 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 36006
Przeczytał: 14 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 22:16, 10 Maj 2020 Temat postu: AK3 Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów (2020-05-10) |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2020-05-10
Część III
Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów
Jak czytać algebrę Kubusia?
Każda z siedmiu części zakłada prawie zerowy stan wiedzy początkowej.
Można wystartować z czytaniem od dowolnej części znając minimalnie algebrę Boole’a.
Szczególnie polecam część IV i V
Części:
AK1 Algebra Boole’a
AK2 Elementarz algebry Kubusia
AK3 Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń
AK6 Obietnice i groźby
AK7 Teoria transformacji
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020
Algebra Kubusia w pdf
AK1 Algebra Boole’a.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK2 Elementarz algebry Kubusia.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK3 Wstęp do Kubusiowej Teorii zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK6 Obietnice i groźby.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK7 Prawo transformacji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
Spis treści
1.0 Algebra Kubusia w definicjach podstawowych 3
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 3
1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 4
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 5
1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 5
1.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 6
1.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów 9
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach 10
2.2 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów 11
3.0 Zbiór wszystkich zbiorów 12
3.1 Nazwa własna zbioru 12
4.0 Dziedzina 12
4.1 Zaprzeczenie zbioru 13
4.2 Dziedzina minimalna 13
4.3 Definicja znaczka różne # 14
5.0 Dziedzina matematyczna i fizyczna, zdjęcie układu 14
5.1 Badanie dziedziny fizycznej w przykładach 15
5.1.1 Dziedzina fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q 15
5.1.2 Dziedzina fizyczna w implikacji prostej p|=>q 19
5.1.3 Dziedzina fizyczna w równoważności p<=>q 22
6.0 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna 28
Wstęp:
Wstęp do Kubusiowej teorii zbiorów to podstawowe definicje z teorii zbiorów przydatne z punktu widzenia logiki matematycznej.
Logika matematyczna nie zajmuje się zbiorami w sensie matematyki klasycznej czyli przede wszystkim nie zajmuje się jakimkolwiek liczeniem elementów w zbiorze, ciągami, porządkowaniem etc bowiem z definicji nie da się tego zrobić przy pomocy spójnika „i”(*), czy też spójnika „lub”(+).
1.0 Algebra Kubusia w definicjach podstawowych
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego, które za chwilę poznamy.
1.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>.
Dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy tu kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory nieskończone są rozłączne to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
1.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
1.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
1.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
1.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
1.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
1.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+)
p q p+q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 0
D: 0 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego linie definiujące znaczki =>, ~> i „lub”(+) można dowolnie przestawiać, matematycznie to bez znaczenia.
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)
Stąd w rachunku zero-jedynkowym wyprowadzamy następujące związki miedzy warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
Przy wypełnianiu tabeli zero-jedynkowej w rachunku zero-jedynkowym nie wolno nam zmieniać linii w sygnałach wejściowych p i q, bowiem wtedy i tylko wtedy o tym czy dane prawo zachodzi decyduje tożsamość kolumn wynikowych.
##
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
Weźmy prawo Kubusia odczytane z tabeli B.
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony.
1.3.1 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji dla warunków wystarczających =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
4.
Prawa kontrapozycji dla warunków koniecznych ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
Pies, miłość, krasnoludek, zbiór liczb naturalnych, zbiór wszystkich zwierząt ...
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
agstd, sdked, skdjatxz …
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 50 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na ziemi.
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć należących do Uniwersum
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być zbiór.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
W definicji zboru pustego wyraźnie chodzi o zawartość worka z napisem „zbiór pusty”, a nie o sam worek.
Zbiory mają wartość logiczną:
1 = prawda
0 = fałsz
[x] =1 - zbiór niepusty (=1), zawierający przynajmniej jedno pojęcie zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty (=0), zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
2.1 Podstawowe operacje na zbiorach
I.
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[1,2]+[2,3]=[1,2,3] =1 - bo zbiór niepusty
II.
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Zbiór wynikowy pusty oznacza rozłączność zbiorów p i q
Y =p*q=[] =0 - w przypadku zbiorów rozłącznych p i q
Przykład:
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2,3] =1 - bo zbiór niepusty
r=[3,4] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[1,2]*[2,3]=[2] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=p*r=[1,2]*[3,4] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
III.
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
p=[1,2] =1 - bo zbiór niepusty
q=[2] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p-q = [1,2]-[2] =[1] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[2]-[1,2]=[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
2.2 Znaczenie przecinka w teorii zbiorów
Definicja:
Przecinek rozdzielający elementy w dowolnym zbiorze to spójnik „lub”(+) z naturalnej logiki człowieka, będący matematycznie sumą logiczną pojęć lub zbiorów (+).
Matematycznie zachodzi tożsamość:
„przecinek”(,) = „lub”(+)
Zobaczmy to na podstawowych operacjach na zbiorach:
I.
Suma logiczna
[1+2]+[1+3] = [1+2+1+3] = [1+2+3] - to jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Prawo powielania/redukcji elementów w zbiorze
p=p+p
stąd:
1+1=1
II.
Iloczyn logiczny
[1+2]*[1+3] = 1*1 + 1*3 + 2*1 + 2*3 = 1+[]+[]+[] =1 - to też jest matematyczna oczywistość/rzeczywistość
Identycznie jak w matematyce klasycznej mnożymy każdy element z każdym po czym korzystamy w praw rachunku zbiorów (rachunku zero-jedynkowego):
p=p*p
stąd:
1*1=1
Przykładowe pojęcia (zbiory jednoelementowe) 1 i 3 są rozłączne, stąd:
1*3=[]
III.
Różnica logiczna
[1+2+3]-[2+3] = 1+2+3-2-3 =1+[2-2]+[3-3] = 1+[]+[] = 1
[2+3]-[1+2+3] = 2+3-1-2-3 = []+2+3-1-2-3 = ([]-1) +[2-2]+[3-3] = []+[]+[] =[]
W różnicy logicznej jeśli przed nawiasem jest znak minus (-) to zapisujemy ten znak przed każdym elementem zbioru widniejącym w nawiasie.
W ostatnim równaniu skorzystaliśmy z neutralności zbioru pustego [] w sumie logicznej dokładając zbiór pusty [].
Wyjaśnienie:
[]-1 =[] - jeśli ze zbioru pustego usuniemy nieistniejący element to zbiór pusty dalej pozostanie pusty.
Alternatywnie:
Wszelkie elementy ze znakiem minus które pozostaną po wykonaniu operacji odejmowania z definicji zamieniamy na zbiór pusty [].
[2+3]-[1+2+3] = 2+3 -1-2-3 = 2+3-1-2-3 = -1 +[2-2]+[3-3] = -1+[]+[] =[]+[]+[] =[]
3.0 Zbiór wszystkich zbiorów
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z Uniwersum na mocy definicji Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Wszystkie pojęcia poza (~) Uniwersum są zbiorem pustym.
~U= [] =0
Dowód:
Przyjmijmy dziedzinę:
D = U
Na mocy definicji:
Zaprzeczenie zbioru (~) to jego uzupełnienie do dziedziny
Stąd:
~U=[D-U]=[U-U]=[] =0
Wynika z tego, że zbiór Uniwersum i zbiór pusty to zbiory rozłączne i uzupełniają się wzajemnie do dziedziny U
U+~U = U+[] =U =1 - zbiór ~U=[] jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru U
U*~U = U*[] =[] =0 - zbiory U i ~U=[] są rozłączne
3.1 Nazwa własna zbioru
Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej
Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi
Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]
4.0 Dziedzina
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Wszystko co leży poza przyjętą dziedziną jest zbiorem pustym z definicji.
Oznacza to, że wszelkie pojęcia poza przyjętą dziedziną są dla nas nierozpoznawalne, czyli nie znamy definicji tych pojęć z założenia. Ograniczeniem dolnym w definiowaniu dziedziny jest zbiór pusty [], natomiast ograniczeniem górnym jest Uniwersum.
4.1 Zaprzeczenie zbioru
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []
Przykład:
p=[1] - definiujemy zbiór p
D=[1,2] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] =[2]
4.2 Dziedzina minimalna
Definicja dziedziny minimalnej:
Dziedzina minimalna to minimalny zbiór na którym operujemy.
Wszystko co jest poza dziedziną minimalną jest zbiorem pustym z definicji
Rozważmy poniższe zbiory mające nazwy własne:
P=[pies]
A.
Dla dziedziny:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla dziedziny:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków:
otrzymamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
C.
Dla dziedziny Uniwersum (zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka) otrzymamy ~P:
~P=[U-P] - zbiór wszelkich pojęć rozumianych przez człowieka minus jeden element P=[pies]
Wnioski:
1.
Nie ma sensu mówienie o zaprzeczeniu zbioru ~p dopóki nie wybierzemy dziedziny w której ten zbiór zaprzeczamy.
2.
Dziedzina minimalna dla zbiorów A,B,C mających nazwy własne to zbiór A (ZWZ).
Przykład:
Rozważmy dziedzinę minimalną dla człowieka (C):
C=[M, K]
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Elementy zbioru:
M - mężczyzna
K - kobieta
Dziedzina:
C = człowiek
Obliczenia przeczeń pojęć M i K tzn. ich uzupełnień do dziedziny D:
1.
~M=[C-M]=[M+K-M]=[K]=K
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie mężczyznę (~M=1) to na 100% => będzie to kobieta (K=1)
~M=>K =1
2.
~K=[C-K]=[M+K-K]=[M]=M
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~K=M
Znaczenie:
Jeśli ze zbioru „człowiek” wylosujemy nie kobietę (~K=1) to na 100% => będzie to mężczyzna (M=1)
~K=>M =1
Kluczowy wniosek:
Jeśli mamy zbiór mężczyzn M to minimalną dziedziną jaką możemy tu przyjąć jest zbiór:
C- zbiór człowiek, przyjęta dziedzina (= zbiór wszystkich ludzi)
Zauważmy, że gdybyśmy dziedzinę zawęzili do zbioru M to pojęcie mężczyzna byłoby dla nas nierozpoznawalne.
Dowód:
M - mężczyzna
D=M - przyjęta dziedzina
~M=[D-M]=[M-M]=[]
cnd
4.3 Definicja znaczka różne #
Nawiązując do przykładu wyżej matematycznie zachodzi też:
M=~K # K=~M
Definicja znaczka różne #:
Dwa pojęcia (zbiory) są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy dowolna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej strony.
Sprawdzamy”
M =~(K) = ~(~M) =M
cnd
5.0 Dziedzina matematyczna i fizyczna, zdjęcie układu
Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.
Właściwości dziedziny matematycznej:
1
Zdarzenia ABCD są rozłączne:
Dowód:
A*B = (p*q)*(p*~q) =[] =0
A*C =(p*q)*(~p*~q) =[] =0
A*D=(p*q)*(~p*q) =[] =0
itd.
2.
W dziedzinie matematycznej wszystkie cztery zdarzenia są rozłączne i uzupełniają się do dziedziny.
Dowód:
D = p*q+p*~q + ~p*~q + ~p*q = p*(q+~q) + ~p*(~q+q) = p+~p =1
cnd
Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1
5.1 Badanie dziedziny fizycznej w przykładach
Rozważymy badanie dziedziny fizycznej w trzech przykładach:
- implikacji odwrotnej CH~>S
- implikacji prostej S|=>CH
- równoważności A<=>S
5.1.1 Dziedzina fizyczna w implikacji odwrotnej p|~>q
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Przykład:
Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania
A.
Jeśli są chmury to może ~~> padać śnieg
CH~~>S = CH*S =?
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „chmurką” i „śniegiem”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
Innymi słowy:
Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „chmurki” i „śniegu” korzystając z historii meteorologii na naszej planecie.
Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.
Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1
Rozwiązanie:
1.
W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „chmurki” i „śniegu”
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „chmurką” i „śniegiem”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
| Kod: |
T1.
Zdjęcie chmurki vs śnieg
A: CH~~> S = CH* S =1 - Jeśli są chmury to może ~~> padać śnieg
B: CH~~>~S = CH*~S =1 - Jeśli są chmury to może ~~> nie padać śnieg
C:~CH~~>~S =~CH*~S =1 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> nie padać śnieg
D:~CH~~> S =~CH* S =0 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> padać śnieg (fałsz)
Nigdy w historii nie zanotowano takiego przypadku
|
Dziedzina matematyczna dla pojęć „chmurka” i „śnieg” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania:
DM=A: CH*S + B: CH*~S + C: ~CH*~S + D: ~CH*S = CH*(S+~S) + ~CH*(~S+S) = CH+~CH =1
Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to fragment „Zdjęcia układu” z wartościowaniem 1
Stąd mamy odpowiedź odnośnie dziedziny fizycznej dla pojęć „chmurka” i „śnieg”
DF=A: CH*S + B: CH*~S + C: ~CH*~S
Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1
1.
Fałszywość kontrprzykładu D: ~CH~~>S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
C: ~CH=>~S=1
2.
Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
C: ~CH=>~S = A: CH~>S =1
Zauważmy, że warunek wystarczający => C wymusza nam warunek konieczny ~> A i odwrotnie.
Stąd mamy końcową tabelę T2.
| Kod: |
T2.
A: CH~> S =1 - Jeśli są chmury to może ~> padać śnieg
Chmury są konieczne ~> do tego by padał śnieg
LUB
B: CH~~>~S =1 - Jeśli są chmury to może ~~> nie padać śnieg
… a jeśli nie ma chmur?
Prawo Kubusia:
A: CH~>S = C:~CH=>~A
stąd:
C:~CH=>~S =1 - Jeśli nie ma chmur to na 100% => nie będzie padał śnieg
Brak chmur jest wystarczający => by nie padało
D:~CH~~> S =0 - Jeśli nie ma chmur to może ~~> padać śnieg (fałsz)
|
Analiza tożsama do tabeli T2 dokładniej rozpisana to seria czterech zdań ABCD z opisem matematycznym.
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>S:
Implikacja odwrotna CH|~>S to seria czterech zdań ABCD dających odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno (zdania A i B)?
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno (zdania C i D)?
1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie pochmurno?
A.
Jeśli będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać śnieg (S=1)
CH~>S =1
Istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> aby padał śnieg
lub
B.
Jeśli będzie pochmurno (CH=1) to może ~~> nie padać śnieg (~S=1)
CH~~>~S=CH*~S =1
Możliwe jest zdarzenie: są chmury i nie pada śnieg
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie pochmurno?
… a jeśli nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia wiążące warunek konieczny ~> z warunkiem wystarczającym => bez zamiany CH i S:
A: CH~>S = C: ~CH=>~S
C.
Jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padał śnieg (~S=1)
~CH=>~S =1
Brak chmur (~CH=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie padał śnieg (~S=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego C:~CH=>~S=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu D:~CH~~>S=1 (i odwrotnie)
stąd:
D.
Jeśli nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać śnieg (S=1)
~CH~~>S = ~CH*S =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: „nie ma chmur (~CH=1)” i „pada śnieg (S=1)”
Cechy charakterystyczne implikacji odwrotnej CH|~>S:
1.
Po stronie chmur mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem moneta” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli są chmury to może ~> padać śnieg (zdanie A) albo może ~~> nie padać śnieg (zdanie B) - trzeciej możliwości nie ma.
Mamy tu ewidentne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
2.
Po stronie braku chmur mamy do czynienia z gwarancją matematyczną =>
Zdanie C daje nam gwarancje matematyczną =>, że jeśli nie ma chmur to na 100% => nie będzie padał śnieg.
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
Definicja implikacji odwrotnej CH|~>S w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Implikacja odwrotna to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: CH=>S =0
B1: CH~>S =1
Stąd mamy definicje implikacji odwrotnej CH|~>S w równaniu logicznym:
CH|~>S = ~(A1: CH=>S)*(B1: CH~>S) = ~(0)*1 = 1*1 =1
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podstawmy nasz przykład do powyższej tabeli:
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: CH=>S = 2:~CH~>~S [=] 3: S~>CH = 4:~S=>~CH =0
##
B: 1: CH~>S = 2:~CH=>~S [=] 3: S=>CH = 4:~S~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Łatwo udowodnić, że seria zdań Bx jest prawdziwa, zaś seria zdań Ax jest fałszywa.
Dygresja:
Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
C: ~CH=>~S = A: CH~>S =1
W dyskusji na sfinii mój wymarzony tester algebry Kubusia, który za wszelką cenę szukał wewnętrznej sprzeczności AK „obalił” prawo Kubusia przywołując Egipt w lipcu, gdzie wedle niego śnieg nie ma prawa padać zatem w Egipcie fałszywe musi być poniższe zdanie:
A.
Jeśli są chmury to może ~> padać śnieg
CH~>S =0
Wedle testera tu musi być 0 (fałsz) bo przecież w Egipcie w lipcu śnieg nie ma prawa padać.
Oczywiście nie o to chodzi w poprawnej logice matematycznej!
W poprawnej logice matematycznej wystarczy jeśli w historycznych obserwacjach meteorologicznych zaobserwowano jedno pewne zdarzenie, że były chmury i padał śnieg i już w zdaniu A musimy postawić jeden (prawda). Miejsce gdzie takie zdarzenie na naszej planecie zaobserwowano nie ma znaczenia.
5.1.2 Dziedzina fizyczna w implikacji prostej p|=>q
Przykład:
Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania
A.
Jeśli pada śnieg to może ~~> być pochmurno
S~~>CH = S*CH =1
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „śniegiem” i „chmurką”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
Innymi słowy:
Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „chmurki” i „śniegu” korzystając z historii meteorologii na naszej planecie.
Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.
Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1
Rozwiązanie:
1.
W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „śniegu” i „chmurki”
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „śniegiem” i „chmurką”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: Planeta Ziemia
| Kod: |
T1.
A: S~~> CH = S* CH =1 - Jeśli pada śnieg to może ~~> być pochmurno
B: S~~>~CH = S*~CH =0 - Jeśli pada śnieg to może ~~> nie być pochmurno
Nigdy w historii nie zanotowano takiego przypadku
C:~S~~>~CH =~S*~CH =1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~~> nie być pochurno
D:~S~~> CH =~S* CH =1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~~> być pochmurno
|
Dziedzina matematyczna dla pojęć „śnieg” i „chmurka” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania:
DM=A: S*CH + B: S*~CH + C: ~S*~CH + D: ~S*CH = S*(CH+~CH) + ~S*(~CH+CH) = S+~S =1
cnd
Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to fragment „Zdjęcia układu” z wartościowaniem 1
Stąd mamy odpowiedź odnośnie dziedziny fizycznej dla pojęć „śnieg” i „chmurka”
DF=A: S*CH + C: ~S*~CH + D: ~S*CH
Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: S~~>~CH=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
A: S=>CH =1
2.
Prawo Kubusia wiążące warunek wystarczający => z warunkiem koniecznym ~>:
A: S=>CH = C: ~S~>~CH =1
Zauważmy, że warunek wystarczający => A wymusza nam warunek konieczny ~> C i odwrotnie.
Stąd mamy końcową tabelę T2.
| Kod: |
T2.
A: S=> CH = S* CH=1 - Jeśli pada śnieg to na 100% => jest pochmrno
Padanie śniegu wystarcza => by było pochmurno
B: S~~>~CH= S*~CH=0 - Jeśli pada śnieg to może ~~> nie być pochmurno
Kontrprzykład dla A musi być fałszem
.. a jeśli nie pada śnieg?
Prawo Kubusia:
A: S=>CH = C:~S~>~CH
C:~S~>~CH =~S*~CH=1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~> nie być pochmurno
Brak padania jest konieczny ~> by nie było pochmurno
lub
D:~S~~> CH=~S* CH=1 - Jeśli nie pada śnieg to może ~~> być pochmurno
Możliwe jest zdarzenie: nie pada śnieg i są chmury
|
Analiza tożsama do tabeli T2 dokładniej rozpisana to seria czterech zdań ABCD z opisem matematycznym.
Definicja implikacji prostej S|=>CH:
Implikacja prosta S|=>CH to seria czterech zdań ABCD dających odpowiedź na dwa pytania:
1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie padał śnieg (zdania A i B)?
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie padał śnieg (zdania C i D)?
1.
Co może się wydarzyć jeśli będzie padał śnieg?
A.
Jeśli będzie padał śnieg (S=1) to na 100% będzie pochmurno (CH=1)
S=>CH =1
Padanie śniegu jest warunkiem wystarczającym => do tego, by było pochmurno
Prawdziwość warunku wystarczającego A: S=>CH=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B: S~~>~CH=0 (i odwrotnie)
B.
Jeśli będzie padał śnieg (S=1) to może ~~> nie być pochmurno (~CH=1)
S~~>~CH =S*~CH =0
Nigdy w historii meteorologii nie zanotowano takiego przypadku
2.
Co może się wydarzyć jeśli nie będzie padał śnieg?
.. a jeśli śnieg nie będzie padał?
Prawo Kubusia:
A: S=>CH = C: ~S~>~CH
C.
Jeśli nie będzie padał śnieg (~S=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~S~>~CH =1
Brak opadu śniegu jest warunkiem koniecznym ~> aby nie było pochmurno bo jak będzie padał śnieg to na 100% => będzie pochmurno
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
C: ~S~>~CH = A: S=>CH
lub
D.
Jeśli nie będzie padał śnieg (~S=1) to może ~> być pochmurno (CH=1)
~S~~>CH = ~S*CH =1
Możliwe jest zdarzenie: nie pada śnieg i jest pochmurno
Cechy charakterystyczne implikacji prostej S|=>CH:
1.
Po stronie padającego śniegu mamy do czynienia z gwarancją matematyczną =>
Zdanie A daje nam gwarancje matematyczną =>, że jeśli pada śnieg to na 100% => jest pochmurno
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Gwarancja matematyczna => = Warunek wystarczający =>
2.
Po stronie nie padającego śniegu mamy do czynienia z najzwyklejszym „rzucaniem moneta” w sensie „na dwoje babka wróżyła”:
Jeśli nie pada śnieg może ~> nie być pochmurno (zdanie C) albo może ~~> być pochmurno (zdanie D) - trzeciej możliwości nie ma.
Mamy tu ewidentne „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”
Definicja implikacji prostej S|=>CH w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
Implikacja prosta S|=>CH to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: S=>CH =1
B1: S~>CH =0
Stąd mamy definicje implikacji prostej S|=>CH w równaniu logicznym:
S|=>CH = (A1: S=>CH)*~(B1: S~>CH) = 1*~(0) =1*1 =1
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Podstawmy nasz przykład do powyższej tabeli:
| Kod: |
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: S=>CH = 2:~S~>~CH [=] 3: CH~>S = 4:~CH=>~S =1
##
B: 1: S~>CH = 2:~S=>~CH [=] 3: CH=>S = 4:~CH~>~S =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Łatwo widać, że seria zdań Ax jest prawdziwa, zaś seria zdań Bx jest fałszywa.
5.1.3 Dziedzina fizyczna w równoważności p<=>q
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Przykład:
Dany jest najprostszy obwód elektryczny sterowania żarówką:
| Kod: |
S3 Schemat 3
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Zbadaj dziedzinę fizyczną dla poniższego zdania
A.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty to żarówka może ~~> się świecić
A~~>S = A*S =?
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „przycisk A” vs „żarówka S”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: schemat elektryczny S3
Innymi słowy:
Korzystając z definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy wszystkie możliwe relacje „przycisk A” vs „żarówka S” na podstawie schematu S3.
Definicja dziedziny matematycznej:
Dziedzina matematyczna dla zdarzeń (zbiorów) p i q to suma logiczna wszystkich możliwych zdarzeń (zbiorów) rozłącznych.
D= A: p*q + B: p*~q + C: ~p*~q + D: ~p*q
Uwaga:
W dziedzinie matematycznej nie wnikamy czy w świecie rzeczywistym zdarzenia rozłączne ABCD mają szansę ~~> być prawdziwymi lub dla zbiorów czy mają one element wspólny ~~>.
Definicja „zdjęcia układu”:
„Zdjęcie układu” to wartościowanie dziedziny matematycznej spójnikiem zdarzenia możliwego ~~> lub dla zbiorów elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to suma logiczna zdarzeń (zbiorów) ze „zdjęcia układu” z wartościowaniem 1
Rozwiązanie:
1.
W pierwszej kolejności zróbmy „zdjęcie” układu czyli zbadajmy prawdziwość/fałszywość wszystkich możliwych zdarzeń w obrębie „przycisk A” i „żarówka S”
Dziedzina: wszystkie możliwe zdarzenia między „przycisk A” vs „żarówka S”
Miejsce rozpatrywanych zdarzeń: schemat elektryczny S3
| Kod: |
T1.
A: A~~> S= A* S=1 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> się świecić
B: A~~>~S= A*~S=0 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić
C:~A~~>~S=~A*~S=1 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić
D:~A~~> S=~A* S=0 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka może ~~> świecić
|
Dziedzina matematyczna dla pojęć „przycisk A” i „żarówka S” to wszystkie możliwe zdarzenia z pominięciem wartościowania:
DM=A: A*S + B: A*~S + C:~A*~S+ D: ~A*S = A*(S+~S) + ~A*(~S+S) = A+~A =1
cnd
Definicja dziedziny fizycznej:
Dziedzina fizyczna to fragment „Zdjęcia układu” z wartościowaniem 1
Stąd:
Dziedzina fizyczna to:
DF=A: A*S + C:~A*~S
Analiza matematyczna fizycznych możliwości ~~> zapisanych w tabeli T1
1.
Fałszywość kontrprzykładu B: A~~>~S=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
A: A=>S =1
2.
Fałszywość kontrprzykładu D: ~A~~>S=0=0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego:
C: ~A=>~S =1
W punktach A i C spełnione są tez odpowiednie warunki konieczne ~> na mocy prawa Kubusia:
A: A=>S = C: ~A~>~S =1
C: ~A=>~S = A: A~>S =1
Jednak w logice matematycznej człowieka domyślne są warunku wystarczające =>, dlatego tylko te bierzemy tu pod uwagę, bo przecież chcemy opisywać język potoczny.
Stąd mamy końcową tabelę T2.
| Kod: |
T2.
A: A=> S =1 - Jeśli wciśnięty A to żarówka na 100% => świeci
Wciśniecie A jest wystarczające dla świecenia S
B: A~~>~S=0 - Jeśli wciśnięty A to żarówka może ~~> nie świecić
Kontrprzykład B dla zdania A musi być fałszem
C:~A=>~S =1 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka na 100% => nie świeci
Nie wciśniecie A jest wystarczające => dla nie świecenia S
D:~A~~>S =0 - Jeśli nie wciśnięty A to żarówka może ~~> świecić
Kontrprzykład D dla zdania C musi być fałszem
|
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w równoważności p<=>q
| Kod: |
Związek warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności p<=>q
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
I II III IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie te same inaczej błąd podstawienia
|
Dla udowodnienia iż mamy do czynienia z równoważnością potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Definicja operatora równoważności p|<=>q (dla I i II):
Operator równoważności p|<=>q to odpowiedź w spójnikach równoważności p<=>q na dwa pytania:
1
Kiedy zajdzie p?
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
I. p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
p=q
2.
Kiedy zajdzie ~p?
~p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
II. ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość zbiorów (pojęć):
~p=~q
Znaczenie tożsamości logicznej:
p<=>q = ~p<=>~q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości „=” logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
| Kod: |
Równoważność: | Równoważność:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) [=] ~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p*~q)
Tożsamość zdarzeń: | Tożsamość zdarzeń:
p=q # ~p=~q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej
| - komentarz
|
p # ~p
~(~p)=p
~(p)=~p
Prawo podwójnego przeczenia:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie zdarzenie ~p = prawdą jest że zajdzie zdarzenie p
~(~p)=p
Prawo negacji p:
Nie jest prawdą (~) że zajdzie p = prawdą jest że zajdzie ~p
~(p)=~p
Uwagi:
1.
Matematycznie zachodzi:
Operator równoważności p|<=>q ## Spójnik równoważności p<=>q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.
Spójnik równoważności <=> w formie skróconej nazywamy równoważnością <=>
3.
Zauważmy, że udowodnienie prawdziwości jednego zdania serii Ax i jednego zdania serii Bx jest potrzebne i wystarczające dla prawdziwości wszystkich możliwych spójników równoważności.
4.
Równoważność jest przemienna, zatem dokładnie to samo możemy zapisać dla kwarty III i IV.
5.
Zauważmy, że operatora równoważności p|<=>q nie da się wymówić w języku mówionym bowiem jest to układ równań spójnika równoważności <=> w logice dodatniej (bo q) p<=>q i w logice ujemnej (bo ~q) ~p<=>~q:
1.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
2.
~p<=>~q = (A1: ~p~>~q)*(B1: ~p=>~q)
| Kod: |
S3 Schemat 3
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Dowód iż schemat S3 jest fizyczną realizacją równoważności.
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)
Dowodzimy prawdziwości zdania A1.
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% => żarówka świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśniecie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
Dowodzimy prawdziwości zdania B1.
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to na 100% ~> żarówka świeci się (S=1)
A~>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka świeciła się, bo w układzie nie ma alternatywnego przycisku, który mógłby zaświecić żarówkę
cnd
Definicja podstawowa równoważności A<=>S:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: A~>S =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja podstawowa równoważności:
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
| Kod: |
A: 1: A=>S = 2:~A~>~S [=] 3: S~>A = 4:~S=>~A =1
##
B: 1: A~>S = 2:~A=>~S [=] 3: S=>A = 4:~S~>~A =1
I II III IV
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
|
Zauważmy, że cztery rodzaje równoważności (I, II, III ,IV) dla wszystkich możliwych obiektów widać tu jak na dłoni.
Operator równoważności A|<=>S to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:
1.
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
I.
Równoważność dla wciśniętego przycisku A (A=1):
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
A=S
Zdarzenie „wciśnięty klawisz A” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S
1.
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
II.
Równoważność dla nie wciśniętego przycisku A (~A=1):
Przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy żarówka nie świeci się (~S=1)
~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~A=~S
Zdarzenie „klawisz A nie wciśnięty” jest tożsame ze zdarzeniem „żarówka S nie świeci”
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S
Operator równoważności S|<=>A to odpowiedź na dwa pytania w spójnikach równoważności <=>:
1.
Kiedy żarówka świeci się (S=1)?
III.
Równoważność dla świecącej się żarówki (S=1):
Żarówka świeci się (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)
S<=>A = (A3: S~>A)*(B3: S=>A) =1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
S=A
Zdarzenie „żarówka S świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S
2.
Kiedy żarówka nie świeci się (~S=1)?
IV.
Równoważność dla nie świecącej się żarówki (~S=1):
Żarówka nie świeci się (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
~S<=>~A = (A4: ~S=>~A)*(B4: ~S~>~A) = 1*1 =1
Każda równoważność definiuje tożsamość matematyczną zdarzeń (zbiorów):
~S=~A
Zdarzenie „żarówka S nie świeci” jest tożsame ze zdarzeniem „przycisk A nie wciśnięty”
Definicja w spójnikach „i’(*) i „lub”(+):
A<=>S = A*S+~A*~S
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna układów:
I = II = III = IV
6.0 Prawda miękka i twarda, prawda absolutna
Definicja miękkiej prawdy w logice matematycznej:
Miękka prawda to prawda która może zajść ale nie musi.
Istnienie miękkiej prawdy pociąga za sobą istnienie miękkiego fałszu
Przykład:
A.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~> padać
CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla deszczu
LUB
B.
Jeśli jutro będzie pochmurno to może ~~> nie padać
CH~~>~P=CH*~P =1 - możliwy jest przypadek „są chmury” i „nie pada”
Chwilą czasową jest w powyższym przypadku cały jutrzejszy dzień.
Zauważmy, że:
W dniu dzisiejszym w czasie przyszłym obie jedynki są miękkimi jedynkami pociągającymi za sobą miękkie zera.
Dopóki jesteśmy dzisiaj i nie znamy przyszłości w przypadku zdań A i B możemy mówić o miękkich prawdach pociągających za sobą miękkie fałsze.
Czyli:
A: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie A: CH*P =1 to zdarzenie B będzie fałszem B: CH*~P=0
i odwrotnie:
B: Jeśli jutro zajdzie zdarzenie B: CH*~P=1 to zdarzenie A będzie fałszem A: CH*P =0
Definicja twardej prawdy:
Twarda prawda to prawda niezależna od funkcji czasu obowiązująca od minus do plus nieskończoności.
Przykład:
Kontynuujemy dalsze możliwe przypadki związane ze zdaniami A i B (miękkie jedynki)
.. a jeśli jutro nie będzie pochmurno?
Prawo Kubusia:
A: CH~>P = C: ~CH=>~P
stąd mamy:
C.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to na 100% => nie będzie padało
~CH=>~P =1 - twarda jedynka
To jest twarda prawda niezależna od funkcji czasu, to zdarzenie jest zawsze prawdziwe w naszym Wszechświecie od minus do plus nieskończoności.
Prawdziwy warunek wystarczający C:~CH=>~P =1 wymusza fałszywy kontrprzykład D
D.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno to może ~~> padać
~CH~~>P =~CH*P =0 - twarde zero
Zdarzenie wykluczone od minus do plus nieskończoności, nie ma najmniejszych szans aby zdarzenie D kiedykolwiek zaszło na planecie Ziemia w przedziale czasowym od minus do plus nieskończoności.
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Na mocy prawa Kobry powyższą analizę możemy rozpisać w zdarzeniach możliwych ~~>.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>q = p*q =1 - możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Stąd mamy tabelę zdarzeń możliwych które mogą zajść jutro:
| Kod: |
A: CH~~> P= CH* P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „pada”
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „są chmury” i „nie pada”
C:~CH~~>~P=~CH*~P=1 - możliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „nie pada”
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”
|
Zauważmy, że:
1.
Na planecie Ziemia zdarzenie D nie jest możliwe, nigdy nie zaszło i nigdy nie zajdzie.
2.
Zdarzenia ABC są wzajemnie rozłączne zarówno fizycznie jak i matematycznie.
Dowód matematycznej rozłączności zdarzeń ABC:
A*B = (CH*P)*(CH*~P) =[] =0
A*C = (CH*P)*(~CH*~P)=[] =0
B*C=(CH*~P)*(~CH*~P)=[] =0
3.
Z powyższego wynika, że jeśli jutro zajdzie którekolwiek ze zdarzeń możliwych ABC (prawda absolutna) to pozostałe dwa zdarzenia będą fałszem absolutnym … i w tym momencie logika matematyczna kończy swoją działalność, bo znamy rozstrzygnięcie i nie jesteśmy w stanie zmienić zaistniałego faktu na gruncie logiki matematycznej.
Przykładowo:
Załóżmy, że jest pojutrze i zaszło znane nam zdarzenie w Warszawie:
CH*~P =1 - wczoraj było pochmurno i nie padało
W tym przypadku wyłącznie linia B będzie prawdą absolutną, pozostałe linie będą fałszem absolutnym.
Dowód:
Z założenia wiemy że:
CH~~>~P = CH*~P =1 - wczoraj w Warszawie było pochmurno i nie padało
Na mocy tego założenia nasza tabela prawdy dla znanej i zdeterminowanej przeszłości wygląda tak:
| Kod: |
A: CH~~> P= CH* P=0 - wczoraj były chmury i padało
B: CH~~>~P= CH*~P=1 - wczoraj były chmury i nie padało
C:~CH~~>~P=~CH*~P=0 - wczoraj nie było chmur i nie padało
D:~CH~~> P=~CH* P=0 - niemożliwe jest zdarzenie „nie ma chmur” i „pada”
|
Zdarzenie B miało miejsce w Warszawie.
Zauważmy, że nie wszyscy muszą wiedzieć jaka pogoda w dniu wczorajszym w Warszawie, bo w Szczecinie mogła być inna.
Tylko i wyłącznie dla mieszkańców Szczecina, którzy nie znają prawdy absolutnej o pogodzie w Warszawie logika matematyczna działa dalej i sensowna.
Innymi słowy, jeśli nie znamy rozstrzygnięcia to logika wznawia swoją działalność identyczną serią zdań jak wyżej, tylko zapisaną w czasie przeszłym.
Definicja prawdy absolutnej:
Prawda absolutna to znany „fakt” który nie ma szans przejścia w fałsz.
Przykład:
Nasze zdarzenie w Warszawie:
B: CH~~>~P =CH*~P =1 - znamy zaistniały „fakt”, w Warszawie było pochmurno i nie padało
Czasu nie da się cofnąć, zatem tego „faktu” nie da się zmienić.
Definicja fałszu absolutnego:
Fałsz absolutny to znany „fakt” który nie ma szans stać się prawdą
W momencie zaistnienia powyższej prawdy absolutnej na terenie Warszawy wszystkie pozostałe, możliwe zdarzenia tj. A i C stają się fałszami absolutnymi. Znanych faktów nie jesteśmy w stanie zmienić bo czasu nie da się cofnąć.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 15:42, 21 Cze 2022, w całości zmieniany 19 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
