~>q = ~p*q=0

2.8.8 Prawo Skowronka

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy.
Kod:

T2
A1:  D*p=> D*q =? - czy D*p jest wystarczające => dla D*q? (TAK=1, NIE=0)
A1’: D*p~~>D*~q=? - czy D*p i D*~q mają wspólny element? (TAK=1, NIE=0)
A2:  D*~p~>D*~q=? - czy D*~p jest konieczne ~> dla D*~q? (TAK=1, NIE=0)
B2’: D*~p~~>D*q=? - czy D*~p i D*q mają wspólny element? (TAK=1, NIE=0)

Zauważmy, że:
Na mocy definicji zdania warunkowego „Jeśli p to q” (pkt. 2.8.6) dziedzina D musi być wspólna dla p i q oraz pojęcia p, ~p, q, ~q muszą być niepuste i należeć do dziedziny D.
Stąd tabelę T2 możemy uprościć do tabeli T3
Kod:

T3
A1:  p=> q =? - czy p jest wystarczające => dla q? (TAK=1, NIE=0)
A1’: p~~>~q=? - czy p i ~q mają wspólny element? (TAK=1, NIE=0)
A2: ~p~>~q =? - czy ~p jest konieczne ~> dla ~q? (TAK=1, NIE=0)
B2’:~p~~>q =? - czy ~p i q mają wspólny element? (TAK=1, NIE=0)


Prawo Skowronka:
A1A1’:
W zdaniach A1 i A1’ po stronie poprzednika p mamy do czynienia tylko i wyłącznie z poprzednikiem p, będącym częścią dziedziny D
D*p = p
A2B2’:
W zdaniach A2B2’ po stronie poprzednika ~p mamy do czynienia tylko i wyłącznie z poprzednikiem ~p, będącym częścią dziedziny D
D*~p =~p

Innymi słowy:

Zdania A1A1’:
Zbiory:
W poprzedniku p nie ma ani jednego elementu ze zbioru ~p
Zdarzenia:
W poprzedniku p nie ma zdarzenia ~p

Zdania A2B2’:
Zbiory:
W poprzedniku ~p nie ma ani jednego elementu ze zbioru p
Zdarzenia:
W poprzedniku ~p nie ma zdarzenia p

Zauważmy także że:
A1A1’:
W zdaniach A1 i A1’ po stronie następnika q mamy do czynienia z kompletną dziedziną D:
A1: D*q + A1’: D*~q = A1: q + A1’: ~q =D =1
A2B2’:
W zdaniach A2 i B2’ po stronie następnika q również mamy do czynienia z kompletną dziedziną D:
A2: D*~q + B2’: D*q = A2: ~q + B2’: q =D =1

2.9 Analiza matematyczna zdania warunkowego P=>4L

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Kod:

T1
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
z uwzględnieniem znaczka ~~>:
       A1B1:           A2B2:     |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=> q =? [=] 2:~p~>~q =? [=] 3: q~> p =? [=] 4:~q=>~p=?
A’: 1: p~~>~q=?                                     4:~q~~>p=?
       ##              ##              ##              ##
B:  1: p~> q =? [=] 2:~p=>~q =? [=] 3: q=> p =? [=] 4:~q~>~p=?
B’: 1:              2:~p~~>q =?     3: q~~>~p=?
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q dający odpowiedź na pytanie o p i ~p

Zauważmy że:
Kolumna A1B1 odpowiada na pytania o p, zaś kolumna A2B2 odpowiada na pytania o ~p

Weźmy przykład rodem z przedszkola.
Dane jest zdanie A1:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem to ma cztery łapy
Polecenie:
Przeanalizuj zdanie A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Rozwiązanie:
Przyjmijmy dziedzinę minimalną dla zdania A1:
ZWZ=[pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
Zauważmy, że w poprzedniku p jest mowa o dowolnym zwierzęciu które jest psem, czyli de facto tylko i wyłącznie o „psie” bo:
ZWZ*P = P
cnd
W następniku q jest mowa o dowolnym zwierzęciu które ma cztery lapy, czyli de facto tylko i wyłącznie o zbiorze 4L bo:
ZWZ*4L = 4L
cnd

Kolumna A1B1:
W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co się stanie, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P=1)?

A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P) to na 100% => ma cztery łapy (4L)
P=>4L =1
Bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => wystarczającym => by mieć cztery łapy, bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń..]
P=[pies] => 4L=[pies, słoń ..] =1
cnd

Przyjmijmy wspólną dziedzinę dla poprzednika i następnika:
ZWZ=[pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
Zauważmy że:
Poprzednik p definiuje nam jednoelementowy zbiór:
ZWZ*P = P=[pies]
Następnik q definiuje nam zbiór 4L:
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami
Obliczamy przeczenia zbiorów P i 4L:
~P=[ZWZ-P]=[słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt ZWZ z wykluczeniem „psa”
~4L=[ZWZ-4L]=[kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt ZWZ z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
W tym momencie analiza zdania A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q jest trywialna.

Ciąg dalszy analizy:
Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna zwierzą jest psem (P) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L)
P~~>~4L = P*~4L =[]=0
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P i ~4L nie jest (=0) spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura…] są rozłączne
cnd

… a jeśli zwierzę nie jest psem?
Prawo Kubusia w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q = ~p~>~q
Prawo Kubusia w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L

Definicja tożsamości logicznej na przykładzie prawa Kubusia:
A1: P=>4L [=] A2: ~P~>~4L
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Kolumna A2B2:
W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co się stanie, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?

A2.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L)
~P~>~4L =1
Nie bycie psem (~P) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> aby nie mieć czterech łap (~4L), bo jak się jest psem (P) to na 100% => ma się cztery łapy (4L)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~4L [=] A1: P=>4L
Mając udowodniony (wyżej) warunek wystarczający A1: P=>4L=1 na mocy prawa Kubusia nie musimy dowodzić warunku koniecznego ~> w zdaniu A2: ~P~>~4L
Nie musimy nie oznacza że nie możemy wykonać dowodu wprost, bez korzystania z prawa Kubusia.
Dowód:
A2: ~P=[słoń, kura..] ~>~4L=[kura..] =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> dla zbioru ~4L=[kura..]
cnd

Pozostaje nam do rozważenia kluczowy, ostatni przypadek analizy zdania A1 przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
B2’.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P) to może ~~> mieć cztery łapy (4L)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów ~P=[słoń, kura..] i 4L=[słoń ..] np. „słoń”
cnd

Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie)
B2.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P) to na 100%=> nie ma czterech łap (~4L)
~P=>~4L =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest tu spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~4L=[kura..]
cnd

Dla zdania B2 zastosujmy prawo Kubusia:
B2: ~P=>~4L = B1: P~>4L =0

Stąd mamy dowód, iż mamy tu do czynienie z implikacją prostą P|=>4L którą tworzą zdania A1 i B1 (poznamy w kolejnym rozdziale).

Definicja implikacji prostej P|=>4L:
Implikacja prosta P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) konieczne ~> by mieć cztery łapy (bo. np. słoń)
A1B1: P|=>4L = (A1: P=>4L)*(B1: P~>4L) =1*~(0)=1*1=1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 18:48, 21 Gru 2021, w całości zmieniany 21 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 10:36, 25 Wrz 2021    Temat postu:

3.0 Definicje spójników implikacyjnych

Spis treści
3.0 Definicje spójników implikacyjnych 1
3.1 Implikacja prosta p|=>q 2
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 4
3.3 Równoważność p<=>q 5
3.4 Spójnik „albo”($) p$q 8
3.5 Spójnik chaosu p|~~>q 10
3.6 Prawo Puchacza 11
3.7 Prawo Kłapouchego 14
3.7.1 Prawo Kłapouchego determinujące implikację odwrotną CH|~>P 15
3.7.2 Prawo Kłapouchego determinujące implikację prostą P|=>CH 17
3.7.3 Matematyczny raj 5-cio latka 19
3.7.4 Prawo Kłapouchego a kot Schrödingera 22


3.0 Definicje spójników implikacyjnych

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja spójnika implikacyjnego p|?q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dająca odpowiedź na pytanie o p

W logice matematycznej rozróżniamy pięć podstawowych spójników implikacyjnych dających odpowiedź na pytanie o p.
1.
Implikacja prosta p|=>q:

A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:

A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 =1*1 =1
3.
Równoważność p<=>q:

A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
4.
Spójnik „albo”($) p$q:

A1: p=>~q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
5.
Chaos p|~~>q:

A1: p=>q =0 zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

3.1 Implikacja prosta p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
O co chodzi w prawie Kłapouchego poznamy dokładnie w punkcie 3.7

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny zdania A1 (nasz punkt odniesienia) obowiązujący w dalszej analizie to:
A1: p=>q =1
p = P=[pada]
q = CH=[chmury]

Sprawdzamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
P~>CH =0
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH) bo może nie padać (~P), a chmury (CH) mogą istnieć.

Nasz przykład w zapisach aktualnych {P, CH}:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Stąd mamy:
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Przykład:
Zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w zapis słowny zdań.

Prostszy jest dowód fałszywości zdania B1 metodą „nie wprost” z wykorzystaniem prawa Tygryska.
Prawo Tygryska w zapisie formalnym {p, q}:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład w zapisie aktualnym {P, CH}
B1: P~>CH = B3: CH=>P
Stąd mamy:
B3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada
Stąd mamy:
B1: P~>CH = B3: CH=>P =0

Definicja tożsamości logicznej „=”:
B1: p~>q = B3: q=>p =0
Nasz przykład:
B1: P~>CH = B3: CH=>P =0
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
(Przykład wyżej)

Stąd mamy dowód, iż zdania A1 i B1 wchodzą w skład implikacji prostej P|=>CH.
Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>CH =1 - padanie (P) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (CH)
Stąd:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1
cnd
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1)

3.2 Implikacja odwrotna p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury są konieczne ~> dla padania, bowiem padać może wyłącznie z chmurki.
Innymi słowy:
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P) bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P =1

Na mocy prawa Kłapouchego zdanie B1 w zapisie formalnym to:
B1: p~>q
Gdzie:
p = CH=[chmury]
q = P=[pada]

Sprawdzamy prawdziwość/fałszywość zdania B1 kodowanego warunkiem wystarczającym =>:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

Stąd mamy dowód, iż zdania A1 i B1 wchodzą w skład implikacji odwrotnej CH|~>P.
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P:
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 - chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P)
Stąd:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1 = 1*1 =1
cnd
Prawą stronę czytamy:
Chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (B1) i nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (A1)

3.3 Równoważność p<=>q

RA1B1:
Równoważność klasyczna p<=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:

Równoważność klasyczna p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy <=> gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Definicja równoważności klasycznej RA1B1 znana jest każdemu człowiekowi, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 16 000
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 120 000
Zachodzi tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

Dla zdania B1 zastosujmy prawo Tygryska.
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p

Stąd mamy tożsamą równoważność matematyczną RA1B3.
RA1B3:
Definicja równoważności matematycznej RA1B3: p<=>q w warunkach wystarczających =>:

Równoważność matematyczna RA1B3: p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
RA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

[link widoczny dla zalogowanych]
Rogal moderator matematyki.pl napisał:

KAŻDY matematyk funkcjonuje na zasadzie
1. Twierdzenie proste p=>q jest prawdziwe.
2. Czy da się odwrócić?
2a) Nie da się, dajemy kontrprzykład.
2b) Da się, dowodzimy twierdzenia odwrotnego q=>p
Tak było, jest i będzie. Nie potrzeba matematyce niczego ponadto, co jest.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Na mocy powyższych tożsamości pojęć mamy definicję równoważności matematycznej RA1B3: p<=>q w relacjach podzbioru =>.
RA1B3:
Definicja równoważności matematycznej RA1B3: p<=>q w relacjach podzbioru =>:

Równoważność matematyczna RA1B3: p<=>q to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
RA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Stąd mamy:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> RA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Gdzie:
A1: p=>q - znane każdemu matematykowi twierdzenie proste „Jeśli p to q”
B3: q=>p - znane każdemu matematykowi twierdzenie odwrotne „Jeśli q to p”

Powyższa definicja tożsamości zbiorów p=q znana jest każdemu matematykowi.

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Przykład:
RA1B1:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:

Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Na mocy prawa Kłapouchego to samo w zapisie formalnym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Gdzie:
p = TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q = SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Innymi słowy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)

Zauważmy, że aby udowodnić prawdziwość równoważności Pitagorasa RA1B1: TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych musimy udowodnić prawdziwość zdań składowych A1 i B1.
Dowód bezpośredni prawdziwości równoważności TP<=>SK jest matematycznie wykluczony.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Jak widzimy, zdanie A1 to twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK, zatem nie ma z tym kłopotu.
Matematyczną błahostką jest zamiana warunku koniecznego B1: TP~>SK na twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP.

Korzystamy tu z prawa Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP

Stąd mamy:
RA1B3:
Równoważność matematyczna Pitagorasa A1B3: TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Gdzie:
A1.
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:

Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
A1: TP=>SK =1
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK), czego dowodem jest prawdziwość twierdzenia prostego Pitagorasa A: TP=>SK.

B3.
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:

Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP)
B3: SK=>TP =1
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza że:
Bycie trójkątem ze spełniona sumą kwadratów (SK) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP), czego dowodem jest prawdziwość twierdzenia odwrotnego Pitagorasa B3: SK=>TP

Co oznacza równoważność Pitagorasa?
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych oznacza tożsamość zbiorów TP=SK:
Zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK)
TP=SK

Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => SK (twierdzenie proste Pitagorasa) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne Pitagorasa)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = RA1B3: TP<=>SK

3.4 Spójnik „albo”($) p$q

Spójnik „albo”($) p$q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p albo ($) zajdzie q
Środek stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy <=> gdy zajdzie ~q

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
… o czym każdy 5-cio latek wie.
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p$q
gdzie:
p = M (mężczyzna)
q = K (kobieta)
Ustalmy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Matematycznie zachodzi definicja dziedziny:
M+K =C=1 - bo zbiór K(kobiet) jest uzupełnieniem do dziedziny C dla zbioru M(mężczyzn)
M*K =[] =0 - bo zbiór M (mężczyzn) jest rozłączny ze zbiorem K(kobiet)
Stąd obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny C(człowiek):
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Stąd mamy następujące zależności w zbiorach:
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet
~M=K - zbiór ~M jest tożsamy ze zbiorem K
~K=M - zbiór ~K jest tożsamy ze zbiorem M

Dowodzimy prawdziwości zdań składowych A1 i B1.
Z dowodem prawdziwości warunku wystarczającego => A1 nie mamy kłopotów:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M) to na 100% => nie jest kobietą (~K)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K)
Innymi słowy:
Bycie mężczyzną (M) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K)
… o czym każdy 5-cio latek wie.

Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

W dowodzeniu prawdziwości warunku koniecznego ~> B1 wygodnie jest przejść na warunek wystarczający => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) przy pomocy prawa Tygryska.

Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: M~>~K = B3: ~K=>M
stąd mamy:
B3.
Jeśli dowolny człowiek nie jest kobietą (~K) to na 100% => jest mężczyzną (M)
~K=>M =1
Nie bycie kobietą (~K) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby być mężczyzną (M)
innymi słowy:
Nie bycie kobietą (~K) daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy mężczyzną (M)
… o czym każdy 5-cio latek wie.

Weźmy na zakończenie równanie ogólne spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) p$q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q

Nasz przykład:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K

Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
… o czym każdy 5-cio latek wie.

3.5 Spójnik chaosu p|~~>q

Spójnik chaosu p|~~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) ani konieczne ~> (B1) ani też wystarczające => (A1) dla zajścia q

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Weźmy takie zdanie:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest spełniona, bo Istnieje (=1) element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9…24..] np. 24

Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p~~>q = p*q =1
p=P8 (zbiór liczb podzielnych przez 8)
q=P3 (zbiór liczb podzielnych przez 3)

Sprawdzamy czy zdanie A należy do spójnika chaosu P8|~~>P3:
A1: P8=>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => P3=[3,6,9 ..24..]
B1: P8~>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9 ..24..]
(dowody przez pokazanie)
stąd mamy:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Stąd mamy rozstrzygniecie:
Zdania A1 i B1 wchodzą w skład operatora chaosu P8|~~>P3
cnd

Co to znaczy?
Dla zadnia A przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN = [1,2,3,4,5,6,7,8.9 …] - zbiór liczb naturalnych
Zdanie A definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9..24..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Obliczamy przeczenia zbiorów ~P8 i ~P3 definiowane jako uzupełnienia do dziedziny LN dla zbiorów P8 i P3
~P8 = [LN-P8] = [1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3 = [LN-P3] = [1,2 .. 4,5..7,8..]

Tożsama definicja chaosu p|~~>q w zbiorach:
Chaos p|~~>q to spełniona definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q

Sprawdzenie:
Kod:

A: P8~~> P3= P8* P3=1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i P3 np. 24
B: P8~~>~P3= P8*~P3=1 - bo istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P3 np. 8
C:~P8~~>~P3=~P8*~P3=1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P3 np. 1
D:~P8~~> P3=~P8* P3=1 - bo istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P3 np. 3

cnd

3.6 Prawo Puchacza

Zapiszmy jeszcze raz wszystkie możliwe definicje spójników implikacyjnych.
1.
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Stąd mamy:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

3.
Równoważność klasyczna p<=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:

Równoważność klasyczna p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy <=> gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

4.
Spójnik „albo”($) p$q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:

Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p albo ($) zajdzie q
Środek stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy <=> gdy zajdzie ~q

5.
Spójnik chaosu p|~~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) ani konieczne ~> (B1) ani też wystarczające => (A1) dla zajścia q

Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może należeć tylko i wyłącznie do jednego z pięciu spójników implikacyjnych.

Innymi słowy:
Wykluczone jest, aby dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należało równocześnie do jakichkolwiek dwóch spójników implikacyjnych.

Dowód prawa Puchacza dla implikacji prostej p|=>q:

Załóżmy, że zdanie warunkowe x należy do definicji implikacji prostej p|=>q.
Wtedy mamy spełnione:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1

a)
Sprawdzamy czy zdanie x może należeć do implikacji odwrotnej p|~>q:
Z założenia iż zdanie x należy do implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q=1
B1: p~>q =0
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0 = 0*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do implikacji odwrotnej p|~>q

b)
Sprawdzamy, czy zdanie x może należeć do równoważności p<=>q:
Z założenia iż zdanie x należy do implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q=1
B1: p~>q =0
stąd:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)= 1*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do równoważności p<=>q

c)
Sprawdzamy, czy zdanie x może należeć do spójnika „albo”($):
Definicja spójnika „albo”($) p$q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1: p=>~q =1
B1: p~>~q =1
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1

Z założenia iż zdanie x należy do implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q=1
B1: p~>q =0
z czego wynika że:
A1: p=>~q =0
Dowód:
Dla q i ~q zachodzi definicja dziedziny:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Skoro z założenia dla x mamy:
A1: p=>q =1 - p jest podzbiorem => zbioru q
to musi być:
A1: p=>~q =0 - p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q bo zbiory q i ~q są rozłączne.
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= 0*x =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do spójnika „albo”($)

d)
Sprawdzamy, czy zdanie x może należeć do chaosu p|~~>q:
Z założenia iż zdanie x należy do implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q=1
B1: p~>q =0
stąd:
Definicja chaosu p|~~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(1)*~(0)=0*1=0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do chaosu p|~~>q

Zadanie dla czytelnika:
Powtórz powyższy dowód zakładając że zdanie warunkowe x „Jeśli p to q” należy do:
1. Implikacji odwrotnej p|~>q:
2. Równoważności p<=>q
3. Spójnika „albo”($)
4. Spójnika chaosu p|~~>q

3.7 Prawo Kłapouchego

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

O co chodzi w prawie Kłapouchego?

Poznajmy kluczowe tu definicje implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
1.
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

3.7.1 Prawo Kłapouchego determinujące implikację odwrotną CH|~>P

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Rozważmy zdanie startowe:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki
cnd

Na mocy praw Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
Stąd zdanie B1 w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1

Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie B1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość tego zdania kodowanego warunkiem wystarczającym =>
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padać (P)
A1: CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd

Stąd mamy dowód iż zdania A1 i B1 są częścią implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P

Definicja implikacji odwrotnej A1B1: CH|~>P:
Implikacja odwrotna A1B1: CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania, bo padać może tylko z chmury
B1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
Stąd mamy:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (B1) i nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (A1)

Podstawmy to do tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO.
Kod:

IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p= CH(chmury)
q= P(pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym {CH, P}
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P =~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~> q  =1 = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach “i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach “i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*((p+~q) = p*~q
A1B1: p|~>q = p*~q
cnd

Seria zdań Bx w zapisie aktualnym to matematyczny raj 5-cio latka bo:
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Prawo Tygryska:
B1: CH~>P = B3: P=>CH
Prawo Kubusia:
B3: P=>CH = B4: ~P~>~CH
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
B3: P=>CH = B2:~CH=>~P
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
B1: CH~>P = B4:~P~>~CH
Wszystkie te prawa Jaś (lat 5) zna perfekcyjnie nie mając pojęcia o prawie Kłapouchego, czyli nie mając pojęcia iż zdania te należą do implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q różnej na mocy definicji ##
od implikacji prostej A1B1: p|=>q (dowód tego faktu w kolejnym punkcie)

3.7.2 Prawo Kłapouchego determinujące implikację prostą P|=>CH

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Rozważmy zdanie startowe:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd

Na mocy praw Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
##
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie A1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość tego zdania kodowanego warunkiem koniecznym ~>
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
B1: P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame
Przykład:
Zdania A1 i B1 wyżej.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w zapis słowny zdań.

Stąd mamy dowód iż zdania A1 i B1 są częścią implikacji prostej A1B1: P|=>CH

Definicja implikacji prostej A1B1: P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
Stąd mamy:
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1).

Podstawmy to do tabeli prawdy implikacji prostej IP.
Kod:

IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p =P(pada)
q =CH(chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym {P, CH}:
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: p=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach “i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach “i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q
cnd

Seria zdań Ax w zapisie aktualnym to matematyczny raj 5-cio latka bo:
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawo Tygryska:
A1: P=>CH = A3: CH~>P
Prawo Kubusia:
A3: CH~>P = A4:~CH=>~P
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: P=>CH = A4:~CH=>~P
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A3: CH~>P = A2:~P~>~CH
Wszystkie te prawa Jaś (lat 5) zna perfekcyjnie nie mając pojęcia o prawie Kłapouchego, czyli nie mając pojęcie iż zdania te należą do implikacji prostej A1B1: p|=>q różnej na mocy definicji ##
od implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q

Zaprezentuję dwa tożsame dowody iż implikacja prosta A1B1: p|=>q (punkt 3.7.2) jest różna na mocy definicji ## od implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q (punkt 3.7.1).

Dowód 1.
Kod:

T1
Implikacja prosta p|=>q:           ## Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) ## A1B1: p|~>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
Gdzie:
## - różne na mocy prawa Puchacza (punkt. 3.6)


Dowód 2.
Definicja implikacji prostej A1B1: p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p|=>q)=~p*q - wyprowadzenie w punkcie 3.7.2
Definicja implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
Y = (p|~>q) = p*~q - wyprowadzenie w punkcie 3.7.1
Kod:

T2
Implikacja prosta p|=>q:      ## Implikacja odwrotna p|~>q:
A1B1: Y= (p|=>q)=~p* q        ## A1B1: Y= (p|~>q)= p*~q
      #                       ##       #
A1B1:~Y=~(p|=>q)= p+~q        ## A1B1:~Y=~(p|~>q)=~p+ q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Doskonale widać, iż w tabeli T2 obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd

3.7.3 Matematyczny raj 5-cio latka

Każdy 5-cio latek doskonale zna logikę matematyczną, algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlega, ale nie jest świadom zapisów formalnych zdań którymi posługuje się matematyka ścisła.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Zauważmy, że omówione wyżej zapisy aktualne serii zdań warunkowych „Jeśli p to q” wchodzących w skład implikacji prostej P|=>CH i implikacji odwrotnej CH|~>P są identyczne!
Dowód:
Kod:

IP.
Matematyczny Raj 5-cio latka w implikacji prostej P|=>CH:
Punkt odniesienia:
p = P(pada)
q = CH(chmury)
A1: p=>q   = A2:~p~>~q   [=] A3:  q~>p = A4:~q=>~p  =1
A1: P=>CH  = A2:~P~>~CH  [=] A3: CH~>P = A4:~CH=>~P =1

Kod:

IO.
Matematyczny Raj 5-cio latka w implikacji odwrotnej CH|~>P:
Punkt odniesienia:
p = CH(chmury)
q = P(pada)
B1:  p~>q  = B2:~p=>~q   [=] B3: q=>p  = B4:~q~>~p  =1
B1: CH~>P  = B2:~CH=>~P  [=] B3: P=>CH = B4:~P~>~CH =1


Zauważmy, że w zapisach aktualnych {P,CH} seria zdań Ax i Bx jest identyczna!
Stąd możemy zapisać identyczną serię zdań w zapisach aktualnych którymi dysponuje 5-cio latek w matematycznym Raju nie mając pojęcia o jakimkolwiek związku tych zapisów z logika formalną {p, q}.
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P =1

Prawa logiki matematycznej w Raju zna w praktyce każdy 5-cio latek.
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
Gdzie:
[=] - znak tożsamości logicznej [=].

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Zarówno treść zdań w raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi, mimo że nie jest tego świadom.

Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki

Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada

Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.

3.7.4 Prawo Kłapouchego a kot Schrödingera

Zapiszmy wyprowadzone wyżej tabele prawdy implikacji prostej A1B1: p|=>q i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q jedna pod drugą, by lepiej się im przyjrzeć.

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Kod:

IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p =P(pada)
q =CH(chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym {P, CH}:
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: p=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

##
Kod:

IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p= CH(chmury)
q= P(pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym {CH, P}
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P =~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~> q  =1 = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy, że między tabelami prawdy spójników implikacyjnych IP i IO w zapisach formalnych {p, q} definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona, natomiast w zapisach aktualnych NIE!
Dowód:
Kod:

IP                           |     IO
Implikacja prosta p|=>q:     |     Implikacja odwrotna p|~>q
1:  Y = (p|=>q) = ~p*q       ##    1:  Y = (p|~>q) = p*~q
2:  Y = (P|=>CH)= ~P*CH      ##    2:  Y = (CH|~>P)= CH*~P = ~P*CH
 Punkt odniesienia:          |     Punkt odniesienia:
 p=P (pada)                  |     p=CH (chmury)
 q=CH (chmury)               |     q=P (pada)
    #                           ##     #
3: ~Y = ~(p|=>q) = p+~q      ##    3: ~Y = ~(p|~>q) = ~p+q
4: ~Y = ~(P|=>CH)= P+~CH     ##    4: ~Y = ~(CH~>P) = ~CH+P = P+~CH
 Punkt odniesienia:          |     Punkt odniesienia:
 p=P (pada)                  |     p=CH (chmury)
 q=CH (chmury)               |     q=P (pada)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych IP: p|=>q oraz IO: p|~>q

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem # drugiej

Doskonale widać, że:
I.
Linie 1 i 3:

W zapisach formalnych {p, q} obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
Dowód:
Kod:

T1
IP                           |     IO
Implikacja prosta p|=>q:     |     Implikacja odwrotna p|~>q
1:  Y = (p|=>q) = ~p*q       ##    1:  Y = (p|~>q) = p*~q
    #                                  #
3: ~Y =~(p|=>q) = p+~q       ##    3: ~Y = ~(p|~>q) = ~p+q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej
## - różna na mocy definicji funkcji logicznej

II.
Linie 2 i 4:

W zapisach aktualnych {P, CH} spełniona jest definicja znaczka różne # ale definicja znaczka różne na mocy definicji ## nie jest spełniona, bowiem po obu stronach znaczka różne na mocy definicji ## mamy identyczną funkcję logiczną.
Kod:

T2
IP                           |     IO
Implikacja prosta p|=>q:     |     Implikacja odwrotna p|~>q:
W zapisie aktualnym:         |     W zapisie aktualnym:
Implikacja prosta P|=>CH:    |     Implikacja odwrotna CH|~>P
2:  Y = (P|=>CH)= ~P*CH     [=]    2:  Y = (CH|~>P)= CH*~P = ~P*CH
Punkt odniesienia:           |     Punkt odniesienia:
p=P (pada)                   |     p=CH (chmury)
q=CH (chmury)                |     q=P (pada)
    #                                  #
4: ~Y =~(P|=>CH)= P+~CH     [=]    4: ~Y =~(CH~>P) =~CH+P  = P+~CH
 Punkt odniesienia:          |     Punkt odniesienia:
 p=P (pada)                  |     p=CH (chmury)
 q=CH (chmury)               |     q=P (pada)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych IP: p|=>q oraz IO: p|~>q

Doskonale widać, że w tabeli T2 znaczek różne na mocy definicji funkcji logicznych ## jest gwałcony i musimy w jego miejsce postawić znak tożsamości logicznej [=] co ilustruje tabela T2

Dlaczego definicja znaczka różne na mocy definicji ## w zapisach aktualnych nie jest spełniona?

Przyczyną tego faktu jest patrzenie na obiekt fizyczny z różnych punktów odniesienia.

Zauważmy, że w implikacji prostej IP:
p|=>q = ~p*q
Punkt odniesienia to:
p = P=(pada)
q = CH=(chmury)
Stąd mamy:
P|=>CH = ~P*CH

Natomiast w implikacji odwrotnej IO:
p|~>q = p*~q
Punkt odniesienia to:
p = CH=(chmury)
q = P=(pada)
CH|~>P = CH*~P = ~P*CH

Wniosek:
Operując wyłącznie na zapisach aktualnych {P, CH} tzn. Ignorując związek logiki formalnej {p, q} z logiką aktualną {P, CH} popełniamy banalny błąd podstawienia.

Tylko i wyłącznie dlatego wychodzi nam pozorna tożsamość zdań w tabeli T2, niezgodna z logiką formalną (p, q} niezależną od treści zdań.

Mamy tu sytuację identyczną jak z kotem Schrödingera, dopóki nie otworzymy drzwiczek do pudełka w którym kot został umieszczony to nie wiemy, czy kot jest żywy czy martwy.

Analogicznie:
Kod:

Matematyczny Raj 5-cio latka:
1: P=>CH  = 2:~P~>~CH  [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P

Dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego to nie wiemy:
Czy dane zdanie 1,2,3 albo 4 w zapisie aktualnym {P, CH} należy do implikacji prostej:
p|=>q = ~p*q
##
czy też do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych p|=>q i p|~>q

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.

Innymi słowy:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd

Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy dowolnego matematyka czy powyższe zdanie 1: P=>CH wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q matematyk ów musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
.. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego.

Uwaga:
Nie wolno nam twierdzić, że zdanie 1: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej p|=>q i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q, bo to jest fizycznie niemożliwe, czego dowodem jest opisane w punkcie 3.6 prawo Puchacza.

Analogicznie w stosunku do pudełka z kotem Schrödingera nie wolno nam twierdzić, że dopóki nie otworzymy drzwiczek to kot jest jednocześnie żywy i martwy - to jest matematyczny fałsz, co udowadnia przykład z logiki matematycznej wyżej opisany.

[link widoczny dla zalogowanych]
Wikipedia napisał:

Jeden z najsłynniejszych eksperymentów świata. Prawie każdy coś słyszał o „Kocie Schrödingera”, ale już nie każdy pojął, o co w tym wszystkim chodziło. Co ma kot do fizyki? Czemu go zabili, a może go jednak nie zabili?
„Koci” eksperyment został opisany w 1935 roku przez znakomitego austriackiego fizyka Erwina Schrödingera. Specjalnie piszemy, że eksperyment został opisany a nie przeprowadzony, ponieważ był to eksperyment myślowy. Oznacza to, że żaden kot w jego trakcie nie ucierpiał.
Eksperyment ten jest próbą wyjaśnienia zasad mechaniki kwantowej na przykładzie obiektów w skali makro. Opisane w nim zjawisko nazwane jest superpozycją. Polega to na tym, że obiekt przyjmuje wszystkie możliwe stany w tym samym momencie. W eksperymencie Schrödingera w tym samym momencie kot jest żywy i martwy. Ale uwaga – sytuacja ta ma miejsce w pod warunkiem, że pudełko jest zamknięte i nie widzimy, co się dzieje z kotem w środku. Dopiero w momencie obserwacji obiektu (w tym przypadku kota) przyjmuję on tylko jeden z możliwych stanów. Po otwarciu pudełka zastaniemy kota martwego lub żywego. Następuję załamanie funkcji falowej.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 18:49, 21 Gru 2021, w całości zmieniany 18 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 22:01, 25 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q

Spis treści
4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q 1
4.1 Implikacja prosta p|=>q 3
4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 7
4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego => 9
4.1.3 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej p|=>q 12
4.2 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach 14
4.2.1 Diagram implikacji prostej p|=>q 15
4.2.1 Odtworzenie implikacji prostej p|=>q z definicji ~~> 17
4.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji prostej p|=>q 22



4.0 Operatory implikacyjne - implikacja prosta p||=>q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:

„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

2.
Warunek konieczny ~>:

„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:

Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

W logice matematycznej rozróżniamy 5 różnych na mocy definicji operatorów implikacyjnych dających odpowiedzi na pytania o p i ~p:
1.
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
2.
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q

Operator implikacji odwrotnej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
3.
p|<=>q - operator równoważności p<=>q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
RA2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p
4.
p|$q - operator „albo”($) p$q

Operator „albo”(|$) p|$q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
AA1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
AA2B2: ~p$~q=(A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
5.
p||~~>q - operator chaosu p|~~>q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
CA1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p
CA2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~(0)*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

4.1 Implikacja prosta p|=>q

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q = ~p*q

Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p=>q= ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q
Gdzie:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =~p*q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =~p*q
A4B4: ~q|=>~p=(A4: ~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

IO-
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q (A2) i jednocześnie ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q (B2)

Na mocy prawa Sowy zachodzi tożsamość logiczna „=”:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Najprostszy dowód prawa Sowy wynika z praw logiki matematycznej: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.

Przykładowy dowód:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q
Na mocy definicji mamy:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p|~>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Dowód tożsamości pozostałych kolumn pozostawiam czytelnikowi.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Z prawa Sowy wynika, iż zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|=>q = A2B2:~p|~>~q = A1B1|A2B2: p||=>q = A2B2|A1B1:~p||~>~q = ~p*q

Powyższa tożsamość logiczna oznacza że:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu tej tożsamości logicznej (na przykład):
A1B1: p|=>q
jest potrzebne ~> i wystarczające => dla dowodu prawdziwości obu operatorów implikacyjnych, czyli obu układów równań logicznych A1B1|A2B2 i A2B2|A1B1:
A1B1|A2B2: p||=>q = A2B2|A1B1:~p||~>~q

4.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1)
Mówi o tym zdanie A1

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania A2 i B2’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

4.1.2 Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji prostej p||=>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T1:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji prostej p||=>q              |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A1:  p=> q =1 - zajście p wystarcza => dla q     |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być 0  |( p=1)~~>(~q=1)=0
Kolumna A2B2:
A2:~p~>~q =1
B2: ~p=>~q =0
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A2: ~p~>~q =1 - ~p jest konieczne ~> dla ~q      |(~p=1)~> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być 1  |(~p=1)~~>( q=1)=1
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego A1: p=>q kodując analizę symboliczną względem linii A1, albo zero-jedynkową definicję warunku koniecznego A2:~p~>~q kodując analizę symboliczną względem linii A2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek wystarczający => widoczny w linii A1:
A1: p=>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego A1: p=>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1: p=>q =1       |definicja =>
              |                  |                  | p  q  A1: p=>q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=>1       =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1=>0       =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0=>0       =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0=>1       =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2        3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek A1: p=>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A1: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek konieczny ~> widniejący w linii A2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię A2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku koniecznego ~>:
A2:~p~>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia A2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego A2:~p~>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |A2:~p~>~q =1      |definicja ~>
              |                  |                  |~p ~q A2:~p~>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0~>0      =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~>1      =0
A2: ~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~>1      =1
B2’:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~>0      =1
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek A2:~p~>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię A2: w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p=>q = T3: ~p~>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => (T2: 123) i koniecznego ~> (T3: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Stąd mamy:
Kod:

T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego p=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego p~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Stąd mamy:
~p~>~q = ~p+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p=>q = ~p~>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p=>q = ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
     p  q  p=>q ~p ~q ~p~>~q (p=>q)<=>(~p~>~q)
A1:  1=>1  =1    0~>0   =1          =1
A1’: 1=>0  =0    0~>1   =0          =1
A2:  0=>0  =1    1~>1   =1          =1
B2’: 0=>1  =1    1~>0   =1          =1
     1  2   3    4  5    6           7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

4.1.3 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji prostej p|=>q

Definicja zmiennej związanej:
W dowolnym spójniku implikacyjnym definiowanym zdaniami „Jeśli p to q” zmienne związane wynikają z praw Kubusia

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Definicja zmiennej wolnej:
W dowolnym spójniku implikacyjnym definiowanym zdaniami „Jeśli p to q” zmienne wolne to prawdziwe kontrprzykłady.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q

Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q

Co oznacza ta tajemnicza definicja?

Weźmy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Zmienne związane w implikacji prostej p|=>q wynikają z prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Zmienna wolna w p|=>q to prawdziwy kontrprzykład B2’: ~p~~>q=~p*q=1
       A1B1:         A2B2:         |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1      [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                 [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0      [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=~p*q=1 [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy że:
1.
W interesującym nas obszarze A1B1 i A2B2 definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje jedyny kontrprzykład prawdziwy B2’ w tym obszarze
B2’: ~p~~>q =~p*q =1
2.
Prawdziwy kontrprzykład B2’ wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
3.
Na mocy prawa Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość warunku koniecznego B1:
B1: p~>q =0
4.
Z kluczowej informacji iż w obszarze A1B1 i A2B2 występuje jedyny prawdziwy kontrprzykład B2’ wynika, że drugi możliwy tu kontrprzykład A1’ musi być fałszem
A1’: p~~>~q =0
5.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’ wynika prawdziwość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie)
A1: p=>q =1
6.
Na mocy prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy warunek konieczny A2
A2: ~p~>~q =1

Podsumowując:
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p*q
Jak widzimy, na podstawie powyższej definicji bez problemu odtworzyliśmy definicję implikacji prostej p|=>q (tabela IP) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.
Dokładnie na tym polega piękno algebry Kubusia.

4.2 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Przedstawione wyżej zastrzeżenia dowodzimy w dwóch krokach.

Krok 1.
Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?

Dla zbiorów tożsamych p=q mielibyśmy:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Otrzymana sprzeczność z definicją implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest dowodem, iż zbiory p i q nie mogą być tożsame.
Stąd mamy pierwszą część definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)

Krok 2.
Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?

Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q
D = p+q =q - bo na mocy definicji p|=>q zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Wtedy mamy:
~q=[D-q] = [q-q] =[] =0
Oznacza to że pojęcie ~q jest dla nas zbiorem pustym, czyli pojęciem nierozpoznawalnym.

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] =[asegft, uaytfds…]
Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.

Stąd mamy:
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

4.2.1 Diagram implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
Kod:

D1
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
|     p       B1: p~>q=0    |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1      (p*q=1)  |~p~~>q=~p*q=1   |A2:~p~>~q=1   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D=p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)     |
|            p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                            |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach                        |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q:
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1:p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1

II.
Po zamianie p i q:
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru p
B3: q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =1*~(0)=1*1 =1
A4B4:
A4:~q=>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~p
A4B4: ~q|=>~p = (A4:~q=>~p)*~(~q~>~p) =1*~(0)=1*1 =1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Jeśli zajdzie p to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q - mówi o tym zdanie A1

Z diagramu D1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Doskonale to widać na diagramie D1

Kontrprzykład A1’ dla prawdziwego warunku wystarczającego A1 musi być fałszem
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q = [] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne, co również widać na diagramie D1

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2:~p~>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2:~p=>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) podzbiorem => ~q
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” o czym mówią zdania A2 i B2’.
Doskonale to widać na diagramie D1

Z diagramu D1 odczytujemy:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Wyśmienicie to widać na diagramie D1

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego B2:~p=>~q=0 musi być prawdą.
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~p i q jest spełniona, co doskonale widać na diagramie D1.

4.2.1 Odtworzenie implikacji prostej p|=>q z definicji ~~>

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Na mocy prawa Sowy, jeśli odtworzymy definicję implikacji prostej p|=>q to automatycznie odtworzymy definicję operatora implikacji prostej p||=>q

Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach p|=>q wyżej zapisany wyrażony definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Kod:

D1’
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
|     p       B1: p~>q=0    |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1      (p*q=1)  |~p~~>q=~p*q=1   |A2:~p~>~q=1   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|            p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                            |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q                                   |
---------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
|Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)              |
----------------------------------------------------------------------
|    Ya=p~~>q=p*q           | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q      |
----------------------------------------------------------------------
|                            ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!)          |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Implikacja p|=>q      |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1  0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1

Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T2.
Implikacja prosta p|=>q
definiowana elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
A2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q

Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T2 do tabeli tożsamej T3 opisującej implikację prostą p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.

Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T2 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q =1
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T3.
Kod:

T3.
Implikacja prosta p|=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p=> q  =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
A2: ~p~>~q  =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q

Analiza tabeli prawdy T2 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =0
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q =0
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T4
Kod:

T4.
Implikacja prosta p|=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
A1:  p=> q  =1 | B1: p~>q=0
A1’: p~~>~q =0
A2: ~p~>~q  =1 | B2:~p=>~q=0
B2’:~p~~> q =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy:
Linia A1B1:
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:

Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Zdefiniowawszy implikację prostą p|=>q w zbiorach możemy ją podstawić do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Stąd mamy to, co już doskonale znamy.

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Szczegółową analizę operatora implikacji prostej p||=>q znajdziemy w punkcie 4.1.1

4.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji prostej p|=>q

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Weźmy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach opisany definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Kod:

D1’
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
----------------------------------------------------------------------
|     p       B1: p~>q=0    |                    ~p                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     q                                      |   ~q                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|  A1: p=>q=1      (p*q=1)  |~p~~>q = ~p*q   |A2:~p~>~q=1   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|            p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty                            |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q                                   |
---------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
|Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)              |
----------------------------------------------------------------------
|    Ya=p~~>q=p*q           | Yd=~p~~>q=~p*q | Yc=~p~~>~q=~p*~q      |
----------------------------------------------------------------------
|                            ~Yb=p~~>~q=p*~q (zbiór pusty!)          |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Stąd mamy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Implikacja p|=>q      |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D1 odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =1  0 |(~p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i q


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna DM jest identyczna dla wszelkich operatorów logicznych wyrażonych funkcjami logicznymi Y i ~Y, to suma logiczna Y+~Y
Gdzie:
Y - zdarzenia możliwe (zbiory niepuste)
~Y - zdarzenia niemożliwe (zbiory puste)
DM = Y+~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych.
D = Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q

Prawo dziedziny w implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q dzieli dziedzinę fizyczną D na trzy zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.

Dowód iż zbiory A, C i D są rozłączne jest na gruncie algebry Kubusia trywialny, badamy po prostu iloczyny logiczne wszystkich możliwych kombinacji zbiorów A, C i D.
A: (p*q)
C: (~p*~q)
D: (~p*q)
Wszystkie możliwe kombinacje iloczynów logicznych to:
1: A*C = (p*q)*(~p*~q =(p*~p)*(q*~q) =[] =0 - zbiory A i B są rozłączne
2: A*D = (p*q)*(~p*q) = (p*~p)*q =[]*q =[]=0 - zbiory A I C są rozłączne
3: C*D = (~p*~q)*(~p*q) =[] =0 - zbiory C i D są rozłączne

Szczegóły dowodu 2:
2: A*D = (p*q)*(~p*q) = (p*~p)*q =[]*q =[]=0 - zbiory A I C są rozłączne
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~p jest zbiorem pustym [].
Jeśli wszystkie elementy zbioru q przeiterujemy zbiorem [] pustym to wynikiem będzie zbiór pusty bez względu na to ile elementów jest w zbiorze q (może być nawet nieskończenie wiele).
Podstawa matematyczna to prawo algebry Boole’a:
x*[] = x*0 = 0 - obojętnie co ten x zawiera
cnd

Zobaczmy jak bajecznie prosta i piękna jest algebra Kubusia.
Z diagramu D2 odczytujemy matematyczną tożsamość:
~p = ~p*q + ~p*~q = ~p*(q+~q) = ~p
cnd

Dowód iż zbiory A, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D.
Y = A+B+C
Y = p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = (p*q)+~p
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = (~p+~q)*p
~Y = ~p*p + ~q*p
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q
Z diagramu D1’ doskonale widać, że suma logiczna zbiorów ~p+q stanowi dziedzinę D. W sumie logicznej nie ma znaczenia że część elementów występuje dwa razy, bo takie element redukujemy do jednego prawem algebry Boole’a:
p*p=p

Oczywiście można też obliczyć wszystko dokładnie gdzie nie będzie dublowanych elementów.
Sposób I.
Z diagramu D2 odczytujemy:
D= A: p*q + C:~p*~q + D: ~p*q =1
Doskonale widać, że zbiory A, C i D dzielą dziedzinę fizyczną na trzy zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się do dziedziny.

Sposób II.
Zapiszmy diagram implikacji prostej p|=>q w znaczkach =>, ~> i ~~>:
Kod:

Na podstawie diagramu D1’ mamy
Implikacja prosta p|=>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p=> q  =1 - zbiór p jest podzbiorem => q
A1’: p~~>~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
A2: ~p~>~q  =1 - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> ~q
B2’:~p~~> q =1 - istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~p i q

A1: p=>q = p*q =p - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A2: ~p~>~q = ~p*~q = ~q - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2’: ~p~~>q = ~p*q
Z diagramu D1 widzimy iż musimy udowodnić że:
Y = (A2+B2’) = ~p
Dowód:
Y = A2+B2’ = A2: ~p*~q + B2’: ~p*q
Y = ~p*(~q+q) =~p
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:18, 01 Sty 2022, w całości zmieniany 12 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 7:36, 26 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
4.4 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q dla przedszkolaków

Spis treści
4.4 Minimalna ilość elementów w implikacji prostej p|=>q 1
4.5 Implikacja prosta w zdarzeniach P|=>CH w przedszkolu 4
4.5.1 Operator implikacji prostej P||=>CH 8
4.6 Implikacja prosta w zbiorach P|=>4L w przedszkolu 10
4.6.1 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu 13
4.7 Alternatywne dojście do implikacji prostej P|=>4L w zbiorach 15
4.7.1 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach 18
4.7.2 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach 19



4.4 Minimalna ilość elementów w implikacji prostej p|=>q

Zastanówmy się ile różnych elementów musi liczyć dziedzina, aby dało się na niej zbudować implikację prostą p|=>q.

Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Z definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach wynika, że najmniejsza liczba elementów potrzebnych do zbudowania to trzy elementy.
Zdefiniujmy trzy, różne na mocy definicji elementy których będziemy używać.
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zbudujmy zbiory p i q spełniające definicję implikacji prostej w zbiorach:
p=[K]
q=[K+T]
Dziedzina:
D=[K+T+P]
stąd mamy niepuste przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D:
~p=[D-p]=[K+T+P-K]=[T+P]
~q=[D-q]=[K+T+P-[K+T]=[P]
Podsumujmy:
p=[K], ~p=[T+P]
q=[K+T], ~q=[P]
Zapiszmy diagram implikacji prostej p|=>q dla powyższych elementów.
Kod:

D1
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
-----------------------------------------------------------------------
|  p=[K],   ~p=[T+P]                                                  |
|  q=[K+T], ~q=[P]                                                    |
-----------------------------------------------------------------------
|     p=[K]                 |                     ~p=[T+P]            |
|---------------------------|-----------------------------------------|
|     q=[K+T]                                 |   ~q=[P]              |
|---------------------------------------------|-----------------------|
|     p=[K]=>q=[K+T]=1      |~p~~>q=~p*q=[T]  | ~p=[T+P]~>~q=[P]=1    |
|     p=[K]~>q=[K+T]=0      |                 | ~p=[T+P]=>~q=[P]=0    |
-----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina fizyczna: D =p*q+~p*~q+~p*q (suma zbiorów niepustych)     |
|                     p~~>~q = p*~q =[K]*[P]=[] - zbiór pusty         |
-----------------------------------------------------------------------

Doskonale widać, że w diagramie D1 spełniona jest definicji implikacji prostej p|=>q, a tym samym definicja operatora implikacji prostej p||=>q.

Zapiszmy pełny diagram implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Nasze zbiory na których operujemy to:
p=[K], ~p=[T+P]
q=[K+T], ~q=[P]

Definicja operatora implikacji prostej p||=>q:
Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q, bo p jest podzbiorem => q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q, bo p nie jest nadzbiorem ~> q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1) - mówi o tym zdanie A1

Z diagramu D1 odczytujemy:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Sprawdzamy:
p=[K] => q=[K+T]
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p=[K] jest podzbiorem => zbioru q=[K+T}
cnd

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Sprawdzamy:
p=[K] ~~> ~q=[P] = [K]*[P] =[] =0
Zbiory jednoelementowe Kubuś (K) i Prosiaczek (P) są rozłączne
cnd

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Z diagramu D1 odczytujemy:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Sprawdzenie:
~p=[T+P] ~> ~q=[P] =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona bo zbiór ~p=[T+P] jest nadzbiorem ~> zbioru ~q=[P]

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Sprawdzenie:
~p=[T+P]~~>q=[K+T] = [T+K]*[K+T] =[T] =1
Istnieje element wspólny zbiorów ~p=[T+P] i q=[K+T] - to Tygrysek (T)

Doskonale tu widać, że w zdaniu B2’ nie jest spełniony ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~>.
Dowód:
~p=[T+P] => q=[K+T] =0 - bo zbiór ~p=[T+P] nie jest (=0) podzbiorem => q=[K+T]
~p=[T+P} ~> q=[K+T] =0 - bo zbiór ~p=[T+P] nie jest (=0) nadzbiorem ~> q=[K+T]

Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy, a zabawę z implikacją prostą p|=>q można zacząć w przedszkolu dysponując trzema pluszowymi, dowolne powielonymi (bo p=p*p) zabawkami:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek

4.5 Implikacja prosta w zdarzeniach P|=>CH w przedszkolu

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli jutro będzie padało to będzie pochmurno
Dokonaj analizy matematycznej tego operatora

Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny, stąd zdanie tożsame:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, jest pochmrno

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny zdania A1 (nasz punkt odniesienia) to:
A1: p=>q =1
p = P=[pada]
q = CH=[chmury]
A1: P=>CH =1

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek wystarczający A1: P=>CH musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1: P~>CH między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
B1: P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p=>q =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.

Doskonale widać, że zdanie A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to nie są to zdania matematycznie tożsame.
Stąd po raz n-ty mamy prawo Kameleona (punkt 2.6)

Prawo Kameleona:
Dwa zdanie brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Definicje znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.

Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

IP
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Nasz przykład:
IP
Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH:

Implikacja prosta P|=>CH w logice dodatniej (bo CH) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta P|=>CH jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1)

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym {P,CH}:
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P (pada)
q=CH (chmury)
Definicja implikacji prostej P|=>CH w zapisie aktualnym:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
       A1B1:         A2B2:        |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>CH  =1 = 2:~P~>~CH=1    [=] 3: CH~>P  =1 = 4:~CH=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]              = 4:~q~~>p  =0
A’: 1: P~~>~CH=0 =                [=]              = 4:~CH~~>P =0
       ##             ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>CH  =0 = 2:~P=>~CH=0    [=] 3: CH=>P  =0 = 4:~CH~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>CH=1    [=] 3: CH~~>~P=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.

Uwaga:
Tabela IP zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji prostej p|=>q.
Zdania w tabeli IP mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IP.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?

Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P i ~P:
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~P i P:
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?

4.5.1 Operator implikacji prostej P||=>CH

Operator implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P i ~P:
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie padało (P=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) =1*~(0)=1*1 =1
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie pochmurno (CH=1) - mówi o tym zdanie A1

Kolumna A1B1 to odpowiedź na pytanie o P w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)
Czytamy:
P=1 - prawdą jest (=1) że pada (P)
~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH)

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie padało (~P=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>~CH =1 - brak padania (~P) jest (=1) konieczny ~> dla braku chmur (~CH)
B2: ~P=>~CH =0 - brak padania (~P) nie jest (=0) wystarczający => dla braku chmur (~CH)
bo nie zawsze gdy nie pada, nie ma chmur.
A2B2: ~P|~>~CH = (A2:~P~>~CH)*~(B2: ~P=>~CH) =1*~(0) =1*1=1
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Kolumna A2B2 to odpowiedź na pytanie o ~P w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH=1) bo jak pada (P=1) to na 100% => są chmury (CH=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
Czytamy:
1: CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1) że nie ma chmur (~CH=1)
Prawo Prosiaczka:
(~CH=1) = (CH=0)
Stąd zdanie tożsame do 2 brzmi:
2’: CH=0 - fałszem jest (=0) iż są chmury (CH)
Jak widzimy wyłącznie sprowadzanie zmiennych do jedynek na mocy prawa Prosiaczka, czyni język potoczny przekładalny w skali 1:1 na logikę matematyczną.
Dowód:
W zdaniu 2 z języka potocznego mamy frazę:
„nie ma chmur” i tą frazę kodujemy matematycznie (~CH)
Innymi słowy:
W języku potocznym w kodowaniu matematycznym uwzględniamy przeczenie „nie” w postaci symbolu przeczenia (~).

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie ~~>: nie pada (~P=1) i jest pochmurno (CH=1)
Czytamy:
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>CH jest gwarancja matematyczna po stronie P (pada) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (nie pada), co widać w powyższej analizie.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~CH to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~P i P:
A2B2: ~P|~>~CH =(A2:~P~>~CH)*~(B2:~P=>~CH) - co się może się wydarzyć jeśli nie będzie padało?
A1B1: P|=>CH =(A1: P=>CH)* ~(B1: P~>CH) - co się może się wydarzyć jeśli będzie padało?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~CH w logice ujemnej (bo ~CH) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>CH w logice dodatniej (bo CH) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

4.6 Implikacja prosta w zbiorach P|=>4L w przedszkolu

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Każdy pies ma cztery łapy
Dokonaj analizy matematycznej tego operatora

Zdanie matematycznie tożsame brzmi:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona (=1) bo zbiór jednoelementowy P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]
Bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego aby mieć cztery łapy
Bycie psem daje nam gwarancję matematyczną => posiadania czterech łap
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Uwaga:
W logice matematycznej za psa przyjmujemy zwierzę zdrowe z czterema łapami.
Pies z trzema łapami to też pies, jednak z logiki matematycznej musimy usunąć psy kalekie bowiem wówczas warunek wystarczający A1 leży w gruzach, gdyż będzie tu istniał kontrprzykład w postaci psa z trzema łapami. Jeśli uwzględnimy psy kalekie to wylądujemy w operatorze chaosu P|~~>4L bez żadnej gwarancji matematycznej =>.

Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny zdania A1 to:
A1: p=>q =1
p= P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q= 4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
A1: P=>4L =1

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek wystarczający A1: P=>4L musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1: P~>4L między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

Warunek wystarczający A1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
p = P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies
Następnik q:
q = 4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

Badamy teraz czy spełniony jest warunek konieczny P~>4L=?
B1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> ma cztery łapy (4L=1)
P~>4L =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona (=0) bo zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies, słoń ..]

Stąd mamy rozstrzygnięcie, iż zdanie A1: P=>4L jest implikacji prostej P|=>4L.

Definicja implikacji prostej P|=>4L
Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => do tego aby mieć cztery łapy
bo każdy pies ma cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego by mieć cztery łapy
Słoń nie jest psem a mimo to ma cztery łapy.
Stąd:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta P|=>4L jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla posiadania czterech łap (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla posiadania czterech łap (B1).

Podstawmy nasze zdania A1: P=>4L=1 i B1: P~>4L=0 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P,4L}
A1: P=>4L=1 - bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla 4 łap
B1: P~>4L=0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla 4 łap
P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L)=1*~(0)=1*1=1

       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>4L  =1 = 2:~P~>~4L=1    [=] 3: 4L~>P  =1  = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]               = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~4L=0 =                [=]               = 4:~4L~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>4L  =0 = 2:~P=>~4L=0    [=] 3: 4L=>P  =0  = 4:~4L~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>4L=1    [=] 3: 4L~~>~P=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.

Na mocy prawa Sowy, jeśli mamy definicję implikacji prostej P|=>4L to automatycznie mamy definicję operatora implikacji prostej P||=>4L

4.6.1 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach w przedszkolu

Operator implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: P|=>4L =(A1: P=>4L)* ~(B1: P~>4L) - co się stanie jeśli wylosujemy psa (P=1)?
A2B2: ~P|~>~4L =(A2:~P~>~4L)*~(B2:~P=>~4L) - co się stanie jeśli wylosujemy nie psa (~P=1)?

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) wystarczające => by mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) konieczne by mieć cztery łapy
A1B1: P|=>4L =(A1: P=>4L)* ~(B1: P~>4L) - co się stanie jeśli wylosujemy psa (P=1)?
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa to mamy gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy - mówi o tym zdanie A1.

Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => ma cztery łapy (4L=1)
P=>4L =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt z czterema łapami 4L=[pies słoń ..]
Wylosowanie ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWT) psa, daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie on miał cztery łapy
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L = P*~4L =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura ..] są rozłączne.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>~4L =1 - nie bycie psem (~P) jest (=1) konieczne ~> aby nie mieć czterech łap (~4L)
B2: ~P=>~4L =0 - nie bycie psem (~P) nie jest (=0) wystarczające => aby nie mieć czterech łap (~4L)
A2B2: ~P|~>~4L =(A2:~P~>~4L)*~(B2:~P=>~4L) - co się stanie jeśli wylosujemy nie psa (~P=1)?
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~>~4L =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P=[słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~4L=[kura ..]
Zauważmy, że po udowodnieniu prawdziwości zdania A1: P=>4L nie musimy dowodzić wprost prawdziwości zdania A2 bo prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L

LUB

Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
Prawdziwości kontrprzykładu B2’ nie musimy zatem dowodzić wprost, ale możemy dowodzić.
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona bo np. słoń.
Zauważmy, że między zbiorami ~P=[słoń, kura ..] i 4L=[pies, słoń ..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> w obie strony.
Dowód:
~P=[słoń, kura ..] => 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest (=0) podzbiorem => zbioru 4L (bo kura)
~P=[słoń, kura ..] ~> 4L=[pies, słoń ..] =0 - bo zbiór ~P nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru 4L (bo pies)
cnd

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej P||=>4L jest gwarancja matematyczna => po stronie P (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>~4L to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~P i P:
A2B2: ~P|~>~4L =(A2:~P~>~4L)*~(B2:~P=>~4L) - co się stanie jeśli wylosujemy nie psa (~P=1)?
A1B1: P|=>4L =(A1: P=>4L)* ~(B1: P~>4L) - co się stanie jeśli wylosujemy psa (P=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>~4L w logice ujemnej (bo ~4L) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>4L w logice dodatniej (bo 4L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

4.7 Alternatywne dojście do implikacji prostej P|=>4L w zbiorach

Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i będzie on miał cztery lapy (4L=1)?
Jaś (lat 5): TAK, np. pies
Stąd:
A1.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
P~~>4L = P*4L =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] jest spełniona (bo pies).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jednego pieska który ma cztery łapy. Nie trzeba tu badać, czy wszystkie psy mają cztery łapy jak to ma miejsce w warunku wystarczającym P=>4L=1.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy psa (P=1) i nie będzie on miał czterech lap (~4L=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy.
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
P~~>~4L= P*~4L =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę nie będzie miało czterech lap (~4L=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie mieć czterech łap (~4L=1)
~P~~>~4L = ~P*~4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) i to zwierzę będzie miało cztery lapy (4L=1)?
Jaś: TAK np. słoń
stąd:
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> mieć cztery łapy (4L=1)
~P~~>4L = ~P*4L =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają co najmniej jeden element wspólny np. słoń

Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1           Y ~Y   Odpowiedzi dla Y:
A1:  P~~> 4L=1  0 - zbiory P=[pies] i 4L=[pies, słoń ..] mają el. wspólny
A1’: P~~>~4L=0  1 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~~>~4L=1  0 - zbiory ~P=[słoń, kura..] i ~4L=[kura] mają el. wspólny
B2’:~P~~> 4L=1  0 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają el. wspólny

Kluczową definicją umożliwiającą przejście z dialogu pani przedszkolanki do definicji operatora implikacji prostej P||=>4L jest definicja kontrprzykładu w zbiorach.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

W zbiorach zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Analiza matematyczna tabeli T1 - część I:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
1.
Z fałszywości kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>~4L=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest warunkiem wystarczającym => do tego, by mieć cztery łapy.
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru 4L=[pies, słoń ..]
2.
Prawo Kubusia:
A1: P=>4L = A2: ~P~>~4L
stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1: P=>4L =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~P~>~4L =1
Stąd nasza tabela T1 przybiera postać:
Kod:

T2
A1:  P=> 4L =1 - bo P=[pies] jest podzbiorem => 4L=[pies, słoń..]
A1’: P~~>~4L=0 - zbiory P=[pies] i ~4L=[kura..] są rozłączne
A2: ~P~> ~4L=1 - bo ~P=[słoń, kura..] jest nadzbiorem ~> ~4L=[kura..]
B2’:~P~~> 4L=1 - ~P=[słoń, kura..] i 4L=[pies, słoń..] mają element wspólny


Analiza matematyczna tabeli T1 - część II:

Na mocy definicji kontrprzykładu w zbiorach mamy:
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~P=>~4L =0
Uwaga:
Zachodzi też odwrotnie:
Z fałszywości warunku wystarczającego B2: ~P=>~4L=0 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~P~~>4L = ~P*4L =1 - bo np. słoń nie jest psem (~P=1) i ma cztery łapy (4L=1)
4.
Prawo Kubusia:
B2: ~P=>~4L = B1: P~>4L =0
stąd:
Z fałszywości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~P=>~4L =0
wynika fałszywość warunku koniecznego ~> B1 (i odwrotnie):
B1: P~>4L =0 - tego faktu nie musimy udowadniać na mocy prawa Kubusia
Nanieśmy kompletną analizę do tabeli T3.
Kod:

T3
A1:  P=> 4L =1 |B1: P~> 4L =0
A1’: P~~>~4L=0
A2: ~P~>~4L =1 |B2:~P=>~4L =0
B2’:~P~~>4L =1

Zauważmy, że w linii A1 zapisaną mamy implikację prostą P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L).

4.7.1 Implikacja prosta P|=>4L w zbiorach

Definicja implikacji prostej P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L):
Implikacja prosta P|=>4L to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P=>4L =1 - bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby mieć cztery łapy
B1: P~>4L =0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> aby mieć cztery łapy
bo. np. słoń ma cztery łapy, a nie jest psem
Stąd mamy:
P|=>4L = (A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L) = 1*~(0)=1*1 =1

Pozostaje nam tylko podstawić nasze odkrycie do gotowej tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
q=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: P=>4L=1 - bycie psem jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla 4 łap
B1: P~>4L=0 - bycie psem nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla 4 łap
P|=>4L=(A1: P=>4L)*~(B1: P~>4L)=1*~(0)=1*1=1

       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1    [=] 3: q~>p   =1  = 4:~q=>~p  =1
A:  1: P=>4L  =1 = 2:~P~>~4L=1    [=] 3: 4L~>P  =1  = 4:~4L=>~P =1
A’: 1: p~~>~q =0 =                [=]               = 4:~q~~>p  =0                   
A’: 1: P~~>~4L=0 =                [=]               = 4:~4L~~>P =0                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p   =0  = 4:~q~>~p  =0
B:  1: P~>4L  =0 = 2:~P=>~4L=0    [=] 3: 4L=>P  =0  = 4:~4L~>~P =0
B’:              = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~P~~>4L=1    [=] 3: 4L~~>~P=1

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: P|=>4L w logice dodatniej (bo 4L) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

Na mocy prawa Sowy, jeśli mamy definicję implikacji prostej P|=>4L to automatycznie mamy definicję operatora implikacji prostej P||=>4L

4.7.2 Operator implikacji prostej P||=>4L w zbiorach

Teraz pozostaje nam wykonać skok do punktu 4.6.1 gdzie mamy szczegółową analizę operatora implikacji prostej P||=>4L.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 16:37, 30 Wrz 2021, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 10:37, 26 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
4.8 Przykłady operatorów implikacji prostej p||=>q dla LO


Spis treści
4.8 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach 1
4.8.1 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach 5
4.8.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S 7
4.9 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach 8
4.9.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 12
4.9.2 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej P8|=>P2 14
4.10 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej p|=>q 15
4.11 Implikacja prosta typu P|=>~K w zbiorach 17
4.11.1 Najprostszy dowód implikacji prostej P|=>~K 18
4.12 Alternatywny dowód implikacji prostej P|=>~K 19
4.12.1 Operator implikacji prostej P||=>~K w zbiorach 22



4.8 Implikacja prosta A|=>S w zdarzeniach

Wstęp teoretyczny:
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S1 Schemat 1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Tak, stan przycisku W jest tu nieistotny, może być W=x gdzie x=[1,0]
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W tu jest zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={1,0}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Nie.
Przycisk A może nie być wciśnięty (A=0), a mimo to żarówka może się świecić, gdy zmienna wolna W będzie ustawiona na W=1.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
B1: A~>S =0
Wciśnięcie przycisku A (A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), bowiem może być sytuacja A=0 i W=1 i żarówka będzie się świecić
cnd

Jak widzimy na dzień dobry wyskoczyło nam prawo Kameleona.
Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej A|=>S.

IP
Definicja implikacji prostej A|=>S w logice dodatniej (bo S):

Implikacja prosta A|=>S to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie klawisza A jest wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie klawisza A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S
bo żarówkę S może zaświecić zmienna wolna W (W=1)
Stąd mamy:
A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta A|=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1)

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {A,S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:          A2B2:       |    A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =1 = 2:~p~>~q =1  [=] 3: q~>p   =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S   =1 = 2:~A~>~S =1  [=] 3: S~>A   =1 = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q =0 =              [=]              = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: A~~>~S =0 =              [=]              = 4:~S~~>A =0                   
       ##             ##         |     ##            ##
B:  1: p~>q   =0 = 2:~p=>~q =0  [=] 3: q=>p   =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S   =0 = 2:~A=>~S =0  [=] 3: S=>A   =0 = 4:~S~>~A =0
B’:              = 2:~p~~>q =1  [=] 3: q~~>~p =1
B’:              = 2:~A~~>S =1  [=] 3: S~~>~A =1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności zapisu zmienne aktualne (A, S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o brzmieniu zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.

Uwaga:
Tabela IP zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji prostej p|=>q.
Zdania w tabeli IP mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IP.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?

Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~A i A:
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?

4.8.1 Operator implikacji prostej A||=>S w zdarzeniach
Kod:

S1 Schemat 1
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Operator implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli zajdzie A
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli zajdzie ~A

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S = (A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka będzie się świecić (S=1) - mówi o tym zdanie A1

Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że stan przycisku W jest bez znaczenia W=x gdzie x={0,1}

Z prawdziwości warunku wystarczającego => A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S=A*~S=0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1).

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia się S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => dla nie świecenia się S (~S=1)
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) =`*~(0)=1*1=1
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~S=1)
~A~>~S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki S (~S=1) bo jak przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2:~A~>~S = A1: A=>S

LUB

Kontrprzykład B2’ dla fałszywego warunku wystarczającego => B2 musi być prawdą, stąd:
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=1.

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej A||=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie A (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~A (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~A i A:
A2B2:~A|~>~S=(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~A||~>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej A||=>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

4.8.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S

Wisienką na torcie w operatorze implikacji prostej A||=>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację prostą A|=>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
Kod:

S1 Schemat 1
Fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|=>S=(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=1*~(0)=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
                             W
                           ______
                      -----o    o-----
             S        |      A       |
       -------------  |    ______    |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|=>q = A|=>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji prostej A|=>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej równolegle do przycisku A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S1, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S1, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S1 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S1 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji prostej A|=>S.

4.9 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych, logika matematyczna jest tu identyczna jak opisana wyżej banalna logika zdarzeń, jednak zbiory nieskończone z oczywistych powodów są trudniejsze do analizy.
Niemniej jednak możliwe są operacje na zbiorach nieskończonych zrozumiałe dla ucznia I klasy LO i do takich zbiorów ograniczymy się w wykładzie.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>:
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie matematyczne jest fałszywe.

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Weźmy następujące twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Zapis formalny na mocy prawa Kłapouchego to:
p=>q =1
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
Poprzednik p mówi tu o zbiorze P8=[8,16,24..], zaś następnik q o zbiorze P2=[2,4,6,8..]
Dla potrzeb dalszej analizy musimy obliczyć przeczenia zabiorów P8 i P2, rozumiane jako uzupełnienia do wspólnej dziedziny.
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Przyjmijmy dziedzinę LN:
LN=[2,4,6,8..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczenie przeczeń zbiorów rozumianych jako ich uzupełnienie do dziedziny:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
Dla powyższych zbiorów P8 i P2 musi być spełniona definicja wspólnej dziedziny LN.
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 =LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 =LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% ~> jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd

Zauważmy, że znów kłania się nam prawo Kameleona.

Prawa Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame

Różność ## zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji prostej P8|=>P2.

Definicja implikacji prostej P8|=>P2 w logice dodatniej (bo P2):
Implikacja prosta P8|=>P2 to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta P8|=>P2 jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => zbioru P2 i zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym {P8,P2}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P2}:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1 [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=>P2  =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =              [=]               = 4:~q~~>p   =0                   
A’: 1: P8~~>~P2=0 =              [=]               = 4:~P2~~>P8 =0                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =0 = 2:~p=>~q  =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:               = 2:~p~~>q  =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.

Uwaga:
Tabela IP zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji prostej p|=>q.
Zdania w tabeli IP mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IP.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?

Z tabeli prawdy implikacji prostej IP odczytujemy:

Operator implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to ..
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to ..

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~P8 i P8:
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to ..
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to ..

4.9.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Operator implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to…
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to..

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.

Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2)=1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.

LUB

Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~P8 i P8:
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to ..
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to ..
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.

4.9.2 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej P8|=>P2

W klasycznej implikacji prostej p|=>q w zbiorach, analiza warunku wystarczającego p=>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q generuje po stronie wyjścia trzy zbiory niepuste wzajemnie rozłączne, uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.

Weźmy omówioną wyżej implikację prostą P8|=>P2.

Podsumujmy w zbiorach powyższą analizę:
Kod:

A1:  P8=> P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
A1’: P8~~>~P2=0 - bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7..] są rozłączne
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2:~P8~>~P2
A2: ~P8~>~P2 =1 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9.] jest nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5..]
B2’:~P8~~>P2 =1 - ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9.] ma el. wspólny z P2=[2,4,6,8..]


Obliczamy iloczyny logiczne zbiorów A1, A2, B2’:
A1.
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów P8 i P2:
A1: P8=>P2 = P8*P2 = P8=[8,16,24..] - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
A2.
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów ~P8 i ~P2:
A2: ~P8~>~P2 = ~P8*~P2 = ~P2=[1,3,5,7,9..] - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
B2’
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów ~P8 i P2:
B2’: ~P8~~>P2 = ~P8*P2 = [2,4,6 .. 10,12,14..18..] - zbiór P2 pomniejszony o zbiór P8=[8,16,24..]

Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ są wzajemnie rozłączne:
1.
Zbiór A2: ~P8*~P2=~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem B2’: ~P8*P2=[2,4,6 .. 10,12,14..18..]
Uzasadnienie:
Jak widzimy, zbiór B2’ jest de facto zbiorem liczb parzystych a dowolny zbiór liczb parzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb nieparzystych, tu A2.
cnd
2.
W żadnym ze zbiorów A2 i B2’ nie ma ani jednej liczby podzielnej przez 8 co jest dowodem rozłączności zarówno zbioru A2 jak i B2’ ze zbiorem A1: P8*P2 = P8=[8,16,24..]
cnd

Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
1.
Udowodniliśmy że:
A1: P8=>P2 =P8*P2 = P8=[8,16,24..] - bo zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2
2.
Prawo Kubusia:
A1: P8=>P2 = A2: ~P8~>~P2
Wniosek:
Po udowodnieniu iż zbiór P8 jest podzbiorem => zbioru P2, na mocy prawa Kubusia mamy pewność absolutną iż zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
Stąd mamy:
A2: ~P8~>~P2 = ~P8*~P2 = ~P2=[1,3,5,7,9..] - bo zbiór ~P8 jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2
3.
B2’: ~P8~~>P2 = ~P8*P2 = [2,4,6 .. 10,12,14..18..] - zbiór P2 pomniejszony o zbiór P8=[8,16,24..]

Obliczamy sumę logiczną zborów A2+B2’:
A2+B2’ = ~P8*~P2 + ~P8*P2 = ~P8*(~P2+P2) = ~P8
Stąd mamy:
Suma logiczna wszystkich zbiorów niepustych A1, A2 i B2’ to:
A1: P8+ (A2+B2’): ~P8 = P8+~P8 =1
cnd

4.10 Relacje zbiorów niepustych w implikacji prostej p|=>q

Dokładnie to samo można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym w zapisach formalnych:
Kod:

Definicja implikacji prostej p|=>q w rozpisce na zbiory wynikowe:
A1:  p=> q = p* q = p - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
A1’: p~~>~q= p*~q = 0 - zbiory p i ~q są rozłączne
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
A2: ~p~>~q =~p*~q =~q - zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2’:~p~~>q =~p* q

Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ są wzajemnie rozłączne:
1.
Zbiory niepuste w implikacji prostej p|=>q to:
A1: p=>q =p*q =p
A2: ~p~>~q =~p*~q =~q
B2’:~p~~>q =~p* q

Dowody cząstkowe:
a)
Gwarancją rozłączności zbiorów A1: p i A2: ~q jest fałszywy kontrprzykład A1’:
A1’: p~~>~q = p*~q =[] =0
cnd
b)
Dowód iż zbiór A1 jest rozłączny ze zbiorem B2’:
A1*B2’ = (p)*(~p*q) =[] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne
cnd
c)
Dowód iż zbiór A2 jest rozłączny ze zbiorem B2’:
A2*B2’ = (~q)*(~p*q) =[] =0 - bo ~q*q=[] =0
cnd

Dowód iż zbiory niepuste A1, A2 i B2’ uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
1.
Udowodniliśmy że:
A1: p=>q =p*q =p - bo zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Wniosek:
Po udowodnieniu iż zbiór p jest podzbiorem => zbioru q, na mocy prawa Kubusia mamy pewność absolutną iż zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy:
A2: ~p~>~q = ~p*~q =~q - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
3.
Kluczowy dowód to udowodnienie iż:
A2+B2’ = ~p - bo ~p to zbiór rozłączny z A1: p (zbiory ~p i p uzupełniają się wzajemnie do dziedziny).
Dowód:
Y = A2: ~q + B2’: ~p*q
Y = ~q+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = q*(p+~q)
~Y = p*q + q*~q
~Y = p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y= (A2+B2’) = ~p+~q
Na mocy prawa Kubusia (pkt. 2) wiemy że zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
Stąd mamy:
Y = (A2+B2’) = ~p+~q =~p
cnd
4.
Dowód iż w implikacji prostej p|=>q zbiory niepuste uzupełniają cię wzajemnie do dziedziny:
A1: p + A2:~q + B2’: ~p*q = A1: p + (A2+B2’): ~p = p+~p =1
cnd

Uwaga:
Alternatywny dowód punktu 3 jest następujący:
A2: ~p~>~q = ~p*~q = ~q - bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2’: ~p~~>q = ~p*q
Stąd mamy:
A2: ~p*~q + B2’: ~p*q = ~p*(~q+q) =~p
To jest najprostszy dowód - wszystkie drogi prowadzą do Rzymu tzn. do algebry Kubusia.

Podsumowując:
Analiza matematyczna warunku wystarczającego p=>q w implikacji prostej p|=>q wyznacza nam po stronie wyjścia trzy zbiory niepuste i rozłączne, uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
cnd

4.11 Implikacja prosta typu P|=>~K w zbiorach

W algebrze Kubusia zbiory mają wartości logiczne:
p=[x] =1 - gdy zbiór niepusty, zawierający co najmniej jeden element
p=[] =0 - gdy zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

4.11.1 Najprostszy dowód implikacji prostej P|=>~K

Weźmy zdanie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>~q =1
bo w zapisie formalnym musimy uwzględnić wszelkie przeczenia z zapisu aktualnego
(patrz prawo Kangura, punkt 2.5)
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p= P=[pies]
q= K=[kot]
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, wąż …]
Obliczamy przeczenia zbiorów P i K rozumiane jak uzupełnienia do dziedziny ZWZ
~P=[ZWZ-P] = [kot, słoń, wąż ..] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „psa”
~K=[ZWZ-K] = [pies, słoń, wąż ..] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „kota”

Stąd mamy rozstrzygnięcie o prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, wąż ..]

Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego
A1: P=>~K=1
wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: P~~>K = P*K =0
(albo odwrotnie)
Tego faktu nie musimy dowodzić, ale możemy dowodzić.
A1’.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> być kotem (K=1)
P~~>K = P*K =[] =0
Nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów P=[pies] i K=[kot] bo zbiory te są rozłączne.
cnd

… a jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1)?
Prawo Kubusia:
A1: P=>~K = A2: ~P~>K =1
stąd:
A2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> być kotem (K=1)
~P~>~K =1
Nie bycie psem (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być kotem (K=1) bo jak się jest psem (P=1) to na 100% => nie jest się kotem (~K=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>K = A1: P=>~K =1

Zauważmy, że warunek wystarczający => ze zmiennymi widniejącymi w zdaniu A2 jest fałszem.
Dowód:
B2.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to na 100% => jest kotem (K=1)
~P=>K =0 - bo kontrprzykład „wąż”
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór ~P=[kot, słoń, wąż ..] nie jest podzbiorem => zbioru K=[kot]

Fałszywość warunku wystarczającego => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’.
B2’.
Jeśli zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie być kotem (~K=1)
~P~~>~K = ~P*~K =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~P=[kot, słoń, wąż..] i ~K= [pies, słoń, wąż ..] mają element wspólny np. „słoń”
cnd

Zauważmy, że udowodniliśmy iż zdanie A1: P=>~K wchodzi w skład implikacji prostej P|=>~K bez użycia tabeli wszystkich możliwych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~> w implikacji prostej P|=>~K

4.12 Alternatywny dowód implikacji prostej P|=>~K

Alternatywne rozwiązanie jest takie.

Mamy nasze zdanie wejściowe A1.
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>~q =1
bo w zapisie formalnym musimy uwzględnić wszelkie przeczenia z zapisu aktualnego
(patrz prawo Kangura, punkt 2.5)
Na mocy prawa Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p= P=[pies]
q= K=[kot]
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
ZWZ=[pies, kot, słoń, wąż …]
Obliczamy przeczenia zbiorów P i K rozumiane jak uzupełnienia do dziedziny ZWZ
~P=[ZWZ-P] = [kot, słoń, wąż ..] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „psa”
~K=[ZWZ-K] = [pies, słoń, wąż ..] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „kota”

Dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania A1 ze zmienionym warunkiem wystarczającym => na warunek konieczny ~>.
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> nie jest kotem (~K=1)
P~>~K =0
To samo w zapisie formalnym:
p~>~q =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona do zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, wąż ...]
cnd

Prawidłowy wniosek:
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>~K o definicji:
Implikacja prosta P|=>~K to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku (dowód wyżej)
A1: P=>~K =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony bo:
zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, wąż ..]
B1: P~>~K =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony bo:
zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, wąż ..]
Stąd mamy:
P|=>~K = (A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K) = 1*~(0) =1*1 =1

Zauważmy, że dla zdań A1 i B1 prawo Kameleona samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Zdania A1 i B1 rozróżniamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q gdzie mamy do czynienie z zanegowanym q, czyli w zapisie formalnym mamy:
p|=>~q
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>~q w zapisie formalnym {p,~q}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,~q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
 p= P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”
~q=~K=[pies, słoń, wąż..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem „psa”
q= K=[kot] - zbiór jednoelementowy „kot”
Tabela prawdy implikacji prostej P|=>~K w zapisie aktualnym {P,~K}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P,~K}:
A1: P=>~K =1 - P=[pies] jest (=1) podzbiorem => ~K=[pies, słoń, wąż..]
B1: P~>~K =0 - P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~K=[pies, słoń, wąż..]
A1B1: P|=>~K = (A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K) = 1*~(0)=1*1 =1
       A1B1:         A2B2:     |     A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>~q =1 = 2:~p~>q  =1 [=] 3: ~q~>p   =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: P=>~K =1 = 2:~P~>K  =1 [=] 3: ~K~>P   =1 = 4: K=>~P =1
A’: 1: p~~>q =0 =             [=]               = 4: q~~>p =0                   
A’: 1: P~~>K =0 =             [=]               = 4: K~~>P =0                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>~q =0 = 2:~p=>q  =0 [=] 3: ~q=>p   =0 = 4: q~>~p =0
B:  1: P~>~K =0 = 2:~P=>K  =0 [=] 3: ~K=>P   =0 = 4: K~>~P =0
B’:             = 2:~p~~>q =1 [=] 3: ~q~~>~p =1
B’:             = 2:~P~~>K =1 [=] 3: ~K~~>~P =1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>q=(A2:~p~>q)*~(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>~q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>q=(A2:~p~>q)*~(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>q=(A2:~p~>q)*~(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*~(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.

Uwaga:
Tabela IP zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji prostej p|=>~q.
Zdania w tabeli IP mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IP.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?

Z tabeli prawdy implikacji prostej IP odczytujemy:

Operator implikacji prostej P||=>~K w logice ujemnej (bo ~K) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P i ~P:
A1B1: P|=>~K=(A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K)=1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie P
A2B2:~P|~>K=(A2:~P~>K)*~(B2:~P=>K)=1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>K w logice dodatniej (bo K) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~P i P:
A2B2:~P|~>K=(A2:~P~>K)*~(B2:~P=>K)=1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P
A1B1: P|=>~K=(A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K)=1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie P

4.12.1 Operator implikacji prostej P||=>~K w zbiorach

Operator implikacji prostej P||=>~K w logice ujemnej (bo ~K) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P i ~P:
A1B1: P|=>~K=(A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K)=1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie P
A2B2:~P|~>K=(A2:~P~>K)*~(B2:~P=>K)=1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P=>~K =1 - P=[pies] jest (=1) podzbiorem => ~K=[pies, słoń, wąż..]
B1: P~>~K =0 - P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~K=[pies, słoń, wąż..]
A1B1: P|=>~K=(A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K)=1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy psa (P=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż na 100% => nie będzie to kot (~K=1) - mówi o tym zdanie A1.

Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Bycie psem P=[pies] jest warunkiem wystarczającym => do tego aby nie być kotem (~K=1) bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru „nie kot” ~K=[pies, słoń, wąż ..]

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to może ~~> być kotem K=1
P~~>K = P*K =[] =0
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów P=[pies] i K=[kot] bowiem te zbiory jednoelementowe są rozłączne.
Innymi słowy:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P=[pies] i K=[kot] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P~>K =1 - zbiór ~P=[kot, słoń, wąż] jest nadzbiorem ~> zbioru K=[kot]
B2: ~P=>K =0 - zbiór ~P=[kot, słoń, wąż] nie jest podzbiorem => zbioru K=[kot]
A2B2:~P|~>K=(A2:~P~>K)*~(B2:~P=>K)=1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie będące psem (~P=1) to zwierzę to może ~> być kotem (K=1)
Mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> być kotem (K=1)
~P~>K =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona bo zbiór ~P=[kot, słoń, wąż ..] jest nadzbiorem ~> zbioru K=[kot]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Nasz przykład:
A1: P=>~K = A2: ~P~>K
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.

LUB

Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~~> nie być kotem (~K=1)
~P~~>~K = ~P*~K =1
Definicja elementu wspólnego ~~> jest spełniona bo zbiory: ~P=[kot, słoń, wąż ..] i ~K=[pies, słoń, wąż ..] mają element wspólny np. słoń

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P||=>~K jest gwarancja matematyczna => po stronie P (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P (zdania A2 i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P||~>K w logice dodatniej (bo K) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~P i P:
A2B2:~P|~>K=(A2:~P~>K)*~(B2:~P=>K)=1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~P
A1B1: P|=>~K=(A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K)=1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie P
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P||~>K w logice dodatniej (bo K) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P||=>~K w logice ujemnej (bo ~K) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>~q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy skupiając się na zbiorach wyjściowych wyznaczanych w poszczególnych liniach:
Kod:

A1:  P=>~K = P*~K=P=[pies]       - bo P jest podzbiorem => ~K
A1’: P~~>K = P* K=0              - bo P=[pies] i K=[kot] są rozłączne
A2: ~P~> K =~P* K=K=[kot]        - bo ~P jest nadzbiorem ~> K
B2’:~P~~>~K=~P*~K=[słoń, wąż..] - wyznaczony zbiór

Doskonale tu widać, że spełniona jest definicja implikacji prostej P|=>~K dzieląca dziedzinę ZWZ na trzy zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny ZWZ
A1: P=[pies]
A2: K=[kot]
B2’: [słoń, wąż ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem P[pies] i K=[kot]
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 19:04, 24 Paź 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 11:53, 26 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q


Spis treści
5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q 1
5.1. Implikacja odwrotna p|~>q 2
5.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 6
5.1.2 Matematyczne związki implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q 8
5.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~> 9
5.1.4 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej p|~>q 12
5.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 14
5.2.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 15
5.2.2 Odtworzenie implikacji odwrotnej p|~>q z definicji ~~> 17
5.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q 22


5.0 Operatory implikacyjne - implikacja odwrotna p||~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


W logice matematycznej rozróżniamy 5 różnych na mocy definicji operatorów implikacyjnych dających odpowiedzi na pytania o p i ~p:
1.
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
2.
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q

Operator implikacji odwrotnej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
3.
p|<=>q - operator równoważności p<=>q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
RA2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p
4.
p|$q - operator „albo”($) p$q

Operator „albo”($) p|$q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
AA1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
AA2B2: ~p$~q=(A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
5.
p||~~>q - operator chaosu p|~~>q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
CA1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p
CA2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~(0)*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

5.1. Implikacja odwrotna p|~>q

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q = p*~q

Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q)=p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = A3B3: q|=>p = A4B4: ~q|~>~p = p*~q
Gdzie:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =p*~q
A3B3: q|=>p = ~(A3: q~>p)*(B3: q=>p) =p*~q
A4B4: ~q|~>~p=~(A4: ~q=>~p)*(B4:~q~>~p) =p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).

IP-
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q (B2) i jednocześnie ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q (B1)

Na mocy prawa Sowy zachodzi tożsamość logiczna „=”:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = A3B3: q|=>p = A4B4: ~q|~>~p = p*~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Najprostszy dowód prawa Sowy wynika z praw logiki matematycznej: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.

Przykładowy dowód:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q
Na mocy definicji mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p|=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Dowód tożsamości pozostałych kolumn pozostawiam czytelnikowi.

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Z prawa Sowy wynika, iż zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|~>q = A2B2:~p|=>~q = A1B1|A2B2: p||~>q = A2B2|A1B1:~p||=>~q

Powyższa tożsamość logiczna oznacza że:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu tej tożsamości logicznej (na przykład):
A1B1: p|~>q
jest potrzebne ~> i wystarczające => dla dowodu prawdziwości obu operatorów implikacyjnych, czyli obu układów równań logicznych A1B1|A2B2 i A2B2|A1B1:
A1B1|A2B2: p||~>q = A2B2|A1B1:~p||=>~q

5.1.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania B1 i A1’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1).
Mówi o tym zdanie B2

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję logicznie tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

5.1.2 Matematyczne związki implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q

IP
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
Y = (p|=>q) = ~p*q

##

IO:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
Y = (p|~>q) = p*~q

Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Zapiszmy matematyczne relacje między implikacją prostą p|=>q a implikacją odwrotną p|~>q w tabeli prawdy.
Kod:

IP: Implikacja prosta p|=>q  ## IO: Implikacja odwrotna p|~>q
 Y = (p|=>q)=~p*q            ##  Y= (p|~>q)=p*~q
 #                           ##  #
~Y =~(p|=>q)=p+~q            ## ~Y=~(p|~>q)=~p+q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Doskonale widać, iż definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd

5.1.3 Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q przedstawioną wyżej:
Kod:

T1:
Analiza symboliczna                              |Co w logice
operatora implikacji odwrotnej p||~>q            |jedynek oznacza
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =0
B1: p~>q =1
A1B1:  p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
B1:  p~> q =1 - p jest konieczne ~> dla q        |( p=1)~> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być 1  |( p=1)~~>(~q=1)=1
Kolumna A2B2:
A2: ~p~>~q =0
B2: ~p=>~q =1
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p wystarcza => dla ~q   |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być 0  |(~p=1)~~>( q=1)=0
     a   b  c                                       d        e    f

Z tabeli T1 możemy wyprowadzić zero-jedynkową definicję warunku koniecznego B1: p~>q kodując analizę symboliczną względem linii B1, albo zero-jedynkową definicję warunku wystarczającego B2:~p=>~q kodując analizę symboliczną względem linii B2

Przyjmijmy za punkt odniesienia warunek konieczny ~> widoczny w linii B1:
B1: p~>q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie nam potrzebne do wygenerowania zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego to:
(~x=1)=(x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B1 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2:
Definicja zero-jedynkowa warunku koniecznego B1: p~>q
w logice dodatniej (bo q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B1: p~>q          |definicja ~>
              |                  |                  | p  q  B1: p~>q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~>1      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~>0      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0~>0      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~>1      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |(~p=1)=( p=0)     |
                                 |(~q=1)=( q=0)     |

Nagłówek B1: p~>q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B1: p~>q w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że w tabeli T1 mamy również warunek wystarczający => widniejący w linii B2.
Przyjmijmy za punkt odniesienia linię B2 i wygenerujmy tabelę zero-jedynkową warunku wystarczającego =>:
B2:~p=>~q =1
Jedyne prawo Prosiaczka jakie będzie tu nam potrzebne to:
(x=1)=(~x=0)
bo zgodnie z przyjętym punktem odniesienia B2 wszystkie sygnały musimy sprowadzić do postaci zanegowanej (bo ~x).
Kod:

T3:
Definicja zero-jedynkowa warunku wystarczającego B2:~p=>~q
w logice ujemnej (bo ~q)
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla     |Zero-jedynkowa
symboliczna   |jedynek oznacza   |B2:~p=>~q         |definicja =>
              |                  |                  |~p ~q B2: ~p=>~q
B1:  p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0=>0      =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0=>1      =1
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=>1      =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1=>0      =0
     a   b  c    d        e    f    g        h    i   1  2       3
                                 |Prawa Prosiaczka  |
                                 |( p=1)=(~p=0)     |
                                 |( q=1)=(~q=0)     |

Nagłówek B2: ~p=>~q w kolumnie wynikowej 3 w tabeli zero-jedynkowej 123 wskazuje linię B2 w tabeli symbolicznej abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Tabela zero-jedynkowa 123 nosi nazwę zero-jedynkowej definicji warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego.

Zauważmy, że analiza symboliczna (abc) w tabelach T2 i T3 jest identyczna, dzięki czemu z tożsamości kolumn wynikowych 3 w tabelach T2 i T3 wnioskujemy o zachodzącym prawie Kubusia.
Prawo Kubusia:
T2: p~>q = T3: ~p=>~q

Dokładnie ten sam dowód możemy wykonać w rachunku zero-jedynkowym korzystając z zero-jedynkowej definicji warunku koniecznego ~> (T2: 123) i wystarczającego => (T3: 123).
Oto on:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
   p  q  p~>q
A: 1~>1  =1
B: 1~>0  =1
C: 0~>0  =1
D: 0~>1  =0

Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
   p  q  p=>q
A: 1=>1  =1
B: 1=>0  =0
C: 0=>0  =1
D: 0=>1  =1

Stąd mamy:
Kod:

T4
Dowód prawa Kubusia w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0
     1  2   3    4  5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

Prawo Kubusia można też dowieść przy pomocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku koniecznego p~>q:
p~>q = p+~q
Definicja warunku wystarczającego p=>q:
p=>q = ~p+q

Stąd mamy:
~p=>~q = ~(~p)+~q = p+~q = p~>q
cnd

Prawo Kubusia to tożsamość logiczna „=”:
p~>q = ~p=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p~>q = ~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=”wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej „=” jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa Kubusia wyżej w następujący sposób.
Kod:

Dowód zero-jedynkowy prawa Kubusia:
p~>q <=> ~p=>~q
     p  q  p~>q ~p ~q ~p=>~q (p~>q)<=>(~p=>~q)
B1:  1~>1  =1    0=>0   =1          1
A1’: 1~>0  =1    0=>1   =1          1
B2:  0~>0  =1    1=>1   =1          1
B2’: 0~>1  =0    1=>0   =0          1
     1  2   3    4  5    6          7

Same jedynki w kolumnie 7 również są dowodem formalnym poprawności prawa Kubusia:
p~>q = ~p=>~q

5.1.4 Zmienne związane i zmienne wolne w implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja zmiennej związanej:
W dowolnym spójniku implikacyjnym definiowanym zdaniami „Jeśli p to q” zmienne związane wynikają z praw Kubusia

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Definicja zmiennej wolnej:
W dowolnym spójniku implikacyjnym definiowanym zdaniami „Jeśli p to q” zmienne wolne to prawdziwe kontrprzykłady.

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = p*~q

Co oznacza ta tajemnicza definicja?

Weźmy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Zmienne związane w implikacji odwrotnej p|~>q wynikają z prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Zmienna wolna w p|~>q to prawdziwy kontrprzykład A1’: p~~>~q=p*~q=1

       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Zauważmy że:
1.
W interesującym nas obszarze A1B1 i A2B2 definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) wskazuje jedyny kontrprzykład prawdziwy A1’ w tym obszarze
A1’: p~~>~q =1
2.
Prawdziwy kontrprzykład A1’ wymusza fałszywość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =0
3.
Na mocy prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość warunku koniecznego A2:
A2: ~p=>~q =0
4.
Z kluczowej informacji, iż w obszarze A1B1 i A2B2 występuje jedyny prawdziwy kontrprzykład A1’ wynika i drugi tu możliwy kontrprzykład B2’ musi być fałszem
B2’: ~p~~>q =0
5.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’ wynika prawdziwość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie)
B2: ~p=>~q =1
6.
Na mocy prawa Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwy warunek konieczny B1
B1: p~>q =1

Podsumowując:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = p*~q
Jak widzimy, na podstawie powyższej definicji bez problemu odtworzyliśmy definicję implikacji odwrotnej p|~>q (tabela IO) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”.

5.2 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Przedstawione wyżej zastrzeżenia dowodzimy w dwóch krokach.

Krok 1.
Dlaczego dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p i q?

Dla zbiorów tożsamych p=q mielibyśmy:
A1: p=>q =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>q =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Otrzymana sprzeczność z definicją implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach jest dowodem, iż zbiory p i q nie mogą być tożsame.
Stąd mamy pierwszą część definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)

Krok 2.
Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?

Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q
D = p+q =p - bo na mocy definicji p|~>q zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Wtedy mamy:
~p=[D-p] = [p-p] =[] =0
Oznacza to że pojęcie ~p jest dla nas zbiorem pustym.

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] =[asegft, uaytfds…]
Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach.

Stąd mamy:
IO
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

5.2.1 Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Kod:

D2
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     q                     |                    ~q                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p     A1: p=>q=0                       |   ~p                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|     B1: p~>q=1    (p*q=1) | p~~>~q = p*~q  | B2: ~p=>~q   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|           ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty                             |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q                                  |
----------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem =>q
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
p|~>q= ~(A1:p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1=1*1=1
A2B2:
A2:~p~>~q=0 - zbiór ~p nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~q
B2:~p=>~q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
~p|~>~q= ~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1

II.
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =0 - zbiór q nie jest (=0) nadzbiorem ~> p
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
q|=>p= ~(A3: q~>p)*(B3:~q=>~p)=~(0)*1=1*1=1
A4B4:
A4:~q=>~p=0 - zbiór ~q nie jest (=0) podzbiorem => ~p
B4:~q~>~p=1 - zbiór ~q jest (=1) nadzbiorem ~> ~p
~q|~>~p= ~(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=~(0)*1=1*1=1
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Z diagramu D2 odczytujemy:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zbiory:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, co widać na diagramie D2.

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Widać to doskonale na diagramie D2

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2

Z diagramu D2 odczytujemy:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zbiory:
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q, co widać na diagramie D2

Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zbiory:
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Potwierdza to diagram D2.

5.2.2 Odtworzenie implikacji odwrotnej p|~>q z definicji ~~>

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Na mocy prawa Sowy, jeśli odtworzymy definicję implikacji odwrotnej p|~>q to automatycznie odtworzymy definicję operatora implikacji odwrotnej p||~>q

Weźmy diagram implikacji prostej w odwrotnej p|~>q w zbiorach wyżej zapisany.
Kod:

D2’
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     q                     |                    ~q                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p     A1: p=>q=0                       |   ~p                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|     B1: p~>q=1    (p*q=1) | p~~>~q = p*~q  | B2: ~p=>~q   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|           ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty                             |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q                                  |
|--------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
| Operator implikacji odwrotnej p||~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)|
----------------------------------------------------------------------
| Ya=p~~>q=p*q              |Yb=p~~>~q=p*~q  |Yc=~p~~>~q=~p*~q       |
----------------------------------------------------------------------
|                        ~Yd=~p~~>q=~p*q (zbiór pusty!)              |
----------------------------------------------------------------------

Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>

Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy tu jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.

Stąd mamy tabelę prawdy operatora implikacji odwrotnej p||~>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Implikacja p|~>q      |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D2’ odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =1  0 |( p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0  1 |(~p=1)~~>( q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny ~p i q

Między funkcjami logicznymi Y i ~Y zachodzi relacja spójnika „albo”($).
Dowód:
Definicja spójnika „albo”($)
p$q =p*~q + ~p*q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y$~Y = Y*~(~Y) + ~Y*(~Y) = Y*Y + ~Y*~Y =Y+~Y =1

Oczywiście relacja równoważności p<=>q definiująca tożsamość zbiorów/pojęć p=q musi tu być fałszem.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q wyrażona spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Podstawmy:
p=Y
q=~Y
stąd:
Y<=>~Y = Y*(~Y) + ~Y*~(~Y) = Y*~Y + ~Y*Y = []+[] =0
cnd

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T2.
Implikacja odwrotna p|~>q
definiowana elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
B1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =1 - istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
B2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =0 - nie istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i q

Kluczowym punktem zaczepienia do przejścia z tabelą T2 do tabeli tożsamej T3 opisującej implikację odwrotną p|~>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> będzie definicja kontrprzykładu w zbiorach działająca wyłącznie w obszarze warunku wystarczającego =>.

Dodatkowo potrzebne nam będą prawa Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
##
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q

Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony.

Z powyższego wynika, że mając udowodnioną prawdziwość warunku koniecznego ~> B1:
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
nie musimy udowadniać prawdziwości warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
bowiem gwarantuje nam to prawo Kubusia, prawo rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T2 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
2.
Prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Stąd:
Prawdziwość warunku wystarczającego B2:
B2: ~p=>~q =1
wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 (i odwrotnie):
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T3.
Kod:

T3.
Operator implikacji odwrotnej p||~>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
B1:  p~>q   =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
A1’: p~~>~q =1 - istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
B2: ~p=>~q  =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2’:~p~~> q =0 - kontrprzykład dla B2’ musi być fałszem

Analiza tabeli prawdy T2 - część II
3.
Prawdziwość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =0
4.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
stąd:
Fałszywość warunku wystarczającego A1:
A1: p=>q =0
wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~p~>~q =0

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T4
Kod:

T4.
Implikacji odwrotna p|~>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
B1:  p~>q   =1 | A1: p=>q =0
A1’: p~~>~q =1
B2: ~p=>~q  =1 | A2:~p~>~q =0
B2’:~p~~> q =0

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Stąd mamy:
Linia B1A1:
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

Zdefiniowawszy implikację odwrotną p|~>q w zbiorach możemy ją podstawić do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Stąd mamy to, co już doskonale znamy:

Definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o p i ~p.

Szczegółową analizę operatora implikacji odwrotnej p||~>q znajdziemy w punkcie 5.1.1

5.3 Dziedzina matematyczna i fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1

Weźmy diagram implikacji prostej w zbiorach opisany definicją elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Kod:

D2’
Diagram implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     q                     |                    ~q                  |
|---------------------------|----------------------------------------|
|     p     A1: p=>q=0                       |   ~p                  |
|--------------------------------------------|-----------------------|
|     B1: p~>q=1    (p*q=1) |A1’: p~~>~q=p*~q| B2: ~p=>~q   (~p*~q=1)|
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: D =p*q+p*~q+~p*~q (suma logiczna zbiorów niepustych)    |
|           ~p~~>q=~p*q=[] - zbiór pusty                             |
|--------------------------------------------------------------------|
|Diagram implikacji odwrotnej p|~>q                                  |
|--------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
| Operator implikacji odwrotnej p||~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)|
----------------------------------------------------------------------
| Ya=p~~>q=p*q              |Yb=p~~>~q=p*~q  |Yc=~p~~>~q=~p*~q       |
----------------------------------------------------------------------
|                        ~Yd=~p~~>q=~p*q (zbiór pusty!)              |
----------------------------------------------------------------------


Spójniki iloczynu logicznego zbiorów „i”(*) oraz sumy logicznej zbiorów „lub”(+) z definicji nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też nadzbioru ~> między dowolnymi dwoma zbiorami p i q.

Wniosek:
W opisie dowolnego diagramu w zbiorach wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) chodzi tylko i wyłącznie o spełnienie lub nie spełnienie definicji elementu wspólnego zbiorów ~~>.

Stąd mamy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1.
Implikacja p|~>q      |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                 Y   Z diagramu D2’ odczytujemy:
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =1  0 |( p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1) =1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~> q=~p* q =0  1 |(~p=1)~~>( q=1) =0 - nie istnieje el. wspólny ~p i q


Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna DM jest identyczna dla wszelkich operatorów logicznych wyrażonych funkcjami logicznymi Y i ~Y, to suma logiczna Y+~Y
Gdzie:
Y - zdarzenia możliwe (zbiory niepuste)
~Y - zdarzenia niemożliwe (zbiory puste)
DM = Y+~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych Y
D = Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q

Prawo dziedziny w implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q dzieli dziedzinę fizyczną D na trzy zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny

Dowód iż zbiory A, B i C są rozłączne jest na gruncie algebry Kubusia trywialny, badamy po prostu iloczyny logiczne wszystkich możliwych kombinacji zbiorów A, B i C.
A: (p*q)
B: (p*~q)
C: (~p*~q)
Wszystkie możliwe kombinacje iloczynów logicznych to:
1: A*B = (p*q)*(p*~q) =(p*p)*(q*~q) =[] =0 - zbiory A i B są rozłączne
2: A*C = (p*q)*(~p*~q( = (p*~p)*(q*~q) =[] =0 - zbiory A I C są rozłączne
3: B*C = (p*~q)*(~p*~q) = (p*~p)*~q =[]*~q =[] =0 - zbiory C i D są rozłączne
Szczegóły dowodu 3:
3: B*C = (p*~q)*(~p*~q) = (p*~p)*~q =[]*~q =[] =0 - zbiory C i D są rozłączne
Iloczyn logiczny zbiorów p i ~p jest zbiorem pustym [].
Jeśli wszystkie elementy zbioru ~q przeiterujemy zbiorem [] pustym to wynikiem będzie zbiór pusty bez względu na to ile elementów jest w zbiorze ~q (może być nawet nieskończenie wiele).
Podstawa matematyczna to prawo algebry Boole’a:
x*[] = x*0 = 0 - obojętnie co ten x zawiera
cnd

Zobaczmy jak bajecznie prosta i piękna jest algebra Kubusia.
Z diagramu D2 odczytujemy matematyczną tożsamość:
~q = p*~q+~p*~q = ~q*(p+~p) = ~q
cnd

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych Y
D = Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q

Dowód iż zbiory A, B i C uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D.
Y = A+B+C
Y = p*q + p*~q + ~p*~q
Y = p*(q+~q)+~p*~q
Y = p + (~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+q) = ~p*p + ~p*q
~Y=~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+~q
Z diagramu D2’ doskonale widać, że suma logiczna zbiorów p+~q stanowi dziedzinę D. W sumie logicznej nie ma znaczenia że część elementów występuje dwa razy, bo takie element redukujemy do jednego prawem algebry Boole’a:
p*p=p

Oczywiście można też obliczyć wszystko dokładnie gdzie nie będzie dublowanych elementów.

Sposób I.
Z diagramu D2 odczytujemy:
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q =1
Doskonale widać, że zbiory A, B i C dzielą dziedzinę fizyczną na trzy zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się do dziedziny.

Sposób II.
Zapiszmy diagram implikacji prostej p|=>q w znaczkach =>, ~> i ~~>:
Kod:

Z diagramu D2’ mamy
Operator implikacji odwrotnej p||~>q
w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
B1:  p~>q   =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> q
A1’: p~~>~q =1 - istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
B2: ~p=>~q  =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2’:~p~~> q =0 - kontrprzykład dla B2’ musi być fałszem

B1: p~>q = p*q =q - bo p jest nadzbiorem ~> zbioru q
A1’: p~~>~q = p*~q
B2: ~p=>~q = ~p*~q = ~p - bo ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Z diagramu D2’ widzimy, iż musimy udowodnić że:
Y = (A1’+B2) = ~q
Dowód:
Y = A1’: p*~q + B2: ~p*~q
Y = ~q*(p+~p) - bo p+~p=1
Y = ~q
Stąd mamy:
(A1’+B2): ~q + B1: q = ~q+q =1
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 10:35, 01 Sty 2022, w całości zmieniany 9 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 13:26, 26 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
5.4 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q dla przedszkolaków

Spis treści
5.4 Minimalna ilość elementów w implikacji odwrotnej p|~>q 1
5.5 Implikacja odwrotna w zdarzeniach CH|~>P w przedszkolu 4
5.5.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P 8
5.6 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu 9
5.6.1 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach w przedszkolu 12
5.7 Alternatywne dojście do implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach 14
5.7.1 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach 17
5.7.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach 18



5.4 Minimalna ilość elementów w implikacji odwrotnej p|~>q

Zastanówmy się ile różnych elementów musi liczyć dziedzina, aby dało się na niej zbudować implikację odwrotną p|~>q.

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotne p|~>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q

Z definicji implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach wynika, że najmniejsza liczba elementów potrzebnych do jej zbudowania to trzy elementy.
Zdefiniujmy trzy, różne na mocy definicji elementy których będziemy używać.
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zbudujmy zbiory p i q spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
p=[K+T]
q=[K]
Dziedzina:
D=[K+T+P]
stąd mamy niepuste przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do wspólnej dziedziny D:
~p=[D-p]=[K+T+P-[K+T]]=[P]
~q=[D-q]=[K+T+P-K]=[T+P]
Podsumujmy:
p=[K+T], ~p=[P]
q=[K], ~q=[T+P]
Zapiszmy diagram implikacji odwrotnej p|~>q dla powyższych elementów.
Kod:

D2
Diagram implikacji odwrotnej p||~>q w zbiorach
-----------------------------------------------------------------------
|  p=[K+T], ~p=[P]                                                    |
|  q=[K],   ~q=[T+P]                                                  |
-----------------------------------------------------------------------
|     q=[K]                 |                     ~q=[T+P]            |
|---------------------------|-----------------------------------------|
|     p=[K+T]                                 |   ~p=[P]              |
|---------------------------------------------|-----------------------|
|     p=[K+T]~>q=[K]=1      |p~~>~q=p*~q=[T]  | ~p=[P]=>~q=[T+P]=1    |
|     p=[K+T]=>q=[K]=0      |                 | ~p=[P]~>~q=[T+P]=0    |
-----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina fizyczna: D =p*q+~p*~q+p*~q (suma zbiorów niepustych)     |
|                     ~p~~>q=~p*q=[P]*[K]=[] - zbiór pusty            |
-----------------------------------------------------------------------

Doskonale widać, że w diagramie D2 spełniona jest definicji implikacji odwrotnej p|~>q, a tym samym definicja operatora implikacji odwrotnej p||~>q.

Zapiszmy pełny diagram implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Nasze zbiory na których operujemy to:
p=[K+T], ~p=[P]
q=[K], ~q=[T+P]

Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:
Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:

1.
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Z diagramu D2 odczytujemy:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Sprawdzamy:
p=[K+T] ~> q=[K] =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór p=[K+T] jest nadzbiorem ~> zbioru q=[K]
cnd

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q
Sprawdzenie:
p=[K+T] ~~> ~q=[T+P] = [K+T]*[T+P] =[T]=1
Istnieje element wspólny zbiorów p i ~q, to Tygrysek (T)
Zauważmy, że miedzy p i ~q nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~>
Dowód:
p=[K+T] => ~q=[T+P] =0 - zbiór p=[K+T] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q=[T+P]
cnd
p=[K+T] ~> ~q=[T+P] =0 - zbiór p=[K+T] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~q=[T+P]
cnd

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1) - mówi o tym zdanie B2

Z diagramu D2 odczytujemy:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Sprawdzenie:
~p=[P] => ~q=[T+P] =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór ~p=[P] jest podzbiorem => zbioru ~q=[T+P]

Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q
Sprawdzenie:
~p=[P] ~~> q=[K] = [P]*[K] =[] =0
Zbiór jednoelementowy Prosiaczek (P) jest rozłączny ze zbiorem jednoelementowym Kubuś (K)
cnd

Jak widzimy wszystko tu pięknie gra i buczy, a zabawę z implikacją odwrotną p|~>q można zacząć w przedszkolu dysponując trzema pluszowymi dowolnie powielonymi (bo p=p*p) zabawkami:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek

5.5 Implikacja odwrotna w zdarzeniach CH|~>P w przedszkolu

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Każdy jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
Dokonaj analizy matematycznej tego operatora

Mamy do analizy zdanie:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH) są konieczne ~> dla padania (P) bo padać może wyłącznie z chmurki
Innymi słowy:
Chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie lada (~P=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny zdania B1 (nasz punkt odniesienia) to:
B1: p=>q =1
p=CH=[chmury]
q=P=[pada]
B1: CH~>P =1

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek konieczny B1: CH~>P musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: CH=>P między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

A1.
Jeśli juro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada.

IO.
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Nasz przykład:
IO.
Implikacja odwrotna CH|~>P w logice dodatniej (bo P):

Implikacja odwrotna CH|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P)
bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
B1: CH~>P =1 - chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1)
bo zabieram chmury (~CH=1) wykluczając padanie (~P=1)
A1B1:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna CH|~>P jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy padanie jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur (B1) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (A1)

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym {CH,P}:
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w zapisie aktualnym:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P)=~(0)*1=1
       A1B1:          A2B2:        |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q  =0   [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: CH=>P  =0 = 2:~CH~>~P =0   [=] 3: P~>CH  =0  = 4:~P=>~CH =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: CH~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>CH =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~> q  =1 = 2:~p=>~q  =1   [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: CH~>P  =1 = 2:~CH=>~P =1   [=] 3: P=>CH  =1  = 4:~P~>~CH =1
B’:              = 2:~p~~>q  =0   [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~CH~~>P =0   [=] 3: P~~>~CH=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

Uwaga:
Tabela IO zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q”, zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji odwrotnej p|~>q.
Zdania w tabeli IO mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IO.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?

Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o CH i ~CH:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - co się stanie jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~CH i CH:
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - co się stanie jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?

5.5.1 Operator implikacji odwrotnej CH||~>P

Operator implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o CH i ~CH:
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - co się stanie jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (CH=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Kolumna A1B1 to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: CH~>P = B2: ~CH=>~P

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego A1: CH=>P=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’
A1’.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać (~P=1)
CH~~>~P = CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH=1) i nie pada (~P=1)
Czytamy:
CH=1 - prawdą jest (=1) że są chmury (CH)
~P=1 - prawdą jest (=1) że nie pada (~P)

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~CH~>~P =0 - brak chmur nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie padania
B2: ~CH=>~P =1 - brak chmur jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) =~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż nie będzie padało (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

Kolumna A2B2 to odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby jutro nie padało (~P=1) bo zawsze gdy nie ma chmur, nie pada.
Brak chmur (~CH=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
Czytamy:
~CH=1 - prawdą jest (=1), że nie ma chmur (~CH)
P=1 - prawdą jest (=1), że pada

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej CH||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie CH (są chmury) i gwarancja matematyczna po stronie ~CH (nie ma chmur) co widać w powyższej analizie.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~CH||=>~P to układ równań logicznych:
A2B2: ~CH|=>~P = ~(A2: ~CH~>~P)*(B2:~CH=>~P) - co się stanie jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1)?
A1B1: CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) - co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (CH=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~CH||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej CH||~>P w logice dodatniej (bo P) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

5.6 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach w przedszkolu

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Zadanie matematyczne w 100-milowym lesie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Zapisz szczegółową analizę tego operatora

Rozwiązanie:
Nasze zdanie wejściowe (punkt odniesienia) to:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
Bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P

Na mocy prawa Kłapouchego zapis formalny zdania B1 to:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
B1: 4L~>P =1 - bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest nadzbiorem ~> zbioru jednoelementowego P=[pies]

Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi warunek konieczny B1: 4L~>P musimy zbadać prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego A1: 4L=>P między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

Warunek konieczny B1 definiuje nam dwa zbiory:
Poprzednik p:
4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt z czterema łapami.
Następnik q:
P=[pies] - zbiór jednoelementowy pies

Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zaprzeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnia do wspólnej dziedziny ZWZ:
~4L=[ZWZ-4L] = [kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem zwierząt z czterema łapami
~P=[ZWZ-P] =[słoń, kura ..] =1 - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
Gdzie:
[słoń] - jest przedstawicielem zwierząt nie będących psami które mają cztery łapy
[kura] - jest przedstawicielem zwierząt nie mających czterech łap

Badamy teraz czy spełniony jest warunek wystarczający A1: 4L=>P=?
A1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to na 100% => jest psem (P=1)
4L=>P =0
Bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego aby być psem (P=1) bo zbiór 4L=[pies, słoń..] nie jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego P=[pies].

Dopiero w tym momencie, po udowodnieniu prawdziwości zdania B1: 4L~>P=1 i fałszywości zdania A1: 4L=>P=0 mamy rozstrzygnięcie iż oba te zdania należą do implikacji odwrotnej 4L|~>P

Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: 4L=>P =0 - bycie zwierzęciem z czterema łapami nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
do tego by być psem, bo nie wszystkie zwierzęta mające cztery łapy, są psami
B1: 4L~>P =1 - bycie zwierzęciem z czterema łapami (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego,
aby być psem (P=1), bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% =>
nie jest się psem (~P=1).
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P
Stąd:
A1B1: 4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1 =1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna 4L|~>P jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy posiadanie czterech łap jest (=1) warunkiem koniecznym ~> by być psem (B1) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by być psem (A1).

Podstawmy nasze zdania A1: 4L=>P=0 i B1: 4L~>P=1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej 4L|~>P
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {4L,P}
A1: 4L=>P =0 - posiadanie 4 łap nie jest (=0) wystarczające => by być psem
B1: 4L~>P =1 - posiadanie 4 łap jest  (=1) konieczne ~> by być psem
A1B1: 4L|~>P= ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: 4L=>P  =0 = 2:~4L~>~P=1    [=] 3: P~>4L  =0  = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: 4L~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>4L =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: 4L~>P  =1 = 2:~4L=>~P=1    [=] 3: P=>4L  =1  = 4:~P~>~4L =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~4L~~>P=0    [=] 3: P~~>~4L=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

Na mocy prawa Sowy, jeśli mamy definicję implikacji odwrotnej 4L|~>P to automatycznie mamy definicję operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P

5.6.1 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach w przedszkolu

Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w logice dodatniej (bo P) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytania o 4L i ~4L:
A1B1: 4L|~>P =~(A1: 4L=> P)* (B1: 4L~>P) - co się stanie jeśli wylosujemy zwierzę z 4 łapami (4L)?
A2B2:~4L|=>~P =~(A2:~4L~>~P)* (B2:~4L=>~P) - co się stanie jeśli wylosujemy zwierzę ~4L?
A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: 4L=>P =0 - bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
B1: 4L~>P =1 - bo zbiór 4L=[pies, słoń ..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P=[pies]
A1B1: 4L|=>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę mające cztery łapy (4L=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe B1 i A1’

Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery lapy (4L=1) to może ~> być psem (P=1)
4L~>P =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Posiadanie czterech łap (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> aby być psem (P=1) bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2: ~4L=>~P

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1: 4L=>P=0 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ i odwrotnie
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
To samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =1
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów: 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] np. słoń
Zauważmy, że między zbiorami 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura ..] nie zachodzi ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> w obie strony.
Dowód:
4L=[pies, słoń ..] ~> ~P=[słoń, kura ..] =0 - bo zbiór 4L nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~P (bo kura)
4L=[pies, słoń ..] => ~P=[słoń, kura ..] =0 - bo zbiór 4L nie jest podzbiorem => zbioru ~P (bo pies)
cnd

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~4L~>~P =0 - bo zbiór ~4L=[kura..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~P=[słoń, kura..]
B2: ~4L=>~P =1 - bo zbiór ~4L=[kura..] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~P=[słoń, kura..]
A2B2: ~4L|=>~P = ~(A2: ~4L~>~P)*(B2: ~4L=>~P) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru wszystkich zwierząt (ZWZ) wylosujemy zwierzę nie mające czterech łap (~4L=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż wylosowane zwierzę nie będzie psem (~P=1) - mówi o tym zdanie B2.

Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest psem (~P=1)
~4L=>~P =1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
U dowolnego zwierzęcia brak czterech łap (~4L=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania iż nie jest to pies (~P=1), bo zbiór zwierząt nie mających czterech łap ~4L=[kura..] jest podzbiorem zbioru „nie pies” ~P=[słoń, kura..]
U dowolnego zwierzęcia brak czterech łap (~4L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jest to pies (~P=1)
Zachodzi tożsamość matematyczna pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = gwarancja matematyczna =>
Zauważmy, że prawdziwości zdania B2 nie musimy dowodzić bo wynika ona z prawa Kubusia:
B2:~4L=>~P = B1: 4L~>P

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie
Sprawdzenie:
B2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie istnieje (=0) element wspólny ~~> zbiorów: ~4L=[kura..] i P=[pies], bo zbiory te są rozłączne.

Podsumowanie:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie 4L (zdania B1 i A1’) oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~4L (zdanie B2)
Doskonale to widać w analizie wyżej.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~4L||=>~P to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~4L i 4L:
A2B2:~4L|=>~P =~(A2:~4L~>~P)* (B2:~4L=>~P) - co się stanie jeśli wylosujemy zwierzę ~4L?
A1B1: 4L|~>P =~(A1: 4L=> P)* (B1: 4L~>P) - co się stanie jeśli wylosujemy zwierzę z 4 łapami (4L)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~4L||=>~P w logice ujemnej (bo ~P) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P w logice dodatniej (bo P) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

5.7 Alternatywne dojście do implikacji odwrotnej 4L|~>P w zbiorach

Udajmy się do przedszkola, do naszych ekspertów logiki matematycznej, algebry Kubusia.

Pani w przedszkolu:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i będzie to pies (P=1)?
Jaś (lat 5): TAK, bo pies
Stąd:
B1.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
4L~~>P = 4L*P =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów 4L=[pies, słoń ..] i P=[pies] jest spełniona (bo pies).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A1 kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jednego pieska który ma cztery łapy.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i nie będzie to pies (~P=1)?
Jaś: TAK, np. słoń
Stąd:
A1’.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy (4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
4L~~>~P = 4L*~P =1
Dla udowodnienia prawdziwości zdania kodowanego elementem wspólnym zbiorów ~~> wystarczy pokazać jedno dowolne zwierzę które ma cztery łapy (4L=1) i nie jest psem (~P=1) np. słoń

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie będzie to pies (~P=1)?
Jaś: TAK np. kura
Stąd:
B2.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> nie być psem (~P=1)
~4L~~>~P = ~4L*~P =1
Istnieje zwierzę (=1) które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie jest psem (~P=1).
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A2 wystarczy pokazać jedno zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i nie jest psem (~P=1) np. kurę
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona bo zbiory ~4L=[kura..] i ~P=[słoń, kura ..] mają co najmniej jeden element wspólny np. kurę.

Pani:
Czy może się zdarzyć, że ze zbioru wszystkich zwierząt ZWZ wylosujemy zwierzę które nie ma czterech łap (~4L=1) i będzie to pies (P=1)?
Jaś: NIE, bo wszystkie psy mają cztery łapy
stąd:
A2’.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap (~4L=1) to może ~~> być psem (P=1)
~4L~~>P = ~4L*P =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory ~4L=[kura ..] i zbiór jednoelementowy P=[pies] są rozłączne, zatem nie mają elementu wspólnego.

Zapiszmy dialog pani z Jasiem w tabeli prawdy:
Kod:

T1           Y ~Y   Odpowiedzi dla Y:
B1:  4L~~>P =1  0 - zbiory 4L=[pies, słoń.] i P=[pies] mają el. wspólny
A1’: 4L~~>~P=1  0 - 4L=[pies, słoń.] i ~P=[słoń, kura.] mają el. wspólny
B2: ~4L~~>~P=1  0 - ~4L=[kura..] i ~P=[słoń, kura..] mają el. wspólny
B2’:~4L~~>P =0  1 - ~4L=[kura..] i P=[pies] nie mają (=0) el. wspólnego

Kluczową definicją umożliwiającą przejście z dialogu pani przedszkolanki do definicji operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P jest definicja kontrprzykładu w zbiorach.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym ~~> zbiorów: p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

W zbiorach zachodzą tożsamości pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Analiza tabeli T1 - część I
1.
Z fałszywości kontrprzykładu B2’:
B2’:~4L~~>P=0
wynika prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~4L=>~P =1 - brak czterech łap jest (=1) warunkiem wystarczającym => by nie być psem, bo wszystkie psy mają cztery łapy.
2.
Prawo Kubusia:
B2:~4L=>~P = B1: 4L~>P =1
Stąd mamy:
Z prawdziwości warunku wystarczającego => B2:
B2: ~4L=>~P =1
wynika prawdziwość warunku koniecznego B1 (i odwrotnie):
B1: 4L~>P =1 - posiadanie czterech łap (4L=1) jest warunkiem koniecznym ~> by być psem (P=1)
bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: 4L~>P = B2:~4L=>~P

Nanieśmy naszą analizę do tabeli prawdy T2.
Kod:

T2.
B1:  4L~> P =1 - cztery łapy (4L=1) są konieczne ~> by być psem (P=1)
A1’: 4L~~>~P=1 - 4L=[pies, słoń ..] i ~P=[słoń, kura..] mają el. wspólny
B2: ~4L=>~P =1 - brak czterech łap jest wystarczający => by nie być psem
B2’:~4L~~> P=0 - kontrprzykład B2’ dla prawdziwego B2 musi być fałszem

Analiza tabeli T1 - część II
3.
Z prawdziwości kontrprzykładu A1’:
A1’: 4L~~>~P =1
wynika fałszywość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: 4L=>P =0 - zbiór 4L=[pies, słoń ..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P=[pies]
4.
Prawo Kubusia:
A1: 4L=>P = A2:~4L~>~P =0
stąd mamy:
Fałszywy warunek wystarczający A1:
A1: 4L=>P =0
wymusza fałszywy warunek konieczny ~> A2 (i odwrotnie):
A2: ~4L~>~P =0 - brak czterech łap nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie bycia psem
bo zbiór ~4L=[kura..] nie jest nadzbiorem ~> ~P=[słoń, kura..]
Na mocy prawa Kubusia nie musimy dowodzić fałszywości zdania A2 w sposób bezpośredni, wystarczy że mamy dowód fałszywości zdania A1.

Nanieśmy część II analizy do tabeli prawdy T3.
Kod:

T3.
B1:  4L~> P =1 | A1: 4L=>P =0
A1’: 4L~~>~P=1
B2: ~4L=>~P =1 | A2:~4L~>~P =0
B2’:~4L~~> P=0

Zauważmy, że w linii B1 zapisaną mamy implikację odwrotną 4L|~>P w logice dodatniej (bo P).

5.7.1 Implikacja odwrotna 4L|~>P w zbiorach

Definicja implikacji odwrotnej 4L|~>P w logice dodatniej (bo P):
Implikacja odwrotna 4L|~>P to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: 4L=>P =0 - cztery łapy nie są (=0) wystarczające => by być psem,
bo można mieć cztery łapy i nie być psem np. słoń
B1: 4L~>P =1 - cztery łapy (4L=1) są (=1) konieczne ~> by być psem (P=1),
bo jak się nie ma czterech łap (~4L=1) to na 100% => nie jest się psem (~P=1)
Stąd:
4L|~>P = ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P) =~(0)*1 =1*1 =1

Pozostaje nam tylko podstawić nasze odkrycie do gotowej tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=4L=[pies, słoń ..] - zbiór zwierząt mających cztery łapy
q=P=[pies] - jednoelementowy zbiór pies
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: 4L=>P =0 - posiadanie 4 łap nie jest (=0) wystarczające => by być psem
B1: 4L~>P =1 - posiadanie 4 łap jest  (=1) konieczne ~> by być psem
A1B1: 4L|~>P= ~(A1: 4L=>P)*(B1: 4L~>P)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:          A2B2:       |      A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p   =0  = 4:~q=>~p  =0
A:  1: 4L=>P  =0 = 2:~4L~>~P=1    [=] 3: P~>4L  =0  = 4:~P=>~4L =0
A’: 1: p~~>~q =1 =                [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: 4L~~>~P=1 =                [=]               = 4:~P~~>4L =1                   
       ##            ##            |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1    [=] 3: q=>p   =1  = 4:~q~>~p  =1
B:  1: 4L~>P  =1 = 2:~4L=>~P=1    [=] 3: P=>4L  =1  = 4:~P~>~4L =1
B’:              = 2:~p~~>q =0    [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~4L~~>P=0    [=] 3: P~~>~4L=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

Na mocy prawa Sowy, jeśli mamy definicję implikacji odwrotnej 4L|~>P to automatycznie mamy definicję operatora implikacji odwrotnej 4L||~>p

5.7.2 Operator implikacji odwrotnej 4L||~>P w zbiorach

Teraz pozostaje nam wykonać skok do punktu 5.6.1 gdzie mamy szczegółową analizę operatora implikacji odwrotnej 4L||~>P.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 16:39, 30 Wrz 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 17:01, 26 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
5.8 Przykłady operatorów implikacji odwrotnej p||~>q dla LO


Spis treści
5.8 Implikacja odwrotna A|~>S w zdarzeniach 1
5.8.1 Operator implikacji odwrotnej A||~>S 4
5.8.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S 6
5.9 Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zbiorach 8
5.9.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 13
5.9.2 Relacje zbiorów niepustych w implikacji odwrotnej p|~>q 14
5.10 Relacje zbiorów niepustych w implikacji odwrotnej p|~>q 15


5.8 Implikacja odwrotna A|~>S w zdarzeniach

Wstęp teoretyczny:
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S2 Schemat 2
             S               W            A
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------


Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Nie, bo nie zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Żarówka zaświeci się wtedy i tylko wtedy gdy dodatkowo przycisk W będzie wciśnięty.
Zauważmy, że pytanie A1 nie dotyczy przycisku W.
Przycisk W jest tu zmienną wolną którą możemy zastać w dowolnej pozycji W=x gdzie x={0,1}
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Wciśnięcie przycisku A nie daje nam (=0) gwarancji matematycznej => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
Tak
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1 (przycisk wciśnięty).
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Przyjmijmy zdanie B1 za punkt odniesienia:
p~>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Nasz punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka)
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
Konieczne dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiona na W=1
cnd

Zauważmy, że zdania A1 i B1 lokalizują nam implikację odwrotną A|~>S.

IO.
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w logice dodatniej (bo S):

Implikacja odwrotna A|~>S to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia się żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
bo dodatkowo musi być wciśnięty przycisk W (W=1)
stąd mamy:
A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna A|~>S jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia żarówki S (B1) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia żarówki S (A1)

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w zapisie aktualnym {A,S}:
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=A (przycisk)
q=S (żarówka)
Definicja implikacji odwrotnej A|~>S w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S= ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) =~(0)*1=1*1=1
       A1B1:          A2B2:      |     A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   =0 = 2:~p~>~q =0  [=] 3: q~>p   =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S   =0 = 2:~A~>~S =0  [=] 3: S~>A   =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q =1 =              [=]              = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: A~~>~S =1 =              [=]              = 4:~S~~>A =1                   
       ##             ##         |     ##            ##
B:  1: p~>q   =1 = 2:~p=>~q =1  [=] 3: q=>p   =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S   =1 = 2:~A=>~S =1  [=] 3: S=>A   =1 = 4:~S~>~A =1
B’:              = 2:~p~~>q =0  [=] 3: q~~>~p =0
B’:              = 2:~A~~>S =0  [=] 3: S~~>~A =0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (A, S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

Uwaga:
Tabela IO zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q”, zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji odwrotnej p|~>q.
Zdania w tabeli IO mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IO.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?

Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|~>S =~(A1: A=> S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
A2B2:~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)* (B2:~A=>~S)- co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~A i A:
A2B2:~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)* (B2:~A=>~S)- co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
A1B1: A|~>S =~(A1: A=> S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?

5.8.1 Operator implikacji odwrotnej A||~>S
Kod:

S2 Schemat 2
             S               W            A
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------


Operator implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 odpowiadający na pytania o A i ~A:
A1B1: A|~>S =~(A1: A=> S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
A2B2:~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)* (B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?


Odpowiedź na to pytanie mamy w kolumnie A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S = ~(A1: A=>S)*(B1: A~>S) = ~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1), koniecznym dlatego, że dodatkowo zmienna wolna W musi być ustawiony na W=1.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S (S=1) bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S

LUB

Fałszywość warunku wystarczającego A1: A=>S=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna W ustawiona jest na W=0.

A2B2
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia S (~S=1)
A2B2: ~A|=>~S = ~(A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =~(0)*1=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1) - mówi o tym zdanie B2.

Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B2.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to na 100% => żarówka nie będzie się świecić (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia S (~S=1), bo zawsze gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zauważmy, że prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wynika z praw fizyczno-matematycznych i nie ma tu potrzeby, wykonywać nieskończonej ilości wciśnięć przycisku A sprawdzając czy za każdym wciśnięciem, żarówka świeci się.
Brak wciśnięcie przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż żarówka nie będzie się świecić (~S=1), bo przyciski A i W połączone są szeregowo.
Stan przycisku W jest tu bez znaczenia W=x gdzie: x={0,1}
Zachodzi tożsamość pojęć:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>

Prawdziwość warunku wystarczającego => B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie).
B2’.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Zauważmy, że przyciski A i W połączone są szeregowo, z czego wynika że:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Stan zmiennej wolnej W jest tu bez znaczenia: W=x gdzie: x={0,1}

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji odwrotnej A||~>S jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie wciśniętego przycisku A (A=1 - zdania B1 i A1’), oraz gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1 - zdanie B2).
Doskonale to widać w powyższej analizie.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 odpowiadający na pytania o ~A i A:
A2B2:~A|=>~S =~(A2:~A~>~S)* (B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli nie wciśniemy A (~A=1)?
A1B1: A|~>S =~(A1: A=> S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli wciśniemy A (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~A||=>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej A||~>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

5.8.2 Wisienka na torcie w operatorze implikacji odwrotnej A||~>S

Wisienką na torcie w implikacji odwrotnej A||~>S jest podstawowy schemat układu realizującego implikację odwrotną A|~>S w zdarzeniach zrealizowany przy pomocy zespołu przycisków (wejście) i żarówki (wyjście).
Kod:

S2 Schemat 2
Fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~>S=~(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=~(0)*1=1*1=1 - zapis aktualny
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - zapis formalny
Punkt odniesienia:
p=A - przycisk A (wejście)
q=S - żarówka S (wyjście)
             S               A            W
       -------------       ______       ______
  -----| Żarówka   |-------o    o-------o    o------
  |    -------------                               |
  |                                                |
______                                             |
 ___    U (źródło napięcia)                        |
  |                                                |
  |                                                |
  --------------------------------------------------
Punkt odniesienia: A1B1: p|~>q = A|~>S
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: W
Istotą implikacji odwrotnej A|~>S jest istnienie zmiennej wolnej W
podłączonej szeregowo z przyciskiem A

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennej wolnej W:
Wyobraźmy sobie dwa pokoje A i B.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, zaś w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W. Oboje widzą dokładnie tą samą żarówkę S. Jaś nie widzi Zuzi, ani Zuzia nie widzi Jasia, ale oboje wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu.
Zarówno Jaś jak i Zuzia dostają do ręki schemat S2, czyli są świadomi, że przycisk którego nie widzą istnieje w układzie S2, tylko nie mają do niego dostępu (zmienna wolna). Oboje są świadomi, że jako istoty żywe mają wolną wolę i mogą wciskać swój przycisk ile dusza zapragnie.
Punktem odniesienia na schemacie S2 jest Jaś siedzący w pokoju A, bowiem w równaniu opisującym układ występuje wyłącznie przycisk A - Jaś nie widzi przycisku W.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Dokładnie z powyższego powodu w stosunku do układu S2 możemy powiedzieć, iż jest to fizyczny układ minimalny implikacji odwrotnej A|~>S

5.9 Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Twierdzenia matematyczne operują wyłącznie na zbiorach nieskończonych, logika matematyczna jest tu identyczna jak opisana wyżej banalna logika zdarzeń, jednak zbiory nieskończone z oczywistych powodów są trudniejsze do analizy.
Niemniej jednak możliwe są operacje na zbiorach nieskończonych zrozumiałe dla ucznia I klasy LO i do takich zbiorów ograniczymy się w wykładzie.

Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne prawdziwe to spełniony warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
inaczej:
p=>q =0 - twierdzenie matematyczne jest fałszywe.

Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>

Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Weźmy do analizy następujące zdanie:
WK.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów jest spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i P8=[8,16,24..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 8.
cnd
To samo zdanie w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
Punkt odniesienia na mocy praw Kłapouchego to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
Poprzednik p mówi tu o zbiorze P2=[2,4,6,8..], zaś następnik q o zbiorze P8=[8,16,24..]
Dla potrzeb dalszej analizy musimy obliczyć przeczenia zabiorów P2 i P8, rozumiane jako uzupełnienia do wspólnej dziedziny.
Przyjmijmy wspólną dziedzinę minimalną LN:
LN=1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Zdanie WK definiuje zbiory:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2 (zbiór liczb parzystych)
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 2 (zbiór liczb nieparzystych)
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8

Matematycznie zachodzi definicja wspólnej dziedziny LN zarówno dla P2 jak i dla P8.
Definicja dziedziny dla P2:
P2+~P2 = LN =1 - zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2 =[] =0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Definicja dziedziny dla P8:
P8+~P8 = LN =1 - zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8 =[] =0 - zbiory P8 i ~P8 są rozłączne

Sprawdźmy czy w zdaniu WK spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to na 100% => jest podzielna przez 8 (P8=1)
P2=>P8 =0
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa Kłapouchego):
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Indeksowanie A1 wymusza tu tabela T0.
Zauważmy bowiem, że w kolumnach A1B1 i A2B2 (tylko te nas interesują na mocy prawa Kłapouchego) warunek wystarczający p=>q mamy wyłącznie na pozycji A1.
cnd

Aby stwierdzić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi nasze zdanie WK musimy zbadać prawdziwość/fałszywość zdania A1 kodowanego warunkiem koniecznym ~>
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
to samo w zapisie formalnym (na mocy prawa Kłapouchego):
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Indeksowanie B1 wynika tu z tabeli T0.

Najprostszy warunek wystarczający zawsze łatwiej się dowodzi.
Zastosujmy zatem prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p - zapis formalny
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Dowodzimy prawdziwości B3.
B3.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…]
Z dowodem prawdziwości zdania B3 ziemski matematyk bez problemu sobie poradzi.
Prawdziwość B3, na mocy prawa Kubusia wymusza prawdziwość B1:
B1: P2~>P8 =1 - podzielność dowolnej liczny przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8
cnd

Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)

Na mocy prawa Kobry, nasze zdanie wejściowe WK kodowane zdarzeniem możliwym ~~> jest częścią warunku koniecznego ~> B1.
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 tworzą definicję implikacji odwrotnej P2|~>P8.

IO.
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8):

Implikacja odwrotna P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 - podzielność liczby przez 2 nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 8
B1: P2~>P8 =1 - podzielność liczby przez 2 jest (=1) konieczna ~> dla jej podzielności przez 8
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: ~P2=>~P8) = ~(0)*1 =1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8 i zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P8

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym {P2,P8}:
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczba podzielnych przez 8
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem P8
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~>P8
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   = 0 = 2:~p~>~q  =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: P2=>P8  =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2  =0 = 4:~P8=>~P2=0
A’: 1: p~~>~q  =1 =              [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: P2~~>~P8=1 =              [=]               = 4:~P8~~>P2=1                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1 [=] 3: q=>p    =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: P2~>P8  =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2  =1 = 4:~P8~>~P2=1
B’:               = 2:~p~~>q  =0 [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

Uwaga:
Tabela IO zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q”, zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w implikacji odwrotnej p|~>q.
Zdania w tabeli IO mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli IO.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?

Z tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO odczytujemy:

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

5.9.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach

Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P2 i ~P2:

A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1=1*1=1
stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielna przez 2 (P2=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2
W zdaniu A1’ nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> i tego faktu nie musimy dowodzić na mocy algebry Kubusia.

A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8) =~(0)*1=1*1=1
stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 - mówi o tym zdanie B2.
Uwaga:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli P2 to P8” jest częścią implikacji odwrotnej P2|~>P8 nic więcej nie musimy udowadniać - mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO.
Nie musimy, nie oznacza że nie możemy, dlatego przedstawiam dowody indywidualne dla każdego ze zdań widniejących w IO.

B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 wystarcza => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Oczywiście ten fakt dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p - zapis formalny
B2: ~P2=>~P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Udowodnienie prawdziwości B3: P8=>P2 =1 na mocy prawa kontrapozycji gwarantuje prawdziwość warunku wystarczającego B2:~P2=>~P8 =1

Z prawdziwości warunku wystarczającego B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
Dowolny zbiór liczb nieparzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych.
cnd

Podsumowanie:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2 - zdania B1 i A1’) oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P8 - zdanie B2)
Doskonale to widać w analizie wyżej.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~P2||=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

5.9.2 Relacje zbiorów niepustych w implikacji odwrotnej p|~>q

W klasycznej implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach, analiza warunku koniecznego p~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q generuje po stronie wyjścia trzy zbiory niepuste wzajemnie rozłączne, uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.

Weźmy omówiona wyżej implikację odwrotną P2|~>P8

Podsumujmy w zbiorach powyższą analizę:
Kod:

B1:  P2~> P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1’: P2~~>~P8=1 - bo P2=[2,4,6..] ma el. wspólny z ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
B2: ~P2=>~P8 =1 - ~P2=[1,3,5..] jest podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2’:~P2~~>P8 =0 - bo zbiór ~P2=[1,3,5,7..] jest rozłączny z P8=[8,16,24..]


Obliczamy iloczyny logiczne zbiorów B1, A1’ i B2:
B1.
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów P2 i P8:
B1: P2~>P8 = P2*P8 = P8=[8,16,24..] - bo zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
A1’.
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów P2 i ~P8:
A1’: P2~~>~P8 = P2*~P8 =[2,4,6…10,12,14..18..] - zbiór P2 z wykluczeniem zbioru P8
Prawo Kubusia:
B1: P2~>P8 = B2:~P2=>~P8
B2.
Obliczamy iloczyn logiczny zbiorów ~P2 i ~P8:
B2: ~P2=>~P8 = ~P2*~P8 = ~P2=[1,3,5,7,9..] - bo na mocy prawa Kubusia ~P2 jest podzbiorem => ~P8

Dowód rozłączności zbiorów niepustych B1, A1’ i B2:
1.
Zbiór B1: P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem A1’: P2*~P8=[2,4,6…10,12,14..18..] bo zbiór A1’ to zbiór P2 z wykluczeniem zbioru P8
cnd
2.
Zbiór B2: ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny zarówno ze zbiorem B1 jak i ze zbiorem A1’ bo zbiory B1 i A1’ to zbiory liczb parzystych
cnd

Dowód iż zbiory B1, A1’ i B2 uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:
1.
Obliczamy sumę logiczną zbiorów B1+A1’:
B1: P2~>P8 = P2*P8 = P8=[8,16,24..] - bo zbiór P2 jest nadzbiorem ~> zbioru P8
A1’: P2~~>~P8 = P2*~P8 =[2,4,6…10,12,14..18..] - zbiór P2 z wykluczeniem zbioru P8
B1+A1’ = P2*P8+P2*~P8 = P2*(P8+~P8) = P2
cnd
Obliczamy sumę logiczną wszystkich trzech zbiorów B1+A1’+B2:
(B1+A1’): P2 + B2: ~P2 = P2+~P2 =1
cnd

Wniosek:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 dzieli dziedzinę LN na trzy zbiory (A1, A1’, B2) niepuste i rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.

5.10 Relacje zbiorów niepustych w implikacji odwrotnej p|~>q

Dokładnie to samo można udowodnić w rachunku zero-jedynkowym w zapisach formalnych:
Kod:

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w rozpisce na zbiory wynikowe:
B1:  p~> q = p* q = q - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
A1’: p~~>~q= p*~q
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
B2: ~p=>~q =~p*~q =~p - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
B2’:~p~~>q =~p* q = 0 - zbiory ~p i q są rozłączne

Dowód iż zbiory niepuste B1, A1’ i B2 są wzajemnie rozłączne:
1.
Zbiory niepuste w implikacji odwrotnej p|~>q to:
B1: p~>q = p*q =q
A1’: p~~>~q=p*~q
B2: ~p=>~q = ~p*~q =~p

Dowody cząstkowe:
a)
Gwarancją rozłączności zbiorów B1: q i B2: ~p jest fałszywy kontrprzykład B2’:
B2’: ~p~~>q = ~p*q =[] =0
cnd
b)
Dowód iż zbiór B1 jest rozłączny ze zbiorem A1’:
B1*A1’ = (q)*(p*~q) =[] =0 - bo zbiory q i ~q są rozłączne
cnd
c)
Dowód iż zbiór B2 jest rozłączny ze zbiorem A1’:
B2*A1’ = (~p)*(p*~q) =[] =0 - bo zbiory ~p i p są rozłączne
cnd

Dowód iż zbiory niepuste B1, A1’ i B2 uzupełniają się wzajemnie do dziedziny:

1.
Udowodniliśmy że:
B1: p~>q =p*q =q - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
2.
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Wniosek:
Po udowodnieniu iż zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q, na mocy prawa Kubusia mamy pewność absolutną iż zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
Stąd mamy:
B2: ~p=>~q = ~p - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
3.
Kluczowy dowód to udowodnienie iż:
B1+A1’ = ~q - bo ~q to zbiór rozłączny z B1: q (zbiory ~q i q uzupełniają się wzajemnie do dziedziny).
Dowód:
Y = B1: q + A1’: p*~q
Y = q+(p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~q*(~p+q)
~Y = ~q*~p + ~q*q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y= (B1+A1’) = p+q
Z pkt.1 wiemy, że zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
Y = (B1+A1’) = p+q =p
cnd
4.
Dowód iż w implikacji odwrotnej p|~>q zbiory niepuste uzupełniają cię wzajemnie do dziedziny:
B1: q + A1’: p*~q + B2: ~p = (B1+A1’): p + B2: ~p = p+~p =1
cnd

Uwaga:
Alternatywny dowód punktu 3 jest następujący:
B1: p~> q = p* q = q - bo zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
A1’: p~~>~q= p*~q
Stąd mamy:
(B1+A1’) = B1: p*q + A1’: p*~q = p*(q+~q) =p

To jest najprostszy dowód - wszystkie drogi prowadzą do Rzymu tzn. do algebry Kubusia.

Podsumowując:
Analiza matematyczna warunku koniecznego p~>q w implikacji odwrotnej p|~>q wyznacza nam po stronie wyjścia trzy zbiory niepuste i rozłączne, uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 16:40, 30 Wrz 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 9:45, 27 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q


Spis treści
6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q 1
6.1 Równoważność p<=>q 3
6.1.1 Operator równoważności p|<=>q 8
6.1.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q 13
6.1.3 Zmienne związane i zmienne wolne w równoważności p<=>q 16
6.2 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 18
6.2.1 Diagram równoważności w zbiorach 19
6.3 Odtworzenie definicji równoważności p<=>q z definicji ~~> 21
6.4 Dziedzina matematyczna i fizyczna w równoważności p<=>q 23


6.0 Operatory implikacyjne - równoważność p|<=>q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:

„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:

„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:

Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W logice matematycznej rozróżniamy 5 różnych na mocy definicji operatorów implikacyjnych dających odpowiedzi na pytania o p i ~p:
1.
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
2.
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q

Operator implikacji odwrotnej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
3.
p|<=>q - operator równoważności p<=>q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
RA2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p
4.
p|$q - operator „albo”($) p$q

Operator „albo”($) p|$q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
AA1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
AA2B2: ~p$~q=(A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
5.
p||~~>q - operator chaosu p|~~>q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
CA1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p
CA2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~(0)*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

6.1 Równoważność p<=>q

TR
Definicja klasyczna równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p<=>q = p*q+~p*~q

Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1: p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
A1B1: p<=>q = p*q + ~p*~q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = A3B3: q<=>p = A4B4: ~q<=>~p = p*q+~p*~q
Gdzie:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = p*q + ~p*~q
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) = p*q + ~p*~q
A4B4: ~q<=>~p=(A4: ~q=>~p)*(B4:~q~>~p) = p*q + ~p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

TR:
Definicja równoważności klasycznej p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność klasyczna p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Ostatni zapis to klasyczna definicja równoważności p<=>q doskonale znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 500
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 127 000
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

W A1B1 zastosujmy prawo Tygryska dla B1:
B1: p~>q = B3: q=>p

Stąd mamy:
A1B3
Definicja równoważności matematycznej p<=>q w zbiorach:

Równoważność matematyczna p<=>q w zbiorach to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)

Stąd mamy:
A1B3
Definicja tożsamości zbiorów p=q:

Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Ostatni zapis to definicja tożsamości zbiorów p=q doskonale znana każdemu matematykowi.

W przypadku zdarzeń p i q będziemy mieli do czynienia z tożsamością zdarzeń p=q.
Zapiszmy to przy pomocy definicji klasycznej.
A1B1
Definicja klasyczna tożsamości zdarzeń p=q:

Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1) i jednocześnie zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1)
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

TR-:
Definicja równoważności klasycznej ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Kolumna A2B2:
Równoważność klasyczna ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
stąd:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność klasyczna ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest (=1) konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = 1*1 =1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = 1*1 =1

W A2B2 zastosujmy prawo Tygryska dla A2:
A2: ~p~>~q = A4: ~q=>~p

Stąd mamy:
A4B2:
Definicja równoważności matematycznej ~p<=>~q w zbiorach:

Równoważność matematyczna ~p<=>~q w zbiorach to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A4B2: ~p<=>~q = (A4: ~q=>~p)*(B2: ~p=>~q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność ~p<=>~q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2) i jednocześnie zbiór ~q jest podzbiorem => zbioru ~p (A4)

Stąd mamy:
A4B2
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:

Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q (B2) i jednocześnie zbiór ~q jest podzbiorem => zbioru ~p (A4)
A4B2: ~p=~q <=> (A4: ~q=>~p)*(B2: ~p=>~q) = A4B2: ~p<=>~q

Ostatni zapis to definicja tożsamości zbiorów ~p=~q doskonale znana każdemu matematykowi.

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Udowodnijmy to dla równoważności klasycznej.

Sposób 1
a)
Kolumna A1B1:
Definicja równoważności klasycznej dla A1B1: p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
b)
Kolumna A2B2:
Definicja równoważności klasycznej dla A2B2: ~p<=>~q:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q)

Dowód zachodzącej tożsamości logicznej [=]:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd
Gdzie:
„=”, [=] - tożsamości logiczne (zapisy tożsame)

Sposób 2
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = (~p+q)*(p+~q) = p*q+~p*~q

Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q [ =] A2B2: ~p<=>~q = p*q+~p*~q
cnd
Gdzie:
„=”, [=] - tożsamości logiczne (zapisy tożsame)

Zauważmy, że:
a)
Równoważność A1B1: p<=>q definiuje nam tożsamość zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi relacja równoważności A1B1: p<=>q
p=q <=> A1B1: p<=>q
b)
Równoważność A2B2: ~p<=>~q definiuje nam tożsamość zbiorów ~p=~q:
Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi relacja równoważności A2B2: ~p<=>~q
~p=~q <=> A2B2: ~p<=>~q

Matematycznie zachodzi:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
Różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład:

Kolumna A1B1:
Klasyczna równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP):
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby trójkąt był prostokątny (TP) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
Powyższa równoważność oznacza, iż zbiór trójkątów prostokątnych (TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
TP=SK
Równoważność klasyczną Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.

Kolumna A2B2:
Klasyczna równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych (~TP):
Trójkąt nie jest prostokątny (~TP) wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK)
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK)
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby trójkąt nie był prostokątny (~TP) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK)
Powyższa równoważność oznacza, iż zbiór trójkątów nieprostokątnych (~TP) jest tożsamy ze zbiorem trójkątów z niespełnioną sumą kwadratów (~SK)
~TP=~SK

Zauważmy, że udowodnienie równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK
wymusza nam prawdziwość równoważności dla trójkątów nieprostokątnych:
A2B2:~TP<=>~SK.
(i odwrotnie)
Oczywiście łatwiej dowodzi się równoważność dla trójkątów prostokątnych A1B1: TP<=>SK co ludzkość zrobiła wieki temu.
Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: TP<=>SK = A2B2: ~TP<=>~SK
nic a nic w temacie trójkątów nieprostokątnych nie musimy udowadniać, bo wszystko co możliwe mamy udowodnione po udowodnieniu prawdziwości A1B1, co widać w tabeli prawdy TR

Zapiszmy nasze rozważania w tabeli prawdy równoważności w zbiorach:
Kod:

Tabela prawdy równoważności w zbiorach
Równoważność klasyczna        |  Równoważność klasyczna
w logice dodatniej (bo q)     |  w logice ujemnej (bo ~q)
A1B1:                         |  A2B2:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q    |  ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q
definiuje tożsamość zbiorów:  |  definiuje tożsamość zbiorów:
p=q                           #  ~p=~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony   
[=] - tożsamość logiczna


6.1.1 Operator równoważności p|<=>q

Zacznijmy od definicji spójnika równoważności p<=>q.
TR
Definicja klasyczna równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Podstawmy A1 i B1 do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji równoważności p<=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja równoważności p<=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja równoważności ~p<=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

Z prawa Sowy wynika, iż zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q = A1B1|A2B2: p|<=>q = A2B2|A1B1:~p|<=>~q

Powyższa tożsamość logiczna oznacza że:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu tej tożsamości logicznej (na przykład):
A1B1: p<=>q
jest potrzebne ~> i wystarczające => dla dowodu prawdziwości obu operatorów implikacyjnych, czyli obu układów równań logicznych A1B1|A2B2 i A2B2|A1B1:
A1B1|A2B2: p|<=>q = A2B2|A1B1:~p|<=>~q

Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań jest przemienny stąd mamy tożsamy układ równań:
Operator równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Analiza szczegółowa operatora równoważności p|<=>q:

Operator równoważności p|<=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q (q=1)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem q p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q (albo odwrotnie)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem ~q ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q
~p=~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=q (albo odwrotnie)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=~q która wymusza tożsamość zbiorów p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=~q # p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności p|<=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~p|<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p|<=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

6.1.2 Zero-jedynkowa definicja równoważności p<=>q

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja symboliczna                |Co w logice jedynek
                                     |oznacza
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)    |
A1:  p=> q =1                        |( p=1)=> ( q=1)=1
A1’: p~~>~q=0                        |( p=1)~~>(~q=1)=0
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
B2: ~p=>~q =1                        |(~p=1)=> (~q=1)=1
B2’:~p~~>q =0                        |(~p=1)~~>( q=1)=0


Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T1 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) albo w odniesieniu do równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q)

Dlaczego tabeli T1 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>q?
Odpowiedź:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>q nie jest jedynym członem prawdziwym w równoważności p<=>q.

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A1B1: p<=>q

Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji równoważności p<=>q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B1: p<=>q mamy sygnały p i q bez przeczeń.

Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T1 zero-jedynkowo:
Kod:

T2.
Definicja      |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna    |Jedynek oznacza   |A1B1: p<=>q       |
A1B1: p<=>q    |                  |                  | p   q  p<=>q
A1:  p=> q =1  |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1<=>1   =1
A1’: p~~>~q=0  |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1<=>0   =0
A2B2:~p<=>~q   |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1  |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0<=>0   =1
B2’:~p~~>q =0  |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0<=>1   =0
     a   b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                  | Prawa Prosiaczka |
                                  | (~p=1)=(p=0)     |
                                  | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q), zwanego krótko równoważnością p<=>q

Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na równoważności:
A2B2: ~p<=>~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
A2B2: ~p<=>~q
obie zmienne mamy zanegowane.
Kod:

T3.
Definicja     |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna   |Jedynek oznacza   |A2B2: ~p<=>~q     |
A1B1: p<=>q   |                  |                  |~p  ~q ~p<=>~q
A1:  p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0<=>0   =1
A1’: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0<=>1   =0
A2B2:~p<=>~q  |                  |                  |
B2: ~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1<=>1   =1
B2’:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1<=>0   =0
    a    b  c    d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                 | Prawa Prosiaczka |
                                 | (p=1)=(~p=0)     |
                                 | (q=1)=(~q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), zwanego krótko równoważnością ~p<=>~q

Zauważmy, że w tabelach T2 i T3 wejściowa definicja symboliczna równoważności abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T2: p<=>q = T3: ~p<=>~q

Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
Kod:

Definicja równoważności p<=>q
     p   q p<=>q
A1:  1<=>1  =1
A1’: 1<=>0  =0
B2:  0<=>0  =1
B2’: 0<=>1  =0

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Dowód:
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1
B2’: 0<=>1  =0     1<=>0   =0
     1   2   3     4   5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

Definicja tożsamości logicznej [=]:
p<=>q [=] ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej [=] jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>

Wniosek:
Tożsamość logiczna „=” jest de facto spójnikiem równoważności p<=>q o definicji:
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p<=>q = ~p<=>~q
     p   q p<=>q  ~p  ~q ~p<=>~q  p<=>q <=> ~p<=>~q
A1:  1<=>1  =1     0<=>0   =1            1
A1’: 1<=>0  =0     0<=>1   =0            1
B2:  0<=>0  =1     1<=>1   =1            1
B2’: 0<=>1  =0     1<=>0   =0            1
     1   2   3     4   5    6            7

Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q

6.1.3 Zmienne związane i zmienne wolne w równoważności p<=>q

Definicja zmiennej związanej:
W dowolnym spójniku implikacyjnym definiowanym zdaniami „Jeśli p to q” zmienne związane wynikają z praw Kubusia

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Definicja zmiennej wolnej:
W dowolnym spójniku implikacyjnym definiowanym zdaniami „Jeśli p to q” zmienne wolne to prawdziwe kontrprzykłady.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

TR
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+ ~p*~q+ q*p +q*~q = p*q+~p*~q

Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q

Co oznacza ta tajemnicza definicja?
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia dla zmiennych formalnych {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Zmienne związane w równoważności p<=>q wynikają z prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q
Brak jakiegokolwiek kontrprzykładu w definicji równoważności p<=>q
oznacza brak zmiennych wolnych.
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy że:
1.
Brak zmiennych wolnych oznacza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q =p*~q =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1

2.
Brak zmiennych wolnych oznacza również fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q=~p*q =0
Fałszywość kontrprzykładu B2’ wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1

Zapiszmy tożsamą definicję równoważności przy pomocy warunków wystarczających A1 i B2:
RA1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)=1*1=1

Dla B2 zastosujmy prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q)

Stąd mamy podstawową definicję równoważności p<=>q znaną każdemu człowiekowi:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby zaszło q

Dowód iż ta definicja jest powszechnie znana:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 17 000
„potrzeba i wystarczy”
Wyników: 68 600
cnd

6.2 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Równoważność p<=>q to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Dlaczego przyjęta dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q?[/b]
Przyjmijmy za dziedzinę sumę logiczną zbiorów p+q
D = p+q =p+p=p - bo każda równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Wtedy mamy:
~p=[D-p] = [p-p] =0
Oznacza to że pojęcie ~p jest dla nas zbiorem pustym, czyli pojęciem nierozpoznawalnym.

Definicja zbioru pustego [] w algebrze Kubusia:
Zbiór pusty to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka
[] =[asegft, uaytfds…]
Oczywistym jest, że nie możemy operować na pojęciach dla nas niezrozumiałych, stąd zastrzeżenie w definicji implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.

Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*1 =1

6.2.1 Diagram równoważności w zbiorach

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność p<=>q to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne.

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Znaczenie powyższej tożsamości logicznej w przełożeniu na zbiory.

Tożsamość zbiorów p=q definiowana przez:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q definiowaną przez:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
(i odwrotnie)

Na tej podstawie łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
Kod:

DR
Diagram operatora równoważności p<=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     p=q - zbiory tożsame      #   ~p=~q - zbiory tożsame           |
|-------------------------------|------------------------------------|
| A1B1:                         |   A2B2:
| p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)  [=] ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)   |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q  (suma logiczna zbiorów niepustych)        |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty                                |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[]=0 - zbiór pusty                                |
|--------------------------------------------------------------------|
| Gdzie:                                                             |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony  |
| [=] - tożsamość logiczna                                           |
| Dziedzina D dla p i ~p:                                            |
| p+~p =D  =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla p     |
| p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne                           |
| Identyczna dziedzina D musi obowiązywać dla q i ~q:                |
| q+~q =D  =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla q     |
| q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne                           |
|--------------------------------------------------------------------|
| Właściwości równoważności:                                         |
| Z diagramu widzimy że:                                             |
| ~p=~(p) - zbiór ~p jest zaprzeczeniem # zbioru p w dziedzinie D    |
| ~q=~(q) - zbiór ~q jest zaprzeczeniem # zbioru q w dziedzinie D    |
| Prawa podwójnego przeczenia:                                       |
| p = ~(~p) - p jest zaprzeczeniem # ~p (prawo podwójnego przeczenia)|
| q = ~(~q) - q jest zaprzeczeniem # ~q (prawo podwójnego przeczenia)|
----------------------------------------------------------------------

Definicja równoważności w zbiorach:
Równoważność p<=>q to dwa zbiory niepuste i rozłączne p i q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny

Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Z diagramu DR odczytujemy:
p, q - zbiory niepuste
~p, ~q - zbiory niepuste

Wniosek:
Dziedzina D w układzie równoważności zdefiniowana jest poprawnie bowiem zbiory p i q oraz ich przeczenia w dziedzinie D {p, q, ~p, ~q} są niepuste.

Z diagramu DR widzimy że:

A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:

Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Sprawdzenie poprawności definicji tożsamości zbiorów p=q:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
dla q=p mamy:
p=p <=> (A1: p=>p)*(B1: p~>p) = 1*1 =1
Dowód właściwy:
p=>p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
p~>p =1 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Z diagramu DR widzimy, że równoważność p<=>q dla q=~p musi być fałszem.
Sprawdzenie:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
dla q=~p mamy:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
bo:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q=~p+q
stąd mamy:
A1: p=>(~p) = ~p+(~p) = ~p
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
stąd mamy:
B1: p~>(~p) = p+~(~p) = p+p = p
stąd:
p=~p <=> (A1: p=>~p)*(B1: p~>~p) = ~p*p =0
cnd

Podsumowując:
Jak widzimy matematyka działa doskonale bowiem poprawnie obliczyliśmy iż zachodzi (=1) tożsamość zbiorów p=q i nie zachodzi (=0) tożsamość zbiorów p=~p:
[p=p] =1 - bo zbiory p i p są tożsame
[p=~p] =0 - bo zbiory p i ~p są rozłączne

Ćwiczenie dla czytelnika.

A2B2: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:

Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q (B2) i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q (A2)
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = A1B1: ~p<=>~q
Korzystając z szablonu wyżej udowodnij że zachodzi (=1) tożsamość zbiorów ~p=~q oraz nie zachodzi (=0) tożsamość zbiorów ~p=q

6.3 Odtworzenie definicji równoważności p<=>q z definicji ~~>

Weźmy diagram równoważności p<=>q w zbiorach wyrażony spójniami „i”(*) i „lub”(+):
Kod:

DR1
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     p=q - zbiory tożsame      #   ~p=~q - zbiory tożsame           |
|-------------------------------|------------------------------------|
| p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)  [=] ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)   |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q  (suma logiczna zbiorów niepustych)        |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty                                |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[]=0 - zbiór pusty                                |
|--------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
| Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)                  |
----------------------------------------------------------------------
|  Ya=A1: p~~>q=p*q=1          | Yc=B2: ~p~~>~q=~p*~q=1              |
----------------------------------------------------------------------
|  Yb=A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0    | Yd=B2’: ~p~~>q=~p*q=[]=0            |
----------------------------------------------------------------------

Stąd mamy tabelę prawdy równoważności p<=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1
Równoważność p<=>q    |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                Y   Z diagramu DR1 odczytujemy
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1)=1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1)=0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~>q =~p* q =0  1 |(~p=1)~~>( q=1)=0 - nie istnieje el. wspólny ~p i q

Zapiszmy powyższą tabelę wyłącznie w spójnikach elementu wspólnego zbiorów ~~> zmieniając indeksowanie linii do postaci zgodnej z teorią wykładaną w algebrze Kubusia - matematycznie ten ruch jest bez znaczenia.
Kod:

T2.
Równoważność p<=>q
definiowana elementem wspólnym zbiorów ~~>
             Y   Analiza dla punktu odniesienia Y
A1:  p~~>q  =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów p i q
A1’: p~~>~q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów p i ~q
B2: ~p~~>~q =1 - istnieje (=1) el. wspólny zbiorów ~p i ~q
B2’:~p~~> q =0 - nie istnieje (=0) el. wspólny zbiorów ~p i q


Analiza tabeli prawdy T2 - część I
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>~q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Analiza tabeli prawdy T2 - część II
1.
Fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>~q =1
Nanieśmy naszą analizę do tabeli T3.
Kod:

T3.
A1:  p=> q =1 - zbiór p jest podzbiorem => q (p=q)
A1’: p~~>~q=0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> p i ~q (p#~q)
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => ~q (~p=~q)
B2’:~p~~>q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> ~p i q (~p#q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (patrz diagram DR)

Z tabeli T3 odczytujemy definicję równoważności A1B2: p<=>q w zbiorach.

Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) w zbiorach:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to spełniona relacja podzbioru p=>q i spełniona relacja podzbioru ~p=>~q.
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B2: ~p=>~q =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
A1B2: p<=>q = (A1: p=>q)*(B2:~p=>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność RA1B2: p<=>q w zbiorach jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q (B2)

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Dla B2 stosujemy prawo Kubusia:
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1 w tabeli prawdy równoważności p<=>q:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Stąd mamy tożsamą definicję równoważności klasycznej p<=>q w zbiorach.

Kolumna A1B1:
Definicja równoważności klasycznej p<=>q w zbiorach w logice dodatniej (bo q):

Równoważność klasyczna p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)

Zdefiniowawszy równoważność klasyczną A1B1: p<=>q możemy ją podstawić do tabeli prawdy równoważności TR.
Idź do punktu 6.1.1

6.4 Dziedzina matematyczna i fizyczna w równoważności p<=>q

Kod:

DR1
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
|     p=q - zbiory tożsame      #   ~p=~q - zbiory tożsame           |
|-------------------------------|------------------------------------|
| p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)  [=] ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)   |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| Dziedzina: D =p*q+~p*~q  (suma logiczna zbiorów niepustych)        |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty                                |
| B2’: ~p~~>q=~p*q=[]=0 - zbiór pusty                                |
|--------------------------------------------------------------------|
|                                                                    |
| Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)                  |
----------------------------------------------------------------------
|  Ya=A1: p~~>q=p*q=1          | Yc=B2: ~p~~>~q=~p*~q=1              |
----------------------------------------------------------------------
|  Yb=A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0    | Yd=B2’: ~p~~>q=~p*q=[]=0            |
----------------------------------------------------------------------

Zapiszmy tabelę prawdy równoważności p<=>q definiowaną elementami wspólnymi zbiorów ~~>:
Kod:

T1
Równoważność p<=>q    |
w spójnikach          |Co w logice
elementu wspólnego ~~>|jedynek oznacza
                 Y ~Y |                Y   Z diagramu D1 odczytujemy
A: p~~>q = p* q =1  0 |( p=1)~~>( q=1)=1 - istnieje el. wspólny p i q
B: p~~>~q= p*~q =0  1 |( p=1)~~>(~q=1)=0 - nie istnieje el. wspólny p i ~q
C:~p~~>~q=~p*~q =1  0 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 - istnieje el. wspólny ~p i ~q
D:~p~~>q =~p* q =0  1 |(~p=1)~~>( q=1)=0 - nie istnieje el. wspólny ~p i q

Definicja dziedziny matematycznej DM:
Dziedzina matematyczna DM jest identyczna dla wszelkich operatorów logicznych, to suma logiczna Y+~Y
Gdzie:
Y - zdarzenia możliwe (zbiory niepuste)
~Y - zdarzenia niemożliwe (zbiory puste)
DM = Y+~Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1

Definicja dziedziny fizycznej D:
Dziedzina fizyczna D to suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych Y
D = Y = A: p*q + C: ~p*~q =1

Z diagramu DR1 odczytujemy:
D= A: p*q + C:~p*~q =1
Doskonale widać, że zbiory A, C dzielą dziedzinę fizyczną na dwa zbiory niepuste i rozłączne uzupełniające się do dziedziny.

Prawo dziedziny w równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q dzieli dziedzinę fizyczną D na dwa zbiory niepuste i rozłączne A i C uzupełniające się wzajemnie do dziedziny

Dowód iż zbiory A, C są rozłączne jest na gruncie algebry Kubusia trywialny, badamy po prostu iloczyn logiczny zbiorów A i C.
A: (p*q)
C: (~p*~q)
Stąd:
1: A*C = (p*q)*(~p*~q =(p*~p)*(q*~q) =[] =0 - zbiory A i C są rozłączne


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 10:44, 02 Sty 2022, w całości zmieniany 13 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:35, 27 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
6.5 Równoważności Pitagorasa

Spis treści
6.5 Równoważność TP<=>SK w zbiorach 1
6.5.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK 6
6.5.2 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK 9
6.5.3 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP 10
6.6 Równoważność w zbiorach typu Pm*Pn<=>Pm*n 13
6.7 Definicja definicji 14


6.5 Równoważność TP<=>SK w zbiorach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

TR
Definicja równoważności p<=>q:

Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q)

Nanieśmy tą definicję do tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja równoważności p<=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja równoważności ~p<=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja równoważności matematycznej p<=>q:
Równoważność matematyczna p<=>q to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Weźmy twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1: TP=>SK =1
to samo w zapisie formalnym
A1: p=>q =1 - na mocy prawa Kłapouchego
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Twierdzenie proste TP=>SK Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1) bo zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów w których spełniona jest suma kwadratów (SK=1)

W świecie matematyki domyślnym twierdzeniem Pitagorasa jest twierdzenie proste Pitagorasa (A1: p=>q), zatem możemy mówić „twierdzenie Pitagorasa” bez słówka „proste”.
Oczywiście jeśli chcemy zaznaczyć, iż chodzi nam o twierdzenie odwrotne Pitagorasa to musimy to jawnie zapisać jako „twierdzenie odwrotne Pitagorasa” (B3: q=>p)

W tym momencie twierdzenie proste Pitagorasa może być już tylko częścią implikacji prostej TP|=>SK albo częścią równoważności TP<=>SK. Aby to rozstrzygnąć musimy zbadać warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.

B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% ~> zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP~>SK =?
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =?

Definicja twierdzenia matematycznego:
Dowolne twierdzenie matematyczne jest tożsame z warunkiem wystarczającym =>.

W zdaniu B1 nie mamy warunku wystarczającego => ale to nie problem, bo możemy skorzystać z prawa Tygryska.
Prawo Tygryska w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
A1: TP~>SK = B3: SK=>TP

Wniosek:
Aby udowodnić prawdziwość warunku koniecznego ~> w zdaniu B1: TP~>SK potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić twierdzenie odwrotne Pitagorasa: B3: SK=>TP

Twierdzenie odwrotne Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
B3: SK=>TP =1
to samo w zapisie formalnym
B3: q=>p =1
Twierdzenie odwrotne q=>p Pitagorasa udowodniono wieki temu.
Ten dowód oznacza że:
Bycie trójkątem w którym spełniona jest (=1) suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1) bo zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1)

Oba twierdzenia łącznie (A1 i B3) definiują znaną każdemu matematykowi tożsamość zbiorów.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Nasz przykład:
Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (twierdzenie proste) i zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Dla B3 korzystamy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q - prawo Tygryska w zapisie formalnym {p, q}
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK - prawo Tygryska w zapisie aktualnym {p=TP, q=SK}

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1) i jednocześnie zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK (B1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK

Stąd mamy dowód iż twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK jest częścią równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP.

Równoważność klasyczna Pitagorasa TP<=>SK dla trójkątów prostokątnych:
A1B1:
Równoważność klasyczna A1B1: TP<=>SK to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby trójkąt był prostokątny (TP=1) potrzeba ~> (A1) i wystarcza => (B1) aby spełniona w nim była suma kwadratów (SK=1)

Ta klasyczna definicja równoważności znany jest wszystkim, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 132 000
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 8 470

Nanieśmy nasz przykład do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
Kod:

TR: Tabela prawdy równoważności TP<=>SK
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Na mocy prawa Kłapouchego mamy aktualny punkt odniesienia {TP, SK}:
p=TP - zbiór trójkątów prostokątnych
q=SK - zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0

Definicja równoważności p<=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja równoważności ~p<=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.

Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

Uwaga:
Tabela TR zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w równoważności p<=>q
Zdania w tabeli TR mogą być dowolnie pomieszane, matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli TR.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
Zbiory ~TP i ~SK są tożsame ~TP=~SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~TP jest podzbiorem => zbioru ~SK i jednocześnie zbiór ~TP jest nadzbiorem ~> zbioru ~SK
~TP=~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) = ~TP<=>~SK

Po udowodnieniu równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych definiującej tożsamość zbiorów TP=SK:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
nie musimy dowodzić równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych definiującej tożsamość zbiorów ~TP=~SK:
~TP=~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~S) = ~TP<=>~SK
bowiem gwarantuje nam to prawo rachunku zero-jedynkowego:
RA1B1: TP<=>SK = RA2B2: ~TP<=>~SK
To samo w zapisie formalnym:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” daje nam gwarancję matematyczną => prawdziwości drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” daje nam gwarancję matematyczną => fałszywości drugiej strony

6.5.1 Definicja operatora równoważności TP|<=>SK

Operator równoważności Pitagorasa TP|<=>SK to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o TP i ~TP:
A1B1: TP<=>SK =(A1: TP=>SK)* (B1: TP~>SK) - co się stanie jeśli zajdzie TP
A2B2:~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) - co się stanie jeśli zajdzie ~TP

Innymi słowy:
Operator równoważności TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o TP i ~TP:

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt prostokątny (TP=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, by zachodziła w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Tożsamość zbiorów TP=SK wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W rozpisce na warunek wystarczający => (twierdzenie matematyczne) mamy.

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokąty (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=>SK =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to może ~~> nie zachodzić w nim suma kwadratów (~SK=1)
TP~~>~SK = TP*~SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> TP i ~SK nie jest spełniona bo zbiory TP i ~SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów TP=SK która wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
TP=SK # ~TP=~SK
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt nieprostokątny (~TP=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~TP~>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~SK
B2: ~TP=>~SK =1 - zajście ~TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~SK
A2B2: ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~TP=~SK <=> (A2: ~TP~>~SK)*(B2: ~TP=>~SK) =~TP<=>~SK
Tożsamość zbiorów ~TP=~SK wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~TP=~SK # TP=SK
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W rozpisce na warunek wystarczający => (twierdzenie matematyczne) mamy.

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to na 100% => nie zachodzi w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP=>~SK =1
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego by nie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Bycie trójkątem nieprostokątnym (~TP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie będzie zachodziła w nim suma kwadratów (~SK=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1) to może ~~> zachodzić w nim w nim suma kwadratów (~SK=1)
~TP~~>~SK=~TP*SK =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~TP i SK nie jest spełniona bo zbiory ~TP i SK są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~TP=~SK która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (albo odwrotnie)

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności TP|<=>SK jest gwarancja matematyczna => po stronie TP (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~TP (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności Pitagorasa ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~TP i TP:
A2B2:~TP<=>~SK=(A2:~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK) - co się stanie jeśli zajdzie ~TP
A1B1: TP<=>SK =(A1: TP=>SK)* (B1: TP~>SK) - co się stanie jeśli zajdzie TP
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności ~TP|<=>~SK w logice ujemnej (bo ~SK) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej TP|<=>SK w logice dodatniej (bo SK) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

6.5.2 Diagram równoważności Pitagorasa TP<=>SK

Graficznie równoważności Pitagorasa TP<=>SK możemy przedstawić tak
Kod:

T1:
Zbiór trójkątów prostokątnych:       |Zbiór trójkątów nieprostokątnych:
TP=SK                                |~TP=~SK
Równoważność Pitagorasa              | Równoważność Pitagorasa
dla trójkątów prostokątnych (TP)     | dla trójkątów nieprostokątnych (~TP)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) [=] ~TP<=>~SK = (A2: ~TP~>~SK)*(B2:~TP=>~SK)
Definiuje tożsamość zbiorów:         |  Definiuje tożsamość zbiorów:
TP=SK                                #  ~TP=~SK
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Przyjmijmy dziedzinę minimalną dla równoważności Pitagorasa:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla TP:
TP+~TP =D =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny ZWT dla SK:
SK+~SK =D =1 - zbiór ~SK jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru SK
SK*~SK =[] =0 - zbiory SK i ~SK są rozłączne
Stąd mamy:
~TP=[D-TP] = [TP+~TP -TP] =~TP
~SK=[D-SK] = [SK+~SK -SK] =~SK
Zachodzi również:
TP = ~(~TP) - zbiór TP jest zaprzeczeniem zbioru ~TP (prawo podwójnego przeczenia)
SK = ~(~SK) - zbiór SK jest zaprzeczeniem zbioru ~SK (prawo podwójnego przeczenia)
oraz:
~TP=~(TP) - zbiór ~TP jest zaprzeczeniem zbioru TP
~SK=~(SK) - zbiór ~SK jest zaprzeczeniem zbioru SK

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Na poziomie spójnika równoważności <=> mamy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2: ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

Nasz przykład:
Udowodnienie równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1B1: TP<=>SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów TP=SK
jest tożsame z udowodnieniem równoważności Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
A2B2: ~TP<=>~SK - ta równoważność definiuje tożsamość zbiorów ~TP=~SK

Wniosek z zachodzącej tożsamości logicznej:
A1B1: TP<=>SK = A2B2:~TP<=>~SK
Udowodnienie tożsamości zbiorów TP=SK jest tożsame z udowodnieniem tożsamości zbiorów ~TP=~SK (albo odwrotnie)

Objaśnienia:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych (TP=1):
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Nasz przykład:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP
stąd tożsama równoważność Pitagorasa znana każdemu matematykowi:
A1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Gdzie:
A1: TP=>SK - twierdzenie proste Pitagorasa
A1: p=>q =1 - twierdzenie proste Pitagorasa w zapisie formalnym
B3: SK=>TP - twierdzenie odwrotne Pitagorasa
B3: q=>p =1 - twierdzenie odwrotne Pitagorasa w zapisie formalnym

6.5.3 Definicja operatora równoważności SK|<=>TP

Zapiszmy ponownie równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK w tabeli prawdy:
Kod:

TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p=TP (zbiór trójkątów prostokątnych)
q=SK (zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {TP, SK}:
A1: TP=>SK =1 - zajście TP jest (=1) wystarczające => dla zajścia SK
B1: TP~>SK =1 - zajście TP jest (=1) konieczne ~> dla zajścia SK
A1B1: TP<=>SK=(A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1  [=] 3: q~>p    =1  = 4:~q=>~p   =1
A:  1: TP=>SK  =1 = 2:~TP~>~SK=1  [=] 3: SK~>TP  =1  = 4:~SK=>~TP =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =               [=]                = 4:~q~~>p   =0
A’: 1: TP~~>~SK=0 =               [=]                = 4:~SK~~>TP =0
       ##              ##          |     ##               ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1  [=] 3: q=>p    =1  = 4:~q~>~p   =1
B:  1: TP~>SK  =1 = 2:~TP=>~SK=1  [=] 3: SK=>TP  =1  = 4:~SK~>~TP =1
B’:               = 2:~p~~>q  =0  [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~TP~~>SK=0  [=] 3: SK~~>~TP=0

Definicja równoważności p<=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja równoważności ~p<=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (TR i SK) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności p|<=>q.

Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

Stąd mamy:
Definicja operatora równoważności q|<=>p:
Operator równoważności q|<=>p to złożenie równoważności A3B3: q<=>p w logice dodatniej (bo p) zdefiniowanej w kolumnie A3B3 oraz równoważności A4B4: ~q<=>~p w logice ujemnej (bo ~p) zdefiniowanej w kolumnie A4B4.

Innymi słowy:
Operator równoważności SK|<=>TP w logice dodatniej (bo TP) to układ równań A3B3 i A4B4 dający odpowiedź na pytania o SK i ~SK:

A3B3:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3.
A3B3:
Bycie trójkątem w którym zachodzi suma kwadratów (SK=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
A3B3: SK<=>TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
To samo w zapisach ogólnych:
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
SK=TP = (A3: SK~>TP)*(B3: SK=>TP) = A3B3: SK<=>TP
Tożsamość zbiorów SK=TP wymusza tożsamość zbiorów ~SK=~TP (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
SK=TP # ~SK=~TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W rozpisce na warunek wystarczający => (twierdzenie matematyczne) mamy:
B3.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to na 100% => ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
SK=>TP =1
to samo w zapisach formalnych:
q=>p =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1)
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt jest prostokątny (TP=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B3’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => B3 musi być fałszem.
B3’.
Jeśli w trójkącie zachodzi suma kwadratów (SK=1) to ten trójkąt może ~~> nie być prostokątny (~TP=1)
SK~~>~TP = SK*~TP =[] =0
to samo w zapisach formalnych:
q~~>~p = q*~p =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> SK i ~TP nie jest spełniona bo zbiory SK i ~TP są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów SK=TP która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~SK=~TP

A4B4:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru wszystkich trójkątów wylosujemy trójkąt w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4:
A4B4:
Bycie trójkątem w którym nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt nie był prostokątny (~TP=1)
A4B4: ~SK<=>~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) =1*1 =1
To samo w zapisach ogólnych:
A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów:
~SK=~TP = (A4: ~SK=>~TP)*(B4: ~SK~>~TP) = A4B4: ~SK<=>~TP
Tożsamość zbiorów ~SK=~TP wymusza tożsamość zbiorów SK=TP (albo odwrotnie)
Zachodzi relacja matematyczna:
~SK=~TP # SK=TP
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

W rozpisce na warunek wystarczający => (twierdzenie matematyczne) mamy:
A4.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to na 100% => ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
~SK=>~TP =1
Bycie trójkątem z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt nie był prostokątny (~TP=1)
Bycie trójkątem z niespełnioną sumą kwadratów (~SK=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład A4’ dla prawdziwego warunku wystarczającego => A4 musi być fałszem.
A4’.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów (~SK=1) to ten trójkąt może ~~> być prostokątny (TP=1)
~SK~~>TP = ~SK*TP =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~SK i TP nie jest spełniona bo zbiory ~SK i TP są rozłączne.
Wynika to z tożsamości zbiorów ~SK=~TP która wymusza tożsamość zbiorów SK=TP

6.6 Równoważność w zbiorach typu Pm*Pn<=>Pm*n

Weźmy następujące twierdzenie zaczerpnięte z Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]

Podzielność liczby całkowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym i wystarczającym podzielności tej liczby przez 6.
Zapis matematyczny:
P2*P3 <=>P6 = (A1: P2*P3 => P6)*(B1: P2*P3 ~>P6)

Prawą stronę czytamy:
Podzielność liczby całkowitej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym i wystarczającym podzielności tej liczby przez 6.

Lewą stronę czytamy:
Dowolna liczba jest podzielna przez 2 i przez 3 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 6

Jak udowodnić tą równoważność?
Wystarczy skorzystać z następującego twierdzenia matematycznego.

Twierdzenie Wieloryba:
Podzielność dowolnej liczby przez m i przez n jest tożsama z jej podzielnością przez n*m
Pm*Pn = Pm*n

Dowód tego twierdzenia Wieloryba pozostawiam matematykom.

Na mocy twierdzenia Wieloryba mamy:
P2*P3 = P6
Innymi słowy:
Iloczyn logiczny zbiorów P2 i P3 jest tożsamy ze zbiorem P6
bo:
2*3=6
cnd

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q

Nasze twierdzenie szczegółowe możemy zatem zapisać tak:
P2*P3 = P6 <=> (A1: P2*P3 => P6)*(B1: P2*P3 ~>P6) = P2*P3 <=> P6
cnd

6.7 Definicja definicji

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Zauważmy że równoważność Pitagorasa możemy traktować jako alternatywną definicję trójkąta prostokątnego.

Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między punktami TP i SK
A1: TP=>SK =1 - bycie trójkątem prostokątnym jest (=1) wystarczające => dla sumy kwadratów
B1: TP~>SK =1 - bycie trójkątem prostokątnym jest (=1) konieczne ~> dla sumy kwadratów
Stąd mamy równoważność:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) =1*1 =1

Dla zdania B1 stosujmy prawo Tygryska:
B1: TP~>SK = B3: SK=>TP

Stąd mamy matematyczną definicję równoważności Pitagorasa wyrażoną twierdzeniem prostym A1: TP=>SK i twierdzeniem odwrotnym B3: SK=>TP.

Matematyczna definicja równoważności Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
to samo w zapisach formalnych dla:
p=TP
q=SK
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

Twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP ludzkość udowodniła wieki temu, stąd mamy pewność, że równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych jest prawdziwa.
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1

Zauważmy, że prawa strona to definicja tożsamości zbiorów znana każdemu matematykowi.

Definicja tożsamości zbiorów TP=SK:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK (A1: TP=>SK=1) i jednocześnie zbiór SK jest podzbiorem => zbioru TP (B3: TP=>SK =1)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Tożsamość zbiorów TP=SK oznacza, że w każdym trójkącie prostokątnym TP spełniona jest suma kwadratów SK i odwrotnie.

Stąd poprawna jest alternatywna definicja trójkąta prostokątnego:
Dowolny trójkąt jest trójkątem prostokątnym (TP) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest w nim suma kwadratów (SK)
TP=SK <=> (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK

Ogólnie:

Definicja definicji:
Definicja dowolnego pojęcia w naszym Wszechświecie jest poprawna wtedy i tylko wtedy gdy opisuje ją relacja równoważności p<=>q.

Innymi słowy:
Fundamentem każdej definicji jest tożsamość zbiorów/pojęć p=q definiowana relacją równoważności p<=>q.
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

TR:
Definicja równoważności klasycznej p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Czytamy:
Równoważność klasyczna p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1

Ostatni zapis to klasyczna definicja równoważności p<=>q doskonale znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom).
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 14 500
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 12 500
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 127 000
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>

Dla B1 zastosujmy prawo Tygryska.

Prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p

Stąd mamy matematyczną definicję równoważności p<=>q:
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Biorąc pod uwagę przedstawioną wyżej tożsamość pojęć w algebrze Kubusia, prawa strona to definicja tożsamości zbiorów p=q doskonale znana każdemu matematykowi.

Definicja tożsamości zbiorów p=q:[b]
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (twierdzenie proste A1: p=>q) i zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (twierdzenie odwrotne B3: q=>p).
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Powyższa definicja tożsamości zbiorów/pojęć to matematyczny fundament poprawności definicji dowolnego pojęcia w naszym Wszechświecie.

Przykład poprawnej definicji:
Twierdzenie proste A1: p=>q.
A1.
Pies => to zwierzę domowe, szczekające
P => D*S =1
Twierdzenie proste w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo jednoelementowy zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru zwierząt domowych (D) i szczekających (S)

Badamy prawdziwość twierdzenia odwrotnego B3: q=>p:
B3.
Zwierzę domowe, szczekające => to pies
D*S=>P=1
Twierdzenie odwrotne w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór zwierząt domowych i szczekających (D*S) jest podzbiorem => zbioru jednoelementowego P=[pies]

Wniosek:
Pojęcie pies zdefiniowane jako zwierzę domowe, szczekające, jest poprawną definicją pojęcia „pies”.

Przykład błędnej definicji to fragment z filmu „Rejs”:
https://www.youtube.com/watch?v=-HP1Cvjmdio

„Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą.”

Ta definicja jest [b]matematycznie błędna
bo pasuje do niej cała masa zwierząt np. koń, krowa, świnia, kura, kaczka itp. a nie tylko i wyłącznie jedno zwierzę.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 8:58, 08 Lis 2021, w całości zmieniany 3 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:38, 27 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
6.8 Równoważność A<=>S w zdarzeniach

Spis treści
6.8 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach 1
6.8.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach 4
6.8.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach 9


6.8 Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach

Sterowanie żarówką S przez różne zespoły przycisków to najprostszy sposób by zrozumieć algebrę Kubusia na poziomie I klasy LO.

Niech będzie dany schemat elektryczny:
Kod:

S3 Schemat 3
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------


Zadajmy sobie dwa podstawowe pytania:
A1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest wystarczające => dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
A1: A=>S =1
Tak, bo zawsze gdy wciśniemy przycisk A żarówka zaświeci się.
Zauważmy, że gdyby szeregowo z przyciskiem A występował przycisk zmiennej wolnej W to odpowiedź na powyższe pytanie byłaby negatywna (=0).
Stąd mamy:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A1: A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka S świeciła się
Wciśnięcie przycisku A daje nam (=1) gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p=A - przycisk A
q=S - żarówka S
Stąd mamy zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1

B1.
Czy wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> dla świecenia żarówki S?

Odpowiedź:
B1: A~>S =1
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Tak
Konieczne ~> dlatego, że nie ma przycisku zmiennej wolnej W podłączonego równolegle do przycisku A, który by zaświecił żarówkę niezależnie od stanu przycisku A.
Stąd mamy:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka S na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S (S=1).
cnd

Wisienką na torcie naszych dotychczasowych rozważań jest odkrycie fizycznej realizacji definicji równoważności A<=>S w zdarzeniach
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(a) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S3 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S.

Jak udowodnić, iż schemat S3 to fizyczna realizacja równoważności?

Definicja równoważności klasycznej p<=>q w zdarzeniach:
Równoważność klasyczna A1B1: p<=>q to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1

Nasz przykład:
Definicja równoważności klasycznej A<=>S w zdarzeniach:
Równoważność klasyczna A1B1: A<=>S to jednoczesna zajście warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
stąd:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla świecenia żarówki S
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1

Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo w układzie nie ma przycisku zmiennej wolnej W połączonego szeregowo z A który by gwałcił warunek wystarczający =>.
cnd

Dowodzimy prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S3 nie ma przycisku W (zmienna wolna) podłączonego równolegle do A który mógłby zaświecić żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie będzie się świecić (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
Stąd mamy spełnioną podstawową definicję równoważności.

Definicja równoważności A<=>S dla wciśniętego przycisku A:
Wciśnięcie przycisku A jest konieczne ~> i wystarczające => dla zaświecenia się żarówki S
RA1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1

Innymi słowy:
Przycisk A jest wciśnięty wtedy i tylko wtedy gdy żarówka S świeci się
RA1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1

Prawo Kameleona po raz n-ty:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.

Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te nie są tożsame na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.

Innymi słowy:
Wszystko zależy tu od tego, którym znaczkiem (=> albo ~>) zakodujemy banalne zdanie prawdziwe opisujące układ S3:
S3:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% świeci się (S=1)

Zapis aktualny zdań A1 i B1:
A1: A=>S=~A+S =1 ## B1: A~>S = A+~S =1
Zapis formalny (ogólny) zdań A1 i B1:
A1: p=>q =~p+q =1 ## B1: p~>q = p+~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>

Dopiero po udowodnieniu iż układ S3 jest fizyczną realizacją równoważności A<=>S, co wyżej się stało, możemy skorzystać z gotowego szablonu równoważności p<=>q wyrażonego spójnikami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.

6.8.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach

Nanieśmy nasz matematyczny dowód spełnionej definicji równoważności A<=>S do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1   = 2:~A~>~S=1       [=] 3: S~>A  =1    = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0   =                  [=]                = 4:~S~~>A =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1   = 2:~A=>~S=1       [=] 3: S=>A  =1    = 4:~S~>~A =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
B’:               = 2:~A~~>S=0       [=] 3: S~~>~A=0

Definicja równoważności p<=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja równoważności ~p<=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (A i S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności A|<=>S.

Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o A i ~A
A1B1: A<=>S =(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - co się stanie jeśli przycisk A wciśnięty (A=1)
A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - co się stanie przycisk A nie wciśnięty (~A=1)
Nasz przykład:
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o A i ~A:

A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?


Kolumna A1B1
RA1B1:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
Równoważność A<=>S definiuje tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Odpowiedź na pytanie A1B1 w warunku wystarczającym => (twierdzenie matematyczne) jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A musi być fałszem
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dowód:
Zdarzenia A=S i ~A=~S są rozłączne uzupełniając się wzajemnie do dziedziny:
a)
A+~A = D =1
Dziedzina D to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń w stosunku do przycisku A
Przycisk A może być wciśnięty A=1 albo nie wciśnięty ~A=1, trzeciej możliwości brak.
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)
b)
A*~A =0
Zdarzenia A i ~A są rozłączne tzn. przycisk A nie może być jednocześnie wciśnięty A=1 i nie wciśnięty ~A=1
Prawo Prosiaczka:
(~A=1)=(A=0)

A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?


Kolumna A2B2
RA2B2:
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Równoważność ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć ~A=~S:
~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A<=>~S
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Odpowiedź na pytanie A2B2 w warunku wystarczającym => (twierdzenie matematyczne) to:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Kontrprzykład B2’ dla prawdziwego warunku wystarczającego B2 musi być fałszem
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)

Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak i po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
2.
W dowolnym operatorze równoważności p|<=>q nie ma miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które miało miejsce zarówno w operatorze implikacji prostej p||=>q jak i w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
3.
Punkt 2 jest odpowiedzią na pytanie:
Dlaczego ziemscy matematycy mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie zdołali rozszyfrować ani operatora implikacji prostej p||=>q, ani też operatora implikacji odwrotnej p||~>q.
Po prostu, oba operatory implikacji prostej p||=>q i odwrotnej p||~>q to absolutny idiotyzm w świecie techniki i nigdy nie znajdą tu zastosowania, co za chwilkę zobaczymy na przykładzie komputerowego sterowania kierownicą.
4.
Wniosek:
Jedynym operatorem implikacyjnym mającym zastosowanie w świecie techniki jest operator równoważności p|<=>q.

Dowód prawdziwości punktu 4 zademonstruję na dwóch przykładach.

Przykład 1
Sterowanie kierownicą zgodnie z algorytmem równoważności p|<=>q.


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem równoważności p|<=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to na 100% => skręcaj koła w lewo (L=1)
L=>L =1

Przykład 2
Sterowanie kierownicą zgodnie z operatorem implikacji prostej p||=>q


Wyobraźmy sobie samochód z kierownicą sterowaną komputerowo.
Algorytm sterowania kołami zgodnie z operatorem implikacji prostej p||=>q:
A1.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w prawo (P=1) to na 100% => skręcaj koła w prawo (P=1)
P=>P =1
B2.
Jeśli kierowca kręci kierownicą (akcja) w lewo (L=1) to wywołaj generator cyfr losowych postępując zgodnie z poniższym algorytmem:
„orzełek” - skręcaj kierownicą w lewo zgodnie z rozkazem kierowcy
„reszka” - skręcaj kierownicą w prawo ignorując rozkaz kierowcy

Jak widzimy, operator implikacji prostej p||=>q w świecie techniki to idiotyzm absolutny i nigdy nie znajdzie tu zastosowania.

6.8.2 Operator równoważności S|<=>A w zdarzeniach

Weźmy tabelę prawdy dla naszej równoważności A|<=>S.

Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Stąd mamy:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
       A1B1:           A2B2:          |     A3B3:            A4B4:
A:  1: p=>q  =1   = 2:~p~>~q=1       [=] 3: q~>p  =1    = 4:~q=>~p =1
A:  1: A=>S  =1   = 2:~A~>~S=1       [=] 3: S~>A  =1    = 4:~S=>~A =1
A’: 1: p~~>~q=0   =                  [=]                = 4:~q~~>p =0
A’: 1: A~~>~S=0   =                  [=]                = 4:~S~~>A =0
       ##              ##             |     ##               ##
B:  1: p~>q  =1   = 2:~p=>~q=1       [=] 3: q=>p  =1    = 4:~q~>~p =1
B:  1: A~>S  =1   = 2:~A=>~S=1       [=] 3: S=>A  =1    = 4:~S~>~A =1
B’:               = 2:~p~~>q=0       [=] 3: q~~>~p=0
B’:               = 2:~A~~>S=0       [=] 3: S~~>~A=0

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli prawdy TR zmienne aktualne (A i S) podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli i jej części głównej, odpowiedzialnej za generowanie zdań warunkowych wchodzących w skład operatora równoważności A|<=>S.
Kod:

S3 Schemat 3
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
             S               A       
       -------------       ______     
  -----| Żarówka   |-------o    o-----
  |    -------------                 |
  |                                  |
______                               |
 ___    U (źródło napięcia)          |
  |                                  |
  |                                  |
  ------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych


Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

Stąd mamy:
Definicja operatora równoważności S|<=>A:
Operator równoważności S|<=>A to złożenie równoważności A3B3: S<=>A w logice dodatniej (bo A) zdefiniowanej w kolumnie A3B3 oraz równoważności A4B4: ~S<=>~A w logice ujemnej (bo ~A) zdefiniowanej w kolumnie A4B4

Zauważmy, że definicja równoważności S<=>A opisana kolumną A3B3 przyjmie brzmienie:
A3B3:
Żarówka S świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
A3B3: S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest konieczne ~> (A3) i wystarczające => (B3) do tego, by wciśnięty był przycisk A (A=1)
Zauważmy, że precyzyjnie powyższe zdanie brzmi następująco:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest konieczne ~> i wystarczające => do tego, by wnioskować o wciśniętym klawiszu A (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1

Dlaczego ta precyzja jest tu konieczna?
Wypowiedzmy warunek wystarczający => B3:
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Świecenie się żarówki S (S=1) jest wystarczające => do tego, by wnioskować o wciśniętym klawiszu A (A=1)

Zauważmy, że w zdaniu B3 „świecenie się żarówki S” nie jest przyczyną dla skutku „przycisk A jest wciśnięty”
Dowód:
W laboratorium fizyki możemy łatwo zbudować układ S3 i stwierdzić iż rzeczywiście:
Wkręcenie żarówki (świeci) i wykręcenie żarówki (nie świeci) nie powoduje jakiejkolwiek zmiany stanu przycisku A.

Stąd mamy:
Definicja układu jednokierunkowego:
Układ jednokierunkowy to układ, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” nie możemy zamienić przyczyny p ze skutkiem q.
Oznacza to, że skutku q nie możemy traktować jako przyczyny dla zajścia p w zdaniu warunkowym „Jeśli q to p”
Dowód:
Nasz schemat S3

Wniosek:
W przypadku układu jednokierunkowego (nasz schemat S3) możemy jedynie mówić o wnioskowaniu w jakim stanie jest wejście p na podstawie obserwacji wyjścia q.

Nasz schemat S3:
W przypadku układu jednokierunkowego (nasz schemat S3) możemy jedynie mówić o wnioskowaniu w jakim stanie jest wejście A (przycisk A) na podstawie obserwacji wyjścia S (żarówka S).
W praktyce logiki matematycznej to wnioskowanie jest oczywistością, dlatego frazę „o wnioskowaniu” możemy niekiedy pominąć uznając ją jako domyślną w logice matematycznej.

Uwaga:
Zauważmy, że w teorii zbiorów (np. w równoważnościach Pitagorasa) układy jednokierunkowe nie występują, bo zawsze dochodzi tu do losowania elementów z kompletnej, wspólnej dziedziny D zawierającej wszystkie możliwe zbiory p, q, ~p, ~q.
cnd

Po tych wyjaśnieniach wracamy do definicji operatora równoważności S|<=>A

Na mocy tabeli prawdy TR mamy:
Operator równoważności S|<=>A w logice dodatniej (bo A) to układ równań A3B3 i A4B4 dający odpowiedź na pytania o S i ~S:

A3B3:
Kiedy żarówka będzie się świecić (S=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A3B3
A3B3:
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby żarówka S świeciła się (S=1) potrzeba ~> (B3) i wystarcza => (A3) by przycisk A był wciśnięty (A=1)

Odpowiedź na pytanie A3B3 w warunku wystarczającym => (twierdzenie matematyczne) to:
B3.
Jeśli żarówka S świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =1
to samo w zapisie formalnym:
q=>p =1
Precyzyjnie:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o wciśniętym klawiszu A (A=1)
Mniej precyzyjnie:
Świecenie się żarówki S (S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wciśnięcia klawisza A (A=1)
STOP!
Doskonale tu widać, że nauczyciel fizyki za zdanie „mniej precyzyjne” może uczniowi postawić pałę.

Prawdziwość warunku wystarczającego B3 wymusza fałszywość kontrprzykładu B3’:
B3’
Jeśli żarówka S świeci się (S=1) to przycisk A może ~~> nie być wciśnięty (~A=1)
S~~>~A = S*~A =0
to samo w zapisie formalnym:
q~~>~p = q*~p =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Żarówka świeci się (S=1) i przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)

A4B4:
Kiedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A4B4
A4B4:
Żarówka nie będzie się świecić (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie będzie wciśnięty (~S=1)
A4B4: ~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) =1*1 =1
to samo w zapisie formalnym:
A4B4: ~q<=>~p = (A4: ~q=>~p)*(B4: ~q~>~p) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby żarówka S nie świeciła się (~S=1) potrzeba ~> (B4) i wystarcza => (A4) by przycisk A nie był wciśnięty (~A=1)

Odpowiedź na pytanie A4B4 w warunku wystarczającym => (twierdzenie matematyczne) to:
A4.
Jeśli żarówka S nie świeci się (~S=1) to na 100% => przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S=>~A =1
to samo w zapisie formalnym:
~q=>~p =1
Precyzyjnie:
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla wnioskowania o nie wciśniętym klawiszu A (~A=1)
Mniej precyzyjnie:
Brak świecenia się żarówki S (~S=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie wciśnięcia klawisza A (~A=1)
STOP!
Doskonale tu widać, że nauczyciel fizyki za zdanie „mniej precyzyjne” może uczniowi postawić pałę.

Prawdziwość warunku wystarczającego A4 wymusza fałszywość kontrprzykładu A4’:
A4’
Jeśli żarówka S nie świeci się (~S=1) to przycisk A może ~~> być wciśnięty (A=1)
~S~~>A = ~S*A =0
to samo w zapisie formalnym:
~q~~>p = ~q*p =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie:
Żarówka nie świeci się (~S=1) i przycisk A jest wciśnięty (A=1)

Podsumowanie:
1.
Istotą operatora równoważności S|<=>A jest gwarancja matematyczna => zarówno po stronie świecącej się żarówki (zdanie B3) jak i po stronie nie święcącej się żarówki (zdanie A4).
2.
W dowolnym operatorze równoważności q|<=>p nie ma miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które miało miejsce zarówno w implikacji prostej q||=>p jak i w implikacji odwrotnej q||~>p.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:00, 08 Lis 2021, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Wto 23:41, 28 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
7.0 Operatory implikacyjne - operator „albo” p|$q


Spis treści
7.0 Operatory implikacyjne - operator „albo”($) p|$q 1
7.1 Geneza spójnika „albo”($) 3
7.1.1 Diagram równoważności w zbiorach 6
7.1.2 Równoważność typu p<=>p 7
7.2 Diagram spójnika „albo”($) 8
7.3 Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q 9
7.3.1 Operator „albo”($) p|$q 13
7.3.2 Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) 16
7.3.3 Zmienne związane i zmienne wolne w spójniku „albo”($) 18
7.4 Odtworzenie spójnika „albo” p$q z definicji ~~> 20


7.0 Operatory implikacyjne - operator „albo”($) p|$q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:

„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:

„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:

Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

W logice matematycznej rozróżniamy 5 różnych na mocy definicji operatorów implikacyjnych dających odpowiedzi na pytania o p i ~p:
1.
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
2.
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q

Operator implikacji odwrotnej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
3.
p|<=>q - operator równoważności p<=>q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
RA2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p
4.
p|$q - operator „albo”($) p$q

Operator „albo”($) p|$q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
AA1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
AA2B2: ~p$~q=(A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
5.
p||~~>q - operator chaosu p|~~>q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
CA1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p
CA2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~(0)*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

7.1 Geneza spójnika „albo”($)

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) p$q to wybór jednego z dwóch rozłącznych pojęć uzupełniających się wzajemnie do dziedziny
Definicja dziedziny dla spójnika „albo”($):
p+q =D =1
p*q =[] =0

Przykład rodem z przedszkola:
A1B1:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K

Dziedzina minimalna:
M+K = C =1
M*K =[] =0
Gdzie:
C (człowiek) - dwuelementowy zbiór wszystkich ludzi
C=M+K
Stąd mamy:
~M = [C-M] = [M+K -M] = K
~K = [C-K] = [M+K -K] = M

Prawą stronę czytamy:
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K

Środek czytamy:
Do tego by być mężczyzną (M) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by nie być kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)

Ostatni zapis to klasyczna definicja równoważności M<=>~K znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
wyników: 7 800
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 118 000

Zacznijmy od tabeli prawdy równoważności p<=>q:

TR
Definicja klasyczna równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):

Równoważność klasyczna p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
Kolumna A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B2 p~>q) =1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q

Kod:

TR
Tabela prawdy równoważności klasycznej p<=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja równoważności p<=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja równoważności ~p<=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator równoważności p|<=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~p|<=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p<=>q =(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności klasycznej A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

A1B3:
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:

Matematyczna definicja równoważności to relacja podzbioru => zachodząca w dwie strony.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
B3: q=>p =1 - zajście q jest (=1) wystarczające => dla zajścia p
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór q jest podzbiorem => p
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)=1*1=1

Stąd mamy wyprowadzoną definicję tożsamości zbiorów p=q znaną każdemu matematykowi.

A1B3:
Definicja tożsamości zbiorów p=q:

Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = A1B3: p<=>q

Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q zdefiniowaną kolumną A1B1.

A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:

Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów p=q definiowaną kolumną A1B1.
A1B1: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów p=q:

Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i jednocześnie zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Stąd mamy:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

W kolumnie A2B2 łatwo odczytujemy analogiczną definicję tożsamości zbiorów ~p=~q.
A2B2: Zbiory
Definicja tożsamości zbiorów ~p=~q:

Dwa zbiory ~p i ~q są tożsame ~p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q i jednocześnie zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru ~q
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Dowód w równaniach algebry Kubusia:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
cnd

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p<=>q = A2B2:~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję równoważności A2B2:~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.

7.1.1 Diagram równoważności w zbiorach

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q

Znaczenie powyższej tożsamości logicznej w przełożeniu na zbiory.
Tożsamość zbiorów p=q definiowana przez:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q definiowaną przez:
~p=~q <=> (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = A2B2: ~p<=>~q
(i odwrotnie)

Na tej podstawie łatwo rysujemy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
Kod:

 DR:
 Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
-------------------------------------------------------------------------
| D - wspólna dziedzina dla p i q                                       |
| p+~p =D =1   | q+~q =D =1                                             |
| p*~p =[]=0   | q*~q =[]=0                                             |
-------------------------------------------------------------------------
| Zbiór: p=q                      # Zbiór: ~p=~q
| A1B1: Równoważność dla p:       | A2B2: Równoważność dla ~p           |
| p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)  [=] ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) |
| Definiuje tożsamość zbiorów:    |  Definiuje tożsamość zbiorów:       |
| p=q                             #  ~p=~q                              |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna


7.1.2 Równoważność typu p<=>p

Spójrzmy raz jeszcze na wyprowadzony wyżej diagram równoważności p<=>q w zbiorach.
Zauważmy, że z powodu tożsamości zbiorów p=q wymuszającej tożsamość zbiorów ~p=~q (albo odwrotnie) z powyższego diagramu możemy usunąć zbiór q i równoważność p<=>p dalej musi zachodzić.
Zróbmy to:
Kod:

 DRpp:
 Diagram równoważności p<=>p w zbiorach
---------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina)                                                           |
| p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p    |
| p*~p =[]=0 - zbiory p i ~p są rozłączne                                 |
---------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p                          | Zbiór: ~p                           |
| A1B1: Równoważność dla p:         | A2B2: Równoważność dla ~p:          |
| p<=>p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p)    [=] ~p<=>~p = (A2: ~p~>~p)*(B2:~p=>~p) |
| Definiuje zbiór p:                |  Definiuje zbiór ~p:                |
| p=~(~p) - p jest zaprzeczeniem ~p #  ~p=~(p) - ~p jest zaprzeczeniem p  |
---------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna


Dowód iż zachodzi równoważność dla p:
A1B1: p<=>p = (A1: p=>p)*(B1: p~>p) =1*1 =1
bo:
A1: p=>p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>p =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

Dowód iż zachodzi równoważność dla ~p:
A2B2: ~p<=>~p = (A2: ~p~>~p)*(B2:~p=>~p)
bo:
A2: ~p=>~p =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B2: ~p~>~p =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd

7.2 Diagram spójnika „albo”($)

W nawiązaniu do diagramu równoważności p<=>p mamy tak:
W języku potocznym człowieka czasami zdarza się, iż człowiek nadaje nazwę specjalną zbiorowi/zdarzeniu ~p. Otrzymamy wtedy definicję spójnika „albo”($) p$q w dziewiczej postaci.
Zróbmy to:
Dla q=~p mamy:
Kod:

 DA:
 Diagram spójnika „albo”($) w zbiorach/zdarzeniach
 Dla q=~p mamy:
-------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina)                                                         |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p    |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne                                 |
-------------------------------------------------------------------------
| Zbiór/zdarzenie: p              | Zbiór/zdarzenie: q                  |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p:  | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p      |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  [=] ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)     |
| Stąd mamy:                      |  Stąd mamy:                         |
| p=~q bo p jest negacją (~)q w D |  q=~p bo q jest negacją (~)p w D    |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

W tym momencie łatwo tworzymy tabelę prawdy spójnika „albo”($), będącą szczególnym przypadkiem równoważności p<=>~q.

DA
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):

Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p (p=1) do ~q (~q=1)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p)
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (bo ~q=p)
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q

Dowód formalny (na podstawie diagramu DA):
p=~q
Tożsamość zbiorów jest przemienna stąd:
~q=p
Podstawiając do A1 i B1 mamy:
A1: p=>~q = p=>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
B1: p~>~q = p~>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest nadzbiorem ~> siebie samego
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
cnd

Z diagramu DA widać, że nie zachodzi tożsamość zbiorów p i q (bo zbiory te są rozłączne) zatem równoważność p<=>q musi tu być fałszem.

Z diagramu spójnika „albo”($) widzimy że:
A1: p=>q =0 - zajście nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q bo zbiory p i q są rozłączne
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q bo zbiory p i q są rozłączne
Stąd dla diagramu DA mamy fałszywą równoważność p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 0*0 =0
cnd

7.3 Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q

Definicja klasyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p (p=1) do ~q (~q=1)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p)
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (bo ~q=p)
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Podstawmy definicję spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, ~q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
       A1B1:        A2B2:       |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q=1 = 2:~p~>q  =1   [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q=0 =               [=]              = 4: q~~>p =0
       ##           ##          |      ##            ##
B:  1: p~>~q=1 = 2:~p=>q  =1   [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B’:            = 2:~p~~>~q=0   [=] 3: ~q~~>~p=0

Definicja spójnika „albo” p$q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja spójnika „albo” ~p$~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

Wyprowadzenie definicji spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)= ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
A1B1: p$q = p*~q + ~p*q

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p$q = A2B2: ~p$~q = A3B3: q$p = A4B4: ~q$~p = p*~q+~p*q
Gdzie:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = p*~q + ~p*q
A3B3: q$p = (A3: ~q~>p)*(B3:~q=>p) = p*~q + ~p*q
A4B4: ~q$~p=(A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = p*~q + ~p*q
Dowód A2B2, A3B3 i A4B4 pozostawiam czytelnikowi.

Najprostszy dowód tożsamości powyższych kolumn wynika z praw logiki matematycznej: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.

Prawo Sowy:
Prawdziwość spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TA

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TA

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład spójnika „albo”($) potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.

Definicja klasyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p (p=1) do ~q (~q=1)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p)
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (bo ~q=p)
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Innymi słowy:
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
A1B1: (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1

Prawa strona to definicja równoważności p<=>~q, stąd mamy pełną definicję spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Prawą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)

Stąd mamy tożsamość logiczną:
A1B1: p$q = A1B1: p<=>~q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej „=”:
A1B1: p$q = p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład spójnika „albo”($) mamy gwarancję matematyczną iż to samo zdanie jest częścią równoważności p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q).

Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2B2:
Spójnik „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od ~p (~p=1) do q (q=1)
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia q (bo q=~p)
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q (bo q=~p)
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1

Pełna definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>q) = A2B2: ~p<=>q

Matematycznie zachodzi również tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q = p<=>~q [=] A2B2: ~p$~q = ~p<=>q
Dowód:
a)
Kolumna A1B1:
Definicja równoważności dla A1B1: p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
b)
Kolumna A2B2:
Definicja równoważności dla A2B2: ~p<=>q:
A2B2: ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)

Dowód zachodzącej tożsamości logicznej [=]:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = A2B2: ~p<=>q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2:~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd
Gdzie:
„=”, [=] - tożsamości logiczne (zapisy tożsame)

Zauważmy, że:
a)
Równoważność A1B1: p<=>~q definiuje nam tożsamość zbiorów p=~q:
Dwa zbiory p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi relacja równoważności A1B1: p<=>~q
p=~q <=> A1B1: p<=>~q
b)
Równoważność A2B2: ~p<=>q definiuje nam tożsamość zbiorów ~p=q:
Dwa zbiory ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi relacja równoważności A2B2: ~p<=>q
~p=q <=> A2B2: ~p<=>q
Szczegóły w punkcie 7.2 w tabeli DA

Matematycznie zachodzi:
A1B1: p=~q # A2B2: ~p=q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony

Przykład rodem z przedszkola:

Kolumna A1B1:
Pełna definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K):
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Środek czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby nie być kobietą (~K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)

Kolumna A2B2:
Pełna definicja spójnika „albo”($) ~M$~K w logice ujemnej (bo ~K):
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) „albo”($) nie jest kobietą (~K)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M=>K)*(B2: ~M~>K) = ~M<=>K
Środek czytamy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest warunkiem koniecznym ~> (B2) i wystarczającym => (A2) do tego, aby być kobietą (K)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M=>K)*(B2: ~M~>K)
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
A2B2: ~M<=>K = (A2: ~M=>K)*(B2: ~M~>K)

Zauważmy, że udowodnienie spójnika „albo”($) w logice dodatniej (bo K):
A1B1: M$K =1
wymusza nam prawdziwość spójnika „albo”($) w logice ujemnej (bo ~K):
A2B2: ~M$~K =1
(i odwrotnie)
Oczywiście łatwiej dowodzi się spójnik „albo”($) A1B1: M$K w logice dodatniej (bo K).
Na mocy prawa rachunku zero-jedynkowego:
A1B1: M$K = A2B2: ~M$~K
nic a nic w temacie A2B2: ~M$~K nie musimy udowadniać, bo wszystko co możliwe mamy udowodnione po udowodnieniu prawdziwości A1B1, co widać w tabeli prawdy TA

7.3.1 Operator „albo”($) p|$q

Z tabeli prawdy spójnika „albo”($) którą jest tabela TA odczytujemy:

Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p (p=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia ~q (~q=1)
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór p jest tożsamy ze zbiorem ~q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Zdarzenia:
Zdarzenie p jest tożsame ze zdarzeniem ~q (p=~q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Tożsamość zbiorów/pojęć p=~q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć ~p=q (albo odwrotnie)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>q = p*q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć p=~q która wymusza tożsamość zbiorów ~p=q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
p=~q # ~p=q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
stąd:
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p „albo”($) zajdzie ~q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście ~p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)=1*1=1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów/pojęć:
Zbiory:
Zbiór ~p jest tożsamy ze zbiorem q (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
~p=q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Zdarzenia:
Zdarzenie ~p jest tożsame ze zdarzeniem q (~p=q) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
~p=q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Tożsamość zbiorów/pojęć ~p=q wymusza tożsamość zbiorów/pojęć p=~q (albo odwrotnie)

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.

Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =0
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i ~q
Wynika to z tożsamości zbiorów/pojęć ~p=q która wymusza tożsamość zbiorów p=~q (albo odwrotnie)
Relacja matematyczna jaka tu zachodzi to:
~p=q # p=~q
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 I A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

7.3.2 Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)

Zapiszmy powyższą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Definicja symboliczna                |Co w logice jedynek
                                     |oznacza
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)    |
A1:  p=>~q =1                        |( p=1)=> (~q=1)=1
A1’: p~~>q =0                        |( p=1)~~>(q=1) =0
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)     |
B2: ~p=> q =1                        |(~p=1)=> ( q=1)=1
B2’:~p~~>~q=0                        |(~p=1)~~>(~q=1)=0


Zauważmy, że zero-jedynkowo tabelę T1 możemy kodować wyłącznie w odniesieniu do spójnika „albo” A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) albo w odniesieniu spójnika „albo” A2B2:~p$~q w logice ujemnej (bo ~q)

Dlaczego tabeli T1 nie możemy kodować z punktem odniesienia ustawionym na warunku wystarczającym A1: p=>~q?
Odpowiedź:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Warunek wystarczający A1: p=>~q nie jest jedynym członem prawdziwym w spójniku „albo”($) p$q.

Zakodujmy powyższą analizę zero-jedynkowo z punktem odniesienia ustawionym na spójniku „albo”($) w logice dodatniej (bo q):
A1B1: p$q

Prawa Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
(~p=1)=(p=0)

Prawa Prosiaczka możemy stosować wybiórczo do dowolnych zmiennych binarnych.
Dla wygenerowania zero-jedynkowej definicji spójnika „albo” p$q jest potrzebne i wystarczające jedno z praw Prosiaczka pozwalające na eliminację przeczeń w zapisach symbolicznych, bowiem w punkcie odniesienie A1B1: p$q mamy sygnały p i q bez przeczeń.

Potrzebne nam prawo Prosiaczka to:
(~p=1)=(p=0)
(~q=1)=(q=0)

Zakodujmy nasza tabelę T1 zero-jedynkowo:
Kod:

T2.
Definicja      |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna    |Jedynek oznacza   |A1B1: p$q         |
A1B1: p$q      |                  |                  | p   q   p$q
A1:  p=>~q =1  |( p=1)=> (~q=1)=1 |( p=1)=> ( q=0)=1 | 1 $ 0   =1
A1’: p~~>q =0  |( p=1)~~>( q=1)=0 |( p=1)~~>( q=1)=0 | 1 $ 1   =0
A2B2:~p$~q     |                  |                  |
B2: ~p=> q =1  |(~p=1)=> ( q=1)=1 |( p=0)=> ( q=1)=1 | 0 $ 1   =1
B2’:~p~~>~q=0  |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=0)~~>( q=0)=0 | 0 $ 0   =0
     a   b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                  | Prawa Prosiaczka |
                                  | (~p=1)=(p=0)     |
                                  | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q).

Zakodujmy zero-jedynkowo tabelę T1 z punktem odniesienia ustawionym na spójniku „albo”($) w logice ujemnej (bo ~q):
A2B2: ~p$~q
Prawo Kubusia z którego tu należy skorzystać to:
(p=1)=(~p=0)
(q=1)=(~q=0)
Uzasadnienie:
Wszystkie zmienne musimy sprowadzić do postaci zanegowanej ~p i ~q bowiem w punkcie odniesienia:
A2B2: ~p$~q
obie zmienne mamy zanegowane.
Kod:

T3.
Definicja      |Co w logice       |Punkt odniesienia |Tabela tożsama
symboliczna    |Jedynek oznacza   |A1B1:~p$~q        |
A1B1: p$q      |                  |                  |~p  ~q  ~p$~q
A1:  p=>~q =1  |( p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=1)=1 | 0 $ 1   =1
A1’: p~~>q =0  |( p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=0)=0 | 0 $ 0   =0
A2B2:~p$~q     |                  |                  |
B2: ~p=> q =1  |(~p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=0)=1 | 1 $ 0   =1
B2’:~p~~>~q=0  |(~p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=1)=0 | 1 $ 1   =0
     a   b  c     d        e    f    g        h    i   1   2    3
                                  | Prawa Prosiaczka |
                                  | (~p=1)=(p=0)     |
                                  | (~q=1)=(q=0)     |

Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).

Zauważmy, że w tabelach T2 i T3 wejściowa definicja spójnika „albo”($) abc jest identyczna, stąd tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach zero-jedynkowych 123 jest dowodem formalnym poprawności prawa rachunku zero-jedynkowego:
T2: p$q = T3: ~p$~q

Dowód powyższego prawa bezpośrednio w rachunku zero-jedynkowym jest następujący:
Kod:

Definicja spójnika „albo”($)
     p   q  p$q
A1:  1 $ 1  =0
A1’: 1 $ 0  =1
B2:  0 $ 0  =0
B2’: 0 $ 1  =1

Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q
Dowód:
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p$q = ~p$~q
     p   q  p$q  ~p  ~q  ~p$~q
A1:  1 $ 1  =0    0 $ 0   =0
A1’: 1 $ 0  =1    0 $ 1   =1
B2:  0 $ 0  =0    1 $ 1   =0
B2’: 0 $ 1  =1    1 $ 0   =1
     1   2   3    4   5    6

Tożsamość kolumn wynikowych 3=6 jest dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q

Definicja tożsamości logicznej [=]:
p$q [=] ~p$~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość drugiej strony

Z powyższego wynika, że definicja tożsamości logicznej [=] jest tożsama ze spójnikiem równoważności „wtedy i tylko wtedy” <=>.
Kod:

Zero-jedynkowa definicja równoważności <=>
   p   q p<=>q
A: 1<=>1  =1
B: 1<=>0  =0
C: 0<=>0  =1
D: 0<=>1  =0

Fakt ten możemy wykorzystać w naszym zero-jedynkowym dowodzie prawa rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q
Kod:

Prawo rachunku zero-jedynkowego do udowodnienia:
p$q = ~p$~q
     p   q  p$q  ~p  ~q  ~p$~q  p$q<=>~p$~q
A1:  1 $ 1  =0    0 $ 0   =0        1
A1’: 1 $ 0  =1    0 $ 1   =1        1
B2:  0 $ 0  =0    1 $ 1   =0        1
B2’: 0 $ 1  =1    1 $ 0   =1        1
     1   2   3    4   5    6        7

Same jedynki w kolumnie wynikowej 7 również są dowodem formalnym prawa rachunku zero-jedynkowego:
p$q = ~p$~q

7.3.3 Zmienne związane i zmienne wolne w spójniku „albo”($)

Definicja zmiennej związanej:
W dowolnym spójniku implikacyjnym definiowanym zdaniami „Jeśli p to q” zmienne związane wynikają z praw Kubusia

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Definicja zmiennej wolnej:
W dowolnym spójniku implikacyjnym definiowanym zdaniami „Jeśli p to q” zmienne wolne to prawdziwe kontrprzykłady.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

Definicja klasyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p (p=1) do ~q (~q=1)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p)
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (bo ~q=p)
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Wyprowadzenie definicji spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)= ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q

Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p$q = p*~q + ~p*q

Co oznacza ta tajemnicza definicja?
Kod:

TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, ~q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Zmienne związane w spójniku „albo”($) wynikają z prawa Kubusia.
Prawo Kubusia:
A1: p=>~q = A2:~p~>q
B1: p~>~q = B2:~p=>q
Brak jakiegokolwiek kontrprzykładu w definicji spójnika „albo”($)
oznacza brak zmiennych wolnych.
       A1B1:        A2B2:       |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q=1 = 2:~p~>q  =1   [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q=0 =               [=]              = 4: q~~>p =0
       ##           ##          |      ##            ##
B:  1: p~>~q=1 = 2:~p=>q  =1   [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B’:            = 2:~p~~>~q=0   [=] 3: ~q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Zauważmy że:
1.
Brak zmiennych wolnych w definicji spójnika „albo”($) oznacza fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>q =p*q =0
Fałszywość kontrprzykładu A1’ wymusza fałszywość warunku wystarczającego A1 (i odwrotnie):
A1: p=>~q =1

2.
Brak zmiennych wolnych oznacza również fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>~q=~p*~q =0
Fałszywość kontrprzykładu B2’ wymusza prawdziwość warunku wystarczającego B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>q =1

Zapiszmy tożsamą definicję spójnika „albo”($) przy pomocy warunków wystarczających A1 i B2:
RA1B2: p$q = (A1: p=>~q)*(B2: ~p=>q)=1*1=1

Dla B2 zastosujmy prawo Kubusia:
B2: ~p=>q = B1: p~>~q)

Stąd mamy podstawową definicję spójnika „albo”($):
RA1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby zaszło ~q

Wniosek:
Spójnik „albo”($) to specyficzna równoważność p<=>~q:
RA1B1: p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) do tego, aby zaszło ~q

Dowód iż ta definicja równoważności p<=>~q jest powszechnie znana:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 17 000
„potrzeba i wystarczy”
Wyników: 68 600
cnd

7.4 Odtworzenie spójnika „albo” p$q z definicji ~~>

Weźmy diagram spójnika „albo”($) w zbiorach:
Kod:

 DA:
 Diagram spójnika „albo”($) w zbiorach/zdarzeniach
 Dla q=~p mamy:
-------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina)                                                         |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p    |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne                                 |
-------------------------------------------------------------------------
: Zbiór/zdarzenie: p              | Zbiór/zdarzenie: q                  |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p:  | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p      |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  [=] ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)     |
| Stąd mamy:                      |  Stąd mamy:                         |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D  |  q=~p - q jest negacją (~)p w D     |
-------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna

Definicja wspólnej dziedziny D dla p:
p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p
p*q =[] =0 - zbiory p i p są rozłączne
Definicja wspólnej dziedziny D dla q:
q+p =D =1 - zbiór p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*p =[] =0 - zbiory q i q są rozłączne

Przeanalizujmy diagram DA zdarzeniem możliwym ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.
Tabela prawdy takiej analizy jest następująca:
Kod:

T1
Analiza spójnika „albo” p$q elementem wspólnym ~~> zbiorów
A1B1:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
A1’: p~~>q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> zbiorów p i q (p#q)
A1:  p~~>~q=1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów p i ~q (p=~q)
A2B2:
~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q)
B2’:~p~~>~q=0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> ~p i ~q (~p#~q)
B2: ~p~~>q =1 - istnieje (=1) wspólny element ~~> zbiorów ~p i q (~p=q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (patrz diagram DR)
„=” - zbiory tożsame

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Analiza tabeli prawdy T1
1.
Fałszywość kontrprzykładu A1’:
A1’: p~~>q=0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A1 (i odwrotnie):
A1: p=>~q =1 - zbiór p jest podzbiorem => zbioru ~q
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~q=p
stąd:
A1: p=>~q = p=>p =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest tożsame z samym sobą

2.
Fałszywość kontrprzykładu B2’:
B2’: ~p~~>~q =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => B2 (i odwrotnie):
B2: ~p=>q =1 - bo zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
q=~p
stąd:
B2: ~p=>q = ~p=>~p =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego

Nanieśmy naszą analizę do tabeli T2.
Kod:

T2.
A1’: p~~>q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element ~~> p i q (bo p#q)
A1:  p=>~q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => ~q (bo ~p=q)
B2’:~p~~>~q=0 - nie istnieje (=1) wspólny element ~~> ~p i ~q (bo ~p#~q)
B2: ~p=> q =1 - zbiór ~p jest podzbiorem => zbioru q (bo ~p=q)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony (patrz diagram DR)
„=” - zbiory tożsame

Z tabeli T2 odczytujemy matematyczną definicję spójnika „albo”($) rozumianą jako relacja podzbioru => w dwie strony:
A1: p=>~q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
B2: ~p=>q =1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
A1B2: p$q = (A1: p=>~q)*(B2:~p=>q) =1*1 =1

Dla B2 stosujemy prawo Kubusia:
B2: ~p=>q = B1: p~>~q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1 w tabeli prawdy spójnika „albo”($):
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Stąd mamy:
Definicja klasyczna spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo p):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo p) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Zdefiniowawszy podstawy spójnik „albo”($) A1B1: p$q możemy go podstawić do tabeli prawdy TA.
Kod:

TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, ~q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
       A1B1:        A2B2:       |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q=1 = 2:~p~>q  =1   [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A’: 1: p~~>q=0 =               [=]              = 4: q~~>p =0
       ##           ##          |      ##            ##
B:  1: p~>~q=1 = 2:~p=>q  =1   [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B’:            = 2:~p~~>~q=0   [=] 3: ~q~~>~p=0

Definicja spójnika „albo” p$q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja spójnika „albo” ~p$~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Szczegółową analizę operatora „albo” p|$q na podstawie powyższej tabeli mamy w punkcie 7.3.1


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 12:50, 01 Sty 2022, w całości zmieniany 10 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Czw 23:51, 30 Wrz 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
7.4 Przykłady operatora „albo” p|$q


Spis treści
7.4 Definicja spójnika „albo” p$q wsparta przykładem M$K 1
7.4.1 Operator „albo” p|$q wsparty przykładem M|$K 7
7.5 Spójnik „albo”($) D$S w zdarzeniach 11
7.5.1 Definicja operatora „albo” D|$S w zdarzeniach 15


7.4 Definicja spójnika „albo” p$q wsparta przykładem M$K

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


W wyjaśnianiu definicji spójnika „albo” p$q i operatora „albo” p|$q wspomożemy się konkretnym przykładem z teorii zbiorów {M$K), mającym przełożenie 1:1 na logikę formalną {p$q} pozwalającym łatwo zrozumieć o co tu chodzi.

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Przykład:
A1B1
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Na mocy prawa Kłapouchego dla spójnika M$K przyjmujemy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q = K (kobieta)
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Stąd mamy definicję dziedziny:
M+K = C =1 - bo zbiór kobiet (K) jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru mężczyzn (M)
M*K =[] =0 - bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K]=M
to samo po zamianie argumentów w tożsamości zbiorów:
M = ~K - człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
K=~M - człowiek jest kobietą (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest mężczyzną (~M=1)
Narysujmy diagram w zbiorach pasujący do tego zdania.

Diagram spójnika „albo” p$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
Kod:

 DA:
 Diagram spójnika „albo” p$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina)                                                          |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p     |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne                                  |
| Podstawmy nasz przykład:                                               |
| p=M - zbiór wszystkich mężczyzn                                        |
| q=K - zbiór wszystkich kobiet                                          |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy:             |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi                                  |
| M+K =C =1 - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla M            |
| M*K =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C         |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna)          | Zbiór: q=K (kobieta)                 |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p:  | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p       |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)       |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)       |
| Dla p=M i q=K mamy:             |  Dla p=M i q=K mamy:                 |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D  #  q=~p - q jest negacją (~)p w D      |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C  #  K=~M - K jest negacją (~)M w C      |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dowód iż p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia:
Przepiszmy trzy ostatnie linie diagramu DA popełniając błąd podstawienia.
Kod:

 DA
--------------------------------------------------------------------------
| Dla p=M i q=K mamy:             |  Dla p=K i q=M (błąd podstawienia)   |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D  #  q=~p - q jest negacją (~)p w D      |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C  #  M=~K - M jest negacją (~)K w C      |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony

W ostatniej linii mamy tożsamość zbiorów:
M=~K [=] M=~K
Czyli:
Definicja znaczka # leży w gruzach bo popełniono błąd podstawienia co widać w diagramie
cnd

Stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to wybór jednego z dwóch rozłącznych pojęć uzupełniających się wzajemnie do dziedziny.

Przykład:
A1B1
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1

Definicja klasyczna spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Tabela prawdy spójnika „albo” p$q wsparta przykładem M$K
Kod:

TA:
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Dla naszego przykładu mamy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {M,K}:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną jest wystarczające => by nie być kobietą
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
       A1B1:        A2B2:       |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q=1 = 2:~p~>q  =1   [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K=1 = 2:~M~>K  =1   [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q=0 =               [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K=0 =               [=]              = 4: K~~>M =0
       ##           ##          |      ##            ##
B:  1: p~>~q=1 = 2:~p=>q  =1   [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K=1 = 2:~M=>K  =1   [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:            = 2:~p~~>~q=0   [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:            = 2:~M~~>~K=0   [=] 3: ~K~~>~M=0

Definicja spójnika „albo” p$q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja spójnika „albo” ~p$~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TA

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TA

Uwaga:
Tabela TA zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w spójniku „albo”($)
Zdania w tabeli TA mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli TA.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?

Definicja klasyczna spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Trzeciej możliwości brak

Prawą stronę czytamy:
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Ostatni zapis to definicja równoważności znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom).
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Dowód
Klikamy na googlach:
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 2 130
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 15 300

Stąd mamy:
Pełna definicja spójnika „albo”($) w logice dodatniej (bo q):
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q

Nasz przykład:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) albo($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Trzeciej możliwości brak

Prawą stronę czytamy:
Aby być mężczyzną (M=1) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) iż nie jest się kobietą (~K=1)
Innymi słowy:
Bycie mężczyzną (M=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą (~K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Stąd mamy:
Pełna definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K):
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K

Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Wniosek:
Kolumna A1B1:
Spójnik “albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów p=~q:
p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q

Nasz przykład dla kolumny A1B1:
M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K = A1B1: M$K

Definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Spójnik „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p „albo”($) zajdzie ~q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak

Prawą stronę czytamy:
Do tego aby zaszło ~p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1

Ostatni zapis to definicja równoważności znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom).
A2B2: ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1

Stąd mamy:
Pełna definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = A2B2: ~p<=>q

Nasz przykład:
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) albo($) nie jest kobietą (~K=1)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak

Prawą stronę czytamy:
Aby nie być mężczyzną (~M=1) potrzeba ~> (A2) i wystarcza => (B2) iż jest się kobietą (K=1)
A2B2: ~M<=>K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1

Ostatni zapis to definicja równoważności znana każdemu człowiekowi (nie tylko matematykom).
A2B2: ~M<=>K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1

Stąd mamy:
Pełna definicja spójnika „albo”($) ~M$~K w logice ujemnej (bo ~K):
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) = A2B2: ~M<=>K

Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
A2B2: ~M<=>K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1=1

Definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności:
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q

Wniosek:
Kolumna A2B2:
Spójnik “albo”($) ~p$~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q:
~p=q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = A2B2: ~p<=>q = A2B2: ~p$~q
Nasz przykład dla kolumny A2B2:
~M=K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) = A2B2: ~M<=>K = A2B2: ~M$~K

7.4.1 Operator „albo” p|$q wsparty przykładem M|$K

Zacznijmy od definicji spójnika „albo” p$q wspartego przykładem M$K

Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1

Diagram spójnika „albo” p$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
Kod:

 DA:
 Diagram spójnika „albo” p$q w zbiorach (zdarzeniach)
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina)                                                          |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p     |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne                                  |
| Podstawmy nasz przykład:                                               |
| p=M - zbiór wszystkich mężczyzn                                        |
| q=K - zbiór wszystkich kobiet                                          |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy:             |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi                                  |
| M+K =C =1 - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla M            |
| M*K =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C         |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna)          | Zbiór: q=K (kobieta)                 |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p:  | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p       |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)       |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)       |
| Dla p=M i q=K mamy:             |  Dla p=M i q=K mamy:                 |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D  #  q=~p - q jest negacją (~)p w D      |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C  #  K=~M - K jest negacją (~)M w C      |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Tabela prawdy spójnika „albo” p$q wsparta przykładem M$K
Kod:

TA:
Tabela prawdy spójnika „albo”($):
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Dla naszego przykładu mamy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {M,K}:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną jest wystarczające => by nie być kobietą
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
       A1B1:        A2B2:       |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q=1 = 2:~p~>q  =1   [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: M=>~K=1 = 2:~M~>K  =1   [=] 3: ~K~>M  =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q=0 =               [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K=0 =               [=]              = 4: K~~>M =0
       ##           ##          |      ##            ##
B:  1: p~>~q=1 = 2:~p=>q  =1   [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: M~>~K=1 = 2:~M=>K  =1   [=] 3: ~K=>M  =1 = 4: K~>~M =1
B’:            = 2:~p~~>~q=0   [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:            = 2:~M~~>~K=0   [=] 3: ~K~~>~M=0

Definicja spójnika „albo” p$q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Definicja spójnika „albo” ~p$~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TA

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TA

Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q w logice dodatniej (bo q):
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p

Kolumna A1B1:
Definicja spójnika „albo” M$K w logice dodatniej (bo K) to odpowiedź na pytanie o M:
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)* (B1: M~>~K) - co się stanie jeśli zajdzie M (M=1)?

Kolumna A2B2:
Definicja spójnika „albo” ~M$~K w logice ujemnej (bo ~K) to odpowiedź na pytanie o ~M:
A2B2:~M$~K=(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) - co się stanie jeśli zajdzie ~M (~M=1)?

Operator „albo” M|$K w logice dodatniej (bo M) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o M i ~M
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)* (B1: M~>~K) - co się stanie jeśli zajdzie M (M=1)?
A2B2:~M$~K=(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) - co się stanie jeśli zajdzie ~M (~M=1)?

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru C (człowiek) wylosujemy mężczyznę (M=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M) wystarcza => by nie być kobietą (~K)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> by nie być kobietą (~K)
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)* (B1: M~>~K) =1*1 =1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)* (B1: M~>~K) = M<=>~K
To samo w zapisie formalnym:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) = p<=>~q
Powyższe równanie logiczne definiuje tożsamość zbiorów M=~K:
M=~K <=> (A1: M=>~K)* (B1: M~>~K) = M<=>~K
To samo w zapisie formalnym:

p=~q <=> (A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) = p<=>~q

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli ze zbioru C (człowiek) wylosujemy mężczyznę (M=1) w rozpisce na warunek wystarczający =>.

Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K=1)
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów:
M=~K
To samo w zapisie formalnym:
p=~q

Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =[] =0
To samo w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =[] =0
Nie istnieje wspólny element zbioru mężczyzna (M=1) i kobieta K (K=1) bo zbiory M i K są rozłączne.

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli ze zbioru C (człowiek) wylosujemy nie mężczyznę (~M=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~M~>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M=1) jest konieczne ~> by być kobietą (K=1)
B2: ~M=>K =1 - nie bycie mężczyzną (~M=1) jest wystarczające => by być kobietą (K=1)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) = ~M<=>K
To samo w zapisie formalnym:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p<=>q
Powyższe równanie logiczne definiuje tożsamość zbiorów ~M=K:
~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) = ~M<=>K
To samo w zapisie formalnym:
~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p<=>q

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli ze zbioru C (człowiek) wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) w rozpisce na warunek wystarczający =>.

B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K=1
To samo w zapisie formalnym:
~p=>q =1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) wystarcza => by być kobietą (K=1)
Nie bycie mężczyzną (~M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą (K=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => gwarancja matematyczna =>

Prawdziwość warunku wystarczającego B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~K*~K =[] =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0
Nie istnieje wspólny element zbiorów „nie mężczyzna” ~M i „nie kobieta” ~K
Dowód:
W dziedzinie C (człowiek) zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
stąd mamy:
B2’: ~M~~>~K = K~~>~K = K*~K =[] =0
cnd

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo” M|$K jest gwarancja matematyczna => po stronie M (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~M (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~M i M:
A2B2:~M$~K=(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) - co się stanie jeśli zajdzie ~M (~M=1)?
A1B1: M$K =(A1: M=>~K)* (B1: M~>~K) - co się stanie jeśli zajdzie M (M=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora „albo” ~M|$~K w logice ujemnej (bo ~K) będzie identyczna jak operatora „albo” M|$K w logice dodatniej (bo K) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

7.5 Spójnik „albo”($) D$S w zdarzeniach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.

Definicja logiki matematycznej w algebrze Kubusia:
Logika matematyczna to matematyczny opis nieznanego tzn. nieznanej przyszłości albo nieznanej przeszłości.

Nie ma żadnej logiki matematycznej w świecie znanych, zaistniałych faktów, których żadna logika matematyczna nie ma prawa zmienić!
Przykładowo, wiemy że ktoś taki jak Hitler żył i wiemy co uczynił.
Czy istnieje logika matematyczna, która mogłaby to zmienić?
Oczywiście NIE.
Poniższy dialog rodem z przedszkola jest opisem nieznanej przyszłości, tak więc tu logika matematyczna z definicji doskonale działa.

Konkretny przykład z przedszkola

Pani:
1.
Jutro pójdziemy do kina
D=K
Co w logice jedynek oznacza:
D=1 <=>K=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (D=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
D=K
Co w logice jedynek oznacza:
D=1 <=>K=1

… a kiedy pani nie dotrzyma słowa?
Negujemy równanie 1 stronami:
~D=~K
co w logice jedynek oznacza:
~D=1 <=>~K=1
Czytamy:
2’
Pani nie dotrzyma słowa (~D=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
~D=~K
co w logice jedynek oznacza:
~D=1 <=>~K=1

Zróbmy teraz podstawienie rodem z języka potocznego:

S (pani skłamie) = ~D (pani nie dotrzyma słowa ~D)
S = ~D
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> ~D=1

W tym momencie zdanie tożsame do 2’ będzie brzmiało:
2.
Pani skłamie (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
S=~K
co w logice jedynek oznacza:
S=1 <=> ~K=1

Przykład ogólny którym się posłużymy to:
A1B1:
Dowolny człowiek może dotrzymać słowa (D=1) „albo”($) skłamać (S=1)
D$S =1
Trzeciej możliwości brak.

Na mocy prawa Kłapouchego dla spójnika D$S przyjmujemy punkt odniesienia:
p = D (dotrzymam słowa)
q = S (skłamię)
p$q =1 - zdanie A1B1 w zapisie formalnym

Dziedzina DZ to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń jakie w przyszłości mogą wystąpić:
DZ = D+S
Stąd mamy definicję dziedziny:
D+S = DZ =1 - skłamanie (S) jest uzupełnieniem do dziedziny DZ dla D (dotrzymam słowa)
D*S =[] =0 - pojęcie skłamię (S) jest rozłączne z pojęciem dotrzymam słowa (D)
Obliczamy przeczenia pojęć rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~D = [DZ-D] = [D+S-D] = S
~S = [DZ-S] = [D+S-S] = D
to samo po zamianie argumentów:
S = ~D
D = ~S

Matematyczna relacja między pojęciami:
D = dotrzyma słowa
S = skłamie
to oczywista relacja spójnika „albo”($) którą możemy przedstawić na diagramie spójnika „albo”($).
Kod:

 DA:
 Diagram spójnika „albo”($) w dialogu D1
 Można wyłącznie dotrzymać słowa (D=1) „albo”($) skłamać (S=1)
 Trzeciej możliwości brak.
--------------------------------------------------------------------------
| DZ (dziedzina)                                                         |
| D+S =DZ=1 - zdarzenie S jest uzupełnieniem do dziedziny DZ dla D       |
| D*S =[]=0 - zdarzenia D i S są rozłączne                               |
--------------------------------------------------------------------------
: Zdarzenie: D (dotrzyma słowa)    | Zdarzenie: S (skłamie)              |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla D:   | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~D      |
| D$S = (A1: D=>~S)*(B1: D~>~S)   [=] ~D$~S = (A2: ~D~>S)*(B2:~D=>S)     |
| Stąd mamy:                       |  Stąd mamy:                         |
| D=~S - D jest negacją (~) S w DZ #  S=~D - S jest negacją (~) D w DZ   |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna


Definicja klasyczna spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo p):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p (p=1) do zanegowanego q (~q=1)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p)
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (bo ~q=p)
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1

Nasz przykład:
Definicja podstawowa spójnika „albo” D$S w logice dodatniej (bo D):
Spójnik „albo”($) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od D (D=1) do zanegowanego S (~S=1)
A1: D=>~S =1 - dotrzymanie słowa (D=1) wystarcza => aby nie skłamać (~S=1)
B1: D~>~S =1 - dotrzymanie słowa (D=1) jest konieczne ~> by nie skłamać (~S=1)
A1B1: D$S = (A1: D=>~S)*(B1: D~>~S) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Pani może dotrzymać słowa (D=1) „albo”($) skłamać (S=1)
D$S = (A1: D=>~S)*(B1: D~>~S) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak

Prawą stronę czytamy:
Do tego aby pani dotrzymała słowa (D=1) jest potrzebne ~> i wystarczające =>, aby nie skłamała.
D$S = (A1: D=>~S)*(B1: D~>~S) =1*1 =1

Podstawmy parametry aktualne {D,S} A1 I B1 do tabeli prawdy spójnika „albo”($) p$q
Kod:

TA:
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Dla naszego przykładu mamy punkt odniesienia:
p=D (pani dotrzyma słowa: D=1)
q=S (pani skłamie: S=1)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: D=>~S =1 - dotrzymanie słowa (D=1) wystarcza => aby nie skłamać (~S=1)
B1: D~>~S =1 - dotrzymanie słowa (D=1) jest konieczne ~> by nie skłamać (~S=1)
A1B1: D$S = (A1: D=>~S)*(B1: D~>~S) =1*1 =1
       A1B1:        A2B2:       |      A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>~q=1 = 2:~p~>q  =1   [=] 3: ~q~>p  =1 = 4: q=>~p =1
A:  1: D=>~S=1 = 2:~D~>S  =1   [=] 3: ~S~>D  =1 = 4: S=>~D =1
A’: 1: p~~>q=0 =               [=]              = 4: q~~>p =0
A’: 1: D~~>S=0 =               [=]              = 4: S~~>D =0
       ##           ##          |      ##            ##
B:  1: p~>~q=1 = 2:~p=>q  =1   [=] 3: ~q=>p  =1 = 4: q~>~p =1
B:  1: D~>~S=1 = 2:~D=>S  =1   [=] 3: ~S=>D  =1 = 4: S~>~D =1
B’:            = 2:~p~~>~q=0   [=] 3: ~q~~>~p=0
B’:            = 2:~D~~>~S=0   [=] 3: ~S~~>~D=0

Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1:                                                   A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q

Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności powyższej tabeli zmienne aktualne D i S podstawiono wyłącznie w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”

Prawo Sowy:
Prawdziwość spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TA

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TA

Uwaga:
Tabela TA zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w spójniku „albo”($)
Zdania w tabeli TA mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli TA.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?

7.5.1 Definicja operatora „albo” D|$S w zdarzeniach

Kod:

 DA:
 Diagram spójnika „albo”($) w zdarzeniach dla naszego przykładu
-------------------------------------------------------------------------
| DZ (dziedzina)                                                         |
| D+S =DZ =1 - zdarzenie S jest uzupełnieniem do DZ dla zdarzenia D      |
| D*S =[]=0 - zdarzenia D i S są rozłączne                               |
--------------------------------------------------------------------------
: Zdarzenie: D (dotrzyma słowa)    | Zdarzenie: S (skłamie)              |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla D:   | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~D      |
| D$S = (A1: D=>~S)*(B1: D~>~S)   [=] ~D$~S = (A2: ~D~>S)*(B2:~D=>S)     |
| Stąd mamy:                       |  Stąd mamy:                         |
| D=~S - D jest negacją (~)S w DZ  #  S=~D - S jest negacją (~)D w DZ    |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna


Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p

Innymi słowy w przełożeniu na nasz przykład:
Operator „albo” D|$S w logice dodatniej (bo S) to odpowiedź na dwa pytania A1B1 i A2B2 o D i ~D:

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli pani dotrzyma słowa (D=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: D=>~S =1 - dotrzymanie słowa (D=1) wystarcza => aby nie skłamać (~S=1)
B1: D~>~S =1 - dotrzymanie słowa (D=1) jest konieczne ~> by nie skłamać (~S=1)
A1B1: D$S = (A1: D=>~S)*(B1: D~>~S) =1*1 =1

Lewą stronę czytamy:
Pani dotrzyma słowa (D=1) „albo”($) skłamie (S=1)
A1B1: D$S = (A1: D=>~S)*(B1: D~>~S) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie D w rozpisce na warunek wystarczający =>:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli pani dotrzyma słowa (D=1) to na 100% => nie skłamie (~S=1)
D=>~S =1
Dotrzymanie słowa (D=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie skłamania (~S=1)
Dotrzymanie słowa (D=1) daje nam gwarancję matematyczną => nie skłamania (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć (patrz diagram DA):
~S=D
stąd:
A1: D=>~S = D=>D =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli pani dotrzyma słowa (D=1) to może ~~> skłamać (S=1)
D~~>S = D*S =[] =0
Nie jest możliwe (=0) aby pani jednocześnie dotrzymała słowa (D=1) i skłamała (S=1), bo pojęcia D (dotrzyma słowa) i S (skłamie) są rozłączne, można dotrzymać słowa (D=1) „albo”($) skłamać, trzeciej możliwości brak.
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość S=~D (patrz diagram DA), stąd:
A1’: D~~>S = D~~>~D = D*~D =[] =0
cnd

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli pani dotrzyma nie słowa (~D=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~D~>S =1 - nie dotrzymanie słowa (~D=1) jest konieczne ~> by skłamać (S=1)
B2: ~D=>S =1 - nie dotrzymanie słowa (~D=1) jest wystarczające => by skłamać (S=1)
A2B2: ~D$~S = (A2: ~D~>S)*(B2: ~D=>S) =1*1=1

Lewą stronę czytamy:
Pani może nie dotrzymać słowa (~D=1) „albo”($) nie skłamać (~S=1)
A2B2: ~D$~S = (A2: ~D~>S)*(B2: ~D=>S) =1*1=1
Trzeciej możliwości brak
Patrz diagram DA

Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli pani nie dotrzyma słowa (~D=1) w rozpisce na warunek wystarczający =>:
B2.
Jeśli pani nie dotrzyma słowa (~D=1) to na 100% => skłamie (S=1)
~D=>S =1
Nie dotrzymanie słowa (~D=1) jest warunkiem wystarczającym => dla skłamania (S=1)
Nie dotrzymanie słowa (~D=1) daje nam gwarancję matematyczną => skłamania (S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Matematycznie zachodzi tożsamość:
S=~D
stąd:
B2: ~D=>S = ~D=>~D =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli pani nie dotrzyma słowa (~D=1) to może ~~> nie skłamać (~S=1)
~D~~>~S = ~D*~S =[] =0
Nie jest możliwe (=0) aby pani jednocześnie nie dotrzymała słowa (~D=1) i nie skłamała (~S=1), bo pojęcia nie dotrzyma słowa (~D=1) i nie skłamie (~S=1) są rozłączne.
Dowód:
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć (patrz diagram DA):
~S =D
nie skłamie (~S=1) = dotrzyma słowa (D=1)
stąd mamy:
B2’: ~D~~>~S = ~D~~>D = ~D*D =[] =0
cnd

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo”($) p|$q jest gwarancja matematyczna => po stronie D (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~D (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~D|$~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~D i D:
A2B2: ~D$~S = (A2: ~D~>S)*(B2: ~D=>S) =1*1=1
A1B1: D$S = (A1: D=>~S)*(B1: D~>~S) =1*1 =1
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora „albo” ~D|$~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora „albo” D|$S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 21:13, 14 Lis 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 10:01, 03 Paź 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
7.6 Spójniki zdaniowe „lub”(+) i „albo”($) w praktyce

Spis treści
7.6 Spójniki zdaniowe „lub”(+) i „albo”($) w praktyce 1
7.6.1 Definicja spójnika „lub”(+) 2
7.6.2 Definicja spójnika „albo”($) p$q 3
7.7 Definicja spójnika „lub”(+) vs definicja spójnika „albo”($) 8
7.8 Przykłady gdzie spójniki „albo”($) i „lub”(+) można używać zamiennie 9
7.8.1 Dowolny człowiek jest mężczyzną lub kobietą 9
7.8.2 Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to ma cztery lapy 9
7.9 Przykłady gdzie spójnika „lub”(+) nie można zastąpić spójnikiem „albo”($) 10
7.9.1 Jutro pójdziemy do kina lub do teatru 10
7.9.2 Jutro pójdziemy do kina albo do teatru 12
7.9.3 Sterownie żarówki przyciskami połączonymi równolegle 14



7.6 Spójniki zdaniowe „lub”(+) i „albo”($) w praktyce

Spójniki „lub”(+) i „albo”($) to najciekawsze ze spójników zdaniowych.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Matematyczne definicje spójników „lub”(+) i „albo”($) są jednoznaczne i różne na mocy definicji ##

7.6.1 Definicja spójnika „lub”(+)

Definicja spójnika „lub”(+):
Y=p+q
Definicja spójnika „lub”(+) w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

DL.
Definicja spójnika “lub”(+)
   p  q  Y=p+q
A: 1  1  =1
B: 1  0  =1
C: 0  1  =1
D: 0  0  =0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
Y=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
Y=1
W rachunku zero-jedynkowym nie ma znaczenia
którą z logik będziemy się posługiwać

W logice jedynek z tabeli DL odczytujemy:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=1

Prawo Prosiaczka:
(p=0)=(~p=1)
(q=0)=(~q=1)

Na mocy prawa Prosiaczka sprowadzamy wszystkie zmienne binarne do jedynek, czyli do naturalnej logiki matematycznej człowieka.
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Jedynki są w logice matematycznej domyślne co oznacza, że możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1

Matematycznie zachodzi tożsamość:
Y = p+q = p*q + p*~q +~p*q
Dowód:
Minimalizujemy prawą stronę:
Y = p*q + p*~q + ~p*q = p*(q+~q)+~p*q = p+~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
Stąd mamy:
Y = p+q = p*q + p*~q + ~p*q
cnd
Zauważmy, że prawa strona to definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych:
Y = A: p*q + B: p*~q + C:~p*q
Gdzie:
Zbiory/zdarzenia A, B, C są wzajemnie rozłączne.
Dowód:
A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0
A*C = (p*q)*(~p*q) = [] =0
B*C = (p*~q)*(~p*q) =[] =0
cnd

7.6.2 Definicja spójnika „albo”($) p$q

Definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) p$q to wybór jednego z dwóch rozłącznych pojęć uzupełniających się wzajemnie do dziedziny
Definicja dziedziny dla spójnika „albo”($):
p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny dla p
p*q =[] =0 - zbiory p i q są rozłączne

Przykład rodem z przedszkola:
A1B1:
Dowolny człowiek jest (=1) mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Trzeciej możliwości brak

Dziedzina minimalna:
M+K = C =1
M*K =[] =0
Gdzie:
C (człowiek) - dwuelementowy zbiór wszystkich ludzi
C=M+K
Stąd mamy:
~M = [C-M] = [M+K -M] = K
~K = [C-K] = [M+K -K] = M
Czyli:
~M=K
~K=M
Tożsamość zbiorów jest przemienna, stąd:
K=~M
M=~K

A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
A1B1:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
Środek czytamy:
Do tego by być mężczyzną (M) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) by nie być kobietą (~K)
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)

Ostatni zapis to klasyczna definicja równoważności M<=>~K znana każdemu człowiekowi, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
wyników: 7 800
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 118 000

Definicja tożsamości zbiorów/pojęć:
Dwa zbiory/pojęcia p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q.

Zastosujmy tą definicję do naszego przykładu:
Dwa zbiory M i ~K są matematycznie tożsame M=~K bo znajdują się w relacji równoważności M<=>~K
M=~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K

Oczywistym jest, że dla zbiorów tożsamych M=~K zachodzi:
A1: M=>~K =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: M~>~K =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Dowód matematycznie tożsamy:
Matematycznie zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Stąd mamy:
A1: M=>~K = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: M~>~K = M~>M =1 - bo każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Stąd mamy:
Diagram spójnika „albo” p$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
Kod:

 DA:
 Diagram spójnika „albo” p$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina)                                                          |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p     |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne                                  |
| Podstawmy nasz przykład:                                               |
| p=M - zbiór wszystkich mężczyzn                                        |
| q=K - zbiór wszystkich kobiet                                          |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy:             |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi                                  |
| M+K =C =1 - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla M            |
| M*K =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C         |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna)          | Zbiór: q=K (kobieta)                 |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p:  | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p       |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)  [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)       |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)  [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)       |
| Dla p=M i q=K mamy:             |  Dla p=M i q=K mamy:                 |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D  #  q=~p - q jest negacją (~)p w D      |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C  #  K=~M - K jest negacją (~)M w C      |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tym momencie łatwo tworzymy definicję spójnika „albo”($), będącą szczególnym przypadkiem równoważności p<=>~q.

DA
Definicja klasyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):

Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~> jak i wystarczającego => w kierunku od p (p=1) do ~q (~q=1)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p)
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q (bo ~q=p)
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Dla B1 korzystamy z prawa Tygryska:
B1: p~>~q = B3: ~q=>p
Stąd mamy tożsamą definicję spójnika „albo”($) w warunkach wystarczających => (twierdzeniach matematycznych)

Definicja matematyczna spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => w dwie strony między p i ~q.
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (bo ~q=p), twierdzenie proste
B3:~q=>p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia p (bo ~q=p), twierdzenie odwrotne
Stąd:
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
Czytamy:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi warunek wystarczający => w dwie strony między p i ~q.

Prawa Pszczółki:
1.
Między dwoma pojęciami p i q wolno nam użyć spójnika „albo”($) wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja spójnika „albo”($)
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
2.
Aby rozstrzygnąć czy badane zdanie warunkowe „Jeśli p to ~q” wchodzi w skład definicji spójnika „albo”($) tzn. czy wolno nam połączyć dwa pojęcia p i q spójnikiem „albo”($) musimy udowodnić prawdziwość obu zdań warunkowych A1 i B3 tworzących definicję spójnika „albo”($)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q (matematyczne twierdzenie proste)
B3: ~q=>p =1 - zajście ~q jest wystarczające => dla zajścia p (matematyczne twierdzenie odwrotne)

Przykład pozytywny:
A1B3:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K =?

Definicja spójnika „albo”($):
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
Dla naszego przykładu przyjmujemy punkt odniesienia:
p = M (mężczyzna)
q = K (kobieta)
Na mocy definicji spójnika „albo”($) zapisujemy:
A1B3: M$K = (A1: M=>~K)*(B3: ~K=>M) =?
Dziedzina minimalna dla naszego przykładu to:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
C=M+K
Obliczenia wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
M (Mężczyzna)
K (kobieta)
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M

Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => A1 (twierdzenie proste):
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
To samo w zapisach formalnych:
p=>~q =1
Bycie mężczyzną (M) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kobietą (~K) bo zbiór M jest podzbiorem => zbioru ~K
Dowód:
M=>~K = M=>M =1 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
bo:
~K=M
cnd

Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => B3 (twierdzenie odwrotne):
B3.
Jeśli dowolny człowiek nie jest kobietą (~K=1) to na 100% => jest mężczyzną (M=1)
~K=>M =1
to samo w zapisach formalnych:
~q=>p =1
Nie bycie kobietą (~K) jest warunkiem wystarczającym => by być mężczyzną (M) bo zbiór nie kobiet (~K) jest podzbiorem => zbioru mężczyzn (M)
Dowód:
~K=>M = M=>M =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem siebie samego
bo:
~K=M
cnd

Podsumowując:
A1B3:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B3: M$K = (A1: M=>~K)*(B3: ~K=>M) =1*1 =1
Powyższe zdanie spełnia definicję spójnika „albo”($) zatem w tym przypadku użycie spójnika „albo”($) jest matematycznie poprawne.
cnd

Przykład negatywny:
A1B3:
Dowolne zwierzę jest psem (P=1) „albo”($) kotem (K=1)
P$K =?

Definicja spójnika „albo”($):
A1B3: p$q = (A1: p=>~q)*(B3: ~q=>p) =1*1 =1
Dla naszego przykładu przyjmujemy punkt odniesienia:
p = P (pies)
q = K (kot)
Na mocy definicji spójnika „albo”($) zapisujemy:
A1B3: P$K = (A1: P=>~K)*(B3: ~K=>P) =?
Dziedzina minimalna dla naszego przykładu to:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Obliczenia wszystkich możliwych przeczeń zbiorów:
P (pies)
K (kot)
~P = [ZWZ-P] = [kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa (P)
~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem kota (K)
Już widzimy, że zdanie A1B3: P$K nie spełnia definicji spójnika „albo”($) bowiem co prawda pojęcia P (pies) i K (kot) są rozłączne, ale nie uzupełniają się wzajemnie do dziedziny ZWZ (zbiór wszystkich zwierząt)
P+K ## ZWZ
Gdzie:
Zbiory różne na mocy definicji ##

Dalsze badanie prawdziwości/fałszywości zdań A1 i B3 nie jest wobec powyższego konieczne, ale z ciekawości zróbmy to.

Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => A1 (twierdzenie proste):
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K=1
To samo w zapisach formalnych:
p=>~q =1
Bycie psem (P) jest warunkiem wystarczającym => by nie być kotem (~K) bo zbiór P jest podzbiorem => zbioru ~K
Dowód:
P=>~K =1
P (pies) => ~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..]
cnd

Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => B3 (twierdzenie odwrotne):
B3.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest kotem (~K=1) to na 100% => jest psem (P=1)
~K=>P =0
to samo w zapisach formalnych:
~q=>p =0
Nie bycie kotem (~K) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => by być psem (P) bo zbiór nie kot (~K) nie jest podzbiorem => zbioru psów (P)
Dowód:
~K = [ZWZ-K] = [pies, słoń, kura ..] => P (pie) =0
cnd

Podsumowując:
A1B3:
Dowolne zwierzę jest psem (P=1) „albo”($) kotem (K=1)
A1B3: P$K = (A1: P=>~K)*(B3: ~K=>P) =1*0 =0
Powyższe zdanie nie spełnia definicji spójnika „albo”($) zatem w tym przypadku użycie spójnika „albo”($) jest matematycznie błędne.
cnd

7.7 Definicja spójnika „lub”(+) vs definicja spójnika „albo”($)

Definicja spójnika „lub”(+):
1.
Y=p+q
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~p*~q
##
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Y = p$q = p*~q+~p*q
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=~(p$q) = p*q+~p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej

Dla naszego przypadku mamy:
Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)   ## Definicja spójnika „albo”($)
 Y = p+q                      ##  Y= p$q = p*~q + ~p*q
 #                            ##  #
~Y =~p*~q                     ## ~Y=~(p$q) = p*q + ~p*~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji

Doskonale widać, że funkcje logiczne Y=p+q i Y=p$q spełniają definicje obu znaczków # i ##.
cnd

Definicja spójnika „lub”(+) w zbiorach/zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = p*~q + ~p*q +p*q
Jeśli zbiory/zdarzenia p i q są rozłączne to ich iloczyn logiczny jest zbiorem pustym:
p*q=[] =0
Stąd mamy:
Y = p+q = p*~q + ~p*q +p*q := p*~q + ~p*q = p$q
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów/zdarzeń

Prawo Bociana:
Na mocy teorii zbiorów/zdarzeń spójnik „albo”($) jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory/zdarzenia p i q są rozłączne tzn. nie mogą wystąpić jednocześnie
Inaczej:
Jeśli zbiory/zdarzenia p i q nie są rozłączne i połączone spójnikiem „lub”(+) to nie wolno zastępować obowiązującego tu spójnika „lub”(+), spójnikiem „albo”($)

7.8 Przykłady gdzie spójniki „albo”($) i „lub”(+) można używać zamiennie

Przykłady zdań gdzie spójniki „albo”($) i „lub”(+) można używać zamiennie to:

7.8.1 Dowolny człowiek jest mężczyzną lub kobietą

1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną lub(+) kobietą
M+K = M*~K + ~M*K + M*K := M*~K + ~M*K = M$K
bo: M*K =[] =0
Gdzie:
:= - redukcja funkcji logicznej na mocy teorii zbiorów (zbiory M i K są rozłączne)
Stąd zdanie tożsame:
1A.
Dowolny człowiek jest mężczyzną „albo”($) kobietą
M$K = M*~K + ~M*K
2A.
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną i nie jest kobietą lub jest kobietą i nie jest mężczyzną
M$K = M*~K + ~M*K
Na mocy teorii zbiorów zachodzi tożsamość zdań:
1=1A=1B

7.8.2 Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to ma cztery lapy

2.
Jeśli zwierzę jest psem lub kotem to na 100% => ma cztery łapy
(P+K)=>4L =1
Definicja warunku wystarczającego => jest tu spełniona bo zbiór KP=[P+K] jest podzbiorem zbioru zwierząt z czterema łapami 4L

Rozpisujemy poprzednik definicją spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
A: P+K = B: P*~K + ~P*K + P*K := C: P*~K + ~P*K = D: P$K
Podstawa matematyczna przejścia z B do C:
P*K=[] =0 - zbiór psów jest rozłączny ze zbiorem kotów
cnd

C: P*~K + ~P*K := E: P+K
Podstawa matematyczna przejścia z C do E:
Dziedzina:
ZWZ=[pies, kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt
P=[pies]
K=[kot]
~P=[ZWZ-P] = [kot, słoń, kura ..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem psa
~K=[ZWZ-K] = [pies, słoń, kura..] - zbiór wszystkich zwierząt z wykluczeniem kota
P*~K = [pies]*[pies, słoń, kura]=[pies] = P
P*~K=P
~P*K = [kot, słoń, kura ..]*[kot] = [kot] =K
~P*K=K
cnd

Gdzie:
:= - redukcja równania logicznego na mocy teorii zbiorów

Wniosek:
Spójnik „lub”(+) w zdaniu 2 jest spójnikiem minimalnym, ale zdania tożsame na mocy teorii zbiorów do 2 brzmią:
2A
Jeśli zwierzę jest psem albo($) kotem to na 100% => ma cztery łapy
P$K = P*~K+~P*K =1
Prawą stronę czytamy:
2B.
Jeśli zwierzę jest psem i nie jest kotem lub nie jest psem i jest kotem to to na 100% => ma cztery łapy
P$K = P*~K+~P*K =1

Na mocy teorii zbiorów zachodzi tożsamość zdań:
2=2A=2B

7.9 Przykłady gdzie spójnika „lub”(+) nie można zastąpić spójnikiem „albo”($)

Przykłady gdzie spójnika „lub”(+) nie można zastąpić spójnikiem „albo” to:

7.9.1 Jutro pójdziemy do kina lub do teatru

Rozważmy zdanie pani przedszkolanki z przedszkola Nr.1:
1.
ABC:
Jutro pójdziemy do kina (K) lub do teatru (T)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Matematycznie oznacza to że jutro pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa, czyli:
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Matematycznie zachodzi tożsamość funkcji logicznych:
Y = Ya+Yb+Yc
Gdzie:
Ya, Yb, Yc - funkcje cząstkowe wchodzące w skład funkcji Y

Dowód iż tak jest w istocie w zapisach formalnych.
Przejdźmy na zapisy formalne podstawiając:
K=p
T=q
stąd:
Y = Ya+Yb+Yc = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
minimalizujemy funkcję logiczną Y:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p + ~p+~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
cnd

Matematycznie zachodzi:
Y=Y
stąd mamy definicję spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych ABC którą warto zapamiętać

Definicja spójnika “lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q +~p*q

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
2.
Negujemy równanie 1 (ABC) dwustronnie:
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
D.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
D: ~Y=~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Wróćmy do odpowiedzi na pytanie:
Kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) w zdarzeniach rozłącznych
ABC:
Y=A: K*T + B: K*~T + C:~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
B: Yb=K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
C: Yc=~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zauważmy, że chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień gdzie możemy pójść i do kina (K=1) i d teatru (T=1).
Formalnie pojęcia kino (K) i teatr (T) są rozłączne, ale użyte w zdaniu pani przedszkolanki już nie są.
Wniosek:
W zdaniu wyjściowym pani przedszkolanki:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
nie możemy zastąpić spójnika „lub”(+) spójnikiem „albo”($) bo będzie to błąd czysto matematyczny.

Oczywiście pani może tu wypowiedzieć zdanie z spójnikiem „albo”($), ale to zdanie będzie znaczyło fundamentalnie co innego niż zdanie ze spójnikiem „lub”(+).

7.9.2 Jutro pójdziemy do kina albo do teatru

Pani w przedszkolu Nr. 2 mówi:
BD.
Jutro pójdziemy do kina (K) „albo”($) do teatru (T)
Y = K$T = B: K*~T + D: ~K*T

Definicja spójnika „albo”($) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = K$T = B: K*~T + D: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
(Y=1) = (K$T)=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub D: ~K=1 i T=1
Prawą stronę czytamy:
BD1.
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Yb = K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
„lub”(+)
Yd = ~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Gdzie:
Y = Yb + Yd - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Yb i Yd

Znaczenie symbolu Y:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że panie nie dotrzyma słowa (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, możemy je pominąć nic nie tracąc na jednoznaczności.
Stąd mamy znaczenie symboli Y i ~Y:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani nie dotrzyma słowa

… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie BD stronami:
~Y = ~(K$T) = ~( B: K*~T + D: ~K*T)

Zapiszmy to w zmiennych formalnych (ogólnych) podstawiając:
p=K
q=T
stąd mamy:
~Y = ~(p*~q + ~p*q)
Prawo De Morgana:
~(a+b) = ~a*~b
stąd dla naszego przykładu mamy:
~Y = ~(p*~q)*~(~p*q)
Po ponownym zastosowaniu prawa De Morgana mamy:
~Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Jedyną funkcję logiczną która rozumie każdy człowiek od 5-cio latka poczynając jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna.
Wymnażamy zatem wielomian po prawej stronie przechodząc do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej.
~Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
~Y = p*q + ~p*~q

Wróćmy do naszego przykładu:
~Y = K*T + ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub C: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = K*T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
„lub”(+)
Yc = ~K*~T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Podsumowując:
Zdanie pani przedszkolanki z przedszkola Nr.1:
ABC:
Jutro pójdziemy do kina (K) „lub”(+) do teatru (T)
Y=K+T

Znaczy fundamentalnie co innego niż zdanie pani przedszkolanki z przedszkola Nr.2:
BD.
Jutro pójdziemy do kina (K) „albo”($) do teatru (T)
Y = K$T = B: K*~T + D: ~K*T

Wniosek:
Ten przykład to przypadek, gdzie spójnika „lub”(+) nie możemy używać wymiennie ze spójnikiem „albo”($)

7.9.3 Sterownie żarówki przyciskami połączonymi równolegle

Zadanie Nr.1
Dany jest układ elektryczny U1 ja na poniższym schemacie
Polecenie:
Zapisz na wszystkie możliwe sposoby kiedy żarówka będzie się świecić (Y) a kiedy nie będzie się świecić (~Y)
Kod:

U1
Fizyczna realizacja operatora “lub”(|+)
dającego odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1: Y = p+q
2:~Y=~(p+q)=~p*~q
                                    q
                                 =======
                           ------o     o------
                           |                 |
           Y               |        p        |
     --------------        |     =======     |
   --|  żarówka   |--------|-----o     o-----|-------
   |  -------------                                 |
   |                                                |
-------                                             |
  ---   U (zasilanie)                               |
   |                                                |
   --------------------------------------------------
p, q - przyciski normalnie rozwarte (wciśnięcie przycisku powoduje zwarcie)

Znaczenie symboli Y i ~Y:
1.
Znaczenie symbolu Y:
Y - żarówka świeci się
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka świeci się (Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd kolejny zapis tożsamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0), że żarówka nie świeci się (~Y)
Innymi słowy:
Żarówka świeci się (Y=1).

2.
Znaczenie symbolu ~Y:
~Y - żarówka nie świeci się (~Y)
Jedynki w logice matematycznej są domyślne, stąd zapis tożsamy:
~Y=1 - prawdą jest (=1), że żarówka nie świeci się (~Y)
Prawo Prosiaczka które możemy stosować wybiórczo do dowolnej zmiennej binarnej:
(~Y=1)=(Y=0)
Stąd kolejny zapis tożsamy:
Y=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci się (Y)
Innymi słowy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1)

Opis układu:
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Y = p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Innymi słowy:
Wystarczy że którykolwiek z przycisków jest wciśnięty i już żarówka świeci się

Kiedy żarówka nie świeci się?
Przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.:
~Y=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Czytamy:
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
Y = p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Czytamy:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = p*q=1 - wciśnięty jest przyciska p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
lub
Yb = p*~q=1 - wciśnięty jest przycisk p (p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
lub
Yc = ~p*q=1 - nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1)
Matematycznie zachodzi:
Y = Ya+Yb+Yc - funkcja logiczna Y jest sumą logiczną cząstkowych funkcji logicznych Ya, Yb i Yc

… a kiedy żarówka nie będzie się świecić?
Negujemy dwustronnie równanie 1.
1: Y=p+q
Przejście do logiki ujemnej (bp ~Y) poprzez dwustronną negację równania 1
2: ~Y = ~(p+q) = ~p*~q - prawo De Morgana
stąd mamy:
2.
Żarówka nie świeci się (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1)
D: ~Yd = ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
D: ~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Matematycznie zachodzi:
~Y = ~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa ~Yd.

Doskonale widać, że zdarzenia A, B, C i D są wzajemnie rozłączne, i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny.
Dziedziną są tu wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą w układzie U1 wystąpić, czyli:
D = A+B+C+D = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q
Minimalizujemy:
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) = p+~p =1
Wniosek:
Dziedzina jest prawidłowo zdefiniowana
cnd

Zauważmy, że jeśli na pytanie pana od fizyki:
Kiedy żarówka świeci się?
Jaś udzieli następującej odpowiedzi:
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięty będzie przycisk p (p=1) „albo”($) przycisk q (q=1)
Y = p$q = B: p*~q + C: ~p*q
to biedny Jaś dostanie pałę.
Dlaczego?
Bo żarówka świeci się (Y=1) także gdy oba przyciski p i q będą wciśnięte:
A: Ya=p*q = 1*1 =1
a Jaś tego przypadku w swojej odpowiedzi nie uwzględnił

Wniosek:
W układzie U1 nie wolno nam zastąpić spójnika „lub”(+) spójnikiem „albo”($) bo popełnimy błąd matematyczno-fizyczny.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 21:15, 14 Lis 2021, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 11:15, 03 Paź 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q


Spis treści
8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q 1
8.1 Definicja chaosu p|~~>q 3
8.1.1 Operator chaosu p||~~>q 7
8.1.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 10
8.1.3 Zmienne wolne i zmienne związane w chaosie p|~~>q 11
8.2 Minimalny zbiór konieczny do zbudowania chaosu p|~~>q 13



8.0 Operatory implikacyjne - operator chaosu p||~~>q

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:

„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0

2.
Warunek konieczny ~>:

„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:

Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

W logice matematycznej rozróżniamy 5 różnych na mocy definicji operatorów implikacyjnych dających odpowiedzi na pytania o p i ~p:
1.
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
2.
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q

Operator implikacji odwrotnej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
3.
p|<=>q - operator równoważności p<=>q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
RA2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p
4.
p|$q - operator „albo”($) p$q

Operator „albo”($) p|$q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
AA1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
AA2B2: ~p$~q=(A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
5.
p||~~>q - operator chaosu p|~~>q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
CA1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p
CA2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~(0)*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

8.1 Definicja chaosu p|~~>q

CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1:
Tabela prawdy chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0  [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##                ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0  [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja chaosu p|~~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Definicja chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|~~>q =0

Wyprowadzenie definicji chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
stąd:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q)=(p*~q)*(~p*q) =0
A1B1: p|~~>q =0

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q = A3B3: q|~~>p = A4B4: ~q|~~>~p =0
Gdzie:
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =0
A3B3: q|~~>p = ~(A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =0
A4B4: ~q|~~>~p= ~(A4: ~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =0
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji chaosu p|~~>q będzie definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Dla zbiorów:
Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o relacje elementu wspólnego ~~> zbiorów p i q wnikające z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Dla zdarzeń:
Uzupełnijmy naszą tabelę T1 o zdarzenia możliwe ~~> wnikające z definicji kontrprzykładu działającego wyłącznie w warunkach wystarczających =>
Kod:

CH
Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1

Definicja chaosu p|~~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja chaosu ~p|~~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość chaosu A1B1: p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli CH

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu A1B1: p|~~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli CH

W tabeli CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> (dla zdarzeń) albo w elementach wspólnych zbiorów ~~> (dla zbiorów) to seria czterech zdań prawdziwych.

Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.

CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)

CH-
Definicja chaosu ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q)

Kolumna A2B2:
Chaos ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla ~q
B2: ~p=>~q =0 - ~p nie jest (=0) wystarczające => dla ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q) = ~(0)*~(0) =1*1=1
Czytamy:
Definicja chaosu ~p|~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q (A2) i jednocześnie zajęcie ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q (B2)

Dla A2B2 korzystamy z praw Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd mamy:
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = A1B1: p|~~>q
stąd mamy tożsamość logiczną:
A2B2: ~p|~~>~q = A1B1: p|~~>q
cnd

Ćwiczenie dla czytelnika:
Udowodnij tożsamość:
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = A1B1: p|~~>q
korzystając z definicji:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>

Podaję rozwiązanie:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q)=(p*~q)*(~p*q)=0
A1B1: p|~>q = 0
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = ~(~p+q)*~(p+~q)=(p*~q)*(~p*q)=0
A2B2: ~p|~~>~q =0
Stąd mamy tożsamość logiczną:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q =0
cnd
Kto nie wierzy, niech sobie sprawdzi w tabelach zero-jedynkowych.

Operator chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli CH

Z prawa Sowy wynika, iż zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p|~~>q = A2B2:~p|~~>~q = A1B1|A2B2: p||~~>q = A2B2|A1B1:~p||~~>~q

Powyższa tożsamość logiczna oznacza że:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego członu tej tożsamości logicznej (na przykład):
A1B1: p|~~>q
jest potrzebne ~> i wystarczające => dla dowodu prawdziwości obu operatorów implikacyjnych, czyli obu układów równań logicznych A1B1|A2B2 i A2B2|A1B1:
A1B1|A2B2: p||~~>q = A2B2|A1B1:~p||~~>~q

8.1.1 Operator chaosu p||~~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q

Kod:

Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1

Definicja chaosu p|~~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja chaosu ~p|~~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o p i ~p:
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1”: p~~>q = p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
A1’: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
Innymi słowy:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A1” i A1’

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla spełnionego p:
A1’’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i q

LUB

A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
B2”: ~p~~>~q = ~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q (zdarzenie możliwe ~~>)
B2’: ~p~~>q = ~p*q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q (zdarzenie możliwe ~~>)
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B2” i B2’

Analiza w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” dla niespełnionego p (~p):
B2’’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i ~q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q

LUB

B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny ~~> zbiorów ~p i q
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q

Podsumowanie:
Doskonale widać, że zarówno po stronie p jak i po stronie ~p mamy tu najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~p||~~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora chaosu p||~~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A’’, A’, B’’, B’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

8.1.2 Zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>

Zapiszmy naszą analizę w tabeli prawdy:
Kod:

T1
Analiza       |Co w logice
symboliczna   |jedynek oznacza
              |
Kolumna A1B1:
            Y
A1”: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
B2”:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1
A2B2:~p|~~>~q=~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Zauważmy, że w kolumnie wynikowej Y mamy same jedynki.
Tabelę symboliczną T1 możemy zatem kodować zero-jedynkowo względem dowolnej z linii A1’’, A1’, B2’’, B2’ - zawsze dostaniemy zero-jedynkową definicję zdarzenia możliwego (~)p~~>(~)q dla zdarzeń, lub elementu wspólnego zbiorów (~)p~~>(~)q dla zbiorów.

Przyjmijmy za punkt odniesienia zdanie A1”:
A1”: p~~>q
i zakodujmy tabelę T1 zero-jedynkową względem wybranego punktu odniesienia.
Dla wykonania zadanie jest nam konieczne i wystarczające prawo Prosiaczka.
Prawo Prosiaczka:
(~x=1)=(x=0)
Bo wszystkie zmienne dla punktu A1” musimy sprowadzić do postaci niezanegowanej (bo x).
Kod:

T2
Analiza       |Co w logice       |Kodowanie dla:    |Kodowanie tożsame
symboliczna   |jedynek oznacza   |A1”: p~~>q        |
              |                  |                  | p   q p~~>q
A1”: p~~> q=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1  =1
A1’: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0  =1
B2”:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0  =1
B2’:~p~~> q=1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1  =1
     a    b c    d        e    f    g        h    i   1   2   3
                                 |Prawa Prosiaczka: |
                                 |(~p=1)=(p=0)      |
                                 |(~q=1)=(q=0)

W tabeli zero-jedynkowej 123 nagłówek w kolumnie wynikowej 3 wskazuje linię A1”: p~~>q z naszej analizy symbolicznej abc.
Tabela 123 to zero-jedynkowa definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (zdarzenia możliwego ~~>)

W tabeli abc widać, że spełniona jest definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> dla wszelkich możliwych kombinacji zbiorów rozłącznych A”. A’, B’’, B’ uzupełniających się wzajemnie do dziedziny:
D (dziedzina) = A1”: p*q + A1: p*~q + B2”:~p*~q + B2’:~p*q = p*(q+~q)+~p*(~q+q) = p+~p =1

Zauważmy że:
Operator chaosu p||~~>q odpowiada na dwa pytania A1B1 oraz A2B2:
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
A1”: p~~>q =1
LUB
A1’: p~~>~q =1

A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
B2”: ~p~~>~q =1
LUB
B2’: ~p~~> q =1

8.1.3 Zmienne wolne i zmienne związane w chaosie p|~~>q

Definicja zmiennej związanej:
W dowolnym spójniku implikacyjnym definiowanym zdaniami „Jeśli p to q” zmienne związane wynikają z praw Kubusia

Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
B1: p~>q = B2:~p=>~q

Definicja zmiennej wolnej:
W dowolnym spójniku implikacyjnym definiowanym zdaniami „Jeśli p to q” zmienne wolne to prawdziwe kontrprzykłady.

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający A1: p=>q = relacja podzbioru p=>q = twierdzenie proste p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny B1: p~>q = relacja nadzbioru p~>q = twierdzenie odwrotne q=>p=~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia

CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):

Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku koniecznego ~> ani też warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q i jednocześnie zajęcie p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q

Wyprowadzenie definicji chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
stąd:
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q)=(p*~q)*(~p*q) =0
A1B1: p|~~>q =0

Co oznacza definicja chaosu A1B1: p|~~>q=0 w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)?
Kod:

Tabela prawdy chaosu p|~~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

W tabeli prawdy chaosu p|~~>q doskonale widać, że nie ma tu ani jednego prawdziwego warunku wystarczającego =>, co pociąga za sobą brak prawdziwego warunku koniecznego ~>.
Innymi słowy:
A1B1: p|~~>q =0
Wynikowe zero w definicji chaosu p|~~>q oznacza brak jakiegokolwiek kontrprzykładu zarówno prawdziwego, jak i fałszywego, co pociąga za sobą brak jakiegokolwiek warunku wystarczającego => .

Wniosek:
W przypadku chaosu p|~~>q brak jest zmiennych związanych bo nie istnieje ani jeden prawdziwy warunek wystarczający =>, który na mocy prawa Kubusia wymuszałby prawdziwy warunek konieczny ~> (i odwrotnie)
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0

Brak zmiennych związanych wymusza brak choćby jednego kontrprzykładu, zatem wymusza brak zmiennych wolnych.

8.2 Minimalny zbiór konieczny do zbudowania chaosu p|~~>q

Weźmy takie zadnie z I klasy LO:
Udowodnij, że minimalna ilość elementów zbioru przy pomocy których można zbudować chaos p|~~>q to cztery elementy.

W chaosie p|~~>q z definicji musi istnieć wspólny element zbioru ~~> dla wszystkich możliwych przeczeń zbiorów.

Weźmy na początek zbiór 3-elementowy:
K - Kubuś
P - Prosiaczek
T - Tygrysek
Przyjmijmy za dziedzinę D’ sumę logiczna powyższych elementów:
D’ = [K+P+T]
W obrębie tej dziedziny musimy utworzyć cztery różne podzbiory gdzie każdy z każdym ma element wspólny.
Spróbujmy tak:
P = [K+P]
q = [P+T]
Mamy tu spełnione:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> q
ALE!
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q inaczej definicja chaosu p|~~>q leży w gruzach.

Sprawdzenie:
Przyjmijmy za dziedzinę D” sumę logiczną p+q
D” = p+q = {K+P]+[P+T] = [K+P+T]
Stąd mamy:
~p = [D”-p] = [K+P+T - (K+P)] = [T]
STOP!
Doskonale widać, że zbiór ~p=[T] jest podzbiorem => zbioru q=[P+T], zatem definicja chaosu p|~~>q leży w gruzach.

Stąd wynika konieczność dołożenia do dziedziny D czwartego elementu (zmienna wolna):
S - słoń
stąd mamy czteroelementową dziedzinę minimalną:
K - Kubuś
P - Prosiaczek
T - Tygrysek
S - słoń
Nasz dziedzina to zbiór czteroelementowy:
D = [K+P+T+S]
stąd mamy:
P = [K+P]
q = [P+T]
~p = [D-p] = [(K+P+T+S)-(K+P) = [T+S]
~q = [D-q] = [K+P+T+S)-(P+T] = [K+S]

Prawo Kubusia dla A1:
A1: p=>q = [K+T] => [P+T] =0 - relacja podzbioru => nie (=0) zachodzi
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Fałszywość relacji nadzbioru ~> A2 gwarantuje nam prawo Kubusia.
Sprawdzenie:
A2: ~p=[T+S] ~> ~q= [K+S] =0
cnd

Prawo Kubusia dla B1:
B1: p~>q = [K+T] ~> [P+T] =0 - relacja nadzbioru ~> nie (=0)
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
Fałszywość relacji podzbioru => B2 gwarantuje nam prawo Kubusia.
Sprawdzenie:
B2: ~p=[T+S] => ~q=[K+S] =0
cnd

Definicja chaosu p|~~>q dla naszego przykładu:
Chaos p|~~>q to nie zachodzący ani warunek wystarczający => ani też konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
Nasz przykład:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => q
B1: p~>q =0 - zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> q
Stąd mamy:
p||~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
cnd

Podsumowanie:
Minimalna ilość elementów zbioru przy pomocy których można zbudować chaos p|~~>q to cztery elementy.
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 14:03, 01 Sty 2022, w całości zmieniany 2 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 12:43, 03 Paź 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
8.3 Przykłady operatorów chaosu p||~~>q


Spis treści
8.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach 1
8.3.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach 2
8.4 Przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach 6
8.4.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach 9



8.3 Przykład chaosu P8|~~>P3 w zbiorach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Prawo Kłapouchego:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Rozważmy zdanie wypowiedziane:
A1”
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Zdanie A1” definiuje zbiory:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
P3=[3,6,9,12..24.. ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Istnieje wspólny element ~~> zbiorów P8 i P3.
cnd
Na mocy prawa Kłapouchego mamy:
p=P8
q=P3
stąd zdanie A1’’ w zapisie formalnym:
p~~>q = p*q =1

Przyjmijmy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy zaprzeczenia zbiorów rozumianych jako uzupełnienie do wspólnej dziedziny LN.
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[LN-P3]=[1,2..4,5..6,7..]

Zauważmy, że warunek wystarczający A1: P8=>P3 nie jest tu spełniony:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0 bo kontrprzykład: 3
Definicja warunku wystarczającego P8=>P3 nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd

Zbadajmy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..] bo kontrprzykład: 3
cnd

Stąd mamy pewność że zdanie A1” należy do chaosu P8|~~>P3.

8.3.1 Operator chaosu P8||~~>P3 w zbiorach

Definicja podstawowa chaosu P8|~~>P3:
Chaos P8|~~>P3 to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>, ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: P8=>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla jej podzielności przez 3, bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
Stąd:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Podstawmy to do tabeli prawdy chaosu p|~~>q.
Kod:

CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P3}:
A1: P8=>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
B1: P8~>P3 =0 - zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
A1B1: P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)=~(0)*~(0)=1*1 =1

       A1B1:           A2B2:       |     A3B3:           A4B4:
A:  1: p=>q  =0   = 2:~p~>~q   =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p   =0
A’: 1: p~~>~q=1   =               [=]               = 4:~q~~>p   =1
A’: 1: P8~~>~P3=1 =               [=]               = 4:~P3~~>P8 =1
A”: 1: p~~>q =1                   [=]                 4:~q~~>~p  =1
A”: 1: P8~~>P3 =1                 [=]                 4:~P3~~>~P8=1
       ##              ##          |     ##              ##
B:  1: p~>q  =0   = 2:~p=>~q   =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B’:               = 2:~p~~>q   =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P3 =1 [=] 3: P3~~>~P8=1
B”:                 2:~p~~>~q  =1 [=] 3: q~~>p   =1
B”:                 2:~P8~~>~P3=1 [=] 3: P3~~>P8 =1

Definicja chaosu p|~~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja chaosu ~p|~~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość chaosu A1B1: p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli CH

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu A1B1: p|~~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli CH

Uwaga:
Tabela CH zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w chaosie p|~~>q.
Zdania w tabeli CH mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli CH.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?

W tabeli CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> (dla zdarzeń) albo w elementach wspólnych zbiorów ~~> (dla zbiorów) to seria czterech zdań prawdziwych.

Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.

Operator chaosu P8||~~>P3 to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba będzie podzielna przez 8 (P8=1)?

Kolumna A1B1:
A1”.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny ~~> np. 24

LUB

A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
P8~~>~P3 = P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P3=[1,2..4.5..7,8..] mają element wspólny ~~> np. 8

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli dowolna liczba nie będzie podzielna przez z 8 (~P8=1)?

Kolumna A2B2:
B2”.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 3 (~P3=1)
~P8~~>~P3 = ~P8*~P3 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i ~P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i ~P3=[1,2..4,5..7,8..] mają element wspólny np. 2

LUB

B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3=1)
~P8~~>P3 = ~P8*P3 =1 bo element wspólny 3
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> ~P8 i P3 jest (=1) spełniona bo zbiory ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P3=[3,6,9..24..] mają element wspólny np. 3

Podsumowanie:
Istotą operatorach chaosu P8||~~>P3 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie P8 (zdania A1’’, A1’) jak i po stronie ~P8 (zdania B2’’ i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytania o ~P8 i P8:
A2B2:~P8|~~>~P3 =~(A2:~P3~>~P3)*~(B2:~P8=>~P3)- co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z ~P8?
A1B1: P8|~~>P3 =~(A1: P8=> P3)*~(B1: P8~>P3) - co się stanie jeśli wylosujemy liczbę z P8?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~P8||~~>~P3 w logice ujemnej (bo ~P3) będzie identyczna jak operatora chaosu P8||~~>P3 w logice dodatniej (bo P3) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


8.4 Przykład chaosu A|~~>S w zdarzeniach

Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (ziemskie twierdzenia matematyczne) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Definicja podstawowa chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też warunku koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1

Rozważmy następujący schemat elektryczny:
Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        W
                                      ______
                                   ---o    o------
                                   |             |
             S               Z     |    A        |
       -------------       ______  |  ______     |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o-----|
  |    -------------                             |
  |                                              |
______                                           |
 ___    U (źródło napięcia)                      |
  |                                              |
  |                                              |
  ------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: W, Z
Istotą operatora chaosu są zmienne wolne.

Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.

Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.

Fizyczna interpretacja zmiennych wolnych W i Z:
Wyobraźmy sobie trzy pokoje A, B i C.
W pokoju A siedzi Jaś mając do dyspozycji wyłącznie przycisk A, w pokoju B siedzi Zuzia mając do dyspozycji wyłączne przycisk W, zaś w pokoju C siedzi Małgosia mając do dyspozycji wyłącznie przycisk Z. Jaś, Zuzia i Małgosia wiedzą o swoim wzajemnym istnieniu ale nie widzą się wzajemnie.
Cała trójka dostaje do ręki schemat S4, czyli są świadomi, że przyciski których nie widzą istnieją w układzie S4, tylko nie mają do nich dostępu (zmienne wolne)

Przyjmijmy za punkt odniesienia Jasia i pokój A.

Definicja zmiennej wolnej W:
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna W będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(w) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(w) =1
oraz
f(w)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(w) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku W, gdzie daje się ustawić zarówno W=1 jak i W=0.
Przykład:
f(w) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty

Definicja zmiennej wolnej Z:
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna wolna Z będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(z) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(z) =1
oraz
f(z)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(z) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku Z, gdzie daje się ustawić zarówno Z=1 jak i Z=0.
Przykład:
f(z) = G*(~H+I)
Gdzie:
G, I - przyciski normalnie rozwarte
~H - przycisk normalnie zwarty

Definicja zmiennej związanej A:
Także zmienna związana A nie musi być pojedynczym przyciskiem, może być zespołem n przycisków realizujących funkcję logiczną f(a) byleby dało się ustawić:
f(a) =1
oraz
f(a)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(a) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(a) = K+~L*~M
Gdzie:
K - przycisk normalnie rozwarty
~L, ~M - przyciski normalnie zwarte

Na początek musimy udowodnić, iż rzeczywiście układ S4 jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S.

Prawo Kłapouchego:
Dowolne zdanie warunkowe od którego zaczynamy analizę matematyczną jest domyślnym punktem odniesienia, gdzie po „Jeśli ..” zapisujemy p zaś po „to..” zapisujemy q z pominięciem przeczeń.

Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =0
Wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo zmienna wolna Z może być ustawiona Z=0 - wtedy żarówka nie będzie się świecić (~S=1).

Na mocy prawa Kłapouchego przyjmijmy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p = A (przycisk A)
q = S (żarówka S)
Stąd mamy zapis zdania A1 w zapisie formalnym:
p=>q =0

Badamy prawdziwość/fałszywość warunku koniecznego ~> B1:
B1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =?

W takim przypadku zawsze najprościej jest skorzystać z prawa Tygryska prowadzącego do najprostszego warunku wystarczającego =>.
Prawo Tygryska:
B1: A~>S = B3: S=>A

Badamy prawdziwość/fałszywość warunku wystarczającego => B3.
B3.
Jeśli żarówka świeci się (S=1) to na 100% => przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S=>A =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo żarówka S może się świecić (S=1) gdy Z=1 i W=1 zaś przycisk A wcale nie musi być wciśnięty.
Stąd, na mocy prawa Tygryska warunek konieczny ~> B1 jest fałszem:
B1:
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~> się świecić (S=1)
A~>S =0 - wciśnięcie przycisku A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia się żarówki S.
cnd

Wniosek:
Schemat S4 jest fizyczną realizacją chaosu A|~~>S

8.4.1 Operator chaosu A||~~>S w zdarzeniach

Kod:

S4 Schemat 4
Fizyczna realizacja chaosu A|~~>S w zdarzeniach:
A|~~>S=~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S)=~(0)*~(0)=1*1=1
                                        W
                                      ______
                                   ---o    o------
                                   |             |
             S               Z     |    A        |
       -------------       ______  |  ______     |
  -----| Żarówka   |-------o    o-----o    o-----|
  |    -------------                             |
  |                                              |
______                                           |
 ___    U (źródło napięcia)                      |
  |                                              |
  |                                              |
  ------------------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienne wolne: W, Z
Istotą chaosu A|~~>S są zmienne wolne W i Z.

Dowód iż schemat S4 jest fizyczną realizacją operatora chaosu przedstawiliśmy wyżej.

Dopiero w tym momencie możemy skorzystać z szablonu chaosu p|~~>q wyrażonego warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Kod:

CH
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Aktualny punkt odniesienia:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Kolumna A1B1: Punkt odniesienia w zapisie aktualnym:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A|~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q =0    [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: A=>S  =0 = 2:~A~>~S =0    [=] 3: S~>A  =0 = 4:~S=>~A =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1
A’: 1: A~~>~S=1 =                [=]             = 4:~S~~>A =1
A”: 1: p~~>q =1                  [=]               4:~q~~>~p=1
A”: 1: A~~>S =1                  [=]               4:~S~~>~A=1
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q =0    [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: A~>S  =0 = 2:~A=>~S =0    [=] 3: S=>A  =0 = 4:~S~>~A =0
B’:             = 2:~p~~>q =1    [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~A~~>S =1    [=] 3: S~~>~A=1
B”:               2:~p~~>~q=1    [=] 3: q~~>p =1
B”:               2:~A~~>~S=1    [=] 3: S~~>A =1

Definicja chaosu p|~~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja chaosu ~p|~~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator chaosu p||~~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~p||~~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~~>~q =~(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~~>q  =~(A1: p=> q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Uwaga:
Zdania A1” i B2” kodowane zdarzeniem możliwym ~~> muszą być prawdziwe, bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy mieli do czynienia z chaosem p|~~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że zdanie A1” jest fałszywe:
A1”: p~~>q =0
Wówczas na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwy byłby warunek wystarczający =>:
A1S: p=>~q =1
co prowadzi do sprzeczności z definicją chaosu p|~~>q gdzie o żadnym spełnionym warunku wystarczającym => mowy być nie może.
cnd
Identyczny dowód nie wprost możemy przeprowadzić w stosunku do zdania prawdziwego B2” oraz do zdań B3” i A4”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość chaosu A1B1: p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli CH

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią chaosu A1B1: p|~~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli CH

Uwaga:
Tabela CH zawiera zdania warunkowe „Jeśli p to q” zarówno prawdziwe jak i fałszywe dla wszelkich możliwych przeczeń p i q (plus zamiana p i q) istotne w chaosie p|~~>q.
Zdania w tabeli CH mogą być dowolnie pomieszane (groch z kapustą), matematycznie to bez znaczenia, jednak dla lepszego zrozumienia problemu układamy je dokładnie tak jak w tabeli CH.
W kolumnach mamy wtedy odpowiedzi na pytania:
A1B1: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
A2B2: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~p?
A3B3: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie q?
A4B4: Co może się zdarzyć jeśli zajdzie ~q?

W tabeli CH widzimy, że fałszywe są wszystkie warunki wystarczające => i konieczne ~>, ale analiza spójnika chaosu p|~~>q przez wszystkie możliwe przeczenia p i q w zdarzeniach możliwych ~~> (dla zdarzeń) albo w elementach wspólnych zbiorów ~~> (dla zbiorów) to seria czterech zdań prawdziwych.

Wniosek:
Najprostszy sposób udowodnienia iż mamy do czynienia z chaosem p|~~>q to udowodnienie iż cztery zdania kodowane znaczkiem ~~> przez wszystkie możliwe przeczenia p i q są prawdziwe.

Operator chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o A i ~A:
A1B1: A|~~>S =~(A1: A=> S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
A2B2:~A|~~>~S =~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S)- co się stanie jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?

A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1)?

Kolumna A1B1:
A1: A=>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =0 - wciśnięcie A nie jest (=0) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A||~~>S = ~(A1: A=>S)*~(B1: A~>S) =~(0)*~(0) =1*1=1

Z kolumny A1B1 odczytujemy:
A1”.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
A~~>S = A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka świeci się (S=1) gdy dodatkowo zmienna wolna Z będzie ustawiona na Z=1

LUB

A’.
Jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
A~~>~S = A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=0

A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1)?

Kolumna A2B2:
A2: ~A~>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla nie świecenia S (~S=1)
B2: ~A=>~S =0 - nie wciśnięcie A (~A=1) nie jest (=0) wystarczające => nie dla świecenia S (~S=1)
~A|~~>~S = ~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) = ~(0)*~(0) =1*1 =1

Z kolumny A2B2 odczytujemy:
B”.
Jeśli przycisk A nie będzie wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~S=1)
~A~~>~S = ~A*~S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=0 (albo W=0)

LUB

B’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> świecić się (S=1)
~A~~>S = ~A*S =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka świeci się (S=1)
Gdy zmienna wolna Z ustawiona jest na Z=1 i zmienna wolna W ustawiona jest na W=1

Podsumowanie:
Operator chaosu A||~~>S to „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” zarówno po stronie wciśniętego klawisza A (A=1 - zdania A1’’ i A1’), jak i po stronie nie wciśniętego klawisza A (~A=1 - zdania B2’’ i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~A i A:
A2B2:~A|~~>~S =~(A2:~A~>~S)*~(B2:~A=>~S) - co się stanie jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
A1B1: A|~~>S =~(A1: A=> S)*~(B1: A~>S) - co się stanie jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora chaosu ~A||~~>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora chaosu A||~~>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1’’, A1’, B2’’, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 21:21, 14 Lis 2021, w całości zmieniany 12 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 16:27, 03 Paź 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
9.0 Obietnice i groźby

Spis treści
9.0 Obietnice i groźby 1
9.1 Implikacja prosta p|=>q 3
9.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q 5
9.2 Implikacja odwrotna p|~>q 7
9.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q 8
9.3 Prawa transformacji w obietnicy i groźbie 10
9.3.1 Prawo transformacji w obietnicy 10
9.3.2 Prawo transformacji w groźbie 12
9.4 Uproszczone analizy obietnicy i groźby 14
9.4.1 Uproszczona analiza obietnicy 14
9.4.2 Uproszczona analiza groźby 16


9.0 Obietnice i groźby

Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych matematycznie definicji obietnicy i groźby niżej zapisanych.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1 z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Brudne spodnie są warunkiem koniecznym ~> dostania lania, ale nie jest to warunek wystarczający => bowiem na mocy definicji implikacji odwrotnej B|~>L każdy człowiek ma prawo do odstąpienia wykonania kary zależnej od niego.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43);


Przypomnijmy sobie teorię implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q.

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:

„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

2.
Warunek konieczny ~>:

„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:

Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


9.1 Implikacja prosta p|=>q

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w implikacji prostej p|=>q:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


9.1.1 Operator implikacji prostej p||=>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Operator implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o p i ~p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie q (q=1)
Mówi o tym zdanie A1

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q =(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania A2 i B2’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~> zajść ~q (~q=1)
~p~>~q =1
Zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q, bo jak zajdzie p to na 100% => zajdzie q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej p||=>q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~p (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~p||~>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej p||=>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

9.2 Implikacja odwrotna p|~>q

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Kluczowym punktem zaczepienia w wyprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

9.2.1 Operator implikacji odwrotnej p||~>q

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie p (p=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Mówią o tym zdania B1 i A1’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~> zajść q (q=1)
p~>q =1
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q, bo jak zajdzie ~p to na 100% => zajdzie ~q
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
p~~>~q = p*~q =1
Zdarzenia:
Możliwe jest (=1) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: p i ~q
Zbiory:
Istnieje (=1) element wspólny zbiorów ~~>: p i ~q

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to mamy gwarancję matematyczną => iż zajdzie ~q (~q=1).
Mówi o tym zdanie B2

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
~p=>~q =1
Zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
~p~~>q = ~p*q=0
Zdarzenia:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: zajdzie ~p i zajdzie q
Zbiory:
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~>: ~p i q

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej p||~>q jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie p (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję logicznie tożsamą:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych:
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

9.3 Prawa transformacji w obietnicy i groźbie

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

9.3.1 Prawo transformacji w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)

Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Jak widzimy bez zastosowania prawa transformacji zdanie A4 jest kompletnie bez sensu, ale …

Zdanie A4 w czasie przeszłym.
Jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie otwarcia parasola.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1

Z definicji wszelkie obietnice zapisane są w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przeszłość.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w obsłudze obietnicy p=>q
Matematyczna obsługa obietnicy p=>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących obietnice w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0
B’:             = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


9.3.2 Prawo transformacji w groźbie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna obietnica to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.

Przykład:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Następnik q jest tu ewidentną groźbą, zatem zdanie A1 musimy kodować zgodnie z definicją groźby warunkiem konicznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej B|~>L, bez względu na ostrość wypowiedzenia groźby B1.

Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
stąd mamy:
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) daje jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu przyjścia w czystych spodniach (~B=1)
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie będzie ono dotyczyło wypowiedzianej groźby B1.
Zauważmy, że zdanie B2 spełnia klasyczną definicję obietnicy, bowiem w następniku jest mowa o nie dostaniu lania które dla dziecka jest nagrodą.
Matematycznie zachodzą tożsamości:
Kara to brak nagrody
K=~N
Nagroda to brak kary
N=~K

Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B

Zdanie B4 w czasie przyszłym czytamy:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1)
L=>B =1
Zauważmy, że w czasie przyszłym zdanie B4 traci sens bowiem mówi ono że jeśli dzieciak jutro dostanie lanie (przyczyna) to na 100% => ubrudzi spodnie (skutek) … czyli na złość mamie ugryzę się w język.
Poza tym zdanie B4 nie spełnia definicji obietnicy którą kodujemy warunkiem wystarczającym => bowiem następnik brzmi tu:
B - przyjdę w brudnych spodniach
Brudne spodnie nie są nagrodą dla dziecka, to tylko stwierdzenie stopnia zabrudzenia jego spodni.
Zdanie B4 nabierze sensu jeśli wypowiemy je w czasie przeszłym.
Załóżmy, że jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie obietnicy B2 która dotyczyła dnia wczorajszego.
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie B4 opisuje przeszłość.
B4.
Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Z faktu iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy na 100% => iż ubrudziło spodnie (B=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to będzie to oznaczało, że wcześniej ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1

Z definicji wszelkie groźby zapisane są w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przeszłość.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w obsłudze groźby p~>q.
Matematyczna obsługa groźby p~>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących groźby w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1
B’:             = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


9.4 Uproszczone analizy obietnicy i groźby

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
W=>N = ~W+N

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
W~>K = W+~K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Uproszczone analizy obietnicy i groźby korzystają w definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

9.4.1 Uproszczona analiza obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
W=>N = ~W+N

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

W obietnicach i groźbach najważniejsze jest rozstrzygnięcie kiedy nadawca dotrzyma słowa (Y=1), a kiedy nie dotrzyma słowa (~Y=1)

Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Nie dotrzyma słowa (~Y=1) = skłamie (S)
~Y = S
Trzeciej możliwości brak.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Y = (W=>N) = ~W+N
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~W=1 lub N=1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy odbiorca nie spełni warunku nagrody (~W=1) lub dostanie nagrodę (N=1)

Prawej strony równoważności żaden normalny człowiek nie zrozumie, ale …

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Stąd mamy definicję obietnicy W=>N rozpisaną w zdarzeniach rozłącznych:
Y = ~W*N + ~W*~N + W*N
Indeksować prawą stronę możemy w sposób dowolny np. tak:
Y = A: W*N + B: ~W*~N + C: ~W*N
co w logice jedynek oznacza:
Y = A: W=1i N=1 lub B: ~W=1 i ~N=1 + C: ~W=1 i N=1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = W*N =1*1 =1 - odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) i dostanie nagrodę (N=1)
lub
Yb = ~W*~N =1*1=1 - odbiorca nie spełni warunku nagrody (~W=1) i nie dostanie nagrody (~N=1)
lub
Yc = ~W*N=1*1 =1 - odbiorca nie spełni warunku nagrody (~W=1) i dostanie nagrodę (N=1)

Ostatni przypadek to powszechnie znany w świecie żywym akt miłości, czyli wręczenie nagrody (N=1) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (~W=1).

Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yb=1 lub Yc=1
Ya, Yb, Yc - funkcje logiczne cząstkowe wchodzące w skład funkcji logicznej Y.

Kiedy nadawca skłamie?
Mamy:
1.
Y = (W=>N) = ~W+N - odpowiedź na pytanie kiedy nadawca dotrzyma słowa (Y)
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
2.
~Y = ~(W=>N) =~(~W+N) = W*~N - prawo De Morgana
stąd mamy:
~Y = W*~N
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> W=1 i ~N=1
Czytamy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = W*~N = 1*1 =1 - odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) i nie dostanie nagrody (~N=1)

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
W=>N = ~W+N

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

W obietnicy mamy:
Y = ~W+N - odpowiedź na pytanie kiedy nadawca dotrzyma słowa (Y=1)
~Y=W*~N - odpowiedź na pytanie kiedy nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1)

Nadawca może wyłącznie dotrzymać słowa (Y=1) albo nie dotrzymać słowa (~Y=1), trzeciej możliwości brak.
Stąd mamy.

Uproszczone rozstrzygnięcia w obietnicy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) i nie dostanie nagrody (~N=1)
~Y = W*~N
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> W=1 i ~N=1
W każdym innym przypadku nadawca dotrzyma słowa (Y=1).

9.4.2 Uproszczona analiza groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
W~>K = W+~K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

W obietnicach i groźbach najważniejsze jest rozstrzygnięcie kiedy nadawca dotrzyma słowa (Y=1), a kiedy skłamie (~Y=1)

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Y = (W~>K) = W+~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> W=1 lub ~K=1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy odbiorca spełni warunek kary (W=1) lub nie zostanie ukarany (~K=1)

Prawej strony równoważności żaden normalny człowiek nie zrozumie, ale …

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Stąd mamy definicję warunku koniecznego W~>K rozpisaną w zdarzeniach rozłącznych:
Y = W*~K + W*K + ~W*~K
Indeksować prawą stronę możemy w sposób dowolny np. tak:
Y = A: W*K + B: W*~K + C: ~W*~K
co w logice jedynek oznacza:
Y = A: W=1i K=1 lub B: W=1 i ~K=1 + C: ~W=1 i ~K=1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = W*K =1*1 =1 - odbiorca spełni warunek kary (W=1) i zostanie ukarany (K=1)
lub
Yb = W*~K =1*1=1 - odbiorca spełni warunku kary (W=1) i nie zostanie ukarany (~K=1)
lub
Yc = ~W*~K=1*1 =1 - odbiorca spełni warunku kary (~W=1) i nie zostanie ukarany (~K=1)

Przypadek B to powszechnie znany w świecie żywym akt łaski, czyli odstąpienie od wykonania kary (~K=1) w przypadku gdy odbiorca spełnił warunek kary (W=1).

Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yb=1 lub Yc=1
Ya, Yb, Yc - funkcje logiczne cząstkowe wchodzące w skład funkcji logicznej Y.

Kiedy nadawca skłamie?
Mamy:
1.
Y = (W~>K) = W+~K - odpowiedź na pytanie kiedy nadawca dotrzyma słowa (Y)
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
2.
~Y = ~(W~>K) =~(W+~K) = ~W*K - prawo De Morgana
stąd mamy:
~Y = ~W*K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~W=1 i K=1
Czytamy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = ~W*K = 1*1 =1 - odbiorca nie spełni warunku kary (~W=1) i zostanie ukarany (K=1)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
W~>K = W+~K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

W groźbie mamy:
Y=W+~K - odpowiedź na pytanie kiedy nadawca dotrzyma słowa (Y=1)
~Y=~W*K - odpowiedź na pytanie kiedy nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1)

Nadawca może wyłącznie dotrzymać słowa (Y=1) albo nie dotrzymać słowa (~Y=1), trzeciej możliwości brak.
Stąd mamy.

Uproszczone rozstrzygnięcia w groźbie:
Nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy odbiorca nie spełni warunku kary (~W=1) i zostanie ukarany (K=1).
~Y = ~W*K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~W=1 i K=1
W każdym innym przypadku nadawca dotrzyma słowa (Y=1).


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:01, 29 Lis 2021, w całości zmieniany 4 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 17:04, 03 Paź 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
9.5 Obietnica


Spis treści
9.5 Obietnica 1
9.5.1 Prawo transformacji 8
9.5.2 Definicja „wolnej woli” 12
9.5.3 Obietnica w równaniach logicznych 14
9.5.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 19
9.5.5 Rodzaje obietnic 24



9.5 Obietnica

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji prostej p|=>q.

Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

T1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji prostej p|=>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

IO
Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~p|~>~q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy ~p jest (=1) konieczne ~> dla ~q (A2) i jednocześnie ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q (B2)

Dla A2B2 korzystamy z praw Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd mamy:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = A1B1: p|=>q
stąd mamy tożsamość logiczną:
A2B2: ~p|~>~q = A1B1: p|=>q
cnd

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy absolutnie nic nie musimy udowadniać poza rozstrzygnięciem czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.

A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1 z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym =>
dla otrzymania komputera (K=1)
B1: E~>K =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~>
dla otrzymania komputera (K=1)
Stąd:
A1B1: E|=>K = (A1: E=>K)*~(B1: E~>K) = 1*~(0) =1*1 =1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy implikacji prostej E|=>K
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}:
A1B1: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=E(egzamin)
q=K(komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: E|=>K w logice dodatniej (bo K) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer” jest częścią implikacji prostej A1B1: E|=>K w logice dodatniej (bo K) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: E|=>K na mocy definicji obietnicy.

IP
Definicja podstawowa implikacji prostej E|=>K w logice dodatniej (bo K):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta E|=>K w logice dodatniej (bo K) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta E|=>K w logice dodatniej (bo K) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera (A1) i nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla dostania komputera (B1)

IO
Definicja implikacji odwrotnej ~E|~>~K w logice ujemnej (bo ~K):

Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~E|~>~K w logice ujemnej (bo ~K) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~E~>~K =1 - nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie dostania komputera (~K=1)
B2:~E=>~K =0 - nie zdanie egzaminu (~E=1) nie jest (=0) wystarczające =>
dla nie dostania komputera (~K=1)
Stąd:
A2B2: ~E|~>~K = (A2: ~E~>~K)*~(B2:~E=>~K)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna ~E|~>~K w logice ujemnej (bo ~K) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania komputera (A2) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania komputera.

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: E|=>K = A2B2:~E|~>~K
Dowód:
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K) = (A2: ~E~>~K)*~(B2: ~E=>~K) = A2B2: ~E|~>~K
bo prawa Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
B1: E~>K = B2: ~E=>~K
cnd

Innymi słowy:
Kolumna A1B1 opisuje nam co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1), natomiast kolumna A2B2 opisuje nam co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1).

Operator implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o E i ~E:

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli zdam egzamin (E=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: E=>K =1 - zdanie egzaminu (E=1)jest (=1) wystarczające => dla dostania komputera (K=1)
B1: p~>q =0 - zdanie egzaminu (E=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla dostania komputera (K=1)
A1B1: E|=>K =(A1: K=>K)* ~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)?
Stąd:
Jeśli zdam egzamin (E=1) to mam gwarancję matematyczną => iż dostanę komputer (K=1) - mówi o tym zdanie A1

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera z powodu zdanego egzaminu.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancje matematyczną => dostania komputera z powodu zdanego egzaminu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania komputera z dowolnego innego powodu. Dostanie komputera z innego powodu będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1: E=>K, nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A1: E=>K.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% => etc

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K=0
to samo w zapisach formalnych:
p~~>~q = p*~q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1).
W świecie martwym (i w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W świecie żywym, mającym „wolną wolę” ojciec może kłamać do woli, czyli syn może zdać egzamin a ojciec z premedytacją może nie dać mu komputera. W tym przypadku ojciec jest kłamcą o czym wszyscy wiedzą od 5-cio latka poczynając. Tylko tyle i aż tyle rozstrzyga w obietnicy matematyka ścisła, algebra Kubusia.

A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~E~>~K =1 - nie zdanie egzaminu jest (=1) warunkiem koniecznym ~> nie dostania komputera
B2: ~E=>~K =0 - nie zdanie egzaminu nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla nie dostania komputera
A2B2: ~E|~>~K =(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)?
Stąd:
Jeśli nie zdam egzaminu (~E=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania A2 i B2’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>~q 1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest warunkiem konicznym ~> dla nie dostania komputera (~K=1) bo jak zdam egzamin (E=1) to na 100% => dostanę komputer (K=1)
A2: ~E~>~K = A1: E=>K

LUB

Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~~> dostać komputer (K=1)
~E~~>K = ~E*K =1
to samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
Może się zdarzyć (=1), że nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do zdania A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu komputera) mimo że syn nie spełnił warunku nagrody (tu nie zdał egzaminu)
Zdanie B2’ to także piękny „akt łaski” w stosunku do groźby A2, czyli prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)


Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji prostej E||=>K jest gwarancja matematyczna => po stronie E (zdanie A1), oraz „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~E (zdania A2 i B2’) .

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~E||~>~K to układ równań logicznych:
A2B2:~E|~>~K=(A2:~E~>~K)*~(B2:~E=>~K) - co się stanie jeśli nie zdam egzaminu (~E=1)
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K) - co się stanie jeśli zdam egzamin (E=1)
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~E||~>~K w logice ujemnej (bo ~K) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej E||=>K w logice dodatniej (bo K) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

Komentarz do zdania A2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
A2: ~E~>~K =1
Zdanie tożsame:
A21.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to możesz ~> nie dostać komputera (~K=1)
A21: ~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu (~E=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostana komputera (~K=1)

Zauważmy, że zdanie A2 jest ewidentną groźbą z czego wynika, że wszelkie groźby musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary opisanym prawdziwym kontrprzykładem B2’.
Dlaczego zachodzi tożsamość zdań?
A2: ~E~>~K = A21: ~E~>~K?
Wynika to z definicji obietnicy zgodnie z którą zdanie A2=A21 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu miłości względem zdania A1 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A21 będzie wyrażona.
Zauważmy, że w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób.
Z faktu iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może tej groźby wykonać.

9.5.1 Prawo transformacji

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem obietnicy.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Warunek wystarczający => A1 jest częścią implikacji prostej E|=>K na mocy definicji obietnicy
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Szczegółowa rozpiska implikacji prostej E|=>K w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest następująca.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}:
A1B1: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=E(egzamin)
q=K(komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Weźmy naszą sztandarową obietnicę.

Przykład 1
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Zastosujmy do zdania A1 prawo kontrapozycji.

Prawo kontrapozycji w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
Prawo kontrapozycji w zapisie aktualnym (nasz przykład):
A1: E=>K = A4: ~K=>~E

Odczytajmy zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera (~K=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~K=>~E=1
Nie danie synowi komputera przed egzaminem daje nam gwarancję matematyczną => iż syn nie zda egzaminu

Jak widzimy, zdanie A4 to paradoks w stosunku do zdania A1.
Dlaczego?
W zdaniu A1 ojciec obiecuje synowi komputer z powodu zdanego egzaminu (po egzaminie), natomiast zdanie A4 wymusza na ojcu danie komputera przed egzaminem, bowiem inaczej syn na 100% => nie zda egzaminu.

Inne zdania uwypuklające zachodzący tu paradoks.

Przykład 2
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz cukierka
E=>C =1
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania cukierka
Prawo kontrapozycji:
A1: E=>C = A4: ~C=>~E
stąd:
Zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli nie dostaniesz cukierka (~C=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~C=>~E =1
Brak cukierka (~C=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie zdamy egzaminu (~E=1)

Przykład 3
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)

Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Zdanie A4 w czasie przyszłym:
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)

Jak widzimy, logika matematyczna która działa wyśmienicie w świecie martwym i w matematyce prowadzi do paradoksów w świecie żywym, gdzie poprzednik lub następnik zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Jak uniknąć opisanego wyżej paradoksu?

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Oczywistym jest, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na naszych przykładach.

Przykład 1
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera

Prawo kontrapozycji:
A1: E=>K = A4: ~K=>~E

Odczytajmy zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera (~K=1) to na 100% => nie zdasz egzaminu (~E=1)
~K=>~E=1
Nie danie synowi komputera przed egzaminem daje nam gwarancję matematyczną => iż syn nie zda egzaminu

Odczytajmy zdanie A4 w czasie przeszłym na mocy prawa transformacji.
Załóżmy iż jest po egzaminie.
Zaistniały fakt: Jaś nie ma komputera
Jaś do Zuzi która zna obietnicę ojca, ale nie zna zaistniałego faktu:
Zgadnij Zuzia czy zdałem egzamin jeśli nie mam komputera.
Zuzia:
A4.
Jeśli nie dostałeś komputera (~K=1) to na 100% => nie zdałeś egzaminu (~E=1)
~K=>~E =1
Brak komputera (~K=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż Jaś nie zdał egzaminu (~E=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie dostaniesz komputera to będzie to oznaczało iż (wcześniej) nie zdałeś egzaminu
~K=>~E=1

Przykład 3
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)

Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)

Zdanie A4 w czasie przeszłym.
Jest pojutrze.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1

9.5.2 Definicja „wolnej woli”

Obietnica rodem ze świata żywego:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera

Zauważmy, że w świecie martwym (w tym w matematyce) zdanie A1 jest gwarancją absolutną której świat martwy nie jest w stanie złamać.

Zobaczmy to przez analogię:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury.
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0
W naszym Wszechświecie niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: pada (P=1) i nie ma chmur (~CH=1)

Stąd mamy wyprowadzoną definicję „wolnej woli” istot żywych (nie tylko człowieka).

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Na mocy definicji widać, że pojęcia „wolna wola” możemy używać tylko i wyłącznie w stosunku do świata żywego, bowiem wyłącznie świat żywy może gwałcić wszelkie prawa logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

„Wolna wola” istot żywych może być wykorzystana także w niecnych celach, czyli nadawca wypowiada obietnicę której nie zamierza spełnić, której celem jest oszukanie odbiorcy.
„Wolna wola” istot żywych jest wodą na młyn dla oszustów wszelkiej maści np. wyłudzenia metodą na wnuczka. Ofiary dają się oszukiwać tylko dlatego iż oszust działa tak, by ofiara nie domyślała się że jest oszukiwana.

Zauważmy, że ojciec wypowiadając obietnicę:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Zdanie tożsame:
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Tylko teoretycznie musi dać synowi komputer, bowiem w praktyce tak może się nie stać z różnych powodów, na przykład:
1.
Syn zdaje egzamin ale w drodze do domu ginie w wypadku samochodowym - oczywiście wyłącznie idiota będzie wkładał do trumny obiecany komputer.
2.
Syn zdaje egzamin, ale jednocześnie u mamy stwierdzono raka i wspólnie z ojcem postanawiają wydać pieniądze przeznaczone na komputer, na leczenie mamy.
3.
Ojciec jest sadystą i nie dotrzymuje danego słowa z premedytacją.

Oczywistym jest, że wyłącznie w przypadku 3 ojciec jest kłamcą, bo nie dotrzymał danego słowa z premedytacją.
Przypadek 1 to automatyczne zwolnienie z obietnicy wynikłe z przypadku losowego, natomiast w przypadku 2 syn dobrowolnie zwalnia ojca z danej obietnicy.

Prawo zwolnienia z obietnicy:
Zwolnić nadawcę z wypowiedzianej obietnicy może wyłącznie odbiorca.

Zauważmy że:
Jeśli rodzic cokolwiek obiecuje dziecku to z reguły dotrzymuje danej obietnicy. Nie ma tu mowy o ograniczeniu „wolnej woli” rodzica bowiem składa obietnicę dobrowolnie oczekując spełnienia warunku dostania nagrody.
Jeśli dziecko spełni warunek nagrody to rodzic wręcza nagrodę … i wszyscy są szczęśliwi.
Problem dla ojca zaczyna się, gdy syn nie spełni warunku nagrody.
Tu ojciec ma 100% wolnej woli, może nagrody nie wręczyć argumentując tak:
A2:~E~>~K =1
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), zatem nie dostaniesz komputera (~K=1)
W tym przypadku ojciec nie musi uzasadniać swojej negatywnej decyzji, ale może mówiąc tak:
A2: ~E~>~K =1
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), nie dostajesz komputera (~K=1) bo widziałem, że w ogóle się nie uczyłeś.

W przypadku nie zdanego egzaminu, na mocy zdania B2’ ojciec równie dobrze może wręczyć synowi komputer
B2’: ~E~~>K = ~E*K =1
uzasadniając to tak:
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1) dostajesz komputer (K=1) bo cię kocham … bo widziałem że się uczyłeś, ale miałeś pecha itp.
Uwaga:
Uzasadnienie wręczenia komputera musi być w tym przypadku niezależne tzn. różne od poprzednika.

Ojciec nie może wręczyć komputera z uzasadnieniem zależnym bo będzie mimo wszystko kłamcą.
Uzasadnienie zależne brzmi tak:
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1), dostajesz komputer (K=1) bo nie zdałeś egzaminu (~E=1)

W przypadku uzasadnienia zależnego ojciec mimo wszystko jest kłamcą, co udowodniłem na samym początku mojej przygody na serio z logiką matematyczną około 14 lat temu.

9.5.3 Obietnica w równaniach logicznych

A1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Warunek wystarczający => A1 jest częścią implikacji prostej E|=>K na mocy definicji obietnicy

Szczegółowa rozpiska implikacji prostej E|=>K w warunkach wystarczających => i koniecznych ~> jest następująca.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {E,K}:
A1B1: Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=E(egzamin)
q=K(komputer)
A1: E=>K=1 - zdanie egzaminu wystarcza => dla otrzymania komputera
B1: E~>K=0 - zdanie egzaminu nie jest konieczne ~> dla otrzymania komputera
A1B1: E|=>K=(A1: E=>K)*~(B1: E~>K)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: E=>K  =1 = 2:~E~>~K=1     [=] 3: K~>E  =1 = 4:~K=>~E =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: E~~>~K=0 =                [=]             = 4:~K~~>E =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: E~>K  =0 = 2:~E=>~K=0     [=] 3: K=>E  =0 = 4:~K~>~E =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~E~~>K=1     [=] 3: K~~>~E=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Rozważmy sztandarową obietnicę:
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to na 100% => dostaniesz komputer (K=1)
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera z powodu zdanego egzaminu.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancje matematyczną => dostania komputera z powodu zdanego egzaminu
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>.
Znaczek warunku wystarczającego => nie wyklucza dostania komputera z dowolnego innego powodu. Dostanie komputera z innego powodu będzie miało zero wspólnego z obietnicą A1: E=>K, nie będzie dotyczyć tej konkretnej obietnicy A1: E=>K.
Matematycznie:
Warunek wystarczający => = gwarancja matematyczna => = pewność 100% => etc

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie):
A1’
Jeśli zdasz egzamin (E=1) to możesz ~~> nie dostać komputera (~K=1)
E~~>~K = E*~K =0
Jeśli syn zda egzamin (E=1) i ojciec nie wręczy komputera (~K=1) to ojciec będzie kłamcą (=0).

… a jeśli nie zdam egzaminu?
Prawo Kubusia:
A1: E=>K = A2: ~E~>~K
Stąd:
Kolumna A2B2:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu (~E=1) to na 100% ~> nie dostaniesz komputera (~K=1)
~E~>~K =1
Nie zdanie egzaminu jest warunkiem koniecznym ~> nie dostania komputera.
Nie jest to jednocześnie warunek wystarczający => bo na mocy definicji implikacji prostej E|=>K zdanie B2’ jest prawdziwe, czyli ojciec ma matematyczne prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: E=>K i kłamcą nie będzie.

Sposób wypowiedzenia groźby A2 nie ma tu znaczenia.
Zdanie A2 to ewidentna groźba, zatem im ostrzej wypowiedziana tym teoretycznie będzie skuteczniejsza - stąd w zdaniu A2 mamy „na 100% ~>”
Można wypowiedzieć groźbę „lichą”:
A2.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~> nie dostać komputera
~E~>~K =1
W praktyce jednak nadawca rzadko używa spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę, bowiem marzeniem nadawcy jest, bo odbiorca na 100% ~> nie spełnił warunku groźby (tu zdał egzamin)

LUB

Kolumna A2B2:
B2: ~E=>~K =0
Fałszywy warunek wystarczający B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli nie zdasz egzaminu to możesz ~~> dostać komputer
~E~~>K = ~E*K =1
Zdanie B2’ to akt miłości, czyli prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody w zdaniu A: E=>K.
Zauważmy, ze akt miłości jest tożsamy z aktem łaski, jeśli za punkt odniesienia przyjmiemy groźbę A2: A2: ~E~>~K.

Uwaga:
W przypadku nie zdania egzaminu ojciec może wręczyć nagrodę z dowolnym uzasadnieniem niezależnym, czyli różnym od poprzednika.
Po nie zdanym egzaminie może powiedzieć:
1.
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo cię kocham
lub
2.
Synku, nie zdałeś egzaminu, dostajesz komputer bo widziałem że się uczyłeś ale miałeś pecha
etc
Ojciec będzie kłamcą jeśli powie słowo w słowo:
3.
Synku, nie zdałeś egzaminu (~E=1) dostajesz komputer (K=1) bo nie zdałeś egzaminu (~E=1)
W zdaniu 3 mamy do czynienia z uzasadnieniem zależnym, gdzie uzasadnienie jest identyczne jak poprzednik.

Czysto matematyczny dowód iż wypowiadając zdanie 3 ojciec będzie kłamcą:

Zastosujmy świętą zasadę algebry Boole’a „Jak się mówi tak się pisze” doskonale znaną wszystkim inżynierom elektronikom, ci od cyfrowych układów logicznych.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dostania nagrody

Zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Dostanę nagrodę (N) gdy spełnię warunek nagrody (zdanie A1) lub gdy nadawca zdecyduje o daniu nagrody (zdanie B2’)

Wprowadźmy zmienną uznaniową nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Równanie obietnicy:
N=W+U

Gdzie:
N=1 - mam nagrodę
N=0 - nie mam nagrody
W=1 - warunek nagrody spełniony
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Zmienna uznaniowa nadawcy:
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Analiza równania obietnicy.

Przypadek A.
W=1 - odbiorca spełnił warunek nagrody.

Równanie obietnicy przybierze wówczas postać:
N = 1+U = 1 - muszę dostać nagrodę.
W przypadku gdy odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) nadawca nie ma wyjścia i musi dać nagrodę, inaczej jest kłamcą. Zauważmy, że nikt nie zmuszał nadawcy do obiecania czegokolwiek, że nadawca obiecał nagrodę z własnej woli, że chce dać nagrodę. Nie ma tu zatem mowy o jakimkolwiek ograniczeniu wolnej woli nadawcy.

Przypadek B.
W=0 - warunek nagrody nie spełniony

Równanie obietnicy przybiera postać:
N=W+U=0+U=U
Wszystko w rękach nadawcy który podejmuje decyzję o daniu nagrody zgodnie ze swoją wolną wolą, niczym nie ograniczoną.
U=1 - dam nagrodę
U=0 - nie dam nagrody

Przy niespełnionym warunku nagrody (W=0) nadawca może zrobić co mu się podoba i nie zostaje kłamcą. Większość nadawców tak czy siak da nagrodę pod byle pretekstem niezależnym (U=1 - akt miłości), ale nie musi tego robić!

W tym przypadku nadawca może wszystko z maleńkim wyjątkiem:
Nie spełniłeś warunku nagrody (W=0) dostajesz nagrodę (N=1), bo nie spełniłeś warunku nagrody (U=W=0)

Równanie obietnicy przybierze tu postać:
N = W+U = 0+0 =0
Zakaz wręczenia nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu nie spełnienia warunku nagrody (W=0).

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

Przykład:
A.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K

Równanie obietnicy:
K = W+U

Jeśli egzamin zdany (W=1) to:
K=1+U =1 - gwarancja otrzymania komputera.
Zmienna uznaniowa nadawcy U jest tu bez znaczenia.

Jeśli egzamin nie zdany (W=0) to:
K=W+U = 0+U =U
Wszystko w rękach nadawcy:
U=1 - dam komputer
U=0 - nie dam komputera

Akt miłości nie zaszedł:
U=0
Nie zdałeś egzaminu (W=0), nie dostajesz komputera ... bo kompletnie się nie uczyłeś (U=0)
Równanie obietnicy:
K=W+U = 0+0 =0 - nie mam komputera

Akt miłości zaszedł:
U=1
Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer ... bo widziałem że się starałeś ale miałeś pecha, bo cię kocham, bo tak czy siak zamierzałem dać ci komputer itp.
Gdzie:
U=1 - dowolne uzasadnienie niezależne.
Równanie obietnicy:
N=W+U=0+1=1 - mam komputer dzięki dobremu sercu nadawcy (akt miłości)

Podsumowując:
Nadawca może wręczyć nagrodę pod byle pretekstem, ale nie może wręczyć nagrody z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek nagrody.

Nie zdałeś egzaminu (W=0), dostajesz komputer (K=1) ... bo nie zdałeś egzaminu (U=W=0).

Równanie obietnicy:
N=W+U=0+0=0 - zakaz wręczania nagrody z uzasadnieniem zależnym, czyli z powodu „nie zdania egzaminu” (W=U=0)

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

9.5.4 Obietnica w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>
         Y=    ~Y=
   p  q  p=>q ~(p=>q)
A: 1  1  =1     =0
B: 1  0  =0     =1
C: 0  0  =1     =0
D: 0  1  =1     =0

Algorytm opisania dowolnej tabeli zero-jedynkowej równaniami Y i ~Y w logice jedynek poznaliśmy w „Nowej algebrze Boole’a” (punkt 3.1)

Przypomnijmy:

Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r…) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).

Algorytm logiki jedynek:
W pełnej tabeli zero-jedynkowej, w logice jedynek, opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszego warunku wystarczającego Y = p=>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =0 =1 |~Yb=1<=> p=1 i ~q=1 |~Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  1 =1 =0 | Yd=1<=>~p=1 i  q=1 | Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yb
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (1) doskonale rozumianych przez człowieka, albo do prostego równania koniunkcji (2) lub alternatywy.
Oba te przypadki są doskonale rozumiane przez człowieka, od 5-cio latka poczynając, co za chwilkę udowodnimy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę. Nic a nic więcej nie musimy udowadniać, dalej wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji obietnicy.

Rozważmy naszą sztandarową obietnicę.
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dostania komputera.

Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1. Kiedy zajdzie Y (ojciec dotrzyma słowa)
2. Kiedy zajdzie ~Y (ojciec nie dotrzyma słowa)


Przyjmijmy notację zgodną z naturalną logiką matematyczną człowieka gdzie w kodowaniu zdań zapisujemy wszelkie przeczenia (~) sprowadzając wszystkie zmienne binarne do jedynek:
Y - ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Innymi słowy:
Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

Nasz przykład:
1.
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Gdzie:
Y = Ya+Yc+Yd - suma logiczna funkcji cząstkowych w logice dodatniej (bo Yx)

2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

Nasz przykład:
2.
~Y= B: E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Gdzie:
~Y =~Yb - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yb)

Stąd mamy zrozumiałą dla każdego 5-cio latka analizę odpowiadającą na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

1.
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = A: E*K=1*1=1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
LUB
Yc = C: ~E*~K=1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
LUB
Yd = D: ~E*K =1*1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)

Zdanie D to oczywiście piękny akt miłości w odniesieniu do obietnicy A1, czyli prawo nadawcy do wręczenia nagrody (syn dostaje komputer), mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu syn nie zdał egzaminu)

2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

~Y= B: E*~K
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: E=1 i ~K=1
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) = ojciec skłamie (S)
~Y=S
Czytamy:
2.
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = B: E*~K = 1*1 =1 - syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd dokładnie to samo zdanie w logice dodatniej (bo Y):
2a.
(Y=0) <=> B: E=1 i ~K=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że ojciec dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera

W algebrze Kubusia zapis matematycznie tożsamy do powyższego to:
2b.
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0
Czytamy:
Ojciec skłamie (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0 - syn zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (K=1)

Uwaga na notację w algebrze Kubusia gdzie tożsame są zapisy równań logicznych:
2a=2b

Podsumowanie:
I.
Zauważmy, że równania cząstkowe A, B, C i D to zdarzenia rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Dowód iż zdarzenia A, B, C i D są wzajemnie rozłączne:
A: E*K
B: E*~K
C: ~E*~K
D: ~E*K
Sprawdzamy:
A*B = (E*K)*(E*~K) = [] =0
A*C = (E*K)*(~E*~K) =[] =0
A*D = (E*K)*(~E*K) =[] =0
B*C = (E*~K)*(~E*~K)=[] =0
B*D = (E*~K)*(~E*K) = [] =0
C*D = (~E*~K)*(~E*K) =[] =0
cnd
Wnioski:
a)
W dniu dzisiejszym wszystkie zdarzenia A, B, C i D mają wartość logiczną miękkiej prawdy tzn. każde z nich może jutro zajść, ale nie musi zajść
b)
Pojutrze wyłącznie jedno ze zdarzeń A, B, C albo D ma szanse być prawdą absolutną, pozostałe zdarzenia będą fałszem absolutnym (nie zajdą)

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to prawda niezmienna do końca naszego Wszechświata.

Przykładowo, jeśli pojutrze stwierdzimy iż zaszło zdarzenie B:
~Y = B: E*~K =1*1 =1 - syn zdał egzamin (E=1) i nie dostał komputera (~K=1) to ojciec jest kłamcą (~Y=1) i tego faktu nikt nie zmieni do końca naszego Wszechświata bo czasu nie da się cofnąć.
Innymi słowy:
~Y=1 - prawdą absolutną (=1) jest fakt, iż ojciec jest kłamcą (~Y).

Pozostałe zdarzenia pojutrze będą fałszem absolutnym:
Ya = A: E*K = 1*1 =0 - nie zaszło (Ya=0) zdarzenie: syn zdał egzamin (E=1) i ma komputer (K=1)
LUB
Yc = C: ~E*~K=1*1 =0 - nie zaszło (Yc=0) zdarzenie: syn nie zdał egzaminu (~E=1) i nie ma komputera (~K=1)
LUB
Yd = D: ~E*K =1*1 =0 - nie zaszło (Yd=0) zdarzenie: syn nie zdał egzaminu (~K=1) i ma komputer (K=1)

Zauważmy, że wzajemnie rozłączne równania cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód:
D = A+B+C+D = E*K + E*~K + ~E*~K + ~E*K = E*(K+~K) + ~E*(~K+K) = E+~E =1
cnd

Zapiszmy jeszcze raz nasz przykład w punktach 1 i 2 w zapisach ogólnych podstawiając:
E (egzamin) =p
K (komputer) =q

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1):

1.
Y= p*q + ~p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1

2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1):

2.
~Y = p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y= p*q + ~p*~q + ~p*q
Y = p*q + ~p*(~q+q)
Y = ~p+ (p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p + p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = ~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Odtwarzając nasz przykład mamy:
A1.
Jeśli zdasz egzamin to na 100% => dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dostania komputera.
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => dostania komputera.
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Dokładnie to samo zdanie A1 po przejściu do spójników „i”(*) i „lub”(+) opisuje minimalne równanie logiczne:
1’
Y = (E=>K) = ~E + K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Czytamy:
Ojciec wypowiadając obietnicę A1 dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = ~E+K =1+1 =1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)

Wnioski:
1..
Obietnica A1 jest w języku potocznym doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka.
2..
Przejście z obietnicą A1 do tożsamego minimalnego równania 1’:
1’
Y = (E=>K) = ~E + K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
jest w języku potocznym niezrozumiałe.
3.
Zrozumiałą dla każdego 5-cio latka odpowiedzią na pytanie:
Kiedy ojciec jutro dotrzyma słowa (Y=1)?
mamy jedynie w równaniu nieminimalnym, co dowiedziono wyżej:
Y = (E=>K) = A: E*K + C:~E*~K + D:~E*K
co w logice jedynek oznacza:
Y = (E=>K) = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i ~K=1 lub D: ~E=1 i K=1
4.
Zauważmy, że przechodząc z obietnicą A1 do równania 3 zabijamy istotę zdań warunkowych, zabijamy występujące w nich warunki wystarczające => i konieczne ~>.
W równaniu 3 nie ma bowiem mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> bowiem z definicji spójniki „i”(*) i „lub”(+) są w stanie opisać co najwyżej istnienie/nie istnienie elementu wspólnego zbiorów ~~>, ale nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też relacji nadzbioru ~>.
cnd

9.5.5 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:02, 29 Lis 2021, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Pon 22:48, 04 Paź 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
9.6 Groźba


Spis treści
9.6 Groźba 1
9.6.1 Prawo transformacji 10
9.6.3 Groźba w równaniach logicznych 11
9.6.4 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 13



9.6 Groźba

Największą tragedią ziemskich matematyków jest fakt, że mając 2500 lat czasu (od Sokratesa) nie doszli do poprawnych definicji obietnicy i groźby tu przedstawionych.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Przykład:
A1.
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K =1
Dostanie komputera to nagroda, zatem zdanie A1 z definicji jest częścią implikacji prostej E|=>K.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania komputera
Zdanie egzaminu daje nam gwarancję matematyczną => otrzymania komputera
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Przykład:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Poza tym nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać, wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji implikacji odwrotnej p|~>q.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to spełniony wyłącznie warunku konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
##
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
Kod:

IO
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)= ~(0)*1 =1*1=1
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##               ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5:  p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.

Kluczowym punktem zaczepienia w wprowadzeniu symbolicznej definicji implikacji odwrotnej p|~>q jest definicja kontrprzykładu rodem z algebry Kubusia działająca wyłącznie w warunku wystarczającym =>.

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Uzupełnijmy naszą tabelę wykorzystując powyższe rozstrzygnięcia działające wyłącznie w warunkach wystarczających =>.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.

IP
Definicja implikacji prostej ~p|=>~q w logice ujemnej (bo ~q):

Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~p=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Stąd:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~p|=>~q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy ~p jest (=1) wystarczające => dla ~q (B2) i jednocześnie ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q (B1)

Dla A2B2 korzystamy z praw Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
B2: ~p=>~q = B1: p~>q
stąd mamy:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p|~>q
stąd mamy tożsamość logiczną:
A2B2: ~p|=>~q = A1B1: p|~>q
cnd

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem groźby.

B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem zdanie B1 z definicji jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Definicja podstawowa implikacji odwrotnej B|~>L:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie (B=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1)
Stąd:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(0)*1 =1*1=1

Podstawmy nasz przykład do tabeli prawdy T2:
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {B,L}
A1B1: Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=B (brudne spodnie)
q=L (lanie)
A1: B=>L=0 - brudne spodnie nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania
B1: B~>L=1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)*(B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A:  1: B=>L  =0 = 2:~B~>~L=0     [=] 3: L~>B  =0 = 4:~L=>~B =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
A’: 1: B~~>~L=1 =                [=]             = 4:~L~~>B =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B:  1: B~>L  =1 = 2:~B=>~L=1     [=] 3: L=>B  =1 = 4:~L~>~B =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
B’:             = 2:~B~~>L=0     [=] 3: L~~>~B=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: B|~>L w logice dodatniej (bo L) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: B|~>L w logice dodatniej (bo L) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją odwrotną A1B1: B|~>L na mocy definicji obietnicy.

IO
Definicja implikacji odwrotnej B|~>L w logice dodatniej (bo L):

Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna B|~>L w logice dodatniej (bo L) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: B=>L =0 - brudne spodnie nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania
B1: B~>L =1 - brudne spodnie są (=1) warunkiem koniecznym ~> dostania lania
(z powodu brudnych spodni)
stąd:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna B|~>L w logice dodatniej (bo L) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy
brudne spodnie są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (B1) i nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla dostania lania (A1)

IP
Definicja implikacji prostej ~B|=>~L w logice ujemnej (bo ~L):

Kolumna A2B2:
Implikacja prosta ~B=>~L w logice ujemnej (bo ~L) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~B~>~L =0 - czyste spodnie (~B) nie są (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania lania (~L)
B2:~B=>~L =1 - czyste spodnie (~B) są (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L)
(z powodu czystych spodni - tylko tyle i aż tyle gwarantuje implikacja prosta ~B=>~L)
Stąd:
A2B2: ~B|=>~L = ~(A2: ~B~>~L)*(B2:~B=>~L)=~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta ~B|=>~L w logice ujemnej (bo ~L) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy czyste spodnie (~B=1) są (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) z powodu czystych spodni (B2) i nie są (=0) warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania lania (A2).

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: B|~>L = A2B2: ~B|=>~L
Dowód:
A1B1: B|~>L = ~(A1: B=>L)*(B1: B~>L) = ~(A2: ~B~>~L)*(B2:~B=>~L) = A2B2: ~B|=>~L
bo prawa Kubusia:
A1: B=>L = A2: ~B~>~L
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
cnd
Innymi słowy:
Kolumna A1B1 opisuje nam co może się wydarzyć jeśli ubrudzę spodnie (B=1), natomiast kolumna A2B2 opisuje nam co może się wydarzyć jeśli nie ubrudzę spodni (~B=1).

Operator implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o B i ~B:
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)

A1B1.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: B=>L =0 - brudne spodnie (B=1) nie są (=0) wystarczające => dla dostania lania (L=1)
B1: B~>L =1 - brudne spodnie są (=1) konieczne ~> dla dostania lania (L=1)
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L)=~(0)*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Co w logice jedynek oznacza:
(B=1)~>(L=1) =1
Czytamy:
B=1 - prawdą jest (=1) że mam brudne spodnie (B)
L=1 - prawdą jest (=1) dostaję lanie (L)
Przyjście w brudnych spodniach (B=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L=1) bo jak przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostanę lania (~L=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: p~>q = B2:~p=>~q
To samo w zapisie aktualnym:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L

Komentarz:
Zdania tożsame do B1 to:
B1A.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
B1B.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to możesz ~> dostać lanie (L=1)
B~>L =1
Uwaga:
Na mocy definicji groźby zdanie B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary na mocy prawdziwego kontrprzykładu A1’. Ostrość wypowiedzianej groźby nie ma tu znaczenia, czyli:
B1 = B1A = B1B
W groźbach nadawca z reguły nie wypowiada spójnika „może ~>” osłabiającego groźbę (B1B) bowiem marzeniem nadawcy jest, by odbiorca nie spełnił warunku groźby, zatem im ostrzej wypowiedziana groźba, tym teoretycznie lepiej.
Zauważmy, że algebra Kubusia pozwala nadawcy na blefowanie tzn. może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostrej formie (np. B1A) nie mając zamiaru wykonać kary w niej zawartej.
Z faktu, że nadawca w chwili wypowiadania groźby blefuje (o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie zawartej w groźbie kary nie może wykonać.
Innymi słowy:
Finalnie nadawca może wykonać karę w groźbie która w chwili wypowiedzenia groźby była jego blefem.

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwy kontrprzykład A1’ (i odwrotnie):
A1’.
Jeśli przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1) to możesz ~~> nie dostać lania (~L=1)
B~~>~L = B*~L =1
Na mocy definicji groźby możliwe jest (=1) zdarzenie:
przyjdę w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanę lania (~L=1)
Zdanie A1’ to powszechny w świecie żywym (nie tylko u człowieka) akt łaski, czyli możliwość darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy, mimo że odbiorca spełnił warunek kary.
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)


A2B2.
Co może się wydarzyć jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?


Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Czyste spodnie = nie brudne spodnie (~B=1)

Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~B~>~L =0 - czyste spodnie (~B=1) nie są (=0) konieczne ~> dla nie dostania lania (~L=1)
B2: ~B=>~L =1 - czyste spodnie (~B=1) są (=1) wystarczające => dla nie dostania lania (~L=1)
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L)=~(0*1=1*1=1
Stąd:
Jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1) to mam gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>

Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
to samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) daje mi gwarancję matematyczną => iż nie dostanę lania (~L=1) z powodu że przyszedłem w czystych spodniach (~B=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z innego powodu jest oczywiście możliwe, ale takie lanie będzie miało zerowy związek z wypowiedzianą groźbą B1.

Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie):
B2’.
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to możesz ~~> dostać lanie (L=1)
~B~~>L = ~B*L =0
To samo w zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =0
Nie może się zdarzyć (=0), że przyjdę w czystych spodniach (~B=1) i dostanę lanie (L=1)

Zauważmy, że gwarancja B2: ~B=>~L braku lania w groźbie B1 jest niesłychanie silna.
Aby ją złamać ojciec musi powiedzieć słowo w słowo:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) dostajesz lanie (L=1) bo przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1) (z powodu czystych spodni (~B=1)).
W tym momencie mama synka dzwoni po pogotowie - ojciec zwariował i należy go umieścić w szpitalu psychiatrycznym.

Zauważmy, że ojciec-sadysta, jeśli musi walić bez trudu znajdzie sobie pretekst do walenia bez powoływania się na czyste spodnie.
Ojciec-sadysta może powiedzieć tak:
Synku, przyszedłeś w czystych spodniach (~B=1), dostajesz lanie (L=1) bo masz brudne buty (BB=1).
… i sadysta już może walić, bez narażania się na umieszczenie w szpitalu psychiatrycznym.

Zauważmy że:
W świecie martwym (i matematyce) zdanie B2’ to twarda prawda której świat martwy nie jest w stanie złamać.
Przykład:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)

To co nie jest możliwe w świecie martwym jest możliwe w świecie żywym, mającym „wolną wolę” co udowodniliśmy wyżej.

Definicja „wolnej woli” w świecie żywym:
Wolna wola to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Na mocy definicji pojęcie „wolnej woli” dotyczy wyłącznie świata żywego.

Definicja świata żywego:
W zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy do czynienia ze światem żywym wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość/fałszywość poprzednika p lub następnika q zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora implikacji odwrotnej B||~>L jest „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie B (zdania B1 i A1’) , oraz gwarancja matematyczna => po stronie ~B (zdanie B2).

Zauważmy że:
a)
Układ równań jest przemienny, stąd mamy definicję tożsamą:
Operator implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) to układ równań logicznych:
A2B2: ~B|=>~L =~(A2:~B~>~L)*(B2:~B=>~L) - co się stanie jeśli przyjdę w czystych spodniach (~B=1)?
A1B1: B|~>L =~(A1: B=>L)* (B1: B~>L) - co się stanie jeśli przyjdę w brudnych spodniach (B=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~B||=>~L w logice ujemnej (bo ~L) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej B||~>L w logice dodatniej (bo L) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

9.6.1 Prawo transformacji

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Zajmijmy się sztandarowym przykładem groźby.

B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem prawdziwy z definicji warunek konieczny ~> B1 jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Prawo Tygryska wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => poprzez zamianę poprzednika z następnikiem:
B1: B~>L = B3: L=>B

Stąd mamy:
B3.
Jeśli dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => ubrudzisz spodnie (B=1)
L=>B=1
Dostanie lania (L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż syn ubrudzi spodnie (B=1)
Innymi słowy:
Jeśli syn dostanie jakiekolwiek lanie (bo w zdaniu B3 nie ma przyczyny lania) to mamy gwarancję matematyczną => iż ubrudzi spodnie.

Zauważmy, że już samo dostanie lania bez podania przyczyny lania kwalifikuje się do szpitala psychiatrycznego.
Jak wybrnąć z tego paradoksu?

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Oczywistym jest, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na naszym przykładzie.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to dostaniesz lanie
B~>L =1
Dostanie lania to kara, zatem prawdziwy z definicji warunek konieczny ~> B1 jest częścią implikacji odwrotnej B|~>L. W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane, nic a nic nie musimy dodatkowo udowadniać.

Prawo Tygryska wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => poprzez zamianę poprzednika z następnikiem:
B1: B~>L = B3: L=>B
stąd na mocy prawa transformacji zdanie B3 wypowiadamy w czasie przeszłym:
B3.
Jeśli dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Na mocy groźby B1 dostanie lania (L=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż wcześniej syn ubrudził spodnie (B=1) i dostał to lanie z powodu brudnych spodni - w tym przypadku ojciec nie skorzystał z prawa łaski i nie darował synowi lania.

Jak widzimy, dzięki prawu transformacji obowiązującemu wyłącznie w obietnicach i groźbach nadawca skutecznie broni się przed umieszczeniem go w szpitalu psychiatrycznym.

9.6.3 Groźba w równaniach logicznych

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: W~>K = B2: ~W=>~K
stąd:
B2.
Jeśli nie spełnisz warunku kary (~W=1) to na 100% => nie zostaniesz ukarany (~K=1)
~W=>~K =1
… z powodu iż nie spełniłeś warunku kary (~W=1). Tylko tyle i aż tyle gwarantuje implikacja odwrotna B|~>L.

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Opiszmy groźbę w naturalnej logice matematycznej człowieka.

Obowiązuje tu zasada „Jak się mówi tak się pisze”:
Zostanę ukarany (K) gdy spełnię warunek kary (W) i nadawca zdecyduje o ukaraniu (U).

W groźbie nadawca może skorzystać z aktu łaski ale nie musi tego robić.
Przyjmijmy zmienną uznaniową U, którą nadawca może ustawić na dowolną wartość.

Matematyczne równanie groźby:
K=W*U

Gdzie:
K=1 - zostanę ukarany
K=0 - nie zostanę ukarany
W=1 - warunek kary spełniony
W=0 - warunek kary nie spełniony

Nadawca może ustawić zmienną uznaniową na dowolną wartość:
U=1 - ukarać
U=0 - nie karać (akt łaski)

Akt łaski w groźbie zajdzie wtedy, gdy odbiorca spełni warunek kary zaś nadawca odstąpi od wykonania kary ustawiając swoją zmienną wolną U na wartość:
U=0 - akt łaski (nie karać)

Analiza równania groźby.
K=W*U

Przypadek A.
W=0 - warunek kary nie jest spełniony

Równanie groźby przybierze wówczas postać:
K=W*U=0*U=0 - zakaz karania jeśli warunek kary nie zostanie spełniony.

Zauważmy, że nadawca nie ma tu nic do gadania. Może sobie ustawiać swoją zmienną wolną U długo i namiętnie na U=1 (karać) ... a i tak ma zakaz karania z powodu nie spełnienia warunku kary.

Przypadek B.
W=1 - warunek kary spełniony

Równanie groźby przybiera postać:
K=W*U=1*U=U

Wszystko w rękach nadawcy który może zrobić co mu się podoba wedle wolnej woli:
U=1 - karać
U=0 - nie karać

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L

Akt łaski:
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostaniesz lania (~L=1) ... bo samochód cię ochlapał, bo dziś mam dobry humor, bo cię kocham itp.
Gdzie:
U=0 - dowolne uzasadnienie niezależne jak wyżej.

K=W*U=1*0=0 - nie zostałem ukarany, bo nadawca zastosował akt łaski (U=0)

Uzasadnienie zależne:
Zauważmy, że nadawca może robić co mu się podoba z małym wyjątkiem, nie może darować kary z uzasadnieniem zależnym identycznym jak warunek kary.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Ubrudziłeś spodnie (W=1), nie dostajesz lania (~L=1), bo ubrudziłeś spodnie (U=W=1).
Gdzie:
W=1 - warunek kary spełniony
U=W=1 - uzasadnienie darowania kary identyczne jak poprzednik

Równanie groźby:
K=W*U=1*1=1 - kara musi być wykonana, zakaz darowania kary z uzasadnieniem zależnym

Nikt nie może robić z człowieka idioty, przede wszystkim matematyka.

9.6.4 Groźba w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.
Kod:

Zero-jedynkowa definicja warunku koniecznego ~>
         Y=    ~Y=
   p  q  p~>q ~(p~>q)
A: 1  1  =1     =0
B: 1  0  =1     =0
C: 0  0  =1     =0
D: 0  1  =0     =1

Algorytm opisania dowolnej tabeli zero-jedynkowej równaniami Y i ~Y w logice jedynek poznaliśmy „Nowej algebrze Boole’a” (punkt 3.2)

Przypomnijmy:

Definicja pełnej tabeli zero-jedynkowej:
Pełna tabela zero-jedynkowa układu logicznego (bramka logiczna) to zero-jedynkowy zapis wszystkich sygnałów wejściowych w postaci niezanegowanej (p, q, r..) i zanegowanej (~p, ~q, ~r…) oraz zapis wyjścia Y również w postaci niezanegowanej (Y) i zanegowanej (~Y).

Algorytm logiki jedynek:
W pełnej tabeli zero-jedynkowej, w logice jedynek, opisujemy wyłącznie jedynki gdzie w poziomie używamy spójnika „i”(*) zaś w pionie spójnika „lub”(+)
Logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych zgodnych z naturalną logika matematyczną człowieka, co oznacza, że będą one rozumiane w języku potocznym przez wszystkich ludzi, od 5-cio latka poczynając.

Zastosujmy logikę jedynek do naszego warunku koniecznego Y = p~>q:
Kod:

T2
Pełna definicja     |Co w logice jedynek |Równania
zero-jedynkowa Y    |oznacza             |cząstkowe
                    |                    |
   p  q ~p ~q  Y ~Y |                    |
A: 1  1  0  0 =1 =0 | Ya=1<=> p=1 i  q=1 | Ya= p* q
B: 1  0  0  1 =1 =0 | Yb=1<=> p=1 i ~q=1 | Yb= p*~q
C: 0  0  1  1 =1 =0 | Yc=1<=>~p=1 i ~q=1 | Yc=~p*~q
D: 0  1  1  0 =0 =1 |~Yd=1<=>~p=1 i  q=1 |~Yd=~p* q
   1  2  3  4  5  6   a       b      c     d   e  f

Z tabeli równań cząstkowych odczytujemy:
Y = Ya+Yb+Yc - suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yb i Yc
Po rozwinięciu mamy sumę logiczną zdarzeń rozłącznych:
1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

Kiedy zajdzie ~Y?
Z tabeli równań cząstkowych otrzymujemy:
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa ~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2.
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Jak widzimy, logika jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych (1) doskonale rozumianych przez człowieka, albo do prostego równania koniunkcji (2) lub alternatywy.
Oba te przypadki są doskonale rozumiane przez człowieka, od 5-cio latka poczynając, co za chwilkę udowodnimy.

Definicja groźby:
B1.
Jeśli spełnisz dowolny warunek (W=1) to zostaniesz ukarany (K=1)
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę. Nic a nic więcej nie musimy udowadniać, dalej wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji groźby.

Rozważmy naszą sztandarową groźbę.
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie (B=1) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L=1)
B~>L =1
Na mocy definicji groźby brudne spodnie (B=1) są warunkiem koniecznym ~> dla lania (L=1)

Dowolny operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to odpowiedź na dwa pytania:
1. Kiedy zajdzie Y (ojciec dotrzyma słowa)
2. Kiedy zajdzie ~Y (ojciec nie dotrzyma słowa):


Przyjmijmy notację zgodną z naturalną logiką matematyczną człowieka gdzie w kodowaniu zdań zapisujemy wszelkie przeczenia (~) sprowadzając wszystkie zmienne binarne do jedynek:
Y - ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
~Y - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)
Innymi słowy:
Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y)

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

Nasz przykład:
1.
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc - suma logiczna funkcji cząstkowych w logice dodatniej (bo Yx)

2.
Kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

Nasz przykład:
2.
~Y = D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~B=1 i L=1
Gdzie:
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Yd)


Stąd mamy zrozumiałą dla każdego 5-cio latka analizę odpowiadającą na dwa pytania 1 i 2:

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?

1.
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = A: B*L=1*1=1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i dostanie lanie (L=1)
LUB
Yb = B: B*~L=1*1=1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
LUB
Yc = C: ~B*~L=1*1=1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanie lania (~L=1)

Zdanie B to oczywiście piękny akt łaski w odniesieniu do groźby B1: B~>L, czyli prawo nadawcy do darowania kary zależnej od nadawcy (syn nie dostaje lania ~L=1), mimo że odbiorca spełnił warunek kary (tu syn przyszedł w brudnych spodniach B=1).

2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1)?

~Y = D: ~B*L
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~B=1 i L=1
Czytamy:
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = D: ~B*L =1*1 =1 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1)

Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd dokładnie to samo zdanie w logice dodatniej (bo Y):
2a.
(Y=0) <=> D: ~B=1 i L=1
Czytamy:
Fałszem jest (=0) że ojciec dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie

W algebrze Kubusia zapis matematycznie tożsamy do powyższego to
2b.
Y = B: E=1 i ~K =1*1 =0
Czytamy:
Ojciec skłamie (Y=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = D: ~B*L =1*1 =0 - syn przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1)

Uwaga na notację w algebrze Kubusia gdzie tożsame są zapisy równań logicznych:
2a=2b

Podsumowanie:
I.
Zauważmy, że równania cząstkowe A, B, C i D to zdarzenia rozłączne uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Dowód iż zdarzenia A, B, C i D są wzajemnie rozłączne:
A: E*K
B: E*~K
C: ~E*~K
D: ~E*K
Sprawdzamy:
A*B = (B*L)*(B*~L) = [] =0
A*C = (B*L)*(~B*~L) =[] =0
A*D = (B*L)*(~B*L) =[] =0
B*C = (B*~L)*(~B*~L)=[] =0
B*D = (B*~L)*(~B*L) = [] =0
C*D = (~B*~L)*(~B*L) =[] =0
cnd
Wnioski:
a)
W dniu dzisiejszym wszystkie zdarzenia A, B, C i D mają wartość logiczną miękkiej prawdy tzn. każde z nich może jutro zajść, ale nie musi zajść
b)
Pojutrze wyłącznie jedno ze zdarzeń A, B, C albo D ma szanse być prawdą absolutną, pozostałe zdarzenia będą fałszem absolutnym (nie zajdą)

Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to prawda niezmienna do końca naszego Wszechświata.

Przykładowo, jeśli pojutrze stwierdzimy iż zaszło zdarzenie D:
~Y = D: ~B*L =1*1 =1 - syn przyszedł w czystych spodniach (~B=1) i dostał lanie (L=1) z powodu czystych spodni (~B=1) to ojciec jest kłamcą (~Y=1) i tego faktu nikt nie zmieni do końca naszego Wszechświata bo czasu nie da się cofnąć.
~Y=1 - prawdą absolutna (=1) jest fakt, iż ojciec jest kłamcą (~Y).

Pozostałe zdarzenia pojutrze będą fałszem absolutnym:
Ya = A: B*L=1*1=0 - nie zaszło (Ya=0) zdarzenie: syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i dostał lanie (L=1)
LUB
Yb = B: B*~L=1*1=0 - nie zaszło (Yb=0) zdarzenie: syn przyszedł w brudnych spodniach (B=1) i nie dostał lania (~L=1)
LUB
Yc = C: ~B*~L=1*1=0 - nie zaszło (Yc=0) zdarzenie: syn przyszedł w czystych spodniach (~B=1) i nie dostał lania (~L=1)

Zauważmy, że wzajemnie rozłączne równania cząstkowe A, B, C i D uzupełniają się wzajemnie do dziedziny D.
Dowód:
D = A+B+C+D = B*L + B*~L + ~B*~L + ~B*L = B*(L+~L) + ~B*(~L+L) = B+~B =1
cnd

Zapiszmy jeszcze raz nasz przykład w punktach 1 i 2 w zapisach ogólnych podstawiając:
B (brudne spodnie) =p
L (lanie) =q

1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1):

1.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1

2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y), czyli nie dotrzyma słowa (~Y=1):

2.
~Y = D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> D: ~p=1 i q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y= p*q + p*~q + ~p*~q
Y = p*(q+~q)+~p*~q
Y = p+(~p*~q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y= ~p*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q
~Y = ~p*q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’
Y = p+~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1

Odtwarzając nasz przykład mamy:
B1.
Jeśli ubrudzisz spodnie to na 100% ~> dostaniesz lanie
B~>L =1
Na mocy definicji groźby brudne spodnie (B=1) są warunkiem koniecznym ~> dostania lania.

Dokładnie to samo zdanie B1 po przejściu do spójników „i”(*) i „lub”(+) opisuje minimalne równanie logiczne:
1’
Y = (B~>L) = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
Czytamy:
Ojciec wypowiadając groźbę B1 dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Y = B+~L =1+1 =1 - syn przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) lub nie dostanie lania (~L=1)

Wnioski:
1.
Groźba B1 jest w języku potocznym doskonale rozumiana przez każdego 5-cio latka tzn. każdy 5-cio latek wie iż może przyjść w brudnych spodniach i nie musi dostać lania, bo ojciec może mu to lanie darować.
2.
Przejście z groźbą B1 do tożsamego minimalnego równania 1’ w spójniku „lub”(+):
1’
Y = (B~>L) = B+~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
jest w języku potocznym niezrozumiałe.
3.
Zrozumiałą dla każdego 5-cio latka odpowiedzią na pytanie:
Kiedy ojciec jutro dotrzyma słowa (Y=1)?
mamy jedynie w równaniu nieminimalnym, co dowiedziono wyżej:
Y = A: B*L + B: B*~L + C: ~B*~L
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: B=1 i L=1 lub B: B=1 i ~L=1 lub C: ~B=1 i ~L=1
4.
Zauważmy, że przechodząc z groźbą B1 do równania 3 zabijamy istotę zdań warunkowych, zabijamy występujące w nich warunki wystarczające => i konieczne ~>.
W równaniu 3 nie ma bowiem mowy o jakimkolwiek warunku wystarczającym =>, czy też koniecznym ~> bowiem z definicji spójniki „i”(*) i „lub”(+) są w stanie opisać co najwyżej istnienie/nie istnienie elementu wspólnego zbiorów ~~>, ale nie są w stanie opisać relacji podzbioru => czy też relacji nadzbioru ~>.
cnd


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:03, 29 Lis 2021, w całości zmieniany 13 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 11:25, 10 Paź 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
9.7 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

Spis treści
9.7 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony 1
9.7.1 Największe wydarzenie w historii ziemskiej matematyki 9
9.7.2 Bóg nie stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje 11



9.7 Kto wierzy we mnie będzie zbawiony

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Chrystus:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Zdanie matematycznie tożsame:
A1A2:
Kto wierzy we mnie na 100% => będzie zbawiony a kto nie wierzy na 100% ~> nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Łącznik „a” pełni tu funkcję spójnika „i”(*), zatem kodowanie zdania A1A2 jest następujące:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)

Zajmijmy się na początek pierwszą częścią zdania A1A2 Chrystusa.
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Boga jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Boga daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Na mocy definicji obietnicy zdanie A1: W=>Z to warunek wystarczający => będący częścią implikacji prostej W|=>Z.
Z definicji obietnicy wynika, że jedyne co mamy do roboty w zdaniu A1 to rozstrzygnięcie iż zbawienie jest nagrodą dla człowieka.
Cała reszta jest w tym momencie totalnie zdeterminowana, czyli znana góry.

Zapiszmy znaną nam doskonale tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q z naniesionym podkładem aktualnym W|=>Z.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to również punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W,Z}:
A1B1: Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=W(wierzy)
q=Z(zbawiony)
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zbawienia
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia
A1B1: W|=>Z=(A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A:  1: W=>Z  =1 = 2:~W~>~Z=1     [=] 3: Z~>W  =1 = 4:~Z=>~W =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
A’: 1: W~~>~Z=0 =                [=]             = 4:~Z~~>W =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B:  1: W~>Z  =0 = 2:~W=>~Z=0     [=] 3: Z=>W  =0 = 4:~Z~>~W =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
B’:             = 2:~W~~>Z=1     [=] 3: Z~~>~W=1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: W|=>Z w logice dodatniej (bo Z) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości/fałszywości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Kto wierzy we mnie będzie zbawiony” jest częścią implikacji prostej A1B1: W|=>Z w logice dodatniej (bo Z) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.

Prawdziwość implikacji prostej W|=>Z wynika tu z definicji obietnicy, przypomnijmy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

IP
Definicja podstawowa implikacji prostej W|=>Z w logice dodatniej (bo Z):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta W|=>Z w logice dodatniej (bo Z) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga (W) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zbawienia (Z)
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga (W) nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia (Z)
A1B1: W|=>Z=(A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z)=1*~(0)=1*1=1

IO
Definicja implikacji odwrotnej ~W|~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z):

Kolumna A2B2:
Implikacja odwrotna ~W|~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~W~>~Z =1 - brak wiary w Boga (~W) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z)
B2:~W=>~Z =0 - brak wiary w Boga (~W) nie jest (=0) wystarczający => dla nie zbawienia (~Z)
Stąd:
A2B2: ~W|~>~Z = (A2: ~W~>~Z)*~(B2:~W=>~Z)=1*~(0)=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: W|=>Z = A2B2:~W|~>~Z
Dowód:
A1B1: W|=>Z=(A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) = (A2: ~W~>~Z)*~(B2: ~W=>~Z) = A2B2: ~W|~>~Z
bo prawa Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
B1: W~>Z = B2: ~W=>~Z
cnd

Innymi słowy:
Kolumna A1B1 opisuje nam co Chrystus może zrobić z wierzącymi (W=1), natomiast kolumna A2B2 opisuje nam co Chrystus może zrobić z niewierzącymi (~W=1)

Operator implikacji prostej W||=>Z w logice dodatniej (bo Z) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedzi na pytania o W i ~W:

1.
Co Chrystus może zrobić z wierzącymi (W=1)?

Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
Kto wierzy w Chrystusa (W=1) ma gwarancję matematyczną => zbawienia (Z=1)
Mówi o tym zdanie A1 w kolumnie A1B1.

Kolumna A1B1:
Definicja implikacji prostej W|=>Z w logice dodatniej (bo Z):
Implikacja prosta W|=>Z w logice dodatniej (bo Z) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: W=>Z=1 - wiara w Boga (W) daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zbawienia (Z)
B1: W~>Z=0 - wiara w Boga (W) nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia (Z)
stąd:
A1B1: W|=>Z=(A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Wiara w Boga (W) jest (=1) wystarczająca => dla zbawienia (zdanie A1) i nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawiania (zdanie B1)

Szczegółowa rozpiska kolumny A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie (W=1) będzie zbawiony (Z=1)
Zdanie tożsame:
Kto wierzy we mnie (W=1) ten na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia … z powodu wiary w Chrystusa. Tyko tyle i aż tyle gwarantuje nam definicja warunku wystarczającego =>.

Prawdziwy na mocy definicji obietnicy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Kto wierzy we mnie (W=1) ten może ~~> nie zostać zbawiony (~Z=1)
W~~>~Z = W*~Z =0
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: wierzę w Chrystusa (W=1) i nie zostanę zbawiony (~Z=1)
W świecie martwym (także w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W matematyce zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = dowolne twierdzenie matematyczne znane ziemskim matematykom

W świecie żywym może się zdarzyć, że ktoś spełni warunek nagrody i tej nagrody nie dostanie (matematyczny fundament działania oszustów), bowiem człowiek ma „wolną wolę” czyli zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy.
Zauważmy, że Chrystus z definicji podobnej wolnej woli nie ma, czyli nie może wierzącego w niego człowieka posłać do piekła. Zdanie A1’ to jedyne miejsce w całej analizie matematycznej obietnicy Chrystusa A1: W=>Z, gdzie mógłby skłamać i posłać wierzącego w niego człowieka do piekła. Gdyby tak w istocie się stało to wiara w Chrystusa nie miałaby sensu.

Dogmat wiary wszystkich wierzących:
Chrystus, w przeciwieństwie do człowieka, nie ma prawa do kłamstwa, czyli nie może wierzącego w niego człowieka posłać do piekła.
Moja przygoda w logiką matematyczną zaczęła się od poprawnego matematycznie rozszyfrowania obietnicy Chrystusa A1: W=>Z dzięki powyższemu dogmatowi … a było to 15 lat temu.

Jaś:
… a jeśli kto nie wierzy Panie?
Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z

2.
Co Chrystus może zrobić z niewierzącymi (~W=1)?


Kolumna A2B2::
Definicja implikacji odwrotnej ~W|~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z):
Implikacja odwrotne ~W|~>~Z w logice ujemnej (bo ~Z) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A2: ~W~>~Z=1 - brak wiary w Chrystusa (~W=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~>
dla nie zbawienia (~Z=1)
B2: ~W=>~Z=0 - brak wiary w Chrystusa (~W=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym =>
dla nie zbawienia (~Z=1)
stąd:
A2B2: ~W|~>~Z=(A2: ~W~>~Z)*~(B2: ~W=>~Z) = 1*~(0)=1*1=1

W przypadku niewierzących (~W=1) mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła - mówią o tym zdania A2 i B2’

Szczegółowa rozpiska kolumny A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
Chrystus:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~> nie zostać zbawiony (~Z=1)
A2: ~W~>~Z =1
Zdanie matematycznie tożsame A2=A2A:
A2A.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1)
A2A: ~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1) bo jak kto wierzy (W=1) ten na 100% => zostanie zbawiony (Z=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy Chrystusa A1: W=>Z =1 zdanie A2=A2A musimy kodować warunkiem koniecznym ~> bez wzglądu na ostrość groźby wypowiedzianej przez Chrystusa, inaczej definicja obietnicy A1: W=>Z =1 leży w gruzach.

LUB

Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy A1: W=>Z =1 w kolumnie A2B2 mamy fałszywy warunek wystarczający => B2:
B2.
Kto nie wierzy we mnie ten na 100% => nie zostanie zbawiony
~W=>~Z =0
Fałszywy warunek wystarczający => B2 wymusza prawdziwość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: człowiek nie wierzy w Chrystusa (~W) i zostaje zbawiony (Z=1)
na mocy definicji obietnicy A1: W=>Z będącej częścią implikacji prostej W|=>Z.
Zauważmy, że prawdziwy kontrprzykład B2’ to fundament Biblii w której roi się od przykładów darowania grzechu popełnionego przez człowieka.
Przykład:
Chrystus:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)


Koniec analizy obietnicy Chrystusa „Kto wierzy we mnie zostanie zbawiony” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q.

Zastanówmy się, dlaczego zachodzi tożsamość logiczna zdań A2=A2A?
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~> nie zostać zbawiony (~Z=1)
A2: ~W~>~Z =1
Zdanie matematycznie tożsame:
A2A.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten na 100% ~> nie zostanie zbawiony (~Z=1)
A2A: ~W~>~Z =1

Zauważmy, że w zdaniu A2=A2A w następniku mamy do czynienia z karą:
~Z = brak zbawienia
zaś na mocy definicji obietnicy A1: W=>Z =1 musi być prawdziwy kontrprzykład B2’:
B2’: ~W~~>Z=~W*Z=1.
Dokładnie ten fakt pozwolił mi 14 lat temu na zapisanie poprawnej definicji groźby.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę, cała reszta jest totalnie zdeterminowana na mocy definicji groźby.

Zauważmy, że zdanie A2=A2A spełnia definicję groźby zgodnie z którą zdanie to musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z prawem do aktu łaski względem groźby A2 wyrażonym prawdziwym kontrprzykładem B2’, niezależnie od tego w jak ostrej formie groźba A2=A2A będzie wypowiedziana.
Zauważmy, że na mocy powyższego w groźbie nadawca ma prawo do blefowania, czyli może wypowiedzieć groźbę w dowolnie ostry sposób.
Z faktu, iż nadawca w chwili wypowiadania groźby nie zamierza jej wykonać (blef - o czym odbiorca nie wie) nie wynika iż finalnie nadawca nie może tej groźby wykonać.

Weźmy taką super groźbę Chrystusa:
Każdemu, kto mówi jakieś słowo przeciw Synowi Człowieczemu, będzie przebaczone, lecz temu, kto bluźni przeciw Duchowi Świętemu, nie będzie przebaczone (Łk 12,10)

Zauważmy, że gdyby rzeczywiście człowiek był w stanie popełnić za życia grzech przeciwko Duchowi Świętemu i Chrystus musiałby takiego nieszczęśnika posłać do piekła to „wolna wola” Chrystusa, czyli na Sądzie Ostatecznym prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy leży w gruzach … albo nasz Wszechświat jest zdeterminowany.

Definicja świata zdeterminowanego:
Jeśli ktokolwiek (łącznie z Bogiem) zna moje myśli z wyprzedzeniem to nasz Wszechświat jest zdeterminowany gdzie „wolna wola” człowieka jest picem.

Analogia do gier komputerowych:
Dzisiejsze zaawansowane gry komputerowe dają graczowi złudzenie, iż postaci w grze mają wolną wolę bo nie jest w stanie przewidzieć w 100% co przeciwnik X zrobi za chwilkę. Oczywiście nie oznacza to, że ludziki na ekranie monitora mają wolną wolę, bowiem matematycznie nie są w stanie zrobić niczego, czego nie przewidział programista piszący grę.
Podobnie jest z filmem, oglądając film pierwszy raz nie jesteśmy w stanie przewidzieć jak rozwinie się akcja filmu, co nie oznacza oczywiście iż postaci w filmie mają wolną wolę.

Zauważmy, że prawo do darowania dowolnej kary zależnej od nadawcy to fundament Biblii:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

W świetle powyższych rozważań grzech przeciwko Duchowi Świętemu należy uznać z blef Chrystusa, do którego ma matematyczne prawo. Zauważmy, że im ostrzej wypowiedziana groźba, tym mniejsze prawdopodobieństwo iż odbiorca spełni warunek kary - we wszelkich groźbach chodzi dokładnie o to, by odbiorca nie spełnił warunku kary.

Zauważmy że:
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~> nie zostać zbawiony (~Z=1)
A2: ~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa (~W) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1):
A2: ~W~>~Z=1
ale nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla nie zbawienia:
B2: ~W=>~Z =0
Innymi słowy:
Chrystus może darować dowolną karę zależną od niego na mocy prawdziwego kontrprzykładu B2’
B2’.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: człowiek nie wierzy w Chrystusa (~W) i zostaje zbawiony (Z=1)

Innymi słowy:
1.
W świecie żywym zdanie B2’ to piękny akt miłości względem obietnicy A1, czyli prawo do wręczenia nagrody (tu zbawienie) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (tu nie wierzył w Chrystusa).
A1: W=>Z =1 - kto wierzy we mnie, zostanie zbawiony
2.
W świecie żywym dokładnie to samo zdanie B2’ to równie piękny akt łaski w stosunku do groźby A2, czyli rezygnacja z wykonania kary (~Z = nie zbawienie) mimo że odbiorca spełnił warunek kary wyrażony w poprzedniku zdania A2 (~W = nie wierzył w Chrystusa)
A2: ~W~>~Z =1 - kto nie wierzy we mnie (~W=1), ten nie zostanie zbawiony (~Z=1)

Podsumowanie:
1.
Wszyscy wierzący mają gwarancję matematyczną => zbawienia - mówi o tym zdanie A1.
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Zdanie tożsame:
Kto wierzy we mnie (W=1) ten na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia

2.
Z niewierzącymi Chrystus może postąpić wedle swojej „wolnej woli” tzn. dowolnego niewierzącego może umieścić w niebie, albo w piekle - nie ma tu żadnych szans, by Chrystus został matematycznym kłamcą - mówią o tym zdania A2 i B2’
A2.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten nie zostanie zbawiony (~Z=1)
~W~>~Z =1
Brak wiary w Chrystusa jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z=1)

LUB

B2’.
Kto nie wierzy we mnie (~W=1) ten może ~~> zostać zbawiony (Z=1)
~W~~>Z = ~W*Z =1

Jest taka możliwość na mocy definicji groźby A2:
A2: ~W~>~Z=1
która jest logicznie tożsama z definicją obietnicy A1:
A1: W=>Z =1
na mocy prawa Kubusia:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z

Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawo Kubusia:
A2: ~W~>~Z = A1: W=>Z
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony

Jak widzimy:
W skrajnym przypadku absolutnie wszyscy ludzie mogą wylądować w niebie (z Hitlerem na czele) i Chrystus matematycznym kłamcą nie będzie - mówią o tym zdania A2 i B2’ w naszej analizie.

Wniosek:
Zanana filozofom idea powszechnego zbawienia jest możliwa, bo ma swoje podstawy matematyczne.

[link widoczny dla zalogowanych]

Apokatastaza (od gr. apokatastasis czyli „ponowne włączenie, odnowienie” z Dz 3, 21) – końcowa i ostateczna odnowa całego stworzenia poprzez przywrócenie mu pierwotnej doskonałości i bezgrzeszności lub nawet przewyższenie tego pierwotnego stanu. Potocznie apokatastaza nazywana jest ideą pustego piekła.

9.7.1 Największe wydarzenie w historii ziemskiej matematyki

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
Zauważmy, że na mocy definicji groźby musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy karę.

Największe odkrycie w historii ziemskiej matematyki to poprawne matematycznie rozszyfrowanie znaczenia zdania z ewangelii Św. Marka - MK16.

[link widoczny dla zalogowanych]
Mk15-16:
15 I rzekł do nich: «Idźcie na cały świat i głoście Ewangelię wszelkiemu stworzeniu!
16 Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony; a kto nie uwierzy, będzie potępiony.


Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
potępiony (P) = niezbawiony (~Z)
P = ~Z

Chrystus:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Zdanie matematycznie tożsame:
A1A2:
Kto wierzy we mnie na 100% => będzie zbawiony (A1) a kto nie wierzy na 100% ~> nie będzie zbawiony (A2)
Y = (A1: W=>Z)*(A2:~W~>~Z)

Łącznik „a” pełni tu funkcję spójnika „i”(*), zatem kodowanie zdania A1A2 jest następujące:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z)

Uzasadnienie poprawności kodowania zdania A1A2 Chrystusa:
Zdanie A1: W=>Z na mocy definicji obietnicy to warunek wystarczający W=>Z wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z)=1*~(0) =1*1=1

Zdanie A2:~W~>~Z na mocy definicji groźby to warunek konieczny ~W~>~Z wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z
A2B2: ~W|~>~Z=(A2:~W~>~Z)*~(B2: ~W=>~Z)=1*~(0)=1*1=1

Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: W|=>Z = (A1: W=>Z)*~(B1: W~>Z) [=] (A2:~W~>~Z)*~(B2: ~W=>~Z) = A2B2: ~W|~>~Z
bo prawa Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
B1: W~>Z = B2: ~W=>~Z

Prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2: ~W~>~Z
Na mocy prawa Kubusia zdanie złożone A1A2 mamy prawo zredukować do zdania prostego A1 albo do zdania prostego A2.

Przypadek 1
Dowód poprawności redukcji zdania A1A2 do obietnicy A1: W=>Z:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) = (A1: W=>Z)*(A1: W=>Z) = A1: W=>Z
bo prawo Kubusia:
A2:~W~>~Z = A1: W=>Z
stąd mamy zdanie proste, obietnicę A1: W=>Z logicznie tożsamą ze zdaniem złożonym A1A2.
A1.
Kto wierzy we mnie ten na 100% => zostanie zbawiony
W=>Z =1
Na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający W=>Z wchodzący w skład implikacji prostej W|=>Z.
cnd

Przypadek 2
Dowód poprawności redukcji zdania A1A2 do groźby A2: ~W~>~Z:
Y = (A1: W=>Z)*(A2: ~W~>~Z) = (A2:~W~>~Z)*(A2:~W~>~Z) = A2:~W~>~Z
bo prawo Kubusia:
A1: W=>Z = A2:~W~>~Z
stąd mamy zdanie proste, groźbę A2 logicznie tożsamą ze zdaniem złożonym A1A2.
A2.
Kto nie wierzy we mnie ten na 100% ~> nie będzie zbawiony
~W~>~Z =1
Na mocy definicji groźby zdanie A2 to warunek konieczny ~W~>~Z wchodzący w skład implikacji odwrotnej ~W|~>~Z.
cnd

Posumowanie:
W dowolnej groźbie nadawca ma prawo blefować, ale nie może być tak, że matematyka pozbawia nadawcę „wolnej woli”.

Ziemscy matematycy twierdzą, iż Chrystus wypowiadając poniższe zdanie A1B1 wypowiedział równoważność W<=>Z bo błędnie matematycznie kodują oba człony zdania warunkiem wystarczającym =>

Błędne kodowanie ziemskich matematyków:
A1A2 (MK16):
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony a kto nie wierzy nie będzie zbawiony
Y = (A1: W=>Z)*(B2:~W=>~Z)

Prawo Kubusia:
B2: ~W=>~Z = B1: W~>Z

stąd mamy kodowanie tożsame:
W<=>Z = (A1: W=>Z)*(B1: W~>Z) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Wiara w Boga jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zbawienia
W<=>Z = (A1: W=>Z)*(B1: W~>Z) =1*1 =1

Dowód iż jest to definicja równoważności znana wszystkim ludziom.
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 7 350
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 81 700

Problem w tym, że błędne kodowanie zdania A1B1 przez ziemskich matematyków pozbawia Chrystusa „wolnej woli” czyli prawa wpuszczenia do nieba choćby jednego w niego niewierzącego.
Do piekła idą zatem w 100% wszyscy niewierzący w Chrystusa: ateiści, buddyści, Żydzi, Muzułmanie, Hindusi etc

Tymczasem Biblia roi się od prawa do darowania dowolnej kary zależnej od Chrystusa:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

Możliwości są tylko dwie:
1.
Biblia jest do bani
2.
Logika ziemskich matematyków jest do bani

Na mocy niniejszego artykułu, ze 100% pewnością możemy stwierdzić, że od strony czysto matematycznej (algebra Kubusia) Biblia jest napisana genialnie poprawnie!

To ziemska logika „matematyczna” jest do bani!


9.7.2 Bóg nie stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje

[link widoczny dla zalogowanych]

Giordano Bruno - patron odwagi cywilnej:
"Ogłaszamy cię bracie Giordano Bruno nieskruszonym, zawziętym i zatwardziałym heretykiem. Na podstawie tego podlegasz wszystkim potępieniom i karom Kościoła powszechnego" – brzmiał wyrok inkwizycji.
17 lutego 1600 roku w Rzymie zapłonął stos, który uwiecznił Giordana Bruna jako szermierza i patrona odwagi cywilnej.
Biuletyn Ritorni di Roma 19 lutego 1600 napisał: "W czwartek spalony został żywcem na Campo de Fiori zakonnik, dominikanin z Noli, niepoprawny heretyk. Z kneblem w ustach z powodu zbrodniczych słów, które wypowiadał". Tym samym Giordano Bruno stał się męczennikiem w rozwoju nauki, która ostatecznie wygrała walkę z Kościołem, feudalizmem i całą mentalnością tamtej epoki.


Gdyby to było średniowiecze, to za poniższy dowód czysto matematyczny:
Bóg nie stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje
Rafał3006 spłonąłby niechybnie na stosie - na szczęście jest wiek XXI.

Rozważmy przykładowy warunek wystarczający A: p=>q rodem ze świata martwego:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie w dniu jutrzejszym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby jutro było pochmurno, bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Padanie w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => iż będzie padało, bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Padanie w dniu jutrzejszym jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno … z powodu że pada.
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje definicja warunku wystarczającego =>

Prawdziwy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
P~~>~CH = P*~CH =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: pada (P=1) i nie jest pochmurno (~CH=1)
… o czym ekspert algebry Kubusia, 5-cio letni Jaś doskonale wie.
Wniosek:
W świecie martwym (także w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy (i matematyka) nie jest w stanie złamać.

Zapiszmy jeszcze raz omówioną wyżej obietnicę Chrystusa.

Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
Zdanie tożsame:
Kto wierzy we mnie (W=1) ten na 100% => będzie zbawiony (Z=1)
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia … z powodu wiary w Chrystusa.
Tyko tyle i aż tyle gwarantuje nam definicja warunku wystarczającego =>.

Prawdziwy na mocy definicji obietnicy warunek wystarczający => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Kto wierzy we mnie (W=1) ten może ~~> nie zostać zbawiony
W~~>~Z = W*~Z =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie ~~>: wierzę w Chrystusa (W=1) i nie zostanę zbawiony (~Z=1)
W świecie martwym (także w matematyce) kontrprzykład A1’ jest twardym fałszem którego świat martwy nie jest w stanie złamać.
W matematyce zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = dowolne twierdzenie matematyczne znane ziemskim matematykom

W świecie żywym może się zdarzyć, że ktoś spełni warunek nagrody i tej nagrody nie dostanie (matematyczny fundament działania oszustów), bowiem człowiek ma „wolną wolę” czyli zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy.
Zauważmy, że Chrystus z definicji podobnej wolnej woli nie ma, czyli nie może wierzącego w niego człowieka posłać do piekła. Zdanie A1’ to jedyne miejsce w całej analizie matematycznej obietnicy Chrystusa A1: W=>Z, gdzie mógłby skłamać i posłać wierzącego w niego człowieka do piekła. Gdyby tak w istocie się stało to wiara w Chrystusa nie miałaby sensu.

Dogmat wiary wszystkich wierzących:
Chrystus, w przeciwieństwie do człowieka, nie ma prawa do kłamstwa.
Moja przygoda w logiką matematyczną zaczęła się od poprawnego matematycznie rozszyfrowania obietnicy Chrystusa A1: W=>Z dzięki powyższemu dogmatowi … a było to 15 lat temu.

Jak widzimy, w świecie żywym mającym „wolną wolę” Chrystus bez problemu mógłby skłamać posyłając wierzącego w niego człowieka do piekła.
Problem w tym, że z definicji nie może bo wtedy wiara w Chrystusa byłaby bezsensem.

W naszym Wszechświecie zachodzi matematyczna tożsamość:
Logika matematyczna Chrystusa = Logika matematyczna świata martwego bez prawa do kłamstwa

Wniosek:
Świat martwy nie ma „wolnej woli” rozumianej jako prawo do kłamstwa, zatem Chrystus również takiej „wolnej woli” nie ma.

Niektórzy ziemscy filozofowie zajmują się matematycznym opisem innych Wszechświatów - algebra Kubusia, logika naszego Wszechświata się tym nie zajmuje.
W naszym Wszechświecie Chrystusa obowiązuje logika matematyczna naszego Wszechświata inaczej kara (piekło) i nagroda (niebo) jest picem.

Chrystus:
A1.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z =1
Wiara w Chrystusa jest warunkiem wystarczającym => dla zbawienia
Wiara w Chrystusa daje nam gwarancję matematyczną => zbawienia

Wniosek:
W naszym Wszechświecie Chrystusa nie obowiązuje logika matematyczna identyczna z logiką matematyczną człowieka bowiem Chrystus obiecując nagrodę (tu zbawienie) na 100% => musi dotrzymać danego słowa i wręczyć nagrodę (zbawić człowieka), natomiast człowiek obiecując nagrodę może tę nagrodę wręczyć, ale nie musi jej wręczyć.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.

Innymi słowy:
Bóg nie stworzył człowieka na obraz i podobieństwo swoje
cnd

Stąd mamy wyprowadzoną definicję „wolnej woli” w świecie żywym.

Definicja „wolnej woli” w świecie żywym:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

„Wolna wola”, czyli prawo do kłamstwa, występuje wyłącznie w świecie żywym na mocy definicji obietnicy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N.
Zauważmy, że na mocy definicji obietnicy musimy jedynie rozstrzygnąć czy w następniku q zdania warunkowego „Jeśli p to q” mamy nagrodę.

Teoretycznie istota żywa obiecując nagrodę na mocy definicji obietnicy na 100% => musi tą nagrodę wręczyć, inaczej jest kłamcą.
Problem w tym że istota żywa, mając „wolną wolę” zdefiniowaną wyżej, może obiecaną nagrodę wręczyć, ale nie musi wręczyć.
Jeśli zdarzy się, że odbiorca spełni warunek nagrody a nadawca z premedytacją nie wręczy nagrody to nadawca będzie kłamcą - tylko tyle i aż tyle rozstrzyga logika matematyczna w obszarze świata żywego.

Podkreślmy:
Na mocy definicji „wolnej woli” nadawca wypowiadając dowolną obietnicę może wręczyć obiecaną nagrodę, ale nie musi jej wręczyć.

Wniosek:
„Wolna wola” w świecie żywym to matematyczny fundament działania wszelkiej maści oszustów - nie tylko w świecie człowieka.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanych przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Na mocy definicji widać, że pojęcia „wolna wola” możemy używać tylko i wyłącznie w stosunku do świata żywego, bowiem wyłącznie świat żywy może gwałcić wszelkie prawa logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

„Wolna wola” istot żywych może być wykorzystana w niecnych celach, czyli nadawca wypowiada obietnicę której nie zamierza spełnić, której celem jest oszukanie odbiorcy.
„Wolna wola” istot żywych jest wodą na młyn dla oszustów wszelkiej maści. Ofiary dają się oszukiwać tylko dlatego iż oszust działa tak, by ofiara nie domyślała się że jest oszukiwana.

Przykład oszustwa ze świata człowieka:
[link widoczny dla zalogowanych]
Piramida Madoffa napisał:

Piramida Madoffa – piramida finansowa na wielką skalę stworzona przez Bernarda Madoffa, który pozyskał jako klientów banki (m. in. HSBC, Fortis, Royal Bank of Scotland, Société Générale, BNP Paribas, UniCredit, Citigroup, JP Morgan, Bank of America, UBS), firmy i instytucje (Fairfield Greenwich Group, Uniwersytet Columbia, fundację Eliego Wiesela) oraz inwestorów prywatnych do lokowania pieniędzy w jego fundusz. Kiedy pieniądze trzeba było wypłacić, płacił z pieniędzy wpłacanych przez kolejnych klientów.
Fundusz Madoffa pierwotnie inwestował głównie w papiery wartościowe i nieruchomości, jednak likwidator firmy stwierdził, że przez ostatnie 13 lat swojej działalności fundusz w ogóle nie inwestował powierzonych środków. Amerykańska Komisja Papierów Wartościowych i Giełd (SEC) otrzymywała sygnały o nieprawidłowościach w działalności Madoffa, jednak nie zapobiegła powstaniu piramidy.
Fundusz miał charakter elitarny i należały do niego również osoby ze świata biznesu, polityki, kultury - można było do niego przystąpić wyłącznie mając rekomendację, a minimalna kwota inwestycji wynosiła 10 mln dolarów. Wśród oszukanych inwestorów znaleźli się m.in. przedsiębiorca budowlany Larry Silverstein, aktorzy John Malkovich i Kevin Bacon, żona Bacona Kyra Sedgwick, fundacja należąca do Stevena Spielberga, bejsbolista Sandy Koufax, senator Frank Lautenberg. Co najmniej dziesięciu inwestorów straciło po ponad miliard dolarów, a wszyscy inwestorzy łącznie stracili ok. 35 mld dolarów.
29 czerwca 2009 Bernard Madoff, mimo przyznania się do winy oraz wyrażenia skruchy, został skazany na 150 lat więzienia


Także zwierzęta potrafią składać fałszywe obietnice, przykładem może tu być żółw sępi.
[link widoczny dla zalogowanych]
Żółw sępi napisał:

Żółw sępi żywi się w zasadzie wszystkim, co uda mu się upolować. Jego silne szczęki radzą sobie nawet z muszlami dużych ślimaków oraz małży. Ofiarę wabi za pomocą mięsistego wyrostka na języku. Gdy ta znajdzie się w jego zasięgu, żółw szybko rzuca się na swą zdobycz i zaciska na niej szczęki.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:04, 29 Lis 2021, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 11:30, 10 Paź 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
10.0 Obietnice i groźby złożone

Spis treści
10.0 Obietnice i groźby złożone 1
10.1 Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q) 1
10.1.1 Prawo transformacji w obietnicy 3
10.2 Algorytm obsługi dowolnej obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q) 4
10.3 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony 7
10.3.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z 9
10.3.2 Uproszczona analiza złożonej obietnicy 12
10.4 Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz to dostaniesz czekoladę lub lego 14
10.4.1 Analiza operatora implikacji prostej (W+P)||=>(C+L) 15



10.0 Obietnice i groźby złożone

Niezbyt złożone obietnice i groźby dość często występują w języku potocznym, dlatego z ich matematyczną obsługą teraz się zapoznamy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

10.1 Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)

Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)
Obietnica złożona typu f(p)=>f(q) to obietnica klasyczna W=>N gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi funkcjami algebry Boole’a tzn. funkcjami akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).

Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna f(p) w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a przypisane do tej funkcji
Przykłady:
f(p)=p*~q
f(p)=p*~q + ~p*q

Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Przykład:
f(p)=p*~q
~f(p)=~(p*~q) = ~p+q - na mocy prawa De Morgana

Zgodnie z definicją obietnicy warunek otrzymania nagrody f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie nagrody.

Przykład:
A1.
Jeśli posprzątasz pokój i będziesz grzeczny to dostaniesz czekoladę
P*G=>C =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = P*G - posprzątasz pokój i będziesz grzeczny
q = C - dostaniesz czekoladę
Posprzątanie pokoju i bycie grzecznym jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady.
Dostanie czekolady jest dla dziecka nagrodą, stąd obietnicę A1 musimy kodować warunkiem wystarczającym p=>q wchodzącym w skład implikacji prostej p|=>q

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy p jest (=1) wystarczające => dla q (A1) i jednocześnie p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)

Zapiszmy tabelę prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1     [=] 3: q~>p  =1 = 4:~q=>~p =1
A’: 1: p~~>~q=0 =                [=]             = 4:~q~~>p =0                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0     [=] 3: q=>p  =0 = 4:~q~>~p =0
B’:             = 2:~p~~>q=1     [=] 3: q~~>~p=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP

Wszelkie obietnice i groźby to z definicji opisy nieznanej przyszłości, których matematyczny opis jest wyłącznie w kolumnach A1B1 i A2B2.
Kolumny A3B3 i A4B4 opisują obietnice i groźby w czasie przeszłym, gdy nie znamy rozstrzygnięcia - mówi o tym prawo transformacji.

Stąd tabelę prawdy

10.1.1 Prawo transformacji w obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to otworzę parasol (OP=1)
P=>OP =1
Padanie (P=1) w dniu jutrzejszym daje nam gwarancję matematyczną => otwarcia parasola (OP=1)

Prawo kontrapozycji:
A1: P=>OP = A4: ~OP=>~P

Zdanie A4 w czasie przyszłym.
A4.
Jeśli jutro nie otworzę parasola (~OP=1) to na 100% => nie będzie padało (~P=1)
~OP=>~P=1
Brak otwarcia parasola w dniu jutrzejszym (~OP=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jutro nie będzie padało (~P=1)
Jak widzimy bez zastosowania prawa transformacji zdanie A4 jest kompletnie bez sensu, ale …

Zdanie A4 w czasie przeszłym.
Jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie otwarcia parasola.
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie A4 opisuje przeszłość.
A4.
Jeśli wczoraj nie otworzyłem parasola to na 100% => nie padało
~OP =>~P =1
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
A4.
Jeśli nie otworzysz parasola to będzie to oznaczało że (wcześniej) nie padało
~OP=>~P=1

W niniejszym rozdziale będziemy zajmować się złożonymi obietnicami w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przeszłość.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w obsłudze obietnicy p=>q
Matematyczna obsługa obietnicy p=>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących obietnice w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0
B’:             = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


10.2 Algorytm obsługi dowolnej obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)
Obietnica złożona typu f(p)=>f(q) to obietnica klasyczna W=>N gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi funkcjami algebry Boole’a tzn. funkcjami akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).
Na mocy definicji obietnicy funkcja logiczna f(p) może być dowolną funkcją logiczną, natomiast funkcja logiczna f(q) musi zawierać wyłącznie nagrody, inaczej nie mamy do czynienia z obietnicą.

Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna f(p) w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a przypisane do tej funkcji
Przykłady:
f(p)=p*~q
f(p)=p*~q + ~p*q

Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Przykład:
f(p)=p*~q
~f(p)=~(p*~q) = ~p+q - na mocy prawa De Morgana

Zgodnie z definicją obietnicy warunek otrzymania nagrody f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie nagrody, inaczej nie mamy do czynienia z obietnicą.
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w obsłudze obietnicy p=>q
Matematyczna obsługa obietnicy p=>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących obietnice w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =1 = 2:~p~>~q=1
A’: 1: p~~>~q=0 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =0 = 2:~p=>~q=0
B’:             = 2:~p~~>q=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Algorytm obsługi dowolnej obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q):
1.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N
2.
Definicja obietnicy złożonej typu f(p)=>f(q)
Obietnica złożona typu f(p)=>f(q) to obietnica klasyczna W=>N gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi funkcjami algebry Boole’a tzn. funkcjami akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).
Na mocy definicji obietnicy funkcja logiczna f(q) musi zawierać wyłącznie nagrody, inaczej nie mamy do czynienia z obietnicą.
3.
Doprowadzamy obie funkcje f(p) i f(q) do postaci alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej dla każdego 5-cio latka
4.
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
rozpisując obie funkcje logiczne f(p) i f(q) na sumę logiczną zdarzeń rozłącznych
5.
Zgodnie z definicją obietnicy warunek otrzymania nagrody f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie nagrody.
Inaczej nie mamy do czynienia z obietnicą.
6.
Wtedy definicja warunku wystarczającego => A1 przyjmuje postać:
A1.
Jeśli zajdzie f(p) to zajdzie f(q)
Ya = f(p)=>f(q) =1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Ya=1) gdy:
Jeśli zajdzie dowolne zdarzenie rozłączne z funkcji logicznej f(p) to na 100% => zajdzie dowolne zdarzenie rozłączne z funkcji logicznej f(q)
Innymi słowy:
Zajście dowolnego zdarzenia rozłącznego z funkcji logicznej f(p) jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia dowolnego zdarzenia rozłącznego z funkcji logicznej f(q)
7.
Kontrprzykład A1’ dla warunku wystarczającego => A1 musi być fałszem na mocy definicji kontrprzykładu.
A1’
Jeśli zajdzie f(p) to może ~~> zajść ~f(q)
Yb = f(p)~~>~f(q) =0
Gdzie:
Funkcję logiczną ~f(q) również należy zapisać w postaci zdarzeń rozłącznych
Czytamy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (Yb=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej f(p) i jednocześnie zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej ~f(q)
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd mamy brzemiennie kontrprzykładu A1’ w naturalnej logice człowieka gdzie wszystkie negacje zmiennych muszą być widoczne w zapisie symbolicznym.
Jeśli zajdzie f(p) to może ~~> zajść ~f(q)
~Yb = f(p)~~>~f(q) = f(p)*~f(q) =1
Czytamy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (~Yb=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej f(p) i jednocześnie zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej ~f(q)

… a jeśli zajdzie którekolwiek zdarzenie z funkcji logicznej ~f(p)?
Prawo Kubusia:
A1: f(p)=>f(q) = A2: ~f(p)~>~f(q)
Gdzie:
Funkcje logiczne ~f(p) i ~f(q) również rozpisujemy na zdarzenia rozłączne korzystając z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

8.
Warunek konieczny ~> A2 przyjmuje brzmienie:
A2.
Jeśli zajdzie ~f(p) to zajdzie ~f(q)
Yc = ~f(p)~>~f(q) =1
Zajście dowolnego zdarzenia rozłącznego z funkcji logicznej ~f(p) jest warunkiem koniecznym ~> aby zaszło dowolne zdarzenie z funkcji logicznej ~f(q) bo jak zajdzie dowolne zdarzenie z f(p) to na 100% => zajdzie dowolne zdarzenie z f(q)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~f(p)~>~f(q) = A1: f(p)=>f(q)
Nadawca dotrzyma słowa (Yc=1) gdy:
Jeśli zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej ~f(p) to zajdzie dowolna zdarzenie z funkcji logicznej ~f(q)
LUB
B2’.
Jeśli zajdzie ~f(p) to może ~~> zajść f(q)
Yd = ~f(p)~~>f(q) = ~f(p)*f(q) =1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Yd=1) gdy:
Zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej ~f(p) i jednocześnie zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej f(q)

Podsumowanie:
1.
Odpowiedź na pytanie:
Kiedy nadawca dotrzyma słowa (Y=1)?
Dają nam zdania A1, A2, i B2’ realizujące funkcję logiczną Y:
Y = Ya+Yc+Yd - funkcja logiczna Y to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yc i Yd.
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yc=1 lub Yd=1
2.
Odpowiedź na pytanie:
Kiedy nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Daje nam zdanie A1’ realizujące funkcję logiczną ~Y:
~Y=~Yb - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yb)
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~Yb=1

10.3 Kto uwierzy i przyjmie chrzest będzie zbawiony

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Weźmy złożoną obietnicę Chrystusa (MK16):
A1.
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
W*CH=>Z =1
Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)

Rozstrzygnięcie:
W następniku mamy tu nagrodę „zbawienie” , zatem na mocy definicji obietnicy to jest warunek wystarczający W*CH=>Z wchodzący w skład implikacji prostej W*CH|=>Z.
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane tzn. nic więcej nie musimy udowadniać.
Zdanie A1: W*CH=>Z to warunek wystarczający => wchodzący w skład implikacji prostej A1B1: W*CH|=>Z.

IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):

Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1

Nasz przykład:
A1: (W*CH)=>Z =1 - wiara (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) wystarczająca => dla zbawienia (Z)
B1: (W*CH)~>Z =0 - wiara (W) i przyjęcie chrztu (CH) nie jest (=0) konieczna ~> dla zbawienia (Z)
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1

Podstawmy nasze parametry aktualne do kolumn A1B1 i A2B2
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W*CH,Z}:
A1B1:
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
W*CH=>Z =1
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p=W*CH - Kto wierzy i przyjmie chrzest
q=Z    - zostanie zbawiony
A1: (W*CH)=>Z=1 - wiara i przyjęcie chrztu jest wystarczająca dla zbawienia
B1: (W*CH)~>Z=0 - wiara i przyjęcie chrztu nie jest konieczna dla zbawienia
Stąd:
A1B1: (W*CH)|=>Z = (A1: W*CH=>Z)*~(B1: W*CH~>Z)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:               A2B2:
A:  1: p   => q  =1 =  2: ~p ~>  ~q   =1
A:  1: W* CH=> Z =1 =  2: ~W+~CH ~>~Z =1
A’: 1: p ~~>~q   =0 =
A’: 1: W* CH~~>~Z=0 = 
       ##                  ##
B:  1: p   ~> q  =0 =  2: ~p   => ~q  =0
B:  1: W* CH ~> Z=0 =  2: ~W+~CH=>~Z  =0
B’:                    2: ~p   ~~> q  =1
B’:                    2: ~W+~CH~~> Z =1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: W*CH|=>Z na mocy definicji obietnicy.

10.3.1 Analiza operatora implikacji prostej (W*CH)||=>Z

W analizie złożonej przez Chrystusa obietnicy posłużymy się algorytmem obsługi złożonych obietnic.

Operator implikacji prostej p||=>q do układ równań A1B1: p|=>q i A2B2: ~p|~>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p

Kolumna A1B1
Odpowiedź na pytanie o p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli uwierzę (W) i przyjmę chrzest (CH)?

A1.
Kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH), będzie zbawiony (Z)
Ya = W*CH=>Z = (W*CH=1) => (Z=1) =1
Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)
Czytamy:
Chrystus dotrzyma słowa (Ya=1) gdy człowieka który w niego wierzy (W=1) i przyjmie chrzest (CH=1) zbawi (Z=1)

Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’
Kto uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) może ~~> nie zostać zbawiony (~Z)
Yb = W*CH~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =0
Chrystus nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy człowiek który wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) nie zostanie zbawiony (~Z)
Innymi słowy:
Zakaz karania kogokolwiek kto spełnił w 100% warunek nagrody w zdaniu A1.
Uwaga:
W całej niniejszej analizie Chrystus mógłby zostać kłamcą tylko i wyłącznie w opisanym wyżej fałszywym kontrprzykładzie A1’, czyli gdyby kogokolwiek kto uwierzył (W) i przyjął chrzest (CH) nie zbawił (posłał do piekła). Sęk w tym, że nie może tego zrobić, bo wówczas wiara w niego straciłaby sens. Człowiek może bez problemu nie dotrzymać dowolnej obietnicy (fundament działania oszustów), ale Bóg nie ma do tego prawa i w tym sensie wolna wola Chrystusa jest mniejsza od wolnej woli człowieka.
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd:
Zapis w naturalnej logice matematycznej człowieka, gdzie domyślnie mamy do czynienia wyłącznie z logicznymi jedynkami
~Yb=W*CH~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Yb=1) gdy człowieka który wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) nie zbawi (~Z)
~Yb=W*CH~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1

… a jeśli nie spełnię warunku nagrody?
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Skrócony algorytm przejścia do logiki ujemnej (bo ~q):
W równaniu A1 negujemy zmienne i zamieniamy wszystkie znaczki na przeciwne: (*) na (+) oraz (=>) na (~>)
Mamy zdanie A1:
A1: W*CH => Z
stąd:
A2: ~W+~CH~>~Z
Oczywiście w tym przypadku mamy do czynienia z groźbą ~> bo w następniku mamy tu czystą karę:
~Z - nie zostanie zbawiony (pójdzie do piekła)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
Nie zbawiony (~Z) = idzie do piekła (P)
~Z=P
Idzie do piekła (P) = nie zbawiony (~Z)
P = ~Z
Stąd mamy:

Kolumna A2B2:
Odpowiedź na pytanie o ~p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli nie uwierzę (~W) lub nie przyjmę chrztu (~CH)?

A2.
Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (CH), ten ~> nie zostanie zbawiony (~Z)
Yc = ~W+~CH ~>~Z =1
Brak wiary (~W) lub nie przyjęcie chrztu (~CH) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie zbawienia (~Z), bo jak kto wierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) to na 100% => zostanie zbawiony (Z).
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~W+~CH = A1: W*CH =>Z

LUB

B2’
Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (CH), ten może ~~> zostać zbawiony (Z)
Yd = ~W+~CH ~~>Z =1
Jest taka możliwość (=1) na mocy definicji obietnicy A1.

Przyjrzyjmy się szczegółowo zdaniu B2’:
B2’
Kto nie uwierzy (~W) lub nie przyjmie chrztu (CH), ten może ~~> zostać zbawiony (Z)
~Yb = ~W+~CH ~~>Z =1
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Stąd w przełożeniu na nasz przykład mamy poprzednik w zdarzeniach rozłącznych:
~W+~CH = ~W*~CH + W*~CH + ~W*CH
Stąd zapis matematycznie tożsamy zdania B2’ to:
B2’: ~Yb = (~W*~CH + W*~CH + ~W*CH) ~~> Z =1
Gdzie:
Rozłączne grupy ludzi opisane w poprzedniku zdania B2’ to:
~W*~CH=1*1 =1 - nie wierzy (~W=1) i nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
W*~CH =1*1 =1 - wierzy (W=1) ale nie przyjmie Chrztu (~CH=1)
~W*CH =1*1 =1 - nie wierzy (~W=1) ale przyjmie Chrzest (CH=1)
Czytamy:
Jeśli człowiek należy do dowolnej z grup ludzi opisanych zdaniem B2’ to na mocy zdania prawdziwego B2’ Chrystus może ~~> mimo wszystko zbawić takiego człowieka, co ma potwierdzenie w setkach przypadków w Biblii.

Zdanie B2’ to piękny akt miłości w stosunku do obietnicy A1, czyli wręczenie nagrody (Z=zbawienie) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (W*CH=0)
Zdanie B2’ to także piękny akt łaski w stosunku do groźby A2, czyli odstąpienie od wykonania kary (Z=zbawienie) mimo że odbiorca spełnił warunek kary (~W+~CH =1)
Oba te akty, „akt miłości” i „akt łaski” są doskonale znane w świeci żywym (nie tylko w świecie człowieka).

Nie jest tu istotne co sobie myślimy o ludziach z grupy B2’.
Na mocy zdania prawdziwego B2’ Chrystus może zbawić absolutnie wszystkich ludzi (z Hitlerem na czele) i matematycznym kłamcą nie będzie.
Może zbawić nie oznacza że musi zbawić.
Twarda skrajność z drugiej strony to posłanie do piekła absolutnie wszystkich ludzi z grupy B2’ na mocy zdania A2. Ten przypadek nie może zajść bowiem w Biblii roi się aktów łaski wypowiedzianych przez Chrystusa (zdanie B2’) np.
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)

Wniosek:
Zanana filozofom idea powszechnego zbawienia jest możliwa, bo ma swoje podstawy matematyczne.

[link widoczny dla zalogowanych]
Apokatastaza (od gr. apokatastasis czyli „ponowne włączenie, odnowienie” z Dz 3, 21) – końcowa i ostateczna odnowa całego stworzenia poprzez przywrócenie mu pierwotnej doskonałości i bezgrzeszności lub nawet przewyższenie tego pierwotnego stanu. Potocznie apokatastaza nazywana jest ideą pustego piekła.

Podsumowanie:
1.
Wszystkie możliwe przypadki w których Chrystus dotrzyma słowa (Y=1) opisane są zdaniami A1, A2 i B2’
Y = Ya (A1: W*CH=>Z) + Yc (A2: ~W+~CH)~>~Z) + Yd (D: ~W+~CH ~~>Z)
2.
Chrystus może nie dotrzymać słowa (~Y=1) wyłącznie w zdaniu A1’
A1’
~Yb=W*CH~~>~Z = (W*CH)*~Z =1*1 =1
Czytamy:
Chrystus nie dotrzyma słowa (~Yb=1) wtedy i tylko wtedy gdy człowieka który uwierzy (W) i przyjmie chrzest (CH) nie zbawi (~Z), czyli pośle do piekła.

10.3.2 Uproszczona analiza złożonej obietnicy

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

W obietnicach i groźbach najważniejsze jest rozstrzygnięcie kiedy nadawca dotrzyma słowa (Y=1), a kiedy skłamie (~Y=1)

Definicja warunku wystarczającego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
Y = (W=>N) = ~W+N
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~W=1 lub N=1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy odbiorca nie spełni warunku nagrody (~W=1) lub dostanie nagrodę (N=1)

Prawej strony równoważności żaden normalny człowiek nie zrozumie, ale …

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

Stąd mamy definicję obietnicy W=>N rozpisaną w zdarzeniach rozłącznych:
Y = ~W*N + ~W*~N + W*N
Indeksować prawą stronę możemy w sposób dowolny np. tak:
Y = A: W*N + B: ~W*~N + C: ~W*N
co w logice jedynek oznacza:
Y = A: W=1i N=1 lub B: ~W=1 i ~N=1 + C: ~W=1 i N=1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = W*N =1*1 =1 - odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) i dostanie nagrodę (N=1)
lub
Yb = ~W*~N =1*1=1 - odbiorca nie spełni warunku nagrody (~W=1) i nie dostanie nagrody (~N=1)
lub
Yc = ~W*N=1*1 =1 - odbiorca nie spełni warunku nagrody (~W=1) i dostanie nagrodę (N=1)

Ostatni przypadek to powszechnie znany w świecie żywym akt miłości, czyli wręczenie nagrody (N=1) mimo że odbiorca nie spełnił warunku nagrody (~W=1).

Gdzie:
Y = Ya+Yb+Yc
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yb=1 lub Yc=1
Ya, Yb, Yc - funkcje logiczne cząstkowe wchodzące w skład funkcji logicznej Y.

Kiedy nadawca skłamie?
Mamy:
1.
Y = (W=>N) = ~W+N - odpowiedź na pytanie kiedy nadawca dotrzyma słowa (Y)
Negujemy dwustronnie funkcję logiczną 1.
2.
~Y = ~(W=>N) =~(~W+N) = W*~N - prawo De Morgana
stąd mamy:
~Y = W*~N
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> W=1 i ~N=1
Czytamy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~Y = W*~N = 1*1 =1 - odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) i nie dostanie nagrody (~N=1)

Nadawca może wyłącznie dotrzymać słowa (Y=1) albo nie dotrzymać słowa (~Y=1), trzeciej możliwości brak.
Stąd mamy.

Uproszczona definicja obietnicy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy odbiorca spełni warunek nagrody (W=1) i nie dostanie nagrody (~N=1)
~Y = W*~N
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> W=1 i ~N=1
W każdym innym przypadku nadawca dotrzyma słowa (Y=1).

Weźmy złożoną obietnicę wypowiedzianą przez Chrystusa:
A1.
Kto uwierzy i przyjmie chrzest, będzie zbawiony.
W*CH=>Z =1
Wiara w Boga (W) i przyjęcie chrztu (CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zbawienia (Z)

Jedyne co musimy rozstrzygnąć w zdaniu A1 to fakt, iż w następniku mamy nagrodę (zbawienie).
W tym momencie wszystko mamy zdeterminowane na mocy definicji obietnicy.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Najprostsza odpowiedź na pytanie kiedy Chrystus dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy nie dotrzyma słowa (~Y=1) to skorzystanie z definicji obietnicy wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
1.
Kiedy Chrystus dotrzyma słowa (Y=1)?
Y = ((W*CH)=>Z) = ~(W*CH)+Z
2.
Kiedy Chrystus nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami metodą skróconą (negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne):
~Y = (W*CH)*~Z
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> (W*CH)=1 i ~Z=1
Czytamy:
Chrystus skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zbawi człowieka (~Z=1) który w niego wierzy i przyjął chrzest (W*CH) =1
W każdym innym przypadku Chrystus dotrzyma słowa (Y=1)
cnd

10.4 Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz to dostaniesz czekoladę lub lego

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Ojciec do Jasia na przyjęciu z okazji jego 5 rocznicy urodzin.
A1.
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to dostaniesz czekoladę (C) lub klocki lego (L)
W+P => C+L =1
Nasz punkt odniesienia to:
p = W+C - Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P)
q= C+L - to dostaniesz czekoladę (C) lub klocki lego (L)
Powiedzenie wierszyka (W) lub zaśpiewanie piosenki (P) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady (C) lub klocków lego (L)
W następniku mamy tu czystą nagrodę, zatem na mocy definicji obietnicy zdanie A1 to warunek wystarczający (W+P)=>(C+L) wchodzący w skład implikacji prostej (W+P)|=>(C+L).
Wszystko mamy tu zdeterminowane na mocy definicji obietnicy, nic a nic nie musimy udowadniać.

Zapiszmy obietnicę A1 w tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {W+P,C+L}:
A1B1:
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = W+C=1 - Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P)
q = C+L=1 - to dostaniesz czekoladę (C) lub klocki lego (L)
A1: W+P=>C+L=1 - wierszyk lub piosenka są wystarczające =>
                 dla otrzymania czekolady lub klocków lego
B1: W+P~>C+L=0 - wierszyk lub piosenka nie są konieczne ~>
                 dla otrzymania czekolady lub klocków lego
Stąd:
A1B1: (W+P)|=>(C+L) = (A1: W+P=>C+L)*~(B1: W+P~>C+L)=1*~(0)=1*1=1
       A1B1:                  A2B2:
A:  1: p => q      =1 =   2: ~p ~>  ~q     =1
A:  1: W+ P=> C+ L =1 =   2: ~W*~P ~>~C*~L =1
A’: 1:    p~~>~q   =0 =
A’: 1: W+ P~~>~C*~L=0 = 
       ##                     ##
B:  1: p  ~> q     =0 =   2: ~p   => ~q   =0
B:  1: W+ P ~> C+ L=0 =   2: ~W*~P=>~C*~L =0
B’:                       2: ~p   ~~> q   =1
B’:                       2: ~W*~P~~>C+ L =1
Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.
W tym przypadku mamy do czynienia z implikacją prostą A1B1: W+P|=>C+L na mocy definicji obietnicy.

10.4.1 Analiza operatora implikacji prostej (W+P)||=>(C+L)

Operator implikacji prostej p||=>q do układ równań A1B1: p|=>q i A2B2: ~p|~>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p

Kolumna A1B1
Odpowiedź na pytanie o p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P)?

Ojciec do Jasia na przyjęciu z okazji jego 5 rocznicy urodzin.
A1.
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to dostaniesz czekoladę (C) lub klocki lego (L)
Ya: W+P => C+L =1
Przyjmujemy punkt odniesienia:
p = W+P - Jeśli powiesz wierszyk lub zaśpiewasz piosenkę
q= C+L - to dostaniesz czekoladę lub klocki lego
Powiedzenie wierszyka (W) lub zaśpiewanie piosenki (P) jest warunkiem wystarczającym => dla dostania czekolady (C) lub klocków lego (L)

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Na mocy tej definicji rozpiszmy poprzednik i następnik w zdarzeniach rozłącznych:
(W+P)=>(C+L) =1
Stąd zdanie tożsame do A1 to:
A1.
Ya = (W*P + W*~P + ~W*P) => (C*L + C*~L + ~C*L) =1
Czytamy:
Warunek wystarczający => A1 będzie spełniony wtedy i tylko wtedy gdy Jaś wykona dowolną czynność zapisaną w poprzedniku, zaś ojciec wręczy mu dowolną nagrodę widoczną w następniku.
Innymi słowy:
Wykonanie przez odbiorcę dowolnej czynności zapisanej w poprzedniku jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymanie dowolnego prezentu zapisanego w następniku (o wyborze prezentu decyduje ojciec)

Jaś, aby mieć gwarancję matematyczną => nagrody musi wykonać jedną z trzech rozłącznych czynności zapisanych w poprzedniku zdania A1:
1P: W*P =1*1 =1 - Jaś mówi wierszyk (W) i śpiewa piosenkę (P)
2P: W*~P = 1*1 =1 - Jaś mówi wierszyk (W), ale nie śpiewa piosenki (~P)
3P: ~W*P =1*1 =1 - Jaś nie mówi wierszyka (~W), ale śpiewa piosenkę (P)

Jeśli Jaś spełni dowolny z powyższych warunków to ojciec musi wybrać dowolny prezent zapisany w następniku i wręczyć go Jasiowi, inaczej będzie kłamcą w oczach wszystkich gości na przyjęciu urodzinowym Jasia.
Ojciec ma następujący wybór prezentów dla Jasia:
1N: C*L =1*1 =1 - ojciec wręcza Jasiowi czekoladę (C) i klocki lego (L)
2N: C*~L =1*1 =1 - ojciec wręcza Jasiowi czekoladę (C), ale nie wręcza klocków lego (L)
3N: ~C*L =1*1 =1 - ojciec nie daje czekolady (~C), ale wręcza klocki lego (L)

Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q

Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)

Obliczamy negację następnika q w zdaniu A1:
q = C+L
Negujemy dwustronnie:
~q = ~(C+L) = ~C*~L - na mocy prawa De Morgana

Stąd:
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1 wynika fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to możesz ~~> nie dostać czekolady (~C=1) i nie dostać klocków lego (~L=1)
Yb = (W+P) ~~>(~C*~L) =0
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (Yb=0) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) i nie dostanie ani czekolady (~C), ani też nie dostanie klocków lego (~L)
Prawo Prosiaczka:
(Yb=0)=(~Yb=1)
Stąd mamy odpowiedź na pytanie kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Yb=1) w naturalnej logice matematycznej człowieka akceptującej wyłącznie jedynki.
~Yb = (W+P)~~>(~C*~L) =1
Czytamy:
Ojciec nie dotrzyma słowa (~Yb=1) gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) i nie dostanie ani czekolady (~C), ani też klocków lego (~L)

Korzystając z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Rozpiszmy poprzednik zdania A1’ na zdarzenia rozłączne:
~Yb = (W*P + W*~P + ~W*P) ~~> (~C*~L) =1
Czytamy:
Ojciec skłamie (~Yb=1) gdy Jaś wykona dowolne ze zdarzeń opisanych w poprzedniku, zaś ojciec nie da mu ani czekolady (~C=1), ani też nie da mu klocków lego (~L=1).
Zdarzenia które Jaś jest w stanie spełnić opisane w poprzedniku to:
1P: W*P =1*1 =1 - Jaś mówi wierszyk (W) i śpiewa piosenkę (P)
2P: W*~P = 1*1 =1 - Jaś mówi wierszyk (W), ale nie śpiewa piosenki (~P)
3P: ~W*P =1*1 =1 - Jaś nie mówi wierszyka (~W), ale śpiewa piosenkę (P)

Uwaga:
Zdanie A1’ to jedyne zdanie gdzie ojciec jest w stanie fizycznie skłamać bo ma „wolną wolę”, czyli zdolność go gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy.
Dowód tego faktu wynika z kolumny A2B2 w tabeli implikacji prostej IP.

Kolumna A1B1
Odpowiedź na pytanie o ~p, czyli:
Co może się wydarzyć, jeśli Jaś nie powie wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewa piosenki (~P=1)?

Obietnica ojca brzmi:
A1.
Jeśli powiesz wierszyk (W) lub zaśpiewasz piosenkę (P) to dostaniesz czekoladę (C) lub klocki lego (L)
W+P => C+L =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Przejście do logiki ujemnej (bo ~q) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników „lub”(+) na „i”(*) oraz warunku wystarczającego => na warunek konieczny ~>:
~W*~P ~> ~C*~L
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
nasz przykład:
A1: (W+P)=>(C+L) = A2: (~W*~L) ~> (~C*~L)
Stąd nasze zdanie A2 (kolumna A2B2) brzmi:
A2.
Jeśli nie powiesz wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewasz piosenki (~P=1) to ~> nie dostaniesz czekolady (~C=1) i nie dostaniesz klocków lego (~L=1)
Yc = (~W*~P) ~> (~C*~L) =1
Czytamy:
Nie powiedzenie wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewanie piosenki (~P=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie dostania czekolady (~C=1) i nie dostania klocków lego (~L=1)
Nie dostanie czekolady (~C) i nie dostanie klocków lego (~L) to dla Jasia ewidentna kara, zatem zdanie A2 spełnia definicję groźby.
Na mocy definicji groźby ojciec ma prawo do darowanie dowolnej kary zależnej od niego.

Kara w groźbie A2 to:
~q=~C*~L
Darowanie kary oznacza to zanegowanie następnika ~q:
q = ~(~C*~L) = C+L - na mocy prawa De Morgana

Stąd zdanie B2’ (patrz kolumna A2B2) na mocy którego ojciec może darować dowolną karę zależną od niego brzmi:
B2’.
Jeśli nie powiesz wierszyka (~W=1) i nie zaśpiewasz piosenki (~P=1) to możesz dostać czekoladę (C=1) lub klocki lego (L=1)
Yd = (~W*~P) ~~> (C+L) =1
Czytamy:
Może się zdarzyć (=1) , że Jaś spełni warunek kary (~W*~P=1) i dostanie nagrodę, czekoladę (C) lub klocki lego (L)

Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Nasz przykład w następniku:
C+L = C*L + C*~L + ~C*L
stąd mamy:
Yd = (~W*~P) ~~> (C*L + C*~L + ~C*L) =1
W następniku mamy szczegółową odpowiedź jakie nagrody ojciec może wręczyć, mimo iż Jaś spełnił warunek kary, czyli nie powiedział wierszyka i nie zaśpiewał piosenki (~W*~P=1)
Ojciec ma następujący wybór prezentów dla Jasia:
1N: C*L =1*1 =1 - ojciec wręcza Jasiowi czekoladę (C) i klocki lego (L)
2N: C*~L =1*1 =1 - ojciec wręcza Jasiowi czekoladę (C), ale nie wręcza klocków lego (L)
3N: ~C*L =1*1 =1 - ojciec nie daje czekolady (~C), ale wręcza klocki lego (L)

Podsumowanie:
1.
W przypadku gdy Jaś powie wierszyk (W) lub zaśpiewa piosenkę (P) to ojciec na 100% => musi mu dać dowolną z nagród zapisanych w następniku zdania A1, inaczej będzie kłamcą.
2.
Natomiast jeśli Jaś nie spełni warunku nagrody zawartej w poprzedniku obietnicy A1:
A1: ~(W+P) = ~W*~P
to cokolwiek by ojciec nie zrobił to nie ma szans na zostanie kłamcą.
W tym przypadku ojciec może ~> nie wręczyć żadnej nagrody na mocy zdania A2, albo wręczyć dowolną z nagród widocznych w następniku zdania B2’.
Wynika z tego że jeśli Jaś nie spełni warunku obietnicy w zdaniu A1:
A1: ~(W+P)=~W*~P
to ojciec nie ma żadnych szans na zostanie matematycznym kłamcą, cokolwiek nie zrobi to dotrzyma słowa.

Zadanie dla czytelnika:
Korzystając z przedstawionego wyżej szablonu przeanalizuj następującą obietnicę.
Ojciec do Jasia na przyjęciu z okazji jego 5 rocznicy urodzin.
A1.
Jeśli powiesz wierszyk (W) i zaśpiewasz piosenkę (P) to dostaniesz czekoladę (C) i klocki lego (L)
W*P => C*L


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:12, 29 Lis 2021, w całości zmieniany 6 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Nie 11:35, 10 Paź 2021    Temat postu:

Spis treści
10.5 Groźby złożone typu f(p)~>f(q) 1
10.5.1 Prawo transformacji w groźbie 3
10.6 Algorytm obsługi dowolnej groźby złożonej typu f(p)~>f(q) 5
10.7 Analiza złożonej groźby (~P+B)~>L 8
10.8 Groźba złożona (~P+B)~>(L*~D) 10
10.8.1 Analiza operatora implikacji odwrotnej (~P+B)|~>(L*~D) 11



10.5 Groźby złożone typu f(p)~>f(q)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N

Definicja groźby złożonej typu f(p)~>f(q)
Groźba złożona typu f(p)~>f(q) to groźba klasyczna W~>K gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi funkcjami algebry Boole’a tzn. funkcjami akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).

Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna f(p) w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a przypisane do tej funkcji
Przykłady:
f(p)=p*~q
f(p)=p*~q + ~p*q

Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Przykład:
f(p)=p*~q
~f(p)=~(p*~q) = ~p+q - na mocy prawa De Morgana

Zgodnie z definicją groźby warunek ukarania f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie kary.

Przykład:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie
p~>q
~P+B~>L
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmijmy punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L - dostaniesz lanie (L)
Nie posprzątanie pokoju lub bicie siostry jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania.
Lanie jest dla dziecka karą, stąd groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym p~>q wchodzącym w skład implikacji odwrotnej p|~>q.

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => (A1) dla zajścia q.

Zapiszmy tabelę prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:        |     A3B3:         A4B4:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0     [=] 3: q~>p  =0 = 4:~q=>~p =0
A’: 1: p~~>~q=1 =                [=]             = 4:~q~~>p =1                   
       ##            ##           |     ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1     [=] 3: q=>p  =1 = 4:~q~>~p =1
B’:             = 2:~p~~>q=0     [=] 3: q~~>~p=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

Wszelkie obietnice i groźby to z definicji opisy nieznanej przyszłości, których matematyczny opis jest wyłącznie w kolumnach A1B1 i A2B2.
Kolumny A3B3 i A4B4 opisują obietnice i groźby w czasie przeszłym, gdy nie znamy rozstrzygnięcia - mówi o tym prawo transformacji

10.5.1 Prawo transformacji w groźbie

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna obietnica to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Prawo transformacji:
W obietnicach i groźbach z definicji opisanych czasem przyszłym po zamianie p i q zdanie ulega transformacji do czasu przeszłego.

Zauważmy, że o groźbach i obietnicach możemy mówić wyłącznie w odniesieniu do świata żywego.

Definicja świata żywego:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należy do obszaru świata żywego wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwość poprzednika lub następnika zależy od „wolnej woli” istoty żywej.

Definicja „wolnej woli” istot żywych:
Wolna wola istot żywych to zdolność do gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy (w tym przez matematykę).

Zobaczmy jak działa prawo transformacji na przykładzie.

Przykład:
B1.
Jeśli jutro ubrudzisz spodnie (B) to dostaniesz lanie (L)
B~>L =1
Następnik q jest tu ewidentną groźbą, zatem zdanie A1 musimy kodować zgodnie z definicją groźby warunkiem konicznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej B|~>L, bez względu na ostrość wypowiedzenia groźby B1.

Gwarancja matematyczna => w groźbie wynika z prawa Kubusia:
B1: B~>L = B2: ~B=>~L
stąd mamy:
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Przyjście w czystych spodniach (~B=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie dostania lania (~L=1) … z powodu przyjścia w czystych spodniach (~B=1)
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje znaczek warunku wystarczającego =>. Lanie z dowolnego innego powodu jest możliwe, ale nie będzie ono dotyczyło wypowiedzianej groźby B1.
Zauważmy, że zdanie B2 spełnia klasyczną definicję obietnicy, bowiem w następniku jest mowa o nie dostaniu lania które dla dziecka jest nagrodą.
Matematycznie zachodzą tożsamości:
Kara to brak nagrody
K=~N
Nagroda to brak kary
N=~K

Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B

Zdanie B4 w czasie przyszłym czytamy:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to na 100% => przyjdziesz w brudnych spodniach (B=1)
L=>B =1
Zauważmy, że w czasie przyszłym zdanie B4 traci sens bowiem mówi ono że jeśli dzieciak jutro dostanie lanie (przyczyna) to na 100% => ubrudzi spodnie (skutek) … czyli na złość mamie ugryzę się w język.
Poza tym zdanie B4 nie spełnia definicji obietnicy którą kodujemy warunkiem wystarczającym => bowiem następnik brzmi tu:
B - przyjdę w brudnych spodniach
Brudne spodnie nie są nagrodą dla dziecka, to tylko stwierdzenie stopnia zabrudzenia jego spodni.
Zdanie B4 nabierze sensu jeśli wypowiemy je w czasie przeszłym.
Załóżmy, że jest pojutrze i nie wiemy nic w temacie obietnicy B2 która dotyczyła dnia wczorajszego.
B2.
Jeśli jutro przyjdziesz w czystych spodniach (~B=1) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L=1)
~B=>~L =1
Zastosujmy do zdania B2 prawo kontrapozycji:
B2: ~B=>~L = B4: L=>B
Wówczas na mocy prawa transformacji zdanie B4 opisuje przeszłość.
B4.
Jeśli wczoraj dostałeś lanie (L=1) to na 100% => ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1
Z faktu iż dziecko dostało lanie (L=1) wnioskujemy na 100% => iż ubrudziło spodnie (B=1)
Jak widzimy, po zastosowaniu prawa transformacji wszystko pięknie gra i buczy.

Abstrakcyjnie możemy się przenieść do przyszłości mówiąc tak:
B4.
Jeśli jutro dostaniesz lanie (L=1) to będzie to oznaczało, że wcześniej ubrudziłeś spodnie (B=1)
L=>B =1

W niniejszym rozdziale będziemy zajmować się groźbą w czasie przyszłym z czego wynika, że na mocy prawa transformacji z tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q możemy usunąć kolumny A3B3 i A4B4 dotyczące czasu przeszłego skupiając się na kolumnach A1B1 i A2B2 opisujących przeszłość.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w obsłudze groźby p~>q.
Matematyczna obsługa groźby p~>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących groźby w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1
B’:             = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


10.6 Algorytm obsługi dowolnej groźby złożonej typu f(p)~>f(q)


Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Definicja groźby złożonej typu f(p)~>f(q)
Groźba złożona typu f(p)~>f(q) to groźba klasyczna W~>K gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi funkcjami algebry Boole’a tzn. funkcjami akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).
Na mocy definicji groźby funkcja logiczna f(p) może być dowolną funkcją logiczną, natomiast funkcja logiczna f(q) musi zawierać wyłącznie kary, inaczej nie mamy do czynienia z groźbą.

Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna f(p) w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a przypisane do tej funkcji
Przykłady:
f(p)=p*~q
f(p)=p*~q + ~p*q

Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Przykład:
f(p)=p*~q
~f(p)=~(p*~q) = ~p+q - na mocy prawa De Morgana

Zgodnie z definicją groźby warunek ukarania f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie kary.
Kod:

IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w obsłudze groźby p~>q
Matematyczna obsługa groźby p~>q w czasie przyszłym
po usunięciu kolumn A2B3 i A4B4 opisujących groźby w czasie przeszłym
Kolumna A1B1 to formalny punkt odniesienia {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:         A2B2:
A:  1: p=>q  =0 = 2:~p~>~q=0
A’: 1: p~~>~q=1 =
       ##            ##
B:  1: p~>q  =1 = 2:~p=>~q=1
B’:             = 2:~p~~>q=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


Algorytm obsługi dowolnej groźby złożonej typu f(p)~>f(q)
1.
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K
2.
Definicja groźby złożonej typu f(p)~>f(q)
Groźba złożona typu f(p)~>f(q) to groźba klasyczna W~>K gdzie f(p) i f(q) są dowolnymi funkcjami algebry Boole’a tzn. funkcjami akceptującymi wyłącznie spójniki „i”(*) oraz „lub”(+).
Na mocy definicji groźby funkcja logiczna f(p) może być dowolną funkcją logiczną, natomiast funkcja logiczna f(q) musi zawierać wyłącznie kary, inaczej nie mamy do czynienia z groźbą.
3.
Doprowadzamy obie funkcje f(p) i f(q) do postaci alternatywno-koniunkcyjnej zrozumiałej dla każdego 5-cio latka
4.
Korzystamy z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
rozpisując obie funkcje logiczne f(p) i f(q) na sumę logiczną zdarzeń rozłącznych
5.
Zgodnie z definicją groźby warunek ukarania f(p) może być dowolny, ale funkcja f(q) musi zawierać tylko i wyłącznie kary
Inaczej nie mamy do czynienia z groźbą.
6.
Wtedy definicja warunku koniecznego ~> B1 przyjmuje postać:
B1.
Jeśli zajdzie f(p) to zajdzie f(q)
Ya = f(p)~>f(q) =1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Ya=1) gdy:
Zajście dowolnego zdarzenia rozłącznego z funkcji logicznej f(p) jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia dowolnego zdarzenia rozłącznego z funkcji logicznej f(q)
Innymi słowy:
Zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej f(p) i zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej f(q)
LUB
A1’.
Jeśli zajdzie f(p) to może ~~> zajść ~f(q)
Yb=f(p)~~>~f(q) = f(p)*~f(q) =1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Yb=1) gdy:
Zajdzie dowolne ze zdarzeń rozłącznych f(p) i zajdzie dowolne ze zdarzeń rozłącznych ~f(q)

… a jeśli zajdzie którekolwiek zdarzenie z funkcji logicznej ~f(p)?
Prawo Kubusia:
B1: f(p)~>f(q) = B2: ~f(p)=>~f(q)
Gdzie:
Funkcje logiczne ~f(p) i ~f(q) również rozpisujemy na zdarzenia rozłączne korzystając z definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q

7.
Warunek wystarczający B2 przyjmuje brzmienie:
B2.
Jeśli zajdzie ~f(p) to zajdzie ~f(q)
Yc = ~f(p)=>~f(q) =1
Czytamy:
Nadawca dotrzyma słowa (Yc=1) gdy:
Jeśli zajdzie dowolne zdarzenie rozłączne z funkcji logicznej ~f(p) to na 100% => zajdzie dowolne zdarzenie rozłączne z funkcji logicznej ~f(q)
Innymi słowy:
Zajście dowolnego zdarzenia rozłącznego z funkcji logicznej ~f(p) jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia dowolnego zdarzenia rozłącznego z funkcji logicznej ~f(q)
8.
Kontrprzykład B2’ dla warunku wystarczającego => B2 musi być fałszem na mocy definicji kontrprzykładu.
B2’
Jeśli zajdzie ~f(p) to może ~~> zajść f(q)
Yd = ~f(p)~~>f(q) =0
Gdzie:
Funkcję logiczną f(q) również należy zapisać w postaci zdarzeń rozłącznych
Czytamy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (Yd=0) wtedy i tylko wtedy gdy:
Zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej ~f(p) i jednocześnie zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej f(q)
Prawo Prosiaczka:
(Yd=0)=(~Yd=1)
Stąd mamy brzemiennie kontrprzykładu A1’ w naturalnej logice człowieka gdzie wszystkie negacje zmiennych muszą być widoczne w zapisie symbolicznym.
Jeśli zajdzie f(p) to może ~~> zajść ~f(q)
~Yd = ~f(p)~~>f(q) = ~f(p)*f(q) =1
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna funkcja cząstkowa w logice ujemnej (bo ~Yd)
Stąd:
~Y = ~f(p)~~>f(q) = ~f(p)*f(q) =1
Czytamy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej ~f(p) i jednocześnie zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej f(q)

Podsumowanie:
1.
Odpowiedź na pytanie:
Kiedy nadawca dotrzyma słowa (Y=1)?
Dają nam zdania B1, B2, i B2’ realizujące funkcję logiczną Y:
Y = Ya+Yb+Yc - funkcja logiczna Y to suma logiczna funkcji cząstkowych Ya, Yb i Yc.
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> Ya=1 lub Yb=1 lub Yc=1
2.
Odpowiedź na pytanie:
Kiedy nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1)?
Daje nam zdanie B2’ realizujące funkcję logiczną ~Y:
~Y = ~f(p)~~>f(q) = ~f(p)*f(q) =1
Czytamy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej ~f(p) i jednocześnie zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej f(q)
Czytamy:
Nadawca nie dotrzyma słowa (~Yd=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej ~f(p) i jednocześnie zajdzie dowolne zdarzenie z funkcji logicznej f(q)

10.7 Analiza złożonej groźby (~P+B)~>L

Definicja obietnicy =>:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodząca w skład implikacji prostej W|=>N:

Definicja groźby ~>:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K:

Mama do Jasia (lat 8):
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to nie dostaniesz czekolady i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>~C*~D
Warunek kary mamy określony w poprzedniku.
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
p=~P
q=B
stąd:
~P+B = A: ~P*B + B: ~P*~B + C: P*B
stąd:
A: ~P*B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i biłem siostrę, warunek kary spełniony w 100%
lub
B: ~P*~B=1*1=1 - nie posprzątałem pokoju i nie bilem siostry, warunek kary spełniony
lub
C: P*B=1*1=1 - posprzątałem pokój i biłem siostrę, warunek kary spełniony

Wystarczy, że którykolwiek warunek kary jest spełniony i już mama może wykonać karę w 100%, czyli brak czekolady i zakaz obejrzenia dobranocki.
Oczywiście na mocy definicji implikacji odwrotnej mama może wykonać karę w 100% (zdanie B1), wykonać karę częściową (zdanie A1’), lub nawet całkowicie zrezygnować z wykonania jakiejkolwiek kary (zdanie A1’).

Przekształcenie pomocnicze w celu uzyskania ~q dla:
p~~>~q
q=~C*~B
~q=~(~C*~B)= C+D - prawo De Morgana
stąd:
A1’.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
p~~>~q
~P+B~~>C+D
Rozwijamy następnik na mocy definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q+~p*q+p*~q
stąd:
C+D = D: C*D + E: C*~D + F:~C*D
D: C*D=1 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, 100% darowanie kary
E: C*~D=1 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, częściowe darowanie kary
F: ~C*D=1 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, częściowe darowanie kary
Mamy tu akt łaski, mama może darować karę całkowicie lub częściowo, cokolwiek nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli ma 100% wolnej woli.

… a jeśli posprzątam pokój i nie będę bił siostry ?
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q

Mamy równanie B1.
B1: Y = ~P+B~>~C*~D
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+), ~>
Prawo Kubusia metodą na skróty - w równaniu B1 negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
B2: ~Y = P*~B=>C+D
stąd:
B2.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to na pewno => dostaniesz czekoladę lub obejrzysz dobranockę
~p=>~q
~Y = P*~B=>C+D
Rozwinięcie sumy logicznej C+D z wykorzystaniem definicji spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
p=C
q=D
stąd:
C+D = G: C*D + H: C*~D + I: ~C*D
Oczywiście tu nie może być mowy o najmniejszej nawet karze bowiem warunek groźby nie został spełniony w 100%.
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Mamy zatem:
C+D = G: C*D + H: C*~D + I: ~C*D =0
G: C*D=0 - dostaniesz czekoladę i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
H: C*~D=0 - dostaniesz czekoladę i nie obejrzysz dobranocki, bo zakaz karania
I: ~C*D=0 - nie dostaniesz czekolady i obejrzysz dobranockę, bo zakaz karania
W tym przypadku mama nie ma prawa na wykonanie choćby najmniejszej kary, zatem musi dać czekoladę i pozwolić na obejrzenie bajki.

Z prawdziwości warunku wystarczającego B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’
B2’.
Jeśli posprzątasz pokój i nie będziesz bił siostry to możesz ~~> nie dostać czekolady i nie obejrzysz dobranocki
~p~~>q=0
P*~B=>~C*~D=0
Całkowity zakaz karania, bowiem warunek kary nie został spełniony w 100%.


10.8 Groźba złożona (~P+B)~>(L*~D)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Weźmy bardziej złożoną groźbę f(p)~>f(q)
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę to dostaniesz lanie i nie obejrzysz dobranocki
p~>q
~P+B~>L*~D
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L*~D - dostaniesz lanie (L) i nie obejrzysz dobranocki (~D)
Nie posprzątanie pokoju lub bicie siostry jest warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania i nie obejrzenia dobranocki.
Zarówno lanie jak i nie obejrzenie dobranocki jest dla dziecka karą, stąd groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> p~>q wchodzącym w skład implikacji odwrotnej p|~>q bez względu na ostrość wypowiedzianej groźby.
Obliczamy przeczenia p i q:
~p=~(~P+B) = P*~B - na mocy prawa De Morgana
~q=~(L*~D) = ~L+D - na mocy prawa De Morgana

Zauważmy, że w następniku groźby B1 mamy tu czystą karę, bowiem zarówno dostanie lania, jak i nie obejrzenie dobranocki jest dla dziecka karą.
Stąd na mocy definicji groźby mamy rozstrzygnięcie iż groźba B1: (~P+B)~>(L*~D) jest warunkiem koniecznym ~> wchodzącym w skład implikacji odwrotnej A1B1: (~P+B)|~>(L*~D)

IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):

Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
A1B1:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 = 1*1 =1

Nasz przykład:
A1: (~P+B)=>(L*~D) =0 - zajście ~P+B nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia L*~D
B1: (~P+B)~>(L*~D) =1 - zajście ~P+B jest (=1) konieczne ~> dla zajścia L*~D
Stąd:
A1B1: (~P+B)|~>(L*~D)=~(A1: (~P+B)=>(L*~D))*(B1: (~P+B)~>(L*~D))=~(0)*1=1*1=1

Podstawmy nasze parametry aktualne do kolumn A1B1 i A2B2
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Kolumna A1B1 to także punkt odniesienia w zapisie aktualnym {~P+B,L*~D}:
A1B1:
Jeśli nie posprzątasz pokoju lub będziesz bił siostrę
to dostaniesz lanie i nie obejrzysz dobranocki
Przyjmijmy punkt odniesienia:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L*~D - dostaniesz lanie (L) i nie obejrzysz dobranocki (~D)
A1: (~P+B)=>(L*~D)=0 - ~P+B nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia L*~D
B1: (~P+B)~>(L*~D)=1 - zajście ~P+B jest (=1) konieczne ~> dla zajścia L*~D
Stąd:
A1B1: (~P+B)|~>(L*~D)=~(A1: (~P+B)=>(L*~D))*(B1: (~P+B)~>(L*~D))=~(0)*1=1
       A1B1:                 A2B2:
A:  1: p   => q    =0 =  2: ~p   ~>~q    =0
A:  1:~P+ B=> L*~D =0 =  2:  P*~B~>~L+ D =0
A’: 1: p   ~~>~q   =1 =
A’: 1:~P+ B~~>~L+ D=1 = 
       ##                   ##
B:  1: p   ~> q    =1 =  2:~p   =>~q    =1
B:  1:~P+ B~> L*~D =1 =  2: P*~B=>~L+ D =1
B’:                   =  2:~p   ~~> q   =0
B’:                   =  2: P*~B~~> L*~D=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

10.8.1 Analiza operatora implikacji odwrotnej (~P+B)|~>(L*~D)

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek W to kara K
W~>K
Dowolna groźba to warunek konieczny W~>K wchodzący w skład implikacji odwrotnej W|~>K

Operator implikacji odwrotnej p||~>q do układ równań A1B1: p|~>q i A2B2: ~p|=>~q dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p

Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p, czyli gdy nie posprzątam pokoju (~P) lub będę bił siostrę (B)?


B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L) i nie obejrzysz dobranocki (~D)
~P+B ~> L*~D =1
To samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Nie posprzątanie pokoju (~P) lub bicie siostry (B) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla dostania lania (L) i nie obejrzenia dobranocki (~D)
Nasz punkt odniesienia to:
p = ~P+B - nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B)
q = L*~D - dostaniesz lanie (L) i nie obejrzysz dobranocki (~D)
Obliczamy przeczenia p i q:
~p=~(~P+B) = P*~B - na mocy prawa De Morgana
~q=~(L*~D) = ~L+D - na mocy prawa De Morgana
W następniku zdania B1 mamy tu ewidentną groźbę, zatem na mocy definicji groźby zdanie B1 to warunek konieczny ~> wchodzący w skład implikacji odwrotnej p|~>q.
Groźbę B1 musimy kodować warunkiem koniecznym ~> z możliwością darowania kary w zdaniu A1’ bez względu na ostrość wypowiedzianej groźby w zdaniu B1.
Zauważmy, że w kolumnie A1B1 warunek wystarczający => w zdaniu A1 jest fałszem:
A1: p=>q =0
Z fałszywości warunku wystarczającego => A1 wynika prawdziwość kontrprzykładu A1’.
LUB
W przełożeniu na nasz przykład zdanie A1’ brzmi:
A1’.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to możesz ~~> nie dostać lania (~L) lub obejrzeć dobranockę (D)
~P+B~~>~L+D =1
to samo w zapisie formalnym:
p~~>~q =1
Jest taka możliwość na mocy definicji groźby.

Rozpiszmy poprzednik w zdaniach B1 i A1’ na zdarzenia rozłączne.
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
W przełożeniu na nasz przykład mamy:
~P+B = a: ~P*B + b: ~P*~B + c: P*B
Stąd mamy:
Warunek kary będzie spełniony (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
Ya = ~P*B=1 - nie posprzątam pokoju (~P) i będę bił siostrę (B)
lub
Yb = ~P*~B=1 - nie posprzątam pokoju (~P) i nie będę bił siostry (~B)
lub
Yc = P*B =1 - posprzątam pokój (P), ale będę bił siostrę (B)
matematycznie zachodzi:
Y = Ya+Yb+Yc
Wystarczy, że którakolwiek z cząstkowych funkcji rozłącznych (Ya, Yb, Yc) przyjmie wartość logiczną 1 i już warunek kary będzie spełniony.

Zauważmy że:
Warunek konieczny ~> B1 umożliwia mamie wykonanie maksymalnej kary w 100%, czyli jeśli synek spełni którąkolwiek z funkcji cząstkowych (Ya, Yb, Yc) to maksymalna kara widoczna w groźbie B1 może być wykonana.
Ta maksymalna kara w zdaniu B1 brzmi:
B1: L*~D =1 - dostaniesz lania (L=1) i nie obejrzysz dobranocki (~D=1)
Może być wykonana nie oznacza, że musi być wykonana bowiem na mocy zdania A1’ mama może darować karę częściowo lub nawet w 100%.
Rozpiszmy następnik w zdaniu A1’ na zdarzenia rozłączne.
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
W przełożeniu na nasz przykład mamy:
~L+D = d: ~L*D + e: ~L*~D + f: L*D
Stąd mamy:
Mama ma prawo wykonać dowolną z kar cząstkowych Yd, Ye albo Yf:
Yd = ~L*D =1 - nie dostają lania (~L) i oglądam dobranockę (D) - tu jest 100% darowanie kary.
lub
Ye = ~L*~D =1 - nie dostaję lania (~L) i nie oglądam dobranocki (~D) - tu jest kara częściowa (~D)
lub
Yf = L*D =1 - dostaje lanie (L) i oglądam dobranockę (D) - tu jest kara częściowa (L)

Podsumowując:
W przypadku spełnienia któregokolwiek z częściowych warunków kary (Ya, Yb, Yc) mama ma 100% wolnej woli, czyli może wykonać karę maksymalną (L*~D=1) o której mówi zdanie B1 albo może wykonać dowolną z kar częściowych (Yd, Ye, Yf), gdzie Yd pozwala nawet na 100% darowanie kary zależnej od nadawcy.
W zdaniu A1’ zaszyty jest doskonale znany w świecie żywym „alt łaski” (Yd), czyli możliwość darowania w 100% dowolnej kary zależnej od nadawcy.
„Akt łaski” to fundament Biblii gdzie roi się od tego typu przykładów:
Zaprawdę, powiadam ci, jeszcze dziś będziesz ze Mną w raju. (Łk 23, 43)
Wniosek:
Biblia to doskonale napisana Algebra Kubusia językiem zrozumiałym dla prostych ludzi, tych sprzed 2000 lat.

… co może się wydarzyć jeśli nie spełnię warunku kary w zdaniu B1?
Mamy groźbę B1:
B1.
Jeśli nie posprzątasz pokoju (~P) lub będziesz bił siostrę (B) to na 100% ~> dostaniesz lanie (L) i nie obejrzysz dobranocki (~D)
(~P+B) ~> (L*~D)
to samo w zapisach ogólnych:
p~>q
Przejście do logiki ujemnej (bo ~q) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
a) „lub”(+) na „i”(*)
b) „i”(*) na „lub”(+)
c) warunek konieczny ~> na warunek wystarczający =>
Stąd mamy:
(P*~B) => (~L+D)
to samo w zapisach ogólnych:
~p=>~q
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli warunek kary w zdaniu B1 nie zostanie spełniony (~p=1) mamy w kolumnie A2B2.

Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p, czyli gdy posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B)?


A2.
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to na 100% => nie dostaniesz lania (~L) lub obejrzysz dobranockę (D)
P*~B => ~L+D =1
Definicja spójnika „lub”(+) w zdarzeniach rozłącznych:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Rozpiszmy następnik na zdarzenia rozłączne:
~L+D = A: ~L*D + B: ~L*~D + C: L*D
Na mocy definicji groźby ojciec nie ma prawa wykonać choćby odrobiny kary zawartej w następniku, stąd:
~L*D =1*1=1 - nie dostanę lania (~L) i obejrzę dobranockę (D), dozwolone (=1) bo zero kary
lub
~L*~D=1*1=0 - nie dostanę lania (~L) i nie obejrzę dobranocki (~D), zakaz (=0) bo kara ~D
lub
L*D=1*1=0 - dostanę lanie (L) i obejrzę dobranockę (D), zakaz (=0) bo kara L

Dla naszej groźby z tabeli IP odczytujemy:
B2’
Jeśli posprzątasz pokój (P) i nie będziesz bił siostry (~B) to możesz ~~> dostać lanie (L) i nie obejrzeć dobranocki (~D)
P*~B~~>L*~D =0
Nie może się zdarzyć (=0), że nie spełnię warunku kary, czyli:
Posprzątam pokój (P) i nie będę bił siostry (~B) i zostanę maksymalnie ukarany, czyli dostanę lanie (L) i nie obejrzę dobranocki (~D)


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:12, 29 Lis 2021, w całości zmieniany 5 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

PostWysłany: Sob 13:44, 16 Paź 2021    Temat postu:

Algebra Kubusia
11.0 Algorytm Kruka

Spis treści
11.0 Algorytm Kruka 1
11.1 Algorytm Kruka w implikacji prostej P8|=>P2 5
11.1.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach 10
11.1.2 Rozwiązane zadania Nr.1 11
11.2 Algorytm Kruka w implikacji odwrotnej P2|~>P8 12
11.2.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach 16
11.2.2 Rozwiązane zadania Nr.2 18
11.3 Implikacja prosta P8|=>P2 vs implikacja odwrotna P2|~>P8 18



11.0 Algorytm Kruka

Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.

1.
Warunek wystarczający =>:

„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q

2.
Warunek konieczny ~>:

„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q

3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:

Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0

Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).

W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru => = twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q

Prawa Kubusia:        | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q  | A1: p=>q  = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q  | B2:~p=>~q = B3: q=>p

Prawa Tygryska:       | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p   | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p   | B1: p~>q  = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Definicja tożsamości logicznej „=” na przykładzie prawa Kubusia:
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = B1: ~p~>~q
Udowodnienie prawdziwości dowolnej strony tożsamości logicznej „=” jest warunkiem koniecznym i wystarczającym prawdziwości drugiej strony.
Udowodnienie fałszywości dowolnej strony tożsamości logicznej „=” jest warunkiem koniecznym i wystarczającym fałszywości drugiej strony.

Fundament algebry Kubusia:
Wynikający z praw logiki matematycznej przedstawionych w tabeli T0.
Seria zdań Ax:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego zdania serii Ax jest warunkiem koniecznym i wystarczającym prawdziwości pozostałych zdań serii Ax
Udowodnienie fałszywości dowolnego zdania serii Ax jest warunkiem koniecznym i wystarczającym fałszywości pozostałych zdań serii Ax
Seria zdań Bx:
Udowodnienie prawdziwości dowolnego zdania serii Bx jest warunkiem koniecznym i wystarczającym prawdziwości pozostałych zdań serii Bx
Udowodnienie fałszywości dowolnego zdania serii Bx jest warunkiem koniecznym i wystarczającym fałszywości pozostałych zdań serii Bx

Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => (twierdzenie matematyczne „Jeśli p to q”) z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego) plus definicja kontrprzykładu.

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q

W logice matematycznej rozróżniamy 5 różnych na mocy definicji operatorów implikacyjnych dających odpowiedzi na pytania o p i ~p:
Kod:

T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
      A1B1:     A2B2:  |     A3B3:     A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
      ##        ##           ##        ##            ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5:  p+~q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia


1.
p||=>q - operator implikacji prostej p|=>q

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|~>~q = (A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =1*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Definicja p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q = ~p|~>~q = ~p*q
Wyprowadzenie definicji p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
cnd

2.
p||~>q - operator implikacji odwrotnej p|~>q

Operator implikacji odwrotnej p||=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
A2B2: ~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Definicja p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q = ~p|=>~q = p*~q
Wyprowadzenie definicji p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
cnd

3.
p|<=>q - operator równoważności p<=>q

Operator równoważności p|<=>q to układ równań RA1B1 i RA2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
RA2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Definicja p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = ~p<=>~q = p*q+~p*~q
Wyprowadzenie definicji p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p+~p*~q + q*p+q*~q = p*q+~p*~q
cnd

4.
p|$q - operator „albo”($) p$q

Operator „albo”($) p|$q to układ równań AA1B1 i AA2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
AA1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
AA2B2: ~p$~q=(A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Definicja p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p$q = ~p$~q = p*~q+~p*q
Wyprowadzenie definicji p$q:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p+~p*q + ~q*p+~q*q = p*~q + ~p*q
cnd

5.
p||~~>q - operator chaosu p|~~>q

Operator chaosu p||~~>q to układ równań CA1B1 i CA2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
CA1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p
A2: ~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia ~q
B2: ~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia ~q
CA2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2: ~p=>~q)=~(0)*~(0)=1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Definicja p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q = ~p|~~>~q =0
Wyprowadzenie definicji p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =0
cnd

Zauważmy, że cechą wspólną wszystkich operatorów implikacyjnych jest kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p.
A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?

W algebrze Kubusia podstawowym zadaniem jest rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” oraz rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego badane zdanie wchodzi.
Matematycznym narzędziem do takiego rozstrzygnięcia jest algorytm Kruka.

Algorytm Kruka:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przeznaczone do analizy kodujemy elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia)
2.
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy związek parametrów formalnych {p, q} z parametrami aktualnymi {A, B}
3.
Poprzednik i następnik zapisujemy w logice dodatniej (bo p, q)
4.
W zbiorach wyznaczamy zbiory: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
W zdarzeniach wyznaczamy zdarzenia: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy zdarzenia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
5.
Wykonujemy zdjęcie układu, będące serią czterech zdań kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
6.
Na bazie zrobionego zdjęcia rozstrzygamy o przynależności serii czterech zdań do określonego operatora implikacyjnego.

11.1 Algorytm Kruka w implikacji prostej P8|=>P2

Algorytm Kruka:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przeznaczone do analizy kodujemy elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia)
2.
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy związek parametrów formalnych {p, q} z parametrami aktualnymi {A, B}
3.
Poprzednik i następnik zapisujemy w logice dodatniej (bo p, q)
4.
W zbiorach wyznaczamy zbiory: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
W zdarzeniach wyznaczamy zdarzenia: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy zdarzenia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
5.
Wykonujemy zdjęcie układu, będące serią czterech zdań kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
6.
Na bazie zrobionego zdjęcia rozstrzygamy o przynależności serii czterech zdań do określonego operatora implikacyjnego.

Zadanie Nr.1
Przeanalizuj matematycznie zdanie:
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2

Rozwiązanie:
Algorytm Kruka:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przeznaczone do analizy kodujemy elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia)
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2=~P8*P2=1
Zdanie przeznaczone do analizy kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest prawdziwe bo istnieje element wspólny zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] np. 2
W algebrze Kubusia podstawowym zadaniem jest rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdania D oraz rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego zdanie to wchodzi.
2.
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy związek parametrów formalnych {p, q} z parametrami aktualnymi {A, B}.
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy:
p = P8=[8,16,24..] - poprzednik p
q = P2=[2,4,6,8..] - następnik q
3.
Poprzednik i następnik zapisujemy w logice dodatniej (bo p, q)
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..24..] jest (=1) spełniona bo 24.
4.
W zbiorach wyznaczamy zbiory: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
Poprzednik mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 8:
P8=[8,16,24..]
Następnik mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 2:
P2=[2,4,6,8..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem zbioru P8
~P2=[LN-P2]=1,3,5,7,9..] - zbiór liczb nieparzystych
5.
Wykonujemy zdjęcie układu, będące serią czterech zdań kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Kod:

T1.
A: P8~~> P2= P8* P2=?
B: P8~~>~P2= P8*~P2=?
C:~P8~~>~P2=~P8*~P2=?
D:~P8~~> P2=~P8* P2=?

W kodowaniu zdań elementem wspólnym zbiorów ~~> za punkt odniesienia przyjmujemy niezanegowany poprzednik (tu P8) bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy w interesującej nas kolumnie A1B1.

Wartościujemy zdjęcie naszego układu:
Kod:

T2.
A: P8~~> P2=1 - bo zbiór P8 ma element wspólny ze zbiorem P2 np. 8
B: P8~~>~P2=0 - bo zbiory P8 i ~P2 są rozłączne?
C:~P8~~>~P2=1 - bo zbiór ~P8 ma element wspólny z ~P2 np. 1
D:~P8~~> P2=1 - bo zbiór ~P8 ma element wspólny z P2 np. 2

Zauważmy, że wartościowanie linii A, C i D jest trywialne, błyskawicznie znaleźliśmy element wspólny zapisanych zbiorów.
W linii B podejrzewamy brak elementu wspólnego ~~> zbiorów P8 i ~P2 bowiem prawdopodobnie zbiory P8 i ~P2 są rozłączne. Nie da się poprzez iterowanie udowodnić rozłączności zbiorów nieskończonych, to jest fizycznie niewykonalne.

Jak fakt rozłączności zbiorów P8 i ~P2 najprościej udowodnić?
Dowód:
Zakładamy rozłączność zbiorów P8 i ~P2 kodując linię B definicją kontrprzykładu.
B.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0 - bo zakładamy, że zbiory P8 i ~P2 są rozłączne

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Jeśli nasze założenie zgodne z prawdą to na mocy definicji kontrprzykładu w linii A musi być spełniony warunek wystarczający =>:
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wniosek:
Musimy udowodnić, iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] co każdy dobry matematyk z łatwością udowodni.
Dopiero ten dowód upoważnia nas do postawienia twardego zera w linii B.
6.
Na bazie zrobionego zdjęcia rozstrzygamy o przynależności serii czterech zdań do określonego operatora implikacyjnego.
Dysponując kompletnym zdjęciem T2 bez problemu rozstrzygamy z jakim operatorem implikacyjnym mamy tu do czynienia.

Analiza tabeli T2:
1.
Fałszywość kontrprzykładu B wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => A (albo odwrotnie)
A: P8=>P2 =1
2.
Prawo Kubusia:
A: P8=>P2 = C: ~P8~>~P2 =1
Prawdziwość warunku wystarczającego => A wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> C (albo odwrotnie)
C:~P8~>~P2 =1
3.
Prawdziwość kontrprzykładu D wymusza fałszywość warunku wystarczającego => C.
C: ~P8=>~P2 =0
4.
Prawo Kubusia:
C: ~P8=>~P2 = A: P8~>P2 =0
Fałszywość warunku wystarczającego => C wymusza fałszywość warunku koniecznego ~> A:
A: P8~>P2 =0
Stąd mamy końcowe rozstrzygnięcie w linii A iż mamy tu do czynienia z implikacją prostą P8|=>P2.

Definicja implikacji prostej P8|=>P2:
Implikacja prosta P8|=>P2 (w logice dodatniej bo P2) to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd mamy:
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(P8~>P2)=1*~(0)=1*1 =1

Podstawmy nasze rozstrzygnięcie do tabeli prawdy implikacji prostej IP
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =0 - p nie jest (=0) konieczne ~> dla q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P8 - zbiór liczb podzielnych przez 8
q=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym {P8,P2}
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {P8,P2}:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8 jest (=1) podzbiorem => P2
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2
A1B1: P8|=>P2 = (A1: P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1 =1

       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1 [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=>P2  =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =              [=]               = 4:~q~~>p   =0                   
A’: 1: P8~~>~P2=0 =              [=]               = 4:~P2~~>P8 =0                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =0 = 2:~p=>~q  =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:               = 2:~p~~>q  =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1

Definicja implikacji prostej p|=>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji odwrotnej ~p|~>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji prostej p||=>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~p||~>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|~>~q=(A2:~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IP.

Z tabeli prawdy implikacji prostej IP odczytujemy:

Operator implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to ..
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to ..

Okład równań logicznych jest przemienny, stąd:
Operator implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~P8 i P8:
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to ..
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to ..

11.1.1 Operator implikacji prostej P8||=>P2 w zbiorach

Operator implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo P2) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P8 i ~P8:
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to…
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to..

A1B1:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę podzielną przez 8 (P8=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P8=>P2 =1 - bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => P2=[2,4,6,8..]
B1: P8~>P2 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P2=[2,4,6,8..]
P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) = 1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbą podzielną przez 8 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba będzie podzielna przez 2 - mówi o tym zdanie A1.

Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to na 100% => jest podzielna przez 2 (P2=1)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Prawdziwość warunku wystarczającego => A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie).
A1’.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P8~~>~P2=P8*~P2 =[] =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest (=0) spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Tego faktu nie musimy udowadniać, bo wymusza go prawdziwość warunku wystarczającego A1.

A2B2:
Co może się wydarzyć, jeśli ze zbioru liczb naturalnych LN wylosujemy liczbę niepodzielną przez 8 (~P8=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P8~>~P2 =1 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) nadzbiorem ~> ~P2=[1,3,5,7,9..]
B2: ~P8=>~P2 =0 - bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] nie jest (=0) podzbiorem => ~P2=[1,3,5,7,9..]
~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2)=1*~(0)=1*1=1
Stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielna przez 8 to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”, o czym mówią zdania prawdziwe A2 i B2’

Kolumna A2B2 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
A2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
~P8~>~P2=1
Definicja warunku koniecznego ~> jest tu spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
Tego faktu nie musimy udowadniać, gwarantuje nam to prawo Kubusia:
A2:~P8~>~P2 = A1: P8=>P2
Prawdziwość zdania A1 udowodniliśmy na samym początku.

LUB

Z fałszywości warunku wystarczającego B2 wynika prawdziwość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2

Podsumowanie:
Istotą operatora implikacji prostej P8||=>P2 jest gwarancja matematyczna => po stronie P8 (zdanie A1) i najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” po stronie ~P8 (zdania A2 i B2’)

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~P8 i P8:
A2B2: ~P8|~>~P2 =(A2:~P8~>~P2)*~(B2:~P8=>~P2) - Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8) to ..
A1B1: P8|=>P2 =(A1: P8=>P2)* ~(B1: P8~>P2) - Jeśli liczba jest podzielna przez 8 (P8) to ..
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji odwrotnej ~P8||~>~P2 w logice ujemnej (bo ~P2) będzie identyczna jak operatora implikacji prostej P8||=>P2 w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Kolejność zdań tworzących operator implikacji prostej p||=>q również jest bez znaczenia, tak więc zdania A1, A1’, A2, B2’ możemy wypowiadać w dowolnej kolejności.

11.1.2 Rozwiązane zadania Nr.1

Zadanie Nr.1 przy okazji którego omówiliśmy problem implikacji prostej P8|=>P2 brzmiało.

Zadanie Nr.1
Przeanalizuj matematycznie zdanie:
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 to może być podzielna przez 2

Doskonale widać, że zdanie przeznaczone do analizy wchodzi w skład implikacji prostej P8|=>P2.
W naszej analizie to jest zdanie B2’:
B2’.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 8 (~P8=1) to może ~~> być podzielna przez 2 (P2=1)
~P8~~>P2 = ~P8*P2 =1
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..] jest spełniona bo np. 2

11.2 Algorytm Kruka w implikacji odwrotnej P2|~>P8

Algorytm Kruka:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przeznaczone do analizy kodujemy elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia)
2.
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy związek parametrów formalnych {p, q} z parametrami aktualnymi {A, B}
3.
Poprzednik i następnik zapisujemy w logice dodatniej (bo p, q)
4.
W zbiorach wyznaczamy zbiory: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
W zdarzeniach wyznaczamy zdarzenia: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy zdarzenia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
5.
Wykonujemy zdjęcie układu, będące serią czterech zdań kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
6.
Na bazie zrobionego zdjęcia rozstrzygamy o przynależności serii czterech zdań do określonego operatora implikacyjnego.

Zadanie Nr.2
Przeanalizuj matematycznie zdanie:
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8

Rozwiązanie:
Algorytm Kruka:
1.
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” przeznaczone do analizy kodujemy elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia)
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
~P2~~>P8 = ~P2*P8 =0
2.
Na mocy prawa Kłapouchego zapisujemy związek parametrów formalnych {p, q} z parametrami aktualnymi {A, B}
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy:
p = P2=[2,4,6,8..] - poprzednik p
q = P8=[8,16,24..] - następnik q

Zdanie przeznaczone do analizy kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> jest fałszywe bo zbiory ~P2=[1,3,5,7,9..] i P8=[2,4,6,8..] są rozłączne. W tym przypadku dowód fałszywości zdania D jest trywialny bo dowolny zbiór liczb nieparzystych (np. ~P2) jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych (np. P8). W ogólnym przypadku nie jest to trywialne.
Zauważmy, że iterowanie po dowolnym ze zbiorów ~P2 albo P8 jest fizycznie niewykonalne bo zbiory te są nieskończone.

Jak sobie poradzić z dowodem fałszywości zdania D w przypadku ogólnym?
W algebrze Kubusia podstawowym zadaniem jest rozstrzygnięcie o prawdziwości/fałszywości zdania D oraz rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego zdanie to wchodzi.
3.
Poprzednik i następnik zapisujemy w logice dodatniej (bo p, q)
A.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
P2~~>P8 = P2*P8 =?
4.
W zbiorach wyznaczamy zbiory: p, q, ~p, ~q które muszą być niepuste bowiem wtedy i tylko wtedy pojęcia p, q, ~p i ~q są rozpoznawalne.
Poprzednik mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 2:
P2=[2,4,6,8..]
Następnik mówi tu o zbiorze liczb podzielnych przez 8:
P8=[8,16,24..]
Przyjmujemy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Obliczamy przeczenia zbiorów definiowane jako ich uzupełnienia do dziedziny LN:
~P2=[LN-P2]=1,3,5,7,9..] - zbiór liczb nieparzystych
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb naturalnych z wykluczeniem zbioru P8
5.
Wykonujemy zdjęcie układu, będące serią czterech zdań kodowanych elementem wspólnym zbiorów ~~> (zbiory) albo zdarzeniem możliwym ~~> (zdarzenia) przez wszystkie możliwe przeczenia p i q
Kod:

T1.
A: P2~~> P8= P2* P8=?
B: P2~~>~P8= P2*~P8=?
C:~P2~~>~P8=~P2*~P8=?
D:~P2~~> P8=~P2* P8=?

W kodowaniu zdań elementem wspólnym zbiorów ~~> za punkt odniesienia przyjmujemy niezanegowany poprzednik (tu P2) bowiem wtedy i tylko wtedy będziemy w interesującej nas kolumnie A1B1.
Wartościujemy zdjęcie naszego układu:
Kod:

T2.
A: P2~~> P8=1 - bo zbiór P2 ma element wspólny ze zbiorem P8 np. 8
B: P2~~>~P8=1 - bo P2 ma element wspólny ze zbiorem ~P8 np. 2
C:~P2~~>~P8=1 - bo zbiór ~P2 ma element wspólny z ~P8 np. 1
D:~P2~~> P8=0 - bo zbiory ~P2 i P8 są rozłączne?

Zauważmy, że wartościowanie linii A, B i C jest trywialne, błyskawicznie znaleźliśmy element wspólny ~~> zapisanych zbiorów.
W linii D podejrzewamy brak elementu wspólnego ~~> zbiorów ~P2 i P8 bowiem prawdopodobnie zbiory ~P2 i P8 są rozłączne. Nie da się poprzez iterowanie udowodnić rozłączności zbiorów nieskończonych, to jest fizycznie niewykonalne.

Jak fakt rozłączności zbiorów ~P2 i P8 najprościej udowodnić?
Dowód:
Zakładamy rozłączność zbiorów ~P2 i P8 kodując linię D definicją kontrprzykładu.
D.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może ~~> być podzielna przez 8
~P2~~>P8 = ~P2*P8=[] =0 - bo zakładamy, że zbiory ~P2 i P8 są rozłączne

Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)

Jeśli nasze założenie zgodne z prawdą to na mocy definicji kontrprzykładu w linii C musi być spełniony warunek wystarczający =>:
C.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to na 100% => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1 - jeśli nasze założenie jest prawdziwe
To samo w zapisie formalnym:
~p=>~q =1 - jeśli nasze założenie jest prawdziwe
Dla łatwiejszego dowodu prawdziwości/fałszywości zdania C korzystamy z prawa kontrapozycji.
Prawo kontrapozycji:
~p=>~q = q=>p
Nasz przykład:
C: ~P2=>~P8 = C1: P8=>P2
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości warunku wystarczającego => C1.
C1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest wystarczająca => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Wniosek:
Musimy udowodnić iż zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..] co każdy dobry matematyk z łatwością udowodni.
Dopiero ten dowód upoważnia nas do postawienia twardego zera w linii D.
6.
Na bazie zrobionego zdjęcia rozstrzygamy o przynależności serii czterech zdań do określonego operatora implikacyjnego.
Dysponując kompletnym zdjęciem T2 bez problemu rozstrzygamy z jakim operatorem implikacyjnym mamy tu do czynienia.

Analiza tabeli T2:
1.
Fałszywość kontrprzykładu D:
D: ~P8~~>P8 =0
wymusza prawdziwość warunku wystarczającego => C (albo odwrotnie)
C: ~P2=>~P8 =1
2.
Prawo Kubusia:
C: ~P2=>~P8 = A: P2~>P8 =1
Prawdziwość warunku wystarczającego => C wymusza prawdziwość warunku koniecznego ~> A (albo odwrotnie)
A: P2~>P8 =1
3.
Prawdziwość kontrprzykładu B:
B: P2~~>~P8 =1
wymusza fałszywość warunku wystarczającego => A.
A: P2=>P8 =0
Stąd mamy końcowe rozstrzygnięcie w linii A iż mamy tu do czynienia z implikacją odwrotną P2|~>P8 w logice dodatniej (bo P8)

Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8:
Implikacja odwrotna P2|~>P8 (w logice dodatniej bo P8) to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Stąd mamy:
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(P2~>P8)=~(0)*1 =1*1 =1

Nanieśmy zdania A1 i B1 do tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q.
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q= ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym {P2,P8}:
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego to:
p=P2 - zbiór liczb podzielnych przez 2
q=P8 - zbiór liczba podzielnych przez 8
Definicja implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2 nie jest (=0) podzbiorem P8
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2 jest (=1) nadzbiorem ~>P8
A1B1: P2|~>P8= ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8)=~(0)*1=1*1=1
       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   = 0 = 2:~p~>~q  =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: P2=>P8  =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2  =0 = 4:~P8=>~P2=0
A’: 1: p~~>~q  =1 =              [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: P2~~>~P8=1 =              [=]               = 4:~P8~~>P2=1                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1 [=] 3: q=>p    =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: P2~>P8  =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2  =1 = 4:~P8~>~P2=1
B’:               = 2:~p~~>q  =0 [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0

Definicja implikacji odwrotnej p|~>q to odpowiedź na pytanie o p:
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Definicja implikacji prostej ~p|=>~q to odpowiedź na pytanie o ~p:
A2B2: ~p|=>~q=~(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Operator implikacji odwrotnej p||~>q to układ równań logicznych:
A1B1: p|~>q  =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q   =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Dla poprawienia czytelności tabeli zapisy aktualne (z konkretnego przykładu) podstawiono w nagłówku tabeli oraz w części głównej decydującej o treści zdań warunkowych „Jeśli p to q”.

Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO

Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli IO

Z tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO odczytujemy:

Operator implikacji odwrotnej p||~>q w logice dodatniej (bo q) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p i ~p:
A1B1: p|~>q =~(A1: p=> q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?

Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?

11.2.1 Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w zbiorach

Operator implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o P2 i ~P2:

A1B1:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielną przez 2 (P2=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: P2=>P8 =0 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest (=0) podzbiorem => P8=[8,16,24..]
B1: P2~>P8 =1 - bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> P8=[8,16,24..]
A1B1: P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1=1*1=1
stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę podzielna przez 2 (P2=1) to mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” - mówią o tym zdania B1 i A1’

Kolumna A1B1 w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q”:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~> być podzielna przez 8 (P8=1)
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona, bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]

LUB

Fałszywy warunek wystarczający A1 wymusza prawdziwość kontrprzykładu A1’ i odwrotnie.
A1’
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 (P2=1) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2=1)
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest (=1) spełniona bo zbiory P2=[2,4,6,8..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6..9..] mają co najmniej jeden element wspólny np. 2
W zdaniu A1’ nie zachodzi ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> i tego faktu nie musimy dowodzić na mocy algebry Kubusia.

A2B2:
Co się stanie jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 (~P2=1)?


Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~P2~>~P8 =0 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
B2: ~P2=>~P8 =1 - zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest (=1) podzbiorem => ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
A2B2: ~P2|=>~P8 = ~(A2: ~P2~>~P8)*(B2: ~P2=>~P8) =~(0)*1=1*1=1
stąd mamy:
Jeśli ze zbioru liczb naturalnych wylosujemy liczbę niepodzielną przez 2 to mamy gwarancję matematyczną => iż ta liczba nie będzie podzielna przez 8 - mówi o tym zdanie B2.
Uwaga:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli P2 to P8” jest częścią implikacji odwrotnej P2|~>P8 nic więcej nie musimy udowadniać - mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli prawdy implikacji odwrotnej IO.
Nie musimy, nie oznacza że nie możemy, dlatego przedstawiam dowody indywidualne dla każdego ze zdań widniejących w IO.

B2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8=1)
~P2=>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 wystarcza => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem => zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Oczywiście ten fakt dowodzimy korzystając z prawa kontrapozycji:
B2: ~p=>~q = B3: q=>p - zapis formalny
B2: ~P2=>~P8 = B3: P8=>P2 - zapis aktualny
Udowodnienie prawdziwości B3: P8=>P2 =1 na mocy prawa kontrapozycji gwarantuje prawdziwość warunku wystarczającego B2:~P2=>~P8 =1

Z prawdziwości warunku wystarczającego B2 wynika fałszywość kontrprzykładu B2’ i odwrotnie.
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
Dowolny zbiór liczb nieparzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych.
cnd

Podsumowanie:
Cechą charakterystyczną operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 jest najzwyklejsze „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” po stronie liczb podzielnych przez 2 (P2 - zdania B1 i A1’) oraz gwarancja matematyczna => po stronie liczb niepodzielnych przez 2 (~P8 - zdanie B2)
Doskonale to widać w analizie wyżej.

Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator implikacji prostej ~p||=>~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p|=>~q =~(A2:~p~>~q)* (B2:~p=>~q)- co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) - co się stanie jeśli zajdzie p?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora implikacji prostej ~P2||=>~P8 w logice ujemnej (bo ~P8) będzie identyczna jak operatora implikacji odwrotnej P2||~>P8 w logice dodatniej (bo P8) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1, co matematycznie jest bez znaczenia.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy B1, A1’ B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.

11.2.2 Rozwiązane zadania Nr.2

Zadanie Nr.2 przy okazji którego omówiliśmy problem implikacji prostej odwrotnej P2|~>P8 brzmiało.

Zadanie Nr.2
Przeanalizuj matematycznie zdanie:
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8

Na mocy powyższej analizy stwierdzamy, że badane zdanie jest częścią implikacji odwrotnej P2|~>P8 przyjmując tu brzmienie:
B2’
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2=1) to może ~~> być podzielna przez 8 (P8=1)
~P2~~>P8=~P2*P8 =0
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest rozłączny ze zbiorem P8=[8,16, 24..]
Dowolny zbiór liczb nieparzystych jest rozłączny z dowolnym zbiorem liczb parzystych.
cnd
Badane zdanie jest oczywiście fałszywe, ale bezcenne, bo jest częścią implikacji odwrotnej P2|~>P8


11.3 Implikacja prosta P8|=>P2 vs implikacja odwrotna P2|~>P8

Zapiszmy skróconą tabelę prawdy implikacji prostej P8|=>P2:
Kod:

IP
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zapisie formalnym {p,q}
Tabela prawdy implikacji prostej P8|=>P2 w zapisie aktualnym {P8, P2}
Punkt odniesienia to:
p=P8
q=P2
       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q    =1 = 2:~p~>~q  =1 [=] 3: q~>p    =1 = 4:~q=>~p   =1
A:  1: P8=>P2  =1 = 2:~P8~>~P2=1 [=] 3: P2~>P8  =1 = 4:~P2=>~P8 =1
A’: 1: p~~>~q  =0 =              [=]               = 4:~q~~>p   =0                   
A’: 1: P8~~>~P2=0 =              [=]               = 4:~P2~~>P8 =0                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =0 = 2:~p=>~q  =0 [=] 3: q=>p    =0 = 4:~q~>~p   =0
B:  1: P8~>P2  =0 = 2:~P8=>~P2=0 [=] 3: P2=>P8  =0 = 4:~P2~>~P8 =0
B’:               = 2:~p~~>q  =1 [=] 3: q~~>~p  =1
B’:               = 2:~P8~~>P2=1 [=] 3: P2~~>~P8=1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

##
Zapiszmy skrócona tabelę implikacji odwrotnej P2|~>P8
Kod:

IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q w zapisie formalnym {p,q}
Tabela prawdy implikacji odwrotnej P2|~>P8 w zapisie aktualnym {P2, P8}
Punkt odniesienia:
p=P2
q=P8
       A1B1:           A2B2:      |      A3B3:          A4B4:
A:  1: p=>q   = 0 = 2:~p~>~q  =0 [=] 3: q~>p    =0 = 4:~q=>~p  =0
A:  1: P2=>P8  =0 = 2:~P2~>~P8=0 [=] 3: P8~>P2  =0 = 4:~P8=>~P2=0
A’: 1: p~~>~q  =1 =              [=]               = 4:~q~~>p  =1                   
A’: 1: P2~~>~P8=1 =              [=]               = 4:~P8~~>P2=1                   
       ##             ##          |     ##            ##
B:  1: p~>q    =1 = 2:~p=>~q  =1 [=] 3: q=>p    =1 = 4:~q~>~p  =1
B:  1: P2~>P8  =1 = 2:~P2=>~P8=1 [=] 3: P8=>P2  =1 = 4:~P8~>~P2=1
B’:               = 2:~p~~>q  =0 [=] 3: q~~>~p  =0
B’:               = 2:~P2~~>P8=0 [=] 3: P8~~>~P2=0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia

Gdzie:
## - różne na mocy definicji implikacji prostej p|=>q=~p*q i odwrotnej p|~>q=p*~q

Przyjrzyjmy się tabelom IP i IO:
Doskonale widać, że w zapisach formalnych {p, q} każde zdanie prawdziwe z tabeli IP jest różne na mocy definicji od jakiegokolwiek zdania prawdziwego w tabeli IO
Przykładowy dowód:
Kod:

T1.
IP                       ##  IO
Implikacja prosta p|=>q  ##  Implikacja odwrotna p|~>q
1: Zapis formalny:       ##  Zapis formalny:
2: IP: A1: p=> q = ~p+q  ##  IO: B3: q=> p =~q+p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q

Zauważmy, że dokładnie te same zdania A1 i B3 w zapisach aktualnych są pozornie tożsame:
Dowód:
Kod:

T2.
IP                       ##  IO
Implikacja prosta p|=>q  ##  Implikacja odwrotna p|~>q
1: Zapis formalny:       ##  Zapis formalny:
2: IP: A1: p=> q = ~p+q  ##  IO: B3: q=> p =~q+p
3: Zapis aktualny:       ##  Zapis aktualny:
4: IP: A1: P8=>P2=~P8+P2 ##  IO: B3: P8=>P2=~P8+P2
5: Punkt odniesienia:    ##  Punkt odniesienia:
6: p=P8                  ##  p=P2
7: q=P2                  ##  q=P8
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q

Zauważmy, że zdania w linii 4 po obu stronach znaczka różne na mocy definicji ## są absolutnie identyczne oraz że dowody matematyczne prawdziwości tych zdań również są absolutnie identyczne.

Dlaczego mimo wszystko nie wolno nam w linii 4 w miejsce znaku różne na mocy definicji ## postawić znaku tożsamości „=”?

Odpowiedź:
Jeśli to zrobimy to popełnimy trywialny błąd podstawienia bowiem w tabelach IP i IO p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q, tymczasem w liniach 6 i 7 doskonale widać, że tak nie jest.
Dokładnie z tego powodu (błąd podstawienia) nie wolno nam w linii 4 zastąpić znaku różne na mocy definicji ## znakiem tożsamości „=”
cnd
Obszerne wyjaśnienie w tym temacie znajdziemy również w punkcie 3.7.


Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 21:33, 29 Lis 2021, w całości zmieniany 11 razy
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Idź do strony 1, 2  Następny
Strona 1 z 2

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin