 |
ŚFiNiA
ŚFiNiA - Światopoglądowe, Filozoficzne, Naukowe i Artystyczne forum - bez cenzury, regulamin promuje racjonalną i rzeczową dyskusję i ułatwia ucinanie demagogii. Forum założone przez Wuja Zbója.
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
 Wysłany: Pią 17:06, 07 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| Irbisol napisał: |
Czyli wg ciebie zbiór "naciśnięty przycisk" jest tożsamy ze zbiorem "żarówka świeci"?
"Świecące żarówki" są podzbiorem "naciśniętych przycisków" i na odwrót? |
Problem spójnika "albo"($) łatwo przedstawić w zdarzeniach typu:
W dowolnej chwili czasowej żarówka może się świecić (S) albo być zgaszona (Z)
Równanie spójnika "albo"($):
Y = S$Z = ~S$~Z = (S=>~Z) = (~S=>Z) ## S<=>Z
Omówienie "albo"($) z zdarzeniach jak wyżej znajdziemy w pkt. 8.2
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#698381
Jak widzimy, Irbisol jest wrogiem teorii zdarzeń i jest w stanie zaakceptować wyłącznie teorię zbiorów?
Bardzo proszę Irbisolu, w AK znajdziesz też spójnik "albo"($) w wersji na zbiorach (pkt. 17.0).
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937-25.html#708563
Cytuję:
17.0 Spójnik "albo"($) jako szczególny przypadek równoważności <=>
"$" - znaczek spójnika "albo" w algebrze Kubusia
Spójnik "albo"($) p$q to szczególny przypadek równoważności p<=>~q a nie szczególny przypadek spójnika "lub"(+), jak wielu, nawet matematyków uważa.
Dowód w niniejszym punkcie.
Spójnik "albo"($) to najtrudniejszy do zrozumienia spójnik implikacyjny, dlatego w niniejszym rozdziale prezentuję pełną jego definicję na przykładzie mężczyzny (M) i kobiety (K).
Brzytwa Ockhama - zasada, zgodnie z którą w wyjaśnianiu zjawisk należy dążyć do prostoty, wybierając takie wyjaśnienia, które opierają się na jak najmniejszej liczbie pojęć i założeń.
W języku potocznym czasami zdarza się (rzadko), że człowiek wbrew brzytwie Ockhama, nadaje zaprzeczonemu pojęciu nazwę specjalną bez przeczenia.
Przykład:
nie kobieta (~K) = mężczyzna (M)
Spójnik "albo"($) wielu ludziom sprawia kłopoty, wielu utożsamia go spójnikiem "lub"(+) co jest błędem czysto matematycznym.
Tymczasem spójnik "albo"($) to trywialny, szczególny przypadek równoważności <=> opisany poniższym równaniem.
Równanie spójnika "albo"($):
| Kod: |
A: 1: p$q [=] 2: p<=>~q [=] 3: ~p<=>q ## 4: p<=>q
Gdzie:
[=] - tożsamość logiczna
## - różne na mocy definicji
|
Definicja tożsamości logicznej [=]:
Prawdziwość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza prawdziwość pozostałych członów (i odwrotnie)
Fałszywość dowolnego członu tożsamości logicznej [=] wymusza fałszywość pozostałych członów (i odwrotnie)
Potoczna definicja spójnika "albo"($):
Spójnik "albo" to wybór jednej z dwóch dostępnych możliwości.
Trzeciej możliwości brak.
p$q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy do wyboru są wyłącznie dwie możliwości p albo q
inaczej:
p$q=0
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość zbiorów p=q (i odwrotnie)
Stąd mamy:
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
| Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: p$q=1 [=] 2: p<=>~q=1 [=] 3: ~p<=>q=1 ## 4: p<=>q=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość mamy zbiorów w równoważności 2 i 3:
B: 2: (p=~q)=1 # 3: (~p=q)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Sens spójnika "albo"($) najłatwiej zrozumieć na konkretnym przykładzie w zbiorach.
Przykładem na którym łatwo pokazać o co chodzi w spójniku "albo"($) jest zbiór wszystkich ludzi.
Oznaczmy:
C (człowiek) zbiór wszystkich ludzi (dziedzina)
M - zbiór mężczyzn
K - zbiór kobiet
Matematycznie zachodzi w zbiorach:
C = M+K
Mamy dwa zbiory niepuste M i K uzupełniające się wzajemnie do dziedziny C
Stąd:
~M = [C-M] = [M+K-M]=K
~K = [C-K] = [M+K-K] =M
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa:
| Kod: |
Równanie spójnika "albo"($) z uwzględnieniem prawa Irbisa
A: 1: M$K=1 [=] 2: M<=>~K=1 [=] 3: ~M<=>K=1 ## 4: M<=>K=0
Na mocy prawa Irbisa zachodzi tożsamość zbiorów w równoważności 2 i 3:
B: 2: (M=~K)=1 # 3: (~M=K)=1
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji
|
Czytamy:
A1.
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M=1) "albo"($) albo kobietą (K=1)
M$K =1
[=]
A2.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie jest kobietą (~K=1)
M<=>~K =1
[=]
A3.
Człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
~M<=>K =1
##
A4.
Człowiek jest mężczyzną (M=1) wtedy i tylko wtedy gdy jest kobietą (K=1)
M<=>K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M=1) i kobietą (K=1)
Na mocy prawa Irbisa w A4 zachodzi:
Mężczyzna (M) ## Kobieta (K)
M ## K
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Innymi słowy:
Pojęcie mężczyzna (M) jest różne na mocy definicji ## od pojęcia kobieta (K)
Prawo Irbisa:
Dowolna równoważność prawdziwa p<=>q=1 definiuje tożsamość pojęć p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa środek (B2 i B3) czytamy:
B2.
Pojęcie "mężczyzna" (M=1) jest (=1) tożsame "=" z pojęciem "nie kobieta" (~K=1)
(M=~K) =1
#
B3.
Pojęcie "nie mężczyzna" (~M) jest (=1) tożsame z pojęciem "kobieta" (K=1)
(~M=K) =1
B2 vs B3:
Matematycznie zachodzi:
B2: (M=~K) # B3: (~M=K)
B2:
Zbiór mężczyzn (M) to zaprzeczenie # zbioru kobiet (K) we wspólnej dziedzinie C (człowiek)
B3:
Zbiór kobiet (K) to zaprzeczenie # zbioru mężczyzn (M) we wspólnej dziedzinie C ( człowiek)
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
17.1 Definicja spójnika „albo”($) p$q zilustrowana przykładem M$K
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od p (p) do zanegowanego q (~q)
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
Czytamy:
Zdanie ze spójnikiem „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Powyższa definicja równoważności p<=>~q znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)= A1B1: p<=>~q
Środek czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Nasz przykład:
p=M (mężczyzna)
q=K (kobieta)
A1B1:
Definicja spójnika „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K):
Spójnik „albo” M$K w logice dodatniej (bo z) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> w kierunku od M (M) do zanegowanego K (~K)
A1: M=>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
B1: M~>~K =1 - bycie mężczyzną (M=1) jest (=1) konieczne ~> by nie być kobietą (~K=1)
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) =1*1 =1
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>~q definiuje tożsamość zdarzeń p=~q (i odwrotnie)
Stąd mamy tabelę prawdy spójnika "albo"($) z uwzględnieniem definicji kontrprzykładu ~~> i prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3:~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0 4: K~~>M=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K=1 [=] 3:~K=>M=1 = 4: K~>~M=1 [=] 5: M+ K =1
B': 2:~M~~>~K=0 3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3:~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Wyjaśnienia dla tabeli prawdy TA:
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach dla spójnika "albo"($):
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>~q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>q=p*q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>~q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>q=p*q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>~q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>q=p*q=1
(i odwrotnie)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p=>q =~p+q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
A1: p=>~q = ~p+~q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p~>q = p+~q
Stąd:
W spójniku "albo"($) mamy:
B1: p~>~q = p+~(~q) = p+q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($) p$q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego ~> w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd mamy:
Definicja spójnika "albo"($) p$q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p$q = p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =(~p+~q)*(p+q)= ~p*p+ ~p*q+ ~q*~p+ ~q*q = p*~q + ~p*q
Do zapamiętania:
Definicja spójnika "albo"($) wyrażona spójnikami "i"(*) i "lub"(+)
p$q = p*~q+~p*q
W tabeli TA na mocy kolumny A2B2 odczytujemy tożsamą definicję spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q).
A2B2.
Definicja spójnika "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) to zachodzenie zarówno warunku koniecznego ~>, jak i wystarczającego => w kierunku od ~p do q
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
stąd:
A2B2: ~p$~q = ~p<=>q = (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q) =1*1=1
Czytamy:
Spójnik "albo"($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniony wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Ta wersja równoważności jest powszechnie znana wszystkim ludziom (w tym matematykom):
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 8 630
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 49 000
Matematycznie zachodzi tożsamość logiczna [=]:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
[=]
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Dowodem są tu prawa Kubusia:
A1: p=>~q = A2: ~p~>q
B1: p~>~q = B2: ~p=>q
cnd
Dowód tożsamy to skorzystanie z definicji spójnika "albo"($) p$q w spójniach "i"(*) i "lub"(+):
p$q = p*~q + ~p*q
Mamy do udowodnienia tożsamość logiczną:
A1B1: p$q [=] A2B2: ~p$~q
Definicja spójnika "albo" p$q:
p$q = p*~q + ~p*q
Rozwijamy prawą stronę (A2B2) tożsamości logicznej [=] powyższą definicją:
A2B2: ~p$~q = (~p*)~(~q) + ~(~p)*(~q) = ~p*q + p*~q = p*~q + ~p*q = A1B1: p$q
cnd
Definicja tożsamości logicznej „=”:
Prawdziwość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza prawdziwość drugiej strony
Fałszywość dowolnej strony tożsamości logicznej „=” wymusza fałszywość drugiej strony
Gdzie:
„=”, [=], <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej.
W tabeli prawdy TA spójnika "albo"($) doskonale widać że:
1.
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zdarzeń p=~q:
A1B1:
Dwa zdarzenia p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q = A1B1: p$q
W "albo"($) p$q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Nasz przykład:
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K = A1B1: M$K
2.
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zdarzeń ~p=q:
A2B2:
Dwa zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q = A2B2: ~p$~q
W "albo"($) ~p$~q mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Nasz przykład:
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K = A2B2: ~M$~K
3.
Kolumna A3B3 definiuje tożsamość zdarzeń ~q=p:
A3B3.
Dwa zdarzenia ~q i p są tożsame ~q=p wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~q jest konieczne ~> (A3) i wystarczające => (B3) dla zajścia p.
A3B3: ~q=p <=> (A3: ~q~>p)*(B3: ~q=>p) = A3B3: ~q<=>p = A3B3: ~q$~p
W "albo"($) ~q$~p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~q?
Nasz przykład:
A3B3: ~K=M <=> (A3: ~K~>M)*(B3: ~K=>M) = A3B3: ~K<=>M = A3B3: ~K$~M
4.
Kolumna A4B4 definiuje tożsamość zdarzeń q=~p:
A4B4:
Dwa zdarzenia q i ~p są tożsame q=~p wtedy i tylko wtedy gdy zajście q jest konieczne ~> (B4) i wystarczające => A4) dla zajścia ~p
A4B4: q=~p <=> (A4: q=>~p)*(B4: q~>~p) = A4B4: q<=>~p = A4B4: q$p
W "albo"($) q$p mamy tu odpowiedź na pytanie:
Co może się wydarzyć jeśli zajdzie q?
Nasz przykład:
A4B4: K=~M <=> (A4: K=>~M)*(B4: K~>~M) = A4B4: K<=>~M = A4B4: K$M
Przemienność w tożsamości zbiorów jest oczywista, stąd mamy tożsamości:
A1B1: p=~q [=] A3B3: ~q=p
Nasz przykład:
Zbiór mężczyzn (M) jest tożsamy [=] z zanegowanym zbiorem kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
A1B1: M=~K [=] A3B3: ~K=M
#
A2B2: ~p=q [=] A4B4: q=~p
Nasz przykład:
Zanegowany zbiór mężczyzn (~M) jest tożsamy [=] ze zbiorem kobiet (K) w dziedzinie C (człowiek)
A2B2: ~M=K [=] A4B4: K=~M
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż dowolna strona # jest negacją drugiej strony we wspólnej dziedzinie D
17.1.1 Operator "albo"($) p|$q w logice dodatniej (bo q)
Zapiszmy wyprowadzoną wyżej tabelę prawdy spójnika "albo"($) p$q z uwzględnieniem prawa Irbisa.
| Kod: |
TA
Tabela prawdy spójnika „albo”($) p$q uwzględniająca prawa Irbisa
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
w spójniku „albo”($) p$q
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd mamy definicję spójnika „albo”($) w równaniu logicznym:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) =1*1 =1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>~q=1 = 2:~p~>q=1 [=] 3:~q~>p=1 = 4: q=>~p=1 [=] 5: ~p+~q =1
A': 1: p~~>q=0 4: q~~>p=0
Nasz przykład:
A: 1: M=>~K=1 = 2:~M~>K=1 [=] 3:~K~>M=1 = 4: K=>~M=1 [=] 5: ~M+~K =1
A': 1: M~~>K=0 4: K~~>M=1
## ## ## ## ##
B: 1: p~>~q=1 = 2:~p=>q=1 [=] 3:~q=>p=1 = 4: q~>~p=1 [=] 5: p+ q =1
B': 2:~p~~>~q=0 3:~q~~>~p=0
Nasz przykład:
B: 1: M~>~K=1 = 2:~M=>K=1 [=] 3:~K=>M=1 = 4: K~>~M=1 [=] 5: M+ K =1
B': 2:~M~~>~K=0 3:~K~~>~M=0
--------------------------------------------------------------------------
Spójnik „albo”($):
AB: 1: p$q = 2:~p$~q [=] 3:~q$~p = 4: q$p [=] 5: p*~q+~p*q
Nasz przykład:
AB: 1: M$K = 2:~M$~K [=] 3:~K$~M = 4: K$M [=] 5: M*~K+~M*K
Definiuje tożsamość zdarzeń (prawo Irbisa):
AB: 1: p<=>~q = 2:~p<=>q | 3:~q<=>p = 4: q<=>~p
1: p=~q # 2:~p=q | 3:~q=p # 4: q=~p
Nasz przykład:
AB: 1: M<=>~K = 2:~M<=>K | 3:~K<=>M = 4: K<=>~M
1: M=~K # 2:~M=K | 3:~K=M # 4: K=~M
Gdzie:
# - różne # w znaczeniu iż jedna strona jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
Prawa Sowy dla spójnika „albo”($):
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Ax (ABx)
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx (ABx) wymusza prawdziwość wszystkich zdań serii Bx (ABx)
Definicja spójnika „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo q):
Spójnik „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) to kolumna A1B1 dająca odpowiedź na pytanie o p
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Z prawa Sowy wynika, iż udowodnienie prawdziwości spójnika „albo”($) p$q jest tożsame z udowodnieniem prawdziwości operatora „albo”(|$) p|$q i odwrotnie.
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A1B1:
A1: p=>~q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia ~q
B1: p~>~q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia ~q
Stąd:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1 - co się stanie jeśli zajdzie p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) p$q w logice dodatniej (bo q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q
Prawa strona A1B1 to definicja równoważności p<=>~q:
A1B1: p<=>~q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=1*1 =1
Stąd mamy:
A1B1: p$q = (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Środek A1B1 czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Kolumna A1B1 definiuje tożsamość zdarzeń p=~q:
Dwa zdarzenia p i ~q są tożsame p=~q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia ~q.
A1B1: p=~q <=> (A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = A1B1: p<=>~q
Nasz przykład:
A1B1: M=~K <=> (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = A1B1: M<=>~K
Tożsamość A1B1 czytamy:
Zbiór mężczyzn (M=1) = zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
Innymi słowy:
Mężczyzna (M) to nie kobieta (~K), i odwrotnie
A1B1:
Co się stanie jeśli zajdzie p?
Odpowiedź w postaci zdań warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A1B1:
A1.
Jeśli zajdzie p to na 100% => zajdzie ~q
p=>~q =1
Zajście p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia ~q
Zajście p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia ~q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście zdarzenia p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia ~q
Nasz przykład:
A1.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to na 100% => nie jest kobietą (~K=1)
M=>~K=1
Bycie mężczyzną M (M=1) jest wystarczające => by nie być kobietą (~K=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli zajdzie p to może ~~> zajść q
p~~>q = p*q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: p i q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego A1: p=>~q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu A1’
Nasz przykład:
A1'.
Jeśli dowolny człowiek jest mężczyzną (M=1) to może ~~> być kobietą (K=1)
M~~>K = M*K =0
Niemożliwe jest (=0) by dowolny człowiek był jednocześnie mężczyzną (M) i kobietą (K)
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź mamy w kolumnie A2B2:
A2: ~p~>q =1 - zajście ~p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
B2: ~p=>q =1 - zajście ~p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
Stąd:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) =1*1=1 - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Czytamy:
Definicja spójnika „albo”($) ~p$~q w logice ujemnej (bo ~q) jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Prawa strona A2B2 to definicja równoważności ~p<=>q:
Równoważność ~p<=>q jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy gdy zajście ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q
Stąd mamy:
A2B2: ~p$~q = (A2:~p~>q)*(B2:~p=>q) = ~p<=>q
Nasz przykład:
A2B2: ~M$~K = (A2:~M~>K)*(B2:~M=>K) = ~M<=>K
Środek A2B2 czytamy:
Nie bycie mężczyzną (~M) jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) by być kobietą (K)
Kolumna A2B2 definiuje tożsamość zdarzeń ~p=q:
Dwa zdarzenia ~p i q są tożsame ~p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajęcie ~p jest konieczne ~> (A2) i wystarczające => (B2) dla zajścia q.
A2B2: ~p=q <=> (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)= A2B2: ~p<=>q
Nasz przykład:
A2B2: ~M=K <=> (A2: ~M~>K)*(B2: ~M=>K)= A2B2: ~M<=>K
Tożsamość A2B2 czytamy:
Człowiek nie będący mężczyzną (~M) = człowiek jest kobietą (K)
Innymi słowy:
Jeśli ktoś nie jest mężczyzną (~M) to jest kobietą (K), i odwrotnie
A2B2:
Co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Odpowiedź w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” mamy w kolumnie A2B2:
B2.
Jeśli zajdzie ~p to na 100% => zajdzie q
~p=>q =1
Zajście ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia q
Zajście ~p daje nam (=1) gwarancję matematyczną => zajścia q
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Zajście zdarzenia ~p jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla zajścia zdarzenia q
Nasz przykład:
B2.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to na 100% => jest kobietą (K=1)
~M=>K =1
Nie bycie mężczyzną (~M=1) jest warunkiem wystarczającym => by być kobietą (K=1)
Prawdziwość warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli zajdzie ~p to może ~~> zajść ~q
~p~~>~q = ~p*~q =0
Niemożliwe jest (=0) jednoczesne zajście zdarzeń: ~p i ~q
Dowód „nie wprost” tego faktu wynika z definicji kontrprzykładu, czyli po udowodnieniu prawdziwości warunku wystarczającego B2: ~p=>q=1 mamy gwarancję matematyczną => fałszywości kontrprzykładu B2’
Nasz przykład:
B2'.
Jeśli człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) to może ~~> nie być kobietą (~K=1)
~M~~>~K = ~M*~K =0
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie nie jest kobietą (~K=1)
Dowód:
Zachodzi tożsamość pojęć:
Nie kobieta (~K)= Mężczyzna (M)
~K=M
Stąd mamy:
~M~~>M = ~M*M =0
Czytamy:
Nie może się zdarzyć (=0), że człowiek nie jest mężczyzną (~M=1) i równocześnie jest mężczyzną (M=1)
cnd
Podsumowując:
Spójnik „albo”($) p$q to gwarancja matematyczna => po stronie p, o czym mówi zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie ~p o czym mówi zdanie B2.
Nie ma tu miejsca na najzwyklejsze „rzucanie monetą” w rozumieniu „na dwoje babka wróżyła” jak to mieliśmy w implikacji prostej p|=>q i odwrotnej p|~>q.
Zauważmy, że kolejność wypowiadania zdań tworzących operator „albo”(|$) p|$q (A1’, A1’, B2, B2’) jest bez znaczenia co oznacza, iż zdania w powyższej analizie możemy dowolnie przestawiać
17.1.2 Operator „albo”($) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p):
Operator „albo”($) p|$q w logice dodatniej (bo p) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na dwa pytania o p i ~p:
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy definicję operatora "albo"(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q)
Definicja operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q):
Operator „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) to układ równań A2B2 i A1B1 dający odpowiedź na dwa pytania o ~p i p:
A2B2: ~p$~q= (A2: ~p~>q)*(B2: ~p=>q)=~p<=>q - co się stanie jeśli zajdzie ~p?
A1B1: p$q =(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q)=p<=>~q - co się stanie jeśli zajdzie p?
Wniosek:
Analiza operatora „albo”(|$) ~p|$~q w logice ujemnej (bo ~q) będzie identyczna jak operatora „albo”(|$) p|$q w logice dodatniej (bo q) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 (kiedy zajdzie ~p?) kończąc na kolumnie A1B1 (kiedy zajdzie p?)
17.1.3 Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach
Rozważmy zdanie:
A1.
Dowolny człowiek jest mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
Zdanie tożsame:
Dowolny człowiek może być mężczyzną (M) „albo”($) kobietą (K)
(trzeciej możliwości brak)
M$K= (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)=1*1=1
Czytamy:
Zdanie A1 ze spójnikiem „albo”($) M$K w logice dodatniej (bo K) jest prawdziwe (=1) wtedy i tylko wtedy gdy bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) aby nie być kobietą (~K)
Stąd mamy:
Potoczna definicja spójnika „albo”($):
Spójnik „albo”($) to wybór jednej z dwóch możliwości (trzeciej możliwości brak)
Zauważmy, że prawa strona spójnika „albo”($) to definicja równoważności M<=>~K:
A1B1: M$K = (A1: M=>~K)*(B1: M~>~K)= A1B1: M<=>~K
Środek czytamy:
Bycie mężczyzną (M) jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) by nie być kobietą (~K)
Definicja równoważności M<=>~K znana jest wszystkim ludziom (nie tylko matematykom).
Definicja spójnika „albo”($) jest tu spełniona albowiem zbiór mężczyzn (M) jest rozłączny ze zbiorem kobiet (K) oraz zbiory M i K uzupełniają się wzajemnie do wspólnej dziedziny C (człowiek)
Zapis matematyczny tego faktu to:
C=M+K
Podstawmy udowodnioną definicję spójnika „albo”($) M$K do diagramu ogólnego spójnika „albo”($).
| Kod: |
DA
Diagram „albo”($) M$K w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p=M | q=K |
|------------------------|-------------------------------------------|
| ~q=~K | ~p=~M |
|------------------------|-------------------------------------------|
| A1: p=>~q=1 (p*~q=1) | B2:~p=>q=1 (~p*q=1) |
| A1: M=>~K=1 (M*~K=1) | B2:~M=>K=1 (~M*K=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina to suma logiczna zbiorów niepustych M*~K i ~M*K: |
| D=A1: p*~q+ B2:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| D=A1: M*~K+ B2:~M*K (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>q = p* q=[]=0 - zbiór pusty |
| A1’: M~~>K = M* K=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>~q=~p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~M~~>~K=~M*~K=[]=0 - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram spójnika „albo”($) M$K w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów M=~K i ~M=K |
----------------------------------------------------------------------
Komentarz dla kolumn A1B1 i A2B2
A1B1:
A1: p=>~q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru ~q
A1: M=>~K =1 - zbiór M jest (=1) podzbiorem => zbioru ~K
B1: p~>~q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~q
B1: M~>~K =1 - zbiór M jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru ~K
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A1B1: p$q=(A1: p=>~q)*(B1: p~>~q) = p<=>~q
A1B1: M$K=(A1: M=>~K)*(B1: M~>~K) = M<=>~K
Wniosek:
Równoważność p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
Równoważność M<=>~K definiuje tożsamość zbiorów M=~K
Innymi słowy:
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów p=~q
A1 i B1 definiuje tu tożsamość zbiorów M=~K
A2B2:
A2:~p~>q=1 - zbiór ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q
A2:~M~>K=1 - zbiór ~M jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru K
B2:~p=>q=1 - zbiór ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru q
B2:~M=>K=1 - zbiór ~M jest (=1) podzbiorem => zbioru K
Każdy zbiór jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Stąd:
A2B2: ~p$~q=(A2:~p~>q)*(B2:~p=>q)= ~p<=>q
A2B2: ~M$~K=(A2:~M~>K)*(B2:~M=>K)= ~M<=>K
Wniosek:
Równoważność ~p<=>q definiuje tożsamość zbiorów ~p=q
Równoważność ~M<=>K definiuje tożsamość zbiorów ~M=K
Innymi słowy:
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~p=q
A2 i B2 definiuje tu tożsamość zbiorów ~M=K
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
1.
Definicja spójnika „albo”($) p$q definiuje tożsamość zbiorów p=~q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=q (i odwrotnie)
2.
Spójnik „albo”($) p$q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p i q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny
3.
W definicji spójnika „albo”($) nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 17:17, 07 Kwi 2023, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
 |
|
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Irbisol
Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 15707
Przeczytał: 42 tematy
|
| Wysłany: Pią 18:53, 07 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| Cytat: | Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
|
vs
| Cytat: | Prawo Irbisa:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK
TP=SK <=> A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Innymi słowy czytamy:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbiory SK (twierdzenie proste) i zbiór SK jest (=1) podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne) |
Więc jak w końcu jest?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
fedor
Dołączył: 04 Paź 2008
Posty: 15354
Przeczytał: 36 tematów
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 18:58, 07 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| Irbisol napisał: | | Cytat: | Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
|
vs
| Cytat: | Prawo Irbisa:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK
TP=SK <=> A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Innymi słowy czytamy:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbiory SK (twierdzenie proste) i zbiór SK jest (=1) podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne) |
Więc jak w końcu jest? |
| rafal3006 napisał: |
Kłamiesz |
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 21:06, 07 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
...
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 22:13, 07 Kwi 2023, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pią 22:11, 07 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
Prawa Irbisa!
| Irbisol napisał: | | Cytat: | Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
|
vs
| Cytat: | Prawo Irbisa:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK
TP=SK <=> A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Innymi słowy czytamy:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbiory SK (twierdzenie proste) i zbiór SK jest (=1) podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne) |
Więc jak w końcu jest? |
Jest bardzo prosto.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dowód:
Każde zbiór jest jednocześnie nadzbiorem ~> (B1) i podzbiorem => (A1) samego siebie.
W AK dla zbiorów zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
W zdarzeniach mówimy tylko o warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>, stąd:
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Każde zdarzenie jest zarówno nadzbiorem ~> (B1) jak i podzbiorem => (A1) siebie samego.
Prawo Irbisa dla pojęć:
Dwa pojęcia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Każde pojęcie jest zarówno nadzbiorem ~> (B1) jak i podzbiorem => (A1) siebie samego
Przykład:
p=M (miłość)
q=M (miłość)
Na mocy definicji mamy tożsamość pojęć:
M=M <=> (A1: M=>M)*(B1: M~>M) = M<=>M
Pojęcie M jest rozpoznawalne wtedy i tylko wtedy gdy wiemy "Co to jest nie M (~M)"
Proste jak cep.
Zgadza się?
W pierwszej wersji AK nie rozbijałem logiki matematycznej na teorię zbiorów i teorię zdarzeń bo prawa logiki matematycznej są tu identyczne.
Zdecydowanie prostsza jest teoria zdarzeń (zrozumiała dla 5-cio latka). Postanowiłem więc oprzeć tłumaczenie logiki matematycznej przy pomocy teorii zdarzeń by AK była w pierwszej kolejności zrozumiała dla 5-cio latka, a tym samym dla Irbisola. W Kompendium (w wersji aktualnej) rozdzieliłem teorie zdarzeń od teorii zbiorów bo jak czytelnik zrozumie logikę 5-cio latka, teorię zdarzeń (typu. P=>CH) to z automatu zrozumie teorię zbiorów nieskończonych (typu. P8=>P2)
Ot, i cała tajemnica ... mam nadzieję, że rozumiesz.
Dowód masz w cytacie niżej z pierwszej wersji AK.
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/algebra-kubusia-matematyka-jezyka-potocznego-2022-09-01,21473.html#669611
| rafal3006 napisał: | Algebra Kubusia - matematyka języka potocznego
W logice matematycznej diagramy dla zdarzeń są identyczne jak dla teorii zbiorów.
7.3 Równoważność p<=>q i "albo"($) p$q w pigułce
|
7.4.1 Diagram równoważności p<=>q
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Na mocy tabeli prawdy równoważności TR łatwo rysujemy diagram równoważności w zbiorach/zdarzeniach.
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach.
---------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|-----------------------------------|-------------------------------------|
| q | ~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| p=q # ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Prawa Kubusia: |
| A1: p=>q=~p+q=1 (p*q=1) [=] A2:~p~>~q=~p+q=1 (~p*~q=1) |
| ## | ## |
| B1: p~>q=p+~q=1 (p*q=1) [=] B2:~p=>~q=p+~q=1 (~p*~q=1) |
| Stąd: |
| A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)[=]A2B2:~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)|
|-------------------------------------------------------------------------|
| Tożsamości zbiorów na mocy prawa Irbisa |
| A1B1: p=q # A2B2: ~p=~q |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q (suma logiczna zbiorów/zdarzeń niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty, zdarzenie niemożliwe |
|-------------------------------------------------------------------------|
| Gdzie: |
| # - różne w znaczeniu iż jedna strona # jest negacją drugiej strony |
| ## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>|
| [=], "=", <=> - znaczki tożsamości logicznej |
| p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia |
---------------------------------------------------------------------------
I.
Przed zamianą p i q
A1B1:
A1: p=>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
B1: p~>q =1 - zbiór/zdarzenie p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia q
Stąd:
A1B1: p<=>q=(A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność A1B1: p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A2B2:
A2:~p~>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~q
B2:~p=>~q=1 -zbiór/zdarzenie ~p jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Stąd:
A2B2: ~p<=>~q=(A2:~p~>~q)*(B2:~p=>~q)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność ~p<=>~q definiuje tożsamość zbiorów ~p=~q
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
II
Po zamianie p i q
A3B3:
A3: q~>p =1 - zbiór/zdarzenie q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia p
B3: q=>p =1 - zbiór/zdarzenie q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia p
stąd:
A3B3: q<=>p=(A3: q~>p)*(B3: q=>p)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność q<=>p definiuje tożsamość zbiorów q=p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
A4B4:
A4:~q=>~p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~p
B4:~q~>~p=1 -zbiór/zdarzenie ~q jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~p
Stąd:
A4B4: ~q<=>~p=(A4:~q=>~p)*(B4:~q~>~p)=1*1=1
Dowód prawdziwości:
Równoważność ~q<=>~p definiuje tożsamość zbiorów ~q=~p
Każdy zbiór/zdarzenie jest zarówno podzbiorem => jak i nadzbiorem ~> siebie samego
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne
p=q oraz ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do wspólnej dziedziny D
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pią 22:25, 07 Kwi 2023, w całości zmieniany 5 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Irbisol
Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 15707
Przeczytał: 42 tematy
|
| Wysłany: Pią 22:37, 07 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| rafal3006 napisał: | Prawa Irbisa!
| Irbisol napisał: | | Cytat: | Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
|
vs
| Cytat: | Prawo Irbisa:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności TP<=>SK
TP=SK <=> A1B3: TP<=>SK = (A1: TP=>SK)*(B3: SK=>TP) =1*1=1
Innymi słowy czytamy:
Dwa zbiory TP i SK są tożsame TP=SK wtedy i tylko wtedy gdy zbiór TP jest (=1) podzbiorem => zbiory SK (twierdzenie proste) i zbiór SK jest (=1) podzbiorem => zbioru TP (twierdzenie odwrotne) |
Więc jak w końcu jest? |
Jest bardzo prosto.
Prawo Irbisa dla zbiorów:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> zbioru q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Dowód:
Każde zbiór jest jednocześnie nadzbiorem ~> (B1) i podzbiorem => (A1) samego siebie.
W AK dla zbiorów zachodzi tożsamość:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
W zdarzeniach mówimy tylko o warunkach wystarczającym => i koniecznym ~>, stąd:
Prawo Irbisa dla zdarzeń:
Dwa zdarzenia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście zdarzenia p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia zdarzenia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Dowód:
Każde zdarzenie jest zarówno nadzbiorem ~> (B1) jak i podzbiorem => (A1) siebie samego.
Prawo Irbisa dla pojęć:
Dwa pojęcia p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> i wystarczające => dla zajścia q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q |
Jak odróżniasz p<=>q dla zdarzeń, pojęć i dla zbiorów?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
fedor
Dołączył: 04 Paź 2008
Posty: 15354
Przeczytał: 36 tematów
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 2:19, 08 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| rafal3006 napisał: |
Kłamiesz |
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 6:42, 08 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
Fundamenty algebry Kubusia!
| Irbisol napisał: |
Jak odróżniasz p<=>q dla zdarzeń, pojęć i dla zbiorów? |
Bardzo prosto.
Ogólne prawo Irbisa:
Coś jest tożsame z cosiem wtedy i tylko wtedy gdy spełniona jest definicja równoważności między coś a cosiem (i odwrotnie)
Dla zrozumienia definicji ogólnej prawa Irbisa konieczny jest wstęp, czyli poznanie fundamentów AK - krótki jest, mam nadzieję, że przeczytasz z zaciekawieniem.
Myślę Irbisolu, że nadszedł czas byś poznał fundamenty algebry Kubusia i przestał mówić iż AK ma jakikolwiek związek z KRZ lub z jakąkolwiek logiką matematyczną ziemian - wszystko jest tu fundamentalnie różne od takiego badziewia jak: KRZ, logiki modalne, logiki intuicjonistyczne, czy też modne ostatnio logiki relewantne:
[link widoczny dla zalogowanych]
etc
Zauważ, że logiki relewantne to szmaty próbujące zakryć paradoksy KRZ - niestety, smród gówna zwanego KRZ zawsze wyjdzie na wierzch, nie da się go przykryć.
Cytuję:
[link widoczny dla zalogowanych]
| logiki relewantne napisał: |
Logiki relewantne są logikami nieklasycznymi, rozwinęły się jako próby uniknięcia paradoksów materialnych i ścisłych implikacji. Te tak zwane paradoksy są ważnymi wnioskami, które wynikają z definicji materialnej i ścisłej implikacji, ale przez niektórych są postrzegane jako problematyczne.
Wśród paradoksów implikacji materialnej są następujące:
p->(q->p)
~p->(p->q)
(p->q)+(q->r)
Pierwszy twierdzi, że każde zdanie implikuje zdanie prawdziwe; drugi, że zdanie fałszywe implikuje każde zdanie, a trzeci, że dla dowolnych trzech zdań albo pierwsze implikuje drugie, albo drugie implikuje trzecie. |
Wyłącznie w algebrze Kubusia mamy zero jakichkolwiek paradoksów.
Zwróć szczególną uwagę na prawo Owieczki oraz na definicję definicji.
Po przeczytaniu podaj swoje zastrzeżenia, jeśli będziesz je miał.
Fragment z algebry Kubusia:
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#706217
12.2 Definicje podstawowe w Kubusiowej teorii zbiorów
Przypomnijmy znane już definicje podstawowe.
Definicja pojęcia:
Pojęcie to wyrażenie zrozumiałe dla człowieka
Przykłady pojęć zrozumiałych:
p = [pies, miłość, krasnoludek, ZWZ, LN ...]
Przykłady pojęć niezrozumiałych:
q = [agstd, sdked …]
Pojęcia mają wartości logiczne:
1 = prawda, gdy pojęcie jest zrozumiałe (np. pies)
0 = fałsz, gdy pojęcie jest niezrozumiale (np. agstd)
Prawo Rekina:
Żaden człowiek nie posługuje się w języku potocznym pojęciami których nie rozumie
Definicja elementu zbioru:
Element zbioru to dowolne pojęcie zrozumiałe przez człowieka, które umieści w swoim zbiorze
Definicja zbioru:
Zbiór to zestaw dowolnych pojęć zrozumiałych dla człowieka
Zauważmy, że w definicji zbioru nie ma zastrzeżenia, iż elementem zbioru nie może być podzbiór, czy też zbiór.
Zbiory, podobnie jak pojęcia, mają wartości logiczne:
[x]=1 - zbiór niepusty, zawierający pojęcia zrozumiałe dla człowieka
[] =0 - zbiór pusty, zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Uniwersum człowieka jest dynamiczne tzn. rozszerza się gdy się uczymy (poznajemy nowe pojęcia) i zawęża gdy zapominamy wyuczonych kiedyś pojęć. Na mocy definicji w żadnym momencie nie możemy wyjść poza swoje, indywidualne Uniwersum.
Zauważmy, że zaledwie 40 lat temu pojęcie „Internet” było zbiorem pustym, nie istniało - ale w dniu dzisiejszym już tak nie jest, Uniwersum ludzkości rozszerzyło się o to pojęcie, znane praktycznie każdemu człowiekowi na Ziemi.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka
Czyli:
[] = [agstd, sdked …] - wyłącznie pojęcia niezrozumiałe dla człowieka (jeszcze niezdefiniowane)
Definicja dziedziny absolutnej DA:
Dziedzina absolutna DA to zbiór wszelkich pojęć możliwych do zdefiniowania w naszym Wszechświecie.
Zbiór wszystkich zbiorów:
Zbiór wszystkich zbiorów jest tożsamy z dziedziną absolutną DA.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum U to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Definicja zbioru pustego []:
Zbiór pusty [] to zbiór zawierający zero pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Zbiór pusty zawiera nieskończenie wiele pojęć niezrozumiałych dla człowieka, jeszcze niezdefiniowanych. Definiować elementy w naszym Wszechświecie może wyłącznie człowiek, świat martwy sam sobie nic nie definiuje.
Przed pojawieniem się człowieka na ziemi zawartość zbioru pustego była taka:
[] - wszystkie elementy naszego Wszechświata w sensie absolutnym, nie ma jeszcze człowieka który by cokolwiek definiował.
W dniu dzisiejszym sytuacja jest inna, taka:
| Kod: |
T1
Algebra Kubusia:
-------------------------------------------------------------------
| Zbiór pusty [] | Uniwersum U |
| Pojęcia jeszcze przez człowieka | Pojęcia przez człowieka już |
| niezdefiniowane | zdefiniowane |
| Niezrozumiałe dla człowieka | Zrozumiałe dla człowieka |
| []=~U | U=~[] |
-------------------------------------------------------------------
| DA - dziedzina absolutna |
-------------------------------------------------------------------
|
Na mocy powyższego zachodzi:
[] = ~U - zbiór pusty [] to zaprzeczenie Uniwersum U w dziedzinie absolutnej DA
U = ~[] - zbiór Uniwersum U to zaprzeczenie zbioru pustego [] w dziedzinie absolutnej DA
Na mocy definicji dziedziny absolutnej DA mamy:
1: U+~U = U+[] =U =1
2: U*~U = U*[] =[] =0
Komentarz:
1.
Do zbioru Uniwersum (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) możemy dodać elementy ze zbioru ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka np. kgstl), ale na mocy definicji Uniwersum wszelkie takie elementy musimy natychmiast usunąć, inaczej gwałcimy definicję Uniwersum.
2.
U*~U=[] =0
Iloczyn logiczny elementów ze zbioru U (pojęcia zrozumiałe dla człowieka) i ~U (pojęcia niezrozumiałe dla człowieka) jest zbiorem pustym tzn. nie ma ani jednego elementu wspólnego w zbiorach U i ~U=[].
Prawo Owieczki:
Prawdziwe jest zdanie ziemskich matematyków iż „ze zbioru pustego [] wynika wszystko” wtedy i tylko wtedy gdy definicje zbioru pustego [] i Uniwersum U będą zgodne z definicjami obowiązującymi w algebrze Kubusia.
12.3 Dziedzina
Definicja dziedziny:
Dziedzina to dowolnie wybrany zbiór na którym operujemy
Ograniczeniem górnym w definiowaniu dziedziny jest Uniwersum (zbiór wszystkich pojęć zrozumiałych dla człowieka)
Zbiór pusty [] to zbiór pojęć niezrozumiałych dla człowieka, zatem na tym zbiorze nie możemy operować.
Wniosek:
Z definicji nie możemy przyjąć zbioru pustego za dziedzinę.
12.3.1 Zaprzeczenie zbioru
Definicja zaprzeczenia (~) zbioru:
Zaprzeczeniem (~) zbioru p nazywamy uzupełnienie zbioru p do dziedziny D
~p=[D-p]
Matematycznie zachodzi tożsamość:
Zaprzeczenie zbioru (~) = Negacja zbioru (~)
Uwaga:
Aby zapisać zbiór ~p będący negacją zbioru p musimy określić wspólną dziedzinę dla zbiorów p i ~p
Definicja dziedziny:
p+~p =D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem zbioru p do wspólnej dziedziny D
p*~p =[] =0 - zbiory p i ~p są rozłączne, iloczyn logiczny zbiorów jest zbiorem pustym []
Przykłady:
1.
Przykład na poziomie 5-cio latka:
K = Kubuś
T = Tygrysek
p=[K] - definiujemy zbiór p
D=[K,T] - definiujemy dziedzinę
Stąd:
~p=[D-p] = [(K+T)-K]=[T]
2.
Przykład na poziomie ucznia I klasy LO:
K - zbiór wszystkich kobiet
M - zbiór wszystkich mężczyzn
C (człowiek) - zbiór wszystkich ludzi (wspólna dziedzina dla M i K)
C=M+K - zbiór człowiek to suma logiczna zbiorów M i K
Stąd:
~M=[C-M]=[M+K-M]=K
~K=[C-K]=[M+K-K]=M
Stąd:
K=~M - zbiór kobiet (K) to zanegowany zbiór mężczyzn (~M) w dziedzinie C (człowiek)
M=~K - zbiór mężczyzn (M) to zanegowany zbiór kobiet (~K) w dziedzinie C (człowiek)
12.3.2 Nazwa własna zbioru
Rozróżniamy dwa rodzaje zbiorów ze względu na nazwę:
- zbiory mające nazwę własną
- zbiory nie mające nazwy własnej
Definicja nazwy własnej zbioru:
Nazwa własna zbioru to nazwa jednoznacznie opisująca dany zbiór w sposób zrozumiały dla wszystkich ludzi
Przykład zbioru mającego nazwę własną:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Przykład zbioru nie mającego nazwy własnej:
p = [ZWZ, miłość, samolot]
W języku potocznym z oczywistych względów użyteczne są wyłącznie dziedziny mające nazwy własne, zrozumiałe dla wszystkich, gdzie nie trzeba wypisywać wszystkich pojęć zawartych w dziedzinie.
12.3.3 Dziedzina użyteczna w języku potocznym
Definicja dziedziny użytecznej w języku potocznym:
Dziedzina użyteczna w języku potocznym do dowolny zbiór na którym operujemy mający nazwę własną nie będący Uniwersum.
Uniwersum - zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
W języku potocznym nikt nie używa pojęcia Uniwersum w przeciwieństwie do np. zbioru wszystkich zwierząt.
Rozważmy poniższe dziedziny [ZWZ, ZWS] mające nazwy własne:
Weźmy zbiór jednoelementowy:
P=[pies] - zbiór P zawiera tylko jeden element [pies].
Uwaga:
Nie jest tu istotne że różnych psów jest bardzo dużo bo:
pies Jasia = pies Zuzi = po prostu [pies]
[pies]+[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p+p=p)
Pojęcia [pies] są tożsame, nieistotne jest, że jeden pies jest kundelkiem a drugi jamnikiem, że jeden należy do Jasia a drugi do Zuzi.
[pies]*[pies] = [pies] - prawo algebry Boole’a (p*p=p)
ZWZ.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWZ - zbiór wszystkich zwierząt
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWZ-P] - zbiór wszystkich zwierząt minus jeden element P=[pies]
ZWS.
Dla zbioru P=[pies] przyjmijmy dziedzinę:
ZWS - zbiór wszystkich ssaków
Stąd mamy zbiór ~P:
~P=[ZWS-P] - zbiór wszystkich ssaków minus jeden element P=[pies]
Wnioski:
Przyjęte dziedziny ZWZ i ZWS mają poprawne nazwy własne należące do Uniwersum i nie są tożsame z Uniwersum, zatem te dziedziny są poprawne matematycznie i są to dziedziny użyteczne.
a)
Dziedzina ZWZ wskazuje nam, że interesuje nas wyłącznie zbiór wszystkich zwierząt, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWZ są dla nas puste z definicji.
b)
Dziedzina ZWS mówi nam że operujemy na zbiorze wszystkich ssaków, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWS są dla nas puste z definicji.
Przykład:
Twierdzenie proste Pitagorasa dla trójkątów prostokątnych:
A1.
Jeśli trójkąt jest prostokątny (TP) to na 100% => zachodzi w nim suma kwadratów (SK)
TP=>SK =1
W twierdzeniu Pitagorasa dziedziną użyteczną i minimalną jest:
ZWT - zbiór wszystkich trójkątów
Dziedzina ZWT wskazuje nam, że interesują nas wyłącznie trójkąty, nic poza tą dziedziną nas nie interesuje, czyli pojęcia spoza dziedziny ZWT są dla nas puste z definicji
Nikt nie będzie brał do ręki koła i sprawdzał czy zachodzi w nim suma kwadratów.
12.3.4 Definicja definicji
Definicja definicji:
W świecie człowieka (bo tylko on świadomie definiuje) definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy jest jednoznaczna w Uniwersum człowieka.
Innymi słowy:
Definicja dowolnego pojęcia jest matematycznie poprawna wtedy i tylko wtedy gdy jest jedyna w całym obszarze Uniwersum.
Definicja Uniwersum:
Uniwersum to zbiór wszelkich pojęć zrozumiałych dla człowieka.
Czyli:
U = [pies, miłość, krasnoludek ...] - wyłącznie pojęcia rozumiane przez człowieka (zdefiniowane)
Przykład poprawnej definicji:
Pies to zwierzę domowe, szczekające.
P = ZD*S=1*1=1
To jest minimalna, jednoznaczna definicja psa rozumiana przez każdego 5-cio latka.
Oznacza to że pojęcia P oraz ZD*S są matematycznie tożsame P=ZD*S, czyli są w relacji równoważności P<=>ZD*S w całym obszarze Uniwersum
Przykład błędnej definicji:
[link widoczny dla zalogowanych]
Zwierzę domowe, hodowlane, występujące nad Wisłą - podać jego odgłos
12.4 Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q"
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Wspólna dziedzina D w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" musi zawierać wszystkie elementy zbioru p i wszystkie elementy zbioru q.
Inaczej zdanie "Jeśli p to q" jest fałszywe.
Stąd mamy:
1.
Definicja dziedziny D po stronie p:
p+~p = D =1 - zbiór ~p jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
p*~p=[]=0 - zbiory p i ~p są rozłączne
Stąd mamy:
~p=[D-p] - zbiór ~p jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru p
2.
Definicja dokładnie tej samej dziedziny D po stronie q:
q+~q = D =1 - zbiór ~q jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru q
q*~q=[]=0 - zbiory q i ~q są rozłączne
Stąd mamy:
~q=[D-q] - zbiór ~q jest uzupełnieniem do wspólnej dziedziny D dla zbioru q
Warunek konieczny prawdziwości zdania warunkowego "Jeśli p to q"
Warunkiem koniecznym prawdziwości dowolnego zdania warunkowego "Jeśli p to q" jest wspólna dziedzina D dla p i q
Nie jest to warunek konieczny i wystarczający bo kontrprzykład:
A1'.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 (P8) to może ~~> nie być podzielna przez 2 (~P2)
P8~~>~P2 = P8*~P2 =[] =0
Wspólna dziedzina dla p i q to:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] - zbiór liczb naturalnych
Definicja elementu wspólnego zbiorów ~~> nie jest spełniona bo zbiory P8=[8,16,24..] i ~P2=[LN-P2]=[1,3,5,7,9..] są rozłączne.
Po stronie poprzednika p mamy tu:
p=LN=P8+~P8 =1 - LN to suma logiczna zbiorów P8=[8,16,24..] i ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..]
Po stronie następnika q mamy tu identyczną dziedzinę:
q=LN=P2+~P2 =1 - LN to suma logiczna zbiorów P2=[2,4,6,8..] i ~P2=[1,3,5,7,9..]
Wniosek:
Definicja wspólnej dziedziny dla p i q jest spełniona co nie wymusza prawdziwości zdania A1'.
12.4.1 Zdanie "Jeśli p to q" ze spełnioną definicją wspólnej dziedziny
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Wspólna dziedzina D w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" musi zawierać wszystkie elementy zbioru p i wszystkie elementy zbioru q.
Inaczej zdanie "Jeśli p to q" jest fałszywe.
Przykład zdania warunkowego "Jeśli p to q" mającego wspólną dziedzinę dla p i q:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => ta sama liczba jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 (P8) jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 (P2) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Udowodnić iż zbiór P8 jest podzbiorem => P2 potrafi każdy matematyk
cnd
Po stronie poprzednika p mamy dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P8+~P8 =1 – zbiór ~P8 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P8
P8*~P8=[]=0 – zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
Po stronie następnika q mamy dokładnie ta samą dziedzinę:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P2+~P2 =1 – zbiór ~P2 jest uzupełnieniem do dziedziny LN dla zbioru P2
P2*~P2=[]=0 - zbiory P2 i ~P2 są rozłączne
Wniosek:
Wspólna dziedzina minimalna LN dla p i q jest spełniona.
12.4.2 Zdanie "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q
Definicja wspólnej dziedziny w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q":
Wspólna dziedzina D w zdaniu warunkowym "Jeśli p to q" musi zawierać wszystkie elementy zbioru p i wszystkie elementy zbioru q.
Inaczej zdanie "Jeśli p to q" jest fałszywe.
Przykład zdania warunkowego "Jeśli p to q" z niespełnioną definicją wspólnej dziedziny dla p i q:
A1.
Jeśli dowolna liczba naturalna jest podzielna przez 8 (P8) to zachodzi twierdzenie Pitagorasa (TWP)
P8=>TP =0
Powyższe zdanie warunkowe jest fałszywe bo nie jest tu spełniona definicja wspólnej dziedziny dla p i q w zdaniu warunkowym „Jeśli p to q”.
Dowód:
1.
W obrębie poprzednika p mamy dziedzinę LN:
LN=[1,2,3,4,5,6,7,8,9..] – zbiór liczb naturalnych
LN=P8+~P8 =1
Zbiór ~P8=[1,2,3,4,5,6,7..9..] jest (=1) uzupełnieniem do dziedziny dla zbioru P8=[8,16,24..]
stąd mamy:
~P8=[LN-P8]=[1,2,3,4,5,6,7..9..] - zbiór liczb niepodzielnych przez 8
Matematycznie zachodzi:
P8*~P8=[]=0 – zbiory P8 i ~P8 są rozłączne
2.
W obrębie następnika q mamy dziedzinę:
ZWT – zbiór wszystkich trójkątów
ZWT=TP+~TP =1
Zbiór trójkątów nieprostokątnych ~TP jest uzupełnieniem do dziedziny ZWT dla zbioru trójkątów prostokątnych TP
Stąd mamy:
~TP=[ZWT-TP]
Matematycznie zachodzi:
TP*~TP=[] =0 – zbiory TP i ~TP są rozłączne
Wnioski:
1.
Dziedziny LN i ZWT są rozłączne:
LN~~>ZWT = LN*ZWT =[] =0
Oznacza to, że nie istnieje choćby jeden element zbioru LN który by należał do zbioru ZWT (i odwrotnie)
2.
Zdanie A1 jest fałszywe, bo nie jest spełniona definicja wspólnej dziedziny dla p i q.
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 8:45, 08 Kwi 2023, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Irbisol
Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 15707
Przeczytał: 42 tematy
|
| Wysłany: Sob 10:18, 08 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
|
Czyli tożsamość zdarzeń nie oznacza tożsamości zbiorów?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
fedor
Dołączył: 04 Paź 2008
Posty: 15354
Przeczytał: 36 tematów
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 10:26, 08 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| Irbisol napisał: | | Czyli tożsamość zdarzeń nie oznacza tożsamości zbiorów? |
Ty nawet jak o coś pytasz to oszukujesz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 10:58, 08 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| Irbisol napisał: |
Czyli tożsamość zdarzeń nie oznacza tożsamości zbiorów? |
Nie oznacza, ale prawa logiki matematycznej są tu identyczne jak w teorii zbiorów.
Przykład równoważności w postaci żarówki S sterowanej jednym przyciskiem A jest zrozumiały dla każdego 5-cio latka, mam więc nadzieję, że również dla ciebie.
Jeśli czegokolwiek w niniejszym poście nie rozumiesz to po prostu napisz.
Zauważ, że głupole, czyli fanatycy KRZ dowodzą zachodzącej tu równoważności w sposób doświadczalny, czyli wykonują nieskończoną liczbę załączeń i wyłączeń przycisku A by stwierdzić że:
- zawsze gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka świeci się (S=1)
- zawsze gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka nie świeci się (~S=1)
Powyższy dowód, mimo iż jest to poprawny dowód równoważności:
A1B2: = A<=>S = (A1: A=>S)*(B2: ~A=>~S) =1*1=1
jest oczywiście fizycznie nie do wykonania.
Dowód poprawności:
Prawo Tygryska:
B2: ~A=>~S = B1: A~>S
Gdzie:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
Stąd mamy tożsamą podstawową definicje równoważności znaną każdemu człowiekowi:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
Stąd mamy definicję równoważności A<=>S w równaniu logicznym:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Czytamy:
Równoważność A<=>S jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy:
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> (B1) i wystarczającym => (A1) dla świecenia się żarówki S.
Dowód iż to jest definicja podstawowa równoważności.
Klikam na googlach:
"koniecznym i wystarczającym"
Wyników: 9 370
cnd
Szczegóły masz w AK w punkcie 6.2
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#695271
6.2 Sztandarowy przykład równoważności A<=>S w zdarzeniach
Definicja kontrprzykładu w zdarzeniach:
Kontrprzykładem dla warunku wystarczającego p=>q nazywamy to samo zdanie z zanegowanym następnikiem kodowane zdarzeniem możliwym p~~>~q=p*~q
Rozstrzygnięcia:
Prawdziwość warunku wystarczającego p=>q=1 wmusza fałszywość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=0 (i odwrotnie)
Fałszywość warunku wystarczającego p=>q=0 wmusza prawdziwość kontrprzykładu p~~>~q=p*~q=1
(i odwrotnie)
Typowe zadanie z logiki matematycznej brzmi:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi wypowiedziane zdanie warunkowe "Jeśli p to q"
Dla potrzeb tego typu zadań użyteczna jest rozszerzona tabela matematycznych związków warunku wystarczającego => i koniecznego ~> uwzględniająca definicję kontrprzykładu.
Definicja kontrprzykładu obowiązuje wyłącznie dla warunku wystarczającego => zatem uwzględniona zostanie w liniach Ax i Bx w postaci Ax' i Bx' tylko w tych miejscach, gdzie mamy do czynienia z warunkiem wystarczającym =>
| Kod: |
T0R
Rozszerzona tabela matematycznych związków warunków wystarczających =>
i koniecznych ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=> q =? = 2:~p~>~q=? [=] 3: q~> p =? = 4:~q=>~p=?
A': 1: p~~>~q=? 4:~q~~>p=?
## ## ## ##
B: 1: p~> q =? = 2:~p=>~q=? [=] 3: q=> p =? = 4:~q~>~p=?
B': 2:~p~~>q=? 3: q~~>~p=?
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Ax
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Ax potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Ax
##
II Prawo Sowy
Dla udowodnienia prawdziwości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić prawdziwość dowolnego zdania serii Bx
Dla udowodnienia fałszywości wszystkich zdań serii Bx potrzeba i wystarcza udowodnić fałszywość dowolnego zdania serii Bx
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Definicja dowodu „nie wprost” w algebrze Kubusia:
Dowód „nie wprost” w algebrze Kubusia to dowód warunku koniecznego ~> lub wystarczającego => z wykorzystaniem praw logiki matematycznej (prawa Kubusia, prawa Tygryska, prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>, prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>) plus definicja kontrprzykładu.
Prawo Kłapouchego:
Domyślny punkt odniesienia dla zdań warunkowych „Jeśli p to q”:
W zapisie aktualnym zdań warunkowych (w przykładach) po „Jeśli…” mamy zdefiniowaną przyczynę p zaś po „to..” mamy zdefiniowany skutek q z pominięciem przeczeń.
Prawo Kłapouchego determinuje wspólny dla wszystkich ludzi punktu odniesienia zawarty wyłącznie w kolumnach A1B1 oraz A2B2, dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) oraz o ~p (A2B2).
Prawo Kłapouchego obowiązuje dla standardu dodatniego w języku potocznym człowieka.
Definicja standardu dodatniego w języku potocznym człowieka:
W języku potocznym ze standardem dodatnim mamy do czynienia wtedy i tylko wtedy gdy wszelkie przeczenia (~) w zdaniach są uwidocznione w kodowaniu matematycznym tych zdań.
Innymi słowy:
W kodowaniu matematycznym dowolnych zdań z języka potocznego wszystkie zmienne muszą być sprowadzone do logicznych jedynek na mocy prawa Prosiaczka
Innymi słowy:
Logiką matematycznie zgodną z językiem potocznym człowieka jest tylko i wyłącznie standard dodatni.
Sztandarowy przykład operatora równoważności p|<=>q:
Zadanie 1
Niech będzie dany schemat elektryczny:
| Kod: |
S1 Schemat 1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
|
Polecenie:
Zbadaj w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie wypowiedziane (W):
W.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka świeci się (S=1)
Dowodzimy prawdziwości warunku wystarczającego => A1:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
to samo w zapisie formalnym:
p=>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia się żarówki S bo w układzie nie ma przycisku C (zmienna wolna) połączonego szeregowo z A który by gwałcił warunek wystarczający =>.
cnd
Warunek wystarczający => jest w logice matematycznej domyślny.
Stąd mamy tożsamość zdań.
W=A1
Na mocy prawa Kłapouchego przyjmujemy zdanie A1 za punkt odniesienia:
p=A (przycisk A), przyczyna
q=S (żarówka S), skutek
Aby udowodnić w skład jakiego operatora logicznego wchodzi zdanie A1 musimy udowodnić prawdziwość/fałszywość dowolnego zdania serii Bx.
Dowodzimy prawdziwości warunku koniecznego ~> B1:
B1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% ~> świeci się (S=1)
A~>S =1
to samo w zapisie formalnym:
p~>q =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem koniecznym ~> dla świecenia się żarówki S, bo w układzie S1 nie ma przycisku W (zmienna wolna) podłączonego równolegle do A który mógłby zaświecić żarówkę S niezależnie od stanu przycisku A.
Wciśnięcie przycisku A (A=1) jest (=1) warunkiem koniecznym ~> świecenia się żarówki S (S=1), bo jak przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
Jak widzimy prawo Kubusia samo nam tu wyskoczyło:
B1: A~>S = B2: ~A=>~S
To samo w zapisie formalnym:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
Stąd mamy:
Prawo Kameleona po raz n-ty:
Dwa zdania brzmiące identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka nie muszą być matematycznie tożsame.
Doskonale widać, że zdania A1 i B1 brzmią identycznie z dokładnością do każdej literki i każdego przecinka a mimo to są zdania różne na mocy definicji ## warunku wystarczającego => i koniecznego ~>.
A1: p=>q=~p+q ## B1: p~>q=p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Różność zdań A1 i B1 rozpoznajemy po znaczkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~> wplecionych w treść zdań.
Stąd mamy dowód iż układ S1 spełnia definicję równoważności.
Definicja równoważności A<=>S:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to spełnienie zarówno warunku wystarczającego =>, jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia żarówki S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia żarówki S
Stąd mamy definicję równoważności A<=>S w równaniu logicznym:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) =1*1 =1
Nanieśmy tą definicję na schemat S1.
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja zmiennej związanej:
Zmienna związana to zmienna występujące w układzie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna związana z definicji jest ustawiana na 0 albo 1 przez człowieka.
Definicja zmiennej wolnej:
Zmienna wolna to zmienna występująca w układzie, ale nie uwzględniona w opisie matematycznym układu.
Zmienna wolna z definicji może być ustawiana na 0 albo 1 poza kontrolą człowieka.
W układzie S1 nie ma zmiennej wolnej.
Matematycznie jest kompletnie bez znaczenia czy zmienna związana A będzie pojedynczym przyciskiem, czy też dowolną funkcją logiczną f(x) zbudowaną z n przycisków, byleby dało się ustawić:
f(x) =1
oraz
f(x)=0
bowiem z definicji funkcja logiczna f(x) musi być układem zastępczym pojedynczego przycisku A, gdzie daje się ustawić zarówno A=1 jak i A=0.
Przykład:
f(x) = C+D*(E+~F)
Gdzie:
C, D, E - przyciski normalnie rozwarte
~F - przycisk normalnie zwarty
Nanieśmy naszą równoważność A<=>S do tabeli prawdy warunków wystarczających => i koniecznych ~> w równoważności z uwzględnieniem prawa Irbisa.
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dowód na przykładzie w następnym punkcie.
| Kod: |
TR
Tabela prawdy równoważności p<=>q z uwzględnieniem prawa Irbisa
Kolumna A1B1 to punkt odniesienia w zapisie formalnym {p, q}:
A1: p=>q =1 - p jest (=1) wystarczające => dla q
B1: p~>q =1 - p jest (=1) konieczne ~> dla q
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1=1
Przyjęty na mocy prawa Kłapouchego punkt odniesienia to:
p=A (przycisk A)
q=S (żarówka S)
Punkt odniesienia A1B1 w zapisie aktualnym {A, S}:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest (=1) konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
Zapis formalny:
A: 1: p=>q =1 = 2:~p~>~q =1 [=] 3: q~>p =1 = 4:~q=>~p =1
A': 1: p~~>~q=0 [=] 4:~q~~>p =0
Zapis aktualny:
A: 1: A=>S =1 = 2:~A~>~S =1 [=] 3: S~>A =1 = 4:~S=>~A =1
A': 1: A~~>~S=0 [=] 4:~S~~>A =0
## ## ## ##
Zapis formalny:
B: 1: p~>q =1 = 2:~p=>~q =1 [=] 3: q=>p =1 = 4:~q~>~p =1
B': 2:~p~~>q =0 [=] 3: q~~>~p=0
Zapis aktualny:
B: 1: A~>S =1 = 2:~A=>~S =1 [=] 3: S=>A =1 = 4:~S~>~A =1
B': 2:~A~~>S =0 [=] 3: S~~>~A=0
-----------------------------------------------------------------------
Równoważność <=> definiuje: | Równoważności <=> definiuje:
AB: 1: p<=>q=1 = 2:~p<=>~q=1 [=] 3: q<=>p=1 = 4:~q<=>~p=1 [=]
tożsamość zdarzeń: | tożsamość zdarzeń:
AB: 1: p=q # 2:~p=~q | 3: q=p # 4:~q=~p
Gdzie:
# - różne w znaczeniu iż jedna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
"=",[=],<=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
|
Prawo Sowy dla równoważności p<=>q:
Prawdziwość dowolnego zdania serii Ax wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii A
Prawdziwość dowolnego zdania serii Bx wymusza prawdziwość wszystkich zdań w linii B
Innymi słowy:
Po udowodnieniu iż zdanie warunkowe „Jeśli p to q” jest częścią równoważności A1B1: p<=>q w logice dodatniej (bo q) nic więcej nie musimy udowadniać, bowiem mamy zdeterminowaną prawdziwość/fałszywość wszelkich zdań warunkowych „Jeśli p to q” widniejących w tabeli TR
Definicję równoważności A<=>S mamy w kolumnie A1B1:
Równoważność A<=>S w logice dodatniej (bo S) to zachodzący zarówno warunek konieczny ~> (B1) jak i wystarczający => (A1) między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: A=>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie przycisku A jest (=1) warunkiem koniecznym ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
6.2.1 Operator równoważności A|<=>S w zdarzeniach
Definicja operatora równoważności p|<=>q w zapisie formalnym:
Operator równoważności p|<=>q to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o p (A1B1) i ~p (A2B2).
Kolumna A1B1:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie p?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~p<=>~q = (A2:~p~>~q)*(B2: ~p=>~q) - co może się wydarzyć jeśli zajdzie ~p?
Definicja operatora równoważności A|<=>S w zapisie aktualnym:
Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytanie o wciśnięty przycisk A (A) oraz o nie wciśnięty przycisk A (~A)
Kolumna A1B1:
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S) - co może się wydarzyć jeśli A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A2B2:
A2B2: ~A<=>~S = (A2:~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) - co może się wydarzyć jeśli A nie jest wciśnięty (~A=1)?
| Kod: |
S1 Schemat 1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
S A
------------- ______
-----| Żarówka |-------o o-----
| ------------- |
| |
______ |
___ U (źródło napięcia) |
| |
| |
------------------------------------
Zmienne związane definicją: A, S
Zmienna wolna: brak, nie ma żadnych innych przycisków z wyjątkiem A
Istotą równoważności jest brak zmiennych wolnych
|
Definicja operatora równoważności A|<=>S:
Operator równoważności A|<=>S w logice dodatniej (bo S) to układ równań logicznych A1B1 i A2B2 dający odpowiedź na pytania o A i ~A:
A1B1: A<=>S =(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
A1B1: A<=>S = (A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
A1B1:
Kiedy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Kolumna A1B1
Fizyczna realizacja równoważności A<=>S w logice dodatniej (bo S) w zdarzeniach:
A1: A=>S =1 - wciśnięcie A jest wystarczające => dla świecenia S
B1: A~>S =1 - wciśnięcie A jest konieczne ~> dla świecenia S
A1B1: A<=>S=(A1: A=>S)*(B1: A~>S)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Przycisk A jest wciśnięty (A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka świeci się (S=1)
Całość czytamy:
Równoważność A<=>S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) do tego, by żarówka świeciła się (S=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q w logice dodatniej (bo q) definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność A<=>S definiuje tożsamość pojęć A=S:
A=S <=> (A1: A=>S)*(B1: A~>S) = A<=>S
Czytamy:
Pojęcie "przycisk A wciśnięty" (A=1) jest tożsame "=" z pojęciem "żarówka S świeci" (S=1) wtedy i tylko wtedy gdy wciśnięcie przycisku A (A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla świecenia się żarówki S (S=1)
Powyższe zdanie to dowód poprawności prawa Irbisa, bowiem na mocy schematu S1 to fizyczna oczywistość.
Matematycznie zachodzi tu relacja:
A=S # ~A=~S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Tożsamość pojęć A=S wymusza tożsamość pojęć ~A=~S (i odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli przycisk A będzie wciśnięty (A=1) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
A1.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka na 100% => świeci się (S=1)
A=>S =1
Wciśnięcie przycisku A jest warunkiem wystarczającym => dla świecenia S
Wciśnięcie przycisku A daje nam gwarancję matematyczną => świecenia się żarówki S
Zawsze gdy wciśniemy przycisk A zaświeci się żarówka S
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna =>
Dowód "nie wprost":
Prawdziwy warunek wystarczający A1 wymusza fałszywość kontrprzykładu A1’ (i odwrotnie)
A1’.
Jeśli przycisk A jest wciśnięty (A=1) to żarówka może ~~> się nie świecić (~S=1)
A~~>~S = A*~S =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest (=0) zdarzenie: przycisk A jest wciśnięty (A=1) i żarówka nie świeci się (~S=1)
Dla schematu S1 to fizyczna oczywistość
A2B2:
Kiedy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)?
Kolumna A2B2
Fizyczna realizacja równoważności ~A<=>~S w logice ujemnej (bo ~S) w zdarzeniach:
A2: ~A~>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) konieczne ~> dla nie świecenia żarówki S (~S=1)
B2: ~A=>~S =1 - nie wciśnięcie A (~A=1) jest (=1) wystarczające => dla nie świecenia żarówki S (~S=1)
A2B2: ~A<=>~S = (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S)=1*1=1
Lewą stronę czytamy:
Klawisz A nie jest wciśnięty (~A=1) wtedy i tylko wtedy gdy żarówka nie świeci się (~S=1)
Całość czytamy:
Równoważność ~A<=>~S jest spełniona (=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa ~p<=>~q w logice ujemnej (bo ~q) definiuje tożsamość zdarzeń ~p=~q (i odwrotnie)
Na mocy prawa Irbisa równoważność ~A<=>~S definiuje tożsamość pojęć ~A=~S:
~A=~S <=> (A2: ~A~>~S)*(B2: ~A=>~S) = ~A<=>~S
Czytamy:
Pojęcie "przycisk A nie jest wciśnięty" (~A=1) jest tożsame "=" z pojęciem "żarówka S nie świeci się" (~S=1) wtedy i tylko wtedy gdy nie wciśnięcie przycisku A (~A=1) jest konieczne ~> i wystarczające => dla nie świecenia się żarówki S (~S=1)
Powyższe zdanie to dowód poprawności prawa Irbisa, bowiem na mocy schematu S1 to fizyczna oczywistość.
Matematycznie zachodzi tu relacja:
~A=~S # A=S
Gdzie:
# - dowolna strona znaczka # jest negacją drugiej strony
Tożsamość pojęć ~A=~S wymusza tożsamość pojęć A=S (i odwrotnie)
Odpowiedź na pytanie co może się wydarzyć jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) w zdaniach warunkowych „Jeśli p to q” jest następująca:
B2.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka na 100% => nie świeci się (~S=1)
~A=>~S =1
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) jest warunkiem wystarczającym => dla braku świecenia żarówki S (~S=1)
Brak wciśnięcia przycisku A (~A=1) daje nam gwarancję matematyczną => braku świecenia się żarówki S (~S=1)
Zawsze, gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1), żarówka nie świeci się (~S=1)
Zachodzi tożsamość pojęć:
Warunek wystarczający => = Gwarancja matematyczna => = na 100% => etc
Dowód "nie wprost":
Prawdziwy warunek wystarczający B2 wymusza fałszywość kontrprzykładu B2’ (i odwrotnie)
B2’.
Jeśli przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) to żarówka może ~~> się świecić (S=1)
~A~~>S = ~A*S =0
Dowód wprost:
Niemożliwe jest zdarzenie: przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1) i żarówka S świeci się (S=1)
Dla schematu S1 to fizyczna oczywistość
Zauważmy że:
Prawdziwości/fałszywości powyższych zdań dowodzimy na gruncie fizyki teoretycznej.
Jakiekolwiek iterowanie nie ma tu sensu, bowiem wcześniej czy później żarówka spali się i nie będziemy mieli fizycznego potwierdzenia prawdziwości/fałszywości powyższych zdań.
Podsumowanie:
Jak widzimy, istotą operatora równoważności A|<=>S jest gwarancja matematyczna => po stronie wciśniętego przycisku A (A=1) - zdanie A1, jak również gwarancja matematyczna => po stronie nie wciśniętego przycisku A (~A=1) - zdanie B2.
W przeciwieństwie do operatora implikacji zarówno prostej p||=>q jak i odwrotnej p||~>q nie ma tu miejsca na jakiekolwiek „rzucanie monetą” w sensie „na dwoje babka wróżyła”.
Zauważmy że:
a)
Układ równań logicznych jest przemienny, stąd mamy:
Operator równoważności ~A|<=>~S to układ równań logicznych:
A2B2:~A<=>~S=(A2:~A~>~S)*(B2:~A=>~S) - co się stanie gdy przycisk A nie jest wciśnięty (~A=1)
A1B1: A<=>S =(A1: A=>S)* (B1: A~>S) - co się stanie gdy przycisk A jest wciśnięty (A=1)?
Doskonale widać, że analiza matematyczna operatora równoważności A2B2: ~A|<=>~S w logice ujemnej (bo ~S) będzie identyczna jak operatora równoważności A1B1: A|<=>S w logice dodatniej (bo S) z tym, że zaczynamy od kolumny A2B2 kończąc na kolumnie A1B1.
b)
Także kolejność wypowiadanych zdań jest dowolna, tak więc zdania z powyższej analizy A1, A1’, B2, B2’ możemy wypowiadać w sposób losowy - matematycznie to bez znaczenia.
6.2.2 Prawo Irbisa
Prawo Irbisa:
Każda równoważność prawdziwa p<=>q definiuje tożsamość zdarzeń p=q (i odwrotnie)
Dowód prawa Irbisa na przykładzie analizy operatora równoważności A|<=>S mamy wyżej.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 11:03, 08 Kwi 2023, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Irbisol
Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 15707
Przeczytał: 42 tematy
|
| Wysłany: Sob 12:12, 08 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
Czyli tożsamość zdarzeń nie oznacza tożsamości zbiorów? |
Nie oznacza, ale prawa logiki matematycznej są tu identyczne jak w teorii zbiorów. |
Dlaczego więc założyłeś tożsamość zbiorów dla relacji <=> w równaniu:
p=>q = p<=>q + ~p*q
podczas gdy wzór dotyczył zdarzeń?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
fedor
Dołączył: 04 Paź 2008
Posty: 15354
Przeczytał: 36 tematów
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 12:55, 08 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
Czyli tożsamość zdarzeń nie oznacza tożsamości zbiorów? |
Nie oznacza, ale prawa logiki matematycznej są tu identyczne jak w teorii zbiorów. |
Dlaczego więc założyłeś tożsamość zbiorów dla relacji <=> w równaniu:
p=>q = p<=>q + ~p*q
podczas gdy wzór dotyczył zdarzeń? |
Co ty tak nałogowo oszukujesz?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Sob 20:58, 08 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| Irbisol napisał: |
| rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
Czyli tożsamość zdarzeń nie oznacza tożsamości zbiorów? |
Nie oznacza, ale prawa logiki matematycznej są tu identyczne jak w teorii zbiorów. |
Dlaczego więc założyłeś tożsamość zbiorów dla relacji <=> w równaniu:
p=>q = p<=>q + ~p*q
podczas gdy wzór dotyczył zdarzeń? |
| Kod: |
T0
Fundament algebry Kubusia w obsłudze zdań warunkowych „Jeśli p to q”
Matematyczne związki warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
A1B1: A2B2: | A3B3: A4B4:
A: 1: p=>q = 2:~p~>~q [=] 3: q~>p = 4:~q=>~p [=] 5: ~p+q
## ## ## ## ##
B: 1: p~>q = 2:~p=>~q [=] 3: q=>p = 4:~q~>~p [=] 5: p+~q
Prawa Kubusia: | Prawa kontrapozycji dla warunku wystarczającego =>:
A1: p=>q = A2:~p~>~q | A1: p=>q = A4:~q=>~p
B1: p~>q = B2:~p=>~q | B2:~p=>~q = B3: q=>p
Prawa Tygryska: | Prawa kontrapozycji dla warunku koniecznego ~>:
A1: p=>q = A3: q~>p | A2:~p~>~q = A3: q~>p
B1: p~>q = B3: q=>p | B1: p~>q = B4:~q~>~p
Gdzie:
p=>q = ~p+q - definicja warunku wystarczającego =>
p~>q = p+~q - definicja warunku koniecznego ~>
## - różne na mocy definicji warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
|
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
Sam warunek wystarczający => nie jest w logice matematycznej jednoznaczny bo może on być częścią trzech różnych na mocy definicji ## matematycznych tworów:
1.
Równoważność p<=>q:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
##
2.
Implikacja prosta p|=>q:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*~(0)=1*1 =1
##
3.
Implikacja odwrotna p|~>q:
A1: p=>q =0 - zbiór p nie jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B1: p~>q) = ~(0)*1=1*1 =1
Prawo Kubusia:
B1: p~>q = B2: ~p=>~q
stąd definicja tożsama:
A1B2: p|~>q = ~(A1: p=>q)*(B2: ~p=>~q) = ~(0)*1=1*1 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wniosek:
Twoje równanie Irbisolu:
p=>q = p<=>q + ~p*q
zawiera błąd czysto matematyczny bo nie jest tak, że warunek wystarczający p=>q definiowany jest równoważnością p<=>q.
Jest odwrotnie:
To równoważność p<=>q definiowana jest warunkami wystarczającymi =>.
Dowód:
Definicja podstawowa równoważności p<=>q:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =1 - zbiór p jest (=1) nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
Dla B1 stosujemy prawo Tygryska:
B1: p~>q = B3: q=>p
Stąd mamy:
Matematyczna definicja równoważności p<=>q definiowaną warunkami wystarczającymi =>:
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (twierdzenie proste)
B3: q=>p =1 - zbiór q jest (=1) podzbiorem => zbioru p (twierdzenie odwrotne)
A1B3: p<=>q = (A1: p=>q)*(B3: q=>p) = 1*1 =1
Gdzie:
Prawo Słonia:
Relacja podzbioru => = warunek wystarczający =>
I.
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach i zdarzeniach
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937-25.html#708559
| Algebra Kubusia napisał: |
16.1 Symboliczna definicja równoważności p<=>q w zbiorach
Definicja równoważności p<=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co doskonale widać na diagramie DR niżej.
Czytamy:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) jest prawdziwa (=1) wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest jednocześnie podzbiorem => (A1) i nadzbiorem ~> (B1) dla zbioru q
Wniosek:
Musi zachodzić tożsamość zbiorów p=q bowiem wtedy i tylko wtedy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q).
Dowód
Każdy zbiór jest jednocześnie podzbiorem => i nadzbiorem ~> siebie samego
Prawa Słonia dla zbiorów (2.8)
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć:
A1: p=>q - warunek wystarczający => [=] A1: p=>q - relacja podzbioru => [=] A1: p=>q - matematyczne twierdzenie proste
Y = A1: p=>q = ~p+q
##
II Prawo Słonia dla zbiorów:
B1: p~>q - warunek konieczny ~> [=] B1: p~>q - relacja nadzbioru ~> [=] B3: q=>p - matematyczne twierdzenie odwrotne (w odniesieniu do A1)
bo prawo Tygryska:
Y = B1: p~>q = B3: q=>p = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
p i q musi być wszędzie tymi samymi p i q, inaczej błąd podstawienia
[=], „=”, <=> - tożsame znaczki tożsamości logicznej
<=> - wtedy o tylko wtedy
W logice matematycznej o podzbiorze/nadzbiorze możemy mówić tylko i wyłącznie w stosunku do dwóch zbiorów p i q bowiem w logice interesują nas wartości logiczne relacji podzbioru/nadzbioru które mogą być spełnione lub niespełnione.
Stąd mamy:
1.
W logice matematycznej zachodzi tożsamość logiczna "=" pojęć:
Relacja podzbioru => = podzbiór =>
2.
W logice matematycznej zachodzi tożsamość logiczna "=" pojęć:
Relacja nadzbioru ~> = nadzbiór ~>
Stąd mamy:
Prawo Irbisa:
Dwa zbiory p i q są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1: p=>q) i jednocześnie zbiór p jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1: p~>q).
A1B1: p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = A1B1: p<=>q
Stąd mamy diagram równoważności p<=>q w zbiorach:
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach
------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|----------------------------|-----------------------------------------|
| q | ~q |
|----------------------------|-----------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
|----------------------------|-----------------------------------------|
| p=q | ~p=~q |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma logiczna zbiorów niepustych A1 i B2 |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty |
|----------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach definiujący |
| tożsamości zbiorów p=q i ~p=~q |
------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Prawo Pantery:
W teorii zbiorów warunkiem koniecznym przynależności zdania warunkowego "Jeśli p to q" do operatora implikacyjnego jest, by suma logiczna zbiorów definiowanych w poprzedniku p i następniku q była mniejsza od przyjętej, wspólnej dziedziny.
p+q <D (dziedzina)
Z diagramu DR odczytujemy:
p+q=p - bo zachodzi tożsamość zbiorów p=q
stąd:
p+q =p < D=p+~p
Prawo Pantery jest spełnione.
cnd
|
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
Diagram równoważności p<=>q jest identyczny, zarówno w teorii zbiorów, jak i w teorii zdarzeń.
| Kod: |
DR
Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach
------------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|----------------------------|-----------------------------------------|
| q | ~q |
|----------------------------|-----------------------------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) | B2:~p=>~q=1 (~p*~q=1) |
|----------------------------|-----------------------------------------|
| p=q | ~p=~q |
------------------------------------------------------------------------
| Dziedzina fizyczna: |
| Df=A1: p*q+ B2:~p*~q - suma zbiorów/zdarzeń niepustych A1 i B2 |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
| B2’: ~p~~>q =~p*q=[]=0 - zbiór pusty/zdarzenie niemożliwe |
|----------------------------------------------------------------------|
| Diagram równoważności p<=>q w zbiorach/zdarzeniach definiujący |
| tożsamości zbiorów/zdarzeń p=q i ~p=~q |
------------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Wnioski:
1.
Definicja równoważności p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q
która to tożsamość wymusza tożsamość zbiorów/zdarzeń ~p=~q (i odwrotnie)
2.
Równoważność p<=>q to dwa i tylko dwa zbiory/zdarzenia niepuste i rozłączne
p=q i ~p=~q uzupełniające się wzajemnie do dziedziny
3.
W definicji równoważności p<=>q nie ma mowy o jakimkolwiek
„rzucaniu monetą” jak to miało miejsce w implikacji prostej p|=>q
|
Jak udowodnić iż dany diagram dotyczy równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
p<=>q = p*q + ~p*~q
?
Definicja dziedziny fizycznej Df:
Dziedzina fizyczna Df dla diagramu DR to wyłącznie zbiory niepuste/zdarzenia możliwe dla diagramu DR
Stąd dla diagramu DR dziedzina Df fizyczna to:
Df = A1: p*q + B2: ~p*~q
Z diagramu DR odczytujemy:
A1: p*q =p - bo zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
B2: ~p*~q =~p - bo zbiór/zdarzenie ~p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia ~q
Stąd mamy spełnioną definicję dziedziny fizycznej:
Df = A1: p*q + B2: ~p*~q = p+~p =1
Df = p*~p =[] =0
Stąd mamy:
Df = p+~p =1 - zbiór/zdarzenie ~p jest uzupełnieniem do dziedziny Df dla zbioru/zdarzenia p
Df = p*~p =[] =0 - zbiory/zdarzenia p i ~p są rozłączne
Oba te fakty doskonale widać na diagramie równoważności DR
II.
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach i zdarzeniach
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937-25.html#708555
| Algebra Kubusia napisał: |
14.1 Symboliczna tabela prawdy implikacji prostej p|=>q w zbiorach
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach:
Zbiór p jest podzbiorem => zbioru q i nie jest tożsamy ze zbiorem q
Dziedzina musi być szersza do sumy logicznej zbiorów p+q bowiem wtedy i tylko wtedy wszystkie pojęcia p, ~p, q i ~q będą rozpoznawalne, co widać na diagramie DIP niżej
A1: p=>q =1 - zbiór p jest (=1) podzbiorem => zbioru q (z definicji)
B1: p~>q =0 - zbiór p nie (=0) jest nadzbiorem ~> zbioru q (z definicji)
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0) = 1*1 =1
Czytamy:
Definicja implikacji prostej p|=>q w zbiorach jest spełniona wtedy i tylko wtedy gdy zbiór p jest podzbiorem => zbioru q (A1), ale nie jest nadzbiorem ~> zbioru q (B1)
Wniosek:
p ## q - zbiór p musi być różny na mocy definicji ## od zbioru q (nie mogą to być zbiory tożsame)
Na mocy powyższej definicji rysujemy diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach.
| Kod: |
DIP
Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach
----------------------------------------------------------------------
| p | ~p |
|------------------------|-------------------------------------------|
| q | ~q |
|--------------------------------------------|-----------------------|
| A1: p=>q=1 (p*q=1) |B2’: ~p~~>q=~p*q=1 |A2:~p~>~q=1 (~p*~q=1) |
----------------------------------------------------------------------
| Dziedzina: |
| D=A1: p*q+A2:~p*~q+B2’:~p*q (suma logiczna zbiorów niepustych) |
| A1’: p~~>~q=p*~q=[] - zbiór pusty |
|--------------------------------------------------------------------|
| Diagram implikacji prostej p|=>q w zbiorach |
----------------------------------------------------------------------
Gdzie:
p i q muszą być wszędzie tymi samymi p i q inaczej błąd podstawienia
Prawo Słonia:
Warunek wystarczający => = relacja podzbioru =>
Warunek konieczny ~> = relacja nadzbioru ~>
|
Prawo Pantery:
W teorii zbiorów warunkiem koniecznym przynależności zdania warunkowego "Jeśli p to q" do operatora implikacyjnego jest, by suma logiczna zbiorów definiowanych w poprzedniku p i następniku q była mniejsza od przyjętej, wspólnej dziedziny.
p+q <D (dziedzina)
Z diagramu DIP odczytujemy:
p+q =q < D=p+~p
Prawo Pantery jest spełnione.
cnd
|
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach "i"(*) i "lub"(+)
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek oznacza:
Y = (p=>q)=1 <=> ~p=1 lub q=1
Z definicji spójnika "lub"(+) wynika, że wystarczy iż zajdzie cokolwiek ~p lub q i już funkcja logiczna przyjmuje wartość logiczną 1 (Y=1).
Wszystkie możliwe przypadki rozłączne i niepuste gdzie Y=1 opisane są zatem równaniem:
DIP.
Y = (p=>q) = A1: p*q + A2: ~p*~q + B2': ~p*q
Zauważmy, że zbiór/zdarzenie niepuste możemy umieścić na diagramie DIP tylko i wyłącznie w miejscu jak to pokazano na diagramie DIP.
Definicja równoważności p<=>q w spójnikach "i"(*) i "lub"(+):
DR: p<=>q = p*q + ~p*~q
Jak udowodnić, że nie wolno nam podstawić powyższej definicji DR równoważności do równania DIP?
Sposób 1.
Najprostszy dowód jest taki, że równoważność p<=>q definiuje tożsamość zbiorów/zdarzeń p=q, natomiast w diagramie DIP taka tożsamość nie istnieje.
Sposób 2.
Z diagramu DIP odczytujemy:
A1: p*q=p - bo zbiór/zdarzenie p jest podzbiorem => zbioru/zdarzenia q
A2: ~p*~q=~q - bo zbiór/zdarzenie ~p jest nadzbiorem ~> zbioru/zdarzenia ~q
Zauważmy, że suma zbiorów/zdarzeń A1: p + A2: ~q nie stanowi dziedziny fizycznej co jest wymagane w równoważności p<=>q zbiorów/zdarzeń.
Dziedzina fizyczna Df dla diagramu DIP to:
Df = A1: p*q + A2: ~p*~q + B2': ~p*q
Wniosek:
Podstawienie definicji równoważności DR do równania DIP jest błędem czysto matematycznym.
Nie ma tu znaczenia, że w rachunku zero-jedynkowym i teorii bramek logicznych na poziomie spójników "i"(*) i "lub"(+) takie podstawienie jest dozwolone.
Problem w tym, że opisywanie spójników implikacyjnych tzn. zdań warunkowych "Jeśli p to q" spójnikami "i"(*) i "lub"(+) jest błędem czysto matematycznym, bowiem nie da się tymi spójnikami opisać ani relacji podzbioru => (warunku wystarczającego =>), ani też relacji nadzbioru ~> (warunku koniecznego ~>).
Spójnikami "i"(*) i "lub"(+) możemy co najwyżej opisać element wspólny zbiorów ~~> lub zdarzenie możliwe ~~> - absolutnie nic więcej.
Poprawny opis matematyczny implikacji prostej p|=>q (nasz diagram) w bramkach logicznych jest tylko i wyłącznie jak niżej, czyli implikacja prosta p|=>q musi być opisana znaczkami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#706215
| Algebra Kubusia napisał: |
11.3.1 Implikacja prosta p|=>q w bramkach logicznych
Definicja implikacji prostej p|=>q w warunkach wystarczających => i koniecznych ~>:
Implikacja prosta p|=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie wyłącznie warunku wystarczającego => między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q (A1) i nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q (B1)
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Implikacja prosta p|=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p|=>q=(A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =(~p+q)*~(p+~q)= (~p+q)*(~p*q)=~p*~p*q+q*~p*q=~p*q
Do zapamiętania:
p|=>q = ~p*q
Realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1 =1
Fizyczna realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach logicznych:
------------ -----------
p ------|o => | Y=(p=>q)=~p+q | |
| |-------------------| |
q ------| | | Bramka: | p|=>q=(p=>q)*~(p~>q)
------------ | „i”(*) |------------------------>
------------ | | p|=>q=(~p+q)*(~p*q)=~p*q
p ------| ~> | Y=(p~>q)=p+~q ~Y | |
| |---------------o---| |
q ------|o | | |
------------ -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja implikacji prostej p|=>q w bramkach logicznych:
p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q)=1*~(0)=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
p q p=>q | p~>q | ~(p~>q) (p|=>q)=(p=>q)*~(p~>q) | ~p p|=>q=~p*q
A: 1 1 1 | 1 | 0 0 | 0 0
B: 1 0 0 | 1 | 0 0 | 0 0
C: 0 1 1 | 0 | 1 1 | 1 1
D: 0 0 1 | 1 | 0 0 | 1 0
1 2 3 4 5 6 7 8
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
6: p|=>q = (p=>q)*~(p~>q) [=] 8: p|=>q =~p*q
cnd
|
|
Podobnie:
Poprawny opis matematyczny równoważności p<=>q (nasz diagram) w bramkach logicznych jest tylko i wyłącznie jak niżej, czyli równoważność musi być opisana znaczkami warunku wystarczającego => i koniecznego ~>
http://www.sfinia.fora.pl/forum-kubusia,12/kompendium-algebry-kubusia,21937.html#706215
| Algebra Kubusia napisał: |
11.3.3 Równoważność p<=>q w bramkach logicznych
3.
Równoważność p<=>q:
Równoważność p<=>q w logice dodatniej (bo q) to zachodzenie zarówno warunku wystarczającego => jak i koniecznego ~> między tymi samymi punktami i w tym samym kierunku
A1: p=>q =1 zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) =1*1 =1
Gdzie:
<=> - spójnik „wtedy i tylko wtedy” z języka potocznego
Lewą stronę czytamy:
Zajdzie p wtedy i tylko wtedy gdy zajdzie q
Prawą stronę czytamy:
Zajście p jest (=1) konieczne ~> (B1) i wystarczające => (A1) dla zajścia q
Powyższa definicja równoważności znana jest każdemu człowiekowi, nie tylko matematykom.
Dowód:
Klikamy na googlach:
„konieczne i wystarczające”
Wyników: 7 890
„potrzeba i wystarcza”
Wyników: 58 700
cnd
Definicja tożsamości pojęć/zbiorów p=q:
Dwa pojęcia/zbiory (w tym liczby binarne) są tożsame p=q wtedy i tylko wtedy gdy znajdują się w relacji równoważności p<=>q
p=q <=> (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = p<=>q
Definicja warunku wystarczającego => w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
p=>q = ~p+q
##
Definicja warunku koniecznego w spójniach „i”(*) i „lub”(+):
p~>q = p+~q
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Stąd:
Równoważność p<=>q w spójnikach „i”(*) i „lub”(+):
A1B1:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=(~p+q)*(p+~q)=~p*p+~p* ~q+q* p+q*~q =p*q+~p*~q
Do zapamiętania:
p<=>q = p*q+~p*~q
Realizacja równoważności p<=>q w bramkach warunku wystarczającego => i koniecznego ~>:
| Kod: |
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1 =1
Fizyczna realizacja równoważności p<=>q w bramkach logicznych:
------------ -----------
p ------|o => | Y=(p=>q)=~p+q | |
| |-------------------| |
q ------| | | Bramka: | p<=>q=(p=>q)*(p~>q)
------------ | „i”(* |---------------------->
------------ | | p<=>q=(~p+q)*(p+~q)
p ------| ~> | Y=(p~>q)=p+~q | | p<=>q=p*q+~p*~q
| |-------------------| |
q ------|o | | |
------------ -----------
Gdzie:
o - symbol negatora (~)
Fizyczna realizacja równoważności p<=>q w bramkach logicznych:
p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q)=1*1=1
Dokładnie to samo w rachunku zero-jedynkowym:
Definicje => i ~> | Dowód zero-jedynkowy
p q p=>q | p~>q | p<=>q=(p=>q)*(p~>q) ~p ~q p*q ~p*~q p<=>q=p*q+~p*~q
A: 1 1 1 | 1 | 1 0 0 1 0 1
B: 1 0 0 | 1 | 0 0 1 0 0 0
C: 0 1 1 | 0 | 0 1 0 0 0 0
D: 0 0 1 | 1 | 1 1 1 0 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Doskonale widać zachodzącą tożsamość kolumn zero-jedynkowych:
5: p<=>q = (p=>q)*(p~>q) [=] 10: p<=>q = p*q+~p*~q
cnd
|
|
Podsumowując:
Poprawny matematycznie opis równoważności p<=>q to tylko i wyłącznie równanie w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~> jak niżej:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =1 - zajście p jest (=1) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p<=>q = (A1: p=>q)*(B1: p~>q) = 1*1 =1
##
Poprawny matematycznie opis implikacji prostej p|=>q to tylko i wyłącznie równanie w warunkach wystarczającym => i koniecznym ~> jak niżej:
A1: p=>q =1 - zajście p jest (=1) wystarczające => dla zajścia q
B1: p~>q =0 - zajście p nie jest (=0) konieczne ~> dla zajścia q
Stąd mamy:
A1B1: p|=>q = (A1: p=>q)*~(B1: p~>q) =1*~(0)=1*1 =1
Gdzie:
## - różne na mocy definicji
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Sob 22:45, 08 Kwi 2023, w całości zmieniany 13 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 6:39, 09 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
[link widoczny dla zalogowanych]
Lifting z dnia 2023-04-09
Kompendium algebry Kubusia w pdf
[link widoczny dla zalogowanych]
*https://www.dropbox.com/s/hy14p42kup25c32/Kompendium%20algebry%20Kubusia.pdf?dl=0
Od premiery "Kompendium algebry Kubusia" (2022-12-24) minęło niecałe 4 miesiące a pozycja ta na skutek kolejnych liftingów rozbudowała się ze 190 stron do 620 stron (aktualnie).
W wersji premierowej była mowa wyłącznie o algebrze Boole'a (punkt 1.0) i teorii zdarzeń (punkty 2.0 do 9.0), ale na sutek dyskusji z Irbisolem zmuszony zostałem zarówno do opisania skąd biorą się tabele zero-jedynkowe wszystkich 16 znanych ziemianom spójników logicznych (punkty 10.0 do 10.11), jak również do dołączenia kompletnej teorii algebry Kubusia w zbiorach (punkty od 12.0 do 18.0).
Dopisałem również kluczowy punkt:
11.0 Algebra Kubusia w bramkach logicznych
będący twardym dowodem poprawności matematycznej całej algebry Kubusia.
Myślę, że teorię algebry Kubusia dotyczącą zarówno teorii zdarzeń jak i teorii zbiorów, wyłożoną w poprawionym punkcie 2.0 dobry matematyk powinien zrozumieć z marszu, bez przygotowania.
Mam nadzieję, że tak się stanie, że znajdą się matematycy którzy rozpropagują "Algebrę Kubusia" w świecie matematyki.
Dodatkowo, jako ważne uzupełnienie polecam króciutkie punkty:
12.0 Kubusiowa teoria zbiorów
13.0 Algebra Kubusia w zbiorach
P.S.
Mam na forum filozoficznym w Polsce dyskusję-marzenie z Irbisolem w temacie algebry Kubusia.
Obaj jesteśmy ze świata techniki - studia kończyliśmy w ubiegłym wieku (znamy się osobiście)
Irbisol rozumie większość z tego co piszę i albo zwalcza to co piszę (to jest dla mnie najcenniejsze), albo stwierdza że nic nowego nie odkryłem bo to co piszę jest zgodne z jego prywatnym Klasycznym Rachunkiem Zdań.
Prywatny KRZ Irbisola zbudowany jest na fundamencie:
Warunek wystarczający z AK = implikacja rodem z KRZ
Powyższy fundament lokuje Irbisola w "Algebrze Kubusia" której fundamentem są różne na mocy definicji zero-jedynkowe definicje warunku wystarczającego i koniecznego.
Dokładnie dlatego dyskusja z Irbisolem (dyskutujemy już 15 lat), szczególnie w ostatnich 4 miesiącach była dla mnie pasjonująca tzn. sporo szczególików zostało rozwiązanych pozytywnie. Mam nadzieję, że wkrótce Irbisol, jako pierwszy ziemianin przejdzie do klubu Kubusia z legitymacją członkowską Nr.1, czego mu życzę … a jak nie Irbisol, to może ktoś, kto czyta o algebrze Kubusia na forum matematyka.pl?
Legitymacja członkowska Nr.1 klubu algebry Kubusia jest póki co, wolna.
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Nie 6:56, 09 Kwi 2023, w całości zmieniany 2 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Irbisol
Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 15707
Przeczytał: 42 tematy
|
| Wysłany: Nie 21:29, 09 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
| rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
Czyli tożsamość zdarzeń nie oznacza tożsamości zbiorów? |
Nie oznacza, ale prawa logiki matematycznej są tu identyczne jak w teorii zbiorów. |
Dlaczego więc założyłeś tożsamość zbiorów dla relacji <=> w równaniu:
p=>q = p<=>q + ~p*q
podczas gdy wzór dotyczył zdarzeń? |
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć |
Mowa była o KRZ, a nie o AK.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
fedor
Dołączył: 04 Paź 2008
Posty: 15354
Przeczytał: 36 tematów
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Nie 21:32, 09 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
| rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
Czyli tożsamość zdarzeń nie oznacza tożsamości zbiorów? |
Nie oznacza, ale prawa logiki matematycznej są tu identyczne jak w teorii zbiorów. |
Dlaczego więc założyłeś tożsamość zbiorów dla relacji <=> w równaniu:
p=>q = p<=>q + ~p*q
podczas gdy wzór dotyczył zdarzeń? |
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć |
Mowa była o KRZ, a nie o AK. |
Znowu oszukujesz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 7:55, 10 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
Kiedy Irbisol zrozumie wewnętrzną sprzeczność KRZ?
W tym życiu, czy w następnym?
| Irbisol napisał: |
| rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
| rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: |
Czyli tożsamość zdarzeń nie oznacza tożsamości zbiorów? |
Nie oznacza, ale prawa logiki matematycznej są tu identyczne jak w teorii zbiorów. |
Dlaczego więc założyłeś tożsamość zbiorów dla relacji <=> w równaniu:
p=>q = p<=>q + ~p*q
podczas gdy wzór dotyczył zdarzeń? |
I Prawo Słonia dla zbiorów:
W algebrze Kubusia w zbiorach zachodzi tożsamość [=] pojęć |
Mowa była o KRZ, a nie o AK. |
Wprowadzenie:
Definicja warunku wystarczającego p=>q z którą obaj z Irbisolem się zgadzamy:
Y = (p=>q) = ~p+q
co w logice jedynek (naturalna logika człowieka) oznacza:
Y=1 <=> ~p=1 lub q=1
Na mocy definicji spójnika "lub"(+) wystarczy że zajdzie cokolwiek ~p=1 lub q=1 i już funkcja logiczna Y przyjmie wartość logiczną jeden (Y=1)
Stąd mamy:
Definicja warunku wystarczającego p=>q w zbiorach/zdarzeniach niepustych i rozłącznych:
Y = (p=>q) = A: p*q + C: ~p*~q + D: ~p*q
co w logice jedynek oznacza:
Y=1 <=> A: p=1 i q=1 lub C: ~p=1 i ~q=1 lub D: ~p=1 i q=1
Prawo rachunku zero-jedynkowego prawdziwe w KRZ i AK to:
p<=>q = p*q + ~p*~q
Irbisol podstawia to prawo (prawdziwe w KRZ i AK) do równania 1 otrzymując:
p=>q = p<=>q + ~p*q
Dowód w zapisach formalnych (ogólnych) iż takie podstawienie generuje wewnętrzną sprzeczność logiki matematycznej przedstawiłem w poście wyżej.
Co oznacza ta sprzeczność?
Wyprowadzona sprzeczność oznacza, że nie wolno zdań warunkowych "Jeśli p to q" sprowadzać do spójników "i"(*) i "lub"(+), bowiem prowadzi to do wewnętrznej sprzeczności czysto-matematycznej,
Wniosek:
Jedynymi legalnymi spójnikami opisującymi zdania warunkowe "Jeśli p to q" gdzie o wewnętrznej sprzeczności nie może być mowy są:
1.
Warunek wystarczający =>:
p=>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest wystarczające => dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
2.
Warunek konieczny ~>:
p~>q =1 - wtedy i tylko wtedy gdy zajście p jest konieczne ~> dla zajścia q
Inaczej:
p=>q =0
W niniejszym poście zaprezentuję wewnętrzną sprzeczność KRZ na przykładach!
Definicja KRZ:
KRZ to wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego.
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego, które nie prowadzą do czysto matematycznych sprzeczności.
I.
Teoria zdarzeń:
Weźmy zdanie prawdziwe zarówno w KRZ jak i w AK:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno bo zawsze gdy pada, są chmury
Zobacz teraz co ty proponujesz w swoim debilnym KRZ:
| Irbisolowy debil zwany KRZ napisał: |
p=>q = p<=>q + ~p*q
|
Podstawiamy przykład A1.
A1: P=>CH = A1": P<=>CH + ~P*CH
Czytamy prawą stronę A1" która wedle KRZ Irbisola musi być tożsama z A1.
A1"
Juro będzie padało wtedy i tylko wtedy gdy będzie pochmurno (P<=>CH) lub nie będzie padało (~P) i będzie pochmurno (CH)
Czyli:
A1: P=>CH = A1" P<=>CH + ~P*CH
Dla każdego matematyka (nawet najsłabszego) jest oczywistym że:
P<=>CH =0 - twardy FAŁSZ!
Prawo algebry Boole'a:
0+x =x
Stąd mamy tożsamość matematyczną, wedle Irbisolowego KRZ prawdziwą:
A1: P=>CH = A1" ~P*CH
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q = A1": ~p*q
Czyli:
A1: p=>q =~p+q = A1": ~p*q
Wniosek:
Absolutnie każdy matematyk widzi, że:
Irbisolowy KRZ jest wewnętrznie sprzeczny!
cnd
II
Teoria zbiorów nieskończonych:
Weźmy zdanie prawdziwe zarówno w KRZ jak i w AK:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Relacje podzbioru =>:
P8=[8,16,24..] => P8=[2,4,6,8..]
każdy matematyk bez trudu udowodni.
Zobacz teraz Irbiolu co ten twój debil, zwany KRZ wyprawia:
| Irbisolowy debil zwany KRZ napisał: |
p=>q = p<=>q + ~p*q
|
Podstawmy zdanie B1 do tożsamości "=" debila zwanego KRZ:
B1: P8=>P2 = B1": P8<=>P2 +~P8*P2
Czytamy prawą stronę B1" która wedle KRZ Irbisola musi być tożsama z B1.
B1"
Dowolna liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 2 (P8<=>P2) lub nie jest podzielna przez 8 i jest podzielne przez 2 (~P8*P2)
Czyli:
B1: P8=>P2 = B1" P8<=>P2 + ~P8*P2
Każdy matematyk wie że:
P8<=>P2 =0
Prawo algebry Boole'a:
0+x =x
Stąd mamy tożsamość matematyczną, wedle Irbisolowego KRZ prawdziwą:
B1: P8=>P2 = B1": ~P8*P2
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B1: p=>q = B1" ~p*q
Czyli:
B1: p=>q =~p+q = B1": ~p*q
Wniosek:
Absolutnie każdy matematyk widzi, że:
Irbisolowy KRZ jest wewnętrznie sprzeczny!
cnd
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 9:59, 10 Kwi 2023, w całości zmieniany 6 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Irbisol
Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 15707
Przeczytał: 42 tematy
|
| Wysłany: Pon 11:01, 10 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| rafal3006 napisał: | | Dowód w zapisach formalnych (ogólnych) iż takie podstawienie generuje wewnętrzną sprzeczność logiki matematycznej przedstawiłem w poście wyżej. |
W poście wyżej używałeś aksjomatów z AK, które nie obowiązują w KRZ.
Więc na gruncie KRZ niczego nie wykazałeś.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
fedor
Dołączył: 04 Paź 2008
Posty: 15354
Przeczytał: 36 tematów
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 11:15, 10 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | | Dowód w zapisach formalnych (ogólnych) iż takie podstawienie generuje wewnętrzną sprzeczność logiki matematycznej przedstawiłem w poście wyżej. |
W poście wyżej używałeś aksjomatów z AK, które nie obowiązują w KRZ.
Więc na gruncie KRZ niczego nie wykazałeś. |
Co ty tak nałogowo oszukujesz?
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 16:30, 10 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
Czy Irbisol zdaje sobie sprawę z faktu, jak bardzo bredzi?
Test w niniejszym poście.
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | | Dowód w zapisach formalnych (ogólnych) iż takie podstawienie generuje wewnętrzną sprzeczność logiki matematycznej przedstawiłem w poście wyżej. |
W poście wyżej używałeś aksjomatów z AK, które nie obowiązują w KRZ.
Więc na gruncie KRZ niczego nie wykazałeś. |
Innymi słowy twierdzisz Irbisolu, że przykładowe, standardowe zadanie matematyczne na egzaminie wstępnym do I klasy LO w 100-milowym lesie … jest poza zasięgiem najwybitniejszych ziemskich matematyków?
Oto przykładowe zadanie na egzaminie wstępnym do I klasy LO w 100-milowym lesie.
Zadanie testowe Nr.1 w 100-milowym lesie:
Udowodnij, które z poniższych zdań wchodzą w skład równoważności a które nie wchodzą, zapisując treść słowną równoważności dla wszystkich poniższych przypadków (1,2,3,4) w postaci spójnika równoważności "wtedy i tylko wtedy <=>"
1.
Jeśli w trójkącie nie zachodzi suma kwadratów to ten trójkąt nie jest prostokątny
2.
Jeśli dowolna liczba nie jest podzielna przez 2 to nie jest podzielna przez 8
3.
Jeśli trójkąt nie jest prostokątny to nie zachodzi w nim suma kwadratów
4.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to jest podzielna przez 2
… i co Irbisolu?
Ty na serio twierdzisz, iż powyższego zadanka Nr. 1 nie potrafi rozwiązać najwybitniejszy ziemski matematyk?
TAK/NIE
Wszyscy wierzymy, że odpowiesz, iż w ziemskiej matematyce zadanko Nr.1 to banał na poziomie I klasy LO.
... a co za tym idzie:
Wszyscy czekamy na twoje rozwiązanie zadanka Nr.1
P.S.
Jak napiszesz, że nie potrafisz, to rozwiążę to zadanko za ciebie - oczywiście będziesz miał prawo obalać moje rozwiązanie - życzę powodzenia 
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 16:44, 10 Kwi 2023, w całości zmieniany 7 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Irbisol
Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 15707
Przeczytał: 42 tematy
|
| Wysłany: Pon 18:01, 10 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| rafal3006 napisał: | Czy Irbisol zdaje sobie sprawę z faktu, jak bardzo bredzi?
Test w niniejszym poście.
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | | Dowód w zapisach formalnych (ogólnych) iż takie podstawienie generuje wewnętrzną sprzeczność logiki matematycznej przedstawiłem w poście wyżej. |
W poście wyżej używałeś aksjomatów z AK, które nie obowiązują w KRZ.
Więc na gruncie KRZ niczego nie wykazałeś. |
Innymi słowy twierdzisz Irbisolu, że przykładowe, standardowe zadanie matematyczne na egzaminie wstępnym do I klasy LO w 100-milowym lesie … jest poza zasięgiem najwybitniejszych ziemskich matematyków? |
Nie - piszę o początku postu, o którym była mowa.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 18:47, 10 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
...
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 18:49, 10 Kwi 2023, w całości zmieniany 1 raz
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
rafal3006
Opiekun Forum Kubusia
Dołączył: 30 Kwi 2006
Posty: 35963
Przeczytał: 15 tematów
Skąd: z innego Wszechświata
Płeć: Mężczyzna
|
| Wysłany: Pon 18:48, 10 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | Czy Irbisol zdaje sobie sprawę z faktu, jak bardzo bredzi?
Test w niniejszym poście.
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | | Dowód w zapisach formalnych (ogólnych) iż takie podstawienie generuje wewnętrzną sprzeczność logiki matematycznej przedstawiłem w poście wyżej. |
W poście wyżej używałeś aksjomatów z AK, które nie obowiązują w KRZ.
Więc na gruncie KRZ niczego nie wykazałeś. |
Innymi słowy twierdzisz Irbisolu, że przykładowe, standardowe zadanie matematyczne na egzaminie wstępnym do I klasy LO w 100-milowym lesie … jest poza zasięgiem najwybitniejszych ziemskich matematyków? |
Nie - piszę o początku postu, o którym była mowa. |
Ja rozumiem Irbisolu, że zrozumienie przez ciebie dowodu w zapisach ogólnych może być dla ciebie zbyt trudne, dlatego w tym samym poście podałem ci dowody wewnętrznej sprzeczności twojego KRZ poprzez podanie kontrprzykładów w konkretnych zdaniach.
W mojego postu do którego się odnosisz niczym Urban wyciąłeś pojedyńcze zdanie pomijając konkretne kontrprzykłady, dowodzące iż twój KRZ jest wewnętrznie sprzeczny.
Czy rozumiesz co to jest kontrprzykład - nie potrafisz go wyłowić z mojego postu wyżej?
ok
Cytuję drugą część postu na który się powołujesz, gdzie rzeczone kontrprzykłady rozumie każdy uczeń I klasy LO ... z wyjątkiem ciebie?
| rafal3006 napisał: | W niniejszym poście zaprezentuję wewnętrzną sprzeczność KRZ na przykładach!
Definicja KRZ:
KRZ to wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego.
Definicja algebry Kubusia:
Algebra Kubusia to wszelkie prawa rachunku zero-jedynkowego, które nie prowadzą do czysto matematycznych sprzeczności.
I.
Teoria zdarzeń:
Weźmy zdanie prawdziwe zarówno w KRZ jak i w AK:
A1.
Jeśli jutro będzie padało to na 100% => będzie pochmurno
P=>CH =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Padanie jest warunkiem wystarczającym => do tego aby było pochmurno bo zawsze gdy pada, są chmury
Zobacz teraz co ty proponujesz w swoim debilnym KRZ:
| Irbisolowy debil zwany KRZ napisał: |
p=>q = p<=>q + ~p*q
|
Podstawiamy przykład A1.
A1: P=>CH = A1": P<=>CH + ~P*CH
Czytamy prawą stronę A1" która wedle KRZ Irbisola musi być tożsama z A1.
A1"
Juro będzie padało wtedy i tylko wtedy gdy będzie pochmurno (P<=>CH) lub nie będzie padało (~P) i będzie pochmurno (CH)
Czyli:
A1: P=>CH = A1" P<=>CH + ~P*CH
Dla każdego matematyka (nawet najsłabszego) jest oczywistym że:
P<=>CH =0 - twardy FAŁSZ!
Prawo algebry Boole'a:
0+x =x
Stąd mamy tożsamość matematyczną, wedle Irbisolowego KRZ prawdziwą:
A1: P=>CH = A1" ~P*CH
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
A1: p=>q = A1": ~p*q
Czyli:
A1: p=>q =~p+q = A1": ~p*q
Wniosek:
Absolutnie każdy matematyk widzi, że:
Irbisolowy KRZ jest wewnętrznie sprzeczny!
cnd
II
Teoria zbiorów nieskończonych:
Weźmy zdanie prawdziwe zarówno w KRZ jak i w AK:
B1.
Jeśli dowolna liczba jest podzielna przez 8 to na 100% => jest podzielna przez 2
P8=>P2 =1
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
p=>q =1
Podzielność dowolnej liczby przez 8 jest warunkiem wystarczającym => dla jej podzielności przez 2 wtedy i tylko wtedy gdy zbiór P8=[8,16,24..] jest podzbiorem => zbioru P2=[2,4,6,8..]
Relacje podzbioru =>:
P8=[8,16,24..] => P8=[2,4,6,8..]
każdy matematyk bez trudu udowodni.
Zobacz teraz Irbiolu co ten twój debil, zwany KRZ wyprawia:
| Irbisolowy debil zwany KRZ napisał: |
p=>q = p<=>q + ~p*q
|
Podstawmy zdanie B1 do tożsamości "=" debila zwanego KRZ:
B1: P8=>P2 = B1": P8<=>P2 +~P8*P2
Czytamy prawą stronę B1" która wedle KRZ Irbisola musi być tożsama z B1.
B1"
Dowolna liczba jest podzielna przez 8 wtedy i tylko wtedy gdy jest podzielna przez 2 (P8<=>P2) lub nie jest podzielna przez 8 i jest podzielne przez 2 (~P8*P2)
Czyli:
B1: P8=>P2 = B1" P8<=>P2 + ~P8*P2
Każdy matematyk wie że:
P8<=>P2 =0
Prawo algebry Boole'a:
0+x =x
Stąd mamy tożsamość matematyczną, wedle Irbisolowego KRZ prawdziwą:
B1: P8=>P2 = B1": ~P8*P2
To samo w zapisie formalnym (ogólnym):
B1: p=>q = B1" ~p*q
Czyli:
B1: p=>q =~p+q = B1": ~p*q
Wniosek:
Absolutnie każdy matematyk widzi, że:
Irbisolowy KRZ jest wewnętrznie sprzeczny!
cnd |
Co oznacza udowodniona wyżej sprzeczność KRZ?
Wyprowadzona sprzeczność oznacza, że nie wolno zdań warunkowych "Jeśli p to q" sprowadzać do spójników "i"(*) i "lub"(+), bowiem prowadzi to do wewnętrznej sprzeczności czysto-matematycznej.
Wniosek:
Jedynym poprawnym matematycznie i niesprzecznym opisem zdań warunkowych "Jeśli p to q" jest ich opis z użyciem trzech znaczków:
=> - warunek wystarczający
~> - warunek konieczny
~~> - element wspólny zbiorów lub zdarzenie możliwe
Amen!
Ostatnio zmieniony przez rafal3006 dnia Pon 18:59, 10 Kwi 2023, w całości zmieniany 5 razy
|
|
| Powrót do góry |
|
|
| Zobacz poprzedni temat :: Zobacz następny temat |
| Autor |
Wiadomość |
Irbisol
Dołączył: 06 Gru 2005
Posty: 15707
Przeczytał: 42 tematy
|
| Wysłany: Pon 18:59, 10 Kwi 2023 Temat postu: |
|
|
| rafal3006 napisał: | | Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | Czy Irbisol zdaje sobie sprawę z faktu, jak bardzo bredzi?
Test w niniejszym poście.
| Irbisol napisał: | | rafal3006 napisał: | | Dowód w zapisach formalnych (ogólnych) iż takie podstawienie generuje wewnętrzną sprzeczność logiki matematycznej przedstawiłem w poście wyżej. |
W poście wyżej używałeś aksjomatów z AK, które nie obowiązują w KRZ.
Więc na gruncie KRZ niczego nie wykazałeś. |
Innymi słowy twierdzisz Irbisolu, że przykładowe, standardowe zadanie matematyczne na egzaminie wstępnym do I klasy LO w 100-milowym lesie … jest poza zasięgiem najwybitniejszych ziemskich matematyków? |
Nie - piszę o początku postu, o którym była mowa. |
Ja rozumiem Irbisolu, że zrozumienie przez ciebie dowodu w zapisach ogólnych może być dla ciebie zbyt trudne, dlatego w tym samym poście podałem ci dowody wewnętrznej sprzeczności twojego KRZ poprzez podanie kontrprzykładów w konkretnych zdaniach.
W drugiej części postu z którego niczym Urban wyciąłeś pojedyńcze zdanie masz konkretne kontrprzykłady, dowodzące iż twój KRZ jest wewnętrznie sprzeczny. |
Rzadko kiedy czytam "drugą część postu", bo zazwyczaj w owej drugiej części copy-paste'ujesz swoje trywializmy.
| Cytat: | Dla każdego matematyka (nawet najsłabszego) jest oczywistym że:
P<=>CH =0 - twardy FAŁSZ! |
Było.
Bierzesz konkretny przypadek - jeden z wielu - i na jego podstawie wnioskujesz o wzorze ogólnym.
|
|
| Powrót do góry |
|
|
|
|
Nie możesz pisać nowych tematów
Nie możesz odpowiadać w tematach
Nie możesz zmieniać swoich postów
Nie możesz usuwać swoich postów
Nie możesz głosować w ankietach
|
fora.pl - załóż własne forum dyskusyjne za darmo
Powered by phpBB © 2001, 2005 phpBB Group
|
FAQ
Szukaj
Użytkownicy
Grupy
Galerie
Rejestracja
Zaloguj się, by sprawdzić wiadomości
Zaloguj
