ŚFiNiA

Michał Dyszyński

Twierdzenie Goedla mówi nam, że każda teoria zgodna z aksjomatyką Peano jest w stanie obsługiwać takie twierdzenia, które co prawda dadzą się w ramach owej teorii sformułować, ale już nie dadzą się dowieść, system teoretyczny ich "nie obsłuży" w pełni. Można by powiedzieć, że niemal każda (od pewnego poziomu złożoności) teoria jest w jakiś sposób "dziurawa", niekompletna.
Te problem z obsłużeniem zagadnień teorii przez nią samą chciałbym rozpatrzyć jeszcze szerzej - nie tylko w kontekście dowodliwości, ale ogólnej poprawności funkcjonowania operacji w ramach teorii.
Aby sprawę przybliżyć osobom mniej zainteresowanym logiką opiszę sprawę na przykładzie, który już niejednokrotnie przedstawiałem, choć dzisiaj chcę mu nadać nowy kontekst i rozszerzenie. Weźmy sobie teorię liczb.
Liczby naturalne - obsługują następstwo (postulat samej aksjomatyki Peano), dodawanie, mnożenie. Dla dowolnej liczby naturalnej można poddać liczbę następną, można dodać do niej inną liczbę naturalną, można dwie liczby pomnożyć przez siebie. Dodając operację odwrotną do mnożenie - dzielenie - napotkamy jednak na problem, bo niektóre liczby się podzielić przez siebie (bez reszty) dadzą, a inne już nie. System liczb naturalnych jest niekompletny, dzielenie robi w nim "dziurę".
Jest na to metoda - ROZSZERZENIE SYSTEMU. W tym wypadku matematycy poradzili sobie tak, że zaproponowali szerszy system - liczby wymierne. Gdy liczby naturalne rozbudujemy do systemu liczb wymiernych, już prawie (mamy wyjątek w postaci dzielenia przez zero) każda para liczb da się przez siebie podzielić.
Analogicznie rozszerzeniem liczb naturalnych w kontekście dodawania i odejmowania będzie problem z liczbami mniejszymi od zera - tam liczy całkowite "uszczelnią nam" system dając jego kompletność w kontekście operacji dodawani i odwrotnej - odejmowania.
Na tym oczywiście nie koniec możliwości rozszerzania teorii liczbowych. Liczby wymierne te są "dziurawe" jako system - problem pojawia się, gdy wprowadzimy operację najpierw potęgowania, a potem odwrotną pierwiastkowania. Znowu rozwiązaniem jest wprowadzenie z jednej liczb algebraicznych (dołączenie obsłuży tylko pierwiastki z liczb dodatnich), a z drugiej liczb zespolonych (wtedy system domknie się nam także dla pierwiastków z liczb ujemnych).
Co ciekawe - takie rozszerzanie systemów liczbowych nie jest całkiem bez skutków ubocznych. Np. po przejściu od liczb naturalnych do wymiernych tracimy operację następstwa - bo liczby wymierne są "nieskończenie gęste", nie ma czegoś takiego jak następna liczba po 2/3. Przechodząc od liczb rzeczywistych do liczb zespolonych, tracimy z kolei uporządkowanie - relację większy - mniejszy, czyli gdy dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych da się powiedzieć, która z nich jest większa, to dla liczb zespolonych to się nie stosuje (można co prawda szeregować moduły liczb, ale to już działa znacząco inaczej, mniej "natywnie").
Liczby zespolone też wcale nie są kresem rozwoju koncepcji liczby - mamy kwaterniony, oktaniony i jeszcze inne systemy liczbowe (a nawet przestrzenie wektorowe, które też można uznać z jedną z dróg rozszerzanie idei liczby).

W tym wszystkim powtarza się nieustannie ten sam schemat: stary system generuje nam jakąś operację, która jest częściowo obsługiwana, jednak częściowo daje wyniki nieinterpretowalne w ramach systemu. WYCHODZĄC PONAD dany system, traktując go jako przypadek szczególny rozumowania szerszego, odzyskujemy spójność danej operacji (już w ramach nowego systemu), tracąc jednak najczęściej jakieś inne operacje systemowe. Ważnym elementem tego postępowania jest KONIECZNOŚĆ WPROWADZENIA NOWYCH DEFINICJI. Oto liczba naturalna jest właściwie inną liczbą niż liczba zespolona. Pierwsza jest przypadkiem szczególnym drugiej, jest skonstruowanym nowym układem odniesień (to jednocześnie jest też i impuls do innego ciekawego wniosku - że rzeczy nie mają JEDNEJ definicji - definicja to nie jest coś, oczywistego raz na zawsze, lecz coś co konstruujemy w ramach tego, DO JAKIEGO CELU używamy naszego systemu myślowego (nie ma więc najczęściej powodu kłócić się ze sobą w stylu "jest tylko tak, jak ja uważam, bo definicja jest jedna - ta moja").

To spostrzeżenie chciałbym teraz znowu uogólnić. Może w tym postępowaniu jest jakaś ogólna reguła?
Może tak jest zawsze?...
- Ściślej, stawiam hipotezę, że właściwie dla dowolnego systemu pojęciowego odpowiednio spójnego i jednoznacznego, da się najpierw znaleźć w nim "dziurę", czyli operację, która wyprowadza wyniki poza system, a potem rozszerzenie, czyli takie uzupełnienie zbioru, na którym system operuje, że dziura "zostanie załatana", odzyskamy spójność - jakąś tam kontrolę nad systemem, choć nieraz tracąc coś przy tej okazji.

Twierdzę zatem, że operację podobną do rozszerzanie ciała liczbowego daje się przeprowadzić praktycznie dla każdej teorii, systemu idei. Wtedy będziemy mogli coś przedefiniować, aby pozbyć się jakiegoś rodzaju paradoksu, który psuje nam obraz poprzednich rozumowań, daje wyniki nieinterpretowalne. Rozszerzając nasz system myślowy odzyskujemy możliwość opisywania idei (może też doznań świata), mając z jednej strony cały czas korzyści z tego co już zdobyliśmy (stary system), ale też "wypłynięcie na szersze wody", czyli szanse na interpretację zupełnie nowych zjawisk i koncepcji.

Na koniec chcę dodać wtręt osobisty.
Powyższą hipotezę od lat traktuję jako swego rodzaju oczywistość - uznaję jej konieczność i zasadność. Ale też dopiero dzisiaj jakoś "mnie oświeciło", że może nie jest ona taka oczywista dla innych ludzi. Więc ją tutaj sformułowałem, trochę też w nadziei, że części ludziom dyskutującym ze mną oszczędzę jakichś form frustracji, wynikającej z tego, że czasem moje wytłumaczenia aspirują do czegoś, co może być nieoczywiste, trudne do dostrzeżenia. Ja sam stosuję po prostu zasadę:
jak się coś nam jawi jako niemożliwe, może paradoksalne w ramach systemu, który znamy, to pewnie nie jest to problemem ostatecznym, lecz jest po prostu wyzwaniem, impulsem do wymyślenia takiego systemu interpretacji, który nam dany problem ukaże w nowej perspektywie i w ramach owej perspektywy, zagadnienie da się opisać, wytłumaczyć w jakiś nowy sposób. Taką zasadę stosuję sobie sam. Może znajdę tez osoby, które będą dzieliły ze mną ową nadzieję, iż rozumowanie daje się rozszerzać, uzyskiwać konsensus w ramach nowych systemów rozumienia i definiowania idei.