rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35563
Przeczytał: 16 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 22:14, 10 Maj 2020 Temat postu: AK2 Elementarz algebry Kubusia (2020-05-10) |
|
|
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
2020-05-10
Część II
Elementarz algebry Kubusia
Jak czytać algebrę Kubusia?
Każda z siedmiu części zakłada prawie zerowy stan wiedzy początkowej.
Można wystartować z czytaniem od dowolnej części znając minimalnie algebrę Boole’a.
Szczególnie polecam część IV i V
Części:
AK1 Algebra Boole’a
AK2 Elementarz algebry Kubusia
AK3 Kubusiowa teoria zbiorów
AK4 Teoria zbiorów
AK5 Teoria zdarzeń
AK6 Obietnice i groźby
AK7 Teoria transformacji
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2020
Algebra Kubusia w pdf
AK1 Algebra Boole’a.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK2 Elementarz algebry Kubusia.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK3 Wstęp do Kubusiowej Teorii zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK4 Kubusiowa teoria zbiorów.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK5 Kubusiowa teoria zdarzeń.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK6 Obietnice i groźby.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK7 Prawo transformacji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
AK8 Algebra Kubusia w dyskusji.pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
Spis treści
1.0 Elementarz algebry Kubusia 3
1.1 Relacje między zbiorami 3
1.1.1 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> dla zbiorów tożsamych 5
1.2 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 5
1.3 Definicja tożsamości matematycznej 6
1.4 Matematyczne związki podzbioru => i nadzbioru ~> 6
2.0 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach 7
2.1 Elementarz równoważności p<=>q w zbiorach 8
2.2 Równoważność Pitagorasa w zbiorach 9
3.0 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach 11
3.1 Elementarz implikacji prostej p|=>q w zbiorach 11
3.2 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach nieskończonych 12
4.0 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 13
4.1 Elementarz implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach 14
4.2 Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zbiorach nieskończonych 15
5.0 Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach 15
5.1 Elementarz operatora chaosu p|~~>q w zbiorach 16
5.2 Operator chaosu P8|~~>P3 w zbiorach nieskończonych 17
Wstęp:
Elementarz algebry Kubusia jest dowodem, iż można rozmawiać o logice matematycznej bez pojąć „warunek wystarczający” => czy też „warunek konieczny ~>” bowiem w algebrze Kubusia zachodzi tożsamość.
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
W przypadku zbiorów na mocy brzytwy Ockhama wycinamy prawe strony powyższych tożsamości i mamy algebrę Kubusia w 100% zgodną z aktualną logiką matematyczną ziemian.
Dlaczego skorzystałem tu z brzytwy Ockhama?
W teorii zbiorów, kluczowe definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w algebrze Kubusia i aktualnej logice matematycznej ziemian są sprzeczne.
Oczywistym jest, że chcę maksymalnie opóźnić wojnę na definicje która jest nieunikniona, dlatego w „Elementarzu algebry Kubusia” ograniczyłem się do definicji podzbioru => i nadzbioru ~> bo te definicje mamy wspólne.
1.0 Elementarz algebry Kubusia
Jedynym punktem wspólnym algebry Kubusia z logiką matematyczną ziemian są definicje podzbioru i nadzbioru. Pozostałe definicje w logice matematycznej mamy sprzeczne.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzą tożsamości matematyczne:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Pojęcia warunek wystarczający i konieczny są w logice matematycznej ziemian fundamentalnie inne i na tym polu nie ma szans na dogadanie się.
Wynika z tego, że celowym jest skorzystanie tu z brzytwy Ockhama i zaprezentowanie algebry Kubusia tylko i wyłącznie przy pomocy naszych wspólnych definicji podzbioru i nadzbioru. Wszystko się znakomicie uprości i przede wszystkim póki co, nie dojdzie do wojny na definicje z matematykami.
1.1 Relacje między zbiorami
1.
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Zbiór p ma element wspólny ~~> ze zbiorem q wtedy i tylko wtedy gdy iloczyn logiczny tych zbiorów nie jest zbiorem pustym
p~~>q = p*q =1 - gdy relacja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona
Inaczej:
p~~>q = p*q =0 - gdy relacja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona, zbiory rozłączne
W iloczynie logicznym zbiorów p*q nie chodzi o wyznaczenie pełnego zbioru wynikowego, lecz tylko i wyłącznie o znalezienie jednego elementu wspólnego, o czym informuje symbol elementu wspólnego ~~>, dlatego dopuszczalny jest tu zapis skrócony p~~>q.
Zauważmy, że jeśli zbiory p i q są rozłączne to zmuszeni jesteśmy do wyznaczenia pełnego iloczynu logicznego zbiorów co jest problemem przy zbiorach nieskończonych - tu po prostu elementu wspólnego zbiorów ~~> nie znajdziemy.
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> = spełniona relacja elementu wspólnego ~~> zbiorów.
Dowód iż definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> funkcjonuje niejawnie w teorii zbiorów ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
| mathedu napisał: |
Zbiory rozłączne
Zbiory, których iloczyn jest zbiorem pustym, nazywamy rozłącznymi:
p*q =[] |
Oczywisty wniosek:
Jeśli iloczyn logiczny zbiorów p*q nie jest zbiorem pustym to zbiory mają element wspólny ~~>.
1.
Definicja podzbioru =>:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona, zbiór p jest podzbiorem => zbioru q.
inaczej:
p=>q =0 - gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona, zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja podzbioru => = spełniona relacja podzbioru =>
Definicja podzbioru => w rachunku zero-jedynkowym:
p=>q = ~p+q
Dowód iż definicja podzbioru z algebry Kubusia jest identyczna jak w teorii zbiorów ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
| sjp napisał: |
podzbiór - część danego zbioru |
3.
Definicja nadzbioru ~>
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona, zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona, zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zachodzi matematyczna tożsamość pojęć:
Definicja nadzbioru ~> = spełniona relacja nadzbioru ~>
Definicja nadzbioru ~> w rachunku zero-jedynkowym:
p~>q = p+~q
Dowód iż definicja nadzbioru z algebry Kubusia jest identyczna jak w teorii zbiorów ziemian:
[link widoczny dla zalogowanych]
| sjp napisał: |
nadzbiór - w matematyce, dla danego zbioru: każdy zbiór zawierający wszystkie jego elementy |
1.1.1 Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> dla zbiorów tożsamych
Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> dla zbiorów tożsamych:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
1.2 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla relacji podzbioru p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość relacji podzbioru p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość relacji podzbioru p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
Intuicyjnie jest oczywistym, że jeśli zbiór p jest podzbiorem => zbioru q:
A1: p=>q =1
To kontrprzykład ~~> A1’ będzie fałszem:
A1’: p~~>~q = p*~q =[] =0 - bo zbiory p i ~q na 100% są rozłączne.
Równie intuicyjne jest, że jeśli relacja podzbioru nie jest spełniona:
A1: p=>q =0
To kontrprzykład A1’ dla fałszywej relacji podzbioru A1 będzie prawdą
A1: p~~>~q=1
Z tego faktu ziemscy matematycy korzystają garściami intuicyjnie nie znając poprawnej matematycznie definicji kontrprzykładu.
Dowód:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to na 100% jest podzielna przez 8
P2=>P8 =0 bo kontrprzykład: 2
To co wyżej wie każdy matematyk.
Żaden z ziemskich matematyków nie zna poprawnej definicji kontrprzykładu, czyli że chodzi to o znalezienie jednego elementu wspólnego zbiorów P2 i ~P8:
P2~~>~P8=P2*~P8 =1
Tych zbiorów:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
Dziedzina minimalna:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Stąd mamy:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
1.3 Definicja tożsamości matematycznej
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q i odwrotnie.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Dwa zbiory (pojęcia) są różne ma mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są matematycznie tożsame.
Matematycznie zachodzi:
(A1: p=>q = ~p+q) <=> (B1: p~>q=p+~q) =0 - równoważność fałszywa
Dlatego mamy tu znaczek różne na mocy definicji ##:
(A1: p=>q = ~p+q) ## (B1: p~>q = p+~q)
1.4 Matematyczne związki podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy:
| Kod: |
Matematyczne związki relacji podzbioru => i nadzbioru ~>:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji dla relacji podzbioru =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
##
B4: q=>p = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
4.
Prawa kontrapozycji dla relacji nadzbioru ~>:
A3: q~>p = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.0 Definicja równoważności p<=>q w zbiorach
W kolejnych rozdziałach zajmiemy się badaniem poprawności Kubusiowej teorii zbiorów na gruncie praw logiki matematycznej wynikających z rachunku zero-jedynkowego.
W elementarzu posługiwać się będziemy zbiorami minimalnymi gdzie wszelkie relacje między badanymi zbiorami widać doskonale i nic nie musimy udowadniać matematycznie. W logice matematycznej będzie to odpowiednik liczenia na paluszkach do 10 znanego z I klasy szkoły podstawowej.
Podamy też przykłady przełożenia 1:1 elementarza na twierdzenia czysto matematyczne operujące na zbiorach nieskończonych
Zaczynamy od definicji równoważności.
Właściwości podzbioru => i nadzbioru ~> dla zbiorów tożsamych:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> zbioru q, co oznacza, że zbiory p i q są ze sobą w relacji tożsamości matematycznej.
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa równoważności p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie zarówno relacji podzbioru => jak i nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - relacja podzbioru => spełniona (=1)
B1: p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> spełniona (=1)
Spełniona definicja równoważności oznacza, że zbiory p i q są ze sobą w relacji tożsamości matematycznej.
Definicja tożsamości matematycznej:
Dwa zbiory (pojęcia) p i q są matematycznie tożsame p=q wtedy i tylko wtedy są w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q =1
Inaczej:
p=q =0 - pojęcia są różne na mocy definicji ##
Stąd mamy definicję równoważności w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) =1*1 =1
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja równoważności p<=>q zdefiniowana wszystkimi możliwymi relacjami podzbiorów => i nadzbiorów ~> wynikającymi z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Równoważność p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić iż mamy do czynienia z równoważnością p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnej relacji Ax i prawdziwość dowolnej relacji Bx.
Sprawdźmy poznaną wyżej teorię podzbioru => i nadzbioru ~> na zbiorach minimalnych.
2.1 Elementarz równoważności p<=>q w zbiorach
Na mocy definicji równoważności zbiory p i q muszą być tożsame.
Przykład:
Zdefiniujmy zbiory minimalne spełniające relację równoważności p<=>q:
p=[1]
q=[1]
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów:
p+q = [1]+[1] =[1]
Przyjmujemy dziedzinę:
D=[1,2]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [1,2]-[1] =[2]
~q=[D-p]=[1,2]-[1] =[2]
Podstawmy obliczone zbiory do związków podzbioru => i nadzbioru ~> dla równoważności <=>:
| Kod: |
T1
Równoważność p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
A: 1: [1]=>[1] = 2:[2]~>[2] [=] 3: [1]~>[1] = 4:[2]=>[2] =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
B: 1: [1]~>[1] = 2:[2]=>[2] [=] 3: [1]=>[1] = 4:[2]~>[2] =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że wszystkie relacje zachodzą bo:
Każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
Każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
Wynika to bezpośrednio z definicji podzbioru => i nadzbioru ~>
2.2 Równoważność Pitagorasa w zbiorach
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1 =1
Twierdzenie proste Pitagorasa TP=>SK=1 i twierdzenie odwrotne Pitagorasa SK=>TP=1 zostały udowodnione wieki temu zatem równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych jest prawdziwa.
Podstawmy tą równoważność do tabeli T1 z elementarza równoważności.
| Kod: |
T2
Równoważność p<=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
A: 1: [1]=>[1] = 2:[2]~>[2] [=] 3: [1]~>[1] = 4:[2]=>[2] =1
A: 1: TP=>SK = 2:~TP~>~SK [=] 3: SK~>TP = 4:~SK=>~TP =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
B: 1: [1]~>[1] = 2:[2]=>[2] [=] 3: [1]=>[1] = 4:[2]~>[2] =1
B: 1: TP~>SK = 2:~TP=>~SK [=] 3: SK=>TP = 4:~SK~>~TP =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych wymusza tożsamość zbiorów TP=SK (i odwrotnie)
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Prawo rachunku zero-jedynkowego:
p<=>q = ~p<=>~q
Stąd mamy:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych TP<=>SK wymusza równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych ~TP<=>~SK (i odwrotnie)
TP<=>SK = ~TP<=>~SK
Znaczenie tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów nieprostokątnych:
Trójkąt nie jest prostokątny wtedy i tylko wtedy gdy nie zachodzi w nim suma kwadratów
~TP<=>~S = (B2: ~TP=>~SK)*(A4: ~SK=>~TP) =1*1 =1
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych wymusza tożsamość zbiorów ~TP=~SK (i odwrotnie):
~TP=~SK = (B2: ~TP=>~SK)*(A4: ~SK=>~TP) = ~TP<=>~SK
Podsumujmy równoważność Pitagorasa w tabeli prawdy:
| Kod: |
Równoważność dla TP [=] Równoważność dla ~TP
TP<=>SK [=] ~p<=>~q
ALE!
--------------------- ---------------------
|Zbiór: TP=SK | # | Zbiór: ~TP=~SK |
--------------------- ---------------------
|
Definicja znaczka #:
Zbiór po jednej stronie znaczka # jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny dla drugiej strony.
Dla równoważności Pitagorasa przyjmujemy dziedzinę minimalną:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Stąd:
TP+~TP =ZWT =1 - zbiór ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru TP
TP*~TP =[] =0 - zbiory TP i ~TP są rozłączne
Prawo podwójnego przeczenia w równoważności w zbiorach:
~(~TP)=TP - zaprzeczeniem zbioru ~TP w dziedzinie ZWT jest zbiór TP
To samo w języku potocznym:
Nie jest prawdą (~) że ten trójkąt nie jest prostokątny (~TP) = prawdą jest, że ten trójkąt jest prostokątny (TP)
~(~TP)=TP
Prawo tożsamości:
~(TP) = ~TP - zaprzeczeniem zbioru TP jest zbiór ~TP
Zaprzeczeniem (~) zbioru trójkątów prostokątnych TP jest zbiór trójkątów nieprostokątnych ~TP
To samo w języku potocznym:
Nie jest prawdą (~), że ten trójkąt jest prostokątny = prawdą jest, ten trójkąt jest nieprostokątny
~(TP) = ~TP
3.0 Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie relacji podzbioru => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - relacja podzbioru => spełniona (=1)
B1: p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd mamy definicję implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja implikacji prostej p|=>q zdefiniowana wszystkimi możliwymi relacjami podzbiorów => i nadzbiorów ~> wynikającymi z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Implikacja prosta p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić iż mamy do czynienia z implikacją prostą p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnej relacji Ax i fałszywość dowolnej relacji Bx.
Sprawdźmy poznaną wyżej teorię podzbioru => i nadzbioru ~> na zbiorach minimalnych.
3.1 Elementarz implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Przykład:
Zdefiniujmy zbiory minimalne spełniające definicję implikacji prostej p|=>q:
p=[1]
q=[1,2]
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów:
p+q = [1]+[1,2] =[1,2]
Przyjmujemy dziedzinę:
D=[1,2,3]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [1,2,3]-[1] =[2,3]
~q=[D-p]=[1,2,3]-[1,2] =[3]
Podsumowując mamy:
p=[1]
q=[1,2]
~p=[2,3]
~q=[3]
Podstawmy obliczone zbiory do związków podzbioru => i nadzbioru ~> dla implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
Implikacja prosta p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
A: 1: [1]=>[2,3] = 2:[2,3]~>[3] [=] 3: [2,3]~>[1] = 4:[3]=>[2,3] =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
B: 1: [1]~>[2,3] = 2:[2,3]=>[3] [=] 3: [2,3]=>[1] = 4:[3]~>[2,3] =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać spełnienie wszystkich czterech relacji w linii Ax.
W linii Bx wszystkie cztery relacje są fałszem.
Wniosek:
W naszym świecie rzeczywistym Kubusiowa teoria zbiorów działa doskonale.
3.2 Implikacja prosta P8|=>P2 w zbiorach nieskończonych
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Wypowiedzmy twierdzenie matematyczne:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8…] i nie jest tożsamy z P2, zatem na mocy definicji mamy tu do czynienia z operatorem implikacji prostej P8|=>P2:
P8|=>P2 = (A1:P8=>P2)*~(B1: P8~>P2) = 1*~(0) =1*1 =1
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
i wyznaczmy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów:
P8=[8,16,24..]
P2=[2,4,6,8..]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
Podstawmy nasze zbiory nieskończone do elementarza implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
Implikacja prosta p|=>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1
A: 1: [1]=>[2,3] = 2:[2,3]~>[3] [=] 3: [2,3]~>[1] = 4:[3]=>[2,3] =1
A: 1: P8=>P2 = 2:~P8~>~P2 [=] 3: P2~>P8 = 4:~P2=>~P8 =1
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
B: 1: [1]~>[2,3] = 2:[2,3]=>[3] [=] 3: [2,3]=>[1] = 4:[3]~>[2,3] =0
B: 1: P8~>P2 = 2:~P8=>~P2 [=] 3: P2=>P8 = 4:~P2~>~P8 =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać spełnienie wszystkich relacji w linii Ax.
W linii Bx wszystkie cztery relacje są fałszem.
Wniosek:
W naszym świecie rzeczywistym Kubusiowa teoria zbiorów działa doskonale.
W przypadku zbiorów nieskończonych P8 i P2 możemy być pewni identycznych relacji jak w zbiorze elementarzowym, jak ktoś jest masochistą to może sobie wszystkie relacje w zbiorach nieskończonych udowodnić.
4.0 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie relacji nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =1 - relacja nadzbioru ~> spełniona (=1)
Stąd mamy definicję implikacji odwrotnej p|~>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* (B1: p~>q) = ~(0)*1 = 1*1 =1
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q zdefiniowana wszystkimi możliwymi relacjami podzbiorów => i nadzbiorów ~> wynikającymi z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Implikacja odwrotna p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić iż mamy do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnej relacji Ax i prawdziwość dowolnej relacji Bx.
Sprawdźmy poznaną wyżej teorię podzbioru => i nadzbioru ~> na zbiorach minimalnych.
4.1 Elementarz implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Przykład:
Zdefiniujmy zbiory minimalne spełniające definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
p=[1,2]
q=[1]
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów:
p+q = [1,2]+[1] =[1,2]
Przyjmujemy dziedzinę:
D=[1,2,3]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [1,2,3]-[1,2] =[3]
~q=[D-p]=[1,2,3]-[1] =[2,3]
Podstawmy obliczone zbiory do związków podzbioru => i nadzbioru ~> dla implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
Implikacja odwrotna p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
A: 1: [1,2]=>[1] = 2:[3]~>[2,3] [=] 3: [1]~>[1,2] = 4:[2,3]=>[3] =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
B: 1: [1,2]~>[1] = 2:[3]=>[2,3] [=] 3: [1]=>[1,2] = 4:[2,3]~>[3] =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać spełnienie wszystkich czterech relacji w linii Bx.
W linii Ax wszystkie cztery relacje są fałszem.
Wniosek:
W naszym świecie rzeczywistym Kubusiowa teoria zbiorów działa doskonale.
4.2 Implikacja odwrotna P2|~>P8 w zbiorach nieskończonych
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zbiorach:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Wypowiedzmy zdanie:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Zbiór P2=[2,4,6,8…] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..] i nie jest tożsamy z P8, zatem na mocy definicji mamy tu do czynienia z operatorem implikacji odwrotnej P2|~>P8
P2|~>P8 = ~(A1: P2=>P8)*(B1: P2~>P8) = ~(0)*1 =1*1 =1
Prawo Tygryska:
B1: P2~>P8 = B3: P8=>P2
Z prawa tygryska wynika, że zamiast udowadniać prawdziwość relacji nadzbioru B1: P2~>P8 możemy udowodnić prawdziwość relacji podzbioru B3: P8=>P2, co jest łatwiejsze w dowodzeniu.
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
i wyznaczmy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów:
P2=[2,4,6,8..]
P8=[8,16,24..]
~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..]
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Podstawmy nasze zbiory nieskończone do elementarza implikacji odwrotnej P2|~>P8:
| Kod: |
Implikacja odwrotna p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
A: 1: [1,2]=>[1] = 2:[3]~>[2,3] [=] 3: [1]~>[1,2] = 4:[2,3]=>[3] =0
A: 1: P2=>P8 = 2:~P2~>~P8 [=] 3: P8~>P2 = 4:~P8=>~P2 =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1
B: 1: [1,2]~>[1] = 2:[3]=>[2,3] [=] 3: [1]=>[1,2] = 4:[2,3]~>[3] =1
B: 1: P2~>P8 = 2:~P2=>~P8 [=] 3: P8=>P2 = 4:~P8~>~P2 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać spełnienie wszystkich czterech relacji w linii Bx.
W linii Ax wszystkie cztery relacje są fałszem.
Wniosek:
W naszym świecie rzeczywistym Kubusiowa teoria zbiorów działa doskonale.
W przypadku zbiorów nieskończonych P2 i P8 możemy być pewni identycznych relacji jak w zbiorze elementarzowym, jak ktoś jest masochistą to może sobie wszystkie relacje w zbiorach nieskończonych udowodnić.
5.0 Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q, jak również nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Zastrzeżenie:
Dziedzina musi tu być szersza od sumy logicznej zbiorów p+q
To zastrzeżenie jest konieczne dla istnienia zbiorów niepustych ~p i ~q.
W algebrze Kubusia wszelkie argumenty muszą być zbiorami (pojęciami) niepustymi, musimy po prostu rozumieć co mówimy.
Innymi słowy:
By rozumieć co znaczy pojęcie „pies” musimy rozumieć pojęcie „nie pies”
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani relacji podzbioru =>, ani też relacji nadzbioru ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - relacja podzbioru => nie jest spełniona (=0)
B1: p~>q =0 - relacja nadzbioru ~> nie jest spełniona (=0)
Stąd mamy definicję operatora chaosu p|~~>q w równaniu logicznym:
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)* ~(B1: p~>q) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Definicja podzbioru => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Definicja nadzbioru ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
stąd:
Definicja operatora chaosu p|~>q zdefiniowana wszystkimi możliwymi relacjami podzbiorów => i nadzbiorów ~> wynikającymi z rachunku zero-jedynkowego:
| Kod: |
Operator chaosu p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Aby udowodnić iż mamy do czynienia z operatorem chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnej relacji Ax i fałszywość dowolnej relacji Bx.
Sprawdźmy poznaną wyżej teorię podzbioru => i nadzbioru ~> na zbiorach minimalnych.
5.1 Elementarz operatora chaosu p|~~>q w zbiorach
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q, jak również nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Przykład:
Zdefiniujmy zbiory minimalne spełniające definicję operatora chaosu:
p=[1,2]
q=[1,3]
Sprawdźmy czy powyższe zbiory spełniają definicję operatora chaosu p|~~>q:
A1: p=>q = [1,2]=>[1,3] =0 - zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q = [1,2]~>[1,3] =0 - zbiór p nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Wniosek:
Zbiory p i q spełniają definicję operatora chaosu p|~~>q
Dziedzina musi być szersza od sumy logicznej zbiorów:
p+q = [1,2]+[1,3] =[1,2,3]
Przyjmujemy dziedzinę:
D=[1,2,3,4]
Obliczamy przeczenia zbiorów p i q rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny D
~p=[D-p] = [1,2,3,4]-[1,2] =[3,4]
~q=[D-p]=[1,2,3,4]-[1,3] =[2,4]
Podstawmy obliczone zbiory do związków podzbioru => i nadzbioru ~> dla operatora chaosu p|~~>q:
| Kod: |
Operator chaosu p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
A: 1: [1,2]=>[1,3] = 2:[3,4]~>[2,4] [=] 3: [1,3]~>[1,2] = 4:[2,4]=>[3,4] =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
B: 1: [1,2]~>[1,3] = 2:[3,4]=>[2,4] [=] 3: [1,3]=>[1,2] = 4:[2,4]~>[3,4] =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że wszystkie cztery relacje Ax są fałszem
W linii Bx również wszystkie cztery relacje są fałszem.
Wniosek:
W naszym świecie rzeczywistym Kubusiowa teoria zbiorów działa doskonale.
5.2 Operator chaosu P8|~~>P3 w zbiorach nieskończonych
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zbiorach:
Zbiór p nie jest podzbiorem => zbioru q, jak również nie jest nadzbiorem ~> zbioru q
Wypowiedzmy zdanie:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3=P8*P3 =1 bo 24
Definicja elementu wspólnego zbiorów spełniona.
Badamy relację podzbioru P8=>P3
A1: P8=>P3 =0
Zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => P3=[3,6,9..]
Badamy relację nadzbioru P8~>P3:
B1: P8~>P3 =0
Zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9..]
Stąd mamy pewność iż mamy do czynienia z operatorem chaosu P8|=>P3:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0)=1*1=1
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
i wyznaczmy wszystkie możliwe przeczenia zbiorów:
P8=[8,16,24..]
P3=[3,6,9..]
~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
~P3=[1,2..4,5..7,8..]
| Kod: |
Operator chaosu p|~>q w relacjach podzbioru => i nadzbioru ~>
p|~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0) =1*1 =1
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0
A: 1: [1,2]=>[1,3] = 2:[3,4]~>[2,4] [=] 3: [1,3]~>[1,2] = 4:[2,4]=>[3,4] =0
A: 1: P8=>P3 = 2:~P8~>~P3 [=] 3: P3~>P8 = 4:~P3=>~P8 =0
##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0
B: 1: [1,2]~>[1,3] = 2:[3,4]=>[2,4] [=] 3: [1,3]=>[1,2] = 4:[2,4]~>[3,4] =0
B: 1: P8~>P3 = 2:~P8=>~P3 [=] 3: P3=>P8 = 4:~P3~>~P8 =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Doskonale widać, że wszystkie cztery relacje Ax są fałszem
W linii Bx również wszystkie cztery relacje są fałszem.
Wniosek:
W naszym świecie rzeczywistym Kubusiowa teoria zbiorów działa doskonale.
W przypadku zbiorów nieskończonych P8 i P3 możemy być pewni identycznych relacji jak w zbiorze elementarzowym, jak ktoś jest masochistą to może sobie wszystkie relacje w zbiorach nieskończonych udowodnić.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 15:43, 21 Cze 2022, w całości zmieniany 15 razy
|
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
