Forum ŚFiNiA Strona Główna ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
 
 FAQFAQ   SzukajSzukaj   UżytkownicyUżytkownicy   GrupyGrupy   GalerieGalerie   RejestracjaRejestracja 
 ProfilProfil   Zaloguj się, by sprawdzić wiadomościZaloguj się, by sprawdzić wiadomości   ZalogujZaloguj 

Algebra Kubusia - Implikacja

 
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 15:23, 01 Lis 2009    Temat postu: Algebra Kubusia - Implikacja
Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).


Algebra Kubusia
Matematyka języka mówionego

Części:
Część I Operatory AND i OR
Część II Implikacja
Część III Nowa teoria implikacji dla zawodowców



Część II
Implikacja

Autor: Kubuś - wirtualny Internetowy Miś
Naszym dzieciom dedykuję

W pracach nad teorią implikacji bezcennej pomocy udzielili Kubusiowi przyjaciele:

Emde (sfinia), Fizyk (ateista.pl), Irbisol (sfinia), Macjan (sfinia), Miki (sfinia), NoBody (ateista.pl), Rafał3006 (sfinia), Rogal (matematyka.pl), tomektomek (ateista.pl), Uczy (wolny), Volrath (sfinia), WujZbój (sfinia), Wyobraźnia (ateista.pl) i inni
Wielkie dzięki, Kubuś !

Szczególne podziękowania Wujowi Zbójowi za jego nieskończoną cierpliwość w dyskusjach z Kubusiem oraz Vorathowi za decydującą o wszystkim dyskusję
Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą sam się posługuje od 2500 lat, do tej pory bezskutecznie (Emde).
To już historia, bowiem w Internecie pojawił się Kubuś.
Kim jest Kubuś ?
Kubuś - wirtualny Internetowy Miś, wysłannik obcej cywilizacji, którego zadaniem było przekazanie ludziom tajemnicy implikacji.
Podpis jest pracą zespołową, Kubuś nigdy by się nie urodził bez przyjaciół którzy pomogli mu w jego ziemskim zadaniu, rzeczywiści autorzy wymienieni są wyżej.


Spis treści:

1.0 Notacja
1.1 Podstawowe definicje i prawa algebry Boole’a
1.2 Definicje implikacji prostej i odwrotnej
1.3 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce

2.0 Implikacja
2.1 Definicja Implikacji prostej =>
2.2 Definicja implikacji odwrotnej ~>
2.3 Prawa Kubusia
2.4 Prawa Kubusia w bramkach logicznych
2.5 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji prostej
2.6 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji odwrotnej
2.7 Logika dodatnia i ujemna w operatorach => i ~>
2.8 Prawo kodowania zdań
2.9 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy
2.9.1 Implikacja prosta - algorytm działania
2.9.2 Implikacja odwrotna - algorytm działania
2.10 Równanie ogólne implikacji
2.11 Twierdzenie Hipcia

3.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej
3.1 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej
3.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej
3.3 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej
3.4 Kubuś na tropie implikacji prostej
3.5 Operatorowa definicja implikacji prostej
3.6 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej
3.7 Gwarancja w implikacji prostej
3.8 O niezbędności operatorów implikacji

4.0 Fundamenty algebry Boole’a
4.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji
4.2 Funkcja iloczynu algebraicznego
4.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)
4.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności
4.5 Równoważność
4.6 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata
5.0 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”

6.0 Obietnice i groźby
6.1 Obietnice
6.2 Groźby
6.3 Znaczenie operatora implikacji odwrotnej ~>
6.4 „Równoważność” w obietnicach i groźbach
6.5 Rodzaje obietnic

7.0 Geneza klęski dzisiejszej logiki w obszarze implikacji
7.1 Podsumowanie ponad trzyletniej dyskusji o implikacji na ŚFINII


Wstęp.

Algebra Kubusia to symboliczna algebra Boole’a, odpowiednik języka asemblera ze świata mikroprocesorów, gdzie praktycznie w 100% izolujemy się od kodu zero-jedynkowego, operując naturalną logiką człowieka. Celem tego podręcznika jest udowodnienie związku naturalnej logiki człowieka z zero-jedynkową algebrą Boole’a w obszarze operatorów implikacji prostej=> i odwrotnej ~>.

Implikacja to fundament logiki człowieka od narodzin do śmierci. Zero-jedynkowe definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> znane są człowiekowi od około 200 lat. Niestety, z powodu błędnej interpretacji kodu zero-jedynkowego matematykom wyszło, iż definicja implikacji odwrotnej ~> jest zbędna.

Kubuś to przybysz ze świata techniki gdzie implikacja nie ma i nie może mieć zastosowania, bowiem w jednej połówce definicji implikacji mamy zawsze przypadkowość czyli „rzucanie monetą”.

Człowiek poszukuje matematycznej wersji implikacji którą posługuje się w naturalnym języku mówionym od 2500 lat, jak do tej pory bezskutecznie. Po trzech latach walki z implikacją Kubuś i przyjaciele wreszcie to wszystko rozszyfrowali.

Łatwo sformułować warunki które musi spełniać poprawna matematycznie teoria języka mówionego.
1.
Teoria musi być niezależna od jakiegokolwiek języka świata
2.
Teoria musi być matematycznie jednoznaczna
3.
Teoria musi opisywać naturalny język mówiony, którym posługują się dzieci w przedszkolu

Symboliczna algebra Kubusia bez problemu spełnia wszystkie trzy warunki.
Algebra Kubusia to algebra Boole’a z dołączonymi do definicji poprawnymi definicjami implikacji prostej => i odwrotnej ~>.

Nowe, nieznane człowiekowi definicje implikacji prostej => i odwrotnej ~> (oczywiście chodzi tu o interpretacje tabel zero-jedynkowych) plus prawa Kubusia działają doskonale w matematyce, przyrodzie martwej i żywej, groźbach i obietnicach oraz opisują takie pojęcia jak „wolna wola” czy „dobro-zło”. Najśmieszniejszy w całej tej historii jest fakt, że człowiek nie musi się uczyć matematycznej wersji swojej logiki, po prostu ma ją wyssaną z mlekiem matki, wystarczy że będzie logicznie myślał i zapisywał swoje myśli w postaci równań algebry Kubusia w przełożeniu 1/1.

Matematyka języka mówionego zbudowana jest na bardzo prostym aksjomacie rodem z teorii cyfrowych układów logicznych.

Aksjomat matematyki języka mówionego:
Jak logicznie myślimy, tak matematycznie zapisujemy. Mówimy „NIE” zapisujemy (~), mówimy „i” zapisujemy AND(*), mówimy “lub” zapisujemy OR(+), w implikacji mówimy “musi” zapisujemy ( =>), mówimy “może” zapisujemy (~> lub ~~>).


1.0 Notacja

* - symbol iloczynu logicznego (AND), w mowie potocznej spójnik 'i'
+ - symbol sumy logicznej (OR), w mowie potocznej spójnik "lub"
~ - przeczenie, negacja (NOT), w mowie potocznej "NIE"
~(…) - nie może się zdarzyć
# - różne
Twarda prawda/fałsz - zachodzi zawsze, bez żadnych wyjątków (warunek wystarczający =>)
Miękka prawda/fałsz - może zajść, ale nie musi (warunek konieczny ~>)


1.1 Definicje implikacji prostej i odwrotnej

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Wnioski z definicji:
Jeśli implikacja prostą p=>q jest prawdziwą (spełniony warunek wystarczający) to po zamianie p i q implikacja odwrotna p~>q też musi być prawdziwa (spełniony warunek konieczny)
Jeśli implikacja odwrotna p~>q jest prawdziwa (spełniony warunek konieczny) to po zamianie p i q implikacja prosta p=>q też musi być prawdziwa (spełniony warunek wystarczający)

Z powyższego wynika że zamiast badać czy zachodzi warunek konieczny w implikacji odwrotnej p~>q można badać czy po zamianie p i q zachodzi warunek wystarczający w implikacji prostej p=>q.


1.2 Definicje i prawa algebry Boole’a w pigułce

Podstawy algebry Boole’a omówiono szczegółowo w części I podręcznika „Algebra Kubusia - operatory AND i OR”

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.
Y=A1*A2* … *An =1 <=> A1=1, A2=1 … An=1

Definicja równoważna:
Iloczyn logiczny jest równy zeru jeśli którakolwiek zmienna jest równa zeru.
Y=1*1*1*0*1 =0

Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru
Y = A1+A2+… An =0 <=> A1=0, A2=0 …An=0

Definicja równoważna:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa jeden gdy którakolwiek ze zmiennych jest równa jeden.
Y=1+1+1+0+1 =1

Zmienna binarna:
Zmienna binarna to zmienna, mogąca przyjmować w osi czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 0 albo 1.

Funkcja logiczna:
Funkcja logiczna Y to funkcja n-zmiennych binarnych połączonych operatorami AND(*) lub OR(+).
Przykład:
Y = A+(B*C) ….

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach AND i OR:
Logika dodatnia (Y) to odpowiedź na pytanie kiedy dotrzymam słowa (wystąpi prawda), zaś logika ujemna (~Y) to odpowiedź na pytanie kiedy skłamię (wystąpi fałsz).

Związek logiki dodatniej z logiką ujemną opisuje równanie:
Y = ~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach implikacji => i ~>:
Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.

Prawo przedszkolaka:
W dowolnej funkcji logicznej Y algebry Boole’a z operatorami AND i OR przejście do logiki przeciwnej uzyskujemy poprzez negację zmiennych i wymianę operatorów na przeciwne.

Przykładowa funkcja logiczna:
Y=A+(B*~C)
Przejście do logiki przeciwnej:
~Y=~A*(~B+C)
Oczywiście:
Y=~(~Y)
stąd prawo de’Morgana:
A+(B*~C) = ~A*(~B+C)

Prawa de’Morgana:
p*q = ~(~p+~q) - prawo zamiany operatora AND(*) na OR(+)
p+q = ~(~p*~q) - prawo zamiany operatora OR(+) na AND(*)

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Przykład:
Definicja implikacji prostej =>.
Kod:

p q  Y=p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Najprostsze równanie uzyskamy z linii drugiej bowiem w wyniku mamy tu samotne zero.

Z tabeli widzimy że:
A.
Y=0 <=> p=1 i q=0
Przejście z takiego zapisu do równań algebry Boole’a jest banalne. Należy skorzystać z definicji iloczynu logicznego sprowadzając wszystkie zmienne do jedynki albo z definicji sumy logicznej sprowadzając wszystkie zmienne do zera.

Sposób I
Sprowadzamy wszystkie zmienne do jedynki:
B.
Y=0 czyli ~Y=1
p=1
q=0 czyli ~q=1

Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.

Korzystając z A i B na podstawie tej definicji mamy:
~Y = p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q

Sposób II
Sprowadzamy wszystkie zmienne do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.

Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie składniki sumy są równe zeru

Na podstawie równania A mamy:
C.
Y=0
p=1 czyli ~p=0
q=0
Korzystając z A i C na podstawie definicji sumy logicznej mamy:
Y=~p+q
czyli:
p=>q = ~p+q

Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla drugiej linii tabeli gdzie w wyniku było zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.


2.0 Implikacja

Algebra Boole’a to algebra bramek logicznych. Fundamentem całego świata techniki są zaledwie dwie bramki logiczne AND(*) i OR(+) plus negator. W świecie techniki bramki implikacji prostej => i odwrotnej ~> nie są i nie mogą być używane ze względu na występującą w tych definicjach przypadkowość. Bramki logiczne to graficzna ilustracja algebry Boole’a pozwalająca na lepsze zrozumienie matematycznych przekształceń, z tego powodu najważniejsze przekształcenia matematyczne będą ilustrowane w technice bramek logicznych.

Oczywistość:
Implikacja jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy spełnia pełną zero-jedynkową definicję implikacji.


2.1 Definicja Implikacji prostej =>

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

Tabela A
p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

p=>q=0 wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i q=0
To dziewicza i najstarsza znana człowiekowi definicja implikacji prostej.

Definicję równoważną w równaniu algebry Boole’a łatwo otrzymujemy z drugiej linii sprowadzając wszystkie sygnały do zera i stosując definicję sumy logicznej. Zasady tworzenia równań algebry Boole’a z dowolnie dużej tabeli zero-jedynkowej omówiono w części pierwszej.

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p+q

Na podstawie tej definicji łatwo konstruujemy bramkę implikacji prostej, którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią p. W technice cyfrowej symbolem negacji jest kółko „O”.

Bramkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

  p   q
  |   |
 -------
 |O => |
 |  OR |
 -------
    |
   p=>q

Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy niezanegowaną linię q.


2.2 Definicja implikacji odwrotnej ~>

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

Tabela B
p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

p~>q=0 wtedy i tylko wtedy gdy p=0 i q=1
To dziewicza i najstarsza znana człowiekowi definicja implikacji odwrotnej.

Definicję równoważną w równaniu algebry Boole’a łatwo otrzymujemy z ostatniej linii sprowadzając wszystkie sygnały do zera i stosując definicję sumy logicznej.

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = p+~q

Na podstawie tej definicji mamy bramkę implikacji odwrotnej którą jest bramka sumy logicznej OR z zanegowaną w środku linią q.

Bramkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

  p   q
  |   |
 -------
 | ~> O|
 |  OR |
 -------
    |
   p=>q

Stojąc na przewodzie p, punkcie odniesienia, widzimy zanegowaną linię q.


2.3 Prawa Kubusia

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Dowód autorstwa Wuja Zbója:
A.
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
B.
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>
Dla prawej strony korzystamy z definicji operatora implikacji odwrotnej ~> (B):
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
bo:
~(~q)=q - prawo podwójnego przeczenia
p=>q = ~p+q - definicja A
CND

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>
Dla prawej strony korzystamy z definicji implikacji prostej => (A):
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
bo:
~(~p)=p - prawo podwójnego przeczenia
p~>q = p+~q - definicja B
CND

Oczywiście na mocy definicji:
p=>q # p~>q
czyli:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q # p~>q = ~p=>~q = p+~q - na mocy praw Kubusia i definicji implikacji

Dowód prawa Kubusia metoda zero-jedynkową.

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na równoważną implikację odwrotną ~>.

Dowód metodą zero-jedynkową:
Kod:

p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 1     0  0  1
1 0 0     0  1  0
0 0 1     1  1  1
0 1 1     1  0  1

Równość kolumn wynikowych trzeciej i ostatniej jest dowodem poprawności prawa Kubusia.
Drugie z praw Kubusia dowodzi się analogicznie.


2.4 Prawa Kubusia w bramkach logicznych

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być wystarczające dla q

Stąd bramka implikacji prostej to układ logiczny OR z zanegowanym w środku bramki wejściem p.
Kod:

Bramka „musi” =>
 p   q
 |   |
 |   |
-------
|O => |
|musi |
|OR   |
-------
   |
   |
  p=>q

Stojąc na przewodzie p (punkt odniesienia) widzimy niezanegowaną linię q

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być konieczne dla q

Stąd bramka implikacji odwrotnej to układ logiczny OR z zanegowanym w środku bramki wejściem q.
Kod:

Bramka „może” ~>
 p   q
 |   |
 |   |
-------
| ~> O|
|może |
|OR   |
-------
   |
   |
  p~>q

Stojąc na przewodzie p (punkt odniesienia) widzimy zanegowaną linię q

Układ zastępczy bramki implikacji prostej

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Kod:

 p   q       p   q       p   q
 |   |       |   |       |   |
 |   |       O   O       O   O
 |   |       |~p |~p     |~p |~q
 |   |       O   O       |   |
 |   |       |p  |q      |   |
-------     -------     -------
|O => |  =  |O => |  =  | ~> O|
|musi |     |musi |     |może |
|OR   |     |OR   |     |OR   |
-------     -------     -------
   |           |           |
   A           B           C
  p=>q        p=>q       ~p~>~q


Na schemacie B wprowadzamy w linie wejściowe po dwie negacje.
Oczywiście układ nie ulegnie zmianie zgodnie z prawem podwójnego przeczenia.
p=~(~p)

Na rysunku C wpychamy po jednej negacji do środka bramki OR.
Negacja z wejście p przemieści się na wejście q (bo ~(~p)=p), zaś bramka stanie się bramką implikacji odwrotnej zgodnie z jej definicją bramkową wyżej.

Bramka A jest równoważna bramce C czyli:
p=>q = ~p~>~q - prawo Kubusia

To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1    0  0  =1
1 0 =0    0  1  =0
0 0 =1    1  1  =1
0 1 =1    1  0  =1

Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramka implikacji prostej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji odwrotnej.

Układ zastępczy bramki implikacji odwrotnej ~>

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Kod:

 p   q       p   q       p   q
 |   |       |   |       |   |
 |   |       O   O       O   O
 |   |       |~p |~p     |~p |~q
 |   |       O   O       |   |
 |   |       |p  |q      |   |
-------     -------     -------
| ~> O|  =  | ~> O|  =  |O => |
|może |     |może |     |musi |
|OR   |     |OR   |     |OR   |
-------     -------     -------
   |           |           |
   A           B           C
  p~>q        p~>q       ~p=>~q

Bramka A jest równoważna bramce C czyli:
p~>q = ~p=>~q - prawo Kubusia

To samo co wyżej w tabeli zero-jedynkowej:
Kod:

p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
1 1 =1    0  0  =1
1 0 =1    0  1  =1
0 0 =1    1  1  =1
0 1 =0    1  0  =0

Doskonale widać iż w logice dodatniej (q) mamy do czynienia z bramka implikacji odwrotnej, natomiast w logice ujemnej (~q) z bramką implikacji prostej.

Zauważmy, że w przypadku praw Kubusia (w przeciwieństwie do praw de’Morgana) na wyjściu bramki nie musieliśmy wprowadzać dwu negatorów. Wstawiamy tu wyłącznie po dwie negacje w linie wejściowe co oczywiście również nie zmienia w żaden sposób układu cyfrowego.

Oczywiście na mocy definicji zachodzi:
p=>q # p~>q
czyli:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q # p~>q = ~p=>~q = p+~q - na mocy praw Kubusia


2.5 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji prostej

Definicja zero-jedynkowa implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej to po prostu rozpisane wszystkie przypadki jakie mogą w przyszłości wystąpić. Najłatwiej to zrozumieć przechodząc na symboliczną definicję implikacji prostej.

Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd symboliczna definicja implikacji prostej;
Kod:

 p  q p=>q
 p  q =1
 p ~q =0
~p ~q =1
~p  q =1

Z pierwszych dwóch linii widać, że jeśli zajdzie p to „musi” zajść q bo druga linia jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić czyli:
Kod:

A: p=>q =1
B: p=>~q=0

Wynika z tego że p musi być wystarczające dla q, inaczej druga linia nie będzie twardym fałszem, stąd definicja implikacji prostej.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” zajść q
p musi być wystarczające dla q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” => miedzy p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym.

… a jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q

Jeśli zajdzie ~p to może zajść ~q
Kod:
C: ~p~>~q=1
LUB
Jeśli zajdzie ~p to może zajść q
Kod:
D: ~p~~>q=1
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
1 1 =1
Bycie psem jest wystarczające dla czterech łap, implikacja prosta prawdziwa
Druga linia przybierze tu postać:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
1 0 =0
Oczywisty fałsz bo wszystkie psy mają cztery łapy. Psy kalekie z inną ilością łap służą do obalania logiki (w wariatkowie), dlatego musimy je z logiki usunąć, mając świadomość że takie istnieją.
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
0 0 =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap, implikacja odwrotna prawdziwa.
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
0 1 =1
Doskonale widać wyżej tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
Ostatnie zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda), nie jest to implikacja odwrotna.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

A: p=>q =1
B: p=>~q=0
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
C: ~p~>~q=1
LUB
D: ~p~~>q=1

Operatorowa definicja implikacji prostej z podkładem zero-jedynkowym:
Kod:

A: p=>q =1
   1 1 =1
B: p=>~q=0
   1 0 =0
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
C: ~p~>~q=1
    0 0 =1
LUB
D: ~p~~>q=1
    0 1 =1

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Doskonale też widać, że prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej implikacji prostej, zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~>.

Ostatnie zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda), nie jest to implikacja odwrotna prawdziwa ~p~>q.

Dowód nie wprost:
Załóżmy, że ~p~>q jest implikacja odwrotną prawdziwą.
Obowiązuje wówczas prawo Kubusia:
Kod:
D:~p~>q = B:p=>~q =0

Zdanie B jest oczywistym fałszem, zatem D nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
CND

Ostatnie zdanie jest prawdziwe na mocy równania:
(~p~>q) + (~p~~>q) = 0 + 1 =1
Czyli implikacja odwrotna ~p~>q jest fałszywa, ale zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~p~~>q (wystarczy jedna prawda)

Sens implikacji prostej:
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko p=>~q=0, pozostałe będą pełne, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w definicji implikacji. Najważniejsze w implikacji prostej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna p=>q=1.


2.6 Symboliczna i operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej:
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Przyjmujemy:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Stąd symboliczna definicja implikacji odwrotnej;
Kod:

 p  q p~>q
 p  q =1
 p ~q =1
~p ~q =1
~p  q =0

Z pierwszych dwóch linii widać że:

Jeśli zajdzie p to „może” zajść q
Kod:
A:p~>q=1

LUB
Jeśli zajdzie p to może zajść ~q
Kod:
B:p~~>~q=1


Z powyższego wynika, że p musi być warunkiem koniecznym dla q inaczej pierwsza linia będzie twardym fałszem, implikacja odwrotna będzie fałszywa.

Przykład:
Jeśli zwierze ma skrzydła to może być psem
S~>P=0
Skrzydła nie są konieczne dla psa, implikacja oczywiście fałszywa

Stąd definicja implikacji odwrotnej.

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być konieczne dla q
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ~> między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym.

Zauważmy, że jeśli p jest konieczne dla q (pierwsza linia) to zajście ~p wymusza zajście ~q. Stąd w sposób naturalny otrzymaliśmy dowód prawa Kubusia.

… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Kolejne dwie linie tabeli to oczywiście operator implikacji prostej =>, spójnik „musi”.
Kod:

C:~p=>~q =1
D:~p=>q =0

Twarda prawda w linii C wymusza fałsz w linii D.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
1 1 =1
Cztery łapy są konieczne dla psa, implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń
1 0 =1
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura
0 0 =1
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

A: p~> q =1
LUB
B: p~~>~q=1
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q= ~p=>~q
C: ~p=>~q=1
D: ~p=> q=0

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej z podkładem zero-jedynkowym:
Kod:

A: p~> q =1
   1 1 =1
LUB
B: p~~>~q=1
   1 0 =1
… a co będzie jeśli zajdzie ~p ?
Prawo Kubusia:
p~>q= ~p=>~q
C: ~p=>~q=1
    0 0 =1
D: ~p=> q=0
    0 1 =0

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1=1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Doskonale też widać, że prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej implikacji odwrotnej, zatem implikacja odwrotna ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej =>.

Linia B: p~~>~q=1 jest prawdziwa na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda)

Zauważmy, że implikacja odwrotna w linii B jest wykluczona na mocy prawa Kubusia:
B: p~>~q = D: ~p=>q=0
Zdanie D jest oczywistym fałszem, zatem implikacja B: p~>~q nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.

Zdanie B jest prawdziwe na mocy tego równania:
(p~>~q) + (p~~>~q) = 0 + 1 =1
Implikacja odwrotna p~>~q jest fałszywa, ale całe zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika może ~~>, wystarczy jedna prawda.

Sens implikacji odwrotnej:
Po nieskończonej ilości losowań puste będzie wyłącznie pudełko ~p=>q=0, pozostałe będą pełne, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w definicji implikacji. Najważniejsze w implikacji odwrotnej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna ~p=>~q=1.


2.7 Logika dodatnia i ujemna w operatorach => i ~>

Prawa Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora implikacji prostej => na odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora implikacji odwrotnej ~> na prostą =>

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Z praw Kubusia wynika, że implikacja prosta => w logice dodatniej jest równoważna implikacji odwrotnej ~> w logice ujemnej i odwrotnie, czyli implikacja odwrotna ~> w logice dodatniej jest równoważna implikacji prostej => w logice ujemnej.


2.8 Prawo kodowania zdań

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q - zamiana operatora => na ~>

Dowód zero-jedynkowy:
Kod:

Tabela A  Tabela A1
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1    0  0  =1
1 0 =0    0  1  =0
0 0 =1    1  1  =1
0 1 =1    1  0  =1

Po lewej stronie mamy tu tabelę zero-jedynkowa implikacji prostej A, natomiast po prawej stronie tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej A1. Linie w tabeli implikacji możemy dowolnie przestawiać, przestawmy w tabeli A1 dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi.
Kod:

Tabela B  Tabela B1
p q p=>q ~p ~q ~p~>~q
1 1 =1    1  1  =1
1 0 =0    1  0  =1
0 0 =1    0  0  =1
0 1 =1    0  1  =0

Zauważmy teraz, że tabela implikacji prostej B zakodowana jest w logice dodatniej (q niezanegowane):
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Natomiast tabela implikacji odwrotnej B1 zakodowana jest w logice ujemnej (q zanegowane):
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Zero-jedynkowo tabela implikacji prostej => jest czymś zupełnie innym niż zero-jedynkowa tabela implikacji odwrotnej ~>, ale zdania p=>q i ~p~>~q są matematycznie równoważne co widać w tabelach A i A1.

Stąd mamy:

Prawo kodowania zdań
Dowolne zdanie nowo wypowiedziane traktujemy jako prawdziwe nadając mu wstępnie 1 1 =1.

Oczywiście wcale nie musi być to zdanie prawdziwe, co możemy stwierdzić analizując zdanie.

Przykład z powyższych tabel.
Implikacja prosta:
Zdanie wypowiedziane B:
p=>q =1
1 1 =1
Zdanie wypowiedziane B1:
~p~>~q=1
1 1 =1

Przykład B_B1:

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest wystarczające dla czterech łap, implikacja prosta prawdziwa

Analiza B:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1
1 1 =1
Bycie psem jest wystarczające dla czterech łap, implikacja prosta prawdziwa
Stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
1 0 =0
… a jeśli zwierze nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
0 0 =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap, implikacja odwrotna prawdziwa.
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
0 1 =1
Wnioski:
1.
Doskonale widać wyżej tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0
2.
Prawo Kubusia zachodzi w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej i odwrotnie, co widać niżej

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap, implikacja odwrotna prawdziwa.

Analiza B1:
C.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1 bo kura
1 1 =1
Nie bycie psem jest warunkiem koniecznym, aby nie mieć czterech łap, implikacja odwrotna prawdziwa.
LUB
D.
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L=1 bo słoń
1 0 =1
… a jeśli zwierze jest psem ?
Prawo Kubusia:
~P~>~4L = P=>4L
czyli:
A.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L=1 bo pies
1 1 =1
Bycie psem jest wystarczające dla czterech łap, implikacja prosta prawdziwa
Stąd:
B.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
1 0 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~P=1, P=0
~4L=1, 4L=0

Zauważmy, że od strony zdań wypowiedzianych analiza B jest identyczna jak analiza B1 z dokładnością do każdej literki i przecinka, co jest dowodem poprawności praw Kubusia. Przestawione są tylko dwie pierwsze linie z dwoma ostatnimi co jest bez znaczenia bo linie w tabeli implikacji linie możemy dowolnie przestawiać.


Dokładnie to samo można zrobić z drugim prawem Kubusia:
p~>q = ~p=>~q - zamiana operatora ~> na =>

Dowód zero-jedynkowy:
Kod:

Tabela C  Tabela C1
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
1 1 =1    0  0  =1
1 0 =1    0  1  =1
0 0 =1    1  1  =1
0 1 =0    1  0  =0

Tabela C to zero-jedynkowa definicja implikacji prostej, natomiast tabela C1 to zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej. Oczywiście na mocy prawa Kubusia zdania p~>q i ~p=>~q są matematycznie równoważne.
Linie w tabeli zero-jedynkowej wolno nam dowolnie przestawiać, przestawmy w tabeli C1 dwie pierwsze z dwoma ostatnimi.
Kod:

Tabela D  Tabela D1
p q p~>q ~p ~q ~p=>~q
1 1 =1    1  1  =1
1 0 =1    1  0  =0
0 0 =1    0  0  =1
0 1 =0    0  1  =1

Zauważmy teraz, że tabela implikacji odwrotnej D zakodowana jest w logice dodatniej (q niezanegowane):
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Natomiast tabela implikacji prostej D1 zakodowana jest w logice ujemnej (q zanegowane):
~p=1, p=0
~q=1, q=0

Implikacja odwrotna:
Zdanie wypowiedziane D:
p~>q =1
1 1 =1
Zdanie wypowiedziane D1:
~p=>~q =1
1 1 =1

Przykład D_D1:

Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P
Cztery łapy są konieczne dla psa, implikacja odwrotna prawdziwa

Analiza D:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
1 1 =1
Cztery łapy są konieczne dla psa, implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń
1 0 =1
… a jeśli zwierze nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura
0 0 =1
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0
Doskonale widać także, że prawo Kubusia zachodzi w obrębie jednej i tej samej zero-jedynkowej definicji implikacji odwrotnej, zatem implikacja odwrotna ~> nie może istnieć bez operatora implikacji prostej => i odwrotnie.


Zdanie wypowiedziane:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P
Brak czterech łap jest warunkiem wystarczającym aby nie być psem, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa.

Analiza D1:
C.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P=1 bo kura
1 1 =1
D.
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P=0
1 0 =0
… a jeśli zwierzę ma cztery łapy ?
Prawo Kubusia:
~4L=>~P = 4L~>P
czyli:
A.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P=1 bo pies
0 0 =1
Cztery łapy są konieczne dla psa, implikacja odwrotna prawdziwa
LUB
B.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P=1 bo słoń
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
~4L=1, 4L=0
~P=1, P=0

Jak widać zdania w analizach D i D1 są identyczne z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka co jest dowodem poprawności praw Kubusia. Oczywiście przestawienie linii w analizach D i D1 nie ma żadnego znaczenia bo linie w definicji implikacji możemy dowolnie przestawiać.


2.9 Implikacja prosta i odwrotna - algorytmy

Działanie mózgu w obsłudze operatorów implikacji jest identyczne jak działanie każdego komputera z fundamentalnym wyjątkiem. W definicjach implikacji mamy w każdej połówce przypadkowość, co jest absurdem w technice.

2.9.1 Implikacja prosta - algorytm działania

Implikację „Jeśli p to q” mózg człowieka obsługuje w dwóch taktach w pierwszym bada zgodność z p zaś w drugim zgodność z q. W żadnej chwili czasowej nie ma wykroczenia poza dwuelementową algebrę Boole’a.

Algorytm działania implikacji prostej =>:
Kod:

Zdanie wypowiedziane:
p=>q
                        musi
         Jeśli         |-----  q --- p=>q=1
        |-----  p -----|musi         1 1 =1
        |              |----- ~q --- p=>~q=0
        |                            1 0 =0
        |
X => ---|
        |
        |               może
        |Jeśli         |----- ~q --- ~p~>~q=1
        |----- ~p -----|może          0 0 =1
                       |-----  q --- ~p~~>q=1
                                      0 1 =1

Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Jak widać, w pierwszym takcie podejmujemy decyzją czy iść drogą p czy też ~p co zależy od wylosowanego elementu X. W drugim takcie zawsze mamy tylko i wyłącznie dwie możliwości do wyboru, zatem cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.

Sens implikacji prostej:
Po nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka będą pełne za wyjątkiem pudełka p=>~q=0 które będzie puste, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w implikacji prostej. Najważniejsze w implikacji prostej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna p=>q=1.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem wystarcza aby mieć cztery łapy, zatem implikacja prosta prawdziwa
Analiza:
P=>4L =1 - w tym pudełku wszystkie ziemskie psy. Gwarancja w implikacji prostej !
1 1 =1
stąd:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L =0 - pudełko puste
1 0 =0
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
czyli:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~> nie mieć czterech łap
~P~>~4L =1 - w tym pudełku wąż, kura, mrówka …
0 0 =1
LUB
Jeśli zwierzę nie jest psem to może ~~> mieć cztery łapy
~P~~>4L =1 - w tym pudełku słoń, koń, hipopotam …
0 1 =1
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
P=1, ~P=0
4L=1, ~4L=0


2.9.2 Implikacja odwrotna - algorytm działania

Algorytm działania implikacji odwrotnej:
Kod:

Zdanie wypowiedziane:
p~>q
                        może
         Jeśli         |-----  q --- p~>q=1
        |-----  p -----|może         1 1 =1
        |              |----- ~q --- p~~>~q=1
        |                            1 0 =1
        |
Y ~> ---|
        |
        |               musi
        |Jeśli         |----- ~q --- ~p=>~q=1
        |----- ~p -----|musi          0 0 =1
                       |-----  q --- ~p=>q=0
                                      0 1 =0
 

Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Tu także implikacja obsługiwana jest w dwóch taktach. W pierwszym następuje decyzja czy iść linią p czy też ~p w zależności od wylosowanego elementu Y. W drugim takcie mamy do wyboru zawsze dwie możliwości czyli cały czas jesteśmy w dwuelementowej algebrze Boole’a.

Sens implikacji odwrotnej:
Po nieskończonej ilości losowań wszystkie pudełka będą pełne za wyjątkiem pudełka ~p=>q=0 które będzie puste, stąd taki a nie inny rozkład zer i jedynek w implikacji odwrotnej. Najważniejsze w implikacji odwrotnej nie jest puste pudełko, ale gwarancja matematyczna ~p=>~q=1.

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P =1
Cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa.
Analiza:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~> być psem
4L~>P =1 - w tym pudełku wszystkie ziemskie psy
1 1 =1
LUB
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może ~~> nie być psem
4L~~>~P =1 - w tym pudełku słoń, koń, hipopotam …
1 0 =1
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P =1 - w tym pudełku wąż, kura, mrówka … Gwarancja w implikacji odwrotnej !
0 0 =1
z czego wynika:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => jest psem
~4L=>P =0 - pudełko puste
0 1 =0
Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
4L=1, ~4L=0
P=1, ~P=0

Podsumowanie:
1.
Zauważmy, że gwarancja w implikacji prostej => jest fundamentalnie inna od gwarancji w implikacji odwrotnej ~> (zawartość pudełek).
2.
Wyobraźmy sobie teraz powyższe algorytmy implikacji jako czarne pudełko z jednym wejściem i czterema wyjściami. Jeśli zdanie jest implikacją to elementy wrzucane do tego pudełka segregowane są na cztery zbiory z których jeden jest zawsze pusty. Oznacza to, że implikacja jest wirtualną logiką czterowartościową i rzeczywistą dwuwartościową co wynika z powyższych algorytmów.

Zauważmy że w przykładach wyżej mamy.

Implikacja prosta:
1.
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Na podstawie definicji implikacji prostej mamy:
P=>4L = ~(P*~4L) # ~(~4L*P)
gdzie:
P=>4L = ~(P*~4L)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap.
~(P*~4L)
Gwarancja: Pies

Natomiast:
~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
Gwarancja: wąż, kura, mrówka …
Czyli to jest gwarancja z fundamentalnie innej definicji implikacji odwrotnej 4L~>P jak niżej !


Implikacja odwrotna:
2.
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Gwarancja w implikacji odwrotnej wynika z prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
~4L=>~P
Na mocy definicji implikacji mamy:
4L~>P = ~4L=>~P = 4L+~P = ~(~4L*P) # ~(P*~4L)
czyli:
~4L=>~P = ~(~4L*P)
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
~(~4L*P)
Gwarancja: wąż, kura, mrówka …

Natomiast:
~(P*~4L)
nie może się zdarzyć, że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
Gwarancja: pies
Czyli to jest gwarancja z fundamentalnie innej definicji implikacji prostej P=>4L jak wyżej !

Bardzo ważny wniosek
W przekształceniach na równoważnych definicjach implikacji wyrażonych w operatorach AND i OR w czasie przekształceń można sobie robić sieczkę na podstawie prawa poprawnego punktu odniesienia w implikacji (pkt.2.10), ale aby prawidłowo odczytać sens implikacji wyrażonej w AND i OR musimy przed odczytem uporządkować parametry zgodnie z zapisem operatorowym implikacji !

Przykład:
Zastana rzeczywistość:
4L~>P # ~(P*~4L)
obowiązkowe porządkowanie zapisu zgodne z wektorem 4L~>P !
4L~>P = ~(~4L*P)
dopiero teraz mamy dokładnie to samo po obu stronach tożsamości !

Wniosek końcowy;
Z powodów jak wyżej operatory implikacji prostej => i odwrotnej ~> są w logice niezbędne, czyli nie jest tak jak to twierdzi dzisiejsza logika że można je łatwo zastąpić operatorami AND i OR.


2.10 Równanie ogólne implikacji

Matematyczna oczywistość:
A.
p=>q # q=>p
B.
p~>q # q~>p
Na mocy definicji mamy:
C.
p=>q = ~p+q # p~>q = p+~q
Z powyższym każdy matematyk musi się zgodzić.

Zapiszmy teraz wszystkie możliwe wzorki po obu stronach powyższej nierówności z uwzględnieniem praw Kubusia.

Równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)

Prawo poprawnego punktu odniesienia w implikacji:
Jedyny poprawny punkt odniesienia w implikacji „Jeśli…to…” to:
Po „Jeśli…” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q.

Wynika z tego że …

Zapisy legalne, zgodne z poprawnym punktem odniesienia:
p=>q - implikacja prosta
Jeśli zajdzie p to musi zajść q
p musi być wystarczające dla q

p~>q - implikacja odwrotna
Jeśli zajdzie p to może zajść q
p musi być konieczne dla q

Zapisy nielegalne, niezgodne z poprawnym punktem odniesienia:
q~>p
q=>p

Weźmy teraz konkretny przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
Jeśli zamienimy p i q i użyjemy tego samego operatora to otrzymamy implikację odwrotną fałszywą, oczywistość wynikła z równania A czyli:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to na pewno => jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 bo 2
Jeśli zdanie jest fałszywe to wyrzucamy je do kosza z napisem „śmieci” bowiem w poprawnej matematyce z fałszu nie da się wyprodukować prawdy. Miejsce aparatu matematycznego gdzie z fałszu może powstać prawda (np. KRZ) jest w koszu na śmieci.

Jest oczywistym, że jeśli implikacja prosta jest prawdziwa p=>q to musi być prawdziwa implikacja odwrotna p~>q powstała poprzez zamianę p i q w implikacji prostej.

Dla naszego przykładu mamy:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
P2 jest konieczne dla P8, zatem jest to implikacja odwrotna prawdziwa, wspaniale spełniająca tabelę zero-jedynkową implikacji odwrotnej.

Równanie ogólne implikacji:
p=>q = ~p~>~q = ~p+q = ~(p*~q) # p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q)

Oczywiście implikacja odwrotna prawdziwa p~>q powstaje poprzez zamianę p i q w implikacji prostej prawdziwej i odwrotnie.

Na mocy powyższego dla naszego przykładu mamy:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2) # P2~>P8 = ~P2=>P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8)

W implikacji poprawnym punktem odniesienia jest zawsze zdanie wypowiedziane, czyli po „Jeśli…” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q.

Poprawny zapis dla naszego przykładu jest zatem taki:
P8=>P2 # P2~>P8
czyli:
p=>q # p~>q

Tu matematycy klasyczni mogą protestować. Zauważmy bowiem, że parametry formalne przyjmują różne wartości aktualne po obu stronach nierówności.
Lewa strona:
p=P8, q=P2
Prawa strona:
p=P2, q=P8

Odpowiedź Kubusia:
Prawa w algebrze Boole’a nie musza pokrywać się w 100% z algebrą dziesiętną.

W powyższym równaniu doskonale widać fałszywość prawa kontrapozycji w implikacji:
P8=>P2 # ~P2=>~P8

Zauważmy, że w równoważności zachodzi przemienność argumentów i tu na stałe możemy przywiązać p i q do zdania w dowolny sposób.
W równoważności argumenty są przemienne i tu zachodzą równania:
p=>q = ~p+q = q+~p = q~>p
oraz:
p~>q = p+~q = ~q+p = q=>p
Z powyższych równań wynika, że w równoważności implikacja odwrotna jest zbędna, co jest oczywistością bo w równoważności mamy do czynienia wyłącznie z warunkami wystarczającymi =>.


2.11 Twierdzenie Hipcia

Twierdzenie Hipcia:
Prawa Kubusia są poprawne w implikacji i fałszywe w równoważności.
Prawo kontrapozycji jest poprawne w równoważności i fałszywe w implikacji

Kluczowy jest tu dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji, wszystko inne jest oczywistością. Dowód taki w oparciu o równanie ogólne implikacji pokazano w poprzednim punkcie, tu zaprezentujemy dowód równoważny.

Punkt odniesienia p=>q

Implikacja prosta => i odwrotna ~>, wersja ze sztywnym punktem odniesienia ustawionym na implikacji prostej p=>q.

Założenie:
p=>q - implikacja prosta prawdziwa, czyli spełniony warunek wystarczający między p i q
q~>p - implikacja odwrotna prawdziwa powstała po zamianie p i q.
Zachodzenie warunku wystarczającego w kierunku p=>q wymusza warunek konieczny w kierunku q~>p.

Przykład implikacji matematycznej:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „musi” => być podzielna przez 2
P8=>P2
p=>q
Implikacja prosta prawdziwa bo P8 jest wystarczające dla P2

Po zamianie p i q przy sztywnym punkcie odniesienia ustalonym wyżej na p=>q mamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
q~>p
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8

Oczywiście na mocy definicji mamy:
P8=>P2 # P2~>P8
bo operator => to zupełnie co innego niż operator ~>

Dla prawej strony korzystamy z prawa Kubusia:
P2~>P8 = ~P2=>~P8
czyli:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
… i mamy dowód fałszywości prawa kontrapozycji w implikacji dla sztywnego punktu odniesienia p=>q:
p=>q # ~q => ~p
CND

Punkt odniesienia „Jeśli…to…”

Wyłącznie ta wersja jest zgodna z definicjami implikacji prostej p=>q i odwrotnej p~>q.

Implikacja prosta => i odwrotna ~>, wersja z punktem odniesienia ustawionym zawsze na zdaniu wypowiedzianym „Jeśli…to…” czyli po „Jeśli” zawsze mamy p zaś po „to” zawsze jest q.

Ten sam przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to „musi” => być podzielna przez 2
P8=>P2
p=>q
Implikacja prosta prawdziwa bo P8 jest wystarczające dla P2

Po zamianie p i q mamy:
B.
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
p~>q
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8

Zauważmy coś bardzo ważnego:
q~>p = P2~>P8 - zdanie B widziane z punktu odniesienia p=>q
p~>q = P2~>P8 - zdanie B widziane z punktu odniesienia „Jeśli…to…”
Prawe strony są identyczne zatem:
q~>p (punkt odniesienia p=>q) = p~>q (punkt odniesienia „Jeśli…to…”)

Oczywiście na mocy definicji mamy:
P8=>P2 # P2~>P8
czyli:
p=>q # p~>q
bo operator => to zupełnie co innego niż operator ~>

Wyłącznie ta wersja jest zgodna z definicjami:
p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

W tym miejscu matematycy klasyczni będą protestować.
Zauważmy bowiem, że po obu stronach nierówności mamy różne znaczenie parametrów formalnych p i q.
Lewa strona:
p=P8, q=P2
Prawa strona:
p=P2, q=P8

Odpowiedź Kubusia:
Prawa algebry Boole’a nie muszą pokrywać się z prawami matematyki klasycznej.

Od strony matematycznej jest tu wszystko w porządku.

Definicja implikacji prostej:
p=>q
p musi być wystarczające dla q
W przełożeniu na nasz przykład mamy.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
p=>q - definicja implikacji prostej
czyli:
p=P8, q=P2

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
Nasz przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to „może” ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
p~>q
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8
p~>q - definicja implikacji odwrotnej
czyli:
p=P2, q=P8

Jak widać, literki p i q na mocy odpowiednich definicji są dokładnie tam gdzie być powinny.

Zauważmy, że przy prawidłowym punkcie odniesienia ustawionym zawsze na zdaniu wypowiedzianym, czyli po „Jeśli…” mamy zawsze p, zaś po „to…” mamy zawsze q prawo kontrapozycji nie zachodzi w zapisie ogólnym:
p=>q =~p~>~q = ~p+q # p~>q = ~p=>~q = p+~q

Dla naszego przykładu mamy:
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 # P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8

Z ostatniego zapisu widać, że brak przemienności w operatorach implikacji przenosi się na brak przemienności w operatorach OR i AND wynikających z definicji implikacji co jest oczywiste bowiem:

A.
P8=>P2 = ~P8~>~P2 = ~P8+P2 = ~(P8*~P2)
W ostatnim przekształceniu skorzystano z prawa de’Morgana
Gwarancja:
P8=>P2
Liczby 8,16,24 … na pewno są podzielna przez 8
LUB
~(P8*~P2)
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba jest podzielna przez 8 i nie jest podzielna przez 2
Gwarantowane liczby:
8,16,24 …

B.
P2~>P8 = ~P2=>~P8 = P2+~P8 = ~(~P2*P8)
Gwarancja:
~P2=>~P8
Liczby 1,3,5,7 … na pewno nie są podzielne przez 8
LUB
~(~P2*P8)
Nie może się zdarzyć ~(…), że liczba nie jest podzielna przez 2 i jest podzielna przez 8
Gwarantowane liczby:
1,3,5,7 …

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna. Gwarancja A nie jest równoważna gwarancji B bowiem nie ma tu wzajemnego uzupełniania się zbiorów, jak to jest w równoważności.
Poza obiema gwarancjami jest trzeci zbiór liczb podzielnych przez 2 i niepodzielnych przez 8.
C.
Liczby 2,4,6 ….

Oczywiście gwarancje wynikające z praw Kubusia są identyczne bo tu zachodzi tożsamość matematyczna, co widać wyżej.

Przykład implikacji ze świata żywego:

Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
Cztery łapy są warunkiem koniecznym aby być psem, zatem implikacja odwrotna prawdziwa
Gwarancja wynika tu z prawa Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P
Gwarancja:
A.
Zwierzęta nie mające czterech łap na pewno nie są psami np. kura, mrówka, waż …

Po zamianie p i q prawdziwa implikacja odwrotna przechodzi w prawdziwą implikację prostą.

Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Gwarancja:
B.
Pies który na pewno ma cztery łapy

Poza gwarancją są zwierzęta które mają cztery łapy i nie są psami:
C.
słoń, koń, lis …

Oczywiście na mocy definicji mamy:
A # B
czyli:
4L~>P = ~4L=>~P # P=>4L = ~P~>~4L
Jak widać wyżej gwarancje po obu stronach nierówności są różne, natomiast gwarancje wynikające z praw Kubusia są oczywiście identyczne.

Równoważność byłaby tu wtedy i tylko wtedy gdyby nie było zbioru C czyli na ziemi istniałyby wyłącznie psy i nie było ani jednego innego zwierzaka z czterema łapami.

Ciąg dalszy dalej …

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 19:12, 01 Lis 2009, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 17:21, 22 Lis 2009    Temat postu:
3.0 Kubuś na tropie implikacji odwrotnej

Nadszedł czas weryfikacji algebry Kubusia, której podstawy przed chwilą poznaliśmy. Dotychczas poznaliśmy algebrę Kubusia poczynając od tabel zero-jedynkowych, poprzez definicje symboliczne dochodząc do definicji operatorowych. W tym punkcie zrobimy dokładnie odwrotnie, czyli poczynając od naturalnego języka przedszkolaka czyli definicji operatorowych zejdziemy w dół aż do definicji zero-jedynkowych. Ten sposób podejścia był kluczem do rozwiązania problemu implikacji którą posługują się ludzie.

Udajmy się zatem do przedszkola, aby upewnić się czy dzieciaki znają algebrę Kubusia. Zadaniem dzieci będzie określenie które z wypowiedzianych zdań jest prawdziwe a które fałszywe. Zdania oczywiście będą tendencyjne, bo wymawia je Kubuś. Na początek Kubuś postanowił sprawdzić jak reagują dzieci na implikację odwrotną. Poprosił je, aby przy określaniu czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe brały pod uwagę wyłącznie psy zdrowe, z czterema łapami.

Kubuś:
A1:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P = 1 - zdanie prawdziwe bo pies, tu żaden przedszkolak nie miał wątpliwości.
Implikacja odwrotna prawdziwa bo cztery łapy są konieczne dla psa
LUB
A2:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może nie być psem
4L~~>~P = 1 - zdanie prawdziwe bo słoń, koń, kot, lis, hipopotam …. przekrzykiwały się dzieci

Kubuś:
… a jeśli zwierzę nie ma czterech łap ?
Prawo Kubusia:
4L~>P = ~4L=>~P

Dzieciaki:
A3:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem
~4L=>~P =1 - zdanie oczywiście prawdziwe
Kubuś:
A4:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
~4L=>P = 0 - kłamstwo, fałsz, bo każdy pies ma cztery łapy … zgodnym chórem krzyknęły dzieci

Hmm … pomyślał Kubuś, dzieciaki doskonale znają matematyczną wersję implikacji odwrotnej, aby upewnić się czy to prawda, zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.

Dzieci ani razu nie popełniły błędu !

Zauważmy, że w zdaniu A1 cztery łapy są konieczne aby być psem, zatem jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno nie jest psem. Mamy tu bezpośredni dowód prawa Kubusia.
A1: 4L~>P= A3: ~4L=>~P

Zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) ale na pewno nie jest implikacją.
Dlaczego ?
Wyrocznią są tu prawa Kubusia, prawdziwe wyłącznie w implikacji (fałszywe w równoważności).

Dowód nie wprost.
Załóżmy, że zdanie A2: 4L~>~P jest implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawo Kubusia:
A2: 4L~>~P = A4: ~4L=>P
czyli:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno jest psem
A4: ~4L=>P =0
Zdanie A4 jest na pewno fałszywe, zatem wobec zachodzącej tożsamości implikacja A2 musi być także fałszywa, czyli nie zachodzi tu warunek konieczny.
Prawdziwość zdania A2 opisuje wzór:
(4L~>~P) +( 4L~~>~P) = 0+1=1
Implikacja odwrotna (4L~>~P) na mocy prawa Kubusia jest tu oczywiście fałszywa, ale zdanie A2 jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda, tu np. słoń).


3.1 Operatorowa definicja implikacji odwrotnej

Zapiszmy teraz powyższe zdania wyłącznie w postaci operatorowej, czyli przy pomocy operatorów „musi” (=>) i „może” (~> lub ~~>)
Kod:

 4L    P   Y=4L~>P ~Y=~(4L~>P)
 4L ~> P = 1        0
 4L~~>~P = 1        0
~4L=> ~P = 1        0
~4L => P = 0        1

gdzie:
1 - zdanie prawdziwe
0 - zdanie fałszywe

W matematyce nie operujemy na konkretnych przykładach, lecz na zapisach formalnych. Powszechnie przyjętym standardem są w implikacji literki p i q.
Jeśli p to q
p - poprzednik
q - następnik
Przepiszmy zatem powyższą tabelę podstawiając:
4L=p, P=q

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

 p    q   Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
 p ~> q = 1       0
 p~~>~q = 1       0
~p=> ~q = 1       0
~p => q = 0       1

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Zauważmy, że w implikacji odwrotnej p musi być konieczne dla q, inaczej pierwsza linia definicji operatorowej jest twardym fałszem, zdanie na pewno nie jest implikacją odwrotną.
Przykład:
Jeśli zwierzę ma skrzydła to może być psem
S~>P=0
Oczywisty twardy fałsz bo skrzydła nie są warunkiem koniecznym dla psa.

Po opuszczeniu operatorów w powyższej definicji otrzymujemy symboliczną definicję implikacji odwrotnej .

Symboliczna definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

 p  q   Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
 p  q = 1       0
 p ~q = 1       0
~p ~q = 1       0
~p  q = 0       1

Najprostszą definicję implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a otrzymujemy z ostatniej linii tabeli.

Wystąpi fałsz (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p i zajdzie q.
~Y= ~p*q
Kiedy wystąpi prawda ?
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+).
Y=p+~q
stąd …

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
Y= p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana

Wystąpi prawda (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(…), że zajdzie ~p i zajdzie q.


3.2 Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej

Zero jedynkowa definicja implikacji odwrotnej to w dniu dzisiejszym zabytek klasy zerowej. Wszyscy ludzie na ziemi od przedszkolaka po profesora posługują się biegle operatorową definicją implikacji odwrotnej. Nie ma potrzeby przechodzenia do zero-jedynkowej definicji implikacji odwrotnej.

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

 p    q   Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
 p ~> q = 1       0
 p~~>~q = 1       0
~p=> ~q = 1       0
~p => q = 0       1

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia obowiązuje w obrębie samej definicji implikacji, zatem implikacja odwrotna to w pierwszej części rzucanie monetą p~>q, zaś w drugiej części pewne wynikanie ~p=>~q.

Zero-jedynkową definicję implikacji odwrotnej otrzymujemy opuszczając operatory oraz przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q  Y=p~>q ~Y=~(p~>q)
1 1  1       0
1 0  1       0
0 0  1       0
0 1  0       1

Najprostsze równanie algebry Boole’a zapiszemy dla ostatniej linii bo tu w wyniku mamy samotne zero (Y=0).
Y=0 <=> p=0 i q=1
Przejście z takiego zapisu do równania algebry Boole’a możemy uzyskać na dwa sposoby.

Sposób 1
Definicja iloczynu logicznego:
Iloczyn logiczny n-zmiennych binarnych równy jest jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden.

Mamy:
Y=0 <=> p=0 i q=1
czyli:
Y=0, ~Y=1
p=0, ~p=1
q=1
Sprowadzamy wszystkie sygnały do jedynki i stosujemy definicję iloczynu logicznego.
~Y=~p*q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operatory na przeciwne
Y = p+~q

Sposób 2
Definicja sumy logicznej:
Suma logiczna n-zmiennych binarnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe zeru.

Mamy:
Y=0 <=> p=0 i q=1
czyli:
Y=0
p=0
q=1,~q=0
Sprowadzamy wszystkie sygnały do zera i stosujemy definicję sumy logicznej.
Y=p+~q
Jak widać, w tym przypadku końcowe równanie implikacji odwrotnej mamy natychmiast.

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
Y = p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana

Powyżej ułożyliśmy równanie wyłącznie dla ostatniej linii tabeli gdzie w wyniku było samotne zero, wszelkie pozostałe linie, zgodnie z prawem Prosiaczka muszą być jedynkami niezależnie od chciejstwa człowieka … bo to jest matematyka przecież.

Prawo Prosiaczka:
Równania algebry Boole’a dla dowolnej tabeli zero-jedynkowej n-elementowej tworzymy na podstawie linii z tą samą wartością logiczną w wyniku. Wszelkie nie opisane równaniami linie przyjmą wartości przeciwne do linii opisanych.

Definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej przybierze zatem postać końcową.

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q  Y=p~>q=p+~q=~(~p*q) ~Y=~(p~>q)=~[~(~p*q)]=~p*q
1 1  1                    0
1 0  1                    0
0 0  1                    0
0 1  0                    1

Wystąpi prawda (Y=1) jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie ~p i q
Wystąpi fałsz (~Y=1) jeśli zajdzie ~p i q


3.3 Gwarancja matematyczna w implikacji odwrotnej

Istotą implikacji jest gwarancja matematyczna. Poza gwarancją wszystko może się zdarzyć czyli mamy rzucanie monetą.

Gwarancją w implikacji odwrotnej jest wynikająca z prawa Kubusia implikacja prosta:
Y=p~>q = ~p=>~q

Gwarancja:
Jeśli nie zajdzie p to na pewno nie zajdzie q
~p=>~q

Przykład:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
Y=4L~>P
Gwarancja:
Y=4L~>P = ~4L=>~P - prawo Kubusia
G1:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
Y=~4L=>~P
Gwarantowane zwierzaki to kura, mrówka, stonoga, wąż …

Gwarancja dotyczy zwierząt które nie mają czterech łap, te na pewno nie są psami, poza tą gwarancją wszystko może się zdarzyć czyli jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem (tu pies), lub nie być psem (np. słoń) czyli mamy tu rzucanie monetą.

Gwarancję równoważną otrzymujemy z definicji implikacji odwrotnej zapisanej w równaniu algebry Boole’a.
Definicja implikacji odwrotnej:
Y=p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana
stąd:
Y=4L~>P = ~(~4L*P)
czyli:
G2:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
Y=~(~4L*P)
Oczywiście gwarantowane zwierzaki to kura, mrówka, stonoga, wąż … - te na pewno nie są psami.

… a kiedy wystąpi fałsz ?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
~Y=~4L*P
Wystąpi fałsz (~Y) jeśli zwierzę nie będzie miało czterech łap i będzie psem.

Zauważmy coś bardzo ważnego. Człowiek mając do wybory dwie równoważne gwarancje G1 i G2 praktycznie na 100% zawsze wybierze G1 bo ta jest zdecydowanie bardziej klarowna.

Wniosek:
W naturalnym języku mówionym człowiek posługuje się przede wszystkim operatorową definicją implikacji odwrotnej.
Z definicji równoważnej, zapisanej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = ~p=>~q = ~(~p*q)
w praktyce nikt nie korzysta, co nie oznacza że przedszkolak miałby tu jakiekolwiek kłopoty.

Jaś:
G1:
Jeśli zwierzę nie ma czterech łap to na pewno => nie jest psem
Y=~4L=>~P
Kubuś:
… a czy może się zdarzyć że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem ?
p~>q = ~p=>~q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa Kubusia i definicji implikacji odwrotnej
stąd:
~4L=>~P = ~(~4L*P)
Jaś:
Nie może się zdarzyć, że zwierzę nie ma czterech łap i jest psem
~(~4L*P)

Zauważmy, że przeanalizowaliśmy implikację odwrotną:
Jeśli zwierzę ma cztery łapy to może być psem
4L~>P
na wszelkie możliwe sposoby wyłącznie w symbolicznej algebrze Kubusia nie mając bezpośredniej styczności z kodem maszynowym czyli zerami i jedynkami po stronie p i q.


3.4 Kubuś na tropie implikacji prostej

Dzieci w przedszkolu są doskonałym testerem dowolnej logiki roszczącej sobie miano matematycznego opisu języka mówionego. Nowa, nieznana człowiekowi definicja implikacji odwrotnej ~> przeszła taki test bez najmniejszego problemu. Kubuś postanowił sprawdzić czy również nowa definicja implikacji prostej => przejdzie „test przedszkolaka”.

Druga wizyta Kubusia w przedszkolu.

Drogie dzieci, będę wypowiadał różne zdania o piesku i jego czterech łapach. Waszym zadaniem będzie rozstrzygnięcie czy zdanie jest prawdziwe/fałszywe. Proszę Was, abyście uwzględniali wyłącznie pieski zdrowe które mają cztery łapy.

B1:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L=1
Zdanie prawdziwe, zgodnym chórem krzyknęły dzieci, bo każdy pies ma cztery łapy.
Implikacja prosta prawdziwa bo bycie psem jest wystarczające, aby mieć cztery łapy.
B2:
Jeśli zwierzę jest psem to nie ma czterech łap
P=>~4L=0
Fałsz, kłamstwo, bo każdy pies ma cztery łapy, żaden przedszkolak nie miał tu wątpliwości

Jaś:
… a jeśli zwierzę nie jest psem ?
Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Kubuś:
B3:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap
~P~>~4L=1
Prawda czy fałsz ?
Dzieci:
Prawda bo mrówka, stonoga, kura, wąż ….
lub
B4:
Jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy
~P~~>4L=1
Prawda bo koń, słoń, wilk, hipopotam … przekrzykiwały się dzieci

Na wszelki wypadek by upewnić się czy nowa teoria matematyczna jest prawdziwa Kubuś zaczął wypowiadać powyższe zdania w sposób losowy.

Dzieci nie pomyliły się ani razu !

Nie ma zatem wątpliwości, symboliczna algebra Kubusia przeszła „test przedszkolaka” pomyślnie.

Zauważmy, że zdanie B4 nie może być implikacją odwrotną.
Dlaczego ?

Najprostszą wyrocznią jest tu oczywiście prawo Kubusia.
Dowód nie wprost.
Załóżmy że B4 jest implikacją odwrotną, wtedy musi być spełnione prawo Kubusia:
B4: ~P~>4L = B2: P=>~4L
Prawa strona tożsamości:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
P=>~4L=0
.. to oczywisty fałsz, zatem fałszywa musi być tez implikacja po lewej stronie czyli:
B4: ~P~>4L=0
Prawdziwość zdania B4 określa wzór:
(~P~>4L)+(~P~~>4L) = 0+1 =1
gdzie:
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda (tu np. koń), na pewno nie jest to implikacja odwrotna.


3.5 Operatorowa definicja implikacji prostej

Przepiszmy powyższy przykład wyłącznie w postaci operatorowej.
Kod:

    P   4L   Y=(P=>4L) ~Y=~(P=>4L)
B1: P=> 4L = 1          0
B2: P=>~4L = 0          1
B3:~P~>~4L = 1          0
B4:~p~~>4L = 1          0

Prawo Kubusia:
P=>4L = ~P~>~4L
Oczywiście w matematyce nie operujemy na konkretnym przykładzie lecz na parametrach formalnych którymi w implikacji są literki p i q.
Podstawiamy zatem:
P=p i 4L=q
i otrzymujemy operatorową definicję implikacji prostej.

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

 p   q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)
 p=> q = 1         0
 p=>~q = 0         1
~p~>~q = 1         0
~p~~>q = 1         0

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
gdzie:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Po opuszczeniu operatorów w powyższej definicji otrzymujemy symboliczną definicję implikacji prostej.

Symboliczna definicja implikacji prostej:
Kod:

 p  q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)
 p  q = 1         0
 p ~q = 0         1
~p ~q = 1         0
~p  q = 1         0

Stąd dla drugiej linii zapisujemy najprostsze równanie algebry Boole’a.
Wystąpi fałsz (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p i ~q
czyli:
~Y=p*~q
Przechodzimy do logiki przeciwnej metodą przedszkolaka negując zmienne i wymieniając operator AND(*) na OR(+):
Y=~p+q
stąd:
Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a
Y = p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana


3.6 Zero-jedynkowa definicja implikacji prostej

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

 p   q = Y=(p=>q) ~Y=~(p=>q)
 p=> q = 1         0
 p=>~q = 0         1
~p~>~q = 1         0
~p~~>q = 1         0

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Zauważmy, że prawo Kubusia obowiązuje w obrębie samej definicji implikacji, zatem implikacja prosta to w pierwszej części pewne wynikanie p=>q, natomiast w drugiej części to najzwyklejsze rzucanie monetą ~p~>~q.

Po opuszczeniu operatorów w operatorowej definicji implikacji prostej i przyjęciu:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
otrzymujemy …

Zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

p q  Y=(p=>q)=~p+q=~(p*~q) ~Y=~(p=>q)=~[~(p*~q)]=p*~q
1 1  1                      0
1 0  0                      1
0 0  1                      0
0 1  1                      0

Wystąpi prawda (Y=1) jeśli nie zdarzy się ~(…), że zajdzie p i ~q
Wystąpi fałsz (~Y=1) jeśli zajdzie p i ~q


3.7 Gwarancja w implikacji prostej

Na mocy definicji gwarancją jest sama definicja implikacji prostej ….

G1:
Jeśli zwierzę jest psem to na pewno => ma cztery łapy
P=>4L
Gwarantowany zwierzak to pies, który na pewno ma cztery łapy … poza tym wszystko może się zdarzyć czyli jeśli zwierzę nie jest psem to może nie mieć czterech łap (np. mrówka) lub jeśli zwierzę nie jest psem to może mieć cztery łapy (np. słoń).

Równoważną gwarancję, lecz w praktyce nigdy nie używaną mamy z równań algebry Boole’a.

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a.
Y = p=>q = ~p~>~q =~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana
stąd:
P=>4L = ~P~>~4L = ~(P*~4L)
czyli:
G2:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap
~(P*~4L)
Gwarantowany zwierzak to pies, poza tym wszystko może się zdarzyć.

Oczywiście nie oznacza to że przedszkolak będzie miał jakiekolwiek problemy z wypowiedzeniem gwarancji G2 … jeśli się go do tego zmusi.

Jaś:
Jeśli zwierze jest psem to na pewno ma cztery łapy
P=>4L
Kubuś:
… a czy może się zdarzyć że zwierze jest psem i nie ma czterech łap ?
P=>4L = ~(P*~4L) - na mocy definicji implikacji prostej
Jaś:
Nie może się zdarzyć ~(…), że zwierzę jest psem i nie ma czterech łap.
~(P*~4L)

3.8 O niezbędności operatorów implikacji

Jak widzimy wyżej, człowiek porusza się po implikacji praktycznie nigdy nie przechodząc do definicji równoważnych w operatorach AND i OR.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q = ~(p*~q) - na podstawie prawa de’Morgana

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q = ~(~p*q) - na podstawie prawa de’Morgana

Definicje implikacji w operatorach AND i OR:
~(p*~q) - implikacja prosta
~(~p*q) - implikacja odwrotna

Poprawnie opisują gwarancję matematyczną w tych implikacjach i absolutnie nic więcej.

Argumenty przeciw definicji implikacji z użyciem operatorów AND i OR:
1.
W definicjach implikacji wyrażonych w AND i OR nie zachodzi przemienność argumentów co jest sprzeczne z definicjami AND i OR.
2.
Nie może tu być mowy o warunku wystarczającym w implikacji prostej => i koniecznym w implikacji odwrotnej ~>, czyli czymś absolutnie kluczowym w pojęciu implikacji
3.
Niemożliwa jest analiza implikacji w naturalnym języku mówionym
4.
Niemożliwe jest dojście do praw Kubusia

Argumenty za definicją implikacji z użyciem operatorów AND i OR:
BRAK !


4.0 Fundamenty algebry Boole’a

Matematycznym fundamentem algebry Boole’a jest definicja iloczynu kartezjańskiego i pojęcie funkcji.

4.1 Iloczyn kartezjański i pojęcie funkcji

W drugiej klasie szkoły podstawowej Pani na kartkówce zadała uczniom napisanie tabliczki mnożenia do 100. Wszystkie dzieci zrobiły to w sposób uporządkowany, łatwy do sprawdzenia. Jedynie dowcipny Jaś oddał kartkę pozornie bez sensu, bo poszczególne działania poustawiane były w sposób losowy, taki groch z kapustą.

Jak sprawdzić czy Jaś wykonał poprawnie zadanie ?

Oczywiście należy wykreślać po kolei jedno działanie z kartki uporządkowanej, odszukać identyczne w Jasiowym bałaganie i też je skreślić. Jeśli na końcu okaże się że Jaś zapisał wszystkie działania poprawnie i żadnego nie brakuje to Jaś wykonał zadanie poprawnie, powinien dostać 6 za fajny dowcip.

Ogólnie na obu kartkach z tabliczką mnożenia może być dowolny bałagan byleby zawierały wszystkie mnożenia do 100, co wynika z definicji iloczynu kartezjańskiego i pojęcia funkcji. Zobaczmy to na przykładzie budując tabelę mnożenia do dziewięciu.


4.2 Funkcja iloczynu algebraicznego

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A = {1, 2, 3} i B = {1, 2, 3} jest zbiór C = AxB składający się z par liczb (a,b), gdzie a jest liczbą ze zbioru A, zaś b jest liczbą ze zbioru B. Innymi słowy, zbiór C wygląda tak: C = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. Wobec tego zadanie, jakie otrzymały dzieci, polegało na tym, żeby każdemu elementowi iloczynu kartezjańskiego zbiorów A i B przyporządkować liczbę całkowitą równą iloczynowi algebraicznemu liczb zawartych w tym elemencie.

Oznaczmy:
* - matematyczny operator iloczynu algebraicznego, funkcja mnożenia algebraicznego (nie mylić z iloczynem logicznym AND !)

Kod:

a b  a*b
1*1 =1
1*1 =2
1*3 =3
2*1 =2
2*2 =4
2*3 =6
3*1 =3
3*2 =6
3*3 =9


Jest oczywistym, że linie można dowolnie poprzestawiać i dalej będzie to tabela mnożenia do 9 czyli znajdziemy w niej wynik dowolnego mnożenia.

Pary liczb po lewej stronie znaku „=” tworzą zbiór będący iloczynem kartezjańskim dwóch zbiorów liczb, z których każdy zawiera liczby od 1 do 3, zaś po prawej stronie znaku „=” mamy liczby ze zbioru liczb od 1 do 9, stanowiące wynik odwzorowania tego iloczynu kartezjańskiego (czyli zbioru) w zbiór liczb całkowitych od 1 do 9. Jako ciekawostkę można zauważyć, że niektóre liczby w wyniku pojawiają się tylko jeden raz (1,4,9), niektóre pojawiają się dwukrotnie (2,3,6), a niektóre nie pojawiają się w ogóle (np. liczba 5,7,8). Każdej parze liczb z lewej strony „=” odpowiada jednak tylko jedna liczba z prawej strony „=” (każde mnożenie algebraiczne ma tylko jeden prawidłowy wynik) - takie jednoznaczne odwzorowanie jednego zbioru w drugi zbiór nazywa się funkcją.

Zauważmy, że funkcja iloczynu algebraicznego „*” jest przemienna tzn. można zamieniać argumenty i wynik nie ulegnie zmianie.
a*b = b*a


4.3 Funkcja iloczynu logicznego AND(*)

Weźmy teraz algebrę Boole’a gdzie znane są wyłącznie cyfry 0 i 1. Mamy tu dwa zbiory A=(0,1) i B=(0,1) bo inne cyfry są nielegalne. Iloczyn kartezjański tych zbiorów to C={(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)}.
Oczywiście pary cyfr ze zbioru C można dowolnie przestawiać.

Definicja iloczynu logicznego (funkcja logiczna):
Iloczyn logiczny jest równy jeden wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie zmienne są równe jeden

Tabela zero-jedynkowa iloczynu logicznego:
Kod:

Tabela A
p q  p*q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =0
0 1 =0

gdzie:
* - operator iloczynu logicznego AND(*), funkcja logiczna.

W iloczynie logicznym zachodzi przemienność argumentów
Czyli:
p*q=q*p

Dowód formalny:
Zamieniamy p i q miejscami.
Kod:

Tabela B
q p  q*p
1 1 =1
0 1 =0
0 0 =0
1 0 =0

Identyczność kolumn wynikowych tabel A i B jest dowodem przemienności iloczynu logicznego:
p*q = q*p


4.4 Algebra Boole’a i prawo przemienności

Wyżej udowodniliśmy, iż operator iloczynu logicznego AND(*) jest przemienny. Sprawdźmy teraz pozostałe kluczowe operatory czyli te, które człowiek używa w naturalnym języku mówionym.

Kod:

p q p+q  q+p  p=>q  q=>p  p~>q  q~>p p<=>q  q<=>p
1 1  1    1    1     1     1     1     1      1
1 0  1    1    0     1     1     0     0      0
0 0  0    0    1     1     1     1     1      1
0 1  1    1    1     0     0     1     0      0

p=>q=0 <=> p=1 i q=0
p~>q=0 <=> p=0 i q=1

Doskonale widać, że operatory OR(+) i <=> są przemienne, natomiast operatory implikacji nie są przemienne bo kolumny wynikowe są różne:
p=>q # q=>p
p~>q # q~>p

Oczywistym jest, że implikacja jest implikacją prawdziwą wtedy i tylko wtedy gdy spełnia odpowiednią tabelę zero-jedynkową.

Wynika z tego że:
Jeśli p=>q=1 to q=>p=0
Jeśli p~>q=1 to q~>p=0
… bo to jest algebra Boole’a.

p=>q = ~p+q - definicja implikacji prostej
p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej

Brak przemienności argumentów w implikacji przenosi się oczywiście na brak przemienności implikacyjnej sumy logicznej wynikającej z odpowiednich definicji.
p=>q = ~p+q # q+~p = q~>p
p~>q = p+~q # ~q+p = q=>p


4.5 Równoważność

Dziewicza tabela zero-jedynkowa równoważności:
Kod:

p q p<=>q
1 1   1
1 0   0
0 0   1
0 1   0

Z tabeli zero-jedynkowej widać, że równoważność jest przemienna, czyli wszystko jedno którą cześć zdania nazwiemy p a którą q.

Algebra Kubusia to algebra symboliczna. W zabawie implikacją w przedszkolu przeszliśmy z naturalnego języka mówionego do definicji operatorowej po czym do definicji symbolicznej na końcu lądując w tabeli zero-jedynkowej. Tym razem zrobimy dokładnie odwrotnie.

Przechodzimy z powyższą tabelą do symbolicznej definicji równoważności przyjmując:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Symboliczna definicja równoważności:
Kod:

 p q p<=>q
 p  q  1
 p ~q  0
~p ~q  1
~p  q  0

Dla linii z jedynkami w wyniku układamy równanie algebry Boole’a

Definicja równoważności w równaniu algebry Boole’a:
A: p<=>q = p*q+~p*~q

Bardzo łatwo udowodnić poprawność równoważnych definicji równoważności, wynikających z przemienności argumentów oraz powyższej definicji:
B: ~p<=>~q
C: q<=>p
D: ~q<=>~p
Udowodnimy tylko B bo pozostałe dowody są analogiczne.
Korzystamy z definicji równoważności A:
E: ~p<=>~q = (~p)*(~q) + ~(~p)*~(~q) = ~p*~q + p*q = p*q + ~p*~q
Prawe strony równań A: i E: są identyczne, zatem są to równoważne definicje.

Z pierwszej linii definicji symbolicznej widać, że jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q bo druga linia tabeli jest fałszem. Podobnie z trzeciej linii widać, że jeśli zajdzie ~p to „musi” => zajść ~q bo ostatnia linia jest fałszem.

Stąd pełna definicja operatorowa równoważności przybierze postać:
Kod:

 p=> q =1
 p=>~q =0
~p=>~q =1
~p=> q =0

Mamy tu zatem doskonale nam znane z definicji implikacji warunki wystarczające zachodzące między p i q oraz między ~p i ~q.

Stąd operatorowa definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
gdzie:
p=>q - warunek wystarczający między p i q, nigdy implikacja prosta p=>q
~p=>~q - warunek wystarczający między ~p i ~q, nigdy implikacja prosta ~p=>~q

Dlaczego powyższe zapisy nie mogą być implikacją ?
Wynika to bezpośrednio z definicji operatorowych implikacji prostej i równoważności.

Definicja operatorowa implikacji prostej z uwzględnieniem kodu zero-jedynkowego:
Kod:

 p=> q =1
 1 1 =1
 p=>~q =0
1 0 =0
Prawo Kubusia:
p=>q=~p~>~q
~p~>~q =1
 0 0 =1
~p~~>q =1
 0 1 =1

Doskonale widać tabele zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Doskonale też widać, że prawo Kubusia zachodzi w jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej, czyli implikacja prosta => nie może istnieć bez operatora implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie.

Definicja operatorowa równoważności z uwzględnieniem kodu zero-jedynkowego:
Kod:

 p=> q =1
 1 1 =1
 p=>~q =0
 1 0 =0
~p=>~q =1
 0 0 =1
~p=> q =0
0 1 =0

Doskonale tu widać tabelę zero-jedynkową równoważności dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1=1 czyli:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Oczywista definicja operatorowa równoważności z powyższej tabeli:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) =1*1 =1
czyli:
Równoważność:
p=>q = ~p=>~q
Jak widzimy, w definicji operatorowej równoważności nie ma śladu prawa Kubusia widniejącego w definicji operatorowej implikacji prostej => wyżej.
Oczywistym jest że w równoważności chodzi wyłącznie o warunki wystarczające między p=>q i ~p=>~q, to nie są implikacje bowiem w definicji operatorowej równoważności nie ma śladu operatora implikacji odwrotnej ~>.

Przykład:
Jeśli zwierzę jest psem to ma cztery łapy
P=>4L
Bycie psem jest wystarczające aby mieć cztery łapy, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa

Definicja operatorowa dla powyższego zdania:
Kod:

 P=>4L =1
 P=>~4L=0
~P~>~4L=1
~P~~>4L=1


Aby w powyższej tabeli ostatnia linia wyzerowała się, musiałaby być prawdziwa implikacja prosta:
~P=>~4L
czyli:
Jeśli zwierzę nie jest psem to na pewno => nie ma czterech łap
~P=>~4L=0 - oczywisty fałsz bo słoń
Zatem równoważność nie może być iloczynem dwóch implikacji prostych p=>q i ~p=>~q bo takowe są niemożliwe do zaistnienia.

Można to udowodnić jeszcze prościej ….

Oczywistym jest na podstawie definicji implikacji prostej => że:
p=>q=~p+q # ~p=>~q= ~(~p)+(~q) = p+~q

To jest algebra Boole’a, zatem:
Jeśli implikacja prosta p=>q=1 to implikacja prosta ~p=>~q=0 (albo odwrotnie) bo:
p=>q # ~p=>~q
Stąd definicja równoważności nie może być iloczynem logicznym dwóch implikacji prostych bo:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) = 1*0=0

Dowód nie wprost:
Zauważmy, że gdyby to była prawda matematyczna to przekształcenia musiałyby być odwracalne, czyli dowolną równoważność można by rozbić na dwie implikacje proste, co jest oczywistą bzdurą. Kamikaze mogą próbować.

Wniosek:
Twierdzenie co niektórych dzisiejszych matematyków jakoby równoważność była iloczynem dwóch implikacji prostych można między bajki włożyć.
CND


4.6 Matematyczna historia powstania naszego Wszechświata

Z przymrużeniem oka,
… czyli jak w prosty sposób zapamiętać najważniejsze definicje w logice klasycznej, zarówno w wersji operatorowej, jak i zero-jedynkowej.

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Tabele zero-jedynkowe odpowiednich definicji wynikają z logiki dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0

Na początku było:
1=1
i stał się cud:
(p+~p)=(q+~q)
p+~p=1 - prawo algebry Boole’a
czyli:
p=>(q+~q)
~p=>(~q+q)

Równoważność:

Definicja operatorowa:
Kod:

 p   q p<=>q
 p=> q =1
 p=>~q =0
~p=>~q =1
~p=> q =0

Stąd definicja zero jedynkowa równoważności dla kodowania w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

p q p<=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =0

Definicje podstawowe równoważności w równaniach algebry Boole’a:
p<=>q = p*q + ~p*~q - na podstawie kodu zero-jedynkowego
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q) - na podstawie definicji operatorowej
Prawo kontrapozycji poprawne w równoważności:
~p=>~q = q=>p
stąd odprysk definicji równoważności:
p<=>q - (p=>q)*(q=>p)

W naszym Wszechświecie zdecydowanie przeważa implikacja, zatem ostatnie dwie linie ulegają rozczepieniu:

Operatorowa definicja implikacji prostej:
Kod:

 p   q p=>q
 p=> q =1
 p=>~q =0
~p~>~q =1
~p~~>q =1

Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Stąd definicja zero-jedynkowa implikacji prostej dla kodowania w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Definicja implikacji prostej w równaniu algebry Boole’a:
p=>q = ~p+q

lub pierwsze dwie linie z definicji równoważności ulegają rozczepieniu:

Operatorowa definicja implikacji odwrotnej:
Kod:

 p    q p~>q
 p~>  q =1
 p~~>~q =1
~p=> ~q =1
~p=>  q =0

Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Stąd definicja zero-jedynkowa implikacji odwrotnej dla kodowania w logice dodatniej:
p=1, ~p=0
q=1, ~q=0
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Definicja implikacji odwrotnej w równaniu algebry Boole’a:
p~>q = p+~q



5.0 Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”

Spójniki zdaniowe:
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Kodowanie zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”:

Implikacja prosta:
p=>q
Jeśli zajdzie p to na pewno => zajdzie q
p musi być wystarczające dla q

Stwierdzenie warunku wystarczającego w p=>q determinuje zdanie prawdziwe które może być:
1.
Implikacją prostą p=>q jeśli po stronie ~p stwierdzimy warunek konieczny czyli:
~p~>~q
Czasami prościej jest wykluczyć warunek wystarczający w stronę ~p=>~q, to wystarczy aby udowodnić że zdanie p=>q jest implikacją prostą.
2.
Równoważnością p<=>q, gdy po stronie ~p również stwierdzimy warunek wystarczający czyli
~p=>~q.
Definicja równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)=1*1=1
3.
Jeśli zdanie jest implikacją prostą to w stronę p=>q zachodzi warunek wystarczający, natomiast w stronę q~>p musi zachodzić warunek konieczny. Jeśli w stronę q=>p stwierdzimy warunek wystarczający to zdanie jest na pewno równoważnością, nigdy implikacją.
Definicja równoważna równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(q=>p) = 1*1=1
Stąd mamy kolejną możliwość stwierdzenia czy zdanie jest implikacją. Po stwierdzeniu warunku wystarczającego w stronę p=>q wystarczy wykluczyć warunek wystarczający w stronę q=>p.

Implikacja odwrotna:
p~>q
Jeśli zajdzie p to może ~> zajść q
p musi być konieczne dla q

Stwierdzenie warunku koniecznego w p~>q determinuje implikację odwrotną:
p~>q
ale ….
Zdanie może być prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jedna prawda) i nie być implikacją odwrotną np.
Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może ~~> być podzielna przez 8
P3~~>P8 =1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8 bo 8, nie jest to zatem implikacja odwrotna.

Koniec, to jest cała filozofia kodowania zdań ze spójnikiem „Jeśli…to…”

Zauważmy coś bardzo ciekawego.
A.
Jeśli trójkąt ma boki równe to na pewno => jest równoboczny
BR=>R =1
B.
Jeśli trójkąt nie ma boków równych to na pewno => nie jest równoboczny
~BR=>~R =1
Stąd na podstawie definicji równoważności możemy zapisać:
C.
Trójkąt ma boki równe wtedy i tylko wtedy gdy jest równoboczny
BR<=>R = (BR=>R)*(~BR=>~R) = 1*1=1 - ewidentna równoważność

Aby stwierdzić równoważność musimy zapisać i zbadać czy zachodzą warunki wystarczające jak wyżej w A i B. Wszystkie trzy zdania są matematycznie poprawne bowiem w definicji równoważności chodzi tylko i wyłącznie o warunki wystarczające, nigdy o implikacje.

Zauważmy, że gdybyśmy nie mieli prawa zapisać zdań A i B jako prawdziwych to niemożliwe byłoby stwierdzenie równoważności !

Inny przykład:

Twierdzenie Pitagorasa.
Jeśli trójkąt jest prostokątny to suma kwadratów przyprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej.
TP=>SK =1 - pewny warunek wystarczający (nie implikacja !)
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie jest spełniona suma kwadratów.
~TP=>~SK=1 - również pewny warunek wystarczający

Twierdzenie Pitagorasa jest równoważnością bo:
TP<=>SK = (TP=>SK)*(~TP=>~SK) = 1*1 =1

Aby stwierdzić czy zdanie „Jeśli…to…” jest równoważnością musimy stwierdzić warunki wystarczające jak wyżej. Wtedy i tylko wtedy zdanie jest równoważnością.

Wynika z tego, że ten sam symbol => może oznaczać implikację prostą albo tylko warunek wystarczający =>.

Tu nasuwa się pytanie … a może by tak wprowadzić nowy symbol na przykład |=> dla precyzyjnego zapisu warunku wystarczającego ?

Odpowiedź może być tylko negatywna, dlaczego ?

Definicja warunku wystarczającego:
p=>q =1
1 1 =1
p=>~q =0
1 0 =0
Jeśli zajdzie p to musi => zajść q
… bo linia p=>~q jest twardym fałszem i nie ma prawa wystąpić.

Definicja warunku wystarczającego nie mówi nic co będzie po stronie ~p.
Po stronie ~p może być oczywiście:
~p=>~q - równoważność
albo
~p~>~q - implikacja

Nie ma sensu wprowadzanie nowego symbolu warunku wystarczającego |=> bowiem tego symbolu nie da się opisać w równaniu algebry Boole’a.
Możliwe są dwie próby opisania warunku wystarczającego w postaci równania algebry Boole’a.
p|=>q = ~p+q - implikacja
albo:
p|=>q =p*q+~p*~q - równoważność
… ale jak widać lądujemy albo w implikacji prostej =>, albo w równoważności czyli to jest bez sensu.

Prawo Kubusia:
Zginąć można zarówno w chaosie jak i nadmiernej precyzyjności

Algebra Kubusia to nieznany dzisiejszym matematykom symboliczny język asemblera, czyli naturalna logika 5-cio letniego dziecka mająca 100% przełożenia na algebrę Boole’a czyli zera i jedynki.

W technice mikroprocesorowej człowiek myślał w zerach i jedynkach zaledwie przez mgnienie oka, natychmiast wynalazł symboliczny język asemblera izolując się od idiotycznych zer i jedynek czyli … skopiował działanie własnego mózgu. Język asemblera dla dowolnego mikroprocesora jest jeden (to algebra Boole’a), natomiast języków wysokiego poziomu zbudowanych na jego bazie może być nieskończenie wiele.

O co chodzi z tą nadmierną precyzją ?

Sięgnijmy do historii.
Pierwszy przyzwoity 8-bitowy mikroprocesor, Intel 8080 pojawił się w 1974 roku. Na jego podstawie powstał w 1978 roku mikroprocesor 16-bitowy Intel 8086, będący bazą dzisiejszych Pentium X. Ciekawostką jest fakt, że programy napisane w języku asemblera dla procesora I8086 (z 1978 roku !) będą pracowały poprawnie na najnowszych Pentiumach.

Tuż po pojawieniu się pierwszego przyzwoitego mikroprocesora (rok 1974), ludzie usiłowali opisać język asemblera w sposób absolutnie precyzyjny. Doszło do tego, że fachowa literatura pełna była niesamowitych krzaków ciężko zrozumiałych nawet dla fachowców.

Drobny przykład nadmiernej precyzji.

A - nazwa rejestru procesora
(A) - zawartość rejestru procesora o nazwie A (konkretna liczba)
PC - nazwa rejestru licznika rozkazów
(PC) - zawartość rejestru licznika rozkazów o nazwie PC (konkretna liczba)
((PC)) - zawartość komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru o nazwie PC

(A) -> ((PC))
Operacja przesłania zawartości rejestru o nazwie A do komórki pamięci wskazywanej przez zawartość rejestru na nazwie PC (licznik rozkazów).

Ludzie szybko się opamiętali i w katalogach znajdziemy taki uproszczony zapis:
A -> (PC)
Przesłanie rejestru A do komórki pamięci wskazywanej przez PC

Zauważmy, że brak tu absolutnej jednoznaczności bo nazwy rejestrów A i PC utożsamiane są z zawartością tych rejestrów … jednak czytelność całości zdecydowanie się poprawiła.

Precyzja musi być wystarczająco jednoznaczna a nie absolutnie jednoznaczna

Ciąg dalszy na kolejnej stronie ….
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 17:22, 22 Lis 2009    Temat postu:
6.0 Obietnice i groźby

Jednym z przykładów zastosowania implikacji prostej i odwrotnej jest matematyczna obsługa obietnic i gróźb.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody
Prawo Kubusia:
W=>N = ~W~>~N

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.
Prawo Kubusia:
W~>K = ~W=>~K

W groźbach i obietnicach mamy piękny przykład zastosowania definicji logiki dodatniej i ujemnej w implikacji.

Definicja logiki dodatniej i ujemnej w operatorach => i ~>:
Implikacja wypowiedziana jest w logice dodatniej jeśli po stronie q nie występuje negacja, inaczej mamy do czynienia z logiką ujemną.

Obietnica:
W=>N = ~W~>~N - prawo zamiany obietnicy => na równoważną groźbę ~>
Obietnica => w logice dodatniej (N) jest równoważna groźbie ~> w logice ujemnej (~N)

Groźba:
W~>K = ~W=>~K - prawo zamiany groźby ~> na równoważną obietnicę =>
Groźba ~> w logice dodatniej (K) jest równoważna obietnicy => w logice ujemnej (~K)


6.1 Obietnice

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1 - twarda prawda
Implikacja prosta bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym dla otrzymania nagrody

Gwarancja w obietnicy:
Jeśli spełnię warunek nagrody to na pewno => dostanę nagrodę z powodu spełnienia warunku nagrody. Poza tym wszystko może się zdarzyć.

Przykład:
A:
Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
G=>C =1 - twarda prawda
1 1 =1
B:
Jeśli będziesz grzeczny nie dostaniesz czekolady
G=>~C =0 - twardy fałsz
1 0 =0

… a jeśli nie będę grzeczny ?
Prawo Kubusia:
G=>C = ~G ~>~C
C:
Jeśli nie będziesz grzeczny to nie dostaniesz czekolady
Matematycznie oznacza to:
Jeśli nie będziesz grzeczny to „możesz” ~> nie dostać czekolady
~G~>~C =1
0 0 =1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo bycie niegrzecznym jest warunkiem koniecznym nie dostania czekolady. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca zgodnie ze swoim „widzi mi się” czyli wolną wolą.
LUB
D:
Jeśli nie będziesz grzeczny to możesz dostać czekoladę
~G~~>C =1
0 1 =1
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> (wystarczy jeden taki przypadek)
Nadawca ma prawo do wręczenia nagrody mimo nie spełnienia warunku nagrody (akt miłości)

Doskonale widać tabelę zero-jedynkową implikacji prostej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
G=1, ~G=0
C=1, ~C=0

Prawdziwość zdania D określa wzór:
(~G~~>C)+(~G~>C) = 1+0=1
gdzie:
~G~>C=0 - implikacja odwrotna fałszywa

Dlaczego zdanie D nie może być implikacją odwrotną ?
Dowód nie wprost;
Załóżmy że zdanie D: ~G~>C jest implikacją odwrotną, obowiązują zatem prawa Kubusia.
D: ~G~>C = B: G=>~C
Prawa strona jest twardym fałszem na mocy B:, zatem zdanie D: nie może być implikacją odwrotną
CND

Uwaga:
W naturalnym języku mówionym spójnik implikacji prostej „musi” => jest domyślny i z reguły nie jest wymawiany (zdanie A). Spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> (zdanie C) nie jest domyślny i zawsze jest wymawiany. Wyjątkiem są tu groźby, gdzie spójnik ten jest pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności wobec definicji implikacji prostej => i odwrotnej ~> oraz praw Kubusia które nie mogą być zgwałcone. Jeśli zatem mamy poprawnie zakodowaną obietnicę jako G=>C to negacja argumentów wymusza zmianę operatora ~G~>~C czyli matematycznie mamy tu „może” ~>. To jest matematyka pod którą człowiek podlega a nie którą on tworzy, zatem jakiegokolwiek spójnika by nie użył, to w groźbie nie zamieni „może” ~> na cokolwiek innego.

Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji prostej do implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:

Jeśli będziesz grzeczny dostaniesz czekoladę
Y=G=>C
Jaś:
….mama a kiedy TY będziesz kłamczuchą ?
Y=G=>C = ~G+C = ~(G*~C) - dotrzymam słowa
czyli:
~Y=~(G=>C) = G*~C - skłamię

Synku, skłamię (~Y=1) jeśli będziesz grzeczny i nie dostaniesz czekolady.
~Y=G*~C
Jaś:
Mama, a czy może się zdarzyć, że będę grzeczny i nie dostanę czekolady ?
Negujemy powyższe równanie dwustronnie:
Y=~(G*~C)
Nie może się zdarzyć że będziesz grzeczny i nie dostaniesz czekolady
~(G*~C)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.


6.2 Groźby

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Implikacja odwrotna bo nadawca może ukarać, ale nie musi.
Spełnienie warunku kary jest warunkiem koniecznym ukarania z powodu spełnienia warunku kary. O tym czy będzie to warunek konieczny i wystarczający decyduje nadawca.

Gwarancja w groźbie wynika z prawa Kubusia:
W~>K = ~W => ~K
Stąd gwarancja:
~W => ~K
Jeśli nie spełnię warunku kary to na pewno => nie zostanę ukarany z powodu nie spełnienia warunku kary. Poza tym wszystko może sie zdarzyć.

W groźbie nadawca ma nadzieję (marzenie), że odbiorca nie spełni warunku kary i nie będzie musiał karać. Jeśli odbiorca spełni warunek kary to nadawca może wykonać karę lub ją darować zgodnie ze swoim „widzi mi się”, czyli wolną wolą.
Po stronie odbiorcy również występuje nadzieja (marzenie), że nawet jeśli spełni warunek kary to nadawca nie wykona kary (akt łaski). W groźbie decyzję o darowaniu kary podejmuje wyłącznie nadawca, odbiorca nie ma tu nic do powiedzenia.

Przykład:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L - implikacja odwrotna bo groźba

W groźbach naturalny spójnik implikacji odwrotnej „może” ~> jest z reguły pomijany bo osłabiałby groźbę. Nie prowadzi to do niejednoznaczności, gdyż definicje groźby i obietnicy są bardzo proste i precyzyjne.

Analiza:
A:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz ~> dostać lanie
B~>L =1
1 1 =1
LUB
B:
Jeśli ubrudzisz spodnie to możesz nie dostać lania
B ~~> ~L =1
1 0 =1
Zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~>, nie jest to implikacja odwrotna.

… a jeśli nie ubrudzę spodni ?
B~>L = ~B => ~L - prawo Kubusia

C:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => nie dostaniesz lania
~B => ~L =1 - twarda prawda (gwarancja)
0 0 =1
LUB
D:
Jeśli nie ubrudzisz spodni to na pewno => dostaniesz lania
~B => L =0 - twardy fałsz
0 1 =0
Doskonale widać zero-jedynkowa definicję implikacji odwrotnej dla kodowania zgodnego ze zdaniem wypowiedzianym 1 1 =1 czyli:
B=1, ~B=0
L=1, ~L=0

Dlaczego zdanie B nie może być implikacja odwrotną ?
Dowód nie wprost:
Załóżmy że zdanie B: B~>~L jest implikacja odwrotną.
Obowiązuje wówczas prawo Kubusia:
B: B~>~L = D: ~B=>L
Zdanie D: jest oczywistym fałszem, zatem zdanie B nie może być implikacją odwrotną prawdziwą.
Prawdziwość zdania B: określa wzór:
(B~~>~L)+(B~>~L) = 1+0 =1
B~~>~L - nadawca ma prawo do darowania dowolnej kary (akt łaski)

Jedyne sensowne przejście z operatora implikacji odwrotnej do implikacyjnych AND(*) i OR(+) to odpowiedź na pytanie dziecka „kiedy wystąpi kłamstwo”:

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Y=B~>L
Jaś:
… tata, a kiedy skłamiesz ?

Y=B~>L = B+~L = ~(~B*L) - dotrzymam słowa
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(B~>L) = ~B*L - skłamię

Skłamię (~Y=1), jeśli przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni !)
~Y=~B*L
Jaś:
… a czy może się zdarzyć że przyjdę w czystych spodniach i dostane lanie ?
Y=~(~Y) - prawo podwójnego przeczenia, stąd:
Y=~(~B*L)
Nie może się zdarzyć że przyjdziesz w czystych spodniach (~B) i dostaniesz lanie (z powodu czystych spodni)
Y=~(~B*L)
Zauważmy, że ostatnie pytanie Jasia jest mało prawdopodobne bo odpowiedź dostał wcześniej.


6.3 Znaczenie operatora implikacji odwrotnej ~>

Jeśli jutro będzie pochmurno to może padać
CH~>P
Chmury są warunkiem koniecznym deszczu zatem implikacja odwrotna prawdziwa
Prawo Kubusia:
CH~>P = ~CH=>~P
Jeśli nie będzie pochmurno to na pewno nie będzie padać
~CH=>~P - gwarancja
Zauważmy, że po stronie operatora implikacji prostej => (warunek wystarczający) mamy 100% determinizm.

Po stronie operatora implikacji odwrotnej ~> możemy sobie rzucać monetą, nic więcej bo nie znamy przyszłości.
Jeśli jutro będzie pochmurno to […] padać
CH~>P
W miejsce […] możemy sobie wstawić cokolwiek, to bez znaczenia np. na pewno, na 100%, musi, może …

Weźmy teraz groźbę.

Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
B~>L
Brudne spodnie są warunkiem koniecznym lania z powodu brudnych spodni, implikacja odwrotna prawdziwa

Prawo Kubusia:
B~>L = ~B=>~L
czyli:
Jeśli przyjdziesz w czystych spodniach to na pewno => nie dostaniesz lania
~B=>~L - gwarancja
… z powodu czystych spodni (~B) - tylko tyle i aż tyle gwarantuje implikacja odwrotna.

Mamy tu identyczna sytuację jak w implikacji o chmurach.

Jeśli ubrudzisz spodnie to […] dostaniesz lanie
B~>L
w miejsce […] możemy wstawić cokolwiek, to bez znaczenia np. nic nie wstawiać, może, na pewno, na 100%, musi …

Oczywiście nic nie może nas pozbawić wolnej woli, czyli nadawca ma prawo darować dowolną karę (zależną od niego) na sekundę przed jej wykonaniem i nie ma prawa zostać kłamcą.

Analogia do chmur jest tu bardzo celna - implikacja odwrotna ~> gwarantuje wolną wolę zarówno chmurom jak i człowiekowi.

Oczywiście w stosunku do przyrody martwej trafniejszym określeniem będzie „ślepy los”

~> = wolna wola (świat żywy), ślepy los (świat martwy)

Przenieśmy to teraz do Biblijnej groźby wypowiedzianej przez Chrystusa, oczywiście powiedzianej nie dosłownie, ale wystarczająco jednoznacznie.

Chrystus:
Kto nie wierzy we mnie nie będzie zbawiony
~W~>~Z
Brak wiary jest warunkiem koniecznym piekła, zatem jest to implikacja odwrotna ~> prawdziwa.
Prawo Kubusia:
~W~>~Z = W=>Z
Kto wierzy we mnie będzie zbawiony
W=>Z - gwarancja nieba dla wszystkich wierzących

Powyższe dwa zdania są matematycznie równoważne !
Chrystusa obowiązują (w komunikacji z człowiekiem) identyczne prawa logiki zatem:

Kto nie wierzy we mnie […] nie będzie zbawiony
~W~>~Z

W miejsce […] można wstawić cokolwiek np. nic nie wstawiać, może, na 100%, na pewno …

Operator ~> gwarantuje Chrystusowi, identycznie jak chmurom i człowiekowi wolną wolę … czyli z niewierzącymi może zrobić co uzna za stosowne, posłać ich do piekła albo do nieba. W skrajnym przypadku piekło może pozostać puste i Chrystus nie będzie kłamcą !


6.4 „Równoważność” w obietnicach i groźbach

Obietnice i groźby to przyszłość której nikt nie zna. Równoważność na mocy definicji pozbawia człowieka „wolnej woli” czyli w obietnicy prawa do darowania nagrody przy nie spełnionym warunku nagrody (akt miłości), zaś w groźbie prawa do darowania kary przy spełnionym warunku kary (akt łaski).

Obietnica:
Kupię ci komputer tylko wtedy jak zdasz egzamin
Równoważna implikacja prosta:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
Wypowiadając obietnicę w formie równoważności nadawca daje do zrozumienia, iż wystąpi bardzo małe prawdopodobieństwo wręczenia obiecanej nagrody jeśli warunek nagrody nie zostanie spełniony, nic więcej.

Groźba:
Zapłacę ci za ułożenie kafelków tylko wtedy gdy skończysz do soboty
Równoważna implikacja odwrotna:
Jeśli nie skończysz układania kafelków do soboty to ci nie zapłacę
~K~>~Z
Prawo Kubusia:
~K~>~Z = K=>Z
Jeśli ułożysz kafelki do soboty to ci zapłacę
K=>Z
Nadawca może grozić w dowolnie ostrej formie, jednak ma prawo do darowania dowolnej kary zależnej od niego (akt łaski), inaczej jego wolna wola leży w gruzach.


6.5 Rodzaje obietnic

1.
Obietnica z natychmiastową wykonalnością:
Jeśli zdasz egzamin dostaniesz komputer
E=>K
… a jak nie zdam egzaminu.
Prawo Kubusia:
E=>K = ~E~>~K
czyli jeśli syn nie zda egzaminu to mogę mu tego komputera nie kupić lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.
Po egzaminie następuje rozstrzygnięcie

2.
Obietnica z odroczoną wykonalnością:
Kto przyjdzie jutro dostanie gotowca
J=>G
… a jak przyjdę pojutrze ?
J=>G = ~J~>~G
Oczywiście jak ktoś przyjdzie później, byle przed egzaminem to też może dostać gotowca ale nie musi. Po egzaminie ta obietnica traci sens.

3.
Obietnica w której spełnienie warunku obietnicy jest bardzo mało prawdopodobne:
Jeśli wygram milion w TOTKA to kupię ci samochód
W=>S
… a jak nie wygram w TOTKA ?
Prawo Kubusia:
W=>S = ~W~>~S
Jeśli nie wygram w TOTKA to mogę ci nie kupić samochodu lub kupić i nie mam szans na zostanie kłamcą.


7.0 Geneza klęski dzisiejszej logiki w obszarze implikacji

… czyli jak to było możliwe, że człowiek na poprawne rozszyfrowania implikacji którą się posługuje czekał aż 2500 lat.

Gdziekolwiek byśmy nie kliknęli w Internecie to zawsze na pierwszej lekcji logiki znajdziemy to wytłuszczone niżej.

[link widoczny dla zalogowanych]
Cytat:

Jeżeli implikacja p => q jest twierdzeniem, to p jest warunkiem wystarczającym na to, aby q, a q warunkiem koniecznym na to, aby p.

Jest oczywistym że implikacja jest jedna. Nie może być tak że w matematyce obowiązuje to co wyżej, zaś poza matematyką jest cokolwiek innego.

Weźmy teraz bezdyskusyjną implikację matematyczną:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Implikacja prosta prawdziwa bo P8 jest wystarczające dla P2
Gdzie:
=> - operator implikacji prostej spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Oczywistym jest, że spełniona tu będzie zero-jedynkowa definicja implikacji prostej:
Kod:

p q p=>q
1 1 =1
1 0 =0
0 0 =1
0 1 =1

Oczywiście definicja implikacji odwrotnej to coś fundamentalnie innego od powyższego:
Kod:

p q p~>q
1 1 =1
1 0 =1
0 0 =1
0 1 =0

Żaden matematyk nie zaprzeczy że:
p=>q # p~>q
bo to dwie fundamentalnie różne tabele zero-jedynkowe.

Po zamianie p i q w powyższym przykładzie P8=>P2 musimy wylądować w poprawnej implikacji odwrotnej, zgodnie z zapisem w podręczniku do I klasy LO:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8
gdzie:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik "może" między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym !
Łatwo sprawdzić że spełniona jest tu zero-jedynkowa definicja implikacji odwrotnej p~>q podana wyżej.

Na podstawie powyższego mamy zatem:
p=>q # p~>q
czyli:
P8=>P2 # P2~>P8
bo operator => to zupełnie co innego niż operator ~>

W tym miejscu matematycy klasyczni będą protestować.
Zauważmy bowiem, że po obu stronach nierówności mamy różne znaczenie parametrów formalnych p i q.
Lewa strona:
p=P8, q=P2
Prawa strona:
p=P2, q=P8

Odpowiedź Kubusia:
Panowie, algebra Boole’a to algebra bramek logicznych (tu Kubuś jest ekspertem) mająca zero wspólnego z matematyką klasyczną (całki, ekstrema itp). Prawa algebry Boole’a nie muszą pokrywać się z prawami matematyki klasycznej.

Od strony matematycznej jest tu wszystko w porządku.

Definicja implikacji prostej:
p=>q
p musi być wystarczające dla q zgodnie z podręcznikiem do I klasy LO
W przełożeniu na nasz przykład mamy.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno => jest podzielna przez 2
P8=>P2
P8 jest wystarczające dla P2, zatem jest to implikacja prosta prawdziwa
p=>q - definicja implikacji prostej
czyli:
p=P8, q=P2

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q
p musi być warunkiem koniecznym dla q zgodnie z podręcznikiem do I klasy LO
Nasz przykład:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8
p~>q
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8
p~>q - definicja implikacji odwrotnej
czyli:
p=P2, q=P8

Jak widać, literki p i q na mocy odpowiednich definicji są dokładnie tam gdzie być powinny.

Na podstawie powyższego mamy jak na dłoni poprawne definicje implikacji.

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

W implikacji odwrotnej p musi być konieczne dla q, bowiem bez warunki koniecznego implikacja jest na 100% fałszywa np.

Jeśli liczba jest podzielna przez 3 to może być podzielna przez 8
P3~~>P8=1 bo 24
P3 nie jest konieczne dla P8
Implikacja odwrotna jest tu fałszywa, ale całe zdanie jest prawdziwe na mocy naturalnego spójnika "może" ~~>, wystarczy jedna prawda. Zauważmy, że jeśli nie zachodzi warunek konieczny w stronę P3~>P8 to na pewno nie zachodzi warunek wystarczający w stronę P8=>P3 i odwrotnie.

Stąd mamy ostatni element logicznej układanki:
~~> - zdanie prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna czyli warunek konieczny między p i q tu nie zachodzi.

Prawa Kubusia
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany implikacji prostej => na implikację odwrotną ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany implikacji odwrotnej ~> na implikację prostą =>

Weźmy jeszcze raz na warsztat nasz przykład wyżej:
P8=>P2 # P2~>P8
na podstawie prawa Kubusia zapisujemy:
P8=>P2 = ~P8~>P2 # P2~>P8 = ~P2=>~P8
stąd mamy:
P8=>P2 # ~P2=>~P8
czyli prawo kontrapozycji jest w implikacji fałszywe.

Twierdzenie Hipcia:
Prawa Kubusia są prawdziwe w implikacji i fałszywe w równoważności
Prawo kontrapozycji jest prawdziwe w równoważności i fałszywe w implikacji

O tym fakcie Kubuś pisał już ze dwa lata temu, bo implikacja i równoważność to dwa rozłączne światy matematyczne. Jeśli cokolwiek jest implikacją to nie może być równoważnością i odwrotnie. Fizycznie niemożliwe jest zrobienie implikacji z równoważności i odwrotnie.

Wszystko co wyżej uzyskaliśmy na podstawie jednego zdania z podręcznika matematyki do I klasy LO.

Weźmy najsłynniejszą tabelkę zero-jedynkową dzisiejszej logiki, przyczynę jej klęski w poszukiwaniu implikacji, którą posługuje się człowiek.
Kod:

p q p=>q q=>p p~>q
1 1  1    1    1
1 0  0    1    1
0 1  1    0    0
0 0  1    1    1

Z tabeli tej odczytujemy że:
q=>p = p~>q
Powyższe równanie jest poprawne tylko i wyłącznie w równoważności bo tu zachodzi przemienność argumentów która przenosi się na implikacyjną sumę logiczną.
q=>p = ~q+p = p+~q = p~>q
czyli:
q=>p = p~>q
Oczywiście z tego równania wynika, że implikacja odwrotna p~>q jest zbędna w równoważności, co jest oczywistością bo w równoważności interesują nas tylko i wyłącznie warunki wystarczające.

W implikacji mamy do czynienia z brakiem przemienności argumentów co przenosi się na brak przemienności argumentów w sumie logicznej czyli:
q=>p = ~q+p # p+~q = p~>q

Mamy tu zatem paradoks.
Z tabeli zero-jedynkowej wynika że:
q=>p = p~>q
natomiast z równań algebry Boole’a dla implikacji wynika że:
q=>p # p~>q

Jak z tego wybrnąć ?
Rozwiązanie tego paradoksu jest bardzo proste. W implikacji nie zachodzi przemienność argumentów. Przepiszmy zatem powyższą tabelę umieszczając wszędzie p z lewej strony zaś q z prawej strony.
Kod:

p q p=>q p<=q p~>q
1 1  1    1    1
1 0  0    1    1
0 1  1    0    0
0 0  1    1    1

Od strony matematycznej to zabieg czysto kosmetyczny, niczego nie zmieniający.

Na podstawie definicji implikacji odwrotnej mamy teraz:
p<=q = p~>q = p+~q - definicja implikacji odwrotnej
gdzie na mocy definicji:
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
czyli:
~> = <= - jeśli operator <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym.
… i po bólu, koniec pozornego paradoksu.

Oczywiście funkcja implikacji prostej p=>q na mocy definicji to zupełnie co innego niż funkcja implikacji odwrotnej p~>q, zatem wprowadzenie nowego operatora ~> jest tu konieczne, aby nie było potwornego bałaganu i możliwych niejednoznaczności np.

P8=>P2 = P2<=P8
Powyżej nie wiadomo o co chodzi bo to może być zarówno operator implikacji prostej (czytamy zgodnie ze strzałką jako „musi”), jak i operator implikacji odwrotnej (czytamy przeciwnie do strzałki jako „może”), natomiast niżej mamy 100% matematyczną jednoznaczność:

P2~>P8 = P8<~P2
tu bez problemu odczytamy zapisane symbolicznie zdanie:
Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 = P8<~P2
Implikacja odwrotna prawdziwa bo P2 jest konieczne dla P8

Oczywiście zapis:
P8=>P2 = P2<=P8
Odczytamy jako implikacje prostą:
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to na pewno jest podzielna przez 2
P8=>P2 = P2<=P8
Implikacja prosta prawdziwa bo P8 jest wystarczające dla P2

Bardzo ciekawa jest interpretacja operatora implikacji odwrotnej <= czytanego przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” w groźbach i obietnicach.

~> = <= - jeśli operator <= będzie czytany przeciwnie do strzałki jako spójnik „może” z warunkiem koniecznym.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N
Implikacja prosta, bo dobrowolnych obietnic musimy dotrzymywać

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W<=K
Implikacja odwrotna, bo każdą karę nadawca ma prawo darować

Mamy zatem:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
W<=K - ja tego nie chcę, uciekam od kary
czyli są to dwie przeciwstawne logiki, jedna dodatnia druga ujemna, która jest która to rzecz gustu. Karę od nagrody każde żywe stworzenie musi odróżniać bo to warunek przetrwania.

Zauważmy, że bez implikacji odwrotnej <= będziemy mieli tak:
W=>N - ja tego chcę, biegnę do nagrody
W=>K - ja tego chcę, biegnę do kary

W przełożeniu na świat przyrody będzie to oznaczało że np. foka nie będzie odróżniała ryby (pożywienie) od śmiertelnego wroga (rekina), do obu tych stworzeń będzie sobie płynęła merdając ogonkiem.


7.1 Podsumowanie ponad trzyletniej dyskusji o implikacji na ŚFINII

Definicja implikacji prostej:
p=>q = ~p+q
Jeśli zajdzie p to „musi” => zajść q
p musi być warunkiem wystarczającym dla q
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” ze spełnionym warunkiem wystarczającym

Definicja implikacji odwrotnej:
p~>q = p+~q
Jeśli zajdzie p to „może” ~> zajść q
p musi być warunkiem koniecznym dla q
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” ze spełnionym warunkiem koniecznym

Spójniki zdaniowe
=> - operator implikacji prostej, spójnik „musi” między p i q ze spełnionym warunkiem wystarczającym
~> - operator implikacji odwrotnej, spójnik „może” między p i q ze spełnionym warunkiem koniecznym
~~> - naturalny spójnik „może”, wystarczy jedna prawda, nie jest to implikacja odwrotna zatem warunek konieczny tu nie zachodzi

Prawa Kubusia to dokładny odpowiednik praw de’Morgana:
p=>q = ~p~>~q - prawo zamiany operatora => na ~>
p~>q = ~p=>~q - prawo zamiany operatora ~> na =>


W dzisiejszej matematyce w zakresie implikacji chory jest fundament, czyli brak jest poprawnej matematycznie definicji implikacji jak wyżej.

Oczywistym jest, że aby cokolwiek udowadniać matematycznie potrzebny jest przede wszystkim poprawny aparat matematyczny.

Implikacja jest fundamentem świata żywego, bez niej życie nie mogłoby istnieć. Niestety, ludzie nie znają poprawnych definicji implikacji i fundamentalnych praw działających w tym obszarze, praw Kubusia. Owszem, zero-jedynkowo znają definicje implikacji prostej=> i odwrotnej ~> jak i prawa Kubusia, ale nie wiedzą w którym kościele dzwony bija czyli nie znają poprawnych interpretacji tych zer i jedynek.

Z implikacją fundamentalny problem polega na tym:
W operatorach AND i OR plus negacji będących fundamentem wszelkiej techniki tworzonej przez człowieka dysponujemy rzeczywistymi urządzeniami. Jeśli coś nie działa to znaczy że popełniliśmy błąd w rozumowaniu. Jeśli popełnimy błąd przy pisaniu programu komputerowego to natychmiast to wyjdzie przy jego uruchomieniu, nie będzie działał prawidłowo co widać. W technikach programowania komputerów dysponujemy wyrafinowanymi technikami pozwalającymi na szybkie znajdowanie błędów, bo błędy popełnia każdy programista.

Implikacja ma w definicji zakodowana przypadkowość (rzucanie monetą), z tego względu jest kompletnie nieprzydatna w świecie techniki. Człowiek nie może tego uruchomić i stwierdzić: nie działa, zatem musiałem popełnić błąd w rozumowaniu. Jedyne czym człowiek dysponuje w problemie rozszyfrowania implikacji to czysta abstrakcja … i wyciąganie wniosków z funkcjonowania otaczającego go świata.

Niestety, do tej pory człowiek nie zauważył tego ostatniego z następującego powodu. Ktoś, nie wiem kto, wymyślił dawno temu badziewie zwane implikacją materialną, ktoś drugi, też nie wiem kto, doszedł do fałszywego wniosku że implikacja odwrotna jest zbędna.

No i tak się to wszystko toczy od prawie 200 lat, czyli jedni matematycy uczą innych matematyków tego co ich uczono.

Prawdy są takie:
1.
Logika która nie akceptuje równych praw implikacji prostej => i odwrotnej ~> plus praw Kubusia nie jest algebrą Boole’a.
2.
Prawa kontrapozycji są fałszywe w implikacji i poprawne w równoważności
3.
Kwantyfikator duży "dla każdego" wynika z warunku wystarczającego w definicji implikacji prostej (nigdy odwrotnie jak to jest w dzisiejszej logice), zaś kwantyfikator mały "istnieje" który teoretycznie powinien opisywać implikację odwrotną ~> jest bezużyteczny bowiem zdanie może być prawdziwe na mocy naturalnego spójnika „może” ~~> i nie musi być implikacją odwrotną ~> (dodatkowo spełniony warunek konieczny).
4.
Prawa Kubusia zachodzą w obrębie jednej i tej samej definicji zero-jedynkowej implikacji, zatem implikacja prosta => nie może istnieć bez implikacji odwrotnej ~> i odwrotnie. Operator implikacji odwrotnej ~> jest zatem niezbędny w poprawnej logice klasycznej.

Twierdzenie Kubusia 1:
Jeśli w dowolnej implikacji prawdziwej, prostej => lub odwrotnej ~>, negujemy argumenty to musimy zmienić operator na przeciwny.

Dowód, prawa Kubusia wyżej.

Twierdzenie Kubusia 2:
Każdy kto twierdzi, iż w implikacji prostej prawdziwej po zanegowaniu argumentów można użyć tego samego operatora logicznego twierdzi że 2+2=5

Dowód, prawa Kubusia wyżej.

Twierdzenie 1 może przybrać ostrzejszą formę …

Twierdzenie Kubusia 1A:
W dowolnej implikacji prostej => prawdziwej wymawiając p=>q automatycznie mówimy ~p~>~q bo to jedna i ta sama definicja zero-jedynkowa.
W dowolnej implikacji odwrotnej ~> prawdziwej wymawiając p~>q automatycznie mówimy ~p=>~q bo to jedna i ta sama definicja zero jedynkowa.

Człowiek ma tu zero do powiedzenia bo to jest matematyka pod którą on podlega a nie którą on tworzy.

Koniec 2009-11-01
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
barycki/konto usunięte
Usunięcie na własną prośbę



Dołączył: 18 Paź 2009
Posty: 4203
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: Konto usunięte na prośbę użytkownika. Patrz: przycisk WWW
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Nie 22:49, 22 Lis 2009    Temat postu:
Boże bądź miłościw mnie grzesznemu, ulituj się nade mną, nie każ mi tego czytać od nowa. Jeśli się nade mną nie ulitujesz, własną krwią podpiszę cyrograf diabłu, żeby mnie od Kubusia uwolnił.

Adam Barycki

Ostatnio zmieniony przez barycki/konto usunięte dnia Nie 22:49, 22 Lis 2009, w całości zmieniany 1 raz
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Pon 9:37, 23 Lis 2009    Temat postu:
Nikt ci nie karze czytać, ta tajemna wiedza to matematyka na poziomie I klsy LO.
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
barycki/konto usunięte
Usunięcie na własną prośbę



Dołączył: 18 Paź 2009
Posty: 4203
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: Konto usunięte na prośbę użytkownika. Patrz: przycisk WWW
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Pon 9:43, 23 Lis 2009    Temat postu:
rafal3006:
Cytat:
Nikt ci nie karze czytać


Kiedy jakaś siła tajemna mnie pcha i dręczy niemiłosiernie.

Adam Barycki
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Pon 9:57, 23 Lis 2009    Temat postu:
... no to czytaj :grin:
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
barycki/konto usunięte
Usunięcie na własną prośbę



Dołączył: 18 Paź 2009
Posty: 4203
Przeczytał: 0 tematów

Skąd: Konto usunięte na prośbę użytkownika. Patrz: przycisk WWW
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Pon 11:33, 23 Lis 2009    Temat postu:
rafal3006:
Cytat:
... no to czytaj


Kiedy nie mogę, organizm się buntuje.

Adam Barycki
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat  
Autor Wiadomość
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia



Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
PostWysłany: Pon 18:28, 23 Lis 2009    Temat postu:
Wymień organizm :grin:
Powrót do góry
Zobacz profil autora
Wyświetl posty z ostatnich:   
Napisz nowy temat   Odpowiedz do tematu    Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

 
Skocz do:  
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
Regulamin
Na skróty:BiuroKomentarze do artykułówŚwiatopoglądNaukaSztukaTowarzystwoStopkaFilozofiaWięzienieKretowiskoKawiarniaApologia kontra krytyka teizmuMetodologiaForum KubusiaRozbieranie irracjonalizmuBlog: hushekKatolicyzmGwiezdne WojnyBlog: Michał DyszyńskiNauki społeczneReligie i wyznaniaŚwięte KsięgiBlog: IroBKosmosGenesisBlog: MMMPowitaniaNauka a światopoglądŚmietnikRegulamin