 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Czw 8:44, 24 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatnie czytanie!
Po raz ostatni przed premierą czytam od początku algebrę Kubusia likwidując literówki i udoskonalając przekaz.
Przed chwilką po raz trzeci w sposób znaczący uprościłem opis operatora "albo" p|$q
Kto zrozumie spójnik "albo" p$q ten bez problemu zrozumie całą algebrę Kubusia
Wierzę, że tak się stanie bowiem jest to wiedza matematyczna na poziomie 5-cio latka - oczywiście w rozumieniu zdań warunkowych "Jeśli p to q" tworzących operator "albo" p$q
Dowód:
Który 5-cio latek nie zrozumie przykładowego zdania?
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Oczywiście wszystkie 5-cio latki doskonale rozumieją iż powyższe zdanie jest prawdziwe bo dowolny człowiek może być wyłącznie mężczyzną "albo"($) kobietą.
Prawo Smoka Wawelskiego:
Nie jest możliwe, aby dowolny ziemski matematyk był głupszy od 5-cio latka i nie zrozumiał poniższego, matematycznego opisu spójnika "albo"($).
Chociaż...
Twardogłowi ziemscy matematycy, fanatycy gówna zwanego "implikacją materialną" mogą mieć tu poważny problem.
Tylko dwie rzeczy są nieskończone: wszechświat oraz ludzka głupota, choć nie jestem pewien co do tej pierwszej.
Albert Einstein
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-w-przebudowie,18899.html#593841
Algebra Kubusia
3.4 Definicje podstawowe - „albo” p$q i chaos p|~~>q
Spis treści
3.4 Definicja spójnika „albo” p$q wsparta przykładem M$K 1
3.4.1 Operator „albo” p|$q wsparty przykładem M|$K 6
3.4 Definicja spójnika „albo” p$q wsparta przykładem M$K
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
W wyjaśnianiu definicji spójnika „albo” p$q i operatora „albo” p|$q wspomożemy się konkretnym przykładem z teorii zbiorów {M$K), mającym przełożenie 1:1 na logikę formalną {p$q} pozwalającym łatwo zrozumieć o co tu chodzi.
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi
Stąd mamy definicję dziedziny:
M+K = C =1 - bo zbiór kobiet (K) jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru mężczyzn (M)
M*K =[] =0 - bo zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K)
Obliczamy przeczenia zbiorów rozumiane jako ich uzupełnienia do dziedziny:
~M = [C-M] = [M+K-M] =K
~K = [C-K] = [M+K-K]=M
to samo po zamianie argumentów w tożsamości zbiorów:
M = ~K - człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
K=~M - człowiek jest kobietą (K=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest mężczyzną (~M=1)
Narysujmy diagram w zbiorach pasujący do tego zdania.
Diagram spójnika „albo” p$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
| Kod: |
DA:
Diagram spójnika „albo” p$q w zbiorach/zdarzeniach
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina) |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne |
| Podstawmy nasz przykład: |
| p=M - zbiór wszystkich mężczyzn |
| q=K - zbiór wszystkich kobiet |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy: |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi |
| M+K =C =1 - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla M |
| M*K =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna) | Zbiór: q=K (kobieta) |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p: | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) |
| Dla p=M i q=K mamy: | Dla p=M i q=K mamy: |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # K=~M - K jest negacją (~)M w C |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Dowód iż p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Przepiszmy trzy ostatnie linie diagramu DA popełniając błąd podstawienia:
| Kod: |
DA
--------------------------------------------------------------------------
| Dla p=M i q=K mamy: | Dla p=K i q=M (błąd podstawienia) |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # M=~K - M jest negacją (~)K w C |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
|
W ostatniej linii mamy tożsamość zbiorów:
M=~K [=] M=~K
Czyli:
Definicja znaczka # leży w gruzach bo popełniono błąd podstawienia co widać w diagramie
cnd
Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Tabela prawdy spójnika „albo” p$q wsparta przykładem M$K
| Kod: |
TA:
Tabela prawdy spójnika „albo”($)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Dla naszego przykładu mamy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {M,K}:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną jest wystarczające => by nie być kobietą
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K =1 [=] 3: ~K~>M =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q=0 = [=] = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K=0 = [=] = 4: K~~>M =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K =1 [=] 3: ~K=>M =1 = 4: K~>~M =1
B’: = 2:~p~~>~q=0 [=] 3: ~q~~>~p=0
B’: = 2:~M~~>~K=0 [=] 3: ~K~~>~M=0
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1: A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p „albo”($) zajdzie q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Trzeciej możliwości brak
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło ~q
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Nasz przykład:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) albo($) kobietą (K)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Trzeciej możliwości brak
Prawą stronę czytamy:
Aby być mężczyzną (M=1) potrzeba ~> i wystarcza => iż nie jest się kobietą (~K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Wniosek:
W spójniku „albo” p$q zachodzi tożsamość zbiorów:
p=~q
Stąd mamy tożsamą równoważność p<=>~q prawdziwą:
p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p$q
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~q
p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Prawą stronę powyższej równoważności czytamy:
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło ~q
p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Nasz przykład:
A1B1: M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M$K
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawą stronę powyższej równoważności czytamy:
Aby być mężczyzną (M=1) potrzeba ~> i wystarcza => iż nie jest się kobietą (~K=1)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Definicja definicji podstawowej dowolnego spójnika implikacyjnego:
Definicja podstawowa dowolnego spójnika implikacyjnego to definicja tego spójnika w logice dodatniej (bo q).
Jeśli w definicji dowolnego spójnika implikacyjnego nie zaznaczamy w jakiej jest logice to domyślnie chodzi nam o definicję podstawową tego spójnika.
Mówiąc o definicji podstawowej możemy zatem pominąć sygnalizację w jakiej logice ta definicja jest wyrażona.
Definicja spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Kolumna A2B2:
Spójnik „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p „albo”($) zajdzie ~q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby zaszło ~p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Nasz przykład:
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) albo($) nie jest kobietą (~K=1)
A2B2: ~M$~K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
Trzeciej możliwości brak
Prawą stronę czytamy:
Aby nie być mężczyzną (~M=1) potrzeba ~> i wystarcza => iż jest się kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = 1*1 =1
Definicja tożsamości zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Wniosek:
W spójniku „albo” ~p$~q zachodzi tożsamość zbiorów:
~p=q
Stąd mamy tożsamą równoważność ~p<=>q prawdziwą:
A2B2: ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = p$q
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie ~p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A2B2: ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Prawą stronę powyższej równoważności czytamy:
Do tego aby zaszło ~p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło q
A2B2: ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1 =1
Nasz przykład:
A2B2: ~M<=>K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) = M$K
Lewą stronę czytamy:
Dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
A2B2: ~M<=>K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
Prawą stronę powyższej równoważności czytamy:
Aby nie być mężczyzną (~M=1) potrzeba ~> i wystarcza => iż jest się kobietą (K=1)
A2B2: ~M<=>K = (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K) =1*1 =1
3.4.1 Operator „albo” p|$q wsparty przykładem M|$K
Zacznijmy od definicji spójnika „albo” p$q wspartego przykładem M$K
Definicja podstawowa spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) to jednoczesne zachodzenie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p do ~q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = 1*1 =1
Diagram spójnika „albo” p$q wspomagany przykładem o mężczyźnie (M) i kobiecie (K)
| Kod: |
DA:
Diagram spójnika „albo” p$q w zbiorach (zdarzeniach)
--------------------------------------------------------------------------
| D (dziedzina) |
| p+q =D =1 - zbiór q jest uzupełnieniem do dziedziny D dla zbioru p |
| p*q =[]=0 - zbiory p i q są rozłączne |
| Podstawmy nasz przykład: |
| p=M - zbiór wszystkich mężczyzn |
| q=K - zbiór wszystkich kobiet |
| Dla zmiennych aktualnych M (mężczyzna) i K (kobieta) mamy: |
| C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi |
| M+K =C =1 - zbiór K jest uzupełnieniem do dziedziny C dla M |
| M*K =[]=0 - zbiór M jest rozłączny ze zbiorem K w dziedzinie C |
--------------------------------------------------------------------------
: Zbiór: p=M (mężczyzna) | Zbiór: q=K (kobieta) |
| A1B1: Spójnik „albo”($) dla p: | A2B2: Spójnik „albo”($) dla ~p |
| p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) [=] ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) |
| M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) [=] ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) |
| Dla p=M i q=K mamy: | Dla p=M i q=K mamy: |
| p=~q - p jest negacją (~)q w D # q=~p - q jest negacją (~)p w D |
| M=~K - M jest negacją (~)K w C # K=~M - K jest negacją (~)M w C |
--------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
[=] - tożsamość logiczna
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Tabela prawdy spójnika „albo” p$q wsparta przykładem M$K
| Kod: |
TA:
Tabela prawdy spójnika „albo”($):
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p,q}:
A1: p=>~q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla ~q
B1: p~>~q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1=1
Dla naszego przykładu mamy punkt odniesienia:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie aktualnym {M,K}:
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną jest wystarczające => by nie być kobietą
B1: M~>~K=1 - bycie mężczyzną jest konieczne ~> by nie być kobietą
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q =1 [=] 3: ~q~>p =1 = 4: q=>~p =1
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K =1 [=] 3: ~K~>M =1 = 4: K=>~M =1
A’: 1: p~~>q=0 = [=] = 4: q~~>p =0
A’: 1: M~~>K=0 = [=] = 4: K~~>M =0
## ## | ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q =1 [=] 3: ~q=>p =1 = 4: q~>~p =1
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K =1 [=] 3: ~K=>M =1 = 4: K~>~M =1
B’: = 2:~p~~>~q=0 [=] 3: ~q~~>~p=0
B’: = 2:~M~~>~K=0 [=] 3: ~K~~>~M=0
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1: A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
Operator „albo” p|$q to układ równań logicznych:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja dowolnego operatora implikacyjnego p||?q:
Operator implikacyjny p||?q to odpowiedź na pytanie co się stanie jeśli zajdzie p oraz co się stanie jeśli zajdzie ~p
| Kod: |
T2.
Równanie operatora „albo” p|$q:
A1B1: A2B2:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p$~q
bo prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd
|
Dlaczego to jest równanie operatora „albo” p|$q?
A1B1: W kolumnie A1B1 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie p
A2B2: W kolumnie A2B2 mamy odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p
Stąd mamy:
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytanie o p i ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~p) to układ równań logicznych A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na pytanie o ~p i p
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Z tabeli T2 odczytujemy tożsamość logiczną:
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
Definicja tożsamości logicznej:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy
1.
Udowodnienie iż dany układ spełnia definicję spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem iż ten sam układ spełnia definicję spójnika „albo” ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q), albo odwrotnie.
A1B1: p$q = A2B2:~p$~q
Na mocy definicji operatorów logicznych p|$q i ~p|$~q widzimy, że udowodnienie prawdziwości 1 pociąga za sobą prawdziwość 2:
2.
p|$q = ~p|$~>~q
cnd
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja[b] podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = [b]relacja nadzbioru ~>
Operator „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dających odpowiedź na pytanie o p i ~p
Kolumna A1B1:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p (p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) =1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) = p<=>~q
Powyższe równanie logiczne definiuje tożsamość zbiorów:
p=~q
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p (p=1) to na 100% => zajdzie ~q (~q=1)
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów/pojęć:
p=~q
stąd:
p=>~q = ~q=>~q =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Zbiory:
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to na 100 => należy do zbioru ~q
p=>q =1
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
p=~q
stąd:
p=>~q = p=>p =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p jest wystarczająca => do tego, aby ten element należał do zbioru ~q
Przynależność dowolnego elementu do zbioru p daje nam gwarancję matematyczną => iż ten element należy do zbioru ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Nasz przykład:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż nie jesteśmy kobietą (~K=1)
Oczywistość z powodu tożsamości zbiorów:
M=~K
Zdarzenia:
Zajście zdarzenia p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
p=>~q =1
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
p=~q
stąd:
p=>~q = p=>p =1 - bo każde pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywy kontrprzykład A1’ i odwrotnie:
A1’.
Jeśli zajdzie p (p=1) to może ~~> zajść q (q=1)
p~~>q = p*q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia p i q są rozłączne
Dowód:
Z diagramu DA odczytujemy:
p=~q
stąd:
p~~>q = ~q~~>q = ~q*q = [] =0
cnd
Zbiory:
A1’
Jeśli dowolny element należy do zbioru p to może ~~> należeć do zbioru q
p~~>q = p*q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia p i q są rozłączne
Nie istnieje (=0) element wspólny zbiorów ~~> p i q, bo zbiory p i q są rozłączne.
Nasz przykład:
A1’
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =[] =0
Nie istnieje wspólny element zbioru mężczyzna (M=1) i kobieta K (K=1) bo zbiory M i K są rozłączne.
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~> p i q bo zdarzenia p i q są rozłączne
Kolumna A2B2:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p (~p=1)?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) = ~p<=>q
Powyższe równanie logiczne definiuje tożsamość zbiorów:
~p=q
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jest zajdzie ~p w rozpisce na warunek wystarczający =>.
Kolumna A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to na 100% => zajdzie q (q=1)
~p=>q =1
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów/pojęć:
~p=q
stąd:
~p=>q = q=>q =1 - bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Zbiory:
B2.
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to na 100% => należy do zbioru q
~p=>q =1
Przynależność dowolnego elementu do zbioru ~p jest wystarczająca => aby ten element należał do zbioru q
Przynależność dowolnego elementu do zbioru ~p daje nam gwarancję matematyczną => iż ten element należy do zbioru q
Oczywistość wobec tożsamości zbiorów:
~p=q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Nasz przykład:
B2.
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K=1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) daje nam gwarancję matematyczną => iż jesteśmy kobietą (K=1)
Zdarzenia:
Jeśli zajdzie zdarzenie ~p to na 100% => zajdzie zdarzenie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest wystarczające => dla zajścia q
Dowód:
Zachodzi tożsamość zdarzeń:
~p=q
stąd:
~p=>q = q=>q =1 - bo każde zdarzenie jest podzbiorem => siebie samego
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywy kontrprzykład B2’ i odwrotnie:
B2’.
Jeśli zajdzie ~p (~p=1) to może ~~> zajść ~q (~q=1)
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0 - bo zbiory/zdarzenia ~p i ~q są rozłączne
Zbiory:
B2’.
Jeśli dowolny element należy do zbioru ~p to może ~~> należeć do zbioru ~q
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0 - bo zbiory ~p i ~q są rozłączne
Dowód:
Zachodzi tożsamość zbiorów:
~p=q
stąd:
~p~~>~q = q~~>~q = q*~q =[] =0
cnd
Nasz przykład:
Jeśli dowolny człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~K*~K =[] =0
Nie istnieje wspólny element zbiorów „nie mężczyzna” ~M i „nie kobieta” ~K
Dowód:
W dziedzinie C (człowiek) zachodzi tożsamość zbiorów:
~M=K
stąd mamy:
B2’: ~M~~>~K = K~~>~K = K*~K =[] =0
cnd
Zdarzenia:
Nie jest możliwe (=0) jednoczesne zajście zdarzeń ~~>: ~p i ~q
~p~~>~q = ~p*~q =[] =0
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
~p=q
stąd:
~p~~>~q = q~~>~q = q*~q =[] =0
cnd
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora „albo” p|$q jest gwarancja matematyczna => po stronie p (zdanie A1), jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p (zdanie B2).
Nie ma tu mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w operatorze implikacji prostej p||=>q czy też w operatorze implikacji odwrotnej p||~>q.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator „albo” ~p|$~q to układ równań logicznych:
A2B2:~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) - co się stanie jeśli zajdzie ~p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)* (B1: p~>~q) - co się stanie jeśli zajdzie p
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora „albo” ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~p) będzie identyczna jak operatora „albo” p|$q w logice dodatniej (bo p) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 13:43, 25 Cze 2021 Temat postu: |
|
|
RESTART!
To jest końcowa wersja algebry Kubusia na dzień 2021-06-25
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-06-25,18899.html#593743
ALE!
Właśnie doszedłem do wniosku że AK jest zbyt długa.
Dlaczego?
Podzieliłem AK na AK dla początkujących i zaawanasowanych w efekcie dokładnie ta sama wiedza podawana jest dwa razy w różnych miejscach podręcznika, poza tym zbyt szczegółowo zapisane są rozdziały o zdaniach bazowych itp.
… no i wszystko można zapisać prościej.
Poza tym widzę potrzebę spojrzenia na Algebrę Kubusia oczami Algebry Boole'a akceptującej wyłącznie pięć znaczków {0,1, (~),(*),(+)} gdzie o żadnym "rzucaniu monetą" w sensie na "dwoje babka wróżyła" mowy być nie może.
Tragedia logiki matematycznej ziemskich matematyków jest TOTALNA - nie rozumieją nawet rachunku zero-jedynkowego.
W odniesieniu do funkcji logicznych rachunek zero-jedynkowy ziemian jest wewnętrznie sprzeczny, co za chwilę udowodnię.
Co zatem robić?
Nie mam wyjścia jak zrobić kolejny RESTART i napisać AK wersja 2.0 od początku.
Wszystko należy upraszczać jak tylko można, ale nie bardziej.
Albert Einstein
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 19:17, 25 Cze 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 13:34, 01 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Nadeszła wiekopomna chwila!
Od dnia dzisiejszego (2021-07-01) rodzi się na żywo ostateczna wersja algebry Kubusia na bazie której zamierzam dyskutować z ziemskimi matematykami o nowej, totalnie im nieznanej logice matematycznej - jedynej prawdziwej w naszym Wszechświecie!
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-07-01,19257.html#604299
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-07-01
Wersja ostateczna - pisana na żywo od dnia dzisiejszego.
Kompletna algebra Kubusia to dwa podręczniki:
Część I.
Nowa algebra Boole’a
Część II.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Algebra Kubusia to matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie kluczową rolę odgrywają spójniki implikacyjne {~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($)}, natomiast algebra Boole’a to wyłącznie 5 znaczków {1, 0, (~), „i”(*), „lub”(+)}.
Jak widzimy „Algebra Kubusia” i „Algebra Boole’a” to w zasadzie wiedza rozłączna co oznacza, że można zrozumieć „Algebrę Kubusia” bez znajomości algebry Boole’a.
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Części:
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Wstęp
Zamiast klasycznego wstępu posłużę się cytatami z matematyki.pl.
[link widoczny dla zalogowanych]
| ola_ napisał: |
Czy ktoś wie jak wykazać że zdanie: (((p=>q)=>p)=>p) jest tautologią bez użycia tabeli?
|
Moje (Rafal3006) rozwiązanie:
Spróbuję inaczej w sposób, co do którego żaden matematyk nie ma prawa się przyczepić.
Zauważmy, że w samym przykładzie skrajne nawiasy są zbędne bo w matematyce nawiasy mają najwyższy priorytet wykonania.
Stąd:
Równie poprawny jest zapis:
((p=>q)=>p)=>p
W technicznej algebrze Boole'a (jestem elektronikiem) kolejność wykonywania działań jest następująca:
nawiasy, (*), (+)
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Zróbmy czysto matematyczne podstawienie:
Y = (p=>q)=>p
Stąd mamy:
(Y)=>p
Obliczamy Y:
Y = (p=>q)=>p
Y = (~p+q)=>p - na mocy definicji znaczka =>
Y = ~(~p+q)+p - na mocy definicji znaczka =>
Y = p*~q + p - na mocy prawa De Morgana
Y = = p*~q + p*1 - prawo algebry Boole’a: p=p*1
Y = p*(~q+1) - wyciągnięcie zmiennej p przed nawias
Y=p*1 - bo prawo algebry Boole’a: x+1 =1, gdzie x=dowolne wyrażenie algebry Boole’a
Y = p - prawo algebry Boole’a: p=p*1
Odtwarzając podstawienie mamy:
(Y) => p
(p)=>p
p=>p = ~p+p =1 - na mocy definicji znaczka =>
oraz prawa algebry Boole’a:
~p+p =1
cnd
Moje uwagi:
1
Jestem absolwentem elektroniki specjalność automatyka na Politechnice Warszawskiej
Dla mnie, jako przybysza ze świata techniki powyższy dowód to elementarz algebry Boole'a wzbogaconej o definicję znaczka => znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.
Definicja znaczka =>:
p=>q =~p+q
2.
Schemat dowodu proponowany wyżej przez Dasio11:
| Dasio11 napisał: |
Ten napis to nie zdanie, tylko formuła rachunku zdań (inaczej schemat zdaniowy), bo występują w nim zmienne p, q. W zależności od tego co się podstawi za zmienne, napis może stać się prawdziwy lub fałszywy (teoretycznie, bo tu akurat będzie zawsze prawdziwy). Zdaniem zaś byłby taki napis, który od razu jest prawdziwy lub fałszywy bez żadnych podstawień.
Dowód można zrobić nie wprost: załóż, że dla pewnego wartościowania formuła staje się fałszywa, i dojdź do sprzeczności.
|
to dla mnie koszmar bowiem jako przybysz ze świata techniki nie wiem co to jest „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu aktualnej logiki matematycznej, „formuła rachunku zdań” etc
Ciekawostka:
Skończyłem elektronikę na PW-wa w roku 1980 gdzie algebra Boole’a wykładana była na najwyższym światowym poziomie a takie terminy jak „Klasyczny Rachunek Zdań”, „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu ziemskiej logiki matematycznej usłyszałem po raz pierwszy w życiu w roku 2006, czyli 26 lat po skończeniu studiów.
Usłyszawszy takie zdania prawdziwe w ziemskiej logice matematycznej jak:
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
nie miałem wyjścia - musiałem wejść na serio w temat „logika matematyczna” i siedzę w tym od 15 lat. Mam nadzieję, że kiedyś matematycy zainteresują się tym, co zrobiłem
Komentarz do mojego postu admina matematyki.pl, pana Jana Kraszewskiego:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Jan Kraszewski napisał: |
| Rafal3006 napisał: |
Spróbuję inaczej w sposób, co do którego żaden matematyk nie ma prawa się przyczepić. |
Ależ oczywiście, że ma.
| Rafal3006 napisał: |
W technicznej algebrze Boole'a (jestem elektronikiem) kolejność wykonywania działań jest następująca:
nawiasy, *, +
|
Ale tutaj jesteś na forum matematycznym, więc powinieneś używać terminologii matematycznej, w której nie ma działań, tylko spójniki logiczne, które mają inne priorytety. Bez tego nie pomagasz osobie, które zadała pytanie, bo produkujesz rozwiązanie, które z jej punktu widzenia jest mało przydatne.
| Rafal3006 napisał: |
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
|
Dla matematyka to nie jest "definicja znaczka", tylko prawo eliminacji implikacji.
Nie chodzi o to, że Twoje rachunki są niepoprawne, tylko o to, że używasz innego języka (jak sam zauważasz) i w związku z tym nie jesteś pomocny.
| Rafal3006 napisał: |
Schemat dowodu proponowany wyżej:
(...)
to dla mnie koszmar bowiem jako przybysz ze świata techniki nie wiem co to jest „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu aktualnej logiki matematycznej, „formuła rachunku zdań” etc |
No ale to Twój problem.
| Rafal3006 napisał: |
Mam nadzieję, że kiedyś matematycy zainteresują się tym, co zrobiłem
|
Ale na pewno nie w tym wątku, bo on jest poświęcony czemu innemu.
JK
|
Zgadzam się z powyższymi uwagami.
Póki co dziękuję, bowiem ciągle pracuję nad doskonaleniem tego co robię - nie mam jeszcze gotowego produktu, na bazie którego mógłbym dyskutować z matematykami.
Jak skończę, to mam nadzieję, że w innym temacie będę mógł na matematyce.pl przedstawić inną wizję logiki matematycznej, niż obecnie obowiązująca.
Nadeszła wiekopomna chwila!
Niech niniejsza wersja Algebry Kubusia z dnia 2021-07-01 będzie podstawą do dyskusji w temacie „logika matematyczna” z ziemskimi matematykami.
Moje warunki dyskusji:
1.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) z algebry Boole’a mają zerowe znaczenie dla logiki matematycznej bowiem jest to odpowiednik „bloków funkcjonalnych” w programie komputerowym gdzie żadne decyzje rozejścia (skoków warunkowych) nie są podejmowane - to jest z definicji niemożliwe!
2.
Logika matematyczna to tylko i wyłącznie zdania warunkowe „Jeśli p to q” („blok decyzyjny”) gdzie na mocy zmiennej binarnej przygotowanej w „bloku funkcjonalnym” (spójniki „i”(*) i „lub”(+)) podejmowane są decyzje rozejścia w programie komputerowym, którym jest język potoczny człowieka opisujący świat żywy i martwy (w tym matematykę).
Dowód poprawności stwierdzenia „tylko i wyłącznie”:
Wykasujmy w mikroprocesorze 100% skoków warunkowych „Jeśli p to q”.
Czy da się wtedy napisać sensowny program?
Oczywiście: NIE!
Taki mikroprocesor będzie kupą złomu do niczego nieprzydatną.
3.
Z uwagi na fakt, iż temacie „logika matematyczna” 100% definicji (dosłownie!) w algebrze Kubusia jest sprzecznych z dowolną ziemską logiką matematyczną (Klasyczny Rachunek Zdań, logiki modalne, logiki intuicjonistyczne, logiki relewantne etc.) nie ma sensu „wojna na definicje”!
Przykładowo:
Nie godzę się na dyskusję w której fanatyk Klasycznego Rachunku Zdań zada mi trywialne pytanie na gruncie KRZ oczekując ode mnie jedynie słusznej, trywialnej odpowiedzi na gruncie tegoż KRZ.
Dlaczego się nie godzę?
Bo po obu stronach będzie to dyskusja typu „gadał dziad do obrazu”.
Innymi słowy:
Ja, Rafał3006 będę przekonywał fanatyka KRZ do algebry Kubusia stosując obowiązujące tu definicje, natomiast fanatyk KRZ będzie ode mnie żądał potwierdzenia poprawności jego KRZ - oczywiście ode mnie nigdy takiego potwierdzenia się nie doczeka bo wszystkie definicje w KRZ (co do sztuki!) są sprzeczne z definicjami w algebrze Kubusia.
Z punktu widzenia algebry Kubusia wszystkie definicje rodem z Klasycznego Rachunku Zdań są potwornie śmierdzącym gównem z logiką matematyczną mającym zero wspólnego, a ja nie zamierzam pływać w szambie.
Tym szambie:
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Podsumowując:
Fanatyk Klasycznego Rachunku Zdań nigdy nie zrozumie algebry Kubusia, bowiem 100% definicji w temacie „logika matematyczna” mamy sprzecznych!
Finał mojej dyskusji z fanatykami KRZ jest łatwy do przewidzenia (na przykładzie Idioty i Irbisola):
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/czysto-matematyczne-obalenie-logiki-matematycznej-ziemian,9269-225.html#310261
| idiota napisał: | | Chyba ostatecznie przegrzaliśmy rafałowi pozostałości mózgu. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/prawo-subalternacji,8368-2000.html#299283
| idiota napisał: | Boże, co za bzdury...
To niesamowite jak rafał swoim nierozumieniem niczego potrafi sobie w głowie posklejać co się da i zrobić to jakoś odnoszące się do jego idee fixe...
Przecież tego nie ma sensu nawet wyjaśniać, bo widać tu raczej symptomy choroby, a nie rozumowanie. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/p-1-i-q-1-ale-p-q-0,10575-450.html#369345
| Irbisol napisał: | | Ty jesteś naprawdę ograniczony - nie ma z tobą podstawowego kontaktu ... Nie wiem, jak do ciebie przemówić, bo twoja głupota przerasta wszystko, co do tej pory spotkałem na wielu forach |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1050.html#415439
| Irbisol napisał: | | Po prostu nie mam już słów na wyrażenie stopnia twojego upośledzenia, które nie pozwala ci tego pojąć. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-2018-cdn,10787-1150.html#418651
| Irbisol napisał: | | Debil by zrozumiał, dlatego nie nazywam cię debilem, żeby debili nie obrażać. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/dowod-debila-oparty-na-dwoch-sprzecznych-zalozeniach,14695.html#484965
| Irbisol napisał: | Znajdźcie mi takiego drugiego debila.
Płaskoziemcy to profesorzy przy nim. |
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663-2400.html#526961
| Irbisol napisał: | | Jestem tu tylko dlatego, żeby zobaczyć, jakiego jeszcze większego debila będziesz z siebie robił. Zawsze mam wrażenie, że sięgnąłeś dna - i zawsze się mylę - tam niżej jeszcze coś jest i ty to odkrywasz. |
Na czym moja dyskusja z matematykami ma polegać?
Odpowiadam:
Na czytaniu ze zrozumieniem algebry Kubusia od początku do końca i powiedzeniu STOP w chwili gdy cokolwiek będzie niejasne lub gdy czytelnik znajdzie wewnętrzną sprzeczność w algebrze Kubusia.
Krótka historia mojego życia.
W roku 1984 przytrafiła mi się taka historia.
Będąc świeżo po studiach elektronicznych (Politechnika Warszawska) zrobiłem na mikroprocesorze Z80 bardzo prosty i fajny sterownik edukacyjny gdzie samemu można było pisać programy z klawiatury szesnastkowej w kodzie maszynowym.
Wbrew pozorom nie było to trudne bo było sporo procedur systemowych możliwych do użycia we własnym programie. Poza tym sterownik posiadał prosty debugger (odpluskwiacz) pozwalający łatwo znajdować i usuwać popełnione błędy. Ten tani sterownik edukacyjny (miał to w nazwie) okazał się wielka ścianą dla elektroników hobbystów których wiedza elektroniczna była w zdecydowanej większości mizerna.
Co zatem miałem robić by to moje dziecko było sprzedawalne?
Idea która zawładnęła mną całkowicie przez następne dwa lata była następująca.
Dopisać do sterownika instrukcję zakładając, że wiedza wstępna w zakresie elektryki i elektroniki potencjalnego czytelnika jest równa zeru - czyli z założenia miała to być instrukcja-podręcznik dla ucznia I klasy LO który nie zna jeszcze prawa Ohma, nie ma pojęcia co to jest prąd, napięcie etc.
… i ta idea została z powodzeniem zrealizowana.
Dowód to przykładowe dwie recenzje czytelników:
1.
Serdecznie dziękuję za dwa podręczniki na temat podstaw elektroniki i techniki mikroprocesorowej. Są one naprawdę doskonale napisane. Mimo, że przesyłkę otrzymałem dwa dni temu to już zdążyłem je obie przeczytać - bardzo trudno się od nich oderwać.
Obecnie jestem uczniem I klasy LO …
2.
Jestem zachwycony Pańskimi książkami na temat mikroprocesorów. Książki są wyjątkowo przejrzyście napisane. Takiej metodyki mogą pozazdrościć najlepsze uczelnie w kraju - jednej z nich jestem absolwentem.
Mam nadzieję, że już niedługo, podobne wrażenia z czytania „Algebry Kubusia” odniosą ziemscy matematycy, bo o nich tu przede wszystkim chodzi. Reszta ludzkości, od 5-cio latka poczynając to naturalni eksperci algebry Kubusia, zatem w ogóle nie musi się jej uczyć!
Napisanie podręczników na temat mikroprocesorów kosztowało mnie dwa lata ciężkiej harówy bo cały czas musiałem pamiętać że odbiorca nie wie nic a nic w temacie elektryki i elektroniki prowadząc go po łagodnej równi pochyłej od prawa Ohma poprzez podstawy elektryki, podstawy elektroniki, podstawy techniki cyfrowej (bramki logiczne), podstawy sprzętowego działania mikroprocesora, na podstawach programowania mikroprocesorów kończąc gdzie musiałem wytłumaczyć czytelnikowi język asemblera i zasady pisania programów w tym języku.
Niestety, albo na szczęście dla ludzkości, w roku 2006r Wuj Zbój, właściciel forum śfinia, zaraził mnie kolejną ideą - rozszyfrować logikę matematyczną pod którą podlega język potoczny człowieka od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszych ziemskich matematykach kończąc.
Tu nie było tak „lekko” jak w przypadku sterownika edukacyjnego. Rozszyfrowanie poprawnej logiki matematycznej pod którą podlega język potoczny kosztowało mnie 15 lat ciężkiej harówy - ale warto było.
Całe szczęście, że dzięki dobrym ludziom (także dzięki zagorzałym oponentom typu Irbisol) którzy ze mną dyskutowali cel swój osiągnąłem - efekt końcowy to:
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Prawdę mówiąc, ta „harówa” to była 15 letnia uczta dla mojego małego rozumku, czyli poruszanie się po dziewiczych terenach matematyki, po których żaden człowiek wcześniej nie stąpał.
Nie stąpał dlatego, że w temacie logika matematyczna 100% definicji z algebry Kubusia jest sprzecznych z jakąkolwiek logiką „matematyczną” znaną ziemskim matematykom.
Innymi słowy:
Non-stop odkrywałem coraz to nowe prawa logiki matematycznej pod które podlega cały nasz świat żywy i martwy (w tym matematyka i język potoczny), których wcześniej nie znałem - to było tak ekscytujące, że nie mogłem przestać myśleć o algebrze Kubusia.
Kubuś i przyjaciele w drodze ku świetlanej przyszłości.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 7:55, 02 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Usunąłem ze wstępu ostre ataki na logiki matematyczne ziemian.
Aktualny wstęp niżej.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-07-01,19257.html#604299
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-07-01
Wersja ostateczna - pisana na żywo od dnia dzisiejszego.
Kompletna algebra Kubusia to dwa podręczniki:
Część I.
Nowa algebra Boole’a
Część II.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Algebra Kubusia to matematyczna obsługa zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie kluczową rolę odgrywają spójniki implikacyjne {~~>, =>, ~>, <=>, „albo”($)}, natomiast algebra Boole’a to wyłącznie 5 znaczków {1, 0, (~), „i”(*), „lub”(+)}.
Jak widzimy „Algebra Kubusia” i „Algebra Boole’a” to w zasadzie wiedza rozłączna co oznacza, że można zrozumieć „Algebrę Kubusia” bez znajomości algebry Boole’a.
Autor:
Kubuś ze 100-milowego lasu
Rozszyfrowali:
Rafal3006 i przyjaciele
Dziękuję wszystkim, którzy dyskutując z Rafałem3006 przyczynili się do odkrycia algebry Kubusia (cytuję w kolejności zaistnienia):
Wuj Zbój, Miki (vel Lucek), Volrath, Macjan, Irbisol, Makaron czterojajeczny, Quebab, Windziarz, Fizyk, Idiota, Sogors (vel Dagger), Fiklit, Yorgin, Pan Barycki, Zbigniewmiller, Mar3x, Wookie, Prosiak, Andy72, Michał Dyszyński, Szaryobywatel, Jan Lewandowski, MaluśnaOwieczka i inni.
Kluczowi przyjaciele Kubusia, dzięki którym algebra Kubusia została rozszyfrowana to (cytuję w kolejności zaistnienia):
1.
Rafał3006
2.
Wuj Zbój - dzięki któremu Rafal3006 poznał istotę implikacji od strony czysto matematycznej.
3.
Fiklit - który poświęcił 8 lat życia na cierpliwe tłumaczenie Rafałowi3006 jak wygląda otaczający nas świat z punktu widzenia Klasycznego Rachunku Zdań
Bez Fiklita o rozszyfrowaniu algebry Kubusia moglibyśmy wyłącznie pomarzyć
4.
Irbisol - znakomity tester końcowej wersji algebry Kubusia, za wszelką cenę usiłujący ją obalić.
Czyż można sobie wymarzyć lepszego testera?
Finałowa dyskusja z Irbisolem!
5.
MaluśnaOwieczka - końcowy uczestnik dyskusji o algebrze Kubusia w trakcie której wiele definicji zostało doprecyzowanych.
Miejsce narodzin algebry Kubusia ze szczegółowo udokumentowaną historią jej odkrycia:
Algebra Kubusia - historia odkrycia 2006-2021
Niniejszy podręcznik jest końcowym efektem 15-letniej dyskusji na forach śfinia, ateista.pl i yrizona - to około 30 tys postów, średnio 5 postów dziennie wyłącznie na temat logiki matematycznej.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Części:
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Wstęp
Zamiast klasycznego wstępu posłużę się cytatami z matematyki.pl.
[link widoczny dla zalogowanych]
| ola_ napisał: |
Czy ktoś wie jak wykazać że zdanie: (((p=>q)=>p)=>p) jest tautologią bez użycia tabeli?
|
Moje (Rafal3006) rozwiązanie:
Spróbuję inaczej w sposób, co do którego żaden matematyk nie ma prawa się przyczepić.
Zauważmy, że w samym przykładzie skrajne nawiasy są zbędne bo w matematyce nawiasy mają najwyższy priorytet wykonania.
Stąd:
Równie poprawny jest zapis:
((p=>q)=>p)=>p
W technicznej algebrze Boole'a (jestem elektronikiem) kolejność wykonywania działań jest następująca:
nawiasy, (*), (+)
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
Zróbmy czysto matematyczne podstawienie:
Y = (p=>q)=>p
Stąd mamy:
(Y)=>p
Obliczamy Y:
Y = (p=>q)=>p
Y = (~p+q)=>p - na mocy definicji znaczka =>
Y = ~(~p+q)+p - na mocy definicji znaczka =>
Y = p*~q + p - na mocy prawa De Morgana
Y = = p*~q + p*1 - prawo algebry Boole’a: p=p*1
Y = p*(~q+1) - wyciągnięcie zmiennej p przed nawias
Y=p*1 - bo prawo algebry Boole’a: x+1 =1, gdzie x=dowolne wyrażenie algebry Boole’a
Y = p - prawo algebry Boole’a: p=p*1
Odtwarzając podstawienie mamy:
(Y) => p
(p)=>p
p=>p = ~p+p =1 - na mocy definicji znaczka =>
oraz prawa algebry Boole’a:
~p+p =1
cnd
Moje uwagi:
1
Jestem absolwentem elektroniki specjalność automatyka na Politechnice Warszawskiej
Dla mnie, jako przybysza ze świata techniki powyższy dowód to elementarz algebry Boole'a wzbogaconej o definicję znaczka => znaną każdemu ziemskiemu matematykowi.
Definicja znaczka =>:
p=>q =~p+q
2.
Schemat dowodu proponowany wyżej przez Dasio11:
| Dasio11 napisał: |
Ten napis to nie zdanie, tylko formuła rachunku zdań (inaczej schemat zdaniowy), bo występują w nim zmienne p, q. W zależności od tego co się podstawi za zmienne, napis może stać się prawdziwy lub fałszywy (teoretycznie, bo tu akurat będzie zawsze prawdziwy). Zdaniem zaś byłby taki napis, który od razu jest prawdziwy lub fałszywy bez żadnych podstawień.
Dowód można zrobić nie wprost: załóż, że dla pewnego wartościowania formuła staje się fałszywa, i dojdź do sprzeczności.
|
to dla mnie koszmar bowiem jako przybysz ze świata techniki nie wiem co to jest „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu aktualnej logiki matematycznej, „formuła rachunku zdań” etc
Ciekawostka:
Skończyłem elektronikę na PW-wa w roku 1980 gdzie algebra Boole’a wykładana była na najwyższym światowym poziomie a takie terminy jak „Klasyczny Rachunek Zdań”, „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu ziemskiej logiki matematycznej usłyszałem po raz pierwszy w życiu w roku 2006, czyli 26 lat po skończeniu studiów.
Usłyszawszy takie zdania prawdziwe w ziemskiej logice matematycznej jak:
[link widoczny dla zalogowanych]
Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
nie miałem wyjścia - musiałem wejść na serio w temat „logika matematyczna” i siedzę w tym od 15 lat. Mam nadzieję, że kiedyś matematycy zainteresują się tym, co zrobiłem
Komentarz do mojego postu admina matematyki.pl, pana Jana Kraszewskiego:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Jan Kraszewski napisał: |
| Rafal3006 napisał: |
Spróbuję inaczej w sposób, co do którego żaden matematyk nie ma prawa się przyczepić. |
Ależ oczywiście, że ma.
| Rafal3006 napisał: |
W technicznej algebrze Boole'a (jestem elektronikiem) kolejność wykonywania działań jest następująca:
nawiasy, *, +
|
Ale tutaj jesteś na forum matematycznym, więc powinieneś używać terminologii matematycznej, w której nie ma działań, tylko spójniki logiczne, które mają inne priorytety. Bez tego nie pomagasz osobie, które zadała pytanie, bo produkujesz rozwiązanie, które z jej punktu widzenia jest mało przydatne.
| Rafal3006 napisał: |
Definicja znaczka =>:
p=>q = ~p+q
|
Dla matematyka to nie jest "definicja znaczka", tylko prawo eliminacji implikacji.
Nie chodzi o to, że Twoje rachunki są niepoprawne, tylko o to, że używasz innego języka (jak sam zauważasz) i w związku z tym nie jesteś pomocny.
| Rafal3006 napisał: |
Schemat dowodu proponowany wyżej:
(...)
to dla mnie koszmar bowiem jako przybysz ze świata techniki nie wiem co to jest „implikacja materialna”, „zdanie” w rozumieniu aktualnej logiki matematycznej, „formuła rachunku zdań” etc |
No ale to Twój problem.
| Rafal3006 napisał: |
Mam nadzieję, że kiedyś matematycy zainteresują się tym, co zrobiłem
|
Ale na pewno nie w tym wątku, bo on jest poświęcony czemu innemu.
JK
|
Zgadzam się z powyższymi uwagami.
Póki co dziękuję, bowiem ciągle pracuję nad doskonaleniem tego co robię - nie mam jeszcze gotowego produktu, na bazie którego mógłbym dyskutować z matematykami.
Jak skończę, to mam nadzieję, że w innym temacie będę mógł na matematyce.pl przedstawić inną wizję logiki matematycznej, niż obecnie obowiązująca.
Nadeszła wiekopomna chwila!
Niech niniejsza wersja Algebry Kubusia z dnia 2021-07-01 będzie podstawą do dyskusji w temacie „logika matematyczna” z ziemskimi matematykami.
Moje warunki dyskusji:
1.
Spójniki „i”(*) i „lub”(+) z algebry Boole’a mają zerowe znaczenie dla logiki matematycznej bowiem jest to odpowiednik „bloków funkcjonalnych” w programie komputerowym gdzie żadne decyzje rozejścia (skoków warunkowych) nie są podejmowane - to jest z definicji niemożliwe!
2.
Logika matematyczna to tylko i wyłącznie zdania warunkowe „Jeśli p to q” („blok decyzyjny”) gdzie na mocy zmiennej binarnej przygotowanej w „bloku funkcjonalnym” (spójniki „i”(*) i „lub”(+)) podejmowane są decyzje rozejścia w programie komputerowym, którym jest język potoczny człowieka opisujący świat żywy i martwy (w tym matematykę).
Dowód poprawności stwierdzenia „tylko i wyłącznie”:
Wykasujmy w mikroprocesorze 100% skoków warunkowych „Jeśli p to q”.
Czy da się wtedy napisać sensowny program?
Oczywiście: NIE!
Taki mikroprocesor będzie kupą złomu do niczego nieprzydatną.
3.
Z uwagi na fakt, iż temacie „logika matematyczna” 100% definicji (dosłownie) w algebrze Kubusia jest sprzecznych Klasycznym Rachunkiem Zdań nie ma sensu dyskusja w której ja posługuję się definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia a wyznawca KRZ definicjami tu obowiązującymi.
Przykładowo:
Nie godzę się na dyskusję w której wyznawca Klasycznego Rachunku Zdań zada mi trywialne pytanie na gruncie KRZ oczekując ode mnie jedynie słusznej, trywialnej odpowiedzi na gruncie tegoż KRZ.
Na czym moja dyskusja z matematykami ma polegać?
Odpowiadam:
Mogę dyskutować o algebrze Kubusia tylko i wyłącznie na bazie definicji tu obowiązujących co oznacza, że wyznawca KRZ ma obowiązek na czas dyskusji zapomnieć o wszystkim, czego w temacie logika matematyczna uczono go w szkole.
Innymi słowy:
Z faktu iż żaden ziemianin nie zna definicji obowiązujących w algebrze Kubusia wynika, że powinien czytać AK od początku do końca i powiedzieć STOP w chwili gdy cokolwiek będzie niejasne lub gdy znajdzie wewnętrzną sprzeczność w algebrze Kubusia.
Krótka historia mojego życia.
W roku 1984 przytrafiła mi się taka historia.
Będąc świeżo po studiach elektronicznych (Politechnika Warszawska) zrobiłem na mikroprocesorze Z80 bardzo prosty i fajny sterownik edukacyjny gdzie samemu można było pisać programy z klawiatury szesnastkowej w kodzie maszynowym.
Wbrew pozorom nie było to trudne bo było sporo procedur systemowych możliwych do użycia we własnym programie. Poza tym sterownik posiadał prosty debugger (odpluskwiacz) pozwalający łatwo znajdować i usuwać popełnione błędy. Ten tani sterownik edukacyjny (miał to w nazwie) okazał się wielka ścianą dla elektroników hobbystów których wiedza elektroniczna była w zdecydowanej większości mizerna.
Co zatem miałem robić by to moje dziecko było sprzedawalne?
Idea która zawładnęła mną całkowicie przez następne dwa lata była następująca.
Dopisać do sterownika instrukcję zakładając, że wiedza wstępna w zakresie elektryki i elektroniki potencjalnego czytelnika jest równa zeru - czyli z założenia miała to być instrukcja-podręcznik dla ucznia I klasy LO który nie zna jeszcze prawa Ohma, nie ma pojęcia co to jest prąd, napięcie etc.
… i ta idea została z powodzeniem zrealizowana.
Dowód to przykładowe dwie recenzje czytelników:
1.
Serdecznie dziękuję za dwa podręczniki na temat podstaw elektroniki i techniki mikroprocesorowej. Są one naprawdę doskonale napisane. Mimo, że przesyłkę otrzymałem dwa dni temu to już zdążyłem je obie przeczytać - bardzo trudno się od nich oderwać.
Obecnie jestem uczniem I klasy LO …
2.
Jestem zachwycony Pańskimi książkami na temat mikroprocesorów. Książki są wyjątkowo przejrzyście napisane. Takiej metodyki mogą pozazdrościć najlepsze uczelnie w kraju - jednej z nich jestem absolwentem.
Mam nadzieję, że już niedługo, podobne wrażenia z czytania „Algebry Kubusia” odniosą ziemscy matematycy, bo o nich tu przede wszystkim chodzi. Reszta ludzkości, od 5-cio latka poczynając to naturalni eksperci algebry Kubusia, zatem w ogóle nie musi się jej uczyć!
Napisanie podręczników na temat mikroprocesorów kosztowało mnie dwa lata ciężkiej harówy bo cały czas musiałem pamiętać że odbiorca nie wie nic a nic w temacie elektryki i elektroniki prowadząc go po łagodnej równi pochyłej od prawa Ohma poprzez podstawy elektryki, podstawy elektroniki, podstawy techniki cyfrowej (bramki logiczne), podstawy sprzętowego działania mikroprocesora, na podstawach programowania mikroprocesorów kończąc gdzie musiałem wytłumaczyć czytelnikowi język asemblera i zasady pisania programów w tym języku.
Niestety, albo na szczęście dla ludzkości, w roku 2006r Wuj Zbój, właściciel forum śfinia, zaraził mnie kolejną ideą - rozszyfrować logikę matematyczną pod którą podlega język potoczny człowieka od 5-cio latka poczynając na najwybitniejszych ziemskich matematykach kończąc.
Tu nie było tak „lekko” jak w przypadku sterownika edukacyjnego. Rozszyfrowanie poprawnej logiki matematycznej pod którą podlega język potoczny kosztowało mnie 15 lat ciężkiej harówy - ale warto było.
Całe szczęście, że dzięki dobrym ludziom (także dzięki zagorzałym oponentom typu Irbisol) którzy ze mną dyskutowali cel swój osiągnąłem - efekt końcowy to:
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Prawdę mówiąc, ta „harówa” to była 15 letnia uczta dla mojego małego rozumku, czyli poruszanie się po dziewiczych terenach matematyki, po których żaden człowiek wcześniej nie stąpał.
Nie stąpał dlatego, że w temacie logika matematyczna 100% definicji z algebry Kubusia jest sprzecznych z jakąkolwiek logiką „matematyczną” znaną ziemskim matematykom.
Innymi słowy:
Non-stop odkrywałem coraz to nowe prawa logiki matematycznej pod które podlega cały nasz świat żywy i martwy (w tym matematyka i język potoczny), których wcześniej nie znałem - to było tak ekscytujące, że nie mogłem przestać myśleć o algebrze Kubusia.
Kubuś i przyjaciele w drodze ku świetlanej przyszłości.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 11:06, 02 Lip 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 23:40, 02 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
2.6.1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań
Przed chwilką rozbudowałem punkt 2.0
Jaka była tego przyczyna?
Dziś rano przyszedł do mnie Kłapouchy i stanowczo stwierdził, że wprowadzone przeze mnie w ostatniej wersji algebry Kubusia prawo śfinii jest zbyt skomplikowane, że da się to prawo zapisać prościej - kto by pomyślał, Osioł, a taki mądry.
Na jego cześć nazwałem to prawo prawem Kłapouchego.
Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Powyższa definicja jest w logice matematycznej domyślną co oznacza, że możemy pomiąć frazę „w logice dodatniej (bo q)”. W niniejszym podręczniku będziemy z tego korzystać.
Wniosek z powyższej definicji to prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” potrzeba ~> i wystarcza => sprowadzić je do postaci „Jeśli p to …” badając jego prawdziwość/fałszywość oraz zbadać prawdziwość/fałszywość tego samego zdania z wymienionym znaczkiem (=> na ~> albo odwrotnie)
Sprowadzenie dowolnego zdania warunkowego do postaci „Jeśli p to …” jest możliwe dzięki prawom logiki matematycznej: prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji.
Prawo Kłapouchego musimy stosować tylko i wyłącznie w odpowiedzi na pytanie:
W skład jakiego spójnika logicznego wchodzi dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q”?
Prawo Kłapouchego zapewnia wspólny punkt odniesienia dla wszystkich dyskutujących o logice matematycznej, co jest kluczowe dla sensownej dyskusji.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-07-01,19257.html#604303
Spis treści
2.5 Najważniejsze definicje i prawa logiki matematycznej w algebrze Kubusia 2
2.5.1 Zastosowanie praw logiki matematycznej w języku potocznym 4
2.5.2 Definicja dowodu „nie wprost” 5
2.6 Definicja spójnika implikacyjnego, prawo Kłapouchego 5
2.6.1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań 7
2.6.2 Logika, sens i wątpliwości 8
2.5 Najważniejsze definicje i prawa logiki matematycznej w algebrze Kubusia
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:
Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.
Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q
2.5.1 Zastosowanie praw logiki matematycznej w języku potocznym
W języku potocznym stosujemy prawa logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) bezpośrednio na parametrach aktualnych {niżej: P, CH} nie interesując się ich związkiem z parametrami formalnymi {p,q}.
Zobaczmy to na przykładach.
Przykład 1
1.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =?
Matematycznie założyć że w zdaniu 1 zachodzi warunek konieczny ~> zawsze możemy, ale:
Jak udowodnić, że w zdaniu 1 zachodzi/nie zachodzi warunek konieczny ~>?
Prawo Kubusia:
1: ~P~>~CH = 2: P=>CH
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania 2.
2.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => aby było pochmurno, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Na mocy prawa Kubusia prawdziwość zdania 2 wymusza prawdziwość zdania 1 (i odwrotnie).
Stąd mamy:
1
Jeśli jutro nie będzie padało (~P=1) to może ~> nie być pochmurno (~CH=1)
~P~>~CH =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona co udowodniono wyżej dowodem „nie wprost”.
Zauważmy, że nie musimy dowodzić prawdziwości warunku koniecznego ~> w zdaniu 1 w sposób bezpośredni - dokładnie na tym polega piękno algebry Kubusia.
Przykład 2
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może nie padać (~P=1)
CH~>~P =?
Matematycznie założyć, że w zdaniu 3 zachodzi warunek konieczny ~> zawsze możemy, ale:
Jak udowodnić, że w zdaniu 3 zachodzi/nie zachodzi warunek konieczny ~>?
Prawo Kubusia:
3: CH~>~P = 4: ~CH=>P
Stąd mamy:
4.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => będzie padało (P=1)
CH=>~P =0
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Stąd mamy:
4’
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to może ~~> padać (P=1)
~CH~~>P = ~CH*P =[] =0
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: nie ma chmur (~CH=1) i pada (P=1)
cnd
Na mocy prawa Kobry fałszywość zdania 4’ wymusza fałszywość zdania 4
cnd
Z kolei fałszywość zdania 4 wymusza fałszywość zdania 3:
4: CH=>~P = 3: CH~>~P =0
Stąd mamy:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może nie padać (~P=1)
CH~>~P =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest spełniona co udowodniono wyżej dowodem „nie wprost”
Zauważmy, że nie musimy dowodzić fałszywości warunku koniecznego ~> w zdaniu 3 w sposób bezpośredni - dokładnie na tym polega piękno algebry Kubusia.
2.5.2 Definicja dowodu „nie wprost”
Definicja dowodu „nie wprost”:
Dowód „nie wprost” to dowód prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, Prawa Tygryska, Prawa kontrapozycji, prawo Kobry)
Poprawność tej definicji pokazano na przykładach wyżej.
2.6 Definicja spójnika implikacyjnego, prawo Kłapouchego
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Powyższa definicja jest w logice matematycznej domyślną (wspólnym punktem odniesienia) co oznacza, że możemy pomiąć frazę „w logice dodatniej (bo q)”. W niniejszym podręczniku będziemy z tego korzystać.
Wniosek z powyższej definicji to prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego:
Dla rozstrzygnięcia w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q” potrzeba ~> i wystarcza => sprowadzić je do postaci „Jeśli p to …” badając jego prawdziwość/fałszywość oraz zbadać prawdziwość/fałszywość tego samego zdania z wymienionym znaczkiem (=> na ~> albo odwrotnie)
Sprowadzenie dowolnego zdania warunkowego do postaci „Jeśli p to …” jest możliwe dzięki prawom logiki matematycznej: prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji.
Prawo Kłapouchego musimy stosować tylko i wyłącznie w odpowiedzi na pytanie:
W skład jakiego spójnika logicznego wchodzi dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q”?
Prawo Kłapouchego zapewnia wspólny punkt odniesienia dla wszystkich dyskutujących o logice matematycznej, co jest kluczowe dla sensownej dyskusji.
Warunek konieczny prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” zbiory/pojęcia {p, q, ~p i ~q} muszą być niepuste i należeć do wspólnej dziedziny.
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym „Jeśli p i q”
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q należą do wspólnej dziedziny wtedy i tylko wtedy gdy między dowolnymi przeczeniami p i q występuje co najmniej jeden warunek wystarczający => albo między wszystkimi możliwymi przeczeniami p i q spełniona jest definicja zdarzenia możliwego ~~> (dla zdarzeń) lub definicje elementu wspólnego zbiorów ~~> (dla zbiorów)
Wniosek:
Żadne z pojęć {p, q, ~p, ~q} nie może być zdaniem twierdzącym.
2.6.1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym „Jeśli p i q”
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q należą do wspólnej dziedziny wtedy i tylko wtedy gdy między dowolnymi przeczeniami p i q występuje co najmniej jeden warunek wystarczający => albo między wszystkimi możliwymi przeczeniami p i q spełniona jest definicja zdarzenia możliwego ~~> (dla zdarzeń) lub definicje elementu wspólnego zbiorów ~~> (dla zbiorów)
Wniosek:
Żadne z pojęć {p, q, ~p, ~q} nie może być zdaniem twierdzącym.
Zauważmy, że wyprowadzony wyżej wniosek to Armagedon dla Klasycznego Rachunku Zdań.
Dowód:
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
| K.A Wieczorek napisał: |
Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować
|
Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli „zdanie twierdzące p” to „zdane twierdzące q”
Gdzie:
Zdania twierdzące p i q muszą mieć znaną z góry wartość logiczną prawda (=1) albo fałsz (=0), aby na mocy „implikacji materialnej” można było rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
1. Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2. Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
3. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości zdania 3 na gruncie Klasycznego Rachunku Zdań jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
… a tu bloger Gżdacz potwornie szydzi (i słusznie) zarówno z logiki formalnej ziemian (Cytat pierwszy) jak i z samego dowodu Russella (cytat drugi):
[link widoczny dla zalogowanych]
| Gżdacz napisał: |
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.
Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)
Przepisałem wiernie, pozostawiając niepoprawną interpunkcję oraz nadużycie leksykalne polegające na tłumaczeniu angielskiego proposition jako propozycja, zamiast stwierdzenie.
Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30 |
Podsumowując:
Mam nadzieję, że w tym momencie każdy ziemski matematyk rozumie dlaczego nie ma sensu moja dyskusja z fanatykami Klasycznego Rachunku Zdań, gdzie ja stosuję definicje obowiązujące w algebrze Kubusia a fanatyk KRZ swoje, jedynie słuszne definicje.
Wielu matematyków doskonale rozumie, że aktualna logika matematyczna ziemian to szpital psychiatryczny - dowód w kolejnym punkcie.
2.6.2 Logika, sens i wątpliwości
Pełna treść niezwykłego artykułu, czyli matematyka który odważył się poddać w wątpliwość sens aktualnej logiki matematycznej Ziemian.
Dlaczego takich matematyków jest tak mało?
Bo zawsze są wściekle atakowani przez fanatyków Klasycznego Rachunku Zdań.
Kim jest pan Marek Kordos?
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Marek Tomasz Kordos - polski matematyk, doktor habilitowany, geometra i historyk matematyki oraz jej popularyzator.
Życiorys:
Założyciel i wieloletni redaktor naczelny miesięcznika Delta, autor wielu książek, współzałożyciel Ośrodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. Zatrudniony na stanowisku profesora nadzwyczajnego pracuje jako wykładowca akademicki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Specjalizuje się w geometrii i historii matematyki. Doktorat i habilitację uzyskał za prace z geometrii rzutowo-metrycznych. |
[link widoczny dla zalogowanych]
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 6:51, 03 Lip 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 19:55, 03 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Nowy pomysł Kłapouchego!
Oglądam sobie mecz Dania-Czechy gdy niespodziewania pojawił się Kłapouchy i mówi.
Kubusiu, znowu algebra Kubusia wychodzi zbyt skomplikowana, oto co proponuję:
1.
Wprowadźmy oznaczenia:
Jeśli (~)a to (~)b - zdanie warunkowe w zmiennych aktualnych {a, b} z języka potocznego
Jeśli (~)p to (~)q - zdanie warunkowe w zapisie formalnym {p, q}
Gdzie:
(~)a - przeczenie przy zmiennej „a” może być, albo może nie być.
2.
W języku potocznym, w obszarze zdań warunkowych „Jeśli (~)a to (~)b” swobodnie stosujemy wszelkie prawa logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji etc.) zupełnie nie interesując się w skład jakiego spójnika implikacyjnego konkretne zdanie warunkowe wchodzi.
3.
Interesujemy się w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi konkretne zdanie warunkowe „Jeśli a to b” wtedy i tylko wtedy gdy ktoś o to zapyta, w szczególności gdy dostaniemy takie zadanie matematyczne.
4.
Wtedy „zamrażamy układ” przypisując badanemu zdaniu warunkowemu w zapisie aktualnym „Jeśli (~)a to (~)b” postać formalną „Jeśli (~)p to (~)q” czyli:
p=a
q=b
5.
Korzystając z praw logiki matematycznej sprowadzamy badane zdanie warunkowe do postaci:
„Jeśli a to (~)b” - gdzie „a” poprzednik bez zaprzeczenia, zaś przy „b” może pojawić się zaprzeczenie (gdy spójnik „albo”($))
Zdanie „Jeśli a to (~)b” może być prawdziwym/fałszywym warunkiem wystarczającym => albo prawdziwym/fałszywym warunkiem koniecznym ~>.
6.
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania 5 z wymienionym znaczkiem (=> na ~> albo z ~> na =>)
Punkty 5 i 6 dadzą nam precyzyjną odpowiedź w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzą wszystkie badane zdania warunkowe, zarówno prawdziwe, jak i fałszywe.
Kubuś:
Pomysł wydaje się być dobrym, kto by pomyślał, Osioł, a ma dobre pomysły.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 7:01, 05 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań
Właśnie zrobiłem mały restart i piszę najważniejszy w całym podręczniku punkt 2.0 od początku - będzie się działo!
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-07-01,19257.html#604303
Algebra Kubusia
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Spis treści
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
2.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 2
2.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 3
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
2.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
2.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
2.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~> 4
2.3.1 Definicja tożsamości logicznej [=] 8
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 8
2.5 Najważniejsze definicje i prawa logiki matematycznej w algebrze Kubusia 11
2.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura 12
2.5.2 Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” 14
2.5.3 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań 14
2.5.4 Logika, sens i wątpliwości 17
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.
I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
2.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
2.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].
Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 1.2).
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
2.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
2.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
2.3 Rachunek zero-jedynkowy dla warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Definicja znaczka różne # dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne w znaczeniu znaczka # wtedy i tylko wtedy gdy jedna z nich jest zaprzeczeniem (~) drugiej
Przykład:
A1: Y=(p=>q)=~p+q # A1N: ~Y=~(p=>q)=p*~q
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Weźmy nasze funkcje logiczne A1 i B1:
| Kod: |
A1: Y= (p=>q)=~p+q ## B1: Y= (p~>q)=p+~q
# #
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q ## B1N:~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
A1: Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna A1 w logice dodatniej (bo Y)
A1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna A1 w logice ujemnej (bo ~Y)
|
Doskonale widać, że definicje znaczków # i ## są tu spełnione.
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+)
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
##
| Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Dowód iż funkcje logiczne z tabel T1, T2, T3 i T4 spełniają definicję znaczka różne na mocy definicji ##.
| Kod: |
T1: Y= (p=>q)=~p+q ## T2: Y =(p~>q)=p+~q ## T3: Y= p+q ## T4: Y=p*q
# # # #
T1N:~Y=~(p=>q)= p*~q ## T2N:~Y=~(p~>q)=~p*q ## T3N:~Y=~p*~q ## T4N:~Y=~p+~q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest zaprzeczeniem drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
T1: Y= (p=>q)=~p+q - funkcja logiczna T1 w logice dodatniej (bo Y)
T1N:~Y=~(p=>q)=p*~q - funkcja logiczna T1 w logice ujemnej (bo ~Y)
|
Doskonale widać, że dowolna funkcja z jednej strony znaczka różne na mocy definicji ## nie jest tożsama z funkcją po przeciwnej stronie ani też nie jest jej zaprzeczeniem.
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony |
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
2.3.1 Definicja tożsamości logicznej [=]
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Y= Y= Y= Y= Y= ~Y=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q # p*~q
## ## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y= ~Y=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q # ~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:
Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.
Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q
Podsumowanie:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.5 Najważniejsze definicje i prawa logiki matematycznej w algebrze Kubusia
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura
Prawo Kangurka:
W języku potocznym wszelkie przeczenia występujące w zdaniu muszą być uwzględnione w zapisie aktualnym np. {CH,~CH}
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Dla naszego przykładu mamy tożsamość zdań 1 i 1’:
1: (CH=1) = 1’: (~CH=0)
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
1’: ~CH=0 - fałszem jest (=0) iż nie ma chmur (~CH)
II Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Podobnie dla naszego przykładu zachodzi tożsamość zdań 2 i 2’:
2: (~CH=1) = 2’: (CH=0)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
2’: CH=0 - fałszem jest (=0), iż jest pochmurno (CH)
Uwaga:
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, stąd zdania 1 i 2 można zapisać krótko w następujący sposób:
1: CH - jest pochmurno
2: ~CH - nie jest pochmurno
Doskonale widać, że mamy teraz pełną zgodność z językiem potocznym, gdzie nikt nie operuje jedynkami - bo te są domyślne.
Przykład zapisu zdania w algebrze Kubusia:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH=1), nie pada (~P=1)
Zapis tożsamy powyższego zdania w języku potocznym:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH), nie pada (~P)
Zachodzi tożsamość słownych zapisów matematycznych (tożsamość zdań):
B2: ~CH=>~P = B2’: ~CH=>~P
W niniejszym podręczniku będziemy dość konsekwentnie stosować zapis słowny B2, by odzwyczaić ziemskich matematyków od gówna zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q są stałymi binarnymi (zdaniami twierdzącymi) o znanej z góry wartości logicznej.
W algebrze Kubusia w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q to zmienne binarne o nieznanej z góry wartości logicznej.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Podsumowując:
Algebra Kubusia to fundamentalnie co innego niż gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Prawo Kangura:
W algebrze Kubusia wszelkie przeczenia występujące w zmiennych aktualnych np. {~CH} muszą być przeniesione do zapisu formalnego np. {~p}
Przykład:
1: p = CH (chmury)
Negując dwustronnie powyższą tożsamość logiczną mamy:
2: ~p=~CH (nie chmury)
Zauważmy, że w 1 i 2 zachodzi:
1: p=CH # 2: ~p=~CH
Gdzie:
# - różne w rozumieniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Linii 2 nie wolno kodować tak:
3: s=~CH (nie chmury)
Dlaczego nie wolno?
Zauważmy że w kodowaniu 3 relacja znaczka różne # jest zabijana.
1: p=CH ? 3: s=~CH
Negując dowolną stronę znaczka „?” nie otrzymamy drugiej strony:
Dowód:
s=~CH ? ~s=CH
cnd
Powyższa zasada służy prostocie wyjaśnienia prawa do obustronnej negacji dowolnej tożsamości logicznej, czyli by matematyk A mógł się porozumieć z matematykiem B w najprostszy możliwy sposób.
Zauważmy, że jeśli trafimy na matematyka upartego jak osiołek to może się uprzeć że wolno mu zapisać:
s=~CH
Takiemu osiołkowi należy odpalić następującym rozumowaniem.
W algebrze Kubusia mamy tak:
1: p=CH # 2: ~p=~CH
Gdzie:
# - różne w rozumieniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Owszem, uparty osiołek może sobie podstawić:
s=~p
i zapisać tak:
1: p=CH # 2: s=~CH
Wtedy takiego osiołka należy spytać po co mu ta dodatkowa zmienna s i czy słyszał coś o brzytwie Ockhama?
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Brzytwa Ockhama (nazywana także zasadą ekonomii myślenia) – zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń. Tradycyjnie wiązana jest z nazwiskiem Williama Ockhama.
|
2.5.2 Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym „Jeśli p i q”
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q należą do wspólnej dziedziny wtedy i tylko wtedy gdy między dowolnymi przeczeniami p i q występuje co najmniej jeden warunek wystarczający => (lub konieczny ~>), albo między wszystkimi możliwymi przeczeniami p i q spełniona jest definicja zdarzenia możliwego ~~> (dla zdarzeń) lub definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> (dla zbiorów)
Wniosek:
Żadne z pojęć {p, q, ~p, ~q} nie może być zdaniem twierdzącym.
2.5.3 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań
Zauważmy, że wyprowadzony wyżej wniosek to Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań.
Dowód:
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
| K.A Wieczorek napisał: |
Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować
|
Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli „zdanie twierdzące p” to „zdane twierdzące q”
Gdzie:
Zdania twierdzące p i q muszą mieć znaną z góry wartość logiczną prawda (=1) albo fałsz (=0), aby na mocy „implikacji materialnej” można było rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
1. Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2. Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
3. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości zdania 3 na gruncie Klasycznego Rachunku Zdań jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Falsum sequitur quodlibet
Matryca implikacji od wieków budzi kontrowersje, niekiedy sięgające samej istoty logiki.
Matryca implikacji:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 1
0 1 1
1 0 0
0 0 1
|
Z dowolnego zdania fałszywego wynika dowolne zdanie prawdziwe (drugi wiersz matrycy) i dowolne zdanie fałszywe (czwarty wiersz matrycy). Twierdzenie to znane jest od wielu wieków w postaci łacińskiej formuły Falsum sequitur quodlibet (z fałszu wynika cokolwiek, czyli wszystko).
Mimo to, gdy Bertrand Russell opublikował swój system logiki oparty na omawianej matrycy implikacji materialnej, niektórzy filozofowie przyjęli ten system za rodzaj herezji logicznej.
Ktoś próbował wykpić B. Russella, ogłaszając list otwarty, w którym zaproponował mu do rozwiązania następujące zadanie:
Ponieważ według pana można udowodnić wszystko na podstawie jednego zdania fałszywego, proszę na podstawie fałszywego zdania "5 = 4" udowodnić, że jest pan papieżem.
Na pierwszy rzut oka zadanie to może się wydać niewykonalne. Intuicyjnie bowiem nie potrafimy dojrzeć żadnego związku między zdaniem "5 = 4" a zdaniem: "B. Russell jest papieżem". Intuicji nie można jednak wierzyć ślepo, jest bowiem zawodna. Russell podjął zadanie i rozwiązał je w wyniku następującego rozumowania:
Opierając się na regule głoszącej, że od obu stron równości wolno odjąć tę samą liczbę, odejmuję od obu stron równości: "5 = 4", liczbę 3. Wyprowadzam w ten sposób ze zdania "5 = 4" zdanie "2 = 1".
Dowód, że jestem papieżem, jest już teraz zupełnie prosty: papież i ja to dwie osoby, ale 2 = 1 (w tym przypadku papież i B. Russell, czyli dwie osoby są jedną osobą), więc jestem papieżem.
Rozumowanie to jest zupełnie poprawne, zatem początkowa intuicja zgodnie z którą zadanie dane Russellowi wydawało się nierozwiązalne, okazała się zawodna.
Zdanie "B. Russell jest papieżem" rzeczywiście wynika ze zdania "5 = 4". Jest to przykład wynikania fałszu z fałszu (odpowiednik czwartego wiersza matrycy).
Równie łatwo możemy wykazać, że z tego samego zdania fałszywego wynika zdanie prawdziwe, np. zdanie "B. Russell jest wykształcony". Wystarczy do już wyprowadzonego zdania "B. Russell jest papieżem" dodać oczywiście prawdziwe zdanie "Każdy papież jest wykształcony" i mamy:
B. Russell jest papieżem
Każdy papież jest wykształcony
zatem B. Russell jest wykształcony
Można również łatwo wskazać inne, prawdziwe konsekwencje zdania "5 = 4", np. "B. Russell jest mężczyzną", "B. Russell zna język łaciński", B. Russell jest osobistością znaną w całym świecie" itp.
Teoretyczna możliwość wyprowadzenia dowolnego zdania z danego zdania fałszywego nie zawsze jest równoznaczna z praktyczna łatwością wykonania takiego zadania. Ale takie zadanie jest do rozwiązania.
________________________________________
Prof. Tadeusz Kwiatkowski (Jego Wykłady i szkice z logiki ogólnej to źródło dzisiejszej notki) komentuje:
"Twierdzenie Falsum sequitur quodlibet i — tym samym — równoważne mu łącznie drugi i czwarty wiersze matrycy implikacji są nie tylko twierdzeniami logiki, lecz stanowią ujęcie głębokiej prawdy filozoficznej dotyczącej istoty prawdy i fałszu. Prawda ma tę istotną własność, że kierowana konsekwentnie prawami iogiki. nigdy nie doprowadzi do konsekwencji fałszywej. Fałsz natomiast konsekwentnie stosowany przekreśla możliwość rozróżnienia prawdy i fałszu, czyli przekreśla wartość poznania (burzy wszelki porządek logiczny!)." |
… a tu bloger Gżdacz potwornie szydzi (i słusznie) zarówno z logiki formalnej ziemian (Cytat pierwszy) jak i z samego dowodu Russella (cytat drugi):
[link widoczny dla zalogowanych]
| Gżdacz napisał: |
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.
Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)
Przepisałem wiernie, pozostawiając niepoprawną interpunkcję oraz nadużycie leksykalne polegające na tłumaczeniu angielskiego proposition jako propozycja, zamiast stwierdzenie.
Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30 |
Podsumowując:
Mam nadzieję, że w tym momencie każdy ziemski matematyk rozumie dlaczego nie ma sensu moja dyskusja z fanatykami Klasycznego Rachunku Zdań, gdzie ja stosuję definicje obowiązujące w algebrze Kubusia a fanatyk KRZ swoje, jedynie słuszne definicje.
Wielu matematyków doskonale rozumie, że aktualna logika matematyczna ziemian to szpital psychiatryczny - dowód w kolejnym punkcie.
2.5.4 Logika, sens i wątpliwości
Pełna treść artykułu zawodowego matematyka, który odważył się poddać w wątpliwość sens aktualnej logiki matematycznej Ziemian.
Dlaczego takich matematyków jest tak mało?
Bo zawsze są wściekle atakowani przez fanatyków Klasycznego Rachunku Zdań.
Kim jest pan Marek Kordos?
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Marek Tomasz Kordos - polski matematyk, doktor habilitowany, geometra i historyk matematyki oraz jej popularyzator.
Życiorys:
Założyciel i wieloletni redaktor naczelny miesięcznika Delta, autor wielu książek, współzałożyciel Ośrodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. Zatrudniony na stanowisku profesora nadzwyczajnego pracuje jako wykładowca akademicki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Specjalizuje się w geometrii i historii matematyki. Doktorat i habilitację uzyskał za prace z geometrii rzutowo-metrycznych. |
[link widoczny dla zalogowanych]
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 11:27, 05 Lip 2021, w całości zmieniany 4 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 6:04, 06 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Największy skok jakościowy w całej historii rozszyfrowywania algebry Kubusia!
To jest jedna z najważniejszych części algebry Kubusia jaką do tej pory napisałem - dzisiejszej nocy.
Dlaczego nie zrobiłem tego już dawno temu?
Bo algebra Kubusia, logika matematyczna której rzeczywistym autorem jest stwórca naszego Wszechświata, rozszyfrowywana jest na żywo - ja jestem tylko ziemianinem, Rafałem3006.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-07-01,19257.html#605399
Algebra Kubusia
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych
Spis treści
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych 1
3.1 Implikacja prosta p|=>q 2
3.1.1 Prawo Kameleona 4
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 5
3.3 Równoważność p<=>q 6
3.3.1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz pierwszy 9
3.3.2 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz drugi 11
3.3.3 Logika, sens i wątpliwości 13
3.4 Spójnik „albo” p$q 15
3.5 Chaos p|~~>q 17
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego 18
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek? 20
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian 22
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 24
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to seria czterech zdań warunkowych „Jeśli p to q” przez wszystkie możliwe przeczenia p i q z użyciem tylko i wyłącznie trzech znaczków, wyżej zdefiniowanych =>, ~> i ~~>.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Podzbiór => = relacja podzbioru =>
Nadzbiór => = relacja nadzbioru =>
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
3.1 Implikacja prosta p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q i nie może się zdarzyć ~(…), że zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji prostej IPA1B1.
| Kod: |
IPA1B1:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury.
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 z wymienionym znaczkiem z => na ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Stąd mamy:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest wystarczające => dla istnienia chmur i nie może się zdarzyć ~(…) że padanie jest konieczne ~> dla istnienia chmur.
3.1.1 Prawo Kameleona
Zapiszmy jeszcze raz zdania A1 i B1 wypowiedziane wyżej.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury.
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to, zdania te nie są matematycznie tożsame.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różna na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Dla naszego przykładu w zapisie formalnym mamy:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) =~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p~>q) = p+~q
stąd mamy:
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y=(p=>q)= ~p+q # ~Y=~(p=>q)=p*~q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y=(p~>q)= p+~q # ~Y=~(p~>q)=~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
|
Zapiszmy jeszcze raz kluczową tu definicję znaczka ##.
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##:
Dwie funkcje logiczne Y są różna na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli T1 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
cnd
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q i nie może się zdarzyć ~(…), że zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji odwrotnej IOA1B1.
| Kod: |
IOA1B1:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q)=p*~q
A1B1: p|~>q=p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = A3B3: q|=>p = A4B4: ~q|~>~p = p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: P~>CH = B2: ~P=>~CH
Zdanie B2 jest oczywiście prawdziwe z czego wynika prawdziwość zdania B1
cnd
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania B1 z wymienionym znaczkiem ~> na =>:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1), bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Stąd mamy:
CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Istnienie chmur jest warunkiem koniecznym ~> dla padania i nie może się zdarzyć ~(…) że istnienie chmur jest warunkiem wystarczającym => dla padania.
3.3 Równoważność p<=>q
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
Zdanie tożsame:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Ostatnia definicja jest powszechnie znana wszystkim ziemianom, nie tylko matematykom:
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 16100
„potrzebne i wystarczające”
Wyników: 2640
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy równoważności RA1B1:
| Kod: |
RA1B1:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = A3B3: q<=>p = A4B4: ~q<=>~p = p*q+~p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości w zbiorach:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1: p=>q
A1: TP=>SK
Punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3: q=>p
B3: SK=>TP
B3.
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
B3: SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1).
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Z dowodu tego wynika, że zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1).
Definicja tożsamości zbiorów p i q p=q w zapisie formalnym:
RA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Innymi słowy przy odczycie skrajnych tożsamości logicznych:
RA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Innymi słowy prawą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Nasz przykład:
RA1B1:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Innymi słowy przy odczycie skrajnych tożsamości logicznych:
RA1B3:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK.
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Innymi słowy prawą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Dla zdania B3 stosujemy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsama definicję tożsamości zbiorów:
RA1B1:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Środek czytamy:
RA1B1:
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> i wystarcza => aby zaszło q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Nasz przykład:
RA1B1:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK.
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Środek czytamy:
RA1B1:
Do tego aby trójkąt był prostokątny (TP=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B1:
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
3.3.1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz pierwszy
Zauważmy, że powyższa definicja tożsamości zbiorów p=q to Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań!
Twierdzenie Smoka Wawelskiego:
Dowolny ziemski matematyk, który twierdzi iż definicja „implikacji materialnej” jest matematycznie poprawna w naszym Wszechświecie żywym i martwym (w tym w matematyce) jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek.
Innymi słowy:
Ziemska interpretacja równoważności p<=>q z Wikipedii to ciężki przypadek schizofrenii.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Równoważność p<=>q (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym poprzednik p jest zarówno warunkiem koniecznym ~>, jak i wystarczającym => dla następnika q.
To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykłady równoważności prawdziwych:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy 2 + 2 = 4
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
etc
|
Zauważmy, że wytłuszczona część definicji równoważności p<=>q z Wikipedii jest poprawna i identyczna jak w algebrze Kubusia … ale przykłady równoważności prawdziwych z Wikipedii to jedno wielkie, potwornie śmierdzące gówno.
Puenta ziemskiej definicji równoważności p<=>q z Wikipedii:
Ziemska definicja równoważności p<=>q to ciężki przypadek schizofrenii - zdradzają to przykłady z Wikipedii.
Rozważmy pierwszy przykład:
Na mocy wytłuszczonej, poprawnej definicji równoważności z Wikipedii ziemscy twardogłowi „matematycy” zapisują:
RA1B1:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4
TZ<=>224 <=> (A1: TZ=>224)*(B1: TZ~>224) = 1*1 =1
Jak widzimy, ziemski „matematyk” twierdząc, że powyższa równoważność RA1B1 jest prawdziwa musi udowodnić prawdziwość zdań składowych A1 i B1.
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% => 2+2=4
TZ=>224 =1
Z faktu iż trawa jest zielona wynika => że 2+2=4
Innymi słowy:
Zieloność trawy jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby 2+2=4
Jak prawdziwość warunku wystarczającego => A1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla absolutnie wszystkich fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.
Dowód prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% ~> 2+2=4
TZ~>224 =1
Zieloność trawy jest warunkiem koniecznym ~> do tego, aby 2+2=4
Jak prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla absolutnie wszystkich fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.
3.3.2 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz drugi
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Równoważność p<=>q (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym poprzednik p jest zarówno warunkiem koniecznym ~>, jak i wystarczającym => dla następnika q.
To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykłady równoważności prawdziwych:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy 2 + 2 = 4
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
etc
|
Geneza schizofrenicznej definicji równoważności w Klasycznym Rachunku Zdań.
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
| K.A Wieczorek napisał: |
Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować
|
Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli „zdanie twierdzące p” to „zdane twierdzące q”
Gdzie:
Zdania twierdzące p i q muszą mieć znaną z góry wartość logiczną prawda (=1) albo fałsz (=0), aby na mocy „implikacji materialnej” można było rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
1. Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2. Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
3. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości zdania 3 na gruncie Klasycznego Rachunku Zdań jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Falsum sequitur quodlibet
Matryca implikacji od wieków budzi kontrowersje, niekiedy sięgające samej istoty logiki.
Matryca implikacji:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 1
0 1 1
1 0 0
0 0 1
|
Z dowolnego zdania fałszywego wynika dowolne zdanie prawdziwe (drugi wiersz matrycy) i dowolne zdanie fałszywe (czwarty wiersz matrycy). Twierdzenie to znane jest od wielu wieków w postaci łacińskiej formuły Falsum sequitur quodlibet (z fałszu wynika cokolwiek, czyli wszystko).
Mimo to, gdy Bertrand Russell opublikował swój system logiki oparty na omawianej matrycy implikacji materialnej, niektórzy filozofowie przyjęli ten system za rodzaj herezji logicznej.
Ktoś próbował wykpić B. Russella, ogłaszając list otwarty, w którym zaproponował mu do rozwiązania następujące zadanie:
Ponieważ według pana można udowodnić wszystko na podstawie jednego zdania fałszywego, proszę na podstawie fałszywego zdania "5 = 4" udowodnić, że jest pan papieżem.
Na pierwszy rzut oka zadanie to może się wydać niewykonalne. Intuicyjnie bowiem nie potrafimy dojrzeć żadnego związku między zdaniem "5 = 4" a zdaniem: "B. Russell jest papieżem". Intuicji nie można jednak wierzyć ślepo, jest bowiem zawodna. Russell podjął zadanie i rozwiązał je w wyniku następującego rozumowania:
Opierając się na regule głoszącej, że od obu stron równości wolno odjąć tę samą liczbę, odejmuję od obu stron równości: "5 = 4", liczbę 3. Wyprowadzam w ten sposób ze zdania "5 = 4" zdanie "2 = 1".
Dowód, że jestem papieżem, jest już teraz zupełnie prosty: papież i ja to dwie osoby, ale 2 = 1 (w tym przypadku papież i B. Russell, czyli dwie osoby są jedną osobą), więc jestem papieżem.
Rozumowanie to jest zupełnie poprawne, zatem początkowa intuicja zgodnie z którą zadanie dane Russellowi wydawało się nierozwiązalne, okazała się zawodna.
Zdanie "B. Russell jest papieżem" rzeczywiście wynika ze zdania "5 = 4". Jest to przykład wynikania fałszu z fałszu (odpowiednik czwartego wiersza matrycy).
Równie łatwo możemy wykazać, że z tego samego zdania fałszywego wynika zdanie prawdziwe, np. zdanie "B. Russell jest wykształcony". Wystarczy do już wyprowadzonego zdania "B. Russell jest papieżem" dodać oczywiście prawdziwe zdanie "Każdy papież jest wykształcony" i mamy:
B. Russell jest papieżem
Każdy papież jest wykształcony
zatem B. Russell jest wykształcony
Można również łatwo wskazać inne, prawdziwe konsekwencje zdania "5 = 4", np. "B. Russell jest mężczyzną", "B. Russell zna język łaciński", B. Russell jest osobistością znaną w całym świecie" itp.
Teoretyczna możliwość wyprowadzenia dowolnego zdania z danego zdania fałszywego nie zawsze jest równoznaczna z praktyczna łatwością wykonania takiego zadania. Ale takie zadanie jest do rozwiązania.
________________________________________
Prof. Tadeusz Kwiatkowski (Jego Wykłady i szkice z logiki ogólnej to źródło dzisiejszej notki) komentuje:
"Twierdzenie Falsum sequitur quodlibet i — tym samym — równoważne mu łącznie drugi i czwarty wiersze matrycy implikacji są nie tylko twierdzeniami logiki, lecz stanowią ujęcie głębokiej prawdy filozoficznej dotyczącej istoty prawdy i fałszu. Prawda ma tę istotną własność, że kierowana konsekwentnie prawami iogiki. nigdy nie doprowadzi do konsekwencji fałszywej. Fałsz natomiast konsekwentnie stosowany przekreśla możliwość rozróżnienia prawdy i fałszu, czyli przekreśla wartość poznania (burzy wszelki porządek logiczny!)." |
… a tu bloger Gżdacz potwornie szydzi (i słusznie) zarówno z logiki formalnej ziemian (Cytat pierwszy) jak i z samego dowodu Russella (cytat drugi):
[link widoczny dla zalogowanych]
| Gżdacz napisał: |
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.
Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)
Przepisałem wiernie, pozostawiając niepoprawną interpunkcję oraz nadużycie leksykalne polegające na tłumaczeniu angielskiego proposition jako propozycja, zamiast stwierdzenie.
Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30 |
Podsumowując:
Mam nadzieję, że w tym momencie każdy ziemski matematyk rozumie dlaczego nie ma sensu moja dyskusja z fanatykami Klasycznego Rachunku Zdań, gdzie ja stosuję definicje obowiązujące w algebrze Kubusia (np. definicję równoważności z algebry Kubusia) a fanatyk KRZ swoje, jedynie słuszne definicje.
Wielu matematyków doskonale rozumie, że aktualna logika matematyczna ziemian to szpital psychiatryczny - dowód w kolejnym punkcie.
3.3.3 Logika, sens i wątpliwości
Pełna treść artykułu zawodowego matematyka, który odważył się poddać w wątpliwość sens aktualnej logiki matematycznej Ziemian.
Dlaczego takich matematyków jest tak mało?
Bo zawsze są wściekle atakowani przez fanatyków Klasycznego Rachunku Zdań.
Kim jest pan Marek Kordos?
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Marek Tomasz Kordos - polski matematyk, doktor habilitowany, geometra i historyk matematyki oraz jej popularyzator.
Życiorys:
Założyciel i wieloletni redaktor naczelny miesięcznika Delta, autor wielu książek, współzałożyciel Ośrodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. Zatrudniony na stanowisku profesora nadzwyczajnego pracuje jako wykładowca akademicki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Specjalizuje się w geometrii i historii matematyki. Doktorat i habilitację uzyskał za prace z geometrii rzutowo-metrycznych. |
[link widoczny dla zalogowanych]
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
3.4 Spójnik „albo” p$q
Definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego następnika q (~q).
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy spójnika „albo”($):
| Kod: |
$A1B1:
Tabela prawdy spójnika „albo”($):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p =1 [=] 5: ~p+~q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p =1 [=] 5: p+ q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)= ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
A1B1: p$q = p*~q + ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p$q = A2B2: ~p$~q = A3B3: q$p = A4B4: ~q$~p = p*~q+~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy spójnika „albo”($) potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Aby dowolny człowiek był mężczyzną (M=1) potrzeba ~> i wystarcza => aby nie był kobietą (~K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Zdania składowe A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K=1), bo każdy mężczyzna nie jest kobietą
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 z wymienionym znaczkiem => na ~>:
B1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% ~> nie jest kobietą (~K=1)
M~>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem koniecznym ~> by nie być kobietą (~K=1), bo nie ma innego człowieka poza mężczyzną, który nie jest kobietą.
Ogólna definicja równoważności:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Zauważmy, że spójnik „albo”($) spełnia ogólną definicję równoważności, stąd mamy tożsamość logiczną:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Nasz przykład:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Stąd mamy kolejne zdanie tożsame do spójnika „albo”($):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
3.5 Chaos p|~~>q
Definicja chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy nie zdarzy się ~(..) że zajście p jest wystarczające => dla zajścia q i nie zdarzy się ~(..) że zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Poprzednik definiuje zbiór:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Następnik definiuje zbiór:
P3=[3,6,9,12 .. 24..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Sprawdzamy warunek wystarczający => między P8 i P3:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=[8,16,24..] => P3=[3,6,9,12..24..] =0
Bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
cnd
Sprawdzamy warunek konieczny ~> między P8 i P3:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8=[8,16,24..] ~> P3=[3,6,9,12..24..] =0
Bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
cnd
Stąd mamy:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy chaosu p|~~>q:
| Kod: |
CHA1B1:
Tabela prawdy chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q)=(p*~q)*(~p*q) =0
A1B1: p|~~>q = 0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q = A3B3: q|~~>p = A4B4: ~q|~~>~p = 0
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc
Zapiszmy poznane dotychczas spójniki logiczne w postaci funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
| Kod: |
TSL - tabela spójników logicznych wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
A:
Spójnik „lub”(+):
1. Y=p+q # 2. ~Y=~p*~q
##
B:
Spójnik „i”(*):
1. Y=p*q # 2. ~Y=~p+~q
##
C:
Warunek wystarczający p=>q:
1. Y=(p=>q)=~p+q # 2. ~Y=~(p=>q)=p*~q
##
D.
Warunek konieczny p~>q:
1. Y=(p~>q)=p+~q # 2. ~Y=~(p~>q)=~p*q
##
E.
Implikacja prosta p|=>q:
1. Y=(p|=>q)=~p*q # 2. ~Y=~(p|=>q)=p+~q
##
F.
Implikacja odwrotna p|~>q
1. Y=(p|~>q)=p*~q # 2. ~Y=~(p|~>q)=~p+q
##
G.
Równoważność p<=>q:
1. Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q # 2. ~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
##
H.
Spójnik „albo”($):
1. Y=(p$q)=p*~q+~p*q # 2. ~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q
##
I.
Chaos p|~~>q:
1. Y = (p|~~>q)=0 # 2. ~Y=~(p|~~>q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego jest uwzględnianie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) w kolumnach wynikowych rachunku zero-jedynkowego.
Doskonale widać, że tabela TSL perfekcyjnie spełnia definicje obu znaczków # i ##.
Zauważmy że:
Spójniki logiczne wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to wyłącznie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) dające odpowiedź na pytanie o Y.
W tabeli TSL doskonale widać, że każdy spójnik logiczny definiowany funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) wymusza funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Definicja operatora logicznego warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny warunku wystarczającego p=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q)=1 jest spełniony (Y=1)
wtedy i tylko wtedy gdy ~p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(p=>q) = ~(~p+q) = p*~q - na mocy prawa De Morgana
~Y = ~(p=>q) = p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
Warunek wystarczający =>:
~Y=~(p=>q)=1 nie jest spełniony (~Y=1)
wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i ~q=1
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek?
Odpowiedź jest jednoznaczna: 5-cio latek
Dowód:
Weźmy przykład ze świata żywego, rodem z przedszkola.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N - poznamy niebawem.
Weźmy obietnicę ojca dla syna:
W.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji warunku wystarczającego E=>K wchodzącego w skład implikacji prostej E|=>K w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) mamy odpowiedź na dwa kluczowe pytania, kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) oraz kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
Zachodzi tożsamość pojęć:
~Y=1 - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) [=] S=1 - ojciec skłamie (S)
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?
Y = (E=>K) = ~E+K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 luk K=1
Odpowiedź:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)
Oczywiście tej odpowiedzi, żaden normalny człowiek nie zrozumie.
Czy istnieje sposób, by odpowiedzi na pytanie „Kiedy ojciec dotrzyma słowa?” udzielił ekspert algebry Kubusia, 5-cio letni Jaś?
Odpowiedź na ten problem jest twierdząca.
Należy tu zacząć od opisania przypadku „Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?”
Zuzia do Jasia:
Jasiu czy wiesz kiedy ojciec skłamie?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Pytasz mnie:
2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(E=>K) = ~(~E+K) = E*~K - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = E*~K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i ~K=1 - syn za egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
Oczywistym jest, że ojciec może tylko i wyłącznie nie dotrzymać słowa (~Y=1) albo dotrzymać słowa (Y=1).
Innymi słowy:
We wszystkich pozostałych możliwych przypadkach ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Czy teraz już wiesz Zuziu kiedy ojciec dotrzyma słowa?
Zuzia:
Phi, to bułka z masłem, czyli pikuś.
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1), czyli nie skłamie, wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i K=1 - syn za egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
LUB
~E=1 i ~K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
LUB
~E=1 i K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Ostatni przypadek to piękny „akt miłości” gwarantowany przez algebrę Kubusia, czyli ojciec może wręczyć dziecku nagrodę (komputer: K=1) mimo ze ten nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1)
Jaś:
Brawo Zuziu!
Czy zdajesz sobie sprawę z faktu że znasz logikę matematyczną lepiej od prawie wszystkich ziemskich matematyków? … bo ci o tym co napisałaś nie mają najmniejszego pojęcia, a wszystkiemu jest winne potwornie śmierdzące gówno zwane „implikacją materialną”
Zuzia:
Hmmm… to aż tacy tępi są?
Doskonale widać, że w definicji operatora warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które dostaniemy przy definicji implikacji prostej p|=>q definiowanej zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dającej odpowiedź na pytanie o p i ~p.
Szczegóły poznamy za chwilkę.
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian
Pojęcie funkcji logicznej algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemskich matematyków.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej ze zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Właściwości funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować
Przykład:
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y = K+T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy w dowolne miejsce.
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Czy wiesz kiedy jutro pani skłamie?
Jaś.
Oczywiście że wiem.
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(K+T) = ~K*~T - na mocy prawa De Morgana
Czyli:
~Y=~K*~T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Znaczenie zmiennej Y:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani jutro nie dotrzyma słowa (~Y)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
~Y (pani nie dotrzyma słowa: ~Y) = S (pani skłamie: S)
Zuzia:
Dzięki Jasiu, pięknie to wszystko wytłumaczyłeś.
Jaś:
Niestety Zuziu, to co dla nas jest bajecznie proste, dla ziemskich matematyków jest czarną magią nie do pojęcia.
Zuzia:
Jakie są tego przyczyny?
Jaś:
Po pierwsze:
Ziemscy matematycy nie znają banalnej definicji funkcji logicznej Y wyżej zapisanej.
Po drugie:
Ziemscy matematycy nie wiedzą, iż dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Po trzecie:
W rachunku zero-jedynkowym ziemscy matematycy w opisie kolumn wynikowych operują wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, nigdy na funkcjach logicznych.
Dokładnie ten fakt powoduje, że ich rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny co udowodnię w następnym punkcie.
Ciekawostka:
Świat techniki (inżynierowie elektronicy) doskonale zna pojęcie funkcji logicznej w algebrze Boole’a - sam z tego świata przybyłem.
Dowód:
W żadnym katalogu bramek logicznych nie znajdziemy opisu choćby jednej bramki logicznej przedstawionej w postaci wyrażenia algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznej Y.
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Texas Instruments - pionier układów TTL napisał: |
74HC86
These devices contain four independent 2-input exclusive-OR gates.
They perform the Boolean function Y = A*~B + ~A*B
|
Oczywistym jest że nie jest funkcją Boole’a samo wyrażenie algebry Boole’a:
A*~B+~A*B
Wyłącznie jełopy mogą tego nie wiedzieć.
Podsumowując:
1.
Ziemski matematyk który nie zna poniższej definicji funkcji algebry Boole’a powinien spalić się ze wstydu.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. p*q+~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykład:
Y = (p<=>q) = p*q+~p*~q
2.
Ziemski matematyk który nie wie że dowolną funkcje logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować powinien wziąć zimny prysznic.
Nasz przykład:
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
Stąd mamy prawa De Morgana mówiące o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
I.
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y):
Y=~(~Y) = ~(p*~q+~p*q) = p*q+~p*~q
II.
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y=~(Y) = ~(p*q+~p*~q) = p*~q + ~p*q
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który w wypełnianiu tabel zero-jedynkowych operuje tylko i wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a ignorując totalnie zarówno funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i jak i funkcje logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Twardy dowód to podana wyżej tabela spójników logicznych (TSL) zapisana wyłącznie w postaci wyrażeń algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznych Y i ~Y.
Dokładnie ten błąd fatalny popełniają wszyscy ziemscy matematycy.
| Kod: |
TSL’ - tabela spójników logicznych
po zostawieniu wyłącznie wyrażeń algebry Boole’a
A: Spójnik „lub”(+)
1. p+q # 2. ~p*~q
##
B: Spójnik „i”(*)
1. p*q # 2. ~p+~q
##
C: Warunek wystarczający =>
1. ~p+q # 2. p*~q
##
D. Warunek konieczny ~>
1. p+~q # 2. ~p*q
##
E. Implikacja prosta p|=>q
1. ~p*q # 2. p+~q
##
F. Implikacja odwrotna p|~>q
1. p*~q # 2. ~p+q
##
G. Równoważność p<=>q
1. p*q+~p*~q # 2. p*~q+~p*q
##
H. Spójnik „albo”($) p$q
1. p*~q+~p*q # 2. p*q+~p*~q
##
I. Chaos p|~~>q
1. =0 # 2. =1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Zauważmy, że po zostawieniu w tabeli TSL samych wyrażeń algebry Boole’a definicja znaczka różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony jest wszędzie spełniona.
ALE!
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest gwałcona w następujących miejscach:
| Kod: |
TSL’
C1: ~p+q [=] F2:~p+q
D1: p+~q [=] E2: p+~q
E1: ~p*q [=] D2:~p*q
F1: p*~q [=] C2: p*~q
G1: p*q+~p*~q [=] H2: p*q+~p*~q
H1: p*~q+~p*q [=] G2: p*~q+~p*q
|
cnd
Wniosek:
Rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 11:55, 06 Lip 2021, w całości zmieniany 5 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 7:33, 10 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Prawo Kłapouchego vs kot Schrödingera
Przed chwilką przyszedł do mnie Kłapouchy i mówi:
Kubusiu, podoba mi się ta twoja najnowsza wersja algebry Kubusia, jedyne zastrzeżenie jakie mam to korzystasz z prawa Kłapouchego bez wyjaśnienia po co komu to prawo?
Dopisałem gotowy punkt 2.6 - jak ci się podoba?
Kubuś:
Fajny jest, kto by pomyślał, osioł a potrafi logicznie myśleć ... w przeciwieństwie do fanatyków gówna zwanego "implikacją materialną"
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-07-01,19257.html#604303
Algebra Kubusia
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Dopisany punkt 2.6:
2.6 Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia)
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja operatora implikacyjnego:
Operator implikacyjny, to operator definiowany zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q”
W logice matematycznej rozróżniamy cztery podstawowe operatory implikacyjne:
p||=>q - operator implikacji prostej
p||~>q - operator implikacji odwrotnej
p|<=>q - operator równoważności
p||~~>q - operator chaosu
Dodatkowy piąty operator „albo” p|$q to mutacja operatora równoważności:
p|$q - operator „albo”($)
Wszystkie definicje operatorów implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub nie spełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
O co chodzi z tym prawem Kłapouchego?
Prawo Kłapouchego to coś podobnego do kota Schrödingera, ale nie jest czystym idiotyzmem wspomniany kot.
W prawie Kłapouchego chodzi o to, że dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego to nie możemy jednoznacznie rozstrzygnąć do jakiego operatora logicznego należy badane zdanie warunkowe „Jeśli p to q”.
Prawo Kłapouchego dotyczy wszystkich wymienionych wyżej operatorów implikacyjnych, zatem jest sens wnikać w jego rzeczywiste znaczenie dopiero po poznaniu teorii tych operatorów.
Prawo Kłapouchego jest jak otwarcie drzwiczek z pojemnikiem w którym znajduje się kot Schrödingera, czyli dopiero po jego zastosowaniu dostajemy jednoznaczne rozstrzygnięcie w skład jakiego operatora logicznego wchodzi interesujące nas zdanie warunkowe „Jeśli p to q”.
Weźmy przykładowo warunek wystarczający =>:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie q
p=>q =1
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Warunek wystarczający => A1 może być częścią równoważności p<=>q o definicji:
RA1B1:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
albo!
Warunek wystarczający => A1 być częścią Implikacji prostej p|=>q o definicji:
IPA1B1:
Zajście p jest wystarczające => dla zajścia q i nie jest potrzebne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) =1*1 =1
Na mocy definicji zachodzi:
p<=>q =p*q+~p*~q ## p|=>q = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Znaczek różne na mocy definicji ## oznacza, że jeśli warunek wystarczający => należy do równoważności p<=>q o definicji:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q+~p*~q
to na 100% nie należy do definicji implikacji prostej p|=>q o definicji:
IPA1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q
albo odwrotnie!
Nie oznacza to jednak, że dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego, czyli dopóki nie otworzymy drzwiczek pojemnika z kotem Schrödingera, to warunek wystarczający =>:
A1: p=>q
może należeć równocześnie do równoważności p<=>q:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p*q+~p*~q
i implikacji prostej p|=>q:
IPA1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~p*q
Twierdzenie ziemskich matematyków, że kot Schrödingera może być w jakiejś tam chwili czasowej jednocześnie żywy i martwy to zagłada algebry Kubusia, czyli zagłada logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy, autorstwa stwórcy naszego Wszechświata.
Podsumowując:
Kot Schrödingera jednocześnie żywy i martwy to majaczenia pacjenta zakładu zamkniętego bez klamek, czyli fanatyka „implikacji materialnej”
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 15:17, 13 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - ostatni akord!
... i znów będę musiał zrobi mały restart AK.
Powodem tego faktu jest ogólna teoria algebry Kubusia która wyszła przy algorytmie szczególnym Kłapouchego.
Oto ta teoria:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-07-01,19257.html#606773
9.1 Teoria niezbędna do zrozumienia algorytmów Kłapouchego
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Kolumna A1B1 to spójnik implikacyjny p?q dający odpowiedź na pytanie o p
A1B1+A2B2 - operator implikacyjny p|?q dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
Zachodzi tożsamość logiczna:
p?q = p|?q
Gdzie:
? - znaczek spójnika implikacyjnego: p|=>q, p|~>q, p<=>q, p$q, p|~~>q
Definicje spójników implikacyjnych, czyli odpowiedź na pytanie o p:
? = p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - implikacja prosta p|=>q
? = p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - implikacja odwrotna p|~>q
? = p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q)=1*1=1 - równoważność p<=>q
? = p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= p<=>~q - spójnik „albo”($)
? = p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0)=1*1=1 - chaos p|~~>q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja spójnika implikacyjnego p?q:
Spójnik implikacyjny p?q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź na pytanie o p
Fizyczna realizacja to kolumna A1B1
Definicja operatora implikacyjnego p|?q:
Operator implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź na pytania o p i ~p
Fizyczna realizacja to kolumny A1B1+A2B2
Definicja spójnika implikacyjnego q?p:
Spójnik implikacyjny q?p w logice dodatniej (bo p) to odpowiedź na pytanie o q
Fizyczna realizacja to kolumna A2B2
Definicja operatora implikacyjnego q|?p:
Operator implikacyjny q|?p w logice dodatniej (bo p) to odpowiedź na pytania o q i ~q
Fizyczna realizacja to kolumny A3B3+A4B4
Uwaga:
Udowodnienie prawdziwości spójnika implikacyjnego p?q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora implikacyjnego p|?q.
Jak również:
Udowodnienie prawdziwości spójnika implikacyjnego p?q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości spójnika implikacyjnego q?p w logice dodatniej (bo p) jak również tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora implikacyjnego q|?p.
Innymi słowy zachodzi tożsamość logiczna:
p?q = p|?q [=] q?p = q|?p
„=”, [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)
Definicja tożsamości logicznej:
p?q = p|?q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
W logice matematycznej rozróżniamy pięć podstawowych spójników implikacyjnych p?q dających odpowiedź na pytanie o p:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) jest wystarczające => dla zajścia q (A1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Przykład:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (B1)
A1: P=>CH =1 - padanie jest wystarczające => dla chmur, bo zawsze gdy pada są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest konieczne ~> dla chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1
Przykład:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (B1) i jednocześnie chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania (A1)
A1: CH=>P =0 - chmury nie są wystarczające => dla padania , bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
3.
Równoważność p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy w skrócie:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Przykład:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby zachodziła suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Tą wersję równoważności zna absolutnie każdy ziemski matematyk.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
wyników: 7 170
„potrzeba i wystarczy”
wyników: 14 800
cnd
4.
Spójnik implikacyjny „albo”($):
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p albo($) q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Innymi słowy w skrócie:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Doskonale widać, że spójnik implikacyjny „albo”($) to szczególny przypadek równoważności:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Stąd:
p$q = p<=>~q
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby być mężczyzną (M) potrzeba ~> i wystarczy => że nie jest się kobietą (~K)
Prawa strona definiuje nam równoważność:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
stąd mamy tożsamość logiczną:
M$K = M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
5.
Spójnik implikacyjny chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Innymi słowy w skrócie:
Zajęcie p nie jest ani konieczne ~> ani też wystarczające => dla zajścia q
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Poprzednik definiuje nam zbiór P8:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Następnik definiuje nam zbiór P3:
P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Badamy czy spełniony jest warunek wystarczający => miedzy P8 i P3 w kierunku od P8 do P3:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
cnd
Badamy czy spełniony jest warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi P8 i P3 w tym samym kierunku:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) konieczna ~> dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]
cnd
Stąd mamy dowód, iż zdania A1 i B1 tworzą definicję spójnika chaosu p|~~>q:
A1: P8=>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => P3=[3,6,9..]
B1: P8~>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9..]
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) ani warunkiem koniecznym ~> (B1), ani też warunkiem wystarczającym => (A1) dla jej podzielności przez 3
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)
Wszystkie definicje spójników implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub niespełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>, tak jak to zrobiliśmy w przypadku chaosu p|~~>q.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 6:17, 14 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
2.8 Uwertura do opery pt. „Algebra Kubusia”
Ten krótki artykuł, punkt 2.0, zawiera wszystkie najważniejsze definicje i prawa algebry Kubusia i będzie wstępem do mojej dyskusji z ziemskimi matematykami ... ale najpierw musze dopieścić algebrę Kubusia na maksa.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-07-01,19257.html#604303
Algebra Kubusia
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Spis treści
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 1
2.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 3
2.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów 3
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 3
2.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 4
2.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń 4
2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym 5
2.3.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ## 5
2.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~> 5
2.3.3 Definicja tożsamości logicznej [=] 8
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 9
2.4.1 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” 10
2.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej? 11
2.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura 11
2.6 Definicje spójników implikacyjnych w pigułce 13
2.7 Prawo Kłapouchego 17
2.7.1 Dowód prawa Kłapouchego 19
2.7.2 Pudełko Schrödingera vs implikacja odwrotna CH|~>P 22
2.7.3 Pudełko Schrödingera vs implikacja prosta P|=>CH 23
2.7.4 Prawo Kameleona 25
2.7.5 Pudełko Schrödingera to matematyczny raj 5-cio latka 26
2.8 Uwertura do opery pt. „Algebra Kubusia” 28
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.
I.
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
II.
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0 - definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0 - definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
2.1.1 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
2.1.2 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].
Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji Uniwersum i zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 1.2).
Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
I.
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
II.
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
III.
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
2.2.1 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
2.2.2 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
2.3.1 Definicja znaczka różne na mocy definicji ##
Definicję znaczka różne na mocy definicji poznamy na przykładzie definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które wyżej zapisaliśmy.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y=p+q
Y=~p*~q
Y=~p+q
Y = p+~q
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Aby zrozumieć o co chodzi w definicji znaczka różne na mocy definicji ## zapiszmy definicje znaczków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> w postaci funkcji logicznych.
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego => | Definicja warunku koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y = (p~>q) = p+~q
# #
~Y =~(p=>q) = p*~q ## ~Y =~(p~>q) = ~p*q
Uwagi:
Dowolna funkcję logiczną wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie negować
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
|
Doskonale widać, że definicje obu znaczków # i ## są w tabeli T1 perfekcyjnie spełnione.
cnd
2.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~>
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+)
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
##
| Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony |
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
2.3.3 Definicja tożsamości logicznej [=]
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Y= Y= Y= Y= Y= ~Y=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q # p*~q
## ## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y= ~Y=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q # ~p*q
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:
Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.
Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q - pod q podstaw := ~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q
2.4.1 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej?
Wszelkie prawa logiki matematycznej wyznacza świat martwy (w tym matematyka).
Świat żywy nie nadaje się do wyznaczania praw logiki matematycznej ze względu na definicję „wolnej woli” którą ma każda istota żywa, człowiek nie jest tu wyjątkiem.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy i matematykę.
Dokładnie z powyższego powodu o logice matematycznej możemy dyskutować pewnie i niezawodnie wyłącznie na gruncie świata martwego i matematyki.
Związek praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy i matematykę ze światem żywym poznamy w końcowej części podręcznika - obsługa obietnic i gróźb.
2.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura
Prawo Kangurka:
W języku potocznym wszelkie przeczenia występujące w zdaniu muszą być uwzględnione w zapisie aktualnym np. {CH,~CH}
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Dla naszego przykładu mamy tożsamość zdań 1 i 1’:
1: (CH=1) = 1’: (~CH=0)
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
1’: ~CH=0 - fałszem jest (=0) iż nie ma chmur (~CH)
II Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Podobnie dla naszego przykładu zachodzi tożsamość zdań 2 i 2’:
2: (~CH=1) = 2’: (CH=0)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
2’: CH=0 - fałszem jest (=0), iż jest pochmurno (CH)
Uwaga:
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, stąd zdania 1 i 2 można zapisać krótko w następujący sposób:
1: CH - jest pochmurno
2: ~CH - nie jest pochmurno
Doskonale widać, że mamy teraz pełną zgodność z językiem potocznym, gdzie nikt nie operuje jedynkami - bo te są domyślne.
Przykład zapisu zdania w algebrze Kubusia:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH=1), nie pada (~P=1)
Zapis tożsamy powyższego zdania w języku potocznym:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH), nie pada (~P)
Zachodzi tożsamość słownych zapisów matematycznych (tożsamość zdań):
B2: ~CH=>~P = B2’: ~CH=>~P
W niniejszym podręczniku będziemy dość konsekwentnie stosować zapis słowny B2, by odzwyczaić ziemskich matematyków od badziewia zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q są stałymi binarnymi (zdaniami twierdzącymi) o znanej z góry wartości logicznej.
W algebrze Kubusia w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q to zmienne binarne o nieznanej z góry wartości logicznej.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Uwaga:
W algebrze Kubusia w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” zarówno poprzednik p jak i następnik q mogą być dowolnie złożonymi funkcjami logicznymi.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y):
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc
Uwaga:
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie negować o czym ziemianie, niestety nie wiedzą
Dowód:
W żadnym podręczniku matematyki nie znajdziemy dwustronnej negacji funkcji logicznej
Podsumowując:
Algebra Kubusia to fundamentalnie co innego niż badziewie zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Prawo Kangura:
W algebrze Kubusia wszelkie przeczenia występujące w zmiennych aktualnych np. {~CH} muszą być przeniesione do zapisu formalnego np. {~p}
Przykład:
1: p = CH (chmury) - funkcja logiczna p w logice dodatniej (bo p)
Negując dwustronnie powyższą funkcję logiczną mamy:
2: ~p=~CH (nie chmury) - funkcja logiczna ~p w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że między 1 i 2 zachodzi definicja znaczka #:
1: p=CH # 2: ~p=~CH
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo p)
~p - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~p)
Linii 2 nie wolno kodować tak:
3: s=~CH (nie chmury)
Dlaczego nie wolno?
Zauważmy że w kodowaniu 3 relacja znaczka różne # jest zabijana.
1: p=CH ? 3: s=~CH
Negując dowolną stronę znaczka „?” nie otrzymamy drugiej strony:
Dowód:
3: s=~CH # 4: ~s=CH (nie ma tu nigdzie p z funkcji logicznej 1: p=CH)
cnd
Powyższa zasada służy prostocie wyjaśnienia prawa do dwustronnej negacji dowolnej funkcji logicznej, tzn. by matematyk A mógł się porozumieć z matematykiem B w najprostszy możliwy sposób.
Zauważmy, że teoretycznie możemy sobie podstawić:
s=~p
i zapisać tak:
1: p=CH # 2: s=~CH
Znając podstawienie powyższy zapis też jest poprawny, tyle że kłania się brzytwa Ockhama.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Brzytwa Ockhama (nazywana także zasadą ekonomii myślenia) – zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń. Tradycyjnie wiązana jest z nazwiskiem Williama Ockhama.
|
2.6 Definicje spójników implikacyjnych w pigułce
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja spójnika implikacyjnego p|?q w logice dodatniej (bo q):
Spójnika implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dająca odpowiedź na pytanie o p
W logice matematycznej rozróżniamy pięć podstawowych spójników implikacyjnych dających odpowiedź na pytanie o p:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) jest wystarczające => dla zajścia q (A1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Przykład:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (B1)
A1: P=>CH =1 - padanie jest wystarczające => dla chmur, bo zawsze gdy pada są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest konieczne ~> dla chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1
Przykład:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (B1) i jednocześnie chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania (A1)
A1: CH=>P =0 - chmury nie są wystarczające => dla padania , bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
3.
Równoważność p<=>q:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy w skrócie:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby zachodziła suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Tą wersję równoważności zna absolutnie każdy ziemski matematyk.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
wyników: 7 170
„potrzeba i wystarczy”
wyników: 14 800
cnd
4.
Spójnik implikacyjny „albo”($):
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p albo($) q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Innymi słowy w skrócie:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Doskonale widać, że spójnik implikacyjny „albo”($) to szczególny przypadek równoważności:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Stąd:
p$q = p<=>~q
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby być mężczyzną (M) potrzeba ~> i wystarczy => że nie jest się kobietą (~K)
Prawa strona definiuje nam równoważność:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
stąd mamy tożsamość logiczną:
M$K = M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
5.
Spójnik implikacyjny chaosu p|~~>q:
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Innymi słowy w skrócie:
Zajęcie p nie jest (=0) ani konieczne ~>, ani wystarczające => dla zajścia q
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Poprzednik definiuje nam zbiór P8:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Następnik definiuje nam zbiór P3:
P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Badamy czy spełniony jest warunek wystarczający => miedzy P8 i P3 w kierunku od P8 do P3:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
cnd
Badamy czy spełniony jest warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi P8 i P3 w tym samym kierunku:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) konieczna ~> dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]
cnd
Stąd mamy dowód, iż zdania A1 i B1 tworzą definicję spójnika chaosu p|~~>q:
A1: P8=>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => P3=[3,6,9..]
B1: P8~>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9..]
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) ani warunkiem koniecznym ~> (B1), ani też warunkiem wystarczającym => (A1) dla jej podzielności przez 3
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)
Wszystkie definicje spójników implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub niespełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>, tak jak to zrobiliśmy w przypadku chaosu p|~~>q.
2.7 Prawo Kłapouchego
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
O co chodzi w prawi Kłapouchego?
Weźmy implikację prostą p|=>q wraz z przykładem:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) jest wystarczające => dla zajścia q (A1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Przykład:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (B1)
A1: P=>CH =1 - padanie jest wystarczające => dla chmur, bo zawsze gdy pada są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest konieczne ~> dla chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Podstawmy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
Kolumna A3B3:
Definicja implikacji odwrotnej q|~>p:
q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p = ~p*q
Stąd mamy:
p|=>q = q|~>p = ~p*q
Weźmy implikację odwrotną p|~>q wraz z przykładem:
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1
Przykład:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (B1) i jednocześnie chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania (A1)
A1: CH=>P =0 - chmury nie są wystarczające => dla padania , bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
Podstawmy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P =0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
## ## | ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P =1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q
Kolumna A3B3:
Definicja implikacji prostej q|=>p:
q|=>p = ~(A3: q~>p)*(B3: q=>p) = ~(q+~p)*(~q+p) = (~q*p)*(~q+p) = ~q*p = p*~q
Stąd mamy:
p|~>q = q|=>p = p*~q
2.7.1 Dowód prawa Kłapouchego
Zapiszmy wyprowadzone wyżej tabele prawdy jedna pod drugą, by lepiej się im przyjrzeć.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|=>q = A3B3: q|~>p =~p*q
Zapis aktualny:
A1B1: P|=>CH = A3B3: CH|~>P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
##
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P =0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
## ## | ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P =1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|~>q = A3B3: q|=>p = p*~q
Zapis aktualny:
A1B1: CH|~>P = A3B3: P|=>CH = CH*~P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Zauważmy, że między tabelami prawdy spójników implikacyjnych IP i IO w zapisach formalnych definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona, natomiast w zapisach aktualnych NIE!
Dowód:
| Kod: |
T1
IP | IO
Implikacja prosta p|=>q: | Implikacja odwrotna p|~>q
Y = (p|=>q) = ~p*q ## Y = (p|~>q) = p*~q
Y = (P|=>CH)= ~P*CH [=?] Y = (CH|~>P)= CH*~P = ~P*CH
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
p=P (pada) | p=CH (chmury)
q=CH (chmury) | q=P (pada)
# #
~Y = ~(p|=>q) = p+~q ## ~Y = ~(p|~>q) = ~p+q
~Y = ~(P|=>CH)= P+~CH [=?] ~Y = ~(CH~>P) = ~CH+P = P+~CH
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
p=P (pada) | p=CH (chmury)
q=CH (chmury) | q=P (pada)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych IP: p|=>q oraz IO: p|~>q
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Doskonale widać, że:
1.
W zapisach formalnych {p, q} obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
2.
W zapisach aktualnych {P, CH} spełniona jest definicja znaczka różne # ale definicja znaczka różne na mocy definicji ## leży i kwiczy, nie jest spełniona.
Dlaczego definicja znaczka różne na mocy definicji ## nie jest spełniona?
Przyczyną tego faktu jest patrzenie na obiekt fizyczny z różnych punktów odniesienia.
Zauważmy, że w implikacji prostej IP: p|=>q punkt odniesienia to:
p|=>q = P|=>CH = ~p*q
p=P (pada)
q = CH (chmury)
Natomiast w implikacji odwrotnej IO: p|~>q punkt odniesienia to:
p|~>q = CH|~>P = p*~q
p=CH (chmury)
q=P (pada)
Mamy tu sytuację identyczną jak z kotem Schrödingera, dopóki nie otworzymy drzwiczek to nie wiemy, czy kot jest żywy czy martwy.
Analogicznie:
Dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego to nie wiemy:
Czy dane zdanie w zapisie aktualnym {P, CH} należy do implikacji prostej:
p|=>q = ~p*q
##
Czy też do implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różna na mocy definicji funkcji logicznych p|=>q i p|~>q
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia.
Dowód:
Mamy serię identycznych zdań prawdziwych w języku potocznym (w zmiennych aktualnych):
| Kod: |
Logiczne pudełko Schrödingera:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Prawa logiki matematycznej w pudełku Schrödingera:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
|
Posługując się językiem potocznym żyjemy sobie w powyższym pudełku Schrödingera.
Nikogo nie obchodzą takie pojęcia jak implikacja prosta p|=>q=p*~q czy też implikacja odwrotna p|~>q=p*~q.
Bez prawa Kłapouchego każdy człowiek zapytany do jakiego spójnika logicznego należy przykładowe zdanie 3: CH~>P musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
2.7.2 Pudełko Schrödingera vs implikacja odwrotna CH|~>P
Prawo Kłapouchego to otwarcie drzwiczek do logicznego pudełka Schrödingera.
Weźmy przykładowe zdanie z logicznego pudełka Schrödingera:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury są konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
cnd
Matematyk A mówi:
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmuję w zdaniu B1 punkt odniesienia:
p= CH (chmury)
q= P (pada)
Zapis zdania B1 w zapisie formalnym to:
B1: p=>q =1
Zauważmy, że matematyk A stosując jawnie prawo Kłapouchego do zdania B1, o czym wszyscy matematycy wiedzą rozstrzygnął to, czego nie wiedział żyjąc w pudełku Schrödingera.
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie B1 musimy udowodnić jego prawdziwość/fałszywość przy kodowaniu warunkiem wystarczającym =>.
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padało (P)
A1: CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Chmury nie są warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Stąd mamy rozwiązanie:
Zdanie B1: CH~>P należy do implikacji odwrotnej CH|~>P:
A1: CH=>P =0 - chmury (CH) nie są (=0) wystarczające => dla padania (P)
B1: CH~>P =1 - chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P)
stąd:
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
cnd
Podstawmy to do tabeli prawdy implikacji odwrotnej CH|~>P:
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P =0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
## ## | ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P =1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|~>q = A3B3: q|=>p = p*~q
Zapis aktualny:
A1B1: CH|~>P = A3B3: P|=>CH = CH*~P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy, że żyjąc w logicznym pudełku Schrödingera dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć do jakiego spójnika logicznego należy przykładowe zdanie 3: CH~>P.
Nie oznacza to jednak, że zdanie 3: CH~>P może należeć jednocześnie do implikacji odwrotnej p|~>q:
IO: p|~>q = p*~q
##
i implikacji prostej p|=>q:
IP: p|=>q = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
O fakcie do którego spójnika logicznego (p|=>q albo p|~>q) wchodzi wylosowane zdanie rozstrzyga jednoznacznie otwarcie drzwiczek pudełka Schrödingera, czyli zastosowanie prawa Kłapouchego.
2.7.3 Pudełko Schrödingera vs implikacja prosta P|=>CH
| Kod: |
Logiczne pudełko Schrödingera:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Prawa logiki matematycznej w pudełku Schrödingera:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
|
Prawo Kłapouchego to otwarcie drzwiczek do logicznego pudełka Schrödingera.
Weźmy przykładowe zdanie z logicznego pudełka Schrödingera:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Matematyk B mówi:
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmuję w zdaniu A1 punkt odniesienia:
p= P (pada)
q= CH (chmury)
Zapis zdania A1 w zapisie formalnym to:
A1: p=>q =1
Zauważmy, że matematyk B stosując jawnie prawo Kłapouchego do zdania A1, o czym wszyscy matematycy wiedzą rozstrzygnął to, czego nie wiedział żyjąc w pudełku Schrödingera.
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić jego prawdziwość/fałszywość przy kodowaniu warunkiem koniecznym ~>.
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
B1: P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Stąd mamy rozwiązanie:
Zdanie A1: P=>CH należy do implikacji prostej P|=>CH:
A1: P=>CH =1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
stąd:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH) =1*~(0) =1*1 =1
cnd
Podstawmy to do tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q:
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|=>q = A3B3: q|~>p =~p*q
Zapis aktualny:
A1B1: P|=>CH = A3B3: CH|~>P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy, że żyjąc w logicznym pudełku Schrödingera dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego nie jesteśmy w stanie rozstrzygnąć do jakiego spójnika logicznego należy przykładowe zdanie
1: P=>CH
Nie oznacza to jednak, że zdanie 1: P=>CH może należeć jednocześnie do implikacji prostej p|=>q:
IP: p|=>q =~p*q
##
i implikacji odwrotnej :
IO: p|~>q =p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
O fakcie do którego spójnika logicznego (p|=>q albo p|~>q) wchodzi wylosowane zdanie rozstrzyga jednoznacznie otwarcie drzwiczek pudełka Schrödingera, czyli zastosowanie prawa Kłapouchego.
Podsumowanie:
Twierdzenie ziemskich matematyków, że kot Schrödingera może być w jakiejś tam chwili czasowej jednocześnie żywy i martwy to zagłada algebry Kubusia, czyli zagłada logiki matematycznej pod którą podlega cały nasz Wszechświat żywy i martwy, autorstwa stwórcy naszego Wszechświata.
Innymi słowy:
Kot Schrödingera jednocześnie żywy i martwy to majaczenia pacjenta zakładu zamkniętego bez klamek, czyli fanatyka „implikacji materialnej”
2.7.4 Prawo Kameleona
Zapiszmy zdania A1 i B1 z punktu wyżej:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
B1: P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód poprawności znaczka różne na mocy definicji ## na przykładzie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> znajdziemy w punkcie 2.3.1.
Zauważmy, że:
Zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowodem są tu nasze zdania A1 i B1.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań.
2.7.5 Pudełko Schrödingera to matematyczny raj 5-cio latka
| Kod: |
Logiczne pudełko Schrödingera:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Prawa logiki matematycznej w pudełku Schrödingera:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
|
Zauważmy, że w pudełku Schrödingera są zaledwie cztery zdania 1,2,3,4 oraz prawa logiki matematycznej wiążące te zdania.
Zarówno treść zdań jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi, mimo że nie jest tego świadom.
Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola.
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, czy padanie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur?
Jaś:
Padanie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Podsumowanie:
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.
Prawo Kubusia:
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
2.8 Uwertura do opery pt. „Algebra Kubusia”
Punkt 2.0 to uwertura do opery pt. „Algebra Kubusia”, napisanej przez stwórcę naszego Wszechświata.
Ja Rafał3006 jestem tylko ziemianinem który pierwszy ją usłyszał … tylko czy kiedykolwiek usłyszą piękno „Algebry Kubusia” ziemscy matematycy?
… oto jest pytanie.
[link widoczny dla zalogowanych]
Paradygmat w nauce:
W 13 rozdziałach Kuhn dowodzi, że nauka nie jest jednostajnym, kumulatywnym pozyskiwaniem wiedzy. Zamiast tego nauka jest serią spokojnych okresów przerywanych przez gwałtowne intelektualne rewolucje, po których jeden koncepcyjny światopogląd jest zamieniany przez inny.
Kuhn utrzymywał także, że – wbrew obiegowym opiniom – typowi naukowcy nie są obiektywnymi i niezależnymi myślicielami, a są konserwatystami, którzy godzą się z tym, czego ich nauczono i stosują tę naukę (wiedzę) do rozwiązywania problemów zgodnie z dyktatem wyuczonej przez nich teorii. Większość z nich w istocie jedynie składa układanki, celując w odkrywaniu tego, co i tak już jest im znane – „Człowiek, który usiłuje rozwiązać problem zdefiniowany przez istniejącą wiedzę i technikę nie ma szerszych horyzontów. Wie on co chce osiągnąć, i w zgodzie z tym projektuje swoje narzędzia i kieruje swoimi myślami”.
Kryzysy w nauce
Kuhn argumentuje, że rewolucje naukowe są nieskumulowanym epizodem rozwojowym, podczas którego starszy paradygmat jest zamieniany w całości lub po części przez niezgodny z nim paradygmat nowszy. Ale nowy paradygmat nie może być zbudowany na poprzedzającym go, a raczej może go tylko zamienić, gdyż „instytucjonalna tradycja naukowa wyłaniająca się z rewolucji naukowej jest nie tylko niezgodna, ale też nieuzgadnialna z tą, która pojawiła się przed nią”. Rewolucja kończy się całkowitym zwycięstwem jednego z dwóch przeciwnych obozów.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 8:00, 16 Lip 2021, w całości zmieniany 5 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 22:51, 14 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Dlaczego tak ostro atakuję gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań?
.. bo w sposób schizofreniczny (niezgodny z prawdą) opisuje otaczającą nas rzeczywistość - dowód to punkty 3.3.1 i 3.3.2.
Dlaczego tak zależy mi na unicestwieniu KRZ?
Dlatego, że KRZ jest gówno-logiką opisującą otaczającą nas rzeczywistość, czyli dokładnie to samo co algebra Kubusia.
To jest na serio wojna na śmierć i życie, jedna z tych logik KRZ albo AK zniknie w przyszłości (zostanie zapomniana) z naszej planety. Ja nie wykluczam że będzie to AK, ale dopóki żyję będę zwalczał KRZ wszystkimi możliwymi środkami .. bo to jest Szatan, który zawładnął mózgami ziemskich matematyków, śmiertelny wróg algebry Kubusia.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2021-07-01,19257.html#605399
Algebra Kubusia
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych
Spis treści
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych 1
3.1 Implikacja prosta p|=>q 3
3.1.1 Prawo Kameleona 4
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 5
3.3 Równoważność p<=>q 6
3.3.1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz pierwszy 10
3.3.2 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz drugi 11
3.3.3 Logika, sens i wątpliwości 14
3.4 Spójnik „albo” p$q 15
3.5 Chaos p|~~>q 17
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego 18
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek? 21
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian 22
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 25
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Kolumna A1B1 to spójnik implikacyjny p?q dający odpowiedź na pytanie o p
A1B1+A2B2 - operator implikacyjny p|?q dający odpowiedź na pytanie o p i ~p
Zachodzi tożsamość logiczna:
p?q = p|?q
Gdzie:
? - znaczek spójnika implikacyjnego: p|=>q, p|~>q, p<=>q, p$q, p|~~>q
Definicje spójników implikacyjnych, czyli odpowiedź na pytanie o p:
? = p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1 - implikacja prosta p|=>q
? = p|~>q =~(A1: p=>q)* (B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1 - implikacja odwrotna p|~>q
? = p<=>q = (A1: p=>q)* (B1: p~>q)=1*1=1 - równoważność p<=>q
? = p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= p<=>~q - spójnik „albo”($)
? = p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0)=1*1=1 - chaos p|~~>q
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja spójnika implikacyjnego p?q:
Spójnik implikacyjny p?q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź na pytanie o p
Fizyczna realizacja to kolumna A1B1
Definicja operatora implikacyjnego p|?q:
Operator implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to odpowiedź na pytania o p i ~p
Fizyczna realizacja to kolumny A1B1+A2B2
Definicja spójnika implikacyjnego q?p:
Spójnik implikacyjny q?p w logice dodatniej (bo p) to odpowiedź na pytanie o q
Fizyczna realizacja to kolumna A3B3
Definicja operatora implikacyjnego q|?p:
Operator implikacyjny q|?p w logice dodatniej (bo p) to odpowiedź na pytania o q i ~q
Fizyczna realizacja to kolumny A3B3+A4B4
Uwaga:
Udowodnienie prawdziwości spójnika implikacyjnego p?q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora implikacyjnego p|?q.
Jak również:
Udowodnienie prawdziwości spójnika implikacyjnego p?q w logice dodatniej (bo q) jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości spójnika implikacyjnego q?p w logice dodatniej (bo p) jak również tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora implikacyjnego q|?p.
Innymi słowy zachodzi tożsamość logiczna:
p?q = p|?q [=] q?p = q|?p
„=”, [=] - tożsamość logiczna (symbole tożsame)
Definicja tożsamości logicznej:
p?q = p|?q
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej wymusza fałszywość drugiej strony
3.1 Implikacja prosta p|=>q
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji prostej IP.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
A1B1: p|=>q = ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury.
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 z wymienionym znaczkiem z => na ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Stąd mamy:
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1)wystarczające => dla istnienia chmur i nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur.
3.1.1 Prawo Kameleona
Zapiszmy jeszcze raz zdania A1 i B1 wypowiedziane wyżej.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury.
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to, zdania te nie są matematycznie tożsame.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań.
Dowód iż warunek wystarczający p=>q = P=>CH jest różny na mocy definicji od warunku koniecznego p~>q = P~>CH znajdziemy w punkcie 2.3.1
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
Implikacja odwrotna p|~>q to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Czytamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q.
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji odwrotnej IO.
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q)=p*~q
A1B1: p|~>q=p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = A3B3: q|=>p = A4B4: ~q|~>~p = p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: P~>CH = B2: ~P=>~CH
Zdanie B2 jest oczywiście prawdziwe z czego wynika prawdziwość zdania B1
cnd
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania B1 z wymienionym znaczkiem ~> na =>:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1), bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Stąd mamy:
CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy istnienie chmur jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (B1) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (A1)
3.3 Równoważność p<=>q
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
Lewą stronę czytamy:
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
Zdanie tożsame:
Zajście p jest potrzebne ~> i wystarczające ~> dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Ostatnia definicja jest powszechnie znana wszystkim ziemianom, nie tylko matematykom:
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 16 100
„potrzebne i wystarczające”
Wyników: 2 640
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy równoważności TR:
| Kod: |
TR:
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
A1B1: p<=>q = p*q+~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = A3B3: q<=>p = A4B4: ~q<=>~p = p*q+~p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości w zbiorach:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1: p=>q
A1: TP=>SK
Punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa Kłapouchego)
A1: p=>q =1
Punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
B3: SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1).
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Z dowodu tego wynika, że zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1).
Definicja tożsamości zbiorów p i q p=q w zapisie formalnym:
RA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Innymi słowy przy odczycie skrajnych tożsamości logicznych:
RA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Innymi słowy prawą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Nasz przykład:
RA1B1:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Innymi słowy przy odczycie skrajnych tożsamości logicznych:
RA1B3:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK.
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Innymi słowy prawą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Dla zdania B3 stosujemy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów:
RA1B1:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Środek czytamy:
RA1B1:
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby zaszło q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Nasz przykład:
RA1B1:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK.
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Środek czytamy:
RA1B1:
Do tego aby trójkąt był prostokątny (TP=1) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B1:
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
3.3.1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz pierwszy
Zauważmy, że powyższa definicja tożsamości zbiorów p=q to Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań!
Twierdzenie Smoka Wawelskiego:
Dowolny ziemski matematyk, który twierdzi iż definicja „implikacji materialnej” jest matematycznie poprawna w naszym Wszechświecie żywym i martwym (w tym w matematyce) jest pacjentem zakładu zamkniętego bez klamek.
Innymi słowy:
Ziemska interpretacja równoważności p<=>q z Wikipedii to ciężki przypadek schizofrenii.
Dowód:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Równoważność p<=>q (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym poprzednik p jest zarówno warunkiem koniecznym ~>, jak i wystarczającym => dla następnika q.
To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykłady równoważności prawdziwych:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy 2 + 2 = 4
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
etc
|
Zauważmy, że wytłuszczona część definicji równoważności p<=>q z Wikipedii jest poprawna i identyczna jak w algebrze Kubusia … ale przykłady równoważności prawdziwych z Wikipedii to jedno wielkie, potwornie śmierdzące gówno.
Puenta ziemskiej definicji równoważności p<=>q z Wikipedii:
Ziemska definicja równoważności p<=>q to ciężki przypadek schizofrenii - zdradzają to przykłady z Wikipedii.
Rozważmy pierwszy przykład:
Na mocy wytłuszczonej, poprawnej definicji równoważności z Wikipedii ziemscy twardogłowi „matematycy” zapisują:
RA1B1:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy, gdy 2 + 2 = 4
TZ<=>224 <=> (A1: TZ=>224)*(B1: TZ~>224) = 1*1 =1
Jak widzimy, ziemski „matematyk” twierdząc, że powyższa równoważność RA1B1 jest prawdziwa musi udowodnić prawdziwość zdań składowych A1 i B1.
Dowód prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% => 2+2=4
TZ=>224 =1
Fakt iż trawa jest zielona jest (=1) warunkiem wystarczającym => do tego, aby 2+2=4
Jak prawdziwość warunku wystarczającego => A1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla absolutnie wszystkich fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.
Dowód prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli trawa jest zielona to na 100% ~> 2+2=4
TZ~>224 =1
Zieloność trawy jest (=1) warunkiem koniecznym ~> do tego, aby 2+2=4
Jak prawdziwość warunku koniecznego ~> B1 dowodzą ziemscy „matematycy”?
Oczywiście: nie wiem!
Po odpowiedź należy się udać do zakładu zamkniętego bez klamek, będącego domem dla fanatyków „implikacji materialnej”, czyli ziemskich twardogłowych matematyków.
3.3.2 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz drugi
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Równoważność p<=>q (lub: ekwiwalencja) – twierdzenie, w którym poprzednik p jest zarówno warunkiem koniecznym ~>, jak i wystarczającym => dla następnika q.
To zdanie zapisuje się za pomocą spójnika wtedy i tylko wtedy (wtw), gdy...
Przykłady równoważności prawdziwych:
Trawa jest zielona wtedy i tylko wtedy gdy 2 + 2 = 4
2+2=4 wtedy i tylko wtedy gdy Płock leży nad Wisłą
etc
|
Geneza schizofrenicznej definicji równoważności w Klasycznym Rachunku Zdań
Jedno z pierwszych zdań podręcznika dr hab. Krzysztofa A. Wieczorka „Logika dla opornych”
[link widoczny dla zalogowanych]
| K.A Wieczorek napisał: |
Termin „zdanie” oznacza w logice tylko i wyłącznie zdanie oznajmujące i schematy tylko takich zdań będziemy budować
|
Na mocy powyższego dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” w logice „matematycznej” ziemian przyjmuje postać.
Jeśli „zdanie twierdzące p” to „zdane twierdzące q”
Gdzie:
Zdania twierdzące p i q muszą mieć znaną z góry wartość logiczną prawda (=1) albo fałsz (=0), aby na mocy „implikacji materialnej” można było rozstrzygnąć o prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q”
Przykładowe zdania prawdziwe w KRZ:
1. Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
2. Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
3. Jeśli 2+2=5 to jestem papieżem
Dowód (na serio!) prawdziwości zdania 3 na gruncie Klasycznego Rachunku Zdań jest tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Falsum sequitur quodlibet
Matryca implikacji od wieków budzi kontrowersje, niekiedy sięgające samej istoty logiki.
Matryca implikacji:
| Kod: |
p q p=>q
1 1 1
0 1 1
1 0 0
0 0 1
|
Z dowolnego zdania fałszywego wynika dowolne zdanie prawdziwe (drugi wiersz matrycy) i dowolne zdanie fałszywe (czwarty wiersz matrycy). Twierdzenie to znane jest od wielu wieków w postaci łacińskiej formuły Falsum sequitur quodlibet (z fałszu wynika cokolwiek, czyli wszystko).
Mimo to, gdy Bertrand Russell opublikował swój system logiki oparty na omawianej matrycy implikacji materialnej, niektórzy filozofowie przyjęli ten system za rodzaj herezji logicznej.
Ktoś próbował wykpić B. Russella, ogłaszając list otwarty, w którym zaproponował mu do rozwiązania następujące zadanie:
Ponieważ według pana można udowodnić wszystko na podstawie jednego zdania fałszywego, proszę na podstawie fałszywego zdania "5 = 4" udowodnić, że jest pan papieżem.
Na pierwszy rzut oka zadanie to może się wydać niewykonalne. Intuicyjnie bowiem nie potrafimy dojrzeć żadnego związku między zdaniem "5 = 4" a zdaniem: "B. Russell jest papieżem". Intuicji nie można jednak wierzyć ślepo, jest bowiem zawodna. Russell podjął zadanie i rozwiązał je w wyniku następującego rozumowania:
Opierając się na regule głoszącej, że od obu stron równości wolno odjąć tę samą liczbę, odejmuję od obu stron równości: "5 = 4", liczbę 3. Wyprowadzam w ten sposób ze zdania "5 = 4" zdanie "2 = 1".
Dowód, że jestem papieżem, jest już teraz zupełnie prosty: papież i ja to dwie osoby, ale 2 = 1 (w tym przypadku papież i B. Russell, czyli dwie osoby są jedną osobą), więc jestem papieżem.
Rozumowanie to jest zupełnie poprawne, zatem początkowa intuicja zgodnie z którą zadanie dane Russellowi wydawało się nierozwiązalne, okazała się zawodna.
Zdanie "B. Russell jest papieżem" rzeczywiście wynika ze zdania "5 = 4". Jest to przykład wynikania fałszu z fałszu (odpowiednik czwartego wiersza matrycy).
Równie łatwo możemy wykazać, że z tego samego zdania fałszywego wynika zdanie prawdziwe, np. zdanie "B. Russell jest wykształcony". Wystarczy do już wyprowadzonego zdania "B. Russell jest papieżem" dodać oczywiście prawdziwe zdanie "Każdy papież jest wykształcony" i mamy:
B. Russell jest papieżem
Każdy papież jest wykształcony
zatem B. Russell jest wykształcony
Można również łatwo wskazać inne, prawdziwe konsekwencje zdania "5 = 4", np. "B. Russell jest mężczyzną", "B. Russell zna język łaciński", B. Russell jest osobistością znaną w całym świecie" itp.
Teoretyczna możliwość wyprowadzenia dowolnego zdania z danego zdania fałszywego nie zawsze jest równoznaczna z praktyczna łatwością wykonania takiego zadania. Ale takie zadanie jest do rozwiązania.
________________________________________
Prof. Tadeusz Kwiatkowski (Jego Wykłady i szkice z logiki ogólnej to źródło dzisiejszej notki) komentuje:
"Twierdzenie Falsum sequitur quodlibet i — tym samym — równoważne mu łącznie drugi i czwarty wiersze matrycy implikacji są nie tylko twierdzeniami logiki, lecz stanowią ujęcie głębokiej prawdy filozoficznej dotyczącej istoty prawdy i fałszu. Prawda ma tę istotną własność, że kierowana konsekwentnie prawami iogiki. nigdy nie doprowadzi do konsekwencji fałszywej. Fałsz natomiast konsekwentnie stosowany przekreśla możliwość rozróżnienia prawdy i fałszu, czyli przekreśla wartość poznania (burzy wszelki porządek logiczny!)." |
… a tu bloger Gżdacz potwornie szydzi (i słusznie) zarówno z logiki formalnej ziemian (Cytat pierwszy) jak i z samego dowodu Russella (cytat drugi):
[link widoczny dla zalogowanych]
| Gżdacz napisał: |
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.
Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)
Przepisałem wiernie, pozostawiając niepoprawną interpunkcję oraz nadużycie leksykalne polegające na tłumaczeniu angielskiego proposition jako propozycja, zamiast stwierdzenie.
Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30 |
Podsumowując:
Mam nadzieję, że w tym momencie każdy ziemski matematyk rozumie dlaczego nie ma sensu moja dyskusja z fanatykami Klasycznego Rachunku Zdań, gdzie ja stosuję definicje obowiązujące w algebrze Kubusia (np. definicję równoważności z algebry Kubusia) a fanatyk KRZ swoje, jedynie słuszne definicje.
Wielu matematyków doskonale rozumie, że aktualna logika matematyczna ziemian to szpital psychiatryczny - dowód w kolejnym punkcie.
3.3.3 Logika, sens i wątpliwości
Pełna treść artykułu zawodowego matematyka, który odważył się poddać w wątpliwość sens aktualnej logiki matematycznej Ziemian.
Dlaczego takich matematyków jest tak mało?
Bo zawsze są wściekle atakowani przez fanatyków Klasycznego Rachunku Zdań.
Kim jest pan Marek Kordos?
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Marek Tomasz Kordos - polski matematyk, doktor habilitowany, geometra i historyk matematyki oraz jej popularyzator.
Życiorys:
Założyciel i wieloletni redaktor naczelny miesięcznika Delta, autor wielu książek, współzałożyciel Ośrodka Kultury Matematycznej oraz Stowarzyszenia na rzecz Edukacji Matematycznej. Zatrudniony na stanowisku profesora nadzwyczajnego pracuje jako wykładowca akademicki na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego. Specjalizuje się w geometrii i historii matematyki. Doktorat i habilitację uzyskał za prace z geometrii rzutowo-metrycznych. |
[link widoczny dla zalogowanych]
Logika, sens i wątpliwości
Marek Kordos
Delta, marzec 2013
Już przed laty, gdy brałem udział w tworzeniu jednej z kolejnych reform nauczania matematyki, miałem poważne wątpliwości, czy umieszczanie w programach nauczania matematyki (podstawach programowych, wykazach efektów nauczania, podręcznikach itp.) działu logika jest zgodne ze zdrowym rozsądkiem.
Oczywiście, wiem, że wielu głosi, iż nauczanie matematyki (jak niegdyś łaciny, której się zresztą uczyłem) to nauka logicznego myślenia. Ale, gdy czytałem otwierające wówczas podręczniki do liceum rozdziały poświęcone logice, trudno mi było powstrzymać się od wrażenia, że nie ma w nich żadnego sensu. Nie wymienię, rzecz jasna, żadnego konkretnego podręcznika (po co mi rozprawy sądowe – przecież podręcznik to wielkie pieniądze), ale wrażenie przy lekturze każdego z nich było podobne.
Od razu chciałbym powiedzieć, że nie chodzi o opinię, iż logika nigdy matematyce nie pomogła, bo unikanie błędów nie jest aktem twórczym (patrz Nicolas Bourbaki, Elementy historii matematyki). Chodzi o coś więcej. Ale nie śmiałem nalegać na usunięcie tego działu ze szkolnego nauczania, bo jeśli wszyscy widzą w nim sens, to może on tam – wbrew pozorom – istnieje.
Dopiero na sympozjum z okazji dziewięćdziesięciolecia Profesora Andrzeja Grzegorczyka dowiedziałem się, że moje wątpliwości nie są odosobnione i nawet w Instytucie Filozofii i Socjologii PAN prowadzone są prace nad taką modyfikacją logiki, by jej wady usunąć.
Co to za wady? Proszę spojrzeć na zdanie:
Dwa plus dwa równa się cztery wtedy i tylko wtedy, gdy Płock leży nad Wisłą.
Oczywiście, zdanie to jest prawdziwe, ale czy ma sens? Przecież między pewnym faktem arytmetycznym a innym faktem geograficznym żadnego związku nie ma. Dlaczego więc chcemy twierdzić (ba, uczyć tego), że te dwa zdania są równoważne?
Albo zdanie:
Jeśli dwa plus dwa jest równe pięć, to zachodzi twierdzenie Pitagorasa.
Z punktu widzenia logiki to zdanie jest prawdziwe. Tu już po obu stronach implikacji są zdania dotyczące faktów matematycznych. Dlaczego jednak chcemy zmusić młodego człowieka, by widział w tym sens?
Wyjaśnienie jest proste: w pierwszym przypadku chodzi o to, że równoważność zdań ma miejsce, gdy wartość logiczna obu zdań jest taka sama; w drugim – o to, że implikacja jest poprawna, gdy ma fałszywy poprzednik.
A więc logika sprowadza nasz świat do zbioru dwuelementowego, nic przeto dziwnego, że rzeczy absolutnie niepołączone żadnym znaczeniowym (semantycznym) związkiem muszą się znajdować w przynajmniej jednej z dwóch komórek, do jakiejś muszą trafić.
Powstają dwa pytania. Po pierwsze, czemu logika została tak skonstruowana, że – abstrahując od sensu – okalecza pojęciowy świat? Po drugie, czy faktycznie należy trzymać ją jak najdalej od młodzieży, bo tylko ją demoralizuje, każąc za wiedzę uważać takie androny, jak przytoczone powyżej?
Odpowiedź na pierwsze pytanie jest dość prosta. Nowoczesna logika formalna została stworzona (jak wielu uważa) przez Gottloba Fregego (1848-1925) tak, by obsługiwała matematykę, a tę rozumiano wówczas jako badanie prawdziwości zdań języków formalnych.
Odpowiedzi na drugie pytanie de facto nie ma. Tłumaczymy się z używania takich abstrahujących od znaczeń spójników logicznych tym, że alternatywa, koniunkcja i negacja są sensowne; że chcemy, aby młody człowiek wiedział, że zaprzeczeniem zdania, iż istnieje coś mające własność A, jest to, że wszystkie cosie własności A nie mają; że implikacja ze zdania prawdziwego daje jednak tylko zdania prawdziwe itd., itp.
Ale naprawdę chodzi o to, że – jak z małżeństwem i demokracją – lepszej propozycji dotąd nie wynaleziono. A szkoda.
3.4 Spójnik „albo” p$q
Definicja spójnika „albo” p$q:
Spójnik „albo”($) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego następnika q (~q).
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (A1)
Innymi słowy w skrócie:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy spójnika „albo”($) TA:
| Kod: |
TA:
Tabela prawdy spójnika „albo”($):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p =1 [=] 5: ~p+~q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p =1 [=] 5: p+ q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)= ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
A1B1: p$q = p*~q + ~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p$q = A2B2: ~p$~q = A3B3: q$p = A4B4: ~q$~p = p*~q+~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy spójnika „albo”($) potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Aby dowolny człowiek był mężczyzną (M=1) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby nie był kobietą (~K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Zdania składowe A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K=1), bo każdy mężczyzna nie jest kobietą
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 z wymienionym znaczkiem => na ~>:
B1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% ~> nie jest kobietą (~K=1)
M~>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem koniecznym ~> by nie być kobietą (~K=1), bo nie ma innego człowieka poza mężczyzną, który nie jest kobietą.
Ogólna definicja równoważności:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Zauważmy, że spójnik „albo”($) spełnia ogólną definicję równoważności, stąd mamy tożsamość logiczną:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Nasz przykład:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Stąd mamy kolejne zdanie tożsame do spójnika „albo”($):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
3.5 Chaos p|~~>q
Definicja chaosu p|~~>q:
Chaos p|~~>q to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q i jednocześnie zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q.
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Poprzednik definiuje zbiór:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Następnik definiuje zbiór:
P3=[3,6,9,12 .. 24..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Sprawdzamy warunek wystarczający => między P8 i P3:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=[8,16,24..] => P3=[3,6,9,12..24..] =0
Bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
cnd
Sprawdzamy warunek konieczny ~> między P8 i P3:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8=[8,16,24..] ~> P3=[3,6,9,12..24..] =0
Bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
cnd
Stąd mamy:
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy chaosu p|~~>q:
| Kod: |
CH:
Tabela prawdy chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q)=(p*~q)*(~p*q) =0
A1B1: p|~~>q = 0
Matematycznie zachodzi tożsamość:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q = A3B3: q|~~>p = A4B4: ~q|~~>~p = 0
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
etc
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Y=p+q
~Y=~p*~q
Zapiszmy poznane dotychczas spójniki logiczne w postaci funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
| Kod: |
TSL - tabela spójników logicznych wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
A:
Spójnik „lub”(+):
1. Y=p+q # 2. ~Y=~p*~q
##
B:
Spójnik „i”(*):
1. Y=p*q # 2. ~Y=~p+~q
##
C:
Warunek wystarczający p=>q:
1. Y=(p=>q)=~p+q # 2. ~Y=~(p=>q)=p*~q
##
D.
Warunek konieczny p~>q:
1. Y=(p~>q)=p+~q # 2. ~Y=~(p~>q)=~p*q
##
E.
Implikacja prosta p|=>q:
1. Y=(p|=>q)=~p*q # 2. ~Y=~(p|=>q)=p+~q
##
F.
Implikacja odwrotna p|~>q
1. Y=(p|~>q)=p*~q # 2. ~Y=~(p|~>q)=~p+q
##
G.
Równoważność p<=>q:
1. Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q # 2. ~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
##
H.
Spójnik „albo”($):
1. Y=(p$q)=p*~q+~p*q # 2. ~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q
##
I.
Chaos p|~~>q:
1. Y = (p|~~>q)=0 # 2. ~Y=~(p|~~>q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego jest uwzględnianie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) w kolumnach wynikowych rachunku zero-jedynkowego.
Doskonale widać, że tabela TSL perfekcyjnie spełnia definicje obu znaczków # i ##.
Zauważmy że:
Spójniki logiczne wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to wyłącznie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) dające odpowiedź na pytanie o Y.
W tabeli TSL doskonale widać, że każdy spójnik logiczny definiowany funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) wymusza funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Definicja operatora logicznego warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny warunku wystarczającego p=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q)=1 jest spełniony (Y=1)
wtedy i tylko wtedy gdy ~p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(p=>q) = ~(~p+q) = p*~q - na mocy prawa De Morgana
~Y = ~(p=>q) = p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
Warunek wystarczający =>:
~Y=~(p=>q)=1 nie jest spełniony (~Y=1)
wtedy i tylko wtedy gdy p=1 i ~q=1
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek?
Odpowiedź jest jednoznaczna: 5-cio latek
Dowód:
Weźmy przykład ze świata żywego, rodem z przedszkola.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N - poznamy niebawem.
Weźmy obietnicę ojca dla syna:
W.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji warunku wystarczającego E=>K wchodzącego w skład implikacji prostej E|=>K w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) mamy odpowiedź na dwa kluczowe pytania, kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) oraz kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
Zachodzi tożsamość pojęć:
~Y=1 - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) [=] S=1 - ojciec skłamie (S)
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?
Y = (E=>K) = ~E+K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Odpowiedź:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)
Oczywiście tej odpowiedzi, żaden normalny człowiek nie zrozumie.
Czy istnieje sposób, by odpowiedzi na pytanie „Kiedy ojciec dotrzyma słowa?” udzielił ekspert algebry Kubusia, 5-cio letni Jaś?
Odpowiedź na ten problem jest twierdząca.
Należy tu zacząć od opisania przypadku „Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?”
Zuzia do Jasia:
Jasiu czy wiesz kiedy ojciec skłamie?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Pytasz mnie:
2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(E=>K) = ~(~E+K) = E*~K - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = E*~K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i ~K=1 - syn za egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
Oczywistym jest, że ojciec może tylko i wyłącznie nie dotrzymać słowa (~Y=1) albo dotrzymać słowa (Y=1).
Innymi słowy:
We wszystkich pozostałych możliwych przypadkach ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Czy teraz już wiesz Zuziu kiedy ojciec dotrzyma słowa?
Zuzia:
Phi, to bułka z masłem, czyli pikuś.
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1), czyli nie skłamie, wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i K=1 - syn za egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
LUB
~E=1 i ~K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
LUB
~E=1 i K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Ostatni przypadek to piękny „akt miłości” gwarantowany przez algebrę Kubusia, czyli ojciec może wręczyć dziecku nagrodę (komputer: K=1) mimo ze ten nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1)
Doskonale widać, że w definicji operatora warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które dostaniemy przy definicji implikacji prostej p|=>q definiowanej zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dającej odpowiedź na pytanie o p i ~p.
Szczegóły poznamy za chwilkę.
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian
Pojęcie funkcji logicznej algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemskich matematyków.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej ze zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Właściwości funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować
Przykład:
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y = K+T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy w dowolne miejsce.
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Czy wiesz kiedy jutro pani skłamie?
Jaś.
Oczywiście że wiem.
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(K+T) = ~K*~T - na mocy prawa De Morgana
Czyli:
~Y=~K*~T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Znaczenie zmiennej Y:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani jutro nie dotrzyma słowa (~Y)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
~Y (pani nie dotrzyma słowa: ~Y) = S (pani skłamie: S)
Zuzia:
Dzięki Jasiu, pięknie to wszystko wytłumaczyłeś.
Jaś:
Niestety Zuziu, to co dla nas jest bajecznie proste, dla ziemskich matematyków jest czarną magią nie do pojęcia.
Zuzia:
Jakie są tego przyczyny?
Jaś:
Po pierwsze:
Ziemscy matematycy nie znają banalnej definicji funkcji logicznej Y wyżej zapisanej.
Po drugie:
Ziemscy matematycy nie wiedzą, iż dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Po trzecie:
W rachunku zero-jedynkowym ziemscy matematycy w opisie kolumn wynikowych operują wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, nigdy na funkcjach logicznych.
Dokładnie ten fakt powoduje, że ich rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny co udowodnię w następnym punkcie.
Ciekawostka:
Świat techniki (inżynierowie elektronicy) doskonale zna pojęcie funkcji logicznej w algebrze Boole’a - sam z tego świata przybyłem.
Dowód:
W żadnym katalogu bramek logicznych nie znajdziemy opisu choćby jednej bramki logicznej przedstawionej w postaci wyrażenia algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznej Y.
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Texas Instruments - pionier układów TTL napisał: |
74HC86
These devices contain four independent 2-input exclusive-OR gates.
They perform the Boolean function Y = A*~B + ~A*B
|
Oczywistym jest że nie jest funkcją Boole’a samo wyrażenie algebry Boole’a:
A*~B+~A*B
Wyłącznie jełopy mogą tego nie wiedzieć.
Podsumowując:
1.
Ziemski matematyk który nie zna poniższej definicji funkcji algebry Boole’a powinien spalić się ze wstydu.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. p*q+~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykład:
Y = (p<=>q) = p*q+~p*~q
2.
Ziemski matematyk który nie wie że dowolną funkcje logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować powinien wziąć zimny prysznic.
Nasz przykład:
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
Stąd mamy prawa De Morgana mówiące o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
I.
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y):
Y=~(~Y) = ~(p*~q+~p*q) = p*q+~p*~q
II.
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y=~(Y) = ~(p*q+~p*~q) = p*~q + ~p*q
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który w wypełnianiu tabel zero-jedynkowych operuje tylko i wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a ignorując totalnie zarówno funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i jak i funkcje logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Twardy dowód to podana wyżej tabela spójników logicznych (TSL) zapisana wyłącznie w postaci wyrażeń algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznych Y i ~Y.
Dokładnie ten błąd fatalny popełniają wszyscy ziemscy matematycy.
| Kod: |
TSL’ - tabela spójników logicznych
po zostawieniu wyłącznie wyrażeń algebry Boole’a
A: Spójnik „lub”(+)
1. p+q # 2. ~p*~q
##
B: Spójnik „i”(*)
1. p*q # 2. ~p+~q
##
C: Warunek wystarczający =>
1. ~p+q # 2. p*~q
##
D. Warunek konieczny ~>
1. p+~q # 2. ~p*q
##
E. Implikacja prosta p|=>q
1. ~p*q # 2. p+~q
##
F. Implikacja odwrotna p|~>q
1. p*~q # 2. ~p+q
##
G. Równoważność p<=>q
1. p*q+~p*~q # 2. p*~q+~p*q
##
H. Spójnik „albo”($) p$q
1. p*~q+~p*q # 2. p*q+~p*~q
##
I. Chaos p|~~>q
1. =0 # 2. =1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Zauważmy, że po zostawieniu w tabeli TSL samych wyrażeń algebry Boole’a definicja znaczka różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony jest wszędzie spełniona.
ALE!
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest gwałcona w następujących miejscach:
| Kod: |
TSL’
C1: ~p+q [=] F2:~p+q
D1: p+~q [=] E2: p+~q
E1: ~p*q [=] D2:~p*q
F1: p*~q [=] C2: p*~q
G1: p*q+~p*~q [=] H2: p*q+~p*~q
H1: p*~q+~p*q [=] G2: p*~q+~p*q
|
cnd
Wniosek:
Rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 19:33, 17 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Cała nadzieja w matematykach na najwyższym poziomie typu Yorgin!
… oczywiście chodzi tu o zaistnienie algebry Kubusia w ziemskiej matematyce!
Przez ostatnie klika dni mój mały rozumek pracował na najwyższych obrotach.
Algebra Kubusia została ujednolicona i znacznie uproszczona - dotyczy to całości od początku do końca - dużo poprawek większych i mniejszych.
Algebra Kubusia jest gotowa do publikacji na wszelkich ziemskich forach matematycznych!
Link:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-prapremiera,19257.html#604299
Zanim do tego dojdzie Kubuś ogłosił vacatio legis
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Vacatio legis (łac. próżnowanie ustawy) – określony w przepisach prawa okres między publikacją aktu prawnego a jego wejściem w życie.
Celem vacationis legis jest umożliwienie wszystkim zainteresowanym zapoznanie się z nowymi przepisami i przygotowanie do ewentualnych zmian, jakie mogą wynikać z ich wejścia w życie.
|
Póki co, algebra Kubusia została opublikowana w Internecie dostępnym wyłącznie dla mieszkańców 100-milowego lasu. W dzień po publikacji odnotowano 10mln pobrań, tak więc jest nadzieja że AK zostanie dokładnie „odpluskwiona” i uproszona na maksa.
Dopiero gdy AK stanie się oficjalnym podręcznikiem logiki matematycznej w 100-milowym lesie, opublikujemy ją na ziemskich forach matematycznych.
Podpisano:
Kubuś, Prosiaczek, Tygrysek, Kłapouchy, Kangurek
Nie ma sensu wchodzić z AK szybko na ziemskie fora matematyczne bowiem 100% definicji z zakresu logiki matematycznej w algebrze Kubusia jest sprzecznych z jakąkolwiek logiką matematyczną ziemskich matematyków.
Wynika z tego że nie mam szans na jakąkolwiek sensowną dyskusję z twardogłowymi ziemskimi matematykami w temacie algebra Kubusia.
Dlaczego?
Bo na 100% zacznie się to co zwykle:
Ziemski, twardogłowy matematyk będzie myślał kategoriami ziemskich logik np. Klasycznym Rachunkiem Zdań i na tej podstawie twardo przystąpi do „obalania” algebry Kubusia będąc głuchym na moje argumenty, że to nie a sensu.
Problem takiego „twardogłowego” matematyka już przerabiałem w dyskusji z Irbisolem:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663.html#505427
Oczywiście nie wszyscy matematycy są twardogłowi niczym Irbisol, są różne stopnie twardości.
Przykładowo, wiem co mnie spotka na matematyce.pl wśród twardogłowych matematyków typu miodzio1988
Link do dyskusji z której pochodzą poniższe cytaty:
[link widoczny dla zalogowanych]
| silicium2002 napisał: | | To nie ma sensu. Czy ktoś czytał co za brednie powypisywał na tym forum do którego podał linki. Równie dobrze możemy założyć że 2 # 2 i zacząć pisać nową matematykę. Jestem przeciwny takiemu zaśmiecaniu forum. |
| miodzio1988 napisał: | | Znowu te brednie? Realne zastosowania poprosimy. Postaw problem i rozwiąż go za pomocą tego co napisałeś tutaj. Tylko konkrety poproszę. |
| miodzio1988 napisał: | | Cytat: | | Algebra Kubusia to matematyczny opis naturalnego języka mówionego - to jest konkretne zastosowanie. |
I jaki ma to związek z matematyką? No żadnego nie ma to związku. Opisałeś sobie świat w języku matematyki-super.
Natomiast jest to opis bez żadnej wartości matematycznej. Potrafisz zrozumieć różnice?
Opis Twoj ma natomiast inne wartości, dlatego przenieś swoje przemyślenia na forum o innej treści. |
| miodzio1988 napisał: | | Cytat: | Jeśli liczba jest podzielna przez 2 to może być podzielna przez 8
|
No to ja teraz wszystko rozumiem  Rzeczywiście to jest proste. Matematyka dla ubogich Ja Ci podałem twierdzenie, którego obalić nie możesz (dla dowolnego szeregu jest prawdziwe ).Po co mi jest ta wiedza, że coś może się zdarzyć? Ja muszę sobie odpowiedzieć na pytanie: w jakich warunkach, czego trzeba, jakie ZAŁOŻENIA MUSZĄ BYĆ SPEŁNIONE, aby dany fakt (zawny przeze mnie twierdzeniem )był prawdziwy. No naprawdę. Jaki Ty masz facet związek z matematyką? Sięgnij do źródeł maetamtyki. Po co matematyka była kiedyś tworzona?
|
| miodzio1988 napisał: | No i na żadne pytanie nie odpowiedziałeś. Żadnego problemu nie postawiłeś . Żadnego problemu nie rozwiązałeś. Wniosek? Nic ta Twoja teoria nie jest warta. Musiałeś trafiić na mnie żeby się do tego przekonać No, ale uświadomiłem Cie. Zajmij się czymś pożytecznym . Ekstrema umiesz liczyć? Całki?
Jesli następny Twoj post nie będzie odpowiedzią na poprzednie pytania to swtorzymy algebrę Miodzia. I ta algebra będzie równie absurdalna i równie nieprzydatna jak Twoja algebra. |
| miodzio1988 napisał: |
| rafal3006 napisał: |
Jeśli liczba jest naturalna to może być parzysta
N~>P
... to jest właśnie implikacja, sam sobie odpowiedziałeś na pytanie co jest warta implikacja w matematyce i technice.
|
Znowu te brednie? Realne zastosowania poprosimy. Postaw problem i rozwiąż go za pomocą tego co napisałeś tutaj. Tylko konkrety poproszę.
Brednie, brednie i jeszcze raz brednie.
|
| Moderator Rogal do mIodzio1988 napisał: |
Aleś się zacietwierzył - uważaj, abyś się jeszcze nie zapowietrzył :-).
Nie wiem, na jakiej podstawie uważasz to za brednie, skoro autor wyraźnie mówi, że robi sobie nowe definicji, które "przystosowują" klasyczną algebrę Boole'a do języka mówionego dzieci lat około pięciu w zakresie implikacji? Nie możesz obalać definicji.
|
Mam nadzieję, że wszyscy widzą, iż nie ma sensu moja dyskusja z twardogłowymi matematykami typu Irbisol, czy miodzio1988.
Cała nadzieja w matematykach na najwyższym poziomie typu Yorgin!
Yorgin, to były admin matematyki.pl.
Dyskusja z nim była dla mnie przyjemnością, mimo że w owym czasie (marzec roku 2013) algebra Kubusia była jeszcze niemowlęciem.
Tu jest link do tej dyskusji:
[link widoczny dla zalogowanych]
… a tu jest podsumowanie dyskusji przez Yorgina:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Yorgin - ówczesny admin matematyki.pl napisał: |
Ja oficjalnie kończę swój udział w tej dyskusji. Dalsze próby wzajemnego przekonywania się raczej nie doprowadzą do niczego.
Wnioski, jakie mogę wyciągnąć w związku z dyskusją o AK:
1. Wymagane jest doprecyzowanie podstawowych pojęć takich jak zdanie, forma zdaniowa, spójnik.
2. Wymagane jest wyjaśnienie, czym tak naprawdę jest obiekt „~~>”, czy funkcjonuje on jako pełnoprawny spójnik, jeśli tak, to jak działa, jeśli nie, to czym jest? Samo stwierdzenie, że jest to łącznik/partykuła to za mało.
3. Wymagane jest zaznajomienie się z logiką matematyczną celem prawidłowej konfrontacji. Jak już wspominałem, pracując 7 lat nad AK i nie sięgnąć do logiki matematycznej uważam za nieodpowiedzialne i bycie katastrofalnym błędem.
4. Warunki konieczne i wystarczające - owszem, są określane przez implikację. Dobrze byłoby jednak zwrócić uwagę na to, czy czasem używając różnych praw nie tworzymy absurdów, o których wspominałem niejednokrotnie.
5. Tautologie - w logice matematycznej jest ich pełno. W AK część z nich owszem można nazwać jakimiś prawami, ale bez przesady. Prawo Prosiaczka jest najlepszym tego przykładem.
Rozumiem, że AK ma bazować na logice człowieka, buszmena, czy innego mniej lub bardziej ogarniętego mieszkańca planety.
Tematem się zainteresowałem, ale ponieważ żyjemy w odmiennych logikach, ja z chęcią poczekam na wersję wydawniczą AK.
|
Główny problem mojej dyskusji nawet z matematykami na najwyższym poziomie Yorgin zapisał:
| Yorginl napisał: |
1. Wymagane jest doprecyzowanie podstawowych pojęć takich jak zdanie, forma zdaniowa, spójnik. |
W algebrze Kubusia nie ma pojęcia „forma zdaniowa” - to jest potwornie śmierdzące gówno rodem Klasycznego Rachunku Zdań w algebrze Kubusia nie występujące!
Poza tym „zdanie” w AK to fundamentalnie co innego niż w KRZ!
Także „spójnik” w AK to fundamentalnie co innego niż w KRZ!
Już ten przykład pokazuje, dlaczego nie ma sensu moja dyskusja z matematykiem, nawet najwybitniejszym (jak Yorgin) gdzie ja będą stosował definicje z AK a on definicje z KRZ.
Po obu stronach wyniknie z tego dyskusja „gadał dziad do obrazu” - bez szans na wzajemne, choćby minimalne porozumienie.
Jedyna sensowna dyskusja między mną a dowolnym matematykiem może polegać tylko i wyłącznie na tym, że na czas dyskusji o AK ów matematyk odkłada na półkę wszelką wiedzę z zakresu logiki matematycznej uczonej na ziemskich studiach matematycznych (nigdzie indziej nie uczą KRZ) i dyskutujemy tylko i wyłącznie na bazie definicji obowiązujących w algebrze Kubusia.
Oczywiście nie mam nic przeciwko przyczepianiu się ziemskiego matematyka do definicji obowiązujących w algebrze Kubusia.
Wystarczy, że ziemski matematyk poda kontrprzykład do dowolnej definicji w AK i już kasuję AK - jak wszyscy widzą gram w otwarte karty.
Oczywiście nie jest prawdą, ż definicji się nie obala kontrprzykładem - to głupota wyznawana przez co niektórych (na szczęście) matematyków.
Uwaga:
Obalić kontrprzykładem definicje obowiązujące w KRZ potrafi każdy 5-cio latek.
Jaś (lat 5):
Poproszę ziemskiego matematyka o udowodnienie prawdziwości na gruncie KRZ poniższego zdania:
„Jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą to ja jestem jego ciotką”
Czas START!
Oczywistym jest, że matematyk obroni KRZ wtedy i tylko wtedy gdy udowodni prawdziwość powyższego zdania. Inaczej na 100% należy uznać że 5-cio latek załatwił swoim kontrprzykładem gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Jak się udowadnia prawdziwość tego typu zdań mamy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Gżdacz napisał: |
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.
Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)
Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30 |
P.S.
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” zarówno poprzednik p jak i następnik q muszą mieć wspólną dziedzinę i być pojęciami niepustymi (różnymi od zera) we wszelkich możliwych przeczeniach {p, q, ~p, ~q}, co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
Jeśli w zdanku warunkowym „Jeśli p to q” którekolwiek z pojęć {p, q, ~p, ~q} ma wartość logiczną równą zero (zbiór/pojęcie puste) to takie zdanie jest fałszywe na gruncie algebry Kubusia.
Fragment punktu 1.2 z algebry Kubusia:
Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Komentarz:
Analiza matematyczna dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” polega na badaniu relacji w zdarzeniach/zbiorach przez wszystkie możliwe przeczenia p i q {p, q, ~p, ~q}.
Jeśli którekolwiek z pojęć {p, q, ~p, ~q} jest pojęciem pustym o wartość logicznej równej 0, to z definicji nie możemy na nim operować bo definicja zbioru pustego jako zbioru zawierającego zero pojęć zrozumiałych dla człowieka to wyklucza.
Uwaga:
Zauważmy, że niniejsza definicja wywala w kosmos wszelkie zdania warunkowe „Jeśli p to q” w których poprzednik p lub następnik q mają twardą wartość logiczną (1 albo 0), czyli wywala w kosmos fundament Klasycznego Rachunku Zdań, „implikację materialną”.
Wkrótce algebra Kubusia będzie w pdf.
… dopiero wtedy jest sens wchodzić na ziemskie fora matematyczne.
Kubuś
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 7:50, 18 Lip 2021, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 16:19, 18 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Dlaczego nie warto się spieszyć z publikacją AK na ziemskich forach matematycznych?
W dniu wczorajszym ogłosiłem iż AK jest gotowa do publikacji na ziemskich forach matematycznych ... a przed chwilką dostałem ciekawy list od Żubra z Białowieży z propozycją modyfikacji punktu 1.4.
Nie wiem czy starczy mi życia, by tego typu niuanse odkrywać i opisywać.
Matematyka języka potocznego to temat tak szeroki, że matematycy na tym poletku odkryją zapewne wiele, podobnie ciekawych rzeczy jak Żubr z Białowieży.
Poza tym czytając punkt 1.0 jeszcze raz całość znacząco uprościłem co można sobie porównać ze starszymi wersjami.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-prapremiera,19257.html#604301
Algebra Kubusia
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Spis treści
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów 1
1.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach 2
1.1.1 Suma logiczna zbiorów 2
1.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów 3
1.1.3 Różnica (-) zbiorów 3
1.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów 4
1.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 6
1.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 7
1.3 Dziedzina 8
1.3.1 Zaprzeczenie zbioru 8
1.3.2 Nazwa własna zbioru 8
1.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym 9
1.4 Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia 10
1.4.1 Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w praktycznym wykorzystaniu 10
1.5 Krótka teoria równoważności 11
1.5.1 Zdania warunkowe typu „Jeśli a to a” 16
1.0 Kubusiowa teoria zbiorów
Kubusiowa teoria zbiorów to nieznana ziemianom teoria zbiorów dla potrzeb logiki matematycznej, algebry Kubusia.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, koło, miłość, krasnoludek, zbór wszystkich zwierząt ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawa Prosiaczka
Prawa Prosiaczka omówiono szczegółowo w „Nowej algebrze Boole’a” pkt. 1.3
I Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice dodatniej (bo p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice ujemnej (bo ~p)
(p=1) = (~p=0)
##
II Prawo Prosiaczka:
Prawda (=1) w logice ujemnej (bo ~p) jest tożsama z fałszem (=0) w logice dodatniej (bo p)
(~p=1) = (p=0)
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Przykład 1.
[pies]=1 - bo prawdą jest (=1) iż wiem co znaczy pojęcie pies
Prawo Prosiaczka:
(p=1) = (~p=0)
Nasz przykład:
([pies]=1) = (~[pies]=0) - na mocy prawa Prosiaczka
stąd zdanie tożsame do 1:
~[pies]=0 - fałszem jest (=0), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie [pies]
Przykład 2.
agstd=0 - bo fałszem jest (=0) iż wiem co znaczy pojęcie „agstd”
Prawo Prosiaczka:
(agstd=0) = (~agstd=1)
stąd zdanie tożsame do 3:
~agstd=1 - prawdą jest (=1), że nie wiem (~) co znaczy pojęcie agstd
Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
1.1 Elementarne działania logiczne na zbiorach
Elementarne działania na zbiorach to:
(+) - suma logiczna zbiorów
(*) - iloczyn logiczny zbiorów
(-) - różnica logiczna zbiorów
1.1.1 Suma logiczna zbiorów
Suma logiczna (+) zbiorów:
Y=p+q
Wszystkie elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
Zdefiniujmy dwa zbiory p i q:
p=[K, T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T, P] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p+q=[K,T]+[T,P]=[K,T,T,P] = [K+T+T+P] = [K+T+P] = [K,T,P] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Bo prawo Algebry Boole’a:
p+p =p
Uwaga:
Przecinek przy wyliczaniu elementów zbioru jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) z algebry Boole’a co pokazano i udowodniono wyżej.
1.1.2 Iloczyn logiczny zbiorów
Iloczyn logiczny (*) zbiorów:
Y = p*q
Wspólne elementy zbiorów p i q bez powtórzeń
Y = p*q =1 - gdy zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny (zbiór wynikowy jest niepusty)
Y = p*q =0 - gdy zbiory p i q nie mają (=0) elementu wspólnego (są rozłączne)
Oznaczmy skrótowo:
K - Kubuś
T - Tygrysek
P - Prosiaczek
S - Słoń
Zdefiniujmy zbiory p, q, r:
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T,P] =1 - bo zbiór niepusty
r=[P,S] =1 - bo zbiór niepusty
Y=p*q=[K,T]*[T,P]=[T] =1 - zbiory p i q mają (=1) co najmniej jeden element wspólny
Y=p*r=[K,T]*[P,S] =[] =0 - zbiory p i r nie mają (=0) elementu wspólnego
Powyższe wyniki można uzyskać poprzez wymnażanie logiczne zbiorów.
Przykład:
p*q = [K+T]*[T+P] = K*T + K*P + T*T + T*P =[] + [] + T + [] = T
bo:
K*T+ K*P + T*P =[]+[]+[] =0+0+0 =0 - iloczyn logiczny „*” zbiorów (pojęć) rozłącznych jest zbiorem pustym
T*T =T
bo prawo algebry Boole’a:
p*p =p
Jak widzimy, przy wyliczaniu elementów zbioru przecinek jest tożsamy ze spójnikiem „lub”(+) rodem z algebry Boole’a.
1.1.3 Różnica (-) zbiorów
Różnica (-) zbiorów:
Y=p-q
Wszystkie elementy zbioru p pomniejszone o elementy zbioru q
Oznaczmy:
K - Kubuś
T - Tygrysek
p=[K,T] =1 - bo zbiór niepusty
q=[T] =1 - bo zbiór niepusty
Stąd:
Y=p-q = [K,T]-[T] =[K+T-T] =[K] =1 - bo zbiór wynikowy niepusty
Y=q-p =[K]-[K,T]=[K-(K+T]=[K-K-T]= [-T] =[-T] =[] =0 - bo zbiór wynikowy pusty
[-T] = []-T =[]
Prawo odejmowania zbiorów:
Jeśli w operacji odejmowania zbiorów wynikowy zbiór jest z minusem {-} to taki zbiór zamieniamy na zbiór pusty [].
1.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów
Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Podobnie będzie z algebrą Kubusia, aktualnie wyłącznie mieszkańcy 100-milowego lasu ją znają i rozumieją, ale wkrótce pojęcie „algebra Kubusia” znane będzie każdemu ziemianinowi od 5-cio latka poczynając … po prostu, algebra Kubusia będzie uczona we wszystkich ziemskich przedszkolach - oczywiście w formie zabawy praktycznej, bez teorii którą znają wszystkie żywe stworzenia, nie będąc tego świadomym.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z dziedziną absolutną DA.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze nie zdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.
Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.
W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
| Kod: |
T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty [] | Uniwersum U |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka | Pojęcia przez człowieka już |
| niezdefiniowane | zdefiniowane |
| Niezrozumiałe dla człowieka | Zrozumiałe dla człowieka |
| | |
-------------------------------------------------------------------
| DA - dziedzina absolutna |
-------------------------------------------------------------------
|
Na mocy powyższego zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA
Na mocy definicji dziedziny absolutnej mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie elementy ze zbioru ~U=[] musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].
Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.
1.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
Jeśli p to q
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
1.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
Jeśli p to q
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
1.3 Dziedzina
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zero pojęć zrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować
Wniosek:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.
1.3.1 Zaprzeczenie zbioru
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
~p=[D-p]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []
Przykład:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] = [(K+T)-K]=[T]
1.3.2 Nazwa własna zbioru
Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej
Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi
Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]
W języku potocznym z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.
1.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym
Definicja dziedziny użytecznej w języku potocznym:
Dziedzina użyteczna w języku potocznym do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną nie będący Uniwersum.
Uniwersum - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
W języku potocznym nikt nie używa pojęcia Uniwersum w przeciwieństwie do np. zbioru wszystkich zwierząt.
Rozważmy poniższe dziedziny (ZWZ, ZWS, U) mające nazwy własne:
Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies] - zbiór P zawiera tylko jeden element [pies].
Uwaga:
Nie jest tu istotne że różnych psów jest bardzo dużo bo:
pies Jasia = pies Zuzi = po prostu [pies]
[pies]+[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p+p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotne jest że jeden pies należy do Jasia a drugi do Zuzi.
[pies]*[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p*p=p)
A.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
B.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
Wnioski:
Przyjęte dziedziny A i B mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum i nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
a)
Dziedzina A (ZWZ) wskazuje nam, że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
b)
Dziedzina B (ZWS) mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWS są dla nas puste z definicji.
Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dziedzina ZWT wskazuje nam, że interesują nas wyłącznie trójkąty, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWT są dla nas puste z definicji
Nie interesują nas tu żadne pojęcia spoza dziedziny ZWT, o czym w praktyce każdy matematyk wie - nikt nie będzie brał do ręki koła i sprawdzał czy zachodzi w nim suma kwadratów.
1.4 Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia:
W dowolnym zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” zarówno poprzednik p jak i następnik q muszą mieć wspólną dziedzinę i być pojęciami niepustymi (różnymi od zera) we wszelkich możliwych przeczeniach {p, q, ~p, ~q}, co gwarantuje rozpoznawalność tych pojęć.
Jeśli w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” którekolwiek z pojęć {p, q, ~p, ~q} ma wartość logiczną równą zero (zbiór/pojęcie puste) to takie zdanie jest fałszywe na gruncie algebry Kubusia.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Komentarz:
Analiza matematyczna dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” polega na badaniu relacji w zdarzeniach/zbiorach przez wszystkie możliwe przeczenia p i q {p, q, ~p, ~q}.
Jeśli którekolwiek z pojęć {p, q, ~p, ~q} jest pojęciem pustym o wartość logicznej równej 0, to z definicji nie możemy na nim operować bo definicja zbioru pustego jako zbioru zawierającego zero pojęć zrozumiałych dla człowieka to wyklucza.
Uwaga:
Zauważmy, że niniejsza definicja wywala w kosmos wszelkie zdania warunkowe „Jeśli p to q” w których poprzednik p lub następnik q mają twardą wartość logiczną (1 albo 0), czyli wywala na wieczne piekielne męki fundament Klasycznego Rachunku Zdań, „implikację materialną” - bez prawa powrotu na ziemię.
1.4.1 Definicja zdania warunkowego „Jeśli p to q” w praktycznym wykorzystaniu
Przykład A.
A.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=6
Zarówno poprzednik p jak i następnik q jest tu twardym fałszem, czyli mamy:
{p=0, q=0, ~p=1, ~q=1}
Nie jest spełniony warunek konieczny ~> prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” gdzie pojęcia p i q we wszelkich możliwych przeczeniach muszą być niepuste {p, q, ~p, ~q}
Rozstrzygnięcie:
Zdanie A jest fałszem
Przykład B.
B.
Jeśli 2+2=5 to 2+2=4
Poprzednik p jest tu twardym fałszem, zaś następnik q jest twardą prawdą, stąd mamy:
{p=0, q=1, ~p=1, ~q=0}
Nie jest spełniony warunek konieczny ~> prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” gdzie pojęcia p i q we wszelkich możliwych przeczeniach muszą być niepuste {p, q, ~p, ~q}
Rozstrzygnięcie:
Zdanie B jest fałszem
Przykład C.
C.
Jeśli 2+2=4 to 2+2=5
Poprzednik p jest tu twardą prawdą, zaś następnik q twardym fałszem, stąd mamy:
{p=1, q=0, ~p=0, ~q=1}
Nie jest spełniony warunek konieczny ~> prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” gdzie pojęcia p i q we wszelkich możliwych przeczeniach muszą być niepuste {p, q, ~p, ~q}
Rozstrzygnięcie:
Zdanie C jest fałszem
Przykład D.
D.
Jeśli 2+2=4 to Płock leży nad Wisłą
Poprzednik p jest tu twardą prawdą, i następnik q też jest twardą prawdą, stąd mamy:
{p=1, q=1, ~p=0, ~q=0}
Nie jest spełniony warunek konieczny ~> prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” gdzie pojęcia p i q we wszelkich możliwych przeczeniach muszą być niepuste, czyli różne od zera {p, q, ~p, ~q}
Rozstrzygnięcie:
Zdanie D jest fałszem
Przykład E.
E.
Jeśli 2+2=4 to 2*3-2=4
Rozstrzygnięcie:
Logika matematyczna nie zajmuje się działaniami algebraicznymi, bowiem znane w logice matematycznej spójniki „i”(*) i „lub”(+) są fundamentalnie czym innym niż znane w matematyce klasycznej pojęcia „iloczyn algebraiczny”(*) i „suma algebraiczna”(+).
Dokładnie dlatego iż te pojęcia są totalnie różne, świat techniki (inżynierowie elektronicy) używa w algebrze Boole’a znaczków „i”(*) i „lub”(+) formalnie kolidujące z matematyką klasyczną.
Z punktu widzenia logiki matematycznej zdanie tożsame do powyższego brzmi:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest liczbą 4 to na 100%=> jest liczbą 4
L4=>L4 =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo każdy zbiór/pojęcie jest podzbiorem siebie samego
Zdaniem tym zajmiemy się w punkcie 1.5.1 bowiem najpierw musimy poznać krótką teorię równoważności.
1.5 Krótka teoria równoważności
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Definicja tożsamości logicznej „=”
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Przykład:
A1: P8=>P2 = A4: ~P2=>~P8
Zdania logicznie tożsame to:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to na 100% => jest podzielna przez 2 (~P2)
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest (=1) podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
Mając udowodniony warunek wystarczający A1, na mocy prawa kontrapozycji mamy udowodnioną prawdziwość warunku wystarczającego => A4.
A4.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 (~P2) to na 100% => nie jest podzielna przez 8 (~P8)
~P2 =>~P8 =1
Niepodzielność dowolnej liczby przez 2 jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej niepodzielności przez 8 bo zbiór ~P2=[1,3,5,7,9..] jest podzbiorem zbioru ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Prawdziwość warunku wystarczającego => A4 gwarantuje nam prawo kontrapozycji:
A4: ~P2=>~P8 = A1: P8=>P2
cnd
Definicja ziemskiego twierdzenia matematycznego:
Ziemskie twierdzenie matematyczne jest tożsame z definicją warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
RA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Gdzie:
A1: p=>q =1 - znane matematykom twierdzenie proste p=>q
B1: q=>p =1 - znane matematykom twierdzenie odwrotne q=>p
Matematyczna definicja równoważności jest doskonale znana każdemu matematykowi.
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
RA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Całość czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: p=>q i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: q=>p
Podstawmy tą definicję do matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q =1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q =1
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
„=”, [=] - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax oraz prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja matematyczna równoważności definiuje nam tożsamość zbiorów znaną każdemu matematykowi.
Matematyczna definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1) i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru p (B3)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Dla B3 korzystamy z prawa Tygryska.
B3: q=>p = B1: p~>q
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Klasyczna definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1) i jednocześnie zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Po skorzystaniu z powyższej tożsamości pojęć mamy definicję tożsamości zbiorów w 100% zgodną z Wikipedią.
Klasyczna definicja tożsamości zbiorów p=q:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p jest warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Treść zdań A1 I B1 w zbiorach należy rozumieć tak:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla q
wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to jest podzielna przez 2 (P2)
Badamy warunek wystarczający =>:
A1: P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2.4.6.8..]
Relacja podzbioru => jest tu spełniona.
cnd
(dowód przez pokazanie)
Badamy warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to jest podzielna przez 2 (P2)
B1: P8~>P2 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru P2=[2,4,6,8..]
Relacja nadzbioru ~> nie jest spełniona.
cnd
(dowód przez pokazanie)
Stąd mamy rozstrzygnięcie iż zdania A1 i B1 nie tworzą definicji równoważności bo:
P8<=>P2 = (A1: P8=>P2)*(B1: P8~>P2) =1*0 =0
cnd
Wniosek:
Zbiory P8 i P2 nie są tożsame.
Innymi słowy:
Zbiory P8=[8,16,24..] ## P2=[2,4,6,8..]
są różne na mocy definicji ##
Klasyczna definicja równoważności p<=>q
RA1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Całość czytamy:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p jest wystarczające => dla zajścia q (A1)
Innymi słowy w skrócie:
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Zauważmy, że skrócona forma jest tu poprawna dzięki temu, że w znaczkach => i ~> mamy identyczny poprzednik p
A1: p=>q =1
B1: p~>q =1
p i q musi tu być tym samym p i q, inaczej błąd podstawienia.
Stąd równoważność klasyczną jednoznacznie definiuje wyłącznie prawa strona.
Klasyczna definicja równoważności
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Twierdzenie Kangurka:
Klasyczna definicja równoważności jest najczęściej wypowiadaną definicją w świecie człowieka.
Dowód:
Klikamy w googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 15 300
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 8 320
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 254 000!
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
konieczne ~> = potrzebne ~>
1.5.1 Zdania warunkowe typu „Jeśli a to a”
Weźmy następujący przykład klasycznej równoważności z Wikipedii:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Przykład.
Podzielność liczby naturalnej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym i wystarczającym podzielności tej liczby przez 6 |
Zajmijmy się tym przykładem.
Przykład
Podzielność liczby naturalnej przez 2 i przez 3 jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => podzielności tej liczby przez 6
Definicja równoważności klasycznej użyta w przykładzie to:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Przyjmijmy następujący punkt odniesienia:
p=P2*P3
q=P6
Stąd mamy do udowodnienia równoważność klasyczną w zapisie aktualnym {P2,P3,P8} i podłożony pod nią zapis formalny {p, q}
| Kod: |
RA1B1:
[P6=P2*P3]<=>P6 = (A1: [P6=P2*P3]=>P6)*(B1: [P6=P2*P3]~>P6) =?
p<=>q = (A1: p=>q )*(B1: p~>q ) =?
|
Dowód jest tu trywialny.
Twierdzenie znane matematykom:
Pm*Pn = Pm*n
Jako nie matematyk (jestem elektronikiem i dla mnie matematyką nr.1 jest algebra Boole’a) nie mam pojęcia jak dowodzi się to twierdzenie.
Fiklit (najlepszy matematyk z którym dyskutowałem) powiedział mi, że to twierdzenie jest prawdziwe więc żaden ziemski matematyk nie ma prawa udowodnić, że nie jest.
Mój dowód dla szczególnego przypadku m=2 i n=3 wykonany przeze mnie polegał na pokazaniu prawdziwości P2*P3=P6 na pierwszych elementach zbiorów P2 i P3 - mi to wystarcza, ale zawodowym matematykom na pewno nie.
Stąd mamy tożsamość zbiorów:
P2*P3 = P6
Dziedzina zdefiniowana w poprzedniku to:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..]
Stąd:
P2=[2,4,6,8..] - zbiór liczb podzielnych przez 2
P3=[3,6,9 ..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
P6=[6,12,18..] - zbiór liczb podzielnych przez 6
P2*P3 = P6
Czytamy:
Iloczyn logiczny zbiorów liczb podzielnych przez 2 i podzielnych przez 3 daje nam zbiór liczb podzielnych przez 6 (albo odwrotnie)
Innymi słowy:
Zachodzi matematyczna tożsamość zbiorów:
P2*P3 = P6
Stąd naszą równoważność z przykładu możemy zapisać jako:
| Kod: |
T1
RA1B1:
[P6=P2*P3]<=>P6 = (A1: [P6=P2*P3]=>P6)*(B1: [P6=P2*P3]~>P6) =?
p<=>q = (A1: p=>q )*(B1: p~>q ) =?
|
Zauważmy, że zachodzi tożsamość zbiorów którą udowodniliśmy:
P6=P2*P3
Wynika z tego, że w definicji równoważności możemy pozostawić dowolny z członów P6 albo P2*P3.
Innymi słowy:
Tożsama definicja równoważności przyjmuje postać:
| Kod: |
T2
RA1B1:
P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B1: P6~>P6) =?
p<=>q = (A1: p=>q )*(B1: p~>q ) =?
|
RA1B1: P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B1: P6~>P6) =1*1 =1
Dowód:
A1: P6=>P6 - każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B1: P6~>P6 - każdy zbiór jest nadzbiorem ~> siebie samego
cnd
Lewą stronę zapisanej równoważności czytamy:
Dowolna liczba jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 6
RA1B1: P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B1: P6~>P6) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Podzielność dowolnej liczy przez 6 jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla jej podzielności przez 6
RA1B1: P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B1: P6~>P6) =1*1 =1
Definicja równoważności klasycznej z której skorzystano w przykładzie z Wikipedii jest następująca:
RA1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Dla B3 skorzystajmy z prawa Tygryska:
B3: p~>q = B1: q=>p
Stąd mamy tożsamą, matematyczną definicję równoważności.
Matematyczna definicja równoważności p<=>q:
RA1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*1 =1
Gdzie:
A1: p=>q =1 - znane matematykom twierdzenie proste p=>q
B1: q=>p =1 - znane matematykom twierdzenie odwrotne q=>p
Definicja ziemskiego twierdzenia matematycznego:
Ziemskie twierdzenie matematyczne jest tożsame z definicją warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Podstawmy nasz przykład do matematycznej definicji równoważności:
p = P6=P2*P3
q = P6
| Kod: |
T3
RA1B3:
[P6=P2*P3]<=>P6 = (A1: [P6=P2*P3]=>P6)*(B3: P6=>[P6=P2*P3]) =?
p<=>q = (A1: p=>q )*(B3: q=>p ) =?
|
Zachodzi udowodniona tożsamość zbiorów:
P6=P2*P3
Stąd w równoważności RA1B3 możemy usunąć iloczyn logiczny zbiorów P2*P3 otrzymując:
| Kod: |
T4
RA1B3:
P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B3: P6=>P6 ) =?
p<=>q = (A1: p=>q )*(B3: q=>p ) =?
|
Czyli:
RA1B3: P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B3: P6=>P6)
Lewą stronę czytamy:
Dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 6 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 6
P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B3: P6=>P6)
ok
Zauważmy, że tu w przeciwieństwie do równoważności klasycznej prawej strony nie wolno nam czytać jako.
Odczyt pozornie poprawny:
RA1B3: P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B3: P6=>P6)
Równoważność P6<=>P6 jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy podzielność dowolnej liczby przez 6 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 6 (B3) i jednocześnie podzielność dowolnej liczby przez 6 warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 6 (A1)
To jest bez sensu.
Gdzie jest błąd?
Zauważmy że:
W poprzedniku tego samego znaczka => mamy różne pudełka ze zbiorami:
W zdaniu A1 w poprzedniku znaczka => mamy pudełko p
W zdaniu B3 w poprzedniku znaczka => mamy pudełko q
co widać w tabeli T4.
Wniosek:
W odczycie pozornie poprawnym mamy błąd podstawienia.
Przeczytajmy dokładnie to samo w zapisie formalnym powiązanym z zapisem aktualnym:
[p=P6]<=>[q=P6] = (A1: [p=P6]=>[q=P6])*([q=P6]=>[p=P6]) =1*1 =1
Równoważność p<=>q jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste A1: (p=P6)=>(q=P6) i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne B3: (q=P6)=>(p=P6).
Dowód:
A1: (p=P6) =>(q=P6) =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
B3: (q=P6) => (p=P6) =1 - bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego
cnd
Doskonale widać, że dopiero teraz wszystko gra i buczy.
Jak to wytłumaczyć na poziomie abstrakcyjnym?
Jeśli dostaniemy dwa pudełka o nieznanej z góry zawartości (świat niezdeterminowany) z napisami:
p=[P6] - w pudełku p jest zbiór liczb podzielnych przez 6
q=[P6] - w pudełku q jest zbiór liczb podzielnych przez 6
to wcale nie oznacza iż pudełko q jest zbędne bowiem aby udowodnić tożsamość zbiorów p=q przez iterowanie musimy sprawdzić czy wszystkie elementy pudełka z napisem p=P6 należą do pudelka z napisem q=P6 oraz czy wszystkie elementy pudełka z napisem q=P6 należą do pudełka z napisem p=P6.
Zauważmy, że jeśli dowcipny Jaś do pudełka z napisem q=P6 dorzuci nam jedną liczbę niepodzielną przez 6 np. 2 to tożsamość zbiorów p=q szlag trafi bo:
Twierdzenie proste:
p=[P6] => q=[P6+2] =1 - definicja podzbioru => jest (=1) spełniona
ale!
Twierdzenie odwrotne:
q=[P6+2] => p=[P6] =0 - definicja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Wniosek:
W tym przypadku definicja równoważności jest fałszem bo:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) =1*0 =0
Fałszywa równoważność p<=>q na mocy definicji oznacza brak tożsamości zbiorów/pojęć p=q
p=P6 ## q=[P6+2]
Gdzie:
## - zbiory różne na mocy definicji
cnd
Innymi słowy:
Nie wolno nam w definicji równoważności matematycznej zastosować pozornie poprawnego rozumowania:
P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B3: P6=>P6)
Podstawiam:
a=(P6=>P6)
a*a =a - prawo algebry Boole’a
stąd otrzymuję:
P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B3: P6=>P6) = (A1B3: P6=>P6)
Ponowne wyjaśnienie dlaczego nie wolno:
| Kod: |
T5
W rzeczywistości jest tak:
P6<=>P6 = (A1: P6=>P6)*(B3: P6=>P6)
p<=>q = (A1: p=>q )*(B3: q=>p )
|
Z tabeli 5 odczytujemy:
[p=P6]<=>[q=P6] = ([p=P6]=>[q=P6])*([q=P6]=>[p=P6])
Oczywistym jest, że warunek wystarczający p=>q to fundamentalnie co innego niż warunek wystarczający w stronę przeciwną q=>p.
Innymi słowy:
Twierdzenie proste p=>q to fundamentalnie co innego niż twierdzenie odwrotne q=>p.
Definicja ziemskiego twierdzenia matematycznego:
Ziemskie twierdzenie matematyczne jest tożsame z definicją warunku wystarczającego => w algebrze Kubusia
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
Dowód iż warunek wystarczający p=>q to fundamentalnie co innego niż warunek wystarczający q=>p
| Kod: |
T6
Definicja warunku wystarczającego => w kierunku od p do q
W ziemskiej matematyce to jest twierdzenie proste p=>q
Y = (p=>q) = ~p+q
#
~Y =~(p=>q) = p*~q
##
Definicja warunku wystarczającego => w kierunku do q do p
W ziemskiej matematyce to jest twierdzenie odwrotne q=>p
Y = (q=>p) = ~q+p
#
~Y =~(q=>p) = q*~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji funkcji logicznych ##
Dwie funkcje logiczne Y są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Doskonale widać, że w tabeli T6 definicje obu znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 5:44, 21 Lip 2021, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 5:38, 21 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Dlaczego nie warto się spieszyć z publikacją AK na ziemskich forach matematycznych?
Przeczytałem punkt 1.0 kilka razy za każdym razem nanosząc tu kosmetyczne poprawki - ostateczna wersja jest wyżej.
Innymi słowy:
Dopieszczanie algebry Kubusia na maksa będzie polegało na kilkukrotnym przeczytaniu poszczególnych rozdziałów i nanoszeniu poprawek.
Będą to poprawki kosmetyczne mające na celu lepsze trafienie do czytelnika, jednak dokładnie dlatego, istotne.
Pamiętajmy bowiem że w zakresie logiki matematycznej wszystkie definicje z AK są sprzeczne z jakąkolwiek logiką matematyczną ziemian - dlatego AK musi być dopieszczona na maksa.
Mam nadzieję, że matematycy zauważą iż punkty 1.4 i 1.4.1 wysyłają ich fałszywego boga "implikację materialną" do piekła, na wieczne piekielne męki.
Innymi słowy:
Na samym początku AK musiało dojść do zburzenia fundamentu wszelkich ziemskich logik, "implikacji materialnej", by na gruzach, budować fundamentalnie różną od KRZ logikę matematyczną, algebrę Kubusia.
Cała nadzieja w matematykach na najwyższym poziomie typu Yorgin!
Yorgin, to były admin matematyki.pl.
Dyskusja z nim była dla mnie przyjemnością, mimo że w owym czasie (marzec roku 2013) algebra Kubusia była jeszcze niemowlęciem.
Tu jest link do tej dyskusji:
[link widoczny dla zalogowanych]
… a tu jest podsumowanie dyskusji przez Yorgina:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Yorgin - ówczesny admin matematyki.pl napisał: |
Ja oficjalnie kończę swój udział w tej dyskusji. Dalsze próby wzajemnego przekonywania się raczej nie doprowadzą do niczego.
Wnioski, jakie mogę wyciągnąć w związku z dyskusją o AK:
1. Wymagane jest doprecyzowanie podstawowych pojęć takich jak zdanie, forma zdaniowa, spójnik.
2. Wymagane jest wyjaśnienie, czym tak naprawdę jest obiekt „~~>”, czy funkcjonuje on jako pełnoprawny spójnik, jeśli tak, to jak działa, jeśli nie, to czym jest? Samo stwierdzenie, że jest to łącznik/partykuła to za mało.
3. Wymagane jest zaznajomienie się z logiką matematyczną celem prawidłowej konfrontacji. Jak już wspominałem, pracując 7 lat nad AK i nie sięgnąć do logiki matematycznej uważam za nieodpowiedzialne i bycie katastrofalnym błędem.
4. Warunki konieczne i wystarczające - owszem, są określane przez implikację. Dobrze byłoby jednak zwrócić uwagę na to, czy czasem używając różnych praw nie tworzymy absurdów, o których wspominałem niejednokrotnie.
5. Tautologie - w logice matematycznej jest ich pełno. W AK część z nich owszem można nazwać jakimiś prawami, ale bez przesady. Prawo Prosiaczka jest najlepszym tego przykładem.
Rozumiem, że AK ma bazować na logice człowieka, buszmena, czy innego mniej lub bardziej ogarniętego mieszkańca planety.
Tematem się zainteresowałem, ale ponieważ żyjemy w odmiennych logikach, ja z chęcią poczekam na wersję wydawniczą AK.
|
Główny problem mojej dyskusji nawet z matematykami na najwyższym poziomie Yorgin zapisał:
| Yorginl napisał: |
1. Wymagane jest doprecyzowanie podstawowych pojęć takich jak zdanie, forma zdaniowa, spójnik. |
W algebrze Kubusia nie ma pojęcia „forma zdaniowa” - to jest potwornie śmierdzące gówno rodem Klasycznego Rachunku Zdań w algebrze Kubusia nie występujące!
Poza tym „zdanie” w AK to fundamentalnie co innego niż w KRZ!
Także „spójnik” w AK to fundamentalnie co innego niż w KRZ!
Już ten przykład pokazuje, dlaczego nie ma sensu moja dyskusja z matematykiem, nawet najwybitniejszym (jak Yorgin) gdzie ja będą stosował definicje z AK a on definicje z KRZ.
Po obu stronach wyniknie z tego dyskusja „gadał dziad do obrazu” - bez szans na wzajemne, choćby minimalne porozumienie.
Jedyna sensowna dyskusja między mną a dowolnym matematykiem może polegać tylko i wyłącznie na tym, że na czas dyskusji o AK ów matematyk odkłada na półkę wszelką wiedzę z zakresu logiki matematycznej uczonej na ziemskich studiach matematycznych (nigdzie indziej nie uczą KRZ) i dyskutujemy tylko i wyłącznie na bazie definicji obowiązujących w algebrze Kubusia.
Oczywiście nie mam nic przeciwko przyczepianiu się ziemskiego matematyka do definicji obowiązujących w algebrze Kubusia.
Wystarczy, że ziemski matematyk poda kontrprzykład do dowolnej definicji w AK i już kasuję AK - jak wszyscy widzą gram w otwarte karty.
Oczywiście nie jest prawdą, ż definicji się nie obala kontrprzykładem - to głupota wyznawana przez co niektórych (na szczęście) matematyków.
Uwaga:
Obalić kontrprzykładem definicje obowiązujące w KRZ potrafi każdy 5-cio latek.
Jaś (lat 5):
Poproszę ziemskiego matematyka o udowodnienie prawdziwości na gruncie KRZ poniższego zdania:
„Jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą to ja jestem jego ciotką”
Czas START!
Oczywistym jest, że matematyk obroni KRZ wtedy i tylko wtedy gdy udowodni prawdziwość powyższego zdania. Inaczej na 100% należy uznać że 5-cio latek załatwił swoim kontrprzykładem gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Jak się udowadnia prawdziwość tego typu zdań mamy tu:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Gżdacz napisał: |
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.
Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)
Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30 |
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Śro 5:52, 21 Lip 2021, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Kubuś
Dołączył: 03 Paź 2017
Posty: 872
Przeczytał: 0 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 23:29, 21 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Mały przerywnik:
http://www.sfinia.fora.pl/wiezienie-script-src-http-wujzboj-com-sfinia-hideu-js-script,20/mord-na-sprawiedliwym-i-jego-zmartwychwstanie,4928-32050.html#608767
| Kubuś napisał: | | Bóg ŁP JWPB napisał: | | agronom napisał: | Algebra wybitno gwarantuje wszak:
~E=1 i K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Ostatni przypadek to piękny „akt miłości” gwarantowany przez algebrę Kubusia, czyli ojciec może wręczyć dziecku nagrodę (komputer: K=1) mimo ze ten nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1) |
Niestety, mój drogi Agronomie, ale strasznie śmiertelny covid okazał się silniejszy od AK i nasz drogi Kubuś musi naplwać na swój kilkunastoletni dorobek naukowy, okazało się, że AK przegrała z covidem i w obliczu covida jest do dupy. Niestety, niezaszczepiony Jaś w żadnym przypadku nie może dostać od taty komputera, z czym nasz drogi Kubuś zupełnie się zgadza, wbrew wybitnej logice AK. |
Komandor do antyszczepionkowców:
A1.
Jeśli się zaszczepicie na 100% nie będziecie mordercami staruszków z powodu że się zaszczepiliście
S=>~M =1
Tylko tyle i aż tyle.
JWP Barycki + Agronom:
... a jeśli się nie zaszczepimy?
Prawo Kubusia:
A1: S=>~M = A2: ~S~>M
Stąd:
A2.
Jeśli się nie zaszczepicie to możecie ~> nie być mordercami
~S~>~M =1
LUB
B2'.
Jeśli się nie zaszczepicie to możecie ~~> być mordercami
~S~~>M =1
... no i jak teraz JWP Barycki i Agronomie?
Łyso wam?
AK przewiduje że jeśli się nie zaszczepicie to możecie ~~> zamordować jakiegoś staruszka.
Pytanie:
Macie ochotę być potencjalnymi mordercami?
TAK/NIE |
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 7:53, 22 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Dopieszczanie algebry Kubusia!
Przeczytałem kilka razy punkt 2.0 za każdym razem nanosząc poprawki.
Wersja końcowa:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-prapremiera,19257.html#604303
Algebra Kubusia
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Spis treści
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń 1
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach 2
2.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> 2
2.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach 2
2.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach 3
2.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach 4
2.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów 4
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach 5
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~> 5
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach 5
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach 6
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach 6
2.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń 6
2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym 6
2.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ## 7
2.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~> 7
2.3.3 Definicja tożsamości logicznej [=] 10
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~> 10
2.4.1 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” 12
2.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej? 13
2.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura 13
2.6 Definicje spójników implikacyjnych w pigułce 15
2.7 Prawo Kłapouchego 19
2.7.1 Prawo Kłapouchego determinujące implikację odwrotną CH|~>P 19
2.7.2 Prawo Kłapouchego determinujące implikację prostą P|=>CH 21
2.7.3 Matematyczny raj 5-cio latka 23
2.7.4 Prawo Kłapouchego a kot Schrödingera 26
2.8 Prawo Kameleona 28
2.0 Teoria rachunku zbiorów i zdarzeń
Rachunkiem zbiorów i rachunkiem zdarzeń rządzą identyczne prawa rachunku zero-jedynkowego.
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
2.1 Podstawowe spójniki implikacyjne w zbiorach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zbiorów p i q.
2.1.1 Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~>
Definicja elementu wspólnego ~~> zbiorów:
Jeśli p to q
p~~>q =p*q =1
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiory p i q mają co najmniej jeden element wspólny
Inaczej:
p~~>q= p*q= [] =0 - zbiory p i q są rozłączne, nie mają (=0) elementu wspólnego ~~>
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek elementu wspólnego zbiorów ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
W operacji iloczynu logicznego zbiorów p*q poszukujemy jednego wspólnego elementu, nie wyznaczamy kompletnego zbioru p*q.
Jeśli zbiory p i q mają element wspólny ~~> to z reguły błyskawicznie go znajdujemy:
p~~>q=p*q =1
co na mocy definicji kontrprzykładu (poznamy za chwilkę) wymusza fałszywość warunku wystarczającego =>:
p=>~q =0 (i odwrotnie)
Zauważmy jednak, że jeśli badane zbiory p i q są rozłączne i nieskończone to nie unikniemy iterowania po dowolnym ze zbiorów nieskończonych, czyli próby wyznaczenia kompletnego zbioru wynikowego p*q, co jest fizycznie niewykonalne.
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1
Istnieje (=1) wspólny element zbiorów P8=[8,16,24..] i P3=[3,6,9..24..] np. 24
2.1.2 Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach
Definicja podzbioru => w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie elementy zbioru p należą do zbioru q
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => jest (=1) spełniona
Inaczej:
p=>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja podzbioru => nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku wystarczającego => w zbiorach:
Jeśli p to q
p=>q =1
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
Inaczej:
p=>q =0
Zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku wystarczającego => nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
Innymi słowy:
Każda liczba podzielna przez 8 jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
2.1.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach
Definicja nadzbioru ~> w algebrze Kubusia:
Zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p zawiera co najmniej wszystkie elementy zbioru q
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> jest (=1) spełniona
Inaczej:
p~>q =0 - wtedy i tylko wtedy gdy relacja nadzbioru ~> nie jest (=0) spełniona
Definicja warunku koniecznego ~> w zbiorach:
Jeśli p to q
p~>q =1
Zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
Inaczej:
p~>q =0
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru q
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 2 to może ~> być podzielna przez 8
P2~>P8 =1
Podzielność dowolnej liczby przez 2 jest warunkiem koniecznym ~> dla jej podzielności przez 8 bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
Innymi słowy:
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) bo zbiór P2=[2,4,6,8..] jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru P8=[8,16,24..]
cnd
(dowód przez pokazanie)
2.1.4 Definicja kontrprzykładu w zbiorach
Definicja kontrprzykładu w zbiorach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane elementem wspólnym zbiorów p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1 (i odwrotnie)
2.1.5 Prawo Kobry dla zbiorów
Prawo Kobry dla zbiorów:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu elementem wspólnym zbiorów ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane elementem wspólnym zbiorów ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
Wyjątkiem jest tu zbiór pusty [] który jest podzbiorem => samego siebie:
Stąd mamy:
[]~~>[] = []*[] =[] =0
ALE!
[]=>[] =1
0=>0 =1
bo każdy zbiór jest podzbiorem => siebie samego, także zbiór pusty [].
Zbiór pusty jest zbiorem zewnętrznym w stosunku do dowolnego zbioru niepustego.
Wynika to z definicji Uniwersum i zbioru pustego [] w algebrze Kubusia (pkt. 1.2).
Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
2.2 Podstawowe spójniki implikacyjne w zdarzeniach
Cała logika matematyczna w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q” stoi na zaledwie trzech znaczkach (~~>, =>, ~>) definiujących wzajemne relacje zdarzeń p i q
2.2.1 Definicja zdarzenia możliwego ~~>
Definicja zdarzenia możliwego ~~>:
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q =p*q =1
Definicja zdarzenia możliwego ~~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q.
Inaczej:
p~~>q=p*q =[] =0
Decydujący w powyższej definicji jest znaczek zdarzenia możliwego ~~>, dlatego dopuszczalny jest zapis skrócony p~~>q.
Uwaga:
Na mocy definicji zdarzenia możliwego ~~> badamy możliwość zajścia jednego zdarzenia, nie analizujemy tu czy między p i q zachodzi warunek wystarczający => czy też konieczny ~>.
Przykład:
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~~> nie padać (~P)
CH~~>~P=CH*~P =1
Możliwe jest (=1) zdarzenie: są chmury (CH) i nie pada (~P)
2.2.2 Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach
Definicja warunku wystarczającego => w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p=>q =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p=>q =0
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p=>q = ~p+q
Przykład:
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona (=1) bo zawsze gdy pada, jest pochurno
2.2.3 Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach
Definicja warunku koniecznego ~> w zdarzeniach:
Jeśli zajdzie p to zajdzie q
p~>q =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> dla zajścia zdarzenia q
Inaczej:
p~>q =0
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
p~>q = p+~q
Przykład:
Jeśli juro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) konieczne ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki
Prawo Kubusia (poznamy za chwilkę):
Chmury (CH=1) są konieczne ~> dla padania (P), bo jak nie ma chmur (~CH) to na 100% => nie pada (~P).
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
2.2.4 Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
2.2.5 Prawo Kobry dla zdarzeń
Prawo Kobry dla zdarzeń:
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego „Jeśli p to q” jest jego prawdziwość przy kodowaniu zdarzeniem możliwym ~~>.
Innymi słowy:
Jeśli prawdziwe jest zdanie kodowane warunkiem wystarczającym => lub koniecznym ~> to na 100% prawdziwe jest to samo zdanie kodowane zdarzeniem możliwym ~~> (odwrotnie nie zachodzi)
2.3 Warunki wystarczający => i konieczny ~> w rachunku zero-jedynkowym
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
2.3.1 Definicja znaczka różne # i różne na mocy definicji ##
Definicję znaczka różne na mocy definicji poznamy na przykładzie definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~> które wyżej zapisaliśmy.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y=~p+q
Y=p+~q
Dowolną funkcję logiczną wolno nam dwustronnie negować:
Y=~p+q
~Y=~(~p+q) = p*~q
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej.
Zobaczmy to w tabeli prawdy:
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego => | Definicja warunku koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y = (p~>q) = p+~q
# #
~Y =~(p=>q) = p*~q ## ~Y =~(p~>q) = ~p*q
Uwagi:
Dowolna funkcję logiczną wolno nam tylko i wyłącznie dwustronnie negować
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
|
Doskonale widać, że definicje obu znaczków # i ## są w tabeli T1 perfekcyjnie spełnione.
cnd
2.3.2 Rachunek zero-jedynkowego warunków wystarczających => i koniecznych ~>
| Kod: |
T1
Definicja warunku wystarczającego =>
Y=
p q p=>q=~p+q
A: 1=>1 1
B: 1=>0 0
C: 0=>0 1
D: 0=>1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p=>q=0 <=> p=1 i q=0
Inaczej:
p=>q=1
Definicja warunku wystarczającego => w spójniku „lub”(+):
p=>q =~p+q
|
##
| Kod: |
T2
Definicja warunku koniecznego ~>
Y=
p q p~>q=p+~q
A: 1~>1 1
B: 1~>0 1
C: 0~>0 1
D: 0~>1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
p~>q=0 <=> p=0 i q=1
Inaczej:
p~>q=1
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniku „lub”(+):
p~>q = p+~q
|
##
| Kod: |
T3
Definicja spójnika “lub”(+)
Y=
p q p+q
A: 1+ 1 1
B: 1+ 0 1
C: 0+ 0 0
D: 0+ 1 1
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „lub”(+) w logice jedynek:
p+q=1 <=> p=1 lub q=1
inaczej:
p+q=0
Definicja spójnika „lub”(+) w logice zer:
p+q=0 <=> p=0 i q=0
Inaczej:
p+q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
##
| Kod: |
T4
Definicja spójnika “i”(*)
Y=
p q p*q
A: 1* 1 1
B: 1* 0 0
C: 0* 0 0
D: 0* 1 0
1 2 3
Do łatwego zapamiętania:
Definicja spójnika „i”(*) w logice jedynek:
p*q=1 <=> p=1 i q=1
inaczej:
p*q=0
Definicja spójnika „i”(*) w logice zer:
p*q=0 <=> p=0 lub q=0
Inaczej:
p*q=1
Przy wypełnianiu tabel zero-jedynkowych w rachunku zero-jedynkowym
nie ma znaczenia czy będziemy korzystali z logiki jedynek czy z logiki zer
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Wyprowadźmy w rachunku zero-jedynkowym matematyczne związki między warunkami wystarczającym => i koniecznym ~>
| Kod: |
Tabela A
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p=>q ~p~>~q [=] q~>p ~q=>~p [=] p=>q=~p+q # ~(p=>q)=p*~q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
1 2 3 4 5 6
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
|
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku wystarczającego => z koniecznego ~>:
A: 1: p=>q = 2: ~p~>~q [=] 3: q~>p = 4: ~q=>~p [=] 5: ~p+q
##
| Kod: |
Tabela B
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>
w rachunku zero-jedynkowym
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
p q ~p ~q p~>q ~p=>~q [=] q=>p ~q~>~p [=] p~>q=p+~q # ~(p~>q)=~p*q
A: 1 1 0 0 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
B: 1 0 0 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
C: 0 0 1 1 =1 =1 =1 =1 =1 # =0
D: 0 1 1 0 =0 =0 =0 =0 =0 # =1
1 2 3 4 5
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony |
Z tożsamości kolumn wynikowych odczytujemy.
Matematyczne związki warunku koniecznego ~> i wystarczającego =>:
B: 1: p~>q = 2: ~p=>~q [=] 3: q=>p = 4: ~q~>~p [=] 5: p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Y = (p=>q) = ~p+q ## Y=(p~>q) =p+~q
Znaczki „=” i [=] to tożsamości logiczne (zapisy tożsame).
2.3.3 Definicja tożsamości logicznej [=]
Prawo Kubusia:
A1: p=>q = A2:~p~>~q
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Innymi słowy:
Udowodnienie iż w zdaniu A1 spełniony jest warunek wystarczający =>:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
jest tożsame z udowodnieniem iż w zdaniu A2 spełniony jest warunek konieczny ~>:
A2: ~p~>~q =1 - zajście ~p jest konieczne ~> dla zajścia ~q
(albo odwrotnie)
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
P=>CH=1
Padanie (P) jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno (CH), bo zawsze gdy pada (P), jest pochmurno (CH)
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawdziwość zdania A1 wymusza prawdziwość zdania A2, z czego wynika, że prawdziwości zdania A2 nie musimy dowodzić.
A2.
Jeśli jutro nie będzie padało (~P) to może ~> nie być pochmurno (~CH)
~P~>~CH =1
Brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> do tego aby nie było pochmurno (~CH), bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
A2: ~P~>~CH = A1: P=>CH
2.4 Matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>
Definicja warunku wystarczającego => dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
A1: p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> dla potrzeb rachunku zero-jedynkowego:
B1: p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Na mocy rachunku zero-jedynkowego mamy matematyczne związki warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
T0
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q # p*~q
## ## ## ## ## ##
Y= Y= Y= Y= Y= # ~Y=
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q # ~p*q
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Na mocy powyższego zapisujemy:
1.
Prawa Kubusia:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
##
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Ogólne prawo Kubusia:
Negujemy zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
2.
Prawa Tygryska:
A1: p=>q = A3: q~>p
##
B1: p~>q = B3: q=>p
Ogólne prawo Tygryska:
Zamieniamy miejscami zmienne i wymieniamy spójniki na przeciwne
3.
Prawa kontrapozycji:
A1: p=>q = A4: ~q=>~p - prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
##
B1: p~>q = B4: ~q~>~p - prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>
Ogólne prawo kontrapozycji:
Negujemy zmienne zamieniając je miejscami bez zmiany spójnika logicznego
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Mutacje powyższych praw logiki matematycznej:
Pod p i q w powyższych prawach możemy podstawiać zanegowane zmienne w dowolnych konfiguracjach.
Przykład:
Prawo Kubusia:
p=>q = ~p~>~q
1.
Podstawiamy:
p:=~p - pod p podstaw := ~p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>~q = ~(~p)~>~(~q) = p~>q
2.
Podstawiamy:
p:=p
q:=~q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
p=>~q = ~p~>~(~q) = ~p~>q
3.
Podstawiamy:
p:=~p
q:=q
stąd mamy także poprawne prawo Kubusia:
~p=>q = ~(~p)~>~q = p~>~q
2.4.1 Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
2.5 Skąd biorą się prawa logiki matematycznej?
Wszelkie prawa logiki matematycznej wyznacza świat martwy (w tym matematyka).
Świat żywy nie nadaje się do wyznaczania praw logiki matematycznej ze względu na definicję „wolnej woli” którą ma każda istota żywa, człowiek nie jest tu wyjątkiem.
Definicja „wolnej woli” istot żywych:
„Wolna wola” istot żywych to możliwość gwałcenia wszelkich praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy i matematykę.
Dokładnie z powyższego powodu o logice matematycznej możemy dyskutować pewnie i niezawodnie wyłącznie na gruncie świata martwego i matematyki.
Związek praw logiki matematycznej wyznaczanej przez świat martwy i matematykę ze światem żywym poznamy w końcowej części podręcznika - obsługa obietnic i gróźb.
2.5.1 Prawo Kangurka i prawo Kangura
Prawo Kangurka:
W języku potocznym wszelkie przeczenia występujące w zdaniu muszą być uwzględnione w zapisie aktualnym np. {CH,~CH}
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
I Prawo Prosiaczka:
(p=1)=(~p=0)
Dla naszego przykładu mamy tożsamość zdań 1 i 1’:
1: (CH=1) = 1’: (~CH=0)
1: CH=1 - prawdą jest (=1), iż jest pochmurno (CH)
1’: ~CH=0 - fałszem jest (=0) iż nie jest pochmurno (~CH)
II Prawo Prosiaczka:
(~p=1)=(p=0)
Podobnie dla naszego przykładu zachodzi tożsamość zdań 2 i 2’:
2: (~CH=1) = 2’: (CH=0)
2: ~CH=1 - prawdą jest (=1), iż nie jest pochmurno (~CH)
2’: CH=0 - fałszem jest (=0), iż jest pochmurno (CH)
Uwaga:
Jedynki są w logice matematycznej domyślne, stąd zdania 1 i 2 można zapisać krótko w następujący sposób:
1: CH - jest pochmurno
2: ~CH - nie jest pochmurno
Doskonale widać, że mamy teraz pełną zgodność z językiem potocznym, gdzie nikt nie operuje jedynkami - bo te są domyślne.
Przykład zapisu zdania w algebrze Kubusia:
B2.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH=1) to na 100% => nie będzie padać (~P=1)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH=1) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P=1), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH=1), nie pada (~P=1)
Zapis tożsamy powyższego zdania w języku potocznym:
B2’.
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
~CH=>~P=1
Brak chmur (~CH) jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla nie padania (~P), bo zawsze gdy nie ma chmur (~CH), nie pada (~P)
Zachodzi tożsamość słownych zapisów matematycznych (tożsamość zdań):
B2: ~CH=>~P = B2’: ~CH=>~P
W niniejszym podręczniku będziemy dość konsekwentnie stosować zapis słowny B2, by odzwyczaić ziemskich matematyków od badziewia zwanego Klasycznym Rachunkiem Zdań, gdzie w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q są stałymi binarnymi (zdaniami twierdzącymi) o znanej z góry wartości logicznej.
W algebrze Kubusia w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” poprzednik p i następnik q to zmienne binarne o nieznanej z góry wartości logicznej.
Małe, a robi fundamentalną różnicę.
Uwaga:
W algebrze Kubusia w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q” zarówno poprzednik p jak i następnik q mogą być dowolnie złożonymi funkcjami logicznymi.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y):
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc
Uwaga:
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie negować o czym ziemianie, niestety nie wiedzą
Dowód:
W żadnym podręczniku matematyki nie znajdziemy dwustronnej negacji funkcji logicznej
Podsumowując:
Algebra Kubusia to fundamentalnie co innego niż badziewie zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Prawo Kangura:
W algebrze Kubusia wszelkie przeczenia występujące w zmiennych aktualnych np. {~CH} muszą być przeniesione do zapisu formalnego np. {~p}
Przykład:
1: p = CH (chmury) - funkcja logiczna p w logice dodatniej (bo p)
Negując dwustronnie powyższą funkcję logiczną mamy:
2: ~p=~CH (nie chmury) - funkcja logiczna ~p w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że między 1 i 2 zachodzi definicja znaczka #:
1: p=CH # 2: ~p=~CH
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
p - funkcja logiczna w logice dodatniej (bo p)
~p - funkcja logiczna w logice ujemnej (bo ~p)
Zauważmy, że teoretycznie możemy sobie podstawić:
s=~p
i zapisać tak:
1: p=CH # 2: s=~CH
Znając podstawienie powyższy zapis też jest poprawny, tyle że kłania się brzytwa Ockhama.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Wikipedia napisał: |
Brzytwa Ockhama (nazywana także zasadą ekonomii myślenia) – zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń. Tradycyjnie wiązana jest z nazwiskiem Williama Ockhama.
|
2.6 Definicje spójników implikacyjnych w pigułce
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja spójnika implikacyjnego p|?q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dająca odpowiedź na pytanie o p
W logice matematycznej rozróżniamy pięć podstawowych spójników implikacyjnych dających odpowiedź na pytanie o p:
1.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) jest wystarczające => dla zajścia q (A1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Przykład:
A1: P=>CH =1 - padanie jest wystarczające => dla chmur, bo zawsze gdy pada są chmury
B1: P~>CH =0 - padanie nie jest konieczne ~> dla chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: p~>CH) = 1*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (A1) i jednocześnie padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (B1)
2.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) =~(0)*1 =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q (A1)
Przykład:
A1: CH=>P =0 - chmury nie są wystarczające => dla padania , bo nie zawsze gdy są chmury, pada
B1: CH~>P =1 - chmury są konieczne ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury
CH|~>P = ~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) =~(0)*1=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Chmury są (=1) konieczne ~> dla padania (B1) i jednocześnie chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania (A1)
3.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => (A1) dla zajścia q
Innymi słowy w skrócie:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Przykład:
Równoważność Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
Trójkąt jest prostokątny (TP) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Bycie trójkątem prostokątnym (TP) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => do tego, aby zachodziła suma kwadratów (SK)
TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Tą wersję równoważności zna absolutnie każdy ziemski matematyk.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
wyników: 7 170
„potrzeba i wystarcza”
wyników: 192 000!
cnd
4.
Spójnik implikacyjny „albo”($):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p albo($) q
Prawą stronę czytamy:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Zajście p jest (=1) konieczne dla zajścia ~q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Innymi słowy w skrócie:
Zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Doskonale widać, że spójnik implikacyjny „albo”($) to szczególny przypadek równoważności:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Stąd:
p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Do tego aby być mężczyzną (M) potrzeba ~> i wystarcza => że nie jest się kobietą (~K)
Prawa strona definiuje nam równoważność:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
stąd mamy tożsamość logiczną:
M$K = M<=>~K
Prawą stronę czytamy:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)
5.
Spójnik implikacyjny chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =~(0)*~(0)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Innymi słowy w skrócie:
Zajęcie p nie jest (=0) ani konieczne ~>, ani wystarczające => dla zajścia q
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> być podzielna przez 3 (P3)
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Poprzednik definiuje nam zbiór P8:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Następnik definiuje nam zbiór P3:
P3=[3,6,9..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Badamy czy spełniony jest warunek wystarczający => miedzy P8 i P3 w kierunku od P8 do P3:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) wystarczająca => dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest podzbiorem => zbioru P3=[3,6,9..]
cnd
Badamy czy spełniony jest warunek konieczny ~> miedzy tymi samymi P8 i P3 w tym samym kierunku:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~>P3 =0
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) konieczna ~> dla jej podzielności przez 3 bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest nadzbiorem ~> zbioru P3=[3,6,9..]
cnd
Stąd mamy dowód, iż zdania A1 i B1 tworzą definicję spójnika chaosu p|~~>q:
A1: P8=>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) podzbiorem => P3=[3,6,9..]
B1: P8~>P3 =0 - bo zbiór P8=[8,16,24..] nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3=[3,6,9..]
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) =~(0)*~(0) =1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Podzielność dowolnej liczby przez 8 nie jest (=0) ani warunkiem koniecznym ~> (B1), ani też warunkiem wystarczającym => (A1) dla jej podzielności przez 3
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3)
Wszystkie definicje spójników implikacyjnych opisane są zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” ze spełnionymi lub niespełnionymi warunkami wystarczającymi => i koniecznymi ~>, tak jak to zrobiliśmy w przypadku chaosu p|~~>q.
2.7 Prawo Kłapouchego
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
O co chodzi w prawie Kłapouchego?
2.7.1 Prawo Kłapouchego determinujące implikację odwrotną CH|~>P
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Rozważmy zdanie startowe:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
B1: CH~>P =1
Chmury (CH) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P), bo padać może wyłącznie z chmurki
cnd
Na mocy praw Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p = CH (chmury)
q = P (pada)
Stąd zdanie B1 w zapisie formalnym:
B1: p~>q =1
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie B1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość tego zdania kodowanego warunkiem wystarczającym =>
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to na 100% => będzie padać (P)
A1: CH=>P =0
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =0
Chmury nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania, bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Podstawmy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
IO:
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q =~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p= CH(chmury)
q= P(pada)
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym {CH, P}
A1: CH=>P =0 - chmury nie są (=0) wystarczające => dla padania
B1: CH~>P =1 - chmury są (=1) konieczne ~> dla padania
A1B1: CH|~>P =~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P=~(0)*1=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P =0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
## ## | ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P =1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego =>
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)
stąd mamy:
p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q) = (p*~q)*(p+~q) = p*~q
p|~>q = p*~q
Kolumna A3B3:
Definicja implikacji prostej q|=>p:
q|=>p = ~(A3: q~>p)*(B3: q=>p) = ~(q+~p)*(~q+p) = (~q*p)*(~q+p) = ~q*p = p*~q
Stąd mamy:
p|~>q = q|=>p = p*~q
Nasz punkt odniesienia na w implikacji odwrotnej to:
p =CH (chmury)
q =P (pada)
stąd mamy:
CH|~>P = P|=>CH = CH*~P = ~P*CH
Podsumowanie:
| Kod: |
IO - Implikacja odwrotna p|~>q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p =CH(chmury)
q =P(pada)
Implikacja odwrotna p|~>q w zapisie formalnym {p, q}:
p|~>q = q|=>p = p*~q
Implikacja odwrotna CH|~>P w zapisie aktualnym {CH, P}
CH|~>P = P|=>CH = ~P*CH
Seria zdań wchodząca w skład implikacji odwrotnej w zapisie aktualnym to:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P [=] B3: P=>CH = B4:~P~>~CH =1
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
B1: p~>q = B2:~p~>~q [=] B3: q=>p = B4:~q~>~p
Seria zdań w zapisie aktualnym to matematyczny raj 5-cio latka bo:
Prawo Kubusia:
B1: CH~>P = B2:~CH=>~P
Prawo Tygryska:
B1: CH~>P = B3: P=>CH
Prawo Kubusia:
B3: P=>CH = B4: ~P~>~CH
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
B3: P=>CH = B2:~CH=>~P
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
B1: CH~>P = B4:~P~>~CH
Wszystkie te prawa Jaś (lat 5) zna perfekcyjnie nie mając pojęcia
o prawie Kłapouchego, czyli nie mając pojęcie iż zdania te należą
do implikacji odwrotnej p|~>q różnej na mocy definicji ##
od implikacji prostej p|=>q
p|~>q = q|=>p = p*~q ## p|=>q = q|~>p = ~p*q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej (patrz punkt 2.3.1)
|
2.7.2 Prawo Kłapouchego determinujące implikację prostą P|=>CH
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Rozważmy zdanie startowe:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury.
cnd
Na mocy praw Kłapouchego nasz punkt odniesienia to:
p = P (pada)
q = CH (chmury)
Stąd zdanie A1 w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Aby rozstrzygnąć w skład jakiego spójnika implikacyjnego wchodzi zdanie A1 musimy zbadać prawdziwość/fałszywość tego zdania kodowanego warunkiem koniecznym ~>
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
B1: P~>CH =0
Padanie nie jest (=0) warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
cnd
Podstawmy to do matematycznych związków warunków wystarczających => i koniecznych ~>.
| Kod: |
IP:
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q =(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p =P(pada)
q =CH(chmury)
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym {P, CH}:
A1: P=>CH=1 - padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur
B1: P~>CH=0 - padanie nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur
A1B1: P|=>CH=(A1: p=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja warunku wystarczającego =>
p=>q = ~p+q
Definicja warunku koniecznego ~>
p~>q = p+~q
Stąd mamy:
Kolumna A1B1:
Definicja implikacji prostej p|=>q:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)
stąd mamy:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q) = (~p+q)*(~p*q) = ~p*q
p|=>q = ~p*q
Kolumna A3B3:
Definicja implikacji odwrotnej q|~>p:
q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) = (q+~p)*~(~q+p) = (q+~p)*(q*~p) = q*~p = ~p*q
Stąd mamy:
p|=>q = q|~>p = ~p*q
Nasz punkt odniesienia na w implikacji prostej p|=>q to:
p =P(pada)
q =CH(chmury)
stąd mamy:
P|=>CH = CH|~>P = ~P*CH
Podsumowanie:
| Kod: |
IP - Implikacja prosta p|=>q
Punkt odniesienia na mocy prawa Kłapouchego:
p =P(pada)
q =CH(chmury)
Implikacja prosta p|=>q w zapisie formalnym {p, q}:
p|=>q = q|~>p = ~p*q
Implikacja prosta P|=>CH w zapisie aktualnym {P, CH}
P|=>CH = CH|~>P = ~P*CH
Seria zdań wchodząca w skład implikacji prostej w zapisie aktualnym to:
A1: P=>CH = A2:~P~>~CH [=] A3: CH~>P = A4: ~CH=>~P
To samo w zapisie formalnym na mocy prawa Kłapouchego:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q [=] A3: q~>p = A4: ~q=>~p
Seria zdań w zapisie aktualnym to matematyczny raj 5-cio latka bo:
Prawo Kubusia:
A1: P=>CH = A2: ~P~>~CH
Prawo Tygryska:
A1: P=>CH = A3: CH~>P
Prawo Kubusia:
A3: CH~>P = A4:~CH=>~P
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: P=>CH = A4:~CH=>~P
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A3: CH~>P = A2:~P~>~CH
Wszystkie te prawa Jaś (lat 5) zna perfekcyjnie nie mając pojęcia
o prawie Kłapouchego, czyli nie mając pojęcie iż zdania te należą
do implikacji prostej p|=>q różnej na mocy definicji ##
od implikacji odwrotnej p|~>q
p|=>q = q|~>p = ~p*q ## p|~>q = q|=>p = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej (punkt 2.3.1)
|
2.7.3 Matematyczny raj 5-cio latka
Każdy 5-cio latek perfekcyjnie zna logikę matematyczną, algebrę Kubusia bo po prostu pod nią podlega, ale nie jest świadom zapisów formalnych zdań którymi się posługuje matematyka ścisła, algebra Kubusia. Zdania w zapisach aktualnych 5-cio latek rozumie perfekcyjnie stosując do nich (nie będąc tego świadomym) podstawowe prawa logiki matematycznej.
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Zauważmy, że omówione wyżej zapisy aktualne serii zdań warunkowych „Jeśli p to q” wchodzących w skład implikacji prostej p|=>q i implikacji odwrotnej p|~>q są identyczne:
| Kod: |
Raj 5-cio latka, czyli zdania w zapisach aktualnych.
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
|
O tym czy będziemy mieli do czynienia z implikacją odwrotną p|~>q czy też z różną na mocy definicji ## implikacją prostą p|=>q decyduje punkt odniesienia wyznaczany przez prawo Kłapouchego.
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Matematyka ścisła w zapisach formalnych {p, q} np. prawo Kłapouchego interesuje 5-cio latka tyle co zeszłoroczny śnieg. 5-cio latek ma do dyspozycji wyłącznie zdania 1,2,3,4 w zapisach aktualnych do których perfekcyjnie stosuje prawa Logiki matematycznej zapisane w tabeli T0 nie będąc tego świadomym.
Dowód:
| Kod: |
Matematyczny Raj 5-cio latka:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Prawa logiki matematycznej w Raju:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH
[=]
Prawo Tygryska:
1: P=>CH = 3: CH~>P
[=]
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
1: P=>CH = 4: ~CH=>~P
[=]
Prawo kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
3: CH~>P = 2: ~P~>~CH
|
Zarówno treść zdań w Raju 5-cio latka, jak i wszystkie prawa logiki matematycznej są doskonale znane każdemu 5-cio latkowi, mimo że nie jest tego świadom.
Aby to udowodnić udajmy się do przedszkola
Pani:
3.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH) to może ~> padać (P)
3: CH~>P =1
Jasiu, czy chmury są konieczne ~> by padało?
Jaś (lat 5):
Tak, bo padać może wyłącznie z chmurki
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie pochmurno to może padać czy może nie padać?
Jaś:
Prawo Kubusia:
3: CH~>P = 4:~CH=>~P
Jaś:
4:
Jeśli jutro nie będzie pochmurno (~CH) to na 100% => nie będzie padać (~P)
4: ~CH=>~P =1
Pani:
Czy brak chmur (~CH) daje nam gwarancję => nie padania (~P)?
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy nie ma chmur, to nie pada
Pani:
Prawo kontrapozycji:
4: ~CH=>~P = 1: P=>CH
Pani:
Jasiu, jeśli jutro będzie padało to może być pochmurno lub może nie być pochmurno?
Jaś:
1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100%=> będzie pochmurno (CH)
1: P=>CH =1
Pani:
Jasiu czy padanie jest warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur (CH)
Jaś:
Tak, bo zawsze gdy pada, są chmury
Pani:
Jasiu, czy padanie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur?
Jaś:
Padanie nie jest warunkiem koniecznym ~> dla istnienia chmur bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Pani:
Jasiu, a jeśli jutro nie będzie padało?
Jaś:
Prawo Kubusia:
1: P=>CH = 2: ~P~>~CH
2.
Jeśli jutro nie będzie padało to może ~> nie być pochmurno
2: ~P~>~CH =1
Pani:
Czy brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH)?
Jaś:
Tak, brak opadów (~P) jest warunkiem koniecznym ~> by nie było pochmurno (~CH) bo jak pada (P) to na 100% => są chmury (CH)
Podsumowanie:
Jak widzimy w ostatnim zdaniu prawo Kubusia samo Jasiowi wyskoczyło, mimo że nie jest tego świadom.
Prawo Kubusia:
2: ~P~>~CH = 1: P=>CH
2.7.4 Prawo Kłapouchego a kot Schrödingera
Zapiszmy wyprowadzone wyżej tabele prawdy implikacji prostej p|=>q i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q jedna pod drugą, by lepiej się im przyjrzeć.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A: 1: P=>CH =1 = 2:~P~>~CH=1 [=] 3: CH~>P =1 = 4:~CH=>~P =1
## ## | ## ##
B: 1: p~>q =0 = 2:~p=>~q =0 [=] 3: q=>p =0 = 4:~q~>~p =0
B: 1: P~>CH =0 = 2:~P=>~CH=0 [=] 3: CH=>P =0 = 4:~CH~>~P =0
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|=>q = A3B3: q|~>p =~p*q
Zapis aktualny:
A1B1: P|=>CH = A3B3: CH|~>P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
##
| Kod: |
IO:
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q =0 = 2:~p~>~q =0 [=] 3: q~>p =0 = 4:~q=>~p =0
A: 1: CH=>P =0 = 2:~CH~>~P =0 [=] 3: P~>CH =0 = 4:~P=>~CH =0
## ## | ## ##
B: 1: p~> q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B: 1: CH~>P =1 = 2:~CH=>~P =1 [=] 3: P=>CH =1 = 4:~P~>~CH =1
Gdzie:
Zapis formalny:
A1B1: p|~>q = A3B3: q|=>p = p*~q
Zapis aktualny:
A1B1: CH|~>P = A3B3: P|=>CH = CH*~P = ~P*CH
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
Zauważmy, że między tabelami prawdy spójników implikacyjnych IP i IO w zapisach formalnych definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest perfekcyjnie spełniona, natomiast w zapisach aktualnych NIE!
Dowód:
| Kod: |
T1
IP | IO
Implikacja prosta p|=>q: | Implikacja odwrotna p|~>q
1: Y = (p|=>q) = ~p*q ## Y = (p|~>q) = p*~q
2: Y = (P|=>CH)= ~P*CH ## Y = (CH|~>P)= CH*~P = ~P*CH
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
p=P (pada) | p=CH (chmury)
q=CH (chmury) | q=P (pada)
# #
3: ~Y = ~(p|=>q) = p+~q ## ~Y = ~(p|~>q) = ~p+q
4: ~Y = ~(P|=>CH)= P+~CH ## ~Y = ~(CH~>P) = ~CH+P = P+~CH
Punkt odniesienia: | Punkt odniesienia:
p=P (pada) | p=CH (chmury)
q=CH (chmury) | q=P (pada)
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych IP: p|=>q oraz IO: p|~>q
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ##:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem # drugiej
Doskonale widać, że:
1.
Linie 1 i 3:
W zapisach formalnych {p, q} obie definicje znaczków # i ## są perfekcyjnie spełnione.
2.
Linie 2 i 4:
W zapisach aktualnych {P, CH} spełniona jest definicja znaczka różne # ale definicja znaczka różne na mocy definicji ## leży i kwiczy, nie jest spełniona.
Dlaczego definicja znaczka różne na mocy definicji ## w zapisach aktualnych nie jest spełniona?
Przyczyną tego faktu jest patrzenie na obiekt fizyczny z różnych punktów odniesienia.
Zauważmy, że w implikacji prostej IP: p|=>q punkt odniesienia to:
p|=>q = P|=>CH = ~p*q
p=P (pada)
q = CH (chmury)
P|=>CH = ~P*CH
Natomiast w implikacji odwrotnej IO: p|~>q punkt odniesienia to:
p|~>q = CH|~>P = p*~q
p=CH (chmury)
q=P (pada)
CH|~>P = CH*~P = ~P*CH
Mamy tu sytuację identyczną jak z kotem Schrödingera, dopóki nie otworzymy drzwiczek do pudełka w którym kot został umieszczony to nie wiemy, czy kot jest żywy czy martwy.
Analogicznie:
| Kod: |
Matematyczny Raj 5-cio latka:
1: P=>CH = 2:~P~>~CH [=] 3: CH~>P = 4:~CH=>~P
|
Dopóki nie zastosujemy prawa Kłapouchego to nie wiemy:
Czy dane zdanie 1,2,3 albo 4 w zapisie aktualnym {P, CH} należy do implikacji prostej:
p|=>q = ~p*q
##
czy też do implikacji odwrotnej p|~>q:
p|~>q = p*~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych p|=>q i p|~>q
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Wniosek:
Prawo Kłapouchego wymusza na wszystkich matematykach identyczny punkt odniesienia i poprzez analogię jest tożsame z otwarciem drzwiczek do pudełka z kotem Schrödingera.
Innymi słowy:
A.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A: P=>CH =1
Padanie jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla istnienia chmur, bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
Przed zastosowaniem prawa Kłapouchego jeśli spytamy matematyka czy powyższe zdanie 1: P=>CH wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q czy też w skład różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q matematyk ów musi odpowiedzieć:
NIE WIEM!
.. dopóki nie zastosuje prawa Kłapouchego.
Oczywiście nie jest prawdą, jak twierdzą ziemscy matematycy, że przed otwarciem drzwiczek kot Schrödingera może być jednocześnie żywy i martwy.
W analogi do prawa Kłapouchego przed zastosowaniem tego prawa po prostu nie wiemy czy przykładowe zdanie 1: P=>CH należy do implikacji prostej p|=>q czy też do różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q.
Nie wolno nam twierdzić, że zdanie 1: P=>CH może kiedykolwiek należeć (stan drzwiczek jest tu nieistotny) równocześnie do implikacji prostej p|=>q i różnej na mocy definicji ## implikacji odwrotnej p|~>q, bo to jest fizycznie niemożliwe.
2.8 Prawo Kameleona
Zapiszmy zdania A1 i B1 z punktu 2.7.2:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% => będzie pochmurno (CH)
A1: P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym:
A1: p=>q =1
Padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur bo zawsze gdy pada, są chmury
cnd
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH)
B1: P~>CH =0
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q =0
Padanie (P) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur, bo może nie padać, a chmury mogą istnieć
cnd
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Dowód poprawności znaczka różne na mocy definicji ## na przykładzie warunku wystarczającego => i koniecznego ~> znajdziemy w punkcie 2.3.1.
Zauważmy, że:
Zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są to zdania różne na mocy definicji ##.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 8:18, 26 Lip 2021 Temat postu: |
|
|
Dopieszczanie algebry Kubusia!
Starą wersję punktu 3.0 zamieściłem tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/porzucone-wersje-bata-algebry-kubusia,17539.html#609579
po to by czytelnik mógł się przekonać iż AK jest tworzona na żywo.
Stara wersja nie jest zła, ale nowa jest o niebo lepsza - dużo udoskonaleń (doprecyzowań) i wyrzucenie ataku na gówno zwane KRZ do wstępu.
Już niedługo nawet matematycy zapomną że kiedyś istniało szambo zwane KRZ, tak więc umieszczanie tego w podręczniku algebry Kubusia mijało się z celem.
Podsumowując:
Pierwsze trzy rozdziały w algebrze Kubusia tzn. punkty 1.0, 2.0 i 3.0 to zdecydowania najważniejsza część algebry Kubusia którą oficjalnie uznaję za "dopieszczoną na maxa"
27.07.2021
... chociaż:
Każdy duży program komputerowy np. WIN10 można udoskonalać w nieskończoność - już mamy monity o nadchodzącym WIN11.
W AK chodzi już tylko o formę przekazu by była zrozumiała dla jak największej liczby czytelników, bo matematycznie rozszyfrowana jest w 100%.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-prapremiera,19257.html#605399
Algebra Kubusia
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych
Spis treści
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych 1
3.0.1 Spójniki implikacyjne 2
3.1 Implikacja prosta p|=>q 5
3.1.1 Prawo Kameleona 6
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q 7
3.3 Równoważność p<=>q 9
3.4 Spójnik „albo” p$q 12
3.5 Chaos p|~~>q 14
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego 16
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek? 19
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian 20
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 23
3.7 Prawo Puchacza 24
3.0 Definicje podstawowe spójników implikacyjnych
Fundamentem jedynej poprawnej logiki matematycznej, algebry Kubusia, są zdania warunkowe „Jeśli p to q” gdzie między p i q występuje ścisły związek matematyczny w postaci:
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
3.0.1 Spójniki implikacyjne
Definicja spójnika implikacyjnego:
Spójnik implikacyjny to seria zdań warunkowych „Jeśli p to q” związana z wybraną kolumną w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Definicja spójnika implikacyjnego p|?q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik implikacyjny p|?q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 w tabeli matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> dająca odpowiedź na pytanie o p
„Co się stanie jeśli zajdzie p?”
Rozróżniamy 5 spójników implikacyjnych p|?q różnych na mocy definicji ##:
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Czytamy:
Implikacji prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> (B1) dla zajścia q
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|=>q =~p*q
##
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|~>q = p*~q
##
TR
Równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p<=>q = p*q+~p*~q
##
TA
Definicja spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego następnika q (~q).
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (A1)
To samo w skrócie:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Definicja spójnika „albo”($) p$q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p$q = p*~q+~p*q
##
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Kolumna A1B1:
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).
Definicja chaosu p|~~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Definicja chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|~~>q =0
Gdzie:
## - różne na mocy definicji funkcji logicznej Y zdefiniowanej jak wyżej.
3.1 Implikacja prosta p|=>q
IP
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
Czytamy:
Implikacji prosta p|=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> (B1) dla zajścia q
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji prostej IP.
| Kod: |
IP:
Tabela prawdy implikacji prostej p|=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0) =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = (~p+q)*~(p+~q)=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
Definicja implikacji prostej p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|=>q =~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p|=>q = A2B2: ~p|~>~q = A3B3: q|~>p = A4B4: ~q|=>~p = ~p*q
Gdzie:
A2B2: ~p|~>~q = (A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =~p*q
A3B3: q|~>p = (A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =~p*q
A4B4: ~q|=>~p=(A4: ~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Najprostszy dowód tożsamości powyższych kolumn wynika z praw logiki matematycznej zapisanych w tabeli T0: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji prostej A1B1: p|=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IP
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy implikacji prostej p|=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Przykład:
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury.
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 z wymienionym znaczkiem z => na ~>:
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej P|=>CH w logice dodatniej (bo CH):
A1B1: P|=>CH = (A1: P=>CH)*~(B1: P~>CH)=1*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Implikacja prosta P|=>CH jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy padanie jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (B1).
3.1.1 Prawo Kameleona
Zapiszmy jeszcze raz zdania A1 i B1 wypowiedziane wyżej.
A1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% => będzie pochmurno (CH=1)
P=>CH =1
Padanie (P=1) jest (=1) wystarczające => dla istnienia chmur (CH=1), bo zawsze gdy pada, są chmury.
##
B1.
Jeśli jutro będzie padało (P=1) to na 100% ~> będzie pochmurno (CH=1)
P~>CH =0
Padanie (P=1) nie jest (=0) konieczne ~> dla istnienia chmur (CH=1), bo może nie padać, a chmury mogą istnieć.
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Zauważmy, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to, zdania te nie są matematycznie tożsame.
Stąd mamy wyprowadzone prawo Kameleona.
Prawo Kameleona
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => (A1) i koniecznego ~> (B1) wbudowanych w treść zdań.
Dowód iż warunek wystarczający p=>q = P=>CH jest różny na mocy definicji ## od warunku koniecznego p~>q = P~>CH znajdziemy w punkcie 2.3.1
3.2 Implikacja odwrotna p|~>q
IO
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna p|~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1)
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy implikacji odwrotnej IO.
| Kod: |
IO
Tabela prawdy implikacji odwrotnej p|~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~>q=~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(~p+q)*(p+~q)=(p*~q)*(p+~q)=p*~q
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|~>q = p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p|~>q = A2B2: ~p|=>~q = A3B3: q|=>p = A4B4: ~q|~>~p = p*~q
Gdzie:
A2B2: ~p|=>~q = ~(A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) =p*~q
A3B3: q|=>p = ~(A3: q~>p)*(B3: q=>p) =p*~q
A4B4: ~q|~>~p=~(A4: ~q=>~p)*(B4:~q~>~p) =p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Najprostszy dowód tożsamości powyższych kolumn wynika z praw logiki matematycznej zapisanych w tabeli T0: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.
Prawo Sowy:
Prawdziwość implikacji odwrotnej A1B1: p|~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli IO
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy implikacji odwrotnej p|~>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx i fałszywość dowolnego zdania serii Ax.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Przykład:
B1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to może ~> padać (P=1)
CH~>P =1
Chmury są warunkiem koniecznym ~> dla padania, bo padać może wyłącznie z chmury.
Innymi słowy:
Chmury (CH=1) są (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (P=1), bo jak nie ma chmur (~CH=1) to na 100% => nie pada (~P=1)
Zauważmy, że prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: P~>CH = B2: ~P=>~CH
Zdanie B2 jest oczywiście prawdziwe z czego wynika prawdziwość zdania B1
cnd
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania B1 z wymienionym znaczkiem ~> na =>:
A1.
Jeśli jutro będzie pochmurno (CH=1) to na 100% => będzie padać (P=1)
CH=>P =0
Chmury (CH=1) nie są (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (P=1), bo nie zawsze gdy są chmury, pada
cnd
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji odwrotnej CH|~>P w logice dodatniej (bo P):
A1B1: CH|~>P=~(A1: CH=>P)*(B1: CH~>P) = ~(0)*1=1*1=1
Czytamy:
Implikacja odwrotna CH|~>P jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy istnienie chmur jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla padania (B1) i nie jest (=0) warunkiem wystarczającym => dla padania (A1)
3.3 Równoważność p<=>q
TR
Równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Czytamy:
Równoważność p<=>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Lewą stronę czytamy:
p zajdzie wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Zdanie tożsame:
Zajście p jest (=1) potrzebne ~> (B1) i wystarczające ~> (A1) dla zajścia q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Ostatnia definicja jest powszechnie znana wszystkim ziemianom, nie tylko matematykom:
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 16 100
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 174 000
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy równoważności TR.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =1 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =1 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = (~p+q)*(p+~q)= ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q+~p*~q
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p<=>q = p*q+~p*~q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p<=>q = A2B2: ~p<=>~q = A3B3: q<=>p = A4B4: ~q<=>~p = p*q+~p*~q
Gdzie:
A2B2: ~p<=>~q = (A2: ~p~>~q)*(B2:~p=>~q) = p*q + ~p*~q
A3B3: q<=>p = (A3: q~>p)*(B3: q=>p) = p*q + ~p*~q
A4B4: ~q<=>~p=(A4: ~q=>~p)*(B4:~q~>~p) = p*q + ~p*~q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Najprostszy dowód tożsamości powyższych kolumn wynika z praw logiki matematycznej zapisanych w tabeli T0: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.
Prawo Sowy:
Prawdziwość równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TR
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy równoważności p<=>q potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości w zbiorach:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Prawo Kłapouchego (definiujące punkt odniesienia):
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” od którego zaczynamy analizę matematyczną ustala nam formalny punkt odniesienia p i q, gdzie po „Jeśli ..” mamy zdefiniowane p zaś po „to..” mamy zdefiniowane q z pominięciem przeczeń.
Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP=1) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
A1: TP=>SK =1
To samo w zapisie formalnym (na mocy prawa Kłapouchego)
A1: p=>q =1
Punkt odniesienia:
p=TP
q=SK
Bycie trójkątem prostokątnym (TP=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
Twierdzenie proste Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Dowód ten oznacza, że zbiór trójkątów prostokątnych (TP=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1)
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa:
B3.
Jeśli w trójkącie spełniona jest suma kwadratów (SK=1) to na 100% => trójkąt ten jest prostokątny (TP=1)
B3: SK=>TP=1
To samo w zapisie formalnym:
B3: q=>p =1
Bycie trójkątem ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby ten trójkąt był prostokątny (TP=1).
Twierdzenie odwrotne Pitagorasa ludzkość udowodniła wieki temu.
Z dowodu tego wynika, że zbiór trójkątów ze spełnioną sumą kwadratów (SK=1) jest podzbiorem => zbioru trójkątów prostokątnych (TP=1).
Definicja tożsamości zbiorów p i q p=q w zapisie formalnym:
RA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jednocześnie zbiór q jest podzbiorem => zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Innymi słowy przy odczycie skrajnych tożsamości logicznych:
RA1B3:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Innymi słowy prawą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = p<=>q
Nasz przykład:
RA1B3:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy prawdziwe jest twierdzenie proste Pitagorasa A1: TP=>SK i jednocześnie prawdziwe jest twierdzenie odwrotne Pitagorasa B3: SK=>TP
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Innymi słowy przy odczycie skrajnych tożsamości logicznych:
RA1B3:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK.
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) = TP<=>SK
Innymi słowy prawą stronę czytamy:
Trójkąt jest prostokątny (TP=1) wtedy i tylko wtedy gdy zachodzi w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP)
Dla zdania B3 stosujemy prawo Tygryska:
B3: q=>p = B1: p~>q
To samo w zapisach aktualnych:
B3: SK=>TP = B1: TP~>SK
Stąd mamy tożsamą definicję tożsamości zbiorów:
RA1B1:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q.
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Środek czytamy:
RA1B1:
Do tego aby zaszło p potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby zaszło q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Nasz przykład:
RA1B1:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK.
TP=SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK) = TP<=>SK
Środek czytamy:
RA1B1:
Do tego aby trójkąt był prostokątny (TP=1) potrzeba ~> (B1) i wystarcza => (A1) aby zachodziła w nim suma kwadratów (SK=1)
RA1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)
Stąd mamy spełnioną definicję równoważności TP<=>SK w logice dodatniej (bo SK):
RA1B1: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B1: TP~>SK)=1*1 =1
Czytamy:
Równoważność TP<=>SK jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście TP jest potrzebne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia SK
3.4 Spójnik „albo” p$q
TA
Definicja spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego następnika q (~q).
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Czytamy:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q (B1) i jednocześnie zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q (A1)
Innymi słowy w skrócie:
Spójnik p$q jest spełniony (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy spójnika „albo”($) TA:
| Kod: |
TA:
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
A1B1: p|=>~q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q = 2:~p~>q [=] 3: ~q~>p = 4: q=>~p =1 [=] 5: ~p+~q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q = 2:~p=>q [=] 3: ~q=>p = 4: q~>~p =1 [=] 5: p+ q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = (~p+~q)*(p+q)= ~p*p + ~p*q + ~q*p + ~q*q = p*~q + ~p*q
Definicja spójnika „albo”($) p$q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p$q = p*~q+~p*q
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p$q = A2B2: ~p$~q = A3B3: q$p = A4B4: ~q$~p = p*~q+~p*q
Gdzie:
A2B2: ~p$~q = (A2: ~p~>q)*(B2:~p=>q) = p*~q + ~p*q
A3B3: q$p = (A3: ~q~>p)*(B3:~q=>p) = p*~q + ~p*q
A4B4: ~q$~p=(A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = p*~q + ~p*q
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Najprostszy dowód tożsamości powyższych kolumn wynika z praw logiki matematycznej zapisanych w tabeli T0: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.
Prawo Sowy:
Prawdziwość spójnika „albo”($) A1B1: p$q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli TA
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy spójnika „albo”($) potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax i prawdziwość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja spójnika implikacyjnego w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
Przykład:
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) „albo”($) kobietą (K=1)
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Czytamy:
Definicja spójnika „albo” M$K jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1), by nie być kobietą (~K=1)
Zdania składowe A1 i B1 czytamy:
A1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem wystarczającym => do tego, aby nie być kobietą (~K=1), bo każdy mężczyzna nie jest kobietą
Badamy prawdziwość/fałszywość zdania A1 z wymienionym znaczkiem => na ~>:
B1.
Jeśli człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% ~> nie jest kobietą (~K=1)
M~>~K =1
Bycie mężczyzną (M=1) jest warunkiem koniecznym ~> by nie być kobietą (~K=1), bo nie ma innego człowieka poza mężczyzną, który nie jest kobietą.
Stąd mamy spełnioną definicję spójnika „albo” M$K w logice dodatniej (bo K):
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Ogólna definicja równoważności:
Równoważność p<=>q to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku.
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)
Zauważmy, że spójnik „albo”($) spełnia ogólną definicję równoważności, stąd mamy tożsamość logiczną:
p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
Nasz przykład:
M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Stąd mamy kolejne zdanie tożsame do spójnika „albo”($):
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
3.5 Chaos p|~~>q
CH
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Czytamy:
Definicja chaosu p|~~>q jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1) i jednocześnie zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q (A1).
Podstawiając A1 i B1 do tabeli prawdy T0 otrzymujemy tabelę prawdy chaosu p|~~>q:
| Kod: |
CH:
Tabela prawdy chaosu p|~~>q:
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p =0 [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p =0 [=] 5: p+~q
Gdzie:
p=>q=~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q=p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyprowadzenie definicji chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: p|~~>q=~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = ~(~p+q)*~(p+~q)=(p*~q)*(~p*q) =0
Definicja chaosu p|~~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
Definicja chaosu p|~~>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1: Y = p|~~>q =0
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna kolumn:
A1B1: p|~~>q = A2B2: ~p|~~>~q = A3B3: q|~~>p = A4B4: ~q|~~>~p =0
Gdzie:
A2B2: ~p|~~>~q = ~(A2: ~p~>~q)*~(B2:~p=>~q) =0
A3B3: q|~~>p = ~(A3: q~>p)*~(B3: q=>p) =0
A4B4: ~q|~~>~p= ~(A4: ~q=>~p)*~(B4:~q~>~p) =0
Dowód tego faktu pozostawiam czytelnikowi.
Najprostszy dowód tożsamości powyższych kolumn wynika z praw logiki matematycznej zapisanych w tabeli T0: prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego => i prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>.
Prawo Sowy:
Prawdziwość chaosu A1B1: p|~~>q w logice dodatniej (bo q) jest warunkiem koniecznym ~> i wystarczającym => prawdziwości wszystkich pozostałych kolumn w tabeli CH
Dla udowodnienia, iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład tabeli prawdy chaosu p|~~>q potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax i fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Zauważmy, że nie ma znaczenia które zdanie będziemy brali pod uwagę, bowiem prawami logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska i prawa kontrapozycji) zdanie to możemy zastąpić zdaniem logicznie tożsamym z kolumny A1B1.
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to wyłącznie kolumna A1B1 w tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> dająca odpowiedź na pytanie:
Co może się zdarzyć jeśli zajdzie p?
W algebrze Kubusia zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Przykład:
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8~~>P3 = P8*P3 =1 bo 24
Poprzednik definiuje zbiór:
P8=[8,16,24..] - zbiór liczb podzielnych przez 8
Następnik definiuje zbiór:
P3=[3,6,9,12 .. 24..] - zbiór liczb podzielnych przez 3
Sprawdzamy warunek wystarczający => między P8 i P3:
A1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 3
P8=[8,16,24..] => P3=[3,6,9,12..24..] =0
Bo zbiór P8 nie jest (=0) podzbiorem => P3
cnd
Sprawdzamy warunek konieczny ~> między P8 i P3:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to może ~> być podzielna przez 3
P8=[8,16,24..] ~> P3=[3,6,9,12..24..] =0
Bo zbiór P8 nie jest (=0) nadzbiorem ~> P3
cnd
Stąd mamy spełnioną definicję chaosu P8|~~>P3 w logice dodatniej (bo P3):
P8|~~>P3 = ~(A1: P8=>P3)*~(B1: P8~>P3) = ~(0)*~(0) =1*1 =1
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
etc
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Y=p+q
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
Zapiszmy poznane dotychczas spójniki logiczne w postaci funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
| Kod: |
TSL - tabela spójników logicznych wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
A:
Spójnik „lub”(+):
1. Y=p+q # 2. ~Y=~p*~q
##
B:
Spójnik „i”(*):
1. Y=p*q # 2. ~Y=~p+~q
##
C:
Warunek wystarczający p=>q:
1. Y=(p=>q)=~p+q # 2. ~Y=~(p=>q)=p*~q
##
D.
Warunek konieczny p~>q:
1. Y=(p~>q)=p+~q # 2. ~Y=~(p~>q)=~p*q
##
E.
Implikacja prosta p|=>q:
1. Y=(p|=>q)=~p*q # 2. ~Y=~(p|=>q)=p+~q
##
F.
Implikacja odwrotna p|~>q
1. Y=(p|~>q)=p*~q # 2. ~Y=~(p|~>q)=~p+q
##
G.
Równoważność p<=>q:
1. Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q # 2. ~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
##
H.
Spójnik „albo”($):
1. Y=(p$q)=p*~q+~p*q # 2. ~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q
##
I.
Chaos p|~~>q:
1. Y = (p|~~>q)=0 # 2. ~Y=~(p|~~>q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego jest uwzględnianie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) w kolumnach wynikowych rachunku zero-jedynkowego.
Doskonale widać, że tabela TSL perfekcyjnie spełnia definicje obu znaczków # i ##.
Zauważmy że:
Spójniki logiczne wyrażone spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to wyłącznie funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) dające odpowiedź na pytanie o Y.
W tabeli TSL doskonale widać, że każdy spójnik logiczny definiowany funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) wymusza funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Definicja operatora logicznego warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny warunku wystarczającego p=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
Warunek wystarczający =>:
Y=(p=>q)=1
jest spełniony (Y=1), wtedy i tylko wtedy gdy ~p=1 lub q=1
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(p=>q) = ~(~p+q) = p*~q - na mocy prawa De Morgana
~Y = ~(p=>q) = p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
A: ~Y=~(p=>q)=1
Prawdą jest (=1), że warunek wystarczający Y nie jest spełniony (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
B: Y = (p=>q) =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że warunek wystarczający Y jest spełniony (Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
Uwaga na notację w algebrze Kubusia:
Zapisy A i B są tożsame i należy je rozumieć jak wyżej.
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek?
Odpowiedź jest jednoznaczna: 5-cio latek
Dowód:
Weźmy przykład ze świata żywego, rodem z przedszkola.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N - poznamy niebawem.
Weźmy obietnicę ojca dla syna:
W.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji warunku wystarczającego E=>K wchodzącego w skład implikacji prostej E|=>K w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) mamy odpowiedź na dwa kluczowe pytania, kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) oraz kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
Zachodzi tożsamość pojęć:
~Y=1 - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) [=] S=1 - ojciec skłamie (S)
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?
Y = (E=>K) = ~E+K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Odpowiedź:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)
Oczywiście tej odpowiedzi żaden normalny człowiek nie zrozumie.
Czy istnieje sposób, by odpowiedzi na pytanie „Kiedy ojciec dotrzyma słowa?” udzielił ekspert algebry Kubusia, 5-cio letni Jaś?
Odpowiedź na ten problem jest twierdząca.
Należy tu zacząć od opisania przypadku „Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?”
Zuzia do Jasia:
Jasiu czy wiesz kiedy ojciec skłamie?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Pytasz mnie:
2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(E=>K) = ~(~E+K) = E*~K - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = E*~K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i ~K=1 - syn za egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
Oczywistym jest, że ojciec może tylko i wyłącznie nie dotrzymać słowa (~Y=1) albo dotrzymać słowa (Y=1).
Innymi słowy:
We wszystkich pozostałych możliwych przypadkach ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Czy teraz już wiesz Zuziu kiedy ojciec dotrzyma słowa?
Zuzia:
Phi, to bułka z masłem, czyli pikuś.
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1), czyli nie skłamie (~S=1), wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i K=1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
LUB
~E=1 i ~K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
LUB
~E=1 i K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Ostatni przypadek to piękny „akt miłości” gwarantowany przez algebrę Kubusia, czyli ojciec może wręczyć dziecku nagrodę (komputer: K=1) mimo ze ten nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1)
Doskonale widać, że w definicji operatora warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które dostaniemy przy definicji implikacji prostej p|=>q definiowanej zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dającej odpowiedź na pytanie o p i ~p.
Szczegóły poznamy za chwilkę.
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian
Pojęcie funkcji logicznej algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemskich matematyków.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej ze zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Właściwości funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować
Y = p~q+ ~pq - zapis poprawny w świecie techniki (inżynierowie elektronicy)
Negujemy dwustronnie stosując algorytm skróconego przejścia do logiki ujemnej (bo ~Y):
1.
Uzupełniamy brakujące spójniki i nawiasy:
Y = (p*~q) + (~p*q) - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
3.
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla człowieka (od 5-cio latka poczynając) jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna, stąd musimy wymnożyć wielomian logiczny 2 (każdy z każdym)
~Y = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q
bo:
p*~p =0 - prawo algebry Boole’a
0+x=x - prawo algebry Boole’a
q*p = p*q - iloczyn logiczny (*) jest przemienny
stąd mamy:
~Y = p*q + ~p*~q = p<=>q
bo definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Przykład rodem z przedszkola.
Pani w przedszkolu:
1.
Jutro pójdziemy do kina (K=1) lub do teatru (T=1)
Y = K+T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> p=1 lub q=1
Czytamy:
Pani dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro pójdziemy do kina (K=1) lub pójdziemy do teatru (T=1)
Innymi słowy:
Pani dotrzyma słowa wtedy i tylko wtedy gdy pójdziemy w dowolne miejsce.
Zuzia do Jasia (oboje po 5 wiosenek):
Czy wiesz kiedy jutro pani skłamie?
Jaś.
Oczywiście że wiem.
Negujemy równanie 1 stronami:
~Y = ~(K+T) = ~K*~T - na mocy prawa De Morgana
Czyli:
~Y=~K*~T
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> ~K=1 i ~T=1
Czytamy:
Pani skłamie (~Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy jutro nie pójdziemy do kina (~K=1) i nie pójdziemy do teatru (~T=1)
Znaczenie zmiennej Y:
Y=1 - prawdą jest (=1) że pani jutro dotrzyma słowa (Y)
~Y=1 - prawdą jest (=1) że pani jutro nie dotrzyma słowa (~Y)
Matematycznie zachodzi tożsamość pojęć:
~Y (pani nie dotrzyma słowa: ~Y) = S (pani skłamie: S)
Zuzia:
Dzięki Jasiu, pięknie to wszystko wytłumaczyłeś.
Jaś:
Niestety Zuziu, to co dla nas jest bajecznie proste, dla ziemskich matematyków jest czarną magią nie do pojęcia.
Zuzia:
Jakie są tego przyczyny?
Jaś:
Po pierwsze:
Ziemscy matematycy nie znają banalnej definicji funkcji logicznej Y wyżej zapisanej.
Po drugie:
Ziemscy matematycy nie wiedzą, iż dowolną funkcję logiczną Y można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Po trzecie:
W rachunku zero-jedynkowym ziemscy matematycy w opisie kolumn wynikowych operują wyłącznie na wyrażeniach algebry Boole’a, nigdy na funkcjach logicznych Y=f(x).
Dokładnie ten fakt powoduje, że ich rachunek zero-jedynkowy jest wewnętrznie sprzeczny co udowodnię w następnym punkcie.
Ciekawostka:
Świat techniki (inżynierowie elektronicy) doskonale zna pojęcie funkcji logicznej w algebrze Boole’a - sam z tego świata przybyłem.
Dowód:
W żadnym katalogu bramek logicznych nie znajdziemy opisu choćby jednej bramki logicznej przedstawionej w postaci wyrażenia algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznej Y.
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Texas Instruments - pionier układów TTL napisał: |
74HC86
These devices contain four independent 2-input exclusive-OR gates.
They perform the Boolean function Y = A*~B + ~A*B
|
Oczywistym jest że nie jest funkcją Boole’a samo wyrażenie algebry Boole’a:
A*~B+~A*B
Wyłącznie jełopy mogą tego nie wiedzieć.
Podsumowując:
1.
Ziemski matematyk który nie zna poniższej definicji funkcji algebry Boole’a powinien spalić się ze wstydu.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. p*q+~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykład:
Y = (p<=>q) = p*q+~p*~q
2.
Ziemski matematyk który nie wie, że dowolną funkcje logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować powinien wziąć zimny prysznic.
Nasz przykład:
~Y = ~(p<=>q) = p*~q + ~p*q
Stąd mamy prawa De Morgana mówiące o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
I.
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y):
Y=~(~Y) = ~(p*~q+~p*q) = p*q+~p*~q
II.
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y=~(Y) = ~(p*q+~p*~q) = p*~q + ~p*q
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który w wypełnianiu tabel zero-jedynkowych operuje tylko i wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a ignorując totalnie zarówno funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i jak i funkcje logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Twardy dowód to podana wyżej tabela spójników logicznych (TSL) zapisana wyłącznie w postaci wyrażeń algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznych Y i ~Y.
Dokładnie ten błąd fatalny popełniają wszyscy ziemscy matematycy.
| Kod: |
TSL’ - tabela spójników logicznych
po zostawieniu wyłącznie wyrażeń algebry Boole’a
A: Spójnik „lub”(+)
1. p+q # 2. ~p*~q
##
B: Spójnik „i”(*)
1. p*q # 2. ~p+~q
##
C: Warunek wystarczający =>
1. ~p+q # 2. p*~q
##
D. Warunek konieczny ~>
1. p+~q # 2. ~p*q
##
E. Implikacja prosta p|=>q
1. ~p*q # 2. p+~q
##
F. Implikacja odwrotna p|~>q
1. p*~q # 2. ~p+q
##
G. Równoważność p<=>q
1. p*q+~p*~q # 2. p*~q+~p*q
##
H. Spójnik „albo”($) p$q
1. p*~q+~p*q # 2. p*q+~p*~q
##
I. Chaos p|~~>q
1. =0 # 2. =1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Zauważmy, że po zostawieniu w tabeli TSL samych wyrażeń algebry Boole’a definicja znaczka różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony jest wszędzie spełniona.
ALE!
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest gwałcona w następujących miejscach:
| Kod: |
TSL’
C1: ~p+q [=] F2:~p+q
D1: p+~q [=] E2: p+~q
E1: ~p*q [=] D2:~p*q
F1: p*~q [=] C2: p*~q
G1: p*q+~p*~q [=] H2: p*q+~p*~q
H1: p*~q+~p*q [=] G2: p*~q+~p*q
|
cnd
Wniosek:
Rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
3.7 Prawo Puchacza
Zapiszmy poznane definicje spójników implikacyjnych p?q w logice dodatniej (bo q) w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
1.
Definicja implikacji prostej p|=>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
2.
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w logice dodatniej (bo q):
Implikacja odwrotna p|~>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(0)*1 =1*1=1
3.
Równoważności p<=>q w logice dodatniej (bo q):
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
4.
Definicja chaosu p|~~>q w logice dodatniej (bo q):
Chaos p|~~>q w logice dodatniej (bo q) to nie zachodzenie ani warunku wystarczającego => ani też koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =0 - zajście p nie jest (=0) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
Definicja chaosu p|~~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(0)*~(0)=1*1=1
5.
Definicja spójnika „albo” p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku dla zanegowanego następnika q (~q).
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
stąd mamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Prawo Puchacza:
Dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” może należeć tylko i wyłącznie do jednego z pięciu spójników implikacyjnych.
Innymi słowy:
Wykluczone jest, aby dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” należało równocześnie do jakichkolwiek dwóch spójników implikacyjnych.
Dowód prawa Puchacza dla implikacji prostej p|=>q:
Załóżmy, że zdanie warunkowe x należy do definicji implikacji prostej p|=>q.
Wtedy mamy spełnione:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
stąd mamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1=1
a)
Sprawdzamy czy zdanie x może należeć do implikacji odwrotnej p|~>q:
Definicja implikacji odwrotnej p|~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=~(1)*0 = 0*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do implikacji odwrotnej p|~>q
b)
Sprawdzamy, czy zdanie x może należeć do równoważności p<=>q:
Definicja równoważności p<=>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)= 1*0 =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do równoważności p<=>q
c)
Sprawdzamy, czy zdanie x może należeć do chaosu p|~~>q:
Definicja chaosu p|~~>q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p|~~>q = ~(A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=~(1)*~(0)=0*1=0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do chaosu p|~~>q
d)
Sprawdzamy, czy zdanie x może należeć do spójnika „albo”($):
Definicja spójnika „albo”($) p$q w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1=1
Z założenia iż zdanie x należy do implikacji prostej p|=>q mamy:
A1: p=>q =1
z czego wynika że:
A1: p=>~q =0
Dowód:
Dla q i ~q zachodzi definicja dziedziny:
q+~q =D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru q
q*~q =[] =0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Skoro z założenia dla x mamy:
A1: p=>q =1 - p jest podzbiorem => zbioru q
to musi być:
A1: p=>~q =0 - p nie jest (=0) podzbiorem => zbioru ~q bo zbiory q i ~q są rozłączne.
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= 0*x =0
Wniosek:
Wykluczone jest, aby zdanie warunkowe x należące do implikacji prostej p|=>q należało jednocześnie do spójnika „albo”($)
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 16:55, 01 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
Dlaczego nie spieszę się z zaprezentowaniem algebry Kubusia na ziemskich forach matematycznych?
Prapremiera!
W dniu 2021-08-01 końcowa wersja algebry Kubusia została udostępniona w Internecie mieszkańcom 100-milowego lasu oraz ziemskim matematykom którzy na bieżąco śledzą rozszyfrowywanie algebry Kubusia na sfinii. W końcowej wersji naniosłem dużą ilość poprawek i udoskonaleń mających na celu celniejsze trafienie do serc ziemskich matematyków.
Zapraszam do czytania.
Prapremiera wersji pdf
W dniu 2021-08-01 powstała i została udostępniona algebra Kubusia w wersji pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/j2x4o1xo4e2rzq2/Algebra%20Kubusia.pdf?dl=0
Obiecałem że:
Po wydaniu algebry Kubusia w wersji pdf nastąpi właściwa premiera AK na ziemskich forach matematycznych. Nie będę się jednak spieszył, najpierw wszystko musi być perfekcyjnie sprawdzone wiele razy.
Mam nadzieję, że wielu bardzo dobrych ziemskich matematyków czyta naszą śfinię. W nich cała nadzieja na zaistnienie algebry Kubusie w ziemskiej matematyce.
Dlaczego nie spieszę się z zaprezentowaniem algebry Kubusia na ziemskich forach matematycznych?
Odpowiadam:
Nie jest możliwa żadna sensowna dyskusja w temacie „logika matematyczna” między mną a ziemskimi matematykami bo 100% definicji (dosłownie) w temacie „logika matematyczna” mamy sprzecznych.
Scenariusze najbliższej przyszłości:
Scenariusz 1.
Dobrzy ziemscy matematycy na 100% zrozumieją algebrę Kubusia, ale schowają głowę w piasek udając że nie czytali, nie zrozumieli.
Scenariusz 2.
Jedynie co mogą dobrzy ziemscy matematycy, to na czas czytania AK odłożyć na półkę 100% wiedzy w temacie „logika matematyczna” której uczono ich w ziemskich szkółkach i czytając algebrę Kubusia od początku (pkt. 1.0) akceptować kolejne definicje AK stopniowo wprowadzane lub mieć najmniejsze choćby wątpliwości - wtedy z chęcią będę wszystko wyjaśniał.
Oczywiście wystarczy jak matematyk poda jeden kontrprzykład obalający dowolną definicję z AK i już kasuję AK … albo ją zmodyfikuję by stała się nie do obalenia (wiele było takich przypadków).
Nie jest prawdą że definicji się nie obala, jak twierdzą niektórzy ziemscy matematycy.
Definicję zwaną „implikacją materialną” łatwo obali kontrprzykładem każdy 5-cio latek.
Dowód tego faktu jest tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-prapremiera,19257.html#604299
A1 Armagedon Klasycznego Rachunku Zdań po raz pierwszy
Mam nadzieję, że znajdą się dobrzy ziemscy matematycy którzy wybiorą scenariusz 2
Scenariusz 3.
Jeśli nie będzie ani jednego ziemskiego matematyka, który wybierze scenariusz 2 to jedyne co mi pozostanie to dopracować na maxa algebrę Kubusia i popularyzować jej wersję w pdf gdzie to tylko możliwe z nadzieją na sensowną dyskusję według scenariusza 2 - nadzieja umiera ostatnia.
Nie wierzę, że wśród milionów dobrych ziemskich matematyków żadnego z nich algebra Kubusia nie zainteresuje, nie zaintryguje, nie zaciekawi.
Jeśli nawet tak się stanie (najczarniejszy scenariusz) to umrę sobie w spokoju, a algebra Kubusia razem ze mną - będę miał jednak świadomość, że zrobiłem wszystko co byłem w stanie zrobić, by algebra Kubusia zawładnęła mózgami wszystkich normalnie myślących ziemian, nie tylko matematyków.
Dlaczego najczarniejszy scenariusz jest możliwy?
… bo algebra Kubusia to Armagedon wszelkich ziemskich logik „matematycznych” - zrozumie to każdy, kto zrozumie algebrę Kubusia.
Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
Czy matematycy są gotowi wykopać swojego boga „implikację materialną” do piekła na wieczne piekielne męki?
… oto jest pytanie.
[link widoczny dla zalogowanych]
Paradygmat
Paradygmat (gr. παράδειγμα parádeigma „przykład, wzór”) – w rozumieniu wprowadzonym przez filozofa Thomasa Kuhna w książce Struktura rewolucji naukowych (The Structure of Scientific Revolutions) opublikowanej w 1962 roku – to zbiór pojęć i teorii tworzących podstawy danej nauki. Teorii i pojęć tworzących paradygmat raczej się nie kwestionuje, przynajmniej do czasu, kiedy paradygmat jest twórczy poznawczo – tzn. za jego pomocą można tworzyć teorie szczegółowe zgodne z danymi doświadczalnymi (historycznymi), którymi zajmuje się dana nauka.
Paradygmat w nauce:
W 13 rozdziałach Kuhn dowodzi, że nauka nie jest jednostajnym, kumulatywnym pozyskiwaniem wiedzy. Zamiast tego nauka jest serią spokojnych okresów przerywanych przez gwałtowne intelektualne rewolucje, po których jeden koncepcyjny światopogląd jest zamieniany przez inny. Kuhn spopularyzował w tym kontekście termin paradygmat, opisywany przez niego jako w istocie zbiór poglądów podzielanych przez naukowców, zestaw porozumień o pojmowaniu zagadnień. Pomimo tego krytycy zarzucali mu brak precyzji w stosowaniu tego terminu.
Zgodnie z poglądami Kuhna paradygmat jest istotny dla badań naukowych, gdyż „żadna nauka przyrodnicza nie może być wyjaśniana bez zastosowania splecionych teoretycznych i metodologicznych poglądów pozwalających na wybór, ocenę i krytykę”. Paradygmat kieruje wysiłkiem badawczym społeczności naukowych i jest tym kryterium, które najbardziej ściśle identyfikuje obszary nauk. Fundamentalnym argumentem Kuhna jest to, że dla dojrzałej nauki typową drogą rozwojową jest kolejne przechodzenie w procesie rewolucji od jednego do innego paradygmatu. Gdy ma miejsce zmiana paradygmatu, „świat naukowy zmienia się jakościowo i jest jakościowo wzbogacany przez fundamentalnie nowe zarówno fakty, jak i teorie”.
Kuhn utrzymywał także, że – wbrew obiegowym opiniom – typowi naukowcy nie są obiektywnymi i niezależnymi myślicielami, a są konserwatystami, którzy godzą się z tym, czego ich nauczono i stosują tę naukę (wiedzę) do rozwiązywania problemów zgodnie z dyktatem wyuczonej przez nich teorii. Większość z nich w istocie jedynie składa układanki, celując w odkrywaniu tego, co i tak już jest im znane – „Człowiek, który usiłuje rozwiązać problem zdefiniowany przez istniejącą wiedzę i technikę nie ma szerszych horyzontów. Wie on co chce osiągnąć, i w zgodzie z tym projektuje swoje narzędzia i kieruje swoimi myślami”.
Paradygmat a rewolucja naukowa
W czasach nauki instytucjonalnej (określenie również wprowadzone przez Kuhna) podstawowym zadaniem naukowców jest doprowadzenie uznanej teorii i faktów do najściślejszej zgodności. W konsekwencji naukowcy mają tendencję do ignorowania odkryć badawczych, które mogą zagrażać istniejącemu paradygmatowi i spowodować rozwój nowego, konkurencyjnego paradygmatu.
Na przykład Ptolemeusz spopularyzował pogląd, że Słońce obiega Ziemię, i to przekonanie było bronione przez stulecia nawet w obliczu obalających go dowodów. Jak zaobserwował Kuhn, w trakcie rozwoju nauki „nowości wprowadzane są z trudem i z towarzyszącym mu, zgodnym z oczekiwaniami, jawnym oporem”. I tylko młodzi uczeni, nie tak głęboko indoktrynowani przez uznane teorie – jak Newton, Lavoisier lub Einstein – mogą dokonać odrzucenia starego paradygmatu.
Takie rewolucje naukowe następują tylko po długich okresach nauki instytucjonalnej, tradycyjnie ograniczonej ramami, w których musiała się ona (nauka) znajdować i zajmować się badaniami, zanim mogła te ramy zniszczyć”. Zresztą kryzys zawsze niejawnie tai się w badaniach, ponieważ każdy problem, który nauka instytucjonalna postrzega jako łamigłówkę, może być ujrzany z innej perspektywy, jako sprzeczność (wyłom), a zatem źródło kryzysu – jest to „istotne obciążenie” badań naukowych.
Kryzysy w nauce
Kryzysy są wyzwalane, gdy uczeni uznają odkryte sprzeczności za anomalię w dopasowaniu istniejącej teorii z naturą.
Wszystkie kryzysy są rozwiązywane na trzy sposoby:
1.
Nauka instytucjonalna może udowodnić zdolność do objęcia kryzysowego problemu, i w tym przypadku wszystko wraca do „normalności”.
2.
Alternatywnie, problem pozostaje, jest zaetykietowany, natomiast postrzega się go jako wynik niemożności użycia niezbędnych przyrządów do rozwiązania go, więc uczeni pozostawiają go przyszłym pokoleniom z ich bardziej rozwiniętymi (zaawansowanymi) przyborami.
3.
W niewielu przypadkach pojawia się nowy kandydat na paradygmat (algebra Kubusia!), i wynika bitwa o jego uznanie będąca w istocie wojną paradygmatów (wojną algebra Kubusia vs Klasyczny Rachunek Zdań)
Kuhn argumentuje, że rewolucje naukowe są nieskumulowanym epizodem rozwojowym, podczas którego starszy paradygmat jest zamieniany w całości lub po części przez niezgodny z nim paradygmat nowszy. Ale nowy paradygmat nie może być zbudowany na poprzedzającym go, a raczej może go tylko zamienić, gdyż „instytucjonalna tradycja naukowa wyłaniająca się z rewolucji naukowej jest nie tylko niezgodna, ale też nieuzgadnialna z tą, która pojawiła się przed nią”.
Rewolucja kończy się całkowitym zwycięstwem jednego z dwóch przeciwnych obozów.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Wto 7:32, 03 Sie 2021, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Wto 10:49, 03 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - rewolucja vs Algebra Kubusia - czas pokoju
Właśnie doszedłem do konieczności napisania dwóch wersji algebry Kubusia:
I.
Algebra Kubusia - rewolucja w logice matematycznej
To jest obecna wersja z bezpardonowymi atakami na potwornie śmierdzące gówno zwane "implikacją materialną":
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-prapremiera,19257.html#604299
II
Algebra Kubusia - czas pokoju
W tej wersji algebry Kubusia nie będzie choćby jednej wzmianki o takich gównach jak "implikacja materialna" czy "Klasyczny Rachunek Zdań"
Dlaczego "Algebra Kubusia - czas pokoju" jest konieczna?
Za około 50 lat (po wymarciu starego pokolenia matematyków), żaden ziemski matematyk, wykształcony na algebrze Kubusia nie będzie wiedział co jest "implikacja materialna" czy też Klasyczny Rachunek Zdań.
Będzie tu identycznie jak z Kopernikiem:
Czy jakikolwiek dzisiejszy fizyk posługuje się teorią geocentryzmu w celu np. przewidzenia zaćmienia słońca w miejscu X?
Dlaczego odkrycie algebry Kubusia jest nieporównywalnie większym odkryciem niż odkrycie Kopernika?
Do odkrycia Kopernika wcześniej czy później musiało dojść natomiast do odkrycia algebry Kubusia nie musiało dojść tzn. ludzkość by przeżyła bez bardzo wąskiej grupki matematyków (logików) dla których bogiem logiki matematycznej jest gówno zwane "implikacja materialna".
Żaden człowiek od 5-cio latka poczynając na inżynierach kończąc nie myśli jakąkolwiek logiką formalną ubzduraną sobie przez wąską grupkę pseudo-matematyków i nigdy nie będzie myślał, bo wszyscy podlegamy pod algebrę Kubusia nie mając żadnych szans aby się od niej uwolnić.
Przykład potwornie śmierdzącego gówna tzn. przykład logiki formalnej ziemskich matematyków od siedmiu boleści.
[link widoczny dla zalogowanych]
| Gżdacz napisał: |
Jeśli 2+2=5, to jestem papieżem
Z książki Johna D. Barrowa Kres możliwości? wypisuję cytaty, które są cytatami drugiego rzędu, bo w rzeczonej książce są to również cytaty.
Cytat pierwszy (s. 226).
Sądzę, że mistycyzm można scharakteryzować jako badanie tych propozycji, które są równoważne swoim zaprzeczeniom. Z zachodniego punktu widzenia, klasa takich propozycji jest pusta. Ze wschodniego punktu widzenia klasa ta jest pusta wtedy i tylko wtedy, kiedy nie jest pusta. (Raymond Smullyan)
Cytat drugi (s. 226) wymaga lekkiego wprowadzenia.
Warunkiem niesprzeczności systemu w logice klasycznej jest ścisły podział zdań na prawdziwe bądź fałszywe, bowiem ze zdania fałszywego można wywnioskować dowolne inne, fałszywe bądź prawdziwe.
Kiedy Bertrand Russell wypowiedział ten warunek na jednym z publicznych wykładów jakiś sceptyczny złośliwiec poprosił go, by udowodnił, że jeśli 2 razy 2 jest 5, to osoba pytająca jest Papieżem. Russell odparł:
Jeśli 2 razy 2 jest 5, to 4 jest 5; odejmujemy stronami 3 i wówczas 1=2. A że pan i Papież to 2, więc pan i Papież jesteście jednym!
W ramach zadania domowego zadałem sobie wykazanie, że jeśli Napoleon Bonaparte był kobietą, to ja jestem jego ciotką. Na razie zgłaszam "bz".
Autor: Gżdacz o 21:30 |
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 18:03, 07 Sie 2021, w całości zmieniany 3 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Czw 21:48, 12 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
Algebra Kubusia - Elementarz Mikroelektroniki
Właśnie zeskanowałem mój "Elementarz Mikroelektroniki" napisany 35 lat temu, wyjaśniający przystępnie (mam nadzieję) matematyczny fundament działania wszelkich komputerów ... i mózgu istot żywych (nie tylko człowieka).
Link do "Elementarza Mikroelektroniki":
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/tnbrf4kocp84ly0/Algebra%20Kubusia%20-%20Elementarz%20Mikroelektroniki.pdf?dl=0
Wstęp:
Niniejsza część algebry Kubusia to obszerny fragment podręcznika do nauki techniki mikroprocesorowej, który napisałem 35 lat temu.
„Elementarz Mikroelektroniki” to matematyczne fundamenty działania wszelkich komputerów, zatem wiedza tu wyłożona nigdy się nie zestarzeje.
Sercem każdego komputera jest mikroprocesor (np. Pentium), zaś mózgiem jego oprogramowanie stworzone przez człowieka (programistę). Sam komputer bez oprogramowania jest tylko kupą złomu, o czym wie każdy 5-cio latek.
Matematyczne fundamenty działania każdego mikroprocesora omówiono w punkcie 1.0.
Jako bonus, dla ambitnych, w punkcie 2.0 szczegółowo omówiono komunikację mikroprocesora z pamięcią zewnętrzną oraz z portami wejścia/wyjścia dzięki którym mikroprocesor komunikuje się ze światem człowieka.
Celem „Elementarza Mikroelektroniki” jest zaspokojenie ciekawości ciekawskich:
Jaki jest matematyczny fundament działania wszelkich komputerów?
Wiedza zawarta w niniejszym podręczniku nie jest niezbędna dla zrozumienia matematycznych fundamentów języka potocznego … a o ten matematyczny opis nam przede wszystkim chodzi.
Tak więc mniej ciekawi mogą sobie darować zrozumienie „Elementarza Mikroelektroniki” i w ogóle tej części algebry Kubusia nie czytać.
Przykład niewyobrażalnej (jeszcze 50 lat temu) rewolucji w elektronice:
[link widoczny dla zalogowanych]
AMD wprowadził do oferty procesor EPYC drugiej generacji - noszący kodową nazwę Rome – kilka miesięcy temu, nie podając jednak wtedy od razu wszystkich szczegółów technicznych dotyczących jego budowy. Ostatnio dowiedzieliśmy się o jednym parametrze, który robi wrażenie. Chodzi o ilość tranzystorów upakowanych w tym układzie.
Okazuje się, że procesor zawiera prawie 40 mld tranzystorów (dokładnie 39 mld 540 mln). Jest to trudna do wyobrażenie ilość biorąc pod uwagę fakt, na jakiej powierzchni wszystkie te tranzystory są zagnieżdżone.
Pytanie:
Czy ktokolwiek zrozumie działanie mikroprocesora rozrysowując jego schemat ideowy złożony z 40 mld tranzystorów?
Oczywiście: NIE
Nie tędy droga do zrozumienia działania dowolnego komputera, w tym do zrozumienia matematycznych fundamentów działania mózgu człowieka.
Nie ma sensu rozrysowywanie schematu ideowego mikroprocesora na bazie występujących tu połączeń odkrytych dzięki mikroskopowi.
Podobnie, nie ma sensu oglądanie pod mikroskopem mięsa z którego mózg istot żywych jest zbudowany.
Nie tędy droga, w ten sposób nigdy nie dojdziemy do rozszyfrowania matematycznych fundamentów działania dowolnego mózgu, nie tylko mózgu człowieka.
Matematyczny fundament działania wszystkich komputerów i wszystkich mózgów istot żywych to banalna algebra Kubusia, logika matematyczna pod którą polegają wszelkie istoty żywe (nie tylko człowiek), nie mając żadnych szans by się spod niej uwolnić.
W świecie człowieka naturalnymi ekspertami algebry Kubusia są wszystkie 5-cio latki, zatem aby ją rozszyfrować należy udać się do przedszkola, co zrobiłem 15 lat temu - dokładnie dzięki temu możliwe było rozszyfrowanie algebry Kubusia.
Człowiek budując współczesne komputery non-stop małpuje działanie własnego mózgu, będącego bez wątpienia nieosiągalnym dla człowieka superkomputerem biologicznym wyposażonym we wspaniałe urządzenia wejścia/wyjścia: wzrok, słuch, węch, dotyk, smak, mowa.
Różnica między komputerem a mózgiem człowieka jest fundamentalna:
Człowiek może modyfikować wykonywany przez niego program w czasie rzeczywistym reagując na sygnały z otoczenia, natomiast komputer wykonuje swój program ściśle według algorytmu wymyślonego przez programistę.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Czw 22:16, 12 Sie 2021, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 12:50, 15 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
15 sierpnia 2021
Światowa premiera końcowej wersji "Algebry Kubusia"
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
Matematyczny Raj: 2021-08-15
Kompletna algebra Kubusia to dwa podręczniki:
Część I.
Nowa algebra Boole’a
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/tqgt0c3u56trktd/Nowa%20algebra%20Boole%27a.pdf?dl=0
Część II.
Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/j2x4o1xo4e2rzq2/Algebra%20Kubusia.pdf?dl=0
Dodatek do algebry Kubusia dostępny wyłącznie w wersji pdf:
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/tnbrf4kocp84ly0/Algebra%20Kubusia%20-%20Elementarz%20Mikroelektroniki.pdf?dl=0
W dodatku znajdziemy odpowiedź na pytanie:
Jaki jest matematyczny fundament działania wszelkich komputerów?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Śro 23:26, 18 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
Najciekawsze fragmenty algebry Kubusia
Algebra Boole’a świata techniki vs algebra Boole’a ziemskich matematyków
Podsumowanie:
Rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych algebry Boole’a (dowód w punkcie 3.6.3)
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#605399
Spis treści
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego 1
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek? 3
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian 5
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego 7
3.6 Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
etc
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować.
Y=p+q
Negujemy dwustronnie:
~Y=~(p+q) = ~p*~q - bo prawo De Morgana
Zapiszmy poznane dotychczas spójniki logiczne w postaci funkcji logicznej w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznej w logice ujemnej (bo ~Y).
| Kod: |
TSL - tabela spójników logicznych wyrażonych spójnikami „i”(*) i „lub”(+)
A:
Spójnik „lub”(+):
1. Y=p+q # 2. ~Y=~p*~q
##
B:
Spójnik „i”(*):
1. Y=p*q # 2. ~Y=~p+~q
##
C:
Warunek wystarczający p=>q:
1. Y=(p=>q)=~p+q # 2. ~Y=~(p=>q)=p*~q
##
D.
Warunek konieczny p~>q:
1. Y=(p~>q)=p+~q # 2. ~Y=~(p~>q)=~p*q
##
E.
Implikacja prosta p|=>q:
1. Y=(p|=>q)=~p*q # 2. ~Y=~(p|=>q)=p+~q
##
F.
Implikacja odwrotna p|~>q
1. Y=(p|~>q)=p*~q # 2. ~Y=~(p|~>q)=~p+q
##
G.
Równoważność p<=>q:
1. Y=(p<=>q)=p*q+~p*~q # 2. ~Y=~(p<=>q)=p*~q+~p*q
##
H.
Spójnik „albo”($):
1. Y=(p$q)=p*~q+~p*q # 2. ~Y=~(p$q)=p*q+~p*~q
##
I.
Chaos p|~~>q:
1. Y = (p|~~>q)=0 # 2. ~Y=~(p|~~>q)=1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Prawo niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego:
Warunkiem koniecznym niesprzeczności rachunku zero-jedynkowego jest uwzględnianie funkcji logicznych w logice dodatniej (bo Y) i funkcji logicznych w logice ujemnej (bo ~Y) w kolumnach wynikowych rachunku zero-jedynkowego.
Zauważmy, że tabela TSL perfekcyjnie spełnia definicje obu znaczków # i ##.
W tabeli TSL doskonale widać, że każdy spójnik logiczny definiowany funkcją logiczną w logice dodatniej (bo Y) wymusza funkcję logiczną w logice ujemnej (bo ~Y) i odwrotnie.
Stąd mamy:
Definicja operatora logicznego wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych dający odpowiedź na pytanie o Y i ~Y
Przykład:
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Definicja operatora logicznego warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+):
Operator logiczny warunku wystarczającego p=>q wyrażony spójnikami „i”(*) i „lub”(+) to układ równań logicznych Y i ~Y dający odpowiedź na pytanie o 1: Y i 2: ~Y
1.
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Czytamy:
1A: Y=(p=>q)=~p+q =1
Prawdą jest (=1), że warunek wystarczający => jest spełniony (Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 lub zajdzie q=1
Prawo Prosiaczka:
(Y=1)=(~Y=0)
stąd zapis tożsamy:
1B: ~Y=(p=>q)=~p+q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że warunek wystarczający => nie jest spełniony (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie ~p=1 lub zajdzie q=1
Uwaga na notację w algebrze Kubusia:
Zapisy 1A i 1B są tożsame i należy je rozumieć jak wyżej.
… a kiedy zajdzie ~Y?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(p=>q) = ~(~p+q) = p*~q - na mocy prawa De Morgana
~Y = ~(p=>q) = p*~q
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> p=1 i ~q=1
Czytamy:
2A: ~Y=~(p=>q)=p*~q=1
Prawdą jest (=1), że warunek wystarczający => Y nie jest spełniony (~Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i nie zajdzie q (~q=1)
Prawo Prosiaczka:
(~Y=1) = (Y=0)
Stąd zapis tożsamy:
2B: Y = (p=>q) =p*~q =0
Czytamy:
Fałszem jest (=0), że warunek wystarczający => Y jest spełniony (Y), wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie p (p=1) i zajdzie ~q (~q=1)
Uwaga na notację w algebrze Kubusia:
Zapisy 2A i 2B są tożsame i należy je rozumieć jak wyżej.
3.6.1 Kto lepiej zna logikę matematyczną, ziemski matematyk czy 5-cio latek?
Odpowiedź jest jednoznaczna: 5-cio latek
Dowód:
Weźmy przykład ze świata żywego, rodem z przedszkola.
Definicja obietnicy:
Jeśli dowolny warunek W to nagroda N
W=>N
Obietnica to warunek wystarczający W=>N wchodzący w skład implikacji prostej W|=>N - poznamy niebawem.
Weźmy obietnicę ojca dla syna:
W.
Jeśli zdasz egzamin to dostaniesz komputer
E=>K =1
Na mocy definicji warunku wystarczającego E=>K wchodzącego w skład implikacji prostej E|=>K w spójnikach „i”(*) i „lub”(+) mamy odpowiedź na dwa kluczowe pytania, kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1) oraz kiedy ojciec nie dotrzyma słowa (~Y=1).
Zachodzi tożsamość pojęć:
~Y=1 - ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) [=] S=1 - ojciec skłamie (S)
1.
Kiedy ojciec dotrzyma słowa (Y=1)?
Y = (E=>K) = ~E+K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
Y=1 <=> ~E=1 lub K=1
Odpowiedź:
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1) wtedy i tylko wtedy gdy syn nie zda egzaminu (~E=1) lub dostanie komputer (K=1)
Oczywiście tej odpowiedzi żaden normalny człowiek nie zrozumie.
Czy istnieje sposób, by odpowiedzi na pytanie „Kiedy ojciec dotrzyma słowa?” udzielił ekspert algebry Kubusia, 5-cio letni Jaś?
Odpowiedź na ten problem jest twierdząca.
Należy tu zacząć od opisania przypadku „Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?”
Zuzia do Jasia:
Jasiu czy wiesz kiedy ojciec skłamie?
Jaś:
Oczywiście, że wiem.
Pytasz mnie:
2.
Kiedy ojciec skłamie (~Y=1)?
Negujemy równanie 1 stronami:
2.
~Y = ~(E=>K) = ~(~E+K) = E*~K - na mocy prawa De Morgana
czyli:
~Y = E*~K
co w logice jedynek (bo funkcja alternatywno-koniunkcyjna) oznacza:
~Y=1 <=> E=1 i ~K=1
Czytamy:
Prawdą jest (=1), że ojciec nie dotrzyma słowa (~Y) wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i ~K=1 - syn za egzamin (E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
Oczywistym jest, że ojciec może tylko i wyłącznie nie dotrzymać słowa (~Y=1) albo dotrzymać słowa (Y=1).
Innymi słowy:
We wszystkich pozostałych możliwych przypadkach ojciec dotrzyma słowa (Y=1).
Czy teraz już wiesz Zuziu kiedy ojciec dotrzyma słowa?
Zuzia:
Phi, to bułka z masłem, czyli pikuś.
Ojciec dotrzyma słowa (Y=1), czyli nie skłamie (~S=1), wtedy i tylko wtedy gdy jutro:
E=1 i K=1 - syn zda egzamin (E=1) i dostanie komputer (K=1)
LUB
~E=1 i ~K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i nie dostanie komputera (~K=1)
LUB
~E=1 i K=1 - syn nie zda egzaminu (~E=1) i dostanie komputer (K=1)
Ostatni przypadek to piękny „akt miłości” gwarantowany przez algebrę Kubusia, czyli ojciec może wręczyć dziecku nagrodę (komputer: K=1) mimo ze ten nie spełnił warunku nagrody (nie zdał egzaminu: ~E=1)
Doskonale widać, że w definicji operatora warunku wystarczającego p=>q wyrażonego spójnikami „i”(*) i „lub”(+) nie ma mowy o jakimkolwiek „rzucaniu monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła” które dostaniemy przy definicji implikacji prostej p|=>q definiowanej zdaniami warunkowymi „Jeśli p to q” dającej odpowiedź na pytanie o p i ~p.
Szczegóły poznamy za chwilkę.
3.6.2 Funkcja logiczna algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemian
Pojęcie funkcji logicznej algebry Boole’a to pięta Achillesowa ziemskich matematyków.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. ~p*~q) przypisane do tej funkcji.
Przykłady poprawnych funkcji logicznych:
Y = ~p*~q
Y = p+q
Y = p*~q+~p*q
etc
Wniosek z definicji funkcji logicznej:
Nie jest funkcją logiczną zapis uwzględniający choćby jedno wartościowanie dowolnej ze zmiennej binarnej.
Przykładowe zapisy które nie spełniają definicji funkcji logicznej to:
Y=1<=>p+q
Y=0<=>~p*~q
etc
Definicja spójnika „albo”($) w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p$q =p*~q+~p*q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Definicja spójnika równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
Y = p<=>q = p*q+~p*~q - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
Kolejność wykonywania działań w świecie techniki:
nawiasy, „i”(*), „lub”(+)
Właściwości funkcji logicznej Y:
Dowolną funkcję logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować
Y = p$q = p~q+ ~pq - zapis poprawny w świecie techniki (inżynierowie elektronicy)
Algorytm skróconego przejścia do logiki ujemnej (bo ~Y):
1.
Uzupełniamy brakujące spójniki i nawiasy:
Y = p$q = (p*~q) + (~p*q) - funkcja alternatywno-koniunkcyjna
2.
Przejście do logiki ujemnej (bo ~Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników:
~Y = ~(p$q) = (~p+q)*(p+~q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
3.
Jedyną funkcją logiczną zrozumiałą dla człowieka (od 5-cio latka poczynając) jest funkcja alternatywno-koniunkcyjna, stąd musimy wymnożyć wielomian logiczny 2 (każdy z każdym)
~Y = ~(p$q) = (~p+q)*(p+~q) = ~p*p + ~p*~q + q*p + q*~q = p*q + ~p*~q = p<=>q
~Y=~(p$q) = (p*q)+(~p*~q) = p<=>q
bo:
p*~p =0 - prawo algebry Boole’a
0+x=x - prawo algebry Boole’a
q*p = p*q - iloczyn logiczny (*) jest przemienny
stąd mamy:
~Y = ~(p$q) = p*q + ~p*~q = p<=>q
bo definicja równoważności p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
4.
Przejście z funkcją 3 do logiki dodatniej (bo Y) poprzez negację zmiennych i wymianę spójników na przeciwne
Y = p$q = (~p+~q)*(p+q) = ~(p<=>q) - funkcja koniunkcyjno-alternatywna
Stąd mamy znane każdemu matematykowi.
Twierdzenie Małpki:
Każda funkcja alternatywno-koniunkcyjna ma swój odpowiednik w postaci funkcji koniunkcyjno-alternatywnej (i odwrotnie).
Dowód na naszym przykładzie:
1: Y=p$q = p*~q+~p*q [=] 4: Y = p$q = (~p+~q)*(p+q)
3: ~Y=~(p$q) = p*q+~p*~q [=] 2: ~Y=~(p$q) = (~p+q)*(p+~q)
Świat techniki (inżynierowie elektronicy) doskonale zna pojęcie funkcji logicznej w algebrze Boole’a - sam z tego świata przybyłem.
Dowód:
W żadnym katalogu bramek logicznych nie znajdziemy opisu choćby jednej bramki logicznej przedstawionej w postaci wyrażenia algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznej Y.
Przykład:
[link widoczny dla zalogowanych]
| Texas Instruments - pionier układów TTL napisał: |
74HC86
They perform the Boolean function Y = A*~B + ~A*B
|
Oczywistym jest że nie jest funkcją Boole’a samo wyrażenie algebry Boole’a:
A*~B+~A*B
Wyłącznie jełopy mogą tego nie wiedzieć.
Podsumowując:
1.
Ziemski matematyk który nie zna poniższej definicji funkcji algebry Boole’a powinien spalić się ze wstydu.
Definicja funkcji logicznej Y w algebrze Boole’a:
Funkcja logiczna Y w algebrze Boole’a to dowolne wyrażenie algebry Boole’a (np. p*~q+~p*q) przypisane do tej funkcji.
Przykład:
Y = (p$q) = p*~q+~p*q
2.
Ziemski matematyk który nie wie, że dowolną funkcje logiczną można tylko i wyłącznie dwustronnie zanegować powinien wziąć zimny prysznic.
Nasz przykład:
~Y = ~(p$q) = p*q + ~p*~q
Stąd mamy prawa De Morgana mówiące o związku logiki dodatniej (bo Y) z logiką ujemną (bo ~Y):
I.
Logika dodatnia (bo Y) to zanegowana logika ujemna (bo ~Y):
Y=~(~Y) = ~(p*q+~p*~q) = p*~q+~p*q
II.
Logika ujemna (bo ~Y) to zanegowana logika dodatnia (bo Y):
~Y=~(Y) = ~(p*~q+~p*q) = p*q + ~p*~q
3.6.3 Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego
Dowód wewnętrznej sprzeczności ziemskiego rachunku zero-jedynkowego:
Ziemski rachunek zero-jedynkowy który w wypełnianiu tabel zero-jedynkowych operuje tylko i wyłącznie wyrażeniami algebry Boole’a ignorując totalnie zarówno funkcje logiczne w logice dodatniej (bo Y) i jak i funkcje logiczne w logice ujemnej (bo ~Y) jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
Twardy dowód to podana wyżej tabela spójników logicznych (TSL) zapisana wyłącznie w postaci wyrażeń algebry Boole’a z pominięciem funkcji logicznych Y i ~Y.
Dokładnie ten błąd fatalny popełniają wszyscy ziemscy matematycy.
| Kod: |
TSL’ - tabela spójników logicznych
po zostawieniu wyłącznie wyrażeń algebry Boole’a
A: Spójnik „lub”(+)
1. p+q # 2. ~p*~q
##
B: Spójnik „i”(*)
1. p*q # 2. ~p+~q
##
C: Warunek wystarczający =>
1. ~p+q # 2. p*~q
##
D. Warunek konieczny ~>
1. p+~q # 2. ~p*q
##
E. Implikacja prosta p|=>q
1. ~p*q # 2. p+~q
##
F. Implikacja odwrotna p|~>q
1. p*~q # 2. ~p+q
##
G. Równoważność p<=>q
1. p*q+~p*~q # 2. p*~q+~p*q
##
H. Spójnik „albo”($) p$q
1. p*~q+~p*q # 2. p*q+~p*~q
##
I. Chaos p|~~>q
1. =0 # 2. =1
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest zaprzeczeniem drugiej
## - różne na mocy definicji funkcji logicznych
|
Definicja znaczka różne #:
Dowolna strona znaczka różne jest negacją drugiej strony
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## dla funkcji logicznych:
Dwie funkcje logiczne są różne na mocy definicji ## wtedy i tylko wtedy gdy nie są tożsame i żadna z nich nie jest zaprzeczeniem drugiej
Zauważmy, że po zostawieniu w tabeli TSL samych wyrażeń algebry Boole’a definicja znaczka różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony jest wszędzie spełniona.
ALE!
Definicja znaczka różne na mocy definicji ## jest gwałcona w następujących miejscach:
| Kod: |
TSL’
C1: ~p+q [=] F2:~p+q
D1: p+~q [=] E2: p+~q
E1: ~p*q [=] D2:~p*q
F1: p*~q [=] C2: p*~q
G1: p*q+~p*~q [=] H2: p*q+~p*~q
H1: p*~q+~p*q [=] G2: p*~q+~p*q
|
cnd
Wniosek:
Rachunek zero-jedynkowy ziemskich matematyków jest wewnętrznie sprzeczny na poziomie funkcji logicznych.
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 7:41, 22 Sie 2021, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Irbisol
Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 15447
Przeczytał: 27 tematów
|
| Wysłany: Sob 13:56, 21 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
To kiedy to ostatnie czytanie (na początku strony miało być)? Czy może w twojej logice "ostatnie" znaczy co innego niż w naszej?
BTW. Jest jakaś kliniczna nazwa na przypadłość, którą tu obserwujemy?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35500
Przeczytał: 17 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 4:27, 22 Sie 2021 Temat postu: |
|
|
Rozwiązywanie lokalnych problemików w algebrze Kubusia!
Problemik Nr.1
Dlaczego w algebrze Kubusia prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian prawo eliminacji implikacji) jest czasami błędem czysto matematycznym.
W zanadrzu mam rozwiązany jeszcze jeden istotny problemik, dowiesz się Irbisolu jaki, jak podejmiesz dyskusję!
W związku z odkryciem problemiku Nr.1 „Nowa algebra Boole’a” idzie do poprawki, bo nie da się spójnikami „i”(*) i „lub”(+) cokolwiek rozstrzygać w temacie warunku wystarczającego => czy też warunku koniecznego ~> - z definicji się nie da!
Błędnie matematycznie próbowałem wcisnąć definicje warunku wystarczającego => i koniecznego ~> do spójników „i”(*) oraz „lub”(+).
To jest problemik Nr.2 którym zajmę się za chwilkę.
Wstęp konieczny do zrozumienia niniejszego artykułu:
Algebra Kubusia to fundamentalnie inna filozofia logiki matematycznej, niż w jakiejkolwiek logice matematycznej znanej ziemianom, gdzie w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” poprzednik p ma ścisły związek matematyczny z następnikiem q.
1.
Warunek wystarczający =>:
„Jeśli p to q”
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
„Jeśli p to q”
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
inaczej:
p~>q =0
3.
Zdarzenie możliwe ~~> w zdarzeniach lub element wspólny zbiorów ~~> w zbiorach:
Zdarzenia:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy możliwe jest jednoczesne zajście zdarzeń p i q
inaczej;
p~~>q = p*q =0
Zbiory:
„Jeśli p to q”
p~~>q = p*q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy istnieje element wspólny zbiorów p i q
inaczej:
p~~>q = p*q =0
Koniec!
Te trzy definicje to matematyczny fundament obsługi wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” w algebrze Kubusia. Spójniki „i”(*) i „lub”(+) pełnią w algebrze Kubusia wyłącznie funkcje pomocnicze (przygotowawcze) dla zdań warunkowych „Jeśli p to q” gdzie podejmuje się decyzję o wszelkich rozgałęzieniach logiki (= programu komputerowego).
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego => w „i”(*) i „lub”(+)
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~> w „i”(*) i „lub”(+)
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Czy Irbisol podejmie dyskusję której zalążkiem jest niniejszy artykuł?
… oto jest pytanie.
Podpowiedź:
Irbisol zna bardzo dobrze gówno zwane Klasycznym Rachunkiem Zdań ale jest prawie pewne, że zrobi to co zwykle, czyli w panice zwieje w krzaki udając że nie czytał niniejszego artykułu.
| Irbisol napisał: | To kiedy to ostatnie czytanie (na początku strony miało być)? Czy może w twojej logice "ostatnie" znaczy co innego niż w naszej?
BTW. Jest jakaś kliniczna nazwa na przypadłość, którą tu obserwujemy? |
Co do wytłuszczonego:
Dowód iż fanatycy Klasycznego Rachunku Zdań to pacjenci zakładu zamkniętego bez klamek masz we wstępie do algebry Kubusia tu:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego,19257.html#604299
Dzięki Irbisolu że czytasz…
Algebra Kubusia ulega ciągłym udoskonaleniom polegającym na upraszczaniu przekazu i rozwiązywaniu lokalnych problemików.
Zatem dopóki takie udoskonalenia przekazu i rozwiązywanie problemików w ciszy i spokoju będzie miało miejsce, dopóty nie ma sensu abym wychodził z nią na ziemskie fora matematyczne.
Dlaczego nie ma sensu?
Sam doskonale wiesz najlepiej!
Po prostu zacznie się wtedy potworna bijatyka między mną a „twardogłowymi Irbisolami” (czyli w praktyce z 95% ziemskich „matematyków”), zacznie się wojna na definicje. „Twardogłowy Irbisol” będzie używał definicji rodem z potwornie śmierdzącego gówna zwanego Klasyczny Rachunek Zdań nie przyjmując do wiadomości tzn. nie akceptując ani jednej definicji z algebry Kubusia.
Po obu stronach będzie to straszliwa wojna typu „gadał dziad do obrazu” ciągnąca się w nieskończoność bo 100% definicji w algebrze Kubusia jest sprzecznych z definicjami w KRZ!
Czyż nie tak wyglądała nasza dyskusja w tym wątku?
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/szach-mat-ktory-przejdzie-do-historii-matematyki,15663.html#505427
Sam sobie odpowiedz na to pytanie.
Podsumowując:
Dopóki będę upraszczał przekaz algebry Kubusia (non stop to robię) i rozwiązywał lokalne problemiki, dopóty nie interesuje mnie bijatyka między mną a „twardogłowymi Irbisolami”.
Możliwe, że nie starczy mi życia by upraszczać przekaz i rozwiązać wszystkie problemiki w AK, lepszym jednak wyjściem jest rozwiązanie jak największej liczby lokalnych problemików (jak w tym artykule opisany Nr.1) niż moja bijatyka z „twardogłowymi Irbisolami” uniemożliwiająca zauważenie tych problemików.
Jakie to problemiki?
Na ten moment mam dwa problemiki które budząc się ze snu w dniu dzisiejszym (jest 2021-08-22 godz. 4:20) rozwiązałem - od dawna wiem, że najlepszy kontakt z Kubusiem mam w czasie snu, gdyż najważniejsze problemiki rozwiązuję tuż po przebudzeniu.
Problemik Nr.1
Wyjaśnienie dlaczego ziemskie prawo eliminacji warunku wystarczającego => (ziemianie błędnie nazywają to implikacją) jest czasami błędem czysto matematycznym!
p=>q = ~p+q
W algebrze Kubusia zachodzą tożsamości:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
Weźmy takie zdanie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Definicja warunku wystarczającego => jest (=1) spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
Obliczenia zbiorów:
W algebrze Kubusia zbiory mają wartości logiczne:
p=[x] =1 - gdy zbiór niepusty, zawierający co najmniej jeden element
p=[] =0 - gdy zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Przyjmijmy dziedzinę minimalną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy:
Poprzednik mówi o zbiorze:
P=1 - zbiór jednoelementowy „pies”
P=[pies] - zbiór jednoelementowy „pies”.
Następnik mówi o zbiorze „nie kot” rozumianym jako uzupełnienie zbioru K=[kot] do dziedziny ZWZ:
~K=[ZWZ-K] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o jedno zwierzę „kota”
~K=[pies, słoń, kura ..]
Definicje pozostałych zbiorów koniecznych do analizy matematycznej zdania A1:
~P=1 - zbiór „nie pies” rozumiany jako uzupełnienie zbioru P=[pies] do wspólnej dziedziny ZWZ:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „psa”
~P=[kot, słoń, kura ..]
K=[kot] - zbiór jednoelementowy „kot”
Zastosujmy do zdania A1 prawo Kubusia.
Prawo Kubusia w zapisie formalnym:
A1: p=>q = A2: ~p~>~q
Nasz przykład:
A1: P=>~K = A2:~P~>K
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Z prawa Kubusia wynika, że nie musimy dowodzić prawdziwości zdania A2, bowiem prawdziwość A2 gwarantuje nam prawo Kubusia!
Definicja dowodu „nie wprost”
Dowód „nie wprost” to dowód prawdziwości/fałszywości dowolnego zdania z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (tu prawa Kubusia).
Sam widzisz Irbisolu, że totalnie wszystko masz w swoim gównie zwanym KRZ spieprzone, definicję dowodu „nie wprost” także bo zawężasz dowód „nie wprost” wyłącznie do prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>
p=>q = ~q=>~p.
Wypowiedzmy zdanie A2:
A2.
Jeśli dowolne zwierzę nie jest psem (~P=1) to może ~> być kotem (K=1)
~P~>K =1
Definicja warunku koniecznego ~> jest (=1) spełniona bo zbiór ~P=[kot, słoń, kura ..] jest nadzbiorem ~> zbioru K=[kot]
cnd
Prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian znaczek => błędnie zwany jest implikacją):
p=>q = ~p+q
Wypowiedzmy ponownie zdanie A1.
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =?
Skorzystajmy z prawa eliminacji warunku wystarczającego =>:
P=>~K = ~P+~K =?
Czym jest zbiór po prawej stronie?
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o „psa”
~P=[kot, słoń, kura ..]
~K=[ZWZ-K] - zbiór wszystkich zwierząt pomniejszony o jedno zwierzę „kota”
~K=[pies, słoń, kura ..]
Doskonale widać, że zachodzi tożsamość zbiorów:
ZWZ = ~P+~K
Oczywiście każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego.
Po skorzystaniu z prawa eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian z prawa eliminacji implikacji) mamy tu do czynienia z ewidentną równoważnością
ZWZ<=>(~P+~K) = (A1: ZWZ=>(~P+~K))*(B1: ZWZ~>(~P+~K)) =1*1 =1
cnd
Stąd mamy fałszywy wniosek jakoby zdanie A1 wchodziło w skład powyższej równoważności.
Dlaczego ten wniosek jest fałszem?
Dowodzimy prawdziwości/fałszywości zdania A1 ze zmienionym warunkiem wystarczającym => na warunek konieczny ~>.
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> nie jest kotem (~K=1)
P~>~K =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest (=0) tu spełniona do zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
Prawidłowy wniosek!
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>~K o definicji:
A1: P=>~K =1 - warunek wystarczający => jest (=1) spełniony bo:
zbiór P=[pies] jest (=1) podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
B1: P~>~K =0 - warunek konieczny ~> nie jest (=0) spełniony bo:
zbiór P=[pies] nie jest (=0) nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
Stąd mamy spełnioną definicję implikacji prostej P|=>~K:
Implikacja prosta P|=>~K to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku (dowód wyżej)
P|=>~K = (A1: P=>~K)*~(B1: P~>~K) = 1*~(0) =1*1 =1
Powtórzmy:
Poprawny wniosek!
Zdanie A1 jest częścią implikacji prostej P|=>~K
Twierdzenie Irbisa:
Dowolna implikacja prosta p|=>q jest rozłączna z równoważnością p<=>q
Oczywiście:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia na poziomie szkoły podstawowej.
Dowód:
Definicja równoważności p<=>q:
Równoważność to zachodzący jednocześnie zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) miedzy tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla zajścia q
Dowód iż ta definicja równoważności jest powszechnie znana (nie tylko wśród matematyków).
Klikamy na googlach:
„koniecznym i wystarczającym”
Wyników: 7 810
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 118 000
Definicja implikacji prostej p|=>q:
Implikacja prosta p|=>q to zachodzący wyłącznie warunek wystarczający => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) = 1*~(0) =1*1 =1
Stąd mamy:
(p<=>q)*(p|=>q) = [(A1: p=>q)*(B1: p~>q)]*[ (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)] =0
bo:
(B1: p~>q)*~(B1: p~>q) =0
x*~x =0 - prawo algebry Boole’a
Innymi słowy:
Dowolna implikacja prosta p|=>q jest rozłączna z równoważnością p<=>q
Co to oznacza?
Oznacza to, że jeśli dowolne zdanie warunkowe „Jeśli p to q” wchodzi w skład implikacji prostej p|=>q to na 100% to samo zdanie nie ma prawa wchodzić w skład równoważności p<=>q.
Zauważmy, że nieznane ziemianom prawo Kameleona samo nam tu wyskoczyło.
Prawo Kameleona:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Dowód na naszym przykładzie:
A1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% => nie jest kotem (~K=1)
P=>~K =1
Definicja warunku wystarczającego => jest spełniona bo zbiór P=[pies] jest podzbiorem => zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
B1.
Jeśli dowolne zwierzę jest psem (P=1) to na 100% ~> nie jest kotem (~K=1)
P~>~K =0
Definicja warunku koniecznego ~> nie jest tu spełniona do zbiór P=[pies] nie jest nadzbiorem ~> zbioru ~K=[pies, słoń, kura ..]
cnd
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to zdania te są różna na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
Dowód:
p=>q = ~p+q ## p~>q =p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Zdania A1 i B1 rozróżniamy wyłącznie po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wbudowanych w treść zdań.
Pytania do Irbisola:
1.
Czy zgadzasz się że nie zawsze prawo eliminacji warunku wystarczającego => (u ziemian implikacji) jest matematycznie poprawne? - dowód kiedy nie jest masz wyżej.
2.
Czy zgadzasz się na twierdzenie Irbisa mówiące o rozłączności implikacji prostej p|=>q i równoważności p<=>q?
3.
Czy zgadzasz się na prawo Kameleona? - dowód kiedy prawo Kameleona działa masz wyżej.
4.
Czy zgadzasz się że definicja dowodu „nie wprost” jest w ziemskiej matematyce spieprzona bo jest niepełna.
Ziemianie w logice matematycznej znają wyłącznie prawo kontrapozycji:
p=>q = ~q=>~p
… a gdzie pozostałe prawa logiki matematycznej jak we wstępie do niniejszego artykułu?
tzn. gdzie masz w ziemskiej logice „matematycznej” prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>?
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 12:05, 22 Sie 2021, w całości zmieniany 13 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
