ŚFiNiA

Michał Dyszyński

Fizykom i matematykom znane jest pojęcie analityczności rozwiązania jakiegoś tam problemu - np. równania różniczkowego opisującego jakieś tam zjawisko. Ludzie nie z branży fizykomatematycznej najczęśćiej nie wiedzą, o co w tym pojęciu może chodzić, nawet go nie znają. Dla nich to, skrótowo ów termin wyjaśnię. Analityczność rozwiązania jakiegoś problemu matematycznego (w fizyce wynikające z zastosowania znanych praw - równań) dotyczy rozwiązań danych jakąś funkcją, zależną od X, y, czasu. Rozwiązanie jest analityczne wtedy, gdy w całości daje się przedstawić jako wynik mnożenia, dodawania, potęgowania plus pewien katalog (relatywnie wąski) poznanych funkcji matematycznych (np. funkcja wykładnicza, trygonometryczna i parę innych). Krótko mówiąc, analityczne jest to, co daje się przedstawić za pomocą sum, różnic, mnożeń znanych nam funkcji.

Okazuje się jednak, że bardzo wiele problemów nie ma rozwiązań analitycznych w ogóle (udowodniono to), ewentualnie nikt nie potrafi takich rozwiazań podać. Są to nieraz relatywnie proste problemy - np. problem trzech oddziałujących ciał. Co wtedy?
Są dwa wyjścia?
- przedstawienie owych funkcji w postaci wartości - jakichś zbiorów tabel liczb - rozwiązanie to jest niedokładne, bo funkcja najczęściej ma nieskończoną liczbę wartości, a my w tabeli możemy zapisać tylko wybrane z nich (i do tego ze skończoną dokładnością).
- przedstawienie rozwiązania w postaci nieskończonego szeregu - najpierw jest funkcja (już analityczna - np. sinus, czy potęga x-a) najbardziej zgrubnie, z dużym błędem, ale zbliżając się do rozwiązania, ujmuje sprawę, potem dokłada się pierwszą poprawkę (też jakąś funkcję), dalej poprawkę drugą, trzecią itd... Ale dopiero nieskończona liczba funkcji poprawiających nam (zbliżamy się asymptotycznie) niedokładności poprzedniego odwzorowania byłaby pełnym rozwiązaniem. Oczywiście nie da się fizycznie przedstawić nieskończonego szeregu funkcyjnego, można próbować tylko tak dobrać ten szereg, że pierwsze (te wypisane) wyrazy będą zawierały większość tego, o co nam chodzi, zaś te następne będą dokładały coraz mniejsze poprawki.
Można chyba przyjąć, że 99,9999999..% rozwiązań wszystkich problemów, jakie fizycy byliby w stanie postawić jest NIEANALITYCZNE. Właściwie to świat jest nieanalityczny!
To nie brak rozwiązań analitycznych jest wyjątkiem na tle, tych analitycznych, lecz odwrotnie - czasem, wyjątkowo rzadko w ogólnej masie problemów, da się postawić tak dobrany problem, że jego rozwiązanie jest analityczne.
Takie problemy daje się uczniom w szkole do rozwiązywania. Na lekcjach fizyki, matematyki uczniowie rozwiązują problemy analityczne, bo w ten sposób w ogóle uczą się reguł matematyki. Czyli uczą się na czymś, co te reguły klarownie spełnia.
Analityczność można też porównać do liczb wymiernych, a nieanalityczność do niewymiernych. Wiadomo jest, że liczb wymiernych jest nieskończenie wiele, ale tych niewymiernych jest nie dość, że nieskończenie wiele, to jest to nieskończoność większa (zbiór klasy continuum), niż zbiór liczb wymiernych (zbiór przeliczalny).

Świat znanej nam fizyki jest nieanalityczny w ogólności (z wyjątkiem właśnie tych bardzo rzadkich wyjątków). Jednak większość ludzi ma o tym świecie odwrotne przekonanie - wyobrażają sobie, że nauka, która ten świat objaśnia, robi to dokładnie - że stwierdza po prostu "co jest" z nieskończoną dokładnością i pewnością. Jest to pogląd nie tylko naiwny, ale jawnie sprzeczny z metodologią nauki i wiedzą naukową. Ta wiedza nam mówi, że świat możemy poznawać WYŁĄCZNIE W PRZYBLIŻENIU.
Przy czym warto pochylić się nad tym wyrażeniem "poznanie w przybliżeniu" w kontekście świata, bo związane z nim pojęcie ma swoją niebanalną, wielowarstwową strukturę. Przybliżenie związane jest niepewnością, rozmyciem funkcjonującym na wielu etapach poznania:
1. Nie pobieramy danych w postaci dokładnej (nie zapisujemy ich z nieskończoną dokładanością)
2. Nie formułujemy problemów w postaci dokładnej (zwykle formułujemy tylko dość proste modele, czyli ZANIEDBUJEMY to, co nas mniej interesuje w danym momencie, choć najczęściej nawet nie jesteśmy pewni, czy to co zaniedbaliśmy, zostało zaniedbane słusznie)
3. Nie formułujemy problemów w postaci dokładnej także dlatego, że nie umiemy POSTAWIĆ PYTAŃ inaczej, jak tylko biorąc je z własnych wyobrażeń - barierą jest konkretny, ten a nie inny typ naszej umysłowości. Być może kosmici, którzy mają zupełnie inne nawyki intelektualne, opisywaliby świat znacząco innymi, niż te nasze (choć w działaniu podobnie, albo bardziej skutecznymi) koncepcjami.
4. Dla już sformułowanych problemów najczęściej potrafimy znaleźć rozwiązania tylko przybliżone (tu siedzi ta główna nieanalityczność, o której pisałem na początku)
5. Chcąc obliczyć konkretną wartość liczbową - wyznaczyć wartość funkcji - z kolei też (najczęściej) nie możemy zrobić tego dokładnie. Już prosty pierwiastek kwadratowy, z liczby naturalnej (z wyjątkiem tych nielicznych, będących kwadratem liczby naturalnej) zapisywany jest bowiem jako nieskończona liczba cyfr rozwinięcia, z którym podać fizycznie da się ograniczoną ilość.

Analityczność, modelowalność, opisywalność świata jest zatem nie tyle "wierzchołkiem góry lodowej" w stosunku do całości poprawnych opisów świata, co...
punkcikiem na wierzchołeczku, wierzchołeczka... wierzchołeczka tej góry lodowej. To coś tak znikomo małego w porównaniu do tych rozwiązań nieanalitycznych, że nawet nie bardzo potrafimy sobie to wyobrazić.
Ale że w szkole uczy się tych wybranych, specjalnie skonstruowanych, przypadków analitycznych, to wielu wynosi z tej nauki przekonanie, że nauka "wyjaśniła świat", w znaczeniu po prostu "wie dokładnie jak to jest". Ale to jest złudzenie, które bierze się z naszego systemu edukacji, który skupia się na tym, co umie jakoś sformułować (trudno się temu dziwić), ale też prawie nigdy nie wspomina o tym, że zaniedbał duuuuużo dużo więcej z tego, co ostatecznie stanowi nasz świat, ale nie daje się obejmować umysłem.

To wszystko ma swoje bardzo ciekawe filozoficzne konsekwencje... :think: