ŚFiNiA

[rafal3006]

Algebra Kubusia - Kompendium

Część I

Autorzy:
Kubuś i przyjaciele

Kim jest Kubuś?
Kubuś to wirtualny Internetowy Miś, teleportowany do ziemskiego Internetu przez zaprzyjaźnioną cywilizację z innego Wszechświata.

Gdzie powstawała algebra Kubusia?
Forum śfinia.fora.pl to hlefik Kubusia, zawierający pełną historię powstawania AK:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,60/
Forum ateista.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum yrizzona.freeforums.org:
[link widoczny dla zalogowanych]
Forum matematyka.pl:
[link widoczny dla zalogowanych]

Algebra Kubusia to końcowy efekt dziesięcioletniej dyskusji na forach sfinia.fora.pl, ateista.pl, yrizona.freeforums.org i matematyka.pl. Warunkiem koniecznym powstania algebry Kubusia było wolne od wszelkiej cenzury forum śfinia oraz kluczowe dyskusje z Rafalem3006, Wujem Zbójem i Fiklitem. Śfinia to hlefik Kubusia z zapisem pełnej historii narodzin algebry Kubusia.

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Kubusiem przyczynili się do powstania algebry Kubusia:
Rafał3006(medium), Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72 i inni.
Kubuś

Wstęp:
Algebra Kubusia to największe wydarzenie w historii ludzkości.
Dlaczego?
Algebra Kubusia to logika matematyczna pod którą podlega cały nasz Wszechświat, żywy i martwy (z matematyką włącznie). W znanym nam Wszechświecie martwym to mniej więcej tak, jakby komputer zrozumiał logikę matematyczną, dzięki której działa.
Wszystkie definicje w algebrze Kubusia są sprzeczne z aktualną logiką matematyczną Ziemian. Matematycy proszeni są zatem o skasowanie (na czas czytania) wszystkiego, czego uczono ich w szkole.

Spis treści
1.0 Notacja 2
2.0 Kompendium algebry Kubusia 4
2.1 Spójniki „lub”(+) i „i”(*) 4
2.2 Operatory OR(|+) i AND(|*) 5
2.3 Prawa Prosiaczka 7
2.4 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~> 8
2.5 Prawa Kubusia 9
2.6 Prawo Kobry 11
2.7 Wspólna dziedzina w zdaniach warunkowych 11
2.8 Operatory implikacyjne |=>, |~>, |~~> 13
3.0 Operatory implikacyjne w zbiorach 17
3.1 Operator implikacji prostej p|=>q 17
3.2 Operator implikacji odwrotnej p|~>q 22
8.3 Operator równoważności p<=>q 26
8.4 Operator chaosu p|~~>q 31
4.0 Obietnice i groźby 32
4.1 Klasyka obietnicy 33
4.2 Klasyka groźby 34



1.0 Notacja

1 = prawda
0 = fałsz

Operatory OR(|+) i AND(|*)
(~) - symbol negacji, przeczenia (~p=NIE p)
(+) - spójnik „lub”(+)
(*) - spójnik „i”(*)
(|+) - operator OR(|+)
(|*) - operator AND(|*)

Operatory implikacyjne:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - kwantyfikator mały
|=> - operator implikacji prostej
|~> - operator implikacji odwrotnej
|~~> - operator chaosu
<=> - równoważność

1 = prawda
0 = fałsz

Spójniki „lub”(+) i „i”(*) z naturalnej logiki człowieka:
(+) - spójnik „lub”(+)
(*) - spójnik „i”(*)

Definicje operatorów OR(|+) i AND(|*) w spójnikach „lub”(+) i „i”(*):

(|+) - operator OR
Y=p+q
~Y=~p*~q

(|*) - operator AND
Y=p*q
~Y=~p+~q

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q

Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie

Definicje operatorów implikacyjnych w spójnikach implikacyjnych:

O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z praw Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.

p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|=>q ## p|~>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji


2.0 Kompendium algebry Kubusia

1 = prawda
0 = fałsz

„~” - symbol przeczenia np. ~p (nie p)


2.1 Spójniki „lub”(+) i „i”(*)

Spójniki „i” i „lub”:
1.
„*” - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki człowieka
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
„+” - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1


2.2 Operatory OR(|+) i AND(|*)

1.
„|+” - operatora OR(|+) opisany jest układem równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
A.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
B.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnie (bo Y)
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p*~q = ~(p+q)
Uwaga:
Przejście do logiki przeciwnej jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z matematyki klasycznej.
Zapis tożsamy takiego przejścia to po prostu negacja dwustronna tożsamości logicznej:
Y=p+q
~Y = ~(p+q) = ~p*~q - na mocy prawa De Morgana

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K*~T
B.
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie

2.
„|*” - operator AND(|*) opisany jest układem równań logicznych w spójnikach „lub”(+) i „i”(*)
A.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
B.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y
Y = ~(~Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y)
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y)
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnie (bo Y)
~Y = ~(Y)
Podstawiając A i B mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Pani w przedszkolu:
A.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y=~K+~T
B.
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Znaczenie symboli:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie

2.3 Prawa Prosiaczka

I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)

Prawa Prosiaczka doskonale znają w praktyce wszyscy ludzie na ziemi, od 3-latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Tata i synek Jaś (lat 3) na spacerze w ZOO

Jaś pokazując paluszkiem słonia mówi:
A.
Popatrz tata, to jest słoń!
S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1) że to jest słoń (S)

Tata:
… a może to nie jest słoń?
Jaś:
B.
Fałszem jest (=0) że to nie jest słoń (~S)
~S=0

Zdania A i B są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
I prawo Prosiaczka:
A: (S=1) = B: (~S=0)

Jaś pokazuje paluszkiem kozę i mówi:
C.
Popatrz tata, to nie jest słoń
~S=1
Matematycznie:
Prawdą jest (=1), że to nie jest słoń

Tata:
… a może to jednak słoń?
Jaś:
D.
Fałszem jest (=0) że to jest słoń
S=0
Zdania C i D są matematycznie tożsame o czym wie każdy 3-latek, który genialnie posługuje się w praktyce prawami Prosiaczka.
II prawo Prosiaczka
C: (~S=1) = D: (S=0)


2.4 Spójniki implikacyjne ~~>, =>, ~>

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2=P8*P2 =1 bo 8
Zdanie A pod kwantyfikatorem małym prawdziwe, bo istnieje wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..]. Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P8 i P2 i już zdanie A jest prawdziwe, dalsze działania są nieistotne.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Zdanie B pod kwantyfikatorem małym ~~> jest fałszywe bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.

2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada (P=1), są chmury (CH=1)
Wymuszam stan „pada” (P=1) i na 100% muszą być „chmury” (CH=1)
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to na pewno => będzie padać
CH=>P =0
Zdanie fałszywe bo wymuszam „chmury” i wcale nie musi „padać”

3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zabieram „chmury” wykluczając „padanie”.
Chmury (CH=1) są warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1) bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na pewno => nie pada (~P=1)
W sposób naturalny odkryliśmy tu prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym =>:
CH~>P = ~CH=>~P
co matematycznie oznacza:
(CH=1)~>(P=1) = (~CH=1) => (~P=1)

Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
p~>q = ~p=>~q
co matematycznie oznacza:
(p=1)~>(q=1) = (~p=1) => (~q=1)

Znaczenie prawa Kubusia (tożsamości logicznej <=>):
CH~>P <=> ~CH=>~P
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza prawdziwość drugiej strony.
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej <=> wymusza fałszywość drugiej strony

Matematycznie zachodzi:
Tożsamość logiczna <=> = Tożsamość klasyczna „=”
Stąd znaczki <=> i „=” można używać zamiennie i zwykle tak się robi dla poprawienia czytelności zapisu.


2.5 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek wystarczający => w logice dodatniej (bo p) jest tożsamy z warunkiem koniecznym ~> w logice ujemnej (bo ~q)
p=>q = ~p~>~q
II prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice dodatniej (bo q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice ujemnej (bo ~q)
p~>q = ~p=>~q

Interpretacja praw Kubusia:
Zdanie prawdziwe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie prawdziwe po drugiej stronie.
Zdanie fałszywe po dowolnej stronie prawa Kubusia wymusza zdanie fałszywe po drugiej stronie

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Dziedzina:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
~P8=[LN-P8] =[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2] =[1,3,5,7,9..]
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
Prawej strony tożsamości nie musimy sprawdzać, bo jest pewna na mocy prawa Kubusia.
Nie musimy, ale możemy.
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> nie być podzielna przez 2
~P8~>~P2 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7,..9..] jest nadzbiorem ~> zbioru ~P2=[1,3,5,7,9..]
lub
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 =1 bo 2
Definicja kwantyfikatora małego ~~> jest spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] i P2=[2,4,6,8..]
W zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~> bo prawo Kubusia:
D1: ~P8~>P2 = P8=>~P2

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdanie „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
p~~>q = p*q =1
Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q by zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> było prawdziwe

Sprawdzamy prawą stronę tożsamości D1 prawem Kobry:
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest rozłączny ze zbiorem ~P2=[1,3,5,7,9..]
Wniosek:
W zdaniu D na 100% nie zachodzi warunek konieczny ~>.
Zdanie D jest prawdziwe na mocy kwantyfikatora małego ~~>.

Prawa Kubusia w obsłudze zdań fałszywych:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Definicja warunku wystarczającego => nie jest spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]
Prawo Kubusia:
P2=>P8 = ~P2~>~P8
Lewa strona tożsamości Kubusia jest fałszem, zatem prawa strona musi być fałszem.
Nie musimy tego dowodzić, ale możemy.
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to może nie być podzielna przez 8
~P2~>~P8 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] nie jest nadzbiorem zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]

Wniosek:
P2=>P8 = ~P2~>~P8 =0
Prawa Kubusia działają fantastycznie!


2.6 Prawo Kobry

Prawo Kobry:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość pod kwantyfikatorem małym ~~>
p~~>q = p*q =1
Wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów p i q by zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> było prawdziwe.

Przykład zdania niespełniającego prawa Kobry:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> nie być podzielna przez 2
P8~~>~P2 = P8*~P2 =0
Kwantyfikator mały ~~> nie jest tu spełniony, bo zbiory P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..] są rozłączne.

Przykład zdania spełniającego prawo Kobry:
A1.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Warunek wystarczający => spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]

Oczywistym jest że warunek wystarczający A1 spełnia prawo Kobry:
A2.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 = P8*P2 =1 bo 8
Dla udowodnienia prawdziwości zdania A2 pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..]


2.7 Wspólna dziedzina w zdaniach warunkowych

Przypomnijmy sobie definicje spójników implikacyjnych.

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

O co chodzi w pierwszym zdaniu?

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące na wspólnej dziedzinie

„We wspólnej dziedzinie” chodzi o to, że dziedziną poprzednika nie może być mydło, a dziedziną następnika powidło.
Przykład takiego bełkotu.
B1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to kwadrat ma wszystkie kąty proste i boki równe
TP=>KWKPBR

Tu dziedziną poprzednika jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
… a dziedziną następnika jest:
ZWC - zbiór wszystkich czworokątów

Te dziedziny są rozłączne, zatem zdanie B1 jest też fałszywe na mocy prawa Kobry.

Dla naszego zdania B1 mamy:
Jeśli ZWT to ZWC
ZWT~~>ZWC = ZWT*ZWC =0
bo te dziedziny są rozłączne.

Wniosek:
Skoro dziedzina poprzednika jest rozłączna z dziedziną następnika to jest oczywistym, że poprzednik nie może mieć nic wspólnego z następnikiem, zatem zdanie B1 jest matematycznie fałszywe.
Czyli:
Dowolny trójkąt nie ma nic wspólnego z dowolnym czworokątem


2.8 Operatory implikacyjne |=>, |~>, |~~>

Definicje spójników implikacyjnych ~~>, => i ~>:
Niech będą dane dwa zbiory lub zdarzenia p i q operujące we wspólnej dziedzinie

1.
p~~>q = p*q - kwantyfikator mały ~~>
Zdarzenia:
Możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
Zbiory:
Istnieje wspólny element zbiorów p i q

2.
p=>q - warunek wystarczający =>
Zdarzenia:
Wymuszam dowolne p i musi pojawić się q
Zbiory:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q

3.
p~>q - warunek konieczny ~>
Zdarzenia:
Zabieram wszystkie p i znika mi q
Zbiory:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q

Matematycznie zachodzi:
p=>q ## p~>q ## p~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Prawa Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
I prawo Kubusia:
Warunek konieczny ~> w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy z warunkiem wystarczającym => w logice dodatniej (bo q)
~p~>~q = p=>q
II prawo Kubusia:
Warunek wystarczający w logice ujemnej (bo ~q) jest tożsamy w warunkiem koniecznym ~> w logice dodatniej (bo q)
~p=>~q = p~>q

O przynależności zdania warunkowego „Jeśli p to q” ze spełnionym warunkiem wystarczającym p=>q lub koniecznym p~>q do konkretnego operatora decyduje zdanie wypowiedziane w logice dodatniej (bo q). Jeśli ktokolwiek wypowie jako pierwsze zdanie „Jeśli p to q” w logice ujemnej (~p=>~q lub ~p~>~q) to musimy to zdanie sprowadzić do logiki dodatniej korzystając z prawa Kubusia, bowiem poniższe definicje operują wyłącznie na zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej, z niezanegowanym następnikiem q.

Definicje operatorów implikacyjnych |=>, |~>, |~~> w spójnikach implikacyjnych =>, ~>, ~~>:

p|=>q - operator implikacji prostej
p=>q=1
p~>q=0
p~~>q=1
Definicja:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p|~>q - operator implikacji odwrotnej
p=>q =0
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1

p<=>q - operator równoważności
p=>q =1
p~>q =1
p~~>q =1
Definicja:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) =1*1 =1

p|~~>q - operator chaosu
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q =1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Matematycznie zachodzi:
p|=>q ## p|=>q ## p|~>q ## p|~~>q
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Przykład 1.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]
Badamy warunek konieczny ~> między tymi samymi punktami:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem zbioru P2=[2,4,6,8..]

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q:
p=>q =1
p~>q =0
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej p|=>q o definicji:
P8=>P2 =1
P8~>P2 =0
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) = 1*~(0) = 1*1 =1
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)

Przykład 2.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie matematyczne:
A.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1
Zauważmy, że wszystkie operatory logiczne mamy zdefiniowane dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” w logice dodatniej (bo q).
Dla naszego zdania A musimy skorzystać z prawa Kubusia, aby uzyskać zdanie tożsame w logice dodatniej (bez zanegowanego następnika).

Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Nasz przykład:
~P2=>~P8 = P2~>P8

Stąd zdanie tożsame do A.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Badamy warunek wystarczający => zachodzący między punktami P2 i P8:
C.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P2=[2,4,6,8..] nie jest podzbiorem => zbioru P8=[8,16,24..]

Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:
p~>q =1
p=>q =0
Definicja:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = 1*~(0) = 1*1 =1

Wniosek:
Warunek konieczny B: P2~>P8 (wraz z tożsamym zdaniem A:~P2=>~P8) jest częścią operatora implikacji odwrotnej P2|~>P8 o definicji:
P2~>P8 =1
P2=>P8 =0
P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8) = 1*~(0) = 1*1 =1

Przykład 3.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi twierdzenie Pitagorasa.
TP.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to na pewno => zachodzi suma kwadratów
TP=>SK =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK
TP~>SK =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów TP=SK

Definicja równoważności p<=>q:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Stąd mamy odpowiedź:
Twierdzenie Pitagorasa jest częścią operatora równoważności:
TP=>SK =1
TP~>SK =1
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP~>SK) = 1*1 =1

Przykład 4.
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~>:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] ma co najmniej jeden element wspólny ze zbiorem P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek wystarczający => między punktami P8 i P3:
P8=>P3 =0
Warunek wystarczający => nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..24..]
Sprawdzamy warunek konieczny ~> między punktami P8 i P3:
P8~>P3 =0
Warunek konieczny ~> nie jest spełniony bo zbiór P8=[8,16,24 ..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..24..]

Definicja operatora chaosu p|~~>q:
p=>q =0
p~>q =0
p~~>q=1
Definicja:
p|~~>q = (p~~>q)*~(p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Wniosek:
Nasze zdanie A: P8~~>P3 wchodzi w skład definicji operatora chaosu P8|~~>P3:
P8|~~>P3 = (P8~~>P3)*~(P8=>P3)*~(P8~>P3) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1

Podsumowując nasze cztery przykłady mamy:
1: P8|=>P2 ## 2: P2|~>P8 ## 3: TP<=>SK ## 4: P8|~~>P3
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Najbardziej interesujące są tu dwa pierwsze człony:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8)*~(P2=>P8)

Prawa Kubusia zachodzące zawsze i wszędzie:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q

Stąd mamy:
1: P8|=>P2 = (P8=>P2 = ~P8~>~P2)*~(P8~>P2) ## 2: P2|~>P8 = (P2~>P8 = ~P2=>~P8)*~(P2=>P8)
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 ## P2~>P8 = ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Stąd mamy:
P8=>P2 ## ~P2=>~P8
gdzie:
## - różne na mocy definicji

Wniosek:
Znane Ziemianom prawo kontrapozycji w tej postaci:
P8=>P2 = ~P2=>~P8
jest fałszywe w implikacji.

Znane Ziemianom prawo kontrapozycji obowiązuje wyłącznie w równoważności:
p=>q = ~q=>~p
Prosty dowód, na gruncie banalnej teorii zbiorów za chwilę


3.0 Operatory implikacyjne w zbiorach

3.1 Operator implikacji prostej p|=>q

Definicja operatora implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]

Definicja tożsama implikacji prostej |=> w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy między punktami p i q zachodzi:
p=>q =1
p~>q =0
Stąd mamy tożsamą definicję implikacji prostej |=> wyrażoną spójnikami implikacyjnymi => i ~>:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..].
Dodatkowo zbiory P8 i P2 nie są tożsame co oznacza, że musi być fałszywy warunek konieczny ~> między punktami P8 i P2.
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 2
P8~>P2 =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]

Wniosek:
Warunek wystarczający A: P8=>P2 jest częścią operatora implikacji prostej |=>:
P8|=>P2 = (P8=>P2)*~[P8=P2] = 1*~(0) = 1*1 =1

Definicja operatora implikacji prostej |=> w zdarzeniach:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q i nie jest tożsame ze zdarzeniem q, co matematycznie zapisujemy ~[p=q]
p|=>q = (p=>q)*~[p=q]
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zawsze gdy pada, jest pochmurno
Wymuszam stan „pada” i na 100” pojawi się stan „chmury”
Dodatkowo pojęcia „pada” i „chmury” nie są tożsame bo nie zawsze gdy są chmury, pada.
Wniosek:
Warunek wystarczający A wchodzi w skład operatora implikacji prostej |=>:
P|=>CH = (P=>CH)*~[P=CH] = 1* ~(0) = 1*1 =1

Diagram implikacji prostej |=> w zbiorach:


Definicję symboliczną operatora implikacji prostej odczytujemy z diagramu:
A.
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo zbiór p jest podzbiorem zbioru q
p=>q = [p*q=p] =1
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B (i odwrotnie)
B.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść ~q
p~~>~q = p*~q =0
Definicja kwantyfikatora małego ~~> nie jest spełniona bo zbiory p i ~q są rozłączne
… a jeśli zajdzie ~p?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
C.
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q
~p~>~q = [~p*~q=~q] =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona bo zbiór ~p jest nadzbiorem ~> zbioru ~q
lub
D.
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
~p~~>q = ~p*q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona bo istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów ~p i q
Warunek konieczny ~p~>q tu nie zachodzi bo prawo Kubusia:
~p~>q = p=>~q = p*~q =0 - bo zbiory p i ~q są rozłączne

Definicja kontrprzykładu:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego A: p=>q nazywamy zdanie B: p~~>~q z zanegowanym następnikiem kodowane kwantyfikatorem małym ~~>
A: p=>q
B: p~~>~q
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu B: p~~>~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego A: p=>q =1 (i odwrotnie)
Prawdziwość kontrprzykładu B: p~~>~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego A: p=>q =0 (i odwrotnie)

Zauważmy, że w implikacji prostej p|=>q po stronie p mamy gwarancję matematyczną =>:
A.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Natomiast po stronie ~p mamy najzwyklejsze „rzucanie monetą”:
Jeśli zajdzie ~p to może ~> zajść ~q (zdanie C) lub może ~~> zajść q (zdanie D)

Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na pewno => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH = P*CH =1
W zapisie formalnym:
p=>q = p*q =1
co matematycznie oznacza:
(p=1)=>(q=1) =1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam padanie i na pewno pojawią się chmury
Padanie daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Prawdziwość warunku wystarczającego A wymusza fałszywość kontrprzykładu B
B.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
P~~>~CH = P*~CH =0 - sytuacja niemożliwa
W zapisie formalnym:
p~~>~q = p*~q =0
co matematycznie oznacza:
(p=1) ~~> (~q=1) =0
… a jeśli jutro nie będzie padało?
Prawo Kubusia:
P=>CH = ~P~>~CH
C.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH = ~P*~CH =1
W zapisie formalnym:
~p~>~q = ~p*~q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~>(~q=1) =1
Brak opadów jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak są opady to na pewno => są chmury
Zauważmy że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~P~>~CH = A: P=>CH
lub
D.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~~> być pochmurno (CH=1)
~P~~>CH = ~P*CH =1 - sytuacja możliwa
W zapisie formalnym:
~p~~>q = ~p*q =1
co matematycznie oznacza:
(~p=1)~~>(q=1) =1
Warunek konieczny ~> nie jest tu spełniony bo prawo Kubusia:
~P~>CH = P=>~CH = P*~CH =0
Prawa strona jest fałszem zatem w zdaniu D nie zachodzi warunek konieczny ~>.

Logika matematyczna człowieka ma tą piękną cechę, że przekłada się w stosunku 1:1 na zapisy formalne (zwyczajowo p, q i Y) niezależne od konkretnego zdania.
Dla naszego przykładu wystarczy podstawić:
p=P
q=CH
i lądujemy w zapisach formalnych.

Kodowanie zero-jedynkowe analizy symbolicznej implikacji prostej p|=>q:

[rafal3006]

...

[rafal3006]

.