 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35536
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 11:24, 01 Lis 2009 Temat postu: Algebra Kubusia - Implikacja v.Beta 11.0 |
|
|
Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).
Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego
Części:
Część I Operatory AND i OR
Część II Implikacja
Część III Nowa teoria implikacji dla zawodowców
Część II
Implikacja
Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję
W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:
Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !
Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą sam się posługuje od 2500 lat, do tej pory bezskutecznie (Emde).
To już historia, bowiem w Internecie pojawił się Kubuś.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej.
Spis treści:
1.0 Notacja
1.1 Podstawowe definicje i prawa algebry Boole’a
1.2 Definicje implikacji prostej i odwrotnej
1.3 Znaczenie spójników „musi” i „może” w algebrze Boole’a
1.3 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
1.4 Aktualny stan matematyki w zakresie implikacji
1.5 Istota najbardziej niezwykłego odkrycia w historii logiki
2.0 Implikacja
2.1 Definicja Implikacji prostej =>
2.2 Definicja implikacji odwrotnej ~>
2.3 Prawa Kubusia
2.4 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji prostej =>
2.5 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji odwrotnej ~>
2.6 Twierdzenie Hipcia
2.7 Logika dodatnia i ujemna w operatorach => i ~>
2.8 Prawa Kubusia w bramkach logicznych
2.9 Prawo kodowania zdań
2.10 Związek algebry Kubusia z kodem zero-jedynkowym
2.10.1 Kodowanie zero-jedynkowe implikacji prostej =>
2.10.2 Kodowanie zero-jedynkowa implikacji odwrotnej ~>
3.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
3.1 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
3.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
3.3 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej
3.4 Kubuś na tropie implikacji prostej
3.5 Operatorowa definicja implikacji prostej
3.6 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
3.7 Gwarancja w implikacji prostej
3.8 O niezbędności operatorów implikacji
4.0 Fundamenty algebry Boole’a
4.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
4.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
4.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)
4.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności
4.5 Prawo Kłapouchego
4.6 Kwadrat logiczny implikacji
4.7 Równoważność
4.8 Kwadrat logiczny równoważności
5.0 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
5.1 Prawo Tygryska
6.0 Kubusiowa tablica logiki
6.1 Równoważność
6.2 Implikacja prosta
6.3 Implikacja odwrotna
6.4 Operatorowa definicja implikacji prostej w praktyce
6.4.1 Gwarancja w implikacji prostej
6.5 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej w praktyce
6.5.1 Gwarancja w implikacji odwrotnej
6.6 Porównanie gwarancji w implikacji prostej i odwrotnej
6.7 Operatorowa definicja równoważności w praktyce
7.0 Obietnice i groźby
7.1 Obietnice
7.2 Groźby
7.3 Znaczenie operatora implikacji odwrotnej ~>
7.4 „Równoważność” w obietnicach i groźbach
8.0 Podsumowanie
8.1 Geneza zero-jedynkowych tabel operatorów logicznych
9.0 Geneza klęski dzisiejszej logiki w obszarze implikacji
9.1 Podsumowanie ponad trzyletniej dyskusji o implikacji na ŚFINII
Wstęp.
Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, odpowiednik języka asemblera ze świata mikroprocesorów, gdzie praktycznie w 100% izolujemy się od kodu zero-jedynkowego, operując naturalną logiką człowieka. Celem tego podręcznika jest udowodnienie związku naturalnej logiki człowieka z zero-jedynkową algebrą Boole’a w obszarze operatorów implikacji prostej=> i odwrotnej ~>.
Implikacja to fundament logiki człowieka od narodzin do śmierci. Zero-jedynkowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> znane są człowiekowi od około 200 lat. Niestety, z powodu błędnej interpretacji kodu zero-jedynkowego matematykom wyszło, iż definicja implikacji odwrotnej ~> jest zbędna.
Kubuś to przybysz ze świata techniki gdzie implikacja nie ma i nie może mieć zastosowania, bowiem w jednej połówce definicji implikacji mamy zawsze przypadkowość czyli „rzucanie monetą”.
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie. Po trzech latach walki z implikacją Kubuś i przyjaciele wreszcie to wszystko rozszyfrowali.
Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu
Symboliczna algebra Kubusia bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki.
Algebra Kubusia to algebra Boole’a z dołączonymi do definicji poprawnymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>.
Nowe, nieznane człowiekowi definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> (oczywiście chodzi tu o interpretacje tabel zero-jedynkowych) plus prawa Kubusia działają doskonale w matematyce, przyrodzie martwej i żywej, groźbach i obietnicach oraz opisują takie pojęcia jak „wolna wola” czy „dobro-zło”. Najśmieszniejszy w całej tej historii jest fakt, że człowiek nie musi się uczyć matematycznej wersji swojej logiki, po prostu ma ją wyssaną z mlekiem matki, wystarczy że będzie logicznie myślał i zapisywał swoje myśli w postaci równań algebry Kubusia w przełożeniu 1/1.
Matematyka języka mówionego zbudowana jest na bardzo prostym aksjomacie rodem z teorii cyfrowych układów logicznych.
Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).
1.0 Notacja
* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(…) - nie może się zdarzyć
# - różne
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)
1.1 Definicje implikacji prostej i odwrotnej
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>
Wnioski z definicji:
Jeśli implikacja prostą p=>q jest prawdziwą (spełniony warunek wystarczający) to po zamianie p i q implikacja odwrotna p~>q też musi być prawdziwa (spełniony warunek konieczny)
Jeśli implikacja odwrotna p~>q jest prawdziwa (spełniony warunek konieczny) to po zamianie p i q implikacja prosta p=>q też musi być prawdziwa (spełniony warunek wystarczający)
Z powyższego wynika że zamiast badać czy zachodzi warunek konieczny w implikacji odwrotnej p~>q można badać czy po zamianie p i q zachodzi warunek wystarczający w implikacji prostej p=>q.
1.2 Znaczenie spójników „musi” i „może” w algebrze Boole’a
Operatorowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
A: p=>q =1
B: p=>~q=0
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
C: ~p~>~q=1
LUB
D: ~p~~>q=1
|
Ostatnie zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda), nie jest to implikacja odwrotna prawdziwa ~p~>q.
Definicja spójnika „musi” w algebrze Boole’a
Z dwóch pierwszych linii definicji operatorowej odczytujemy:
p=>q
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q, bo kolejna linia jest twardym fałszem
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Przy spełnionym warunku wystarczającym, spójnik „musi” gwarantuje prawdziwość zdania. Nie jest tu możliwe, aby implikacja prosta była fałszywa zaś samo zdanie prawdziwe.
Uwaga:
Stwierdzenie warunku wystarczającego między p=>q nie determinuje implikacji prostej, bowiem zdanie może być równoważnością, czyli czymś fundamentalnie innym niż implikacja.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawo kontrapozycji prawdziwe w równoważności:
~p=>~q = q=>p
Stąd równoważna definicja:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
O implikacji prostej przesądza zachodzenie prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
A: p~> q =1
LUB
B: p~~>~q=1
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q= ~p=>~q
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0
|
Linia B: p~~>~q=1 jest prawdziwa na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda)
Definicja spójnika „może” w algebrze Boole’a
Z dwóch pierwszych linii definicji operatorowej odczytujemy:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q, bo kolejna linia również może być prawdziwa
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Przy spełnionym warunku koniecznym, spójnik „może” gwarantuje implikację odwrotną prawdziwą. Może tu zaistnieć przypadek, iż implikacja jest fałszywa, natomiast samo zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”.
Przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, implikacja P3~>P8 jest fałszywa, ale zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda.
Znaczenie „może” w algebrze Boole’a różni się od znaczenia „może” w języku potocznym. W algebrze Boole’a „może” oznacza tylko i wyłącznie możliwość wyboru spośród dwóch możliwości q i ~q. W języku potocznym takich możliwości może być więcej niż dwie, oczywiście nie jest to wówczas dwuwartościowa algebra Boole’a.
1.3 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce
Podstawy algebry Boole’a omówiono szczegółowo w części I podręcznika „Algebra Kubusia - operatory AND i OR”
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1
Definicja równoważna:
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0
Definicja równoważna:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1
Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.
Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).
Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji => i ~>:
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.
Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.
Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.
Przykładowa funkcja logiczna:
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~A*(~B+C)
Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)
Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.
Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.
| Kod: |
p q Y=p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
Najprostsze równanie uzyskamy z linii drugiej bowiem w wyniku mamy tu samotne zero.
Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.
Sposób I
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynki:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=1
q=0 czyli ~q=1
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Sposób II
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Na podstawie równania A mamy:
C.
Y=0
p=1 czyli ~p=0
q=0
Korzystając z A i C na podstawie definicji sumy logicznej mamy:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q
Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla drugiej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.
1.4 Aktualny stan matematyki w zakresie implikacji
W dzisiejszej matematyce funkcjonuje taka definicja implikacji:
Jeśli p to q
p=>q
gdzie:
p - poprzednik
q - następnik
Implikacja to zdanie złożone typu „Jeśli…to…” … nawet nie ma przymiotnika „warunkowe” !
Matematycznie istnieją dwie różne tabele zero-jedynkowe implikacji.
p=>q = ~p+q - implikacja prosta
p~>q = p+~q - implikacja odwrotna
Oczywiście dzisiejsza matematyka akceptuje fakt iż:
p=>q # p~>q
Jednak z powodu fałszywej interpretacji zer i jedynek w definicjach implikacji wychodzi jej że implikacja odwrotna ~> jest zbędna.
Ujmując rzecz całą ściśle matematycznie można udowodnić, że wszystkie operatory logiczne są zbędne za wyjątkiem jednego, NOR albo NAND … nie o to jednak chodzi.
Twierdzenie Kubusia:
W logice niezbędne są tylko i wyłącznie te operatory których człowiek używa w naturalnym języku mówionym czyli: AND(*), OR(+), implikacja prosta =>, implikacja odwrotna ~> plus negacja (~).
Powyższego zestawu operatorów nie należy ani skracać, ani też rozszerzać bo wyjdzie z tego logika-potworek nie mająca nic wspólnego z nieprawdopodobnie prostą i doskonałą, logiką człowieka.
1.5 Istota najbardziej niezwykłego odkrycia w historii logiki
Warunki wystarczający w implikacji prostej p=>q i konieczny w implikacji odwrotnej p~>q wynikają bezpośrednio z dziewiczych definicji zero-jedynkowych tych implikacji, co zobaczymy w pkt. 2.0. Mówią o nich wszelkie podręczniki matematyki do I klasy LO.
Stąd definicje …
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>
Prawa Kubusia zostały udowodnione trzema różnymi metodami przez:
Kubuś (wirtualny Internetowy Miś) - metoda zero-jedynkowa
Wuj (matematyk, dr. Fizyki) - metoda równań algebry Boole’a
Uczy (dr. Filozofii) - metoda nie wprost
Jak widać wyżej, dowód prawa Kubusia jest bezdyskusyjny bo dokonany przez niekwestionowanych ekspertów algebry Boole’a … zresztą, to jest dowód na poziomie 16-to latka więc nie podlega dyskusji.
Twierdzenie Kubusia 1:
Jeśli w dowolnej implikacji prawdziwej, prostej => lub odwrotnej ~>, negujemy argumenty to musimy zmienić operator na przeciwny.
Dowód, prawa Kubusia wyżej.
Twierdzenie Kubusia 2:
Każdy kto twierdzi, iż w implikacji prostej prawdziwej po zanegowaniu argumentów można użyć tego samego operatora logicznego twierdzi że 2+2=5
Dowód, prawa Kubusia wyżej.
Twierdzenie 1 może przybrać ostrzejszą formę …
Twierdzenie Kubusia 1A:
W dowolnej implikacji prostej => prawdziwej wymawiając p=>q automatycznie mówimy ~p~>~q bo to jedna i ta sama definicja zero-jedynkowa.
W dowolnej implikacji odwrotnej ~> prawdziwej wymawiając p~>q automatycznie mówimy ~p=>~q bo to jedna i ta sama definicja zero jedynkowa.
Człowiek ma tu zero do powiedzenia bo to jest matematyka pod która on podlega a nie którą on tworzy.
To jest ta pięta Achillesowa dzisiejszej matematyki
CND
Chrystus:
A.
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z=1
1 1 =1
B.
Kto wierzy we mnie nie będzie zbawiony
W=>~Z=0
1 0 =0
… a jak kto nie wierzy Panie ?
Prawo Kubusia:
W=>Z = ~W~>~Z
czyli:
C.
Kto nie wierzy we mnie ten nie będzie zbawiony
~W~>~Z=1
0 0 =1
LUB
D.
Kto nie wierzy we mnie ten może być zbawiony
~W~~>Z =1
0 1 =1
~~> - zdanie prawdziwe na podstawie naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jeden taki przypadek), nie jest to implikacja odwrotna ~>.
Tabelę zero jedynkową uzyskano kodując:
W=1, ~W=0
Z=1, ~Z=0
Doskonale widać zero-jedynkową definicję implikacji prostej. Na mocy prawa Kubusia zdania A i C są absolutnie równoważne. Implikacja to taki stwór gdzie wymawiając A automatycznie wymawiamy C, albo odwrotnie.
To jedna i ta sama tabela zero-jedynkowa !
Co widać wyżej … stąd prawa Kubusia.
Uwaga:
W naturalnym języku mówionym spójnik implikacji prostej „musi” => jest domyślny i z reguły nie jest wymawiany (zdanie A). Spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> (zdanie C) nie jest domyślny i zawsze jest wymawiany. Wyjątkiem są tu groźby, gdzie spójnik ten jest pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności wobec definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz praw Kubusia które nie mogą być zgwałcone. Jeśli zatem mamy poprawnie zakodowaną obietnicę jako W=>Z to negacja argumentów wymusza zmianę operatora ~W~>~Z czyli matematycznie mamy tu „może” ~>. To jest matematyka pod którą człowiek podlega a nie którą on tworzy, zatem jakiegokolwiek spójnika by nie użył, to w groźbie nie zamieni „może” ~> na cokolwiek innego. Szczegóły w pkt. 7.3.
2.0 Implikacja
Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych. Fundamentem całego świata techniki są zaledwie dwie bramki logiczne AND(*) i OR(+) plus negator. W świecie techniki bramki implikacji prostej => i odwrotnej ~> nie są i nie mogą być używane ze względu na występującą w tych definicjach przypadkowość. Bramki logiczne to graficzna ilustracja algebry Boole’a pozwalająca na lepsze zrozumienie matematycznych przekształceń, z tego powodu najważniejsze przekształcenia matematyczne będą ilustrowane w technice bramek logicznych.
Oczywistość:
Implikacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy spełnia pełną zero-jedynkową definicję implikacji.
2.1 Definicja Implikacji prostej =>
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
Tabela A
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
p=>q=0 wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0
To dziewicza i najstarsza znana człowiekowi definicja implikacji prostej.
Definicję równoważną w równaniu algebry Boole’a łatwo otrzymujemy z drugiej linii sprowadzając wszystkie sygnały do zera i stosując definicję sumy logicznej. Zasady tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnie dużej tabeli zero-jedynkowej omówiono w części pierwszej.
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p+q
Na podstawie tej definicji łatwo konstruujemy bramkę implikacji prostej, którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią p. W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko „O”.
Bramkowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q
| |
-------
|O => |
| OR |
-------
|
p=>q
|
Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy niezanegowaną linię q.
2.2 Definicja implikacji odwrotnej ~>
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
Tabela B
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
|
p~>q=0 wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1
To dziewicza i najstarsza znana człowiekowi definicja implikacji odwrotnej.
Definicję równoważną w równaniu algebry Boole’a łatwo otrzymujemy z ostatniej linii sprowadzając wszystkie sygnały do zera i stosując definicję sumy logicznej.
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = p+~q
Na podstawie tej definicji mamy bramkę implikacji odwrotnej którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią q.
Bramkowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q
| |
-------
| ~> O|
| OR |
-------
|
p=>q
|
Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy zanegowaną linię q.
2.3 Prawa Kubusia
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>
Dowód autorstwa Wuja Zbója:
A.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
B.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
Dla prawej strony korzystamy z definicji operatora implikacji odwrotnej ~> (B):
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
bo:
~(~q)=q - prawo podwójnego przeczenia
p=>q = ~p+q - definicja A
CND
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>
Dla prawej strony korzystamy z definicji implikacji prostej => (A):
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
bo:
~(~p)=p - prawo podwójnego przeczenia
p~>q = p+~q - definicja B
CND
Oczywiście na mocy definicji:
p=>q # p~>q
czyli:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q # p~>q = ~p=>~q = p+~q - na mocy praw Kubusia i definicji implikacji
Dowód prawa Kubusia metoda zero-jedynkową.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>.
Dowód metodą zero-jedynkową:
| Kod: |
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 0
0 0 1 1 1 1
0 1 1 1 0 1
|
Równość kolumn wynikowych trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Drugie z praw Kubusia dowodzi się analogicznie.
2.4 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji prostej
Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej to po prostu rozpisane wszystkie przypadki jakie mogą w przyszłości wystąpić. Najłatwiej to zrozumieć przechodząc na symboliczną definicję implikacji prostej.
Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd symboliczna definicja implikacji prostej;
| Kod: |
p q p=>q
p q =1
p ~q =0
~p ~q =1
~p q =1
|
Z pierwszych dwóch linii widać, że jeśli zajdzie p to „musi” zajść q bo druga linia jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić czyli:
| Kod: |
A: p=>q =1
B: p=>~q=0
|
Wynika z tego że p musi być wystarczające dla q, inaczej druga linia nie będzie twardym fałszem, stąd definicja implikacji prostej.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p musi być wystarczające dla q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” => miedzy p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym.
… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~qLUB
Jeśli zajdzie ~p to może zajść qgdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym.
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
Bycie psem jest wystarczające dla czterech łap, implikacja prosta prawdziwa
Druga linia przybierze tu postać:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
Oczywisty fałsz bo wszystkie psy mają cztery łapy. Psy kalekie z inną ilością łap służą do obalania logiki (w wariatkowie), dlatego musimy je z logiki usunąć, mając świadomość że takie istnieją.
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap, implikacja odwrotna prawdziwa.
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
To zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda), nie jest to implikacja odwrotna.
Operatorowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
A: p=>q =1
B: p=>~q=0
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
C: ~p~>~q=1
LUB
D: ~p~~>q=1
|
Ostatnie zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda), nie jest to implikacja odwrotna prawdziwa ~p~>q.
Dowód nie wprost:
Załóżmy, że ~p~>q jest implikacja odwrotną prawdziwą.
Obowiązuje wówczas prawo Kubusia:
| Kod: | | D:~p~>q = B:p=>~q =0 |
Zdanie B jest oczywistym fałszem, zatem D nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
CND
Ostatnie zdanie jest prawdziwe na mocy równania:
(~p~>q) + (~p~~>q) = 0 + 1 =1
Czyli implikacja odwrotna ~p~>q jest fałszywa, ale zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~p~~>q (wystarczy jedna prawda)
Sens implikacji prostej:
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko p=>~q=0, pozostałe będą pełne, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w definicji implikacji. Najważniejsze w implikacji prostej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna p=>q=1.
2.5 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji odwrotnej
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
|
Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd symboliczna definicja implikacji odwrotnej;
| Kod: |
p q p~>q
p q =1
p ~q =1
~p ~q =1
~p q =0
|
Z pierwszych dwóch linii widać że:
Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
LUB
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
Z powyższego wynika, że p musi być warunkiem koniecznym dla q inaczej pierwsza linia będzie twardym fałszem, implikacja odwrotna będzie fałszywa.
Przykład:
Jeśli zwierze ma skrzydła to może być psem
S~>P=0
Skrzydła nie są konieczne dla psa, implikacja oczywiście fałszywa
Stąd definicja implikacji odwrotnej.
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być konieczne dla q
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym.
Zauważmy, że jeśli p jest konieczne dla q (pierwsza linia) to zajście ~p wymusza zajście ~q. Stąd w sposób naturalny otrzymaliśmy dowód prawa Kubusia.
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Kolejne dwie linie tabeli to oczywiście operator implikacji prostej =>, spójnik „musi”.
| Kod: |
C:~p=>~q =1
D:~p=>q =0
|
Twarda prawda w linii C wymusza fałsz w linii D.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
Cztery łapy są konieczne dla psa, implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
A: p~> q =1
LUB
B: p~~>~q=1
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q= ~p=>~q
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0
|
Linia B: p~~>~q=1 jest prawdziwa na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda)
Zauważmy, że implikacja odwrotna w linii B jest wykluczona na mocy prawa Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest oczywistym fałszem, zatem implikacja B: p~>~q nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Zdanie B jest prawdziwe na mocy tego równania:
(p~>~q) + (p~~>~q) = 0 + 1 =1
Implikacja odwrotna p~>~q jest fałszywa, ale całe zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~>, wystarczy jedna prawda.
Sens implikacji odwrotnej:
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko ~p=>q=0, pozostałe będą pełne, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w definicji implikacji. Najważniejsze w implikacji odwrotnej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna ~p=>~q=1.
2.6 Twierdzenie Hipcia
Twierdzenie Hipcia:
Prawa Kubusia są poprawne w implikacji i fałszywe w równoważności
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji
Kluczowy jest tu dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji, wszystko inne jest oczywistością.
Punkt odniesienia p=>q
Implikacja prosta => i odwrotna ~>, wersja ze sztywnym punktem odniesienia ustawionym na implikacji prostej p=>q.
Założenie:
p=>q - implikacja prosta prawdziwa, czyli spełniony warunek wystarczający między p i q
q~>p - implikacja odwrotna prawdziwa powstała po zamianie p i q.
Zachodzenie warunku wystarczającego w kierunku p=>q wymusza warunek konieczny w kierunku q~>p.
Przykład implikacji matematycznej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „musi” => być podzielna przez 2
P8=>P2
p=>q
Implikacja prosta prawdziwa bo P8 jest wystarczające dla P2
Po zamianie p i q przy sztywnym punkcie odniesienia ustalonym wyżej na p=>q mamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
q~>p
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8
Oczywiście na mocy definicji mamy:
P8=>P2 # P2~>P8
bo operator => to zupełnie co innego niż operator ~>
Dla prawej strony korzystamy z prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
… i mamy dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji dla sztywnego punktu odniesienia p=>q:
p=>q # ~q => ~p
CND
Punkt odniesienia „Jeśli…to…”
Wyłącznie ta wersja jest zgodna z definicjami implikacji prostej p=>q i odwrotnej p~>q.
Implikacja prosta => i odwrotna ~>, wersja z punktem odniesienia ustawionym zawsze na zdaniu wypowiedzianym „Jeśli…to…” czyli po „Jeśli” zawsze mamy p zaś po „to” zawsze jest q.
Ten sam przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „musi” => być podzielna przez 2
P8=>P2
p=>q
Implikacja prosta prawdziwa bo P8 jest wystarczające dla P2
Po zamianie p i q mamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
p~>q
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8
Zauważmy coś bardzo ważnego:
q~>p = P2~>P8 - zdanie B widziane z punktu odniesienia p=>q
p~>q = P2~>P8 - zdanie B widziane z punktu odniesienia „Jeśli…to…”
Prawe strony są identyczne zatem:
q~>p (punkt odniesienia p=>q) = p~>q (punkt odniesienia „Jeśli…to…”)
Oczywiście na mocy definicji mamy:
P8=>P2 # P2~>P8
czyli:
p=>q # p~>q
bo operator => to zupełnie co innego niż operator ~>
Wyłącznie ta wersja jest zgodna z definicjami:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
W tym miejscu matematycy klasyczni będą protestować.
Zauważmy bowiem, że po obu stronach nierówności mamy różne znaczenie parametrów formalnych p i q.
Lewa strona:
p=P8, q=P2
Prawa strona:
p=P2, q=P8
Odpowiedź Kubusia:
Panowie, algebra Boole’a to algebra bramek logicznych (tu Kubuś jest ekspertem) mająca zero wspólnego z matematyką klasyczną (całki, ekstrema itp). Prawa algebry Boole’a nie muszą pokrywać się z prawami matematyki klasycznej.
Od strony matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Definicja implikacji prostej:
p=>q
p musi być wystarczające dla q
W przełożeniu na nasz przykład mamy.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
p=>q - definicja implikacji prostej
czyli:
p=P8, q=P2
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
Nasz przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
p~>q
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8
p~>q - definicja implikacji odwrotnej
czyli:
p=P2, q=P8
Jak widać, literki p i q na mocy odpowiednich definicji są dokładnie tam gdzie być powinny.
Zauważmy, że przy prawidłowym punkcie odniesienia ustawionym zawsze na zdaniu wypowiedzianym, czyli po „Jeśli…” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q prawo kontrapozycji nie zachodzi w zapisie ogólnym:
p=>q =~p~>~q = ~p+q # p~>q = ~p=>~q = p+~q
Dla naszego przykładu mamy:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8
Z ostatniego zapisu widać, że brak przemienności w operatorach implikacji przenosi się na brak przemienności w operatorach OR i AND wynikających z definicji implikacji co jest oczywiste bowiem:
A.
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2)
W ostatnim przekształceniu skorzystano z prawa de’Morgana
Gwarancja:
P8=>P2
Liczby 8,16,24 … na pewno są podzielna przez 8
LUB
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
Gwarantowane liczby:
8,16,24 …
B.
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8)
Gwarancja:
~P2=>~P8
Liczby 1,3,5,7 … na pewno nie są podzielne przez 8
LUB
~(~P2*P8)
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8
Gwarantowane liczby:
1,3,5,7 …
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna. Gwarancja A nie jest równoważna gwarancji B bowiem nie ma tu wzajemnego uzupełniania się zbiorów, jak to jest w równoważności.
Poza obiema gwarancjami jest trzeci zbiór liczb podzielnych przez 2 i niepodzielnych przez 8.
C.
Liczby 2,4,6 ….
Oczywiście gwarancje wynikające z praw Kubusia są identyczne bo tu zachodzi tożsamość matematyczna, co widać wyżej.
Przykład implikacji ze świata martwego:
Jeśli jutro będzie padać to na pewno => będzie pochmurno
P=>CH
Padanie jest warunkiem wystarczającym dla chmur, zatem implikacja prosta prawdziwa
Gwarancja:
A.
Jeśli pada to na pewno chmury
Po zamianie p i q prawdziwa implikacja prosta musi przejść w prawdziwą implikację odwrotną
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~>padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym dla deszczu, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa.
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
czyli:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na pewno => nie będzie padać
~CH=>~P
Gwarancja:
B.
Brak chmur to na pewno nie pada
Poza gwarancją jest tu przypadek kiedy:
C.
Jest pochmurno i nie pada
W implikacji gwarancje A i B są różne, tu na mocy odpowiednich definicji mamy:
P=>CH # CH~>P = ~CH=>~P
Gwarancje wynikające z praw Kubusia są oczywiście identyczne.
Przykład implikacji ze świata żywego:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
Gwarancja wynika tu z prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
Gwarancja:
A.
Zwierzęta nie mające czterech łap na pewno nie są psami np. kura, mrówka, waż …
Po zamianie p i q prawdziwa implikacja odwrotna przechodzi w prawdziwą implikację prostą.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Gwarancja:
B.
Jeśli pies to na pewno cztery łapy
Poza gwarancją są zwierzęta które mają cztery łapy i nie są psami:
C.
słoń, koń, lis …
Oczywiście na mocy definicji mamy:
A # B
czyli:
4L~>P = ~4l=>~P # P=>4L = ~P~>~4L
Jak widać wyżej gwarancje po obu stronach nierówności są różne, natomiast gwarancje wynikające z praw Kubusia są oczywiście identyczne.
Równoważność byłaby tu wtedy i tylko wtedy gdyby nie było zbioru C czyli na ziemi istniałyby wyłącznie psy i nie było ani jednego innego zwierzaka z czterema łapami.
2.7 Logika dodatnia i ujemna w operatorach => i ~>
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.
Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.
2.8 Prawa Kubusia w bramkach logicznych
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być wystarczające dla q
Stąd bramka implikacji prostej to układ logiczny OR z zanegowanym w środku bramki wejściem p.
| Kod: |
Bramka „musi” =>
p q
| |
| |
-------
|O => |
|musi |
|OR |
-------
|
|
p=>q
|
Stojąc na przewodzie p (punkt odniesienia) widzimy niezanegowaną linię q
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być konieczne dla q
Stąd bramka implikacji odwrotnej to układ logiczny OR z zanegowanym w środku bramki wejściem q.
| Kod: |
Bramka „może” ~>
p q
| |
| |
-------
| ~> O|
|może |
|OR |
-------
|
|
p~>q
|
Stojąc na przewodzie p (punkt odniesienia) widzimy zanegowaną linię q
Układ zastępczy bramki implikacji prostej
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
| Kod: |
p q p q p q
| | | | | |
| | O O O O
| | |~p |~p |~p |~q
| | O O | |
| | |p |q | |
------- ------- -------
|O => | = |O => | = | ~> O|
|musi | |musi | |może |
|OR | |OR | |OR |
------- ------- -------
| | |
A B C
p=>q p=>q ~p~>~q
|
Na schemacie B wprowadzamy w linie wejściowe po dwie negacje.
Oczywiście układ nie ulegnie zmianie zgodnie z prawem podwójnego przeczenia.
p=~(~p)
Na rysunku C wpychamy po jednej negacji do środka bramki OR.
Negacja z wejście p przemieści się na wejście q (bo ~(~p)=p), zaś bramka stanie się bramką implikacji odwrotnej zgodnie z jej definicją bramkową wyżej.
Bramka A jest równoważna bramce C czyli:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia
To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej:
| Kod: |
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1 0 0 =1
1 0 =0 0 1 =0
0 0 =1 1 1 =1
0 1 =1 1 0 =1
|
Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramka implikacji prostej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji odwrotnej.
Układ zastępczy bramki implikacji odwrotnej ~>
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
| Kod: |
p q p q p q
| | | | | |
| | O O O O
| | |~p |~p |~p |~q
| | O O | |
| | |p |q | |
------- ------- -------
| ~> O| = | ~> O| = |O => |
|może | |może | |musi |
|OR | |OR | |OR |
------- ------- -------
| | |
A B C
p~>q p~>q ~p=>~q
|
Bramka A jest równoważna bramce C czyli:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia
To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej:
| Kod: |
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
1 1 =1 0 0 =1
1 0 =1 0 1 =1
0 0 =1 1 1 =1
0 1 =0 1 0 =0
|
Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramka implikacji odwrotnej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji prostej.
Zauważmy, że w przypadku praw Kubusia (w przeciwieństwie do praw de’Morgana) na wyjściu bramki nie musieliśmy wprowadzać dwu negatorów. Wstawiamy tu wyłącznie po dwie negacje w linie wejściowe co oczywiście również nie zmienia w żaden sposób układu cyfrowego.
Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
p=>q # p~>q
czyli:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q # p~>q = ~p=>~q = p+~q - na mocy praw Kubusia
2.9 Prawo kodowania zdań
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
Dowód zero-jedynkowy:
| Kod: |
Tabela A Tabela A1
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1 0 0 =1
1 0 =0 0 1 =0
0 0 =1 1 1 =1
0 1 =1 1 0 =1
|
Po lewej stronie mamy tu tabelę zero-jedynkowa implikacji prostej A, natomiast po prawej stronie tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej A1. Linie w tabeli implikacji możemy dowolnie przestawiać, przestawmy w tabeli A1 dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi.
| Kod: |
Tabela B Tabela B1
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1 1 1 =1
1 0 =0 1 0 =1
0 0 =1 0 0 =1
0 1 =1 0 1 =0
|
Zauważmy teraz, że tabela implikacji prostej B zakodowana jest w logice dodatniej:
p=1, ~p=o
q=1, ~q=0
Natomiast tabela implikacji odwrotnej B1 zakodowana jest w logice ujemnej:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Zero-jedynkowo tabela implikacji prostej => jest czymś zupełnie innym niż zero-jedynkowa tabela implikacji odwrotnej.
Prawo kodowania zdań
Dowolne zdanie nowo wypowiedziane traktujemy jako prawdziwe nadając mu wstępnie 1 1 =1.
Oczywiście wcale nie musi być to zdanie prawdziwe, co możemy stwierdzić analizując zdanie.
Przykład z powyższej tabeli.
Zdanie wypowiedziane B:
p=>q =1
1 1 =1
Zdanie wypowiedziane B1:
~p~>~q=1
1 1 =1
Twierdzenie Kubusia:
Świat wygląda różnie z różnych punktów odniesienia, aby porównywać cokolwiek z czymkolwiek należy wpierw ustalić wspólny punkt odniesienia.
Wynika z tego, że aby porównywać w tabeli B/B1 zero-jedynkowe tabele p=>q i ~p~>~q musimy je sprowadzić do tego samego punktu odniesienia czyli p i q albo ~p i ~q. Oczywiście z punktu odniesienia p i q obie tabele będą tabelami zero-jedynkowymi implikacji prostej =>, natomiast z punktu odniesienia ~p i ~q tabele będą tabelami implikacji odwrotnej ~>.
Sprowadzenie tabeli B1 do punktu odniesienia p i q:
| Kod: |
Tabela C Tabela C1
p q p=>q p q p=>q
1 1 =1 0 0 =1
1 0 =0 0 1 =1
0 0 =1 1 1 =1
0 1 =1 1 0 =0
|
W tabeli B1 usunęliśmy negacje z ~p i ~q co wymusiło zmianę zer i jedynek na wartości przeciwne, otrzymaliśmy tabelę C1. Oczywiście tabele C i C1 są identyczne bo linie możemy dowolnie przestawiać, to tabele implikacji prostej => co jest dowodem poprawności praw Kubusia.
Sprowadzenie tabeli B do punktu odniesienia ~p i ~q:
| Kod: |
Tabela D Tabela D1
~p ~q ~p~>~q ~p ~q ~p~>~q
0 0 =1 1 1 =1
0 1 =0 1 0 =1
1 1 =1 0 0 =1
1 0 =1 0 1 =0
|
Tym razem w tabeli B zanegowaliśmy sygnały p i q co wymusiło zmianę zer i jedynek na przeciwne wartości, otrzymaliśmy tabelę D. Tabele zero-jedynkowe D i D1 są identyczne bo linie możemy dowolnie przestawiać, to tabele implikacji odwrotnej ~> co jest dowodem poprawności praw Kubusia.
To samo co wyżej zdecydowanie lepiej widać na przykładzie definicji operatorowych implikacji prostej => i odwrotnej ~> co zobaczymy w kolejnym punkcie.
2.10 Związek algebry Kubusia z kodem zero-jedynkowym
Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, naturalna logika człowieka, w której w 100% izolujemy się od kodu zero-jedynkowego, identycznie jak to ma miejsce w języku asemblera dowolnego mikroprocesora.
Mikroprocesor zna wyłącznie zera i jedynki. W jaki zatem sposób wykonuje program napisany przez człowieka w symbolicznym języku asemblera ?
Odpowiedź jest tu prosta:
Każdy program napisany w dowolnym języku symbolicznym (nie tylko w asemblerze) musi zostać przetłumaczony na ciąg zer i jedynek zrozumiały dla mikroprocesora. Takie tłumaczenie można wykonać ręcznie na podstawie listy rozkazów mikroprocesora albo przy pomocy samego mikroprocesora. Oczywiście w praktyce wszyscy korzystają z drugiej możliwości, bowiem ręczne kodowanie długich programów to po prostu horror.
Fundamentem logiki człowieka od narodzin do śmierci jest implikacja, przypomnijmy sobie definicje.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>
Definicja operatorowa implikacji prostej =>:
| Kod: |
p=> q =1
p=>~q =0
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
~p~>~q =1
~p~~>q =1
|
Definicja operatorowa implikacji odwrotnej ~>:
| Kod: |
p~> q =1
p~~>~q =1
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
~p=>~q =1
~p=> q =0
|
Analiza dowolnego zdania „Jeśli…to…” przez odpowiednią definicję operatorową daje nam odpowiedź czy dane zdanie jest implikacja prostą=>, implikacją odwrotną ~> albo jest implikacją fałszywą, czyli nie uzyskujemy odpowiednich tabel zero-jedynkowych.
2.10.1 Kodowanie zero-jedynkowe implikacji prostej =>
Legenda:
LD - kodowanie w logice dodatniej
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
LU - kodowanie w logice ujemnej
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Wypowiedziane zdanie:
p=>q
Załóżmy, że zdanie p=>q jest implikacją prostą prawdziwą, czyli między p i q występuje warunek wystarczający.
| Kod: |
Tabela A_LD
p=> q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
~p~>~q =1
0 0 =1
~p~~>q =1
0 1 =1
|
Prawo kodowania zdań:
Dowolne zdanie nowo wypowiedziane traktujemy jako prawdziwe nadając mu wstępnie 1 1 =1 co widać w tabeli wyżej.
Oczywiście wcale nie musi być to zdanie prawdziwe, co możemy stwierdzić analizując zdanie. Przykładowo, jeśli ktoś wypowie drugą linię tabeli to fałsz stwierdzimy natychmiast i bez problemu.
Na podstawie pierwszej linii tabeli (zdanie wypowiedziane) mamy logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Załóżmy teraz, że ktoś wypowiedział trzecia linię powyższej tabeli, oczywiście również implikację prawdziwą.
Zdanie wypowiedziane:
~p~>~q
Załóżmy, że jest to implikacja odwrotna prawdziwa, czyli między ~p i ~q występuje warunek konieczny.
| Kod: |
Tabela B_LU
~p~>~q =1
1 1 =1
~p~~>q =1
1 0 =1
p=> q =1
0 0 =1
p=>~q =0
0 1 =0
|
Doskonale widać wyżej tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla parametrów ~p i ~q.
Tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej uzyskaliśmy na podstawie pierwszej linii (zdanie wypowiedziane) kodując tabelę w logice ujemnej.
~p=1, p=0
~q=1, q=0
Powyższa tabela jest oczywiście równoważna implikacji prostej p=>q na mocy prawa Kubusia:
~p~>~q = p=>q
co łatwo udowodnić przyjmując w kodowaniu tabeli B logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
| Kod: |
Tabela B_LD
~p~>~q =1
0 0 =1
~p~~>q =1
0 1 =1
p=> q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
|
Oczywiście tabele A_LD i B_LD są identyczne bo linie możemy dowolnie przestawiać, tu przestawiono dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi.
Zauważmy coś niezwykle ciekawego.
Analiza symboliczna we wszystkich trzech tabelach A_LD, B_LU i B_LD jest identyczna, jednak na poziomie zero-jedynkowym tabela B_LU jest inna niż tabele A_LD i B_LD.
O co tu chodzi ?
Jak nie wiadomo o co chodzi to chodzi o pieniądze … albo o punkt odniesienia.
Poniższe twierdzenie nie jest dla Kubusia nowością, na poziomie zer i jedynek pisał o tym w podręczniku techniki cyfrowej już 25 lat temu.
Twierdzenie Kubusia:
Świat wygląda różnie z różnych punktów odniesienia, aby porównywać cokolwiek z czymkolwiek należy wpierw ustalić wspólny punkt odniesienia.
Wynika z tego, że aby porównywać powyższe tabele musimy je sprowadzić do tego samego punktu odniesienia czyli p i q albo ~p i ~q. Oczywiście z punktu odniesienia p i q tabele A, B będą tabelami zero-jedynkowymi implikacji prostej =>, natomiast z punktu odniesienia ~p i ~q tabele zero-jedynkowe A, B będą tabelami implikacji odwrotnej ~>.
Zobaczmy ten ostatni przypadek kodując tabelę A w logice ujemnej:
~p=1, p=0
~q=1, q=0
| Kod: |
Tabela A_LU
p=> q =1
0 0 =1
p=>~q =0
0 1 =0
~p~>~q =1
1 1 =1
~p~~>q =1
1 0 =1
|
Tym razem tabele zero-jedynkowe B_LU i A_LU są identyczne bowiem linie możemy dowolnie przestawiać, tu przestawiono dwie pierwsze z dwoma ostatnimi. Doskonale tu widać, dlaczego od poziomu zer i jedynek niemożliwe było rozszyfrowania implikacji którą posługują się ludzie.
Twierdzenie Kubusia:
Poprawna logika nie powinna zależeć od zer i jedynek. Przejście z logiki symbolicznej (algebry Kubusia) do kodu zero-jedynkowego może zostać wykonane w dowolnej logice, dodatniej albo ujemnej.
Kodowanie w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
Kodowanie w logice ujemnej:
~p=1, p=0
Podobny do powyższego przykład ze świata fizyki …
Definicja napięcia:
Napięcie to różnica dwóch potencjałów elektrycznych mierzonych (liczonych) względem tego samego punktu odniesienia
Uab = Va-Vb
Czyli potencjały Va i Vb musza być mierzone (liczone) względem tego samego punktu X, Y, Z ... Nie wolno zmierzyć potencjału Va względem X, zaś Vb względem Y bo wyjdą kosmiczne głupoty a nie właściwe napięcie Uab.
2.10.2 Kodowanie zero-jedynkowe implikacji odwrotnej ~>
Postępujemy tu identycznie jak z implikacją prostą.
Zdanie wypowiedziane:
p~>q
Załóżmy, że jest to implikacja odwrotna prawdziwa czyli między p i q występuje warunek konieczny. Oczywiście dla dowolnego zdania nowo wypowiedzianego przyjmujemy ciąg 1 1=1 zakładając wstępnie, że jest ono prawdziwe.
| Kod: |
Tabela C_LD
p~> q =1
1 1 =1
p~~>~q =1
1 0 =1
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0
|
Na podstawie pierwszej linii mamy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Stąd tabela zero-jedynkowa implikacji odwrotnej doskonale widoczna wyżej.
Załóżmy teraz, że ktoś wypowiedział trzecią linię powyższej tabeli czyli mamy zdanie wypowiedziane:
~p=>~q
Zakładamy, że jest to implikacja prosta prawdziwa czyli między ~p i ~q występuje warunek wystarczający.
| Kod: |
Tabela D_LU
~p=>~q =1
1 1 =1
~p=> q =0
1 0 =0
p~> q =1
0 0 =1
p~~>~q =1
0 1 =1
|
Na podstawie pierwszej linii tabeli (zdanie wypowiedziane) mamy:
~p=1, q=0
~q=1, q=0
Wedle tego kodujemy pozostałe linie analizy symbolicznej i otrzymujemy tabelę zero-jedynkową implikacji prostej w odniesieniu do sygnałów ~p i ~q, co doskonale widać wyżej.
Oczywiście tabele zero-jedynkowe C_LD i D_LU są różne bowiem są widziane z różnych punktów odniesienia:
Tabela C_LD - punkt odniesienia p i q
Tabela D_LU - punkt odniesienia ~p i ~q
Sprowadźmy teraz tabelę D_LU do punku odniesienia w logice dodatniej czyli przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
| Kod: |
Tabela D_LD
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0
p~> q =1
1 1 =1
p~~>~q =1
1 0 =1
|
Przestawmy teraz dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi:
| Kod: |
Tabela D_LD
p~> q =1
1 1 =1
p~~>~q =1
1 0 =1
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0
|
Doskonale widać identyczność tabel zero-jedynkowych C_LD i D_LD. Tabele zero-jedynkowe to oczywiście definicja implikacji odwrotnej.
Przykład z życia wzięty …
Bush do Husajna:
Jeśli nie wycofasz się z Kuwejtu uderzymy na Irak
~W~>U =1
To jest groźba zatem podlega pod implikacje odwrotną.
Analiza matematyczna:
Jeśli nie wycofasz się z Kuwejtu mogę ~> uderzyć na Irak
~W~>U =1
LUB
Jeśli nie wycofasz się z Kuwejtu to mogę~ ~> nie uderzyć na Irak
~W~~>~U =1
Jak widać implikacja odwrotna gwarantuje Bushowi wolną wolę, cokolwiek by nie zrobił to nie zostanie kłamcą, ale …
Prawo Kubusia:
~W~>U = W=>~U
czyli:
Jeśli wycofasz się z Kuwejtu to na pewno => nie uderzymy na Irak
W=>~U =1 - gwarancja matematyczna
Jeśli wycofasz się z Kuwejtu to na pewno => uderzymy na Irak
W=>U =0
Aby złamać powyższą gwarancje Bush musi ogłosić całemu światu:
Husajn wycofał się z Kuwejtu, uderzam na Irak z powodu że Husajn wycofał się z Kuwejtu
… jak widać, jest to nieprawdopodobnie silna gwarancja, aby ją złamać trzeba być idiotą jak wyżej.
Przepiszmy tabelę operatorową powyższej analizy:
| Kod: |
~W~> U =1
~W~~>~U =1
W=> ~U =1
W=> U =0
|
Zdanie wypowiedziane (kodujemy 1 1 =1), implikacja odwrotna prawdziwa brzmi:
~W~>U=1
1 1 =1
stąd dla kodowania powyższej tabeli mamy:
~W=1, W=0
U=1, ~U=0
czyli:
| Kod: |
Tabela A_LD
~W~> U =1
1 1 =1
~W~~>~U =1
1 0 =1
W=> ~U =1
0 0 =1
W=> U =0
0 1 =0
|
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.
CND
Oczywiście z punktu odniesienia zanegowanych sygnałów wejściowych czyli po przyjęciu:
~W=0, W=1
U=0, ~U=1
Będziemy mieli do czynienia z tabelą zero-jedynkową implikacji prostej:
| Kod: |
Tabela A_LU
~W~> U =1
0 0 =1
~W~~>~U =1
0 1 =1
W=> ~U =1
1 1 =1
W=> U =0
1 0 =0
|
Husajn do Busha:
… a jeśli wycofam się z Kuwejtu ?
Prawo Kubusia:
~W~>U = W=>~U
Odpowiedź Busha:
Jeśli wycofasz się z Kuwejtu to nie uderzymy na Irak
W=>~U
… z powodu że wycofałeś się z Kuwejtu.
Tylko tyle i aż tyle gwarantuje implikacja odwrotna ~W~>U. Jeśli Husajn wycofa się z Kuwejtu to Bush będzie musiał szukać innego powodu ataku na Irak … jeśli bardzo chce uderzyć.
W tabeli A_LU przestawiamy dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi i mamy matematyczną obsługę ostatniego zdania wypowiedzianego przez Busha.
| Kod: |
Tabela A_LU
W=> ~U =1
1 1 =1
W=> U =0
1 0 =0
~W~> U =1
0 0 =1
~W~~>~U =1
0 1 =1
|
Doskonale widać tu tabelę zero-jedynkową implikacji prostej W=>~U.
CND
Oczywiście tabela A_LD i A_LU są matematycznie równoważne, aby to udowodnić musimy spojrzeć na nie z tego samego punktu odniesienia.
Dowód:
Sprowadzamy tabele A_LU do logiki dodatniej przyjmując sygnały przeciwne do sygnałów w pierwszej linii powyższej tabeli czyli:
W=0, ~W=1
~U=0, U=1
Stąd otrzymujemy tabele A_LD_1 w logice dodatniej.
| Kod: |
Tabela A_LD_1
W=> ~U =1
0 0 =1
W=> U =0
0 1 =0
~W~> U =1
1 1 =1
~W~~>~U =1
1 0 =1
|
Oczywiście linie w tabeli możemy dowolnie przestawiać. Przestawmy dwie pierwsze z dwoma ostatnimi.
| Kod: |
Tabela A_LD_1
~W~> U =1
1 1 =1
~W~~>~U =1
1 0 =1
W=> ~U =1
0 0 =1
W=> U =0
0 1 =0
|
Doskonale widać, że tabela A_LD_1 jest identyczna jak tabela A_LD zatem prawo Kubusia działa doskonale.
Ciąg dalszy dalej …
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35536
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 11:26, 01 Lis 2009 Temat postu: |
|
|
3.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
Nadszedł czas weryfikacji algebry Kubusia, której podstawy przed chwilą poznaliśmy. Dotychczas poznaliśmy algebrę Kubusia poczynając od tabel zero-jedynkowych, poprzez definicje symboliczne dochodząc do definicji operatorowych. W tym punkcie zrobimy dokładnie odwrotnie, czyli poczynając od naturalnego języka przedszkolaka czyli definicji operatorowych zejdziemy w dół aż do definicji zero-jedynkowych. Ten sposób podejścia był kluczem do rozwiązania problemu implikacji którą posługują się ludzie.
Udajmy się zatem do przedszkola, aby upewnić się czy dzieciaki znają algebrę Kubusia. Zadaniem dzieci będzie określenie które z wypowiedzianych zdań jest prawdziwe a które fałszywe. Zdania oczywiście będą tendencyjne, bo wymawia je Kubuś. Na początek Kubuś postanowił sprawdzić jak reagują dzieci na implikację odwrotną. Poprosił je, aby przy określaniu czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe brały pod uwagę wyłącznie psy zdrowe, z czterema łapami.
Kubuś:
A1:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P = 1 - zdanie prawdziwe bo pies, tu żaden przedszkolak nie miał wątpliwości.
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
A2:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P = 1 - zdanie prawdziwe bo słoń, koń, kot, lis, hipopotam …. przekrzykiwały się dzieci
Kubuś:
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Dzieciaki:
A3:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - zdanie oczywiście prawdziwe
Kubuś:
A4:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P = 0 - kłamstwo, fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy … zgodnym chórem krzyknęły dzieci
Hmm … pomyślał Kubuś, dzieciaki doskonale znają matematyczną wersję implikacji odwrotnej, aby upewnić się czy to prawda, zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.
Dzieci ani razu nie popełniły błędu !
Zauważmy, że w zdaniu A1 cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Mamy tu bezpośredni dowód prawa Kubusia.
A1: 4L~>P= A3: ~4L=>~P
Zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) ale na pewno nie jest implikacją.
Dlaczego ?
Wyrocznią są tu prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności).
Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zdanie A2: 4L~>~P jest implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawo Kubusia:
A2: 4L~>~P = A4: ~4L=>P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
A4: ~4L=>P =0
Zdanie A4 jest na pewno fałszywe, zatem wobec zachodzącej tożsamości implikacja A2 musi być także fałszywa, czyli nie zachodzi tu warunek konieczny.
Prawdziwość zdania A2 opisuje wzór:
(4L~>~P) +( 4L~~>~P) = 0+1=1
Implikacja odwrotna (4L~>~P) na mocy prawa Kubusia jest tu oczywiście fałszywa, ale zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda, tu np. słoń).
3.1 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
Zapiszmy teraz powyższe zdania wyłącznie w postaci operatorowej, czyli przy pomocy operatorów „musi” (=>) i „może” (~> lub ~~>)
| Kod: |
4L P Y=4L~>P ~Y=~(4L~>P)
4L ~> P = 1 0
4L~~>~P = 1 0
~4L=> ~P = 1 0
~4L => P = 0 1
|
gdzie:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe
W matematyce nie operujemy na konkretnych przykładach, lecz na zapisach formalnych. Powszechnie przyjętym standardem są w implikacji literki p i q.
Jeśli p to q
p - poprzednik
q - następnik
Przepiszmy zatem powyższą tabelę podstawiając:
4L=p, P=q
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
p ~> q = 1 0
p~~>~q = 1 0
~p=> ~q = 1 0
~p => q = 0 1
|
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p musi być konieczne dla q, inaczej pierwsza linia definicji operatorowej jest twardym fałszem, zdanie na pewno nie jest implikacją odwrotną.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P=0
Oczywisty twardy fałsz bo skrzydła nie są warunkiem koniecznym dla psa.
Po opuszczeniu operatorów w powyższej definicji otrzymujemy symboliczną definicję implikacji odwrotnej .
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
p q = 1 0
p ~q = 1 0
~p ~q = 1 0
~p q = 0 1
|
Najprostszą definicję implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a otrzymujemy z ostatniej linii tabeli.
Wystąpi fałsz (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i zajdzie q.
~Y= ~p*q
Kiedy wystąpi prawda ?
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+).
Y=p+~q
stąd …
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
Y= p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana
Wystąpi prawda (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że zajdzie ~p i zajdzie q.
3.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
Zero jedynkowa definicja implikacji odwrotnej to w dniu dzisiejszym zabytek klasy zerowej. Wszyscy ludzie na ziemi od przedszkolaka po profesora posługują się biegle operatorową definicją implikacji odwrotnej. Nie ma potrzeby przechodzenia do zero-jedynkowej definicji implikacji odwrotnej.
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
p ~> q = 1 0
p~~>~q = 1 0
~p=> ~q = 1 0
~p => q = 0 1
|
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia obowiązuje w obrębie samej definicji implikacji, zatem implikacja odwrotna to w pierwszej części rzucanie monetą p~>q, zaś w drugiej części pewne wynikanie ~p=>~q.
Zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej otrzymujemy opuszczając operatory oraz przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
1 1 1 0
1 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 1
|
Najprostsze równanie algebry Boole’a zapiszemy dla ostatniej linii bo tu w wyniku mamy samotne zero (Y=0).
Y=0 <=> p=0 i q=1
Przejście z takiego zapisu do równania algebry Boole’a możemy uzyskać na dwa sposoby.
Sposób 1
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równy jest jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Mamy:
Y=0 <=> p=0 i q=1
czyli:
Y=0, ~Y=1
p=0, ~p=1
q=1
Sprowadzamy wszystkie sygnały do jedynki i stosujemy definicję iloczynu logicznego.
~Y=~p*q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne
Y = p+~q
Sposób 2
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru.
Mamy:
Y=0 <=> p=0 i q=1
czyli:
Y=0
p=0
q=1,~q=0
Sprowadzamy wszystkie sygnały do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.
Y=p+~q
Jak widać, w tym przypadku końcowe równanie implikacji odwrotnej mamy natychmiast.
Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
Y = p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana
Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla ostatniej linii tabeli gdzie w wyniku było samotne zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.
Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.
Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej przybierze zatem postać końcową.
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q Y=p~>q=p+~q=~(~p*q) ~Y=~(p~>q)=~[~(~p*q)]=~p*q
1 1 1 0
1 0 1 0
0 0 1 0
0 1 0 1
|
Wystąpi prawda (Y=1) jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie ~p i q
Wystąpi fałsz (~Y=1) jeśli zajdzie ~p i q
3.3 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna. Poza gwarancją wszystko może się zdarzyć czyli mamy rzucanie monetą.
Gwarancją w implikacji odwrotnej jest wynikająca z prawa Kubusia implikacja prosta:
Y=p~>q = ~p=>~q
Gwarancja:
Jeśli nie zajdzie p to na pewno nie zajdzie q
~p=>~q
Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Y=4L~>P
Gwarancja:
Y=4L~>P = ~4L=>~P - prawo Kubusia
G1:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
Y=~4L=>~P
Gwarantowane zwierzaki to kura, mrówka, stonoga, wąż …
Gwarancja dotyczy zwierząt które nie mają czterech łap, te na pewno nie są psami, poza tą gwarancją wszystko może się zdarzyć czyli jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem (tu pies), lub nie być psem (np. słoń) czyli mamy tu rzucanie monetą.
Gwarancję równoważną otrzymujemy z definicji implikacji odwrotnej zapisanej w równaniu algebry Boole’a.
Definicja implikacji odwrotnej:
Y=p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana
stąd:
Y=4L~>P = ~(~4L*P)
czyli:
G2:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
Y=~(~4L*P)
Oczywiście gwarantowane zwierzaki to kura, mrówka, stonoga, wąż … - te na pewno nie są psami.
… a kiedy wystąpi fałsz ?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~Y=~4L*P
Wystąpi fałsz (~Y) jeśli zwierzę nie będzie miało czterech łap i będzie psem.
Zauważmy coś bardzo ważnego. Człowiek mając do wybory dwie równoważne gwarancje G1 i G2 praktycznie na 100% zawsze wybierze G1 bo ta jest zdecydowanie bardziej klarowna.
Wniosek:
W naturalnym języku mówionym człowiek posługuje się przede wszystkim operatorową definicją implikacji odwrotnej.
Z definicji równoważnej, zapisanej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)
w praktyce nikt nie korzysta, co nie oznacza że przedszkolak miałby tu jakiekolwiek kłopoty.
Jaś:
G1:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
Y=~4L=>~P
Kubuś:
… a czy może się zdarzyć że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem ?
p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa Kubusia i definicji implikacji odwrotnej
stąd:
~4L=>~P = ~(~4L*P)
Jaś:
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
~(~4L*P)
Zauważmy, że przeanalizowaliśmy implikację odwrotną:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
na wszelkie możliwe sposoby wyłącznie w symbolicznej algebrze Kubusia nie mając bezpośredniej styczności z kodem maszynowym czyli zerami i jedynkami po stronie p i q.
3.4 Kubuś na tropie implikacji prostej
Dzieci w przedszkolu są doskonałym testerem dowolnej logiki roszczącej sobie miano matematycznego opisu języka mówionego. Nowa, nieznana człowiekowi definicja implikacji odwrotnej ~> przeszła taki test bez najmniejszego problemu. Kubuś postanowił sprawdzić czy również nowa definicja implikacji prostej => przejdzie „test przedszkolaka”.
Druga wizyta Kubusia w przedszkolu.
Drogie dzieci, będę wypowiadał różne zdania o piesku i jego czterech łapach. Waszym zadaniem będzie rozstrzygnięcie czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe. Proszę Was, abyście uwzględniali wyłącznie pieski zdrowe które mają cztery łapy.
B1:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=1
Zdanie prawdziwe, zgodnym chórem krzyknęły dzieci, bo każdy pies ma cztery łapy.
Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest wystarczające, aby mieć cztery łapy.
B2:
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L=0
Fałsz, kłamstwo, bo każdy pies ma cztery łapy, żaden przedszkolak nie miał tu wątpliwości
Jaś:
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Kubuś:
B3:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1
Prawda czy fałsz ?
Dzieci:
Prawda bo mrówka, stonoga, kura, wąż ….
lub
B4:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L=1
Prawda bo koń, słoń, wilk, hipopotam … przekrzykiwały się dzieci
Na wszelki wypadek by upewnić się czy nowa teoria matematyczna jest prawdziwa Kubuś zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.
Dzieci nie pomyliły się ani razu !
Nie ma zatem wątpliwości, symboliczna algebra Kubusia przeszła „test przedszkolaka” pomyślnie.
Zauważmy, że zdanie B4 nie może być implikacją odwrotną.
Dlaczego ?
Najprostszą wyrocznią jest tu oczywiście prawo Kubusia.
Dowód nie wprost.
Załóżmy że B4 jest implikacją odwrotną, wtedy musi być spełnione prawo Kubusia:
B4: ~P~>4L = B2: P=>~4L
Prawa strona tożsamości:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
.. to oczywisty fałsz, zatem fałszywa musi być tez implikacja po lewej stronie czyli:
B4: ~P~>4L=0
Prawdziwość zdania B4 określa wzór:
(~P~>4L)+(~P~~>4L) = 0+1 =1
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda (tu np. koń), na pewno nie jest to implikacja odwrotna.
3.5 Operatorowa definicja implikacji prostej
Przepiszmy powyższy przykład wyłącznie w postaci operatorowej.
| Kod: |
P 4L Y=(P=>4L) ~Y=~(P=>4L)
B1: P=> 4L = 1 0
B2: P=>~4L = 0 1
B3:~P~>~4L = 1 0
B4:~p~~>4L = 1 0
|
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Oczywiście w matematyce nie operujemy na konkretnym przykładzie lecz na parametrach formalnych którymi w implikacji są literki p i q.
Podstawiamy zatem:
P=p i 4L=q
i otrzymujemy operatorową definicję implikacji prostej.
Operatorowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)
p=> q = 1 0
p=>~q = 0 1
~p~>~q = 1 0
~p~~>q = 1 0
|
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Po opuszczeniu operatorów w powyższej definicji otrzymujemy symboliczną definicję implikacji prostej.
Symboliczna definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)
p q = 1 0
p ~q = 0 1
~p ~q = 1 0
~p q = 1 0
|
Stąd dla drugiej linii zapisujemy najprostsze równanie algebry Boole’a.
Wystąpi fałsz (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i ~q
czyli:
~Y=p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+):
Y=~p+q
stąd:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a
Y = p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana
3.6 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
Operatorowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)
p=> q = 1 0
p=>~q = 0 1
~p~>~q = 1 0
~p~~>q = 1 0
|
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia obowiązuje w obrębie samej definicji implikacji, zatem implikacja prosta to w pierwszej części pewne wynikanie p=>q, natomiast w drugiej części to najzwyklejsze rzucanie monetą ~p~>~q.
Po opuszczeniu operatorów w operatorowej definicji implikacji prostej i przyjęciu:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
otrzymujemy …
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q Y=(p=>q)=~p+q=~(p*~q) ~Y=~(p=>q)=~[~(p*~q)]=p*~q
1 1 1 0
1 0 0 1
0 0 1 0
0 1 1 0
|
Wystąpi prawda (Y=1) jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie p i ~q
Wystąpi fałsz (~Y=1) jeśli zajdzie p i ~q
3.7 Gwarancja w implikacji prostej
Na mocy definicji gwarancją jest sama definicja implikacji prostej ….
G1:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Gwarantowany zwierzak to pies, który na pewno ma cztery łapy … poza tym wszystko może się zdarzyć czyli jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap (np. mrówka) lub jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy (np. słoń).
Równoważną gwarancję, lecz w praktyce nigdy nie używaną mamy z równań algebry Boole’a.
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a.
Y = p=>q = ~p~>~q =~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana
stąd:
P=>4L = ~P~>~4L = ~(P*~4L)
czyli:
G2:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
~(P*~4L)
Gwarantowany zwierzak to pies, poza tym wszystko może się zdarzyć.
Oczywiście nie oznacza to że przedszkolak będzie miał jakiekolwiek problemy z wypowiedzeniem gwarancji G2 … jeśli się go do tego zmusi.
Jaś:
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Kubuś:
… a czy może się zdarzyć że zwierze jest psem i nie ma czterech łap ?
P=>4L = ~(P*~4L) - na mocy definicji implikacji prostej
Jaś:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap.
~(P*~4L)
3.8 O niezbędności operatorów implikacji
Jak widzimy wyżej, człowiek porusza się po implikacji praktycznie nigdy nie przechodząc do definicji równoważnych w operatorach AND i OR.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana
Definicje implikacji w operatorach AND i OR:
~(p*~q) - implikacja prosta
~(~p*q) - implikacja odwrotna
Poprawnie opisują gwarancję matematyczną w tych implikacjach i absolutnie nic więcej.
Argumenty przeciw definicji implikacji z użyciem operatorów AND i OR:
1.
W definicjach implikacji wyrażonych w AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów co jest sprzeczne z definicjami AND i OR.
2.
Nie może tu być mowy o warunku wystarczającym w implikacji prostej => i koniecznym w implikacji odwrotnej ~>, czyli czymś absolutnie kluczowym w pojęciu implikacji
3.
Niemożliwa jest analiza implikacji w naturalnym języku mówionym
4.
Niemożliwe jest dojście do praw Kubusia
Argumenty za definicją implikacji z użyciem operatorów AND i OR:
BRAK !
4.0 Fundamenty algebry Boole’a
Matematycznym fundamentem algebry Boole’a jest definicja iloczynu kartezjańskiego i pojęcie funkcji.
4.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
W drugiej klasie szkoły podstawowej Pani na kartkówce zadała uczniom napisanie tabliczki mnożenia do 100. Wszystkie dzieci zrobiły to w sposób uporządkowany, łatwy do sprawdzenia. Jedynie dowcipny Jaś oddał kartkę pozornie bez sensu, bo poszczególne działania poustawiane były w sposób losowy, taki groch z kapustą.
Jak sprawdzić czy Jaś wykonał poprawnie zadanie ?
Oczywiście należy wykreślać po kolei jedno działanie z kartki uporządkowanej, odszukać identyczne w Jasiowym bałaganie i też je skreślić. Jeśli na końcu okaże się że Jaś zapisał wszystkie działania poprawnie i żadnego nie brakuje to Jaś wykonał zadanie poprawnie, powinien dostać 6 za fajny dowcip.
Ogólnie na obu kartkach z tabliczką mnożenia może być dowolny bałagan byleby zawierały wszystkie mnożenia do 100, co wynika z definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji. Zobaczmy to na przykładzie budując tabelę mnożenia do dziewięciu.
4.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A = {1, 2, 3} i B = {1, 2, 3} jest zbiór C = AxB składający się z par liczb (a,b), gdzie a jest liczbą ze zbioru A, zaś b jest liczbą ze zbioru B. Innymi słowy, zbiór C wygląda tak: C = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. Wobec tego zadanie, jakie otrzymały dzieci, polegało na tym, żeby każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B przyporządkować liczbę całkowitą równą iloczynowi algebraicznemu liczb zawartych w tym elemencie.
Oznaczmy:
* - matematyczny operator iloczynu algebraicznego, funkcja mnożenia algebraicznego (nie mylić z iloczynem logicznym AND !)
| Kod: |
a b a*b
1*1 =1
1*1 =2
1*3 =3
2*1 =2
2*2 =4
2*3 =6
3*1 =3
3*2 =6
3*3 =9 |
Jest oczywistym, że linie można dowolnie poprzestawiać i dalej będzie to tabela mnożenia do 9 czyli znajdziemy w niej wynik dowolnego mnożenia.
Pary liczb po lewej stronie znaku „=” tworzą zbiór będący iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów liczb, z których każdy zawiera liczby od 1 do 3, zaś po prawej stronie znaku „=” mamy liczby ze zbioru liczb od 1 do 9, stanowiące wynik odwzorowania tego iloczynu kartezjańskiego (czyli zbioru) w zbiór liczb całkowitych od 1 do 9. Jako ciekawostkę można zauważyć, że niektóre liczby w wyniku pojawiają się tylko jeden raz (1,4,9), niektóre pojawiają się dwukrotnie (2,3,6), a niektóre nie pojawiają się w ogóle (np. liczba 5,7,8). Każdej parze liczb z lewej strony „=” odpowiada jednak tylko jedna liczba z prawej strony „=” (każde mnożenie algebraiczne ma tylko jeden prawidłowy wynik) - takie jednoznaczne odwzorowanie jednego zbioru w drugi zbiór nazywa się funkcją.
Zauważmy, że funkcja iloczynu algebraicznego „*” jest przemienna tzn. można zamieniać argumenty i wynik nie ulegnie zmianie.
a*b = b*a
4.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)
Weźmy teraz algebrę Boole’a gdzie znane są wyłącznie cyfry 0 i 1. Mamy tu dwa zbiory A=(0,1) i B=(0,1) bo inne cyfry są nielegalne. Iloczyn kartezjański tych zbiorów to C={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}.
Oczywiście pary cyfr ze zbioru C można dowolnie przestawiać.
Definicja iloczynu logicznego (funkcja logiczna):
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden
Tabela zero-jedynkowa iloczynu logicznego:
| Kod: |
Tabela A
p q p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0 |
gdzie:
* - operator iloczynu logicznego AND(*), funkcja logiczna.
W iloczynie logicznym zachodzi przemienność argumentów
Czyli:
p*q=q*p
Dowód formalny:
Zamieniamy p i q miejscami.
| Kod: |
Tabela B
q p q*p
1 1 =1
0 1 =0
0 0 =0
1 0 =0 |
Identyczność kolumn wynikowych tabel A i B jest dowodem przemienności iloczynu logicznego:
p*q = q*p
4.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności
Wyżej udowodniliśmy, iż operator iloczynu logicznego AND(*) jest przemienny. Sprawdźmy teraz pozostałe kluczowe operatory czyli te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.
| Kod: |
p q p+q q+p p=>q q=>p p~>q q~>p p<=>q q<=>p
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 1 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1 1 1
0 1 1 1 1 0 0 1 0 0
|
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Doskonale widać, że operatory OR(+) i <=> są przemienne, natomiast operatory implikacji nie są przemienne bo kolumny wynikowe są różne:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p
Oczywistym jest, że implikacja jest implikacją prawdziwą wtedy i tylko wtedy gdy spełnia odpowiednią tabelę zero-jedynkową.
Wynika z tego że:
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
… bo to jest algebra Boole’a.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
Brak przemienności argumentów w implikacji przenosi się oczywiście na brak przemienności implikacyjnej sumy logicznej wynikającej z odpowiednich definicji.
p=>q = ~p+q # q+~p = q~>p
p~>q = p+~q # ~q+p = q=>p
4.5 Prawo Kłapouchego
Prawo Kłapouchego:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją wtedy i tylko wtedy gdy spełnione jest prawo Kubusia
Prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności) to wyrocznia rozstrzygająca czy zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją.
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na równoważną implikację prostą =>
Operatorowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
Tabela A
p q = Y=p=>q
p=> q = 1
p=> ~q = 0
~p~> ~q = 1
~p~~> q = 1
|
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Jak widać, w pierwszej części definicji mamy pewne wynikanie p=>q, natomiast w drugiej części mamy najzwyklejsze rzucanie monetą ~p~>~q.
Po stronie ~p może zajść:
~p~>~q
lub
~p~~>q
czyli:
~p=>(~q+q)
Jeśli zajdzie ~p to na pewno => zajdzie ~q lub q
Oczywiście:
~q+q =1 - prawo algebry Boole’a
Ostatnie zdanie jest tautologią, czyli wiem, że nic nie wiem.
Zgodnie z definicją iloczynu kartezjańskiego i pojęciem funkcji linie w powyższej tabeli możemy sobie dowolnie przestawiać. Przestawmy dwie pierwsze z dwoma ostatnimi.
Operatorowa tabela implikacji odwrotnej dla parametrów ~p i ~q.
| Kod: |
Tabela B
~p ~q = Y=~p~>~q
~p~> ~q = 1
~p~~> q = 1
p=> q = 1
p=> ~q = 0
|
Prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Tabela A i tabela B to jedna i ta sama tabela bo linie wolno nam dowolnie przestawiać. Tabela B to definicja implikacji odwrotnej (tabela C dalej) dla parametrów ~p i ~q.
Z matematyką się nie dyskutuje
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Tam gdzie mamy operator => tam mamy pewne wynikanie matematyczne, warunek wystarczający.
Tam gdzie mamy operator ~> mamy rzucanie monetą, warunek konieczny
Tożsamość to tożsamość, jak kto obali matematykę to wtedy może twierdzić że pewne wynikanie => w implikacji jest lepsze od „rzucania monetą” czyli ~>.
Twierdzenie:
W prawach Kubusia implikacje po obu stronach tożsamości mają IDENTYCZNĄ wartość matematyczną.
CND
Zero-jedynkową definicję implikacji prostej otrzymujemy z tabeli A opuszczając operatory i przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
stąd:
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
Dokładnie to samo rozumowanie możemy powtórzyć dla implikacji odwrotnej
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
Tabela C
p q = Y=p~>q
p ~> q = 1
p~~>~q = 1
~p=> ~q = 1
~p => q = 0
|
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
W implikacji odwrotnej w pierwszej części mamy rzucanie monetą p~>q, natomiast w drugiej mamy pewne wynikanie ~p=>~q.
W pierwszej części mamy tautologię:
p~>q =1
LUB
p~~>~q=1
czyli:
p=>(q+~q)
bo:
q+~q=1
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q lub ~q, czyli wiem, że nic nie wiem.
Tu również linie w powyższej definicji możemy dowolnie przedstawiać, przestawmy dwie pierwsze z dwoma ostatnimi.
Operatorowa tabela implikacji prostej dla parametrów ~p i ~q.
| Kod: |
Tabela D
~p ~q = Y=~p=>~q
~p=> ~q = 1
~p => q = 0
p ~> q = 1
p~~>~q = 1
|
Prawo Kubusia:
~p=>~q = p~>q
Tabela C i D to jedna i ta sama tabela bo linie możemy dowolnie przestawiać. Tabela D to definicja implikacji prostej (Tabela A wyżej) dla parametrów ~p i ~q.
Dla tabeli C przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
stąd:
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
|
Podsumowanie:
W dowolnej implikacji, prostej => lub odwrotnej ~> mamy w jednej połówce pewne wynikanie matematyczne =>, natomiast w drugiej połowie mamy do czynienia z najzwyklejszym rzucaniem monetą ~>, z tego względu implikacja jest bezsensem w świecie techniki.
Wniosek:
Implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie.
4.6 Kwadrat logiczny implikacji
Kwadrat logiczny implikacji w wersji z parametrami formalnymi:
| Kod: |
p=>q=~p+q p~>q=p+~q
~p~>~q=~p+q ~p=>~q=p+~q
|
Oczywiście w pionach mamy tu prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~>na =>
Między pionami nie zachodzą żadne zależności matematyczne co widać w prawych stronach tożsamości.
4.7 Równoważność
Dziewicza tabela zero-jedynkowa równoważności:
| Kod: |
p q p<=>q
1 1 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
|
Z tabeli zero-jedynkowej widać, że równoważność jest przemienna, czyli wszystko jedno którą cześć zdania nazwiemy p a którą q.
Algebra Kubusia to algebra symboliczna. W zabawie implikacją w przedszkolu przeszliśmy z naturalnego języka mówionego do definicji operatorowej po czym do definicji symbolicznej na końcu lądując w tabeli zero-jedynkowej. Tym razem zrobimy dokładnie odwrotnie.
Przechodzimy z powyższą tabelą do symbolicznej definicji równoważności przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Symboliczna definicja równoważności:
| Kod: |
p q p<=>q
p q 1
p ~q 0
~p ~q 1
~p q 0
|
Dla linii z jedynkami w wyniku układamy równanie algebry Boole’a
Definicja równoważności w równaniu algebry Boole’a:
A: p<=>q = p*q+~p*~q
Bardzo łatwo udowodnić poprawność równoważnych definicji równoważności, wynikających z przemienności argumentów oraz powyższej definicji:
B: ~p<=>~q
C: q<=>p
D: ~q<=>~p
Udowodnimy tylko B bo pozostałe dowody są analogiczne.
Korzystamy z definicji równoważności A:
E: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q + ~p*~q
Prawe strony równań A: i E: są identyczne, zatem są to równoważne definicje.
Z pierwszej linii definicji symbolicznej widać, że jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q bo druga linia tabeli jest fałszem. Podobnie z trzeciej linii widać, że jeśli zajdzie ~p to „musi” => zajść ~q bo ostatnia linia jest fałszem.
Stąd pełna definicja operatorowa równoważności przybierze postać:
| Kod: |
p=> q =1
p=>~q =0
~p=>~q =1
~p=> q =0
|
Mamy tu zatem doskonale nam znane z definicji implikacji warunki wystarczające zachodzące między p i q oraz między ~p i ~q.
Stąd operatorowa definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
gdzie:
p=>q - warunek wystarczający między p i q, nigdy implikacja prosta p=>q
~p=>~q - warunek wystarczający między ~p i ~q, nigdy implikacja prosta ~p=>~q
Dlaczego powyższe zapisy nie mogą być implikacją ?
Wynika to z prawa Kłapouchego:
Zdanie „Jeśli…to…” jest implikacją wtedy i tylko wtedy gdy spełnione jest prawo Kubusia
Prawo Kubusia dla powyższej tabeli:
p=>q = ~p~>~q
czyli w implikacji musi zachodzić warunek konieczny między ~p i ~q, natomiast w równoważności między ~p i ~q zachodzi warunek wystarczający.
Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest wystarczające aby mieć cztery łapy, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
Definicja operatorowa dla powyższego zdania:
| Kod: |
P=>4L =1
P=>~4L=0
~P~>~4L=1
~P~~>4L=1
|
Aby w powyższej tabeli ostatnia linia wyzerowała się, musiałaby być prawdziwa implikacja prosta:
~P=>~4L
czyli:
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
~P=>~4L=0 - oczywisty fałsz bo słoń
Zatem równoważność nie może być iloczynem dwóch implikacji prostych p=>q i ~p=>~q bo takowe są niemożliwe do zaistnienia.
Można to udowodnić jeszcze prościej ….
Oczywistym jest na podstawie definicji implikacji prostej => że:
p=>q=~p+q # ~p=>~q= ~(~p)+(~q) = p+~q
To jest algebra Boole’a, zatem:
Jeśli implikacja prosta p=>q=1 to implikacja prosta ~p=>~q=0 bo:
p=>q # ~p=>~q
Stąd definicja równoważności nie może być iloczynem logicznym dwóch implikacji prostych bo:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*0=0
Dowód nie wprost:
Zauważmy, że gdyby to była prawda matematyczna to przekształcenia musiałyby być odwracalne, czyli dowolną równoważność można by rozbić na dwie implikacje proste, co jest oczywistą bzdurą. Kamikaze mogą próbować.
Wniosek:
Twierdzenie co niektórych dzisiejszych matematyków jakoby równoważność była iloczynem dwóch implikacji prostych można między bajki włożyć.
CND
4.8 Kwadrat logiczny równoważności
Narysujmy kwadrat logiczny równoważności analogiczny do kwadratu logicznego implikacji.
| Kod: |
A1: p=>q=1 B1: q=>p=1
A2: ~p=>~q=1 B2: ~q=>~p=1
|
Argumenty w równoważności są przemienne, zatem wszystko jedno którą część zdania nazwiemy p a którą q. Tu możemy na stałe przywiązać p do jednej strony równoważności, zaś q do drugiej.
Stąd zapisy: p=>q i q=>p.
Oczywiście we wszystkich rogach kwadratu równoważności mamy twarde jedynki wynikające ze spełnionego warunku wystarczającego (to nie są implikacje!), zatem:
p=>q = q=>p = ~p=>~q = ~q=>~p
Stąd mamy znane w matematyce prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji (dowód pkt.4.7)
Prawa Kubusia są poprawne w implikacji i fałszywe w równoważności (oczywistość)
Definicja równoważności to iloczyn logiczny warunków wystarczających (nie implikacji !) wzdłuż dowolnego boku kwadratu logicznego równoważności.
Najpopularniejsze definicje to:
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
B.
p<=>q = (p=>q)*(q=>p)
Definicja B wynika z A bo prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
Dowód:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = ~q+p = q=>p
W równoważności zachodzi przemienność argumentów która przenosi się na przemienność argumentów w sumie logicznej stąd wyżej:
p+~q = ~q+q
5.0 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”:
Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być wystarczające dla q
Stwierdzenie warunku wystarczającego w p=>q determinuje zdanie prawdziwe które może być:
1.
Implikacją prostą p=>q jeśli po stronie ~p stwierdzimy warunek konieczny czyli:
~p~>~q
Czasami prościej jest wykluczyć warunek wystarczający w stronę ~p=>~q, to wystarczy aby udowodnić że zdanie p=>q jest implikacją prostą.
2.
Równoważnością p<=>q, gdy po stronie ~p również stwierdzimy warunek wystarczający czyli
~p=>~q.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)=1*1=1
3.
Jeśli zdanie jest implikacją prostą to w stronę p=>q zachodzi warunek wystarczający, natomiast w stronę q~>p musi zachodzić warunek konieczny. Jeśli w stronę q=>p stwierdzimy warunek wystarczający to zdanie jest na pewno równoważnością, nigdy implikacją.
Definicja równoważna równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
Stąd mamy kolejną możliwość stwierdzenia czy zdanie jest implikacją. Po stwierdzeniu warunku wystarczającego w stronę p=>q wystarczy wykluczyć warunek wystarczający w stronę q=>p.
Implikacja odwrotna:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q
Stwierdzenie warunku koniecznego w p~>q determinuje implikację odwrotną:
p~>q
ale ….
Zdanie może być prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) i nie być implikacją odwrotną np.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 =1 bo 24
P8 nie jest konieczne dla P3 bo 3, nie jest to zatem implikacja odwrotna.
Koniec, to jest cała filozofia kodowania zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”
Zauważmy coś bardzo ciekawego.
A.
Jeśli trójkąt ma boki równe to na pewno => jest równoboczny
BR=>R =1
B.
Jeśli trójkąt nie ma boków równych to na pewno => nie jest równoboczny
~BR=>~R =1
Stąd na podstawie definicji równoważności możemy zapisać:
C.
Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>R = (BR=>R)*(~BR=>~R) = 1*1=1 - ewidentna równoważność
Aby stwierdzić równoważność musimy zapisać i zbadać czy zachodzą warunki wystarczające jak wyżej w A i B. Wszystkie trzy zdania są matematycznie poprawne bowiem w definicji równoważności chodzi tylko i wyłącznie o warunki wystarczające, nigdy o implikacje (dowód pkt. 4.7)
Zauważmy, że gdybyśmy nie mieli prawa zapisać zdań A i B jako prawdziwych to niemożliwe byłoby stwierdzenie równoważności !
W zdaniach A, B i C nie ma niejednoznaczności bo:
1.
Fizycznie niemożliwym jest zrobienie implikacji z równoważności (zdania A i B) i odwrotnie (dowód pkt. 4.7)
2.
Twierdzenia matematyczne zwykle ujęte są w spójnik „Jeśli…to…”, pomimo że praktycznie 100% twierdzeń to równoważności. W twierdzeniach matematycznych spójnik „Jeśli…to…” jest domyślną równoważnością.
3.
Zdania A, B i C można zakodować superprecyzyjnie jako:
BR<=>R
To jest oczywistość mimo zapisania jej w formie A lub B.
Jeśli cokolwiek jest równoważnością to żadna siła nie zrobi z tego implikacji.
Wniosek:
Zdanie „Jeśli … to …” może być implikacją prostą, implikacją odwrotną lub równoważnością co zależy od treści zdania.
Inny przykład:
Twierdzenie Pitagorasa.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
TP=>SK =1 - pewny warunek wystarczający (nie implikacja !)
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie jest spełniona suma kwadratów.
~TP=>~SK=1 - również pewny warunek wystarczający
Twierdzenie Pitagorasa jest równoważnością bo:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) = 1*1 =1
Aby stwierdzić czy zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością musimy stwierdzić warunki wystarczające jak wyżej. Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością.
Wynika z tego, że ten sam symbol => może oznaczać implikację prostą albo tylko warunek wystarczający =>.
Tu nasuwa się pytanie … a może by tak wprowadzić nowy symbol na przykład |=> dla precyzyjnego zapisu warunku wystarczającego ?
Odpowiedź może być tylko negatywna, dlaczego ?
Definicja warunku wystarczającego:
p=>q =1
p=>~q =0
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
… bo linia p=>~q jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.
Definicja warunku wystarczającego nie mówi nic co będzie po stronie ~p.
Po stronie ~p może być oczywiście:
~p=>~q - równoważność
albo
~p~>~q - implikacja
Nie ma sensu wprowadzanie nowego symbolu warunku wystarczającego |=> bowiem tego symbolu nie da się opisać w równaniu algebry Boole’a.
Możliwe są dwie próby opisania warunku wystarczającego w postaci równania algebry Boole’a.
p|=>q = ~p+q - implikacja
albo:
p|=>q =p*q+~p*~q - równoważność
… ale jak widać lądujemy albo w implikacji prostej =>, albo w równoważności czyli to jest bez sensu.
Prawo Kubusia:
Zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności
Algebra Kubusia to nieznany dzisiejszym matematykom symboliczny język asemblera, czyli naturalna logika 5-cio letniego dziecka mająca 100% przełożenia na algebrę Boole’a czyli zera i jedynki.
W technice mikroprocesorowej człowiek myślał w zerach i jedynkach zaledwie przez mgnienie oka, natychmiast wynalazł symboliczny język asemblera izolując się od idiotycznych zer i jedynek czyli … skopiował działanie własnego mózgu. Język asemblera dla dowolnego mikroprocesora jest jeden (to algebra Boole’a), natomiast języków wysokiego poziomu zbudowanych na jego bazie może być nieskończenie wiele.
O co chodzi z tą nadmierną precyzją ?
Sięgnijmy do historii.
Pierwszy przyzwoity 8-bitowy mikroprocesor, Intel 8080 pojawił się w 1974 roku. Na jego podstawie powstał w 1978 roku mikroprocesor 16-bitowy Intel 8086, będący bazą dzisiejszych Pentium X. Ciekawostką jest fakt, że programy napisane w języku asemblera dla procesora I8086 (z 1978 roku !) będą pracowały poprawnie na najnowszych Pentiumach.
Tuż po pojawieniu się pierwszego przyzwoitego mikroprocesora (rok 1974), ludzie usiłowali opisać język asemblera w sposób absolutnie precyzyjny. Doszło do tego, że fachowa literatura pełna była niesamowitych krzaków ciężko zrozumiałych nawet dla fachowców.
Drobny przykład nadmiernej precyzji.
A - nazwa rejestru procesora
(A) - zawartość rejestru procesora o nazwie A (konkretna liczba)
PC - nazwa rejestru licznika rozkazów
(PC) - zawartość rejestru licznika rozkazów o nazwie PC (konkretna liczba)
((PC)) - zawartość komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru o nazwie PC
(A) -> ((PC))
Operacja przesłania zawartości rejestru o nazwie A do komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru na nazwie PC (licznik rozkazów).
Ludzie szybko się opamiętali i w katalogach znajdziemy taki uproszczony zapis:
A -> (PC)
Przesłanie rejestru A do komórki pamięci wskazywanej przez PC
Zauważmy, że brak tu absolutnej jednoznaczności bo nazwy rejestrów A i PC utożsamiane są z zawartością tych rejestrów … jednak czytelność całości zdecydowanie się poprawiła.
Precyzja musi być wystarczająco jednoznaczna a nie absolutnie jednoznaczna
5.1 Prawo Tygryska
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p)
Prawo Tygryska:
Zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością wtedy i tylko wtedy gdy zachodzą warunki wystarczające między p=>q i ~p=>~q lub między p=>q i q=>p, nie są to implikacje.
Wynika to bezpośrednio z prawa Kłapouchego (pkt.4.5) i definicji równoważności (pkt.4.7).
Przykład wyżej.
6.0 Kubusiowa tablica logiki
Kubusiowa tablica logiki to odpowiednik tablicy Mendelejewa. Na podstawie definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> całą logikę w zakresie operatorów implikacji i równoważności możemy rozbić na pierwiastki pierwsze.
W kodowaniu zero-jedynkowym przyjmujemy logikę dodatnią:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Definicje warunków wystarczających:
| Kod: |
A.
p=> q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
B.
~p=>~q =1
0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0
|
W matematyce warunek wystarczający zwany jest twierdzeniem. Udowodnienia twierdzenia w jedną stronę np. p=>q jest dowodem, że twierdzenie może być równoważnością (najczęściej) albo implikacją (rzadkość). Matematycy zwykle udowadniają warunek wystarczający w stronę q=>p co oczywiście przesądza o tym iż twierdzenie jest równoważnością.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) =1*1 =1
Inna możliwość rozstrzygnięcia czym jest twierdzenie po udowodnieniu warunku wystarczającego w kierunku p=>q to po prostu wykluczenie iż jest to implikacja. Tu po stronie ~p mamy takie możliwości …
Operatorowa definicja implikacji.
p=>q=1
p=>~q=0
To co wyżej to już udowodniony warunek wystarczający zwany w matematyce twierdzeniem.
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
czyli dalsza część definicji implikacji to warunek konieczny między ~p i ~q. Warunek ten jest oczywiście gwarantowany na podstawie udowodnionego twierdzenia p=>q, o ile twierdzenie jest implikacją !
~p~>~q=1
lub
~p~~>q=1
Wystarczy zatem udowodnić że:
~p=>~q=1
co gwarantuje równoważność na podstawie definicji:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1 =1
ALBO
~p~~>q=1
tu wystarczy znalezienie jednego przypadku spełniającego powyższe równanie. Jeśli taki znajdziemy to twierdzenie jest implikacją, inaczej mamy do czynienia z równoważnością. O tej możliwości rozstrzygania czy twierdzenie jest równoważnością czy też implikacją dzisiejsi matematycy zapominają, albo o niej nie wiedzą co na jedno wychodzi. Skutkiem tego jest na przykład potworek zwany twierdzeniem Pitagorasa który błędnie uważany jest za implikację, podczas gdy w rzeczywistości to ewidentna równoważność.
Definicje warunków koniecznych:
| Kod: |
C.
p~> q =1
1 1 =1
p~~>~q =1
1 0 =1
D.
~p~>~q =1
0 0 =1
~p~~>q =1
0 1 =1
|
Same warunki wystarczające/konieczne nie są operatorami logicznymi bo nie da się ich opisać równaniem algebry Boole’a. Brakuje bowiem wszystkich kombinacji zer i jedynek po stronie p i q.
Możliwe jest osiem pełnych definicji zero-jedynkowych, czyli wszystkich kombinacji zer i jedynek po stronie p i q, zbudowanych z powyższych warunków.
Zauważmy, że złożenie warunków C i D daje po stronie p i q wszystkie możliwe kombinacje zer i jedynek, ale w wyniku będziemy mieli wówczas same jedynki czyli zero logiki.
Zauważmy, że jeśli w C spełniony jest warunek konieczny p~>q, to zajście ~p wymusza zajście ~q czyli w sposób naturalny mamy tu dowód prawa Kubusia.
p~>q = ~p=>~q
Prawa strona jest sprzeczna z tabelą D, dlatego w rzeczywistości złożenie dwóch warunków koniecznych C i D nie jest możliwe do zaistnienia. Pozostałe sześć przypadków to …
6.1 Równoważność
Równoważność to złożenie dwóch warunków wystarczających A-B.
Definicja równoważności:
| Kod: |
A-B
p q p<=>q
p=> q =1
p=>~q =0
~p=>~q =1
~p=> q =0
|
Zamieniamy dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi.
| Kod: |
B-A
~p ~q ~p<=>~q
~p=>~q =1
~p=> q =0
p=> q =1
p=>~q =0
|
Oczywiście obie tabele są równoważne bo linie w tabeli możemy dowolnie przestawiać czyli:
p<=>q = ~p<=>~q
bo to jedna i ta sama tabela symboliczna (zero-jedynkowa).
Z tabeli A-B mamy definicję operatorową równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 = 1
Tabela B-A to tabela A-B dla parametrów ~p i ~q.
Dowód:
Dla ~p i ~q na podstawie powyższej definicji mamy:
~p<=>~q = [(~p)=>(~q)]*[~(~p)=>~(~q)] = (~p=>~q)*(p=>q) = (p=>q)*(~p=>~q)
Prawe strony równe zatem:
p<=>q = ~p<=>~q
6.2 Implikacja prosta
Implikacja prosta to złożenie warunku wystarczającego p=>q (A) z warunkiem koniecznym ~p~>~q (D).
Definicja implikacji prostej:
| Kod: |
A-D
p q p=>q
p=> q =1
p=>~q =0
~p~>~q =1
~p~~>q =1
|
Przestawiamy dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi.
| Kod: |
D-A
~p ~q ~p~>~q
~p~>~q =1
~p~~>q =1
p=> q =1
p=>~q =0
|
Oczywiście to dwie identyczne tabele symboliczne (zero-jedynkowe) bo linie możemy dowolnie przestawiać.
Stąd mamy dowód prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Zauważmy, że tabela D-A to definicja implikacji odwrotnej C-B (niżej) dla parametrów ~p i ~q.
Dowód:
Definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
C-B
p q p~>q
p~> q =1
p~~>~q =1
~p=> ~q =1
~p=> q =0
|
Oczywiście:
C-B # D-A
czyli:
p~>q # ~p~>~q
bo wprowadzenie po jednej negacji w linie wejściowe bramki p~>q zmienia układ logiczny.
6.3 Implikacja odwrotna
Implikacja odwrotna to złożenie warunku koniecznego p~>q (C) z warunkiem wystarczającym ~p=>~q (B).
Definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
C-B
p q p~>q
p~> q =1
p~~>~q =1
~p=> ~q =1
~p=> q =0
|
Zamieniamy dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi.
| Kod: |
B-C
~p ~q ~p=>~q
~p=> ~q =1
~p=> q =0
p~> q =1
p~~>~q =1
|
Powyższe tabele są identyczne bo linie możemy dowolnie przestawiać, stąd:
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zauważmy, że tabela B-C to tabela A-D (implikacja prosta) dla parametrów ~p i ~q.
Dowód:
Definicja implikacji prostej:
| Kod: |
A-D
p q p=>q
p=> q =1
p=>~q =0
~p~>~q =1
~p~~>q =1
|
Negujemy wszystkie zmienne otrzymując tabelę B-C
Oczywiście:
A-D # B-C
czyli:
p=>q # ~p=>~q
bo wprowadzenie po jednej negacji w linie wejściowe bramki p=>q zmienia układ logiczny.
6.4 Operatorowa definicja implikacji prostej w praktyce
Implikacja prosta - przemienność argumentów nie zachodzi
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Operatorowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
Tabela A
p q p=>q
A: p=> q = 1
B: p=>~q = 0
C:~p~>~q = 1
D:~p~~>q = 1
|
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Przykład 6.4:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2 zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
Analiza:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1 bo 8,16..
1 1 =1
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => nie jest podzielna przez 2
P8=>~P2 =0
1 0 =0
Prawo Kubusia:
P8=>P2 = ~P8~>~P2
C.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~> być niepodzielna przez 2
~P8~>~P2 =1 bo 1,3,5 ..
0 0 =1
LUB
D.
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
~P8~~>P2 =1 bo 2,4,6..
0 1 =1
Doskonale widać tu zero-jedynkową definicję implikacji prostej dla:
P8=1, ~P8=0
P2=1, ~P2=0
Zdanie D nie może być implikacją odwrotną.
Dowód nie wprost:
Załóżmy że D jest implikacją odwrotną ~P8~>P2.
Obowiązuje wówczas prawo Kubusia:
D: ~P8~>P2 = B: P8=>~P2
Zdanie B jest oczywistym fałszem zatem D nie może być implikacja odwrotną, bo wówczas prawo Kubusia ległoby w gruzach.
Prawdziwość zdania D określa równanie:
(~P8~~>P2) + (~P8~>P2) = 1+0 =1
Zdanie D jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, wystarczy jedna prawda.
6.4.1 Gwarancja w implikacji prostej
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna którą na mocy definicji jest zawsze implikacja prosta =>, wszystko inne jest bez znaczenia.
Gwarancja dla powyższego przykładu:
P8=>P2
Jeśli zajdzie P8 to na pewno zajdzie P2
Gwarantowane liczby to:
8,16,24 …
6.5 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej w praktyce
Implikacja odwrotna - przemienność argumentów nie zachodzi
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
Tabela A
p q p~>q
A: p ~> q = 1
B: p~~>~q = 1
C:~p=> ~q = 1
D:~p => q = 0
|
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Przykład 6.5
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa
Analiza:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1 bo 8,16…
1 1 =1
LUB
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~~> nie być podzielna przez 8
P2~~>~P8 =1 bo 2,4,6…
1 0 =1
Prawo Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
~P2=>~P8 =1 bo 1,3,5…
0 0 =1
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
~P2=>P8 =0
0 1 =0
Po przyjęciu logiki dodatniej:
P2=1, ~P2=0
P8=1, ~P8=0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.
6.5.1 Gwarancja w implikacji odwrotnej
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna którą na mocy definicji jest zawsze implikacja prosta =>, wszystko inne jest bez znaczenia.
Gwarancja dla powyższego przykładu:
~P2=>~P8
Jeśli nie zajdzie P2 to na pewno => nie zajdzie P8
Gwarantowane liczby to:
1,3,5 …
6.6 Porównanie gwarancji w implikacji prostej i odwrotnej
Podsumujmy analizę implikacji prostej i odwrotnej wyżej.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
G1.
Gwarantowane liczby to:
8, 16, 24 …
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
Gwarancją jest tu implikacja prosta wynikająca z prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
Jeśli liczba nie jest podzielna przez 2 to na pewno => nie jest podzielna przez 8
G2.
Gwarantowane liczby to:
1,3,5,7 …
Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna, wszystko inne jest bez znaczenia.
Mamy tu dowód na przykładzie że:
G1 # G2
czyli:
P8=>P2 # P2~>P8
… bo gwarancje po obu stronach są fundamentalnie inne.
Oczywiście gwarancje wynikające z praw Kubusia są identyczne po obu stronach równań:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q
p~>q = ~p=>~q = p+~q
CND
6.7 Operatorowa definicja równoważności w praktyce
Równoważność - przemienność argumentów zachodzi
Definicja równoważności:
p<=>q = p*q+~p*~q
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Operatorowa definicja równoważności:
| Kod: |
p=> q =1
p=>~q =0
~p=>~q =1
~p=> q =0
|
Podstawowa definicja operatorowa równoważności, wynikająca z powyższej definicji operatorowej (także z zero-jedynkowej):
A.
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*1 =1
gdzie:
p=>q, ~p=>~q, q=>p - zachodzące warunki wystarczające, nie są to implikacje
Przykład 6.6
Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR=>R
Analiza:
A.
Jeśli trójkąt ma boki równe to na pewno => jest równoboczny
BR=>R =1
1 1 =1
B.
Jeśli trójkąt ma boki równe to na pewno => nie jest równoboczny
BR=>~R =0
1 0 =1
C.
Jeśli trójkąt nie ma boków równych to na pewno nie jest równoboczny
~BR=>~R =1
0 0 =1
D.
Jeśli trójkąt nie ma boków równych to na pewno jest równoboczny
~BR=>R
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkowa równoważności dla:
BR=1, ~BR=0
R=1, ~R=0
Zauważmy, że w powyższej tabeli symbol => oznacza wyłącznie warunek wystarczający, nie jest to operator implikacji prostej bo nie zachodzą prawa Kubusia decydujące o tym iż zdanie jest implikacją.
Dowód nie wprost.
Załóżmy że zdanie A jest implikacja prostą:
Prawo Kubusia:
A: BR=>R = C: ~BR~>~R
Mamy tu konflikt z linią C w której stoi:
C: ~BR=>~R
CND
Z kolei jeśli założymy, że linia C jest implikacją prostą to mamy.
Prawo Kubusia:
C: ~BR=>~R = A: ~BR~>~R
Tu z kolei mamy sprzeczność z linią A, zatem zdanie C nie może być implikacją prostą prawdziwą.
CND
Zauważmy, że mamy wyżej matematyczną niejednoznaczność, bowiem użyty w równoważności operator warunku wystarczającego =>, jest czym innym niż operator implikacji prostej =>. Równoważność to fundamentalnie co innego niż implikacja na mocy definicji zero-jedynkowej. Nie ma sensu wprowadzać nowego symbolu np. |=> oznaczającego wyłącznie warunek wystarczający bo nie da się go opisać równaniem algebry Boole’a. Mózg człowieka to nie komputer. Pamiętajmy po prostu że symbol => użyty w równoważności oznacza wyłącznie warunek wystarczający, nie jest to operator implikacji prostej.
Matematyka która twierdzi że cokolwiek może być równoważnością prawdziwą, albo implikacją prawdziwą w zależności jaki spójnik użyję jest bez sensu, to chciejstwo człowieka.
Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>R
Definicja operatorowa równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = (p=>q)*(q=>p) =1*1=1
BR<=>R = (BR=>R)*(~BR=>~R) = (BR=>R)*(R=>BR) =1*1=1
Oczywiście że w zapisach po prawej stronie chodzi o warunki wystarczające czyli zaledwie połówkę całej definicji implikacji.
Żaden z zapisów po prawej stronie nie może być implikacją. Łatwo to sprawdzić analizując dowolne zdanie przez pełną definicje implikacji np.
Jeśli trójkąt jest równoboczny to na pewno => ma boki równe
R=>BR
Definicja implikacji prostej:
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
Ostatnia linia w odniesieniu do naszego przykładu:
~R*BR =1
czyli:
Istnieje trójkąt który nie jest równoboczny (~R) i ma boki równe (BR) - oczywisty fałsz, zatem zdanie R=>BR nie może być implikacja prostą prawdziwą.
Użyty tu symbol => oznacza wyłącznie warunek wystarczający, to nie jest operator implikacji prostej p=>q.
Mamy tu niejednoznaczność z którą nie warto walczyć z dwóch powodów:
1.
Mózg człowieka to nie komputer. Jeśli coś jest udowodnioną równoważnością to każdy powinien wiedzieć że w zdaniu R=>BR chodzi wyłącznie o warunek wystarczający. W mowie potocznej można to nawet nazwać dla uproszczenia implikacją, ale prawdę matematyczną trzeba znać !
2.
Definicja warunku wystarczającego
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
p jest wystarczające dla q, bo druga linia jest fałszem.
to zaledwie dwie linijki, czyli połowa definicji implikacji lub równoważności. Nie da się tego zapisać w równaniu algebry Boole’a.
Zauważmy, że wyżej obaliliśmy mit dzisiejszej matematyki która twierdzi, że jeśli zdanie jest równoważnością to nie wolno nam użyć spójnika "Jeśli...to...". Oczywiście że wolno w znaczeniu jak wyżej, oczywiście że to jest zdanie prawdziwe, oczywiście że nie chodzi w nim o prawdziwość implikacji, ale wyłącznie o prawdziwość warunku wystarczającego.
Ciąg dalszy na kolejnej stronie ….
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35536
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 11:27, 01 Lis 2009 Temat postu: |
|
|
7.0 Obietnice i groźby
Jednym z przykładów zastosowania implikacji prostej i odwrotnej jest matematyczna obsługa obietnic i gróźb.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
Prawo Kubusia:
W~>K = ~W=>~K
W groźbach i obietnicach mamy piękny przykład zastosowania definicji logiki dodatniej i ujemnej w implikacji.
Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.
Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)
Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)
7.1 Obietnice
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.
Przykład:
A:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
B:
Jeśli będziesz grzeczny nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz
… a jeśli nie będę grzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~>~C
C:
Jeśli nie będziesz grzeczny to nie dostaniesz czekolady
Matematycznie oznacza to:
Jeśli nie będziesz grzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym nie dostania czekolady. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca zgodnie ze swoim „widzi mi się” czyli wolną wolą.
LUB
D:
Jeśli nie będziesz grzeczny to możesz dostać czekoladę
~G~~>C =1 - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jeden taki przypadek)
Prawdziwość zdania D określa wzór:
(~G~~>C)+(~G~>C) = 1+0=1
gdzie:
~G~>C=0 - implikacja odwrotna fałszywa
~G~~>C=1 - nadawca ma prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody (akt miłości)
Dlaczego zdanie D nie może być implikacją odwrotną ?
Dowód nie wprost;
Załóżmy że zdanie D: ~G~>C jest implikacją odwrotną, obowiązują zatem prawa Kubusia.
D: ~G~>C = B: G=>~C
Prawa strona jest twardym fałszem na mocy B:, zatem zdanie D: nie może być implikacją odwrotną
CND
Uwaga:
W naturalnym języku mówionym spójnik implikacji prostej „musi” => jest domyślny i z reguły nie jest wymawiany (zdanie A). Spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> (zdanie C) nie jest domyślny i zawsze jest wymawiany. Wyjątkiem są tu groźby, gdzie spójnik ten jest pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności wobec definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz praw Kubusia które nie mogą być zgwałcone. Jeśli zatem mamy poprawnie zakodowaną obietnicę jako G=>C to negacja argumentów wymusza zmianę operatora ~G~>~C czyli matematycznie mamy tu „może” ~>. To jest matematyka pod którą człowiek podlega a nie którą on tworzy, zatem jakiegokolwiek spójnika by nie użył, to w groźbie nie zamieni „może” ~> na cokolwiek innego.
Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji prostej do implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
Y=G=>C
Jaś:
….mama a kiedy TY będziesz kłamczuchą ?
Y=G=>C = ~G+C = ~(G*~C) - dotrzymam słowa
czyli:
~Y=~(G=>C) = G*~C - skłamię
Synku, skłamię (~Y=1) jeśli będziesz grzeczny i nie dostaniesz czekolady.
~Y=G*~C
Jaś:
Mama, a czy może się zdarzyć, że będę grzeczny i nie dostanę czekolady ?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
Y=~(G*~C)
Nie może się zdarzyć że będziesz grzeczny i nie dostaniesz czekolady
~(G*~C)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.
7.2 Groźby
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.
W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.
Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba
W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.
Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie
B~>L =1
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz nie dostać lania
B ~~> ~L =1 - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, nie jest to implikacja odwrotna.
… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia
C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
LUB
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lania
~B => L =0 - twardy fałsz
Dlaczego zdanie B nie może być implikacja odwrotną ?
Dowód nie wprost:
Załóżmy że zdanie B: B~>~L jest implikacja odwrotną.
Obowiązuje wówczas prawo Kubusia:
B: B~>~L = D: ~B=>L
Zdanie D: jest oczywistym fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawdziwość zdania B: określa wzór:
(B~~>~L)+(B~>~L) = 1+0 =1
B~~>~L - nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski)
Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Y=B~>L
Jaś:
… tata, a kiedy skłamiesz ?
Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię
Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !)
~Y=~B*L
Jaś:
… a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostane lanie ?
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd:
Y=~(~B*L)
Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni)
Y=~(~B*L)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.
7.3 Znaczenie operatora implikacji odwrotnej ~>
Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym deszczu zatem implikacja odwrotna prawdziwa
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Jeśli nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać
~CH=>~P - gwarancja
Zauważmy, że po stronie operatora implikacji prostej => (warunek wystarczający) mamy 100% determinizm.
Po stronie operatora implikacji odwrotnej ~> możemy sobie rzucać monetą, nic więcej bo nie znamy przyszłości.
Jeśli jutro będzie pochmurno to […] padać
CH~>P
W miejsce […] możemy sobie wstawić cokolwiek, to bez znaczenia np. na pewno, na 100%, musi, może …
Weźmy teraz groźbę.
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni, implikacja odwrotna prawdziwa
Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L - gwarancja
… z powodu czystych spodni (~B) - tylko tyle i aż tyle gwarantuje implikacja odwrotna.
Mamy tu identyczna sytuację jak w implikacji o chmurach.
Jeśli ubrudzisz spodnie to […] dostaniesz lanie
B~>L
w miejsce […] możemy wstawić cokolwiek, to bez znaczenia np. nic nie wstawiać, może, na pewno, na 100%, musi …
Oczywiście nic nie może nas pozbawić wolnej woli, czyli nadawca ma prawo darować dowolną karę (zależną od niego) na sekundę przed jej wykonaniem i nie ma prawa zostać kłamcą.
Analogia do chmur jest tu bardzo celna - implikacja odwrotna ~> gwarantuje wolną wolę zarówno chmurom jak i człowiekowi.
Oczywiście w stosunku do przyrody martwej trafniejszym określeniem będzie „ślepy los”
~> = wolna wola (świat żywy), ślepy los (świat martwy)
Przenieśmy to teraz do Biblijnej groźby wypowiedzianej przez Chrystusa, oczywiście powiedzianej nie dosłownie, ale wystarczająco jednoznacznie.
Chrystus:
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z
Brak wiary jest warunkiem koniecznym piekła, zatem jest to implikacja odwrotna ~> prawdziwa.
Prawo Kubusia:
~W~>~Z = W=>Z
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z - gwarancja nieba dla wszystkich wierzących
Powyższe dwa zdania są matematycznie równoważne !
Chrystusa obowiązują (w komunikacji z człowiekiem) identyczne prawa logiki zatem:
Kto nie wierzy we mnie […] nie będzie zbawiony
~W~>~Z
W miejsce […] można wstawić cokolwiek np. nic nie wstawiać, może, na 100%, na pewno …
Operator ~> gwarantuje Chrystusowi, identycznie jak chmurom i człowiekowi wolną wolę … czyli z niewierzącymi może zrobić co uzna za stosowne, posłać ich do piekła albo do nieba. W skrajnym przypadku piekło może pozostać puste i Chrystus nie będzie kłamcą !
7.4 „Równoważność” w obietnicach i groźbach
Obietnice i groźby to przyszłość której nikt nie zna. Równoważność na mocy definicji pozbawia człowieka „wolnej woli” czyli w obietnicy prawa do darowania nagrody przy nie spełnionym warunku nagrody (akt miłości), zaś w groźbie prawa do darowania kary przy spełnionym warunku kary (akt łaski).
Obietnica:
Kupię ci komputer tylko wtedy jak zdasz egzamin
Równoważna implikacja prosta:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Wypowiadając obietnicę w formie równoważności nadawca daje do zrozumienia, iż wystąpi bardzo małe prawdopodobieństwo wręczenia obiecanej nagrody jeśli warunek nagrody nie zostanie spełniony, nic więcej.
Groźba:
Zapłacę ci za ułożenie kafelków tylko wtedy gdy skończysz do soboty
Równoważna implikacja odwrotna:
Jeśli nie skończysz układania kafelków do soboty to ci nie zapłacę
~K~>~Z
Prawo Kubusia:
~K~>~Z = K=>Z
Jeśli ułożysz kafelki do soboty to ci zapłacę
K=>Z
Nadawca może grozić w dowolnie ostrej formie, jednak ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego (akt łaski), inaczej jego wolna wola leży w gruzach.
8.0 Podsumowanie
Ten punkt zawiera esencję wszystkiego co należy zapamiętać, dalej mamy logikę przedszkolaka.
Z przymrużeniem oka … czyli matematyczna historia powstania naszego Wszechświata.
Na początku było:
1=1
i stał się cud:
(p+~p)=(q+~q)
p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
czyli:
p=>(q+~q)
~p=>(~q+q)
Równoważność:
| Kod: |
p q p<=>q
p=> q =1
p=>~q =0
~p=>~q =1
~p=> q =0
|
W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja, zatem ostatnie dwie linie ulegają rozczepieniu:
Operatorowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
p=> q =1
p=>~q =0
~p~>~q =1
~p~~>q =1
|
lub pierwsze dwie linie z definicji równoważności ulegają rozczepieniu:
Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p~>q
p~> q =1
p~~>~q =1
~p=> ~q =1
~p=> q =0
|
Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>
8.1 Geneza zero-jedynkowych tabel operatorów logicznych
Zero-jedynkowe tabele operatorów logicznych generuje naturalna logika człowieka, nigdy odwrotnie. Błędem jest zatem twierdzenie dzisiejszych logików (KRZ), jakoby logika polegała na analizie wszystkich możliwych śmieci i dopasowywaniu do nich tabel zero-jedynkowych.
Dowód:
W definicjach operatorowych opuszczamy operatory oraz przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=o
stąd otrzymujemy.
Zero-jedynkowa definicja równoważności:
| Kod: |
p q p<=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0
|
Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
| Kod: |
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
|
CND
9.0 Geneza klęski dzisiejszej logiki w obszarze implikacji
… czyli jak to było możliwe, że człowiek na poprawne rozszyfrowania implikacji którą się posługuje czekał aż 2500 lat.
Gdziekolwiek byśmy nie kliknęli w Internecie to zawsze na pierwszej lekcji logiki znajdziemy to wytłuszczone niżej.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Cytat: |
Jeżeli implikacja p => q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p.
|
Jest oczywistym że implikacja jest jedna. Nie może być tak że w matematyce obowiązuje to co wyżej, zaś poza matematyką jest cokolwiek innego.
Weźmy teraz bezdyskusyjną implikację matematyczną:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Implikacja prosta prawdziwa bo P8 jest wystarczające dla P2
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Oczywistym jest, że spełniona tu będzie zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1
|
Oczywiście definicja implikacji odwrotnej to coś fundamentalnie innego od powyższego:
| Kod: |
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0
|
Żaden matematyk nie zaprzeczy że:
p=>q # p~>q
bo to dwie fundamentalnie różne tabele zero-jedynkowe.
Po zamianie p i q w powyższym przykładzie P8=>P2 musimy wylądować w poprawnej implikacji odwrotnej, zgodnie z zapisem w podręczniku do I klasy LO:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym !
Łatwo sprawdzić że spełniona jest tu zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej p~>q podana wyżej.
Na podstawie powyższego mamy zatem:
p=>q # p~>q
czyli:
P8=>P2 # P2~>P8
bo operator => to zupełnie co innego niż operator ~>
W tym miejscu matematycy klasyczni będą protestować.
Zauważmy bowiem, że po obu stronach nierówności mamy różne znaczenie parametrów formalnych p i q.
Lewa strona:
p=P8, q=P2
Prawa strona:
p=P2, q=P8
Odpowiedź Kubusia:
Panowie, algebra Boole’a to algebra bramek logicznych (tu Kubuś jest ekspertem) mająca zero wspólnego z matematyką klasyczną (całki, ekstrema itp). Prawa algebry Boole’a nie muszą pokrywać się z prawami matematyki klasycznej.
Od strony matematycznej jest tu wszystko w porządku.
Definicja implikacji prostej:
p=>q
p musi być wystarczające dla q zgodnie z podręcznikiem do I klasy LO
W przełożeniu na nasz przykład mamy.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
p=>q - definicja implikacji prostej
czyli:
p=P8, q=P2
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
p musi być warunkiem koniecznym dla q zgodnie z podręcznikiem do I klasy LO
Nasz przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
p~>q
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8
p~>q - definicja implikacji odwrotnej
czyli:
p=P2, q=P8
Jak widać, literki p i q na mocy odpowiednich definicji są dokładnie tam gdzie być powinny.
Na podstawie powyższego mamy jak na dłoni poprawne definicje implikacji.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
W implikacji odwrotnej p musi być konieczne dla q, bowiem bez warunki koniecznego implikacja jest na 100% fałszywa np.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8
Implikacja odwrotna jest tu fałszywa, ale całe zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika "może" ~~>, wystarczy jedna prawda. Zauważmy, że jeśli nie zachodzi warunek konieczny w stronę P3~>P8 to na pewno nie zachodzi warunek wystarczający w stronę P8=>P3 i odwrotnie.
Stąd mamy ostatni element logicznej układanki:
~~> - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna czyli warunek konieczny między p i q tu nie zachodzi.
Prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>
Weźmy jeszcze raz na warsztat nasz przykład wyżej:
P8=>P2 # P2~>P8
na podstawie prawa Kubusia zapisujemy:
P8=>P2 = ~P8~>P2 # P2~>P8 = ~P2=>~P8
stąd mamy:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
czyli prawo kontrapozycji jest w implikacji fałszywe.
Twierdzenie Hipcia:
Prawa Kubusia są prawdziwe w implikacji i fałszywe w równoważności
Prawo kontrapozycji jest prawdziwe w równoważności i fałszywe w implikacji
O tym fakcie Kubuś pisał już ze dwa lata temu, bo implikacja i równoważność to dwa rozłączne światy matematyczne. Jeśli cokolwiek jest implikacją to nie może być równoważnością i odwrotnie. Fizycznie niemożliwe jest zrobienie implikacji z równoważności i odwrotnie.
Wszystko co wyżej uzyskaliśmy na podstawie jednego zdania z podręcznika matematyki do I klasy LO.
Weźmy najsłynniejszą tabelkę zero-jedynkową dzisiejszej logiki, przyczynę jej klęski w poszukiwaniu implikacji, którą posługuje się człowiek.
| Kod: |
p q p=>q q=>p p~>q
1 1 1 1 1
1 0 0 1 1
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
|
Z tabeli tej odczytujemy że:
q=>p = p~>q
Powyższe równanie jest poprawne tylko i wyłącznie w równoważności bo tu zachodzi przemienność argumentów która przenosi się na implikacyjną sumę logiczną.
q=>p = ~q+p = p+~q = p~>q
czyli:
q=>p = p~>q
Oczywiście z tego równania wynika, że implikacja odwrotna p~>q jest zbędna w równoważności, co jest oczywistością bo w równoważności interesują nas tylko i wyłącznie warunki wystarczające.
W implikacji mamy do czynienia z brakiem przemienności argumentów co przenosi się na brak przemienności argumentów w sumie logicznej czyli:
q=>p = ~q+p # p+~q = p~>q
Mamy tu zatem paradoks.
Z tabeli zero-jedynkowej wynika że:
q=>p = p~>q
natomiast z równań algebry Boole’a dla implikacji wynika że:
q=>p # p~>q
Jak z tego wybrnąć ?
Rozwiązanie tego paradoksu jest bardzo proste. W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów. Przepiszmy zatem powyższą tabelę umieszczając wszędzie p z lewej strony zaś q z prawej strony.
| Kod: |
p q p=>q p<=q p~>q
1 1 1 1 1
1 0 0 1 1
0 1 1 0 0
0 0 1 1 1
|
Od strony matematycznej to zabieg czysto kosmetyczny, niczego nie zmieniający.
Na podstawie definicji implikacji odwrotnej mamy teraz:
p<=q = p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
gdzie na mocy definicji:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
czyli:
~> = <= - jeśli operator <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym.
… i po bólu, koniec pozornego paradoksu.
Oczywiście funkcja implikacji prostej p=>q na mocy definicji to zupełnie co innego niż funkcja implikacji odwrotnej p~>q, zatem wprowadzenie nowego operatora ~> jest tu konieczne, aby nie było potwornego bałaganu i możliwych niejednoznaczności np.
P8=>P2 = P2<=P8
Powyżej nie wiadomo o co chodzi bo to może być zarówno operator implikacji prostej (czytamy zgodnie ze strzałką jako „musi”), jak i operator implikacji odwrotnej (czytamy przeciwnie do strzałki jako „może”), natomiast niżej mamy 100% matematyczną jednoznaczność:
P2~>P8 = P8<~P2
tu bez problemu odczytamy zapisane symbolicznie zdanie:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = P8<~P2
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8
Oczywiście zapis:
P8=>P2 = P2<=P8
Odczytamy jako implikacje prostą:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2 = P2<=P8
Implikacja prosta prawdziwa bo P8 jest wystarczające dla P2
Bardzo ciekawa jest interpretacja operatora implikacji odwrotnej <= czytanego przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” w groźbach i obietnicach.
~> = <= - jeśli operator <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W<=K
Implikacja odwrotna, bo każdą karę nadawca ma prawo darować
Mamy zatem:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
czyli są to dwie przeciwstawne logiki, jedna dodatnia druga ujemna, która jest która to rzecz gustu. Karę od nagrody każde żywe stworzenie musi odróżniać bo to warunek przetrwania.
Zauważmy, że bez implikacji odwrotnej <= będziemy mieli tak:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
W=>K - ja tego chcę, biegnę do kary
W przełożeniu na świat przyrody będzie to oznaczało że np. foka nie będzie odróżniała ryby (pożywienie) od śmiertelnego wroga (rekina), do obu tych stworzeń będzie sobie płynęła merdając ogonkiem.
9.1 Podsumowanie ponad trzyletniej dyskusji o implikacji na ŚFINII
W dzisiejszej matematyce w zakresie implikacji chory jest fundament, czyli brak jest poprawnej matematycznie definicji implikacji.
Oczywistym jest, że aby cokolwiek udowadniać matematycznie potrzebny jest przede wszystkim poprawny aparat matematyczny.
Implikacja jest fundamentem świata żywego, bez niej życie nie mogłoby istnieć. Niestety, ludzie nie znają poprawnych definicji implikacji i fundamentalnych praw działających w tym obszarze, praw Kubusia. Owszem, zero-jedynkowo znają definicje implikacji prostej=> i odwrotnej ~> jak i prawa Kubusia, ale nie wiedzą w którym kościele dzwony bija czyli nie znają poprawnych interpretacji tych zer i jedynek.
Z implikacją fundamentalny problem polega na tym:
W operatorach AND i OR plus negacji będących fundamentem wszelkiej techniki tworzonej przez człowieka dysponujemy rzeczywistymi urządzeniami. Jeśli coś nie działa to znaczy że popełniliśmy błąd w rozumowaniu. Jeśli popełnimy błąd przy pisaniu programu komputerowego to natychmiast to wyjdzie przy jego uruchomieniu, nie będzie działał prawidłowo co widać. W technikach programowania komputerów dysponujemy wyrafinowanymi technikami pozwalającymi na szybkie znajdowanie błędów, bo błędy popełnia każdy programista.
Implikacja ma w definicji zakodowana przypadkowość (rzucanie monetą), z tego względu jest kompletnie nieprzydatna w świecie techniki. Człowiek nie może tego uruchomić i stwierdzić: nie działa, zatem musiałem popełnić błąd w rozumowaniu. Jedyne czym człowiek dysponuje w problemie rozszyfrowania implikacji to czysta abstrakcja … i wyciąganie wniosków z funkcjonowania otaczającego go świata.
Niestety, do tej pory człowiek nie zauważył tego ostatniego z następującego powodu. Ktoś, nie wiem kto, wymyślił dawno temu badziewie zwane implikacją materialną, ktoś drugi, też nie wiem kto, doszedł do fałszywego wniosku że implikacja odwrotna jest zbędna.
No i tak się to wszystko toczy od prawie 200 lat, czyli jedni matematycy uczą innych matematyków tego co ich uczono. Pewne jest jedno, takiego układu nie może rozbić osoba z tego układu, czyli jeśli Kubuś byłby matematykiem-logikiem to nie miałby żadnych szans na dokonanie takiego przełomu jaki stał się faktem na śfinii. Kubuś z pewnością nie zdałby dzisiejszej matury z matematyki, ale Kubuś jest specjalistą w teorii układów logicznych (nawet parę podręczników napisał) oraz od 30 lat pisze non-stop programy wyłącznie w języku asemblera, czyli symbolicznej algebrze Boole’a (algebrze Kubusia).
Cytat z:
[link widoczny dla zalogowanych]
| silicium2002 o Kubusiu napisał: | | To nie ma sensu. Czy ktoś czytał co za brednie powypisywał na tym forum do którego podał linki. Równie dobrze możemy założyć że 2 # 2 i zacząć pisać nową matematykę. Jestem przeciwny takiemu zaśmiecaniu forum. |
Do odkrycia Kopernika wcześniej czy później musiało dojść … do tego co wydarzyło się na ŚFINII wcale nie musiało dojść.
Matematyk przypadkowo zapewne napisał prawdę…
Tak, całą matematykę w zakresie implikacji trzeba pisać od nowa bo:
1.
Co zostanie matematykom po wyrzuceniu do kosza fałszywych definicji implikacji materialnej, logicznej i ścisłej ? … oczywiście chodzi tu o fałszywe interpretacje kodu zero-jedynkowego implikacji znanego ludziom od około 200 lat.
2.
Co zostanie matematykom po bezdyskusyjnym dowodzie, iż prawa kontrapozycji są fałszywe w implikacji ?
3.
Co zostanie matematykom po bezdyskusyjnym fakcie, iż kwantyfikator duży "dla każdego" wynika z warunku wystarczającego w definicji implikacji prostej (nigdy odwrotnie jak chciałby Macjan), zaś kwantyfikator mały "istnieje" jest do kitu w opisie implikacji odwrotnej ?
4.
Ciekawe czy i kiedy matematycy przyjmą do wiadomości, iż implikacja prosta => nie może istnieć bez implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie ? … operator implikacji odwrotnej ~> jest zatem niezbędny w poprawnej logice klasycznej.
Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym
Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym
Prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>
Prawa Kubusia zostały udowodnione trzema różnymi metodami przez:
Kubuś (wirtualny Internetowy Miś) - metoda zero-jedynkowa
Wuj (matematyk, dr. Fizyki) - metoda równań algebry Boole’a
Uczy (dr. Filozofii) - metoda nie wprost
Jak widać wyżej, dowód prawa Kubusia jest bezdyskusyjny bo dokonany przez niekwestionowanych ekspertów algebry Boole’a … zresztą, to jest dowód na poziomie 16-to latka więc nie podlega dyskusji.
Twierdzenie Kubusia 1:
Jeśli w dowolnej implikacji prawdziwej, prostej => lub odwrotnej ~>, negujemy argumenty to musimy zmienić operator na przeciwny.
Dowód, prawa Kubusia wyżej.
Twierdzenie Kubusia 2:
Każdy kto twierdzi, iż w implikacji prostej prawdziwej po zanegowaniu argumentów można użyć tego samego operatora logicznego twierdzi że 2+2=5
Dowód, prawa Kubusia wyżej.
Twierdzenie 1 może przybrać ostrzejszą formę …
Twierdzenie Kubusia 1A:
W dowolnej implikacji prostej => prawdziwej wymawiając p=>q automatycznie mówimy ~p~>~q bo to jedna i ta sama definicja zero-jedynkowa.
W dowolnej implikacji odwrotnej ~> prawdziwej wymawiając p~>q automatycznie mówimy ~p=>~q bo to jedna i ta sama definicja zero jedynkowa.
Człowiek ma tu zero do powiedzenia bo to jest matematyka pod którą on podlega a nie którą on tworzy.
To jest ta pięta Achillesowa dzisiejszej matematyki
Koniec 2009-09-19
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
