 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35364
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Nie 21:48, 24 Lis 2019 Temat postu: AK'2020 Przed premierą |
|
|
Publikuję uproszczoną wersję algebry Kubusia z myślą o uczniach I klasy LO - wersja robocza.
Premiera wkrótce.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 21:57, 24 Lis 2019, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35364
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 21:49, 24 Lis 2019 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - rachunek zero-jedynkowy
Część I
Rachunek zero-jedynkowy
Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
W skład algebry Kubusia wchodzi pięć części:
Część I
Algebra Kubusia - Rachunek zero-jedynkowy
Część II
Algebra Kubusia - Teoria zdarzeń
Część III
Algebra Kubusia - Teoria zbiorów
Część IV
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego człowieka
Część V
Algebra Kubusia w pigułce
Podręczniki I-V napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość pozostałych, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to I, II, III, IV, V
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - medium
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej, której nie ma na studiach technicznych (elektronika na PW-wa).
Prawa Kubusia to efekt dyskusji w Wujem Zbójem:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Wuj jako pierwszy ziemianin potwierdził matematyczną poprawność tych praw
3.
Fiklit - który poświęcił 7 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - kluczowy tester wypracowanej w dyskusji z Fiklitem końcowej wersji algebry Kubusia
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2019
Spis treści
1.0 Algebra Boole’a 2
1.1 Prawa Prosiaczka 3
1.2 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a 4
1.3 Algorytm Wuja Zbója 5
1.3.1 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej 8
1.4 Definicja operatora AND(|*) 9
1.4.1 Właściwości operatora AND(|*) 12
1.5 Definicja operatora OR(|+) 13
1.5.1 Właściwości operatora OR(|+) 17
1.0 Algebra Boole’a
Algebra Kubusia zawiera w sobie algebrę Boole’a mówiącą wyłącznie o spójnikach „i”(*) i „lub”(+).
Innymi słowy:
Algebra Boole’a w ogóle nie zajmuje się kluczową i najważniejszą częścią logiki matematycznej, czyli obsługą zdań warunkowych „Jeśli p to q”.
Definicja algebry Boole’a:
Algebra Boole’a to algebra dwuelementowa akceptująca zaledwie pięć znaczków:
0, 1, (~), (*), (+)
Algebra Boole’a to dwa wyróżnione elementy (zwykle [1,0]) o znaczeniu:
1 = prawda
0 = fałsz
oraz trzy spójniki logiczne zgodne z językiem potocznym:
(~) - negacja, słówko „NIE” w języku potocznym
„i”(*) - spójnik „i”(*) w języku potocznym
„lub”(+) - spójnik „lub”(+) w języku potocznym
Znaczenie tych spójników w języku potocznym poznamy za chwilę na przykładach z fizyki, analizując prosty obwód elektryczny z żarówką i przyciskami sterującymi ową żarówkę.
Definicja zmiennej binarnej:
Zmienna binarna to zmienna mogąca w osi czasu przyjmować wyłącznie dwie wartości logiczne 1 albo 0.
Zwyczajowymi zmiennymi w algebrze Boole’a są symbole:
p, q, r, Y
Prawo podwójnego przeczenia:
p=~(~p)
Przykład:
Jestem uczciwy = nie jestem nieuczciwy
U = ~(~U)
Definicja logiki dodatniej i ujemnej
Dowolna zmienna binarna zapisana jest w logice dodatniej (bo p) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest zaprzeczona.
p = pies
Dowolna zmienna binarna zapisana jest w logice ujemnej (bo ~p) wtedy i tylko wtedy gdy jest zaprzeczona.
~p=nie pies
1.1 Prawa Prosiaczka
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Dowód na przykładzie:
Rozważmy sterowanie żarówką (diodą LED) jednym przyciskiem A
| Kod: |
Schemat 1
Przykład ilustracji praw Prosiaczka w fizyce:
S A
------------- ______
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Przyjmijmy znaczenie symboli:
S - żarówka świeci
~S - żarówka nie świeci
Równie dobrze można by przyjąć odwrotnie, ale nie byłoby to zgodne z naturalną logiką człowieka, gdzie symbol przeczenia (~) oznacza w języku potocznym słówko „NIE”.
Dowód I prawa Prosiaczka na przykładzie:
S - żarówka świeci
Co matematycznie oznacza:
S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka świeci (S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(S=1)=(~S=0)
Czytamy:
~S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka nie świeci (~S)
Prawdziwość I prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(S=1) = (~S=0)
Dowód II prawa Prosiaczka na przykładzie:
~S - żarówka nie świeci
Co matematycznie oznacza:
~S=1 - prawdą jest (=1) że żarówka nie świeci (~S)
Zdanie matematycznie tożsame na mocy prawa Prosiaczka:
(~S=1)=(S=0)
Czytamy:
S=0 - fałszem jest (=0) że żarówka świeci (S)
Prawdziwość II prawa Prosiaczka widać tu jak na dłoni:
(~S=1) = (S=0)
1.2 Minimalna aksjomatyka algebry Boole’a
Definicja minimalnej aksjomatyki algebry Boole’a:
Aksjomatyka minimalna algebry Boole’a to minimalny zestaw praw algebry Boole’a koniecznych i wystarczających do poruszania się po równaniach algebry Boole’a.
Chodzi tu głównie o minimalizację równań algebry Boole’a.
Wynika z tego, że tabele zero-jedynkowe w takiej aksjomatyce nas kompletnie nie interesują.
Jak zobaczymy za chwilę, minimalna aksjomatyka algebry Boole’a to zaledwie osiem punktów które trzeba znać na pamięć.
Znaczenie 1 i 0 w algebrze Boole’a:
1 = prawda
0 = fałsz
Znaczenie spójników „i”(*) i „lub”(+):
(*) - spójnik „i”(*) z języka potocznego człowieka
(+) - spójnik „lub”(+) z języka potocznego człowieka
Najważniejsze prawa algebry Boole’a (aksjomatyka minimalna) to:
1.
1=~(0)=~0 - prawda (1) to zaprzeczenie (~) fałszu
0=~(1)=~1 - fałsz (0) to zaprzeczenie (~) prawdy
2.
Elementem neutralnym w spójniku „i”(*) jest jedynka
p*1=p (łatwe do zapamiętania przez analogię do zwykłego mnożenia: x*1=x)
p+1=1 (to jedyny wyjątek nie mający odpowiednika w zwykłym dodawaniu)
3.
Elementem neutralnym w spójniku „lub”(+) jest zero
p*0=0 (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego mnożenia: x*0=0)
p+0=p (łatwe do zapamiętania poprzez analogię do zwykłego dodawania: x+0=0)
4.
Definicja dziedziny w zdarzeniach:
p+~p=1 - zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny (D=1) dla zdarzenia p
p*~p=0 - zdarzenia p i ~p są rozłączne (p*~p=[]=0), stąd ich iloczyn logiczny to zero
5.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) są przemienne
p*q=q*p
p+q=q+p
6.
Prawo redukcji/powielania zmiennych:
p*p=p
p+p=p
7.
Prawa De Morgana:
p+q = ~(~p*~q)
p*q = ~(~p+~q)
8.
Obsługa wielomianów logicznych jest identyczna jak wielomianów klasycznych pod warunkiem przyjęcia analogii:
Spójnik „lub”(+) to odpowiednik sumy klasycznej (+) np. x+y
Spójnik „i”(*) to odpowiednik iloczynu klasycznego (*) np. x*y
Stąd mamy kolejność wykonywania działań w wielomianach logicznych:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
bo robimy analogię do wielomianów klasycznych.
Pojęcia matematycznie tożsame:
„i”(*) = koniunkcja (*)
„lub”(+) = alternatywa (+)
Przykład mnożenia wielomianów logicznych:
Dane jest wyrażenie logiczne:
(p+~q)*(~p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Minimalizujemy:
(p+~q)*(~p+q) = p*~p + p*q +~q*~p + ~q*q = 0 + p*q + ~q*~p + 0 = p*q + ~p*~q
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p*~p=0
p+0 =p
Przemienność:
~q*~p = ~p*~q
Stąd:
Nasze wyrażenie po minimalizacji przybiera postać:
(p+~q)*(~p+q) = p*q + ~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Inny przykład wykorzystania praw algebry Boole’a.
Udowodnij prawo algebry Boole’a:
p + p*q =p
Dowód:
p + p*q = p*1+p*q = p*(1+q) = p*1 =p
Wykorzystane prawa algebry Boole’a:
p=p*1
Wyciągnięcie zmiennej p przed nawias identyczne jak w wielomianach klasycznych
1+q=1
p*1=p
cnd
1.3 Algorytm Wuja Zbója
Definicja funkcji logicznej w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to funkcja zmiennych binarnych połączonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
Algorytm Wuja Zbója poznamy na przykładzie z życia wziętym, korzystając z definicji równoważności „wtedy i tylko wtedy” p<=>q wyrażonej spójnikami „i”(*) i „lub”(+) opisanej równaniem algebry Boole’a:
Y = p<=>q = p*q + ~p*~q
Co w logice matematycznej oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1 lub ~p=1 i ~q=1
Przykład:
Pani w przedszkolu wypowiada obietnicę bezwarunkową:
1.
Jutro pójdziemy do kina wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy do teatru
K<=>T
Podstawmy celem skrócenia zapisów:
Y = K<=>T
Definicja równoważności w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = K*T +~K*~T - funkcja alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
co w logice matematycznej oznacza:
Y=1 <=> K=1 i T=1 lub ~K=1 i ~T=1
Przyjmijmy następujące znaczenie symbolu Y:
Y - pani dotrzyma słowa (Y)
~Y - pani nie dotrzyma słowa (~Y), czyli pani skłamie
Czytamy:
Prawdą jest (=1) że pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*T=1*1 =1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i do teatru (T=1)
LUB
~K*~T=1*1=1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
W każdym innym przypadku, pani skłamie:
(~Y=1)=(Y=0) - prawo Prosiaczka
Dla każdego ucznia I klasy LO odpowiedź kiedy pani dotrzyma słowa (Y=1) jest intuicyjnie zrozumiała.
Prawo algebry Boole’a:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój tożsamy odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej
Dowód tego prawa na naszym przykładzie jest trywialny o ile skorzystamy z algorytmu przejścia do logiki przeciwnej autorstwa Wuja Zbója.
Przejdźmy z naszym przykładem na postać ogólną podstawiając:
K=p
T=q
Stąd mamy:
1.
Y = p*q + ~p*~q
W technicznej algebrze Boole’a często pomija się spójnik „i”(*) traktując go jako spójnik domyślny.
Stąd mamy funkcję matematycznie tożsamą:
1.
Y = pq+~p~q
Algorytm Wuja Zbója przejścia do logiki przeciwnej:
1.
Uzupełniamy brakujące nawiasy i spójniki:
Y = (p*q)+(~p*~q) - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników
~Y = (~p+~q)*(p+q) - postać koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Koniec algorytmu Wuja Zbója
Zauważmy że:
Jeśli wymnożymy wielomian 2 to otrzymamy tożsamą do niego postać alternatywno-koniunkcyjną.
Zróbmy to:
~Y = (~p+~q)*(p+q) = ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = 0 + ~p*q + p*~q + 0 = p*~q + ~p*q
3.
~Y = p*~q + ~p*q - postać alternatywno-koniunkcyjna (alternatywa koniunkcji)
Dla funkcji logicznej 3 ponownie korzystamy z algorytmu Wuja przechodząc do logiki dodatniej:
Mamy:
3.
~Y = (p*~q) + (~p*q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
4.
Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna (koniunkcja alternatyw)
Oczywistym jest, że zachodzą matematyczne tożsamości:
Y - pani dotrzyma słowa:
1: Y = p*q + ~p*~q [=] 4: Y=(p+~q)*(~p+q)
oraz:
~Y - pani skłamie
3: ~Y = p*~q + ~p*q [=] 2: ~Y = (~p+~q)*(p+q)
Zauważmy, że odpowiedź kiedy pani skłamie (~Y) zapisana w formie funkcji alternatywno-koniunkcyjnej również jest intuicyjnie zrozumiała dla każdego ucznia I klasy LO.
Nasz przykład:
3.
~Y=K*~T + ~K*T
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> K=1 i ~T=1 lub ~K=1 i T=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że pani skłamie (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
K*~T=1*1=1 - jutro pójdziemy do kina (K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
LUB
~K*T =1*1 =1 - jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i pójdziemy do teatru (T=1)
Zauważmy że, żadna z funkcji koniunkcyjno-alternatywnych nie jest zrozumiała dla człowieka.
Weźmy przykładowo odpowiedź na pytanie „kiedy pani dotrzyma słowa” (Y=1) opisaną równaniem koniunkcyjno-alternatywnym 4.
Nasz przykład:
4.
Y = (K+~T)*(~K+T) - postać koniunkcyjno-alternatywna
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y) wtedy i tylko wtedy gdy:
(K+~T) - jutro pójdziemy do kina (K) lub nie pójdziemy do teatru (~T)
„i”(*)
(~K+T) - jutro nie pójdziemy do kina (~K) lub pójdziemy do teatru (T)
Jak widzimy stało się coś strasznego!
Powyższe zdanie to twardy dowód iż w języku potocznym postaci koniunkcyjno-alternatywnej żaden człowiek nie rozumie.
1.3.1 Alternatywne przejście do logiki przeciwnej
Mamy naszą funkcję logiczną w postaci alternatywno-koniunkcyjnej:
1.
Y = (p*q) + (~p*~q)
W logice matematycznej dowolną funkcję logiczną możemy dwustronnie zanegować:
~Y = ~((p*q)+(~p*~q))
Korzystamy z prawa De Morgana dla nawiasu zewnętrznego otrzymując:
~Y = ~(p*q) * ~(~p*~q)
Ponownie korzystamy z prawa De Morgana dla pozostałych nawiasów:
~Y = (~p+~q)*(p+q)
To co wyżej to przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) „na piechotę” z wykorzystaniem praw De Morgana.
To „na piechotę” przy długich funkcjach logicznych będzie koszmarem trudnym do ogarnięcia.
Natomiast algorytm przejścia do logiki przeciwnej Wuja Zbója jest trywialny dla dowolnie długiej funkcji logicznej Y
Doskonale widać, że algorytm Wuja Zbója jest odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia znanych z wielomianów klasycznych.
Zminimalizujmy teraz funkcję logiczną podaną w zadaniu na matematyce.pl
[link widoczny dla zalogowanych]
Zadanie:
Zminimalizuj poniższe wyrażenie logiczne:
(q=>r*p)+~r
W poniższej minimalizacji korzystamy z definicji znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Rozwiązanie:
Zapiszmy nasze wyrażenie w postaci funkcji logicznej Y:
Y = (q=>r*p) + ~r = ~q+r*p + ~r
Uzupełniamy brakujące nawiasy bo kolejność wykonywania działań w logice to:
nawiasy, “i”(*), “lub”(+)
stąd mamy:
Y = ~q+(r*p)+~r
Zdefiniujmy funkcję cząstkową Y1:
Y1=(r*p)+~r
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
~Y1 = (~r+~p)*r
Po wymnożeniu wielomianu logicznego mamy:
~Y1 = ~r*r + ~p*r = ~p*r
~Y1=r*~p
Powrót do logiki dodatniej (bo Y1) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne:
Y1=~r+p
Odtwarzając podstawienie mamy:
Y = ~q+~r+p
Stąd w zapisie p=>q mamy:
Y = q=>(~r+p)
Stąd mamy tożsamość matematyczną:
Y = (q=>r*p)+~r = q=>(~r+p)
cnd
1.4 Definicja operatora AND(|*)
Rozważmy schemat elektryczny żarówki sterowanej dwoma przyciskami połączonymi szeregowo.
| Kod: |
Schemat 1
Fizyczna realizacja spójnika “i”(*)
Y p q
------------- ______ ______
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
|
Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty
Doskonale widać że:
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p będzie wciśnięty (p=1) i przycisk q będzie wciśnięty (q=1)
Y<=>p*q
<=> - symbol równoważności
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
Y = p*q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka świeci” (Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „wciśnięty przycisk p (p=1) i wciśnięty przyciska q (q=1)
Innymi słowy:
Z faktu świecenia się żarówki (Y=1) wnioskujemy iż wciśnięty jest przycisk p (p=1) i wciśnięty jest przycisk q (q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
A: Ya = p*q
co matematycznie oznacza:
A: Ya=1 <=> p=1 i q=1
… a kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?
2.
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie będzie wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y<=>(~p+~q)
<=> - symbol równoważności
Tu mamy identycznie:
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
~Y = ~p+~q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka nie świeci” (~Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „nie wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie wciśnięty przycisk q (~q=1)”
Innymi słowy:
Z faktu nie świecenia się żarówki (~Y=1) wnioskujemy iż nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) lub nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
~Y = ~p + ~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Zdanie matematycznie tożsame do 2 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka nie świeci się (~Y=1):
Innymi słowy:
Żarówka nie świeci (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
B: ~Yb = ~p*~q=1*1=1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: ~Yc = ~p* q =1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
D: ~Yd = p*~q=1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
Funkcje ~Yb, ~Yc i ~Yd nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan nie świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
~Y = ~Yb + ~Yc + ~Yd
Po rozwinięciu mamy:
2a.
~Y = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> B: ~p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1 lub D: p=1 i ~q=1
Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji logicznych 2 i 2a.
Minimalizujemy funkcje 2a:
~Y = ~p*~q + ~p*q + p*~q
~Y = ~p*(~q+q)+p*~q
~Y = ~p+(p*~q)
Przejście do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y = p*(~p+q)
Y = p*~p + p*q
Y=p*q
Powrót do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p+~q
cnd
stąd mamy matematyczną tożsamość:
~Y = BCD: ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
| Kod: |
Tabela 1
Tabela |Co matematycznie |Dla punktu |Tabela
symboliczna |oznacza |odniesienia |matematycznie
| |A: Y=p*q mamy |tożsama
| | | p q Y=p*q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1* 1 1
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|( p=0)*( q=0)=( Yb=0)| 0* 0 0
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=0)| 0* 1 0
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=1)*( q=0)=( Yd=0)| 1* 0 0
a b c d e f | g h I | 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (~p =1)=( p =0) |
| (~q =1)=( q =0) |
| (~Yx=1)=( Yx=0) |
|
Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu A:
A: Y=p*q
co matematycznie oznacza:
A: Y=1 <=> p=1 i q=1
Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 (Y) pokazuje linię w tabeli symbolicznej ABCDabc względem której kodowana jest tabela zero-jedynkowa, czyli tu wskazuje wyłącznie linię A.
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie linii A.
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123:
Y=1<=>p=1 i q=1
Tabela symboliczna ABCDdef zakodowana jest w logice jedynek zgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1.
Logika jedynek zawsze prowadzi do równania alternatywno-koniunkcyjnego:
~Y = BCD: ~p+~q = B: ~p*~q + C: ~p*q + D: p*~q
Możliwe jest zakodowanie tabeli symbolicznej ABCDdef w logice zer (trzeba totalnie wszystko zanegować i wymienić spójniki na przeciwne), ale takie kodowanie prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych, kompletnie niezrozumiałych dla człowieka, zatem nie będziemy się tym zajmować.
Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
BCD: ~Y=~p+~q
która opisuje obszar BCDabc tabeli symbolicznej.
| Kod: |
Tabela 2
Tabela |Co matematycznie |Dla punktu |Tabela
symboliczna |oznacza |odniesienia |matematycznie
| |BCD:~Y=~p+~q mamy |tożsama
| | |~p ~q ~Y=~p+~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0+ 0 0
B:~p*~q=~Yb |(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yb=1)| 1+ 1 1
C:~p* q=~Yc |(~p=1)*( q=1)=(~Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=1)| 1+ 0 1
D: p*~q=~Yd |( p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yd=1)| 0+ 1 1
a b c d e f | g h I | 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| ( p =1)=(~p =0) |
| ( q =1)=(~q =0) |
| ( Ya=1)=(~Ya=0) |
|
Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest z punktem odniesienia ustawionym na obszarze BCDabc tabeli symbolicznej definiującej spójnik „lub”(+)
BCD: ~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
BCD: ~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.
Nagłówek kolumny wynikowej 3 (~Y) odnosi się do obszaru BCDabc w tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa:
BCD: ~Y=~p+~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie obszaru BCD123.
Widać to doskonale w samej tabeli ABCD123:
~Y=1<=>~p=1 lub ~q=1
Z tabeli symbolicznej ABCDabcd odczytujemy:
BCDabc: ~Y=~Ya+~Yb+~Yc
Po rozwinięciu mamy:
BCDabc: ~Y=~p+~q = B: ~p*~q+ C: ~p*q+ D: p*~q
Definicja operatora AND(|*):
Operator AND(|*) musi opisywać wszystkie linie tabeli symbolicznej ABCDabc, czyli również wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora AND(|*) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz o funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
1.4.1 Właściwości operatora AND(|*)
Podsumujmy nasze rozważania w niniejszym rozdziale:
I.
Definicja spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:
| Kod: |
Zero jedynkowa definicja spójnika „i”(*):
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 1 0
D: 0* 0 0
Definicja do zapamiętania:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
Inaczej:
p*q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej
|
II.
Operator AND(|*) tu układ równań logicznych opisujący funkcję w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 i q=1
2.
~Y=~p+~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 lub ~q=1
III.
Pełna definicja spójnika „lub”(+) opisująca szczegółowo wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą wystąpić to:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Dla ~p i ~q mamy:
~p+~q = ~p*~q + ~p*q + p*~q
1.5 Definicja operatora OR(|+)
Rozważmy schemat elektryczny żarówki sterowanej dwoma przyciskami połączonymi równolegle.
| Kod: |
Schemat 2
Fizyczna realizacja spójnika „lub”(+):
q
______
-----o o-----
Y | p |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Znaczenie symboli:
Y=1 - żarówka świeci
~Y=1 - żarówka nie świeci
p=1 - przycisk p wciśnięty
~p=1 - przycisk p nie wciśnięty
q=1 - przycisk q wciśnięty
~q=1 - przycisk q nie wciśnięty
Prawo Prosiaczka:
(~q=1)=(q=0) - przycisk q nie wciśnięty
Ze schematu ideowego łatwo odczytujemy kiedy żarówka będzie się świecić (Y=1):
1.
Żarówka świeci się (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p będzie wciśnięty (p=1) lub przycisk q będzie wciśnięty (q=1)
Y<=>p+q
<=> - symbol równoważności
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
Y = p+q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka świeci” (Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „wciśnięty przycisk p (p=1) lub wciśnięty przycisk q (q=1)
Innymi słowy:
Z faktu świecenia się żarówki (Y=1) wnioskujemy iż wciśnięty jest przycisk p (p=1) lub wciśnięty jest przycisk q (q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
Y = p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Zdanie matematycznie tożsame do 1 to szczegółowy opis wszystkich możliwych przypadków w których żarówka świeci się (Y=1):
Innymi słowy:
1a.
Żarówka świeci (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy:
A: Ya = p*q=1*1=1 - jest wciśnięty p (p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
LUB
B: Yb = p*~q =1*1 =1 - jest wciśnięty p (p=1) i nie jest wciśnięty q (~q=1)
LUB
C: Yc = ~p*q=1*1 =1 - nie jest wciśnięty p (~p=1) i jest wciśnięty q (q=1)
Funkcje Ya, Yb, i Yc nazywamy funkcjami cząstkowymi opisującymi stan świecenia się żarówki opisany równaniem algebry Boole’a:
Y = Ya+Yb+Yc
Po rozwinięciu mamy:
1a.
Y = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub B: p=1 i ~q=1 lub C: ~p=1 i q=1
Pozostaje nam udowodnić tożsamość funkcji logicznych 1 i 1a.
Minimalizujemy funkcję logiczną 1a:
Y = p*q + p*~q + ~p*q
Y = p*(q+~q) + ~p*q
Y = p+(~p*q)
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y=~p*(p+~q)
~Y=~p*p + ~p*~q
~Y=~p*~q
Powrót do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
Y=p+q
cnd
stąd mamy matematyczną tożsamość:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Stąd mamy szczegółową definicję spójnika „lub”(+) w postaci sumy logicznej trzech rozłącznych zdarzeń:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
Powyższą definicję warto zapamiętać, bowiem w logice matematycznej dość często się przydaje przy rozpisce co może się wydarzyć w obszarze dwóch zmiennych p i q połączonych spójnikiem „lub”(+)
… a kiedy żarówka nie będzie się świecić (~Y=1)?
Odczytujemy ze schematu ideowego:
2.
Żarówka nie będzie się świecić (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie będzie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie będzie wciśnięty przycisk q (~q=1)
~Y<=>~p*~q
<=> - symbol równoważności
Tu mamy identycznie:
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
~Y = ~p*~q
Co oznacza:
Pojęcie „żarówka nie świeci” (~Y=1) jest tożsame „=” z pojęciem „nie wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie wciśnięty przycisk q (~q=1)”
Innymi słowy:
Z faktu nie świecenia się żarówki (~Y=1) wnioskujemy iż nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1) i nie jest wciśnięty przycisk q (~q=1) i odwrotnie.
Stąd mamy tożsamość:
D: ~Yd = ~p* ~q
co matematycznie oznacza:
D: ~Yd=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Zapiszmy serię zdań ABCD w symbolicznej tabeli prawdy:
| Kod: |
Tabela 1
Tabela |Co matematycznie |Dla punktu |Tabela
symboliczna |oznacza |odniesienia |matematycznie
| |ABC: Y=p+q mamy |tożsama
| | | p q Y=p+q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|( p=1)*( q=1)=( Ya=1)| 1+ 1 1
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|( p=1)*( q=0)=( Yb=1)| 1+ 0 1
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|( p=0)*( q=1)=( Yc=1)| 0+ 1 1
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|( p=0)*( q=0)=( Yd=0)| 0+ 0 0
a b c d e f g h I 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| (~p =1)=( p =0) |
| (~q =1)=( q =0) |
| (~Yx=1)=( Yx=0) |
|
Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest dla punktu odniesienia ustawionego na zdaniu zdefiniowanym obszarem ABCabc w tabeli symbolicznej.
ABC: Y=p+q
co matematycznie oznacza:
ABC: Y=1 <=> p=1 lub q=1
Doskonale to widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Nagłówek w kolumnie wynikowej 3 (Y) pokazuje obszar ABCabc tabeli symbolicznej względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa.
Zero-jedynkową definicją spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie obszaru ABC123, co doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Tabela symboliczna ABCDdef zakodowana jest w logice jedynek zgodnie z naturalną logiką matematyczną człowieka, gdzie wszystkie zmienne mają wartość logiczną 1.
Logika jedynek zawsze prowadzi do równania alternatywno-koniunkcyjnego:
Y = ABC: p+q = A: p*q + B: p*~q + C: ~p*q
Możliwe jest zakodowanie tabeli symbolicznej ABCDdef w logice zer (trzeba totalnie wszystko zanegować i wymienić spójniki na przeciwne), ale takie kodowanie prowadzi do równań koniunkcyjno-alternatywnych, kompletnie niezrozumiałych dla człowieka, zatem nie będziemy się tym zajmować.
Zakodujmy teraz naszą tabelę symboliczną ABCDabc względem funkcji logicznej:
D: ~Y=~p*~q
która opisuje linię D w tabeli symbolicznej.
| Kod: |
Tabela 2
Tabela |Co matematycznie |Dla punktu |Tabela
symboliczna |oznacza |odniesienia |matematycznie
| |D:~Y=~p*~q mamy |tożsama
| | |~p ~q ~Y=~p*~q
A: p* q= Ya |( p=1)*( q=1)=( Ya=1)|(~p=0)*(~q=0)=(~Ya=0)| 0* 0 0
B: p*~q= Yb |( p=1)*(~q=1)=( Yb=1)|(~p=0)*(~q=1)=(~Yb=0)| 0* 1 0
C:~p* q= Yc |(~p=1)*( q=1)=( Yc=1)|(~p=1)*(~q=0)=(~Yc=0)| 1* 0 0
D:~p*~q=~Yd |(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)|(~p=1)*(~q=1)=(~Yd=1)| 1* 1 1
a b c d e f g h I 1 2 3
| Prawa Prosiaczka |
| ( p =1)=(~p =0) |
| ( q =1)=(~q =0) |
| ( Yx=1)=(~Yx=0) |
|
Zauważmy, że tabela zero-jedynkowa ABCD123 zakodowana jest z punktem odniesienia ustawionym na linii Dabc.
~Y=~Yd - bo jest tylko jedna linia ~Yd w tabeli ABCDabc
Stąd:
D: ~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
D: ~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
Sens ostatniego zapisu doskonale widać w tabeli zero-jedynkowej BCD123.
Nagłówek kolumny wynikowej 3 (~Y) odnosi się do linii D w tabeli symbolicznej ABCDabc względem którego kodowana jest tabela zero-jedynkowa:
D: ~Y=~p*~q
Zero-jedynkową definicją spójnika „i”(*) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest kompletna tabela zero-jedynkowa ABCD123.
Jednak nagłówek w kolumnie 3 dotyczy de facto wyłącznie linii D123 - widać to doskonale w samej tabeli ABCD123.
Definicja operatora OR(|+):
Operator OR(|+) musi opisywać wszystkie linie tabeli symbolicznej ABCDabc, czyli również wszystkie linie tabeli zero-jedynkowej ABCD123.
Stąd:
Definicja operatora OR(|+) to układ równań logicznych dających odpowiedź na pytanie o funkcję logiczną w logice dodatniej (bo Y) oraz o funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
1.5.1 Właściwości operatora OR(|+)
Podsumujmy nasze rozważania w niniejszym rozdziale:
I.
Definicja spójnika „lub”(+) dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego jest następująca:
| Kod: |
Zero jedynkowa definicja spójnika „lub”(+):
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 1 1
D: 0+ 0 0
Definicja do zapamiętania:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
Inaczej:
p+q=0
Gdzie:
<=> - wtedy i tylko wtedy
Doskonale to widać w tabeli wyżej
|
II.
Operator OR(|+) tu układ równań logicznych opisujący funkcję w logice dodatniej (bo Y) oraz ujemnej (bo ~Y):
1.
Y=p+q
co matematycznie oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
2.
~Y=~p*~q
co matematycznie oznacza:
~Y=1 <=> ~p=1 i ~q=1
III.
Pełna definicja spójnika „lub”(+) opisująca szczegółowo wszystkie możliwe zdarzenia rozłączne które mogą wystąpić to:
p+q = p*q + p*~q + ~p*q
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35364
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 21:53, 24 Lis 2019 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - teoria zdarzeń
Część II
Algebra Kubusia - teoria zdarzeń
Autor rzeczywisty:
Kubuś - stwórca naszego Wszechświata
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
W skład algebry Kubusia wchodzi pięć części:
Część I
Algebra Kubusia - rachunek zero-jedynkowy
Część II
Algebra Kubusia - teoria zdarzeń
Część III
Algebra Kubusia - teoria zbiorów
Część IV
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego człowieka
Część V
Algebra Kubusia w pigułce
Podręczniki I-V napisane są w ten sposób, że dla zrozumienia dowolnego z nich w zasadzie nie jest wymagana znajomość pozostałych, choć oczywiście, pożądana kolejność czytania to I, II, III, IV, V
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia:
Wuj Zbój, Miki, Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors, Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Lucek, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuje w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006 - medium
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej, której nie ma na studiach technicznych (elektronika na PW-wa).
Prawa Kubusia to efekt dyskusji w Wujem Zbójem:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Wuj jako pierwszy ziemianin potwierdził matematyczną poprawność tych praw
3.
Fiklit - który poświęcił 7 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - kluczowy tester wypracowanej w dyskusji z Fiklitem końcowej wersji algebry Kubusia
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2019
Spis treści
1.0 Fundament zdań warunkowych „Jeśli p to q” 2
1.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> 3
1.2 Minimalna aksjomatyka obsługi zdań warunkowych „Jeśli p to q” 5
2.0 Definicje operatorów implikacyjnych w zdarzeniach 6
2.0.1 Definicje operatorów implikacyjnych w pigułce 7
2.0.2 Twierdzenie o układzie implikacyjnym 9
2.1 Definicja równoważności p<=>q 10
2.1.1 Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 11
2.2 Definicja implikacji prostej p|=>q 12
2.2.1 Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 13
2.3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q 14
2.3.1 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 15
2.4 Definicja operatora chaosu p|~~>q 16
2.4.1 Definicja implikacji operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) 17
1.0 Fundament zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Cała obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” dotyczących zdarzeń (np. nasza żarówka i przyciski) stoi na zaledwie trzech definicjach znaczków ~~>, => i ~> plus definicja kontrprzykładu.
Zauważmy, że poniższe definicje znaczków ~~>, => i ~> podane są w naturalnej logice matematycznej człowieka tzn. każdy człowiek je intuicyjnie rozumie nie potrzebując żadnych tabel zero-jedynkowych.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
1.1 Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Ziemscy matematycy doskonale znają zero-jedynkowe definicje znaczków => i ~>, bowiem tabele zero-jedynkowe wszystkich możliwych, 16 spójników w logice matematycznej mamy wspólne.
Ziemscy matematycy nie znają tylko i wyłącznie prawidłowej interpretacji znaczków => i ~> która w algebrze Kubusia jest następująca.
Dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego wolno nam przyjąć definicje znaczków => i ~> jak niżej:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
Ważne jest jak będą działały przyjęte definicje w otaczającym nas Wszechświecie, a działają perfekcyjnie co za chwilkę udowodnimy.
| Kod: |
Definicja warunku wystarczającego =>
p q p=>q
A: 1 1 1
B: 1 0 0
C: 0 0 1
D: 0 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
Definicja warunku koniecznego ~>
p q p~>q
A: 1 1 1
B: 1 0 1
C: 0 0 1
D: 0 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
Stąd mamy:
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## w rachunku zero-jedynkowym:
Dwie kolumny są różna na mocy definicji wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w definicjach znaczków => i ~> kolumny wynikowe 3 są różne na mocy definicji.
Wyprowadźmy teraz matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w rachunku zero-jedynkowym.
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki znaczków => i ~>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki znaczków ~> i =>
w podstawowym rachunku zero-jedynkowym
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0
1 2 3 4 5
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame)
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Podsumowanie:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wyprowadzone na gruncie rachunku zero-jedynkowego są następujące:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
1.2 Minimalna aksjomatyka obsługi zdań warunkowych „Jeśli p to q”
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Definicja aksjomatyki minimalnej dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
Aksjomatyka minimalna to minimalna ilość definicji i praw logiki matematycznej potrzebnych i wystarczających do obsługi wszelkich zdań warunkowych.
Aksjomatyka minimalna dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” to:
1.
Definicje znaczków =>, ~> i ~~> plus definicja kontrprzykładu (pkt 1.0)
2.
Definicja znaczków => i ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
p~>q = p+~q
3.
Prawa Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne:
p=>q = ~p~>~q
p~>q = ~p=>~q
Prawa Kubusia wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> bez zamiany p i q.
4.
Prawa Tygryska:
Zamieniamy zmienne miejscami i wymieniamy spójnik na przeciwny:
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Prawa Tygryska wiążą warunek wystarczający => i konieczny ~> z zamianą p i q.
Dowód iż to jest minimalna aksjomatyka dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
1.
Wystartujmy od definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = ~p+q
##
B: 1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Dla A1 i B1 zastosujmy prawa Kubusia:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q = ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q = p+~q
Dla A1 i B1 zastosujmy prawa Tygryska:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = p+~q
Dla A3 i B3 zastosujmy ponownie prawa Kubusia:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi, inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Doskonale widać, że otrzymaliśmy wszystkie matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wynikłe z rachunku zero-jedynkowego co oznacza, że zapisaliśmy minimalną aksjomatykę obsługi zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Prawa matematyczne nadmiarowe to prawa kontrapozycji, w języku potocznym praktycznie nie używane.
5.
Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p
B2: ~q=>~p = B3: q=>p
6.
Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A2: ~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B4: ~q~>~p
2.0 Definicje operatorów implikacyjnych w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Definicje elementarne:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
2.0.1 Definicje operatorów implikacyjnych w pigułce
| Kod: |
Schemat 1
Definicja równoważności p<=>q w zdarzeniach:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego =>
i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p=>q =1
p~>q =1
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)=1*1=1
Fizyczna realizacja operatora równoważności p<=>q w zdarzeniach:
q p
------------- ______
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienne wolne: brak
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
|
##
| Kod: |
Schemat 2
Układ implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego =>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p=>q =1
p~>q =0
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Fizyczna realizacja operatora implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
r
______
-----o o-----
q | p |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienna wolna: r
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q=~p*q
|
##
| Kod: |
Schemat 3
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~>
między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p~>q =1
p=>q =0
p|~>q=(p~>q)*~(p=>q)=1*~(0)=1*1=1
Fizyczna realizacja operatora implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
q r p
------------- ______ ______
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienna wolna: r
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q=p*~q
|
##
| Kod: |
Schemat 4
Definicja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego =>
ani też warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
p=>q =0
p~>q =0
p|~~>q=~(p=>q)*~(p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Fizyczna realizacja operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach:
s
______
---o o----
| |
q r | p |
------------- ______ | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienne wolne: r, s
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q =0
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ogólnie dla wszystkich operatorów implikacyjnych zachodzi relacja różne na mocy definicji ##:
I.
Operatory logiczne:
1: Równoważność p<=>q=p*q+~p*~q
##
2: Implikacja prosta p|=>q=~p*q
##
3: Implikacja odwrotna p|~>q=p*~q
##
4: Operator chaosu p|~~>q=~(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q) =0
##
II.
Spójniki logiczne:
5: Warunek wystarczający p=>q=~p+q
##
6: Warunek konieczny p~>q=p+~q
##
7: Zdarzenie możliwe p~~>q=(p*q+p*~q+~p*q+~p*~q) =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wnioski z powyższych definicji:
W poprawnej logice matematycznej musi występować wszystkie siedem znaczków różnych na mocy definicji ##
Logika matematyczna w której brakuje choćby jednego znaczka jest fałszywą logiką matematyczną!
2.0.2 Twierdzenie o układzie implikacyjnym
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występująca w definicji dowolnego układu logicznego
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie rzeczywistym, ale nie występująca w definicji tego układu.
Zmienna wolna może przyjmować dowolne wartości logiczne 0 albo 1 poza świadomością matematycznego opisu układu logicznego.
Interpretacją fizyczną zmiennej wolnej może być generator binarnych impulsów losowych 0/1
Twierdzenie o układzie implikacyjnym:
Dowolny układ jest układem implikacyjnym wtedy i tylko wtedy gdy występuje w nim co najmniej jedna zmienna wolna, nie uwzględniona w definicji układu
Inaczej mamy do czynienia z układem równoważnościowym (zero zmiennych wolnych)
Do układów implikacyjnych zaliczamy:
Operator implikacji prostej:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q)
Operator implikacji odwrotnej:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q)
Operator chaosu:
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q)
Świętością w układach implikacyjnych jest „rzucanie monetą” które w układzie równoważnościowym (zero zmiennych wolnych) nie występuje.
2.1 Definicja równoważności p<=>q
| Kod: |
Schemat 1
Układ równoważności p<=>q w zdarzeniach:
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)=1*1=1
q p
------------- ______
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienne wolne: brak
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
|
Ze schematu ideowego widzimy że:
A1.
Wciśnięcie przycisku p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki
p=>q =1
B1.
Wciśnięcie przycisku p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> zaświecenia się żarówki
p~>q =1
Warunek konieczny ~> jest tu wymuszony (=1) bo nie ma innego przycisku połączonego równolegle z przyciskiem p włączającego żarówkę (brak zmiennej wolnej)
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności p<=>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
Łatwo zauważyć, że korzystając z tożsamości Ax i Bx dostaniemy 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q z których najważniejsze to:
1.
Definicja podstawowa równoważności w spójnikach => i ~>:
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
2.
Definicja równoważności najłatwiejsza w dowodzeniu:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
A1: p=>q =1
B3: q=>p =1
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Powyższa definicja jest najłatwiejsza w dowodzeniu ze względu na definicję kontrprzykładu, dotyczącą wyłącznie warunku wystarczającego =>.
Z reguły bardzo łatwo udowodnić tu fałszywość twierdzenia odwrotnego q=>p=0 podając jeden kontrprzykład.
3.
Równoważność aksjomatyczna z której wynika tabela zero-jedynkowa równoważności:
A1: p=>q =1
B2: ~p=>~q =1
p<=>q = (A1: p=>q)* (B2: ~p=>~q) =1*1 =1
2.1.1 Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicje elementarne:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q
Stąd mamy:
p<=>q = p*q+~p*~q
Ogólnie dla wszystkich operatorów implikacyjnych zachodzi relacja różne na mocy definicji ##:
Równoważność p<=>q=p*q+~p*~q
##
Implikacja prosta p|=>q=~p*q
##
Implikacja odwrotna p|~>q=p*~q
##
Operator chaosu p|~~>q=0
##
Warunek wystarczający p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.2 Definicja implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
Schemat 2
Układ implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q)=1*~(0)=1*1=1
r
______
-----o o-----
q | p |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienna wolna: r
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q=~p*q
|
Ze schematu ideowego widzimy że:
A1.
Wciśnięcie przycisku p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki
p=>q =1
B1.
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> zaświecenia się żarówki
p~>q =0 - bo żarówkę może zaświecić przycisk r (zmienna wolna)
Stąd mamy:
Definicja operatora implikacji prostej p|=>q:[/b]
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => zachodzący między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla implikacji prostej p|=>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
Łatwo zauważyć, że korzystając z tożsamości Ax i Bx dostaniemy 16 tożsamych definicji implikacji prostej p|=>q z których najważniejsze to:
1.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w spójnikach => i ~>:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => zachodzący między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
2.
Definicja implikacji prostej p|=>q najłatwiejsza w dowodzeniu:
Implikacja prosta p|=>q to warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę
A1: p=>q =1
B3: q=>p =0
p|=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*~(0) =1*1 =1
Powyższa definicja jest najłatwiejsza w dowodzeniu ze względu na definicję kontrprzykładu, dotyczącą wyłącznie warunku wystarczającego =>.
Z reguły bardzo łatwo udowodnić tu fałszywość twierdzenia odwrotnego q=>p=0 podając jeden kontrprzykład.
2.2.1 Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicje elementarne:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q) = ~p*~p*q + q*~p*q =~p*q+~p*q=~p*q
Stąd mamy:
p|=>q = ~p*q
Ogólnie dla wszystkich operatorów implikacyjnych zachodzi relacja różne na mocy definicji ##:
Równoważność p<=>q=p*q+~p*~q
##
Implikacja prosta p|=>q=~p*q
##
Implikacja odwrotna p|~>q=p*~q
##
Operator chaosu p|~~>q=0
##
Warunek wystarczający p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.3 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q
| Kod: |
Schemat 3
Układ implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
p|~>q=(p~>q)*~(p=>q)
q r p
------------- ______ ______
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienna wolna: r
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q=p*~q
|
Ze schematu ideowego widzimy że:
1.
Wciśnięcie przycisku p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki
B1: p~>q =1
Żarówka zaświeci się gdy równocześnie przycisk r będzie wciśnięty.
2.
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki
A1: p=>q =0
Bowiem dodatkowo musi być wciśnięty przycisk r
Stąd mamy:
Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:[/b]
Implikacja odwrotna to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> zachodzący miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla implikacji odwrotnej p|~>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
Łatwo zauważyć, że korzystając z tożsamości Ax i Bx dostaniemy 16 tożsamych definicji implikacji odwrotnej p|~>q z których najważniejsze to:
1.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach => i ~>:
Implikacja odwrotna to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> zachodzący miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q najłatwiejsza w dowodzeniu:
Implikacja odwrotna p|~>q to warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę
B3: q=>p =1
A1: p=>q =0
p|=>q = (B3: q=>p)* (A1: p=>q) =1*~(0) =1*1 =1
Powyższa definicja jest najłatwiejsza w dowodzeniu ze względu na definicję kontrprzykładu, dotyczącą wyłącznie warunku wystarczającego =>.
Z reguły bardzo łatwo udowodnić tu fałszywość twierdzenia prostego p=>q=0 podając jeden kontrprzykład.
2.3.1 Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicje elementarne:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
p|~>q = (p~>q)*~(p=>q) = (p+~q)*~(~p+q) = (p+~q)*(p*~q)=p*~p + p*~q = p*~q
Stąd:
p|~>q = p*~q
Ogólnie dla wszystkich operatorów implikacyjnych zachodzi relacja różne na mocy definicji ##:
Równoważność p<=>q=p*q+~p*~q
##
Implikacja prosta p|=>q=~p*q
##
Implikacja odwrotna p|~>q=p*~q
##
Operator chaosu p|~~>q=0
##
Warunek wystarczający p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
2.4 Definicja operatora chaosu p|~~>q
| Kod: |
Schemat 4
Układ operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach:
p|~~>q=~(p=>q)*~(p~>q)
s
______
---o o----
| |
q r | p |
------------- ______ | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienne wolne: r, s
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q =0
|
1.
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki
A1: p=>q =0
Dodatkowo musi być wciśnięty przycisk r
2.
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> zaświecenia się żarówki
B1: p~>q =0 - bo żarówkę może zaświecić przycisk s
Stąd mamy:
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzący ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla operatora chaosu p|~~>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora chaosu p|~~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
Łatwo zauważyć, że korzystając z tożsamości Ax i Bx dostaniemy 16 tożsamych definicji operatora chaosu z których najważniejsze to:
1.
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzący ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
2.
Definicja operatora chaosu p|~~>q najłatwiejsza w dowodzeniu:
Operator chaosu to fałszywe twierdzenie proste p=>q i fałszywe twierdzenie odwrotne q=>p
A1: p=>q =0
B3: q=>p =0
p|=>q = ~(A1: p=>q)*~(B3: q=>p) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Powyższa definicja jest najłatwiejsza w dowodzeniu ze względu na definicję kontrprzykładu, dotyczącą wyłącznie warunku wystarczającego =>.
Z reguły bardzo łatwo udowodnić fałszywość twierdzenia prostego p=>q=0 oraz fałszywość twierdzenia odwrotnego q=>p=0 podając jeden kontrprzykład.
2.4.1 Definicja implikacji operatora chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+)
Definicje elementarne:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
p|~~>q = ~(p=>q)*~(p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q) = (p*~q)*(~p*q) =0
Stąd:
p|~~>q =0
Ogólnie dla wszystkich operatorów implikacyjnych zachodzi relacja różne na mocy definicji ##:
Równoważność p<=>q=p*q+~p*~q
##
Implikacja prosta p|=>q=~p*q
##
Implikacja odwrotna p|~>q=p*~q
##
Operator chaosu p|~~>q=0
##
Warunek wystarczający p=>q=~p+q
##
Warunek konieczny p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 21:05, 27 Lis 2019, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35364
Przeczytał: 23 tematy
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 21:56, 24 Lis 2019 Temat postu: |
|
|
3.0 Komentarze do definicji operatorów logicznych
W komentarzach do operatorów implikacyjnych w zdarzeniach udowodnimy iż jest to logiczna tabliczka do 100, bez problemu zrozumiała dla ucznia I klasy LO.
Wszelkie dowody są tu trywialne w przeciwieństwie do teorii zbiorów nieskończonych, gdzie obowiązuje identyczna logika matematyczna jak w teorii zdarzeń, na których operują wszelkie twierdzenia matematyczne.
Cała logika zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach ~~>, =>, ~> i ~~> plus definicja kontrprzykładu jak niżej.
Definicje znaczków ~~>, => i ~> są intuicyjnie zrozumiałe dla każdego człowieka od 5-cio latka do 100-latka.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesna zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q = p*q =[] =0
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
p~~>~q=p*~q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i ~q
Inaczej:
p~~>~q =p*~q =0
Rozstrzygnięcia:
Fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =0 wymusza prawdziwość warunku wystarczającego p=>q =1 (i odwrotnie.)
Prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q =1 wymusza fałszywość warunku wystarczającego p=>q =0 (i odwrotnie)
3.1 Komentarz do operatora równoważności p<=>q
| Kod: |
Schemat 1
Układ równoważności p<=>q w zdarzeniach:
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)=1*1=1
q p
------------- ______
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienne wolne: brak
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
|
Definicja operatora równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności p<=>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności p<=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz prawdziwość dowolnego zdania serii B1234
Łatwo zauważyć, że korzystając z tożsamości Ax i Bx dostaniemy 16 tożsamych definicji równoważności p<=>q z których najważniejsze to:
1.
Definicja podstawowa równoważności w spójnikach => i ~>:
Równoważność to jednoczesne spełnienie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
2.
Definicja równoważności najłatwiejsza w dowodzeniu:
Równoważność to warunek wystarczający => zachodzący w dwie strony
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p)
Powyższa definicja jest najłatwiejsza w dowodzeniu ze względu na definicję kontrprzykładu, dotyczącą wyłącznie warunku wystarczającego =>.
Z reguły bardzo łatwo udowodnić tu fałszywość twierdzenia odwrotnego q=>p=0 podając jeden kontrprzykład.
3.
Równoważność aksjomatyczna z której wynika tabela zero-jedynkowa równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)* (A2: ~p=>~q) =1*1 =1
3.1.1 Dowód prawdziwości zdań Ax i Bx w równoważności p<=>q
Udowodnijmy prawdziwość zdań warunkowych „Jeśli p to q” Ax i Bx zapisanych w definicji ogólnej równoważności.
| Kod: |
Schemat 1
Układ równoważności p<=>q w zdarzeniach:
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)=1*1=1
q p
------------- ______
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienne wolne: brak
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
|
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności p<=>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja podstawowa równoważności:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
A1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% żarówka q świeci się (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku B jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% żarówka q świeci się (q=1)
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku p jest warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki q, bo nie ma tu przycisku r (zmienna wolna) połączonego równolegle z p, który by zaświecił żarówkę w sposób niezależny.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zauważmy, że zdania warunkowe A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##
A1: p=>q =1 ## B1: p~>q =1
Twierdzenie o fundamencie logiki matematycznej ziemian:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka są matematycznie tożsame.
Nasze zdania A1 i B1 to kontrprzykład obalający powyższe, w tym momencie fałszywe twierdzenie ziemian
Po udowodnieniu prawdziwości zdań A1 i B1 nie musimy dowodzić prawdziwości pozostałych zdań serii Ax i Bx bowiem prawa logiki matematycznej to rzecz święta, nie mogą być gwałcone.
Nie musimy dowodzić, nie oznacza iż nie możemy dowodzić.
Udowodnijmy zatem prawdziwość pozostałych zdań Ax i Bx
Zdania prawdziwe serii Ax:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
A2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to na 100% nie świeci się żarówka q (~q=1)
~p~>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki q (~q=1), bowiem jak przycisk p jest wciśnięty (p=1) to żarówka na 100% => świeci się
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
A3.
Jeśli żarówka świeci się (q=1) to na 100% wciśnięty jest przycisk p (p=1)
q~>p =1
Świecenie się żarówki q jest warunkiem koniecznym ~> dla stwierdzenia iż przycisk p jest wciśnięty, bowiem jak żarówka nie świeci (~q=1) się to na 100% przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A3: q~>p = A4: ~q=>~p
A4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~q=1) to na 100% nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
~q=>~p=1
Brak świecenia się żarówki (~q=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by być pewnym iż przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
Zdania prawdziwe serii Bx:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
B2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to na 100% nie świeci się żarówka q (~q=1)
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku p jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się
B3.
Jeśli żarówka świeci się (q=1) to na 100% przycisk p jest wciśnięty (p=1)
q=>p =1
Świecenie się żarówki jest warunkiem wystarczającym => dla wyciągnięcia wniosku iż przycisk p jest wciśnięty
B4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~q=1) to na 100% przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
~q~>~p =1
Brak świecenia się żarówki (~q=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego by przycisk p nie był wciśnięty (~p=1) bo jak żarówka świeci się (q=1) to na 100% przycisk p jest wciśnięty (p=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B4: ~q~>~q = B3: q=>p
3.1.2 Analiza szczegółowa równoważności w zdarzeniach
| Kod: |
Schemat 1
Układ równoważności p<=>q w zdarzeniach:
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)=1*1=1
q p
------------- ______
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienne wolne: brak
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q+~p*~q
|
Definicja operatora równoważności:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - warunek wystarczający => spełniony (=1)
##
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w równaniu logicznym:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Ze schematu ideowego widzimy że:
A1.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to żarówka na 100% zaświeci się (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki
B1.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to żarówka na 100% zaświeci się (q=1)
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki bowiem nie ma żadnego innego przycisku który mógłby zaświecić żarówkę (brak zmiennej wolnej)
Stąd mamy:
Definicja równoważności <=> w zdarzeniach:
Równoważność to jednoczesne zachodzenie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q) = 1*1 =1
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka, ale nie są to zdania matematycznie tożsame.
Dowód:
A1: p=>q = ~p+q ## B1: p~>q = p+~q
gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
RA1B1:
Równoważność dla przycisku wciśniętego (p=1):
Przycisk p jest wciśnięty (p=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (q=1)
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
p=q
Przycisk wciśnięty (p=1) znaczy to samo co żarówka świeci się (q=1)
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla równoważności p<=>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tym momencie korzystając wyłącznie z praw Kubusia i definicji kontrprzykładu możemy wygenerować symboliczną definicję równoważności:
| Kod: |
Symboliczna definicja równoważności p<=>q:
p<=>q=(p=>q)*(p~>q)=1*1=1
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~> q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
AK: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla zdania A1 musi być fałszem
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
A2:~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
BK:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla zdania B2 musi być fałszem
|
Korzystając z definicji symbolicznej kontynuujemy naszą analizę operatora równoważności.
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q =1 wynika fałszywość kontrprzykładu AK
AK.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~q=1)
p~~>~q=p*~q =0
Przypadek niemożliwy (=0) co doskonale widać na schemacie ideowym.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2 : ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
Stąd mamy dalszą analizę szczegółową układu równoważności.
A2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to na 100% żarówka nie świeci się (~q=1)
~p~>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka nie świeciła się bo jak przycisk p jest wciśnięty to żarówka na 100% => się świeci
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
B2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to na 100% żarówka nie świeci się (~q=1)
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku q (~q=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się
Doskonale to widać na schemacie ideowym.
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0) - przycisk p nie wciśnięty
(~q=1)=(q=0) - żarówka q nie świeci się
Na mocy definicji kontrprzykładu prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu BK.
BK.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to żarówka może ~~> się świecić (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Ze schematu ideowego widzimy, że ten przypadek nie jest możliwy (=0)
Zauważmy że zdania A2 i B2 spełniają definicję równoważności w logice ujemnej (bo ~q).
Stąd mamy:
RA2B2:
Równoważność dla przycisku nie wciśniętego (~p=1):
Przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~q=1)
~p<=>~q = (A2: ~p=>~q)*(B2: ~p~>~q) =1*1 =1
Powyższa równoważność definiuje tożsamość pojęć:
~p=~q
Przycisk nie wciśnięty (~p=1) znaczy to samo co żarówka nie świeci się (~q=1)
Zauważmy, że o fałszywości zdań AK i BK decydują spełnione warunki wystarczające.
Zapiszmy naszą analizę symboliczną uwzględniając wyłącznie warunki wystarczające:
| Kod: |
Symboliczna definicja równoważności p<=>q:
p<=>q=(A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q)
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
AK: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla zdania A musi być fałszem
~p<=>~q=(~p=>~q)*(p=>q)
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
BK:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla zdania C’ musi być fałszem
|
Wyjaśnienie dla równoważności p<=>q:
Równoważność podstawowa:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Stąd równoważność tożsama:
p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
Wyjaśnienie dla równoważności ~p<=>~q:
Równoważność podstawowa:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(~p~>~q)
Prawo Kubusia:
~p~>~q = p=>q
Stąd równoważność tożsama:
~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
Zakodujmy naszą tabelę symboliczną zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia:
RA1B2: p<=>q = (p=>q)*(~p=>~q)
| Kod: |
Tabela 1
Kodowanie zero-jedynkowe równoważności dla punktu odniesienia p<=>q
Definicja |Co w logice |Dla punktu |Tabela zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |p<=>q |p<=>q
p<=>q | | | p q p<=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1 =1
AK: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0 =0
B2:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0 =1
BK:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1 =0
a b c d e f g h 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Zakodujmy naszą tabelę symboliczną zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia:
RB2A1: ~p<=>~q = (~p=>~q)*(p=>q)
| Kod: |
Tabela 2
Kodowanie zero-jedynkowe równoważności dla punktu odniesienia ~p<=>~q
Definicja |Co w logice |Dla punktu |Tabela zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |~p<=>~q |~p<=>~q
~p<=>~q| | |~p ~q ~p<=>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0=> 0 =1
AK: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~~>1 =0
B2:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=> 1 =1
BK:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1~~>0 =0
a b c d e f g h 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach 1 i 2 jest dowodem zachodzącej tożsamości matematycznej:
p<=>q = ~p<=>~q
Można to udowodnić prościej korzystając wyłącznie z praw logiki matematycznej:
Definicja równoważności w logice dodatniej (bo q):
1: p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Definicja równoważności w logice ujemnej (bo ~q):
~p<=>~q=(~p=>~q)*(~p~>~q)
Prawa Kubusia:
~p=>~q = p~>q
~p~>~q = p=>q
Stąd:
2: ~p<=>~q=(~p=>~q)*(~p~>~q) = (p~>q)*(p=>q) = (p=>q)*(p~>q)
Prawe strony 1 i 2 są tożsame, stąd:
p<=>q = ~p<=>~q
cnd
Dowód przemienności argumentów w równoważności:
p<=>q = (p=>q)*(p~>q)
Skorzystajmy z praw Tygryska:
p=>q = q~>p
p~>q = q=>p
Stąd:
p<=>q=(p=>q)*(p~>q = (q~>p)*(q=>p) = q<=>p
cnd
Stąd mamy:
Równoważność dla żarówki świecącej się (q=1):
Żarówka świeci się (q=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p jest wciśnięty (p=1)
q<=>p = (q=>p)*(q~>p) =1*1 =1
q<=>p = ~q<=>~p
stąd mamy:
Równoważność dla żarówki nie świecącej się (~q=1):
Żarówka nie świeci się (~q=1) wtedy i tylko wtedy gdy przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
~q<=>~p = (~q=>~p)*(~q~>~p) =1*1 =1
Prawo Prosiaczka:
(~q=1)=(q=0) - żarówka q nie świeci się (~q=1)
(~p=1)=(p=0) - przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
3.2 Komentarz do operatora implikacji prostej p|=>q
| Kod: |
Schemat 2
Układ implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q)=1*~(0)=1*1=1
r
______
-----o o-----
q | p |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienna wolna: r
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q=~p*q
|
Ze schematu ideowego widzimy że:
A1.
Wciśnięcie przycisku p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki
p=>q =1
B1.
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> zaświecenia się żarówki
p~>q =0 - bo żarówkę może zaświecić przycisk r (zmienna wolna)
Stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
B1: p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Definicja operatora implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q =~p*q
Matematycznie zachodzi tu relacja różne na mocy definicji ##:
Warunek wystarczający p=>q=~p+q ## Warunek konieczny p~>q=p+~q ## Implikacja prosta p|=>q=~p*q
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji prostej p|=>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
Łatwo zauważyć, że korzystając z tożsamości Ax i Bx dostaniemy 16 tożsamych definicji implikacji prostej p|=>q z których najważniejsze to:
1.
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q w spójnikach => i ~>:
Implikacja prosta p|=>q to spełniony wyłącznie warunek wystarczający => zachodzący między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1
B1: p~>q =0
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
2.
Definicja implikacji prostej p|=>q najłatwiejsza w dowodzeniu:
Implikacja prosta p|=>q to warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę
A1: p=>q =1
B3: q=>p =0
p|=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*~(0) =1*1 =1
Powyższa definicja jest najłatwiejsza w dowodzeniu ze względu na definicję kontrprzykładu, dotyczącą wyłącznie warunku wystarczającego =>.
Z reguły bardzo łatwo udowodnić tu fałszywość twierdzenia odwrotnego q=>p=0 podając jeden kontrprzykład.
3.2.1 Dowód prawdziwości zdań Ax i fałszywości Bx w implikacji p|=>q
Udowodnijmy prawdziwość zdań warunkowych „Jeśli p to q” Ax i i fałszywość Bx zapisanych w definicji ogólnej implikacji prostej p|=>q.
| Kod: |
Schemat 2
Układ implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q)=1*~(0)=1*1=1
r
______
-----o o-----
q | p |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienna wolna: r
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q=~p*q
|
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla implikacji prostej p|=>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja podstawowa implikacji prostej p|=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
A1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% żarówka q świeci się (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku B jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka świeciła się
##
B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% żarówka q świeci się (q=1)
p~>q =0
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki q, bowiem żarówkę może zaświecić przycisk r (zmienna wolna)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po udowodnieniu prawdziwości zdania A1 i fałszywości B1 nie musimy dowodzić prawdziwości pozostałych zdań serii Ax i fałszywości pozostałych zdań serii Bx bowiem prawa logiki matematycznej to rzecz święta, nie mogą być gwałcone.
Nie musimy dowodzić, nie oznacza iż nie możemy dowodzić.
Udowodnijmy zatem prawdziwość pozostałych zdań Ax i fałszywość pozostałych zdań Bx
Zdania prawdziwe serii Ax:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
A2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to żarówka może się ~> nie świecić (~q=1)
~p~>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) jest warunkiem koniecznym ~> dla nie świecenia się żarówki q (~q=1), bowiem jak przycisk p jest wciśnięty (p=1) to żarówka na 100% => świeci się
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
A3.
Jeśli żarówka świeci się (q=1) to może być ~> wciśnięty jest przycisk p (p=1)
q~>p =1
Świecenie się żarówki q jest warunkiem koniecznym ~> dla stwierdzenia iż przycisk p jest wciśnięty, bowiem jak żarówka nie świeci (~q=1) się to na 100% przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A3: q~>p = A4: ~q=>~p
A4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~q=1) to na 100% nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
~q=>~p=1
Brak świecenia się żarówki (~q=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, by być pewnym iż przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
Zdania fałszywe serii Bx:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
B2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to na 100% nie świeci się żarówka q (~q=1)
~p=>~q =0
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki q (~q=1) bowiem żarówkę może ~~> zaświecić przycisk r (zmienna wolna).
Dowód alternatywny:
Zdanie fałszywe bo kontrprzykład:
Zmienna wolna (przycisk r) która może ~~> zaświecić żarówkę (q=1)
B3.
Jeśli żarówka świeci się (q=1) to na 100% przycisk p jest wciśnięty (p=1)
q=>p =0
Świecenie się żarówki nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla wyciągnięcia wniosku iż przycisk p jest wciśnięty, bowiem żarówką może zaświecić przycisk r (zmienna wolna)
B4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~q=1) to przycisk p może być nie jest wciśnięty (~p=1)
~q~>~p =0
Brak świecenia się żarówki (~q=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego by przycisk p nie był wciśnięty (~p=1), wynika to z prawa Kubusia:
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B4: ~q~>~q = B3: q=>p =0
Zdanie B3 jest fałszem, zatem zdanie B4 również musi być fałszem
cnd
3.2.2 Analiza szczegółowa implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach
| Kod: |
Schemat 2
Układ implikacji prostej p|=>q w zdarzeniach:
p|=>q=(p=>q)*~(p~>q)=1*~(0)=1*1=1
r
______
-----o o-----
q | p |
------------- | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienna wolna: r
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|=>q=~p*q
|
Definicja implikacji prostej p|=>q
Implikacja prosta p|=>q to spełnienie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku:
A1: p=>q =1 - zachodzi (=1) warunek wystarczający =>
B1: p~>q =0 - nie zachodzi (=0) warunek konieczny ~>
Definicja implikacji prostej p|=>q w równaniu logicznym:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Na mocy definicji implikacji prostej p|=>q mamy:
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ze schematu ideowego widzimy że:
A1.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to żarówka na 100% zaświeci się (q=1)
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku p jest warunkiem wystarczającym => dla zaświecenia się żarówki
B1.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to żarówka na 100% zaświeci się (q=1)
p~>q =0
Wciśnięcie przycisku p jest (=1) nie warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki bowiem żarówkę może zaświecić przycisk r (zmienna wolna).
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> implikacji prostej p|=>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q =1
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W tym momencie korzystając wyłącznie z praw Kubusia i definicji kontrprzykładu możemy wygenerować symboliczną definicję implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~> q =0 - zajście p nie jest konieczne ~> dla zajścia q
AK: p~~>~q= p*~q =0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
A2:~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest wystarczające => dla zajścia ~q
BK:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być prawdą
|
Korzystając z definicji symbolicznej kontynuujemy naszą analizę operatora implikacji prostej p|=>q
Z prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>q =1 wynika fałszywość kontrprzykładu AK
AK.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~q=1)
p~~>~q=p*~q =0
Przypadek niemożliwy (=0) co doskonale widać na schemacie ideowym.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2 : ~p~>~q =1
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
Stąd mamy dalszą analizę szczegółową układu implikacji prostej p|=>q.
A2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to żarówka może ~> nie świeci się (~q=1)
~p~>~q =1
Nie wciśnięcie przycisku p jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby żarówka nie świeciła się bo jak przycisk p jest wciśnięty to żarówka na 100% => się świeci
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q
B2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to na 100% żarówka nie świeci się (~q=1)
~p=>~q =0
Brak wciśnięcia przycisku p (~p=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się (~q=1) bo żarówkę może zaświecić przycisk r (zmienna wolna)
Doskonale to widać na schemacie ideowym.
Prawa Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0) - przycisk p nie wciśnięty
(~q=1)=(q=0) - żarówka q nie świeci się
Na mocy definicji kontrprzykładu fałszywość warunku wystarczającego B2: ~p=>~q=0 wymusza prawdziwość kontrprzykładu BK.
BK.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to żarówka może ~~> się świecić (q=1)
~p~~>q = ~p*q =1
Ze schematu ideowego widzimy, że ten przypadek jest możliwy (=0), gdy wciśnięty jest przycisk r (zmienna wolna)
Zauważmy, że o fałszywości zdania AK decyduje spełniony warunek wystarczający A1, zaś o prawdziwości zdania BK decyduje fałszywy warunek wystarczający w zdaniu B2.
Zapiszmy naszą analizę symboliczną uwzględniając kontrprzykłady AK i BK oraz pomijając pozostałe zdania fałszywe.
| Kod: |
Symboliczna definicja implikacji prostej p|=>q:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
A1: p=> q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
AK: p~~>~q=0 - kontrprzykład dla A1 musi być fałszem
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =1
A2:~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
BK:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2 musi być prawdą
|
Zakodujmy naszą tabelę symboliczną zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia zdanie:
A1: p=>q
| Kod: |
Tabela 1
Kodowanie zero-jedynkowe równoważności dla punktu odniesienia A1: p=>q
Definicja |Co w logice |Dla punktu |Tabela zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |p=>q |p=>q
p=>q | | | p q p=>q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |( p=1)=> ( q=1)=1 | 1=> 1 =1
AK: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |( p=1)~~>( q=0)=0 | 1~~>0 =0
A2:~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |( p=0)~> ( q=0)=1 | 0~> 0 =1
BK:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1 =1
a b c d e f g h 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Zakodujmy naszą tabelę symboliczną zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia:
A2: ~p~>~q
| Kod: |
Tabela 2
Kodowanie zero-jedynkowe równoważności dla punktu odniesienia A2: ~p=>~q
Definicja |Co w logice |Dla punktu |Tabela zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A2:~p~>~q |dla A2:~p~>~q
~p~>~q| | |~p ~q ~p~>~q
A1: p=> q =1 |( p=1)=> ( q=1)=1 |(~p=0)=> (~q=0)=1 | 0=> 0 =1
AK: p~~>~q=0 |( p=1)~~>(~q=1)=0 |(~p=0)~~>(~q=1)=0 | 0~~>1 =0
B2:~p~>~q =1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 |(~p=1)~> (~q=1)=1 | 1~> 1 =1
BK:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |(~p=1)~~>(~q=0)=1 | 1~~>0 =1
a b c d e f g h 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach 1 i 2 jest dowodem zachodzącej poprawności matematycznej prawa Prosiaczka:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Można to udowodnić prościej korzystając z definicji znaczków => i ~>:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
Rozwijamy prawą stronę:
~p~>~q = (~p)+~(~q) = ~p+q = p=>q
cnd
Dowód braku przemienności argumentów w warunku wystarczającym =>:
p=>q = ~p+q
q=>p = ~q+p = p+~q
stąd mamy:
p=>q=~p+q ## q=>p=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Argumenty w warunku wystarczającym => nie są przemienne.
3.3 Komentarze do definicji operatora implikacji odwrotnej p|~>q
| Kod: |
Schemat 3
Układ implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
p|~>q=(p~>q)*~(p=>q)
q r p
------------- ______ ______
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienna wolna: r
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q=p*~q
|
Ze schematu ideowego widzimy że:
B1.
Wciśnięcie przycisku p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki
B1: p~>q =1
Żarówka zaświeci się gdy równocześnie przycisk r będzie wciśnięty.
A1.
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki
A1: p=>q =0
Bowiem dodatkowo musi być wciśnięty przycisk r
Stąd mamy:
Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:[/b]
Implikacja odwrotna to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> zachodzący miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla implikacji odwrotnej p|~>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii B1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii A1234
Łatwo zauważyć, że korzystając z tożsamości Ax i Bx dostaniemy 16 tożsamych definicji implikacji odwrotnej p|~>q z których najważniejsze to:
1.
Definicja podstawowa implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach => i ~>:
Implikacja odwrotna to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> zachodzący miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q najłatwiejsza w dowodzeniu:
Implikacja odwrotna p|~>q to warunek wystarczający => zachodzący wyłącznie w jedną stronę
B3: q=>p =1
A1: p=>q =0
p|=>q = (B3: q=>p)* (A1: p=>q) =1*~(0) =1*1 =1
Powyższa definicja jest najłatwiejsza w dowodzeniu ze względu na definicję kontrprzykładu, dotyczącą wyłącznie warunku wystarczającego =>.
Z reguły bardzo łatwo udowodnić tu fałszywość twierdzenia prostego p=>q=0 podając jeden kontrprzykład.
3.3.1 Dowód prawdziwości zdań Bx i fałszywości Ax w implikacji odwrotnej p|~>q
Udowodnijmy prawdziwość zdań warunkowych „Jeśli p to q” Bx i fałszywość Ax zapisanych w definicji ogólnej implikacji odwrotnej.
| Kod: |
Schemat 3
Układ implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
p|~>q=(p~>q)*~(p=>q)
q r p
------------- ______ ______
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienna wolna: r
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q=p*~q
|
Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:[/b]
Implikacja odwrotna to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> zachodzący miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla implikacji odwrotnej p|~>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja podstawowa Implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) =1*~(0)=1*1 =1
B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to żarówka może ~> się świecić (q=1)
B1: p~>q =1
Wciśnięcie przycisku p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki
Żarówka zaświeci się gdy równocześnie przycisk r będzie wciśnięty.
##
A1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to żarówka może ~> się świecić (q=1)
A1: p=>q =0
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki
Bowiem dodatkowo musi być wciśnięty przycisk r
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po udowodnieniu prawdziwości zdania B1 i fałszywości zdania A1 nie musimy dowodzić prawdziwości pozostałych zdań serii Bx i fałszywości pozostałych zdań Ax bowiem prawa logiki matematycznej to rzecz święta, nie mogą być gwałcone.
Nie musimy dowodzić, nie oznacza iż nie możemy dowodzić.
Zdania prawdziwe serii Bx:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
B2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to na 100% nie świeci się żarówka q (~q=1)
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku p jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby żarówka nie świeciła się
Oczywistość bo połączenie p i r jest szeregowe.
B3.
Jeśli żarówka świeci się (q=1) to na 100% przycisk p jest wciśnięty (p=1)
q=>p =1
Świecenie się żarówki jest warunkiem wystarczającym => dla wyciągnięcia wniosku iż przycisk p jest wciśnięty
B4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~q=1) to na 100% przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1)
~q~>~p =1
Brak świecenia się żarówki (~q=1) jest warunkiem koniecznym ~> do tego by przycisk p nie był wciśnięty (~p=1) bo jak żarówka świeci się (q=1) to na 100% przycisk p jest wciśnięty (p=1)
Prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B4: ~q~>~q = B3: q=>p
Zdania fałszywe serii Ax:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
A2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~q=1)
~p~>~q =0
Prawo Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q =0
Fałszywość zdania A1 wymusza nie spełnienie warunku koniecznego ~> w zdaniu A2
cnd
A3.
Jeśli żarówka świeci się (q=1) to może ~> być wciśnięty przycisk p (p=1)
q~>p =0
Świecenie żarówki q nie jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby wciśnięty był przycisk p bo prawo Tygryska:
A3: q~>p = A1: p=>q =0
Fałszywość zdania A1 wymusza brak spełnienia (=0) warunku koniecznego ~> w zdaniu A3.
A4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~q=1) to na 100% nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
~q=>~p =0
Zdanie fałszywe bowiem nie świecenie się żarówki wymusza => także brak wciśniętego przycisku r (zmienna wolna)
3.3.2 Analiza szczegółowa implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach
| Kod: |
Schemat 3
Układ implikacji odwrotnej p|~>q w zdarzeniach:
p|~>q=(p~>q)*~(p=>q)
q r p
------------- ______ ______
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienna wolna: r
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~>q=p*~q
|
Definicja operatora implikacji odwrotnej p|~>q:[/b]
Implikacja odwrotna to spełniony wyłącznie warunek konieczny ~> zachodzący miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
B1: p~>q =1 - warunek konieczny ~> spełniony (=1)
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla implikacji odwrotnej p|~>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja podstawowa Implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = (B1: p~>q)*~(A1: p=>q) =1*~(0)=1*1 =1
B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to żarówka może ~> się świecić (q=1)
B1: p~>q =1
Wciśnięcie przycisku p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zaświecenia się żarówki
Żarówka zaświeci się gdy równocześnie przycisk r będzie wciśnięty.
##
A1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to żarówka może ~> się świecić (q=1)
A1: p=>q =0
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki
Bowiem dodatkowo musi być wciśnięty przycisk r
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po udowodnieniu prawdziwości zdania B1 i fałszywości zdania A1 nie musimy dowodzić prawdziwości pozostałych zdań serii Bx i fałszywości pozostałych zdań Ax bowiem prawa logiki matematycznej to rzecz święta, nie mogą być gwałcone.
W tym momencie korzystając wyłącznie z praw Kubusia i definicji kontrprzykładu możemy wygenerować symboliczną definicję implikacji odwrotnej p|~>q:
| Kod: |
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q=(B1: p~>q)*~(A1: p=>q)=1*~(0)=1*1=1
A1: p=> q =0 - zajście p nie jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~> q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
AK: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być prawdą
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
A2:~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
BK:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem
|
Korzystając z definicji symbolicznej kontynuujemy naszą analizę operatora implikacji odwrotnej p|~>q
Z fałszywości warunku wystarczającego A1: p=>q =0 wynika prawdziwość kontrprzykładu AK
AK.
Jeśli wciśniemy przycisk p (p=1) to żarówka może ~~> nie świecić się (~q=1)
p~~>~q=p*~q =1
Przypadek możliwy (=0) gdy przycisk r (zmienna wolna) nie będzie wciśnięty
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2 : ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
Stąd mamy dalszą analizę szczegółową układu implikacji odwrotnej p|~>q:
A2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) żarówka może ~> nie świeci się (~q=1)
~p~>~q =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona bo prawo Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q =0
Fałszywość zdania A1 wymusza brak spełnienia warunku koniecznego ~> w zdaniu A2.
cnd
B2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) żarówka na 100% nie świeci się (~q=1)
~p=>~q =1
Brak wciśnięcia przycisku p (~p=1) jest warunkiem wystarczającym => dla nie świecenia się żarówki q (~q=1) bowiem przycisk p i zmienna wolna r połączone są szeregowo
Kontrprzykład dla B2 musi być fałszem:
BK.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to żarówka może ~~> się świecić (q=1)
~p~~>q = ~p*q =0
Ze schematu ideowego widzimy, że ten przypadek nie jest możliwy (=0)
Zauważmy, że o prawdziwości kontrprzykładu AK decyduje fałszywy warunek wystarczający w zdaniu A1, natomiast fałszywość kontrprzykładu BK wymusza spełniony warunek wystarczający => w zdaniu B2.
Zapiszmy naszą analizę symboliczną uwzględniając AK i BK oraz pozostałe zdania prawdziwe:
| Kod: |
Symboliczna definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q=(B1: p~>q)*~(A1: p=>q)=1*~(0)=1*1=1
B1: p~> q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
AK: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1 musi być prawdą
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =1
B2:~p=>~q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia ~q
BK:~p~~>q =0 - kontrprzykład dla B2 musi być fałszem
|
Zakodujmy naszą tabelę symboliczną zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia:
B1: p~>q
| Kod: |
Tabela 1
Kodowanie zero-jedynkowe równoważności dla punktu odniesienia B1: p~>q
Definicja |Co w logice |Dla punktu |Tabela zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |B1: p~>q |dla B1: p~>q
p~>q | | | p q p~>q
A1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |( p=1)~> ( q=1)=1 | 1~> 1 =1
AK: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0 =1
B2:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |( p=0)=> ( q=0)=1 | 0=> 0 =1
BK:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |( p=0)~~>( q=1)=0 | 0~~>1 =0
a b c d e f g h 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Zakodujmy naszą tabelę symboliczną zero-jedynkowo przyjmując za punkt odniesienia:
B2: ~p=>~q
| Kod: |
Tabela 2
Kodowanie zero-jedynkowe równoważności dla punktu odniesienia ~p<=>~q
Definicja |Co w logice |Dla punktu |Tabela zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |B2: ~p=>~q |dla B2: ~p=>~q
~p=>~q| | |~p ~q ~p=>~q
A1: p~> q =1 |( p=1)~> ( q=1)=1 |(~p=0)~> (~q=0)=1 | 0~> 0 =1
AK: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |(~p=0)~~>(~q=1)=1 | 0~~>1 =1
B2:~p=>~q =1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 |(~p=1)=> (~q=1)=1 | 1=> 1 =1
BK:~p~~>q =0 |(~p=1)~~>( q=1)=0 |(~p=1)~~>(~q=0)=0 | 1~~>0 =0
a b c d e f g h 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|( p=1)=(~p=0) |
|( q=1)=(~q=0) |
|
Tożsamość kolumn wynikowych 3 w tabelach 1 i 2 jest dowodem zachodzącego prawa Kubusia
A1: p~>q = B2: ~p=>~q
Można to udowodnić prościej korzystając wyłącznie z praw logiki matematycznej:
Definicja warunku wystarczającego =>:
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>:
p~>q = p+~q
Prawo Kubusia:
p~>q = ~p=>~q
Rozwijamy prawą stronę:
~p=>~q = ~(~p)+(~q) = p+~q = p~>q
cnd
Dowód braku przemienności argumentów w warunku koniecznym ~>:
p~>q = p+~q
q~>p = q+~p = ~p+q
stąd mamy:
p~>q=p+~q ## q~>p=~p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Wniosek:
Argumenty w warunku koniecznym ~> nie są przemienne.
3.4 Komentarz do definicji operatora chaosu p|~~>q
| Kod: |
Schemat 4
Układ operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach:
p|~~>q=~(p=>q)*~(p~>q)
s
______
---o o----
| |
q r | p |
------------- ______ | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienne wolne: r, s
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q =0
|
1.
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki
A1: p=>q =0
Dodatkowo musi być wciśnięty przycisk r
2.
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> zaświecenia się żarówki
B1: p~>q =0 - bo żarówkę może zaświecić przycisk s
Stąd mamy:
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzący ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla operatora chaosu p|~~>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
W obu równaniach A i B zmienne p i q muszą być tymi samymi zmiennymi inaczej popełniamy błąd podstawienia.
Wniosek:
Aby udowodnić iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią operatora chaosu p|~~>q potrzeba ~> i wystarcza => udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii A1234 oraz fałszywość dowolnego zdania serii B1234
Łatwo zauważyć, że korzystając z tożsamości Ax i Bx dostaniemy 16 tożsamych definicji operatora chaosu z których najważniejsze to:
1.
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzący ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
2.
Definicja operatora chaosu p|~~>q najłatwiejsza w dowodzeniu:
Operator chaosu to fałszywe twierdzenie proste p=>q i fałszywe twierdzenie odwrotne q=>p
A1: p=>q =0
B3: q=>p =0
p|=>q = ~(A1: p=>q)*~(B3: q=>p) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Powyższa definicja jest najłatwiejsza w dowodzeniu ze względu na definicję kontrprzykładu, dotyczącą wyłącznie warunku wystarczającego =>.
Z reguły bardzo łatwo udowodnić fałszywość twierdzenia prostego p=>q=0 oraz fałszywość twierdzenia odwrotnego q=>p=0 podając jeden kontrprzykład.
3.3.1 Dowód fałszywości zdań Ax i fałszywości Bx w implikacji odwrotnej p|~>q
Udowodnijmy fałszywość zdań warunkowych „Jeśli p to q” Bx i fałszywość Ax zapisanych w definicji ogólnej implikacji odwrotnej.
| Kod: |
Schemat 4
Układ operatora chaosu p|~~>q w zdarzeniach:
p|~~>q=~(p=>q)*~(p~>q)
s
______
---o o----
| |
q r | p |
------------- ______ | ______ |
-----| dioda LED |-------o o-----o o----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
----------------------------------------------
Zmienne związane definicją: p, q
Zmienne wolne: r, s
Definicja w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p|~~>q =0
|
Definicja operatora chaosu p|~~>q:
Operator chaosu p|~~>q to nie zachodzący ani warunek wystarczający =>, ani też konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - warunek wystarczający => nie spełniony (=0)
B1: p~>q =0 - warunek konieczny ~> nie spełniony (=0)
Stąd mamy:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dla operatora chaosu p|~~>q:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =0
##
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja podstawowa operatora chaosu p|~~>q:
A1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% żarówka świeci się (q=1)
p=>q =0
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => zaświecenia się żarówki
Dodatkowo musi być wciśnięty przycisk r (zmienna wolna)
##
B1.
Jeśli wciśnięty jest przycisk p (p=1) to na 100% żarówka świeci się (q=1)
p~>q =0
Wciśnięcie przycisku p nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> zaświecenia się żarówki, bo żarówkę może zaświecić przycisk s (zmienna wolna)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Po udowodnieniu fałszywości zdania A1 i fałszywości zdania B1 nie musimy dowodzić fałszywości pozostałych zdań Ax i fałszywości pozostałych zdań Bx bowiem prawa logiki matematycznej to rzecz święta, nie mogą być gwałcone.
Nie musimy dowodzić, nie oznacza iż nie możemy dowodzić.
Zdania fałszywe serii Ax:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p =1
A2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to żarówka może ~> się nie świecić (~q=1)
~p~>~q =0
Prawo Kubusia:
A2: ~p~>~q = A1: p=>q =0
Fałszywość zdania A1 wymusza nie spełnienie warunku koniecznego w zdaniu A2
cnd
A3.
Jeśli żarówka świeci się (q=1) to może ~> być wciśnięty przycisk p (p=1)
q~>p =0
Świecenie żarówki q nie jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby wciśnięty był przycisk p bo prawo Tygryska:
A3: q~>p = A1: p=>q =0
Fałszywość zdania A1 wymusza brak spełnienia (=0) warunku koniecznego ~> w zdaniu A3.
A4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~q=1) to na 100% nie jest wciśnięty przycisk p (~p=1)
~q=>~p =0
Zdanie fałszywe bowiem nie świecenie się żarówki wymusza => także brak wciśniętego przycisku r (zmienna wolna)
Zdania fałszywe serii Bx:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p =0
B2.
Jeśli przycisk p nie jest wciśnięty (~p=1) to na 100% nie świeci się żarówka q (~q=1)
~p=>~q =0
Nie wciśnięcie przycisku p (~p=1) nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki q (~q=1) bowiem żarówkę mogą ~~> zaświecić przyciski r i s razem wciśnięte (zmienne wolne).
B3.
Jeśli żarówka świeci się (q=1) to na 100% przycisk p jest wciśnięty (p=1)
q=>p =0
Świecenie się żarówki nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla wyciągnięcia wniosku iż przycisk p jest wciśnięty, bowiem żarówkę mogą zaświecić przycisk r i s razem wciśnięte (zmienne wolne)
B4.
Jeśli żarówka nie świeci się (~q=1) to przycisk p może być nie jest wciśnięty (~p=1)
~q~>~p =0
Brak świecenia się żarówki (~q=1) nie jest warunkiem koniecznym ~> do tego by przycisk p nie był wciśnięty (~p=1).
Wynika to z prawa Kubusia:
B4: ~q~>~q = B3: q=>p =0
Zdanie B3 jest fałszem, zatem w zdaniu B4 nie jest spełniony warunek konieczny ~>.
cnd
Na mocy powyższe analizy możemy utworzyć tabelę prawdy:
| Kod: |
Symboliczna definicja operatora chaosu p|~~>q:
p|~~>q=~(p~>q)*~(p=>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1: p=> q =0 - zajście p nie jest wystarczające => dla zajścia q
B1: p~> q =0 - zajście p nie jest konieczne ~> dla zajścia q
AK: p~~>~q=1 - kontrprzykład dla A1, możliwe jest zajście p i ~q
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q =0
B1: p~>q = B2: ~p=>~q =0
A2:~p~>~q =0 - zajście ~p nie jest konieczne ~> dla zajścia ~q
B2:~p=>~q =0 - zajście ~p nie jest wystarczające => dla zajścia ~q
BK:~p~~>q =1 - kontrprzykład dla B2, możliwe jest zajście ~p i q
|
Jak widzimy, na bazie tabeli wyżej nie da się utworzyć tabeli zero-jedynkowej operatora chaosu p|~~>q.
Wobec braku spełnionych warunków wystarczających => i koniecznych ~> w operatorze chaosu musimy prześledzić układ zdarzeniami możliwymi prze wszystkie możliwe przecenia p i q.
| Kod: |
A1: p~~>q = p* q=1 - wciśnięcie przycisku p może ~~> zaświecić q (gdy r=1)
AK: p~~>~q= p*~q=1 - wciśnięcie p może ~~> nie zaświecić q (gdy r=0)
B2:~p~~>~q=~p*~q=1 - nie wciśnięcie p może ~~> nie zaświecić q (gdy r=0)
BK:~p~~> q=~p* q=1 - nie wciśnięcie p może ~~> zaświecić q (r=1 i s=1)
|
Dla punktu odniesienia A1:
A1: p~~>q
Mamy tabelę zero-jedynkową zdarzenia możliwego ~~>.
| Kod: |
Tabela 1
Kodowanie zero-jedynkowe równoważności dla punktu odniesienia B1: p~>q
Definicja |Co w logice |Dla punktu |Tabela zero-jedynkowa
symboliczna |jedynek oznacza |A1: p~~>q |dla A1: p~~>q
p~>q | | | p q p~~>q
A1: p~~>q =1 |( p=1)~~>( q=1)=1 |( p=1)~~>( q=1)=1 | 1~~>1 =1
AK: p~~>~q=1 |( p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=1)~~>( q=0)=1 | 1~~>0 =1
B2:~p~~>~q=1 |(~p=1)~~>(~q=1)=1 |( p=0)~~>( q=0)=1 | 0~~>0 =1
BK:~p~~>q =1 |(~p=1)~~>( q=1)=1 |( p=0)~~>( q=1)=1 | 0~~>1 =1
a b c d e f g h 1 2 3
|Prawa Prosiaczka |
|(~p=1)=( p=0) |
|(~q=1)=( q=0) |
|
Nagłówek w kolumnie 3 pokazuje wyłącznie linię A1abc względem której dokonano kodowania zero-jedynkowego.
Definicja zdarzenia możliwego ~~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego to kompletna tabela zero-jedynkowa 123.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
