Algebra Boole'a - nieznane oblicze

ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.

FAQ

Szukaj

Użytkownicy

Grupy

Galerie

Rejestracja

Profil

Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości

Zaloguj

Algebra Boole'a - nieznane oblicze

Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Pon 12:10, 23 Lip 2018 Temat postu: Algebra Boole'a - nieznane oblicze

Algebra Boole’a
nieznane oblicze

Autor:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata

Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele

Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński i inni.

Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2018

Wstęp:
Niniejsza wersja algebry Boole’a, będąca wstępem do algebry Kubusia, logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat, to efekt 12 letniej dyskusji głównie na forum śfinia, gdzie decydujące było ostatnie 7 lat, gdy do dyskusji przyłączył się Fiklit. To głównie dzięki niemu algebra Kubusia, której autorem jest Stwórca naszego Wszechświata, została rozszyfrowana. Niniejszy wykład algebry Boole’a, zbudowany jest na fundamencie bramek logicznych, to wersja algebry Boole’a której ziemianie nie znają, podzielona na trzy części.

Część I
Zero-jedynkowa algebra Boole’a

Część II
Symboliczna algebra Boole’a, algebra równań logicznych

Część III
Operatory logiczne wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Spis treści
1.0 Notacja 2
1.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a 2
2.0 Definicja algebry Boole’a 4
2.1 Fundamenty algebry Boole’a 5
2.1.1 Prawo Lwa 6
2.1.2 Prawa Prosiaczka 6
2.1.3 Zero-jedynkowa i symboliczna algebra Boole’a 6
3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a 7
3.1 Rachunek zero-jedynkowy 9
3.2 Podstawowe prawa algebry Boole’a 9
2.3 Minimalizacja równań logicznych w algebrze Boole’a 12
3.4 Operatory logiczne AND(|*) i OR(|+) 15
3.5 Tworzenie tabel zero-jedynkowych dla zadanych funkcji logicznych 16
3.6 Podsumowanie algebry Boole’a w rachunku zero-jedynkowym 17

1.0 Notacja

Legalne symbole podstawowe używane w algebrze Boole’a to tylko i wyłącznie:
{0,1} - dwa wyróżnione elementy, zwykle 0 i 1
Popularna interpretacja:
1 - prawda
0 - fałsz
(~) - przeczenie
1=~0 - prawda to zaprzeczenia fałszu
0=~1 - fałsz to zaprzeczenia prawdy
(*) - spójnik logiczny „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka zwany też koniunkcją
(+) - spójnik logiczny „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka zwany też alternatywą

1.1 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a

„Film powinien zaczynać się od trzęsienia ziemi, potem zaś napięcie ma nieprzerwanie rosnąć.”
Alfred Hitchcock

Szczegóły i wyjaśnienia w tym temacie będą w części II nieznanej algebry Boole’a:
„Symboliczna algebra Boole’a, algebra równań logicznych”
Tu tyko sygnalizuje problem.

Twierdzenie Delfina:
W poprawnej algebrze Boole'a, w dowolnej linii x tabeli zero-jedynkowej musi być spełnione równanie cząstkowe:
(~)p=1 i (~)q=1 <=> (~)Yx=1
Gdzie:
(~) - przeczenie przy danym sygnale może wystąpić lub nie, w zależności od konkretnej tabeli zero-jedynkowej.

Problem z algebrą Boole’a ziemian jest taki, że zna tylko i wyłącznie logikę dodatnią (bo Yx). Taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna, bo dla pewnych tabel zero-jedynkowych musimy w linii x zapisać:
A: p=1 i q=1 <=> Yx=0
W tym przypadku obalamy teorię bramek logicznych, bo nie widząc logiki ujemnej nie możemy zapisać tego co niżej:
(Yx=0) = (~Yx=1) - prawo Prosiaczka
Czyli nie zapiszemy poprawnej definicji bramki "i"(*) w linii x tabeli zero-jedynkowej w sposób jak niżej:
B: p=1 i q=1 <=> ~Yx=1
W B nie ma obalenia definicji bramki logicznej "i"(*), natomiast w zapisie A teoria bramek logicznych leży w gruzach

Twierdzenie Rekina:
Ziemska algebra Boole’a nie akceptująca logiki ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczna.

Dowód:
Weźmy dowolną, nieznaną nam bramkę logiczną dwuargumentową.
Y=f(p,q)
Wszystkie możliwe stany jakie możemy wymuszać na wejściach p i q tej bramki opisuje poniższa tabela:

Kod:

T1
p q Y=f(p,q)
A: 1 1 x
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x

Matematycznie na wyjściu bramki Y może pojawić się 16 różnych odpowiedzi.
Dokładnie połowa z tych odpowiedzi w linii A da odpowiedź:
Ya=1
zaś druga połowa da odpowiedź:
Ya=0
to oczywista oczywistość dla każdego ziemskiego matematyka.

Nasza tabel wygląda zatem następująco:

Kod:

T2
p q Y=f(p,q)
A: 1 1 Ya=1 albo 0
B: 1 0 x
C: 0 1 x
D: 0 0 x

W tym momencie mamy dowód, iż taka algebra Boole’a jest wewnętrznie sprzeczna, bowiem na identyczne wymuszenia na wejściu bramki „i”(*) w linii A (p=1 i q=1) mamy niejednoznaczną odpowiedź na wyjściu bramki:
Ya=1 albo 0
Nie istnieje bramka logiczna „i”(*) w której po podaniu na wejście sygnałów p=1 i q=1 otrzymamy odpowiedź Ya=0.

Wniosek:
Algebra Boole’a która nie widzi logiki dodatniej (bo Ya) i ujemnej (bo ~Ya) na wyjściu Y jest wewnętrznie sprzeczna.

W poprawnej matematycznie algebrze Boole’a mamy tak.

Prawo Lwa:
Dowolny sygnał cyfrowy w logice dodatniej (bo p) wymusza istnienie sygnału w logice ujemnej (bo ~p) i odwrotnie.

Na mocy prawa Lwa nasza tabela wygląda teraz tak:

Kod:

T3
Przypadek:
Ya=1, ~Ya=0
Tabela zero-jedynkowa: |Co w logice |Równanie cząstkowe
|Jedynek oznacza |w logice jedynek
p q ~p ~q Y=? ~Y=?
A: 1 1 0 0 1 0 | Ya=1<=>p=1 i q=1 | Ya=p*q
B: 1 0 0 1 x x
C: 0 1 1 0 x x
D: 0 0 1 1 x x
Doskonale widać, że w tym przypadku definicja spójnia „i”(*)
świętość bramek logicznych jest zachowana
p=1 i q=1 => Ya=1
W tym przypadku sygnał:
~Ya=0 to negacja sygnału Ya=1
Sygnał ~Ya=0 jest dostępny po inwerterze podłączonym do wyjścia bramki „i”(*) zdefiniowanej jako Ya=1

Kod:

T4
Przypadek:
Ya=0, ~Ya=1
Tabela zero-jedynkowa: |Co w logice |Równanie cząstkowe
|Jedynek oznacza |w logice jedynek
p q ~p ~q Y=? ~Y=?
A: 1 1 0 0 0 1 |~Ya=1<=>p=1 i q=1 |~Ya=p*q
B: 1 0 0 1 x x
C: 0 1 1 0 x x
D: 0 0 1 1 x x
Doskonale widać, że w tym przypadku definicja spójnia „i”(*)
świętość bramek logicznych jest zachowana
p=1 i q=1 =>~Ya=1
W tym przypadku sygnał:
Ya=0 to negacja sygnału ~Ya=1
Sygnał Ya=0 jest dostępny po inwerterze podłączonym do wyjścia bramki „i”(*) zdefiniowanej jako ~Ya=1

2.0 Definicja algebry Boole’a

Algebra Boole’a to matematyka ścisła której niepotrzebne są jakiekolwiek odnośniki do świata rzeczywistego - jest ponad naszym Wszechświatem.
W szczególności, jeśli mówimy o algebrze Boole’a jako matematyce to musimy wykopać w kosmos Klasyczny Rachunek Zdań bowiem jego fundamentem jest język mówiony człowieka, a to już jest fizyka a nie matematyka.

Definicja algebry Boole’a
Algebra Boole’a to zaledwie pięć znaczków {0, 1}, (~), (*), (+) plus rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa algebry Boole’a.
1.
{0,1} - dwa wyróżnione elementy (np. 0 i 1)
2.
Definicja negacji (~):
1=~0
0=~1
3.
Definicja spójnika „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym:

Kod:

p q p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
1 2 3

4.
Definicja spójnika „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym:

Kod:

p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
1 2 3

2.1 Fundamenty algebry Boole’a

Definicja stałej binarnej
Stała binarna to symbol którego wartość logiczna jest nam znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić

Przykład:
Pies ma cztery łapy
P4L=1
Czytamy: prawdą jest (=1), że pies ma cztery łapy (P4L)
Tego faktu nie jesteśmy w stanie zmienić

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować w funkcji czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0
p=[1,0]
Notacja:
p=1 - w chwili t1 zmienna p ma wartość logiczną 1
p=0 - w chwili t2 zmienna p ma wartość logiczną 0
Oczywiście nie może być, że w tej samej chwili czasowej zmienna binarna p ma równocześnie wartość logiczną 1 i 0.

Zmienną binarną p możemy zapisać w tabeli prawdy uwzględniającej wszystkie możliwe wartości logiczne p

Kod:

p
A: 1
B: 0

2.1.1 Prawo Lwa

Prawo Lwa:
Dowolna zmienna binarna p wymusza istnienie zmiennej ~p i odwrotnie

Kod:

p ~p
A: 1 0
B: 0 1

Z powyższej tabeli możemy odczytać prawa Prosiaczka.

2.1.2 Prawa Prosiaczka

I prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Wartość logiczna zmiennej p równa 1 (p=1) wymusza wartość logiczną zmiennej ~p równą 0 (~p=0) i odwrotnie

II Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Wartość logiczna zmiennej p równa 0 (p=0) wymusza wartość logiczną zmiennej ~p równą 1 (~p=1) i odwrotnie

Interpretacja praw Prosiaczka w świecie fizycznym.

I prawo Prosiaczka:
Prawdą jest (=1) że widzę kotka (K) = fałszem jest (=0) że nie widzę kotka (~K)
(K=1)=(~K=0)

Kod:

K ~K
A: 1 0

II prawo Prosiaczka:
Fałszem jest (=0) że widzę kotka (K) = prawdą jest (=1) że nie widzę kotka (~K)
(K=0)=(~K=1)

Kod:

K ~K
B: 0 1

Połączone I i II prawa Prosiaczka to tabela prawdy dla zmiennej K:

Kod:

K ~K
A: 1 0
B: 0 1

2.1.3 Zero-jedynkowa i symboliczna algebra Boole’a

Z praw Prosiaczka wynika:
I.
Zero-jedynkowa algebra Boole’a - rachunek zero-jedynkowy
Logikę matematyczną możemy uprawiać w zerach i jedynkach (rachunek zero-jedynkowy) gdzie o logice matematycznej decydują poprawnie zapisane nagłówki kolumn zero-jedynkowych.
I. (p=1)=(~p=0)
II. (p=0)=(~p=1)
p=1 - prawdą (=1) jest że zajdzie p
p=0 - fałszem jest (=0) że zajdzie p
Logikę matematyczną zapewniają nam tu I i II prawo Prosiaczka.

II.
Symboliczna algebra Boole’a - logika równań algebry Boole’a
Logikę matematyczną możemy uprawiać w symbolach p i ~p (równania algebry Boole’a) gdzie o logice matematycznej decydują sygnały p i ~p, żadnych tabel zero-jedynkowych tu nie ma!
I. (p=1)=(~p=0)
II. (~p=1)=(p=0)
p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie p
~p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~p
Logikę matematyczną zapewniają nam tu I i II prawo Prosiaczka.

3.0 Zero-jedynkowa algebra Boole’a

Algebra Boole’a operuje wyłącznie pięcioma znaczkami:
{0,1} - dwa element wyróżnione np. 0 i 1
(~) - negacja
(*) - spójnik „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, zwany też koniunkcją
(+) - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka, zwany też alternatywą

Wszelkie prawa zero-jedynkowej algebry Boole’a wyznacza rachunek zero-jedynkowy operujący tylko i wyłącznie powyższymi znaczkami.

Najpopularniejszą interpretacją 0 i 1 w świecie rzeczywistym jest technika TTL:
1=H - wysoki poziom logiczny (napięcie 2,4-5,0V)
0=L - niski poziom logiczny (napięcie 0,0-0,4V)
Przykład rzeczywistej bramki logicznej realizującej definicję spójnika „i”(*):
[link widoczny dla zalogowanych]

Definicja bramki logicznej 2-wejściowej:
Bramka logiczna tu układ scalony o dwóch wejściach cyfrowych (p, q) i tylko jednym wyjściu Y.

W algebrze Boole’a wszystkie sygnały są binarne (dwuwartościowe). Dotyczy to zarówno sygnałów wejściowych (p, q) jak i sygnału wyjściowego Y.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p q Y=p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
1 2 3
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
to kompletna tabela ABCD123.

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p q Y=p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
1 2 3
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego
to kompletna tabela ABCD123

Kod:

p q p*q q*p p+q q+p
A: 1 1 1 1 1 1
B: 1 0 0 0 1 1
C: 0 1 0 0 1 1
D: 0 0 0 0 0 0
1 2 3 4 5 6

Tożsamość kolumn 3-4 jest dowodem przemienności argumentów w spójniku „i”(*):
p*q = q*p
Tożsamość kolumn 5=6 jest dowodem przemienności argumentów w spójniku „lub”(+):
p+q=q+p

2.
Prawa o elemencie neutralnym w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest 1
p*1=p
p*0=0
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest 0
p+0=p
p+1=1
Dowód:

Kod:

Dla q=1 mamy:
p q p*q p+q
A: 1 1 1 1
B: 1 1 1 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 0 1
1 2 3 4

Prawa rachunku zero-jedynkowego:
1=3
p*q = p*1 =p
2=4
p+q = p+1 =1
cnd

Kod:

Dla q=0 mamy:
p q p*q p+q
A: 1 0 0 1
B: 1 0 0 1
C: 0 0 0 0
D: 0 0 0 0
1 2 3 4

Prawa rachunku zero-jedynkowego:
1=4
p+q = p+1 =p
2=3
p*q = p*0 =0
cnd

3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:
p*p=p
p+p=p

Dowód:
Rozważamy tu przypadek szczególny:
q=p

Kod:

Dla q=p mamy:
p p p*p p+p
A: 1 1 1 1
B: 1 1 1 1
C: 0 0 0 0
D: 0 0 0 0
1 2 3 4

Prawa rachunku zero-jedynkowego:
1=3
p*p =p
1=4
p+p =p
cnd

4.
Definicja dziedziny równania algebry Boole’a:
Dziedziną równania algebry Boole’a jest równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące wszystkie możliwe kombinacje zmiennych użytych w równaniu.
Dla dwóch zmiennych p i q dziedziną będzie równanie:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1 (dziedzina)
To samo w równaniach cząstkowych:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
Dowód:
Minimalizujemy:
Y=p*(q+~q)+~p*(q+~q)
Y = p+~p=1
cnd
4A:
Właściwości dziedziny równania algebry Boole’a:
Równania cząstkowe Ya, Yb, Yc i Yd są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny (=1).
Wzajemną rozłączność równań cząstkowych bardzo łatwo udowodnić:
Ya*Yb = (p*q)*(p*~q) =0
Ya*Yc=(p*q)*(~p*q) =0
itd.
Uwaga:
We wszelkich prawach algebry Boole’a jedynkę możemy zastąpić dziedziną równania algebry Boole’a.
Przykład:
Udowodnij iż 1 jest elementem neutralnym dla spójnika „i”(*)
Dowód:
p*1 =p
Dziedzina dla jednej zmiennej to:
p+~p=1
p*~p=0
Podstawiamy:
p*1=p*(p+~p) = p*p + p*~p = p*p =p
cnd

5.
Prawo uzupełnienia do dziedziny równania algebry Boole’a:
Zmienna ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla zmiennej p
p+~p =1
Zmienne p i ~p są rozłączne
p*~p =0
W tym przypadku podstawiamy:
q=~p

Kod:

dla q=~p mamy:
p ~p p*~p p+~p
A: 1 0 0 1
B: 1 0 0 1
C: 0 1 0 1
D: 0 1 0 1
1 2 3 4

Prawa rachunku zero-jedynkowego:
p*~p =0
p+~p =1

6.
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, (*), (+)

7.
Zasady mnożenia wielomianów są identyczne jak w matematyce klasycznej.

Przykład:
Udowodnij tożsamość logiczną:
L: p*q+~p*~q = P: (p+~q)*(~p+q)
Przekształcamy prawą stronę:
P: (p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q + ~q*~p+~q*q = 0+p*p + ~p*~q +0 = p*q+~p*~q
cnd

2.3 Minimalizacja równań logicznych w algebrze Boole’a

Prawa logiki matematycznej udowodnione wyżej to:
1.
Prawo przemienności argumentów w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
p*q=q*p
p+q=q+p
2.
Prawa o elemencie neutralnym w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest 1
p*1=p
p*0=0
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest 0
p+0=p
p+1=1
3.
Prawo redukcji lub powielania dowolnej zmiennej binarnej:
p*p=p
p+p=p
4.
Definicja dziedziny równania algebry Boole’a:
Dziedziną równania algebry Boole’a jest równanie alternatywno-koniunkcyjne opisujące wszystkie możliwe kombinacje zmiennych użytych w równaniu.
Dla dwóch zmiennych p i q dziedziną będzie równanie:
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q + D: ~p*~q =1 (dziedzina)
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
4A:
Właściwości dziedziny równania algebry Boole’a:
Równania cząstkowe Ya, Yb, Yc i Yd są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny (=1).
5.
Prawo uzupełnienia do dziedziny równania algebry Boole’a:
Zmienna ~p jest uzupełnieniem do dziedziny dla p
p+~p =1
Zmienne p i ~p są rozłączne
p*~p =0
6.
Kolejność wykonywania działań:
nawiasy, (*), (+)
7.
Zasady mnożenia wielomianów są identyczne jak w matematyce klasycznej.

Definicja bramki logicznej n-wejściowej:
Bramka logiczna to układ scalony o n wejściach cyfrowych (p, q, r, s..) i tylko jednym wyjściu Y.

W algebrze Boole’a wszystkie sygnały są binarne (dwuwartościowe). Dotyczy to zarówno sygnałów wejściowych (p, q, r, s..) jak i sygnału wyjściowego Y.

Definicja funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y):
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y) to dowolne zmienne binarne połączone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Przykład:
Y= p*q+~p*~q

Dowolną funkcję logiczną Y możemy tylko i wyłącznie negować stronami, zabronione jest tu jakikolwiek przenoszenie elementów z jednej strony na drugą charakterystyczne dla funkcji z matematyki klasycznej.

Definicja funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y):
Funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~Y) to dowolne zmienne binarne połączone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Przykład:
~Y = (p+~q)*(~p+q)

Prawo przejścia do logiki przeciwnej metodą Wuja Zbója:
1. Uzupełniamy nawiasy
2. Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne

Przykład:
Niech będzie dana funkcja alternatywno-koniunkcyjna:
Y=p*q+~p*~q - logika dodatnia (bo Y)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) metodą Wuja Zbója:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
Y = (p*q)+(~p*~q) - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+~q)*(p+q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)

Prawo przejścia z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
Przejście z dowolnej postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej uzyskujemy wymnażając wielomiany w sposób identyczny jak w matematyce klasycznej.
To jedyny wspólny punkt z matematyką klasyczną, cała reszta jest fundamentalnie różna.

Obowiązują tu następujące reguły gry:
Argumenty w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
Kolejność wykonywania działań: nawiasy, (*), (+)

Przejdźmy z naszą funkcją 2 do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianu.
3.
~Y = (~p+~q)*(p+q)
~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
~Y = p*~q + ~p*q

Przejdźmy z funkcją 3 z powrotem do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
Uzupełniamy nawiasy:
3: ~Y=(p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q)

W naszym przykładzie zachodzą tożsamości logiczne [=]:
1: Y=p*q+~p*~q [=] 4: Y=(~p+q)*(p+~q)
oraz:
2: ~Y=(~p+~q)*(p+q) [=] 3: ~Y=p*~q + ~p*q

Stąd mamy.
Prawo logiki matematycznej znane ziemianom:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.
Dowód na przykładzie: wyżej

Podsumowanie:
Niniejszy punkt jest absolutnie wystarczający do minimalizacji wszelkich funkcji logicznych - nic a nic nie jest więcej konieczne.

3.4 Operatory logiczne AND(|*) i OR(|+)

Prawo Lwa:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej sygnały niezanegowane wymuszają sygnały zanegowane i odwrotnie.

Wniosek z prawa Lwa:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej musimy zapisać wszystkie sygnały niezanegowane i zanegowane.
Po stronie wejścia p i q mamy sygnały:
p. ~p, q, ~q
Po stronie wyjścia Y mamy sygnały:
Y, ~Y
Wszystkie te sygnały muszą być uwidocznione w dowolnej tabeli zero-jedynkowej, inaczej gwałcimy prawo Lwa, czyli popełniamy błąd czysto matematyczny.
Aktualna logika matematyczna ziemian nie zna pojęcia logii dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y), gwałci zatem prawo Lwa.
Innymi słowy:
Jest matematycznie fałszywa.

Definicja operatora logicznego:
Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) oraz funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
1.
Y = f(p,q)
2.
~Y=~f(p,q)

Matematyczne związki spójnika „i”(*) ze spójnikiem „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym:

Kod:

~Y=~(Y) Y=~(~Y)
p q ~p ~q Y=p*q ~Y=~(p*q) ~Y=~p+~q Y=~(~p+~q)
A: 1 1 0 0 1 0 0 1
B: 1 0 0 1 0 1 1 0
C: 0 1 1 0 0 1 1 0
D: 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8

Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) to układ równań logicznych Y i ~Y z powyższej tabeli
1.
Y=p*q
2.
~Y=~p+~q

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna
Y=~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zaprzeczona logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p+~q = ~(p*q)

Prawa De Morgana widać bezpośrednio w tabeli zero-jedynkowej w postaci tożsamości kolumn 5=8 i 6=7.

Matematyczne związki spójnika “lub”(+) ze spójnikiem „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym:

Kod:

~Y=~(Y) Y=~(~Y)
p q ~p ~q Y=p+q ~Y=~(p+q) ~Y=~p*~q Y=~(~p*~q)
A: 1 1 0 0 1 0 0 1
B: 1 0 0 1 1 0 0 1
C: 0 1 1 0 1 0 0 1
D: 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8

Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) to układ równań logicznych Y i ~Y z powyższej tabeli
1.
Y=p+q
2.
~Y=~p*~q

Związek logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna
Y=~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p+q = ~(~p*~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
Logika ujemna to zaprzeczona logika dodatnia
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y=~p*~q = ~(p+q)

Prawa De Morgana widać bezpośrednio w tabeli zero-jedynkowej w postaci tożsamości kolumn 5=8 i 6=7.

Matematycznie zachodzi tu:

Kod:

Definicja operatora AND(|*) ## Definicja operatora OR(|+)
1: Y=p*q ## 1: Y=p+q
2:~Y=~p+~q ## 2: ~Y=~p*~q
Prawa De Morgana: ## Prawa De Morgana
Y=~(~Y)=~(~p+~q) ## Y=~(~Y)=~(~p*~q)
~Y=~(Y)=~(p*q) ##~Y=~(Y)=~(p+q)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji

Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji jeśli nie istnieją przekształcenia czysto matematyczne oparte o prawa algebry Boole’a przekształcające jedną funkcję logiczną w drugą.

Zauważmy, że funkcje logiczne wchodzące w skład operatora AND(|*) albo OR(|+) nie są różne na mocy definicji bowiem prawami logiki matematycznej można uzyskać dowolną z nich korzystając z drugiej.
Dowód na przykładzie operatora AND(|*):
1: Y=p*q
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2: ~Y=~p+~q
Wniosek:
Funkcje Y=p*q i ~Y=~p+~q nie są różne na mocy definicji.
Oczywistym jest że funkcje tożsame [=]:
Y=p*q [=] Y=~(~p+~q)
też nie są różne na mocy definicji

Różne na mocy definicji ## są dowolne dwie funkcje wzięte, jedna z operatora AND(|*) a druga z operatora OR(|+).
Przykładowo:
Nie da się funkcji logicznej:
Y=p*q
Przekształcić do funkcji logicznej:
Y=p+q
bo nie istnieje ani jedno prawo logiki matematycznej, które by to umożliwiało!

Powyższą tabelę można opisać bardziej szczegółowo:

Kod:

AND(|*): ## OR(|+)
Y=p*q=~(~p+~q)#~Y=~p+~q=~(p*q) ## Y=p+q=~(~p*~q)#~Y=~p*~q=(p+q)

Stąd mamy definicję kolejnego znaczka #.

Definicja znaczka #:
Funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy ich suma logiczna stanowi dziedzinę równania algebry Boole’a

Definicja dziedziny równania algebry Boole’a:
Dziedziną równania algebry Boole’a o n zmiennych binarnych jest suma logiczna funkcji w logice dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Y+~Y=1
Y*~Y=0

Dowód dla operatora AND(|*):
Y=p*q
~Y=~p+~q = ~(p*q)
Stąd mamy definicję dziedziny dla operatora AND(|*):
Y+~Y=p*q+~(p*q) =1
Y*~Y = (p*q)*~(p*q) =0
cnd

3.5 Tworzenie tabel zero-jedynkowych dla zadanych funkcji logicznych

Zadanie:
Dana jest funkcja logiczna:
Y=p*~q + ~p*q
Zapisz funkcję logiczną ~Y w postaci alternatywno-koniunkcyjnej oraz zapisz obie funkcje w rachunku zero-jedynkowym.

Rozwiązanie:
1.
Y = (p*~q)+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y = (~p+q)*(p+~q)
Przejście do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej poprzez wymnożenie wielomianów:
3.
~Y=~p*p+~p*~q + q*p + q*~q
~Y = p*q + ~p*~q
~Y=~Ya+~Yb

Zapisujemy w tabeli zero-jedynkowej funkcję logiczną 3 (bo taką mamy zachciankę):

Kod:

~Y=~Ya+~Yb Y=~(~Y)=~(p*q+~p*~q)
p q ~p ~q ~Ya=p*q ~Yb=~p*~q ~Y=p*q+~p*~q Y=p*~q+~p*q
A: 1 1 0 0 1 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 0 0 1
C: 0 1 1 0 0 0 0 1
D: 0 0 1 1 0 1 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8

3.6 Podsumowanie algebry Boole’a w rachunku zero-jedynkowym

W rachunku zero-jedynkowym mamy zakaz interesowania się zerami i jedynkami wewnątrz tabeli zero-jedynkowej. W rachunku zero-jedynkowym ważne są wyłącznie prawidłowo opisane nagłówki kolumn wynikowych w postaci funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) albo ujemnej (bo ~Y).

W symbolicznej algebrze Boole’a gdzie operujemy symbolami p i ~p jakiekolwiek tabele zero-jedynkowe kompletnie nas nie interesują bo ich po prostu tu nie ma!
Symboliczna algebra Boole’a (równania algebry Boole’a) jest nieporównywalnie precyzyjniejsza od zero-jedynkowej algebry Boole’a, o czym w następnym rozdziale.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 18:10, 06 Wrz 2019, w całości zmieniany 8 razy

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Pon 12:19, 23 Lip 2018 Temat postu:

Część II
Symboliczna algebra Boole’a, algebra równań logicznych

Spis treści
4.0 Symboliczna algebra Boole’a 2
4.1 Definicja algebry Boole’a 2
4.2 Fundamenty algebry Boole’a 2
4.2.1 Prawo Lwa 3
4.2.2 Prawa Prosiaczka 3
4.2.3 Zero-jedynkowa i symboliczna algebra Boole’a 4
4.3 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) 5
4.4 Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 7
4.4.1 Schemat ideowy operatora chaosu p|~~>q 9
4.4.2 Wykres czasowy operatora chaosu p|~~>q 14
4.5 Symboliczna definicja równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 17
4.5.1 Schemat ideowy operatora równoważności p|<=>q 19
4.5.2 Wykres czasowy operatora równoważności p|<=>q 21
4.5.3 Definicja logiki matematycznej człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 25
4.6 Symboliczna definicja operatora „albo”(|$) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 28
4.6.1 Schemat ideowy operatora „albo”($) 30
4.6.2 Wykres czasowy operatora „albo”(|$) 32
4.6.3 Przykłady użycia spójnika „albo”($) 36
4.7 Symboliczna definicja operatora AND(|*) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 38
4.7.1 Schemat ideowy AND(|*) 40
4.7.2 Wykres czasowy operatora AND(|*) 43
4.7.3 Przykład użycia spójnika „i”(*) 47
4.8 Symboliczna definicja operatora OR(|+) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 48
4.8.1 Schemat ideowy OR(|+) 51
4.8.2 Wykres czasowy operatora OR(|+) 54
4.8.3 Przykład użycia spójnika „lub”(+) 58
4.9 Definicja operatora implikacji p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 59
4.9.1 Schemat ideowy implikacji prostej p|=>q 62
4.9.2 Wykres czasowy operatora implikacji prostej p|=>q 65
4.9.3 Przykład użycia warunku wystarczającego => 69
4.9.4 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a

4.0 Symboliczna algebra Boole’a

Odpowiednikiem układu kartezjańskiego w logice matematycznej są wykresy czasowe, gdzie doskonale widać zależności zmiennych binarnych w osi czasu. Bez wykresów czasowych w logice matematycznej matematyk jest po prostu ślepy i nie widzi oczywistych banałów, co za chwilę udowodnimy.

4.1 Definicja algebry Boole’a

Definicja algebry Boole’a
Algebra Boole’a to zaledwie pięć znaczków {0, 1}, (~), (*), (+) plus rachunek zero-jedynkowy z którego wynikają wszelkie prawa algebry Boole’a.
1.
{0,1} - dwa wyróżnione elementy (np. 0 i 1)
2.
Definicja negacji (~):
1=~0
0=~1
3.
Definicja spójnika „i”(*) w rachunku zero-jedynkowym:

Kod:

p q p*q
A: 1* 1 =1
B: 1* 0 =0
C: 0* 1 =0
D: 0* 0 =0
1 2 3

4.
Definicja spójnika „lub”(+) w rachunku zero-jedynkowym:

Kod:

p q p+q
A: 1+ 1 =1
B: 1+ 0 =1
C: 0+ 1 =1
D: 0+ 0 =0
1 2 3

4.2 Fundamenty algebry Boole’a

Definicja stałej binarnej
Stała binarna to symbol którego wartość logiczna jest nam znana i której nie jesteśmy w stanie zmienić

Przykład:
Pies ma cztery łapy
P4L=1
Czytamy: prawdą jest (=1), że pies ma cztery łapy (P4L)
Tego faktu nie jesteśmy w stanie zmienić

Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to symbol mogący przyjmować w funkcji czasu wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0
p=[1,0]
Notacja:
p=1 - w chwili t1 zmienna p ma wartość logiczną 1
p=0 - w chwili t2 zmienna p ma wartość logiczną 0
Oczywiście nie może być, że w tej samej chwili czasowej zmienna binarna p ma równocześnie wartość logiczną 1 i 0.

Zmienną binarną p możemy zapisać w tabeli prawdy uwzględniającej wszystkie możliwe wartości logiczne p

Kod:

p
A: 1
B: 0

4.2.1 Prawo Lwa

Prawo Lwa:
Dowolna zmienna binarna p wymusza istnienie zmiennej ~p i odwrotnie

Kod:

Definicja negacji (~)
p ~p
A: 1 0
B: 0 1

Definicję negacji możemy przedstawić na wykresie czasowym:

4.2.2 Prawa Prosiaczka

Bezpośrednio z definicji negacji wynikają prawa Prosiaczka.

Kod:

Definicja negacji (~)
p ~p
A: 1 0
B: 0 1

I prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Wartość logiczna zmiennej p równa 1 (p=1) wymusza wartość logiczną zmiennej ~p równą 0 (~p=0) i odwrotnie

II Prawo Prosiaczka:
(p=0) = (~p=1)
Wartość logiczna zmiennej p równa 0 (p=0) wymusza wartość logiczną zmiennej ~p równą 1 (~p=1) i odwrotnie

Interpretacja praw Prosiaczka w świecie fizycznym.

I prawo Prosiaczka:
Prawdą jest (=1) że widzę kotka (K) = fałszem jest (=0) że nie widzę kotka (~K)
(K=1)=(~K=0)

Kod:

K ~K
A: 1 0

II prawo Prosiaczka:
Fałszem jest (=0) że widzę kotka (K) = prawdą jest (=1) że nie widzę kotka (~K)
(K=0)=(~K=1)

Kod:

K ~K
B: 0 1

Połączone I i II prawa Prosiaczka to tabela prawdy dla zmiennej K:

Kod:

Definicja negacji (~) w naszym przykładzie:
K ~K
A: 1 0
B: 0 1

4.2.3 Zero-jedynkowa i symboliczna algebra Boole’a

Z praw Prosiaczka wynika:
I.
Zero-jedynkowa algebra Boole’a - rachunek zero-jedynkowy
Logikę matematyczną możemy uprawiać w zerach i jedynkach (rachunek zero-jedynkowy) gdzie o logice matematycznej decydują poprawnie zapisane nagłówki kolumn zero-jedynkowych.
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1)=(~p=0)
II. (p=0)=(~p=1)
p=1 - prawdą (=1) jest że zajdzie p
p=0 - fałszem jest (=0) że zajdzie p
Logikę matematyczną zapewniają nam tu zera i jedynki.

II.
Symboliczna algebra Boole’a - logika równań algebry Boole’a
Logikę matematyczną możemy uprawiać w symbolach p i ~p (równania algebry Boole’a) gdzie o logice matematycznej decydują sygnały p i ~p, żadnych tabel zero-jedynkowych tu nie ma.
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1)=(~p=0)
II. (~p=1)=(p=0)
p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie p
~p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~p
Logikę matematyczną zapewniają nam tu zmienne p i ~p, wartość logiczna obu tych zmiennych to 1.

4.3 Definicje spójników „i”(*) i „lub”(+)

Definicja bramki logicznej 2-wejściowej:
Bramka logiczna tu układ scalony o dwóch wejściach cyfrowych (p, q) i tylko jednym wyjściu Y.

W algebrze Boole’a wszystkie sygnały są binarne (dwuwartościowe). Dotyczy to zarówno sygnałów wejściowych (p, q) jak i sygnału wyjściowego Y.

Kod:

Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy jednoznacznie opisać biorąc pod uwagę wyłącznie jedynki (logika jedynek) albo wyłącznie zera (logika zer).

Logika jedynek:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej bierzemy pod uwagą wyłącznie jedynki.

Definicja słowna spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
Y=p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Obszar ABC123
Opiszmy ten obszar:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i q=0 lub C: p=0 i q=1
Wniosek:
W logice jedynek w poziomach stosujemy spójnik „i”(*) zaś w pionach spójnik „lub”(+)
Inaczej:
Y=p+q=0
Wyłącznie linia D123

Logika zer:
W dowolnej tabeli zero-jedynkowej bierzemy pod uwagę wyłącznie zera

Definicja słowna spójnika „lub”(+) w logice zer:
Y=0 <=> p=0 i q=0
Wyłącznie linia D123
Inaczej:
Y=1
Obszar ABC123

Logika jedynek i logika zer to tożsame opisy matematyczne dowolnej tabeli zero-jedynkowej, jednak wyłącznie logika jedynek jest dla człowieka zrozumiała i ma przełożenie 1:1 na język potoczny człowieka, udowodnimy to niebawem w praktyce.
Powód niezrozumienia logiki zer widać jak na dłoni. W logice zer definiujemy spójnik „lub”(+) wypowiadając de facto spójnik „i”(*), różny na mocy definicji od spójnika „lub”(+)
Dokładnie z tego powodu w algebrze Boole’a logikę zer będziemy konsekwentnie ignorować, jako matematycznie zbędną.

4.4 Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Algebra Boole’a akceptuje wyłącznie 5 znaczków: {1,0}, (~), (*), (+)
Dowolną tabelę zero-jedynkową, w tym operatory logiczne, można poprawnie matematycznie opisać tylko i wyłącznie przy pomocy powyższych znaczków, czyli nie wychodząc poza algebrę Boole’a.

Symboliczna algebra Boole’a - logika równań algebry Boole’a
Logikę matematyczną możemy uprawiać w symbolach p i ~p (równania algebry Boole’a) gdzie o logice matematycznej decydują sygnały p i ~p, żadnych tabel zero-jedynkowych tu nie ma.
Prawa Prosiaczka:
I. (p=1)=(~p=0)
II. (~p=1)=(p=0)
p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie p
~p=1 - prawdą jest (=1) że zajdzie ~p
Logikę matematyczną zapewniają nam tu zmienne p i ~p, wartość logiczna obu tych zmiennych to 1.

Definicja kwantyfikatora małego ~~> w zbiorach:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja kwantyfikatora małego ~~> spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy istnieje co najmniej jeden element wspólny zbiorów p i q
Istnieje takie x które należy jednocześnie do zbiorów p i q
Inaczej: p~~>q=p*q =0

Przykład:
A.
Jeśli liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 2
P8~~>P2 =P8*P2 =1 bo 8
Dla udowodnienia prawdziwości zdania pod kwantyfikatorem małym ~~> wystarczy pokazać jeden wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P2=[2,4,6,8..]
Istnieje takie x, które należy jednocześnie do zbiorów p i q
Zauważmy, że w kwantyfikatorze małym ~~> wystarczy znaleźć jeden element wspólny zbiorów P8 i P2 co kończy dowód prawdziwości zdania A pod kwantyfikatorem dużym ~~>.
Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, byśmy wyznaczyli kompletny zbiór P8*P2:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
P8*P2 = [8,16,24..]=1 - bo zbiór wynikowy P8*P2 jest niepusty
Łatwo zauważyć że zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Stąd:
P8*P2 =P8

Bardzo ważny wniosek:
Z punktu widzenia logiki matematycznej bez znaczenia jest czy badając zdanie pod kwantyfikatorem małym ~~> poszukamy jednego wspólnego elementu zbiorów P8 i P2, czy też wyznaczymy kompletny zbiór P8*P2, bo wynik badania (=1) i jego logiczne znaczenie dostaniemy identyczne - istnieje część wspólna zbiorów P8 i P2.

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja kwantyfikatora małego ~~>:
p q Y=(p~~>q=p*q)
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 1

Prawo Lwa:
Dowolny sygnał cyfrowy w logice dodatniej (bo p) wymusza istnienie sygnału w logice ujemnej (bo ~p) i odwrotnie.

Na mocy prawa Lwa pełna tabela zero-jedynkowa definicja kwantyfikatora małego ~~> jest następująca:

Kod:

T2
p q ~p ~q Y=? ~Y=?
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 1 1 0 1 0
D: 0 0 1 1 1 0

Prawo Pumy:
Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy jednoznacznie zakodować wyłącznie w logice jedynek albo wyłącznie w logice zer.
Tych dwóch równoważnych logik lepiej nie mieszać bowiem robi się wówczas groch z kapustą.

Kodowanie w logice jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka od 5-cio latka poczynając na prof. matematyki kończąc
Kodowanie w logice zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których żaden człowiek nie rozumie, co za chwilę udowodnimy na przykładzie.

Kod:

Definicja operatora chaosu Y=p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=Ya+Yb+Yc+Yd
po rozwinięciu mamy:
Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q =1
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) =1
Y = p+~p=1
cnd
2.
~Y = ~(Y)
~Y=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q) =~(1) =0

Kod:

Definicja operatora chaosu Y=p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
2.
~Y=~Ya*~Yb*~Yc*~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2: ~Y = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q)=0
Dowód:
Przejście z 2 do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
Y = p*q + p*~q + ~p*q +~p*~q =1
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) =1
Y = p+~p =1
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y = p*~p =0
cnd
1.
Y=~(~Y)
Y =~[(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q)] =~(0) =1

4.4.1 Schemat ideowy operatora chaosu p|~~>q

Zbudujmy połączoną tabelę prawdy kwantyfikatora małego ~~> w logice jedynek (T3) oraz w logice zer (T4)

Kod:

Definicja operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Z tabeli T5 odczytujemy:
1.
Y=Ya+Yb+Yc+Yd
Y = (p*q)+(p*~q)+(~p*q)+(~p*~q) =1
2.
~Y=~Ya*~Yb*~Yc*~Yd
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0

W tabeli T5 doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej w poszczególnych liniach:
A.
Ya=p*q =1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Ya=~p+~q =0
i odwrotnie.
B.
Yb=p*~q =1
~Yb=~p+q =0
C.
Yc=~p*q =1
~Yc=p+~q=0
D.
Yd=~p*~q =1
~Yd=p+q =0

Zbudujmy schemat ideowy operatora chaosu p|~~>q korzystając z tabeli T5.

Bramka E typu „lub”(+) realizuje sumę logiczną sygnałów Ya, Yb, Yc i Yd w logice jedynek.
Y=Ya+Yb+Yc+Yd
po rozwinięciu mamy:
Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p*q=1 lub p*~q=1 lub ~p*q=1 lub ~p*~q=1

Bramka F typu „i”(*) realizuje iloczyn logiczny sygnałów ~Ya, ~Yb, ~Yc i ~Yd w logice zer.
~Y = ~Ya*~Yb*~Yc*~Yd
po rozwinięciu mamy:
~Y=0 <=> (~p+~q)=0 i (~p+q)=0 i (p+~q)=0 i (p+q)=0

Uwaga:
Logikę zer prowadzącą do równań koniunkcyjno-alternatywnych będziemy konsekwentnie eliminować z logiki matematycznej poprzez wymnożenie wielomianów, bowiem logika zer jest totalnie niezgodna z naturalną logiką matematyczną człowieka co za chwilę pokażemy na przykładzie.

Działanie operatora chaosu p|~~>q:
Działanie operatora chaosu precyzyjnie opisuje przedstawiony wyżej schemat ideowy.
Należy rozpatrzyć cztery ćwiartki ABCD względem siebie rozłączne i uzupełniające się wzajemnie do dziedziny.
Dowód:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd
Po podstawieniu równań cząstkowych mamy:
Y = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q =1
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q) =1
Y = p+~p =1
cnd
Łatwo udowodnić rozłączność sygnałów Ya, Yb, Yc i Yd każdy z każdym.
Zróbmy to dla przypadku Ya i Yb badając iloczyn logiczny tych sygnałów:
Ya*Yb = (p*q)*(p*~q) = p*q*~q =0
Zdarzenia (zbiory) Ya i Yb są rozłączne
cnd
Pozostałe przypadki pozostawiam czytelnikowi.

Analiza schematu ideowego operatora chaosu p|~~>q:

I.
Załóżmy, że znajdujemy się w ćwiartce A

Ćwiartka A
Do wejścia bramki „i”(*) o symbolu A dochodzą sygnały:
p=1 i q=1
Na wyjściu tej bramki mamy:
Ya=p*q =1
Sygnały Ya, Yb, Yc, i Yd są wzajemnie rozłączne, stąd, gdy znajdujemy się w ćwiartce A pozostałe wyjścia przyjmą wartość logiczną 0:
Yb=Yc=Yd =0
Do wejścia bramki „lub”{+) o nazwie E dochodzi suma logiczna wszystkich sygnałów cyfrowych:
ABCD1:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd = Ya+0+0+0 =Ya
stąd na wyjściu bramki E mamy funkcję cząstkową Ya:
Ya=p*q
co w logice jedynek oznacza:
Ya=1<=> p=1 i q=1
Stąd na wyjściu bramki “lub”(+) o nazwie E mamy jedynkę.

II.
Załóżmy, że znajdujemy się w ćwiartce B

Ćwiartka B
Do wejścia bramki „i”(*) o symbolu B dochodzą sygnały:
p=1 i ~q=1
Na wyjściu tej bramki mamy:
Yb=p*~q =1
Sygnały Ya, Yb, Yc, i Yd są wzajemnie rozłączne, stąd, gdy znajdujemy się w ćwiartce B pozostałe wyjścia przyjmą wartość logiczną 0:
Ya=Yc=Yd =0
Do wejścia bramki „lub”(+) o nazwie E dochodzi suma logiczna wszystkich sygnałów cyfrowych:
ABCD1:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd = 0+Yb+0+0 = Yb
stąd na wyjściu bramki E mamy funkcję cząstkową Yb:
Yb=p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Yb=1 <=> p=1 i ~q=1
Stąd na wyjściu bramki “lub”(+) o nazwie E mamy jedynkę.

III.
Załóżmy, że znajdujemy się w ćwiartce C

Ćwiartka C
Do wejścia bramki „i”(*) o symbolu C dochodzą sygnały:
~p=1 i q=1
Na wyjściu tej bramki mamy:
Yc=~p*q =1
Sygnały Ya, Yb, Yc, i Yd są wzajemnie rozłączne, stąd, gdy znajdujemy się w ćwiartce C pozostałe wyjścia przyjmą wartość logiczną 0:
Ya=Yb=Yd =0
Do wejścia bramki „lub”(+) o nazwie E dochodzi suma logiczna wszystkich sygnałów cyfrowych:
ABCD1:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd = 0+0+Yc+0 = Yc
stąd na wyjściu bramki E mamy funkcję cząstkową Yc:
Yc=~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Yc=1 <=> ~p=1 i q=1
Stąd na wyjściu bramki „lub”(+) o nazwie E mamy jedynkę.

IV.
Załóżmy, że znajdujemy się w ćwiartce D

Ćwiartka D
Do wejścia bramki „i”(*) o symbolu D dochodzą sygnały:
~p=1 i ~q=1
Na wyjściu tej bramki mamy:
Yd=~p*~q =1
Sygnały Ya, Yb, Yc, i Yd są wzajemnie rozłączne, stąd, gdy znajdujemy się w ćwiartce D pozostałe wyjścia przyjmą wartość logiczną 0:
Ya=Yb=Yc =0
Do wejścia bramki „lub”(+) o nazwie E dochodzi suma logiczna wszystkich sygnałów cyfrowych:
ABCD1:
Y = Ya+Yb+Yc+Yd = 0+0+0+Yd = Yd
stąd na wyjściu bramki E mamy funkcję cząstkową Yd:
Yd=~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Yc=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Stąd na wyjściu bramki „lub”(+) o nazwie E mamy jedynkę.

Podsumowanie:
Zauważmy, że w dowolnej chwili czasowej, obojętnie w której ćwiartce jesteśmy, na wyjściu bramki „lub”(+) o nazwie E mamy cały czas twardą jedynkę:
Y=Ya+Yb+Yc+Yd =1
Nie ma fizycznej możliwości ustawienia Y=0
Z powyższego wynika, że na wyjściu bramki „i”(*) o nazwie F mamy twarde zero:
~Y = ~Ya*~Yb*~Yc*~Yd =0
Nie ma fizycznej możliwości ustawienia ~Y=1
Sytuacje tą doskonale widać na wykresie czasowym operatora chaosu p|~~>q zaprezentowanym niżej.

4.4.2 Wykres czasowy operatora chaosu p|~~>q

Kluczową sprawą dla zrozumienia istoty działania operatora chaosu p|~~>q jest wykres czasowy będący odpowiednikiem układu kartezjańskiego w matematyce klasycznej. W logice matematycznej bez wykresów czasowych jesteśmy ślepi, nie wiadomo o co tu w istocie chodzi.

1.
Doskonale widać że na wyjściu Y mamy twardą jedynkę.
Y=p* q+ p*~q+ ~p* q + ~p*~q =1
Dowód:
Minimalizujemy:
Y = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
Y = p+~p =1
cnd
Z punktu odniesienia równań cząstkowych Ya, Yb, Yc i Yd nie mamy twardej jedynki.
Funkcja cząstkowa Yx przyjmie wartość jeden (Yx=1) wtedy i tylko wtedy gdy znajdujemy się w ćwiartce X, w pozostałych przypadkach funkcja cząstkowa Yx będzie miała wartość logiczną zero (Yx=0).
Wynika z tego, że na wyjściu dowolnej funkcji cząstkowej Yx mamy miękką jedynkę Yx=1 (może się pojawić ale nie musi) oraz miękkie zero Yx=0 (może się pojawić ale nie musi).
2.
Twarda jedynka na wyjściu Y wymusza twarde zero na wyjściu ~Y:
~Y=(~p+~q)*(~p+ q)*( p+~q)*( p+ q) =0

Tworzenie wykresu czasowego:

Matematycznym fundamentem tworzenia wykresów czasowych, niezależnym od logiki dodatniej (bo Y) czy ujemnej (bo ~Y) są definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) z rachunku zero-jedynkowego.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
p q p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0

ABCD1.
Tworzenie wykresu czasowego dla funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y)
Y=Ya+Yb+Yc+Yd =1
Y=(p*q)+(p*~q)+(~p*q)+(~p*~q) =1
Tworząc wykres czasowy działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Twarda jedynka na wyjściu Y jest tu sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya, Yb, Yc i Yd:
Y=Ya+Yd+Yc+Yd
co doskonale widać na wykresie czasowym.
Zauważmy, że funkcje cząstkowe Ya, Yb, Yc i Yd są wzajemnie rozłączne, co oznacza że iloczyn logiczny dowolnych dwóch różnych funkcji cząstkowych Yx i Yy będzie twardym zerem.

ABCD0.
Tworzenie wykresu czasowego funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
Przejście z równaniem ABCD1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~Ya*~Yb*~Yc =0
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0
Tworząc wykres czasowy działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Twarde zero na wyjściu ~Y to iloczyn logiczny funkcji cząstkowych ~Ya, ~Yb, ~Yc i ~Yd:
~Y=~Ya*~Yb*~Yc*~Yd =0
co doskonale widać na wykresie czasowym.
Zauważmy, że funkcje cząstkowe ~Ya, ~Yb, ~Yc i ~Yd nie są wzajemnie rozłączne, bo iloczyn logiczny dowolnych dwóch, różnych funkcji ~Yx i~Yy nie jest twardym zerem.
Twardym zerem jest wyłącznie iloczyn logiczny wszystkich czterech funkcji:
~Y=~Ya*~Yb*~Yc*~Yd =0

Przykład 1.
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro (Y=1):
A: K*T=1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1=1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
D: ~K*~T=1*1=1 - nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatry (~T=1)

Sąd mamy równanie algebry Boole’a dla zdania pani przedszkolanki:
Y = K*T + K*~T + ~K*T + ~K*~T =1
Minimalizujemy:
Y = K*(T+~T) + ~K*(T+~T) =1
1.
Y = K+~K =1
… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y=K*~K=0

Wnioski:
1.
Na wykresie czasowym doskonale widać, że zdarzenia ABCD są wzajemnie rozłączne i uzupełniają się do dziedziny (=1).
Na wyjściu Y mamy tu twardą jedynkę (Y=1) niezależną od tego co się dzieje na wejściach K, ~K, T, ~T
2.
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą, czyli w równaniu 2 nie ma szans na ustawienie (~Y=1).
Zapis 2 czytamy:
~Y=0 - fałszem jest (=0) że jutro skłamię (~Y)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=0)=(Y=1)
Stąd mamy odczyt tożsamy:
Y=1 - prawdą jest (=1), że jutro dotrzymam słowa (Y)
Y - dotrzymam słowa
~Y - skłamię (=nie dotrzymam słowa ~Y)

4.5 Symboliczna definicja równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q:

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q:
p q Y=(p<=>q)
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 1

Kod:

Pełna, zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q
T2
p q ~p ~q Y=? ~Y=?
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 1 1 0 0 1
D: 0 0 1 1 1 0

Kod:

Definicja operatora równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Z tabeli równań cząstkowych mamy:
Y=Ya+Yd
po rozwinięciu mamy:
Y = p*q + ~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc
po rozwinięciu mamy:
~Y=p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Kod:

Definicja operatora równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=Yb*Yc
po rozwinięciu mamy:
Y = (~p+q)*(p+~q) =0
2.
~Y=~Ya*~Yb
po rozwinięciu mamy:
~Y = (~p+~q)*(p+q) =0

4.5.1 Schemat ideowy operatora równoważności p|<=>q

Zauważmy, że jedyną różnicą w operatorze równoważności p|<=>q w porównaniu z operatorem chaosu p|~~>q omówionym w poprzednim punkcie jest rozkład zer i jedynek w kolumnie Y wymuszający rozkład zer i jedynek w kolumnie ~Y (albo odwrotnie)
Dokładnie z tego powodu bramki wejściowe ABCD w operatorze równoważności p|<=>q będą identyczne jak w operatorze chaosu p|~~>q - zmieni się tylko i wyłącznie przypisanie symboli Y i ~Y tym bramkom.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Dokładnie z tego powodu operator chaosu p|~~>q możemy nazwać matką wszystkich operatorów logicznych, bowiem na schemacie ideowym zmieniać się będzie tylko i wyłącznie kolumna wynikowa Y, pociągająca za sobą zmiany w kolumnie ~Y.

Zbudujmy połączoną tabelę prawdy spójnika równoważności p<=>q w logice jedynek (T3) oraz w logice zer (T4)

Kod:

Definicja operatora równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Z tabeli T5 odczytujemy.

Logika jedynek:
1.
Y=Ya+Yd
Y = p*q+~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc
~Y = p*~q + ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Logika zer:
1.
Y=Yb*Yc
Y = (~p+q)*(p+~q) =0
2.
~Y=~Ya*~Yd
~Y = (~p+~q)*(p+q) =0

W tabeli T5 doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej w poszczególnych liniach:
A.
Ya=p*q =1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Ya=~p+~q =0
i odwrotnie.
B.
~Yb=p*~q =1
Yb=~p+q =0
C.
~Yc=~p*q =1
Yc=p+~q=0
D.
Yd=~p*~q =1
~Yd=p+q =0

4.5.2 Wykres czasowy operatora równoważności p|<=>q

Kluczową sprawą dla zrozumienia istoty działania operatora równoważności p|<=>q jest wykres czasowy będący odpowiednikiem układu kartezjańskiego w matematyce klasycznej. W logice matematycznej bez wykresów czasowych jesteśmy ślepi, nie wiadomo o co tu w istocie chodzi.

Tworzenie wykresu czasowego:

Matematycznym fundamentem tworzenia wykresów czasowych, niezależnym od logiki dodatniej (bo Y) czy ujemnej (bo ~Y) są definicje spójników „i”(*) i „lub”(+) z rachunku zero-jedynkowego.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
p q p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0

AD1:
Y=Ya+Yd =(p*q)+(~p*~q) =1
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya i Yd co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartkach A i D funkcji logicznej Y

AD0:
Tworzenie wykresu czasowego funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
Przejście z AD1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników:
~Y=~Ya*~Yd = (~p+~q)*(p+q) =0
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest iloczynem logicznym funkcji cząstkowych ~Ya i ~Yd co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartkach A i D funkcji logicznej ~Y.

W identyczny sposób tworzymy wykresy czasowe funkcji:
BC1:
~Y=~Yb+~Yc = p*~q + ~p*q =1
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest sumą logiczną sygnałów ~Yb i ~Yc co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartkach B i C funkcji logicznej ~Y

Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
BC0:
Y = Yb*Yc = (~p+q)*(p+~q) =0
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest iloczynem logicznym funkcji Yb i Yc co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartkach B i C funkcji logicznej Y

Definicja operatora równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice jedynek:
1.
AD1:
Y= p<=>q = Ya+ Yd
Y = p* q+~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
2.
BC1:
~Y=~(p<=>q)=~Yb+~Yc
~Y = p*~q+~p* q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.

Definicja matematycznie tożsama.
Definicja operatora równoważności p|<=>q w logice zer:
1.
BC0:
Y= p<=>q = Yb*Yc
Y = (~p+q)*(p+~q) =0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
W tym przypadku należy narysować wykres czasowy BC0 będący iloczynem logicznym funkcji Yb i Yc
2.
AD0:
~Y=~(p<=>q) = ~Ya*~Yd
~Y = (~p+~q)*(p+q) =0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
W tym przypadku należy narysować wykres czasowy AD0 będący iloczynem logicznym funkcji ~Ya i ~Yd

Proszę o uwagę, nadeszła historyczna chwila.

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Tożsamość logiczna [=] to identyczność wykresów czasowych funkcji logicznych

Z wykresu czasowego równoważności p|<=>q odczytujemy następujące tożsamości logiczne [=]:
1.
AD1: Y= (p*q) + (~p*~q) =1 [=] BC0: Y=(~p+q)*(p+~q) =0
2.
BC1: ~Y= (p*~q)+(~p*q) =1 [=] AD0: ~Y=(~p+~q)*(p+q) =0

Stąd mamy znane matematykom prawo logiki matematycznej.

Prawo Bociana:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w funkcji koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.

Prawo Bociana jest trywialne dla tabel zero-jedynkowych gdzie w kolumnie wynikowej Y mamy więcej niże jedną jedynkę i więcej niże jedno zero. Definicja równoważności spełnia ten warunek, dlatego dokładnie tą definicję wzięliśmy na początek naszego podręcznika logiki matematycznej.

Zauważmy że:
1.
Identyczność wykresów czasowych AD1[=]BC0 oraz BC1[=]AD0 jest ewidentna zatem na mocy definicji zachodzi tożsamość logiczna [=].
2.
W równaniach I i II mamy de facto sprzeczność czysto matematyczną?
1[=]0
?!
Wyjaśnienie:

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja spójnika równoważności p<=>q:
p q Y=(p<=>q)
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 1

Weźmy naszą tożsamość logiczną [=]:
1.
AD1: Y= (p*q) + (~p*~q) =1 [=] BC0: Y=(~p+q)*(p+~q) =0
Ta tożsamość logiczna [=] mówi nam, że równanie alternatywno-koniunkcyjne ułożone dla wynikowych jedynek w kolumnie Y jest tożsame z równaniem koniunkcyjno-alternatywnym ułożonym dla wynikowych zer w tej samej kolumnie.
Powyższa tożsamość logiczna mająca z lewej strony 1 a z prawej 0 zakazuje nam mieszania w sposób przypadkowy równań alternatywno-koniunkcyjnych z równaniami koniunkcyjno-alternatywnymi.
Innymi słowy:
My, ludzie, możemy rozumować logicznie poprawnie wyłącznie równaniami alternatywno-koniunkcyjnymi, albo równaniami koniunkcyjno-alternatywnymi, o czym w następnym punkcie.

4.5.3 Definicja logiki matematycznej człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja logiki matematycznej człowieka w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
Logiką matematyczną człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest wyłącznie logika jedynek i związane z tą logiką równania alternatywno-koniunkcyjne.

Równań koniunkcyjno-alternatywnych żaden człowiek nie rozumie z najwybitniejszym prof. matematyki włącznie. Oczywiście chodzi tu o bezpośrednie rozumienie równania koniunkcyjno-alternatywnego bez przejścia do tożsamego równania alternatywno-koniunkcyjnego poprzez wymnożenie wielomianów.

Dowód poprawności definicji logiki matematycznej człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) na przykładzie.
Weźmy naszą definicję równoważności.
Z wykresu czasowego równoważności p|<=>q odczytujemy następujące tożsamości logiczne [=]:
1.
AD1: Y= (p*q) + (~p*~q) =1 [=] BC0: Y=(~p+q)*(p+~q) =0
2..
BC1: ~Y= (p*~q)+(~p*q) =1 [=] AD0: ~Y=(~p+~q)*(p+q) =0

I.
Logika jedynek = logika równań alternatywno-koniunkcyjnych:
1.
AD1: Y= (p*q) + (~p*~q) =1
2.
BC1: ~Y= (p*~q)+(~p*q) =1

Przykład 1.
z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie

Pan przedszkolanka mówi:
AD1:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y=(K<=>T) = A: K*T + D: ~K*~T =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy:
A: K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
D: ~K*~T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a kiedy Pani skłamie (~Y=1)?
Jaś:
Mówi nam o tym równanie:
BC1:
~Y=B: K*~T+ C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
stąd mamy odpowiedź:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Równanie BC1 to definicja spójnika „albo”($):
p$q = p*~q + ~p*q

Stąd mamy odpowiedź tożsamą na pytanie „kiedy pani skłamie?”
~Y = K$T = K*~T+~K*T
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
K$T=K*~T+~K*T =1*1 =1 - pójdziemy do kina (K=1) albo ($) pójdziemy do teatru (T=1)
Na mocy definicji spójnika „albo”($) dozwolone jest pójście wyłącznie w jedno miejsce, albo do kina (K=1), albo do teatru (T=1).
Pozostałe możliwe zdarzenia (K*T) oraz (~K*~T) są zabronione - pani skłamie.

Doskonale widać, że dialog pani przedszkolanki z dziećmi na temat zdania które wypowiedziała jest zrozumiały dla wszystkich, od 5-cio latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Rozważmy teraz dokładnie ten sam dialog w logice zer, czyli w równaniach koniunkcyjno-alternatywnych.

II.
Logika zer = logika równań koniunkcyjno-alternatywnych:
1.
BC0: Y=(~p+q)*(p+~q) =0
2.
AD0: ~Y=(~p+~q)*(p+q) =0

Pani w przedszkolu:
AD1’:
Jutro pójdziemy do teatru wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do kina
Y = (~K+T)*(K+~T)
Czytamy:
BC0:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
B: ~K+T - nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
„i”(*)
C: K+~T - pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru

Oczywistym jest że nikt tego nie zrozumie z prof. matematyki na czele.
Zauważmy że jeśli słyszymy zdanie BC0 i nie widzimy kodowania to zdanie to musimy zakodować tak:
Y = ~K+T*K+~T
Bowiem domyślna kolejność wykonywania działań w logice człowieka to:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)

Doskonale widać że:
W równaniach koniunkcyjno-alternatywnych, zdania pani przedszkolanki nie da się ani w sposób zrozumiały wypowiedzieć (AD1’), ani też jednoznacznie zakodować.

Podsumowując:
1.
Logiką matematyczną zrozumiałą dla człowieka są tylko i wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne
2.
Przejście z równania koniunkcyjno-alternatywnego do równania alternatywno-koniunkcyjnego jest trywialne, wystarczy wymnożyć wielomiany.

Przykład 2.
z I klasy LO w 100-milowym lesie.
Dane jest zdanie:
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Polecenie:
Zapisz wszystkie możliwe równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z tym zdaniem.

Rozwiązanie Jasia (lat 14):
Na mocy definicji równoważności p|<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) mamy:
1.
Y = (K*T) +(~K*~T)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y = (~K+~T)*(K+T)
Mnożymy wielomian 2 celem przejścia do równania alternatywno-koniunkcyjnego
3.
~Y = ~K*K + ~K*T + ~T*K + ~T*T
stąd:
3.
~Y = (K*~T) + (~K*T)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
4.
Y = (~K+T)*(K+~T)

Matematycznie zachodzą tożsamości logiczne:
1: Y=K*T + ~K*~T [=] 4: (~K+T)*(K+~T)
oraz:
3: ~Y=K*~T+~K*T [=] 2: ~Y = (~K+~T)*(K+T)

Koniec rozwiązania!
Czyż poprawna algebra Boole’a (wyłącznie 5 znaczków: 0,1,(~),(*),(+)) nie jest bajecznie prosta i piękna?

Podsumowanie generalne:
W praktyce logiki matematycznej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) nie są potrzebne jakiekolwiek tabele zero-jedynkowe, nie są potrzebne schematy elektryczne w bramkach logicznych, nie są również potrzebne jakiekolwiek wykresy czasowe.
Wszystkie zadnia z logiki matematycznej związane ze spójnikami „i”(*) i „lub”(+) rozwiązujemy na jedno kopyto jak to pokazano w przykładzie 2.

4.6 Symboliczna definicja operatora „albo”(|$) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($):

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($):
p q Y=(p$q)
A: 1 1 0
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0

Kod:

Pełna, zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($)
T2
p q ~p ~q Y=? ~Y=?
A: 1 1 0 0 0 1
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 1 1 0 1 0
D: 0 0 1 1 0 1

Kod:

Definicja operatora „albo”(|$) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Z tabeli równań cząstkowych mamy:
Y=Yb+Yc
po rozwinięciu mamy:
Y = p*~q + ~p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
2.
~Y=~Ya+~Yd
po rozwinięciu mamy:
~Y=p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Kod:

Definicja operatora „albo”(|$) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=Ya*Yd
po rozwinięciu mamy:
Y = (~p+~q)*(p+q) =0
2.
~Y=~Yb*~Yc
po rozwinięciu mamy:
~Y = (~p+q)*(p+~q) =0

4.6.1 Schemat ideowy operatora „albo”($)

Zauważmy, że jedyną różnicą w operatorze „albo”(|$) w porównaniu z operatorem chaosu p|~~>q omówionym wyżej jest rozkład zer i jedynek w kolumnie Y wymuszający rozkład zer i jedynek w kolumnie ~Y (albo odwrotnie)
Dokładnie z tego powodu bramki wejściowe ABCD w operatorze „albo”($) będą identyczne jak w operatorze chaosu p|~~>q, zmieni się tylko i wyłącznie przypisanie symboli Y i ~Y tym bramkom.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Dokładnie z tego powodu operator chaosu p|~~>q możemy nazwać matką wszystkich operatorów logicznych, bowiem na schemacie ideowym zmieniać się będzie tylko i wyłącznie kolumna wynikowa Y, pociągająca za sobą zmiany w kolumnie ~Y.

Zbudujmy połączoną tabelę prawdy spójnika „albo”($) w logice jedynek (T3) oraz w logice zer (T4)

Kod:

Definicja operatora „albo”(|$) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator „albo”(|$) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Z tabeli T5 odczytujemy.

Logika jedynek:
1.
Y=Yb+Yc
Y = p*~q+~p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
2.
~Y=~Ya+~Yd
~Y = p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Logika zer:
1.
Y=Ya*Yd
Y = (~p+~q)*(p+q) =0
2.
~Y=~Yb*~Yc
~Y = (~p+q)*(p+~q) =0

W tabeli T5 doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej w poszczególnych liniach:
A.
~Ya=p*q =1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Ya=~p+~q =0
i odwrotnie.
B.
Yb=p*~q =1
~Yb=~p+q =0
C.
Yc=~p*q =1
~Yc=p+~q=0
D.
~Yd=~p*~q =1
Yd=p+q =0

4.6.2 Wykres czasowy operatora „albo”(|$)

Kluczową sprawą dla zrozumienia istoty działania operatora „albo”(|$) jest wykres czasowy będący odpowiednikiem układu kartezjańskiego w matematyce klasycznej. W logice matematycznej bez wykresów czasowych jesteśmy ślepi, nie wiadomo o co tu w istocie chodzi.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
p q p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0

BC1:
Y=Yb+Yc =(p*~q)+(~p*q) =1
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Yb i Yc co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartkach B i C funkcji logicznej Y

BC0:
Tworzenie wykresu czasowego funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
Przejście z BC1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników:
~Y=~Yb*~Yc = (~p+q)*(p+~q) =0
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest iloczynem logicznym funkcji cząstkowych ~Yb i ~Yc co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartkach B i C funkcji logicznej ~Y.

W identyczny sposób tworzymy wykresy czasowe funkcji:
AD1:
~Y=~Ya+~Yd = p*q + ~p*~q =1
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest sumą logiczną sygnałów ~Ya i ~Yd co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartkach A i D funkcji logicznej ~Y

Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
AD0:
Y = Ya*Yd = (~p+~q)*(p+q) =0
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest iloczynem logicznym funkcji Ya i Yd co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartkach A i D funkcji logicznej Y

Definicja operatora „albo”(|$) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Definicja operatora „albo”(|$) w logice jedynek:
1.
BC1:
Y=(p$q)= Yb+ Yc
Y = p*~q+~p* q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
2.
AD1:
~Y= ~(p$q) = ~Ya+ ~Yd
~Y = p* q+~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.

Definicja matematycznie tożsama.
Definicja operatora „albo”(|$) w logice zer:
1.
AD0:
Y=(p$q) = Ya*Yd
Y = (~p+~q)*(p+q) =0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
W tym przypadku należy narysować wykres czasowy AD0 będący iloczynem logicznym funkcji Ya i Yd
2.
BC0:
~Y= p$q = ~Yb*~Yc
~Y = (~p+q)*(p+~q) =0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
W tym przypadku należy narysować wykres czasowy BC0 będący iloczynem logicznym funkcji ~Yb i ~Yc

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Tożsamość logiczna [=] to identyczność wykresów czasowych funkcji logicznych

Z wykresu czasowego operatora „albo”(|$) odczytujemy następujące tożsamości logiczne [=]:
1.
BC1: Y= (p$q) = (p*~q)+(~p*q) =1 [=] AD0: Y= (~p+~q)*(p+q) =0
2.
AD1: ~Y=~(p$q) = (p*q) + (~p*~q) =1 [=] BC0: ~Y= (~p+q)*(p+~q) =0

Stąd mamy znane matematykom prawo logiki matematycznej.

Prawo Bociana:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w funkcji koniunkcyjno-alternatywnej i odwrotnie.

Prawo Bociana jest trywialne dla tabel zero-jedynkowych gdzie w kolumnie wynikowej Y mamy więcej niże jedną jedynkę i więcej niże jedno zero. Definicja spójnika „albo”($) spełnia ten warunek.

Zauważmy że:
1.
Identyczność wykresów czasowych AD1[=]BC0 oraz BC1[=]AD0 jest ewidentna zatem na mocy definicji zachodzi tożsamość logiczna [=].
2.
W równaniach 1 i 2 mamy de facto sprzeczność czysto matematyczną?
1[=]0
?!
Wyjaśnienie:

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja spójnika „albo”($):
p q Y=(p$q)
A: 1 1 0
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0

Weźmy naszą tożsamość logiczną [=]:
1.
AD1: Y= (p*q) + (~p*~q) =1 [=] BC0: Y=(~p+q)*(p+~q) =0
Ta tożsamość logiczna [=] mówi nam, że równanie alternatywno-koniunkcyjne ułożone dla wynikowych jedynek w kolumnie Y jest tożsame z równaniem koniunkcyjno-alternatywnym ułożonym dla wynikowych zer w tej samej kolumnie.
Powyższa tożsamość logiczna mająca z lewej strony 1 a z prawej 0 zakazuje nam mieszania w sposób przypadkowy równań alternatywno-koniunkcyjnych z równaniami koniunkcyjno-alternatywnymi.
Innymi słowy:
My, ludzie, możemy rozumować logicznie poprawnie wyłącznie równaniami alternatywno-koniunkcyjnymi, albo równaniami koniunkcyjno-alternatywnymi.
Wyłącznie równania alternatywno-koniunkcyjne są zrozumiałe dla człowieka co udowodniono w punkcie 4.5.3.

Definicja logiki matematycznej człowieka w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
Logiką matematyczną człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest wyłącznie logika jedynek i związane z tą logiką równania alternatywno-koniunkcyjne.

Wniosek:
Wszelkie analizy zdań z języka potocznego mamy obowiązek zapisywać w równaniach alternatywno-koniunkcyjnych. Przejście z postaci koniunkcyjno-alternatywnej do postaci alternatywno-koniunkcyjnej jest trywialne, polega na wymnożeniu wielomianów.

4.6.3 Przykłady użycia spójnika „albo”($)

Z wykresu czasowego operatora „albo”(|$) odczytujemy następujące tożsamości logiczne [=]:
1.
BC1: Y= (p$q) = (p*~q)+(~p*q) =1 [=] AD0: Y= (~p+~q)*(p+q) =0
2.
AD1: ~Y=~(p$q) = (p*q) + (~p*~q) =1 [=] BC0: ~Y= (~p+q)*(p+~q) =0

Równania przy których mamy logiczne zero (równania koniunkcyjno-alternatywne) z definicji wywalamy w kosmos jako niezgodne z językiem potocznym człowieka.
Zostawiamy wyłącznie równania z jedynkami w wyniku (równania alternatywno-koniunkcyjne),
Stąd nasze równania 1 i 2 ulegają redukcji do postaci:
1.
BC1: Y= (p$q) = B: (p*~q)+ C: (~p*q) =1
2.
AD1: ~Y=~(p$q) = A: (p*q) + D: (~p*~q) =1

Przykład 1.
z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie

Pan przedszkolanka mówi:
BC1:
Jutro pójdziemy do kina albo ($) do teatru
Y=(K$T) = B: K*~T + C: ~K*T =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy:
B: K*~T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy dokładnie w jedno miejsce, albo do kina (K=1), albo do teatru (T=1)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a kiedy Pani skłamie (~Y=1)?
Jaś:
Mówi nam o tym równanie:
AD1:
~Y=A: K*T+ D: ~K*~T =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
stąd mamy odpowiedź:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
D: ~K*~T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Doskonale widać, że dialog pani przedszkolanki z dziećmi na temat zdania które wypowiedziała jest zrozumiały dla wszystkich, od 5-cio latka poczynając na prof. matematyki kończąc.

Przykład 2.
z I klasy LO w 100-milowym lesie.
Dana jest funkcja logiczna:
Y=p*~q+~p*q

Polecenie:
Zapisz wszystkie możliwe równania alternatywno-koniunkcyjne i koniunkcyjno-alternatywne związane z tą funkcją

Rozwiązanie Zuzi (lat 14):
1.
Y=(p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y = (~p+q)*(p+~q)
Wymnażamy wielomian celem przejścia do tożsamej postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
~Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
3.
~Y = (p*q) + (~p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+~q)*(p+q)
Zachodzące tożsamości logiczne [=] to:
1: Y = p*~q + ~p*q [=] 4: Y = (~p+~q)*(p+q)
oraz:
3: ~Y = p*q+~p*~q [=] 2: ~Y = (~p+q)*(p+~q)

Dziękuję, pozamiatane.

Podsumowanie:
W praktyce logiki matematycznej w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) nie są potrzebne jakiekolwiek tabele zero-jedynkowe, nie są potrzebne schematy elektryczne w bramkach logicznych, nie są również potrzebne jakiekolwiek wykresy czasowe.
Wszystkie zadnia z logiki matematycznej związane ze spójnikami „i”(*) i „lub”(+) rozwiązujemy na jedno kopyto jak to pokazano w przykładzie 2.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 11:33, 24 Lip 2018, w całości zmieniany 1 raz

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Pon 12:23, 23 Lip 2018 Temat postu:

4.7 Symboliczna definicja operatora AND(|*) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
p q Y=p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0

Kod:

Pełna, zero-jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
T2
p q ~p ~q Y=? ~Y=?
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 1 1 0 0 1
D: 0 0 1 1 0 1

Kod:

Logika jedynek:

Definicja operatora AND(|*) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Z tabeli równań cząstkowych mamy:
Y=Ya - bo jest tylko jedna jedynka w kolumnie 5
po rozwinięciu mamy:
Y = p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
po rozwinięciu mamy:
~Y= p*~q + ~p*q + ~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 2:
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+ (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~q + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2’.
~Y = ~p+~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Widać to doskonale w tabeli zero-jedynkowej ABCD346.

Zachodzi tu logiczna tożsamość [=]:
2=2’
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q = ~p+~q =1

Kod:

Logika zer:

Definicja operatora AND(|*) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=Yb*Yc*Yd
po rozwinięciu mamy:
Y = (~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0
2.
~Y=~Ya
po rozwinięciu mamy:
~Y = ~p+~q =0

4.7.1 Schemat ideowy AND(|*)

Zauważmy, że jedyną różnicą w operatorze AND(|*) w porównaniu z operatorem chaosu p|~~>q omówionym wyżej jest rozkład zer i jedynek w kolumnie Y wymuszający rozkład zer i jedynek w kolumnie ~Y (albo odwrotnie)
Dokładnie z tego powodu bramki wejściowe ABCD w operatorze AND(|*) będą identyczne jak w operatorze chaosu p|~~>q, zmieni się tylko i wyłącznie przypisanie symboli Y i ~Y tym bramkom.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Dokładnie z tego powodu operator chaosu p|~~>q możemy nazwać matką wszystkich operatorów logicznych, bowiem na schemacie ideowym zmieniać się będzie tylko i wyłącznie kolumna wynikowa Y, pociągająca za sobą zmiany w kolumnie ~Y.

Zbudujmy połączoną tabelę prawdy spójnika „i”(*) w logice jedynek (T3) oraz w logice zer (T4)

Kod:

Definicja operatora AND(|*) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator AND(|*) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Z tabeli T5 odczytujemy.

Logika jedynek:
1.
Y=Ya
Y = p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Logika zer:
1.
Y=Yb*Yc*Yd
Y = (~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0
2.
~Y=~Ya
~Y = ~p+~q =0

W tabeli T5 doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej w poszczególnych liniach:
A.
Ya=p*q =1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Ya=~p+~q =0
i odwrotnie.
B.
~Yb=p*~q =1
Yb=~p+q =0
C.
~Yc=~p*q =1
Yc=p+~q=0
D.
~Yd=~p*~q =1
Yd=p+q =0

Ze schematu odczytujemy.

Definicja operatora AND(|*) w logice jedynek:
1.
A1:
Y=Ya
Y=p*q =1
2.
BCD1:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q =1

Definicja operatora AND(|*) w logice zer:
3.
BCD0:
Y = Yb*Yc*Yd
Y = (~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0
4.
A0:
Y=~p+~q =0

4.7.2 Wykres czasowy operatora AND(|*)

Kluczową sprawą dla zrozumienia istoty działania operatora AND(|*) jest wykres czasowy będący odpowiednikiem układu kartezjańskiego w matematyce klasycznej. W logice matematycznej bez wykresów czasowych jesteśmy ślepi, nie wiadomo o co tu w istocie chodzi.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
p q p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0

A1:
Y=Ya =p*q=1
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest tu tożsame z funkcją cząstkową Ya co widać na schemacie ideowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartce A funkcji logicznej Y

A0:
Tworzenie wykresu czasowego funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
Przejście z A1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników:
~Y=~Ya = ~p+~q=0
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest tu tożsame z funkcją cząstkową ~Ya co widać na schemacie ideowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartce A funkcji logicznej ~Y.

W identyczny sposób tworzymy wykresy czasowe funkcji:
BCD1:
~Y=~Yb+~Yc+~Yd = p*~q + ~p*q + ~p*~q =1
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest sumą logiczną sygnałów ~Yb, ~Yc i ~Yd co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartkach B, C i D funkcji logicznej ~Y

Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
BCD0:
Y = Yb*Yc*Yd = (~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest iloczynem logicznym funkcji Yb, Yc i Yd co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartkach B, C i D funkcji logicznej Y
Nowością są tu ostatnie funkcje na wykresie czasowym BCD1’ i BCD0’
Funkcja BCD1’ wynika z minimalizacji funkcji BCD1:
Dowód:
BCD1:
~Y=p*~q + ~p*q + ~p*~q
~Y = p*~q + ~p*(q+~q)
~Y = ~p+ (p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~q + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:

Mamy funkcję logiczną:
BCD1’:
~Y = ~p+~q =1
Potwierdzeniem poprawności przekształceń matematycznych jest fakt, że suma logiczna zmiennych ~p i ~q daje nam dokładnie wykres BCD1.
cnd
Przejście z funkcją logiczną BCD1 to logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
BCD0’:
Y = p*q =0
Tu również przebieg czasowy jest tożsamy z przebiegiem BCD0, zatem matematycznie jest wszystko w porządku.

Definicja operatora AND(|*) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Definicja operatora AND(|*) w logice jedynek:
1.
A1:
Y=Ya
Y = p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
2.
BCD1:
~Y= ~Yb+~Yc+~Yd
~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.

Alternatywną definicję operatora AND(|*) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) pokazano w wykresach czasowych BCD1’ i BCD0’ na dole wykresu.
1.
BCD1’:
~Y=~p+~q =1
Wykres ten otrzymujemy jako sumę logiczną sygnałów ~p i ~q
Dwustronne negacja powyższego sygnału to:
2.
BCD0’:
Y = p*q =0
Wykres ten otrzymujemy jako iloczyn logiczny sygnałów p i q

Definicja matematycznie tożsama.
Definicja operatora AND(|*) w logice zer:
1.
BCD0:
Y=Yb*Yc*Yd
Y = (~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
W tym przypadku należy narysować wykres czasowy BCD0 będący iloczynem logicznym funkcji Yb, Yc i Yd
2.
A0:
~Y= ~Ya
~Y = ~p+~q =0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Tożsamość logiczna [=] to identyczność wykresów czasowych funkcji logicznych

Z wykresu czasowego operatora AND(|*) odczytujemy następujące tożsamości logiczne [=]:
1.
A1: Y=p*q =1 [=] BCD0: Y=(~p+q)*(p+~q)*(p+q) =0 [=] BCD0’: Y=p*q =0
2.
BCD1: ~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q =1 [=] BCD1’: ~Y=~p+~q =1 [=] A0: ~Y=~p+~q =0

Definicja logiki matematycznej człowieka w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
Logiką matematyczną człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest wyłącznie logika jedynek i związane z tą logiką równania alternatywno-koniunkcyjne.

Na mocy powyższej definicji usuwamy z powyższego układu równań funkcje logiczne mające wartość logiczną zero, jako sprzecznie z definicją logiki matematycznej człowieka.

Stąd mamy.
Końcowy układ równań logicznych Y i ~Y opisujących operator AND(|*) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
A1: Y=p*q =1
2.
BCD1: ~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q =1 [=] BCD1’: ~Y=~p+~q =1

4.7.3 Przykład użycia spójnika „i”(*)

Końcowy układ równań logicznych Y i ~Y opisujących operator AND(|*) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
A1: Y=p*q =1
2.
BCD1: ~Y = p*~q + ~p*q + ~p*~q =1 [=] BCD1’: ~Y=~p+~q =1

Przykład 1.
z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie

Pan przedszkolanka mówi:
1.
A1:
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y= A: K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy:
A: K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a kiedy Pani skłamie (~Y=1)?
Jaś:
Mówi nam o tym równanie BCD1’:
~Y = ~K+~T =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy:
~K - nie pójdziemy do kina (~K=1)
lub
~T - nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Innymi słowy:
Nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)

Alternatywna odpowiedź na pytanie „kiedy pani skłamie?” to równanie:
BCD1: ~Y = B: K*~T + C: ~K*T + D: ~K*~T
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1 lub D: ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K-=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
D: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Innymi słowy:
Nie pójdziemy w dowolne miejsce i już pani skłamie (~Y=1)

Jak widzimy, analiza zdania pani przedszkolanki:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
jest doskonale rozumiana przez wszystkie dzieci w przedszkolu.

4.8 Symboliczna definicja operatora OR(|+) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(|+):

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(|+):
p q Y=p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0

Kod:

Pełna, zero-jedynkowa definicja spójnika „lub”(|+):
T2
p q ~p ~q Y=? ~Y=?
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 1 0
C: 0 1 1 0 1 0
D: 0 0 1 1 0 1

Prawo Pumy:
Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy jednoznacznie zakodować wyłącznie w logice jedynek albo wyłącznie w logice zer.
Tych dwóch równoważnych logik lepiej nie mieszać bowiem robi się wówczas groch z kapustą.

Kodowanie w logice jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka.
Kodowanie w logice zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których żaden człowiek nie rozumie.

Kod:

Logika jedynek:

Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=Ya+Yb+Yc
po rozwinięciu mamy:
Y = p*q + p*~q + ~p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = p*~p+~p*~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’.
Y = p+q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Widać to doskonale w tabeli zero-jedynkowej ABCD125.

Zachodzi tu logiczna tożsamość [=]:
1=1’
Y = p*q+p*~q+~p*q = p+q =1

2.
Z tabeli równań cząstkowych mamy:
~Y=~Ya - bo jest tylko jedna jedynka w kolumnie 6
po rozwinięciu mamy:
~Y = ~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Kod:

Logika zer:

Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=Yd - bo jest tylko jedno zero w kolumnie 5
po rozwinięciu mamy:
Y = p+q =0
2.
~Y=~Ya*~Yb*~Yc
po rozwinięciu mamy:
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q) =0

4.8.1 Schemat ideowy OR(|+)

Zauważmy, że jedyną różnicą w operatorze OR(|+) w porównaniu z operatorem chaosu p|~~>q omówionym wyżej jest rozkład zer i jedynek w kolumnie Y wymuszający rozkład zer i jedynek w kolumnie ~Y (albo odwrotnie)
Dokładnie z tego powodu bramki wejściowe ABCD w operatorze OR(|+) będą identyczne jak w operatorze chaosu p|~~>q, zmieni się tylko i wyłącznie przypisanie symboli Y i ~Y tym bramkom.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Dokładnie z tego powodu operator chaosu p|~~>q możemy nazwać matką wszystkich operatorów logicznych, bowiem na schemacie ideowym zmieniać się będzie tylko i wyłącznie kolumna wynikowa Y, pociągająca za sobą zmiany w kolumnie ~Y.

Zbudujmy połączoną tabelę prawdy spójnika „i”(*) w logice jedynek (T3) oraz w logice zer (T4)

Kod:

Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator OR(|+) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Z tabeli T5 odczytujemy.

Logika jedynek:
1.
Y=Ya+Yb+Yc
Y = p*q + p*~q + ~p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
2.
~Y=~Yd
~Y = ~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Logika zer:
1.
Y=Yd
Y = p+q =0
2.
~Y=~Ya*~Yb*~Yc
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q) =0

W tabeli T5 doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej w poszczególnych liniach:
A.
Ya=p*q =1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Ya=~p+~q =0
i odwrotnie.
B.
Yb=p*~q =1
~Yb=~p+q =0
C.
Yc=~p*q =1
~Yc=p+~q=0
D.
~Yd=~p*~q =1
Yd=p+q =0

Ze schematu odczytujemy.

Definicja operatora OR(|+) w logice jedynek:
1.
ABC1:
Y=Ya+Yb+Yc
Y = p*q + p*~q + ~p*q =1
2.
D1:
~Y=~p*~q =1

Definicja operatora OR(|+) w logice zer:
3.
D0:
Y = p+q =0
4.
ABC0:
~Y=~Ya*~Yb*~Yc
~Y=(~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)

4.8.2 Wykres czasowy operatora OR(|+)

Kluczową sprawą dla zrozumienia istoty działania operatora OR(|+) jest wykres czasowy będący odpowiednikiem układu kartezjańskiego w matematyce klasycznej. W logice matematycznej bez wykresów czasowych jesteśmy ślepi, nie wiadomo o co tu w istocie chodzi.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
p q p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0

ABC1:
Y=Ya+Yb+Yc =(p*q)+(p*~q)+(~p*q) =1
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya, Yb i Yc co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartkach A, B i C funkcji logicznej Y

ABC0:
Tworzenie wykresu czasowego funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
Przejście z ABC1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników:
~Y=~Ya*~Yb*~Yc = (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q) =0
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest iloczynem logicznym funkcji cząstkowych ~Ya, ~Yb i ~Yc co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartkach A, B i C funkcji logicznej ~Y.

W identyczny sposób tworzymy wykresy czasowe funkcji:
D1:
~Y=~Yd = ~p*~q =1
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest tożsame z wyjściem ~Yd co widać na schemacie ideowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartce D funkcji logicznej ~Y

Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
D0:
Y = Yd = p+q =0
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest tożsame z wyjściem Yd co widać na schemacie ideowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartce D funkcji logicznej Y

Nowością są tu ostatnie funkcje na wykresie czasowym ABC1’ i ABC0’
Funkcja ABC1’ wynika z minimalizacji funkcji ABC1:
Dowód:
ABC1:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~p*(p+~q)
~Y = ~p*p+~p*~q
~Y = ~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y=p+q

Mamy funkcję logiczną:
ABC1’.
Y = p+q =1
Potwierdzeniem poprawności przekształceń matematycznych jest fakt, że suma logiczna zmiennych p i q daje nam dokładnie wykres ABC1.
cnd
Przejście z funkcją logiczną ABC1’ to logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
ABC0’:
~Y = ~p*~q =0
Tu również przebieg czasowy jest tożsamy z przebiegiem ABC0, zatem matematycznie jest wszystko w porządku.

Definicja operatora OR(|+) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Definicja operatora OR(|+) w logice jedynek:
1.
ABC1:
Y=Ya+Yb+Yc
Y = p*q+p*~q+~p*q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
2.
D1:
~Y= ~Yd
~Y = ~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.

Alternatywną definicję operatora OR(|+) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) pokazano w wykresach czasowych ABC1’ i ABC0’ na dole wykresu.
1.
ABC1’:
Y=p+q =1
Wykres ten otrzymujemy jako sumę logiczną sygnałów p i q
Dwustronne negacja powyższego sygnału to:
2.
ABC0’:
~Y = ~p*~q =0
Wykres ten otrzymujemy jako iloczyn logiczny sygnałów ~p i ~q

Definicja matematycznie tożsama.
Definicja operatora OR(|+) w logice zer:
1.
D0:
Y=Yd
Y=p+q=0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
2.
ABC0:
~Y=~Ya*~Yb*~Yc
~Y= (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)=0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
W tym przypadku należy narysować wykres czasowy ABC0 będący iloczynem logicznym funkcji ~Yb, ~Yc i ~Yd

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Tożsamość logiczna [=] to identyczność wykresów czasowych funkcji logicznych

Z wykresu czasowego operatora AND(|*) odczytujemy następujące tożsamości logiczne [=]:
1.
ABC1: Y = p*q+p*~q+~p*q =1 [=] ABC1’: Y=p+q =1 [=] D0: Y=p+q=0
2.
D1: ~Y = ~p*~q =1 [=] ABC0: ~Y= (~p+~q)*(~p+q)*(p+~q)=0 [=] ABC0’: ~Y = ~p*~q =0

Definicja logiki matematycznej człowieka w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
Logiką matematyczną człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest wyłącznie logika jedynek i związane z tą logiką równania alternatywno-koniunkcyjne.

Na mocy powyższej definicji usuwamy z powyższego układu równań funkcje logiczne mające wartość logiczną zero, jako sprzecznie z definicją logiki matematycznej człowieka.

Stąd mamy.
Końcowy układ równań logicznych Y i ~Y opisujących operator OR(|+) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
ABC1: Y = p*q+p*~q+~p*q =1 [=] ABC1’: Y=p+q =1
2.
D1: ~Y = ~p*~q =1

4.8.3 Przykład użycia spójnika „lub”(+)

Końcowy układ równań logicznych Y i ~Y opisujących operator OR(|+) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
ABC1: Y = p*q+p*~q+~p*q =1 [=] ABC1’: Y=p+q =1
2.
D1: ~Y = ~p*~q =1

Przykład 1.
z przedszkola Nr.1 w 100-milowym lesie

Pan przedszkolanka mówi:
1.
ABC1’:
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y= K+T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy:
K=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1)
lub
T=1 - jutro pójdziemy do teatru (T=1)

W logice jedynek mamy tożsamość logiczną:
Y = K+T = A: K*T+ B: K*~T+ C: ~K*T
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: K=1 i T=1 lub B: K=1 i ~T=1 lub C: ~K=1 i T=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: K*T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
B: K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
C: ~K*T =1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pójdziemy w dowolne miejsce i już pani dotrzyma słowa (Y=1)

Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
… a kiedy Pani skłamie (~Y=1)?
Jaś:
Mówi nam o tym równanie D1:
~Y = ~K*~T =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tyko wtedy gdy:
D1: ~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Jak widzimy, analiza zdania pani przedszkolanki:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
jest doskonale rozumiana przez wszystkie dzieci w przedszkolu.

4.9 Definicja operatora implikacji p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Definicja warunku wystarczającego =>:
Jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p wymusza => zajście q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie deszczu jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur
Zawsze gdy pada, są chmury

Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q:

Kod:

T1
Zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego p=>q:
p q Y=(p=>q)
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 1
D: 0 0 1

Kod:

Pełna, zero-jedynkowa definicja warunku wystarczającego =>:
T2
p q ~p ~q Y=? ~Y=?
A: 1 1 0 0 1 0
B: 1 0 0 1 0 1
C: 0 1 1 0 1 0
D: 0 0 1 1 1 0

Prawo Pumy:
Dowolną tabelę zero-jedynkową możemy jednoznacznie zakodować wyłącznie w logice jedynek albo wyłącznie w logice zer.
Tych dwóch równoważnych logik lepiej nie mieszać bowiem robi się wówczas groch z kapustą.

Kodowanie w logice jedynek prowadzi do równań alternatywno-koniunkcyjnych doskonale rozumianych przez człowieka.
Kodowanie w logice zer prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych których żaden człowiek nie rozumie.

Kod:

Logika jedynek:

Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=Ya+Yc=Yd
po rozwinięciu mamy:
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1

Minimalizujemy równanie 1:
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q
Y = p*q+~p*(q+~q)
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p+p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
1’.
Y = ~p+q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Widać to doskonale w tabeli zero-jedynkowej ABCD125.

Zachodzi tu logiczna tożsamość [=]:
1=1’
Y = p*q+~p*q+~p*~q [=] ~p+q =1

2.
Z tabeli równań cząstkowych mamy:
~Y=~Yb - bo jest tylko jedna jedynka w kolumnie 6
po rozwinięciu mamy:
~Y = p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Kod:

Logika zer:

Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y:
1.
Y=Yb - bo jest tylko jedno zero w kolumnie 5
po rozwinięciu mamy:
Y = ~p+q =0
2.
~Y=~Ya*~Yc*~Yd
po rozwinięciu mamy:
~Y=(~p+~q)*(p+~q)*(p+q) =0

4.9.1 Schemat ideowy implikacji prostej p|=>q

Zauważmy, że jedyną różnicą w operatorze implikacji prostej p|=>q w porównaniu z operatorem chaosu p|~~>q omówionym wyżej jest rozkład zer i jedynek w kolumnie Y wymuszający rozkład zer i jedynek w kolumnie ~Y (albo odwrotnie)
Dokładnie z tego powodu bramki wejściowe ABCD w operatorze implikacji prostej p|=>q będą identyczne jak w operatorze chaosu p|~~>q, zmieni się tylko i wyłącznie przypisanie symboli Y i ~Y tym bramkom.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Dokładnie z tego powodu operator chaosu p|~~>q możemy nazwać matką wszystkich operatorów logicznych, bowiem na schemacie ideowym zmieniać się będzie tylko i wyłącznie kolumna wynikowa Y, pociągająca za sobą zmiany w kolumnie ~Y.

Zbudujmy połączoną tabelę prawdy warunku wystarczającego => w logice jedynek (T3) oraz w logice zer (T4)

Kod:

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Z tabeli T5 odczytujemy.

Logika jedynek:
1.
Y=Ya+Yc+Yd
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i ~q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
2.
~Y=~Yb
~Y = p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Logika zer:
1.
Y=Yb
Y = ~p+q =0
2.
~Y=~Ya*~Yc*~Yd
~Y=(~p+~q)*(p+~q)*(p+q) =0

W tabeli T5 doskonale widać prawo przejścia do logiki przeciwnej w poszczególnych liniach:
A.
Ya=p*q =1
Przejście do logiki przeciwnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Ya=~p+~q =0
i odwrotnie.
B.
~Yb=p*~q =1
Yb=~p+q =0
C.
Yc=~p*q =1
~Yc=p+~q=0
D.
Yd=~p*~q =1
~Yd=p+q =0

Ze schematu odczytujemy.

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w logice jedynek:
1.
ACD1:
Y=Ya+Yc+Yd
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q =1
2.
B1:
~Y= p*~q =1

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w logice zer:
3.
B0:
Y = ~p+q =0
4.
ACD0:
~Y=~Ya*~Yc*~Yd
~Y=(~p+~q)*(p+~q)*(p+q) =0

4.9.2 Wykres czasowy operatora implikacji prostej p|=>q

Kluczową sprawą dla zrozumienia istoty działania operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest wykres czasowy będący odpowiednikiem układu kartezjańskiego w matematyce klasycznej. W logice matematycznej bez wykresów czasowych jesteśmy ślepi, nie wiadomo o co tu w istocie chodzi.

Kod:

Definicja spójnika „i”(*)
p q p*q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 1 0
D: 0 0 0

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+)
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 1 1
D: 0 0 0

ACD1:
Y=Ya+Yc+Yd =(p*q)+(~p*q)+(~p*~q) =1
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest sumą logiczną funkcji cząstkowych Ya, Yc i Yd co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartkach A, C i D funkcji logicznej Y

ACD0:
Tworzenie wykresu czasowego funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y)
Przejście z ACD1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację sygnałów i wymianę spójników:
~Y=~Ya*~Yc*~Yd = (~p+~q)*(p+~q)*(p+q) =0
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest iloczynem logicznym funkcji cząstkowych ~Ya, ~Yc i ~Yd co doskonale widać na wykresie czasowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartkach A, C i D funkcji logicznej ~Y.

W identyczny sposób tworzymy wykresy czasowe funkcji:
B1:
~Y=~Yb = p*~q =1
Tworząc wykres czasowy ~Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych ~Yx.
Wyjście ~Y jest tożsame z wyjściem ~Yb co widać na schemacie ideowym.
Wynikowa jedynka definiuje nam 1 w ćwiartce B funkcji logicznej ~Y

Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
B0:
Y = Yb =~p+q =0
Tworząc wykres czasowy Y działamy na kompletnych wykresach czasowych funkcji cząstkowych Yx.
Wyjście Y jest tożsame z wyjściem Yb co widać na schemacie ideowym.
Wynikowe zero definiuje nam 0 w ćwiartce B funkcji logicznej Y

Nowością są tu ostatnie funkcje na wykresie czasowym ACD1’ i ACD0’
Funkcja ACD1’ wynika z minimalizacji funkcji ACD1:
Dowód:
ACD1:
Y = p*q + ~p*q + ~p*~q
Y = p*q+~p*(q+~q)
Y = ~p+(p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = p*(~p+~q)
~Y = p*~p+p*~q
~Y = p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = ~p+q =1

Mamy funkcję logiczną:
ACD1’.
Y = ~p+q =1
Potwierdzeniem poprawności przekształceń matematycznych jest fakt, że suma logiczna zmiennych ~p i q daje nam dokładnie wykres ACD1.
cnd
Przejście z funkcją logiczną ACD1’ to logiki ujemnej poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
ACD0’:
~Y = p*~q =0
Tu również przebieg czasowy jest tożsamy z przebiegiem ACD0, zatem matematycznie jest wszystko w porządku.

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y

Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w logice jedynek:
1.
ACD1:
Y=Ya+Yc+Yd
Y = p*q+~p*q+~p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
2.
B1:
~Y= ~Yb
~Y = p*~q =1
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Doskonale to widać na wykresie czasowym.

Alternatywną definicję implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) pokazano w wykresach czasowych ACD1’ i ACD0’ na dole wykresu.
1.
ACD1’:
Y=~p+q =1
Wykres ten otrzymujemy jako sumę logiczną sygnałów ~p i q
Dwustronne negacja powyższego sygnału to:
2.
ACD0’:
~Y = p*~q =0
Wykres ten otrzymujemy jako iloczyn logiczny sygnałów p i ~q

Definicja matematycznie tożsama.
Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w logice zer:
1.
B0:
Y=Yb
Y=~p+q=0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
2.
ACD0:
~Y=~Ya*~Yc*~Yd
~Y= (~p+~q)*(p+~q)*(p+q)=0
Doskonale to widać na wykresie czasowym.
W tym przypadku należy narysować wykres czasowy ADC0 będący iloczynem logicznym funkcji ~Ya, ~Yc i ~Yd

Definicja tożsamości logicznej [=]:
Tożsamość logiczna [=] to identyczność wykresów czasowych funkcji logicznych

Z wykresu czasowego operatora implikacji prostej p|=>q odczytujemy następujące tożsamości logiczne [=]:
1.
ACD1: Y = p*q+~p*q+~p*~q =1 [=] ACD1’: Y=~p+q =1 [=] B0: Y=~p+q=0
2.
B1: ~Y = p*~q =1 [=] ACD0: ~Y= (~p+~q)*(p+~q)*(p+q)=0 [=] ACD0’: ~Y = p*~q =0

Definicja logiki matematycznej człowieka w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
Logiką matematyczną człowieka w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) jest wyłącznie logika jedynek i związane z tą logiką równania alternatywno-koniunkcyjne.

Na mocy powyższej definicji usuwamy z powyższego układu równań funkcje logiczne mające wartość logiczną zero, jako sprzecznie z definicją logiki matematycznej człowieka.

Stąd mamy.
Końcowy układ równań logicznych Y i ~Y opisujących implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
1.
ACD1: Y =(p=>q) = p*q+~p*q+~p*~q =1 [=] ACD1’: Y=(p=>q)=~p+q =1
2.
B1: ~Y=~(p=>q) = p*~q =1

4.9.3 Przykład użycia warunku wystarczającego =>

Tym razem posłużymy się autentycznym fragmentem dyskusji z czasów wojny:
Algebra Kubusia vs aktualna logika matematyczna ziemian

Irbisol napisał:

Jak już pisałem, nawet upośledzony orangutan zorientowałby się, że to spamowanie przestało działać. Ale Rafał nadal próbuje...

Niestety Irbisolu, jak zwykle jest wszystko odwrotnie, także w temacie orangutana.

Skup się proszę bo teraz będzie wykład prawdziwej logiki matematycznej, czyli teorii w 100% zgodnej z teorią bramek logicznych, gdzie możliwa jest sekwencja:
p=1 i q=1 to Yx=0
Mam nadzieję że zrozumiesz to w bramkach logicznych, a jak nie to zapraszam do laboratorium - tu ci wszystko udowodnię czarno na białym.

Schemat ideowy bramki logicznej implikacji prostej p|=>q jest następujący:

Irbisol napisał:

rafal3006 napisał:

Skup się proszę bo teraz będzie wykład prawdziwej logiki matematycznej

W dupę se wsadź ten wykład, o który nikt cię nie prosił i gdzie "udowadniasz" coś, co cię tylko pogrąża.

Twoja logika nie potrafi odpowiedzieć, jaki wynik da
1*1

Ile byś nie naspamował, orangutanie, od tego nie uciekniesz.

Sorry Irbisolu, ale to ty wyskoczyłeś z orangutanem.
Udowodniłem ci wyżej, że wszystko jest odwrotnie, także w temacie orangutana.
Rozumiem, że wykład wyżej mogłeś nie w pełni zrozumieć, ale po tym poście nie ma takiej siły na ziemi, byś nie zrozumiał - bo wiem że jesteś inteligentny, tylko masz zabetonowany mózg, ale to wina ziemskich szkółek w których się kształciłeś, a nie twoja.

Modyfikuję przykład z lekcji wyżej, aby zapewnić spełnienie twojej świętej sekwencji:
~Yb=p*~q = 1*1 =1
Przypomnę schemat implikacji prostej p|=>q w bramkach logicznych.

Kluczowa jest tu bramka logiczna B!
Ale zacznijmy od początku:
Na wyjściu bramki E masz następującą funkcję logiczną:
ACD1:
Y=Ya+Yc+Yd
Po rozwinięciu przez funkcje cząstkowe dochodzące do bramki E mamy:
Y = (p=>q) = A: p*q + C: ~p*q + D: ~p*~q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> (p=>q)=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: ~p=1 i ~q=1

… i teraz kluczowa bramka B!
B1.
~Y=~(p=>q) = B: p*~q
co w logice jedynek oznacza:
~Y=1 <=> ~(p=>q)=1 <=> B: p=1 i ~q=1

Gdzie znaczek => to warunek wystarczający o definicji:
Jeśli zajdzie p to na 100% zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało to na 100% będzie pochmurno
P=>CH=1
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo padanie deszczu daje nam gwarancję matematyczną => istnienia chmur
Zawsze gdy pada, są chmury
cnd

Pani w przedszkolu:
Podaję wam dzieci definicję obietnicy - każdy z was wie co to jest obietnica.
Czy ktoś może podać przykład obietnicy?
Jaś (lat 5):
Tata powiedział niedawno do mojego starszego brata:
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Pani:
Brawo Jasiu, to jest obietnica tożsama z warunkiem wystarczającym E=>K wchodząca w skład implikacji prostej E|=>K.
Zauważcie drogie dzieci że na poprzedniej lekcji musieliśmy matematycznie udowodnić, iż rzeczywiście, warunek wystarczający P=>CH wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH.

Uważajcie Irbisolu I Idioto!
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Dowolna obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N na mocy definicji.
Powtórzę: na mocy definicji!
Oznacza to że tu nic a nic nie musimy matematycznie udowadniać poza rozstrzygnięciem że nagroda to dla człowieka X rzeczywiście nagroda. Praktycznie w 100% takie rozstrzygnięcie to trywiał na poziomie 5-cio latka.

Weźmy teraz naszą obietnicę:
1.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Zdanie egzaminu jest warunkiem wystarczającym => dla dostania komputera na mocy definicji obietnicy!
Innymi słowy:
Zdanie egzaminu daje synowi gwarancję matematyczną => dostania komputera
Fakt że człowiek (w tym ojciec) może kłamać do woli jest z punktu widzenia logiki matematycznej totalnie bez znaczenia, bo logika w obietnicy ma rozstrzygać kiedy w przyszłości ojciec dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1), a nie czy syn na 100% będzie miał ten komputer.

Wszystkie przypadki w których ojciec dotrzyma słowa (Y=1) (nie skłamie) opisuje równanie odczytane ze schematu ideowego bramki logicznej implikacji prostej E|=>K
ACD1:
Y = (E=>K) = A: E*K + C: ~E*K + D: ~E*~K
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> (E=>K)=1 = A: E=1 i K=1 lub C: ~E=1 i K=1 lub D: ~E=1 i ~K=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya=E*K =1*1 =1 - jutro zdam egzamin (E=1) i dostanę komputer (K=1)
lub
C: Yc=~E*K=1*1 =1 - jutro nie zdam egzaminu (~E=1) i dostanę komputer (K=1)
To jest piękny akt miłości, czyli możliwość wręczenia nagrody mimo że syn nie zdał egzaminu
Możliwość oznacza tu że ojciec ma 100% wolnej woli, może komputer dać albo nie dać i kłamcą nie będzie
lub
D: Yd=~E*~K = 1*1 =1 - jutro nie zdam egzaminu (~E=1) i nie dostanę komputera (~K=1)

… a kiedy ojciec skłamie?
Ten przypadek opisuje absolutnie kluczowa dla sprawy bramka B!
2.
Ojciec skłamie (~Y=~Yb=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = E*~K=1*1=1 - syna zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)

Uważaj Irbisolu:
Zauważ, ze tu spełniona jest czysta definicja bramki „i”(*):
E=1 i ~K=1 => ~Yb=1

Prawo Prosiaczka:
(~Yb=1)= (Yb=0)
stąd mamy zdanie tożsame do 2.
2’
Fałszem jest (=0) że ojciec dotrzyma słowa (Yb) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: Yb=E*~K=1*1 =0 - zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1)

Mam nadzieję Irbisolu, że zgadzasz się z tożsamością zdań:
2=2’

Zauważ, że to Yb=0 mamy na schemacie ideowym wyjście bramki B po inwerterze, nie jest to bezpośredni sygnał na wyjściu bramki B (bramki „i”(*))
Dokładnie dlatego matematycznie zapis 2’ jest poprawny, mimo sekwencji:
E=1 i ~K=1 => Yb=0

Wróćmy teraz do poprzedniego postu, czyli do warunku wystarczającego => wchodzącego w skład implikacji prostej p|=>q w świecie martwym, w którym nie ma pojęcia kłamstwa.
Kłamstwo jest ściśle związane z człowiekiem mającym wolną wolę, co oznacza iż może kłamać do woli.

Nasze zdanie z poprzedniego postu:
1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% będzie pochmurno
P=>CH =1
Warunek wystarczający => wchodzący spełniony bo zawsze gdy pada, są chmury
Warunek ten wchodzi w skład implikacji prostej P|=>CH bo spełniona jest definicja implikacji prostej:
P|=>CH = (P=>CH)*~(CH=>P) = 1*~(0) = 1*1 =1
cnd

Równanie opisujące wszystkie możliwe zdarzenia które jutro mogą zając to:
ACD1:
Y = (P=>CH) = A: P*CH + C: ~P*CH + D: ~P*~CH
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> (P=>CH)=1 <=> A: P=1 i CH=1 lub C: ~P=1 i CH=1 lub D: ~P=1 i ~CH=1

Czytamy:
Jutro na 100% (Y=1) zajdzie jedno z opisanych niżej zdarzeń:
A: Ya = P*CH =1*1=1 - może ~~> padać (P=1) i być pochmurno (CH=1)
lub
C: Yb = ~P*CH =1*1=1 - może ~~> nie padać (~P=1) i być pochmurno (CH=1)
lub
D: Yc = ~P*~CH =1*1=1 - może ~~> nie padać (~P=1) i nie być pochmurno (~CH=1)

Jaś (lat 5)
Prose pani, skoro wyżej pani powiedziała iż na 100% => zajdzie jedno ze zdarzeń ACD to oznacza że ostatnie możliwe zdarzenie nie ma prawa zajść, czyli:
B: Yb = P*~CH = 1*1 =0 - nie może się zdarzyć (=0) że jutro będzie padało (P=1) i nie będzie pochmurno (~CH=1)

Uważaj Irbisolu - to kluczowe i superważne!
W obietnicy E=>K mieliśmy tak.
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb=E*~K = 1*1=1
Zdarzenie że jutro zdam egzamin (E=1) i nie dostanę komputera (~K=1) jest oczywiście możliwe stąd jedynka w wyniku prawdziwości tego zdarzenia

ALE!
W świecie martwym, który nie może kłamać jest inaczej:
B: ~Yb=P*~CH =0
bo nie jest możliwe zdarzenie „pada’ i „nie ma chmur”
Zdanie B w świecie martwym brzmi tu:
B.
Jeśli jutro będzie padało to może ~~> nie być pochmurno
Yb = P~~>~CH = P*~CH =1*1 =0
Zauważ Irbisolu że sygnał Yb=0 jest na wyjściu bramki B po inwerterze, zatem w alfie i omedze logiki matematycznej, w bramkach logicznych, jest tu wszystko w porządku!

4.9.4 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiej algebry Boole’a

Irbisol napisał:

Proste pytanie, że debil by zrozumiał.
Jaki jest w twojej logice wynik działania
1*1
?
Na tym pytaniu się wyłożysz.

Jak zwykle jesteś w błędzie, pytaniem które zadałeś sam się rozłożyłeś na łopatki, bo nie rozumiesz w którym kościele dzwony biją.
Na 100% nie w gównie zwanym KRZ:
Jeśli Irbisol jest kobieta to 2+2=4

Dowód:

Algebra Boole’a - nieznane oblicze napisał:

4.4.1 Schemat ideowy operatora chaosu p|~~>q

Zbudujmy połączoną tabelę prawdy kwantyfikatora małego ~~> w logice jedynek (T3) oraz w logice zer (T4)

Kod:

Irbisol napisał:

Proste pytanie, że debil by zrozumiał.
Jaki jest w twojej logice wynik działania
1*1
?
Na tym pytaniu się wyłożysz.

Odpowiadam na twoje pytanie Irbisolu.
Zawsze będziesz miał sekwencję:
(~)p=1 i (~)q=1 => Yx=1
ale tylko i wyłącznie w operatorze chaosu - patrz cytat.
gdzie:
(~) - przeczenie przy sygnale może być albo nie być

Historyczny wniosek:
Algebra Boole’a która nie akceptuje logiki dodatniej (bo Yx) i ujemnej (bo ~Yx) jest wewnętrznie sprzeczna.

Powtórzę:
Twoja algebra Boole’a Irbisolu jest wewnętrznie sprzeczna bo nie akceptujesz logiki ujemnej (bo ~Yx)

Poprawne równanie sekwencji jedynek jest tylko i wyłącznie takie:
(~)p=1 i (~)q=1 => (~)Yx=1
gdzie:
(~) - przeczenie przy sygnale może być albo nie być

Bez problemu wszystko zrozumiesz jak zapoznasz się z budową wszystkich operatorów logicznych w spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Masz to wszystko opisane w „Algebra Boole’a - nieznane oblicze”
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-boole-a-nieznane-oblicze,11329.html#394675

Na 100% wszystko zrozumiesz, tylko poświęć chwilkę na przeczytanie zawartości powyższego linku.

Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 18:28, 02 Sie 2018, w całości zmieniany 5 razy

Powrót do góry

Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat

Autor

Wiadomość

rafal3006
Opiekun Forum Kubusia

Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35965
Przeczytał: 15 tematów

Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna

Wysłany: Pon 12:24, 23 Lip 2018 Temat postu:

Część III
Operatory logiczne wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Spis treści
5.0 Operatory logiczne dwuargumentowe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 1
5.1 Zdanie zawsze prawdziwe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 5
5.2 Pełna lista operatorów logicznych w spójnikach „i’(*) i „lub”(+) 7
5.2.1 Spójniki proste typu Y=p*q i Y=p+q 8
5.2.2 Spójniki złożone <=>, $, ~~> wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) 9
5.2.3 Funkcje jednoargumentowe Y=p i Y=~p 9
5.3 Operatory jednoargumentowe 10
5.3.1 Operator transmisji 10
5.3.2 Operator negacji 11
5.4 Operator AND(|*) i jego mutacje 13
5.4.1 Spójnik „i”(*) typu Y=p*q 13
5.4.2 Spójnik „i”(*) typu Y=p*~q 15
5.4.3 Spójnik „i”(*) typu Y=~p*q 16
5.4.4 Spójnik „i”(*) typu Y=~p*~q 16
5.5 Operator OR(|*) i jego mutacje 16
5.5.1 Spójnik „lub”(+) typu Y=p+q 17
5.5.2 Spójnik „lub”(+) typu Y=p+~q (implikacja odwrotna) 18
5.5.3 Spójnik „lub”(+) typu Y=~p+q (implikacja prosta) 20
5.5.4 Spójnik „lub”(+) typu Y=~p+~q 22
5.6 Operator równoważności <=> 23
5.7 Operator „albo”($) 24
5.8 Operator chaosu p|~~>q 25
5.9 Operator śmierci ~(p|~~>q) 26

5.0 Operatory logiczne dwuargumentowe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Kompletną algebrę Kubusia precyzyjnie opisuje zaledwie 10 znaczków:
I.
1 - prawda
Czy prawdą jest że pies ma cztery łapy?
Tak, to jest prawda

II.
0 - fałsz
Czy prawdą jest że pies nie ma czterech łap?
Nie jest to prawda = to jest fałsz

III.
(~) - negacja
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K

IV
(*) - spójnik „i”(*)
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T

V.
(+) - spójnik „lub”(+)
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T

VI.
($) - spójnik „albo”($)
Każdy człowiek jest mężczyzną albo($) kobietą
C = M$K

VII.
(=>) - warunek wystarczający =>
Jeśli jutro będzie padło to na 100% będzie pochmurno
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego by było pochmurno
Zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku wystarczającego => spełniona bo wymuszam stan „pada” i na 100% pojawią się „chmury”

Sprawdźmy czy spełniony jest warunek konieczny ~> w tym samym kierunku:
P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby było pochmurno
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo zabieram stan „pada” i nie znika mi stan „chmury” (chmury mogą istnieć bez deszczu)

Definicja implikacji prostej P|=>CH:
Implikacja prosta P|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
P=>CH =1
P~>CH =0
Stąd definicja implikacji prostej P|=>CH w równaniu logicznym:
P|=>CH = (P=>CH)*~(P~>CH) = 1*~(0) = 1*1 =1

VIII.
(~>) - warunek konieczny ~>
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1
Definicja warunku koniecznego ~> spełniona (=1) bo zabieram chmury wykluczając padanie
Chmury są (=1) konieczne ~> do tego aby padało bo jak nie ma chmur to na 100% => nie pada
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
CH~>P = ~CH=>~P

Sprawdźmy czy spełniony jest warunek wystarczający => w tym samym kierunku:
CH=>P =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => do tego aby padało.
Wymuszam chmury, co nie oznacza że musi padać.

Definicja implikacji odwrotnej P|~>CH:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
CH~>P =1
CH=>P =0
Stąd definicja implikacji odwrotnej CH|~>P w równaniu logicznym:
CH|~>P = (CH~>P)*~(CH=>P) = 1*~(0) = 1*1 =1

IX.
(~~>) - element wspólny zbiorów
Jeśli trójkąt jest prostokątny to może ~~> zachodzić w nim suma kwadratów
TP~~>SK = TP*SK =1 bo [3,4,5]
Dla wykazania prawdziwości zdania mówiącego o elemencie wspólnym zbiorów wystarczy pokazać jeden element wspólny zbiorów TP i SK

X.
(<=>) - równoważność

Definicja równoważności w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = 1*1 =1

Przykład:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi suma kwadratów
TP<=>SK = (TP=>SK)*(TP~>SK) =1*1=1
Definicja równoważności spełniona bo:
Spełniona jest definicja podzbioru => między TP i SK:
TP=>SK =1
Zbiór TP jest podzbiorem => zbioru SK, oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
oraz
Spełniona jest definicja nadzbioru ~> w tym samym kierunku:
TP~>SK =1
Zbiór TP jest nadzbiorem ~> zbioru SK, oczywistość wobec tożsamości zbiorów TP=SK
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego

Znaczenie znaczków 0 i 1:
W algebrze Kubusia znaczki 0 i 1 działają identycznie jak w algorytmie komputerowym czyli:
W bloku funkcjonalnym robimy przekształcenia matematyczne prowadzące do zadania pytania binarnego w bloku decyzyjnym.
W bloku decyzyjnym logika matematyczna daje nam odpowiedź:
1 = TAK, prawda
0 = NIE, fałsz

Przykład:
Weźmy pojęcie:
Człowiek
Pytamy nasz mały rozumek:
Czy istnieje obiekt zwany człowiekiem?
Nasz rozumek musi odpowiedzieć:
TAK (=1) = Prawda (=1)
Stąd mamy wartość logiczną pojęcia człowiek:
Człowiek =1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że istnieje obiekt zwany człowiekiem.
Jeśli ktokolwiek nie uzyska odpowiedzi jak wyżej to musi udać się ze swoim rozumkiem do serwisu.

Definicje podstawowe:

Kod:

Definicja spójnika „i”(*) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
p q Y=p*q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =0
C: 0 1 =0
D: 0 0 =0
1 2 3
Definicja słowna:
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
Aby zaszło Y=1 muszą zajść jednocześnie oba zdarzenia p=1 i q=1
Definicja spójnika „i”(*) to wyłącznie pierwsza linia tabeli ABCD123
Inaczej:
Y=0
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej

Kod:

Definicja spójnika „lub”(+) z naturalnej logiki matematycznej człowieka
p q Y=p+q
A: 1 1 =1
B: 1 0 =1
C: 0 1 =1
D: 0 0 =0
1 2 3
Definicja słowna:
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Definicja spójnika „lub”(+) to wyłącznie obszar ABC123 powyższej tabeli.
Wystarczy, że zajdzie dowolne ze zdarzeń z prawej strony i już ustawi Y=1
Inaczej:
Y=0
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej

Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja elementu wspólnego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny.
Inaczej: p~~>q = p*q =[] =0

Definicja elementu wspólnego ~~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja elementu wspólnego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej: p~~>q = p*q =[] =0

5.1 Zdanie zawsze prawdziwe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)

Zdanie zawsze prawdziwe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) w zbiorach:
Zbiory p i q mają część wspólną ~~> i żaden z nich nie zawiera się w drugim
Y=(p~~>q=p*q)*~(p=>q)*~(q=>p) = 1*~(0)*~(0) = 1*1*1 =1
Gdzie:
p~~>q =p*q =1 - istnieje (=1) wspólny element zbiorów p i q
p~~>q =p*q =0 - nie istnieje (=0) wspólny element zbiorów p i q
p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
p=>q =0 - zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => p
q=>p =0 - zbiór q nie jest (=0) podzbiorem => zbioru p

Kod:

Definicja symboliczna zdania zawsze prawdziwego w zbiorach:
Y=1
A: p~~> q = p* q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i q
B: p~~>~q = p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów p i ~q
C:~p~~> q =~p* q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i q
D:~p~~>~q =~p*~q =1 - istnieje wspólny element zbiorów ~p i ~q

Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24

Kod:

Definicja symboliczna zdania zawsze prawdziwego P8|~~>P3 w zbiorach:
Y=1
A: P8~~> P3 = P8* P3 =1 bo 24 - istnieje wspólny element zbiorów P8 i P3
lub
B: P8~~>~P3 = P8*~P3 =1 bo 8 - istnieje wspólny element zbiorów P8 i ~P3
lub
C:~P8~~> P3 =~P8* P3 =1 bo 3 - istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i P3
lub
D:~P8~~>~P3 =~P8*~P3 =1 bo 2 - istnieje wspólny element zbiorów ~P8 i ~P3

Zdanie zawsze prawdziwe w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) w zdarzeniach:
Wszystkie zdarzenia ABCD są możliwe i rozłączne, zaś ich suma logiczna jest równa dziedzinie

Kod:

Definicja symboliczna zdania zawsze prawdziwego w zdarzeniach:
Y=1
A: p~~> q = p* q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
B: p~~>~q = p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
C:~p~~> q =~p* q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i q
D:~p~~>~q =~p*~q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń ~p i ~q

Wszystkie zdarzenia są możliwe i rozłączne oraz uzupełniają się wzajemnie do dziedziny
Przykładowy dowód rozłączności zdarzeń A i B:
A: (p*q)*B: (p*~q) =[] =0
bo: q*~q=[] =0
Dowód uzupełniania się zdarzeń ABCD do dziedziny:
D = p*q + p*~q + ~p*q + ~p*~q
D = p*(q+~q) + ~p*(q+~q)
D = p+~p =1
cnd

Przykład:
Rozpatrzmy wszystkie możliwe zdarzenia jakie jutro mogą zajść jednocześnie w związku z planowanym jutro pójściem do kina lub do teatru
Chwilą czasową jest tu cały jutrzejszy dzień.

Kod:

Definicja symboliczna zdania zawsze prawdziwego w zdarzeniach
Jutro możemy:
A: K~~> T = K* T =1 - iść do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
B: K~~>~T = K*~T =1 - iść do kina (K=1) i nie iść do teatru (~T=1)
lub
C:~K~~> T =~K* T =1 - nie iść do kina (~K=1) i iść do teatru (T=1)
lub
D:~K~~>~T =~K*~T =1 - nie iść do kina (~K=1) i nie iść do teatru (~T=1)

Przykład zdania zawsze prawdziwego.
Pani w przedszkolu:
A: Jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
Ya=K*T=1*1=1
lub
B: Jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Yb=K*~T=1*1=1
lub
C: Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Yc=~K*T =1*1 =1
lub
D: Jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Yd=~K*~T=1*1 =1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie ma szans na zostanie kłamcą (Yx=0)

Z powyższego wynika, że zdanie zawsze prawdziwe to gniot z zerowym znaczeniem zarówno w matematyce (P8~~>P3) jak i w języku potocznym (wszystkie zdarzenia rozłączne są losowo możliwe), to rzucanie monetą bez żadnej gwarancji matematycznej.
Gwarancja matematyczna => (warunek wystarczający =>) pojawi się zawsze po rozbiciu funkcji logicznej Y z samymi jedynkami w wyniku na dwie funkcje logiczne Y i ~Y gdzie w funkcji Y nie będzie już samych wynikowych jedynek.

5.2 Pełna lista operatorów logicznych w spójnikach „i’(*) i „lub”(+)

Logiką matematyczną zgodną w 100% z naturalną logiką człowieka jest myślenie równaniami alternatywno-koniunkcyjnymi (mintermy) powstałymi z dowolnej tabeli zero-jedynkowej poprzez opisywanie wyłącznie jedynek. Równania alternatywno-koniunkcyjne pasują do naturalnej logiki człowieka (języka potocznego) w przełożeniu 1:1.
Możliwa jest też logika totalnie przeciwna do naturalnej logiki matematycznej człowieka którą są tożsame równania koniunkcyjno-alternatywne (makstermy) gdzie opisujemy wyłącznie zera w tabeli zero-jedynkowej.
Równań koniunkcyjno-alternatywnych w przełożeniu na język potoczny żaden człowiek nie rozumie, tak wiec z definicji wykopujemy te równania w kosmos i nie będziemy się nimi zajmować.
Przejście z dowolnego równania koniunkcyjno-alternatywnego do równania alternatywno-koniunkcyjnego jest trywialne, wystarczy wymnożyć wielomiany.

Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y opisujący wyłącznie jedynki w kolumnach wynikowych Y oraz ~Y
1. Y = f(x)
2. ~Y=~f(x)

Definicja dziedziny dla dowolnego równania algebry Boole’a:
Funkcje logiczne Y i ~Y uzupełniają się wzajemnie do dziedziny i są to funkcje rozłączne:
Y+~Y = D =1
Y*~Y =[] =0

W logice matematycznej mamy 16 definicji spójników logicznych opisanych funkcją w logice dodatniej (bo Y).
Do każdego ze spójników w logice dodatniej (bo Y) przyporządkowana jest funkcja w logice ujemnej (bo ~Y) co razem daje 32 funkcje logiczne Y i ~Y.

Przykład:
1.
Funkcja logiczna w logice dodatniej (bo Y)
Y=p*q
.. a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy dwustronnie równanie 1
~Y=~(p*q)
Na mocy prawa De Morgana zapisujemy funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
2.
~Y=~p+~q

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y):
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y = p*q = ~(~p+~q)

Związek logiki ujemnej (bo ~Y) z logiką dodatnią (bo Y):
~Y = ~(Y)
podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y)
~Y = ~p+~q = ~(p*q)

Z punktu widzenia algebry Boole’a (wyłącznie znaczki: 0,1,(~),(*),(+) spójniki logiczne dzielimy na:
1. [11-14] Spójniki proste typu Y=p*q
2. [15-18] Spójniki proste typu Y=p+q
3. [31] Spójnik złożony równoważności (<=>)
4. [32] Spójnik złożony „albo”($) (ziemski XOR)
5. [33] Spójnik złożony zdania zawsze prawdziwego Y=(p~~>q)=(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q) =1
6. [34] Spójnik złożony zdania zawsze fałszywego Y=~(p~~>q) =~( p*q+p*~q+~p*q+~p*~q)=0
7. [51-54] Spójniki jednoargumentowe wbudowane w definicje spójników dwuargumentowych
8. [71-72] Minimalna lista spójników jednoargumentowych

5.2.1 Spójniki proste typu Y=p*q i Y=p+q

Kod:

T1
Lista spójników prostych typu „i”(*) i „lub”(+) w logice dodatniej (bo Y):
| Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y= Y=
| (p~>q) (p=>q)
p q ~p ~q | p*q p*~q ~p*q ~p*~q p+q p+~q ~p+q ~p+~q
A: 1 1 0 0 | 1 0 0 0 1 1 1 0
B: 1 0 0 1 | 0 1 0 0 1 1 0 1
C: 0 1 1 0 | 0 0 1 0 1 0 1 1
D: 0 0 1 1 | 0 0 0 1 0 1 1 1
a b c d 1 2 3 4 5 6 7 8
T2
Lista spójników prostych typu „i”(*) i „lub”(+) w logice ujemnej (bo ~Y):
| ~Y= ~Y= ~Y= ~Y= ~Y= ~Y= ~Y= ~Y=
~(p~>q) ~(p=>q)
p q ~p ~q |~p+~q ~p+q p+~q p+q ~p*~q ~p*q p*~q p*q
A: 1 1 0 0 | 0 1 1 1 0 0 0 1
B: 1 0 0 1 | 1 0 1 1 0 0 1 0
C: 0 1 1 0 | 1 1 0 1 0 1 0 0
D: 0 0 1 1 | 1 1 1 0 1 0 0 0
a b c d 1 2 3 4 5 6 7 8
Legenda:
„i”(*) - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka
„lub”(+) - spójnik „lub” z naturalnej logiki człowieka

5.2.2 Spójniki złożone <=>, $, ~~> wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+)

Kod:

T3
Lista spójników złożonych wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
w logice dodatniej (bo Y):
| Y= Y= Y=(p~~>q) Y=~(p~~>q)
| (p<=>q) (p$q) (p*q+p*~q+ ~(p*q+p*~q+
p q ~p ~q | p*q+~p*~q p*~q+~p*q ~p*q+~p*~q)=1 ~p*q+~p*~q)=0
A: 1 1 0 0 | 1 0 1 0
B: 1 0 0 1 | 0 1 1 0
C: 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 1 1 | 1 0 1 0
a b c d 1 2 3 4
T4
Lista spójników złożonych wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
w logice ujemnej (bo ~Y):
| ~Y= ~Y= ~Y=~(p~~>q) ~Y=(p~~>q)
| ~(p<=>q) ~(p$q) ~(p*q+p*~q+ (p*q+p*~q+
p q ~p ~q | p*~q+~p*q p*q+~p*~q ~p*q+~p*~q)=0 ~p*q+~p*~q)=1
A: 1 1 0 0 | 0 1 0 1
B: 1 0 0 1 | 1 0 0 1
C: 0 1 1 0 | 1 0 0 1
D: 0 0 1 1 | 0 1 0 1
a b c d 1 2 3 4
Legenda:
„i”(*) - spójnik „i” z naturalnej logiki człowieka
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka
p<=>q - spójnik równoważności <=> z naturalnej logiki człowieka
p~~>q - spójnik elementu wspólnego zbiorów ~~>

5.2.3 Funkcje jednoargumentowe Y=p i Y=~p

Kod:

T5
Lista funkcji logicznych jednoargumentowych wbudowanych w definicje
funkcji dwuargumentowych w logice dodatniej (bo Y):
p q ~p ~q | Y=p Y=~p Y=q Y=~q
A: 1 1 0 0 | 1 0 1 0
B: 1 0 0 1 | 1 0 0 1
C: 0 1 1 0 | 0 1 1 0
D: 0 0 1 1 | 0 1 0 1
a b c d 1 2 3 4
T6
Lista funkcji logicznych jednoargumentowych wbudowanych w definicje
funkcji dwuargumentowych w logice ujemnej (bo ~Y):
p q ~p ~q | ~Y=~p ~Y=p ~Y=~q ~Y=q
A: 1 1 0 0 | 0 1 1 0
B: 1 0 0 1 | 0 1 0 1
C: 0 1 1 0 | 1 0 1 0
D: 0 0 1 1 | 1 0 0 1
a b c d 1 2 3 4

Kod:

T7
Minimalna lista funkcji jednoargumentowych w logice dodatniej (bo Y):
p ~p | Y=p Y=~p
A: 1 0 | 1 0
B: 0 1 | 0 1
a b 1 2
T8
Minimalna lista funkcji jednoargumentowych w logice ujemnej (bo ~Y):
p ~p | ~Y=~p ~Y=p
A: 1 0 | 0 1
B: 0 1 | 1 0
a b 1 2

5.3 Operatory jednoargumentowe

Definicja operatora jednoargumentowego:
Operator logiczny jednoargumentowy to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=f(x)
~Y=~f(x)

5.3.1 Operator transmisji

T71 Operator transmisji to układ równań Y i ~Y
1.
T71_Aa1: Y=p
co matematycznie oznacza:
T71_Aa1: Y=1 <=> p=1
2.
T81_Bb1: ~Y=~p
co matematycznie oznacza:
T81_Bb1: ~Y=1 <=> ~p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y =p =~(~p)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zaprzeczona logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy:
~Y =~p = ~(p) =~p

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1)
Y=1 <=> K=1
… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami (lub odczytujemy z tabeli):
2.
~Y=~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy nie pójdziemy do kina (~K=1)
~Y=1 <=> ~K=1
Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo podwójnego przeczenia:
Y =K =~(~K)
Stąd mamy zdanie tożsame do zdania 1.
Nie może się zdarzyć ~(..) że jutro nie pójdziemy do kina
Y = ~(~K) = K
Znaczenie zmiennych binarnych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y)

Zauważmy, że w zastępstwie zdań 1 i 2 pani nie może użyć operatora negacji Y=~p zamiast użytego operatora transmisji Y=p.
1F.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K =0 - zdanie fałszywe, nie można go użyć w zastępstwie 1
~Y=K =0 - zdanie fałszywe, nie można go użyć w zastępstwie 2
Stąd mamy:

Kod:

Operator transmisji ## Operator negacji
Y= p =1 ## Y=~p =0
~Y=~p =1 ## ~Y= p =0
## - różne na mocy definicji
Dla tych samych p,Y jeśli prawdziwa jest funkcja Y=p =1 to na 100% fałszywa jest funkcja Y=~p =0

5.3.2 Operator negacji

T72 Operator negacji to układ równań Y i ~Y
1.
T72_Bb2: Y=~p
co matematycznie oznacza:
T72_Bb2: Y=1 <=> ~p=1
2.
T82_Aa2: ~Y=p
co matematycznie oznacza:
T82_Aa2: ~Y=1 <=> p=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy:
Y =~p =~(p) =~p
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zaprzeczona logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo podwójnego przeczenia:
~Y =p = ~(~p)

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina
Y=~K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y=1 <=> ~K=1
… a kiedy pani skłamie?
Negujemy równanie 1 stronami (lub odczytujemy z tabeli):
2.
~Y=K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do kina (K=1)
~Y=1 <=> ~K=1

Znaczenie zmiennych binarnych:
Y - pani dotrzyma słowa
~Y - pani skłamie (= nie dotrzyma słowa ~Y)

Zauważmy, że w zastępstwie zdań 1 i 2 pani nie może użyć operatora transmisji Y=p zamiast użytego operatora negacji Y=~p.
1F.
Jutro pójdziemy do kina
Y=K =0 - zdanie fałszywe, nie można go użyć w zastępstwie 1
~Y=~K =0 - zdanie fałszywe, nie można go użyć w zastępstwie 2
Stąd mamy:

Kod:

Operator negacji ## Operator transmisji
Y=~p =1 ## Y= p =0
~Y= p =1 ## ~Y=~p =0
## - różne na mocy definicji
Dla tych samych p, Y jeśli prawdziwa jest funkcja Y=~p =1 to na 100% fałszywa jest funkcja Y=p =0

5.4 Operator AND(|*) i jego mutacje

Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=f(x)
~Y=~f(x)
Operator AND(|*) to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) zawierającej spójnik „i”(*) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) zawierającą spójnik „lub”(+)

5.4.1 Spójnik „i”(*) typu Y=p*q

T11
1.
T11_Aab1: Y = p*q
co matematycznie oznacza:
T11_Aab1: Y=1 <=> p=1 i q=1
Uzasadnienie na podstawie tabeli zero-jedynkowej:
T11_Aab1: Y=p*q
T11_Aab1: Y=1<=> p=1 i q=1
2.
T21_BCDcd1: ~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
T21_BCDcd1: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Uzasadnienie na podstawie tabeli zero-jedynkowej:
T21_BCDcd1: ~Y=~p+~q
T21_BCDcd1: ~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y =p*q =~(~p+~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zaprzeczona logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y =~p+~q = ~(p*q)

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina i do teatru
Y=K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 i T=1
… a kiedy pani skłamie?
Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Alternatywnie to samo można odczytać z tabeli.
Stąd mamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K+~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1

Wystarczy iż którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już ustawi ~Y=1.
Stąd mamy wszystkie możliwe sytuacje w których pani skłamie (~Y=1):
~Y = ~K*~T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*~T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T)=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~K*~T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) ale pójdziemy do teatru (T=1)

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y =K*T=~(~K+~T)
Czytamy:
1D.
Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru
Y = ~(~K+~T) = K*T
Zauważmy, że to zdanie jest już ciężkawo zrozumiałe, zaś jego wartościowanie jest sztuczne i mija się z naturalną logiką matematyczną człowieka, zatem sobie odpuszczamy bo mamy prościutkie zdanie 1

Zauważmy że zamiast spójnika „i”(*) w zdaniu 1 nie możemy użyć spójnika „lub”(+) bo będzie to znaczyło coś fundamentalnie innego, stąd:
1: Y=p+q =0 - w zdaniu 1 spójnik „i”(*) jest niezastępowalny
2: ~Y=~p*~q =0 - w zdaniu 2 spójnik „lub”(+) jest niezastępowalny
stąd mamy:

Kod:

Operator AND(|*) ## Operator OR(|+)
Y= p* q =1 ## Y= p+ q =0
~Y=~p+~q =1 ## ~Y=~p*~q =0
## - różne na mocy definicji
Dla tych samych p,q,Y jeśli prawdziwa jest funkcja Y=p*q=1 to na 100% fałszywa jest funkcja Y=p+q=0

5.4.2 Spójnik „i”(*) typu Y=p*~q

T12
1.
T12_Bad2: Y = p*~q
co matematycznie oznacza:
T12_Bad2: Y=1 <=> p=1 i ~q=1
2.
T22_ACDad2: ~Y=~p+q
co matematycznie oznacza:
T22_ACDad2: ~Y=1 <=> ~p=1 lub q=1

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina ale nie pójdziemy do teatru
Y=K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 i ~T=1
… a kiedy pani skłamie?
Przechodzimy ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K+T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Czytamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=~K+T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 lub T=1
Wystarczy że którakolwiek zmienna po prawej stronie zostanie ustawiona na 1 i już ustawi ~Y=1.
Stąd mamy wszystkie sytuacje w których pani skłamie:
~Y = ~K*T + K*~T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (~K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*~T)=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~K*T=1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

Kod:

Operator AND(|*) ## Operator OR(|+)
Y= p*~q =1 ## Y= p+~q =0
~Y=~p+ q =1 ## ~Y=~p* q =0
## - różne na mocy definicji
Dla tych samych p,q,Y jeśli prawdziwa jest funkcja Y=p*~q=1 to na 100% fałszywa jest funkcja Y=p+~q=0

5.4.3 Spójnik „i”(*) typu Y=~p*q

T13
1.
T13_Cbc3: Y = ~p*q
co matematycznie oznacza:
T13_Cbc3: Y=1 <=> ~p=1 i q=1
2.
T23_ABDbc3: ~Y=p+~q
co matematycznie oznacza:
T23_ABDbc3: ~Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
Ze wzglądu na przemienność spójnika „i”(*):
p*~q = ~q*p
Przykład będzie tu identyczny jak dla funkcji T12 wyżej.

5.4.4 Spójnik „i”(*) typu Y=~p*~q

T14
1.
T14_Dcd4: Y = ~p*~q
co matematycznie oznacza:
T14_Dcd4: Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
2.
T24_ABCab4: ~Y=p+q
co matematycznie oznacza:
T24_ABCab4: ~Y=1 <=> p=1 lub q=1

Pani w przedszkolu:
1
Jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Y=~K*~T
.. a kiedy panie skłamie?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y=K+T
co matematycznie oznacza:
~Y=1<=>K=1 lub T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)

Kod:

Operator AND(|*) ## Operator OR(|+)
Y=~p*~q =1 ## Y=~p+~q =0
~Y= p+ q =1 ## ~Y= p* q =0
## - różne na mocy definicji
Dla tych samych p,q,Y jeśli prawdziwa jest funkcja Y=~p*~q=1 to na 100% fałszywa jest funkcja Y=~p+~q=0

5.5 Operator OR(|*) i jego mutacje

Definicja operatora logicznego w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y)
Y=f(x)
~Y=~f(x)
Operator OR(|+) to złożenie funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) zawierającej spójnik „lub”(+) z funkcją logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) zawierającą spójnik „i”(*)

5.5.1 Spójnik „lub”(+) typu Y=p+q

T15
1.
T15_ABCab5: Y = p+q
co matematycznie oznacza:
T15_ABCab5: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Uzasadnienie na podstawie tabeli zero-jedynkowej:
T15_ABCab5: Y=p+q
T15_ABCab5: Y=1<=>p=1 lub q=1
2.
T25_Dcd5: ~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
T25_Dcd5: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Uzasadnienie na podstawie tabeli zero-jedynkowej:
T25_Dcd5: ~Y=~p*~q
T25_Dcd5: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y =p+q =~(~p*~q)
Związek logiki ujemnej (bo ~Y) i dodatniej (bo Y):
Logika ujemna to zaprzeczona logika dodatnia:
~Y = ~(Y)
Podstawiając 2 i 1 mamy prawo De Morgana w logice ujemnej (bo ~Y):
~Y =~p*~q = ~(p+q)

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina lub do teatru
Y=K+T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> K=1 lub T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Y=1 <=> K=1 lub T=1

Wystarczy iż którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już ustawi Y=1.
Stąd mamy wszystkie możliwe sytuacje w których pani dotrzyma słowa (Y=1):
Y = K*T + K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (K*~T)=1 lub (~K*T) =1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
lub
K*~T =1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) ale pójdziemy do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Alternatywnie to samo można odczytać z tabeli.
Stąd mamy:
2.
Prawdą jest (=1) że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
~Y=~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1

Związek logiki dodatniej (bo Y) i ujemnej (bo ~Y)
Logika dodatnia to zaprzeczona logika ujemna:
Y = ~(~Y)
Podstawiając 1 i 2 mamy prawo De Morgana w logice dodatniej (bo Y):
Y =K+T=~(~K*~T)
Czytamy:
1D.
Nie może się zdarzyć ~(…) że jutro nie pójdziemy do kina i nie pójdziemy do teatru
Y = ~(~K*~T) = K+T
Zauważmy, że to zdanie jest już ciężkawo zrozumiałe, zaś jego wartościowanie jest sztuczne i mija się z naturalną logiką matematyczną człowieka, zatem sobie odpuszczamy bo mamy prościutkie zdanie 1

Zauważmy że zamiast spójnika „lub”(+) w zdaniu 1 nie możemy użyć spójnika „i”(*) bo będzie to znaczyło coś fundamentalnie innego, stąd:
1: Y=p*q =0 - w zdaniu 1 spójnik „lub”(+) jest niezastępowalny
2: ~Y=~p+~q =0 - w zdaniu 2 spójnik „i”(*) jest niezastępowalny
stąd mamy:

Kod:

Operator OR(|+) ## Operator AND(|*)
Y= p+ q =1 ## Y= p* q =0
~Y=~p*~q =1 ## ~Y=~p+~q =0
## - różne na mocy definicji
Dla tych samych p,q,Y jeśli prawdziwa jest funkcja Y=p+q=1 to na 100% fałszywa jest funkcja Y=p*q=0

5.5.2 Spójnik „lub”(+) typu Y=p+~q (implikacja odwrotna)

T16 Operator implikacji odwrotnej p|~>q to układ równań Y i ~Y
1.
T26_ABDad6: Y = (p~>q) =p+~q
co matematycznie oznacza:
T26_ABDad6: Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
2.
T26_Cbc6: ~Y=~(p~>q) = ~p*q
co matematycznie oznacza:
T26_Cbc6: ~Y=1 <=> ~p=1 i q=1

W praktyce języka mówionego operator implikacji odwrotnej p|~>q obsługuje zdania warunkowe „Jeśli p to q”. Najczęstsze zastosowanie tego operatora to obsługa wszelkich gróźb w świecie żywym.

Definicja groźby:
Jeśli dowolny warunek to kara
W~>K =1
Spełnienie warunku groźby, jest warunkiem koniecznym ~> wykonania kary.
Nie jest to warunek wystarczający => bowiem nadawca ma prawo darować dowolną karę zależną od niego.
1.
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
Y = (p~>q) = p+~q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub ~q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~(p~>q) = ~p*q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i q=1

Weźmy klasyką groźby:
Jeśli ubrudzisz spodnie dostaniesz lanie
Y = (B~>L) =1
Definicja groźby jest tu bezdyskusyjnie spełniona.
Stąd:
W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) możemy łatwo rozstrzygnąć kiedy jutro ojciec dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1)
1.
Y = (B~>L) = B+~L
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro przyjdę w brudnych spodniach (B=1) lub nie dostanę lania (~L=1)
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
Doskonale widać, że to zdanie jest ciężko strawne dla każdego 5-cio latka, w praktyce przez nikogo nie zostanie zrozumiane.
Co zatem robić?
Rozpisać wszystkie możliwe sytuacje w których ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
Mamy:
Y=1 <=> B=1 lub ~L=1
Wystarczy że dowolny człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już ustawi (Y=1).
Stąd mamy:
Y = B*~L + B*L ~B*~L
Możemy to uporządkować, ale nie musimy:
Y = B*L + ~B*~L + B*~L
Dotrzyma słowa = nie skłamie
Czytamy:
Ojciec nie skłamie (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B*L =1*1 =1 - synek przyjdzie w brudnych spodniach (B=1) i dostanie lanie (L=1)
lub
~B*~L = 1*1 =1 - synek przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i nie dostanie lania (~L=1)
lub
B*~L = 1*1 =1 - synek przyjdzie w brudnych spodniach i nie dostanie lania
Ostatnie zdanie to opisany matematycznie piękny akt łaski, znany wszelkim istotom żywym.
W dowolnej groźbie nadawca ma prawo do darowania kary (~L=1) zależnej od niego, mimo iż warunek kary został spełniony (B=1).

… a kiedy ojciec skłamie?
Przechodzimy z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y = ~(B~>L) = ~B*L
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~B=1 i L=1
Czytamy:
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy synek przyjdzie w czystych spodniach (~B=1) i dostanie lanie (L=1)
Doskonale tu widać, że operator implikacji odwrotnej p|~>q wyrażony układem równań Y i ~Y w spójnikach „i’(*) i „lub”(+) obsługuje perfekcyjnie wszelkie groźby ze świata żywego.

Kod:

Operator OR(|+) ## Operator AND(|*)
Y= p+~q =1 ## Y= p*~q =0
~Y=~p* q =1 ## ~Y=~p+ q =0
## - różne na mocy definicji
Dla tych samych p,q,Y jeśli prawdziwa jest funkcja Y=p+~q=1 to na 100% fałszywa jest funkcja Y=p*~q=0

5.5.3 Spójnik „lub”(+) typu Y=~p+q (implikacja prosta)

T17 Operator implikacji prostej p|=>q tu układ równań Y i ~Y
1.
T17_ACDbc7: Y = (p=>q) = ~p+q
co matematycznie oznacza:
T17_ACDbc: Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
2.
T27_Bad7: ~Y=~(p=>q) = p*~q
co matematycznie oznacza:
T27_Bad7: ~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

W praktyce języka mówionego operator implikacji prostej p|=>q obsługuje zdania warunkowe „Jeśli p to q”. Najczęstsze zastosowanie tego operatora to obsługa wszelkich obietnic w świecie żywym.

Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek to nagroda
W=>N =1
Spełnienie warunku nagrody jest warunkiem wystarczającym => dla otrzymania nagrody
Spełnienie warunku nagrody daje nam gwarancję matematyczną => dostania nagrody
Oczywistym jest że istoty żywe mogą tu kłamać do woli, logika matematyczna daje nam wiedzę kiedy w przyszłości nadawca dotrzyma słowa a kiedy skłamie i to jest jedyna tu 100% pewność. Rzeczywiste rozstrzygnięcie jest tu matematycznie bez znaczenia.
1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście z 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~(p=>q) = p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1

Weźmy klasyką obietnicy:
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
Y = (E=>K) = ~E + K
Definicja obietnicy jest tu bezdyskusyjnie spełniona.
Stąd:
W spójnikach „i”(*) i „lub”(+) możemy łatwo rozstrzygnąć kiedy jutro ojciec dotrzyma słowa (Y=1) a kiedy skłamie (~Y=1)
1.
Y = (E=>K) = ~E+K
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~E + K
Czytamy:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy synek nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Doskonale widać, że to zdanie jest ciężko strawne dla każdego 5-cio latka, w praktyce przez nikogo nie zostanie zrozumiane.
Co zatem robić?
Rozpisać wszystkie możliwe sytuacje w których ojciec dotrzyma słowa (Y=1)
Mamy:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Wystarczy że dowolny człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już ustawi (Y=1).
Stąd mamy:
Y = ~E*K + ~E*~K + E*K
Możemy to uporządkować, ale nie musimy:
Y = E*K + ~E*~K + ~E*K
Dotrzyma słowa = nie skłamie
Czytamy:
Ojciec nie skłamie (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
E*K = 1*1 =1 - synek zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
lub
~E*~K = 1*1 =1 - synek nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
lub
~E*K = 1*1 =1 - synek nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Ostatnie zdanie to opisany matematycznie piękny akt miłości, znany wszelkim istotom żywym.
W dowolnej obietnicy nadawca ma prawo wręczyć nagrodę (K=1), mimo iż warunek nagrody nie został spełniony (~E=1).
Ojciec, może przykładowo powiedzieć do synka:
Synku, nie zdałeś egzaminu, jednak dostajesz komputer bo widziałem ze się dużo uczyłeś ale miałeś pecha.
Pretekst do wręczenia komputera może być dowolny np. „bo cię kocham”, „bo dziś mam dobry humor” itp.
Nie można wręczyć komputera z uzasadnieniem zależnym identycznym jak poprzednik mówiąc:
Synku nie zdałeś egzaminu (~E=1), dostajesz komputer (K=1), bo nie zdałeś egzaminu (~E=1)
Tu ojciec jest kłamcą, co matematycznie udowodniłem na samym początku przygody z logiką matematyczną, z 14 lat temu - dokładnie dlatego byłem pewien że możliwe jest rozszyfrowanie logiki matematycznej języka potocznego.

… a kiedy ojciec skłamie?
Przechodzimy z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
2.
~Y = ~(E=>K) = E*~K
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K =1
Czytamy:
Ojciec skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy synek zda egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1).
Zwolnic z danego przyrzeczenie może wyłącznie synek, automatycznie zwalniają przypadki losowe np. śmierć dowolnej ze strony.

Kod:

Operator OR(|+) ## Operator AND(|*)
Y=~p+ q =1 ## Y=~p* q =0
~Y= p*~q =1 ## ~Y= p+~q =0
## - różne na mocy definicji
Dla tych samych p,q,Y jeśli prawdziwa jest funkcja Y=~p+q=1 to na 100% fałszywa jest funkcja Y=~p*q=0

5.5.4 Spójnik „lub”(+) typu Y=~p+~q

T18
1.
T18_BCDcd8: Y = ~p+~q
co matematycznie oznacza:
T18_BCDcd8: Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
2.
T28_Aab8: : A~Y=p*q
co matematycznie oznacza:
T28_Aab8: ~Y=1 <=> p=1 i q=1

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro nie pójdziemy do kina lub nie pójdziemy do teatru
Y = ~K+~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> ~K=1 lub ~T=1
Wystarczy, że którykolwiek człon po prawej stronie zostanie ustawiony na 1 i już ustawi Y=1
Stąd mamy równanie logiczne opisujące wszystkie możliwe sytuacje w których pani dotrzyma słowa (Y=1):
Y = ~K*~T + ~K*T + K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (~K*~T)=1 lub (~K*T)=1 lub (K*~T)=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
~K*~T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
K*~T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie?
Przechodzimy z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y=K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
~Y=1 <=> K=1 i T=1

Kod:

Operator OR(|+) ## Operator AND(|*)
Y=~p+~q =1 ## Y=~p*~q =0
~Y= p* q =1 ## ~Y= p+ q =0
## - różne na mocy definicji
Dla tych samych p,q,Y jeśli prawdziwa jest funkcja Y=~p+~q=1 to na 100% fałszywa jest funkcja Y=~p*~q=0

5.6 Operator równoważności <=>

T31 Operator równoważności <=> w spójniach „i”(*) i „lub”(+) to układ równań Y i ~Y
1.
T31_Aab1+Dcd1: Y= (p<=>q) = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
T31_Aab1+Dcd1: Y=1 <=> (p*q)=1 lub (~p*~q)=1
2.
T41_Bad1+Cbc1: ~Y=~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
T41_Bad1+Cbc1: ~Y=1 <=> (p*~q)=1 lub (~p*q)=1

Alternatywne przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y).
Algorytm Wuja Zbója:
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
1: Y = (p*q) + (~p*~q)
Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników.
2: ~Y=(~p+~q)*(p+q)
Powyższej funkcji koniunkcyjno-alternatywna żaden człowiek nie ma szans zrozumieć.
Wymnażamy wielomian celem przejścia do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej rozumianej przez człowieka.
2: ~Y = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q
2: ~Y = p*~q + ~p*q

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
Y = (p<=>q) = K*T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*T)=1 lub (~K*~T)=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)?
Nasz przykład:
~Y = K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (K*~T)=1 lub (~K*T)=1
Czytamy:
2.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

5.7 Operator „albo”($)

T32 Operator „albo” ($) to układ równań Y i ~Y
1.
T32_ Bad2+Cbc2: Y = p$q = p*~q + ~p*q
co matematycznie oznacza:
T32_Bad2+Cbc2: Y=1 <=> (p*~q)=1 lub (~p*q)=1
2.
T32_Aab2+Dcd2: ~Y = ~(p$q) = p*q + ~p*~q
co matematycznie oznacza:
T32_Aab2+Dcd2: ~Y=1 <=> (p*q)=1 lub (~p*~q)=1

Alternatywne przejście z równaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y).
Algorytm Wuja Zbója:
Uzupełniamy brakujące nawiasy:
1: Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście ze zdaniem 1 do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2: ~Y=(~p+q)*(p+~q)
Powyższej funkcji koniunkcyjno-alternatywna żaden człowiek nie ma szans zrozumieć.
Wymnażamy wielomian celem przejścia do funkcji alternatywno-koniunkcyjnej rozumianej przez człowieka.
2: ~Y = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q
2: ~Y = p*q + ~p*~q

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina albo ($) do teatru
Y = (K$T) = K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> (K*~T)=1 lub (~K*T)=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
lub
~K*T = 1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)

… a kiedy pani skłamie (~Y=1)
Mamy:
~Y = ~(p$q) = p*q + ~p*~q
Nasz przykład:
~Y= ~(K$T) = K*T + ~K*~T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> (K*T)=1 lub (~K*~T)=1
Czytamy:
2.
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T = 1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
lub
~K*~T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)

5.8 Operator chaosu p|~~>q

T33 Operator chaosu p|~~>q to układ równań Y i ~Y
1.
Y = (p~~>q) = (p*q+p*~q+~p*q+~p*~q) =1
Dowód:
Y = p*q+p*~q+~p*q+~p*~q
Y = p*(q+~q)+~p*(q+~q)
Y = p+~p
Y=1
cnd
2.
~Y = ~(p~~>q) = (p*q+p*~q+~p*q+~p*~q) =0

Operator chaosu p|~~>q jest szczegółowo omówiony w punkcie 1.1

Jednoargumentowy operator chaosu p|~~>p opisuje układ równań logicznych Y i ~Y
1.
Dla p=q mamy:
Y = (p~~>p) = p+~p =1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
2.
~Y = ~(p~~>p) = p*~q =0

Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub nie pójdziemy do kina (~K=1)
Y = K+~K =1
Cokolwiek pani jutro nie zrobi to nie ma szans aby zostać kłamczuchą.

5.9 Operator śmierci ~(p|~~>q)

T34 Operator śmierci ~(p|~~>q) to układ równań Y i ~Y
1.
Y = ~(p~~>q) = ~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q) =0
2.
~Y = (p~~>q) = (p*q+p*~q+~p*q+~p*~q) =1

Jednoargumentowy operator śmierci ~(p|~~>q) to układ równań logicznych Y i ~Y
1.
Y = ~(p~~>p) =~(p+~p) = ~(1) =0
2.
~Y = (p~~>p) = p+~p =1

Zdania Y nie jesteśmy w stanie wypowiedzieć bo nic nie możemy powiedzieć na temat zbioru pustego leżącego poza naszym Uniwersum.
Uniwersum to wszelkie pojęcia rozumiane przez człowieka
U=1 - prawdą jest (=1) że znamy definicje wszystkich obiektów leżących w naszym Uniwersum
~U=[] =0 - zbiór pusty oznacza obiekty leżące poza naszym Uniwersum na których z definicji nie możemy operować.

Powrót do góry

Wyświetl posty z ostatnich:

	Forum ŚFiNiA Strona Główna -> Metodologia / Forum Kubusia	Wszystkie czasy w strefie CET (Europa)
Strona 1 z 1

Skocz do:

Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach

Regulamin